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Leseprobe
Gerd Junge
Einführung in die Technische Strömungslehre
ISBN (Buch): 978-3-446-44430-0
ISBN (E-Book): 978-3-446-44541-3
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-44430-0
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
5
Vorwort
Dieses Buch wendet sich an Studierende der Technikwissenschaften im Grundstudium, aber auch an Ingenieure, die in ihrem Berufsleben bisher andere Fachgebiete verfolgt haben und sich nun in die Problematik der Strömungslehre einarbeiten möchten.
Der Text des Buches entstand aus Vorlesungsniederschriften für eine einsemestrige Lehrver-anstaltung zur Einführung in die Strömungslehre. Über mehrere Jahre führten die Fragen und Anregungen der Studenten zu einer Darstellung, die den Lernzielen immer besser ange-passt werden konnte.
Für die zweite Auflage wurden mit den Erfahrungen aus den Lehrveranstaltungen der letzten Jahre verschiedene inhaltliche Beschreibungen neu formuliert, um die Probleme besser ver-ständlich zu erläutern.
Das Ziel besteht darin, den Zugang zur Literatur der technischen Strömungslehre und des Strömungsmaschinenbaus auf der Grundlage des physikalischen Allgemeinwissens zu erleichtern.
Aufbauend auf allgemein vorhandenem Grundwissen über Flüssigkeiten und Gase werden schrittweise die speziellen Eigenheiten von Strömungsvorgängen dargelegt und erläutert. Dabei wird großer Wert auf eine gut verständliche Problembeschreibung gelegt, die aus prak-tischen Beobachtungen nachvollzogen werden kann. Daraus werden plausible, physikalisch begründete Ansätze für eine mathematische Behandlung des jeweiligen Problems abgeleitet.
Bei den Herleitungen der Berechnungsvorschriften wird das Augenmerk besonders auf nach-vollziehbare Erklärungen für die Art und die Abfolge der mathematischen Rechenschritte gerichtet.
Sekundär – sozusagen als Nebeneffekt – werden mit den vielfältigen Berechnungen Beispiele vermittelt, wie technische Probleme mit den Mitteln der Ingenieurmathematik behandelt wer-den können.
Die gewählte Darstellungsform fördert die Entwicklung einer nachhaltigen Wissensbasis, die im Wesentlichen ohne das Auswendiglernen von Formeln erreicht wird und die es gestattet, die Berechnungsmethoden in ihrer Anwendbarkeit und Zuverlässigkeit einzuschätzen.
Neben der Behandlung von Rohrströmungen werden die Bewegungsgleichungen für Strömun-gen und die Grundzüge der Potenzialtheorie für Strömungen dargelegt. Die wesentlichen strö-mungstechnischen Ansätze für das Verständnis und die optimale Auslegung von Strömungsmaschinen werden dargestellt.
Wegen der ausführlichen Analysen eignet sich das Buch auch gut als Hilfestellung bei vertie-fenden Betrachtungen im Masterstudium und zum Nachschlagen im Berufsleben.
Dem Verlag möchte ich für die gute Zusammenarbeit bei der Entstehung des Buches danken. Das betrifft insbesondere Herrn Dipl. Phys. Jochen Horn, der mit vielen Hinweisen die Gestal-tung des Buches wesentlich beeinflusst hat. Frau Dipl.-Min. Ute Eckardt hat mit großer Geduld meine zahlreichen Änderungswünsche in die zweite Auflage eingearbeitet und Frau Katrin Wulst sorgte für die ansprechende Gestaltung des Buches.
Potsdam, Mai 2015 Gerd Junge
Inhalt 7
Inhalt
Vorwort 5
1 Dichte, Druck und Kräfte 111.1 Dichte von Flüssigkeiten 111.2 Dichte von Gasen 131.3 Schweredruck in Flüssigkeiten 151.4 Dimension des Druckes 171.5 Kommunizierende Gefäße 171.6 Kräfte auf die Gefäßwände 181.7 Auftrieb (Archimedisches Prinzip) 191.8 Druck und Energie 211.9 Wandkräfte in Rohren 231.10 Luftdruck 251.11 Barometrische Höhenformel 261.12 Kamin 281.13 Übungsaufgaben 32
2 Idealisierte Strömung 332.1 Kontinuitätsgleichung 332.2 Bernoulli-Gleichung 342.3 Anwendungen 35
2.3.1 Hydrodynamisches Paradoxon 352.3.2 Venturi-Düse 352.3.3 Staurohr nach Prandtl 37
2.4 Rohrströmung aus einem Hochbehälter 382.4.1 Geschwindigkeit und Druckverlauf 382.4.2 Kavitation 39
2.5 Kavitation an Maschinenteilen 412.6 Energiegewinnung mit Fluiden 42
2.6.1 Nutzung der potentiellen Energie des Fluids 422.6.2 Nutzung der kinetischen Energie des Fluids 43
2.7 Gasströmung und Bernoulli-Gleichung 442.8 Übungsaufgaben 46
3 Reale Strömung 483.1 Newtons Reibungsgesetz 483.2 Viskosität von Gasen 493.3 Viskosität von Flüssigkeiten 513.4 Abweichungen vom Newton-Reibungsgesetz 523.5 Laminare und turbulente Strömungsformen 523.6 Reynolds-Zahl 563.7 Kinematische Viskosität 57
8 Inhalt
3.8 Übergang zur Turbulenz 583.9 Ähnlichkeit bei Strömungen 613.10 Übungsaufgaben 63
4 Rohrströmung 644.1 Druckverlust 644.2 Laminare Rohrströmung (Gesetz von Hagen-Poiseuille) 654.3 Turbulente Strömung 69
4.3.1 Druckverlust bei Vorgabe des Volumenstroms 704.3.2 Druckverlust bei Vorgabe der Druckdifferenz 73
4.4 Leistungsbedarf 754.5 Strömungen in Rohren von Solaranlagen 774.6 Druckverlust durch Einbauteile 784.7 Druckhöhe und Druckhöhenverlust 81
4.7.1 Druckhöhenverlust für waagerechte Rohrleitungen 814.7.2 Druckhöhenverlust bei Wasserkraftanlagen 82
4.8 Strömungswiderstand bei isothermer Gasströmung 864.9 Übungsaufgaben 92
5 Bewegungsgleichungen für Fluide 955.1 Lokale und konvektive Beschleunigungen 955.2 Druckkräfte 985.3 Euler-Gleichung 995.4 Zusammenhang mit der Gleichung von Bernoulli 1005.5 Allgemeine Kontinuitätsgleichung 1065.6 Impulssatz für Strömungen 1095.7 Reaktionskraft 111
5.7.1 Kräfte auf die Rohrwand 1125.7.2 Rückstoß 1145.7.3 Rückstoß bei Torricelli-Ausströmung 1155.7.4 Strahldruck auf eine Platte 1165.7.5 Stoßverlust 117
5.8 Drall (Drehimpuls) 1195.9 Übungsaufgaben 122
6 Strömungen kompressibler Fluide 1246.1 Bernoulli-Gleichung für stationäre adiabatische Gasströmung 1246.2 Schall und Schallgeschwindigkeit in Gasen 1256.3 Strömungen durch eine konvergente Düse 1286.4 Laval-Düse 1336.5 Mach-Zahl 1386.6 Geschwindigkeit und Düsenquerschnitt 1396.7 Übungsaufgaben 141
Inhalt 9
7 Umströmung von Körpern 1437.1 Grenzschicht 1437.2 cw-Wert 1467.3 Laminare Umströmung 147
7.3.1 Sinken einer Kugel bei laminarer Umströmung 1487.3.2 Entstaubung mit Wirbelsenke 149
7.4 Turbulente Umströmung 1517.4.1 Sinken einer Kugel bei turbulenter Umströmung 1537.4.2 Leistungsbedarf bei Bewegung im Fluid 154
7.5 Überschall-Umströmung 1557.6 Widerstandsläufer 156
7.6.1 Schalenkreuz als Messgerät 1567.6.2 Schalenkreuz als Antrieb 1597.6.3 Tiefschlächtiges Wasserrad 160
7.7 Übungsaufgaben 162
8 Strömungsmaschinen 1648.1 Funktionsprinzip von Strömungsmaschinen 1648.2 Kreiselpumpe 1668.3 Euler-Gleichungen für Strömungsmaschinen 1688.4 Pelton-Turbine 1708.5 Energie und Leistung bei freier Umströmung 175
8.5.1 Vereinfachter Propeller 1758.5.2 Vereinfachte Windkraftanlage – Betz-Gesetz 177
8.6 Übungsaufgaben 181
9 Potenzialströmung 1839.1 Strömungspotenzial 1839.2 Ebene Parallelströmung 1859.3 Zirkulation 1859.4 Radialströmung 1869.5 Zirkulationsströmung 1889.6 Wirbelquelle (Radial- plus Zirkulationsströmung) 1919.7 Dipolströmung (Quelle – Senke) 1939.8 Virtuelle Doppelquelle 1979.9 Reale Zylinderumströmung 1989.10 Konforme Abbildung 201
9.10.1 Lineare Funktion ζ = az + b 2029.10.2 Inversion ζ = 1/z 2029.10.3 Logarithmus ζ = Ln z 204
9.11 Anwendung: Halbkörper 2059.12 Joukowski-Transformation 2089.13 Strömungsvergleich Platte – Zylinder 2119.14 Übungsaufgaben 214
10 Inhalt
10 Tragflügel 21510.1 Magnus-Effekt 21510.2 Schräg angeströmte Platte 21910.3 Strömungskräfte auf eine kreisbogenförmige Platte 22510.4 Tragflügel 227
10.4.1 Profile 22710.4.2 Kennzahlen für Tragflügel 22810.4.3 Kraftrichtungen am Tragflügel 23010.4.4 Winkelverhältnisse am Tragflügel 23110.4.5 Randeinflüsse 233
10.5 Übungsaufgaben 236
11 Windkraftanlagen 23811.1 Schnelllaufzahl 23811.2 Winkelbeziehungen am Rotor 24011.3 Die Kräfte am Rotorblatt 24211.4 Optimale Rotorblattauslegung 24311.5 Biegemoment am Rotorblatt 24511.6 Schubkraft auf die Rotorebene 24611.7 Drehmoment an der Rotorwelle 24811.8 Leistungsregelung 25011.9 Übungsaufgaben 251
12 Lösungen 252
13 Literatur 309Quellenverzeichnis 309Weiterführende Literatur 309
Sachwortverzeichnis 311
Formelzeichen 318
238 11 Windkraftanlagen
11 Windkraftanlagen
Für den Betrieb von Windkraftanlagen erweist es sich als vorteilhaft, die Rotoren mit möglichst hohen Drehzahlen bei relativ geringer Drehmomentenbelastung zu betreiben. Das kann über Getriebe technisch realisiert werden. Die hier entscheidende Kennzahl wird als Schnelllauf-zahl bezeichnet.
Für die optimale Leistungsausbeute bei einer frei umströmten Windkraftanlage muss die geo-metrische Gestaltung der Rotorblätter auf die theoretisch erreichbare Obergrenze abgestimmt werden.
11.1 Schnelllaufzahl
Windkraftanlagen nutzen den aerodynamischen Auftrieb für die Bewegung der Rotorblätter. Die Verhältnisse sind ähnlich wie bei der Funktionsweise eines Tragflügels. Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass in der Längsausdehnung des Tragflügels die Strömungsver-hältnisse (Geschwindigkeit, Anströmwinkel) konstant bleiben, während diese sich bei einem Rotor in Abhängigkeit vom Radius verändern.
Wenn die Luftströmung eine Auftriebskraft ausübt, die zur Rotorbewegung beiträgt, dann muss die Strömung unabhängig von der Ursache für den Auftrieb aufgrund des Impulserhal-tungssatzes entgegengesetzt zur Rotorbewegung abströmen. Diese Querablenkung wird an allen Flächenabschnitten der Rotoranordnung auftreten, d. h., hinter dem Rotor ist die Strö-mung nicht mehr nur linear, sondern mit einer Rotationsbewegung, dem Drall, überlagert.
In diesem Drall steckt eine erhebliche kinetische Energie, die bei der Leistungsübertragung auf den Rotor technisch verloren geht. Je größer das geforderte Drehmoment ist, umso größer fallen die Kräfte an den einzelnen Flächenabschnitten aus, sodass der Drall proportional mit dem geforderten Drehmoment anwächst.
Dieser Leistungsverlust wird auch als Nachlaufeffekt bezeichnet.
Bild 11.1 Drall hinter Windrad und Wirkungsgrad als Funktion der Schnelllaufzahl
00,10,20,30,40,50,6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mit Drall
Betz
ν
11.1 Schnelllaufzahl 239
Die bei einer Rotation entnehmbare Leistung Prot berechnet sich als Produkt aus dem wirken-den Drehmoment M und der Winkelgeschwindigkeit ω :
Um die Drallverluste möglichst klein zu halten, sollte das Drehmoment M möglichst klein gewählt werden, und die Winkelgeschwindigkeit der Rotation sollte entsprechend groß ausfal-len, um die gewünschte Leistung zu erhalten. Die technische Realisierung kann durch ein ent-sprechendes Getriebe zwischen Rotor und angetriebenem Generator erfolgen, sodass der Rotor nur geringfügig abgebremst wird und so hohe Drehzahlen erreichen kann.
Als technischer Parameter für die weiteren Überlegungen wird die Schnelllaufzahl λ einge-führt. Sie wird als Quotient aus der Rotorspitzengeschwindigkeit umax und der ungestörten Windgeschwindigkeit υ1 weit vor dem Rotor definiert. Mit dem maximalen Radius R des Rotors ergibt sich folgender Zusammenhang:
Die Überlegungen von BETZ (vgl. Abschn. 8.5) zeigten, dass maximal 59 % der verfügbaren Windenergie am Rotor in mechanische Energie umgewandelt werden kann.
Für diese Überlegungen wurden nur lineare Strömungsverhältnisse angenommen und vor-ausgesetzt. Weil aber die technische Realisierung mit Drallverlusten behaftet ist, muss das BETZsche Gesetz für kleine Schnelllaufzahlen korrigiert werden, wie im Bild 11.1 dargestellt. Wenn die Schnelllaufzahl gegen unendlich (M gegen null) strebt, verschwinden die Drall-verluste, und das BETZ-Gesetz ist ohne Abstriche gültig.
Es wird deutlich, dass eine gute Annäherung an den theoretisch möglichen Grenzwert ab Schnelllaufzahlen λ > 5 möglich wird. Moderne Anlagen haben Schnelllaufzahlen von λ ≈ 5 ... 12, die Wirkungsgrade liegen bei ca. 0,55.
Zusätzlich zu den Drallverlusten bewirken die Randeinflüsse an den Rotorspitzen einen indu-zierten Widerstand, so wie er durch die Wirbelschleppen an den Tragflügelenden erzeugt wird. Der Drall und die Randwirbel müssen für die unmittelbare Nähe der Anlagen berück-sichtigt werden, z. B. dürfen Hochspannungsleitungen nicht zu dicht neben Windkraftanla-gen verlaufen.
Die Theorie der Strömung macht keine zwingenden Vorgaben zur Anzahl der Rotorblätter, d. h., die Wahl der Blattzahl erfolgt nach technischen Gesichtspunkten, wie mechanische Fes-tigkeit, Laufruhe und Herstellungskosten.
Da die Windgeschwindigkeit mit der Höhe über dem Boden teilweise stark variieren kann, haben sich die dreiblättrigen Rotoren durchgesetzt, weil sie eine wesentlich größere Laufruhe aufweisen im Vergleich zu 2-Blatt- bzw. 1-Blatt-Rotoren.
(11.1)
(11.2)
Prot M ω⋅=
λumax
υ1-----------
R ω⋅υ1
------------= =
240 11 Windkraftanlagen
11.2 Winkelbeziehungen am Rotor
Für die Untersuchung der Verhältnisse am Rotor einer Windkraftanlage setzen wir voraus, dass die Anlage hinsichtlich der Strömungsgeschwindigkeiten nach den Überlegungen von BETZ optimiert ist. Die dafür notwendigen konstruktiven Merkmale werden wir im Anschluss diskutieren.
Bei der optimalen Auslegung wird die anströmende Luft bereits vor der Rotorebene von der Geschwindigkeit υ1 im ungestörten Raum auf die Geschwindigkeit υ2 in der Rotorebene abge-bremst, es gilt die Beziehung von BETZ Gl. (8.47)
Mit dieser verringerten Geschwindigkeit strömt der Wind senkrecht in die Rotorebene.
Weil sich die Rotorblätter quer zur Windströmung bewegen, haben die einzelnen Flächenab-schnitte senkrecht zur Windströmung die Umlaufgeschwindigkeit u. Der Vektor der Relativ-geschwindigkeit w ergibt sich als Differenz:
Der Vektor der Relativgeschwindigkeit w schließt mit der Rotorebene den Winkel β ein.
(11.3)
(11.4)
Bild 11.2 Winkelbeziehungen am Rotorblatt
υ223--- υ1⋅=
w υ2 u –=
ω
uR
wR
R
r
βRυ2
υ2wu β
Rotorebene
Draufsicht
Wind
υ2
ur
βrwr
11.2 Winkelbeziehungen am Rotor 241
Die Umlaufgeschwindigkeit der einzelnen Flächenabschnitte ändert sich mit dem Radius, daher ändert sich auch der Winkel β. Mit der Schnelllaufzahl erhalten wir:
Mit der Beziehung Gl. (11.3) wird
Somit können wir den Winkel in Abhängigkeit vom Radius unabhängig von der tatsächlichen Strömung angeben:
Der Anströmwinkel β verändert sich entlang des Rotorblattes, er ist innen am größten und er verringert sich in Richtung zur Blattspitze.
(11.5)
(11.6)
(11.7)
Da für die Erzielung des Auftriebes ein optimaler Anströmwinkel erforderlich ist, muss das Profil des Rotorblattes in Längsrichtung verdreht werden.
Beispiel:Für die Schnelllaufzahl 7 soll der Anströmwinkel an der Spitze des Rotorblattes ermittelt werden und mit dem Anströmwinkel im Innenbereich des Blattes bei dem Radius r = R/10 verglichen werden.
An der Spitze
innen, bei r = R/10
Der Winkel hat sich auf das 8fache vergrößert, ein Umstand, der technisch unbedingt berücksichtigt werden muss.
u rR--- umax⋅ r
R--- λ υ1⋅ ⋅= =
uυ2------
32---
rR--- λ⋅ ⋅=
βrtanυ2
u------
23---
Rr---
1λ---
⋅ ⋅= =
βRtan 23---
17---⋅ 0 095,≈= ⇒ βR 5 4 °,≈
βrtan 23---
Rr---
1λ---⋅ ⋅ 2
3--- 10 1
7---⋅ ⋅ 0 95,≈= = ⇒ βr 43 6 °,≈
242 11 Windkraftanlagen
Für die spätere Berechnung der Auftriebskräfte werden der Sinus des Anströmwinkels und die Relativgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius benötigt.
Die Relativgeschwindigkeit wird damit:
11.3 Die Kräfte am Rotorblatt
Wir betrachten einen kleinen Ausschnitt Δr aus dem Rotorflügel mit dem Flächenanteil ΔA. Für diesen kleinen Bereich können wir die Umfangsgeschwindigkeit als konstant ansehen. Der Anstellwinkel α soll optimal eingestellt sein.
Die Richtung der Auftriebskraft Fa ist senkrecht zur Richtung der Relativgeschwindigkeit w, und die Widerstandskraft Fw schließt mit der Rotorebene den Winkel β ein. Für die Bewegung des Rotorblattes sind die Kraftkomponenten von Auftrieb Fau und Widerstand Fwu in Richtung der Rotorebene entscheidend.
Die beiden Kraftkomponenten in der Rotorebene berechnen sich mit dem Winkel β:
(11.8)
(11.9)
Bild 11.3 Kraftkomponenten am Rotorblattabschnitt
(11.10)
βrsinβrtan
1 βrtan( )2+
-----------------------------------1
1 βrtan( ) 2–+
--------------------------------------1
1 32---
rR--- λ⋅ ⋅⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2+
-----------------------------------------= = =
wrυ2
βrsin-------------
23--- υ1
1βrsin
-------------⋅ ⋅= =
Fau Fa βsin⋅= und Fwu Fw βcos⋅–=
11.4 Optimale Rotorblattauslegung 243
Wir erhalten als antreibende Kraft Fu für den betrachteten Abschnitt des Rotorblattes:
Der betrachtete Abschnitt des Rotorblattes soll den Flächenanteil ΔA = b . Δr aufweisen, wobei b die Tiefe des Rotorblattes am betrachteten Ort darstellt. Mit den Kennzahlen für Auftrieb und Widerstand berechnet sich die Kraft Fu mit dem Quadrat der Relativgeschwindigkeit.
Die Widerstandszahl Cw ist ca. 20 – 30-mal kleiner als die Auftriebszahl Ca, sodass der Vorfak-tor in der Klammer positiv bleibt. Dieser Vorfaktor kann durch die Wahl einer geeigneten Schnelllaufzahl optimiert werden.
Mit der erwünschten Auftriebskraft verbunden ist eine Schubkraft FS auf den Rotor, das ist verständlich, weil für die Gewinnung der Arbeitsleistung die Strömung letztendlich gestaut werden muss. Die Grafik im Bild 11.3 zeigt, dass die Schubkraft deutlich große Werte anneh-men wird.
11.4 Optimale Rotorblattauslegung
Abschließend muss die Frage geklärt werden, welche Tiefe b das Rotorblatt am betrachteten Radius für einen optimalen Betrieb aufweisen muss. Für die Abschätzung der optimalen Blatttiefe in Abhängigkeit vom Radius soll nur die Auftriebskraft berücksichtigt werden, der relativ kleine Widerstand wird vernachlässigt. Für das anteilige Drehmoment eines Flächen-elementes erhalten wir aus Gl. (11.12)
Mit der Gleichung Gl. (11.9) für die Relativgeschwindigkeit wird das Drehmoment auf die Anströmgeschwindigkeit υ1 zurückgeführt:
Die Winkelgeschwindigkeit des Rotors beträgt:
(11.11)
(11.12)
(11.13)
(11.14)
(11.15)
Fu Fa βsin⋅ Fw βcos⋅–=
Fu Ca βsin⋅ Cw βcos⋅–( ) ΔA ρ2--- wr
2⋅ ⋅⋅=
ΔM r Fu⋅ r C⋅ a βsin ρ2--- wr
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ b Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅≈=
ΔM 49--- Ca
rβsin
-----------ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ b Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
ω λυ1
R------⋅=
244 11 Windkraftanlagen
Die Anzahl der Blätter im Rotor wird mit z bezeichnet. Alle Flächenelemente im Bereich von rbis r + Δr liefern den Leistungsanteil:
Nach den Überlegungen von BETZ kann aus dem Kreisring, den die betrachteten Flächenele-mente bei der Rotation überstreichen, ein maximaler Leistungsanteil ΔPBetz gewonnen wer-den.
Dieser hängt zunächst nicht von der Konstruktion der Maschine ab, sondern nur von der Kreisringfläche und der dritten Potenz der ungestörten Windgeschwindigkeit υ1:
Die Blatttiefe der Rotorblätter muss nun so gewählt werden, dass die betrachteten Flächenele-mente der Rotorblätter bei der gewählten Schnelllaufzahl und der daraus resultierenden Drehzahl gerade diese Leistungsausbeute erbringen.
Die Gleichheit beider Leistungsanteile liefert im ersten Schritt:
Die Umstellung liefert mit dem Ausdruck für die Sinusfunktion nach Gl. (11.8) die Blatttiefe:
(11.16)
(11.17)
Bild 11.4 Zur Berechnung der Blatttiefe
(11.18)
(11.19)
ΔP z ω ΔM⋅ ⋅ 49--- z Ca λ r
R---
1βsin
-----------ρ2--- υ1
3⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ b Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
ΔPBetz1627------
ρ2--- υ1
3⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ 2πr Δr⋅( )⋅ ⋅=
b
r
Δr
R
49--- z Ca λ r
R---
1βsin
-----------ρ2--- υ1
3⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ b Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 16
27------
ρ2--- υ1
3⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ 2πr Δr⋅( )⋅ ⋅=
b 8π3
------1
z Ca⋅-------------
Rλ---
βsin⋅ ⋅ ⋅ 8π3
------1
z Ca⋅-------------
Rλ---
1
1 32---
rR--- λ⋅ ⋅⎝ ⎠
⎛ ⎞ 2+
-----------------------------------------⋅ ⋅ ⋅= =
11.5 Biegemoment am Rotorblatt 245
Für große Schnelllaufzahlen kann in der Wurzel die Eins vernachlässigt werden, sodass die unhandliche Wurzel verschwindet:
Diese Gleichung macht deutlich, dass die Blatttiefe nahezu umgekehrt proportional zum jeweiligen Radius gewählt werden muss. Darüber hinaus wird deutlich, dass die Rotorblätter umso schlanker konstruiert werden können, je größer die Schnelllaufzahlen gewählt werden.
Die Widerstandszahl Cw in Gl. (11.12) berücksichtigt die Verluste, die durch die Umströmung des Profils auftreten, und die Verluste durch den induzierten Widerstand, der durch die Wir-belbildung an den Blattspitzen hervorgerufen wird.
Da der Anteil des induzierten Widerstandes mit wachsender Länge des Rotorblattes abnimmt, geht der Entwicklungstrend zu immer größeren Rotorradien, wobei gleichzeitig immer grö-ßere Nennleistungen erreicht werden.
Entlang des Rotorblattes ändern sich die Strömungsverhältnisse.
Für eine optimale Energieausnutzung müssen die Profile der einzelnen Flächenabschnitte der jeweiligen Strömungsgeschwindigkeit angepasst werden. Bei langsamen Geschwindigkei-ten erzeugen dickbauchige Profile das beste Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand. Bei hohen Geschwindigkeiten sind schlanke Profile vorteilhaft.
Das Rotorblatt ist daher aus vielen Profilabschnitten zusammengesetzt, die stetig ineinander übergehen und entsprechend der Strömungsrichtung verdreht sind.
11.5 Biegemoment am Rotorblatt
Jeder Blattabschnitt erfährt durch den aerodynamischen Auftrieb auch eine biegende Kraft. Aus der Grafik Bild 11.3 kann unter Vernachlässigung der Widerstandskraft eine Näherung entnommen werden:
Mit der optimalen Blatttiefe nach Gl. (11.19) wird das Flächenelement:
(11.20)
(11.21)
(11.22)
b 16π9
---------1
z Ca⋅-------------
R2
λ2------
1r---⋅ ⋅ ⋅≈
ΔFS CA ΔA ρ2--- wr
2 βcos⋅ ⋅⋅ ⋅=
ΔA 8π3
------1
z Ca⋅-------------
Rλ---
βsin Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
246 11 Windkraftanlagen
Mit dem Ausdruck für die Relativgeschwindigkeit wr nach Gl. (11.9) wird der Kraftanteil als Zwischenergebnis:
Mit der Formel für den Tangens des Anströmwinkels nach Gl. (11.7) erhalten wir den Kraft-anteil in Abhängigkeit vom Radius:
Dieser Kraftanteil liefert einen Beitrag zum Biegemoment am Fußpunkt des Rotorblattes:
Das gesamte Biegemoment am Fußpunkt des Rotorblattes erhalten wir durch Integration:
11.6 Schubkraft auf die Rotorebene
Die Kraftanteile, die auf die Flächenelemente der Rotorblätter einwirken, summieren sich zu einer Gesamtkraft, die als Schubkraft FS die Rotorwelle wirkt.
Der Übergang zu infinitesimalen Radienabschnitten liefert ein Integral:
(11.23)
(11.24)
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
(11.29)
ΔFS49---
8π3
------βcosβsin
------------R
z λ⋅----------
ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
ΔFS1z---
16π9
---------ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ r Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
ΔMB r ΔFS⋅ 1z---
16π9
---------ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ r
2 Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
MB1z---
16π9
---------ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ r
2rd
0
R
∫⋅ ⋅ ⋅ 1z---
16π27
--------- RR3 ρ
2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= =
MB1z---
1627------ AR
ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞ RR⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
FS z ΔFS∑⋅=
FS16π
9---------
ρ2--- υ1
2r rd
0
R
∫⋅ ⋅ ⋅ 8π9
------ R2 ρ
2--- υ1
2⋅ ⋅ ⋅= = mit AR π R2⋅=
11.6 Schubkraft auf die Rotorebene 247
Mit der gesamten vom Rotor überstrichenen Fläche AR ergibt sich die Schubkraft:
Diese Schubkraft ist die Folge der im Kapitel 8.5.2 beschriebenen Druckdifferenz, die sich zwischen der Luv- und Leeseite des Rotorblattes aufbaut. Für den optimalen Betrieb gilt υ3 = υ1 /3, somit wird die Druckdifferenz:
Das Biegemoment am Fußpunkt des einzelnen Rotorblattes kann selbstverständlich mit der Schubkraft dargestellt werden. Der Vergleich von Gl. (11.27) mit Gl. (11.30) liefert das Biege-moment in Abhängigkeit von der Schubkraft:
Die technischen Daten von Windkraftanlagen weisen oft nur die Nennleistung PN und den Rotordurchmesser dR aus. In diesen Daten ist implizit die notwendige Windgeschwindigkeit enthalten.
Mit dem Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit berechnet sich die Schubkraft nach Gl. (11.30) zu
Mit dem Rotordurchmesser erhalten wir die Schubkraft:
(11.30)
(11.31)
(11.32)
(11.33)
(11.34)
(11.35)
FS89--- AR
ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ ⋅=
Δp ρ2--- υ1
2 υ32
–( )⋅Fs
AR------
89---
ρ2--- υ1
2⋅⎝ ⎠⎛ ⎞⋅= = =
MB1z---
23--- FS RR⋅ ⋅ ⋅ 1
z--- FS
dR
3------⋅ ⋅= =
PN1627------ AR
ρ2--- υ1
3⋅ ⋅ ⋅= ⇒ υ132---
PN
AR ρ⋅--------------3⋅=
FS89--- AR
ρ2---
94---
PN2
AR2 ρ2⋅
-----------------3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ρ AR PN2⋅ ⋅3= =
FSπ4--- dR
2 ρ PN2⋅ ⋅ ⋅3=
Sachwortverzeichnis 311
Sachwortverzeichnis
A
Abbildungsmaßstab 212Absinken 143Achse 164Achse der virtuellen Doppelquelle 197aerodynamische Auftriebskräfte 208, 215aerodynamischer Auftrieb 238Ähnlichkeit bei Strömungen 61aktive Stall-Regelung 250allgemeine EULER-Gleichung 100allgemeine Gaskonstante 13allgemeine Kontinuitätsgleichung 106allgemeine Zustandsgleichung 13angeströmte Platten 211Anstellwinkel 220, 227, 228, 229Anströmwinkel 241Anzahl der Rotorblätter 239äquidistant 185Äquipotenzialflächen 184Äquipotenziallinien 184, 194, 201Arbeitsmaschinen 143, 159Archimedisches Prinzip 19Atmosphäre 26Auftrieb 19, 20, 153Auftriebsbeiwert 228Auftriebskraft 21, 227, 230Auftriebspunkt 21Auftriebszahl 215, 228, 229, 238Aufwindkraftwerke
(Thermikkraftwerke) 11Ausflussgeschwindigkeit 22Ausflussgesetz 22Ausweichbewegung 200axiale Zugbelastung 25
B
Bahnkurven 61Bar 17barometrische Höhenformel 26, 27
Becherturbine 170BERNOULLI-Gleichung 33, 34, 36, 100Beschleunigung 95BETZ 179, 239, 240, 244BETZ-Gesetz 177, 179Bewegungsgleichungen 95Bezugsradius 188Blattspitzen 245Blatttiefe 243, 244, 245Blende 37, 78, 79B-Rohr 123
C
CrMo-Stahl 24C-Rohr 115cw-Werte 146
D
Dampfdruck 14, 40Dampfdruck des Wassers 15Dichte der feuchten Luft 14Dichte von Flüssigkeiten 11Dichte von Gasen 13Dipolströmung 193Divergenz 109Doppelquellenströmung 199Drall 119, 175, 179, 238Drallverluste 239Drehimpuls 119, 120Drehmoment 55, 120, 164, 166, 238Drehmomentenbelastung 252Drei-Schluchten-Staudamm 23Driftbewegung 49Druck 16, 17Druckdifferenz 98Druckgasflaschen 32Druckgefälle 54Druckgradienten 184
312 Sachwortverzeichnis
Druckhöhe 81Druckhöhenverlust 81, 82, 83Druckkraft 24, 95, 98Druckpunkt 224, 225Druckseite 222Druckverlust 71, 78, 82
bei turbulenter Strömung 69Druckverlustzahl 78Druckwelle 155Düse 114dynamische Viskosität 48, 49, 57
E
Einbauteile 78Energiebilanz 101, 102Energieerhaltungssatz 33Energieumwandlung 164Energieversorgung 42Entstaubung 149, 193Erdgas 63Erdgastrasse 24Ergiebigkeit 187, 194, 205Erhaltung der Masse 95EULER 95EULER-Gleichung 99, 101EULER-Gleichung
für Strömungsmaschinen 168EULER-Momentensatz 168, 172EULER-Strömungsmaschinenhauptgleichung
erster Form 169zweiter Form 170
F
Fallhöhe 39, 42, 82Fallschirmspringer 162Feldgröße 100, 101Feldkräfte (Gravitation) 95Feuerwehr-Schlauch 72, 115Flettner 219Flügelstreckung 233Flugzeuge 215
Flugzeugpropeller 175Flugzeugtragfläche 35Fluidgeschwindigkeit 58Fluidstrahl 116Fördermenge 87
G
Gasversorgung 63GAUSSsche Zahlenebenen 201Geschwindigkeitsabminderung 118Geschwindigkeitsdreieck 169Geschwindigkeitsgefälle 144Geschwindigkeitskomponenten 96Geschwindigkeitsvektor 96Gesetz von HAGEN-POISEUILLE 65Gleitflug 231Gleitzahl 230Golfbälle 153Göttinger Profile 228Gradient 99, 101, 143, 183Gravitation 99Grenzdurchmesser 149Grenzschicht 143, 215, 238Grenzschichtdicke 144
H
HAGEN 67HAGEN-POISEUILLE-Gesetz 67Halbkörper 205, 208Heißluftballon 14Hektopascal (hPa) 17Hochbehälter 38, 81Hochspannungsleitungen 239hochviskose Fluide 59, 65, 143Höhenkonstante 28Horizontalebene 232hydraulische Antriebe 18hydrodynamisches Paradoxon 35hydrostatisches Paradoxon 19
Sachwortverzeichnis 313
I
imaginäre Achse 203Impuls 109Impulsbilanz 117Impulserhaltungssatz 95, 176Impulssatz 109, 115induzierter Widerstand 233, 239, 245inkompressibel 12, 106Inkompressibilität 175inkompressible Medien 33innere Reibung 52, 95, 151instationäre Phase 111instationäre Strömung 121Internationales Einheitensystem (SI) 17Inversion 202, 203isotherme Gasströmung 91
J
JOUKOWSKI 208, 218JOUKOWSKI-Funktion 208, 212JOUKOWSKI-Profil 210JOUKOWSKI-Transformation 183, 208, 209, 211,
215, 226, 228
K
Kamin 28kartesische Koordinaten 205kartesisches Koordinatensystem 209Kavitation 39Kennzahlen 228kinematische Viskosität 48, 57, 87kinetische Energie 22kommunizierende Gefäße 17komplexe Exponentialfunktion 209komplexe Zahlen 183, 201Kompressibilität 11, 87Komprimierbarkeit 86konforme Abbildung 183, 201, 202, 212Kontinuitätsgleichung 33, 36, 86, 106, 109,
114, 175Kontrollflächen 112, 114
konvektive Beschleunigung 96, 101, 144Korrosion 40Kräfte am Rotorblatt 242Kräfte auf die Rohrwand 112Kraftkomponenten 230Kraftrichtungen 230Kraftvektoren 98kreisbogenförmige Platte 225Kreiselpumpe 166, 167, 168, 181Kreiskrümmer 79kritische Höhe 40kritische REYNOLDS-Zahl 59, 153Kurvenform 61KUTTA 218KUTTA-JOUKOWSKI-Auftriebsformel 218
L
laminare Grenzschicht 152laminare Rohrströmung 58, 65laminare Strömung 52, 53laminare Umströmung 147lange Zylinder 184Lastdrehmomente 250Laufräder 164Leerlaufdrehzahl 158Leistungsausbeute 179Leistungsbedarf 61, 75, 154
bei Bewegung im Fluid 154Leistungselektronik 180Leistungsregelung 250LILIENTHAL 230lineare Funktion 202Logarithmus 204lokale Beschleunigung 95Luftdruck 17, 18, 25Luftsäule 26
M
MACH-Kegel 156MACH-Winkel 156MACH-Zahl 155
314 Sachwortverzeichnis
MAGNUS 218MAGNUS-Effekt 191, 215Maschinenabmessungen 165Maschinenquerschnitt 82Massendichte 11Massenstrom 116, 168Massenträgheit 56Maßstabsänderung 202Maßstabsfaktor 61Materialbelastbarkeit 227maximale Schnelllaufzahl 159Millibar (mbar) 17mittlere freie Weglänge 49mittlere Rautiefe 69mm Quecksilbersäule 25molare Masse 13molekulare Kräfte 143MOODY 69MOODY-Diagramm 69, 70
N
Nachlaufeffekt 238Nenndrehzahl 165Nennleistung 42, 82NEWTON 48NEWTON-Reibungsgesetz 48, 65, 143NEWTONsche Flüssigkeit 65NEWTONsches Modell 49nicht stationäre Strömungen 100nicht-NEWTONsche Flüssigkeiten 52Normalenvektor 18normaler Luftdruck 13Normalkraft 24Normbedingungen 88Normdichte 13Normdruck 87
O
Oberflächenbeschaffenheit 56Oberflächenprofil 69optimale Relativgeschwindigkeit 172
optimale Schnelllaufzahl 159orthogonale Kurvenscharen 202orthogonale Stromlinien 201ortsabhängige Druckdifferenzen 223Ortsabhängigkeiten von Geschwindigkeiten
und Druckdifferenz 223Ostsee-Pipeline 89
P
Parallelströmung 185, 198, 199Parallelverschiebung 202PASCAL 17PELTON 170PELTON-Rad 172PELTON-Turbine 123, 170, 171Pipeline 86PITCH-Regelung 250Plattentiefe 145POISEUILLE 67Polardiagramm 230Polardiagramm, verzerrtes 231Polarkoordinaten 202, 205Potenzial 183, 184Potenzialfunktion 184Potenzialströmung 183, 215, 238potenzielle Energie 22Potenzreihe 83PRANDTL 233PRANDTL-Staurohr 37, 46Profilabschnitte 245Profile 227, 228Propeller 176Propellerebene 175psi 17Pumpen 21, 61, 121, 164Pumpenaufwand 73Pumpenlaufrad 169Pumpleistung 76Pumpspeicherwerke 42
Sachwortverzeichnis 315
Q
Quecksilberbarometer 25Quelle 193Quelle-Senke-Feld 194Querschnittsveränderung 118
R
Radialströmung 186, 205Randeinflüsse 233, 239Reaktionskraft 25, 111, 114, 117, 118reale Zylinderumströmung 198, 208reibungsfreie Umströmung 175Reibungskraft 53, 143, 149, 153, 229Reibungsverlust 232Reisegeschwindigkeit 234relative Luftfeuchte 14relative Rautiefe 70relative Volumenänderung 107relativer Druckhöhenverlust 83relativer Leistungsverlust 83Relativgeschwindigkeit 164, 166, 240REYNOLDS 56REYNOLDS-Zahl 48, 56Richtungsänderung 164Rohrdurchmesser 83Rohrkrümmer 78Rohrleitung 75Rohrreibungskoeffizient 71Rohrströmung 64Rotation 190, 216Rotor 240Rotorachse 180Rotorblattauslegung 243Rotorblätter 186, 208, 240Rotorblattspitzen 180Rotordurchmesser 180Rotorebene 177, 240Rotorspitzen 239Rotorspitzengeschwindigkeit 239Rückstoß 114Rückstoßkraft 115, 173
S
Saugseite 222Schalenkreuz 156Schalenkreuz-Anemometer 156, 157Schallausbreitung 109Schallgeschwindigkeit 155Schaufel 164Schaufelbewegung 164Schaufelflächen 121Schaufelform 165Schaufelgeschwindigkeit 165schaufelkongruente Bahnen 166Schaufelneigung 165Schichtenströmung 53Schnelllaufzahl 157, 238, 239, 244, 250, 252Schornstein 28schräg angeströmte Platte 220Schubkraft 176Schweredruck 15, 16Schwerkraft 99Schwimmen 21Segelflugzeug 46, 231Senke 193Sinken einer Kugel
bei laminarer Umströmung 148bei turbulenter Umströmung 153
Sinkgeschwindigkeit 143, 153Sinusfunktion 203skalare Funktion 183Sperrkreisradius 150spezifische Gaskonstante 13spezifische Leistung 169Standardwert 180Startgeschwindigkeit 234stationäre Sinkgeschwindigkeit 148, 154stationäre Strömung 110, 184Staubpartikel 149Staudruck 146Staupunkt 198, 216, 221, 226Staupunktverschiebung 221Stausee 42
316 Sachwortverzeichnis
Stoffkonstanten 11einiger Flüssigkeiten 11einiger Gase 14
Stoffmenge 13STOKES 147STOKES-Gesetz 149STOKES-Reibungsgesetz 147Stoßverlust 117Strahldruck 116Stromfaden 111Stromlinien 100, 112, 183, 184, 194, 205Stromröhre 110, 120Strömungen in Rohrsystemen 61Strömungsbeginn 103, 105Strömungsfeld 95, 184Strömungsgeschwindigkeit 33, 78, 144, 164,
227Strömungsmaschinen 164Strömungspotenzial 183Strömungsquerschnitte 33Strömungsverhältnisse 165Strömungswiderstand 31, 160, 207
bei isothermer Gasströmung 86Strömungszustände 228SUTHERLAND-Konstante 50
T
tangentiale Zugspannung 25TAYLOR-Reihe 30Temperaturabhängigkeit
der Viskosität von Flüssigkeiten 51der Viskosität von Gasen 50
theoretischer Wirkungsgrad 179Tischtennisball 162TORR 25TORRICELLI 22, 82TORRICELLI-Ausströmung 115TORRICELLI-Problem 23TORRICELLI-Vakuum 26Tragflächen 184, 186, 208, 222, 223Tragflügel 215, 227, 229Tragflügelprofile 209
Trägheitskräfte 95, 110, 111Transformation 201
mit Logarithmus 205Transformation durch Inversion 204Turbinen 42, 82, 121, 164, 169Turbinenlaufrad 169Turbinenwelle 173turbulente Grenzschicht 152turbulente Rohrströmungen 59turbulente Strömung 53, 56, 76turbulente Umströmung 151Turbulenzen 58, 76, 221
U
Überdruck 29, 112überkritische Strömung 153Überschallgeschwindigkeit 156Überschall-Umströmung 155Umfangsgeschwindigkeit 164, 165Umgebungsdruck 176Umlaufgeschwindigkeit 240Umlaufintegral 186Umschlagsgeschwindigkeit 59Umströmung 61, 143, 183untere Grenzkurve 70unterkritische Strömung 152
V
Vakuum 26VENTURI-Düse 35, 46, 79vereinfachter Propeller 175vertikale Strömung 233Verwirbelungen 118virtuelle Doppelquelle 197, 198, 204Viskosität 48, 149Viskosität von Flüssigkeiten 51Viskosität von Gasen 49Viskosität, geringe 143vollständig turbulente Strömung 152Volumenausdehnungskoeffizient 11Volumenelement 53, 54, 108
Sachwortverzeichnis 317
Volumenmesstechnik 37Volumenstrom 37, 42, 75, 83volumetrischer Mittelwert 57, 67
W
waagerechte Rohrleitungen 81Wandkräfte in Rohren 23Wandstärke 24Wasserdampf 14, 50Wasserkraftanlagen 82Wasserkraftwerk 181Wasserkühlung 63Wechselwirkungen 112Widerstandsbeiwert 228Widerstandskraft 143, 145, 215, 230, 238Widerstandszahl 146, 215, 228, 229, 238Windgeschwindigkeit 44, 157, 158, 180, 181,
239Windkanal 63, 162Windkraftanlage 177, 215, 240Windmühlen 164Windrad 44, 178Windströmung 157, 240Winkelbereich 229Winkelbeziehungen am Rotor 240Winkelgeschwindigkeit 169, 190Winkelverhältnisse am Tragflügel 231Wirbel 221Wirbelablösung 221, 227
Wirbelbildung 151, 180, 215, 238, 245wirbelfreie Strömung 190Wirbelquelle 191Wirbelschleppe 233, 234Wirbelsenke 149Wirbelströmung 150Wirbelzöpfe 233Wirkungsgrad 42, 159, 178, 239Wölbung 227
Z
Zähigkeit 48Zahlenebene 206Zeitkonstante 104Zentrifugalkraft 149Zirkulation 185, 186, 188, 190, 215, 216Zirkulationsströmung 188, 205, 216, 226,
227Zugkraft 24Zugluft 34Zugspannung 24Zulaufgeschwindigkeit 173zusätzliche Zirkulationsströmung 221Zustandsgleichung 87zweidimensionale Potenzialströmungen 184zweidimensionale Strömungsfelder 184zylindrische Dipolströmung 193zylindrische Radialströmung 187
