LEVITADOR MAG ETICO TEORIA DE CO TROLAutores: Luis Bravo, Wilson Mogrovejo, Fausto Quezada, Ren Rodrguez Facultad de Ingeniera Elctrica-Universidad de Cuenca

Resumenste proyecto consiste en el diseo de un levitador magntico con la aplicacin de un controlador PID(Proporcional, Integrador, Derivador), usando el circuito integrado LM741, sin embargo el presente trabajo muestra la modelacin matemtica, y los resultados reales(grficos) del circuito practico.

durante el desarrollo del curso de Sistemas Lineales y Seales.

E

2. Modelo MatemticoEl sistema de levitacin se compone de un electroimn que permanece fijo y el objeto levitante que est debajo del primero, como se muestra en la figura 1.:

Abstract

El electroimn est formado por un ncleo tipo E laminado de material ferromagntico con alambre esmaltado enrollado N veces a su alrededor (N vueltas) y su modelo elctrico es una inductancia de valor L. La esfera (tambin de material ferromagntico) se caracteriza por su masa m, la distancia de sta con respecto a la bobina x y su contribucin al campo magntico. En el caso de que x = 0 la inductancia tendr su valor mximo de

This project consist in the design of a magneticlevitator, with the application of PID (Proportional, Integrate, Derivation) control using the integrate circuits LM741, however the present paper including the mathematic modeling, and real results(plots) of practice circuit.

LM + LS , y para x = la

1. Introduccinn esta articulo veremos el uso de la series de Fourier, Transformada de Fourier, Transformada discreta de Fourier, y La transformada rpida de Fourier, con el objetivo de dar informacin necesaria que facilite la compresin de los temas mencionados

inductancia presenta su valor mnimo, es decir, la inductancia de la bobina es funcin inversamente proporcional (decreciente) de la distancia x entre la bobina y la esfera. Una aproximacin prctica para modelar este comportamiento es mediante la ecuacin 1 [1]. Donde a es la constante de longitud para el sistema completo (mxima distancia a la que puede estar la esfera de la bobina).

E

L( x) = LM + LS e a (1) La inductancia LM puede ser expresada en funcin delnmero de vueltas de la bobina del electroimn de la siguiente manera

x

LM =

i

2

=

0 A g

(1.1) el

Donde A es la seccin transversal del ncleo, nmero de vueltas, g constante de gravedad y

0 permeabilidad de vaco.Por otra parte se tiene que la energa almacenada en la bobina se puede calcular median te la ecuacin 2 [1]

W (i, x) =

1 L i2 2

(2)

3.1 Diseo y fabricacin de la bobina. Dado que utilizamos un electroimn ya fabricado de una bobina voltomtrica. Tenemos los siguientes valores: rea ncleo interno: 1.44 E m . Numero de espiras: 2000 Voltaje mximo: 50V. Estos valores son ajustados a un transistor TIP31C debido a que este dispositivo cumple con las condiciones mencionadas. Nosotros hemos trabajado con una bobina voltomtrica y su ncleo, a partir de un medidor de energa monofsico, ya que de cierta manera cumplen con los requerimos que se necesitan para el desarrollo de este proyecto.4 2

Donde i es la corriente instantnea que circula por esta; y por tanto se puede calcular la fuerza que genera el electroimn sobre la esfera a partir de la ecuacin 3

dW (i, x) L = S i2 e a dx 2a

x

(3)

Ahora si aplicamos las leyes de Newton al sistema de la figura 1 y si consideramos el eje x como positivo hacia abajo logramos obtener la siguiente ecuacin diferencial para la dinmica del sistema.x

L e a 2 + S i g = 0 x 2maCon todos estos parmetros que anteriormente ya se explicaron.

(4)

3. Realizacin del Levitador MagnticoEl levitador est formado por un sensor de distancia y acondicionadores de seal, un electroimn y el objeto que se va a hacer levitar (una esfera metlica o moneda) un amplificador de potencia para la bobina. Ahora bien este sistema se va a implementar como una base de experimentacin y por conveniencia definiremos el voltaje de salida del sensor y de entrada para el amplificador de potencia en un rango de entre 0 y 5 voltios (de fcil uso para la aplicacin de circuitos lineales o microcontroladores). Por lo antes mencionado presentaremos el siguiente diagrama de bloques para la representacin del sistema:

Para la obtencin del electroimn a partir del elemento ya mencionado, procedimos ha cortar las chapas del ncleo para obtener una E, y de manera experimental verificamos la fuerza que se obtena, al aplicarle 50V de corriente continua, era la necesaria para atraer la esfera que requeramos levitar.

Entonces los cuerpos empleados en la levitacin fueron: una moneda de 5 centavos nacional, 10 centavos nacional, y una esfera del mundo (de llavero) de masa considerada entre unos 0.04Kg. y una corriente mxima de hasta de 2 amperios en la bobina. Experimentalmente al probar con varias distancias se logro determinar que la distancia ptima de levitacin se daba en los 8 m.m. . Mediante los clculos tenemos que mientras mayor sea la variacin de la inductancia, tendremos una mayor fuerza de atraccin, por lo que debemos tener en consideracin un cierto rango de distancias en el cual se logre la levitacin de la masa en forma prctica.

Tomando estas consideraciones llegamos a tener la siguiente expresin en unidades del sistema de MKS: x L ( x ) = 1481.46 + 1.24 e 0.01 103

(5)

Es posible determinar la corriente requerida a la que trabaje el electroimn, pero como vamos a trabajar con una bobina voltomtrica con especificaciones ya establecidas no lo realizaremos.

Figura 4. Esquema fsico de los sensores

Hemos utilizado un amplificador operacional para que como su nombre lo indica nos amplifique la seal y que sea 0V a una distancia de 0mm y los 5V a la distancia que esperamos en este caso de 8mm. Se puede colocar un potencimetro entre el pin 6 y el 2 para lograr un perfecto funcionamiento un nico inconveniente con este circuito es su rango reducido de operacin pero en sta utilizacin no es inconveniente.

Figura 3

3.2 Diseo del sensor de distancia. Se debe considerar que la corriente no debe pasar de un cierto rango, y a su vez la distancia tambin debe ser adecuada, entonces nosotros hemos optado por utilizar un opto transistor y un fotodiodo, Por las caractersticas que tienen stos elementos; los hemos alimentado con 2V al fotodiodo y con una resistencia en serie de 53 0hmm este valor lo tomamos de dividir un voltaje de 5V para la corriente permisible de 90mA. Sin embargo el ngulo entre la horizontal formada por el fototransistor y el fotodiodo debe ser mximo 10Figura 5. Esquema elctrico de los sensores

3.3 Diseo del Amplificador de Potencia El amplificador de potencia de rpida respuesta es fundamental para el correcto desempeo del sistema, y dadas las caractersticas inductivas de nuestra carga el amplificador requerido para este sistema deber alimentar la bobina con corriente continua, con un valor instantneo proporcional a un voltaje de

referencia que representa la variable que se manipular en el sistema de control. Para lograr esto usamos una conexin sencilla con un transistor TIP-131 que opera en las zonas de saturacin y corte por lo que la bobina ser sometida a dos valores de voltaje Vmax = 50V y 0V, a una corriente

necesarios para optimizar el sistema existe la posibilidad de combinar dichos controladores como veremos a continuacin:

I max = 1A y cuando se somete a

un voltaje nulo, la corriente se descarga a travs del diodo (1N4548) que es un diodo de activacin rpida y se usa como proteccin de la bobina. De esta forma si actuamos sobre el encendido y apagado del transistor podemos controlar el nivel de corriente que circula por la bobina.

Fig.6 Respuesta al escaln de un sistema en lazo cerrado por: a) Controlador P b) Controlador PD c) Controlador PID

Figura 6. Circuito de amplificacin de potencia

4. Controlador PID

Un controlador que consiste solo en una ganancia es llamado proporcional (P). La velocidad a la cual la salida puede responder a la seal de error depende de la ganancia del controlador. Por tanto aumentando dicha ganancia, el tiempo de subida (Ts) del sistema puede ser decrementado, permitiendo que la salida siga a la entrada ms rpidamente. Sin embargo, esto agrega el problema de provocar un aumento del sobresalto, causando oscilaciones en la salida, lo que llevara a nuestro sistema ser inestable. Adems, una constante de ganancia amplifica el ruido a alta frecuencia, causando una disminucin del ancho de banda del sistema de control. Una forma de reducir el tiempo de subida sin aumentar el porcentaje de sobresalto es agregar un trmino derivativo (D) al controlador P, dado que la derivada de la seal de error provee informacin acerca de cmo el error va cambiando con respecto al tiempo. De este modo, el controlador puede estimar valore futuros de la seal de error y compensar adecuadamente. Cabe recalcar que un problema asociado al PD es que funciona como un filtro pasa-alto. Por ello, el controlador PD amplifica el ruido de alta frecuencia, lo que reduce la estabilidad del sistema total. De all que para eliminar el error de estado estacionario, se agrega un trmino integral(I) que posibilita al nuevo controlador PID recordar datos anteriores, permitiendo as tambin dar una salida distinta de cero para una entrada nula. Por tanto dicho controlador permite tener un error de estado estacionario igual a cero. Como contrapartida el integrador adiciona un polo en la funcin de lazo cerrado, con lo cual la estabilidad del sistema decae.

Fig.5 Esquema de un controlador PID

La figura presentada muestra un sistema de control con retroalimentacin tpica ya sea de un elemento sensor o transductor que mide un parmetro fsico, tal como la velocidad o temperatura, y lo convierte en un voltaje o corriente. La funcin bsica de un controlador es la de comparar el valor real de la salida c(t) de una planta, con la entrada de referencia r(t), es la de determinar el error e(t) y producir una seal de control que reducir el error al valor mnimo posible. Ahora bien para lograr el xito de un error cercano a cero dependiendo del tipo de sistema, habr la necesidad de aplicar lo que se denomina controladores tipo: P, I, D; y dependiendo de los requerimientos

Finalmente concluimos que el PID es un excelente controlador con una funcin de transferencia dada por:

4.1 Detalles matemticos y elctricos de los controladoresA continuacin se muestra las configuraciones electrnicas del amplificador operacional con sus respectivas modelaciones matemticas, para obtener los diferentes controladores, cabe recalcar que se deber tomar en cuenta la estabilizacin del sistema para la aplicacin de cualquiera de los siguientes controladores. Amplificador operacional bsico[2]

Si cambiamos el componente de retroalimentacin, con un capacitor, la conexin se denomina integrador, donde la impedancia capacitiva puede expresarse como:

Xc =

1 1 = jw * C S * C

(7)

Y resolviendo de Vo/V1 se tiene

I=

V 1 Vo = R Xc

I = S * C *Vo

(8)

Vo 1 = V1 S * C * R

(9)

que expresada en el dominio del tiempo tenemos:

Vo(t ) =

1 V1 (t )dt RC

(10)

Figura 7 Esquema elctrico de un A.O.

En la figura se muestra la conexin del circuito bsico de un amplificador operacional, que nos permite obtener una seal con ganancia constante y con seales de entrada y salida desfasadas.

Ganancia = A =

Vo Rf = V1 R1

(6)

Figura 9 Esquema elctrico de un amplificador integrador

Amplificador operacional diferenciador Ahora un amplificador de ganancia unitaria existe si Rf=R1; es decir obtendremos una seal de salida nicamente desfasada 180, o tambin: Cambiando la resistencia de entrada por un capacitor en la figura 7 obtenemos la siguiente ecuacin mediante procedimientos similares al anterior.

Vo(t ) = RC

V1 (t ) dt

(11)

Figura 8 Esquema elctrico de un seguidor unitario

Amplificador operacional integrador

Figura 10 Esquema elctrico de un amplificador derivador

Los controladores mencionados se pueden combinar entre s (PI, PD, PID); sin embargo para su aplicacin se deber tomar en cuenta la necesidad de la estabilidad del sistema; que para el presente proyecto fue necesario el controlador PID que se muestra a continuacin: Controlador PD

Figura

13 Esquema elctrico de un controlador PID

Figura 11 Esquema elctrico de un controlador PD

Controlador PI

Figura 12 Esquema elctrico de un controlador PI

5.

Clculo de la funcin de transferencia

Controlador PID

El clculo de la funcin de transferencia como la relacin de voltaje que entrega el sensor entre el voltaje del electroimn obtenemos Deduccin de la funcin de transferencia

G(s) =

Vs ( s ) 2 CI o = V (s) R 2 2CI o S + S 3 L1 m * xo (12)

Kv = lim G ( s ) Kv = 1.3659 E 7s 0

G( s) = K p + K D * S +

Ki S

G( s) =Donde L y R representan la inductancia de la bobina, (son datos que se obtuvieron experimentalmente) y m la masa de la esfera. Las cantidades de Io y Xo son la corriente de la bobina y la posicin en el punto de operacin y a partir de esto podemos calcular nuestra constante C ya que en este punto de operacin la fuerza magntica es igual a la fuerza de gravedad dada por la ecuacin.

0.0341(1 + K D1 * S ) ( S + 102.26 )( S + 44.41)( S 44.41)G ( s) 1 + G (s)

T (s) =

1+G(s) = S3 +102.2652 (0.0341*KD1 +2441.35)*S 0.03411 + Geq ( s ) =

I fo = C o = m * g xo C = 1.555E 4 = 50 xo = 0.008m m = 12 gr

2

I o = 0.22 A

= 1

0.0341* K D1 * S S + 102.26 * S 2 + 2441.35* S 0.03413

Usando Matlab y tomando K D1 del lugar geomtrico: De esta manera podemos determinar nuestro sistema de suspensin magntica mediante el siguiente diagrama de bloques Fig. 16:

K D1 = 0.0083 Geq ( s ) = 0.0341* S S + 102.26* S 2 + 2441.35* S 0.03413

Ahora bien : G( s) = 0.0341* (1 + 0.0083)

( s + 102.26 )( S + 49.41)( S 49.41)practico del levitador

6. Desarrollo magnticoFigura 16 Diagrama de bloques de un sistema de suspensin

Los parmetros fsicos que se tomaron en cuenta fueron los siguientes: Esfera metlica para que el campo magntico sea uniforme sobre este elemento y as optimizar el funcionamiento. Luz infrarroja para obtener una alta velocidad de respuesta de retroalimentacin.

G(s) =

2 CI o R 2C I o 2C I o S S + S + L1 m * xo xo m * xo xo

G( s) =

0.0341 ( S + 102.26 )( S + 49.41)( S 49.41)

-

-

Soportes no ferromagnticos para sostener la bobina, de manera que evite la desviacin de campo magntico.

De manera experimental se realizaron las primeras pruebas con controladores PD y controladores PI, siguiendo los circuitos presentados en 4.1, sin embargo no obtuvimos xito con la levitacin de la esfera metlica por tanto recurrimos a la investigacin sobre la implementacin del controlador PID, que permiti cumplir con el objetivo de levitar la esfera metlica.

Figura18 Seal de error con interrupcin de luz

Prueba dos: Sin interrupcin de luz Fig. 16.

Figura

17 Circuito electrnico real

Los circuitos de control y de fuerza que conforman este proyecto estn aislados por un opto acoplador, por esta razn podemos analizar cada uno por separado. Circuito de control Para verificar el funcionamiento de los elementos de retroalimentacin, tomamos en cuenta la salida de error, y al interrumpir el paso de luz infrarroja del fotodiodo hacia el fototransistor, mediremos una variacin de voltaje cada vez que ocurra este procedimiento; de no ser as hubiese sido necesario utilizar la base del fototransistor para insertar una corriente que permita una mayor sensibilidad en la recepcin de luz. Prueba uno: Con interrupcin de luz. Fig.15Figura 19 Seal de error sin interrupcin de luz

Utilizando el programa Winscope 2.5v obtuvimos la siguiente seal de control Fig.17:

Figura 20 Seal de control entrante en el optoacoplador

El circuito de fuerza es sencillo puesto que consiste en un transistor que trabaja como interruptor de manera que encienda y apague el electroimn; cabe recalcar

que para proteger la bobina se coloco un diodo rpido en conexin anti-paralela. La alimentacin de dicho electroimn est definido por 2 transformadores con sus bobinados primarios en paralelo y los secundarios de 24v y 12v en serie de manera que no se contrarresten y den un voltaje en terminales igual a 36v. Mediante un puente de Graetz la corriente alterna es rectificada y luego filtrada con un capacitor que elimina el rizado y aumenta el voltaje eficaz de la corriente continua aplicada a los terminales colector emisor del transistor, al cual se ha colocado en disipador de calor. Para la calibracin de la sensibilidad del fototransistor fue nicamente necesario variar la resistencia que se muestra en el circuito mediante un potencimetro; finalmente colocando la esfera entre el lmite de distancia permitido por los sensores, el peso de la esfera fue contrarrestado con la fuerza de atraccin del electroimn, lo cual mantiene levitando al objeto. El esquema electrnico Fig. 18 para el comando de los sensores es el siguiente: Curvas caractersticas

Figura 22 Curva fotocorriente vs. Intensidad de radiacin

Figura 21 Diagrama elctrico del sistema de retroalimentacin

7. Materiales EmpleadosOptoacoplador PC-871 Transistor TIP 31C Resistencias: 20K 2.2K 1.8K 2.2M 680k 470k Capacitores : 100nF

Datasheet Fototransistor

Dimensiones:

-

-

2200uF Amplificadores Operacionales LM-741 Puente de Graetz Potencimetro Bobina 2 Transformadores Fuente +Vcc y Vcc Alambre multipar

-

Fusibles Fototransistor Diodo de luz infrarroja Esfera metlica

Referencias

[1] A.E. Fitzgerald, Stephen D. Umans, and Charles Kingsley Jr, Maquinas Elctricas, McGraw-Hill Interamericana 2004[2] Boylestad Nashelsky. Electrnica: Teora de circuitos y dispositivos electrnicos Octava Edicin [3] Benjamin C. Kuo Sistemas de control Automtico Sptima Edicin [4] Helenna Bass. Circuitos Elctricos.

Anexos:

Datasheet LM741CM

Datasheet TIP31C

Datasheet rectificador de puente:

Datasheet OPTOACOPLADOR PC817