2.4 Leyes de Kirchhoff 37

Leyes de KirchhoffLa ley de Ohm no es suficiente en s misma para analizar circuitos. Pero cuan-do se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y efi-caz de herramientas para analizar gran variedad de circuitos elctricos. Lasleyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el fsico alemn Gustav Robert Kirch-hoff (1824-1887). Se les conoce formalmente como la ley de la corriente deKirchhoff (LCK) y la ley de tensin de Kirchhoff (LTK).

La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservacin de lacarga, de acuerdo con la cual la suma algebraica de las cargas dentro de unsistema no puede cambiar.

La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica delas corrientes que entran a un nodo (o frontera cerrada) es de cero.

Matemticamente, la LCK implica que

(2.13)

donde N es el nmero de ramas conectadas al nodo e in es la nsima corrien-te que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que en-

aN

n1in 0

2.4

5

6 2 A10 V +

1 25

6 2 A10 V +

3Figura 2.12Para el ejemplo 2.4. Figura 2.13

Los tres nodos del circuito de la figura2.12.

5

1 2 4 10 V+

3

3

1 2 4 10 V+

1 2

Figura 2.14Para el problema de prctica 2.4. Figura 2.15

Respuesta del problema de prctica 2.4.

Cuntas ramas y nodos tiene el circuito de la figura 2.14? Identifique los ele-mentos que estn en serie y en paralelo.

Respuesta: Cinco ramas y tres nodos se identifican en la figura 2.15. Los re-sistores de 1 y 2 estn en paralelo. El resistor de 4 y la fuente de 10 Vtambin estn en paralelo.

Problema de prctica 2.4

38 Captulo 2 Leyes bsicas

tran a un nodo pueden considerarse positivas, mientras que las corrientes quesalen del nodo llegan a considerarse negativas, o viceversa.

Para comprobar la LCK, supngase que un conjunto de corrientes ik(t), k 1, 2, , fluye en un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el no-do es

iT(t) i1(t) i2(t) i3(t) (2.14)La integracin de ambos miembros de la ecuacin (2.14) produce

qT(t) q1(t) q2(t) q3(t) (2.15)donde y Sin embargo, la ley de la conser-vacin de la carga elctrica requiere que no cambie la suma algebraica de lascargas elctricas en el nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carganeta. As, lo que confirma la validez de la LCK.

Considrese el nodo de la figura 2.16. La aplicacin de la LCK da comoresultado

i1 (i2) i3 i4 (i5) 0 (2.16)puesto que las corrientes i1, i3 e i4 entran al nodo, mientras que las corrien-tes i2 e i5 salen de l. De la reordenacin de los trminos se obtiene

i1 i3 i4 i2 i3 (2.17)La ecuacin (2.17) es una forma alterna de la LCK:

La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las co-rrientes que salen de l.

Obsrvese que la LCK tambin se aplica a una frontera cerrada. Esto po-dra juzgarse un caso generalizado, porque a un nodo se le podra consideraruna superficie cerrada contrada en un punto. En dos dimensiones, una fron-tera cerrada es igual a una trayectoria cerrada. Como lo ilustra representati-vamente el circuito de la figura 2.17, la corriente total que entra a la superficiecerrada es igual a la corriente total que sale de ella.

Una aplicacin simple de la LCK es la combinacin de fuentes de corrien-te en paralelo. La corriente combinada es la suma algebraica de la corrientesuministrada por las fuentes individuales. Por ejemplo, las fuentes de corrien-

qT (t) 0 S iT (t) 0,

qT (t) iT (t) d t.qk (t) ik (t) d t

i1i5

i4

i3i2

Figura 2.16Corrientes en un nodo que ilustran la LCK.

Frontera cerrada

Figura 2.17Aplicacin de la LCK a una frontera cerrada.

Perfiles histricos

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), fsico alemn, enunci en 1847dos leyes bsicas concernientes a la relacin entre corrientes y tensiones enuna red elctrica. Las leyes de Kirchhoff, junto con la ley de Ohm, forman labase de la teora de circuitos.

Hijo de un abogado de Knigsberg, Prusia oriental, Kirchhoff ingres ala Universidad de Knigsberg a los 18 aos de edad y despus fue maestroen Berln. Su colaboracin en espectroscopia con el qumico alemn RobertBunsen deriv en el descubrimiento del cesio en 1860 y del rubidio en 1861.A Kirchhoff tambin se le acredit la ley de la radiacin de Kirchhoff. As,es famoso entre los ingenieros, los qumicos y los fsicos.

Se dice que dos fuentes (o circuitosen general) son equivalentes si tienenla misma relacin i-v en un par de terminales.

2.4 Leyes de Kirchhoff 39

te que aparecen en la figura 2.18a) pueden combinarse como en la figura2.18b). La fuente de corriente combinada o equivalente puede determinarseaplicando la LCK al nodo a.

IT I2 I1 I3o sea

IT I1 I2 I3 (2.18)Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes, I1 e I2, en serie, amenos que I1 I2; de lo contrario, se infringir la LCK.

La segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservacinde la energa:

La ley de tensin de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de to-das las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero.

Expresada matemticamente, la LTK establece que

(2.19)

donde M es el nmero de tensiones (o el nmero de ramas en el lazo) y vmes la msima tensin.

Para ilustrar la LTK, considrese el circuito de la figura 2.19. El signo encada tensin es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer ellazo. Se puede comenzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentidode las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Supngase que se iniciacon la fuente de tensin y que recorre el lazo en el sentido de las manecillasdel reloj, como se muestra en la figura; as, las tensiones seran v1, v2,v3, v4 y v5, en ese orden. Por ejemplo, al llegar a la rama 3, la prime-ra terminal encontrada es la positiva, y de ah que se tenga v3. En cuanto ala rama 4, se llega primero a la terminal negativa, y de ah que v4. Por lotanto, la LTK establece

v1 v2 v3 v4 v5 0 (2.20)La reordenacin de los trminos produce

v2 v3 v5 v1 v4 (2.21)lo que puede interpretarse como

Suma de cadas de tensin = Suma de aumentos de tensin (2.22)

sta es una forma alternativa de la LTK. Advirtase que si se hubiera reco-rrido el lazo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado ha-bra sido v1, v5, v4, v3 y v2, igual que antes, salvo que los signosestn invertidos. As, las ecuaciones (2.20) y (2.21) permanecen iguales.

Cuando fuentes de tensin se conectan en serie, la LTK puede aplicarsepara obtener la tensin total. La tensin combinada es la suma algebraica delas tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en relacin con las fuen-tes de tensin que aparecen en la figura 2.20a), la fuente de tensin combi-nada o equivalente en la figura 2.20b) se obtiene aplicando la LTK.

Vab V1 V2 V3 0

aM

m1vm 0

a

a)

b)

I1 I2 I3

b

a

IT = I1 I2 + I3

b

IT

IT

Figura 2.18Fuentes de corriente en paralelo: a)circuito original, b) circuito equivalente.

Figura 2.19Circuito de un solo lazo que ilustra laLTK.

v4v1+ +

v3v2

v5

+ +

+

La LTK puede aplicarse de dos mane-ras: recorriendo el lazo en el sentidode las manecillas del reloj o en el con-trario alrededor del lazo. De una u otraforma, la suma algebraica de las ten-siones a lo largo del lazo es de cero.

40 Captulo 2 Leyes bsicas

o sea

Vab V1 V2 V3 (2.23)Para no infringir la LTK, un circuito no puede contener dos tensiones dife-rentes V1 y V2 en paralelo a menos que V1 V2.

Solucin:Para hallar v1 y v2, se aplica la ley de Ohm y la ley de tensin de Kirchhoff.Supngase que la corriente i fluye a travs del lazo como se muestra en la fi-gura 2.21b). Con base en la ley de Ohm,

v1 2i, v2 3i (2.5.1)

La aplicacin de la LTK alrededor del lazo produce

20 v1 v2 0 (2.5.2)

Al sustituir la ecuacin (2.5.1) en la ecuacin (2.5.2) se obtiene

20 2i 3i 0 o 5i 0 --> i 4 A

La sustitucin de i en la ecuacin (2.5.1) origina finalmente

v1 8 V, v2 12 V

Figura 2.20Fuentes de tensin en serie: a) circuito original, b) circuito equivalente.

V1

V2

V3

a

b

a)

VS = V1 + V2 V3

a

b

b)

+

+

+

Vab

+

Vab

+

+

Figura 2.21Para el ejemplo 2.5.

a)

20 V +

3 v2

2

v1+

+

b)

20 V +

3 v2

2

v1+

+

i

Ejemplo 2.5 En referencia al circuito de la figura 2.21a), halle las tensiones v1 y v2.