Lezione 9Lezione 9

Statica dei fluidi

Meccanica dei fluidiMeccanica dei fluidi• Un fluido e’ un corpo che non ha una forma definita, ma che, se e’ contenuto da un

contenitore solido, tende a occupare (riempire) una parte o tutto il volume del contenitore. Questo vale sia se il fluido e’ a riposo o in moto.

• Sono fluidi I corpi liquidi e gassosi , che tuttavia si distinguono per diverse caratteristiche fisiche

• I liquidi sono (almeno in modo approssimato) incompressibili ossia possono cambiare di forma ma il volume totale si conserva, qualunque sia la pressione esercitata sulla sua superficie

• I gas sono in generale compressibili ovvero il volume dipende dalla pressi one applicata

• Proprio perché il fluido tende a occupare tutto lo spazio disponibile, la superficie di contatto tra fluido e contenitore e’ massima. Pertanto nella statica e nel moto dei fluidi può avere una grande importanza l’ attrito tra il fluido e le pareti del contenitore, che e’ dovuto a forze molecolari di adesione che in generale tra solidi sono trascurabili.

• Per studiare la statica e la dinamica dei fluidi grandezze di tipo vettoriale come forza, momento della forza non sono in generale applicabili, perché un liquido a riposo può accettare sforzi esercitati solo perpendicolarmente alla sua superficie (sforzi normali).

• Se le forze applicate non sono perpendicolari alla superficie (sforzi di taglio) la geometria della massa fluida si modifica e abbandona lo stato di quiete.

• Le grandezze tipiche dei corpi rigidi devono essere sostituite da altri parametri che siano indipendenti dalla geometria del corpo.

Parametri fisici elementari Parametri fisici elementari

• Volume : spazio geometrico occupato dal corpo

dimensioni fisiche : [L3] unità: m3

• Densità : massa per unità di volume [m l-3] >> [kg m-3]

ρ = m/V ; se ρ varia in funzione delle coordinate : ρ = dm/dV

La densità dei fluidi dipende dalla temperatura e, in modo molto più accentuato, nei gas.

• Pressione : Intensità delle forze normali per unità di superficie

p = FN/A FN e’ la forza normale alla superficie

se ρ varia in funzione delle coordinate : π = dFN/dS

dimensioni fisiche [m l-2 t-2 ] >> [N m-2] = [kg m-2 s-2 ]• Unita’di pressione

Pa La pressione si misura in Pascal = Newton/m-2

Esistono altre unità di uso comune:

1 Bar = 1 105 Pa

atm = 1. 3 Bar = 1.013 105 Pa . pressione dell’aria a livello del mare e a 20°C

1 torr = 1/760 atm =133.3 Pa peso di 1 mm di Hg

∫=V

dVV

Lavoro dovuto ad una pressioneLavoro dovuto ad una pressione

Se, sotto l’azione di una forza esterna esterna F (applicata alla sezione normale S di un fluido contenuto in un cilindro), S subisce uno spostamento dh, il lavoro compiuto dalla forza F e’

Dove dV e’ la variazione subita dal volume V del fluido.

Si può dimostrare che la relazione

vale in generale, ossia si può applicare ad un fluido di forma qualsiasi sottoposto ad una pressione di intensità variabile nello spazio.

Per una variazione di volume tra il valore iniziale V1 ed il valore finale V2, il lavoro e’

pdVpSdhFdhdW ===

pdVdW =

∫=2

1

V

V

pdVW

Variazione della pressione in un liquido a riposoVariazione della pressione in un liquido a riposo

Se l’elemento di fluido e’ in equilibrio, la somme delle forze applicate e’ zero. Le forze applicate sono :

la forza applicata dal liquido sottostante : pS

la forza applicata dal liquido soprastante : (p+∆p) S

la forza peso Fy = ρ g ∆V= ρ g S ∆y

Eguagliando le forze:

p S = (p+∆p) S + ∆w = (p+∆p) S+ ρ g S ∆y

∆p/∆y = - ρ g

π=ρ g >> densita’ di peso del liquido .

Per acqua

π= 1 Ν/ m-3 = 1 kg m-3 s-2

∆∆∆∆y

y

(p+∆p) S

p S

∆yS

ρ g ∆V

Legge di variazione della pressione in un fluido

• La differenza di pressione tra un un punto a livello y2 di un fluido e ed uno a livello inferiore y1 e’

• Se assumiamo uguale a p0 la pressione sulla superficie del fluido:

Legge di Stevino “La pressione in un punto e’ eguale alla pressione esercitata sulla superficie del fluido sommata al peso di una colonna di liquido di area unitaria”

Esempio : In un bacino d’ acqua (ρ =103 kg/m3) sottoposta alla pressione atmosferica di 1 Bar, la pressione cresce con la profondità come

p(h) = (105 + 9.8 103 h) Paossia la pressione aumenta di circa 1 bar ogni 10 m di profondità.

In figura 9.6 a e’ mostrato come si distribuisce la pressione che il contenitore esercita su un liquido contenuto in un recipiente e sottoposto alla forza peso (applicata a tutto il volume) ed allapressione atmosferica (applicata alla superficie libera).Nel caso di un gas compresso in un cilindro (figura 9.6b), il contributo della forza peso e’ trascurabile e la pressione del contenitore sul gas e’ costante.

p 2 p 1−y 1

y 2

yρ− g⋅⌠⌡

d ρ g⋅ y 2 y 1−( )⋅

Variazione della pressione in un liquido a riposoVariazione della pressione in un liquido a riposo

p = p 0 + ρρρρg h con h = y2 - y1

(9.4)

Superfici isobaricheSuperfici isobariche

• Una superficie isobarica ha dunque queste tre proprietà:

p = cost Ep,m = cost ρ = cost,.

La superficie limite di un liquido e’ una superficie isobarica epertanto la superfìcie limite di un liquido in quiete deve essere orizzontale, ( figura 9.9).

• La pressione di un fluido sottoposto alla forza peso è funzione soltanto della coordinata verticale.

• In un piano orizzontale, di equazione h = costante, per la legge di Stevino il valore della pressione è costante. Il piano si dice una superficie isobarica .

• Nella (9.4) compare il termine E p,m = gh, che rappresenta l'energia potenziale della forza peso Ep = mgh divisa per la massa (energia potenziale per unità di massa). Pure Ep,m dipende solo da h e quindi in un piano h = costante ha valore costante:

una superfìcie isobarica è anche una superficie equi potenziale, cioè una superficie nei cui punti E m ha valore costante.

• Dalla (9.4) riscritta come p(h) = - ρ E m(h) + cost: si deduce che, dato che su una superficie isobarica p = cost ed Ep,m = cost anche la densità ρ = cost .

p = p 0 + ρρρρg h

Superfici isobaricheSuperfici isobariche

g

pph

ρ21 −=

Per lo stesso motivo vale il principio dei vasi comunicanti (figura 9.10). “il livello di un liquido contenuto in contenitori di dimensione,volume e forma diversi comunicanti fra loro e’ costante

Manometro a U

In un tubo a forma di U, riempito con un liquido, (figura 9.11). se le pressioni p1 e p2 sono uguali, le superfici libere si trovano allo stesso livello in base al principio dei vasi comunicanti. Se invece p1 > p2 le superfici si dispongono in modo che

Principio di Torricelli : Se p2= 0 e p1 = patm si ricava “ la pressione di un fluido e’ pari al peso di una colonna di fluido di sezione unitaria (ρgh)”.

La realizzazione pratica del principio di Torricelli e’ il barometro a colonna ( Figura 9.13). Se il liquido usato e’ mercurio (ρ =13.56 103 kg/m3) la colonna di mercurio misura la pressione atmosferica. Al livello del mare e a 0°C h = 760 mm da cui si ricava :

patm = 1.0113 105 Pa (pressione atmosferica normale)

p = p 0 + ρρρρg h

Principio di ArchimedePrincipio di Archimede“Un corpo immerso in un fluido e’ soggetto ad una forza dal basso all’ alto pari al perso del fluido spostato”

Il principio di Archimede esprime il fatto un volume di fluido eguale a quello del corpo e’ in equilibrio tra la forza peso e le forze che il fluido circostante esercitano sul volume stesso.

La risultante di queste forze e’ una forza diretta verso l’alto e pari al peso del volume di liquido

pertanto0=+=+ gFFF pVp m ggFp Vm ρ−=−=

Vp FggF ≠−=−= Vm '' ρ ggFFF VmVpt )'(' ρρ −=−=+=e la forza totale

Se il volume di liquido e’ sostituito un corpo con eguale forma ma diversa densità ρ’ la forza di pressione esercitata dal liquido rimane la stessa ma ill peso diventa

Un corpo solido la cui densità media sia

• superiore a quella del fluido affonda

• inferiore a quella del fluido emerge dal fluido (galleggia) fino al livello (detto di galleggiamento) a cui il peso del corpo sommerso e’ eguale alla spinta di Archimede

Perché il ghiaccio galleggia sull’ acqua ?Perché il ghiaccio galleggia sull’ acqua ?Esempio I Un iceberg galleggia perché l’acqua ha una densità massima allo stato liquido (1 103 kg/m3 a 4 °C), e il ghiaccio ha una densità inferiore (0. 92 103 kg/m3):

Il peso dell’ iceberg e’ Wi =ρig Vi , quello dell’ acqua, che provoca la spinta di galleggiamento e’ Ww =ρwg Vw . Per il principio di Archimede il galleggiamento si verifica quando.

Wi = ρig Vi = Wi = ρwg Vw

ossia

Vw= Vi (ρi / ρw) = Vi (0.92 / 1.03)= 0.89 Vi

ossia quando circa il 90% del volume di un iceberg e’ immerso

Esempio 2Esempio 2 QualeQuale volumevolume di eliodi elio devedeve avereavere un un pallonepallone stratosfericostratosferico per per sollevaresollevare M = 100 Kg?M = 100 Kg?

il peso del pallone e’:il peso del pallone e’:

390m0.179)kg/m(1.29100kg

ρρ

100kgV 3

hearia

≈−

=−

=

100kg)gV(ρVgρ

100kg)g(mp

Hearia

He

+=+=

pertanto:pertanto:

Esercizi sulla statica dei fluidiEsercizi sulla statica dei fluidiLeva pneumatica

Nella leva pneumatica, un peso F2 caricato su un pistone superficie S2 e’ sollevato applicando una forza F1 ad un pistone di superficie S1

Dato che il liquido e’ incompressibile, e’p1 = F1/ S1 = p2 = F2/ S2

Pertanto:F2= F1 S2 / S1

la leva permette di sollevare grandi pesi con forze modeste.

Legge di Stevino applicata a due fluidi

Due liquidi di densità diverse e non mescolabili sono posti in un tubo a U. Calcolare il rapporto tra le altezze raggiunte dalle due superfici libere

Prendendo come riferimento la superficie di separazione dei due liquidi e applicando la legge di Stevino ad entrambi i liquidi

Ossia:

2211 ghpghp atmatm ρρ +=+

1

2

2

1

ρρ=

h

h

Misure di densità e di volumeMisure di densità e di volume

ρL = ρ (V/ Vs)= ρ (h/ hs)=

Misura di volume e densità di un corpo solido

La forza di Archimede e’ utile per la misura di densità e volume di un corpo solido di forma irregolare. Infatti :

• Si misura il peso del corpo con un dinamometro:T1= mcg = ρcgV

• Si compie la stessa misura con il corpo immerso in un liquido didensità nota (e.g. acqua): T2= mcg – mag = T1 – g ρaV

• Il volume del corpo e’ : V = (T1 – T2)/ g ρa

• La densità del corpo è ρc = mc/V =[T1 /(T1 – T2)] ρa

Misura densità di un liquido• Si fa galleggiare sul liquido di densità ρL ignota un corpo solido di

densità nota e di dimensioni regolari (e.g. un parallelepipedo).

• : In equilibrio e’ :

g ρaV = g ρLVs dove Vs e’ il volume di liquido spostato

Pertanto: