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Precorso di Matematica
Maria Margherita Obertino [email protected]
Davide Ricauda
MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali
Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle scuole superiori, richiesti per seguire con profitto il corso di matematica.
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Programma del precorso Cenni agli insiemi numerici Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi Potenze di dieci Proporzioni Percentuali Algebra dei polinomi Monomi e polinomi Operazioni elementari con monomi e polinomi Raccoglimento a fattor comune Algoritmo per la divisione di due polinomi Divisione con la regola di Ruffini Regola del resto Prodotti notevoli e triangoli di Tartaglia Scomposizione in fattori Equazioni algebriche di I e II grado Equazioni di I grado intere e fratte Equazioni di II grado intere e fratte
M. Obertino
Sistemi di equazioni Disequazioni algebriche e sistemi di disequazioni Disequazioni di I e II grado intere e fratte Sistemi di disequazioni Valore assoluto Radicali Radicali aritmetici ed algebrici Proprietà ed operazioni con i radicali Razionalizzazione del denominatore e radicali doppi Cenni alle equazioni e disequazioni irrazionali Logaritmi ed esponenziali Logaritmi, proprietà e operazioni Equazioni logaritmiche Equazioni esponenziali
D. Ricauda
Totale ore: 19 (prime 3 settimane del corso)
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R. D’Ercole: Precorso di matematica per Economia e Scienze, Pearson
Testo di riferimento
N.B.1: questo testo non è obbligatorio, se avete già altri libri (universitari o delle scuole superiori) che trattano gli argomenti in programma usate quelli! N.B.2: questo non è il testo per il corso di Matematica!
à MyMathlab: piattaforma e-learning con numerosi esercizi da svolgere per ciascuno degli argomenti trattati
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Sono disponibili sulla piattaforma Moodle, corso Matematica (AGR0047) § le slide utilizzate a lezione § la soluzione degli esercizi svolti in classe
http://elearning.moodle2.unito.it/disafa/course/view.php?id=64
Piattaforma Moodle
Programma della prima lezione
§ Cenni sugli insiemi numerici: Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi à § 1.1, 1.2, 1.6 del testo
§ Proprietà delle potenze
§ Potenze di 10 e notazione scientifica
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Gli insiemi Un insieme è una collezione di elementi: § ben definiti à gli elementi devono obbedire ad un preciso criterio
che indica la loro appartenenza all’insieme; il criterio deve essere preciso in modo tale da stabilire senza ambiguità l’appartenenza all’insieme
§ ben separati à non devono esserci elementi non distiguibili l’uno dall’altro
L’insieme delle persone alte à
L’insieme delle persone di altezza maggiore di 1.8 m à
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, i loro elementi con le lettere minuscole
Insieme vuoto: insieme privo di elementi [ ] ∅
non soddisfa la prima condizione, NON è un insieme
è un insieme!
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Rappresentazioni degli insiemi Forma estensiva à si elencano gli elementi dell’insieme
Es. I = {3,4,5,6} Forma intensiva à si specifica la proprietà caratteristica dell’insieme Es. I = {x | } Rappresentazione grafica à diagrammi di Eulero-Venn
2 < x < 7, x ∈ N
I . 3
. 4
. 5 . 6
4∈ I2 ∉ I
∈
∉
∀
∃
∃!∃
à Appartiene
à Non appartiene
à Per ogni
à Esiste
à Esiste ed è unico
à Non esiste
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Sottoinsiemi Dati due insiemi A e B si dice che B è sottoinsieme di A se …. … ogni elemento di B appartiene a A
“A contiene B”
“B è incluso in A”
Se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B, B è un sottoinsieme proprio di A
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Operazioni fra insiemi Intersezione tra due insiemi A e B: insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi.
A∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Unione tra due insiemi A e B: insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad almeno uno dei due insiemi.
A∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
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Insiemi numerici
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Insieme dei numeri naturali (I) N = {0,1,2,3,…n…} (insieme discreto).
Operazioni sempre possibili:
§ addizione
§ moltiplicazione
“N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione”
∀m,n ∈ N→ (m+ n)∈ N∀m,n ∈ N→ (m ⋅n)∈ N
N0 = N-{0}
Sottrazione
∀m,n ∈ N→ (m− n)∈ N solo se m ≥ n
Divisione ∀m,n ∈ N→ (m / n)∈ N solo se m multiplo di n
4− 2 ∈ N2− 4∉ N
Es.
4 / 2 ∈ N4 / 3∉ N
Es.
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Insieme dei numeri naturali (II) Proprietà di addizione e motiplicazione § Commutativa:
§ Associativa
§ Distributiva del prodotto sulla somma
§ Esistenza dello zero
§ Esistenza dell’unità
§ Leggi di cancellazione
∀m,n, p∈ N→ (m+ n)+ p =m+ (n+ p)→ (m ⋅n) ⋅ p =m ⋅ (n ⋅ p)
∀m,n ∈ N→m+ n = n+m→ m ⋅n = n ⋅m
∀m,n, p∈ N→ (m+ n) ⋅ p =m ⋅ p+ n ⋅ p
∀m ∈ N→m+ 0 = 0+m =m
∀m ∈ N→m ⋅1=1⋅m =m
∀m,n, p∈ N→m+ p = n+ p→m = n∀m,n, p∈ N, p ≠ 0→m ⋅ p = n ⋅ p→m = n
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N è un insieme totalmente ordinato è vera una sola delle seguenti relazioni:
m<n m=n m>n N è un insieme induttivo
∀m,n ∈ N,m ≠ n,∃!p∈ N0tale che m = n+ p o n =m+ p
m>n m<n
∀m,n ∈ N
0 ∈ Nn ∈ N→ n+1∈ N
Insieme dei numeri naturali (III)
L’elemento n+1 si dice successivo del numero naturale n
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Insieme dei numeri interi relativi (Z)
Z = {….-2, -1, 0,1,2,3,…n…} (insieme discreto)
N ⊂ Z
Valgono le proprietà di somma e prodotto viste in precedenza ∀m,n ∈ Z m− n ∈ Z
Z è un ampliamento di N
∀m ∈ Z ∃!m* :m+m*= 0 m*= −m
Modulo o valore assoluto di m [ |m| ] il numero che si ottiene trascurando il segno
Es. |-5| = 5
Due numeri opposti hanno lo stesso modulo: es. |-5| = |5| = 5
Volendo eseguire la sottrazione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l’insieme dei numeri interi relativi.
m* è l’opposto di m
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Insieme dei numeri razionali (Q)
Q = {mn| m,n ∈ Z, n ≠ 0 }
∀mn∈Q : −m
nopposto
Volendo eseguire la divisione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l’insieme dei numeri razionali o frazionari
m ⋅n > 0→ mnpositivo
nm
inverso
Q è un insieme denso: fissati arbitrariamente due numeri razionali esiste sempre un numero razionale fra essi compreso
m ⋅n < 0→ mnnegativo
Un numero razionale si può sempre rappresentare come un numero decimale limitato o un numero decimale illimitato periodico:
34= 0.75 65
14= 4,64285714285714...=4,64285714
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Insiemi dei numeri irrazionali I numeri decimali illimitati non periodici costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali. Numeri irrazionali algebrici: si ottengono come radice di un’equazione algebrica a coefficienti interi:
a0xn + a1xn-1 + …an-1x + an = 0 con Es. 2 =1,4142135623731...
Numeri irrazionali trascendenti: non sono radici di alcuna equazione algebrica
Es. π = 3,14159265358… rapporto tra la circonferenza e il suo diametro numero di Nepero e =
n→∞lim(1+ 1
n)n = 2,71828...
Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale e con la funzione logaritmo naturale.
a0,...an ∈ Z, n ∈ N, a0 ≠ 0
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Insiemi dei numeri reali (R) L’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali costituisce l’insieme dei numeri reali R
R= Q + {Irrazionali}
viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i numeri reali: à ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale. Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il punto si trova a destra di O e negativo altrimenti. à ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta
0 U 2U 3U …
Se su una retta si fissano: § un orientamento § un punto O (origine) a cui si associa il valore 0 § a destra di O, un altro punto U (punto unità) a cui si associa il valore 1
R è un insieme completo
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Insiemi dei numeri complessi (C)
C = {a+ ib | a,b∈ R}
Parte reale
Parte immaginaria
Unità Immaginaria:
R ⊂C
L’operazione di estrazione di radice non ha sempre soluzione in R
Es. −2 ∉ R→ non esiste b∈ R | b2 = −2
i = −1 ∉ R
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Le potenze Si dice potenza di un numero il prodotto di più fattori tutti uguali al quel numero.
€
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ....⋅ an volte
a à base n à esponente
Es. 23 = 2x2x2 = 8
a0 =1
a1 = a
a−n = 1an
Es. 60 = 1 100 = 1 ….
Es. 61 = 6 101 = 10 ….
Es 6−3 = 163=
16 ⋅6 ⋅6
=1216
N.B. “Quando si porta una potenza da sopra a sotto la linea di frazione (e viceversa) si deve cambiare segno all’esponente!”
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Proprietà delle potenze
an ⋅am ⋅ap = an+m+p
Es. 23 x 25 x 2-4 x 22= 23+5-4+2 = 26 N.B. La somma degli esponenti è algebrica!
an ⋅bn ⋅cn = (a ⋅b ⋅c)n
Es. 33 x 23 x 73 x 53= (3x2x7x5)3 = 2103
1. Prodotto di potenze con stessa base e diverso esponente
2. Prodotto di potenze con base diversa e stesso esponente
(an )m = anm
(24 )3 = 212Es.
3. Potenza di potenza
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Proprietà delle potenze
an
am= an ⋅a−m = an−m
an
bn= (ab)n
54
57= 54 ⋅5−7 = 54−7 = 5−3 = 1
53=1125
Es.
143
73= (147)3 = 23 = 8Es.
4. Rapporto di potenze con stessa base e diverso esponente
5. Rapporto di potenze con base diversa e stesso esponente
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Esercizi
133⋅[ 5
3 ⋅55
52 ⋅54+3− 2
3 ⋅2(22 )2
]
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7.
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−43
21
21
( )( ) =+− 222
( ) ( ) =−+ 33 32
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−84
21
21
( ) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−3
5
313
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−32
121
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=1281.R
[ ]8. −=R
[ ]216. −=R
[ ]16.=R
[ ]9.=R
[ ]64.=R
R. =1[ ]
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m√an = an/m
È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a: n a
( ) anaaa nnnn =⋅⋅= volte)( !
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
4−
327;28 33 −=−=
525 ±=
Una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione:
a = radicando n = indice
Radice di un numero
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Notazione scientifica
Parte numerica: numero compreso tra 1 e 9,999..
Potenza di 10: lʼ’esponente rappresenta il numero di posti decimali di cui occorre spostare la virgola
Un qualunque numero reale può essere scritto in notazione scientifica, ossia come un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso) moltiplicato per una potenza di 10.
5.213·10-7
à 5.213·10-7 = 5.213· 0.0000001 = 0.0000005213
100 = 1 101 = 10 102 = 10·10 = 100 ……. 106 = 1000000 ……
10-1 = 1/101 = 0,1 10-2 = 1/102 = 0,01 10-3 = 1/103 = 0,001 ……. 10-6 = 0,000001 …….
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Convertire da notazione scientifica a notazione ordinaria
Il prodotto di un numero per una potenza 10n con esponente positivo si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n posizioni verso destra
Esempi: 3·10 = 3,000·101 = 30 1,5·102 = 1,5000·102 = 150
1,543·104 = 1,54300·104 = 15430
Il prodotto di un numero per un potenza 10-n con esponente negativo, si ottiene invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni verso sinistra.
Esempi: 3·10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3 1,5·10-2 = 1,5/100 = 0,015
1,5·10-4 = 0,00015
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Convertire da notazione ordinaria a notazione scientifica
Se il numero è M ≥10: § sposto la virgola verso sinistra fino ad ottenere un numero m tale
che 1≤m<10 § scrivo M = m·10n con n numero di posizioni di cui ho spostato la
virgola
Esempio: 160000 = 1,6·105
Esempio: 0,00000175 = 1,75·10-6
Se il numero è M <1: § sposto la virgola verso destra fino ad ottenere un numero m tale
che 1≤m<10 § scrivo M = m·10-n con n numero di posizioni di cui ho spostato la
virgola
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Convertire da notazione decimale a notazione scientifica (o
viceversa) i seguenti numeri:
0,035 =
324000 =
0,000742 =
9450000 =
7,16·107 =
3.2·10-5 =
Esercizi