LE DISEQUAZIONI

DEFINIZIONE: Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si

vuole stabilire quali valori delle lettere rendono la disuguaglianza vera.

Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni.

Ad esempio la disequazione x - 4 0 e' verificata per tutti i valori della x maggiori di 4, cioe' se al

posto della x metto 5, 6, oppure 4,2 e' vero che il primo termine della disuguaglianza e' maggiore o

uguale al secondo

Altro esempio:

x-6>0 è verificata da tutti i numeri maggiori di 6.

L’insieme delle soluzioni è {x E R| x > 6 }

Risolvere una disequazione significa quindi trovare gli intervalli dei valori che sostituiti alla x

rendono la diseguaglianza vera

In una disequazione possiamo trovare solo i valori maggiori > oppure minori < di qualcosa

oppure possiamo trovare i valori maggiori e uguali oppure minori e uguali .

I SIMBOLI USATI

Nelle equazioni, fra i due membri, si utilizza solo il simbolo =.

Invece, nelle disequazioni può comparire uno dei quattro simboli:

< (minore)

> (maggiore)

≤ (minore o uguale)

≥ (maggiore o uguale)

I simboli ≤ e ≥ indicano condizioni meno restrittive. Per esempio, la disequazione:

x+4≤6

è verificata da tutti i numeri minori di 2 e anche dal numero 2, mentre la disequazione:

x+4<6

è verificata soltanto da tutti i numeri minori di 2. In questo caso il numero 2 non è soluzione.

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LA RAPPRESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI

Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione, possiamo utilizzare la retta

orientata, i cui punti corrispondono ai numeri reali.

I due simboli -∞(meno infinito) e +∞(più infinito) stanno ad indicare che la retta è illimitata da

entrambe le parti. Essi non rappresentano alcun numero reale.

Sulla retta orientata si fa uso delle seguenti convenzioni:

-una linea continua rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione;

-una linea tratteggiata rappresenta l’insieme dei valori che non sono soluzioni;

-un cerchietto pieno su un punto indica che il valore corrispondente è una soluzione;

-un cerchietto vuoto su un punto indica che il valore corrispondente non è una soluzione.

Spesso le soluzioni sono sottoinsiemi di R costituiti da tutti i valori che precedono un certo numero,

o da quelli che lo seguono, o dai valori compresi fra due numeri. Insiemi di questo tipo vengono

detti intervalli. Si parla quindi di intervallo delle soluzioni.

L’intervallo può essere indicato dalla coppia degli estremi, ordinati dal più piccolo al più grande,

separati da un punto e virgola e racchiusi fra parentesi quadre. Per esempio, l’intervallo di estremi a

e b, con a<b, si indica [a;b].

L’orientamento delle parentesi indica se gli estremi sono inclusi o esclusi:

[a;b] indica che gli estremi sono inclusi;

]a;b[ indica che gli estremi sono esclusi;

[a;b[ indica che l’estremo di sinistra è incluso, mentre è escluso quello di destra;

]a;b] indica che l’estremo di sinistra è escluso, mentre è incluso quello di destra.

Esempio:

l’intervallo delle soluzioni x>5

si può rappresentare così: ]5;+ ∞[.

Infatti, sia 5 sia +∞ sono esclusi.

Un intervallo è aperto se non comprende i suoi estremi, è chiuso se li comprende.

RISOLUZIONE DELLE DISEQUAZIONI

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Per risolvere le disequazioni, si usano regole che derivano dalle proprietà delle disuguaglianze

numeriche.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa

equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso polinomio.

La disequazione: 2x-3<x+5

È equivalente alla disequazione x-3>5,

ottenuta aggiungendo –x a entrambi i membri.

Possiamo anche dire che il termine x è stato trasportato al primo membro, con il segno cambiato.

In generale, un termine può essere trasportato da un membro all’altro di una disequazione

cambiandolo di segno.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: per trasformare una disequazione in una equivalente

si possono moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero positivo. In

alternativa, si possono moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per un numero negativo e

cambiare il verso della disequazione.

In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e si inverte il suo verso, si

ottiene una disequazione equivalente.

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DISEQUAZIONE DI PRIMO GRADO

Una disequazione si dice di primo grado quando la x vi compare a potenza 1.

Ad esempio: x - 4 3x +2

e' una disequazione di primo grado

Per risolvere la disequazione valgono le stesse regole delle equazioni di primo grado con una

grossissima differenza:

Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare di verso la disequazione

Porto le x prima dell'uguale ed i numeri dopo l'uguale; chi salta l'uguale cambia di segno.

x - 3x 2 + 4

ottengo -2x 6

Divido entrambi i membri per -2 e contemporaneamente cambio di verso la disequazione

Semplifico e ottengo:

Quindi la soluzione e' l'insieme delle x minori od uguali a -3

Si puo' indicare anche nei seguenti modi:

oppure

Graficamente possiamo rappresentare così la soluzione ottenuta:

Esempio:

2x-3 < 4x-7

2x-4x < 3-7

-2x < -4

2x > 4 si deve cambiare il verso in quanto si è cambiato il segno in entrambi i membri

x> 2.

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare il segno del polinomio di secondo

grado ax2 + bx + c > 0 oppure ax2 + bx + c < 0

Considero il polinomio di secondo grado ax2 + bx + c = 0 (equazione associata)

Per determinarne il segno consideriamo sempre il caso in cui a > 0 (se fosse a minore di zero

basterebbe moltiplicare tutto per -1 e in tal caso ricorda di cambiare il verso alla disequazione)

Distinguiamo i tre casi

Delta del polinomio maggiore di zero

Delta del polinomio uguale a zero

Delta del polinomio minore di zero

1) Delta del polinomio maggiore di zero

Voglio trovare il segno del polinomio di secondo grado ax2 + bx + c

Considero l'equazione associata ax2 + bx + c = 0

Se il discriminante dell'equazione e' maggiore di zero allora ho due soluzioni x1    e    x2    reali e

distinte:

Raccogliendo i risultati avremo:

Cioe' se il delta e' maggiore di zero il trinomio e' positivo per valori esterni all'intervallo delle radici

ed e' negativo per valori interni (naturalmente anche a deve essere > 0).

ax 2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

valori esterni all'intervallo delle radici valori interni all'intervallo delle radici

2) Delta del polinomio uguale a zero

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Se il discriminante dell'equazione e' uguale a zero allora ho due soluzioni

x1 = x2 reali e coincidenti

Quindi avremo:

Se il delta e' uguale a zero il trinomio e' positivo per tutti i valori eccetto il valore per cui si annulla

Quando il delta vale zero le soluzioni dell'equazione di secondo grado valgono -b/2a

ax 2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

tutti i valori eccetto -b/2a per cui si annulla nessun valore

3) Delta del polinomio minore di zero

Se il discriminante dell'equazione e' minore di zero allora non ho nessuna soluzione quindi non

posso fare riferimento ad x1 ed x2

Se il delta e' minore di zero il trinomio e' sempre positivo per tutti i valori della x

ax 2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

sempre verificato per ogni valore di x mai verificato

Possiamo semplicemente sintetizzare le conclusioni precedentemente trovate nella seguente tabella

nella quale con x1, x2 indichiamo le due radici

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    a>0   a<0 

Valori esterni all'intervallo delle radicix<x1 x>x2

Valori interni all'intervallo delle radicix1< x<x2

Tutti i valori diversi dax1=x2

xR–{x1}nessun valore di x

Tutti i valori di xxR

nessun valore di x

 

Risultati opposti si ottengono per la disequazione

    a>0   a<0 

Valori interni all'intervallo delle radicix1< x<x2

Valori esterni all'intervallo delle radicix<x1 x>x2

nessun valore di xTutti i valori diversi dax1=x2

xR–{x1} nessun valore di x xR

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