Lezioni di Matematica 3 - uniroma1.it

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L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni

Lezioni di Matematica 3per il triennio

front_Lamberti_LezMate_3 4-12-2007 15:37 Pagina 1

ISBN 978-88-4514471-4

© 2008 RCS Libri S.p.A. - Milano

Prima edizione: gennaio 2008

Ristampe:2008 2009 2010 2011

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Stampa: Tipografica Varese, Varese

Coordinamento editoriale Isabella RandoneRedazione Giovanna SergioProgetto grafico Studio Mizar, BergamoImpaginazione GrandeforEdit, Monza (MI)Disegni Gianfranco Gilli, TorinoCopertina Basile & Panetta, Milano

In copertina: la spirale logaritmica, studiata fin dall’antichità da Archimede, si ritrova in molte strutture naturali,come quella del Nautilus pompilius.

Derive 6 è un marchio depositato di Texas Instruments Incorporated. Cabri-Géomètre II Plus e Cabri-Géomètre 3D sono marchi depositati di Cabrilog.Microsoft Excel è un marchio depositato di Microsoft Corporation.

I diritti di traduzione e riproduzione, totali o parziali anche a uso interno e didattico con qualsiasi mezzo, sonoriservati per tutti i Paesi.

Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietropagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941 n. 633 ovvero dal-l’accordo stipulato tra SIAE, AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO,CONFESERCENTI il 18 dicembre 2000.

Le riproduzioni per uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superioreal 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romanan. 108, 20122 Milano, telefax 02 89280864, e-mail: [email protected]

La realizzazione di un libro presenta aspetti complessi e richiede particolare attenzione nei controlli: per questo èmolto difficile evitare completamente errori e imprecisioni. L’Editore ringrazia fin da ora chi vorrà segnalarli alleredazioni.Per segnalazioni o suggerimenti relativi al presente volume scrivere a:Direzione Editoriale RCS Libri S.p.A. - Divisione Education - via Mecenate 91 - 20138 Milano Fax 02 5095 2351

L’editore è presente su Internet all’indiritto: http://www.etas-scuola.itIndicazioni e aggiornamenti relativi al presente volume saranno disponibili sul sito.Per qualsiasi comunicazione all’Editore tramite posta elettronica scrivere a: [email protected]

L’Editore è a disposizione degli aventi diritto con i quali non è stato possibile comunicare per eventuali involonta-rie omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti dei brani o delle illustrazioni riprodotte nel presente volume.L’Editore si scusa per i possibili errori di attribuzione e dichiara la propria disponibilità a regolarizzare.

Le immagini utilizzate nel presente volume non vanno interpretate come una scelta di merito da parte dell’Editore,né come invito all’acquisto di prodotti. Le illustrazioni o riproduzioni sono state riportate a scopo esclusivamentedidattico.

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III

Lamberto Lamberti, Laura Mereu e Augusta Nanni hanno alle spalle una lunga e importante carriera diautori di testi di Matematica per la scuola secondaria di secondo grado.Dopo varie pubblicazioni nel settore della manualistica scolastica, si può affermare che il presenteLezioni di Matematica recepisca tutto il meglio dell’esperienza maturata da questi autori, ivi compre-sa l’impostazione decisamente innovativa del Corso di Matematica per il biennio, di recente pubblica-zione, del quale Lezioni di Matematica costituisce il naturale prolungamento in termini di continuitàdidattica.Grazie ad anni di presenza sul mercato dei precedenti corsi di Matematica firmati da questi autori,Lezioni di Matematica sfrutta il vantaggio di fornire risposte pronte e positive a tutte le indicazioni dilavoro pervenute negli anni dai numerosi docenti di Matematica della scuola italiana che hanno adot-tato e utilizzato in classe i corsi di Lamberti, Mereu e Nanni pubblicati da ETAS.

La teoriaIl corpo centrale della stesura, la teoria, ha subìto interventi di perfezionamento del linguaggio nonchéalcuni ritocchi alla collocazione degli argomenti nei volumi del triennio, ora più aderenti alle esigenzedei docenti.

La veste graficaPur trattandosi di un aspetto a volte considerato secondario in testi di Matematica, già a un primo sguar-do, il progetto della pagina si presenta con una veste grafica del tutto nuova, appositamente studiataper mettere meglio in luce le proprietà geometriche delle figure e rendere più chiari i passaggi mate-matici. Per la prima volta, inoltre, si è fatto ricorso all’uso dei quattro colori, realmente finalizzato auna migliore fruizione del testo e, soprattutto, a una migliore comprensione delle illustrazioni.

Le conferme del metodo Lamberti, Mereu, NanniQuesto nuovo corso conferma peraltro le linee didattiche e metodologiche nelle quali si riconosconoormai numerosi docenti. In primo luogo, il modo di porgere la materia, di introdurre gli argomenti tra-mite esempi, di procedere per generalizzazioni e di mantenere vivo l’interesse culturale.Questi nuovi volumi recepiscono inoltre i suggerimenti metodologici emersi nelle sperimentazioni, gli in-dirizzi matematici e didattici indicati dall’UMI (Unione Matematica Italiana), le proposte di riforma ma-turate a livello ministeriale, anche tenendo conto dei temi proposti negli ultimi anni all’Esame di Stato.

Gli apparati didatticiIl corredo didattico alla teoria è forse l’aspetto sul quale gli autori si sono maggiormente concentrati,in particolare nel nuovo e più ampio repertorio di esercizi perfettamente graduati e diversificati. Perogni argomento sono proposti numerosi esercizi di primo livello, ordinati per difficoltà crescente. Aquesti seguono esercizi più complessi e non ripetitivi, che richiedono conoscenze pregresse più ampiee collegamenti tra i vari contenuti.

Prefazione

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Prefazione

IV

All’inizio delle diverse tipologie di esercizi è inserito un esercizio risolto che introduce lo studente al-la risoluzione degli esercizi proposti nel seguito.A conclusione di un argomento sono spesso inseriti esercizi di riepilogo che mirano alla revisione som-mativa dei contenuti sviluppati.Questo nuovo corso, inoltre, si arricchisce di apparati didattici sinora mai pubblicati da questi autori.Si tratta in particolare di:

Test di verifica: posto alla fine di ogni capitolo, è un test a risposta multipla per effettuare un rapido dicontrollo della comprensione dei concetti trattati.Quesiti: domande per valutare la conoscenza di argomenti teorici, che simulano un’interrogazioneorale.Vero o falso?: proposizioni non banali per valutare un grado di comprensione non superficiale.Quesiti a risposta multipla: esercizi con calcoli semplici che tendono a verificare conoscenze e abi-lità su un certo numero di argomenti. Lo studente deve scegliere le risposte corrette (a volte più di una).Tale tipologia di esercizi abitua lo studente ad affrontare eventuali test e gare di Matematica.

Laboratorio di informaticaDi nuova pubblicazione nel triennio, infine, vi sono i Laboratori di Informatica che completano ciascunargomento. Ogni Laboratorio corrisponde a un’utile esercitazione di circa due ore in aula diInformatica: l’obiettivo è stimolare l’interesse degli studenti e suggerire metodi di indagine nuovi.Gli argomenti proposti nei Laboratori evitano di banalizzare il computer alla stregua di una modernacalcolatrice: viceversa, invitano lo studente a servirsene per esplorare problemi diversi, sia per quantoriguarda la complessità di calcolo sia per quanto attiene propriamente la sperimentazione di algoritmi.La scelta dei software di riferimento, ossia Derive e Cabri Géomètre, risponde a criteri di apprezza-mento in ambito didattico, semplicità d’uso, disponibilità nelle scuole.

Lezioni di Matematica 3: le novità introdotteIl volume di classe quinta si apre con un capitolo dedicato allo studio delle successioni e delle serienumeriche, quindi affronta il calcolo differenziale che è ripartito su quattro capitoli: nel primo, si intro-duce la derivata e si sviluppano i concetti legati alle operazioni di derivazione, incluso il concetto diprimitiva che sarà usato successivamente nell’integrazione.Nel capitolo 3 si studiano i teoremi fondamentali del calcolo. Lo studio dei grafici, cui è dedicato ilcapitolo 4 considera anche curve in coordinate polari e, più in generale, in forma parametrica. Curve diquesti tipi erano già state considerate, nei casi semplici, nei volumi precedenti; ora vengono studiate,in casi di maggiore complessità, con i metodi dell’analisi.Tramite i grafici si considera il calcolo approssimato delle radici di un’equazione: la via grafica sug-gerita permette valutazioni qualitative mentre il metodo di bisezione, che verrà sviluppato nel capitolo9, offre una soluzione quantitativa semplice.Gli argomenti di calcolo differenziale si concludono con i problemi di massimo e minimo di una fun-zione in un intervallo e con l’approssimazione di Taylor.La teoria dell’integrazione è ampiamente sviluppata nei capitoli 7 e 8.Il volume termina con due capitoli, dedicati rispettivamente al calcolo approssimato e alle equazionidifferenziali. Nel testo sono presenti argomenti che costituiscono un ampliamento del programma: ne sono un esem-pio le equazioni differenziali, che tuttavia, consentendo una trattazione unificata di numerosi problemiapplicativi, meritano di essere proposte all’attenzione degli studenti. Il docente, se lo ritiene opportu-no, può comunque trarne spunto per diversificare il programma e creare nuovi punti di interesse.

Alla fine del volume un intero capitolo è dedicato alla preparazione agli esami con prove di simula-zione che spaziano su tutto il programma dei cinque anni di liceo e che permettono allo studente divalutare il proprio livello di preparazione.Chiude il volume il capitolo 12, che raccoglie i temi assegnati agli Esami di Stato a partire dall’anno sco-lastico 1995-1996.

Anche la parte degli Esercizi è stata rivista e ampliata finalizzandola all’esame di Stato; perciò sonopresenti alla fine di alcuni capitoli temi composti da due problemi e otto quesiti, che costituiscono unbanco di prova per lo studente in vista della prova scritta di esame.

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V

Successioni e serienumeriche

1. Successioni numeriche 1Rappresentazione grafica, 2Successioni monotòne, 3

2. Limiti delle successioni 4Successioni convergenti, 4Successioni divergenti, 5Successioni indeterminate, 6

3. Teoremi e operazioni sui limiti delle successioni 6Somma di due successioni, 7Prodotto di due successioni, 7Quoziente di due successioni, 7

4. Successioni aritmetiche 85. Successioni geometriche 96. Il numero e come limite

di una successione 117. Generalità sulle serie numeriche 12

Serie telescopiche, 148. Serie geometriche 15

Numeri periodici, 16Altre serie geometriche, 16

9. Criterio di convergenza di Cauchy 17Resto di ordine n, 18

10. Combinazioni lineari di serie 1811. Serie a termini di segno costante 1912. Convergenza assoluta 21

Criteri di convergenza assoluta, 2213. Serie a termini di segno alterno 25

Quesiti di verifica 27

Laboratorio di informatica 291. Le successioni con DERIVE, 29 – 2. La ricerca dellimite di una successione, 29 – 3.Successioni ricorsi-ve, 30 – 4. Serie geometriche, 31 – 5. Il numero e, 31

Esercizi 33Successioni, 33 – Limiti delle successioni, 35 –Successioni aritmetiche e geometriche, 39 – Serienumeriche, 46 – Serie telescopiche, 47 – Serie geo-metriche, 48 – Criterio del confronto, 52 –Combinazioni lineari di serie, 52 – Criteri di con-vergenza assoluta, 52 – Serie a termini di segnoalterno, 53 – Esercizi di riepilogo, 54

Le derivate

1. Introduzione 552. Definizione di derivata e suo significato

geometrico 58Rapporto incrementale, 58Derivata in un punto, 59Derivata destra e derivata sinistra, 62Punto angoloso, 62Rapporti incrementali divergenti, 64Derivabilità in un intervallo, 66

3. Continuità delle funzioni derivabili 664. Derivate di alcune funzioni elementari 67

Derivata di una costante, 67Derivata della funzione identica, 68Derivata della funzione sen x, 68Derivata della funzione cos x, 68Derivata della funzione logaritmica, 69Derivata della funzione esponenziale, 69

5. Regole di derivazione 70Derivata della somma, 70Derivata del prodotto, 71Derivata della potenza con esponente naturale, 72Derivata della funzione reciproca, 73Derivata della potenza con esponente intero, 73Derivata del quoziente, 74

6. Derivata della funzione composta 74Derivata di [f (x)]g(x), 76Derivata della potenza a esponente reale, 77Derivate di funzioni pari e dispari, 78

7. Derivata della funzione inversa 79Derivate delle funzioni inverse delle funzioni circolari, 81

8. Funzione derivata prima e funzioni derivate successive 82

9. Primitive di una funzione 83Ricerca di una primitiva che soddisfa una condizione iniziale, 84

10. Differenziale di una funzione 85Significato geometrico del differenziale, 86Approssimazione lineare di una funzione, 87Differenziali e calcoli approssimati, 89

capitolo 2capitolo 1

Indice

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Indice

VI

11. Significato fisico della derivata 90Velocità e accelerazione in un moto rettilineo, 90Intensità di corrente, 92Forza elettromotrice indotta, 92


Laboratorio di informatica 961. Grafico di funzione e derivata con DERIVE, 96 –2. Derivate successive, 98

Esercizi 99Rapporto incrementale, 99 – Definizione di deriva-ta, 101 – Regole di derivazione, 102 – Derivatadella funzione composta, 111 – Derivata della fun-zione inversa, 116 – Derivate successive, 117 –Significato geometrico di derivata, 119 – Derivatadestra e derivata sinistra, 126 – Studio della conti-nuità e della derivabilità, 127 – Differenziale.Calcolo approssimato, 132 – Significato fisico diderivata, 135

Verso la maturità 140

I teoremi del calcolodifferenziale

1. Massimi e minimi 1452. Teoremi di Rolle, di Cauchy,

di Lagrange 150Significato geometrico del teorema di Rolle, 150Un’applicazione del teorema di Rolle, 152Significato geometrico del teorema di Lagrange, 156Funzioni crescenti, 158

3. Forme indeterminate. Teorema di de L’Hôpital 161

Forma indeterminata , 161

Forma indeterminata , 163

4. Limiti notevoli 1655. Punti a tangente orizzontale 1676. Uso delle derivate successive 1697. Osservazioni sui massimi

e minimi locali 1748. Concavità, convessità, flessi 1769. Una proprietà delle funzioni convesse 180

10. Studio dei punti di non derivabilità 182Punti angolosi. Cuspidi. Flessi a tangenteverticale, 182


Laboratorio di informatica 1881. I punti di Lagrange con DERIVE, 188

Esercizi 190Massimi e minimi, 190 – Teoremi di Rolle, diCauchy, di Lagrange, 90 – Teorema di Rolle, 190 –Teorema di Cauchy, 192 – Teorema di Lagrange,194 – Interpretazione cinematica del teorema diLagrange, 196 – Studio di punti di non derivabilità,196 – Funzioni crescenti e decrescenti, 197 –Invertibilità, 200 – Forme indeterminate. Teoremadi de l’Hôpital, 202 – Massimi e minimi relativi,209 – Esercizi con parametri, 211 – Concavità, con-vessità, flessi, 214


Grafici di funzioni

1. Studio del grafico di una funzione 223Polinomi, 223Funzioni razionali, 227Funzioni algebriche irrazionali, 231Funzioni goniometriche, 236Funzioni esponenziali, 238Funzioni logaritmiche, 239Funzioni oscillanti, 241

2. Dal grafico di f al grafico di f ′′ 2453. Discussione grafica di un’equazione 2464. Numero delle radici reali

di un’equazione 248Unicità della soluzione, 249

5. Studio di un moto rettilineo 2506. Studio di curve in forma

parametrica 253Interpretazione cinematica, 253Retta tangente, 257Un’interpretazione del teorema di Cauchy, 260

7. Curve in coordinate polari 261Equazioni polari delle coniche, 264Angolo tra retta tangente e raggio vettore, 265


Laboratorio di informatica 2701. Usiamo DERIVE, 270 – 2. I polinomi hanno quasitutti lo stesso grafico…, 270 – 3. Dal grafico alla (?)funzione, 271

Esercizi 273Studio del grafico di una funzione, 273 – Grafici dipolinomi, 273 – Grafici di funzioni razionali fratte,274 – Grafici di funzioni con moduli 276 – Graficidi funzioni irrazionali, 277 – Grafici di funzioni

capitolo 4

∞∞

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capitolo 3

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VII

Indice

goniometriche, 280 – Grafici di funzioni esponen-ziali, 282 – Grafici di funzioni logaritmiche, 285 –Grafici di funzioni inverse delle funzioni circolari,288 – Discussione grafica di un’equazione parame-trica, 291 – Numero delle radici reali di un’equa-zione, 293 – Studio di un moto rettilineo, 294 –Curve in forma parametrica, 297 – Curve in un rife-rimento di coordinate polari, 305 – Problemi di rie-pilogo, 309 – Problemi geometrici con studio difunzioni, 317 – Grafici soluzione, 328


Massimi e minimi assoluti

1. Massimi e minimi assoluti 333A. Funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, 333B. Funzione continua in un intervallolimitato e aperto e dotata di limiti (finiti o infiniti) agli estremi di tale intervallo, 335C. Funzione continua in un intervallo illimitato e dotata di limite (finito o infinito) per x →∞, 335

2. Massimi e minimi di alcune funzioni composte 337

3. Problemi di massimo e minimo assoluti 339

4. Massimi e minimi per via elementare di funzioni in due o più variabili 344


Laboratorio di informatica 3511. Massimo e minimo, derivata, 351 – 2. Un mini-mo con CABRI, 353

Esercizi 355Massimi e minimi assoluti, 335 – In un intervallochiuso e limitato, 355 – In un intervallo aperto limi-tato o illimitato, 358 – Nel dominio della funzione,360 – Massimi e minimi assoluti per via elementa-re, 362 – Problemi di massimo e minimo assoluto,363 – Problemi di massimo e minimo assolutoapplicati alla geometria piana, 363 – Problemi dimassimo e minimo assoluto applicati alla geometriasolida, 368 – Problemi di massimo e minimo asso-luto applicati alla geometria analitica, 373 –Problemi di riepilogo, 378


Formula di Taylor

1. Il polinomio di Taylor 6832. Massimi, minimi e flessi a tangente

orizzontale 6893. Interpretazione geometrica

dell’approssimazione delle funzionimediante il polinomio di Taylor 391 Tabella dei polinomi di Taylor, 394

4. Serie di Taylor 3955. Sviluppo in serie di alcune funzioni

elementari 396 Serie del seno e del coseno, 396Serie esponenziale, 397


Laboratorio di informatica 3991. Il polinomio di Taylor, 399 – 2. I livelli di appros-simazione, 400

Esercizi 401Formula di Taylor, 401

L’integrale indefinito

1. Funzioni primitive di una funzione data 405Significato geometrico dell’integraleindefinito, 407Proprietà dell’integrale indefinito, 408

2. Integrali indefiniti immediati 409 3. Integrazione delle funzioni razionali 4154. Integrazione di funzioni con moduli 4195. Integrazione per sostituzione 423

Sostituzioni con funzioni iperboliche, 4266. Integrazione per parti 427


Laboratorio di informatica 4321. La tendina Calcola di DERIVE, 432 – Un pro-gramma DERIVE, 433 –

Esercizi 436Integrali indefiniti immediati, 436 – Funzioni iper-boliche, 446 – Integrazione delle funzioni razionali,446 – Integrazioni di funzioni con modulo, 450 –Integrazioni di funzioni definite in più modi, 452 –Integrazione per sostituzione, 453 – Integrazioneper parti, 454 – Esercizi di riepilogo, 457 –Problemi, 461


capitolo 7

capitolo 6

capitolo 5

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Indice

VIII

L’integrale definito

1. Introduzione 4672. Misura di un insieme del piano 4683. Area del trapezoide 470

Somme integrali per difetto e per eccesso,470Il caso del trapezio, 472Il caso della parabola, 474Il caso dell’esponenziale, 475

4. Integrale definito 477Approssimazione di un integrale definito.Somme integrali generalizzate, 478Proprietà, 479Significato geometrico, 479

5. Il teorema della media 480Significato geometrico, 480

6. La funzione integrale: il teorema di Torricelli-Barrow 481Integrazione delle funzioni a scala; 484Derivata di una funzione integrale composta, 485

7. Integrazione per sostituzione 4858. Grafico della funzione integrale 4879. Calcolo di aree di domini piani 490

Area del segmento parabolico, 491Area della regione delimitata dall’ellisse, 491

10. Volumi dei solidi 493Volume della piramide e del cono, 494

11. Volumi dei solidi di rotazione 49411. Lunghezza di un arco di curva 498

Forma cartesiana, 498Forma parametrica, 500Forma polare, 501

13. Il teorema di Guldino 501Superficie di rivoluzione, 501Il baricentro, 503Volumi di rivoluzione, 504

14. Significato fisico dell’integrale definito 505Moto rettilineo, 505Quantità di carica, 506Lavoro di una forza, 506Lavoro della forza gravitazionale, 508Lavoro della forza elettrostatica, 510Energia di una corrente alternata, 510

15. Integrali impropri 51116. Criterio dell’integrale per una serie 516

Serie armonica generalizzata, 517


Laboratorio di informatica 5201. Il calcolo di un integrale con DERIVE, 520 – 2. Ilteorema della media, 520 – 3. L’integrazione persostituzione, 521

Esercizi 523Calcolo di integrali definiti, 523 – Proprietà, 526 –Teorema della media, 526 – La funzione integrale,527 – Funzioni a scala, 531 – Derivata della funzio-ne integrale composta, 532 – Calcolo di aree, 536 –Calcolo di volumi, 542 – Lunghezza di un arco dicurva, 545 – Teorema di Guldino, 549 – Superfici dirivoluzione, 549 – Significato fisico dell’integrale,553 – Integrali impropri, 556 – Criterio dell’inte-grale per una serie, 558 – Esercizi di riepilogo, 560– Grafici soluzione, 584


Calcolo approssimato

CALCOLO APPROSSIMATO DELLE RADICI

1. Introduzione 6852. Metodo di bisezione 6863. Radici di polinomi dispari 6874. Metodi di linearizzazione 6875. Metodo delle tangenti o di Newton 6886. Metodo delle secanti 691

CALCOLO APPROSSIMATO DI UN INTEGRALEPremessa, 594

7. Metodo dei rettangoli 5948. Metodo dei trapezi 5959. Metodo di Cavalieri-Simpson 596

10. Metodo Montecarlo 599


Laboratorio di informatica 6031. Radici con precisione assegnata, 603 – 2. Ilmetodo delle tangenti, 604 – 3. La successione diErone e il comando ITERATES, 605 – 4. Sommeintegrali, 605

Esercizi 607Metodo grafico, 607 – Metodo di bisezione, 607 –Metodo delle tangenti, 608 – Metodo delle secanti,610 – Metodo dei rettangoli, 610 – Metodo dei tra-pezi, 612 – Metodo di Cavalieri-Simpson, 614

Equazioni differenziali

1. Introduzione 615Nozioni generali, 615Rendita dei capitali, 616Legge di caduta dei gravi, 618

capitolo 10

capitolo 9

capitolo 8

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IX

Indice

Il problema di Cauchy, 619Problemi fondamentali, 620

2. Problemi lineari del primo ordine 620L’equazione lineare y′ = ay + b, 620L’integrale generale dell’equazione differenziale, 622Equazioni omogenee e non omogenee, 623Un circuito elettrico, 625Gestione di un prestito, 626Raffreddamento di un corpo, 627Dinamica di popolazioni, 628

3. Problemi lineari del secondo ordine 629Oscillazioni del pendolo, 629Equazioni lineari del secondo ordine omogenee, 631Carrello sottoposto a una forza elastica, 633Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee, 635Circuiti elettrici, 637Oscillazioni forzate, 638Risonanza, 638

4. Complementi 639Equazione logistica, 639L’equazione lineare y′ = a(x)y + b(x), 641Equazioni di Bernoulli, 646Equazioni a variabili separabili, 647


Laboratorio di informatica 6521. Equazioni lineari di primo ordine, 652 – 2. Unafamiglia di problemi, 652 – 3. Rendita di capitali,653 – 4. Strategia di un allevamento, 654 – 5.Equazioni lineari di secondo ordine, 654

Esercizi 656Introduzione, 656 – Equazioni lineari del primoordine, 656 – Equazioni lineari del secondo ordine,

659 – Equazioni lineari del secondo ordine nonomogenee, 660 – Applicazioni alla fisica, 663 –L’equazione lineare y′ = a(x)y + b(x), 667 –Equazioni a variabili separabili, 668

Preparazione all’Esame di Stato

Gruppo 1, 669 Gruppo 2, 671 Gruppo 3, 672 Gruppo 4, 674 Gruppo 5, 676 Gruppo 6, 678 Gruppo 7, 679 Gruppo 8, 681 Gruppo 9, 682 Gruppo 10, 684 Gruppo 11, 685 Gruppo 12, 687 Gruppo 13, 688Gruppo 14, 690 Gruppo 15, 692 Gruppo 16, 694

Temi assegnatiall’Esame di Stato 696

Soluzioni 734

Formulario 738

Indice analitico 745

capitolo 12

capitolo 11

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1c a p i t o l o

Successionie serie numeriche

Successioni numeriche

Ricordiamo brevemente quanto già detto nel § 2.7 del volume 1.

Una successione è una funzione reale che ha per dominio l’insieme dei numeri naturali e puòessere definita in più modi:

1. mediante la formula che definisce il termine n-simo, per esempio:

an = 2n2 + 1 ∀n ∈ �

oppure:

∀n > 1

o anche:

2. per ricorrenza, cioè dando il primo termine (o un numero finito di termini) e la legge chelega un termine al precedente, per esempio:

a0 = 1 an+1 = 3an – 1 ∀n ∈ �

che implica:a1 = 3a 0− 1 = 2 a 2 = 3a 1 − 1 = 5 …

oppure:a0 = 0 a1 = 1 an+2 = an + an+1 ∀n ∈ �

(successione di Fibonacci) i cui primi otto termini sono:

a0 = 0 a1 = 1 a2 = 1 a3 = 2 a4 = 3 a5 = 5 a6 = 8 a7 = 13

n n

nn

3

1

se è pari

se è disparian =

ann = −1

2 2

1

0010.cap1_teo.qxd 14-02-2008 9:26 Pagina 1

Successioni e serie numeriche1capitolo

2

Rappresentazione grafica Comunque sia assegnata la successione, si possono riportare i valori di an sull’asse reale.Per esempio, nel caso della successione definita da:

si osserva (fig. 1.1) che al crescere di n i termini, oscillando attorno a 2, si avvicinano a esso.

Figura 1.1

Nel caso in cui sia nota la legge di formazione dei termini an, come nel caso della successio-ne definita da:

è utile rappresentare i termini della successione utilizzando il grafico della funzione ottenutasostituendo x a n in an:

Considerati i punti del grafico di ascissa intera, le corrispondenti ordinate sono i termini dellasuccessione (fig. 1.2). Sull’asse y sono evidenziati i primi termini della successione. Il compor-tamento all’infinito della funzione associata coincide con il comportamento della successione alcrescere di n.

Figura 1.2

Infine, nel caso di una successione definita per ricorrenza, in cui siano dati il primo terminea0 e la legge f che lega due termini consecutivi, come per esempio per la successione {an}:

an+1 = (an)2

si traccia la curva grafico della funzione f, in questo caso y = x2 e si applica il procedimentografico già utilizzato per le iterate di una funzione (vol. 2, § 14.5).

xO

y

1

5y = —

x + 1

2 3 4 5 6

5

52–

53–

54–

1

a1 =

a 2 =

a 3 =a 4 =

x ≥ 0 per y f xx

= = +( ) 51

n∀ ∈ �ann = +

51

x0

1

2

53– 9

5– 9

4– 5

2–13

6—

n∀ ∈ 0�ann

n= + −

21( )


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3

Successioni e serie numeriche 1capitolo

Se:⎜a0⎜< 1

si osserva che i termini della successione si avvicinano a zero. In figura 1.3 il primo terminea0 è uguale a .

Se: ⎜a0⎜ > 1

i termini della successione crescono indefinitamente. In figura 1.4 il primo termine a0 è ugua-

le a .

In questo caso i termini della successione sono sull’asse x.

Figura 1.3 Figura 1.4

Successioni monotòneUna successione si dice:

� crescente se ∀ n ∈ � risulta an < an+1� decrescente se ∀ n ∈ � risulta an > an+1� non decrescente se ∀ n ∈ � risulta an ≤ an+1� non crescente se ∀ n ∈ � risulta an ≥ an+1

In ognuno di questi casi la successione si dice monotòna.

y

x

y = xy = x2

O —8116

1 —94

—32

a2 = – ,32

4

a3 = –32

8

...32

a0 = – , a1 = – ,32

2

y

xO

y = x

y = x2

—916

181256–– —3

4

a2 = – ,34

4

a3 = –34

8

...34

a0 = – , a1 = – ,34

2

1

32

34

Verifichiamo che la successione definita da:

è decrescente, cioè:an+1 < an ∀n ∈�0

Infatti:

equivale a:ossia

verificata ∀n ∈�0.n

+ <1 1 2nn+ <1 2

n nn n

+ <+1

2 21

a n nn n= ∀ ∈2 0�

sempi

1



4

Limiti delle successioni

Studiare il limite di una successione significa cercare di riconoscere se i numeri:a1, a2, a3, …

vadano avvicinandosi sempre più a un numero particolare − che chiameremo limite − o mo-strino invece un comportamento disordinato. Ciò equivale a vedere come si distribuiscono,per n → +∞, i punti P (n; an).Per esempio, la successione

ha limite l = 0: infatti i suoi termini si avvicinano sempre più a 0.Invece, la successione

1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .

non ha limite: i suoi elementi non si avvicinano ad alcun numero, continuano infatti a oscil-lare tra 1 e −1.Le successioni che hanno limite finito si dicono convergenti.

Successioni convergenti

DEFINIZIONE Si dice che una successione {an} converge verso il limite l e si scrive:

se, fissato comunque un numero positivo ε, esiste in corrispondenza di esso un nε ∈ � taleche per i termini an con n > nε sia verificata la disuguaglianza:

⎜an − l ⎜< ε

limn na l

→+ ∞=

1 12

13

14

, , , , …

2

La successione:

è decrescente; infatti, i termini 2n + 1 a denominatore della successione crescono e i reciproci

sono quindi evidentemente decrescenti.

n +1

2 1

12 1n +{ }2

Verificare che

Occorre verificare che la disequazione:

è soddisfatta da tutti i numeri n successivi a un primo valore che chiameremo nε.Si ha:

e si ricava che, per ogni ε > 0:1 1n

n< ⇔ >εε

1 1 1 1 1+⎛⎝

⎞⎠ − = =

n n n

1 1 1+⎛⎝

⎞⎠ − <

nε

limn n→+ ∞

+⎛⎝

⎞⎠ =1 1 1

sempio

3


5


Successioni divergenti

DEFINIZIONE Si dice che una successione {an} diverge positivamente e si scrive:

se, fissato comunque un numero positivo k, i termini an della successione divengono piùgrandi di k:

an > k

da un certo posto nk in poi, cioè per n > nk.

Definizione analoga è la seguente.

DEFINIZIONE Si dice che una successione {an} diverge negativamente e si scrive:

se, fissato comunque un numero positivo k, i termini an della successione divengono infe-riori a –k:

an < –k

da un certo posto nk in poi, cioè per n > nk.

Le successioni convergenti e quelle divergenti, sia positivamente sia negativamente, sono det-te successioni regolari.

limn na

→ + ∞= −∞

limn na

→ + ∞= +∞

Verificare che

Risolvendo la disequazione:3n + 1 > k

si ha:

Detto nk il primo intero positivo maggiore o uguale a , la disequazione risulta verificata per ognin > nk.

Verificare che

Risolviamo la disequazione:(k ∈�0

+ ) (k ∈�0+ )

Essendo n > 0 si ha:1 − n2 < − nk cioè n2 − nk − 1 > 0

1 2− < −nn

k

limn

nn→+∞

− = − ∞1 2

k − 13

n k> − 13

lim ( )n

n→+∞

+ = + ∞3 1

sempi

4

5

Pertanto, basta scegliere n > nε, essendo nε il primo numero intero maggiore o uguale a . Per esempio,

se ε = sarà nε = 100 e infatti per ogni n > 100 si ha:

Si osservi che la disuguaglianza a sinistra è ovvia essendo i numeri an > 1.

1 1100

1 1100

− < < +an

1100

1ε


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6

Successioni indeterminateDEFINIZIONE Si dicono indeterminate le successioni che non sono né convergenti né di-vergenti a +∞ o a − ∞ .

Teoremi e operazioni sui limiti delle successioni

Essendo le successioni particolari funzioni, valgono per esse i teoremi già considerati per i li-miti delle funzioni.Riportiamo gli enunciati di tali teoremi relativamente alle successioni.

Le seguenti successioni sono indeterminate:

{(−1)n} a0 = 1 a1 = −1 a2 = 1 a3 = − 1 …

{cos nπ} a0 = 1 a1 = −1 a2 = 1 a3 = − 1 …

{n(−1)n} a0 = 0 a1 = 1 a2 = 2 a3 = a4 = 4 a5 = …

{(− n)n} a1 = − 1 a2 = 4 a3 = − 27 a4 = 256 …

15

13

sempio

6

3

TEOREMA 1 (TEOREMA DELL’UNICITÀ DEL LIMITE) Data una successione {an} di termine gene-rale an, se esiste , tale limite è unico.lim

n na→+∞

TEOREMA 2 (TEOREMA DEL CONFRONTO) Siano {an}, {bn}, {cn} tre successioni tali che da uncerto indice n in poi si abbia:

an ≤ bn ≤ cn

Se {an} e {cn} sono regolari e ammettono lo stesso limite, anche {bn} è regolare e ha lo stes-so limite, cioè:

lim lim limn n n n n nb a c

→+∞ →+∞ →+∞= =

Il termine an della successione definita da

poiché –1 ≤ senn ≤ 1, verifica le limitazioni:

e poiché:anche lim

n

nn→+∞

++

=34

0sen

lim limn nn n→+∞ →+∞+

=+

=24

44

0

n∀ ∈ �2

44

4na

nn+≤ ≤

+

n∀ ∈ �an

nn = ++

34

sen

sempio

7

La disequazione precedente è soddisfatta per:

Il limite è verificato non appena si scelga n maggiore del primo numero intero maggiore o uguale

a .k k+ +2 42

n k k> + +2 42


7


Enunciamo, senza dimostrarlo, il seguente

Date le due successioni {an} e {bn} restano determinate le successioni:

{an+ bn} {an− bn} {anbn}

(quest’ultima solo se bn ≠ 0 ∀ n ∈ �), che prendono il nome rispettivamente di successionesomma, differenza, prodotto, quoziente.Supposto che {an} e {bn} siano regolari, per quanto riguarda il limite delle successioni som-ma, prodotto, quoziente valgono teoremi analoghi a quelli già considerati per le funzioni. Neriportiamo uno schema riassuntivo nelle tabelle seguenti.

Somma di due successioniIl limite della somma è riportato nella tabella seguente.

l1 l2 l1 + l2

+∞ l2 +∞− ∞ l2 − ∞+∞ +∞ +∞− ∞ − ∞ − ∞+∞ − ∞ forma indeterminata

Prodotto di due successioniIl limite del prodotto è riportato nella tabella seguente.

l1 l2 l1 ⋅ l2

∞ l2 ≠ 0 ∞∞ ∞ ∞∞ 0 forma indeterminata

Quoziente di due successioniIl limite del quoziente è riportato nella tabella seguente.

l1 l2 ≠ 0

l1 ≠ 0 0 ∞∞ l2 ≠ 0 ∞∞ ∞ forma indeterminata0 0 forma indeterminata

l

l1

2

limn

n

n

ab→→++ ∞∞

⎛⎛⎝⎝⎜⎜

⎞⎞⎠⎠⎟⎟

limn nb

→→++ ∞∞lim

n na→→++ ∞∞

lim ( )n n na b

→→++ ∞∞⋅⋅lim

n nb→→++ ∞∞

limn na

→→++ ∞∞

lim ( )n n na b

→→++ ∞∞++lim

n nb→→++ ∞∞

limn na

→→++ ∞∞

ab

n

n

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

TEOREMA 3 (TEOREMA DELLE SUCCESSIONI MONOTÒNE) Ogni successione monotòna è re-golare. Se essa è crescente o non decrescente [decrescente o non crescente] ha come li-mite l’estremo superiore [inferiore] dell’insieme numerico costituito dai suoi termini.



8

Il calcolo del limite di una successione an = f (n) si effettua in modo analogo a quello delle fun-zioni di variabile reale: può essere utile sostituire i valori interi di n con valori reali positivi di x,studiando il comportamento della funzione così ottenuta al tendere di x a + ∞ .

Successioni aritmeticheRiprendiamo lo studio delle progressioni aritmetiche che abbiamo già iniziato nel § 2.8 delvolume 1.

DEFINIZIONE Si dice successione o progressione aritmetica una successione definita per ri-correnza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo se-guente:

a2 = a1 + d a3 = a2 + d … an+1 = an + d …

Il numero d prende il nome di ragione.

Poiché: an = a1 + (n − 1)dsi ha che:

a) se d = 0, risulta an = a1 e quindi:

nel qual caso la successione converge;

b) se d > 0 [d < 0] si ha:

e quindi:

Una successione aritmetica di ragione non nulla è sempre divergente.

La più nota successione aritmetica è senza dubbio quella formata dai numeri naturali, ottenu-ta ponendo a1 = 1 e d = 1.La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:

Sn = a1 + a2 + ... + an = a1 + (a1 + d) + ... + (a1 + (n − 1)d) = na1 + (1 + 2 + 3 + ... + (n − 1))d

si deduce dalla nota formula della somma dei primi n − 1 numeri naturali:

1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) =Si ha quindi:

Sn = a1 + a2 + ... + an = na1 + [1.1]n n

d( )− 1

2

n n( )− 12

lim lim ( ) [ ]n n n

a a n d→+∞ →+∞

= + −⎡⎣ ⎤⎦ = + ∞ − ∞1 1

limn na a

→+∞= 1

limn

nn→+∞ +

=5

0

limn n→+∞

=1 02limn

n nn→+∞

−−

= − ∞2

4

limn

nn→+∞

++

=5 12 7

52

lim ( )n

n→+∞

+ = + ∞3 52

sempi

8

9

10

4


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9


Successioni geometriche

DEFINIZIONE Si dice successione o progressione geometrica una successione definita per ri-correnza dando il primo elemento a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo se-guente:

a2 = a1q a3 = a2q … an+1 = anq … (q ∈ �)

Il numero q prende il nome di ragione.

Poiché si ha:an = a1q

n−1

osserviamo che:

a) se a1 = 0, allora ∀n ∈� si ha an = 0; quindi:

b) se a1 ≠ 0, si possono presentare vari casi e precisamente:

• se q ≤ −1 la successione è indeterminata;• se ⎜q ⎜< 1 la successione converge a zero;• se q = 1 la successione converge ad a1; • se q > 1 la successione è divergente.

La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica

ovvero:

[1.2]

si calcola nel modo seguente.Tenuto conto che

a1 + a1q + … + a1qn − 2 = Sn − a1q

n − 1

S a q a a q a q a qnn n= + + + + +− −

1 1 1 13

12( ... )

S a a a q a q a q a qn kn n

k

n

= = + + + + +− −

=∑ 1 1 1

21

21

1

1

...

limn na

→ + ∞= 0

La successione aritmetica:n ∈� {an} = {1 + 4n} n ∈�

che ha come primo termine a0 = 1 e ragione d = 4, diverge positivamente; infatti:

La successione aritmetica:n ∈� {an} = {3 − 2n} n ∈�

che ha come primo termine a0 = 3 e ragione d = −2, diverge negativamente; infatti:

lim ( )n

n→+∞

− = − ∞3 2

lim ( )n

n→+∞

+ = + ∞1 4

sempi

11

12

5



10

dalla relazione [1.2], sostituendo l’espressione in parentesi a secondo membro con Sn − a1qn − 1,

si ha: Sn = a1 + q(Sn − a1q

n − 1) ⇒ Sn − qSn = a1(1 − qn)

da cui, se q ≠ 1:

Il caso q = 1 corrisponde alla progressione geometrica costante an = a1 ∀ n ∈ � e quindi:

Sn = a1 + a1 + … + a1 = na1

Riassumendo si ha quindi:

[1.3]Sa

qq

q

na qn

n

=−− ≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪1

1

11

1

1

se

se

S aqqn

n

= −−1

11

La successione geometrica:

n ∈ �0

che ha come primo termine e ragione , converge a zero; infatti:

La somma dei primi n termini è data da:

quindi:

La successione geometrica: {an} = {3n} n ∈ �

che ha come primo termine a0 = 1 e ragione q = 3, diverge positivamente; infatti:

La successione geometrica: {an} = {(−4)n} n ∈ �

che ha come primo termine a0 = 1 e ragione q = − 4, è indeterminata; infatti non esiste il limite:

lim ( )n

n

→+∞−4

limn

n

→+∞= +∞3

limn nS

→+∞= 1

Sn

n

n

=− ⎛

⎝⎞⎠

−= − ⎛

⎝⎞⎠

12

1 12

1 12

1 12

limn

n

→+∞

⎛⎝

⎞⎠ =1

20

q = 12

a112

=

{ }an

n

= ⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

sempi

13

14

15


11


Il numero e come limite di una successione

Consideriamo la successione:

e dimostriamo che essa è crescente e limitata superiormente; pertanto, per il teorema sulle suc-cessioni monotòne (vedi par. 1.3), è convergente.Secondo la formula del binomio di Newton1,2 avremo che:

Ora, si può scrivere:

Pertanto si ha:

Osserviamo che, al crescere di n, il secondo membro cresce per due motivi: ogni termine del-la somma cresce, a eccezione del primo, che resta inalterato, e inoltre aumenta il numero de-gli addendi, che sono tutti positivi.Perciò:

e la successione è crescente; pertanto per il teorema sulle successioni monotòne esiste il

limite di per n → +∞, che potrebbe essere tuttavia +∞.

1. Coefficienti binomiali (vedi vol. 2, § 12.3 e § 12.4)

essendo

2. Binomio di Newton (vedi vol. 2, § 12.5)

( )a bn

an

a bn

an n n n+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−0 1 2

1 −− −

=

⋅ + +−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ∑2 2 1

01

bn

na b

nn

bn

n n

k

n

…kk

a bn k k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅−

k k k kn

! ( )( )= − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 2 3 2 10

1… enk

n n n n kkn k

n k

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = − − − +C

D

P,, ( )( )...( )1 2 1

!!( , , )n k k n∈ ≤�

1 1+⎛⎝

⎞⎠n

n

1 1 1 11

1

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ < + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

n n

n n

1 1 2 12

1 1 13

1 1 1+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

n n n

n

! !22 1 1 1 1 1n n n

nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟...

!...

n nn n

n n nn n n

( )

( )( )

− = −

− − = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝

11 1

1 21 1 1 2

2

3 ⎜⎜⎞⎠⎟

− − + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

.....

( )...( )n n n kn n nk

1 11 1 1 2⎛⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− − +

...

.....

( )...( )

1 1

1 1

kn

n n n nnn n n

nnn = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 1 1 2 1 1...

1 10 1

12

12+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟n

n nn

nn

n

++ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

= + + −

... ...

(

nk n

nn n

n n

k n1 1

1 111

21 1 2

31

1

2 3)

!( )( )

!...

( )...(

⋅ + − − ⋅ + +

+ −n

n n nn

n n nn kk n

n n n n nnk

− + ⋅ + + − − − + ⋅1 1 1 2 1 1)!

...( )( )...( )

! nnn

an

nn

n

= +⎛⎝

⎞⎠ ∈1 1

0 ( )�

6


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12

Osserviamo, però, che per n > 1 si ottiene:

poiché i fattori:

sono tutti minori di 1.

Inoltre, poiché:3! = 3 × 2 > 22, 4! = 4 × 3 × 2 > 23, …, n! > 2n–1

si avrà:

Ora:

è la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione , ed è,quindi, uguale a:

perciò si otterrà:

Dunque è sempre compreso fra 2 e 3; possiamo perciò concludere che anche il suo

estremo superiore è compreso fra 2 e 3 e quindi, sempre per il teorema sulle successionimonotòne, che il limite di tale successione esiste, è finito e compreso fra 2 e 3. Tale limite vie-ne indicato con la lettera e e si chiama costante di Nepero.Per definizione si ha quindi:

Il numero e è un numero irrazionale, il cui valore, approssimato alla sesta cifra decimale, è:

e = 2,718281…

Generalità sulle serie numeriche

Data la successione numerica:a1, a2, …, an, …

si chiama serie relativa ai suoi termini il simbolo:

[1.4]a a a ak nk

= + + + + …=

∞

∑ 1 21

...

enn

n

= +⎛⎝

⎞⎠→ +∞

lim 1 1

1 1+⎛⎝

⎞⎠n

n

2 1 1 3 12

31

< +⎛⎝

⎞⎠ < − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ <

−

n

n n

12

1 12

1 12

1 12

1

1

⋅− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

−

n

n

q = <12

1

12

12

12

122 3 1+ + + + −... n

2 1 1 2 12

12

12

122 3 1< +⎛

⎝⎞⎠ < + + + + + −n

n

n...

1 1 1 2 1 3− − −n n n

, , , ..., 11 1− −nn

2 1 1 2 12

13

1< +⎛⎝

⎞⎠ < + + + +

n n

n

! !...

!

7


13


Gli elementi della successione {an} si chiamano termini della serie. Vediamo come sia possibile in alcuni casi attribuire al simbolo di serie un valore numerico.Consideriamo la nuova successione {Sn} costituita dalle somme parziali dei termini della se-rie, cioè la successione i cui termini sono:

S1 = a1S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3.....Sn = a1 + a2 + a3 + … + an.....

La serie [1.4] si dice rispettivamente:

� convergente, se la successione {Sn} delle somme parziali è convergente; in tal caso, posto:

S =

S viene detto somma della serie [1.4];

� divergente, se la successione {Sn} delle somme parziali è divergente;

� indeterminata, se la successione {Sn} delle somme parziali è indeterminata.

Da quanto detto risulta che si attribuisce un significato numerico solo alle serie convergenti;scrivendo allora:

intenderemo che la serie è convergente e che la sua somma è:

S Sn n=

→ +∞lim

S akk

==

∞

∑1

limn nS

→+∞

Verificare che la serie:

è divergente.

Infatti, poiché:a1 = 2 – 1, a2 = 4 – 1, a3 = 6 – 1, …, an = 2n – 1

si ha:

e quindi:

Ogni serie aritmetica è divergente poiché per la [1.1] si ha:

Se d = 0, la serie si riduce alla seguente:

a1 + a1 + … a1 + …

e diverge positivamente o negativamente a seconda che a1 sia maggiore o minore di zero.Se d = a1 = 0 la serie, composta da tutti zeri, ovviamente converge.

+∞ >−∞ <

se

se

d

d

0

0lim lim

( )n n n

Sn n

d a n→+∞ →+∞

= − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 12 1

lim limn n n

S n→+∞ →+∞

= = +∞2

S a a a n n n n n n nn n= + + … + = + + + … + − = + − = + −1 2 2 4 6 2 2 22

1( ) nn n= 2

( )2 11

kk

−=

∞

∑

sempi

16

17



14

Serie telescopiche

Una serie come questa ora considerata si dice telescopica; si dicono, cioè, telescopiche tutte

quelle serie i cui termini si possono scrivere nella forma:

a1 = b1 – b2, a2 = b2 – b3, …, ak = bk – bk + 1, …

akk =

∞

∑1

La serie:= – 1 + 1 – 1 + … + (–1)n + …

è indeterminata. Infatti le somme parziali sono:

S1 = –1, S2 = 0, S3 = –1, …, S2n – 1 = –1, S2n = 0, …

quindi la successione {Sn} è indeterminata.

( )−=

∞

∑ 11

k

k

18

Verificare che la serie:

è convergente e risulta S = 1.

Poiché il termine an si può scrivere:

costruiamo la successione delle somme parziali:

.....

.....

da cui si ottiene:

Pertanto si avrà:

11

11

k kk

( )+=

=

∞

∑

lim limn n n

Sn→+∞ →+∞

= −+

⎛⎝

⎞⎠ =1 1

11

S a a a ann n= + + + … + = −

+1 2 3 1 11

S a a a3 1 2 3 1 13

13

14

1 14

= + + = − + − = −

S a a2 1 21

1 21

2 31 1

212

13

1 13

= + =×

+×

= − + − = −

S a1 11

1 21 1

2= =

×= −

an n n nn =

+= −

+1

11 1

1( )

11

11 2

12 3

13 4

11

1k k n n

k( ) ( )+

=×

+×

+×

+ … ++

+ …=

∞

∑

sempio

19

La serie

è detta serie di Mengoli(matematico bolognese, 1625-1686).

11

1k k

k( )+

=

∞

∑


© R

CS

LIB

RI

ED

UC

AT

ION

SP

A

15


ossia:

essendo b1, b2, … i termini di una successione {bn} nota. Per serie di questo tipo, poiché ri-sulta:

Sk = (b1 – b2) + (b2 – b3) + (b3 – b4) + … + (bk – bk + 1) = b1 – bk + 1

elidendosi i termini bi intermedi, il limite delle somme parziali risulta uguale a:

Pertanto:

Se la successione {bn} è convergente e ha limite b, anche la serie converge e ha somma:

S = b1 – b

Se la successione {bn} è divergente o indeterminata, anche la serie diverge o è indeter-minata.

Serie geometriche

Come caso particolarmente interessante studiamo la serie geometrica:

di ragione x ∈ �.Se x = 1 la serie si riduce alla seguente:

che è ovviamente divergente.Se x ≠ 1, dalla [1.3] ricaviamo che la somma parziale Sn è data da:

Si hanno allora i seguenti casi.

a. Se |x| < 1, cioè – 1 < x < 1, allora la serie converge, poiché:

e quindi

b. Se x > 1, allora la serie diverge, poiché:

e quindi

c. Se x ≤ –1, la serie è indeterminata, in quanto non esiste .limn

nx→ +∞

limn nS

→ +∞= +∞lim

n

nx→ +∞

= +∞

S Sxn n= = −→ +∞

lim 11

limn

nx→ +∞

= 0

S xx

xx xn

n n= −

− = − + −11 1

11

1 1 1 1 11

1

k

k

−

=

∞

∑ = + + + … + + …

x x x xk

k

n−

=

∞−∑ = + + + … + + …1

1

2 11

lim lim ( ) limk k k k k kS b b b b

→+∞ →+∞ + →+∞ += − = −1 1 1 1

a b bkk

k kk=

∞

+=

∞

∑ ∑= −1

11

( )

8



16

Numeri periodiciPossiamo ora giustificare la regola di calcolo della frazione generatrice di un numero periodico.Consideriamo per esempio 0,7

–; si ha:

L’espressione tra parentesi non è altro che la serie geometrica di ragione , la cui somma è:

pertanto:

Consideriamo ora il numero 0,45–; si ha:

Altre serie geometricheDalla serie geometrica si possono ottenere con piccole modifiche numerose altre serie, per lequali è possibile calcolare la somma. Per esempio, se nella serie geometrica:

al posto di x poniamo:

1. –x, per |x | < 1 si ha:

2. x2, per |x| < 1 si ha:

3. x3, per |x| < 1 si ha:

4. –x3, per |x| < 1 si ha:

5. 3x, per ⎜3x ⎜ < 1, cioè < x < , si ha:

6. , per < 1, cioè per x > –1, si ha:

13

1 13

13

1

1 1

2−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + −

+ + −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + … =

−

xx

xx

xx

k

−−+

= ++=

∞

∑ xx

xx

k3

32 2

0

13

−+

xx

13

−+

xx

( )3 1 3 9 11 3

2

0

x x xx

k

k

= + + + … = −=

∞

∑

13

− 13

( )− = − + − … =+=

∞

∑ x x xx

k

k

3 3 63

0

1 11

x x xx

k

k

3 3 63

0

1 11

= + + + … =−=

∞

∑

x x xx

k

k

2 2 42

0

1 11

= + + + … =−=

∞

∑

( )− = − + − … = +=

∞

∑ x x xx

k

k

1 11

2

0

x x xk

k

= + + + …=

∞

∑ 1 2

0

= + × = + = = −0 4 5100

109

410

590

4190

45 490

,

0 45 0 4555 0 4 5100

51000

0 4 5100

1 110

, , , ,= … = + + + … = + + ++ …⎛⎝

⎞⎠ =

0 7 710

109

79

, = × =

1

1 110

109−

=

110

0 7 0 710

7100

710

710

1 110

110 1, = + + + … + + … = + + … + + …−n n

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


17


Criterio di convergenza di Cauchy

Enunciamo ora un criterio generale di convergenza del quale omettiamo la dimostrazione.

Da tale criterio scende immediatamente il seguente

DIMOSTRAZIONE

Il teorema è immediatamente dimostrato non appena si ponga p = 1 nella relazione [1.5]. Infatti, se laserie è convergente, ∀ ε > 0 e per p = 1 risulta:

⎜an + 1⎜< ε

e ciò equivale a dire che:

Il teorema in definitiva afferma che, se i termini della serie non convergono a zero, allora la se-rie non converge; per esempio la serie:

non converge poiché: lim

k

kk→+∞ + =

11

kk

k+=

∞

∑ 11

limk ka

→+∞= 0

9

CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie:

sia convergente è che, fissato comunque un numero ε > 0, esista un indice nε tale che∀ n > nε e ∀ p ≥ 1 risulti:

⎜an + 1 + an + 2 + … + an + p ⎜< ε [1.5]

a a a akk

= + + + …=

∞

∑ 1 2 31

TEOREMA 4 Condizione necessaria affinché la serie converga è che:

limk ka

→+∞= 0

akk=

∞

∑1

CAUCHY Augustin Louis (Parigi 1789 – Sceaux, Seine, 1857) Matematico francese, dal 1816 membro dell’Accademia delleScienze. Monarchico e partigiano dei Borboni, dopo la rivoluzione del 1830 per otto anni lasciò volontariamente la Francia, in-segnando prima in Svizzera, poi nel 1831 all’Università di Torino, infine a Praga. Tornato a Parigi fu nominato professore allaSorbona. Sia nel campo della matematica che della fisica svolse una mole di lavoro rigogliosissima: i suoi lavori occupano 27volumi. È il fondatore della teoria delle funzioni di variabile complessa, nella quale molti teoremi portano il suo nome. A lui eal contemporaneo Abel si deve l’introduzione del rigore nello studio dell’analisi infinitesimale: sotto il suo nome vanno pureun metodo di interpolazione, il teorema degli incrementi finiti e il criterio di convergenza per le serie.

OOsservazione 1

La condizione che il termine generico ak tenda a zero è, però, solo necessaria ma non sufficiente perla convergenza della serie.Infatti, per esempio, la serie armonica:

diverge nonostante goda della proprietà che .limk k→+∞

=1 0

1 1 12

13

1k

k

= + + +=

∞

∑ ...


© R

CS

LIB

RI

ED

UC

AT

ION

SP

A


18

Resto di ordine nSe in una serie:

a1 + a2 + … an–1 + an + an+1 + …

si sopprimono i primi n termini, la nuova serie che così si ottiene:an+1 + an+2 + …

prende il nome di resto n-simo o di ordine n della serie data.

Combinazioni lineari di serie1. Data la serie:

[1.6]

e il numero reale c, la serie:[1.7]

ha lo stesso carattere della [1.6]; cioè se la [1.6] converge e ha somma S, la [1.7] convergea c · S, se la [1.6] diverge (o è indeterminata), la [1.7] diverge (o è indeterminata).

2. Date le serie:

[1.8] e [1.9]

e i numeri reali c e d, se le [1.8] e [1.9] convergono e hanno somme S1 e S2 rispettivamente,anche la serie:

converge e ha somma:S = c · S1 + d · S2

Se la serie converge e la non converge, allora la serie:

non converge.

( )a bk kk

+=

∞

∑1

bkk =

∞

∑1

akk =

∞

∑1

( )ca dbk kk

+=

∞

∑1

bkk =

∞

∑1

akk =

∞

∑1

ca c akk

kk=

∞

=

∞

∑ ∑= ⋅1 1

akk =

∞

∑1

Infatti, posto p = n, nella relazione [1.5] si ottiene:

perciò la [1.5] non sarà verificata per nessun n se si sceglie , pertanto la serie armonica nonconverge.Inoltre, poiché la successione {Sn} delle somme parziali è crescente, per il teorema sulle successio-ni monotòne essa ammette limite che sarà + ∞ non essendo finito.Nel capitolo 8 dimostreremo la divergenza della serie armonica con il metodo del confronto con unintegrale; mediante tale metodo verrà dimostrato inoltre che la serie:

detta serie armonica generalizzata:

• converge se α > 1• diverge se α ≤ 1

1

1k

kα

=

∞

∑

ε < 12

11

12

12

12

12

12

12

12n n n n n n

nn+

++

+ + > + + + = =... ...

10


19


Così la serie:

non converge, poiché la converge, essendo una serie geometrica di ragione , ma

la serie armonica diverge.

Se sia la [1.8] sia la [1.9] non convergono, la serie può convergere come può

anche non convergere. Per esempio:

� se ak = 1 e bk = 1 ∀k la serie diverge;

� se ak = 1 e bk = –1 ∀k la serie converge.

Serie a termini di segno costante

Consideriamo ora serie a termini tutti positivi. Vale il seguente

Il teorema si giustifica osservando che, poiché i termini sono tutti positivi, la successione {Sn}delle somme parziali è monotòna crescente, pertanto essa ammette limite (finito o infinito).Per la serie a termini positivi vale il seguente

( )a bk kk

+=

∞

∑1

( )a bk kk

+=

∞

∑1

( )a bk kk

+=

∞

∑1

1

1k

k =

∞

∑

13

131

kk =

∞

∑

1 131

k kk

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

∑

TEOREMA 5 Una serie a termini positivi non è mai indeterminata, cioè è convergente op-pure divergente.

CRITERIO DEL CONFRONTO Se e sono serie a termini positivi e se ∀k risulta:

ak ≤ c · bk

essendo c una costante positiva, allora:

a) se la serie è convergente a S2, la serie converge a S1 e risulta S1 ≤ c · S2;

b) se la serie diverge positivamente, anche la serie diverge positivamente.bkk=

∞

∑1

akk=

∞

∑1

akk=

∞

∑1

bkk=

∞

∑1

bkk=

∞

∑1

akk=

∞

∑1

Consideriamo la serie:

Osserviamo che ∀k ≥ 1 risulta:

1 11 2 3 1

11 2 2 2 2

12 1k k k k! ( )

=⋅ ⋅ … − ⋅

≤⋅ ⋅ … ⋅

= −

1

1k

k!

=

∞

∑

sempi

20

11



20

e poiché la serie è una serie geometrica di ragione e quindi convergente, anche la serie

data converge e ha somma:

La serie:

risultando ∀k ≥ 1

converge poiché i suoi termini sono maggiorati dai termini della serie geometrica di ragione .

La serie:

converge poiché ∀ k > 1 risulta .

La serie:

converge poiché:

e la serie è una serie geometrica di ragione 23

1< .23

1

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑k

k

23 1

1

3 12

1

32

12

1

32

kk k

k k

k

k k+⎛⎝

⎞⎠ =

+⎛⎝

⎞⎠

=+⎛

⎝⎞⎠

<⎛⎝

⎞⎞⎠

= ⎛⎝

⎞⎠k

k23

23 1

1

kk

k

k

+⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑

1 12kk k≤

1

1kk

k=

∞

∑

1e

11

1e ek k+

<

11

1ek

k+=

∞

∑

S ≤−

=1

1 12

2

12

12 1

1k

k−

=

∞

∑

23

21

22

CRITERIO DELL’ORDINE DI INFINITESIMO Data la serie , se ak è infinitesimo di ordi-

ne ≥ α > 1 rispetto a , cioè se:

la serie converge;

se invece:

con α ≤ 1, allora la serie diverge.

limk

ka

k

→+∞ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= >1

0α

l

limk

ka

k

L→+∞ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= < +∞1

α

1k

akk=

∞

∑1

a. La serie converge essendo α = 32

kk

k2

12+=

∞

∑

sempio

24


© R

CS

LIB

RI

ED

UC

AT

ION

SP

A

21


Le serie a termini tutti negativi, cambiando segno a tutti i loro termini, rientrano in quanto det-to sopra.

Convergenza assoluta

Data la serie , consideriamo la serie:

i cui termini sono uguali ai valori assoluti dei termini della serie data. Sussiste il seguente

DIMOSTRAZIONE

Posto:

la serie è a termini positivi e si ha inoltre:

pk ≤ ⎜ak ⎜

quindi, per il criterio del confronto, essendo convergente la serie è convergente anche la

serie .

Allora è convergente anche la serie tenuto conto che i suoi termini:

ak = 2 · pk – ⎜ak ⎜

sono combinazioni lineari dei termini di due serie convergenti (vedi § 10).

Una serie si dice assolutamente convergente se converge la serie . Natural-

mente, una serie a termini di segno costante e convergente è assolutamente convergente.

⎜ ⎜akk =

∞

∑1

akk =

∞

∑1

akk=

∞

∑1

pkk=

∞

∑1

⎜ ⎜akk=

∞

∑1

pkk=

∞

∑1

pa a

kk k=

+≥⎜ ⎜

20

⎜ ⎜akk =

∞

∑1

akk =

∞

∑1

12

TEOREMA 6 Se la serie è convergente, allora la serie è convergente.akk=

∞

∑1

⎜ ⎜akk=

∞

∑1

b. La serie diverge essendo

c. La serie diverge essendo α = 13 25 1

2

31

kk

k

−+=

∞

∑

α = 12

kk

k+

=

∞

∑ 12

La serie:con α > 1 con α > 1

converge assolutamente, poiché la serie:

converge essendo α > 1.

( )− ==

∞

=

∞

∑∑ 1 1

11

k

kkk kα α

( )−

=

∞

∑ 1

1

k

kkα

sempio

25



22

Il teorema 6 non è invertibile, infatti una serie può essere convergente senza esserlo assolutamen-te. Pensiamo per esempio alla serie:

Essa converge, come vedremo nel paragrafo 13, mentre la serie dei valori assoluti:

ossia la serie armonica, è divergente.

Criteri di convergenza assolutaConsideriamo alcuni criteri che forniscono condizioni sufficienti affinché una serie:

sia assolutamente convergente.

akk =

∞

∑1

1 1 12

13

1k

k

= + + + …=

∞

∑

( )− = − + − + …+

=

∞

∑ 11 1

213

14

1

1

k

kk

CRITERIO DEL RAPPORTO Se la serie ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite:

con l ≥ 0

a) la serie è assolutamente convergente se 0 ≤ l < 1;b) non converge se l > 1.

Nulla si può dire se l = 1.

limk

k

k

aa→+∞

+ =1 l

akk=

∞

∑1

La serie

è convergente.Infatti, i rapporti

hanno limite 0.Si può dimostrare che la somma S di tale serie è il numero di Nepero:

e = 2,718281828…

già incontrato nel precedente § 1.6 come limite della successione

1 1+⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭n

n

a

ak

kk

k

k

+ = + =+

1

11

11

1( )!

!

1

0k

k!

=

∞

∑

sempi

26


23


Data la serie:

calcoliamo il limite:

perciò la serie è convergente.

Data la serie:


quindi la serie è assolutamente convergente.

Data la serie:


quindi la serie non converge.

Data la serie:


Poiché la serie è assolutamente convergente.2 1e

< ,

=+

⎛⎝

⎞⎠ = ⋅ −

+⎛⎝

⎞⎠ = ⋅

→+∞ →+∞lim lim

k

k

k

kk

k ke2

12 1 1

12 −− =1 2

e

lim( )

( )!( )

( )k

kk

k

kk

kk

→+∞

++

+− ⋅ ⋅ ++

− ⋅ ⋅

12 1

1

1 2

11

1

kkk

kk

kk

k

k

k

k

k

k!lim

( )!( ) !

l= ⋅ ⋅ ++

⋅⋅

=→+∞

+

+2 1

1 2

1

1 iim( )( )k

k

k

k kk→+∞ +⋅ + ⋅

+=2

11 1

( ) !− ⋅ ⋅

=

∞

∑ 1 2

1

k k

kk

kk

lim( )

( )

( )lim

k

kk

kk k

k

k→+∞

++

→+∞

−+ +

−+

=1 3

1 1

1 31

11

332

13

3 12

3 11k

k kkk k

k

+

→+∞+⋅ + = ⋅ +

+= >lim

( )−+

=

∞

∑ 1 31

1

kk

kk

lim( )

( )( )!

( )!

limk

k

k

kkkk

→+∞

+− + ++

− + =1

2 1 11

1 2 1

1

kk k

kk

kk

kk k→+∞ →+∞

++

⋅+

= ++ +

2 31 2 1

2 31 2( )!

! lim( )( 11

0)

=

( )!

− +

=

∞

∑ 1 2 1

1

k

k

kk

k

k

kk

kk

kk

k→+∞

+

→ + ∞

++ =+

⋅lim( )!

!

lim ( )!!

51

55

1 5

1

1

kkk k

=+

=→ +∞lim

51

0

5

1

k

kk!

=

∞

∑27

28

29

30


© R

CS

LIB

RI

ED

UC

AT

ION

SP

A


24

Data la serie:


ottenuto con procedimento analogo al precedente.

Poiché la serie non converge assolutamente.

Data la serie:

risulta:

Poiché tale limite è uguale a 1, il criterio non consente alcuna conclusione.

k k

kk

kk

k kk→+∞ →+∞

++ +

+

= + +lim

( )lim

( )( )1

1 1

1

1 12

2

2

(( )k k2 2 21

+ +=

( )−+

=

∞

∑ 112

1

k kk

k

4 1e

> ,

lim( )!

( ) !k

k

k

k

k

kk

kk e→+∞

+

++

+⋅

⋅=4 1

1 441

1

( ) !− ⋅ ⋅

=

∞

∑ 1 4

1

k k

kk

kk

32

CRITERIO DELLA RADICE Data la serie , se esiste il limite:

con l ≥ 0 con l ≥ 0

a) la serie è assolutamente convergente se 0 ≤ l < 1;b) non è convergente se l > 1.

Dal criterio non si può trarre nessuna conclusione se l = 1.

limk k

k a→+∞

= l

akk=

∞

∑1

Data la serie:

poiché:

la serie è convergente.

Data la serie:

poiché:

la serie è convergente.

Data la serie:

poiché:

il criterio nulla può dire circa il carattere della serie.

limk

k kk→+∞ +

=3

3 11

( )− ⋅+=

∞

∑ 11

3

31

k

k

kk

lim(log )

limlogk k

kkk k→+∞ →+∞

= =1 1 0

1

2(log )k k

k=

∞

∑

lim limk

k

kk

kk

kk→+∞ →+∞

−+

⎛⎝

⎞⎠ = −

+= <2 1

3 12 13 1

23

1

2 13 1

1

kk

k

k

−+

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑

sempi

33

34

35

31


25


Serie a termini di segno alternoConsideriamo la serie:

i cui termini in valore assoluto formano una successione monotòna decrescente e sono tali che:

Calcoliamo la successione delle somme parziali:

S1 = 1, , , , ,

, …, ,

e riportiamone i valori sull’asse reale (fig. 1.5).

Figura 1.5

Osserviamo che:

1. le somme parziali di ordine dispari formano una successione decrescente, quelle di ordinepari una successione crescente;

2. ogni somma di ordine pari è minore di ogni somma di ordine dispari;

3. la successione {S2k+1}, delle somme di ordine dispari, è limitata inferiormente, mentre lasuccessione {S2k}, delle somme di ordine pari, è limitata superiormente.

Pertanto le due successioni {S2k+1} e {S2k}, essendo monotòne e limitate, convergono.Dimostriamo che convergono allo stesso limite S.Infatti, poiché ∀k risulta:

la serie data converge, dunque i limiti di {S2k+1} e di {S2k} coincidono.Si può dimostrare inoltre che la somma S coincide con log 2.Quanto detto per la serie:

si può generalizzare con il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione.

( )− +

=

∞

∑ 1 1

1

k

kk

lim limk k k k

S Sk→+∞ + →+∞

−( ) = + =2 1 21

2 10S S

kk k2 1 21

2 1+ − = +

S2 = –12

S4 = —712

S6 = —3760

S5 = —4760

S3 = –56 S1 = 1

S Sn n

Sn n n2 2 2 21

2 11

2 2+ = ++

−+

>S Sn n

Sn n n2 1 2 1 2 11

21

2 1+ − −= − ++

<S S6 516

3760

= − =

S S5 415

4760

= + =S S4 314

712

= − =S S3 213

12

13

56

= + = + =S S2 11 12

12

12

= − = − =

limk k→ +∞

=1 0

( )− ⋅ = − + − + …+

=

+∞

∑ 1 1 1 12

13

14

1

1

k

kk

13



26

Inoltre, dette S la sua somma e Sk la somma parziale di ordine k, risulta:

∀ k ≥ 1 0 < ⎜S – Sk ⎜ < ⎜ak +1 ⎜ ∀ k ≥ 1

Osserviamo che, se a1 > 0, ogni somma parziale di ordine dispari fornisce un valore appros-simato per eccesso di S, ogni somma di ordine pari un valore per difetto. La relazione:

0 < ⎜S – Sk ⎜ < ⎜ak +1 ⎜dà una misura dell’errore che si commette assumendo, come valore approssimato di S, il va-lore della somma parziale di ordine k.Così, per esempio, per la serie:

la somma S9 dà un valore approssimato di S = log 2, con un errore minore di:

mentre la S20 dà un valore approssimato con un errore in valore assoluto minore di:

121

0 0476= ,

110

0 1= ,

( )−=

∞

∑ 1

1

k

kk

In base al teorema 7 si può dimostrare la convergenza delle seguenti serie:

( ),

( )log

, ( )log− − −

+

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑1 11

1

1 1 1

k

k

k

k

k

kk kk

k∑∑ ∑ ∑−+

− ⋅ −⎛⎝

⎞⎠

=

∞

=

∞

, ( ) , ( )11

1 1 12

1 1

k

k

k

k

kk

kk

sen

sempio

36

TEOREMA 7 (CRITERIO DI LEIBNIZ) Se la serie

è a termini di segno alterno e se la successione:

{ ⎜ak ⎜}

è decrescente e infinitesima, cioè:

allora la serie data converge.

limk ka

→+∞= 0

akk=

∞

∑1

LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (Lipsia 1964 – Hannover 1716) Filosofo, matematico e scienziato tedesco, fuavviato alle ricerche matematiche e fisiche da Christian Huygens, fisico e matematico olandese. Assieme aNewton, ma indipendentemente da lui, fu tra i fondatori del calcolo infinitesimale e creatore del calcolo dif-

ferenziale: a lui sono dovute la nozione per la derivata della funzione f e una serie di regole che consen-

tono di calcolare derivate di somme, prodotti, quozienti ecc. di funzioni espresse mediante le derivate delle singole funzioni. Ancora a lui è dovuto il simbolo ∫ per gli integrali.

dfdx


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27

Successioni e serie 1capitolo

Tutte le successioni aritmetiche di ragione10−6:

convergono a 0

divergono negativamente

divergono positivamente

sono indeterminate

Tutte le successioni geometriche di ragione

:

convergono a 0

divergono negativamente

divergono positivamente

sono indeterminate

Se ∀n ∈� risulta , allora {an}è:

limitata superiormente

convergente

limitata inferiormente

non si può decidere

Se ∀n ∈� risulta , allora{an} è:

limitata

convergente

divergente

non si può decidere

Quanto vale il ?

−1

0

è indeterminato

– ∞

Quanto vale il ?

0 1

+∞

Sono date le successioni :

Quanto vale il ?

0 non esiste

– ∞

È data la successione definita per ricorrenza:

Sapendo che a0 = 1, calcolare il .

+∞

3

Se a0 = 0 e e {an} con-

verge, allora è uguale a:

−1 3

2 4

Se a0 = 1 e e {an} con-

verge, allora è uguale a:

−1

2 3

Quanto vale la somma della serie ?

+∞ 10

11 1110

db

ca

1011

1

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑k

k

11

db

5ca

limn na

→+ ∞

a an n+ = +1 3 210

db

ca

limn na

→+ ∞

a an n+ = +1 3 49

73

db

c13

a

limn na

→+∞

a an n+ = +113

2

8

34

db

ca

limn n na b

→+∞

{ }( )

{ }an

nbn

n

n

n

= −+{ } = ⎛

⎝⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

11

34

3

2 e

7

32

db

ca

lim( )!n n

nn→+∞ + +

3

2 26

d

c

b

a

lim–

n

n nn n→+∞ +

sen 2cos

2

π 35

d

c

b

a

1 1 12

≤ ≤ + ⎛⎝

⎞⎠an

n

4

d

c

b

a

an

n

− ≤ ⎛⎝

⎞⎠1 1

23

d

c

b

a

− 4π

2

d

c

b

a

1

Quesiti di verifica

��


28

Successioni e serie1capitolo

La somma dei primi n termini della serie il cuik-simo termine è 2k + 2k – 1 (k ≥ 1) è:

2n + 2n – 1

22n + 1 + 2n2 – n

2n + 1 + 2n2 + 1

2n + 1 + n2 – 2

I primi tre termini consecutivi di una seriearitmetica sono:

, ,

Allora a2, b2, c2 sono tre termini consecutividi una serie:

aritmetica

geometrica

non si può rispondere

Determinare per quali valori di x converge laserie:

]0; 2[

]0; + ∞[

]4; + ∞[

La serie converge a:

3

1

La serie converge a:

2

–2 –1

La serie :

diverge

converge a 2

converge a

è indeterminata

Quale delle seguenti serie converge?

Quali delle seguenti serie convergono?

a) c)

b) d)

b

tutte

a, b, c

c, dd

c

b

a

( )−+

=

∞

∑ 11

1

k

k

kk

( )−

=

∞

∑ 1

1

k

k k

( )− −

=

∞

∑ 11

k k

k

ecos kk

k

π+

=

∞

∑ 21

19

kk

k

2

31

32 1

++=

∞

∑d1 35 1

0

++

=

∞

∑ kk

k

b

kk

k3

15+=

∞

∑c222

0

kk

k+=

∞

∑a

18

d

34

c

b

a

23

12

0

⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

∞

∑k

k

17

db

23

ca

−⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑ 13

0

k

k

16

d13

b

32

ca

23

0

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑k

k

15

d

−∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

∪ + ∞] [; ; 43

4c

b

a

xx

k

k4 2

1−

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑

14

c

b

a

1a b+

1a c+

1b c+

13

d

c

b

a

12

��


29

Comandi

1. Le successioni con DERIVE

L’assegnazione di una successione è spesso equivalente all’assegnazione di una funzione.Così, per esempio, per la successione

possiamo definire, direttamente da Author, la funzione:

a(n) := n/(n^2+1)

Per esplorare i termini an con n ∈ [1; 10] basterà definire il vettore

VECTOR(a(n),n,1,10)

e chiedere a DERIVE la sua semplificazione, pulsante oppure .

La visualizzazione grafica dei primi 10 valori della successione si ottiene chiedendone il grafico(fig. 1). Si ricordi di selezionare nella finestra grafica Opzioni - Visualizzazione - Punti -Collega: NO.

2. La ricerca del limite di una successione

La ricerca del limite non differisce da quanto visto per le funzioni. Scritto, da Author, a(n):

• si seleziona la riga;• si apre la tendina Calcola - Limite e si completa;• variabile n;• punto limite ∞ (si usa Simboli matematici);

a nnn :=

+2 1

Laboratorio di informatica


Informatica

Figura 1. Il grafico di a1, a2, …, a10.

IFSUMLIMITE

0020.cap1_lab.qxd 14-02-2008 9:31 Pagina 29

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30

• OK;• selezionata la riga, pulsante oppure .

Il risultato è, ovviamente, nel caso della successione precedente, 0.

3. Successioni ricorsiveUna successione può essere definita, in alternativa alla formula tradizionale an = f(n), con il se-guente procedimento:

• si assegnano un certo numero m, detto memoria, di valori iniziali a1 = α, a2 = β, ..., am = γ;• ciascuno dei valori successivi an, n > m, si ricava, con un procedimento assegnato, dagli m va-

lori precedenti.

Questo tipo di definizione prende il nome di procedimento ricorsivo.Il caso più semplice corrisponde a m = 1; per esempio, la successione:

a1 = 2,

nella quale il procedimento con cui si ricava ogni elemento an dal precedente an–1 è basato sullafunzione:

Studiamo tale successione con DERIVE: definiamo la funzione

L’assegnazione si fa, da Author, nel modo seguente:

a(n):=IF(n=1,2,a(n–1)/(1+a(n–1)^2))

I numeri di FibonacciRappresentano l’esempio più semplicerelativo a una definizione ricorsiva conm = 2; il procedimento è ben noto:

• i primi due valori sono

a1 = 1, a2 = 1

• ognuno dei valori successivi è lasomma dei due precedenti:

an = an–1+ an–2 n = 3, 4, ...

La costruzione della funzione a(n) chefornisce i valori della successione diFibonacci (fig. 2) si fa, come nel casoprecedente, servendosi dell’IF condizio-nale.

a(n):=IF(n<3,1,a(n–2)+a(n–1))

a nn

a na n

n( ) ( )( )

==

−+ −

>⎧⎨⎪

⎩⎪

2 11

1 11

2

se

se

f x xx

( ) =+1 2

aa

a32

221

=+

,aa

a21

121

=+

,


Figura 2. I numeri di Fibonacci a10, a11, …, a14.


31

4. Serie geometriche

Consideriamo le serie convergenti:

–1 < r < 1

la cui somma è

Possiamo sperimentare tali risultati conDERIVE. Definita la funzione

a(k)=r^k

si può – tendina Calcola - Serie – valutare

la somma e quindi speri-

mentarne, numericamente, il limite.Il programma DERIVE è illustrato in figura 3.

5. Il numero e

Il numero e è il limite della successione:

e la somma della serie:

Si può sperimentare con DERIVE la diversa rapidità con cui gli elementi della successione o lesomme parziali della serie approssimano il valore e = 2,718281828...È evidente (fig. 4), come le somme parziali della serie si avvicinino al valore e piú rapidamentedei termini della successione.

1

0n

n!=

∞

∑

1 1+⎛⎝

⎞⎠n

n

S a n a kk

n

( , ) ( )==

∑1

S rr

( ) =−1

1

rk

k=

∞

∑0


Informatica

Figura 4. Diverse approssimazioni della costante e di Nepero.

Figura 3. Somme della serie geometrica .r nk

n

( , .., )=∑ 5 80


32

1. Assegnata la successione :

a) disegnare i primi 10 valori con DERIVE;b) determinarne il limite l;c) determinare per quali n vale la diseguaglianza ⏐an – l⏐≤ 0,01.

2. Assegnata la serie geometrica :

a) determinare le somme delle serie

b) determinare per quali n vale la diseguaglianza

3. Disegnare, servendosi di DERIVE, i primi 20 valori delle successioni:

e cercarne i limiti.

an

Sk

kn

n

n k= +⎛

⎝⎞⎠ + = + −⎛

⎝ +1 1 12

1 12 1

!

⎞⎞⎠

=∑k

n

0

13

32

0 010

⎛⎝

⎞⎠ − ≤

=∑

k

k

n

, .

13

2

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑k

k

;13

1

⎛⎝

⎞⎠

=

∞

∑k

k

,

rk

k=

∞

∑0

a nnn =

+cos π1 2

LAVORIAMO CON DERIVE



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33

Successioni

Scrivere i primi quattro termini delle seguenti successioni.


an = n + 2

an = n2 – 2n

an = cos n π

an = (− 1)cos nπ

an = (− 1)sen nπ

1 se n è disparian =

2n2 se n è pari

n + 1 se n è disparian =

n − 1 se n è pari

a0 = 1 an+1 = 3an + 1

a0 = 2 aan

n+ =1

111

10

9

an

nn

= ⎛⎝

⎞⎠

+−1

3

3 42 3

8

7

6

5

4

a nn = sen π2

3

2

1

Esprimere il termine generale della successione {an} in funzione di n nei seguenti casi.

an è l’n-simo intero dispari a partire da 1. 2n + 1

an è l’n-simo intero pari a partire da 8. 2n + 8

an è l’n-simo multiplo di 3 a partire da 6. 3n + 6

an è il numero intero pari seguente l’n-simo quadrato (essendo 0 il primo quadrato). n2 + 2

an è il cubo dell’n-simo quadrato. n6

Sia {an} la successione definita da an = n2 – n. Esprimere in funzione di n i termini:

a2n an+2 an−1

Sia an = log n. Esprimere, in funzione di n, i seguenti termini:

a2n an3 an!

Sia . Esprimere, in funzione di n, i seguenti termini:

an+1 an2 an2+1

a nnn =

+1 219

18

17

16

15

14

13

12

esercizio risolto

an è il primo numero pari maggiore o uguale dell’n-simo quadrato.

I termini della successione non possono che essere an = n2 o an = n2 + 1. Tenuto conto che il qua-drato di un numero pari è pari mentre quello di un numero dispari è dispari, si ha quindi:

Inoltre, essendo:

un’espressione unica per gli an può essere la seguente:

a nn

n

= + − −2 1 12( )

1 12

01

− − = {( )n nn

se parise dispari

an nn nn = +

⎧⎨⎩

2

2 1se parise dispari

esercizi

0030.cap1_es.qxd 14-02-2008 10:02 Pagina 33


Sia an = sen n. Esprimere, in funzione di n, i seguenti termini:

a2n an+1 a3n



a a an n n2 12 2, ,( )+

a nn =22

a a an n n2 3 3, ,+

a nnn = + 121

20

esercizio risolto

Determinare i primi 4 termini della successione definita per ricorrenza come segue:

Detta f (x) = 2x(1 – x), i termini della successione sono i valori:

Costruito il grafico della f (x), le iterate si costrui-scono servendosi della retta y = x: i 4 primi valoridella successione sono le 4 ascisse dei 4 puntiriportati.Si ha:

a a a a0 1 2 31

109

50369

1250325089= = = =, , ,7781250

a a f a f f a f f0 1 2 31

101

101

10= = ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=, , , ff 110

⎛⎝

⎞⎠

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

a a a an n n0 11

102 1= = −+, ( )

xO 1a0 a1 a2 a3

y y = x

f(x) = 2x(1 – x)

12–

12–

Que

siti

a r

ispo

sta

mul

tipl

a 1. Data la successione {an} definita per ricorrenza da:

an+1 = 2an – an–1 (n ≥ 2)

se a1 = a e a2 = b allora an è uguale a:

a + (n + 1)(b – a) a + n(b – a) (n – 1)b – (n – 2)a n(b – a)

Se {an} è una successione definita per n ≥ 3 da

2. allora è:

crescente decrescente non crescente non decrescente

3. e risulta:

an ∈ ]– ∞; 0[

4. Se {an} è una successione definita per n ≥ 1 da , allora è:

crescente decrescente non crescente non decrescente

5. Se {an} è una successione definita per n ≥ 2 da , allora è:

crescente decrescente non crescente non decrescentedcba

ann

n= 3

2

dcba

a nnn = −4 2

an ∈ + ∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

56

;dcan ∈ ⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

1 152

;ban ∈ ⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

0 56

;a

dcba

a nnn =

+5

92

dcba

34

0030.cap1_es.qxd 14-02-2008 10:02 Pagina 34

Per ognuna delle seguenti successioni definite per ricorrenza rispondere ai seguenti quesiti:

a) scrivere la legge f che lega ogni termine al precedente;b) tracciare il grafico rappresentativo γ della funzione f;c) servendosi di γ rappresentare graficamente i primi 4 termini della successione.

ese

rciz

i


La costruzione della figura lascia intuire due fatti:

• la successione {an} costruita converge a , ascissa dell’intersezione tra il grafico di f (x) e quel-lo della retta y = x;

• anche scegliendo valori a0 iniziali diversi, ma tali che a0 ∈ ]0; 1[, si generano successioni {an}diverse ma ancora convergenti a .

• la scelta di un a0 ∉ ]0; 1[ conduce a successioni divergenti a –∞.

l = 12

l = 12

a0 = –1 an+1 = an + 4

a0 = 2

an+1 = –a2n + 1

an+1 = –an + 2

an+1 = cos an

an+1 = 4an (1 – an)

a a an n n+ = +12 2a0

12

=31

a a an n n+ = +12 2a0

12

= −30

aa

ann

n+ =

+1 1a0

32

=29

a014

=28

a014

=27

a013

=26

a012

=25

aan

n+ =

+11

2 124

23

Calcolare il più piccolo intero n che verifica le disequazioni seguenti.

n = 1000

2n − 1 > 254 n = 8

n2 + 6n − 1 > 400 n = 18

n = 5

5n3 + 1 > 20005 n = 1636

n n2 1 10+ + >35

34

33

2 1000n

n+ >32

Limiti delle successioni

Servendosi della definizione di limite, verificare le seguenti uguaglianze.

esercizio risolto

Si tratta di verificare che i termini

differiscono da sempre meno all’aumentare di n: questo significa provare che le disuguaglianze

sono verificate dagli n > nε, con soglie nε dipendenti da ε.

| |a l nnn − = + − <1

212

ε

l = 12

a nnn = + 1

2

limn

nn→→++∞∞

++ ==12

12

35

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36


lim ( )n

n→+∞

− = −∞1 350

limn

n n→+ ∞

− −( ) = −∞⎜ ⎜ ⎜ ⎜2 149

limn

n n→+∞

−( ) = − ∞48

lim ( )n

n n→+∞

+ − = +∞2 3 147

limn

nn→+∞

−+

=31

0246

limn

nn→+∞

−+

=2

213

145

limn n→+∞ +

=31

044

limn

nn→+∞

− = −1 2 243

limn

nn→+∞

+ =1 3 342

limn

n→+∞

=2 11

41

limn

n

→+∞

⎛⎝

⎞⎠ =1

2040

limn n→+∞ +

=54

039

limn

nn→+∞

+ =3 12

32

38

limn

nn→+∞

− =1 137

Si ha:

Quindi:

disuguaglianza soddisfatta da

La soglia nε è pertanto, per ogni ε, il primo numero naturale maggiore o uguale a .

Così, per esempio, se ε = 1 avremo nε = 1, se avremo nε = 5 ecc.ε = 110

12ε

n > 12ε

nn n

+ − < ⇔ <12

12

12

ε ε

nn n

+ − =12

12

12

Calcolare il limite delle seguenti successioni, nel caso in cui risultino regolari.

0

− ∞

+∞

+∞

− 1

1

5

+∞

+∞

0

+∞

0

1

0

+∞limn

n n nn→+∞

+ +3 165

limn

n nn→+∞

+ 12

64

lim( )

n

nnn→+∞

+ −163

limn

nn→+∞ +

101

10

262

limn

n nn n n→+∞ + +

4 3

3 161

limn

n nn n→+∞

−+

2360

limn

nn n→+∞

+2 559

limn

n

→+∞+2 258

limn n→+∞

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 557

limn

n n→+∞

≥( )2 2 56

limn

nn n→+∞

−+ +

31

2

255

limn

n→+∞

−2 154

limn

nn→+∞

+2 153

lim ( )n

n→+∞

−2 3 252

limn

nn→+∞ +

21251

0030.cap1_es.qxd 14-02-2008 10:02 Pagina 36

37

0

0

+∞

0

–∞

–∞

–∞

[La successione è indeterminata, essendo:0 per n dispari

an = ...]

per n pari

0

1

1

[La successione è indeterminata, essendo:

per n dispari

an = ...]

3 per n pari

1

2

[ posto ]

0

0

+∞

0

− 12lim

n

n nn n→+∞

+−

sen 2

23 284

limcos

n

nn n→+∞

+

+

1 1

sen83

limn

nn→+∞

2 1sen82

limn

n

n→+∞

sen π2

81

limcos

n

nn→+∞

−1 1

280

2n

t= …nn

n

n

sensen2 2

2

2= ,

limn

nn→+∞

⎛⎝

⎞⎠sen 2

79

limn

n n

n n→+∞

+

+

13

15

13

14

78

nn

++

31

lim( )

n

nn nn→+∞

+ + − ⋅+

2 3 11

77

lim( )( )n

n

n

nn→+∞

+ −− −

11

76

limn

n nn n→+∞

− −− +

2 33 4

275

limn

n n→+∞

+ −( )2 174

21

nn +

lim( )

n

nn nn→∞

+ −+11

73

limn

n n n→+∞

− − +( )2 22 172

limn

n n n→+∞

− − +( )2 25 4 171

limn

n

n n→+∞

++ − +

3 4

1 42 270

limn n n→+∞ − +

16 269

limn

n n→+∞

+ − +( )3 5 2 168

limn

n n→+∞

− +( )2 367

limn

n n→+∞

+ − +( )4 1 2 466

ese

rciz

i


esercizio risolto

L’espressione di an, differenza di e , due successioni divergenti a +∞, presenta la formaindeterminata +∞ –∞ che non consente di riconoscere immediatamente se la an sia convergente omeno.Osservato tuttavia che:

si ha, svolgendo il prodotto notevole a numeratore:

Tenuto presente che l’espressione a denominatore, somma di e , diverge a +∞, si rico-nosce che an è convergente al limite l = 0.

nn + 1

a n nn n n nn = + −

+ +=

+ +11

11

n nn n n n

n n+ − = + −( ) + +( )

+ +( )11 1

1

nn + 1

a n nn == ++ −−1

0030.cap1_es.qxd 14-02-2008 10:02 Pagina 37

38


esercizio risolto

La definizione di logaritmo implica l’uguaglianza:

Tenuto presente che

e

è facile riconoscere che le potenze di tendono a zero se e solo se gli esponenti divergono a +∞;quindi:

lim limn

a

n n

n

a→+∞ →+∞

⎛⎝

⎞⎠ = ⇔ = +∞1

30

13

13

1<limn

nn→+∞

+ =2 02

13

22

⎛⎝

⎞⎠ = +an n

n

a nnn == ++log1

32

2

0

[Poiché ∀n ∈ � risulta –1 < sen n! < 1, si

ha:

quindi, applicando il teorema del confronto...]

[Si ha: 1 + 2 + ... + n = ...]

[Si ha: 1 + 22 + 32 + ... + n2 = ...;

vedi vol. 1, cap. 2, es. 186]

n n n( )( )+ +1 2 16

13

limn

nn→+∞

+ + + … +1 2 32 2 2

387

12

n n( )+ 12

lim ...n

nn→+∞

+ + + +1 2 3286

−+

< ⋅+

<+

nn

n nn

nn2 2 21 1 1

sen( !);

lim!

n

n nn→+∞ +sen2 1

85

–∞

2

–∞

+∞

+∞

–∞

1

1

0

1

e

1

1

+∞

e–3

[ posto n + 1 = – 3t... ]nn n

−+

= + −+

21

1 31

limn

nnn→+∞

−+

⎛⎝

⎞⎠

21

106

limn

n nn

n→+∞

− +

+⎛⎝

⎞⎠

35 2

2

105

limn

nnn

n→+∞

−+−

+⎛⎝

⎞⎠

23

11

104

limn

n

n→+∞+⎛

⎝⎞⎠1 1

2103

limn

n

n→+∞

−

+−

⎛⎝

⎞⎠1 1

1

2

102

limn

ne→+∞

1

101

lim ( )n

nn

→+∞− ⎛

⎝⎞⎠1 7

10100

13 3

limn

nn

→+∞

+−⎛

⎝⎞⎠

13

3 42 399

limn

n→∞

−( )2 11

98

2 1+limn

nn

→∞

−+−( )2 1

1197

12

limn

nn

→∞

++⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

7 2496

13

limn

nn

→∞−3195

lim log ( )n

n→∞ π 2arctg 94

lim(log log )n

n n→∞

−12

393

lim log senn

nn→∞

+12

292

lim logn

n nn→∞

−+

34 2

3 2

291

lim logn

nn→∞ +3 2 3

90

lim logn

nn→∞

−+2

2

24 1

289

lim logn

nn→+∞ +1

2

2

188

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UC

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ION

SP

A

39

Successioni aritmetiche e geometricheStabilire se le seguenti successioni sono aritmetiche o geometriche e in ogni caso calcolarne il limite.

{2n} geometrica, di ragione q = 2;

{4 + n} aritmetica, di ragione d = 1;

geometrica, di ragione q =

né geometrica né aritmetica;

geometrica, di ragione q = ;

né geometrica né aritmetica; limn n→+∞ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1

4 10

14 1n +{ }114

limn

n

→+∞−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =1

20

214−⎛

⎝⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

2n

113

limn n→+∞

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1 1 11 1+{ }n

112

limn

n

→+∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =1

401

414

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

n

111

lim ( )n

n→+∞

+ = +∞4110

limn

n

→+∞= +∞2109

ese

rciz

i


Vero

o f

also

?

1. Ogni successione crescente è convergente.

2. Il prodotto di due successioni crescenti è crescente.

3. Il limite di una successione a termini positivi è positivo.

4. La somma di due successioni indeterminate è indeterminata.

5. Il quoziente di due successioni divergenti è divergente.

6. Se allora .

7. Le successioni sono convergenti.

8. Se {an} è una successione convergente allora è convergente anche la successione bn = an + an + 1

Sia {an} una successione numerica; si ha:

9. se ∀n ∈ � risulta 2 ≤ an ≤ 3 allora {an} è convergente

10. se ∀n ∈ � risulta allora {an} converge a –1.

11. se allora la successione {an} è decrescente e an ≥ 1 ∀n ∈� oppure

{an} è crescente e an ≤ 1 ∀n ∈� FV

limn na

→+∞= 1

FVa nnn + ≤

+1

42

FV

FV

FVan

an

+⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪∀ >1 0

FVlimn n

a

ae

n

→+∞+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=1 1limn na

→+∞= +∞

FV

FV

FV

FV

FV

Vero

o f

also

?

1. Le successioni aritmetiche sono regolari.

2. La somma di due successioni geometriche è una successione geometrica.

3. Se {an} è una successione geometrica di ragione allora {an} è convergente.

4. Se {an} è una successione aritmetica di ragione allora {an} è convergente. FV− 37

FV− 37

FV

FV

1π6

limn

nn→+∞ +

arcsen2 1108lim

n

nn

n→+∞

+

+⎛⎝

⎞⎠1 1

1

107

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esercizio risolto

Sia {un} la successione definita per ricorrenza:

[*]

a. Calcolare u1, u2, u3.b. Dimostrare che la successione

[**]

è una successione geometrica ed esprimere vn in funzione di n.c. Esprimere un in funzione di n e calcolare

a. Dalla [*] si ha:

n u= = − ⎛⎝

⎞⎠ + =1 3

575

2 29252

n u= = − − + =0 35

1 2 751 ( )

limn nu

→+∞

v un n= − 54

u u u nn n0 11 35

2= − = − + ∀ ∈+, �

40


Dimostrare che la successione è infinitesima se e solo se a < 0.

[Si tratta di una successione geometrica di ragione , quindi è infinitesima se e solo se da cui svi-luppando...]

Dimostrare che ∀n ∈� il termine an della successione {an}:

an = 2n + (–1)n ⋅ n

verifica la diseguaglianza: an ≥ n.Quale conclusione si può trarre per il ? +∞

Data la successione {an} definita da:

a) stabilire che la successione è crescente;b) dimostrare che:

Dedurre infine che {an} è convergente e calcolare il . 3

[Tenendo conto che si può scrivere basta verificare che ∀n ∈� risulta an+1 > an, cioè risolve la

disequazione ]

Studiare il con x > 0 e y > 0.

[ se se ]

se x < y, ; se x > y, ; se x = y, limn na

→+∞= 0lim

n na→+∞

= 1limn na

→+∞= −1

xy

> 1…0 1< <xy

…,x yx y

xy

xy

n n

n n

n

n

−+

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

limn n n

n n

n na ax yx y→+∞

= −+

se 118

3 42

3 41

−+

> −+n n

...

ann = −

+3 4

1

limn na

→+∞

ann − <3 4

a nn

nn = −+

∈3 11

( )�

117

limn na

→+∞

116

11

1+−

<aa

11

+−

aa

11

+−

⎛⎝

⎞⎠

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪aa

n

115

0030.cap1_es.qxd 14-02-2008 10:02 Pagina 40

b. Per dimostrare che vn è una successione geometrica verifichiamo che è costante il rapporto tra ognitermine e il precedente.Calcoliamo quindi vn + 1 in funzione di vn:

Mettiamo in evidenza :

Poiché per ogni n ∈ � risulta:

la successione {vn} è una successione geometrica di ragione .Essendo

si ha:

c. Dalla [**] si ha:

Si ha quindi:

perché lim

n

n

→+∞−⎛

⎝⎞⎠ =3

50

lim limn n n

n

u→+∞ →+∞

= − −⎛⎝

⎞⎠ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =9

435

54

54

un

n

= − −⎛⎝

⎞⎠ +9

435

54

v nn

n

= − −⎛⎝

⎞⎠ ∀ ∈9

435

�

v u0 054

1 54

94

= − = − − = −

− 35

v

vn

n

+ = −1 35

v u v wn n n+ = − −⎛⎝

⎞⎠ = −1

35

54

35

35

v u u un n n n+ += − = − + − = − +1 154

35

2 54

35

34

n u= = − ⎛⎝

⎞⎠ + =2 3

52925

2 1631253

41

Sia {un} la successione definita per ricorrenza per n ∈ �0:

a) Studiare la successione se a = 1.b) Si consideri la successione {vn} definita per n ∈ �0:

vn = 2un – 2

Dimostrare che {vn} è una successione geometrica di ragione .

c) Per quale valore di a,

a) la successione è costante • b) • c) a =193

Si considerino la successione {un} definita da:

e la successione {vn} definita da:

a) Dimostrare che .v vn n+ = −113

vu

unn

n

n

=−+

∈31

)( �

u uun

n0 11 2 3= = ++

120

v an

n

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

2 1 12

1

( )

v1034

= ?

12

u a u u an n1 112

1= = + ∈+, ( ) ( ) �

119

ese

rciz

i


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A

42


b) Esprimere vn in funzione di n. Calcolare il .

c) Esprimere un in funzione di vn. Calcolare il .

a) [Poiché , allora {vn} è una progressione geometrica...]

• b)

Siano {an} e {bn} due successioni definite ∀n ∈ � da:

a) Dimostrare che {bn} è una successione geometrica di cui si determineranno il primo termine e laragione.

b) Calcolare .

c) Esprimere an in funzione di bn e dedurre il .

a) b0 = 3, • b) • c)

Sia {un} la successione così definita in �0:

u1 = − 3 un+1 = per n ≥ 1

Calcolare u2, u3, u4.Sia poi {vn} la successione così definita in �0:

vn = un + 18

Dimostrare che {vn} è una successione geometrica, esprimere vn in funzione di n, poi un in funzione di n.

q = ; vn = ; un =

Sia {un} la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a) Calcolare u1, u2, u3.b) Si consideri la successione {vn} tale che, ∀n ∈ �, vn = un –2.

Dimostrare che {vn} è una successione geometrica; esprimere vn in funzione di n, calcolare il limite di{vn} e di {un}.

b)

Sia {un} la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a) Calcolare u1, u2, u3.b) Considerare, poi, la successione {vn} tale che, ∀n ∈ �, vn = un + 1.

Dimostrare che {vn} è una successione geometrica; esprimere vn in funzione di n, calcolare il limite di{vn} e di {un}.

b) vn

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −2 3

40 1; ;

u uu

nnn

0 113 1

4= =

−∀ ∈+ e �

124

vn

n

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5 2

50 2; ;

u uu

nnn

0 172 6

5= =

+∀ ∈+ e ��

123

15 23

181⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

−n

15 23

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n23

23

6un −

122

a b an n n n= − = −→+∞

12

3 3; limlimn nb

→+∞= 0q = 2

3

limn na

→+∞

limn nb

→+∞

{ }:

{ }:

a a a a

b b an n n

n n n

0 132

23

1

2 6

= − = −= +

+

121

uvv

unn

n n n=+

− +=

→+∞

31

3; limv vn

n

n n= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

→+∞

13

0; lim

vu

u

uu

vnn

n

n

n+ =

+ −

+ += − ⋅

−+

= −1

2 3 3

2 3 1

13

31

13

limn nu

→+∞

limn nv

→+∞

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43

Sia {un} la successione di termine generale un, così definita in �0:

u1 = 6 5un = un−1 + 4

Calcolare u2, u3, u4.Si consideri poi la successione {vn} così definita in �0:

vn = un − 1

a) Dimostrare che {vn} è una successione geometrica di cui si preciseranno il primo termine e laragione.

b) Esprimere vn in funzione di n, dedurre quindi l’espressione di un in funzione di n.c) Trovare .

a) v1 = 5; q = • b) vn = ; un = • c) 1

Sia {an} la successione così definita in �0:

a1 = an+1 =

Calcolare a2, a3, a4.Si consideri poi la successione {bn} tale che:

bn = − 1 + 2an

a) Dimostrare che {bn} è una successione geometrica di ragione .b) Esprimere an e bn in funzione di n.c) Calcolare la somma S dei primi n termini della successione {bn}.

b) an = ; bn = • c) S =

Si consideri la successione {an} definita per ricorrenza nel modo seguente:

a1 = 0 an = 2 + 3an−1 se n > 1

Si consideri poi la successione {bn} tale che bn = 1 + an.Stabilire se {bn} è una successione geometrica.

Esprimere bn in funzione di n. Calcolare e .

bn = 3n−1; ;

Si consideri la successione {un} così definita:

∀n ∈ �

Calcolare i primi cinque termini della successione {un}.Sia poi {vn} la successione così definita:

vn = un + a (a ∈ �) ∀n ∈ �

a) Determinare il numero reale a in modo che la successione {vn} sia una successione geometrica.b) Dedurre i valori di vn e un in funzione di n.c) Studiare la convergenza di un.d) Trovare il più piccolo intero positivo n tale che:

un + 1 < 10−4

a) a = 1 • b) vn = ; un = • c) • d) n = 15limn nu

→+∞= −11

21

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−n12

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n

u u un n0 11 2 1= = −+

128

limn nb

→+∞= +∞lim

n na→+∞

= +∞

limn nb

→+∞lim

n na→+∞

127

20 1 12

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

n

10 12

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n

5 12

12

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−n

12

1 24

+ an112

126

5 15

11⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +

−n

5 15

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n15

limn nu

→+∞

125

ese

rciz

i


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44


Si consideri la successione f definita nel modo seguente:

(∀ n ∈�)

a) Calcolare f (0), f (1), f (2), f (3).b) Dimostrare che f è strettamente crescente.

c) Calcolare .

d) Determinare il più piccolo valore di n per il quale risulta f (n) ≥ 1000.c) +∞ • d) n = 7

Sia {an} la successione definita in � nel modo seguente:

an + 1 = a ⋅ an + 3

a) Per quale valore a* di a {an} è una successione aritmetica di ragione non nulla?b) Se a ≠ a* mostrare che a0 può essere scelto in modo che la successione risulti costante.

a) a* = 1 • b) [Deve risultare an+1 = an , cioè aan + 3 = an ...] a0 =

Si consideri la successione {un} definita in � per ricorrenza nel modo seguente:

un − un−1 = λun−1 (n ≥ 1)

a) Esprimere un in funzione di n, λ, u0.

b) Calcolare .

a) un = u0 (1 +λ)n • b) vi sono vari casi possibili: se λ = 0, ; se − 2 < λ < 0, ;

+ ∞ se u0 > 0

se λ > 0, = ; se λ ≤ − 2, la successione è indeterminata

− ∞ se u0 < 0

limn nu

→+∞

limn nu

→+∞= 0lim

n nu u→+∞

= 0

limn nu

→+∞

131

−−31a

130

lim ( )n

f n→+∞

f nn

( ) = −3 52

129

Que

siti

a r

ispo

sta

mul

tipl

a

1. {an} è una successione geometrica di ragione ; se a0 = 4 e allora n è uguale a:

3 4 5 6

2. Tre numeri x, y, z sono nell’ordine tre termini consecutivi di una successione geometrica, se

e allora la terna ordinata (x; y; z) è uguale a:

solo solo

Sia {an} una successione geometrica di ragione e di termine iniziale – 2; allora:

3.

0 – 1 1

4. se

– 6 – 4 – 2 0dcba

S a Sn kk

n

n n= ==

→+∞∑ , lim0

d23

cba

limn na

→+∞=

23

2 23

29

23

29

2; ; ; ;⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠d2 2

329

29

23

2; ; ; ;⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠c2 2

329

; ;⎛⎝

⎞⎠b

23

2 29

; ;⎛⎝

⎞⎠a

x y z+ + = 269

x y z⋅ ⋅ = 827

dcba

an = 14

12

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A

45

Si consideri una successione geometrica {an} definita in �0 sapendo che:

a1 = − 48 a8 =

a) Determinare la ragione q e il termine generale an.b) Calcolare .

a) q = ; an= • b)

Una progressione geometrica ha il primo termine uguale a 1 e la ragione

a) trovare la somma dei primi 10 termini quando ;

b) calcolare la somma Sn dei primi n termini in funzione di ϑ.

Se , determinare il valore di ϑ.

a) S10 = 2 – 2–9 • b)

Si consideri la successione {an} definita da:

Calcolare . Si ponga Sn = a1 + a2 + … + an e verificare che Sn = – log(2n + 1).

Calcolare .

Sia {an} la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a) Calcolare a1, a2, a3.b) Verificare per ricorrenza che la successione an è crescente.

c) Verificare che e dedurre che la successione ammette limite finito l.

d) Calcolare il .

[ pertanto da cui...]l = 1

Sia {an} la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a0 = 1 e

a) Calcolare a1, a2, a3.b) Verificare per ricorrenza che la successione an è crescente.c) Verificare che 1 ≤ an ≤ 3, ∀n e dedurre che la successione ammette limite finito l.d) Calcolare il .

Sia {an} la successione definita per ricorrenza al modo seguente:

a) Calcolare i primi cinque termini della successione.b) Verificare per ricorrenza che la successione an è crescente.

a a an n0 121

214

1= = ++ e

137

[l l l= + =3 2 3 ...] da cuilim

n na l→+∞

=

a an n+ = +1 3 2

136

l l=Se a l allora a ln n n n lim lim

→+∞ →+∞ += =1 ,

limn na l

→+∞=

12

1≤ ≤ ∀a nn ,

a a an n0 112

= =+ e (∀∀ ∈n �)

135

lim ; limn n n na S

→+∞ →+∞= = −∞0

limn nS

→+∞

limn na

→+∞

a nn

nn = −+

∈log )2 12 1 0 ( �

134

ϑ π π ϑ π π= + = +12

512

k k;

limn nS

→+∞= 4

3

ϑ π=4

q = 12

2sen ϑ133

limn na

→+∞= 0− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

48 12

1n

− 12

limn na

→+∞

38

132

ese

rciz

i


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Documents

Lezioni di Matematica 3 - uniroma1.it