Embed Size (px)
Citation preview
3
Некоммерческое
акционерное общество
Кафедра математики и
математического
моделирования
КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Конспект лекций
для студентов специальности
5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Алматы 2018
АЛМАТИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И
СВЯЗИ
4
СОСТАВИТЕЛИ: Базарбаева С.Е., Масанова А.Ж. Компьютерное
решение задач операционного исчисления и теории вероятностей. Конспект
лекций для специальности 5В071900 Радиотехника, электроника и
телекоммуникации. – Алматы: АУЭиС, 2018. -68 с.
Лекции включают три раздела, необходимые для изучения данного
спецкурса: «Теория вероятностей», «Математическая статистика»,
«Операционное исчисление», предусмотренные учебными планами для
студентов указанной специальности. В доступной форме изложены основные
теоретические сведения, приведены примеры и решённые задачи,
помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал. Конспект лекций
предназначен для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 –
Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный материал
соответствует разделам.
Библиогр. – 8 названий, 17 рисунков.
Рецензент: доцент каф. МММ, к.ф.м.н. Искакова А.К.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2018 г.
5
Сводный план 2018., поз. 227
Базарбаева Сауле Ермурзаевна
Масанова Аида Жайлауовна
КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Конспект лекций
для студентов специальности
5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Редактор Л.Т. Сластихина
Специалист по стандартизации Н.К. Молдабекова
Подписано в печать _______ Формат 60х84 1/16
Тираж 134 экз. Бумага типографская №1
Объем 4,1 уч.- изд. лист Заказ_____ Цена 2100 тг
Копировально-множительное бюро
некоммерческое акционерное общество
«Алматинский университет энергетики и связи»
050013, Алматы, Байтурсынова, 126
Модуль 1. Теория вероятностей
6
Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события
Содержание лекции: предмет теории вероятностей. Пространство
элементарных событий. Алгебра событий. Различные определения
вероятности
Цель лекции: познакомить с предметом и основными понятиями
теории вероятностей.
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая
закономерности массовых случайных явлений, причём она рассматривает не
сами явления, а их математические модели. Понятие события является
основным в теории вероятностей.
Испытание и событие − это основные понятия теории
вероятностей. Испытание − опыт, наблюдение, эксперимент, реализация
определенного комплекса условий. Событие − результат, исход
испытания.
События бывают.
1. Достоверное (U) − обязательно произойдет.
2. Невозможное (V) − заведомо не произойдет.
3. Случайное (A,B,C…) − может либо произойти, либо не
произойти.
Виды случайных событий.
Два события называются совместными, если появление одного из
них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
В противном случае события называются несовместными.
Два события A и B называются противоположными, если в
данном испытании они несовместны и одно из них обязательно
происходит. Обозначение: ВА , АВ .
Несколько событий образуют полную группу, если появление одного
и только одного из них в результате испытания является достоверным
событием.
Классическое определение вероятности.
Несколько событий, связанных с данным испытанием, называются
элементарными исходами испытания, если:
- эти события образуют полную группу, т.е. при каждом
осуществлении опыта наступает одно и только одно из них;
- эти события являются равновозможными.
Те элементарные исходы, при которых событие A наступает,
называются благоприятствующими событию A.
Вероятностью события A называется отношение числа m
элементарных исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу
n всевозможных элементарных исходов испытания.
7
n
mAP )( . (1.1)
Свойства вероятности.
1. Вероятность случайного события есть неотрицательное число,
заключенное между нулем и единицей: .1)(0 AP
2. Вероятность достоверного события равна 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.
или P(A)=p, )( АР =q, то p+q=1.
Статистическое определение вероятности.
Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило
ровно M раз. Отношение N
M называется относительной частотой события
A и обозначается N
MAW )( . За вероятность события A принимается
число, около которого группируются наблюдаемые значения
относительной частоты: )()( AWAP .
Алгебра событий.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее
в совместном появлении всех этих событий. Обозначение: С=АВ,
nАААВ ...
21 . Если события A и B несовместны, то AB=V.
Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A
уже произошло, называется условной вероятностью события B и
обозначается P(B/A).
Два события называются независимыми, если вероятность появления
каждого из них не изменяется от того, появилось другое событие или
нет. В противном случае события называются зависимыми.
Если событие A не зависит от события B, то его условная
вероятность равна безусловной вероятности: P(A)= P(A/B).
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если
вероятность появления одного из них не изменяется при появлении
каких-либо других оставшихся.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в
появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=А+В,
nАААВ ...
21.
Если рассматриваемые события несовместны, то их суммой
является событие, состоящее в появлении только одного из этих
событий.
Если события n
AAA ,,,21
образуют полную группу, то их сумма
является достоверным событием: UAAAn ...
21.
Если события A и B − противоположные, то A+B=U, AB=V.
Следствие. Сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице.
8
Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна
разности между единицей и вероятностью произведения
противоположных событий ВиА : )(1)( BAPBAP .
Следствие. Если 11
)( pAP , 22
)( pAP , то 111
1)( qpAP ,
2221)( qpAP и
21211)( qqAAP .
В частности, если pAPAP )()(21
, то 2
211)( qAAP .
Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей
Содержание лекции: теоремы умножения и сложения. Формулы полной
вероятности и Байеса. Элементы комбинаторики.
Цель лекции: познакомиться с основными теоремами теории
вероятностей.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий: )()()( BPAPBAP .
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух зависимых событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, вычисленную при условии, что первое событие уже
произошло: )/()()( ABPAPABP .
Вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий: )()()( BPAPABP .
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть исходами
некоторого случайного эксперимента являются, кроме событий n
HH ,...,1
,
составляющих полную систему, наблюдаемое событие A , которое может
наступить только совмествно с одним из i
H . Последние будем называть
гипотезами по отношению к событию A . Безусловные вероятности гипотез
0i
HP по классической схеме могут быть определены до опыта (априорно).
Так как гипотезы попарно несовместны, то такими же будут и сложные
события AHAHn
,...,1 . Вероятность их суммы - APAHP
n
i
i
1
, называемой
полной вероятностью события A , можно найти с помощью аксиомы
сложения и формулы умножения вероятностей:
n
i
ii
n
i
iHAPHPAPAHPAP
11
/ . (1.2)
Значения вероятностей гипотез при условии, что событие A уже
произошло, обозначаются niABPi
,...,2,1),/( и называются апостериорными
или послеопытными, и они находятся по формуле Байеса:
9
,,...,2,1,
)/()(
)/()()/(
1
ni
HAPHP
HAPHPAHP
n
k
kk
ii
i
(1.3)
которая позволяет проверять вероятность осуществления каждой из
гипотез после получения информации о наступлении наблюдаемого события
A .
Элементы комбинаторики.
Конечное множество называется упорядоченным, если каждому
элементу множества присвоен номер из натурального ряда чисел. Бесконечное
упорядоченное множество носит название счетного множества.
Различные соединения (упорядоченные множества) из n элементов,
отличающиеся лишь порядком (местами) элементов называются
перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов
!nPn
.
Рассмотрим необязательно упорядоченные множества и ,
содержащие соответственно n и m nm элементов. Всевозможные
соединения , различающиеся только составом, называются сочетаниями из n элементов по m . Число сочетаний из n элементов по m
!!
!
!
1...1
mnm
n
m
mnnnС
m
n
.
Соединения из n элементов по m nm , различающиеся либо
составом, либо порядком своих элементов, называют размещениями из п
элементов по m .
Из каждого сочетания из n элементов по m перестановками можно
образовать !m размещений. Следовательно, число размещений из n
элементов по m :
.!
!11
mn
nmnnnPCA
m
m
n
m
n
Лекция 3. Схема испытаний Бернулли
Содержание лекции: схема Бернулли. Формулы Пуассона и Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.
Свойства функций Гаусса и Лапласа.
Цель лекции: познакомиться с основными формулами теории
вероятностей.
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Рассмотрим схему испытаний Бернулли. Пусть производится n
независимых испытаний. Каждое испытание имеет два возможных
исхода: либо появится событие A («успех»), либо противоположное ему
событие А («неудача»). Вероятность появления события pAP )( в
10
каждом отдельном испытании постоянна и от испытания к испытанию не
изменяется. Тогда вероятность «неудачи» равна qpAPAP 1)(1)( .
Исход каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие
испытания.
Вероятность )( mPn
того, что в n испытаниях событие A произойдет
ровно m раз, определяется по формуле Бернулли: mnmm
nnqpCmP
)( ,
где m
nС − число сочетаний из n элементов по m;
.)(;)0(;1);1(1
n
n
n
npnPqPpqPр
Число появлений события A, которому соответствует наибольшая
вероятность )( mPn
в данной серии испытаний, называется
наивероятнейшим и обозначается m0. Наивероятнейшее число m0
появлений события A в n испытаниях определяется из двойного
неравенства
pnpmqnp 0 .
Если pnp − целое число, то m0 принимает два значения: m0
= pnp и m0 = 1 pnp . Если pnp − дробное число, то m0 равно
целой части этого числа, т.е. m0 = )1( nр .
Практическое использование формулы Бернулли при достаточно
больших n ( уже при n>10) или, когда n большое, а р малое, приводит к
увеличению объёмов вычислений и не всегда удобно. В этих случаях для
вычисления вероятности )( kPn
применяют приближённые формулы.
Теорема Пуассона.
Если число испытаний n неограниченно возрастает, а вероятность р
появления события в каждом испытании мала, но произведение anp
остаётся постоянным, то вероятность )( kPn
приближённо равна: a
k
ne
k
akP
!
)( .
Последнюю формулу называют формулой Пуассона, обычно её
используют, когда 50n , а 10 anp . При вычислении по этой формуле
можно пользоваться таблицами или встроенными функциями в среде Mathcad.
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна
и не равна 0 и 1, а число испытаний n неограниченно возрастает, то
вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях приближённо
равна:
)(1
)( xnpq
kPn
, (1.4)
где функция Гаусса )2/exp(2
1)(
2
xx
;
11
npq
npkx
; pq 1 . (1.5)
Составлены таблицы )( x значений [8], при использовании которых
следует учитывать следующие свойства этой функции:
а) )( x чётная, т.е. )()( xx ;
б) можно считать, что )( x =0 при 4x .
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна
и не равна 0 и 1, а число испытаний n неограниченно возрастает, то
вероятность появления события не менее 1
k и не более 2
k раз (обозначается
)(21
kmkP или ),(21
kkP ) приближённо равна )()(),(1221
xxkkPn
, где
x t
dtex
0
2
2
2
1)(
;
npq
npkx
1
1;
npq
npkx
2
2. (1.6)
)( x называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения функции Лапласа можно определить из специальных таблиц [8] или
в среде Mathcad. Полезно знать свойства этой функции:
1) )( x определена для всех х.
2) 0)0( ; 2
1)( .
3) )()( xx , т.е. функция нечётная.
4) 5 x 2
1)( x .
Таким образом, график функции Лапласа имеет вид:
Рисунок 1
При решении задач, относящихся к схеме Бернулли, следует учитывать
условия и выбирать нужную формулу, а также весьма удобно использовать
встроенные функции Mathcad ( [8,10]).
12
Лекция 4-5. Случайные величины. Функция распределения
Содержание лекции: дискретная и непрерывная случайные величины.
Функция и плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
Цель лекции: познакомиться с видами случайных величин и способами
их задания.
Случайной величиной называется переменная величина, которая, в
зависимости от исхода испытания, случайно принимает одно из
множества возможных значений.
Случайные величины будем обозначать прописными буквами
латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения строчными: x,y,z,…
или ,...,21
xx
Случайная величина, принимающая различные значения, которые
можно записать в виде последовательности, называется дискретной
случайной величиной. Примеры:
- число покупателей в очереди у кассы;
- число ДТП за сутки;
- число бракованных изделий в партии.
Две случайные величины называются независимыми, если закон
распределения одной из них не меняется от того, какие возможные
значения приняла другая величина. В противном случае случайные
величины называются зависимыми.
Законом распределения дискретной случайной величины называется
соответствие (в виде таблицы, функции, графика) между возможными
значениями случайной величины и их вероятностями. Для полного
описания случайной величины надо знать не только множество их возможных
значений, но и вероятности этих значений.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть
задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные
значения i
x , а вторая – соответствующие вероятности )(ii
xXPp ,
X 1
х 2х
…. n
x
P 1
p 2
p
….. np
причем 1...21
n
ppp .
Графическое задание закона распределения Х: в прямоугольной системе
координат по оси абсцисс откладывают значения ix , а по оси ординат –
вероятности этих значений ip . Точки с координатами (
ix ,
ip )
последовательно соединяют отрезками прямой. Полученную ломаную
называют многоугольником распределения.
13
Аналитическое задание закона распределения требует определения
формулы, связывающей возможные значения с их вероятностями. Такую
формулу удаётся найти только для некоторых случайных величин.
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X
называется сумма произведений значений этой случайной величины на
соответствующие вероятности:
nnpxpxpxXM ...)(
2211 . (1.7)
Свойства математического ожидания M(X).
1. CCM )( , где C – const.
2. )()( XCMCXM .
3. )()()( YMXMYXM ; )()()( YMXMYXM .
4. CXMCXM )()( , где C − const.
5. 0)( XMXM .
Разность )( ХМХ называется отклонением случайной величины
Х от ее математического ожидания.
Дисперсией случайной величины X называется математическое
ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее
математического ожидания: 2
))(()( XMXMXD . (1.8)
Если случайная величина Х − дискретная, то i
n
i
ipXMxXD
1
2))(()( .
Средним квадратическим отклонением случайной величины X
называется квадратный корень из дисперсии: )()( XDX , или
)()(2
XXD .
Свойства дисперсии D(X).
1. ,0)( CD где C − const.
2. Если X − случайная величина, 0)( XD .
3. )()(2
XDССXD , )()( ХССХ .
4. )()()( YDXDYXD , если X и Y независимы.
5. )()( XDCXD .
6. )()()(22
XMXMXD - формула для вычисления дисперсии, т.е.
дисперсия случайной величины равна разности между математическим
ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического
ожидания.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения.
Случайная величина, принимающая все возможные значения из
некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной
величиной. Примеры:
- расход электроэнергии за сутки;
- время безотказной работы прибора;
14
- цена акции за определенный период.
Очевидно, что закон распределения непрерывной случайной величины
нельзя задать рядом или многоугольником распределения. Существует
универсальный способ задания закона распределения, пригодный как для
дискретных, так и для непрерывных случайных величин
Функцией распределения для непрерывной - F(x) случайной величины
X называется непрерывная функция )( xF , определяющая вероятность того,
что случайная величина X примет значение, меньшее x , т.е.
)xX(P)x(F . (1.9)
Для дискретной случайной величины эта функция разрывная
)()(
xx
i
i
xXPxF ,
где n
xxx ,...,,21
- её точки разрыва принимающей значения n
xxx ,...,,21
, и
xxi означает, что суммирование распространяется на все те значения
ix ,
которые меньше х.
Основные свойства функции распределения F(x).
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:
1)x(F0 . Это следует из определения функции распределения как
вероятности.
2. Функция распределения )( xF является неубывающей
функцией, т.е. для любых значений 12
хх выполняется неравенство
)()(12
xFxF .
3. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной
случайной величины равна нулю, т.е. 0)(0
xХP .
4. Если все значения случайной величины лежат на интервале (а;
b), то 0)( xF при ax , так как событие xX невозможно при ax ;
1)( xF при bх , так как событие xX достоверно при bх .
5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в
заданный интервал (a,b):
)()()()( bXaPBXaPbXaPbXaP =
= )()()( aFbFbXaP . (1.10)
На рисунке 2 представлен график непрерывной случайной и
перечисленные свойства.
Рисунок 2
15
Плотностью распределения вероятности )( xf непрерывной
случайной величины X называется производная от функции
распределения )( xF этой случайной величины: )x(F)x(f
Основные свойства плотности вероятности f(x).
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.
0)( xf (как производная неубывающей функции). Геометрически это
означает, что график этой функции лежит не ниже оси абсцисс.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в
заданный интервал ),( определяется как определенный интеграл от ее
плотности вероятности в пределах от до :
)()()()(
FFdxxfXP . (1.11)
Геометрический смысл формулы заключается в следующем:
вероятность того, что случайная величина X примет значение из
интервала ),( , равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой
распределения и опирающейся на отрезок ],[ .
3.
1)( dxxf . Геометрически это означает, что полная площадь
фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна
единице.
График плотности распределения )( xf на рисунке 3 и называется
кривой распределения.
Рисунок 3
На рисунке 4 показана геометрическая интерпретация свойств )( xf , где
площади заштрихованных областей соответственно равны:
а) вероятности попадания Х в интервал ),( ba ;
б)
x
dxxfxF )()( ;
в) 1)(
dxxf .
16
а) б) в)
Рисунок 4
Если все значения непрерывной случайной величины X принадлежат
отрезку ba , , то ее математическое ожидание и дисперсия определяются по
формулам:
dx)x(xf)X(M
b
a
,
b
a
XMdxxfxXD )()()(22 . (1.12)
Закон распределения случайной величины полностью её характеризует с
вероятностной точки зрения. Однако существует множество прикладных
задач, в которых достаточно знать лишь отдельные свойства закона
распределения, например, среднее значение, возле которого группируются
возможные значения случайной величины, или их разброс относительно
среднего.
Лекция 6. Понятие о моментах распределения
Содержание лекции: начальные и центральные моменты. Мода,
медиана, квантили, эксцесс, коэффициент ассимметрии.
Цель лекции: познакомиться со свойствами числовых характеристик
случайных величин.
Числовыми характеристиками случайной величины называются
неслучайные численные параметры, представляющие основные особенности
её закона распределения.
Числовые характеристики можно условно подразделить на
характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана,
квантиль), характеристики рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое
отклонение), характеристики формы (асимметрия, эксцесс).
Некоторые основные числовые характеристики являются частным
случаем понятия момента распределения. В теории вероятностей
рассматриваются моменты двух видов: начальные и центральные.
Начальным моментом k–го порядка случайной величины X называется
математическое ожидание случайной величины kX , т.е. )(
k
kXM .
17
Следовательно, для дискретных случайных величин начальный момент
выражается формулой
n
i
i
k
ikpx
1
; для непрерывных – формулой
dxxfxk
k)(
. Особое значение имеет начальный момент первого порядка –
это математическое ожидание: )(1
XM . Начальные моменты высших
порядков используются в основном для вычисления центральных моментов,
также они позволяют лучше учесть влияние на математическое ожидание тех
возможных значений, которые велики и имеют малую вероятность.
Центральным моментом k–го порядка случайной величины X
называется математическое ожидание случайной величины k
XMX )( , т.е.
k
kXMXM )( .
Для дискретных случайных величин центральный момент выражается
формулой:
n
i
i
k
ikpXMx
1
))(( ; для непрерывных – формулой
dxxfXMxk
k)())((
. Как было показано выше, 0)(1
XMXM ,
)()(2
2XDXMXM . Для описания свойств случайных величин широко
применяются также центральные моменты третьего и четвёртого порядков,
они характеризуют форму – симметричность или несимметричность,
островершинность или плосковершинность.
Центральный момент третьего порядка 3
служит характеристикой
симметрии. Доказано, что если случайная величина распределена
симметрично относительно своего математического ожидания, то 3
= 0 (как и
все центральные моменты нечётных порядков 0...531
). Так как 3
имеет размерность куба случайной величины, то обычно рассматривают
безразмерную характеристику: 3
3
xa - коэффициент асимметрии или
просто асимметрию. От ax зависит форма кривой распределения, если 0x
a ,
то эта кривая более полога справа от математического ожидания, если 0x
a ,
то - слева (рисунок 5).
Рисунок 5
18
Четвёртый центральный момент 4
служит характеристикой
островершинности или плосковершинности распределения.
Эксцессом случайной величины X называется безразмерная величина:
34
4
x
c .
Для нормального распределения 34
4
и 0
xc . А, поскольку, среди
законов распределения нормальный закон считается «эталоном формы», то
эксцесс, как и асимметрия, позволяют оценить отличие формы распределения
от нормального, для которого 0x
a и 0x
c . Кривые распределения более
островершинные, чем нормальная кривая, имеют эксцесс больше 0, менее –
меньше 0 (рисунок 6).
Рисунок 6
При вычислении центральных моментов полезно применять формулы,
выражающие центральные моменты через начальные: 2
122 ;
3
1213323 ;
4
12
2
13134364 .
Моменты более высоких порядков применяются на практике редко.
Модой дискретной случайной величины называется её наиболее
вероятное значение; модой непрерывной случайной величины называется
такое её значение, при котором плотность распределения имеет максимум.
Существуют распределения, не имеющие максимумов или имеющие один
или несколько максимумов. Мода обозначается o
M или M .
Медианой непрерывной случайной величины называется такое её
значение, относительно которого равновероятно, окажется ли случайная
величина больше или меньше этого значения, обозначается e
M , т.е.
19
2
1
eeMXPMXP . Так как функция распределения
)()( xXPxF , то последнее равенство можно переписать 2
1)(
eMF .
Поэтому практически медиану находят как корень уравнения 2
1)( xF .
Квантилью порядка p называется такое значение px
случайной
величины, для которого выполняется pxFxXPpp
)( . Таким образом,
медиана есть одна из квантилей, когда p =1/2. Квантили 75.05.025.0,, xxx иногда
называют соответственно нижней квантилью, медианой и верхней квантилью,
они делят область определения случайной величины на четыре части,
вероятность попадания в каждую одинакова и равна ¼.
Лекции 7-8. Основные законы распределения случайных величин
Содержание лекции: биноминальный закон распределения,
геометрический закон распределения, распределение Пуассона, равномерное,
показательное, нормальное распределения.
Цель лекции: познакомиться с основными законами распределения и их
основными числовым характеристиками.
Биноминальный закон распределения.
Пусть X – число появления события A в n независимых испытаниях, p
– вероятность появления A в каждом испытании, q – вероятность не
появления. Возможные значения X : 0,1,2,…, n . Вероятности этих
возможных значений вычисляются по формуле:
)( kPn
= )( kXP knkk
nqpC
; nk ,...,2,1,0 . (1.13)
Распределение дискретной случайной величины X , для которой закон
распределения задаётся формулой (1.13), называется биномиальным.
Таким образом, ряд распределения этой случайной величины будет
иметь вид:
Х 0 1 2 … n
Р(Х=k) nn
nqqpC
000 111 n
nqpC 222 n
nqpC … nnn
npqpC
0
Функция распределения:
nxпри
nxприqpC
xпри
xFxk
knkk
n
,1
0,
0,0
)( .
Для определения числовых характеристик можно воспользоваться уже
готовыми формулами, которые найдены при определении свойств
математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и
20
дисперсия числа появления события в n независимых испытаниях равны:
npXM )( , npqXD )( . Вероятность попадания в интервал ),( можно
найти по формуле:
)()()( FFXP .
Геометрическое распределение.
Пусть X – число испытаний до первого появления события A в n
независимых испытаниях, p – вероятность появления A в каждом испытании, q – вероятность не появления.
,2;1,10,11
mpppmXPm
(1.14)
с параметром р .
Вероятность представляет собой общий член геометрической
прогрессии со знаменателем 11 pq . Отсюда и название распределения;
его числовые характеристики:
;
1,
112
1 1
1
pMX
q
p
q
qpqpmqpMX
m m
mm
Вероятность (1.14) убывает с возрастаньем m . Значит, ,1
maxpXPp т.е. мода М0=1.
Распределение Пуассона.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального,
когда число испытаний n неограниченно возрастает, а вероятность появления
события в каждом испытании p уменьшается, но при этом произведение anp остаётся постоянным. В этом случае вероятность появления события
ровно k раз (k=0,1,2,…, n,…) вычисляется по формуле Пуассона
a
k
ne
k
akP
!
)( , (1.15)
а случайная величина, закон распределения которой задаётся этой формулой,
говорят, распределена по закону Пуассона.
Ряд распределения этой случайной величины будет иметь вид:
Х 0 1 2 … n …
Р(Х=k) a
e
a
ea
!1 a
ea
!2
2
…
a
n
en
a
!
…
Найдём числовые характеристики.
21
k
kkpxXM )(
0 !k
a
k
ek
ak =
0
1
)!1(k
a
k
ekk
aak =
0
1
)!1(k
k
a
k
aea =
= aaeaaa
.
Итак, математическое ожидание равно npaXM )( . Аналогично
рассуждая, можно определить, что дисперсия равна
aXMXMXD ...)()()(22 . Таким образом, для случайных величин,
распределённых по закону Пуассона, математическое ожидание и дисперсия
равны между собой. Это свойство закона Пуассона применяется на практике
при проверке гипотезы о том, что исследуемая случайная величина
распределена по закону Пуассона. О распределении Пуассона часто говорят
как о «законе редких событий». На практике это распределение встречается
довольно часто. Примерами случайных величин, распределённых по закону
Пуассона, являются: число электронов, вылетающих с катода за
определённый промежуток времени; число вызовов, поступающих на
телефонную станцию за время t; количество распадающегося за короткий
промежуток времени радиоактивного вещества; число обрывов пряжи
определённого сорта за время t и т.д.
Равномерное распределение.
В некоторых задачах практики встречаются непрерывные случайные
величины, о которых известно, что их возможные значения лежат в
определённом интервале и все они одинаково возможны. О таких величинах
говорят, что они распределены равномерно.
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение
на отрезке [a,b], если на этом отрезке её плотность распределения постоянна,
а вне него равна нулю, т.е.
b
bxесли
xaеслиc
axесли
xf
,0
,
,0
)( , где с – const.
Таким образом, график плотности равномерного распределения показан
на рисунке 7.
Рисунок 7
22
По свойствам плотности распределения f(x) площадь фигуры,
ограниченной графиком )( xf и осью OX, равна 1, т.е. 1)( abc или
abc
1.
Поэтому окончательно,
b
bxесли
xaеслиab
axесли
xf
,0
,1
,0
)( . (1.16)
Найдём функцию распределения )( xF . Т.к. по формуле
x
dxxfxF )()( ,
то при ax 00)(
x
dxxF ;
при bxa dxab
dxxF
x
a
a
10)( =
ab
ax
ab
x
a
1;
при bx 101
0)(
x
b
b
a
a
dxdxab
dxxF .
Таким образом,
b
bxесли
xaеслиab
ax
axесли
xF
,1
,
,0
)( . (1.17)
График )( xF имеет вид:
Рисунок 8
Математическое ожидание равномерного распределения:
b
a
dxxxfXM )()( =2)(2
2
ba
ab
xdx
ab
xb
a
b
a
;
дисперсия
12
)(1
2)(
22
abdx
ab
baxXD
b
a
;
среднее квадратическое отклонение 32
)(ab
x
.
23
Вероятность попадания в интервал ),( :
dxxfxP )()( =ab
dxab
1 или )()()( FFXP .
Эта вероятность численно равна площади заштрихованного
прямоугольника на рисунке 9.
Рисунок 9
Показательное распределение.
В практических приложениях теории вероятностей, например, в теории
надёжности, теории массового обслуживания и др., используется
показательный или экспоненциальный закон распределения.
Непрерывная случайная величина X распределена по показательному
закону, если её плотность распределения имеет вид:
0,
0,0)(
xеслиe
xеслиxf
x
, (1.18)
где >0 – параметр распределения.
Найдём функцию распределения
0,1
0,0)()(
xe
xdxxfxF
x
x
. (1.19)
На рисунке 10 изображены графики )( xf и )( xF .
а) б)
Рисунок 10
Для показательного распределения математическое ожидание:
dxxxfXM )()( = dxexx
0
=dxedvxuкогда
частямпоаниеинтегриров
x
,
,=
1;
дисперсия
24
)()()(22
XMXMXD =2
0
21
dxexx = частямпо =
222
112
;
среднее квадратическое отклонение
1
)( X . Таким образом, у
показательного распределения
1
)()( XXM , что часто применяется на
практике для проверки гипотезы о показательном распределении исследуемой
случайной величины. Вероятность попадания случайной величины,
распределённой по показательному закону в интервал ),( и α>0:
)()()0( FFXP =
ee .
Рассмотрим применение показательного распределения в теории
надёжности. Будем для простоты некоторое устройство называть элементом,
независимо от того простое оно или сложное. Пусть элемент начинает
работать в момент 00t , а по истечении времени t происходит его отказ.
Обозначим T непрерывную случайную величину – время безотказной работы
элемента. Функция распределения )()( tTPtF определяет вероятность
отказа за время t . Следовательно, вероятность безотказной работы за то же
время (т.е. вероятность противоположного события tT ) равна
)( tR )()(1 tTPtF . Функцию )( tR называют функцией надёжности,
она определяет вероятность безотказной работы элемента за время t . Часто T
распределена по показательному закону, тогда t
etF
1)( , а
)( tRt
etF
)(1 . В этом случае )( tR называют показательным законом
надёжности, а определяет интенсивность отказов.
Лекции 9. Нормальный закон распределения
Содержание лекции: математическое ожидание, дисперсия. Свойства
функции и плотности распределения нормального распределения. Правило
трех сигм.
Цель лекции: познакомиться со свойствами нормального распределения.
Нормальный закон распределения – важнейший в теории вероятностей.
Он очень широко распространён на практике и появляется, например, в тех
случаях, когда случайная величина является результатом действия большого
числа факторов, каждый из которых на неё влияет незначительно. Примеры
случайных величин, распределённых по нормальному закону: случайные
ошибки измерений и наблюдений; случайные отклонения от цели при
стрельбе; величина износа деталей во многих механизмах и т.д. Основная
особенность, выделяющая нормальный закон среди других, состоит в том, что
он является предельным законом, к которому приближаются, при
определённых условиях, другие законы распределения.
25
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины,
характеризуемый плотностью
2
2
2
)(
2
1)(
ax
exf
, (1.20)
называется нормальным законом.
Таким образом, нормальное распределение определяется двумя
параметрами a и . Раскроем вероятностный смысл этих параметров.
Покажем, что )( XMa :
dxxxfXM )()( = dxxe
ax
2
2
2
)(
2
1
=
axz
аподстановк
=…= a .
Аналогично, определяя дисперсию, получим, что )( X :
)( XD = dxxfXMx )())((2
= dxeax
ax
2
2
2
)(
2
)(2
1
=
axz
аподстановк
=
= dzez
z
22
22
2
=
2
2
,
z
zedvzu
частямпо
=…= 2
, откуда квадратическое
отклонение )( X .
Если a=0 и =1, то нормальное распределение называется
нормированным - N(0,1).
График плотности вероятностей нормального распределения называется
нормальной кривой или кривой Гаусса. Исследуем функцию
2
2
2
)(
2
1)(
ax
exf
методами математического анализа и построим её график
кривую Гаусса:
а) область определения ),( ;
б) график расположен выше Ox, т.к. xxf 0)( ;
в) 0)(lim
xfx
, т.е. ось Ox – горизонтальная асимптота;
г) 2
2
2
)(
3
2
ax
eax
y
, 0y при ax - критическая точка; т.к. 0y при
ax и 0y при ax , то ax max
, 2
1
maxy ;
д) по второй производной легко найти точки перегиба
2/1
2
1, ea
и
2/1
2
1, ea
. Итак, кривая Гаусса имеет вид:
26
Рисунок 11
Влияние изменения параметров a и на нормальные кривые
следующее:
а) изменение величины a при одном не меняет форму нормальной
кривой, происходит только её сдвиг вдоль оси ОХ влево при 0a и вправо
при 0a ;
б) так как 2
1
maxy , то с возрастанием максимальная ордината
убывает и наоборот; а поскольку площадь, ограниченная кривой
распределения всегда равна 1, то с изменением меняется только форма
кривой: с возрастанием она становится более пологой и растягивается
вдоль оси ОХ.
Вероятность попадания нормальной случайной величины в
заданный интервал:
aхФ
aхФхXхP
12
21)( . (1.21)
Функция распределения F(x) нормально распределённой случайной
величины определяется через функцию Лапласа:
x
dxxfxF )()( dxe
x ax
2
2
2
)(
2
1
= )( xxP
ax - =
=
ax + =
ax + 0,5. (1.22)
Вероятность заданного отклонения. Если случайная величина X
распределена по нормальному закону, то вероятность того, что отклонение
случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной
величине не превысит величину , т.е. aXP .
Действительно, т.к. aXaaX , то
)( aXP )( aXaP
aa-
aa=
2 .
Таким образом, чем меньше (т.е. рассеяние), тем больше вероятность
нормально распределённой случайной величины попасть в интервал
);( aa . Определим, какой надо взять интервал с центром в точке a ,
27
чтобы почти все значения X попали в него. Используя таблицы значений
)( xФ , получим:
aXaP = 12 =0,6826;
22 aXaP = 22 =0,9594;
33 aXaP = 32 =0,9973; (1.23)
44 aXaP = 42 =0,999936.
Итак, практически достоверно, что почти все значения нормально
распределённой случайной величины (~ 99,7%) попадают в интервал
3;3 aa . Это утверждение (21) называется «правилом трёх сигм».
Нормальное распределение является предельным случаем
биномиального распределения (см. лекция 2).
Лекция 10. Система случайных величин
Содержание лекции: условные законы распределения; зависимость и
независимость случайных величин. Функция и плотность распределения
двумерной случайной величины.
Цель лекции: познакомиться с двумерной случайной величиной.
Упорядоченной пара (Х,У) двух случайных величин Х и У называется
двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных
величин X и Y. Система двух случайных величин могут быть дискретными,
непрерывными и смешанными.
Полной характеристикой системы (Х,У) является ее закон распределения
вероятностей (таблица, функция распределения, плотность). Законом
называют перечень возможных значений этой величины с соответствующими
вероятностями.
Универсальной формой задания распределения двумерной случайной
величины (Х,У) явлется функция распределения от случайного вектора F(x,y),
которая для любых действительных чисел x и y равна вероятности
совместного выполнения двух событий {X<x} и {Y<y}:
F(x,y)=P{X<x,Y<y}.
Свойства функции распределения F(x,y):
1) ),(),(1212
yxFyxFxx .
),(),(1212
yxFyxFyy - неубывающая функция по каждому
своему аргументу.
2) 0),(0),(,0),( xFFyF .
3) 1),( F .
4) ),()0,(),(),0(0000
yxFyxFyxFyxF - непрерывна слева по
каждому аргументу.
28
5) )()(),(1
xXpxFxF )()(),(2
yYpyFyF -
где F1(x) и F2(x) есть функции распределения случайных величин X и Y.
Случайные величины X, Y имеют дискретное распределение, если
задана таблица:
Y \ X X1 X2 … Xn
Y1 p(1
x ,1
y ) p(2
x ,1
y ) … p(n
x ,1
y )
Y2 p(1
x ,2
y ) p(2
x ,2
y ) … p(n
x ,1
y )
… … … … …
Ym p(1
x ,m
y ) p(2
x ,m
y ) … p(n
x ,m
y )
в которой в i-й строке и j-м столбце задается вероятность:
pij = P(Х= хi, У= уj) ( i=1,…,n , j=1,…,m );
1),(
1 1 11
n
i
n
i
m
j
ijji
m
j
pyYxXP .
Зная закон распределения дискретной двумерной случайной величин Х,
У, можно найти законы распределения каждой из величин Х, У по таблице по
формуле:
n
i
ijjyj
m
j
ijixi
pyYPp
pxXPp
1
1
.)(
;)(
Функция распределения для дискретной двумерной случайной
величины (Х, У):
( , ) .
i j
i j
x x y y
F x y p
(1.24)
Функцию распределения для непрерывной двумерной случайной величин
(Х, У) можно задать через функцию плотности распределения ),( yxf в каждой
точке (x, у) R2:
,( , ) ( , ) ( , )
yx
X YF x y P X x Y y f u v d u d v
. (1.25)
Свойства функции плотности распределения ),( yxf :
а) 0),( yxf для всех x, y R;
б) 1),(
dxdyyxf ;
29
в) ),(),(
2
yxFyx
yxf
,
определяется как вторая смешанная производная от ее функции
распределения;
г)
D
dxdyyxfDYXP ),(), ,
- вероятность попадания случайной величины (Х,У) в область D;
d
c
b
a
dyyxfdxRdYcbXap ),(, ,
- вероятность попадания в прямоугольную область R;
д) можно определить плотность распределения для каждой случайной
величине X и Y:
.),()(;),()( dxyxfxfdyyxfxfYX
.
Зависимость или независимость двух случайных величин.
Непрерывные случайные величины X и Y называются независимыми,
если для любых х, у R случайные величины { X < x } и { Y < y } были
независимы и выполнялось равенство:
)()(),(21
yFxFyxF или )()(),( yfxfyxfYX
.
Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми,
если выполняется равенство:
)()(),(jiji
yYРxXРyYxXР .
Условные законы распределения.
Если случайные величины Х, У зависимы между собой, то для
характеристики их зависимости вводится понятие условных законов
распределения.
Условная вероятность p(yj/xi) для дискретного закона есть вероятность
того, что случайная величина У примет значение yj при условии Х = хi, и
определяется
( | )
i
i j
j i
x
pp y x
p ( i=1,…,n , j=1,…,m ) ,
где
m
j
ijixpxXPp
i
1
)( .
Аналогично и для условной вероятности p(xi/yj):
30
( | )
j
i j
i j
y
pp x y
p ( i=1,…,n , j=1,…,m ) , где
n
i
ijjypyYPp
j
1
)( .
Плотность вероятности условного непрерывного распределения f(y/x)
случайной величины У при заданном Х = х определяется равенством:
( , )( | )
( )X
f x yf y x
f x , гдe 0)( xf
X .
Свойства условной плотности:1) 0)|( xyf ; 2)
1)|( dyxyf .
Аналогично плотность вероятности условного непрерывного
распределения f(x/y) случайной величины Х при условии У = у
определяется равенством: ( , )
( | )( )
Y
f x yf x y
f y , где 0)( yf
Y .
Правило умножения плотностей распределения:
( , ) ( ) ( | ) ( ) ( | )X Y
f x y f x f y x f y f x y .
Лекция 11. Числовые характеристики двумерной случайной
величины. Линии регрессии
Содержание лекции: математическое ожидание, дисперсия,
коррреляционный момент, коэффициент корреляции. Уравнение линейной
регрессии.
Цель лекции: познакомиться с числовыми характеристиками двумерной
случайной величины.
Математическое ожидание двумерной случайной величины (Х, У) есть
МХ и МY:
- для дискретной закона: 1 1
n m
i ij
i j
M X x p
, 1 1
n m
j ij
i j
M Y y p
; (1.26)
- для непрерывного закона: ( , )M X xf x y d xd y
, ( , )M Y yf x y d xd y
.
Дисперсия двумерной случайной величины (Х, У) есть две дисперсии
DХ и DY:
- для дискретного закона:
2
1 1
n m
i ij
i j
D X x M X p
, 2
1 1
n m
j ij
i j
D Y y M Y p
; (1.27)
- для непрерывного закона:
2
( , )D X x M X f x y d xd y
, 2
( , )D Y y M Y f x y d xd y
.
31
Ковариацией cov(X, Y) (корреляционным моментом KXY) двумерной
случайной величины называется математическое ожидание произведения
отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий MX и
MY : co v ( , ) (( )( ))
X YK X Y M Х М X Y M Y
или более удобная расчетная формула:
Свойства cov(Х, У):
1) MYMXXYMMYYMXXMYX )()))(((),cov( . (1.28)
2) DXXX ),cov( .
3) ),cov(),cov( XYYX .
4) Если случайные величины Х и У независимы, тогда 0),cov( YXKXY
,
- если 0),cov( YXKXY
, тогда Х и У называются коррелированным.
- если 0),cov( YXKXY
, тогда Х и У называются некоррелированными.
Из определения корреляционного момента следует, что он имеет
размерность , равную произведению размерностей величин Х и У, то есть
величина корреляционного момента зависит от единиц измерения Х и У.
Поэтому для одних и тех же величин величина будет иметь различные
значения в зависимости от того, в каких единицах они измерены. Для того,
чтобы устранить этот недостаток , введем новую числовую характеристику –
коэффициент корреляции.
Коэффициентом корреляции rXY двумерной случайной величины Х и У,
называют отношение корреляционного момента к произведению
среднеквадратических отклонений этих величин:
co v ( , )
X Y
X Y
x y
K X Yr
D X D Y . (1.29)
Т.к. размерность KXY равна произведению размерностей Х и У, x имеет
размерность Х, y - размерность У, то rXY - безразмерная величина.
Свойства коэффициента корреляции.
1. Если случайные величины Х и У независимы, то rXY = cov(X,Y) = 0.
2. rXY 1
3. rXY= 1, если случайные величины Х и У связаны линейной
зависимостью Y = aX+ b, а 0; при rXY =1 а > 0, при rXY = -1 а < 0.
Условное математическое ожидание случайной величины Y
вычисляемое при заданном Х = х, т.е. )()|( xxYM , называется функцией
регрессии Y от х (или X на y).
Аналогично условное математическое ожидание случайной величины Х
при заданном Y = у, т.е. ( / ) ( )М X y y , называется функцией регрессии Y от
х (или Х на у).
Графики этих функций называются линиями (кривыми) регрессии. Если
обе функции регрессии линейны, то говорят Х и Y связаны линейной
32
корреляционной зависимостью. Линейная среднеквадратичная регрессия
случайной величины Y на случайную величину Х имеет вид:
.)()( MXxrMYxxy
x
y
xy
(1.30)
Линейная среднеквадратичная регрессия случайной величины X на
случайную величину Y имеет вид:
.)()( MYyrMXyyx
y
x
xy
(1.31)
Пример. Построить линию регрессии Y на х для дискретной двумерной
величины (Х,Y), закон распределения которой задан таблицей:
Y
X
-1 0 1
0 0,15 0,40 0,05
1 0,20 0,10 0,10
Решение.
Находим закон распределения случайной величины Х :
.
Аналогично получим закон распределения случайной величины Y:
Находим математические ожидания составляющих:
,4,04,016,00)( xM .2,015,0150,0035,01)( yM
Далее находим дисперсии составляющих:
;24,04,04,016,00)()()(22222 xMxMxD
.46,02,015,0150,0035,01)()()(222222 yMyMyD
Стало быть: ;49,024,0)( x .68,046,0)( y Определим корреляционный момент К(х,у), используя формулу:
).()()(),( yMxMxyMyxK
Так как
,1,010,0170,0020,011,0111,001
2,0)1(105,0104,00015,1)1(0)(
i j
jiijyxpxyM
.02,0)20,0(4,01,0),( yxK
И соответственно, коэффициент корреляции:
Х 0 1
p 0,6 0,4
Y -1 0 1
p 0,35 0,50 0,15
33
.06,068,049,0
02,0
)()(
),(
yx
yxKr
xy
Линейная среднеквадратичная регрессия случайной величины Y на
случайную величину Х имеет вид:
;4,049,0
68,006,02,0)( xxy т.е. .167,0083,0)( xxy
Лекция 12. Предельные теоремы теории вероятностей
Содержание лекции: закон больших чисел. Неравенства Чебышева и
Маркова. Центральная предельная теорема. Теорема Бернулли. Случайные
процессы.
Цель лекции: ознакомиться с предельными теоремами ТВ и случайными
процессами.
Математические законы теории вероятностей являются абстракцией
реальных статистических закономерностей, свойственных массовым
случайным явлениям. Если случайное явление носит массовый характер, то
его характеристики становятся устойчивыми и перестают быть случайными.
Например, частота появления случайного события в n испытаниях при
увеличении n становится устойчивой и приближается к постоянному числу –
вероятности; среднее арифметическое случайных величин приближается к
математическому ожиданию и т.д. Группа теорем, устанавливающих факт
приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым
постоянным, а также вторая группа теорем, касающихся предельных законов
распределения, называется предельными теоремами теории вероятностей.
Рассматривают два типа предельных теорем:
- закон больших чисел;
- центральная предельная теорема.
Закон больших чисел.
Теоремы закона больших чисел рассматривают условия, при которых
суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин
утрачивает случайный характер и становится закономерным. К таким
теоремам относятся теоремы Чебышева и Бернулли (есть и другие теоремы,
которые мы не рассматриваем). Сначала рассмотрим неравенство Чебышева,
которое имеет большое теоретическое значение, на практике оно применяется
реже.
Теорема. Вероятность того, что отклонение случайной величины от её
математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого
положительного числа ограничена сверху величиной 2
)(
XD, т.е.
2
)()(
XDXMXP или,
34
2
)(1)(
XDXMXP , (1.32)
если перейти к противоположному событию.
Эти две формы неравенства Чебышева устанавливают соответственно
верхнюю и нижнюю границы вероятности события.
Неравенство Маркова дает более обобщенную формулировку закона
больших чисел: для случайной величины 0X , имеющей конечное
математическое ожидание MX0 , и числа 0 справедливо
соотношение:
MX
XPMX
XP 1
. (1.33)
Последовательность случайных величин ...,,...,1 n
XX называется
сходящейся по вероятности к случайной величине X ( nXXp
n, ), если
1lim0lim
XXPXXPn
nn
n 0 .
Отличие сходимости по вероятности и сходимости, которую
рассматривают в математическом анализе, в том, что сходимость по
вероятности требует, чтобы неравенство AXn
выполнялось для
большинства членов последовательности ...,...,,,21 n
XXX , в то время, как в
математическом анализе это неравенство должно выполняться для всех
членов последовательности, начиная с некоторого номера N (т.е. Nn ).
Теорема Чебышева. Если ...,...,,,21 n
XXX попарно независимые
случайные величины, причём дисперсии их ограничены (т.е. существует
число С такое, что CXDXii ), то при возрастании n среднее
арифметическое этих величин сходится, по вероятности, к среднему
арифметическому их математических ожиданий, т.е. для любого 0
1
)(
lim
n
XM
n
X
Pi
i
i
i
n
. Если aXMXM ...)()(21
, то имеем частный
случай теоремы Чебышева 1lim
an
X
Pi
i
n
.
Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что если отдельные
независимые случайные величины могут принимать далёкие от своих
математических ожиданий значения, то среднее арифметическое достаточно
большого числа случайных величин с большой вероятностью принимают
значения, близкие к определённому числу, а именно: к n
XMi
i )(
. Теорема
Чебышева имеет огромное значение для практики. На ней основан широко
применяемый в статистике выборочный метод, когда на основе небольшой
случайной выборки судят о всей совокупности объектов (о качестве зерна по
35
небольшой его пробе). Или при измерении физической величины за эту
величину берут среднее арифметическое результатов нескольких измерений.
Естественно, этот способ может применяться при выполнении условий
теоремы.
Теорема Бернулли является важнейшей и исторически первой формой
закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой и
вероятностью появления события в n независимых испытаниях.
Теорема. Если в каждом из n испытаний вероятность p появления
события А постоянна, то при увеличении n числа испытаний как угодно
близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от
вероятности р по абсолютной величине будет меньше любого числа 0 :
1lim
pn
mP
n, т.е. относительная частота события A сходится
по вероятности к величине вероятности события A.
Теоремы закона больших чисел определяют суммарное поведение
достаточно большого числа случайных величин. Доказательство Бернулли
(1713 г.) было очень громоздким, простое доказательство было дано
Чебышевым в 1846 году.
Центральная предельная теорема.
Другая группа теорем, называемых центральной предельной теоремой,
устанавливают закон распределения для суммы достаточно большого числа
случайных величин. Все предельные теоремы из этой группы рассматривают
условия, совокупность которых становится причиной появления нормально
распределённых случайных величин. Центральная предельная теорема имеет
разные формы в зависимости от этих условий. Мы приведём теорему
Ляпунова и сформулируем её в самой простой форме.
Теорема. Если случайные величины n
XXX ...,,,21
взаимно независимы и
имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием a и
дисперсией 2
, причём существует абсолютный центральный момент 3-го
порядка 3
3aXM
i , то при неограниченном увеличении n закон
распределения суммы
n
i
iX
1
неограниченно приближается к нормальному
закону.
Многие случайные явления, встречающиеся в природе и общественной
жизни, укладываются в рамки теоремы Ляпунова. Поэтому эта теорема имеет
исключительное значение, а нормальный закон распределения является одним
из основных в теории вероятностей. Вот несколько примеров:
- пусть производятся измерения некоторой величины а. Различные
уклонения наблюдаемых значений X от а получаются в результате
воздействия большого числа факторов, каждый из которых порождает малую
ошибку i
X , причём 0)( i
XM . Тогда суммарная ошибка является случайной
36
величиной, которая, по теореме Ляпунова, должна быть распределена по
нормальному закону;
- при стрельбе из орудия под влиянием большого числа причин
случайного характера происходит рассеяние снарядов по большой площади.
Случайные воздействия на траекторию снаряда можно считать независимыми.
Каждая причина вызывает незначительные изменения траектории по
сравнению с суммарным изменением под воздействием всех причин. Поэтому
следует ожидать, что отклонение места разрыва снаряда от цели будет
случайной величиной, распределённой по нормальному закону;
- по теореме Ляпунова можно считать, что рост взрослого мужчины
является случайной величиной, распределённой по нормальному закону и.т.д.
Заметим, что рассмотренная в начале курса интегральная теорема
Муавра-Лапласа является частным простейшим случаем предельной теоремы,
когда случайные величины n
XXX ...,,,21
одинаково распределены, дискретны
и принимают только два значения 0 и 1.
Модуль 2. Элементы математической статистики
Лекция 13-14. Предмет и основные понятия математической
статистики
Содержание лекции: генеральная и выборочная совокупности, способы
отбора. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Цель лекции: ознакомить с задачами математической статистики и
основными понятиями.
Современную математическую статистику определяют как науку о
принятии решений в условиях неопределенности.
Первая задача математической статистики – указать способы сбора
и группировки статистических сведений, полученных в результате
наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
Вторая задача математической статистики – разработать методы
анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Третья задача является решение вопроса согласования результатов
оценивания с опытными данными
Предметом математической статистики является изучение случайных
величин (или случайных процессов) по результатам наблюдений. Рассмотрим
основные понятия математической статистики
Статистическая совокупность − множество однородных объектов,
объединенных по какому-либо общему качественному или количественному
признаку.
37
В практике статистических наблюдений различают два вида
наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, и
выборочное, когда изучается часть объектов.
Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется
генеральной совокупностью.
Объекты, отобранные из генеральной совокупности для
исследования, называются выборочной совокупностью, или выборкой.
Выборочная совокупность образуется для оценки параметров
распределения генеральной совокупности. Чтобы по данным выборки
иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна
быть отобрана случайно.
Используют два способа образования выборки:
- повторный отбор (по схеме возвращенного шара), когда
случайно отобранный элемент возвращается в общую совокупность и
может быть повторно отобран;
- бесповторный отбор (по схеме невозвращенного шара), когда
случайно отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.
Рассмотрим выборку n
xxx ,,,21
объема n из генеральной
совокупности. Число объектов n в генеральной или выборочной
совокупности называются их объемами.
Различные значения признака ix , наблюдаемые у членов
совокупности, называются вариантами. Число in , показывающее, сколько
раз вариант ix встречается в выборке, называется частотой этого
варианта.
Относительной частотой варианта (частостью или долей)
называется отношение частоты варианта к объему совокупности, т.е.
число
n
nw
i
i .
Она выражает долю (удельный вес) в совокупности членов с
одинаковыми значениями признака.
Частоты и частости называются весами.
Дискретным вариационным рядом называется ряд вариантов,
расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими
им весами (частотами или частостями).
Варианта 1
х 2х …
кх
Частота 1
n 2n …
kn
Сумма частот nnnnk ...
21 называется объемом
вариационного ряда.
Дискретный ряд можно записать иначе.
38
Варианта 1х
2х … к
х
Частость
n
n1
n
n2
…
n
nk
Сумма частостей равна единице: 1...21
n
n
n
n
n
nk
.
Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная
совокупность интервалов изменения случайной величины с
соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из
них значений величины. Общий вид интервального вариационного ряда:
Интервал ];[21
aa 32
; aa … 1
;kk
aa
Частота 1
n 2n ...
kn
Во второй строке таблицы могут быть записаны частости nni
/ .
Для построения интервального вариационного ряда множество значений
признака разбивают на интервалы 1
;ii
aa одинаковой длины h. Частота
in показывает число членов совокупности, у которых значение
изучаемого признака попадает в указанный интервал, т.е. 1
;
ii
aax . Если
вариант находится на границе интервала, то его присоединяют к левому
интервалу. Число h называется интервальной разностью.
Графическое изображение статистического распределения.
Статистическое распределение изображается графически (для на-
глядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как
правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отличаются на
постоянную величину) статистического ряда.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют
точки с координатами (x1,n1),(x2,n2),... ,(хk,пk) (рисунок 12); полигоном
частостей — с координатами * * *
1 1 2 2( , ) , ( , ) , . . . , ( , ) .
k kx p x p x p
Варианты (xi) откладываются на оси абсцисс, а частоты и, соот-
ветственно, частости —на оси ординат.
Рисунок 12
Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру,
состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длины h, а высоты равны отношению in
h – плотность частоты (
*
ip
h
39
или in
n h — плотности частости) (рисунок 13).
Рисунок 13
Очевидно, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а
площадь гистограммы частостей равна единице. Гистограмма частот является
статистическим аналогом дифференциала функции распределения
(плотности) f(x) с.в. X. Сумма площадей прямоугольников равна единице:
,1)()(**
1
*
1
*
1
n
npp
h
ph
h
ph
что соответствует условию ( ) 1f x d x
для плотности вероятностей f(x) (см.
(1.11)). Если соединить середины верхних оснований прямоугольников
отрезками прямой, то получим полигон того же распределения.
Лекция 15. Основные характеристики вариационных рядов
Содержание лекции: эмпирическая функция распределения.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Цель лекции: ознакомить с основными характеристиками
вариационных рядов.
Наиболее важным для описания экспериментального материала
является построение статистической (эмпирической) функции распределения.
Эмпирической функцией распределения называется функция )( xF ,
определяющая для каждого значения x относительную частоту события X<x,
т.е. n
nxXPxF
x
)( , где
xn - число вариант
ix , меньших x ; n – объём
выборки.
Из определения функции )( xF ясно, что она обладает теми же
свойствами, что и функция )( xF :
а) её значения принадлежат отрезку [0,1];
б) она неубывающая;
0,038
0,033
0,028
0,022
0,017
0| 150 156 162 168 174 180 186. x
40
в) если 1
x - наименьшая варианта, а k
x - наибольшая, то
10)( xxxF
; k
xxxF
1)( .
Для построения воспользуемся статистическим рядом частот или
относительных частот:
kxx
xxxn
nn
xxxn
n
xx
xF
,1
......................
,
,
,0
)(32
21
21
1
1
, или
k
i
ixxp
xxxpp
xxxp
xx
xF
,1
......................
,
,
,0
)( 3221
211
1
. (2.1)
Графиком )( xF будет ступенчатая разрывная линия, скачки
соответствуют наблюдаемым значениями и равны относительным частотам
этих значений (рисунок 14).
Рисунок 14
Если выборка большого объёма или изучаемый признак являются
непрерывными, то в качестве варианты i
x можно взять границы интервалов из
интервального статистического ряда. Учитывая, что 1
0)( xxxF и
kxxxF
1)( , на координатной плоскости строят точки 0,1
x ,
12, px , …,
1
1
,
i
j
jipx , … , 1,
kx , соединяют их отрезками прямой или плавной линией.
Эта линия будет представлять приближённый график теоретической функции
распределения )( xF (рисунок 15).
41
Рисунок 15
Числовые характеристики вариационных рядов.
Пусть статистический ряд распределения выборки объема п имеет вид:
xi x1 x2 х3 … xk
ni n1 п2 п3 … nk ,
где варианты i
x расположены в порядке возрастания.
Выборочной средней называется среднее арифметическое всех
вариантов выборки.
Выборочную среднюю строят по статистическим рядам частот или
относительных частот по формулам:
i
k
i
iв nx
nx
1
1 или
i
k
i
iв pxx
1
. (2.2)
Если выборка большого объёма или изучаемая случайная величина
непрерывная, то для нахождения выборочной средней используют те же
формулы, где в качестве i
x берут середины интервалов в интервальном ряде.
Выборочной дисперсией в
D называется среднее арифметическое
квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:
iв
k
i
iвnxx
nD
2
1
)(1
или
iв
k
i
iвpxxD
2
1
)( . (2.3)
Аналогично как теоретическую дисперсию, выборочную дисперсию
можно посчитать по другой формуле:
2
1
21
в
k
i
iiвxnx
nD
, т.е. 22
xxDв
,
где вxx .
Выборочное среднее квадратичное отклонение находится по формуле
ввD , оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак. При
решении практических задач используют также исправленную выборочную
дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.
42
iв
k
i
inxx
nS
2
1
2
)(1
1
– исправленная выборочная дисперсия. Таким
образом, в
Dn
nS
1
2
. 2
SS – исправленное среднее квадратическое
отклонение. Все эти формулы можно использовать для непрерывных
признаков, полагая 2
1
iixx
вместо i
x .
В качестве описательных характеристик вариационного ряда x(1),
x(2),…,x(n) или полученного из него статистического распределения выборки
используются медиана, мода, размах вариации (выборки) и т. д.
Размахом вариации называется число R=x(n)-x(1), где
(1 ) ( )1
1
m in , m axk n k
k nk n
x x x x
или R = хтах – xmin , где xmах — наибольший, xmin
- наименьший вариант ряда.
Модой *
oM вариационного ряда называется вариант, имеющий
наибольшую частоту.
Медианой *
eM вариационного ряда называется значение признака
(с.в. X), приходящееся на середину ряда.
Если n = 2k (т.е. ряд x(1), x(2),…,x(k), x(k+1),…,x(2k) имеет четное число
членов), то ( ) ( 1 )*
2
k k
e
x xM
; если п = 2к + 1, то *
( 1)e kM x
.
Лекция 16. Статистические оценки параметров распределения
Содержание лекции: понятие точечной оценки. Несмещённые,
состоятельные и эффективные оценки. Цель лекции: изучить свойства точечных оценок.
Рассмотрим теперь подробнее вторую основную задачу математической
статистики – оценка неизвестных параметров распределения.
На практике часто бывает, что вид закона распределения изучаемой
случайной величины известен или не существенен. Известно, что он зависит
от одного или нескольких параметров. Например, закон Пуассона – от одного
параметра ; нормальный закон распределения - от параметров a и , и т.д.
Требуется по выборке, полученной в результате n наблюдений, оценить эти
параметры.
Выборочная характеристика, используемая в качестве
приближенного значения неизвестной генеральной характеристики,
называется ее оценкой.
Оценка называется точечной, если она определяется одним числом.
Например, в качестве точечной оценки математического ожидания
случайной величины X можно взять: выборочную среднюю х , моду Мо ,
медиану Ме .
43
Пусть Θ − какая-нибудь характеристика случайной величины X, а
Θ* − ее приближенное значение, найденное по выборке. Оценка Θ* (в
отличие от параметра Θ) является случайной величиной, зависящей от
закона распределения случайной величины X и объема выборки n.
Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое
ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. M(Θ*)=Θ. Если M(Θ*)≠Θ,
то оценка называется смещенной. Соблюдение требования M(Θ*)=Θ
гарантирует от получения систематических ошибок.
По данным выборки требуется оценить неизвестные математическое
ожидание 0х и дисперсию
2
0 генеральной совокупности. Оценками для
них являются выборочная средняя х и выборочная дисперсия 2
.
Выборочные значения nxxx ...,,,
21 , полученные в результате
наблюдений, будем рассматривать как независимые случайные
величины nXXX ,...,,
21 , каждая из которых имеет тот же закон
распределения, что и сама случайная величина X, т.е. 0)( хXM
i ,
2
0)(
iXD , ni ,1 .
Выборочная средняя n
XXXn
X ...1
21 также будет случайной
величиной. Вычислим ее математическое ожидание:
0
0)(
)( хn
хn
n
XM
n
XMXM
ii
.
Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического
ожидания (генеральной средней), так как 0)( хXM . Можно показать, что
математическое ожидание выборочной дисперсии равно:
2
0
2 1)(
n
nM
,
т.е. 2
0
2)( M . Значит,
2 является смещенной оценкой генеральной
дисперсии 2
0 . Использование оценки
2 вместо дисперсии
2
0
приведет к систематической ошибке в сторону уменьшения.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная
дисперсия:
22
1
n
ns .
Действительно, 2
0
2
0
22 1
1)(
1)(
n
n
n
nM
n
nsM .
Найдем исправленную дисперсию:
44
11
22
n
n
n
ns ∙
n
nxxii
2)(
=1
)(2
n
nxxii
На практике пользуются исправленной дисперсий и полагают 22
0s тогда, когда объем выборки n<30. Если объем выборки n 30,
то можно принять 22
0 , так как при больших n погрешность при
замене 0 на невелика.
Лекция 17-18. Интервальные оценки параметров распределения
Содержание лекции: надежность оценки. Доверительный интервал для
неизвестного математического ожидания нормального распределения.
Цель лекции: научиться находить доверительный интервал для
неизвестных параметров распределения выборки.
Точечные оценки не всегда хорошо приближают оцениваемый
параметр, особенно при малых объёмах выборки. Кроме того, они не дают
возможности определить точность и надежность оценки.
Интервальной называется оценка, которая определяется двумя
числами − концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр
(a<Θ<b).
Интервальные оценки позволяют установить точность и
надежность оценок. Пусть Θ − оцениваемый параметр распределения,
Θ*− его точечная оценка. Точность оценки характеризуется числом
|Θ−Θ*|. Если число δ>0 и |Θ−Θ*| <δ, то, чем меньше δ, тем оценка
точнее.
Вероятность , с которой осуществляется неравенство |Θ−Θ*| <δ,
называется доверительной вероятностью (надежностью) оценки Θ*
параметра Θ
P(|Θ−Θ*| <δ)=γ .
Надежность часто принимают равной 0,95, 0,99, 0,999.
Раскроем знак модуля в неравенстве |Θ−Θ*| <δ:
−δ < Θ−Θ* < δ, или Θ*−δ < Θ < Θ*+δ.
Имеем P(Θ*−δ < Θ < Θ*+δ) = γ.
Интервал (Θ*−δ; Θ*+δ), который накрывает неизвестный параметр
Θ генеральной совокупности с заданной вероятностью , называется
доверительным интервалом.
Доверительный интервал для неизвестного математического
ожидания нормального распределения интервала при известном σ.
Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет
нормальное распределение, т.е. Х=N(a;0
). Требуется построить
45
доверительный интервал, накрывающий неизвестный параметр a с
заданной надежностью . Предположим, что 0 известно.
Выборочные значения признака Х будем рассматривать как
независимые случайные величины nXXX ...,,,
21 , имеющие нормальный
закон распределения, т.е. );(0
aNXi . Выборочная средняя
n
XXXX
n
...
21
.
также имеет нормальное распределение; aXM )( . Найдем ее
дисперсию:
nn
n
n
XD
n
XDXD
ii2
0
2
2
0
2
)()(
, значит,
n
X0
)(
.
Число n
X0
)(
называется ошибкой выборки.
Найдем число Δ так, чтобы выполнялось соотношение
aXP .
0
2 2n
P X a Ф ФX
.
Обозначим tn
0
. Тогда n
t0
. Так как 2Ф t
, то
( )2
Ф t
.
По таблице находим аргумент tγ, которому соответствует значение
функции Лапласа, равное γ/2. Таким образом,
0
2 ( )t
P X a Ф t
n
.
Заменив случайную величину X ее числовым значением x ,
получим
0 0t t
x a x
n n
. (2.4)
Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95
неизвестного математического ожидания a нормально распределённой
случайной величины X , если среднее квадратическое отклонение =5,
выборочная средняя X =14, объём выборки n =25.
46
Решение: по формуле n
tXa
n
tX
. Неизвестное t найдём из
равенства 475,02
95,0
2
t , по таблице t=1,96. Таким образом,
25
596,114
25
596,114
a или 96,1504,12 a . Итак, доверительный
интервал 96,15;04,12
l .
На практике, как правило, 0 неизвестно. Если объем выборки
достаточно большой ( n 30), то вместо неизвестного генерального 0
можно использовать выборочное . Таким образом, получим формулу
для доверительного интервала, накрывающего неизвестный параметр a с
заданной надежностью γ.
n
txa
n
tx
. (2.5)
Число t принято называть коэффициентом доверия. Число n
t
называется предельной ошибкой выборки, так как показывает наибольшее
отклонение выборочной средней х от математического ожидания а,
которое возможно с заданной вероятностью γ.
Доверительный интервал для неизвестного математического
ожидания нормального распределения интервала при неизвестном σ.
Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка
небольшого объема 30n . Требуется найти такое число Δ, чтобы
выполнялось соотношение
aXP .
Если генеральная дисперсия 2
0 известна, то доверительный
интервал находят так же, как для большой выборки. Если же
генеральная дисперсия 2
0 неизвестна, то ее заменяют исправленной
выборочной дисперсией 2
s .
Рассмотрим случайную величину T, определяемую по формуле:
nS
aXT
,
где Х и S − это случайные величины, а n и а − числа.
Случайная величина T распределена по закону Стьюдента. Это
распределение не зависит от параметров распределения случайной
величины X, а зависит только от числа k , которое называется числом
степеней свободы.
47
Число степеней свободы k определяется как общее число n
вариантов (наблюдений) случайной величины X минус число уравнений
m, связывающих эти наблюдения, т.е. k=n−m.
Случайная величина nS
aXT
имеет число степеней свободы
1 nk , так как n вариантов связаны одним уравнением ii
nxn
x1
.
Для распределения Стьюдента составлены таблицы, по которым,
зная число степеней свободы 1 nk и вероятность , можно найти
число t , при котором вероятность
tTP . Неравенство
tT
означает, что
tn
s
ax
, или
n
stax
.
Значит, предельная ошибка выборки равна n
st
. Раскрывая знак
модуля, получаем
n
stxa
n
stx
. (2.6)
Таким образом, с помощью распределения Стьюдента найден (2.6)
доверительный интервал, накрывающий неизвестный параметр a с
заданной надежностью при неизвестном .
Лекция 19-20. Статистическая проверка статистических гипотез
Содержание лекции: статистический критерий. Критерий согласия
Пирсона.
Цель лекции: ознакомиться с применением статистических методов
проверки статистических гипотез.
Понятие статистической гипотезы.
Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с при-
менением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно
ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто
некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности
(случайной величины).
Статистической называется гипотеза о виде неизвестного
распределения (это так называемые непараметрические гипотезы) или о
параметрах известного распределения (параметрические гипотезы),
которая может быть проверена с помощью наблюдений случайной
выборки.
48
Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде:
относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная
гипотеза Н. Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется
указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить
вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.
Нулевой (основной) называется выдвинутая гипотеза 0
H .
Альтернативной называется гипотеза 1
H , противоречащая нулевой.
При проверке основной 0
H гипотезы возможны следующие случаи:
0
H Принимается Отвергается
Верная Правильное
решение
Ошибка
первого рода
Ложная Ошибка
второго рода
Правильное
решение
При этом может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть
допущены ошибки двух родов. Вероятность совершить ошибку первого
рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу, называют уровнем значимости и
обозначают через . Обычно уровень значимости полагают равным
0,01 или 0,05.
Статистическим критерием называется случайная величина К ,
которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением
критерия набл
К называется значение критерия, вычисленное по
выборкам.
После выбора определенного критерия множество всех его
возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества.
Одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза
отвергается, другая – при которых она принимается.
Критической областью называют совокупность значений критерия,
при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы называют совокупность значений
критерия, при которых гипотезу принимают.
Критическими точками кр
k называют точки, отделяющие
критическую область от области принятия решения.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если
наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области –
гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу принимают.
Различают следующие виды критических областей.
Правосторонней называют критическую область, определяемую
неравенством кр
kK , ( 0кр
k ).
Левосторонней называют критическую область, определяемую
неравенством кр
kK .
49
Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю
критические области.
Двусторонней называют критическую область, определяемую
неравенствами 1
kK и 2
kK , где 12
kk .
В частности, если критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами
крkK ,
крkK , где 0
крk , или равносильным неравенством
крkK .
Начнем с нахождения правосторонней критической области, которая
определяется неравенством кр
kK , где 0кр
k . Для этого надо найти
критическую точку. Для ее нахождения задаются достаточно малой
вероятностью – уровнем значимости α. Принцип выбора критической
точки кр
k : при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность
того, что критерий К примет значение, большее кр
k , должна быть равна
принятому уровню значимости: )(кр
kKP .
Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
также сводится к нахождению соответствующих критических точек.
Для левосторонней критической области критическую точку находят,
исходя из условия
)(кр
kKP .
Критические точки 1
k и 2
k для двусторонней критической области
находят из условия
)()(21
kkPkKP . (*)
Если распределение критерия симметрично относительно нуля, то
находят симметричные относительно нуля точки кр
k и кр
k , 0кр
k . Тогда
)()(кркр
kkPkKP . Учитывая равенство (*), получим 2/)( кр
kkP .
Полученное соотношение и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области. Для каждого критерия имеются
соответствующие таблицы, по которым находят критические точки,
удовлетворяющие найденным требованиям.
Принцип проверки статистической гипотезы не дает доказательства
ее верности или неверности. Принятие гипотезы 0
H следует расценивать
не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный факт, а лишь
как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
Допустим, что закон распределения генеральной совокупности
неизвестен, но есть основание предполагать, что он имеет определенный
вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная
совокупность распределена по закону А.
Понятие о критерии согласия.
Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе
распределения называется критерием согласия. Существуют различные
критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др.
50
Критерий согласия Пирсона — наиболее часто употребляемый критерий
для проверки простой гипотезы о законе распределения. Ограничимся
изучением критерия «хи-квадрат».
Пусть требуется проверить нулевую гипотезу 0
H о предполагаемом
законе распределения A генеральной совокупности. В результате
наблюдений получено эмпирическое распределение в виде
последовательности m интервалов );(1ii
xx и соответствующих им частот
in ( i
n − сумма частот, которые попали в i й интервал):
Х 21
xx 32
xx … 1
mmxx
in
1n
2n …
mn
Объем выборки равен сумме частот nnnnm ...
21 .
Частоты mnnn ...,,,
21 называются эмпирическими. Предполагая, что
случайная величина Х распределена по указанному закону A,
подсчитывают вероятности )....,2,1( mii попадания с.в. Х (т.е. наблюдения) в
интервал i
, используя формулу ).()(00 FF Тогда
вычисляют теоретические частоты mnnn . . . ,,,
21 , которые можно
рассчитать по формуле n’i=n·pi,, где n’i - число значений с.в. Х, попавших в
интервал i
. Будем сравнивать эмпирические частоты с теоретическими,
которые, вообще говоря, не совпадают с эмпирическими. Случайно ли
расхождение частот?
Возможно, что расхождение случайно (незначимо) и объясняется
либо малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо
другими причинами.
Возможно, что расхождение неслучайно (значимо) и объясняется
тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы
о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности.
Критерий 2
- «хи-квадрат».
На поставленный вопрос отвечает критерий Пирсона, основанный
на сравнении эмпирических и теоретических частот. Критерий Пирсона
не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на
принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными
наблюдений.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают
случайную величину:
m
i i
ii
n
nn
1
2
2)(
.
2 2
2
1 12
( ).
m m
i i i
i i i
n n p nn
n p n p
(2.7)
Плотность распределения случайной величины 2
зависит от
параметра k, который называется числом степеней свободы.
51
Число степеней свободы k определяется формулой k=m−s, где
m−число групп эмпирического распределения; s− сумма числа параметров
теоретического закона, найденных по выборке, и числа дополнительных
соотношений эмпирических частот.
Если предполагаемый теоретический закон есть закон нормального
распределения, то k=m−3. В этом случае s=3, так как число
параметров нормального распределения, определяемых по выборке, равно
двум (а и σ) и существует дополнительное соотношение (1) эмпирических
частот.
Если предполагают, что генеральная совокупность распределена по
закону Пуассона, то оценивают один параметр λ, поэтому s=1, и число
степеней свободы равно k=m−2.
Случайная величина 2
принимает только положительные значения,
поэтому построим правостороннюю критическую область, исходя из
требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область при
условии справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню
значимости α:
);(22
kPкр .
Таким образом, правосторонняя критическая область определяется
неравенством );(22
kкр
, а область принятия гипотезы —
неравенством );(22
kкр
.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений,
через 2
набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило применения критерия 2
:
1) Вычисляем наблюдаемое значение критерия по формуле (2.7).
2) Для выбранного уровня значимости α и числа степеней свободы
k по таблице 2
− распределения находят табличное значение
);(2
kкр
.
3) Если 22
крнабл , то нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу (она не противоречит опытным данным). Если 22
крнабл , то
нулевую гипотезу отвергают.
Лекциия 21. Линейная корреляция
Содержание лекции: корреляционная зависимость. Коэффициент
корреляции; функции и линии регрессии; выборочное уравнение регрессии.
52
Цель лекции: ознакомить с понятием линейной корреляционной
зависимости.
Одной из важных задач математической статистики является
нахождение связи между двумя случайными величинами Y и x . Во многих
случаях одна из переменных, например, x может быть неслучайной (т.е.
принимать заданные значения), в то время как другая переменная Y имеет
случайные флуктуации, обусловленные ошибками измерений этой
переменной или другими причинами. В дальнейшем неслучайную
переменную будем обозначать через x .
Предполагаемая функциональная зависимость (эмпирическая формула)
между перменными Y и x устанавливается по результатам наблюдений
niyxii
,,1,, и по соответствующей диаграмме рассеивания,
называется моделью. Модель cвaxfy ,,, может быть линейна относительно
неизвестных параметров сва ,, или нелинейна. Линейные модели часто
встречаются в виде уравнений: 1) вaxy (прямая), 2) cвxaxy 2
(парабола) и 3) x
вay (гипербола). Коэффициентами линейной модели
служат известные функции, в рассматриваемых случаях: 2
,,1 xx и 1х .
Примером нелинейной модели может служить показательная функция x
вay .
Наиболее распространенным способом нахождения оценок cвa~
,~
,~
параметров является так называемый метод наименьших квадратов (МНК).
Он основан на принципе: наилучшие приближения неизвестных параметров
могут быть получены, когда сумма квадратов отклонений наблюдаемых iy и
вычисленных ,,,, cвaxfi значений модели является наименьшей.
В точных естественных науках обычно рассматриваются величины,
между которыми существует строго определенное соответствие с четко
учтенными факторами, т.е. функциональная зависимость. При изучении
массовых случайных явлений установить функциональную зависимость
между рассматриваемыми показателями не удается, часто из-за влияния ряда
сопутствующих второстепенных факторов, как правило, не поддающихся
учету. Если каждому значению одной случайной величины соответствует
определенное распределение (ряд значений с соответствующими
вероятностями) другой случайной величины, то говорят, что между этими
величинами существует статистическая зависимость (связь). Степень
рассеивания возможных значений, например, Y , соответствующих каждому
значению x , характеризует тесноту связи между этими величинами. Если
влияние неучтенных факторов на изучаемую связь между случайными
величинами X и Y незначительно, то степень рассеивания значений Y мала, а
53
связь между величинами имеет большую тесноту, в противном случае -
наоборот.
Раздел математической статистики, занимающийся установлением
формы статистической связи (корреляции) между случайными величинами и
определением (измерением) степени тесноты этой связи, называется
коореляционным анализом.
Корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y
описывается функциями
yYXMyxXYMx // , (2.8)
представляющими собой условное математическое oжидание одной
случайной величины при условии, что другая приняла определенное значение.
Отыскание и исследование этих функций дают возможность решить первую
основную задачу корреляционного анализа – установить форму
корреляционной связи между случайными величинами. В зависимости от вида
коорреляционных уравнений xy и yx различают линейную и
криволинейную корреляции.
Равенства (2.7) по-другому называют уравнениями регрессии -
соответственно Y на X или X на Y . Определяемые ими линии – графики
функций регрессии x и y носят название кривых регрессии. Они
отражают тенденцию смещения (в сторону больших или меньших значений)
рядов распределения значений одной случайной величины с изменением
соответствующих значений другой. Функции регрессии, их графики могут
быть использованы для установления (предсказания) значения одной
случайной величины по фиксированному значению другой.
Если вaxx , то говорят о линейной корреляции между
случайными величинами X и Y и о линейной регрессии Y на X , и прямую
вaxy называют прямой регрессии. МНК – оценки параметров a и в
линейной регрессии по выборке ii
yx , объема n :
.~~
;~
xaybQ
Qa
x
xy
(2.9)
При вyay параметры в уравнении вyax прямой
регрессии и x на Y имеют оценки:
.~~
;~
xaybQ
Qa
x
xy (2.10)
Для контроля правильности вычислений пользуются соотношением
raa ~~
.
Угловые коэффициенты прямых регрессии можно также найти по
формулам:
54
(2.11)
Эти прямые пересекаются в точке yx , , причем угол между ними
уменьшается при увеличении коэффициента корреляции. При /r/ <1 обе
прямые совпадают.
Выборку большого объема представляют в виде корреляционной
таблицы, группируя реализации случайных величин X и Y по интервалам
длины xв и y
в . В клетки таблицы записывают число пар исходной выборки,
т.е. частоты, для каждой комбинации интервалов. Эту процедуру можно также
выполнить непосредственно по диаграмме рассеивания, нанося на нее сетку
горизонтальных и вертикальных прямых, взятых с постоянными шагами xв и
yв . Наблюдения, которые попали на верхнюю и правую границы
рассматриваемого прямоугольника (клетки), относятся соответственно к
соседним верхнему и правому прямоугольникам. В дальнейших вычислениях
используются середины интервалов: kixi
,...,1*
, ljyj
,...,1*
и
соответствующие частоты *
ijn . При этом ,
1 1
*nn
k
i j
ij
,
1
*
k
i
jijnn
1
*.
j
iijnn .
Для упрощения вычислений вместо середины интервалов *
ix и *
jy введем
числа:
),,1(
~
);,1(
~ **
ljb
dyvki
b
dxu
y
Yj
j
x
Xi
i
(2.12)
где YXdd~
,~
- середины наиболее часто встречающихся интервалов.
Для определения оценки параметров распределения (2.9) или (2.10) по
корреляционной таблице вычисляют суммы: сначала
k
i
iiun
1
,
1
,
j
jjvn
k
i
iiun
1
2,
1
2,
j
jjvn
k
i j
jiijvun
1 1
*
;
затем
).)((1
;1
;1 2
22
2
jjiijiijuv
jjjjviiiiu
vnunn
vunQ
vnn
vnQunn
unQ
(2.13)
Средние, оценки дисперсий и коэффициента корреляции находят по
формулам:
55
(2.14)
Оценки угловых коэффициентов прямых регрессии:
(2.15)
Выборочный коэффициент r корреляции показывает, на сколько в
среднем изменяется переменная X при увеличении переменной Y на одну
единицу.
Пример. Значения признаков Х и Y заданы корреляционной таблицей:
Y
X
20 30 40 50 60 70 80
250 19 5 - - - -
350 23 116 11 - - - -
450 1 41 98 9 - - -
550 - 4 32 65 7 - -
650 - 1 4 21 36 3 -
750 - - 1 2 12 16 3
Требуется найти коэффициент линейной корреляции rxy; и уравнения
прямых регрессий.
Решение.
Путем суммирования частот по столбцам и строкам получим
вариационные ряды распределения признаков Х и Y:
Находим обьем выборки и выборочные средние составляющих:
7
1
6
1
530
j
jy
i
ixnnn ; 79,476
16
1
i
ixiвnx
nx ;
43,401
7
1
j
jyjвny
ny .
Далее находим исправленные выборочные дисперсии составляющих:
Х 250 350 450 550 650 750
in 24 150 149 108 75 34
Y 20 30 40 50 60 70 80
jn 43 167 146 97 55 19 3
56
.906,164)(1
1
;16640)(1
1
7
1
222
6
1
222
y вnyn
s
x вnxn
s
jyjy
ixix
Стало быть: 999,12816640 sx ; .842,12906,164 y
s
Корреляционный момент sху, вычисляется по формуле:
76
),(1
j
ijji
i
yвxвnyxn
sxy
так как
.146643,4079,476)750380)750166503(70
)6505504450413501162505(30
)4503502325019(20(530
1
sxy
Коэффициент корреляции:
.885,085,12129
1466
sysx
sxyr
xy
Оценкой теоретической линии регрессии является эмпирическая линия
регрессии по (2.14), уравнение y на x имеет вид:
,8,476129
842,12885,0434,40)( xxy или .563,1888,0)( хxy
Уравнение регрессии x на y имеет вид:
.404,11788,8)( yyx
Модуль 3. Операционное исчисление
Лекция 22-23. Функция комплексной переменной
Содержание лекции: определение функции комплексного переменного.
Основные элементарные функции.
Цель лекции: уметь выделять действительную и мнимую части. Научить
применять правило дифференцирования, проверять условия Коши-Римана.
Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных
чисел z=(x;y)=x+iy, где x=Rez; y=Jmz.
Пусть заданы две комплексные области D, G. Если каждому
комплексному числу Diyxz
по некоторому заданному закону f
ставится в соответствие определенное комплексное число Givuw , то
57
говорят, что на множестве задана однозначная функция f комплексной
переменной (ФКП.):
f(z) = w(z)=u-iv, f(x,y)=w(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y);
u(x,y) = Ref;
v(x,y) = Jmf.
где u(x,y) и v(x,y)– действительные функции действительных аргументов
x и y, то w можно рассматривать как функцию комплексной переменной
z=x+iy.
Функция w = f (z) называется однозначной, если каждому значению z из
области определения функции соответствует только одно значение функции
w. В противном случае функция называется многозначной. Например,
функции:
52)(3
zzzfw - однозначная;
7 352)( zzzfw - многозначная.
Основные элементарные функции комплексной переменной.
1. Рациональная функция .)(1
10 n
nnazazazf
2. Дробно-рациональная функция w=f(z)= .1
10
1
10
m
mm
n
nn
bzbzb
azaza
3. Показательная функция, синус и косинус определяются как сумма
абсолютно сходящегося степенного ряда во всей комплексной плоскости
...)!2(
)1(...!6!4!2
1cos
...)!12(
)1(...!7!5!3
sin
...!
...!3!2!1
1
2642
12
1
753
32
n
zzzzz
n
zzzzzz
n
zzzze
n
n
n
n
n
z
Свойства показательной функции:
.2
sin;2
cos;sincos
iziziziz
iz eez
eezzize
4. Гиперболические функции и их связь с тригонометрическими:
...)!2(
...!6!4!2
12
2642
n
zzzzeechz
nzz
Выполняются следующие соотношения:
58
).();(;1);sin(
);(sin;1sincos);cos();(cos
...)!12(
...!7!5!32
22
22
12753
iztgithzizthitgzzshzchizishz
izshzizzizchzizchz
n
zzzzz
eeshz
nzz
5. Логарифмическая функция:
,...2,1,0),2(argln2ln kkzizikzLnzw
6. Обратные тригонометрические функции и гиперболические функции
и их связь с логарифмом:
.1
1
2
1;
1
1
2
1
;;1(;1(sin
;;1(;1(cos
22
22
z
zLn
iArcthz
iz
izLn
iArctgz
zzLnArcshzziziLnzArc
zzLnArcchzzziLnzArc
Пример 1. Отделить действительную и мнимую часть функции
комплексной переменной ivuzzf 5)(
2
.
Решение.
.2),(
;5),(Re
);2()5(525)(5)(
22
222222
xyyxvJmf
yxyxuf
xyiyxyxyixiyxzzf
Пример 2. Найдите действительную и мнимую часть функции
f(z)=ez=u+iv.
Решение.
.sin)(
;cos)Re(
);sin(cos
;sincos
yeeJmv
yeeu
yiyeee
xixe
xz
xz
xiyxz
ix
Лекция 24. Дифференцирование функции комплексной переменной
Содержание лекции: предел и дифференцирование функции
комплексной переменной, условия Коши-Римана. Аналитическая функции
комплексной переменной.
Цель лекции: научиться дифференцированию функции комплексной
переменной.
Число А называется пределом функции f (z) в точке z0, если для всякого
произвольно малого положительного числа можно определить
положительное число ),( такое, что имеет место неравенство:
59
Azf )(
для всех z, удовлетворяющих неравенству,
0
zz .
Символически это записывается так:
Azf
zz
)(lim0
.
В частности, если A=f(z0), то функция f(z) называется непрерывной в
точке zа. Другими словами: функции f(z) называется непрерывной в точке z
а,
если для всякого сколь угодно малого положительного числа существует
положительное число =() такое, что выполняется неравенство:
)()(0
zfzf
для всех z, удовлетворяющих неравенству,
0
zz .
Производная функции комплексного переменной.
Функция f(z) = и + iv называется дифференцируемой в точке z области
D, если существует конечный предел:
,)()(
)( lim0 h
zfhzfzf
h
который называется производной от f(z) и обозначается через f'(z).
Дифференцируемость функции f(z) влечет за собой существование
частных производных ,x
u
,
y
u
,
x
v
y
v
и выполнение условия Коши-Римана:
x
u
y
v
;
y
u- .
x
v
(3.1)
Если функция w =f(z) = u + iv дифференцируема в точке z= x + iy
=
iei )sin(cos , то ее производная может быть вычислена по формулам:
- в декартовой системе координат:
x
vi
x
uzf
y
ui
y
v
y
ui
x
u,
x
vi
y
v
(3.2)
- в полярной системе координат:
.1
)sin(cos)(
ui
v
zi
vi
uzf
Функция комплексного переменного w = f(z) = u + iv, имеющая
конечную производную в каждой точке некоторой области D, называется
аналитической в этой области.
Функция u(x,y) называется гармонической в области D, если она имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно и
удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области
Если функция комплексного переменного w = f(z) = u + iv аналитическая
60
в некоторой области D, то ее вещественная часть и=и(х,у) и мнимая часть
v=v(x,y) - сопряженные гармонические функции в этой области. Причем, если
известна гармоническая функция и=и(х,у), то сопряженная с ней
гармоническая функция v=v(x,y) с точностью до постоянного слагаемого
определяется формулой:
.),( dy
x
udx
y
uyxv
Если известна гармоническая функция v=v(x,y), то сопряженная с ней
гармоническая функция и=и(х,у) с точностью до постоянного слагаемого
определяется формулой:
.),( dy
x
vdx
y
vyxu
Пример. Проверить аналитичность функции f(z)=exp(2z) и найти ее
производную )( zf .
Решение. f(z) = exp(2z) )2sin2(cos2
yiyex
, то есть
yeyxvyeyxuxx
2sin),(,2cos),(22
,
отсюда
.2cos2,2sin2
,2sin2,2cos2
22
22
yey
vye
x
v
yey
uye
x
u
xx
xx
Лекция 25-26. Прямое преобразование Лапласа
Содержание лекции: определение преобразования Лапласа, функция
оригинал и функция изображение. Свойства преобразования Лапласа. Свертка
двух функций. Таблица изображений. Импульсная функция и ее изображение.
Цель лекции: знать определение преобразования Лапласа, уметь
применять свойства преобразования при нахождении изображения.
Рассмотрим функцию )( tf , аргументом которой служит время 0t . Ёе
называют оригиналом, если она удовлетворяет следующим требованиям:
1) 0tf при 0t и 000 ff .
2) На любом отрезке T,0 функция tf непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва I-рода.
3) tf ограничена экспонентой, т.е. существуют числа 00 и 0M
такие, что
t
Metf 0 , 0t . (3.3)
Для выполнения первого условия (3.3) считается, что оригинал
содержит множитель
61
,0,0
,0,1
t
tt
(3.4)
называемый функцией Хэвисайда. Условие (3.4) означает, что при t
оригинал по модулю может расти не быстрее, чем экспонента t
e
.
Число inf0 называется показателем роста функции tf .
Если указанные условия выполняются, то несобственный интеграл
pfLdttfepFpt
;
0
, (3.5)
называемый изображением функции tf ,сходится абсолютно и равномерно
на полуплоскости 0
Rep . В этой области pF есть аналитическая, т.е.
разлагаемая в сходящийся степенной ряд, функция и представляет собой
образ оригинала tf с помощью оператора (преобразования) Лапласа (3.5).
Этот факт условно записывают так:
pfLtfpFtf ; .
Вообще, интеграл Лапласа (3.5) зависит от комплексного параметра
irp . Подынтегральная функция в нем при 0 и t
убывает быстрее затухающей экспоненты:
ttpt
Mertirttfetfe 0sincos
.
Свойства преобразования Лапласа (теоремы).
1. Линейные свойства:
k
j
jj
k
j
jjjjpFCtfCkjpFtf
11
,1, , (3.6)
NkpRconstCkj
,,...,maxRe,1
,
.
В дальнейшем будем считать, что соответствие (1.4) выполняется.
2. Теорема подобия:
0
,
Re,0,1
p
pFtf . (3.7)
3. Теорема смещения:
0
,
Re,,
pRpFtfet
. (3.8)
4. Теорема запаздывания:
ppFetftp
,
Re,0,. (3.9)
5. Дифференцирование оригинала. Если производные оригинала nktfk
,1, также являются оригиналами, то:
62
.ReN,,000
;0...00
,...,00,0
0
,
121
2
pnff
ffpfppFptf
fpfpFptffppFtf
kk
nnnnn
(3.10)
6. Дифференцирование изображения:
N,1 npFtftnnn
. (3.11)
7. Интегрирование оригинала:
0
,
0
Re, pp
pFdf
t
. (3.12)
8. Интегрирование изображения. Если
t
tf является оригиналом, то
p
dqqFt
tf. (3.13)
Если tf1 и tf
2 являются оригиналами, то выражение:
12
0
21
0
2121ffdftfdtffff
tt
(3.14)
называется сверткой этих функций.
9. Теорема умножения изображений (Т. Бореля):
pFpFffjpFtfjj 2121
2;1, . (3.15)
10. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Если
qpFqtf ,, и функции времени
2
1
,,,
q
q
dqqtfqtfq
являются
оригиналами, то:
2
1
2
1
,,,,,
q
q
q
q
dqqpFdqqtfqpFq
qtfq
. (3.16)
11. Формула Дюамеля.
Рассмотрим специальный случай теоремы умножения изображения
.0
0
dgtftgfpGpFp
t
(3.17)
Аналогично можно получить формулу:
63
.0
0
dftgtfgpGpFp
t
(3.17) называется интегралом Дюамеля или формулой Дюамеля.
Пользуясь также свойствами преобразования Лапласа, можно найти
изображения основных элементарных функций и составить таблицу
«Оригинал-изображение»:
№ tf pF № tf pF 1 1
p
1
8 teat
sin 22
ap
2 ate
ap
1
9 teat
cos 22
ap
ap
3 nt 1
!
np
n
10 atnet
1
!
n
ap
n
4 tsin 22
p 11 tt sin
2
22
2
p
p
5 tcos
22p
p
12 tt cos
222
22
p
p
6 tsh
22
p 13 ttsh
2
22
2
p
p
7 tch 22
p
p
14 ttch
2
22
22
p
p
Лекция 27. Нахождение изображений от графически заданных
функций (импульсных функций)
Содержание лекции: различные виды импульсных функция, форма их
задания и определение их изображений.
Цель лекции: уметь использовать свойства прямого преобразования
Лапласа для изображения.
В математике и различных ее приложениях, например, механике,
электротехнике, теории автоматического регулирования, широко
используется так называемые импульсные функции и их изображения.
Пример 1. Рассмотрим функцию, график, которой приведен на рисунке
16(а)
,0
01
00
))()((1
),(
thпри
htприh
tпри
htth
ht (3.18)
где η(t) – функция Хевисайта (3.4), так как ее изображение известно, то,
пользуясь свойствами (3.6), (3.9) (теоремы линейности и запаздывания): 1 1
( ) , ( ) ) .h p
t t h ep p
Получим изображение нашей графически заданной функции (3.18):
64
1 1 1( , ) ( ( ) ( ) ) .
р hе
t h t t hh h р
а) б)
Рисунок 16 - Кусочно-линейные функции
Данную функцию ),( ht можно интерпретировать как силу,
действующую в промежуток времени от 0 до h, а в остальное время равное
нулю, то очевидно, что импульс этой силы равен:
( , ) 1.t h d t
В механике часто рассматривают силы, действующие в очень короткий
промежуток времени, или как говорят, «мгновенно», и имеющие конечный
импульс. Поэтому вводится единичная импульсная функция δ(t) – дельта-
функция Дирака: 0
0
( ) 1, ( ) 1.t d t и л и t d t
И тогда находится ее изображение:
,11
),()(
;111
),()(
00
limlim
limlim
0
01
0
0
0
1
0
pt
hp
h
pt
h
hp
hh
eh
e
pehtttt
h
e
phtt
(3.19)
где функцию δ(t-t0) – можно считать импульсной силой, действующей в
момент времени t0.
Пример 2. Рассмотрим функцию, график, которой приведен на рисунке
16(б), и представим в виде разности функций: 0 0
( , ) ( ( ) ( ) ) 0 , ( 0 )
0
п р и t
t h a t t t h a t п р и t h a
п р и h t
, (3.20)
где a – угловой коэффициент прямой, то, пользуясь свойствами
теоремы линейности (3.6) и теоремы запаздывания, найдем ее изображения
от (3.20):
).1(1
))()((),(;1
)(22
phe
pahttatht
patat
65
Зададим кусочно-линейную (полигональную) функцию в обобщенном
виде:
nkttttttt
tftftftf
kkk
kk
kk
k,1,,
000
1
1
, (3.21)
где tk – k-я точка разрыва первого рода в функции-оригинале.
Тогда формула нахождения изображения для (3.21) будет:
p
tftfp
tftfepFkkkk
n
k
kpt 100
100
1
. (3.22)
Пример 3. По заданным графикам оригиналов (рисунок 17) найти
изображения.
а) б)
Рисунок 17 - Кусочно-линейные функции
Решение. Графики соответствуют кусочно-линейным функциям вида
tf . Сначала определяются точки разрыва tk или точки изменения поведения
оригинала, затем определяются в них односторонние пределы f(tk-0), f(tk+0) -
значения оригинала и f`’(tk-0), f
’’(tk+0) - ее угловые коэффициенты
(производные). Далее, по формуле (3.19) находят их изображения pF .
а) ,00000,4,1,4321
tftftftfkkatk
;00,300,2004321
k
tftftftftf
apapapapapapapeee
peeee
ppF
2432321
13322
1
;
б) ;10;000;2,0,2;111121
tftftfattk
;1
0;1
00221
atf
atftf
p
eapp
eapap
pFapap 1
211121
12
2
2
.
Лекция 28. Обратное преобразование Лапласа
Содержание лекции: теорема о разложении. Восстановление оригинала
по изображению.
66
Цель лекции: научить находить оригинал по изображению, используя
таблицу «оригинал-изображение».
В операционном исчислении решаются две задачи (прямая и обратная):
- по заданному оригиналу tf найти его изображение pF ;
- по известному изображению pF восстановить соответствующий ему
оригинал tf .
Первую задачу можно решать по определению изображения, т.е.
непосредственно вычисляя несобственный интеграл I-рода (3.5).
Для обратного преобразования Лапласа имеет место формула
обращения:
0
.s t
f t F s e d s
(3.20)
С ее помощью по заданному изображению можно восстановить
оригинал. Но для практического применения более удобны следствие из
формулы обращения, называемое теоремой разложения и таблица «Оригинал-
изображение».
Теорема о разложении.
Если правильная рациональная дробь, то эту дробь
разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой
дроби, используя свойства преобразования Лапласа и таблицу соответствия.
Пример 1. Найти оригинал по изображению:
.
Решение.
.
Пример 2. Найти оригинал по изображению:
67
.
Решение. Разложим на элементарные дроби:
.
Найдем коэффициенты , тогда получим
Лекция 29-30. Приложение операционного исчисления
Содержание лекции: методы операционного исчисления в решении
дифференциальных уравнений и их систем. Применение интегралов Дюамеля
к решению задачи Коши при расчете электрических цепей.
Цель лекции: уметь решать задачу Коши для системы
дифференциальных уравнений операторным методом.
С помощью методов ОИ можно решать задачу Коши для ЛНДУ с
постоянными коэффициентами и их систем, правые части которых являются
оригиналами. Для этого, считая, что решения таких уравнений существуют и
являются оригиналами, в заданных уравнениях все известные и неизвестные
функции, также производные последних заменяют их образами по Лапласу.
Из составленных таким образом линейных алгебраических уравнений или их
систем находят изображения неизвестных функций. А восстановленные по
ним оригиналы дают решение задачи Коши.
Решение задачи Коши.
Пример 1.
0,10,2
cos223 txxt
exxxt
.
Решение. Пусть pFtx есть искомое решение. Тогда по (3.13)
ppFptxppFtx 2
,1 .
Найдем изображение свободного члена по таблице «Оригинал-
изображение» и в заданном уравнении перейдем к изображениям:
4
11
12233
2
2
p
ppFppFppFp
,
68
.
4
11
2
1
14
371
53
56
2
1
53
3
1
2
;53
18,
53
56,
53
3,2
4
11
21
4
1121
4
23
4
375
2
22
23
p
p
pppF
DCBA
p
DCp
p
B
p
A
ppp
ppp
pF
Пользуясь таблицей изображений, восстановим оригинал, что дает
решение задачи Коши:
2sin
14
37
2cos
53
56
53
32
2 te
teeetx
tttt
.
Решение системы дифференциальных уравнений.
Пример 2. .10,00,3
,2
yx
xy
yxx
Решение. Пусть функции pYtypXtx , являются решениями
заданной системы. Тогда по (1.9) 1, ppYtyppXtx . Перейдя к
изображениям, получим систему алгебраических уравнений
.31
,2
3
2
pXppY
pYpXppX
ху
ухх
Ее решение:
13
2)(,
13
1)(
pp
ppY
pppX
или
.34
1
3
1
1
3
4
1)(
,4
1
3
1
1
1
4
1)(
3
3
tt
tt
eepp
pY
eepp
pX
Решение задачи Коши для заданной системы ДУ:
tttteetyeetx
333
4
1,
4
1 .
Применение интегралов Дюамеля к решению задачи Коши.
Рассмотрим дифференцируемые и являющиеся оригиналами фунции tf1 и tf 2 , для которых pFtf
jj , 2;1j . Если свертка любой из них и
производной другой является оригиналом, то имеют место соотношения,
называемые интегралами Дюамеля:
pFppFtfftfftfftff2112122121
00 .
При решении задачи Коши для ЛНДУ n-порядка с постоянными
коэффициентами, правая часть которого f(t) не является оригиналом
69
применяются интегралы Дюамеля. Применяя известное обозначение [1],
заданное ДУ представим в виде:
tftxLn
. (3.21)
Путем замены неизвестной функции tx начальные условия задачи
можно привести к «нулевому» виду:
00...001
n
xxx . (3.22)
Допустим, найдено удовлетворяющее начальным условиям (3.22) решение
tx1 вспомогательного дифференциального уравнения
1txLn ,
левая часть которого одинакова с (3.21). Тогда для решения задачи Коши
(3.21), (3.22) с помощью интегралов Дюамеля можно применять одну из
формул:
1 1
0 0
1 1 1 1
0 0
, ;
0 , 0 .
t t
t t
x t x f t d x t x t f d
x t f x t f x t d x t f x t f t x d
(3.23)
Пример 3. Найти решение задачи Коши:
2
24 4 ; 0 0 0 .
1 2
te
x x x x x
t
Решение. Сначала найдем решение 000,111
xxtx вспомогательного
уравнения 14412
xxxtxL . Для этого построим операторное уравнение и
решим его:
;1
)2)((
;1
)(4)(4)(144
2
1
2
111
pppX
ppFppFpFpxxx
.2
1
4
1
4
1
2
1,
4
1
222
1 22
221
ttteeCBA
p
C
p
B
p
A
pp
pX
Подставив функции tttexe
ttx
2
1
2
1,
4
21
4
1
и
2
2
21 t
etf
t
во второе
из равенств (3.23), найдем требуемое решение:
2 2 2
2 2
0 0 0
2 11 22 1 ;
4 2 11 2 2 1
t t t
t tdd d
x t t e e e t
22 ln 2 1
.4
tt t
x t e
70
Список литературы
1 Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и
математической статистике, случайные процессы.- М.: Айрис- пресс, 2006.-
288 с.
2 Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж. Математика (полный
курс). –Алматы: NSN-Company, 2009. -429 с.
3 Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика.
Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad.-СПб.:
БХВ- Петербург, 2008.-528 с.
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебное пособие для вузов.- М.: Высш. школа, 2003.- 279 с.
5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. –М.: Высш. школа, 1999.- 400 с.
6 Масанова А.Ж., Толеуова Б.Ж. Компьютерное решение задач
операционного исчисления и теории вероятностей. Методические указания и
задания по выполнению расчетно-графических работ №1,2 для студентов
специальности 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации).–
Алматы: АУЭС, 2014. -37 с.
7 Масанова А.Ж., Толеуова Б.Ж. Компьютерное решение задач
операционного исчисления и теории вероятностей. Методические указания и
задания по выполнению расчетно-графических работ №3,4 для студентов
специальности 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации).–
Алматы: АУЭС, 2015. -40 с
8 Масанова А.Ж., Толеуова Б.Ж. Приложения операционного
исчисления и теории вероятностей. Методические указания и задания по
выполнению расчетно-графических работ №1-4 для студентов специальности
5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации.– Алматы:
АУЭС, 2016. -83 с
71
Содержание
Модуль 1 Теория вероятностей
Лекция 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события……….
3
Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей. …………………..
Лекция 3.Схема испытаний Бернулли. ………………………………….
5
6
Лекция 4-5. Случайные величины……………………………………….. 9
Лекция 6. Понятие о моментах распределения ………………………… 13
Лекция 7-8. Основные законы распределения случайных величин...... 16
Лекция 9. Нормальный закон распределения .......................................... 21
Лекция 10. Системы случайных величин .................................................
Лекция 11. Числовые характеристики двумерной случайной
величины. Линии регрессии………………………………………………
24
27
Лекция 12. Предельные теоремы теории вероятностей............................ 30
Модуль 2. Элементы математической статистики
Лекция 13-14. Предмет и основные понятия математической
статистики......................................................................................................
33
Лекция 15. Основные характеристики вариационных рядов…………
Лекция 16. Статистические оценки параметров распределения............
36
39
Лекция 17-18. Интервальные оценки параметров распределения......... 41
Лекция 19-20. Статистическая проверка статистических гипотез........
Лекциия 21. Линейная корреляция..............................................................
44
48
Модуль 3. Операционное исчисление
Лекция 22-23. Функция комплексной переменной....................................
53
Лекция 24. Дифференцирование функции комплексной переменной...
Лекция 25-26. Прямое преобразование Лапласа........................................
Лекция 27. Нахождение изображений от графически заданных
функций (импульсных функций) …………………………………………
55
57
60
Лекция 28. Обратное преобразование Лапласа.......................................... 62
Лекция 29-30. Приложение операционного исчисления……………… 64
Список литературы……………………………………………………….. 67
