Libro Análisis de Datos

Para Economa, Contadura,

Administracin y Educacin

Actividades de Aprendizaje prcticas

con statgraphics y S.P.S.S

Prof. Juan R. Muoz C.

Anlisis de Datos Estadsticos

Autor: prof. Juan Muoz

2

Definicin de estadstica.

Divisin de la estadstica (procesos estocsticos)

Anlisis de datos

Probabilidad

Inferencia estadstica

Medicin

Escalas de medidas.

Captulo I

DEFINICIONES BSICAS.

MEDICIN Y SUS ESCALAS



3

DEFINICIONES BSICAS:

Es de suma importancia que el estudiante o usuario trate de comprender las

definiciones siguientes, puesto que esto, le permitir un mejor desempeo en la

aplicacin de las herramientas estadsticas.

Estadstica: Es la ciencia que recopila, organiza, presenta, analiza e interpreta datos

estadsticos, colaborando en la toma de decisiones estadstica ms efectiva.

De esta definicin podemos inferir, que al abordar un problema de investigacin,

el primer paso que debemos dar es la recopilacin de datos, organizarlos de cierta

manera que puedan presentarse en un grfico y poder analizar e interpretar la

informacin, para luego tomar una decisin estadstica.

La estadstica se divide en tres grandes disciplinas:

Estadstica descriptiva o anlisis de datos: Describe las caractersticas de un conjunto

de datos, que se pueden organizar, resumir y presentar de manera informativa (numrica

o grfica). Ejemplo determinar el promedio de ventas de una empresa del estado

Carabobo. Promedio de notas de los alumnos de estadstica descriptiva en el primer

parcial.

Probabilidad: Cuantifica la incertidumbre, lo cual permite hacer afirmaciones

categricas con una seguridad total sobre el nivel de incertidumbre.

Inferencia estadstica: Es la ciencia que extrae conclusiones estadsticas, teniendo

como finalidad investigar como deben ser utilizados los datos estadsticos de una

muestra (s), para inferir unos resultados acerca de una poblacin de donde provienen los

datos, basndose en el clculo de probabilidades.

Poblacin: conjunto de individuos o elementos que poseen ciertas caractersticas

comunes que se desean estudiar.

Poblacin finita: Es cuando el nmero de observaciones que la conforman se puede

expresar cuantitativamente o numricamente. Ejemplo el nmero de alumnos del cuarto

semestre.

Anlisis de datos

Probabilidad

Inferencia Estadstica



4

Poblacin tericamente infinita: Es aquella que contiene un nmero finito numerable

de observaciones, pero en cantidades tal que es posible considerarla infinita.

Muestra: Es una porcin o parte, de una poblacin de inters. Generalmente tomamos

una muestra de una poblacin para deducir algo acerca de la misma.

Estrato: Parte de la poblacin no representativa de la misma.

Carcter: Propiedad, rasgo o cualidad de los elementos de la poblacin.

Atributo: Carcter cualitativo, no susceptible de ser medido numricamente. Las

distintas observaciones de un atributo se denominan modalidades y pueden venir

expresadas en escala nominal (nivel no susceptible de ordenacin) o en escala ordinal

(modalidad susceptible de ordenacin)

Datos estadsticos: Son la materia prima de la estadstica, los nmeros que utilizamos

para interpretar la realidad. En todo problema estadstico hay que recopilar, describir y

analizar datos, o al menos pensar en la recopilacin, descripcin y anlisis de los

mismos.

Anlisis de datos estadsticos: Es la recopilacin, organizacin y resumen de los datos

con el fin de tomar decisiones estadsticas.

DATOS ESTADSTICOS

Cualitativo o

Atributo

Cuantitativo o

Numrico

Discreto Continuo



5

Variable: Sus distintas observaciones se denominan valores.

Variable cualitativa o atributo: Es aquella cuando la caracterstica es no numrica.

Ejemplo: el sexo, la religin, tipo de vehiculo, estado civil etc.

Variable cuantitativa o numrica: Es cuando la variable estudiada se puede expresar

numricamente, por ejemplo: monto de las ventas de una empresa, nmero de alumnos

de la clase de estadstica etc.

Variable cuantitativa discreta: Son aquellas que pueden asumir solo ciertos valores,

por lo general surgen del conteo. Ejemplo: el nmero de pisos de un edificio, el nmero

de vehculos en el estacionamiento de Faces, el nmero de hijos de una familia etc.

Variable cuantitativa continua: Son aquellas que pueden asumir cualquier valor

dentro de un intervalo especfico. Ejemplo: la estatura de los alumnos, el peso de las

alumnas, saldos en tu cuenta bancaria etc.

Estadstico: Es la caracterstica o medida calculada en una sola muestra. Ejemplo la

media aritmtica, la moda, la mediana, etc.

Parmetro: Es la caracterstica o medida calculada en una poblacin completa, cuya

condicin es ser una constante representativa de la poblacin en estudio, generalmente

es un promedio. Ejemplo la media poblacional ()

MEDICIN Y ESCALAS DE MEDIDAS

Medir

Es asignar nmeros a observaciones de modo que estos sean susceptibles de

anlisis por medio de manipulacin y operaciones de acuerdo con ciertas reglas.

Los datos estadsticos por lo general provienen de medidas sobre individuos o

unidades experimentales de la poblacin bajo estudio, as obtenemos un conjunto de

datos, o resultados del experimento estadstico. Para facilitar el anlisis asignaremos

unos valores a cada unidad experimental de acuerdo con ciertas reglas; as, podemos

asignar el nmero 1 a los varones y el 2 a las hembras o bien los smbolos V y H.



6

Pueden observarse muchas caractersticas diferentes para un mismo individuo,

estas caractersticas, dependiendo del tipo de valores que originan, pueden medirse con

cuatro tipos distintos de escalas de medidas.

Escala nominal: es la forma ms simple de observacin, es la clasificacin de

individuos en clases o categoras mutuamente excluyentes, y que simplemente pueden

distinguirse entre s, pero no compararse, ni realizar entre ellas operaciones aritmticas.

En este tipo se incluyen caractersticas tales como profesin, nacionalidad, grupo

econmico, estado civil. Como estadsticas descriptivas, solo admite el clculo de la

moda, as como tambin el conteo de las frecuencias.

Dentro del campo de los mtodos no paramtricos acepta el uso de la prueba

Chi-cuadrado y como medida de asociacin admite el uso del coeficiente de

contingencia, coeficiente de correlacin entre las variables nominales dicotmicas,

razones proporciones y porcentajes.

Escala ordinal: Utilizaremos este nivel cuando los elementos de un conjunto

pueden ser ordenados en funcin de una caracterstica en particular por ejemplo:

clasificar la familia por orden socio-econmico, los estudiantes de acuerdo como

terminaron el examen o segn su rendimiento, escalafn universitario etc. Este nivel

admite las siguientes caractersticas:

Constituye un nivel superior al nominal, por lo tanto toda variable que posea

este nivel, es por que es tambin nominal.

Los nmeros asignados a las clases, deben tener un rango especfico u orden ,

sin importar el nmero en s , adems no importa que la asignacin se haga de

mayor a menor o viceversa, en esta escala es posible que 1 sea mayor que 2, la

diferencia entre estos dos nmeros no tiene ningn significado, solo indica la

forma de transmitir la informacin, por lo tanto, no ser posible realizar ningn

tipo de operacin aritmtica, ya que estos resultados careceran de significado

estadstico.

Como estadstica descriptiva, las ms apropiadas para describir este tipo de

nmero es la mediana. Dentro del campo no paramtrico es posible realizar la

prueba de los signos. En relacin con las medidas de asociacin pueden

utilizarse el coeficiente de correlacin por rango de Sperman, Tau de Kendall y

el coeficiente de correlacin biserial.

Escala de intervalo: esta escala, adems de clasificar y ordenar los datos, cuantifica

la diferencia entre dos clases, es decir, puede indicar cuanto ms significa una categora



7

que otra. Para ello es necesario que se defina una unidad de medida y un origen, que es

por naturaleza arbitrario, adems permite las operaciones aritmticas. Admite las

siguientes caractersticas:

El nmero que se le asigne a cada elemento u objeto, corresponde a las unidades

de medida que posea, esto es: puntos, aos, grados, ventas etc.

El punto cero es arbitrario solo constituye un punto de referencia.

Cuando se codifica en una escala de intervalo el 1 constituye una unidad menor

que el 2.

El hecho de que el punto cero sea arbitrario hace que en dicho nivel solo puedan

establecerse comparaciones en relacin a las distancias entre intervalos y no

diferencias relativas a cantidades.

Como estadstica descriptiva las operaciones que admite son la media aritmtica,

la mediana, moda, desviacin estndar, coeficiente de correlacin de Pearson,

etc.

Escala de razn: es idntica a la anterior, pero adems existe un cero absoluto y es

el nivel ms alto de medicin, lo cual implica poseer todas las caractersticas de los

anteriores niveles. Por ejemplo: volumen de venta, costo de produccin, edad,

cotizacin del dlar, etc. Siendo sus caractersticas bsicas las siguientes:

El cero absoluto significa total carencia del atributo o propiedad que se est

midiendo.

La diferencia entre dos nmeros es totalmente significativa, es decir, a dos

diferencias iguales en el atributo estudiado corresponde igual diferencia entre los

nmeros asignados y adicionalmente como el punto cero es real, es posible hacer

afirmaciones como sta: el ejecutivo X tiene el doble de las ventas del ejecutivo

Y

Como estadstica descriptiva admite todas las del nivel anterior, adems del

coeficiente de variacin que es una medida relativa de dispersin, ya que este

coeficiente requiere del conocimiento del punto cero.

El nivel escogido para medir una caracterstica condiciona el resto del anlisis

estadstico, pues las tcnicas utilizadas deben tener en cuenta la escala que se ha

empleado. En general cuanto mayor sea el nivel utilizado, mayor nmero de tcnicas

podrn aplicarse y mayor precisin se lograr, por lo que se recomienda usar la escala

de intervalo o la de razn siempre que sea posible.



8

Actividades

1. Redacte un ejemplo de caractersticas estadsticas en las siguientes escalas de

medida: Nominal, Ordinal, Intervalo, de razn.

2. Hemos realizado una encuesta a un grupo de ejecutivos de una empresa,

clasifique las siguientes caractersticas, segn su escala de medida y tipo de

variable: peso, volumen de ventas, religin, nmero de hermanos, tiempo que

tarda en llenar la encuesta, si tiene o no carnet de club privado, deporte

preferido.

3. por qu no podemos decir que una temperatura de 100 grados Fahrenheit

indica doble de calor que una temperatura de 50 grados Fahrenheit?

4. si agrupamos a los ejecutivos de la empresa en altos, medianos, bajos Qu tipo

de escala de medida usamos? y si los ordenamos por estatura?



9

Distribuciones de frecuencias unidimensionales

Construccin en Statgraphics, S.P.S.S

Grficos de lnea, barra, polgono de frecuencia, ojiva,

curva de Lorenz.

Captulo II DISTRIBUCIONES DE

FRECUENCIAS

UNIDIMENSIONALES

GRAFICOS ESTADSTICOS



10

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONALES

Consideremos un conjunto formado por N elementos y sea X una variable que

describe un carcter de los mismos, cuyos posibles valores, ordenados de menor a

mayor, son: x1, x2, ..xn.

Frecuencia absoluta ordinaria: de xi es el nmero fi de veces que aparece xi

en el total de los N elementos.

Frecuencia ordinaria relativa: de xi es la proporcin hi de elementos del

conjunto para los cuales la caracterstica considerada toma el valor xi. Se obtiene como

hi = fi /N, y multiplicado por 100, representa el porcentaje de elementos que toman dicho

valor.

Frecuencia absoluta acumulada: de xi es el nmero Fi de observaciones

menores o iguales que xi. Se calcula, por tanto, como Fi = f1+ f2 +fi = n

i

if1

= N

Frecuencia relativa acumulada: de xi es la proporcin Hi de elementos para

los cuales el carcter toma un valor menor o igual que xi. Se puede calcular como.

Hi = h1+ h2+hi = n

i

ih1

= 1

Distribucin de frecuencia: Se denomina al conjunto de valores de una variable

junto con las frecuencias correspondientes a cada uno de ellos, (xi, fi)i=1,2,3.n. podemos

hablar de dos tipos de distribuciones dependiendo de cmo se presenten los datos:

Distribuciones con datos no agrupados en intervalos: para variables que

toman pocos valores diferentes. Ver fig.1

xi fi Fi hi Hi

x1

x2

.

.

.

xn

f1

f2

.

.

.

fn

F1

F2

.

.

.

Fn

h1

h2

.

.

.

hn

H1

H2

.

.

.

Hn

Fig.1



11

Distribucin con datos agrupados en intervalos: Se utiliza con variables que

toman un nmero muy elevado de valores diferentes, con el objeto de hacer ms

manipulable la informacin. La frecuencia absoluta ordinaria asociada a un intervalo

(Li Ls], ser el nmero total de observaciones perteneciente al mismo. En este

contexto, hay que introducir nuevos conceptos, como son, la amplitud del intervalo o

ancho de clase (ic), ic = (Ls - Li), la marca de clase o punto medio del intervalo

2 is

LLx y la densidad de frecuencia, di =

c

i

i

f. Este tipo de distribuciones se

presenta en la Fig.2

Fig.2

Finalmente, ntese que en el caso de trabajar con un atributo en lugar de una

variable, podremos calcular siempre las frecuencias no acumuladas, mientras que las

acumuladas slo se podrn calcular en el caso que estn medido en escala ordinal.

REPRESENTACIONES GRFICAS

Los grficos que se utilizan para representar una distribucin de frecuencia,

sern diferentes segn la naturaleza del carcter a estudiar, dentro de los cuales,

analizaremos los siguientes:

GRFICOS PARA ATRIBUTOS

Diagrama de rectngulos: Se presentan las distintas modalidades, en el eje de

abscisas, levantndose sobre cada una de ellas un rectngulo, cuya altura es igual a la

correspondiente frecuencia absoluta o relativa.

(Li - Ls] ix

fi Fi hi Hi di %

L0 L1

L1 L2

.

.

.

Ln-1 -Ln

x1

x2

.

.

.

xn

f1

f2

.

.

.

fn

F1

F2.

.

.

.

Fn

h1

h2

.

.

.

hn

H1

H2

.

.

.

Hn

d1

d2

.

.

.

dn

..

..

.

.

.

.



12

Diagrama de sectores o circular: Se divide un crculo en tantas porciones como

modalidades existan, de modo que a cada una de ellas le corresponda un sector circular

con rea proporcional a su frecuencia absoluta o relativa.

Pictograma: Se utilizan dibujos alusivos al tema de estudio para representar las

frecuencias. Estos dibujos pueden hacerse de tal forma que tengan un tamao

proporcional a la frecuencia absoluta o relativa de la respectiva modalidad, o bien

repetirse un nmero de veces proporcional a la frecuencia absoluta.

GRFICOS PARA VARIABLES

1. Distribuciones con datos no agrupados en intervalos:

Diagrama de barras: Se levanta una barra sobre cada valor de xi con

una altura igual a fi o hi

Polgono de frecuencia: Se unen mediante rectas los puntos de

coordenadas (xi, hi) o (hi, fi).

Polgono acumulativo de frecuencia: Se representan las frecuencias

absolutas acumuladas (Fi o N) para todo valor de la recta real,

obtenindose un grfico en forma de escalera.

2. Distribuciones con datos agrupados en intervalos

Histograma: Se construye representando, sobre cada intervalo, un

rectngulo con altura igual a la densidad de frecuencia di con objeto de

que el rea de cada rectngulo sea igual a la frecuencia absoluta del

correspondiente intervalo. Cuando los intervalos tienen la misma

amplitud se puede utilizar como altura la frecuencia absoluta fi,

obtenindome en ese caso reas proporcionales a las frecuencias.

Polgono de frecuencias: Se obtiene uniendo los puntos medios o

marcas de clase de las bases superiores de los rectngulos del

histograma, (xi,di), y cerrar el polgono cortando al eje de abscisas de

forma que el rea encerrada entre el polgono de frecuencia y el eje

horizontal coincida con el rea del histograma.

Polgono acumulativo de frecuencia: se obtiene levantando en el

extremo superior de cada intervalo una ordenada con altura igual a la

frecuencia acumulada absoluta (Fi) o frecuencia relativa acumulada

(Hi),uniendo despus estos puntos.



13

Grficos para

Atributos

Datos Cualitativos

1)Grfico de Barras

2)Diagrama Circular, De sectores o De Pastel

3)Pictograma

Grficos para Variables

Datos Cuantitativos

1) Grfico de Puntos

3)Ojiva o Polgono de Porcentaje

2) Grfico de lneas

4)Grfico de Polgonos de Frecuencia

Datos



14

10 20 30 40 50

2

4

6

8

10

~ X

fi

X ~

= Marca de Clase

fi = Frecuencia Absoluta Ordinaria

0

Dibujo del Grfico de Barras

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

fi

10 20

30

40

50

Esquema del sistema Cartesiano para realizar Grficos



15

Medidas de posicin

Media Aritmtica

Mediana

Moda

Cuantiles

Captulo III

MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE LOS

DATOS ESTADSTICOS



16

MEDIDAS DESCRIPTIVAS PARA EL ANLISIS DE LOS DATOS

ESTADSTICOS

Para sintetizar toda la informacin contenida en una tabla de frecuencias, el paso

siguiente para el anlisis de datos, es definir los estadsticos o medidas descriptivas, las

cuales proporcionan un resumen acerca de cmo se distribuyen los datos. Segn la

informacin qu stos nos proporcionen, los clasificaremos en:

Medidas de posicin.

Medidas de dispersin.

Medidas de forma (asimetra y curtosis)

Medidas de concentracin.

Medidas de Posicin: stas dan una idea general donde se sita la distribucin de

frecuencias sobre la recta real, indicando alrededor del cual se agrupan los datos

estadsticos. Dentro de esta clase se incluyen la media aritmtica, media Ponderada,

moda, mediana, cuantiles.

Media aritmtica: x . Es la suma ponderada de cada uno de los valores de la variable

multiplicado por su frecuencia. Esta definicin enfatiza el significado de la media como

reparto equitativo y como mejor estimador de una cantidad desconocida, as como el

algoritmo del clculo.

N

fx

x

i

n

i

i

1 o N

xf

x

n

i

ii

1

N: nmero de valores observados

xi: cada uno de los valores observados

fi: frecuencia con que se presenta xi

En caso de que los datos se presenten en una tabla de valores agrupados en

intervalos, se aplica la misma frmula, siendo los valores de

xi: los valores de la marca de clase o punto medio. Debe recordarse que la agrupacin de

los valores de la variable implica una perdida de informacin sobre dichos valores. Esto

se traduce en el hecho de que los estadsticos calculados, a partir de valores agrupados



17

estn afectados por el error de agrupamiento. Por este motivo y siempre que sea posible

han de calcularse los estadsticos a partir de los datos originales, utilizando la frmula

para datos no agrupados. No obstante, puede suceder a veces, que no tengamos los

valores individuales de las observaciones sino por el contrario, dispongamos de una

tabla de frecuencias. En este caso conviene recordar que los valores obtenidos son solo

aproximados.

Propiedades de la media:

1. La media aritmtica es el centro de gravedad de la distribucin de la variable, es

decir, la suma de las desviaciones de los valores con respecto a ella, es igual a

cero.

0)( ii fxx

2. La media aritmtica del producto de una constante, a, por una variable X, es

igual al producto de la constante por la media de la variable dada. Esta

propiedad implica que, al efectuar un cambio de unidad de medida a los datos

(pasar de metros a centmetros), la media queda afectada por dicho cambio de

escala.

xaN

faxn

i

ii

1

3. La media aritmtica de la suma de dos variables, X, Y, es igual a suma de las

medias de cada una de las variables.

YXyX

4. La media aritmtica de la suma de una constante entera, a, con una variable X,

es igual a la suma de la constante, a, con la media aritmtica de la variable dada.

xaN

fxan

i

ii

1

)(

Esta propiedad implica que, al efectuar un cambio en el origen desde el que se han

medido los datos, la media quede afectada por dicho cambio de origen.

Media ponderada: x

Cuando el nmero de observaciones es grande, las operaciones para calcular la

media aritmtica se simplifica utilizando la media ponderada.



18

r

rr

nnn

xnxnxnx

....

......

21

2211

Moda: (Mo). Cuando la variable es cualitativa no podemos calcular la media. Para

describir un grupo podemos, entonces usar la moda (Mo), que es el valor de la variable

que tiene mayor frecuencia. En una distribucin puede existir ms de una moda, si hay

una sola moda se le denomina unimodal, si existen dos bimodal y si hay ms de dos se

le denomina polimodal.

Clculo de la moda para una variable numrica. Distinguiremos dos casos:

Para una variable cualitativa o numrica discreta, su clculo es sumamente sencillo,

basta con determinar en la tabla de frecuencias la variable de mxima frecuencia.

Cuando la variable numrica esta agrupada en intervalos de clases, la moda se

encontrar en la clase de mayor frecuencia, pudiendo calcular su valor por medio del

siguiente modelo matemtico.

Mo = li + cii

i idd

d

11

1

La moda presenta algunas limitaciones como medida de posicin, obsrvese algunas de

ellas:

a) Si las frecuencias se condensan fuertemente en algunos valores de la variable, la

moda, no es una medida eficaz. Ejemplo consideremos las ventas de un equipo

de ejecutivos, tal como se ilustra a continuacin:

Ventas

(MM)

1 5 2 3 8 10

Ejecutivos 3 4 1 0 0 7

Decir que la moda es 10 MM, cuando un porcentaje muy elevado de ejecutivos

no ha efectuado ese monto, nos da una idea de las limitaciones de la moda en este caso.

Esto es debido a que en el clculo de la moda no se tiene en cuenta todos los valores de

la variable, sin embargo, la media es 2(MM), y en este clculo si se toma en cuenta

todos los valores de la variable.

b) Una misma distribucin con los valores agrupados en clases distintas, pueden

dar distintas modas, en el clculo aproximado.



19

Mediana: (Md). Es un valor tal que, una vez ordenadas las observaciones de menor a

mayor, deja el mismo nmero de observaciones a su derecha que a su izquierda. Para

obtenerla se procede de la siguiente manera:

En distribuciones no agrupadas en intervalos, se determina el primer valor de xi

de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) es mayor o igual a N/2. si

Fi es igual a N/2, entonces la mediana se obtiene como 2

1ii xx , y si Fi es

estrictamente mayor que N/2 entonces la mediana es xi.

En distribuciones agrupadas, es necesario seleccionar, en primer lugar, el

intervalo donde se encuentra la mediana (intervalo mediano), siendo ste el

primer intervalo (Ls-li), cuya frecuencia absoluta acumulada Fi, es mayor o

igual a N/2. suponiendo que las observaciones se distribuyen uniformemente en

el intervalo, el modelo matemtico ser:

Md = Li + ci i

fi

FN 12/

Propiedades caractersticas de la mediana: al igual que la media y la moda la

mediana tambin presenta limitaciones, tales como:

i. Al calcular la mediana no usamos todos los valores de la variable, lo que la

limita como medida de posicin

ii. No puede ser aplicada a distribuciones de variables cualitativas.

iii. Como medida de posicin, presenta ciertas ventajas, frente a la media en algunas

distribuciones, ya que no se ve afectada por valores extremos de las

observaciones. La mediana es invariante si se disminuye una observacin

inferior a ella, o si se aumenta una superior, puesto que slo se tiene en cuenta

los valores centrales de la variable. Por ello es adecuada para distribuciones

asimtricas o cuando existen valores atpicos.

iv. Es un estadstico resistente, con pequeas fluctuaciones de la muestra, no

cambia su valor.

v. Si los datos son ordinales la mediana existe, mientras que la media no tiene

sentido, puesto que su clculo se basa en los valores numricos (necesariamente)

de los datos.



20

Cuantiles: (C). Son los valores que dividen a la distribucin, una vez ordenada sta de

menor a mayor, en intervalos de igual frecuencia. Los ms usuales son los cuartiles,

simbolizados por Q1, Q2, Q3, que dividen la distribucin en cuatro intervalos iguales,

cada uno de ellos con el 25% d las observaciones, los deciles, simbolizados por, D1, D2,

D3,. D9, que dividen la distribucin en diez partes iguales, y los percentiles,

simbolizados por P1, P2,..P99, que dividen la distribucin en cien partes iguales. Su

clculo es similar a la mediana, se sustituye en N/2 por 100

* Np , en el caso de calcular el

cuantil p-simo de orden q, Cp/q, con 0



21

Medidas de dispersin

Medidas de dispersin absolutas:

Recorrido

Recorrido intercuartlico

Desviacin media absoluta respecto a la

media

Desviacin media absoluta respecto a la

mediana

Varianza

Desviacin tpica

Medidas de dispersin relativa

Coeficiente de variacin de Pearson

Puntaje tpico o estandarizado

Medidas de concentracin

ndice de Gini

Medidas de Forma

Medidas de Asimetra

Medidas de Curtosis

Captulo IV MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE

VARIABILIDAD DE LOS

DATOS ESTADSTICOS



22

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas de dispersin son estadsticos que miden la variabilidad de los

datos; esto es, el grado de separacin existente entre estos, cuyos valores son mayores o

iguales a cero, (el valor cero indica ausencia de dispersin) dentro de las cuales

estudiaremos las siguientes:

A. Medidas de dispersin absolutas:

Recorrido: Re = Ls Li, es la medida de dispersin ms fcil de

calcular, ya que solamente toma el cuenta los valores extremos de la

variable.

Recorrido intercuartlico: Qi = Q3 Q1, es aquel que mide la

dispersin en el centro de la distribucin.

Desviacin absoluta media respecto a la media: xD = N

fixxn

i

i

1

Varianza: S2 =

1

)( 2

1

N

fixxn

i

i

, es la media aritmtica de los cuadrados

de las desviaciones respecto a la media aritmtica. Su importancia radica

en que da origen a otra medida de dispersin mucho ms significativa,

denominada desviacin tpica

Desviacin tpica: S = + 2S

B. Medidas de dispersin relativas.

Coeficiente de variacin de Pearson: Cv = 100*x

S, permite comparar dos o

ms distribuciones, con el fin de determinar cual de ellas tiene mayor o menor

variabilidad relativa, su uso se hace necesario cuando dichas distribuciones estn

dadas en unidades de medidas diferentes.



23

Las medidas de dispersin son caractersticas propias de la variable y no de los

atributos, ni siquiera de los que estn medidos en escala ordinal.

Puntaje tpico o estandarizado (Z):

Se emplea para medir la desviacin de una observacin con respecto a la media

aritmtica, en unidades de desviacin tpica, adems determina la posicin relativa de

una observacin dentro del conjunto.

Por lo general el puntaje tpico se simboliza con Z, y su modelo matemtico para

calcularlo es

Zi = s

xxi o Zi = s

xxi (datos agrupados)

Este puntaje tpico se emplea para comparar dos o ms datos individuales,

aunque pertenezcan a distribuciones diferentes, pudiendo suceder que tengan media y

varianzas que no coincidan.

MEDIDAS DE CONCENTRACIN

Ponen de relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del total de

los recursos, n

i

i fix1

ndice de Gini; IG = 1

1

1

1

)(

n

i

n

i

pi

qipi

, con pi = 100N

Fi ; qi = 100

n

i

u

u ; ui =

i

k

kk fx1

El ndice de Gini vara entre 0 y 1, correspondiendo los casos extremosa

concentracin mnima o equidistribucin (IG =0) y concentracin mxima (IG =1).

Curva de Lorenz: Es la representacin grfica de los porcentajes acumulados de

individuos (pi) y de recursos (qi). Se colocan los (pi), en el eje de las abscisas, los (qi) en

el de ordenadas, y se unen todos los puntos (pi ,qi), considerando (0,0) como el primer

punto y (100,100) como el ltimo. As cuanto ms prxima est la curva a la bisectriz

del primer cuadrante, ms parecidos sern ambos porcentajes acumulados, por lo que

menor ser la concentracin.



24

Curva de Lorenz

Ejemplo

Dos empresas ubicadas en la zona industrial Henry Ford de Valencia, una relacionada

con las nuevas tecnologas E1 y otra con el sector lechero E2, tienen polticas salariales

distintas. La empresa E1, ha implantado un sistema de subida salarial lineal de 50 mil

bolvares mensuales y la empresa E2 una subida proporcional de un 7,5% mensual. Se

sabe que las distribuciones de salarios mensuales (miles de bolvares), para cada

empresa en el ao 2004 fueron:

Empresa E1 Empresa E2

Salario N de empleados Salario N de empleados

1450 1700 10 800 1025 4

1700 1950 30 1025 1250 14

1950- 2200 10 1250 1475 20

1475 - 1700 2

En cual empresa el salario est ms concentrado?

iq

100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 65 70 75 80 85 90 95 55

ip

50

10

20

30

40

60

70

80

90

100



25

Solucin

Para resolver esta pregunta hay que calcular el ndice de Gini, asociado a cada

distribucin de salarios, sin olvidar que al ndice de Gini no le afecta los cambios de

escala, pero s los de origen, para la E1 la subida del salario ha sido lineal de 50 mil

mensual, lo que supone un cambio de origen, por lo que calcularemos directamente el

ndice de Gini, para la distribucin de salario del ao 2004. As

Li - Ls fi x i fi* x Fi ui pi(%) qi(%)

1500 1750 10 1625 16250 10 16250 20 17,33

1750 2000 30 1875 56250 40 72500 80 77,33

2000 - 2250 10 2125 21250 50 93750 100 100

50 93750

Donde IGE1 = 053,0100

67,94100

8020

)33,7733,17()8020(

Para la empresa E2, la subida mensual ha sido proporcional, o sea un cambio de escala.

Li - Ls fi x i fi* x Fi ui pi(%) qi(%)

800 1025 4 912,5 3650 4 3650 10 7,3

1025 1250 14 1137,5 15925 18 19575 45 39,15

1250 1475 20 1362,5 27250 38 46825 95 93,65

1475 - 1700 2 1587,5 3175 40 50000 100 100

40 50000

Donde IGE1 = 0,066: Por lo tanto se puede concluir que el salario 2004 esta ms

concentrado en la empresa E1.

MEDIDAS DE FORMA

Las medidas de forma pretenden dar una idea general de la representacin

grfica de una distribucin de frecuencias. En particular, tratan de cuantificar la

deformacin horizontal (asimetra) y la deformacin vertical (curtosis o apuntamiento)

de la misma.



26

I. Medidas de asimetra:

Coeficiente de asimetra de Fisher: F1 = 33

S

m

S F1 >0, la distribucin es asimtrica positiva (o asimtrica a la derecha); s

F1



27

II Medidas de curtosis:

Coeficiente de curtosis: K = 34

4

S

m

Este coeficiente se define slo para distribuciones campaniformes y simtricas

(con ligera asimetra). Si K>0, o (K >0,263)la distribucin se denomina leptocrtica

(ms apuntada que la distribucin normal); si K



28

LEPTOCURTICA

MESOCURTICA

PLATICURTICA



29



30

ACTIVIDAD PRCTICA DE APRENDIZAJE DE DISTRIBUCIN

UNIDIMENSIONAL

Los siguientes datos son una muestra de los salarios anuales de 100 trabajadores de una

empresa del sector petrolero.

Los datos estn expresados en miles de bolvares/fuertes

200 200 200 200 200

202 202 203 203 204

205 205 205 206 206

207 208 208 208 208

209 212 213 218 218

218 218 219 220 224

224 225 225 226 226

226 226 226 226 226

227 227 228 228 229

231 231 232 233 233

233 234 234 235 236

237 238 239 239 239

240 240 240 241 241

245 245 247 247 247

248 249 249 250 250

250 250 251 251 251

251 251 251 252 252

252 253 253 254 254

255 255 255 256 256

257 257 258 259 259

N = 100

Nc = 12



31

La informacin representa la distribucin de salarios anuales expresados en

miles de bolvares/fuerte:

Prepare resmenes tabulares de los datos de salario anual mediante una distribucin

de frecuencias (use numero de clase=12), (frecuencia absoluta, acumulada,

frecuencia relativa, relativa acumulada y porcentaje).

Nc Li - Ls

x fi Fi hi Hi Hi %

fi x d fi xx fi( 2) xx

1 200-205 202.5 10 10 0.10 0.10 10 2025 -30.05 300.5 9030.02

2 205-210 207.5 11 21 0.11 0.21 21 2282.5 -25.05 275.55 6902.52

3 210-215 212.5 2 23 0.02 0.23 23 425 -20.05 40.1 804.00

4 215-220 217.5 5 28 0.05 0.28 28 1087.5 -15.05 75.25 1132.51

5 220-225 222.5 3 31 0.03 0.31 31 667.5 -10.05 30.15 303.00

6 225-230 227.5 14 45 0.14 0.45 45 3185 -5.05 70.7 357.03

7 230-235 232.5 8 53 0.08 0.53 53 1860 -0.05 0.4 0.02

8 235-240 237.5 7 60 0.07 0.60 60 1662.5 4.95 34.65 171.51

9 240-245 242.5 5 65 0.05 0.65 65 1212.5 9.95 49.75 495.01

10 245-250 247.5 8 73 0.08 0.73 73 1980 14.95 119.6 1788.02

11 250-255 252.5 17 90 0.17 0.90 90 4292.5 19.95 339.19 6766.04

12 255-260 257.5 10 100 0.10 1 100 2575 24.95 249.5 62250.2



32

a) Cuales son los salarios mnimos y mximos?

Mximo=259

Mnimo=200

b) Que proporcin-cantidad-porcentaje hay (200-205)?

C=10

P=0.1

P=10%

c) Que proporcin-cantidad-porcentaje hay (210-235)?

C=32

P=0.32

P=32%

d) Ancho de la distribucin

ic

AtNc ; LiLsAt ; 200259At 59At

e) Medidas de posicin de la distribucin

Medidas de Posicin:

Media Aritmtica:

n

fixx

. ;

100

255.23x ; Bsmx /55.232 F. Es el salario promedio

anual.



33

Mediana:

icfi

Fin

LiMd *

)1(2

2

NcLg ;

2

12Lg ; 6Lg

5*14

312

100

225Md

78.6225Md

BsmMd /78.231 F Es el valor promedio que divide la distribucin en

dos partes iguales.

Moda:

icfmfm

fmLiMo *

)1()1(

)1( ;

5*810

10250Mo

BsmMo /77.252 F. Es el valor promedio con mayor frecuencia.



34

Cuantiles:

icfi

FinP

LiPD *

)1(100

*

%404

100

* nP40

100

100*40

5*14

3140225%404 PD

BsmPD /21.238%404 F. es el valor por debajo del cual se encuentra

el 40% de los salarios anuales.

icfi

FinP

LiPQ *

)1(100

*

%251 ;

100

* nP25

100

100*25

5*5

2325215%251 PQ

BsmPQ /217%251 ; es el valor por debajo del cual se encuentra el

25% de los salarios anuales devengados.

icfi

FinP

LiPQ *

)1(100

*

%753



35

100

* nP75

100

100*75

5*17

7375250%753 PQ

bsmPQ /58.250%753 ; es el valor por debajo del cual se encuentra

el 75% de los salarios devengados.

Rango Percentil: es un estadstico que nos mide el porcentaje de valores por debajo del

cual se encuentra un valor conocido.

Ejemplo: Qu porcentaje de salarios se encuentran por debajo de 232 mBsF?

nFifi

ic

LixPxR

100*)1(*

)()(

100

100*458*

5

230232)232(R

1*458*4.0)232(R

2.48)232(R %. Interpretacin 48,2% de los salarios se encuentran por

debajo de 232 mBsF.



36

MEDIDAS DE DISPERSION

Medidas de dispersin absolutas:

1. Rango:

LiLsRg ; 200259Rg : 59Rg

La dispersin existente en los extremos de los salarios es de 59m/BsF.

2. Espacio Intercuartlico:

13 QQQi ; 21758.250Qi

BsmQi /58.33 F es la dispersin en centro de la distribucin.

3. Desviacin Media:

n

xxfiDm

100

34.1585Dm

85.15Dm

La dispersin promedio total es de 15.85 m/BsF



37

4. Varianza:

1

x-x

n

fiS

99

7.33974S

17.343S

La desviacin promedio de los salarios respecto a la media aritmtica es de

343.17m/BsF2

5. Desviacin tpica:

SS

2243.17mBsFS

59.15S mBsF

La variabilidad promedio.

Medidas de dispersin relativas:

Variable tipificada:

S

x-xZ(x)



38

59.15

232.55-242.5Z(9)

59.15

9.95Z(9)

63.0Z(9)

0,63 es el nmero de desviaciones tpicas que existen con respecto a la media

Coeficiente de Variabilidad:

%100*S

CVx

%100*55.232

15.59CV

7.6CV %

El porcentaje de variabilidad de la distribucin es de 6.7%


Autor: Prof. Juan Muoz

39

Medidas de forma

Asimetra:

%10%90

%502%)10%90(As

PP

PPP

icfi

FinP

LiP *

)1(100

*

%90

100

* nP90

100

100*90

5*17

7390250%90P

255%90P

icfi

FinP

LiP *

)1(100

*

%10

100

* nP10

100

100*10

5*10

010200%10P

205%10P



40

icfi

FinP

LiP *

)1(100

*

%50

100

* nP50

100

100*50

5*8

4550230%50P

12.233%50P

205255

)12.233(2)205255(As

50

24.466460As

12.0As ; La curva es sesgada hacia la izquierda porque el valor es negativo.



41

Kurtosis:

%)10%90(2

%25%75Ku

PP

PP

)205255(2

21758.250Ku

33.0Ku ; La curva es Leptocrtica ya que kurtosis es mayor a 0,263



42

1.- La siguiente informacin corresponde a 25 empresas pequeas y medianas,

ubicadas en la zona industrial del estado Carabobo.

Se desea saber:

Escala de Medicin

Variables

Variables cualitativas

Variables cuantitativas

Variables cuantitativas discretas

Variables cuantitativas continuas

Poblacin

Muestra

EMPRESA BOLSA SMBOLO

VENTAS

ANUALES

Bs Millones

GANANCIAS

POR ACCIN

RELACIN

PRECIO-

RENDIMIENTO

Tec-serv-

Firestone Valencia BdeV 15.5 11.500 22.5

Nestle Caracas BdeC 255.8 7880 12.7

Cuam Valencia BdeV 29.4 17000 7.5

Pepsi cola Caracas BdeC 254.6 9668 6.0

Rualca Caracas BdeC 88.7 12.880 15.7

Good Year Caracas BdeC 27.7 5.750 27.4

Unigorras Valencia BdeV 7.2 6.563 2.1

Movilnet Caracas BdeC 48.3 15.750 27.2

Dominguez Caracas BdeC 30.2 39.750 11.2

Digitel Caracas BdeC 26.5 8.500 15.7

Motoca Valencia BdeV 90.6 10.875 17.0

Danaven Valencia BdeV 60.5 9.5000 11.4

Toyota Valencia BdeV 71.1 10.313 24.6

Movistar Caracas BdeC 23.7 7.375 14.2

Regional Caracas BdeC 38.2 10.750 4.8

Zap.

Molinera Valencia BdeV 26.0 6.688 17.1



43

2. Los siguientes datos son una muestra de salarios anuales de 40 gerentes de tienda

(los datos estn expresados en millones de bolvares)

48 35 57 48 52 56 51 44

40 40 50 31 52 37 51 41

47 45 46 42 53 43 44 39

50 50 44 49 45 45 50 42

52 55 46 54 45 41 45 47

Se desea saber:

a. Distribucin de frecuencia (Use ancho de clase = 5 millones de bolvares) Prepare

resmenes tabulares de los datos de salario anual ( frecuencia relativa, relativa

acumulada, porcentaje)

b. Cules son los salarios mnimo y mximo?

c. Cul es el promedio de los salarios?

d. Qu proporcin hay de salarios anuales de 35 millones de bolvares o menos?

e. Qu porcentajes hay de salarios anuales mayores de 50 millones?

f. Qu cantidad proporcin y porcentaje de salarios anuales hay entre la tercera y la

quinta clase?

g. Qu cantidad porcentaje y proporcin hay entre 37,5714 y 50,4286

h. Construya los siguientes grficos estadsticos conocidos por usted



44



45



46



47

3. La siguiente informacin corresponde a las ventas de unas tiendas de computadoras

personales durante un mes.

4.1 1.5 10.4 5.9 3.4 5.7 1.6 6.1 3.0 3.7

3.1 4.8 2.0 14.8 5.4 4.2 3.9 4.1 11.1 3.5

4.1 4.1 8.8 5.6 4.3 3.3 7.1 10.3 6.2 7.6

10.8 2.8 9.5 12.9 12.1 0.7 4.0 9.2 4.4 5.7

7.2 6.1 5.7 5.9 4.7 3.9 3.7 3.1 6.1 3.1

Se desea saber:

a. Distribucin de frecuencia (Use ancho de clase = 3 millones de bolvares) Prepare

resmenes tabulares de los datos de salario anual ( frecuencia relativa, relativa

acumulada, porcentaje)

b. Cules son las ventas mnima y mxima?

c. Cul es el promedio de venta?

d. Qu proporcin hay de ventas mensuales de 35 millones de bolvares o menos?

e. Qu porcentajes hay de ventas mensuales mayores de 50 millones?

f. Qu cantidad, proporcin y porcentaje de ventas mensuales hay entre la segunda y

la quinta clase?

g. Qu cantidad porcentaje y proporcin hay entre

h. Construya los siguientes grficos estadsticos conocidos por usted



48

4. A partir de las siguientes observaciones obtenidas al estudiar el nmero de hijos en

la familia de un conjunto de 25 alumnos, construya la tabla de frecuencias de la variable

= Nmero de hijos en las familias de los alumnos.

2 2 3 3 3

3 4 4 3 3

3 4 2 2 2

4 3 1 3 5

2 4 4 1 3

Se desea saber:

Medidas de posicin y grficos estadsticos

5. A partir de las siguientes observaciones obtenidas al estudiar el peso. En Kg., de un

conjunto de 25 individuos, construya la tabla de frecuencia de la variable = Peso.

68.2 87.8 85 57.5 68.2

75.2 77.5 78.3 81.5 64

62.5 85.9 83.6 78.1 61.2

71.5 59.6 78.3 77.5 73

73 88.5 85.2 61.5 94

Se desea saber:

Medidas de posicin, interpretacin y grficos estadsticos

6. Realizada una encuesta sobre las preferencias de los jvenes por determinados

productos de marcas, se han obtenido los siguientes resultados:

Represente mediante un grfico adecuado la distribucin de las preferencias de los jvenes.

Marca N de

jvenes

A

B

C

D

E

38

16

12

25

9



49

7. Represente grficamente la distribucin obtenida al estudiar la variable =

Nmeros de asignaturas reprobadas por un grupo de 25 alumnos.

Se desea saber:

a) Medidas de posicin b) medidas de dispersin c) medidas de forma d) grficos

8. Represente grficamente la siguiente distribucin referente al peso. En Kg., de un

conjunto de 25 individuos.

9. Se dispone informacin acerca del nmero de miembros de la unidad familiar para

42 familias de una zona residencial:

1 5 4 6 3 1 2

3 2 4 7 5 1 4

3 3 2 3 4 5 2

3 1 1 4 2 3 6

5 4 2 5 3 2 3

4 6 2 3 3 4 3

2 0 3 3 3

3 4 6 3 3

3 4 2 2 2

4 0 1 3 6

2 4 4 1 3

68.2 87.8 85.0 57.5 68.2

75.2 77.5 78.3 81.5 64.0

62.5 85.9 83.6 78.1 61.2

71.5 5936 78.3 77.5 73.0

73.0 88.5 85.2 61.5 94.0



50

Obtenga la media aritmtica, as como la moda y la mediana. Calcule tambin el primer y

tercer cuartil, y los percentiles 10, 40 y 80.

10. Se sabe el nmero de asignaturas aprobadas en un semestre por los alumnos del

curso de licenciatura administracin comercial

Obtenga la media aritmtica, la moda y la mediana de esta distribucin. Calcule tambin los

cuartiles primero y tercero, y los percentiles 10, 25, 50, 75, 85 y 90, coeficiente de asimetra

y coeficiente de curtosis.

11. En la siguiente tabla se recoge informacin referente al nmero de horas extras

trabajadas por 54 de los trabajadores contratados por una empresa hortofrutcola en el mes

de junio de 2004:

Horas Extras N Trabajadores

5.5 15.5

15.5 20.5

20.5 25.5

25.5 30.5

30.5 35.5

35.5 42.5

8

13

15

9

6

3

N de

asignatura

aprobadas

N de

alumnos

0

1

2

3

4

5

6

15

28

41

41

10

9

6



51

Obtenga la media aritmtica, as como la moda y la mediana. Calcule tambin el primer y

tercer cuartil, y los percentiles10, 50, 60 y 90.

12. Una empresa se dedica a la produccin de bolas de plasma. Las bolas son

empaquetadas en cajas de 100 bolsas. En la revisin del ltimo envo realizado por la

empresa, en el que haba 30 cajas, se han encontrado las siguientes bolsas defectuosas en

cada caja:

Calcule las siguientes medidas de dispersin: recorrido, recorrido intercuartlico,

desviacin absoluta media respecto de la media aritmtica, varianza, desviacin tpica,

recorrido semi-intercuartlico coeficiente de variacin, coeficiente de asimetra y

coeficiente de curtosis.

13. Las distribuciones de los aos de estudio posteriores a la enseanza secundaria de

los trabajadores de dos empresas A y B se presenta en la siguiente tabla:

Aos de estudio

posteriores a la

enseaza obligatoria

Empresa A Empresa B

0

2

3

4

6

9

10

5

10

15

15

6

3

1

5

2

5

10

10

8

0

0 1 2 1 1 0

2 1 1 0 5 0

1 0 0 1 1 0

0 3 0 2 2 1

0 1 2 2 1 0



52

Calcule el nmero medio de aos de estudio posteriores a la enseanza de secundaria en

cada una de las empresas. Cul de ellos es ms representativo de su correspondiente

distribucin? Calcule los coeficientes de dispersin, tanto absolutos como relativos.

14. La distribucin de las puntuaciones obtenidas en una prueba de seleccin por un

total de 200 aspirantes se recoge en la siguiente tabla:

Obtenga la media y la mediana de la distribucin, as como las desviaciones absolutas

medias respecto a ambas medidas. Calcule tambin los ndices de dispersin respecto a la

media y a la mediana, coeficiente de asimetra y coeficiente de curtosis. (Grficos).

15. En la cola de Cinesunidos del Sambil de Valencia se ha realizado una encuesta.

En ella se pregunta a los usuarios, entre otras cosas, acerca del nmero de veces que han

asistido a la proyeccin de una pelcula en el ltimo mes . Los datos recogidos sobre esta

variable se presentan a continuacin:

Determine los coeficientes de asimetra y coeficiente de curtosis. (Grficos).

Puntuacin Aspirantes

[0,10]

(10,20]

(20,30]

(30,40]

(40,50]

(50,60]

(60,70]

(70,80]

(80,90]

(90,100]

10

15

30

20

35

40

20

20

5

5

2 2 2 3 2 0 5 2 3 2 4 3 3 2 2 2 4 3 3 2

2 3 3 0 0 2 2 4 2 2 2 1 3 4 3 5 4 4 3 1

3 3 4 2 3 2 1 2 3 2 3 2 5 4 1 3 4 3 4 3

1 2 4 5 2 3 3 2 2 4 2 4 2 3 2 5 5 2 4 3

2 2 4 4 3 2 2 4 2 0 2 1 4 3 5 4 2 3 2 2

1 0 3 3 2 4 5 1 2 2 3 1 3 4 2 2 3 2 2 1

3 2 3 2 0 3 2 2 4 2 2 3 1 1 3 3 3 4 2 2

3 3 4 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 1 2 2 1 4

3 3 3 4 1 2 1 2 4 3 3 3 2 3 3 5 1 2 3 2

3 2 2 3 3 3 3 2 3 4 4 3 3 3 3 4 3 1 2 3



53

16. La siguiente distribucin representa la ausencia laboral en la empresa RUALCA

ubicada en la zona industrial de Valencia por motivo de enfermedad:

Das N de

trabajadores

1 5 5 10 10 15 15 30 30 60 60 - 90

19

42

35

68

30

6

Determine los coeficientes de asimetra y coeficiente de curtosis. (Grficos), para esta

distribucin de frecuencia.

17. Se desea estudiar y comparar el grado de concentracin en el reparto de la masa

salarial de dos empresas distintas. La empresa GM ofrece sus datos en dlares. Por el

contrario, la empresa FIRESTONE no tiene actualizada su contabilidad en dlares y ofrece

sus datos en bolvares.

Cul de las distribuciones es ms confiable?

GM

ii LL ,1 ni 451 601 601 902

902 1.142 1.142 1.442 1.442 1.683 1.683 1.983 1.983 2.404 2.404 3.606 3.606 6.010

25 7

8

2

5

6

1

2

1

FIRESTONE

ii LL ,1 ni

75.000 100.000 100.000 150.000 150.000 190.000 190.000 240.000 240.000 280.000 280.000 330.000 330.000 400.000 400.000 600.000

600.000 1.000.000

29

12

9

7

1

4

1

1

1



54

Distribuciones de frecuencias bidimensionales

Representaciones grficas

Distribuciones marginales

Distribuciones condicionadas

Independencia estadstica

Momentos

Covariaza

Captulo V

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

BIDIMENSIONALES



55

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES

Dado un conjunto de N elementos o individuos, se desea estudiar dos caractersticas

de los mismos, medidas por las variables X e Y, p(xi,yr) cuyos posibles valores son

x1, x2, .....xi e y1,y2,.......yr , respectivamente. Tambin podra darse el caso en que alguno de

los caracteres fuera cualitativo, o incluso los dos.

Frecuencia absoluta conjunta, del par ordenado p(xi,yr) es el nmero fir de elementos en el

total de los N considerados que presentan el valor xi para la primera caracterstica y el valor

yr para la segunda.

Frecuencia relativa conjunta, del par p(xi, yr) es la proporcin hir de elementos del

conjunto para los cuales la primera caracterstica toma el valor xi y la segunda el valor yr.

Se obtiene como hi r= N

nir y multiplicada por 100 representa el porcentaje de elementos con

dichos valores en las caractersticas consideradas.

Definiremos distribucin de frecuencia bidimensional al conjunto de pares

p(xi,yr), junto con las frecuencias asociadas a cada uno de ellos, (xi, yr); nir i=1,2,....,j; r =

1,2,....s dicha distribucin de frecuencia suele presentarse en una tabla de doble entrada, que

recibe el nombre de tabla de correlacin si los dos caracteres son cuantitativos, y tabla de

contingencia si al menos uno de ellos es cualitativo. Adems para el caso de las variables,

los datos pueden venir agrupados en intervalos o no, segn proceda.

X / Y y1 y2 .... yr

x1

x2

.

.

.

xi

n11 n12 ...... n1r

n21 n22 ...... n2r

ni1 ni2 ..... nir



56

Representaciones grficas

Diagrama de dispersin o nube de puntos. Grfico solo para variables que

representan los pares de observaciones como puntos en un sistema cartesiano, donde cada

uno de los ejes corresponde a una de las variables. Esta representacin ayuda a descubrir

visualmente la existencia de algn tipo de relacin entre dos variables.

DISTRIBUCIONES MARGINALES

Son cada una de las dos distribuciones de frecuencias unidimensionales que se

obtienen a partir de la distribucin bidimensional (xi,yr) ; nir i = 1, 2,....j r= 1,2,....s , al

estudiar el comportamiento de cada una de las dos componentes de (X,Y) por separado. As

en el caso de la distribucin correspondiente a X, que denotaremos por (xi; ni)i = 1, 2,....j, la

frecuencia marginal ni representa el nmero de elementos para los cuales la primera

caracterstica toma el valor xi , sea cual sea el valor de Y, esto es:

ni = s

j

ijn1

, i = 1,2,......r

Mientras que en la distribucin correspondiente a Y (yj; nj)j = 1,2,....s , la frecuencia marginal

nj, denota el nmero de elementos para los cuales la segunda caracterstica toma el valor y j

independientemente del valor que tome X

nj = j

i

ijn1

, j = 1,2,......r

Siendo entonces N = r

i

s

j

ijn1 1

. Esta informacin se puede representar en la tabla de doble

entrada.

X / Y y1 y2 .... yr

x1

x2

.

.

.

xi

n11 n12 ...... n1r

n21 n22 ...... n2r

ni1 ni2 ..... nir



57

Tambin se pueden calcular las frecuencias relativas marginales:

fi = N

ni ; fj = N

n j

11 11 1

j

i

s

r

j

j

i

s

r

ir ffif

Y puesto que las distribuciones marginales no son ms que distribuciones de frecuencias

unidimensionales, se podran obtener para ellas las distintas medidas estudiadas en el tema

anterior. Adems todos los comentarios anteriores sobre distribuciones marginales se

pueden aplicar sin ningn problema a la situacin en la que una o las dos componentes del

par ordenado p(X,Y) sean atributos.

Distribuciones condicionadas

La distribucin de X condicionada a que Y tome el valor yj es la distribucin

unidimensional (xi ; ni/j )i=1,2,...r representada en la siguiente tabla tanto en frecuencia

absoluta como relativa:

X/Y = yj n i/j f i/j x1 x2 .

.

xr

n 1/j n2/j

.

.

nr/j

n.j

f1/j f2/j

.

.

fr/j

1

Donde ni/j = nij y fi/j = jn

nij

.

Del mismo modo se define la distribucin de Y condicionada a que X tome el valor

xi , esto es (yj ; nj/i )j=1,2,...s

Y/X = xj n j/i f j/i



58

y1 y2 .

.

yr

n 1/i n2/i.

.

.

.ns/i

ni.

f1/j f2/j

.

.

fs/j

1

Donde nj/i = nij y fj/i = .i

ij

n

n

Independencia estadstica

Se dice que dos caracteres X e Y son estadsticamente independiente si los valores o

modalidades que toma uno de ellos no se ve afectado por los valores o modalidades que

toma el otro, formalmente, si :

fi/1 = fi/2 = ... = fi/s = fi., ri ,....,1

fj/1 = fj/2 = ... = fj/r = f.j, sj ,...,1

Momentos

Estudiaremos los momentos respecto al origen (ordinarios) y momentos

respecto a la media (centrales):

Momentos ordinarios de orden (h,k): ahk = N

nyxr

i

s

j

ij

k

j

h

i

1 1

Momento central de orden (h,k): mhk = N

nyyxxr

i

ij

k

j

hs

j

i

1 1

)()(

Entre los momentos bidimensionales podemos destacar la Covarianza la cual nos

proporciona una medida del grado de relacin lineal que existe ente las variables X e Y, se

puede calcular mediante el siguiente modelo matemtico para la covarianza de la muestra:

Sxy = 2

))((

n

YYXX ii



59

Y para la covarianza de la poblacin xy = N

YX yixi ))((.

Interpretacin de la covarianza:

Si el valor de la covarianza es positivo indica una asociacin lineal positiva entre X

y Y; esto es; al aumentar el valor de X el de Y aumenta.

Si el valor de la covarianza es negativo, indica una asociacin lineal negativa entre

X y Y esto es; al aumentar el valor de X el de Y disminuye.

Si el valor de la covarianza es cero, indica que no asociacin lineal entre X y Y.

Ejemplo

Sxy = 2

))((

n

YYXX ii

i i

La media de X: 11.225 La media de Y: 5.437

X 7,2 6,7 17,0 12,5 6,3 23,9 6,0 10,2

Y 4,2 4,9 7,0 6,2 3,8 7,6 4,4 5,4

1 2 3 4 5 6 7 8

xy = 58, 297

Sxy = 58,297 = 9,71 6 Resultado

Positivo.

Ej. Sxy= (7,2 11.225) (4,2 5,437)= 4,97; (6,7 11.225) (4,9 5.437) = 2,42 ;



60

Introduccin

Regresin mnimo cuadrtica

Regresin lineal

Series temporales o cronolgicas

Correlacin

Prediccin

Captulo VI

REGRESIN

CORRELACIN



61

Introduccin

Cuando se analizan conjuntamente dos variables que no son estadsticamente

independientes, la relacin de independencia existente entre ellas puede ser funcional

(relacin matemtica exacta entre las dos variables, por ejemplo consumo de energa

elctrica por el uso de un aire acondicionado y el tiempo de enfriamiento) o estadstica

(relacin aproximada entre las dos variables, ejemplo el nivel de ventas de una empresa y el

gasto de publicidad). En este ltimo caso interesa estudiar el grado de dependencia

existente entre las variables. (Teora de la correlacin) y determinar la funcin que mejor

explique dicha dependencia (teora de la regresin).

Dadas dos variables X e Y, con distribucin conjunta de frecuencias (xi , yj); nij

Se denomina regresin de Y sobre X (Y/X), a la funcin que explica la variable Y para

cada valor de X. De igual forma, la regresin de X sobre Y (X/Y) determina el

comportamiento de X en funcin de Y, sin prdida de generalidad, consideremos la

distribucin de pares de valores p(xi, yi), con frecuencias unitarias.

Regresin de mnimo cuadrtica

Es una tcnica empleada para obtener la ecuacin de regresin, minimizando la

suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores Y verdaderos y los

valores pronosticados de , originando la recta de mejor ajuste. Al utilizar este mtodo se

elimina el juicio personal.

Para obtener la funcin de regresin de Y sobre X, en primer lugar se representan

grficamente en un sistema de coordenadas los pares de observaciones de las dos variables

(nube de puntos o diagrama de dispersin), y se selecciona el tipo de funcin que mejor se

ajuste a esos puntos. En segundo lugar se determina dicha funcin haciendo mnima la

suma de los cuadrados de los residuos o errores, ei (diferencia entre la variable dependiente

observada, y , y el valor terico, , que se obtiene al sustituir la funcin escogida x por x i,

esto es ei = yi ):

Min N

i

iy1

( )2



62

De igual forma se obtiene la funcin de regresin de X sobre Y haciendo mnimo:

N

i

ix1

( x^)2. Se denominan ecuaciones normales a aquellas que se obtienen al minimizar

las expresiones anteriores.

Regresin lineal

Si la funcin que se adapta a la nube de puntos es una recta, se habla de regresin

lineal y ser de la forma = a + bx, para la regresin Y/X, y, x^ = a + by, para la

regresin de X/Y. Los coeficientes b y b ' reciben el nombre de coeficientes de regresin

y es la pendiente de la recta, o sea el cambio en promedio en por unidad de cambio

(incremento o decremento) en la variable independiente X. Mientras que a y a' son los

puntos de corte con el eje Y, o sea el valor estimado de Y cuando X = 0.

Recta de regresin de Y sobre X

Se calculan los parmetros a y b que minimizan 2

1

)( i

N

i

i bxay , obtenindose

las siguientes ecuaciones normales N

i

iy1

= aN + bN

i

ix1

N

i

iy1

xi = a N

i

ix1

+ bN

i

ix1

2

Que dan lugar a:

a = xby

b = 2

x

xy

S

S o b =

)(.

)*.(.

XCS

YXCS

S.C.(X*Y)= YX * -n

YX * S.C(X) =

n

XX

2

2)(

S.C.(Y) = n

YY

2

2)(



63

As, la recta Y/X viene expresada por:

- y = 2

x

xy

S

S(x- x ) o XbaY (ecuacin reducida)

Recta de regresin de X sobre Y

Se minimizan 2''

1

)( i

N

i

i ybax , obtenindose las siguientes ecuaciones normales:

N

i

ix1

= a'N + b

'N

i

iy1

N

i

iy1

xi = a'

N

i

iy1

+ b'

N

i

iy1

2

Que dan lugar a: a = YbX

b'

= 2

y

xy

S

S o b =

)(.

)*.(.

YCS

YXCS

As la recta viene expresada por:

x^ - x =

2

x

xy

S

S(y- y ) o YbaX



64

Varianza residual, representa los valores de Y respecto a la lnea de regresin, recordemos

que las desviaciones de los valores de Y respecto a la lnea de regresin estimada se llaman

residuales, y se pueden obtener mediante el siguiente modelo matemtico:

S2y/x =

2

)( 2

n

YYi y el error estndar de estimacin se obtiene Sy/x = xyS /

Coeficiente de determinacin, lo definiremos como un valor comprendido entre 1 y cero

(1;0) y se usa para evaluar la bondad de ajuste para la ecuacin de regresin, lo

modelizaremos mediante r2 donde r2 = S.C.R / S. C.T

S.C.R = Suma de cuadrados debida a la regresin. = S.C.T S.C.E

S. C.T= Suma de cuadrados Total = (Yi - y i )2 *

S.C.E : Suma de Cuadrados del error = (Yi - Y i )2 *

S.C.T = S.C.R + S.C.E

EJEMPLO ILUSTRATIVO

1.- la siguiente informacin corresponde a una muestra tomada de 10 restaurant ubicados

en valencia, de acuerdo al nmero de clientes (X) y las ventas mensuales (Y), expresadas

en miles de Bs tal como se describe a continuacin:

#Rest 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

#Clientes (X) 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26

Ventas (Y) 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202

Se desea saber:

a.- Existencia de la relacin entre las variables. (covarianza nube de puntos)

b.- Estime las ventas para 10 clientes (recta de mejor ajuste por el M..M.C)

c.- Varianza residual

d.- Error estndar de estimacin.

e.- Coeficiente de determinacin



65

SOLUCIN

b.- XbaY Y = 60 + 5X (R.M.A.M.M.C), luego estimo las ventas

para 10 clientes y obtengo Y = 60 + 5 (10) = 110 miles de bolvares.

c.- Varianza Residual S2 = 121,95 m/Bs

2

d.- Error estndar de estimacin: S = 13,82 m/ Bs

e.- Coeficiente de determinacin r2

= 0,90

Nota: Se le sugiere al lector como ejercicio prctico estimar el nmero de clientes para

unas ventas de 150 mil Bs.



66

EJERCICIO RESUELTO EN EL PROGRAMA STATGRAPHICS

Anlisis de Regresin - Modelo Lineal Y = a + b*X

-----------------------------------------------------------------------------

Variable dependiente: Ventas

Variable independiente: #clientes

-----------------------------------------------------------------------------

Error Estadstico

Parmetro Estimacin estndar T P-Valor

-----------------------------------------------------------------------------

Ordenada 60,0 9,22603 6,50334 0,0002

Pendiente 5,0 0,580265 8,61675 0,0000

-----------------------------------------------------------------------------

Anlisis de la Varianza

-----------------------------------------------------------------------------

Fuente Suma de cuadrados GL Cuadrado medio Cociente-F P-Valor

-----------------------------------------------------------------------------

Modelo 14200,0 1 14200,0 74,25 0,0000

Residuo 1530,0 8 191,25

-----------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 15730,0 9

Coeficiente de Correlacin = 0,950123

R-cuadrado = 90,2734 porcentaje

R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 89,0575 porcentaje

Error estndar de est. = 13,8293

Error absoluto medio = 10,8

Estadstico de Durbin-Watson = 3,22353 (P=0,0027)

Autocorrelacin residual en Lag 1 = -0,705882

El StatAdvisor

--------------

La salida muestra los resultados del ajuste al modelo lineal para

describir la relacin entre Ventas y #clientes. La ecuacin del

modelo ajustado es

Ventas = 60,0 + 5,0*#clientes

Dado que el p-valor en la tabla ANOVA es inferior a 0.01, existe

relacin estadsticamente significativa entre Ventas y #clientes para

un nivel de confianza del 99%.

El estadstico R-cuadrado indica que el modelo explica un 90,2734%

de la variabilidad en Ventas. El coeficiente de correlacin es igual

a 0,950123, indicando una relacin relativamente fuerte entre las

variables. El error estndar de la estimacin muestra la desviacin

tpica de los residuos que es 13,8293. Este valor puede usarse para

construir lmites de la prediccin para las nuevas observaciones



67

SERIES CRONOLGICAS O TEMPORALES

Una serie cronolgica o temporal es una sucesin de observaciones de una variable

registrada a intervalos de tiempo regulares y ordenadas en el tiempo. Se puede considerar

como una variable bidimensional, siendo la variable dependiente, Y, y la magnitud que

queremos analizar, mientras que la independiente es el tiempo, t.

La serie cronolgica se representa por Yt, si se considera explcitamente el ao t,

donde t = t1, t2, .tn y la poca i, del ao a que se refiere la observacin i = 1, 2, ,12 por

ejemplo, si son meses; i = 1,2,..,k, en general.

Componentes de una serie cronolgica o temporal

El anlisis clsico de series cronolgicas, considera que una serie cronolgica esta

formada por cuatro componentes:

Tendencia (T): movimiento regular de la serie, a largo plazo, para establecer

una lnea de tendencia, que sea lo suficientemente vlida.

Variaciones estacinales (E): oscilaciones a corto plazo de perodo regular,

menor o igual a un ao.

Variaciones cclicas (C): movimientos a mediano plazo (superior al ao) en

torno a la tendencia, cuyo perodo y amplitud pueden presentar cierta

regularidad, crsis-recuperacin.

Variaciones irregulares (A): fluctuaciones debidas a factores eventuales,

espordicos e imprevisibles que no muestran una periodicidad reconocible.

Para describir cada una de las componentes, se hace uso de mtodos grficos y

esquemas o modelos. Un estudio grfico de los datos proporciona bastante informacin de

su evolucin a corto y largo plazo, y permite detectar la amplitud de las oscilaciones, la

presencia de ciclos, de valores anmalos, etc. Mediante los esquemas se trata de reproducir

la evolucin temporal segn una pauta regular que concuerde con los datos, sin intentar

explicar las causas de variacin de cada componente. Los esquemas utilizados

generalmente son dos:

Esquema aditivo: Yt = Tt + Et + Ct + At.

Esquema multiplicativo: Yt = Tt *Et * Ct * At



68

Para seleccionar el tipo de esquema ms adecuado, se puede utilizar varios mtodos

(grfico, grfico media desviacin tpica, etc.), el esquema ms utilizado con datos

econmicos es el multiplicativo; por ello, le prestaremos especial atencin en este manual.

Anlisis de la Tendencia

Consiste en expresar la tendencia mediante una funcin matemtica a partir de los

valores de la variable dependiente Y, en el tiempo t. Las funciones suelen ser de tipo lineal

o exponencial, y el ajuste se basa en el mtodo de los mnimos cuadrticos. Para el caso

lineal, consideremos dos situaciones:

1. Si se dispone slo de datos anuales, se define la tendencia anual de la serie como:

Tt = y t = a + bt

Donde a, b, son los parmetros a determinar.

2. Si se trabaja con datos mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, etc. o con

cualquier otra periodicidad, es decir, se tienen datos del tipo [subperodos (i)/ aos

(t)], los pasos a seguir para llevar a cabo el clculo de las tendencias para cada

subperodo (i) del ao t, son los siguientes:

Se calculan las medias anuales (medias para cada ao de las k

observaciones)

k

y

y

k

i

ti

t

1

.

, t = t1, t2,tn

Se obtiene la tendencia media anual ajustando una recta a ese conjunto de

datos

Se calcula tT y la tendencia k-ensima Tt para cada subperodo i de cada

ao t, teniendo en cuenta que esta ltima es tambin lineal, y que el

incremento de un subperodo al siguiente es b/k dado que el incremento

anual es b, por lo tanto:

btayT tt



69

Tt = tT + [2

1ki ]b/k, i = 1, 2, ,k

Donde [2

1ki ], es el contador del nmero de subperodos entre el momento

central del ao t, y el punto central del subperodo i, dentro del mismo ao t.

A continuacin un ejemplo demostrativo:

Durante el ao 2000 las ventas de cemento (miles de toneladas) en la regin central,

arrojaron los siguientes resultados:

Ao: 2000 2001 2002 2003 2004

Regin central (Y) 7 9 8 5 3

Estime las ventas para el ao 2010 b) 20.

SOLUCIN

Ao: 2000 2001 2002 2003 2004

Regin central (Y) 7 9 8 5 3

(X) -2 -1 0 1 2

X*Y -14 -9 0 5 6

X2

4 1 0 1 4

0X Y = 6,4, luego se procede a evaluar la recta de mejor ajuste por el mtodo de

los mnimos cuadrados: XbaY donde b = )(.

)*.(.

XCS

YXCS

a = xby entonces: Y = 6,4 -0,011x donde Y = 6,4 -0,011(7) = 6,3 miles de toneladas.

Interpretacin: Se estima que de mantenerse la tendencia las ventas sern de6,3 m/t



70

CORRELACIN

Se llama Correlacin a la teora que trata de estudiar la relacin o dependencia que

existe entre las dos variables que intervienen en una distribucin bidimensional.

Correlacin lineal, segn el diagrama de puntos se condense en torno a una lnea recta.

Correlacin positiva o directamente proporcional, cuando a medida que crece una

variable la otra tambin crece.

Correlacin negativa o inversamente proporcional, cuando a medida que crece una

variable la otra decrece.

Correlacin nula, cuando no existe ninguna relacin entre ambas variables, en cuyo caso

los puntos del diagrama estn esparcidos al azar, sin formar ninguna lnea, tambin se dice

que las variables estn incorreladas.

La correlacin es de tipo funcional, s existe una funcin que satisface todos los valores

de la distribucin.

A continuacin se presenta varios diagramas de dispersin, indicando la relacin que existe

entre las variables X y Y.

Y

X

(a)

Y

X

(b)

Y

X

(c)

Y

X

(d)

Y

X

(e)



71

COEFICIENTES DE CORRELACIN.

1. Coeficiente de correlacin de Pearson:

Cuando comenzamos a hablar de serie bidimensionales, y adems observamos por

via intuitiva, mediante el diagrama de dispersin que existe una correlacin lineal entre las

variables tiene inters cuantificar de forma ms objetiva y precisa esta correlacin.

Podemos decir que las aplicaciones prcticas con series en las que ambas variables

son continuas y la escala de medicin son de tipo intervalo o de razn, por ejemplo salario

y unidades producidas, edad y tiempo de servicio, peso y estatura, ventas y cursos

realizados, etc. para estas combinaciones podemos aplicar el coeficiente de correlacin

de Pearson. y se pueden obtener mediante el siguiente modelo matemtico:

Rp = YCSXCS

YXCS

..*..

*..

El signo del coeficiente de Pearson, viene dado por el signo de la covarianza, ya que las

desviaciones tpicas son siempre positivas. As pues, el signo de la covarianza decide el

comportamiento de la correlacin:

Si la covarianza es positiva, la correlacin es directamente proporcional.

Si la covarianza es negativa, la correlacin es inversamente proporcional.

Si la covarianza es nula es decir vale cero (0), no existe correlacin.

Se demuestra que el coeficiente de correlacin lineal, es un nmero real comprendido entre

-1 y +1 [-1,+1]. Veamos que tipo de dependencia existe entre las variables X y Y, segn el

valor de r.

1. Si r=1, todos los valores de la variable bidimensional (X, Y) se encuentra situados

sobre una recta; en consecuencia, satisfacen la ecuacin de una recta. Entonces se dice que

entre la variables X e Y existe una dependencia aleatoria.

2. Si -1



72

3. Si r=0, no existe ningn tipo de relacin entre las dos variables. En este caso se dice

que las variable X e Y son aleatoriamente independientes.

4. Si 0



73

3.- Coeficiente de correlacin biserial puntual.

Una variable da lugar a medidas de intervalo o razn y la otra da lugar a medidas

nominales dicotmicas (por ejemplo el sexo, estado civil, presentacin de un examen, etc.)

por ejemplo podemos observar volumen de ventas en un mes (variable X) y ejecutivos

segn sexo (variable Y) asignando (1) a masculino y (0) a femenino. La observacin de

ambas variables, Ventas (X) y sexo (Y) dar dos puntuaciones por ejecutivos.

La relacin entre X y Y se puede calcular mediante el coeficiente producto-

momento de Pearson, a partir de los datos como se dan, y el resultado se denomina

coeficiente de correlacin biserial- puntual y lo simbolizaremos por rbp . El trmino de

biserial se refiere al hecho de que existe dos series de observaciones en Y; las puntuaciones

de cero o uno. Tanto el nombre como la frmula se deben a kart Pearson. y su modelo

matemtico es:

rbp = )1(

** 01

)0()1(

nn

nn

S

XX

Donde: )1(X es la media en X de las puntuaciones 1 en Y.

)0(X es la media en X de las puntuaciones 0 en Y.

Sx es la desviacin tpica de las n puntuaciones en X

n1 es el nmero de puntuaciones con valor 1 en Y

n0 es el nmero de puntuaciones con valor 0 en Y

n es el nmero total de sujetos observados tanto en 1 como en 0,n = n1 + n0

La interpretacin de este coeficiente es la misma que se dio al primer coeficiente

(Pearson).

4.- Coeficiente de correlacin Phi,

Este caso se presenta cuando dos variables son de tipo nominal dicotmica, es

decir, ambas variables son de tipo nominal con solo dos categoras que representan

presencia y ausencia, de una determinada caracterstica, sea por ejemplo cuando una de las

variables es sexo (solo reconocemos si el sujeto es de sexo masculino o no, lo que

entenderemos como femenino) y la otra variable es si vot o no, en una eleccin. En la

Documents

Libro Análisis de Datos