Libro Mat Ccss 1

8/15/2019 Libro Mat Ccss 1

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MATEMÁTICAS APLICADAS

a las CC.SS. I

I.E.S. FERNANDO DE MENADPTO. DE MATEMÁTICAS

CURSO 2014 -2015 Profesor: Alfonso González López

Alumno/a: _______________________



ALFONSO GONZÁLEZIES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

AVISO LEGAL

Del presente texto es autor Alfonso González López, profesor de Matemáticas del IES Fernando de Mena(Socuéllamos, Ciudad Real, España), y tiene una finalidad exclusivamente didáctica, para la divulgación demateriales didácticos relacionados con la materia Matemáticas aplicadas a las CCSS I de 1º de Bachilleratode Ciencias Sociales. No tiene fines comerciales ni ánimo de lucro.

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120 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS,ECUACIONES, INECUACIONES y SISTEMAS

Repaso de polinomios:1. Dados P(x)=4x5- 8x4+2x3+2x2+1 y Q(x)= 4 x3- 4x2+2x, se pide:

a) Extraer el máximo factor común de Q(x)b) P(x)- 2x·Q(x) (Sol: 4x 5 -16x 4 +10x 3 -2x 2 +1) c) Q(x)· Q(x) (Sol: 16x 6 -32x 5 +32x 4 -16x 3 +4x 2 ) d) P(x): Q(x) , con comprobación (Sol: C(x)=x 2 -x-1; R(x)=2x+1)

RECORDAR:

2. Desarrollar, aplicando lasigualdades notables correspondientes:

a) (x+2)2=

b) (x-3)2=

c) (x+2) (x-2)=

d) (3x+2)2=

e) (2x-3)2=

f) (5x+4) (5x-4)=

g) (x2+5)2=

h) (x3-2)2=

i) (x2-1) (x2+1)=

j) (2x2+3x)2=

k) (2x2

-3)2

=l) (-x-3)2=

m) =

+2

21x

n) =

−2

23a2

o) =

−

+

2x1

2x1

p) =

+

2

4

3x2

q) =

−2

4x

23

r) =

+−

+ 23a

3a2

s) =

−2

x1

2x3

t) =

+

−

3

x

2

x

3

x

2

x 22

u) =

+2

41x

23

( Sol:m) 4 1

x x 2 ++ ; n) 2 9 4a - 6a + 4

; o)4

x 2

−1 ; p) 2 9 4x + 3x + 16

; q) 2 9 3x x - +

4 4 16 ; r)

2 a 4 - 9

s) 2

2

x

1 3 x

4 9

+− ;

t) 9

x 4

x 2 4 − ; u) 2 9 3x 1x + +

4 4 16 )

3. Dados P(x)=4x3+6x2-2x+3, Q(x)=2x3-x+7 y R(x)=7x2-2x+1, hallar:a) El valor numérico de P(x) para x=-2 (Sol: -1) b) La factorización de R(x) (Sol: polin. irreducible) c) P(x)+Q(x)+R(x) (Sol: 6x 3 +13x 2 - 5x+11) d) P(x)-Q(x)-R(x) (Sol: 2x 3 - x 2 +x - 5)

e) P(x)+3Q(x)-2R(x) (Sol: 10x 3 - 8x 2 - x+22)

f) P(x): (x+2) por Ruffini, y comprobar (Sol: C(x)=4x 2 -2x+2; R(x)=-1)

4. Operar y simplificar:

a) (x+1)2+(x-2)(x+2)= b) (3x-1)2-(2x+5)(2x-5)=

2 2 2

2 2 2

2 2

(A B) A 2AB B(A B) A 2AB B(A B)(A B) A B

+ = + +

− = − +

+ − = −



MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS IALFONSO GONZÁLEZ

IES FERNANDO DE MENA


c) (2x+3)(-3+2x)-(x+1)2=

d) (-x+2)2-(2x+1)2-(x+1)(x-1)=

e) -3x+x(2x-5)(2x+5)-(1-x2)2=

f) (3x-1)2-(-5x2-3x)2-(-x+2x2)(2x2+x)=

( Sol:a) 2x 2 +2x - 3; b) 5x 2 - 6x+26; c) 3x 2 - 2x - 10; d) - 4x 2 - 4x+4; e) - x 4 +4x 3 +2x 2 - 28x - 1; f) - 29x 4 - 30x 3 +x 2 - 6x+1 )

5. Dados P(x)=6x4+11x3-28x2-15x+18 y Q(x)=3x-2, se pide:a) Factorizar P(x), por Ruffini [ Sol: (3x-2)(2x-3)(x+1)(x+3) ] b) P(x)· Q(x)- 2x2Q(x) (Sol: 18x 5 +21x 4 -112x 3 +15x 2 +84x-36) c) P(x): Q(x) [ Sol: C(x)=2x 3 +5x 2 -6x-9; R(x)=0 ]

6. Dados P(x)=x6+6x5+9x4- x2- 6x- 9 y Q(x)= x2- 9, se pide:a) Factorizar P(x), por Ruffini [ Sol: (x+1)(x-1)(x+3)2 (x 2 +1) ] b) P(x)- Q(x)· Q(x) (Sol: x 6 +6x 5 +8x 4 +17x 2 -6x-90)

c) P(x): Q(x) [ Sol: C(x)=x 4 +6x 3 +18x 2 +54x+161; R(x)=480x+1440 ]

Repaso de ecuaciones:

7. Resolver, y comprobar1 en los casos indicados:

1) 4 3 2x x 16x + 4x + 48 = 0− − por Ruffini + comprobación (Sol: x 1=2; x 2 =-2; x 3 =-3; x 4 =4)

2) 4 2x 13x + 36 = 0− + comprobación (Sol: x= ± 2; x= ± 3)

3) 2x 3x 5 x= 315 20 5

−− − + comprobación (Sol: x=15)

4) ( )2 5 x 1 x3 = 48 6− −

− − + comprobación (Sol: x=25)

5) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x 1 x 2 = x + 3 x 20+ − − + − + comprobación (Sol: x= ± 2)

6) ( )( )x 3 = x 2 x + 7 +174−

− + comprobación (Sol: x 1=-1; x 2 =-15/4)

7) x x 3 = 3− − (Sol: x 1=3; x 2 =4)

8)5x 2 x 3 x 2 29

=3 2 3 6− − −

− + + comprobación (Sol: x=4)

9) x x = 2+ (Sol: x=1)

10) 3 2x 3x + 3x 1= 0− − por Ruffini + comprobación (Sol: x=1)

11) 4 2x x 2 = 0+ − + comprobación (Sol: x= ± 1)

12) 1 1=75x 14+

+ comprobación (Sol: x=7)

1 Se recuerda que las ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador, así como las ecuacionesirracionales, es decir, aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical, suelen requerir habitualmentecomprobación.






13) 4 2x 4x = 0− + comprobación (Sol: x=0; x= ± 2)

14) ( )3 x 1 x 4x =2 3

+ −− + comprobación (Sol: x=-17)

15)2 4x 2 x 8

= 23 2+ −

− − + comprobación (Sol: x= ± 2)

16) 2x x 2x = 6+ + (Sol: x=18/7)

17) x 2x 4 = 6− − (Sol: x=10)

18) ( )( )2x x 4 3x 12 = 0− + igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: x=0; x=-4; x= ± 2)

19) 3x 2 5x 2 4x 1+ 3 x = 3x4 8 2− − −

− − (Sol: x=10/47)

20) 3 2x 2x 2x 3 = 0− − − por Ruffini + comprobación (Sol: x=3)

21) 2 223x 1 1 1 x 5+ x 2 x =

4 2 2 4− −

− − (Sol: x 1=0; x 2 =1/4)

22) ( )( )22x 7 x 3 = 0− + igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: x 1=7/2; x 2 =-3)

23) ( ) ( )2 2x 2 x 1 = 0+ − igualando a 0 cada factor + comprobación (Sol: x 1=-2; x 2 =1)

24) ( )2 2 2 4 2x x 7 x 11 3x 7x 2=2 3 6

+ + + ++ − (Sol: ∃/ soluc.)

25) ( )x 2 5x3 x 1 = 22 2

+− + − − (Sol: Es una identidad, es decir, se verifica∀ x ∈ ℝ )

26) 3 2x x 6x = 0+ − factorizando previamente + comprobación (Sol: x1=0; x2=2; x3=-3)

27) x x 2 14+ =x 1 x 1 3

+

+ − + comprobación (Sol: x 1=2; x 2 =-5/4)

28) 6 2x 3 = x+ + (Sol: x=11)

29) ( )( ) ( )2x + 2 x 2 + 2 = x 2 x− − + comprobación (Sol: x=-1; x= ± √ 2)

30) 4 3 2x 2x x = 0− + factorizando previamente + comprobación (Sol: x1=0; x2=1)

31)2

6 6 1x + 2 x 2 =5 5 x

− (Sol: x= ± √ 5)

32) 4 x 1 2x = 1 x5 3− −

− + + comprobación (Sol: x=-17)

33) ( )( ) ( )22 22x 3 2x 3 2x 3 414x

2 3 6+ − −

− = − + comprobación (Sol: x= ± 1)

34) ( )( ) ( ) ( )2 23x 2 3x 2 3x 2 2x 3=2 3 4

+ − + −− ( Sol: 6 ± 438

x = 6

)

35) x 5 7 2x 8+ = − + (Sol: x=4)






36) 3 x 2 2 x2x 1 =4 3 5

+ − − −

+ comprobación (Sol: x=1/3)

37) x 5 x 5+ + = (Sol: x=4)

38) 3 5 1 x 1 1 xx + =4 2 3 12 6 3

+ − −

(Sol: x=163/28)

39) 3x 1 1= 2x 1 2+ − − − (Sol: ∃/ soluc.)

40) 3 x 2=x 3 2 x

+

+ − (Sol: x 1=0, x 2 =-8)

41) 1 2 3 x+ + = 1x x x 3

− (Sol: x 1=6, x 2 =-3)

42) x 1 x 2 2x 3= 13 5 15+ − −

− + (Sol: ∃/ soluc.)

43)1600

196x

4801961=

+ + comprobación

(Sol: x=20)

44) 8 12 x+ = 1x 6 x 6

−

+ − (Sol: x 1=10, x 2 =-3)

45)2

23x 1 6x 16x 1 3x 1

+ −=

+ − + comprobación (Sol: x=0; x= ± 2)

46) -x2-x=0 + comprobación (Sol: x 1=0, x 2 = - 1)

47)2

2x31 x

=−

)= =Sol : x 3 / 3, x - 3 1 2 (

48) (x2+1)4=625 + comprobación (Sol: x= ± 2)

49)2

x 2x 6+ =x 3 x 3 x 9− + −

(Sol: x 1=2, x 2 =-1)

50) (x2-1)4=0 + comprobación (Sol: x= ± 1)

51) x810x4

= (Sol: 3 x = 0, x = 2 · 10 1 2 )

52) 0xx

= (Sol: ∃/ soluc.)

53) 2x 4x 4 1+ + = + comprobación (Sol: x 1=-1, x 2 =-3)

54) x6-16x2=0 + comprobación (Sol: x=0, x= ± 2)

55) 25x3 =+ + comprobación (Sol: x=3)

56) x3=3x + comprobación (Sol: x 1=0, x 2 = √ 3; x 3 = - √ 3)

57) 11x x3 x 4 = 2x 3 16 6

− − − −

[Sol: ∃/ soluc.]

58) 47x3x2 =+−− (Sol: x=114)

59)2

2x 2 x x 1x 1 x 2x 3x 2

− −− =

− −− + (Sol: x= - 3)






60) 2 x 4 x 1 4+ − − = (Sol: x=5; x=13/9)

61) 2 x2 xx 2

= − (Sol: x=± √2)

62) 5 3 x

x 2 2 x 3= −

+ +

(Sol:x 1=3; x 2 =-4)

8. TEORÍA: a) ¿Qué es el discriminante de una ecuación de 2º grado? ¿Qué indica? Sin llegar a resolverla,¿cómo podemos saber de antemano que la ecuación x2+x+1 carece de soluciones?

b) Inventar una ecuación de 2º grado con raíces x1=2/3 y x2=2, y cuyo coeficiente cuadráticosea 3

c) Sin resolver y sin sustituir, ¿cómo podemos asegurar que las soluciones de x2+5x-300=0 sonx1=15 y x2=-20?

d) Calcular el valor del coeficienteb en la ecuación x2+bx+6=0 sabiendo que una de las

soluciones es 1. Sin necesidad de resolver, ¿cuál es la otra solución?

Repaso de SS.EE.:9. Resolver los siguientessistemas de ecuaciones lineales por el método indicado (si no se dice nada, se

deja ad libitum), yhacer siempre la comprobación :

1) 2x 3y = 43x y = 1

− − −

por sustitución

(Sol: x=1, y=2)

2) x 2y = 4x + 5 y = 3

− − por igualación

(Sol: x=-2, y=1)

3) 3x y =13x + 2 y = 2

− por reducción

(Sol: x=4, y=-1)

4) 7x 6y = 42x +2y = 2

+ − −

por reducción

(Sol: x=2, y=-3)

5) 2x +5y = 4x + y = 2

− −

por sustitución

(Sol: x=-2, y=0)

6) 3x y = 6

3 x + y = 0

−

−

por igualación

(Sol: x=1, y=-3)

7) x 2y = 63x + 2y = 10

− − −

por igualación

(Sol: x=2, y=-2)

8) 2 x + 3 y = 53 x + 2 y = 5

por reducción

(Sol: x=1, y=1)

9)=+

=+

159y6x5y3x2 (Sol:∞ soluc.; comp .indtdo.)

10)=−

=−

44y6x9y2x3 (Sol: ∃/ soluc ; incompatible)

11) x + y = 5x y = 5−

(Sol: x=5, y=0)

12) 4 x + 3 y = 02x 7y = 0−

(Sol: x=0, y=0)

13) 3 x + 5 = 2 y + 1x 9 = 1 5y− −

(Sol: x=0, y=2)

14) 2x 3y 54x 6y 6

+ = − − = −

(Sol: ∃/ soluc ; incompatible)

15) 3x 2y 96x 4y 18

− = − + = −

(Sol:∞ soluc.; comp. indtdo.)

16)x

+ 3 y = 42x 2y = 0−

(Sol: x=2, y=1)

17)x +5y = 13x 3y = 43 2

− −

− (Sol: x=3, y=-2)

18)x y = 43 2x y = 22 4

−

−

(Sol: x=0, y=-8)






19)x +1+ y = 13

x 3 +2y=14−

(Sol: x=-1, y=1)

20)3(x 2) 2(y 3) 2

4 5 52(y 4) 3(x 1) 3

3 2 2

− − + =

− −+ =

(Sol: x=2, y=4)

21)( )

20x +7 4x +y= 29 2

2 x y7x+1 = x4 6

−

−−

(Sol: x=1, y= - 2)

22)=

+−

+

=−

+

25

52)2(y

21)3(x

613

32)2(y

21)-3(x (Sol: x=2, y=3)

23)=

++

=−

−+

21

21y

3x

31

32y

21x

(Sol: x=-15/13,y=10/13)

24)x y z 6

2x y 3z 9x 2y z 2

− + = + − = −

− + + = −

(Sol: x=1, y= - 2; z=3)

25)=++−=+−

=−+

9z4yx 13z3y2x

0zyx2 (Sol: x=2, y=-1; z=3)

26)2x 5y 3z 4

x 2y z 35x y 7z 11

− + = − + = + + =

(Sol: x=5, y=0; z=-2)

27)

3x 2y z 2

4x 3y 5z 92x 4y z 1

+ − =

− + = + − =

(Sol: x=1, y=0; z=1)

28)x y 3z 1

2x 4y z 33x 3y 5z 11

+ − = − + =

− + − = −

(Sol: x=3, y=1; z=1)

29)x y 2z 9

2x y 4z 42x y 6z 1

+ − = − + = − + = −

(Sol: x=6, y=-2; z=-5/2)

30) x y z 22x 3y 5z 11x 5y 6z 29

+ + = + + = − + =

(Sol: x=1, y=-2; z=3)

31)x y z 1

2x y 3z 0x 2y 2z 5

+ + = − − =

− + − = −

(Sol: x=1, y=-1; z=1)

10. TEORÍA: a) Inventar un sistema compatible determinado que tenga por solución x=2, y=-3b) Inventar un sistema compatible indeterminado y razonar por qué tiene∞ soluciones.c) Inventar un sistema incompatible y razonar por qué no tiene solución.d) Resolver los siguientes sistemas e indicar de qué tipo se tratan:

4x 3y 52x y 5

− = + =

4x 3y 58x 6y 10

− = − + = −

4x 3y 512x 9y 3

− = − =

(Sol: SCD x=2, y=1; SCI; SI) e) Dado el sistema de ecuaciones ax 2y 1

x 2y 1+ = + =

hallar el valor que debe tener el parámetroa para que el sistema tenga:i) una única solución;ii) ∞ soluciones; iii) Ninguna solución.

11. Resolver los siguientessistemas de ecuaciones NO lineales por el método más apropiado en cadacaso, y hacer siempre la comprobación :

1. 2 2x y 3x y 45

− = + =

(Sol: x 1=6, y 1=3; x 2 =-3, y 2 =-6)






2.2

x y 1 x 2x 3y 1

+ =

− + = − (Sol: x 1=4, y 1= - 3; x 2 =1, y 2 =0)

3.2 2

x y 7x y 25

+ =

+ = (Sol: x 1=3, y 1=4; x 2 =4, y 2 =3)

4.2

2x y 1x 3xy 0

− =

+ = (Sol: x 1=0, y 1=-1; x 2 =3/7, y 2 =-1/7)

5.2 2

x y 4x y 40

+ =

+ = (Sol: x 1=-2, y 1=6; x 2 =6, y 2 =-2)

6. 2x 3y 32x 3y -12

− =

− = (Sol: x 1=-3, y 1=2; x 2 =5, y 2 =22/3)

7. 2 2x y 25xy 12

+ =

= (Sol: x 1=3, y 1=4; x 2 =-3, y 2 =-4; x 3 =4, y 3 =3; x 4 =-4, y 4 =-3)

8.2

2

3x y 72x y 6

+ = + =

(Sol: x 1=1, y 1=-2; x 2 =1, y 2 =2)

9. 2x y 6x y

+ =

= − (Sol: x 1=-3, y 1=3; x 2 =2, y 2 =-2)

10. 2 2x y 61xy 30

+ =

= (Sol: x 1=-6, y 1=-5; x 2 =5, y 2 =6; x 3 =-5, y 3 =-6; x 4 =6, y 4 =5)

11.( )

2

2

y 15 x

3 x 1 y

= −

+ = (Sol: x 1=3, y 1=2 √ 3; x 2 =3, y 2 =-2 √ 3)

12.2 2x 2xy y 16

x y 6− + =

+ = (Sol: x 1=5, y 1=1; x 2 =1, y 2 =5)

13. x y 105x y 27

− =

+ = (Sol: x=121, y=165)

14.2 2

x 2y 5x y 4x 2y 20

− =

+ − − = (Sol: x 1=7, y 1=1; x 2 =-1, y 2 =-3)

Problemas de planteamiento:RECORDAR: A la hora de resolver un problema que requiera el planteamiento de una ecuación o un

sistema se recomienda:

− Leer atentamente el enunciado en su totalidad.

− Detectar qué nos piden y llamarlox (e y, si se trata de un sistema).

− Plantear la ecuación (o el sistema) que relaciona algebraicamente los datos del enunciado y la(s)incógnita(s); para ello, suele ser recomendable hacer una tabla –en los problemas de edades–, o undibujo –en los de tipo geométrico–, o un diagrama –problemas de mezclas–, etc.

− Resolverla.− Interpretar los resultados obtenidos ycomprobar que verifican las condiciones del enunciado.






12. Tres amigos se pesan en una báscula de dos en dos. Antonio y Benito suman 110 kg, Antonio y Carlos120 kg, mientras que Benito y Carlos pesan 130 kg ¿Cuánto pesa cada uno? (Sol: Antonio 50 kg, Benito 80 kgy Carlos 70 kg)

13. Los 90 alumnos de 1º de Bachillerato de un colegio están divididos en tres grupos, A, B y C. Calcular elnúmero de alumnos de cada grupo sabiendo que, si se pasan 7 alumnos del B al A ambos grupos quedannivelados, y si se pasan 4 del C al A entonces en éste habría la mitad de alumnos que en aquél. (Sol: 16alumnos en el A, 30 en el B y 44 en el C)

14. Disponemos de fotos para pegar en las hojas de un álbum. Si pegamos 4 fotos en cada hoja nos sobrandos hojas pero si colocamos 3 fotos por hoja entonces nos sobran 10 fotos ¿Cuántas fotos tenemos ycuántas hojas tiene el álbum? (Sol: 64 fotos y 18 hojas)

15. a) Calcular el precio original de unos pantalones rebajados un 15 % por los que hemos pagado 68 €(Sol: 68 €)

b) Por una multa de tráfico que lleva una penalización del 20 % por demora pagamos finalmente 144 €¿Cuál era el precio original de la multa? (Sol: 120 €)

c) Un comerciante vende los artículos de su tienda aumentando un 40 € el precio de coste como margende beneficio. A sus allegados quiere vendérselos al precio de coste y, para ello, da a sus dependientesla orden de que les rebajen un 40 % del precio de venta al público. Razonar que este comerciante nosabe muchas Matemáticas y acabará perdiendo dinero.

16. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3525 €. Calcularcuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 15 €, cuántos han pagado el 20 % delbillete y cuántos el 50 %, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20 % es el doble de losque pagan el billete entero. (Sol: 1500 viajeros a 15 €, 300 a 3 € y 50 a 7,5 €)

17. La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 35 años. Dentro de 20 años la edad del padre será

dos veces la del hijo ¿Qué edad tienen ahora el padre y el hijo?18. Un comerciante piensa vender por 1050 € una partida de piezas de porcelana. Se le rompen 5 y, para

compensar la pérdida, debe vender 1 € más caro cada una de las restantes ¿Cuántas piezas de porcelanatenía al principio, y cuánto costaban? (Sol: 75 piezas a 14 €)

19. a) Después de subir un 20 %, un artículo vale 45,60 € ¿Cuánto valía antes de la subida?(Sol: 38 €)

b) Después de rebajarse en un 35 %, un artículo vale 81,90 € ¿Cuánto valía antes de la rebaja? (Sol: 126 €)

c) Una entrada de un cine costaba el año pasado 5,50 € y este año 6,25 € ¿Cuál ha sido el porcentaje desubida? (Sol: 13,64 %)

20. Una familia decide dar un donativo de 1125 €. Los padres aportan conjuntamente una determinadacantidad y entre los tres hijos entregan la cuarta parte de lo que dan sus padres ¿Cuánto ha donado cadahijo si cada uno de ellos aporta lo mismo? (Sol: 75 €)

21. Calcular las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que entre los tres suman 99 años, que laedad del padre y la del hijo mayor difieren en 25 años, y que la suma de las edades de ambos hijos sediferencian en la edad del padre en 5 años.

22. Tres amigos deciden alquilar un piso juntos y acuerdan que cada uno pague en proporción a sus ingresos.El piso cuesta 1050 € mensuales. Javier gana 4000 €, Fernando 2000 y Pablo 1000 ¿Cuánto deberáaportar cada uno? (Sol: Javier 600 €, Fernando 300 € y Pablo 150 €)

23. a) La cantidad de agua de un embalse ha disminuido en un 35 % respecto a lo que había el año pasado.

Ahora contiene 74,25 millones de litros ¿Cuántos litros tenía el año pasado? (Sol: 114,23 millones de l)






b) En una evaluación de Matemáticas ha aprobado el 60 % de la clase. El resto se presenta a larecuperación, aprobando el 30 % de ellos. Al final del proceso son en total 18 los aprobados ¿Cuál es elporcentaje de aprobados? ¿Cuántos estudiantes forman la clase? (Sol: 72 %; 25 estudiantes)

c) Unos pantalones que cuestan 50 € sufren un descuento de 10 € en las rebajas de junio. Posteriormente,en septiembre, vuelven a ser rebajados, esta vez un 40 %. Calcular su precio final. (Sol: 24 €)

24. En una competición de baloncesto a doble vuelta participan 12 equipos. Cada partido ganado vale 2puntos y los partidos perdidos 1 punto (no puede haber empates). Al final de la competición el equipo deLuis tiene 36 puntos ¿Cuántos partidos ha ganado? (Ayuda: Razona, en primer lugar, cuántos partidos jugará cada equipo) (Sol: Cada equipo jugará 22 partidos; el equipo de Luis ha ganado 14 partidos y ha perdido 8)

25. Un orfebre quiere conocer las dimensiones de un grabado con forma rectangular. Calcular susdimensiones sabiendo que uno de sus lados mide 3 cm más que el otro, y que su área ha de ser 70 cm2 (Sol: 10 cm x 7 cm)

26. El cajero del banco nos entrega un total de 18 billetes cuando vamos a cobrar un cheque de 600 €,utilizando para ello billetes de 20 y de 50 exclusivamente ¿Cuántos de cada tipo?(Sol: 8 de 50 € y 10 de 20)

27. En una comunidad de vecinos ha de hacerse una obra urgente. En promedio cada vecino debería pagar256 €, pero tres vecinos morosos se niegan a colaborar. Los demás calculan que entonces deberán pagar320 € ¿Cuántos vecinos son en total en la comunidad? ¿A cuánto asciende la obra? (Sol: 15 vecinos; 3840 €)

28. Una finca rectangular la hemos cercado con 30 rollos de alambrada de 10 m cada uno. Si la finca es 20 mmás larga que ancha, calcular sus dimensiones. (Sol: 85 m x 65 m)

29. En una clase de 35 estudiantes han aprobado las Matemáticas el 80 % de las chicas y el 60 % de loschicos ¿Cuántas alumnas tiene la clase si el número de chicas que han aprobado es el mismo que el dechicos? ¿Cuántos chicos hay? (Sol: 20 chicos y 15 chicas)

30. Dos hermanos, mientras charlan, concluyen que entre ambos tienen 29 años, y el uno le dice al otro:“Dentro de 8 años mi edad será el doble de la tuya”. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? (Sol:7 y 22 años)

31. Una familia adquiere una determinada cantidad de litros de aceite por un importe de 144 €. Al cabo de unaño los precios han disminuido en 1 €/litro, por lo que, con el mismo dinero, puede comprar 12 l más deaceite ¿Qué cantidad había adquirido inicialmente y a qué precio? (Sol: 36 l a 4 €/l)

32. En 1º de Bachillerato hay el doble de alumnos que en el B. Si 9 alumnos del B pasaran al A habría en éstegrupo el quíntuplo de alumnos de los que quedan en B. Hallar el número de alumnos que hay en cadagrupo.

33. Se quiere distribuir un lote de libros entre varios alumnos. Si a cada alumno se le asignan tres libros

sobran 17 y para asignarle 4 faltan 8 libros. Hallar el número de alumnos y de libros.34. Dos tinajas tienen la misma cantidad de vino. Si se pasan 37 litros de una a otra, ésta contiene ahora el

triple que la primera ¿Cuántos litros de vino había en cada tinaja al principio?(Sol: 74 l)

35. Un padre, preocupado por motivar a su hijo en Matemáticas, se compromete a darle 1 € por problema bienhecho, mientras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,5 €. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó30 €. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente? (Ayuda: Plantear un SS.EE. de 1er grado) (Sol: 40problemas)

36. Tres hermanos se reparten un premio de 350 €. Si el mayor recibe la mitad de lo que recibe el mediano; yel mediano la mitad de lo que recibe el pequeño, ¿cuánto dinero tendrá cada hermano al final?(Sol: 50 € elmayor, 100 € el mediano y 200 € el pequeño)






37. Un salón de forma rectangular tiene una superficie de 48 m2 y su diagonal mide 10 m ¿Cuáles son susdimensiones? (Sol: 6 m x 8 m)

38. Hallar dos números positivos sabiendo que su cociente es 2/3 y su producto 216 (Sol: 12 y 18)

39. Si los lados de un cuadrado aumentan 2 cm, su área aumenta 28 cm2 ¿Cuáles son las dimensiones del

cuadrado originario? (Sol: Se trata de un cuadrado de lado 6 cm) 40. Un grupo de estudiantes alquila un piso por el que tienen que pagar 420 € al mes. Uno de ellos hace

cuentas y observa que si fueran dos estudiantes más, cada uno tendría que pagar 24 € menos. ¿Cuántosestudiantes han alquilado el piso? ¿Cuánto paga cada uno? (Sol: 5 estudiantes a 84 € cada uno)

41. Un almacenista de fruta compra un determinado número de cajas de fruta por un total de 100 €. Si hubieracomprado 10 cajas más y cada caja le hubiera salido por 1 € menos, entonces habría pagado 120 €.¿Cuántas cajas compró y cuánto costó cada caja? (Sol: 20 cajas a 5 €)

42. Un rectángulo tiene 300 cm2 de área y su diagonal mide 25 cm. ¿Cuánto miden sus lados?(Sol: 20 x 15 cm)

43. Un frutero ha comprado manzanas por valor de 336 €. Si el kilo de manzanas costara 0,80 € menos,

podría comprar 48 kg más. Calcular el precio de las manzanas y la cantidad que compró.(Sol: 120 kg a 2,80€/kg)

44. Una persona compra una parcela de terreno por 4800 €. Si el m2 hubiera costado 2 € menos, por el mismodinero habría podido comprar una parcela 200 m2 mayor. ¿Cuál es la superficie de la parcela que hacomprado? ¿Cuánto cuesta el m2? (Sol: 600 m 2 ; 8 €)

45. El área de un triángulo rectángulo es 30 m2 y la hipotenusa mide 13 m. ¿Cuáles son las longitudes de loscatetos? (Sol: 12 m y 5 m)

46. Calcular dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 195(Sol: 13 y 15)

47. Si multiplicamos la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtenemos 405. ¿Cuál es

ese número? (Sol: 45) 48. Varios amigos alquilan un local por 800 €. Si hubieran sido tres más, habría pagado cada uno 60 € menos.

¿Cuántos amigos son? (Sol: 5 amigos)

49. Uno de los lados de un rectángulo es doble que el otro y el área mide 50 m2. Calcular las dimensiones delrectángulo. (Sol: 5 x 10 m)

50. Un campo rectangular de 4 ha de superficie tiene un perímetro de 10 hm. Calcular, en metros, su longitudy su anchura. (Recordar: 1 ha=100 a; 1 a=100 m2) (Sol: 100 m x 400 m)

51. Las diagonales de un rombo están en la relación de 2 a 3. El área es de 108 cm2. Calcular la longitud delas diagonales y el lado del rombo. (Sol: d=12 cm; D=18 cm; l ≅ 10,81 cm)

52. El diámetro de la base de un cilindro es igual a su altura. El área total es 169,56 m2. Calcular susdimensiones. (Sol: d=h=6 m)

Problemas de mezclas:53. Con dos tipos de café, de 8,5 €/kg y 13 €/kg, queremos obtener una mezcla de 11 €/kg ¿Qué cantidad

habrá que mezclar de cada tipo para obtener 20 kg de mezcla? (Sol:≅ 8,9 kg del café de 8,5 € y 11,1 kg delotro)

54. Si se mezclan dos tipos de abono, uno de 1,64 €/kg y otro de 1,48 €/kg, se obtiene otro tipo de una calidadintermedia que sale a 1,52 €/kg ¿Cuántos g de cada tipo contiene el kg de mezcla? (Sol: 250 g del de 1,64 y

750 g del otro)








Vemos que el dato de la capacidad total del depósito es irrelevante, y esto va a ocurrir siempre en los problemas derepartos inversamente proporcionales. Obtenemos así laFórmula general de los repartos inversamente

proporcionales:

1+ + =t t t

20 30 36

Es trivial despejar t, obteniéndose como solución: 9 horas.

61. Un pintor tarda tres horas en pintar una pared mientras que otro sólo tardaría dos horas ¿Cuánto tardaránen pintarla los dos a la vez.(Sol: 1 h 12 min)

62. Una cuadrilla vendimia una parcela de 1 ha en 1 hora mientras que otra más lenta lo haría en 2 horas.a)¿Cuánto tardarían en vendimiar esa parcela trabajando ambos a la vez?b) ¿Cuánto tardarán en vendimiara la vez un campo de 5 ha? (Sol: 40 min; 3 h 20 min)

63. Un albañil levanta una pared en 2 horas, otro en 3 horas y un tercero en 4 horas ¿Cuánto tardarán enlevantarla juntos? (Sol: 55 min)

Repaso de intervalos:

64. Completar:

REPRES. GRÁFICA

INTERVALO DEF. MATEMÁTICA

1 [-1,3]

2

3

4 [-2,1)

5 {x∈IR/ 1<x≤5}

6

7 {x∈IR/ x<2}

8 (0,∞)

9

1000+ + =1000t 1000t 1000t

20 30 36

0 2

-1 ∞

-2 4

-∞ 3






65. Representar en la recta real los siguientes intervalos y definirlos empleando desigualdades:a) [2,4]b) (1,6)c) [1,5)

d) (-1, 3)e) (-2,2)f) (0,∞)

g) (-∞ ,3]h) [-3,3]i) (5/3,∞)

j) (-∞ ,-2]

66. Representar en la recta real los siguientes conjuntos numéricos y nombrarlos –siempre que se pueda–empleando intervalos:

a) {x∈IR/ -2<x≤3}

b) {x∈IR/ 1≤x≤4}

c) {x∈IR/ x≥2}

d) {x∈IR/ x<0}

e) {x∈IR/ |x|≤3}

f) {x∈IR/ |x|>4}

g) {x∈IR/ x>-3}

h) {x∈IR/ x≤5}

i) {x∈IR/ |x|<5}

j) {x∈IR/ |x|≥2}

k) {x∈IR/ |x|=2}

REPRES. GRÁFICA

INTERVALO DEF. MATEMÁTICA

10 (-1,5)

11 {x∈R/ x≤0}

12 [2/3,∞)

13 {x∈IR/ -2<x≤2}

14 {x∈IR/ |x|<3}

15 {x∈IR/ |x|≥ 3}

16

17 [-1,1]

18 {x∈IR/ x<-1}

19

20 (-∞ ,-2)U(2,∞)

21 (-∞ ,2)U(2,∞)

22 {x∈IR/ |x|≤5}

23 [-2,2]

24

∞ 2

-4 4

-3 3






Expresiones con valor absoluto:RECORDAR: Hay 3 casos posibles (k>0 siempre):

67. Indicar para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones; en el caso de las desigualdades,indicar la solución mediante intervalos:

a) |x|=5b) |x|≤5c) |x|>5

d) |x-4|=2 ( Sol: x 1=2, x 2 =6 )e) |x-4|≤2 ( Sol: x ∈[2,6] )f) |x-4|>2 ( Sol: x ∈( - ∞ ,2)U(6,∞ ) )g) |x+4|>5 ( Sol: x ∈( - ∞ ,- 9)U(1,∞ ) )

h) |x|=-2

i) |x|=0j) |x|<2k) |x|≥2

l) |x+1|=3 ( Sol: x 1= - 4, x 2 =2 ) m) |x-2|≤3 ( Sol: x ∈[ - 1,5] )n) |x|=7o) |x|≤6

p) |x|>2

q) |x-2|<5 ( Sol: x ∈( - 3,7) )r) |x+3|≥7 ( Sol: x ∈( - ∞ ,- 10]U[4,∞ ) )s) |2x|<8 ( Sol: x ∈( - 4,4) )t) |x|>-3 ( Sol:∀ x ∈ℝ )u) |x|=xv) |x|=-3 (Sol: ∃/ soluc.)

Repaso de inecuaciones:Inecuaciones de 1 er grado con una incógnita:68. Dada la inecuación 2x>5, estudiar si los siguientes números pueden ser solución: x=-1, x=0, x=1, x=2,

x= 3, x=4, x=5/2. Indicar, a continuación, su solución general.

69. Dada la inecuación 3x+1>x+5 se pide, por este orden:a) Comprobar si son posibles las soluciones x=5, x=0, x=-1b) Resolverla y dibujar en la recta real la solución.

RECORDAR: Las inecuaciones de 1er grado se resuelven de forma prácticamente similar a las ecuacionesde 1er grado; por ejemplo, si un númeropositivo está multiplicando a todo un miembro, pasaráal otro miembro dividiendo:

ECUACIÓN: INECUACIÓN:

2x 6x 3

=

= 2x 6

x 3≥

≥

Solamente hay una diferencia con las ecuaciones: si el factor multiplicativo fuera negativo,habría que cambiar el sentido de la desigualdad. El motivo es el siguiente:

|expresión|=k

expresión=k

expresión=-k

|expresión|<k⇒ -k<expresión<k

|expresión|>k⇒ expresión<-k ó expresión>k






En la práctica se recomienda multiplicar ambos miembros de la desigualdad por-1, lo cualcambia el sentido de la desigualdad. Por ejemplo:

2x 62x 6

x 3

− ≥

≤ −

≤ −

70. Resolver las siguientes inecuaciones simples, expresando la solución mediante desigualdades:

a) 7x≤14b) -2x>6c) 3x≤-9d) -5x≥-15

e) 10≤5xf) -14≥7xg) -x>2h) 20≤-20x (Sol: x ≤ -1)

i) -11<-11x (Sol: x<1) j) -5x≥5 (Sol: x ≤ -1)

k) 3≤-xl) 3x<-3 (Sol: x<-1)

m)-2<-2x (Sol: x<1) n) -7x≤-7 (Sol: x ≥ 1)

o)2x

13 >

71. Resolver las siguientes inecuaciones, y expresar la solución mediante intervalos y representada en la rectareal:

1) 2x+6≤14 (Sol: x ≤ 4)

2) 3x-4≥8 (Sol: x ≥ 4)

3) 4x+7≤35 (Sol: x ≤ 7)

4) 3x+5<x+13 (Sol: x<4) 5) 5-3x≥-3 (Sol: x ≤ 8/3)

6) 4-2x≥x-5 (Sol: x ≤ 3)

7) 5+3x<4-x (Sol: x<-1/4)

8) 2x-3>4-2x (Sol: x>7/4)

9) 6x-3<4x+7 (Sol: x<5)

10) 3x-1<-2x+4 (Sol: x<1)

11) 2x+9>3x+5 (Sol: x<4)

12) 2(x-3)+5(x-1)≥-4 (Sol: x ≥ 1)

13) 12(x+2)+5<3(4x+1)+3 (Sol: ∃/ soluc.)

14) 5(x-2)-4(2x+1)<-3x+3 (Sol:∀ x ∈IR)

15) x(x-1)>x2+3x+1 (Sol: x<-1/4)

16) (x+2)(x+3)<(x-1)(x+5) (Sol: x<-11)

17) 2(x+3)+3(x-1)>2(x+2) (Sol: x>1/3)

18) x 1 x 4 12 3− −

− < (Sol: x<1)

19)6x5

2x

3x

−>+ (Sol: x>5)

20) 2x 4 3x 1 2x 53 3 12− + −

+ < (Sol: x<7/18)

21) 2x7

1x2x

−>+

+ (Sol: x<6)

22) 5x 2 x 8 x 14 23 4 2− − +

− > − (Sol: x>4)

23)15

1x325

4x3

4x −+>

−−

+ (Sol: x<3)

24) x34x

28x4

53x3

−<+

−− (Sol: x<92/27)

25) 34

x1x2

1x−

−<−

− (Sol: x>9)

26) 045

x1088

1x23x

>−

−+

− (Sol: x>109/110)

27) 02x7

1x2x

<+−+

+ (Sol: x>6)

28)1237

31x3

4x23x4 +

−<

−− (Sol: x<1)

29) 32

1x4

3x2+

+>

+ (Sol: ∃/ soluc.)

30) x 2 12 x 5x 36 13 2 4− − −

− > − (Sol: x<8)

31)24

x4212

1x218x −

≥+

− (Sol: x ≥ 3)

32)3

1x15

45x5

73x1 −−

+>

−− (Sol: x<3)

2 6<p. ej.

multiplicamosambos miembros

por -12 6− > −




CURSO 2010/11


72. Un empresario paga a un vendedor un sueldo fijo de 1500 € más 1 € por artículo vendido. Otro vendedor,más emprendedor, no tiene sueldo fijo, pero pacta cobrar 3 € por cada unidad que logre vender ¿A partirde qué número de productos vendidos cobrará más el segundo empleado?

73. Un alumno ha obtenido un 3,75 en el primer examen de la evaluación, y un 4,5 en el segundo. Hallar quénota deberá sacar como mínimo en el tercer y último examen, que hace media con los anteriores, parapoder aprobar. (NOTA: se considera aprobado si la media es al menos un 5)

74. Una editorial ofrece a un vendedor dos tipos de contrato: A) 25000 € fijos más un 10 % por cada librovendido; o bien: B) El 30 % del precio de cada libro vendido. Si el precio de cada ejemplar es de 35 €, ¿apartir de cuántos ejemplares vendidos le resultará más beneficiosa la opción B? (Sol: Deberá vender 3571libros)

75. Se define elÍndice de masa corporal (IMC) como el siguiente cociente:

2peso (enkg)IMC

estatura (en m)=

Un peso normal se considera entre 18,5 y 24,9. Si el IMC de un individuo supera este último valor, se leconsidera obeso. Hallar cuál es el peso máximo para un individuo de 1,89 m de altura de modo que sepueda considerar un peso normal.

Inecuaciones de 1 er grado con dos incógnitas:Ejemplo: Resolver 3x- 2 y≥ - 6

Solución:1º) Dibujamos la recta 3x - 2y = - 6. Para ello, lo habitual y más sencillo es dar los valoresx=0 e y=0:

2º) Vemos que la recta anterior divide al plano en dos semiplanos en los que lógicamentela expresión 3x - 2y ≥ - 6 va a ser, respectivamente, V o F. Para ver cuál de los doses la región solución (es decir, aquella cuyos∞ puntos verifican 3x - 2y ≥ - 6) damosun valor arbitrario; el más fácil es el (0,0):

x 0 0 6y 0

= ⇒ ≥ −

=

obteniendo una desigualdad V. Por lo tanto, el (0,0) se encuentra en la región

solución. Y, por lo tanto,la región solución es el semiplano inferior (de hecho,puede comprobarse que cualquier otro punto de ese semiplano también conduce auna desigualdad V),que señalaremos sombreándolo :

x 0 -2

y 3 0






NOTA: Lógicamente, el otro semiplano, el no sombreado, sería la solución de3x - 2y ≤ - 6 .

NOTA: Nótese que los∞ puntos de la recta también forman parte de la solución,pues conducen a la desigualdad 6 ≥ - 6, que es V. Y, para indicar queincluimos la recta en la solución, la dibujamos con trazo continuo . Si ladesigualdad hubiera sido 3x - 2y> - 6, la recta iría con trazo discontinuo.

76. Determinar la representación gráfica de la solución de cada una de las siguientesinecuaciones de 1 er grado con dos incógnitas :

a) x+2y≥ 3b) x+2y<3c) 2x-y≤ 4-x

d)3x+2y>7-3ye) x>0f) y≤ 4

g)y<x+2h)x+y≥ 5i) 2x-y<6

j) 6x+5y≤ 30

RECORDAR: Resolver un sistema de inecuaciones significa encontrar la región del plano que verificatodas y cada una de las inecuaciones del sistema. Por lo tanto, para resolverlo tendremosque:

1º) Encontrar por separado las regiones solución de cada inecuación en particular. Serecomienda dibujar todas ellas sobre los mismos ejes.

2º) La región solución del sistema será la∩ de las regiones anteriores. Podemos obtener unrecinto poligonal, o un recinto abierto, o es posible que los recintos particulares notengan ningún punto en común, en cuyo caso el sistema carecería de solución (sistemaincompatible).

77. Representar gráficamente la solución de cada uno de estossistemas de inecuaciones de 1 er grado condos incógnitas :

a) ≤

>

5y+3x-33y-x

b) <+

≥−

105yx36y2x

c) +≥

<

2xyx-2y

d)<+

>

105yx36y-2x

e)≤−−

≤+

12-4y6x62y3x

f) ≥+−

≤+

63y2x5yx

g)<+

≤+

10y22x5yx

h) >

≤

4y6x

i)>−

≤−

10yx26y2x

j)<−

>−

10yx26y2x

k)

≤+

>+

>

10yx-3yx5-y-x

l) y 3xy x

< > −

m) +≤

+>

25

2xy

2-xy






Repaso número real:

78. Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más sencilla posible, elporqué:

31 π 25 5 2,6 0 3 13 0,1 6,4 534 1,414213562...

8 3 3− −

(Sol:Q ; I ; I ; Q ; Q ; Q ; Q ; I ; Q ; Q ; Q ; I )

79. Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números ( N, Z , Q o I ); en casode ser Q o I, razonar el porqué:

2...2,02002000 32, 10- 0,0015 4 π

653

2

(Sol:I ; I ; N ; Q ; Z ; Q ; Q ; I )

80. Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué:a) 3,629629629....

b) 0,130129128...

c) 5,216968888...

d) 0,123456789...

e) 7,129292929...

f) 4,101001000...

(Sol:Q ; I ; Q ; I ; Q ; I )

81. TEORÍA: ¿Verdadero o falso? Razonar la respuesta:a) Todo número real es racional.b) Todo número natural es entero.c) Todo número entero es racional.d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional.e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional.f) Entre dos números reales existe siempre un racional.g) " " " " " " irracional

82. Separar los siguientes números en racionales e irracionales, indicando el porqué:

.1,732050.. 46,2 13- 3,75 7 .0,494949.. 5

3 70, 169 2

2,6 13 π 2

1

(Sol:Q ; I ; I ; Q ; Q ; Q ; Q ; Q ; I ; Q ; Q ; Q ; I )

83. a) Representar sobre la misma recta real los siguientes racionales:

3 5 3 11 19 3 0,6 2,25 3,962 6 4 5− −

b) Construir 10y,,,,3,2 8765 sobre la recta real (no necesariamente sobre la misma), medianteregla y compás, y la aplicación del teorema de Pitágoras.






Repaso fracciones, potencias y raíces:84. Operar, simplificando en todo momento:

5 3 3 6 324 5 5 9 4

5 3 3 6 324 5 5 9 4

− +

= + −

: :

: : (Sol: 462/2413)

85. Completar:m na a =·

m

naa

=

( )nma =

( )na b =·

na

b

=

0a =

na− =

na

b

− =

n

1 =

( )

par1− =

( )impar1− =

( )parbasenegativa =

( )imparbasenegativa =

Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizando las propiedades anteriores,simplificar la siguiente expresión:

( )( )

=

+

⋅⋅

−

−

32

3310

13

31

222 (Sol: 1)

86. Completar:

Definición de raíz n-ésima n a=x ⇔

Casos particulares desimplificación

n nx =

( )nn x =

Equivalencia con una potencia

de exponente fraccionarion mx =

Simplificación deradicales/Índice común

n p m px =· ·

Producto de raíces del mismoíndice

n na b=· Cociente de raíces del mismoíndice

n

n

ab

=

Potencia de una raíz ( )mn a =

Raíz de una raíz m n a=

Introducir/Extraer factores nx a=·






Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizando las propiedades anteriores,simplificar la siguiente expresión:

( )3

3 2 3

33

a · a=

a · a

(Sol: 3 13 a )

87. Operar, simplificando en todo momento:

a)

12 1 1 32 12 2 4

2 2 525 3 3

++ − +

=:: ·

(Sol: 24/25)

b)

2 3 3

23 3 2

2 1 13 3 2

( 2) ( 3) ( 3)

− − − ⋅ + −

=

− + − ⋅ −

(Sol:- 4/179)

c)( )

3

28

2 2 4 2

2= (Sol: 24 25 2

d)4 7 2 773 4 5 34 7 2 773 4 5 3

+ +

=

+ −

: :

(Sol: 236/1697)

e)

2 1

33

1

2 2

3

4 5

5 2 ( 4)25

2 3 3 21

4

− −

−−

− −

−

+ −

−

=

+·

(Sol:- 1/64)

f) ( )3

3

125

5 5· 25= (Sol: 12 415 )

g) =

−

−

−−−

−−−−

14

2121

5322342

2 31

23

94

21

2

3

3

2

2

3

3

2

3

2

(Sol:- 608/81)

88. a) Extraer factores y simplificar:

=33814

23 5

3 5

Sol : 2 3

(

b) Sumar, reduciendo previamente a radicales semejantes:

=−−+ 3003427435

− 17 Sol : 32 (






c) Racionalizar y simplificar:2 2 =5 125

− 8 5 Sol :

25 (

3 1 =1296

3 36Sol : 36 (

=−−

− 393917

533 (Sol: 2)

89. a) Simplificar, reduciendo previamente a radicales semejantes:

=−−−+ 2273182125128 Sol : 2 + 3 (

b) Racionalizar y simplificar:

3 2 2 6 123 2 2 7 6− + =+

(Sol: 11/7)

5

3

3 92 243

=

15 11 3Sol :

6 (

c) Operar y simplificar:

( ) ( )=−+ 215372 (Sol: 8)

d) Simplificar y operar:64125 2 400 8000− + =

Sol : 3 5 ( )

90. Racionalizar denominadores y simplificar:

a)10

55 + 50 +10 5 Sol :

10 (

b)3 3

3 6 Sol : 243 (

c)2 3 32 3 3 12

3+

−+ (Sol: 7)

d) =+

+−

+12

112

121 5 2 Sol :

2 ( )

e) 1 31 2 3

−

− + 1 + 6 - 2 2 - 3

Sol : 2

(

Repaso de fracciones algebraicas:91. Operar y simplificar:

a)

4 2

2x 5x 36x 9− −

− (Sol: x 2 +4)






b) 2x 1 x 2 12x 2 x 2 x 4

+ −+ −

− + −

2x+3 Sol :x + 2

c) =

+

−+

−

6x2x5x5x62x

xx

2

2

3

x +1Sol :5x

d)2 2 2

1 1 1x 9x 20 x 11x 30 x 10x 24

− +− + − + − +

−

− − 3 2 x 7 Sol :

x 15x +74x 120

e)2

2x 1 x 2 x 1

x 2 x 1x 1+ + −

+ =− +−

)− −

− −

3 2

3 2 2x 2x 2x Sol :x 2x x+ 2

(

Repaso de inecuaciones (más complicados):92. Resolver:

a)-7x≤

-7 (Sol: x

≥ 1)

b)611

2)2x)(2x(5x4

6)1x3)(1x3(

+−+

≥−+−+ [Sol: x ∈( - ∞ ,- 5]U[1,∞ )]

c)2x 10 x 2 12 4x 3x 23(x 2) 2(x 6)

− > − + − > − + + ≥ +

[Sol: x ∈[6,10)]

d) x2<9 [Sol: x ∈(-3,3)]

e) 1 xx

≤ [Sol: x ∈[ - 1,0)U[1,∞ )]

f)3

1x15

45x5

73x1

−

−

+

>

−

− (Sol: x<3)

g) 3x2+15x+21<0 (Sol: ∃/ soluc.)

h) 3x2+15x+21>0 (Sol:∀ x ∈R )

i) 24

2x)2x)(x-(x2x

42)2)(x(x 222

−+

<−−+ [ Sol: x ∈(- ∞ ,-2)U(2,∞ ) ]

j) (x2-4)(x2-1)>0k) (x2-4)(x2+4)<0 [ Sol: x ∈(-2,2) ]

l) 2(x 2) 5x 6 (x 3)(x 3) 62 6 3

− + + −+ < + [Sol: x ∈(0,7)]

m) 5 3x 3(x + 2)3(x + 4) + 24 2

2(2x +1) (x 1) 2x +1< 23 5

− − ≤

− −−

[Sol: x ∈[ - 3,2)]

n)21

7x3x

≤−

+ [Sol: x ∈[-13,7)]

Resolución gráfica de sistemas:93. Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones; resolverlos a continuación analíticamente

(por el método deseado), y comprobar que se obtiene idéntico resultado:






a) x y 12x y 2

+ = − =

(Sol: x=7, y=5)

b) x 3y 62x y 2

+ = − = −

(Sol: x=0, y=2)

c) x 3y 42x y 1+ =

− = (Sol: x=1, y=1)

d) 2x 5y 14x 10y 2

− = − =

(Sol:∞ soluc, S.C.I.)

e) x 2y 02x y 5

+ = − =

(Sol: x=2, y= - 1)

f) x 2y 42x 4y 6

− = − + =

(Sol: ∃/ soluc, S.I.)

g) x 2y 52x y 7

+ = + =

(Sol: x=3, y=1)

h) x 2y 43x 6y 12

− = − =

(Sol:∞ soluc, S.C.I.)

i) x 3y 12x y 2+ =

− = (Sol: x=1, y=0)

j) y x 1y x 1

= + = −

(Sol: ∃/ soluc, S.I.)

k)2y x 5x 6

x y 1= − +

+ =

Resolución gráfica de inecuaciones:94. Resolvergráficamente las siguientes inecuaciones de 2º grado; resolverlas a continuación analíticamente

y comprobar que se obtiene idéntico resultado:

a) x2-6x+8≥0 [Sol: x ∈(- ∞ ,2]U[4,∞ )]

b) x2-2x-3<0 [Sol: x ∈( - 1,3)]

c) x2-5x+6>0 [Sol: x ∈( - ∞ ,2)U(3,∞ )]

d) x2-3x-10≤0 [Sol: x ∈[ - 2,5]]

e) 3x2-

10x+7≥0 [Sol: x ∈

( - ∞

,1]U[7/3,∞ )]

f) 2x2-16x+24<0 [Sol: x ∈(2,6)]

g) x2-4x+21≥0 [Sol: ∀ x ∈IR]

h) x2-3x>0 [Sol: x ∈( - ∞ ,0)U(3,∞ )]

i) x2-4≥0 [Sol: x ∈( - ∞ ,- 2]U[2,∞ )]

j) x2-4x+4>0 [Sol: x ∈IR - {2}]

k) x2+6x+9≥0 [Sol:∀ x ∈IR]

l) x2+6x+9>0 [Sol:∀ x ∈IR - { - 3}]

m) x2-2x+1<0 [Sol: ∃/ soluc.]

n) x2-4x+4≤0 [Sol: x=2]

o) 6x2-5x-6<0 [Sol: x ∈( - 2/3,3/2)]p) x2-4x+7<0 [Sol: ∃/ soluc.]

r) 2x2-8x+6<0 [Sol: x ∈(1,3)]

s) 2x2+10x+12≤0 [Sol: x ∈[ - 3,- 2]]

t) -x2+5x-4≥0 [Sol: x ∈[1,4]]

Notación científica:

95. Pasar a notación científica los siguientes números:

a) 300.000.000=

b) 456=

c) 0,5=

d) 0,0000000065=

e) 18.400.000.000=

f) 0,000001=g) -78986,34=

h) 0,0000093=

i) 1.230.000.000.000=

j) 14 billones €=

k) 150 millones $=

l) 7,3=

m) 73=n) 0,00010001=

o) 10=

p) 1=

q) 0,011001=

r) 16.730.000=

s) -345,45






96. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismoresultado):

- Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias.- Utilizando la calculadora científica.

a) 2,5·107+3,6·107=

b) 4,6·10-8+5,4·10-8=

c) 1,5·106+2,4·105=

d) 2,3·109+3,25·1012=

e) 3,2·108-1,1·108=

f) 7,28·10-3-5,12·10-3=

g) 4,25·107-2,14·105=

h) (2·109)·(3,5·107)=

i) =7

9

2·108,4·10

j) ( )( )=8-

5-3

2·104·10·3,2·10

k) (2·105)2=

97. La estrella más cercana a nuestro sistema solar esα -Centauri, que está a una distancia de tan sólo 4,3años luz. Expresar, en km, esta distancia ennotación científica . (Datos: velocidad de la luz: 300000km/s; 1 año≅ 365,25 días) ¿Cuántos años tardaría en llegar una sonda espacial viajando a 10 km/s?(Sol: 4,068·10 13 km;≅ 128907 años)

98. En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0,0000277 kg.¿Cuántos granos hay en 1000 toneladas de arroz? Utilícesenotación científica . (Sol: 3,61·10 12 granos)

99. Calcular el volumen aproximado (en m3) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 6378 km,dando el resultado ennotación científica con dos cifras decimales. )( 3rπ

34:esferaladeVolumen

(Sol: 1,08678·10 21 m 3 )

100.La luz del Sol tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar a la Tierra. Calcular la distancia Tierra-Sol,empleandonotación científica . (Sol: 1,5·10 8 km)

Miscelánea (más complicados):

101. a) Dado P(x)=x2- 9, hallar P4(x), por Tartaglia (Sol: x 8 -36x 6 +486x 4 -2916x 2 +6561)

b) Dado Q(x)=3x-2, se pide Q5(x), por Tartaglia (Sol: 243x 5 -810x 4 +1080x 3 -720x 2 +240x-32)

c) Dados R(x)=2x3

+1, hallar R3

(x)d) Dados S(x)=x2-2x, calcular S4(x)

102.Determinar el polinomio de grado 3 que verifica: P(-1)=P(2)=P(-3)=0 y P(-2)=18

103.Hallar la U e∩ de los siguientes intervalos:

a) A=[-2,5)B=(1,7)

b) C=(0,3]D=(2,∞)

c) E=(-∞ ,0]F=(-3,∞)

d) G=[-5,-1) H=(2,7/2]e) I=(-∞ ,0)

J=[0,∞)

f) K=(2,5)L=(5,9]

g) M=[-3,-1)N=(2,7]

h) O=(-3,7)P=(2,4]

i) Q=[-2,5)R=[3,∞ )

j) S=(0,3)T=[9/2,∞ )

k) U=(-5,-1]V=[-1,4]

l) W=(-1,3)X=[3,∞ )






104. a) ¿Qué otro nombre recibe el intervalo [0,∞ )? ¿Y (-∞ ,0]?

b) ¿A qué equivale IR+ U IR- ? ¿Y IR+ ∩ IR- ?

105.Resolver:

a) x6+7x3-8=0 (Sol: x=1, x= - 2) b) x6-64=0 (Sol: x= ± 2)

c)1 y 3x1 1 1x y 2

+ =

− =

(Sol: x 1=1; y 1=2; x 2 =2/5; y 2 =1/2)

d) x 4 2x 9 x 1+ − − = − (Sol: x=5)

e)

=

=

yax

ax2y 2

2 donde a∈ℝ = =3 3 (Soluc : x a· 2 , y a· 4 )

f) x2x3 =− (Sol: x=2)

g)2

1 1 1 x y 2

y x 1

=

− =

− (Sol: x=1, y=2)

h)3

3 1 y x2 2

y= x

= − (Sol: x=1; y=1)

106.Resolver la ecuación3 2 3

4x 6x x 2− − = − , sabiendo que una de sus raíces es 1/2 (Sol: x= ± 1/2, 3/2)

107.Resolver la ecuación 1x2x3 −= (Ayuda: aplicar Tartaglia y Ruffini)(Sol: x=1)

108.Resolver:

a) 2x 3x 4− = ( Sol: x 1= - 1, x 2 =4 )

b) 2x 3 x 4− = + ( Sol: x 1= - 1/3; x 2 =7 )

109. a) Inventar una ecuación polinómica de grado 3 que tenga únicamente por soluciones x=-2, x=1 y x=3b) Inventar una ecuación polinómica de grado 4 que tenga únicamente como raíces 1 y 2c) Un polinomio de grado 3, ¿cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta.(Sol: 1 raíz)

110.Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a)y

1 yy 1

1 y

−=

+−

(Sol: y)

b)2

1 2x 11x x 1x 1

− − = +−

⋅⋅⋅⋅ 1

Sol :x

(

c)2 2

2 2a b a b a b

a b aba b + + +

− = −−

−−

2 Sol :

a b (






d)2 2xy x y y:

y x yx y−

+ =−−

−

2 2

2 2

x + y Sol :

x y (

e) 2 x 1x 4 x 2xx

−+ − =

−−

−2 x + x 1 Sol :

x + 2

111. Demostrar que: a) ba

dbca

dc

ba

=−

−⇒= b) ( ) ( ) b·a

4ba

4ba 22

=−

−+

112.Transformar en potencias de exponente fraccionario la siguiente expresión, operar y simplificar:

3 4 3 3 3 =

113.Despejar x y simplificar:2

2 5x + =15

2 5 Sol : x= ±

5 ( )

114.Demostrar que son ciertas las siguientes igualdades:

a) 2 2 3 = 2( 3 1)− − b) 2 2+ 3 = 2( 3 +1)

115.Dos árboles de 15 m y 20 m de altura están a una distancia de 35 m. En la copa de cada uno hay unalechuza al acecho. De repente, aparece entre ellos un ratoncillo, y ambas lechuzas se lanzan a su capturaa la misma velocidad, llegando simultáneamente al lugar de la presa. ¿A qué distancia de cada árbolapareció el ratón? (Ayuda: Si se lanzan a la misma velocidad, recorren el mismo espacio, pues llegan a la

vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y plantear un SS.EE. de 2º grado) (Sol: a 15 m del árbol más alto) 116.Calcular la velocidad y el tiempo que ha invertido un ciclista en recorrer una etapa de 120 km sabiendo

que, si hubiera ido 10 km/h más deprisa, habría tardado una hora menos.(Sol: v=30 km/h; t=4 h)

117.En un terreno rectangular de lados 64 m y 80 m se quieren plantar 357 árboles formando una cuadrícularegular. ¿Cuál será el lado de esa cuadrícula? (Ayuda: En el lado menor, por ejemplo, hay 64/xcuadrículas, y un árbol más que el número de cuadrículas) (Sol: x=4 m)

118.Al aumentar en 1 cm la arista de un cubo su volumen aumenta en 271 cm3. ¿Cuánto mide la arista?(Ayuda: plantear una ecuación de 3er grado) (Sol: 9 cm)

xx






119.Un ganadero decide repartir una manada de 456 caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto seenfada con los dos únicos varones, que se quedan sin caballos. Así, cada hija recibe 19 cabezas más.¿Cuántas hijas tiene el ganadero? (Sol. 6 hijas)

120.Una cuadrilla de vendimiadores tiene que vendimiar dos fincas, una de las cuales tiene doble superficieque la otra. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en la finca grande; después de lacomida, una mitad de la gente quedó en la finca grande y la otra mitad trabajó en la pequeña. Durante esatarde fueron terminadas las dos fincas, a excepción de un reducido sector de la finca pequeña, cuyavendimia ocupó el día siguiente completo a un solo vendimiador. ¿Con cuántos vendimiadores contaba lacuadrilla? (Ayuda: Llamar x al nº de vendimiadores y s a la superficie que vendimia una persona en media jornada, y plantear una ecuación, ¡no un sistema!) (Sol. 8 vendimiadores)





FUNCIONES

MATEMÁTICAS CCSS I 1º BachilleratoAlfonso González

IES Fernando de MenaDpto. de Matemáticas








I) CONCEPTO DE FUNCIÓN. DEFINICIONES

Ejemplo 1: Considerar la función y=f(x)=x2

Podemos estudiar su comportamiento utilizando un diagrama de conjuntos o diagrama de Venn1:

Ahora bien, en la práctica lo anterior se suele indicar más bien mediante tabla de valores:

x …. -2 -1 0 1 2 3 ….f(x)=x2 …. 4 1 0 1 4 9 ….

(NOTA: más adelante veremos que esta función se trata de una parábola…)

Por ejemplo, se dice que la imagen de 3 a través de la función anterior es 9, y se designa como f(3)=9

¡Muy importante!:Para que una función esté bien definida, cada x no puede tener más de una imagen.

Definiciones:« Una función es una aplicación entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento –llamado x, ovariable independiente- del conjunto inicial le corresponde un único elemento a lo sumo –llamadoimagen de x, o f(x)- del conjunto final».

Como acabamos de indicar, x se llamavariable independiente , mientras que y es lavariable dependiente (ya que, obviamente, depende de x).

f(x) se llamaimagen de x, mientras que x se llamaantiimagen de f(x). En el ejemplo anterior, la antiimagende y=9 sería x=±3.

Dominio de definición de la función: « Es el conjunto formado por todos los x para los que existe imagen» ;se suele designar como Dom(f), o Domf(x), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Dom(f)=ℝ , comose indica en el propio diagrama de conjuntos.

1 Introducidos en 1880 por el matemático y filósofo británico John Venn (1834-1923)

-2

-1

0

1

2

Dom(f)=ℝ Im(f)=ℝ +

···

0

1

4

···

f(x)=x






Imagen o Recorrido de la función: « Es el conjunto formado por todas las imágenes f(x) posibles querecorre la función» ; se puede designar como Im(f), o R(f), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente,Im(f)=ℝ +, como también se indica en el diagrama.

Por tanto, la definición exhaustiva de esta función sería: f:ℝ ℝ+

x f(x)=x2

pero en la práctica, por comodidad, se suele abreviar diciendo simplemente f(x)=x2

Ejercicios final tema: 1 y 2

II) GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNEjemplo 2: Construir la gráfica de f(x)=x2 mediante tabla de valores.

x …. -5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 ….f(x)=x2 …. ….

Definición: « La gráfica de una función y=f(x) está formada por los∞ puntos(x,y) que verifican la expresión y=f(x)».

Observaciones:1º) Podemos obtener gráficamente el Dom(f) si nos desplazamos

imaginariamente de izquierda a derecha a lo largo del ejex y vamos viendo-hacia arriba o hacia abajo-

cuándo existe imagen, es decir, cuándo hay gráfica.De la misma forma, podemos obtener el Im(f) a partir de la gráfica si nos vamos desplazandoimaginariamente a lo largo del ejey de abajo a arriba y vamos viendo-a izquierda y derecha- cuándoexiste antiimagen(es), es decir, cuándo hay gráfica.

2º) El hecho de que un mismox no pueda tener más de una imagen se traduce gráficamente en que «Todarecta vertical que se desplace imaginariamente a lo largo de la gráfica sólo puede cortar a ésta a lo sumoen un punto2».

Ejemplo 3: Dada f(x) x= , se pide: a) Representarla gráficamente.b) Deducir su Dom(f) e Im(f) a la vista de lo anterior.

xf(x)=√x

Dom(f)=

Im(f)=

2 En cambio, una recta horizontal que se desplace imaginariamente por la gráfica puede cortar a ésta en varios puntos, loque corresponde al hecho de que un mismo f(x) puede tener varias antimágenes … (como ocurre en el ejemplo 2)






Ejercicios final tema: 3 a 6

III) CÁLCULO DEL Dom(f) DE LAS FUNCIONES MÁS HABITUALESVamos a ver una serie de "recetas" para deducir el dominio de definición de una función a partirexclusivamente del tipo de expresión analítica, es decir, sin necesidad de dibujar su gráfica previamente.

III.1) Función polinómica:«Dom[f(x) polinómica]=ℝ »

La explicación es obvia: recordemos que el dominio de una función está formado por todos los x para los queexiste imagen, y es evidente que, sea cual sea el polinomio, siempre va a existir imagen∀ x∈ ℝ .

III.2) Función racional: Recordar que una función racional es toda aquella que se puede expresar comoun cociente, es decir, una función del tipo g(x)f(x)

h(x)=

Pues bien, es obvio que para una función tal existirá imagen siempre que el denominador no se anule; por lotanto: «El Dom(f) de una función racional está formado por todos los x para los que no se anula eldenominador» . Expresado en lenguaje matemático:

{ }g(x)Dom f(x) x h(x) 0h(x)

/ = = ≠

En la práctica, esto se traduce en ver cuándo se anula la expresión del denominador, es decir, resolver unaecuación; aquellos x que sean raíces del denominador tendremos que excluirlos del dominio:

Ejemplo 4: Obtener, razonadamente, el Dom(f) de las siguientes funciones racionales:

a) 2f(x)x 4

=−

( Sol: Dom(f)=IR - {4} )

b) 22f(x)

x 4=

− ( Sol: Dom(f)=IR - { ± 2} )

c) 22f(x)

x 4=

+ ( Sol: Dom(f)=IR )

III.3) Función irracional: Recordar que una función irracional es aquella en la que la x figura dentro deuna raíz.

En este tipo de funciones es evidente que, si el índice de la raíz es par, entonces existirá imagen siempre queel radicando sea ≥ 0; ahora bien, si el índice es impar, no hay ningún problema en que el radicando seanegativo. Por lo tanto:«El Dom(f) de una función irracional de índice par está formado por todos los xpara los que su radicando es ≥≥≥≥ 0». Expresado en lenguaje matemático:

{ }parDom f(x) g(x) x g(x) 0 / = = ≥

En la práctica, esto se traduce en resolver una inecuación:

Ejemplo 5: Obtener, razonadamente, el Dom(f) de las siguientes funciones irracionales:






a) f(x) x 9= − ( Sol: Dom(f)=[9, ∞ ) )

b) 2f(x) x 9= − ( Sol: Dom(f)=(- ∞ ,-3]U[3, ∞ ) )

c) 4 2f(x) x 4x 3= − + ( Sol: Dom(f)=(- ∞ ,1]U[3, ∞ ) )

d) 2f(x) x 9= + ( Sol: Dom(f)=IR )

e) 3f(x) x 9= − ( Sol: Dom(f)=IR )

f) 2f(x) x x 1= + + ( Sol: Dom(f)=IR )

NOTA:Para hallar también analíticamente el Im(f) habría que obtener, previamente, la inversa de f(x) –como

veremos en el apartado VIII-, y hallar a continuación el dominio de ésta; como ello puede resultarcomplicado, se recomienda preferiblemente hallar el Im(f) gráficamente.


IV) PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

IV.1) Continuidad: «Una función es continua si puede dibujarse su gráfica sin levantar el lápiz delpapel3. En caso contrario, se dice que es discontinua»

3 En el tema 4 (Límites y continuidad) veremos una definición más formal de continuidad, que nos permitirá, además,obtener la continuidad de una función sin tener que representarla. De momento, nos contentaremos con esta definición"intuitiva", a partir de la gráfica.






NOTA: La continuidad se indica siempre respecto al eje x.

Ejercicio final tema: 9

IV.2) Crecimiento y decrecimiento. M y m:

Idea intuitiva:

Def: « Una función escreciente en un punto si en las proximidades de dicho punto se cumple que, a medidaque aumentan las x, aumentan también las imágenes f(x) correspondientes» .

« Una f(x) esdecreciente en un punto si en las proximidades de dicho punto se cumple que, a medidaque aumentan las x, disminuyen las imágenes f(x) correspondientes» .

Más formalmente: f(x) escreciente en un punto si en las proximidades de dicho punto se cumple:x x' f(x) f(x')< ⇒ <

f(x) esdecreciente en un punto si en las proximidades de dicho punto se cumple:x x' f(x) f(x')< ⇒ >

Observaciones:1º) Para indicar que una función es creciente utilizaremos el símbolo, y si es decreciente. 2º) En el caso de una función constante, la definición sería:x x' f(x) f(x')< ⇒ =

En general, las funciones no son siempre crecientes o siempre decrecientes, sino que presentan intervalos decrecimiento o monotonía:

Def: « Una función presenta unmáximo (M) en un punto si en las proximidades de dicho punto pasa deforma continua de creciente () a decreciente ( ) » .

« Una función presenta unmínimo (m) en un punto si en las proximidades de dicho punto pasa deforma continua de decreciente () a creciente ( ) » .

FUNCI N CRECIENTE

x x’

f(x)

f(x’)

x x’

f(x’)

f(x)

FUNCI N DECRECIENTE

M

CREC DECREC

m

CREC






Más formalmente: f(x) tiene un M en x=a si en todos los x próximos a ese punto se verifica f(x)<f(a)f(x) tiene un m en x=a si en todos los x próximos a ese punto se verifica f(x)>f(a)

Observaciones:1º) Los intervalos de crecimiento, también llamados de monotonía, se indican respecto al eje x. 2º) Los M y m que hemos definido se llaman extremos relativos4.

3º) Cuando veamos el último tema (Derivadas), veremos una forma rápida y cómoda de obtener los intervalosde crecimiento y los extremos relativos, no gráfica sino analíticamente.

4º) Puede haber variosM o m, no haber, o infinitos.

5º) Si la f(x) es continua, entre dosM siempre hay unm, y viceversa.


IV.3) Cortes con los ejes:

Observando la siguiente gráfica ejemplo:

es fácil entender la forma de obtener analíticamente –es decir, sin necesidad de dibujar previamente sugráfica- los puntos donde una función corta a los ejes de coordenadas, y que se resume en la siguiente tabla:

CORTE CON: ¿CÓMO SE CALCULA? ¿CUÁNTOS CORTES PUEDE HABER?

eje x Haciendo y=0(Supone resolver una ecuación) ninguno, uno, o varios

eje y Sustituyendo x=0 uno o ninguno


4 El máximo y mínimo que estamos definiendo se llaman extremos relativos o locales; el próximo curso los definiremosmás formalmente, y también veremos que hay extremos absolutos…

y=x3-2x2-5x+6

(0,6)

(-2,0)(1,0)

(3,0)






IV.4) Simetría:

a) f(x) PAR:

f(-x)=f(x)⇒ f(x) simétrica respecto al eje y[f(x) SIMÉTRICA PAR]

b) f(x) IMPAR:

f(-x)=-f(x)⇒ f(x) simétrica respecto al origen[f(x) SIMÉTRICA IMPAR]

Observaciones:1º) En la práctica, para ver si una función es simétrica a priori, es decir, sin necesidad de representarla

gráficamente, tenemos que hallar f(-x), es decir, reemplazar x por –x (¡utilizando, cuando sea necesario,paréntesis!), y simplificar la expresión resultante; a continuación, tenemos que ver si f(-x) corresponde aalguno de los siguientes tres casos:

2º) Existen más tipos de simetría, pero nosotros este curso sólo vamos a ver estos dos.

3º) Una función no tiene por qué ser siempre simétrica; de hecho, la mayoría de las funciones no lo son.4º) Utilidad de advertir a priori –sin necesidad de hacer previamente una tabla de valores para dibujar su

gráfica- si una función es simétrica: en caso de ser simétrica, podemos dedicar nuestros esfuerzos a laparte positiva del eje x, y dibujar cómodamente su mitad negativa sabiendo que será simétrica...

Por ejemplo, si una función es par y presenta un M(2,5), necesariamente tendrá otro en M(-2,5);ahora bien, si fuera impar, lo que presentaría es un m(-2,-5).

5º) Se utiliza el adjetivo "par" porque la función simétrica par típica es y=x2, es decir, con exponente par(también tendría la misma simetría y=x4, y=x2-2x6, etc.). De la misma forma, la función impar porantonomasia es y=x3.

Ejercicios final tema: 13 a 16 (Simetría) 17 y 18(Estudio completo de una función)

⇒

⇒−⇒

=−

simétricaesnoanterioreslosdeningunoIMPAR f(x) PAR f(x)

x)f(

-x x

-xx

f(x)

f(-x)





y=f(x) y=f(-x)

V) TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

FUNCI NORIGINAL

TIPO DETRANSFORMACIÓN

FUNCI NTRANSFORMADA GRÁFICA RESULTADO

T R A S L A C I O N E S

y=f(x)±±±±k

TRASLACIÓNhacia ARRIBA

TRASLACIÓNhacia ABAJO

y=f(x±±±±k)

TRASLACIÓNhacia la

IZQUIERDA

TRASLACIÓNhacia la

DERECHA

C O N T R

A C C I O N E S o

E X P A N S I O N E S

y=k·f(x)

k>1 CONTRACCIÓN

0<k<1 EXPANSIÓN

-1<k<0(Reflexión +)

EXPANSIÓN

k<-1(Reflexión +)

CONTRACCIÓN

R E F L E X I O N E S

y=-f(x)

REFLEXIÓNrespecto al EJE

X

y=f(-x)

REFLEXIÓNrespecto al EJE

Y

y=f(x)

y=k·f(x)

y=f(x)

y=k·f(x)

y=f(x)

y=k·f(x)

y=k·f(x)

y=f(x)

y=f(x)

y=f(x)-k

y=f(x)

y=f(x)+k

y=f(x)

y=f(x-k)

y=f(x)

y=f(x)

y=f(x)

y=-f(x)

y=f(x+k)







VI) ALGUNOS CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES

VI.1) Función constante y=kSu gráfica, lógicamente, es una recta horizontal, que corta al eje vertical a la altura de k unidades; ejemplos:

De forma parecida,x=K representa una recta vertical, la cual corta al eje x a la altura de k unidades; en elgráfico anterior puede verse un par de ejemplos de este caso. ¿Qué ecuación tendrán entonces los ejes decoordenadas?

VI.2) Función afín y=mx+n

La gráfica de una función de 1er

grado es siempre una recta. Ya vimos en los ejercicios del comienzo del temaque para representar una recta basta con dos valores (habitualmente se suele dar x=0 e y=0,correspondientes a los cortes con los ejes).

Ejemplo 6: Representary 2x 3y 2x 5y 3x 5

= += −= − −

sobre los mismos ejes.

Consecuencias: 1º) m (el coeficiente de las x) se llamapendiente , e indica la inclinación de la recta:

m>0⇒ recta CRECIENTEm<0⇒ recta DECRECIENTE

(Si m=0 -es decir, si la recta carece de término en x- significa que la recta y=n seráhorizontal, es decir, constante, como vimos en el subapartado anterior)

y

y=3

y=-2x

x=1x=-4

y

0






2º) n (el tº indpte.) se llamaordenada en el origen , e indica dónde corta la recta al eje y(Si n=0 -es decir, si la recta carece de tº indpte.- significa que la recta y=mxnecesariamente pasará por el origen; se llama función de proporcionalidad directa)

Por lo tanto, en función del signo de m y n, existen 4 casos:


VI.3) Función cuadrática y=ax2+bx+cLa gráfica de una función de 2o grado es siempre una parábola. Recordar de cursos anteriores que la formarápida de representarla, mejor que mediante tabla de valores, es hallar los siguientes elementos:

1º) Vértice: Su abscisa viene dada por ; la ordenadayv se obtiene sustituyendoxv en laecuación de la parábola.

m<0n<0

n

m<0n>0

n

m>0n<0

n

m>0n>0

n

FUNCIÓN CONSTANTE

m=0

y=2

2

Por cada unidad que aumenta la x la ydisminuye 3 unidades⇒ m=-3

y 3 6m ... 3x 1 2

− −= = = = = −△

△

y=-3x-5

∆ x=2

∆ y=-6

∆ x=1

n=-5

y=2x+3

Por cada unidad que aumenta la x la yaumenta 2 unidades⇒ m=2

y 2 4m ... 2x 1 2

= = = = =△

△

∆ y=2

∆ x=1

∆ y=4

∆ x=2

n=3

2ab

vx −=

∆ y=-3






2º) Cortes con los ejes: El corte con el eje x se obtiene haciendo y=0, es decir, resolviendo laecuación de 2º grado asociada a la parábola; nótese que la parábola notiene por qué cortar necesariamente a dicho eje.

El corte con el eje y se obtiene simplemente sustituyendo x=0 en la ecuaciónde la parábola. Siempre va a cortar a dicho eje.

Observaciones: El signo del coeficiente cuadrático,a, nos indica la orientación de la parábola:

Las ramas de la parábola son simétricas respecto a un eje vertical que pase por suvértice.

Caso particular: y=ax 2 Aplicando todo lo anterior es trivial comprobar que la parábola y=ax2 pasa por el origen,el cual es a la vez su vértice y su corte con los ejes.

Ejemplo 7: Representar la parábola y=x2-4x+3


VI.4) Hipérbolas:Son curvas cuya expresión es de la forma ax bycx d

+=

+, donde c≠0


a<0a>0








VI.6) Funciones a trozosPara obtener la gráfica de una función definida a trozos, también llamada definida por ramas, hay querepresentar cada rama en su dominio particular de definición, como puede observarse en los siguientesejercicios:Ejercicios final tema: 46 y 47

VI.7) Función valor absoluto:

Definición:x si x 0f(x) xx si x 0

− ≤= = >

Por lo tanto, su representación gráfica será:

Ejemplo 8: Representar f(x)=|2x-4| y expresarla como función definida a trozos.

Conclusión: Pasos a seguir para representar |f(x)|:

1º) Representar f(x):

f(x)f(x)

y=-x y=x






2º) Las partes positivas (i.e. por encima del eje x) de f(x) se dejan igual, y las negativas se reflejan respecto aleje x:

Por lo tanto, la clave a la hora dedibujar |f(x)| es ver cuándo se anula la función del interior del valorabsoluto -es decir, f(x)-, y reflejarla en los intervalos convenientes.

Ejercicios final tema: 48 y 4950 a 59 (Problemas de aplicación)

VII) INTERPOLACIÓN y EXTRAPOLACIÓNEjemplo 8: Sabido es que los censos de población se realizan habitualmente cada 10 años. La tabla adjuntamuestra la evolución de la población de la Comunidad de Madrid en los últimos decenios:

Fuente: Instituto de Estadística de la Comunidad de Madrid (www.madrid.org/iestadis/)

Nos hacemos dos preguntas: ¿Cuál fue la población en 2006? ¿Cuál será la población estimada en 2013?

Cuando queremos conocer un dato comprendido entre dos datos de la tabla el proceso se llamainterpolación (en este caso, 2006). Por el contrario, si el dato buscado está fuera de la tabla se trata deextrapolación (2013 en el ejemplo).

Para resolver las dos cuestiones planteadas, en primer lugar vamos a representar los datos de la tabla:

Año 1991 2001 2011

Población 4.947.555 5.372.433 6.489.680

f(x)

-f(x)

f(x)f(x)-f(x)

AÑOS

POBLACIÓN

5.000.000

1.000.000

1991 2001 2011






Observamos que los datos están bastante alineados, y por lo tanto vamos a aplicarinterpolación lineal (también existe cuadrática, exponencial, etc.), es decir,suponemos que la relación funcional entre las dosvariables del fenómeno estudiado es una recta . Para estimar la población en 2006 calcularemos la recta quepasa por los dos últimos puntos:

Compárese el valor obtenido con el real, 6.008.183 habitantes, que puede obtenerse en la fuentemencionada en la tabla. Y para estimar la población madrileña en 2013 podemos utilizar la misma recta:

(Valor real: 6.495.551 habitantes)

A la hora de interpolar, conviene tener en cuenta:− En primer lugar, conviene representar los datos más dados, para ver si procede aplicar

interpolación lineal, o cuadrática, etc.− Para calcular la recta de interpolación (o extrapolación) tenemos que escoger los dos datos más

cercanos al dato del cual nos piden una estimación.− La extrapolación es tanto menos fiable cuanto más nos alejemos de los datos dados.

Por último, en ciertos casos se puede interpolar/extrapolar gráficamente. Los ejemplos más típicos son losde la evolución de la población mundial, o de las temperaturas medias debido al cambio climático:





68 EJERCICIOS de FUNCIONES

Concepto de función:1. Dada x)x(f = , se pide: a) Razonar que se trata de una función.

b) Calcular f(4), f(1), f(0), f(-9), f(1/4), f(2) y f(√2)c) Hallar la antiimagen de 3, de 25 y de-4d) Razonar cuál es su Dom(f) e Im(f)

2. Ídem para f(x)=2x+1

3. ¿Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta):

4. ¿Cuál es el Dom(f) e Im(f) de cada una de estas funciones?:

5. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulosrectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x.a) Escribir el área del octógono que resulta, en función de x(Sol: A(x)=16 - 2x 2 )

b) ¿Cuál es el dominio y recorrido de esa función?( Sol: Dom(f)=[0,2]; Im(f)=[8,16] )

Gráfica de una función:6. Para cada una de las funciones que figuran a continuación se pide:

i) Tabla de valores apropiada y representación gráfica.ii) Dom(f) e Im(f) a la vista de la gráfica.iii)

x xlim f(x) y lim f(x)→ − ∞ → ∞

a) f(x)=3x+5

b) f(x)=x2-4x+3 ¿vértice? c) f(x)=x3

d) f(x)=x4

e) f(x)=2f) 9xf(x) −=

a) b) c) d)

2

a)

-1

b) c)

1-1

1

4 cm

xx






g) x1f(x) = ¿asíntotas? ?f(x)lim yf(x)lim¿

0 x0 x - +→→

h) 2x2xf(x)

−+

= ¿asíntotas? ?f(x)lim yf(x)lim¿2 x2 x - +→→

i) 1x

1f(x) 2 += ¿asíntotas?

Cálculo del Dom(f):7. Obtener analíticamente , de forma razonada, el Dom(f) de las funciones del ejercicio anterior,

comprobando que se obtiene el mismo resultado que gráficamente.

8. Sin necesidad de representarlas, hallaranalíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones:

a) 3 2f(x) x x 3x 1= + − +

b)5x

8xf(x)+

=

c) 8x2x

1f(x) 2

−−

=

d) 22f(x)

4x x=

−

e) 22xf(x)=

x 16−

f) 22xf(x)=

x 16+

g) 5xf(x) +=

h) 5x

1f(x)+

=

i) 52xf(x) −=

j) x4f(x) −=

k) 9xf(x) 2 −=

l) 82xxf(x) 2 −+=

m)2

f(x) x x 4= + + n)

16xxf(x) 2 −

=

o) ( )2

x 1f(x)2x 3

+=

−

p) 6xx

3xf(x) 2 −−+

=

q) 1f(x)3x 12

=−

r) 4x

3xf(x) 2 +=

s) 2

1f(x)x 5x+6

=−

t) 12xx 14f(x) 2 ++=

u) 3 2 45xxf(x) ++=

v) 12xxf(x) 2 ++=

w) 32

x 3f(x)x 4

+=

−

( Sol: a) IR; b) IR-[-5}; c) IR-{-2,4}; d) IR-{0,4}; e) IR-[ ± 4}; f) IR; g) [-5,∞ ); h) (-5, ∞ ); i) [5/2, ∞ ); j)

(- ∞ ,4]; k) (- ∞ ,-3]U[3, ∞ ); l) (- ∞ ,-4]U[2, ∞ ); m) IR; n) (-4,0]U(4, ∞ ); o) IR-{3/2}; p) [-3,-2)U(3, ∞ ); q) (4, ∞ );

r) IR; s) (- ∞ ,2)U(3, ∞ ); t) IR-{-1}; u) IR; v) IR; w) IR-{ ± 2} )

Propiedades que se deducen de la gráfica de una función:9. A la vista de sus gráficas, indicar la continuidad de las funciones del ejercicio 6.

10. A la vista de sus gráficas, indicar los intervalos de crecimiento y los posibles M y m de las funciones delejercicio 6.

11. Hallar analíticamente los posibles puntos de corte con los ejes de las funciones del ejercicio 6, ycomprobar que lo obtenido coincide con la gráfica.

12. Hallar los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones (en el caso de las cuatro primeras,dibujar además, únicamente con esa información, la gráfica):

a) 62xy −=

b) 32xxf(x) 2 −+=

c) 1xxf(x) 2 ++=

d) 23 xxf(x) −=

e) 2x4xy

2

+−

=

f) 42xf(x) +=

g) 4+= 2xf(x)

h)22x4xy

++

=

i)1x3xy 2

2

−−

=

j) 2xxf(x) 2 −+=

k) 9xy2 +=

l) 611x6xxf(x) 23 −+−=

m)2x4xy

2

++

=

n) 4x

4f(x)−

=

o) 1xf(x) 4 −=






p) 3

3x 8yx 8

+=

− q) 4 3f(x) x x 2x 4= + + − r) 3 2f(x) 6x 7x 7x 6= − − +

( Sol: a) (3,0),(0,-6); b) (-3,0),(1,0),(0,-3); c) (0,1); d) (0,0),(1,0); e) (-2,0),(2,0),(0,-2); f) (-2,0),(0,2); g) (0,4);

h) (-4,0),(0,2); i) ( √ 3,0),(- √ 3,0),(0,3); j) (-2,0),(1,0); k) (0,3); l) (1,0),(2,0),(3,0),(0,-6); m) (0,2); n) (0,-1);

o) (-1,0),(1,0),(0,-1) )

13. Hallar analíticamente la posible simetría de las funciones del ejercicio 6, y comprobar que lo obtenidocoincide con la gráfica.

14. Hallar la posible simetría de las siguientes funciones:

a) 4xf(x) = b) 3xf(x) = c) 2x−= 4xf(x) d) 3x−= 2xf(x)

e) 32xf(x) −= f) 35 xxf(x) −=

g)1x12xf(x) 2

2

−+

=

h)x

1xy2 +

=

i) 1x2xy 2

3

+=

j)6x

xf(x) 2

2

+=

k)12x

3xy 2 −=

l) 5x xf(x) −=

m)1x

5xy2

−=

n)3x1xxf(x) 2

2

++

+=

o) 3x 2xy 2 +−=

( Sol: a) par; b) impar; c) par; d) no simétrica; e) no simétrica; f) impar; g) par; h) impar; i) impar; j) par;

k) impar; l) no simétrica; m) no simétrica; n) no simétrica; o) no simétrica )

15. a) ¿Una función puede ser simétrica par e impar al mismo tiempo? Razonar la respuesta.b) Demostrar que toda función impar definida en el origen necesariamente pasa por éste

16. Estudiar los puntos de corte con los ejes y la simetría de las siguientes funciones:

a)1x

4f(x) 2 += b)

1x3xy 2 +

+= c)

3x14y = d)

1x9xy 2

2

+−

= e) 63x124xf(x)

++

=

Estudio completo de una función (I):17. Dada f(x)=2x3-3x2 se pide: i) Dom(f) ii) Posible simetría. iii)Posibles cortes con los ejes. iv) Tabla de

valores apropiada y representación gráfica. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m.vi) ¿Escontinua? vii) A la vista de la gráfica, indicar su Im(f) viii) Ecuación de las posibles asíntotas.ix) x) Hallar la antiimagen de y=-1

18. Ídem para:a) f(x)=x3-3x Antiimagen de y=2

b) 1x2xy

−+

= Antiimagen de y=1

c) y=x4-2x2 Antiimagen de y=-1/2d)

1x2xy 2 +

= Antiimagen de y=4/5

e) f(x)=x3-3x2 Antiimagen de y=-2

f) 1x

xf(x) 2

2

+= Antiimagen de y=2

g) y=-x3+12x Antiimagen de y=-11

h) 9y xx

= +

i) 9x

9f(x) 2 −= Antiimagen de y=-1/3

j) 216 8xf(x)

x−

= Antiimagen de y=-2

k) 1xx

xy 2 ++= Antiimagen de y=-1/2

l) 1xx

xy 2+−

=

Antiimagen de y=-1/2

f(x)lim yf(x)lim x-x ∞→∞→






m) ( )2

4xyx 1

=−

n) 2y x 4x 5= − + +

o) 2x 5y

x 2+

=−

Antiimagen de y=-6

Transformaciones de funciones:

19. Completar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo):

FUNCI NORIGINAL

TIPO DETRANSFORMACIÓN

FUNCI NTRANSFORMADA RESULTADO

T R A S L A C I O N E S

f(x)±±±±k

TRASLACIÓNhacia ARRIBA

TRASLACIÓNhacia ABAJO

f(x±±±±k)

TRASLACIÓNhacia la

DERECHA

TRASLACIÓNhacia la

IZQUIERDA

C O N T R A C C I O N E S o

E X P A N S I O N E S

CONTRACCIÓN

EXPANSIÓN

(Reflexión +)CONTRACCIÓN

y=2x2

21y x3

=

y=-3x2

y=x2+4

y=x2-2

y=(x-

2)2

y=(x+3)2

y=x2






R E F L E X I O N E S

y=-(x2-4x+4)=-x2+4x-4

REFLEXIÓNrespecto al EJE X

y=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4

REFLEXIÓNrespecto al EJE Y

20. a) A partir de la gráfica de 3 2f(x) x= , representar las gráficas de 3 2f(x) x 3= + , ( )23f(x) x 3= + , 3 2f(x) x 2= −

y ( )23f(x) x 2= − (cada una en distintos ejes), indicando el nombre de la transformación obtenida.

b) Ídem con 21f(x) x 1= + y las funciones 22f(x) x 1= + , 21f(x) 3(x 1)= + y

2 1f(x) x 1−= +

c) Ídem con 3f(x) x= y las funciones 3f(x) x= − y

3f(x) x= −

Ejercicios de rectas:21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,3) y B(3,7). Representarla gráficamente.

Comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el origen.(Soluc: y=2x+1)

22. Ídem para:

a) A(1,-1) y B(4,8) (Soluc: y=3x - 4) b) A(-2,4) y B(1,1) (Soluc: y= - x+2) c) A(-4,-1) y B(2,-4) (Soluc: y= - x/2 - 3)

d) A(-1,-1) y B(2,-7) (Soluc: - 2x - 3) e) A(3,1) y B(-6,-2) (Soluc: y=x/3) f) A(1,1) y (3,7) (Soluc: y=3x - 2)

23. Hallar, razonadamente, la ecuación de las siguientes rectas:

a) b)

c) d)

y=x2-4x+4

2 4






(Soluc: a) y=2x+4; b) y= - 2x+3; c) y=3x - 1; d) y= - 3x+7)

24.

25. Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de la tabla:

Altura (m) 0 360 720 990

Temperatura (ºC) 10 8 6 4,5

a) Representar la temperatura en función de la altura.b) Obtener su expresión algebraica.(Soluc: y= -x/180+10)

c) ¿A partir de qué altura la temperatura será menor de 0ºC?(Soluc: x=1800 m)

Ejercicios de parábolas:26. Representar sobre los mismos ejes las siguientes parábolas. ¿Qué conclusiones podemos extraer?:

a) y=x2

b) y=2x2

c) y=x2

/2 d) y=-x

2

e) y=-4x

2

27. Dadas las siguientes parábolas, hallar: i) Vértice.ii) Posibles puntos de corte con los ejes.iii) Representación gráfica.

a) y=x2-6x+8

b) y=x2-2x-3

c) y=-x2-4x-3

d) y=x2-4x+7

e) y=x2-6x

f) y=x2+x+1

g) y=3x2+15x+18

h) y=-x2-2x-2

i) y=x2+2x-1

j) y=x2-4

k) y=x2+4

l) y=x2+4x+5

m) y=x2+4x+3

n) y=-x2-8x-4

o) y=2x2+4x+6

p) y=-x2-1

q) y=(x+5)2-8

r) y=2(x-1)2-8

s) y=(x-5)2+8

t) y=-2(x-1)2+8

u) 21y (x 2) 52

= + −

v) y=x2-2x+1

w) y=x2-4x+2

x) y=2x2-8x+6

y) y=-3x2-6x+12

z) y=x2-2x+3

α ) y=x2-6x+5

β ) 21y= x +x 24 −

γ ) y=2x2-10x+8

δ ) 21 3y x x2 2

= − −

ε) y=x2-8x+7

28. a) Se sabe que la función y=ax2+bx+c pasa por los puntos (1,1), (0,0) y (-1,1). Calculara, b y c.(Soluc: y=x 2 )

b) Ídem para los puntos (1,4), (0,-1) y (2,15) (Soluc: y=3x 2 +2x -1)

Dada la recta de la figura, se pide:a) Hallar su expresión analítica.(Soluc: y= -2x+7)

b) Comprobar gráficamente el valor de la pendienteobtenido en el apartado anterior.

c) Deducir, analíticamente, dónde corta a los ejes.






29. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y=ax2+ax+a y pasa por el punto P(1,9). Calcular elvalor dea. ¿Cuál sería su vértice?

30. Calcularb para que la parábola y=x2+bx+3 pase por el punto P(2,-1). ¿Cuál sería su vértice?

31. Calcularm para que la parábola y=x2+mx+10 tenga el vértice en el punto V(3,1). ¿Cuáles son los puntosde corte con los ejes?

32. ¿Cuánto debe valer k para que la parábola y=4x2-20x+k tenga un solo punto de corte con el eje deabscisas? ¿Para qué valores de k no cortará al eje x?

33. La parábola y=ax2+bx+c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrác? Si además sabemos quepasa por los puntos (1,3) y (4,6), ¿cómo calcularíamosa y b? Hallar a y b y representar la parábola.

34. Una parábola corta al eje de abscisas en los puntos x=1 y x=5. La ordenada del vértice es y=-2. ¿Cuál es

su ecuación?35. Calcular la expresión de una función cuadrática cuya intersección con el eje x son los puntos (2,0) y (3,0)

36. a) Una parábola tiene su vértice en el punto V(1,1) y pasa por P(0,2). Hallar su ecuación.(Sol: y=x 2 -2x+2)

b) Ídem para la parábola de vértice V(-2,3) que pasa por P(1,-3) ( − − −2 2 8 1Sol : y = x x

3 3 3 )

37. En cada apartado, representar las parábolas sobre los mismos ejes:

a) y=x2 b) y=x2 c) A la vista de lo anterior, ¿cómo sería la parábolay=(x-4)2 y=x2+4 y=(x-4)2+5? ¿Cuál es su vértice?y=(x+5)2 y=x2-5

Hipérbolas. Función de proporcionalidad inversa:38. Representar las siguientes hipérbolas:

a) 2x 4yx 2

−=

− b) 3x 3y

x 1−

=+

c) xyx 1

=−

d) 1yx 1

=−

e) x 1yx+

=

39. Supongamos que un pintor tarda 120 minutos en pintar él solo un muro. Es evidente que, por tanto, dosobreros trabajando a la vez tardarían 60 minutos, y así sucesivamente. Con estos datos, se pide:a) Completar la siguiente tabla:

nº de pintores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tiempo empleadoen pintar el muro

(en minutos120 60

b) ¿Cuál es la expresión algebraica de la función correspondiente?

c) Representarla gráficamente. ¿Qué pasa a medida que el número de pintores aumenta? ¿Cómo se llama,

por tanto, una función así?






d) Indicar otros tres ejemplos de situaciones de la vida real en las que se da una función deproporcionalidad inversa.

40. a) Hallar la ecuación de la función de proporcionalidad inversa que pasa por el punto (1,5).b) Ídem para(3,4) c) Ídem para (-5,1) d) Ídem para (2,-1) (Soluc: a) y=5/x; b) y=12/x; c) y= - 5/x; d) y= - 2/x)

41. En la realización de un experimento se han obtenido los valores de la tabla adjunta.a) Construir una gráfica.b) ¿Se trata de una función de proporcionalidad

inversa?c) En caso de ser así, hallar su fórmula (Sol: y=28/x)

42. En una empresa constructora han realizado unestudio correspondiente a los días de trabajonecesarios para hacer una obra en función del

número de obreros contratados, según muestra latabla adjunta.a) ¿Se puede ajustar la tabla a una función de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?b) En caso afirmativo, hallar su expresión algebraica y su gráfica. (Sol: y=800/x) c) ¿Cuántos obreros tendrán que contratar para hacer una obra en un plazo de dos semanas?(Sol: 58

obreros)

43. Un depósito de 1000 l se puede llenar con un sólo grifo en 10 horas ¿En cuánto tiempo se llenarán dosgrifos del mismo caudal? ¿Y 4? ¿Y 10? Construir una tabla y dibujar la gráfica correspondiente ¿Cuál essu fórmula?(Sol: t=10/nº grifos)

44. Queremos encontrar todos los rectángulos que tengan por área 20 cm2. Si llamamosb a la base y h a laaltura del rectángulo, se pide:

a) Obtener una relación entreb y h.

b) Dibujar la gráfica de la función obtenida.

45. Representar la función f(x)=Ent(x)

Estudio completo de una función (II):46. Dadas las siguientesfunciones definidas a trozos se pide: i) Gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) iii) Posibles

cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m.v) Continuidad. vi) Ecuación de lasposibles asíntotas. vii) viii) Responder, además, a las preguntas particulares de cadaapartado:

a)2 x si x ( ,2)f(x)

x si x [2, ) ∈ − ∞

= ∈ ∞

¿f(1), f(2) y f(3)?¿Antiimagen de y=3?

b) [ ]

2x 4 si x (- ,2)f(x) x 2 si x 2,4

5 si x (4, )

− ∈ ∞

= − ∈

∈ ∞

Hallar la antiimagen de y=16Hallar la antiimagen de y=1

x 1 2 3 4 5 6 7 8

y 28 14 9,3 7 5,6 4,6 4 3,5

Nº deobreros 10 16 20 25 40Días de

trabajo 80 50 40 32 20







c)3 si x 1

f(x) 1 2x si 1 x 13x 1 si x 1

< −= − − ≤ <

− ≥

¿f(1) y f(-1)?¿Antiimagen de y=2?¿Antiimagen de y=-3?

d)5x 2 si x 1

f(x) 2 si x 2x/2 si x 2

− ≤= − =

>

¿f(1), f(3/2), f(2) y f(-3)?¿Antiimagen de y=1?¿Antiimagen de y=2?¿Antiimagen de y=18?

e) 23 si 5 x 0

f(x) x si 0 x 2x 2 si x 2

− − ≤ <= ≤ <

+ ≥

¿f(-6), f(0)?

f) ( ] x/2 si x ,1

f(x) 1 si x (1, )x-1

∈ −∞=

∈ ∞

g)3x 2 si x 0

f(x) 2 si x 0

4 si x 0x 2

− <= − =

>−

h) ( ]2

x 2 si x ,2f(x)

x 4x si x (2, )

− − ∈ −∞=

− ∈ ∞

i)

5 si x 0x 5

f(x) x 1 si 0 x 310 si x 3

x 2

≤−

= + < ≤

>+

¿f(0) y f(3)?¿Qué x tiene por imagen y=0?¿Qué x tiene por imagen y=3/2?¿Qué x tiene por imagen y=1/2?

j) 2

0 si x 03x x si 0 x 3f(x) x 4 si 3 x 6 0 si x 6

<

− ≤ <=

− ≤ < >

¿Vértice de la parábola?

k)

2x 8x 7 si x 2f(x) x 2 si 2 x 2

5x-18 si x 22x 8

+ + ≤ −

= + − < ≤

>−

Hallar la antiimagen de 1 y-8

l) 2

x 4 si x 1f(x) x 2x si 1 x 2

0 si x 2

+ < −

= − − ≤ <>

Hallar la antiimagen de y=1

m) 2

x 15 si x 2f(x) x 4x 1 si 2 x 4

x 7 si x 4

+ ≤ −

= − + − < ≤− + >


n) 2

x 10 si x 4f(x) x 2x si 4 x 1

3/x si x 1

+ ≤ −

= + − < ≤>

Hallar qué x tiene por imagen 0

o) 2x 2x 1 si x 0

f(x) 1 si 0 x 4 x 3 si x 4

+ + ≤= < <

− ≥


p) 2

x 4 si x 2f(x) x x 6 si 2 x 6

24 si x 6

− + ≤ −

= − − − < ≤>


q) [ ]

2 x 4 si x ( ,2)f(x) x 2 si x 2,5

x 6 si x (5, )

− ∈ − ∞

= − ∈

− + ∈ ∞

¿Cuáles son las antiimágenes de 1 y 16?

r) 2 x 8x 7 si x 3

f(x) x 5 si 3 x 2x 2 si x 2

+ + < −= − − ≤ <

− ≥

Hallar la antiimagen de -5

s) 2

2

x 4x 3 si x 1f(x) x 1 si 1 x 4

x 4x 3 si x 4

− + <= − < ≤

− + >






t) 2

x 5 si x -3f(x) x 2x 3 si - 3 x 2

5 si x 2x - 1

+ <

= + − ≤ <

≥

Hallar la antiimagen de 1

47. Hallar la expresión analítica –es decir, como función definida por ramas– de las siguientes funciones:a) b)

48. Dadas las siguientes funciones valor absoluto se pide: i) Definición analítica por ramas. ii) Gráfica.iii) Dom(f) e Im(f) iv) Posibles cortes con los ejes. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m.vi) Continuidad. vii) .

a) f(x) x 1= − b) 33xf(x) +−= c) 63xf(x) += d) 65xxf(x) 2 +−=

e) 34xxf(x) 2 +−= f) 54xxf(x) 2 −−−= g) 4xx21f(x) 2 −−= h) 54xxf(x) 2 +−=

i) 1xx-f(x) 2 −+= j) 2f(x) x 4x= − k) xf(x)x

= l) 2f(x) 9 x= −

m) f(x) x x= + n) 1x1xf(x) −++= o) 22x63xf(x) −−+= p) xf(x)

x=

q) f(x) 2 x= − r) x 1 si x 22f(x)2x-6 si x 2

+ <=

≥ s)

( )

2

2

x +4x+3 si x 1f(x)

x 1 2 si x 1

< −=

− − ≥ −

t) f(x) x x 2= + − u) x

f(x) xx

= − t) f(x) x x 1= + + u) 3f(x) 2 x 8= −

49. A partir de la gráfica def(x) x= , representar sucesivamente (cada una en distintos ejes)

f(x) x 3= + ,

f(x) x 2= − , f(x) x= − , f(x) 2x= y xf(x)

3=

Problemas de aplicación:50. Una fotocopiadora cobra 5 cent por cada fotocopia, pero ofrece también un servicio de multicopia por el

que cobra 50 cent por el cliché y 0,15 cent por cada copia de un mismo ejemplar.a) Obtener, para cada

caso, la función que nos muestra lo que hay que pagar según el número de copias realizadas.b) Representar ambas funciones ¿A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista?c) Resolverlo analíticamente, mediante una inecuación. (Sol: b) A partir de 15 copias inclusive)







51. Para fabricar un determinado producto hace falta un gasto inicial fijo de 1000 € más 50 € por cada unidadproducida. Se pide:a) Razonar que el coste por unidad de fabricación disminuye según el número deunidades fabricadas y viene dado por la función

50x 1000y x

+=

b) Hacer la gráfica correspondiente ¿Cuál es su Dom(f)?c) ¿Cuál será el coste cuando el número deunidades se haga muy grande? (Sol: c) El coste tenderá a ser de 50 €)

52. En una academia de mecanografía han llegado a la conclusión de que el número de pulsaciones porminuto de un alumno promedio viene dado por la función

( )400 x 1yx 25

+=

+

donde x representa el número de clases recibidas. Se pide:a) Representarla gráficamente ¿Cuál es suDom(f)?b) ¿Cuántas clases necesita un alumno para conseguir 300 pulsaciones?c) Según este modelo,¿un alumno podría llegar a tener más de 400 pulsaciones? ¿Por qué? (Sol: b) A partir de 71 clases. c) NO)

53. En una fábrica de montajes se ha estimado que el número de montajes realizados por un aprendizdependen de los días de prácticas, según la función:

60xyx 5

=+

donde x es el tiempo, en días.a) ¿Cuántos montajes realizará el primer día? ¿Y el día vigesimoquinto?b)

¿Cuántos días tiene que practicar para superar los 60 montajes al día?c) Dibujar la gráfica de f(x)(Sol: a) 10 y 50 respectivamente b) Nunca)

54. Un técnico de una compañía ha calculado que los costes de producción (en €) de un determinadoproducto vienen dados por la siguiente expresión:

C(x)=x2+20x+40000

donde x representa el número de unidades producidas. Por otra parte, cada unidad se vende al público aun precio de 520 €.a) Expresar, en función del número de artículos producidos x, el beneficio y representarlo gráficamente.

b) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?(Sol: b) 250 unidades; 22500 €)

55. La dosis de un fármaco comienza con 10 mg y cada día debe aumentar 2 mg hasta llegar a 20 mg. Debeseguir 15 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día.a) Representar la función que describe este enunciado y determinar su expresión analítica, como función

definida por ramas.b) Indicar cuál es su dominio y recorrido. ( Sol: b) Dom(f)=[0,25]; Im(f)=[0,20] )






Resolución gráfica de problemas de optimización:

56. Con un listón de madera de 4 m de largo queremos fabricar un marco para un cuadro.a) Razonar que elvalor de la superficie para una base cualquierax viene dado por S(x)=2x-x2 b) Representar gráficamentela función anterior ¿Cuál es el valor de la base para el que se obtiene la superficie máxima?c) ¿Cuántovale dicha superficie?(Sol: b) 1 m c) 1 m 2 )

57. Con 100 m de valla queremos acotar unrecinto rectangular aprovechando unapared de 100 m de largo, como indica lafigura.

a) Llamar x a uno de los lados yconstruir la función que nos da elárea. Representarla gráficamente¿Cuál es su Dom(f)?

b) ¿Cuáles serán las dimensiones del recinto de área máxima? c) ¿Cuánto vale esa área? (Sol: a) S(x)=100x-2x 2 b) 25 m x 50 m c) 1250 m 2 )

58. Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderán a 40 cent/kg. Se estima que cada día que pase seestropeará 1 kg, pero el precio aumentará 1 cent/kg.a) Razonar que el beneficio que obtendremos al vender pasados x días viene dado por

B(x)=-x2+160x+8000b) Representarla gráficamente y hallar su dominio de definición.c) ¿Cuándo hemos de venderlas para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio?

(Sol: c) Interesará venderlas pasados 80 días)

59. Una cooperativa ha cosechado 200000 kg de tomates que puede vender a 25 cent/kg. Se sabe que, porcada semana que transcurre, se pierden 4000 kg de tomates pero el precio de cada kg aumenta en 5cent. Expresar el valor total de los tomates en función del tiempo. Representar la gráfica de dicha funcióne indicar al cabo de cuántas semanas nos interesará vender. (Sol: B(x)=-20000x 2 +900000x+5000000;

22,5 semanas ⇒ 151250 €)

Problemas de Interpolación/Extrapolación:

60. En la tabla podemos encontrar los pesos idealescorrespondientes a las distintas alturas de hombres. Calcularpor interpolación lineal:a) El peso adecuado para un hombre que mida 172 cm.

(Sol: 73,8 kg) b) La altura adecuada para un hombre que pese 70 kg. (Sol: ≅ 167,8 cm)

61. En la tabla podemos encontrar los pesos perfectos para mujeres.Calcular por extrapolación lineal:a) El peso adecuado para una mujer que mida 173 cm.

(Sol: 60,1 kg) b) La altura adecuada para una mujer que pese 48 kg. (Sol: ≅ 155,7 cm)

Altura (cm) 165 170 175

Peso (kg) 68 72 76,5

Altura (cm) 160 165 170

Peso (kg) 51 54,5 58

pared

100 m

x

valla






62. Las ventas de un periódico en los últimos años han sido las que figuran en la tabla.a) Calcular la recta de interpolación lineal

con los años 2008 y 2010. (Serecomienda utilizar 0, 1, 2, 3 y 4 comovalores de la variable)(Sol: y=22,5x+165)

b) Calcular, con la recta hallada, el valor teórico correspondiente al año 2009 ¿Qué diferencia hay entreel valor teórico y el real? (Sol: 187 500 ejemplares)

c) Con los valores correspondientes a los años 1989, 1990 y 1992, calcular el polinomio de interpolacióncuadrático. (Sol: y=14,33x 2 - 33x+218,67)

d) Hallar, utilizando el polinomio anterior, el valor teórico correspondiente a 2011. Compararlo con el quese obtendría por interpolación lineal ¿Cuál de las dos aproximaciones es mejor?(Sol: 248667 ejemplares, por interpolación cuadrática)

e) Calcular por extrapolación las ventas que tendrá el periódico en 2013. (Sol: 412000 ejemplares, por interpolación lineal)

63. Una entidad de crédito ha tenido en los últimos años losdepósitos indicados en la tabla adjunta.a) Calcular los depósitos correspondientes a 2013.

(Sol: 385 millones de €, por interpolación lineal) b) Calcular los depósitos de los años 2009 2015. (Sol: 225 y 525 millones de €, respectivamente)

64. En un experimento de laboratorio se ha medido la temperatura de enfriamiento de un líquido atemperatura ambiente de 20 ºC.

¿Qué temperatura tendría la muestratranscurridas 4 horas? ¿Y en 20 horas?(Sol: 45º y ≅ 20º respectivamente, por

interpolación cuadrática)

65. Una gran empresa presenta el balance de algunos de sus últimos ejercicios, en los que se han producidolas siguientes ganancias en millones de €:

Determinar, por el método de interpolación cuadrática, las ganancias correspondientes a los años 2011 y2013. (Sol: 22,75 y 32,75 millones de €, respectivamente)

66. La siguiente tabla recoge la depreciación de un determinado modelo de BMW 318 lanzado al mercado en2010:

a) Dibujar la gráfica correspondiente eindicar a qué modelo interpoladorresponde mejor.

b) ¿Cuánto nos darán por este modeloen 2015?

Año 2008 2009 2010 2011 2012Nº de ejemplares

(miles)165 200 210 259 316

Año 2010 2012 2014Depósitos

(millones de €) 250 320 450

Tiempotranscurrido (horas) 0 2 4 6 8 10

Temperatura (ºC) 100 65 40 30 22

Año 2010 2012 2014Beneficios

(millones de €) 20 27 40

Año 2010 2011 2012 2013 2014

Precio (€) 30890 27850 24520 20870 18180






67. El número de trasplantes de riñón efectuado en un determinado país en 2012 fue de 836, mientras que en2014 fue de 1182. Usando interpolación lineal determinar el número de trasplantes que se efectuaron en2011 y 2013. (Sol: 663 y 1009, respectivamente)

68. El gasto (en €) en fotocopias en una oficina viene dado por lossiguientes datos durante los tres primeros meses del año:Obtener el polinomio interpolador cuadrático y deducir el gastoen fotocopias probable para el mes de abril.(Sol: 1250 €)

Mes enero febrero marzo

Gasto (€) 1100 1500 1550





LOGARITMOS

John Neper (1550-1617) Henry Briggs (1561-1630)










I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE a f(x)=ax

« Es aquella función en la que la variable independiente figura en un exponente, es decir, toda función1 del tipo f(x)=ax, donde a ∈ ℝ +- {1}» .

Ejemplo 1: Construir una tabla de valores apropiada y representar f(x)=2x

Consecuencias:

1º) Signo de f(x):

2º) Crecimiento:

3º) Dom(f)= Im(f)=4º) Asíntotas:

5º) xxlim 2

→ ∞=

xxlim 2→− ∞

=

Ejemplo 2: Ídem conx

x xx

1 1f(x) 0,5 2

2 2

− = = = =

Consecuencias:

1º) Signo de f(x):

2º) Crecimiento:

3º) Dom(f)= Im(f)=

4º) Asíntotas:

5º)x

x

1lim2→ ∞

=

x

x

1lim2→ − ∞

=

1 En la siguiente página se explica por qué se impone que a ∈ ℝ+- {1}

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y=2x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xxxx1111y =y =y =y =2222

xxxx






Definición:

NOTA: Se considera a>0 porque, en caso contrario, obtendríamos una función poco "congruente"; porejemplo, para f(x)=(-2)x:

( ) ( )2f 2 2 4 0= − = >

Pero ( ) ( )3f 3 2 8 0= − = − <

( ) 1/2f 1/ 2 ( 2) 2= − = − = ∃/

etc.

Propiedades de la función exponencial:

1º) La función ax siempre pasa por (0,1) y (1,a)

2º) a>1 ⇒ ax CRECIENTE

a<1 ⇒ ax DECRECIENTE

3º) Dom(f)=ℝ , es decir, « La función exponencial a x siempre está definida 2»

4º) Im(f)=ℝ +-{0}, o dicho de otra forma, ax>0 ∀ x∈ ℝ , es decir, « La función exponencial siempre esestrictamente positiva»

5º) a>1 ⇒ xxlim a 0+

→− ∞=

x

xlim a

→∞= ∞

0<a<1 ⇒ xxlim a→− ∞

= ∞

xxlim a 0+

→∞=

6º) y=0 A.H., es decir,« La función exponencial a x siempre presenta el eje x como A.H. 3»

Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas:

2 Nótese que nos referimos a ax; por ejemplo, a1/xno estará definida en x=0 3 De nuevo, nos referimos a ax; por ejemplo, a1/xpresenta la A.H. y=1

1

1

a

a>1

=ax

y=0 A.H.

Función exponencial de base a>0 (a≠ 1): ℝ → ℝ +-{0}

x → ax

1

1

a

0<a<1

=ax






Caso particular: Cuando la base es e≃ 2,718281828459… (cte. de Euler4), tenemos la función exponencialde base e, utilizada muy frecuentemente. (Construiremos su gráfica en el ejercicio 1 delfinal del tema).

II) FUNCIÓN LOGARÍTMICA de BASE a f(x)=logaxLa enorme complejidad de los cálculos que se presentaron durante el siglo XVI en los estudios

astronómicos dio lugar a numerosos intentos de simplificación, entre ellos la sustitución de multiplicacionespor sumas. Se debe al escocés John Napier (en latín, Neper) la invención en aquella época de los logaritmos,lo cual trajo consigo la función logarítmica. En cambio, el reciente desarrollo de la electrónica ha originado queen la actualidad prácticamente haya desaparecido la importancia de su utilización como técnica de cálculo,aunque no como concepto matemático.

Definición: « La función logarítmica y=logax (con a>0 y a≠ 1) es la inversa de la función exponencial y=ax

»

Ejemplo 3: Utilizando la tabla de la función y=2x (ejemplo 1), obtener la tabla de y=log

2x y su gráfica.

4 El número e, llamado constante de Euler - en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783)- , surge comolímite de la siguiente sucesión:

n

n1a 1n

= +

Por ejemplo, n=1⇒ a1=2 n=100⇒ a100≅

n=2⇒ a2=1,52=2,25 n=1000⇒ a1000≅

n=3⇒ a3=1,333≅2,3704 n=10000⇒ a10000

≅ n=4⇒ a4=1,254

≅ n=100000⇒ a100000≅

n=5⇒ a5≅ n → ∞ ⇒ e≃ 2,718281828459…

Se trata de un número irracional, es decir, consta de∞ cifras decimales no periódicas.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y=2x

x

y=log2x

FUNCIÓNINVERSA

x y

FUNCIÓNINVERSA

x y






Nótese en la tabla que: log24=2 (pq 22=4)

log28=3 (pq 23=8)

log216=4 (pq 24=16)···

Y, en general:

Definición: « El logaritmo en basea de un número es el exponente al que hay que elevar la base paraobtener dicho número»

Ejemplos: log381= pq

log1 0100= pq

log264= pq

log21/2= pq

log93= pq

log3(-9)= pq

Nótese que en todo esto hay cierta analogía con la conocida definición den a x= como inversa de xn

Ejemplo 4: Utilizando la tabla de la funciónx1y

2

= (ejemplo 2), obtener la tabla de y=log1 / 2x y su gráfica.

x

y=log1/2x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xalog N x a N= =⇔

base

argumento o antilogaritmo

logaritmo

FUNCIÓNINVERSA

x y

FUNCIÓNINVERSA

x y

xxxx1111y =y =y =y =2222

xxxx






CONCLUSIÓN: Propiedades de la función logarítmica:

1º) Dom(f)=ℝ +-{0}, o dicho de otra forma,« No existe el logaritmo de un número negativo 5»

2º) Im(f)=ℝ , por lo que podemos añadir:« …pero un logaritmo puede ser negativo »

3º) alog a 1= (porque a1=a) « El logaritmo de la base siempre es 1 »

alog 1 0= (porque a0=1) « El logaritmo de 1, sea cual sea la base, siempre es 0 »

4º) a>1 ⇒ logax CRECIENTE

0<a<1 ⇒ logax DECRECIENTE

5º) a>1 ⇒ ax 0lim log x

+→

= − ∞

axlimlog x

→∞= ∞

a<1 ⇒ ax 0lim log x

+→

= ∞

a

xlimlog x

→∞

= −∞

6º) x=0 A.V., es decir,« La función logarítmica logax siempre presenta el eje y como A.V. 6»

Todo lo visto hasta ahora se puede resumir en las siguientes gráficas:

Caso particular: LOGARITMOS NEPERIANOS7: Son los que utilizan como basee≃ 2,718281828459…; tienen una notación especial:

loge x=lnx

Ejercicio final tema: 1 a 4

5 Nótese que, puesto que la función exponencial y la logarítmica son inversas, el dominio de una coincide con el recorridode la otra, y viceversa.

6

Nótese quenos referimos a log

ax; por ejemplo, 2 x

logx 1−

− presenta únicamente A.V. en x=1 y x=2

7 Se llaman así en honor a John Neper (1550-1617), matemático escocés que, como ya se ha dicho, ideó los logaritmospara simplificar cálculos.

1

1

a

a>1

y=logax

x=0 A.V.

a,1

1,0 1

1

a

y=logax

x=0 A.V.

0<a<1

a 1

1,0






Las calculadoras normalmente disponen de sendas teclas log y ln para calcular logaritmos decimales oneperianos ¿Cómo obtener logaritmos en cualquier base?:

logx lnx logax

DERIVE LOG(x,10) LN(x) o LOG(x) LOG(x,a)GRAPH log(x) ln(x) logb(x,a)

CALCULADORA log x ln x log x : log a

NOTA: La última fórmula, llamada del cambio de base, se explicará en el apdo. V

III) CÁLCULO LOGARÍTMICO

III.1) Logaritmo de un producto: Es decir, «El logaritmo de unproducto es la suma de logaritmos»

Dem:

Observaciones: 1) Esta fórmula es válida en cualquier base. 2) Esta fórmula se puede generalizar a 3 o más argumentos:

log (p q r ) log p log q log r= + +· · etc.

3) Esta fórmula –y las siguientes que veremos a continuación- nos puede servir paracomprender cómo surgieron los logaritmos en el siglo XVI como instrumento parafacilitar los cálculos astronómicos con cantidades elevadísimas para la época (comoya indicamos al comienzo del apartado II). Vamos a explicarlo con un ejemplo:

Supongamos que queremos hallar el valor de N=1638457· 1968334

(Recordar que, antes de la aparición de las calculadoras, operaciones de este tipoeran muy laboriosas) Tomamos logaritmos en ambos miembros:

log1638457+log1968334=logN

Se disponía de tablas de logaritmos muy completas, con las que se podía reemplazarcada logaritmo por su valor (evidentemente, era más fácil sumar a mano decimalesque multiplicar números de muchas cifras):

6,2144…+6,2940…=logN

Es decir: 12,5085…=logN

A continuación, se buscaba en las tablas el caso inverso, es decir, cuál es el númerocuyo logaritmo es 12,5085… (lo que se conoce comoantilogaritmo8):

8 En la calculadora, para hallar un antilogaritmo, normalmente se utiliza la combinación SHIFT- log:logN=12,5085…⇒ N= SHIFT- log 12,5085…=3225030620638

log (p q) log p log q= +·

( )x

a x y x ya a ay

a

log p x a pp q a a a log p q x y log p log q (C.Q.D.)

log q y a q+

= = = = = + = +

= =

⇒⇒

⇒· · ·

conocemos p y q






logN=12,5085…⇒ N=3225030620638

Hoy en día todo esto se nos puede antojar algo laborioso, pero situémonos enaquellos tiempos –no muy remotos9-, sin ordenadores ni calculadoras…

III.2) Logaritmo de un cociente: Es decir, «El logaritmo de un cocientees la resta de logaritmos»

Dem:

III.3) Logaritmo de una potencia: Es decir, «El logaritmo de una potencia esel exponente por el logaritmo de la base»

Dem: Vamos a probarlo para n∈ ℕ :

Observaciones: 1) En realidad esta fórmula es válida∀ n∈ ℝ

2) Caso particular: LOGARITMO DE UNA RAÍZ:

Es decir: «El logaritmo de una raíz es el inverso del índice multiplicado por ellogaritmo del radicando»

Ejercicios final tema: 5 al 21

IV) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS « Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece como exponente» . Existen variosprocedimientos para su resolución, dependiendo del tipo de ecuación; básicamente, se pueden resumir entres:

1er caso: Algunas ecuaciones exponenciales se resuelven consiguiendo una igualdad entre dos potencias dela misma base, con lo cual los exponentes tendrán que ser iguales.

Ejemplo 5: 2x+1 2x4 = 8

9 Por ejemplo, el uso generalizado de las calculadoras se produjo en la década de los 70 del siglo pasado…

plog log p log qq = −

nlog p n log p= ·

n términosnlogp log(p·p·p·.....·p) logp logp ......... logp n·logp (C.Q.D.)= = + + + =

n términos

1/nn 1log p log p logp (C.Q.D.)n

= = ·






2o caso: Cuando figuran sumas y/o restas de expresiones exponenciales, lo que suele funcionar es aplicar uncambio de variable del tipoax=t (donde a suele ser primo), con lo cual la ecuación exponencial setransforma en una ecuación algebraica ent.

Ejemplo 6: x x9 + 3 = 6642

3er caso: En otros casos lo que suele funcionar es tomar logaritmos decimales (o también neperianos, según

convenga…) en ambos miembros (¡evidentemente, esto no funciona cuando al menos uno de losmiembros es una suma!).

Ejemplo 7: −2x 1 x2 = 3

NOTA: El saber cuál de los tres procedimientos aplicar a una ecuación exponencial concreta es unatécnica que requiere práctica y sentido común; en algunos casos sólo funciona uno de los tres métodos,mientras que en otros es posible que se pueda elegir entre dos de ellos, o cualquiera de los tres… Paraadquirir dicha técnica, resultará útil el siguiente ejercicio:

Ejercicios final tema: 22 al 24

« Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en el argumento de un logaritmo» . Seresuelven siempre aplicando las propiedades de los logaritmos en orden inverso hasta lograr una igualdad de

logaritmos de la misma base, con lo cual sus argumentos serán iguales (esto se conoce comopropiedadinyectiva ):

log x = log y x = ya a

⇒

¡IMPORTANTE!: En este caso es fundamental comprobar las posibles soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación del principio, y descartar aquellas que conduzcan a unlogaritmo con argumento negativo.

Ejemplo 8: log x = 2 log 4






Ejemplo 9: 4 log x-1 = log 4+log (2x) ( )

Ejercicio final tema: 2526 a 28 (Problemas de aplicación)

V) CAMBIO DE BASE

Fórmula del cambio de base de sistema de logaritmos:

Dem: Puesto que el logaritmo y la exponencial son funciones inversas, es evidente que:

alog xx a=

Tomando logb en ambos miembros, y aplicando la fórmula del logaritmo de una potencia, obtenemos lafórmula anterior (desordenada):

Utilidad: La fórmula del cambio de base permite calcular logaritmos en cualquier base con las calculadorashabituales, que sólo disponen de logaritmos decimales (o neperianos); en efecto, para ello bastacon tomar b=10 en la fórmula, con lo cual se obtiene:

alog x log x log a= ·

Despejando:

alog x

log x log a=

Ejemplo: 3log 9 0,9542...log 9 2log 3 0,4771...

= = = (Como puede comprobarse, aplicando la definición…)


alog xb b a blog x log a log x log a (C.Q.D)= = ·

3 Soluc : x = 2 10

log x = log a log xb b a

····




31 EJERCICIOS de LOGARITMOS

Función exponencial y logarítmica:1. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación

gráfica. ii) Signo de f(x). iii)Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido.vi) Asíntotas. vii)

a) xf(x) 10= y f(x) log x= b) xf(x) 0,1= y 0,1f(x) log x= c) xf(x) e= y f(x) ln x=

d) xf(x) 3= y 3f(x) log x=

Definición de logaritmo: xlog N = x a = Na ⇔ (donde a>0, a ≠1)

Sistemas de logaritmos más utilizados:

NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN

Logaritmo decimal a=10 logxlog N = x 10 = N⇔

Logaritmo neperiano 1 a=e Ln, ln xln N = x e = N⇔

Definición de logaritmo:2. Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos:

1 En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos.

a) log 3 9

b) log3 81

c) log31/9 d) log

3(-9)

e) 2log 2 f) 2log 8 g) log101000h) log4 2

i) log4 64

j) log10 0,01

k) log41/16

l) log5

0,2

m) log4 256

n) log41/64

o) log2 0,125

p) log41

q) log2 1024

r) log21/64s) 3log 27 t) log2 log 2 4

( Soluc: a) 2; b) 4; c) -2; d) ∃/ ; e) 1/2; f) 3/2; g) 3; h) 1/2; i) 3; j) -2; k) -2; l) -1; m) 4; n) -3; o) -3 ; p) 0;

q) 10; r) -6; s) 3/2; t) 1 )

3. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado:

a) 10.000 b) 1.000.000 c) 0,001 d) 1/1.000.000 e) 10 8 f) 10 -7

g) 10 h) 1

( Soluc: a) 4; b) 6; c) -3; d) -6; e) 8; f) -7; g) 1; h) 0 )

donde e ≅ 2,718281828459… se

llama cte. de Euler; es un número

irracional.







4. Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes:

a) log 2 8=x

b) log 21/8=x

c) log 100=x

d) log 3 x=3e) lnx=2

f) log3 x=-2

g) log x 49=2

h) log x 8=3

i) ln e 3=xj) log x 64=1

k) log x 25= -1

l) log 1/100 100=x

m) log x 0.01=2

n) lnx= -1/2o) log 1/36 x=2

p) log x 2=0 q) log0,25 x=2

r) log 2 (-16)=x

s) log x 125= -3t) log 3 log 3 3=x

u) log x 1=0

( Soluc: a) 3; b) -3; c) 2; d) 27; e) e 2 ; f) 1/9; g) 7; h) 2; i) 3; j) 64; k) 1/25; l) -1; m) 0,1; n ) √ e/e; o) 1/1296 ;

p) ∃/ ; q) 0,0625; r) ∃/ ; s) 1/5; t) 0 u) ∀ ℝ )

Cálculo logarítmico: Fórmulas del cálculo logarítmico: log (p·q )= log p + log q

plog = log p - log qq

nlog p = n·log p 1nlog p = log pn

(todas son válidas en cualquier base)

Casos particulares: xlog a = xa x=log xaa

xln e = x

x=ln xe

log a = 1a log 1= 0a ln e =1 ln 1= 0

5. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación):

a) 61

log36

b) 43log 27

c)3

243log

3

d)a

1log

a

e) ln e 2

f)4 5

1log

64

g) 33log 9

h) 1ln

e

i) 4log 2

j) 8log 2

k) 8log 32

l)3

ln e m) 2log 64

n) 41

log64

o) 3 5

3log

81

p) 33

log9

q) eln

e

r) 4log ( 4)− s) 3

2log 32

t) 3log 27

u) 5

264

log8

v) 3 2

1ln

e

w) 3

1log

243 x) log 20 log 5+

y) 3 100

log10

z)3 3

1log

27 9

αααα) 4

eln

e

ββββ) 10log0,1

γ γγ γ ) 3 2

eln

e

δδδδ)3 4

1log

3 27

εεεε)1/5

log 125

ζζζζ)5 3

1log

5 25

ηηηη) 2

1ln

e e

( Soluc: a) -2; b) 3/4; c) 3/2; d) -1/2; e) 2; f) -3/5; g) 2/3; h) -1; i) 1/2; j) 1/3; k) 5/6; l) 1/3; m) 6; n) -3;o) 1/5 ; p) -3/2; q) -1/2; r) ∃/ ; s) 5/3; t) 3/2; u) -9/5; v) -2/3; w) -5/2; x) 1; y) -1/3; z) -11/3; α αα α ) 3/4; β ββ β ) 3/2; γ γγ γ ) 1/3; δ δδ δ ) -7/4; ε εε ε ) -3; ζ ζζ ζ ) -5/3; η ηη η ) -5/2 )

6. Volver a hacer el ejercicio 2, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico.






7. Expresar en función de log 2 los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora:

a) log 16

b) log 5

c) log 32/5

d) log 0,25

e) log 0,625

f) log 250

g) log 1/40

h) log 3 16

i) log 16/5

j) log 0,32

k) log 0,08

l) log 5 80

m) log 3 0 , 0 8

n) 3 4 5log2 log log log

2 3 4+ + +

( Soluc: a) 4log 2; b) 1-log 2; c) -1+6log 2; d) -2log 2; e) 1-4log 2; f) 3-2log 2; g) -1-2log 2; h) 4 log 2

3 ; i) -1+5log 2;

j) -2+5log 2; k) -2+3log 2; l) 1 (1+3 log 2 5

; m) −2

+ log 2 3

; n) 1-log 2 )

8. Expresar en función de ln 2 o ln 3:

a) ln 8 b) eln

2 c)

3eln

4 d) 4

lne

e) ln 2e f) 3

9eln

3e g)

3

3

9eln

3e

( Soluc: a) 3 ln 2; b) 1-ln 2; c) 3 -2 ln 2; d) −1

+ 2 ln2 2

; e) 1 + ln 2 2

; f) 5 2 ln3 +

3 3 ; g) − −

ln3 8 3 3

)

9. Expresar en función de log 2 y log 3 los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora:

a) log 25

b) log 24

c) log 4/3

d) log 9/4

e) log 3 6

f) log 30

g) log 162

h) log 3,6

i) log 1,2

j) log 90

k) log 0,27

l) log 0,72

m) log 3,6

( Sol: a) 2 -2 log 2; b) 3 log 2+log 3; c) 2 log 2 - log 3; d) 2 log 3 -2log 2; e) log 2 + log 3 3

; f) 1+log 3; g) log 2+4 log 3;

h) -1+2 log 2+2 log 3; i) -1+2 log 2+ log 3; j) 1+2 log 3; k) -2+3 log 3; l) -2+3 log 2+2 log 3; m) -1/2+ log 2+ log 3 )

10. Expresar en función de log 2, log 3 y log 7 los logaritmos siguientes:

a) log 84 b) log 0,128 c) log 0,125 d) log 14,4 e) log 3 12

11. Calcular: a) 4ln2 3ln2 2ln2 ln2e 5e 5e 5e− + + (Sol: 6)

b) ln3 ln22e − (Sol: 3)

c) 3ln3 2ln3 ln39e 8e e− − −− + (Sol: -2/9)

12. Justificar las siguientes igualdades:

a) −

log 6 + log 2=1

log 9 +log 8 log 6 b) log 125=3(1 -log 2) c) log 6 log 3-log 2

2log 9 log 3

+=

− d) 2 log 210

4− 1

=

e) 4

1+log 8=1

log 5 + 2 log(*) f) log3/log24 9=

13. Sabiendo que log 7,354=0,866524..., hallar (sin calculadora):

a) log 735,4 b) log 0,007354 c) log 7354






14. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máximo las expresiones siguientes:

a) log (2x) 3

b) log (2x 3)

c)

22x

logy

d) ln (ax 2) e) ln (ax) 2 f) 3log c

g) mnplog

qr

h) 3/ 4log a

i)

r mnlog

p

j) 1ln

ex

k) log mn

l) 3ln x m) log (x 2-y2)

n) n

r

mlog pq

o) −2 2log m n

p) −2 2

2 2

m xlog

m + x

q) ( )3 x 10log

r) 2 3 5a b clog

mp

s) log (x n ym)

t)2 3

4

2m nlog

pq

u) xln

x

( Sol: a) 3 log 2+3 log x; b) log 2+3 log x; c) 2 log 2+2 log x -2 log y; d) ln a+2 ln x; e) 2 ln a+2 ln x; f) 1 log c

3 ;

g) log m+log n+log p -log q -log r; h) 3 log a

4 ; i) r log m+r log n -r log p; j) -1-ln x; k) log m + log n

2 ; l) 3

ln x 2

;

m) log(x+y)+log(x -y); n) n log m - log p - r log q 2 ; o) −log (

m + n )+ log

(m n

)

2 ; p) − − 2 2 1 log (m+ x )+ log (m x ) log (m + x 2 q) log x

1 + 3

; r) − −2 log a + 3 log b + 5 log c log m log p 2

; s) n log x+m log y; t) log 2+2 log m+3 log n -log p -4 log q

u) −1

ln x 2

)

15. Obtener x en las siguientes expresiones:

a) log x = 1+ 2 log a ( ) b)

−1

log x = 2 (

log a + 3log b ) (

2log c + log d )

2

( ) c) − −

ln a + 2ln bln x = 3 (2 ln a ln b )

2 ( )

.16. Sabiendo que x=7 e y=3, utilizar la calculadora para hallar:

a) log x 2 b) log (2x) c) log 2x d) log (x+y) e) log x + y f) x + ylog

2 g) log (x + y )

2

17. a) Hallar a sabiendo que (Soluc: a=49)

b) Si log 4 N=3 , ¿cuánto vale ? ¿Cuánto vale N? (Soluc: -8; N=64)

18. ¿En qué base se cumple que log a 12+log a 3=2? (Soluc: a=6)

19. ¿V o F? Razonar la respuesta:

a) log (A+B)=log A + log B

b) log (A 2+B2)=2log A+ 2log B

c) ln 2x= ln x

2

d) 2xln = ln x

2

2 Soluc : x =10 a

7 7a

lo g + lo g b = 2b

3

4 3

Nlog

N

2 6 a b Soluc : x = c d

4

6

b Soluc : x =

a

a






e) AB log (AB )log =

C logC

f) El logaritmo de un número siempre da comoresultado un número irracional.

g) Los logaritmos decimales de números <1 sonnegativos; en caso contrario, son positivos.

20. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar la veracidad de la siguiente fórmula, debida al físico británicoPaul Dirac (1902-1984), que permite escribir cualquier número N empleando solamente tres doses:

21. ¿Cuáles son los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y 2? ¿Y entre 0 y -2?(Soluc: 1 y 100; 0,01 y 1)

Ecuaciones exponenciales: 22. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales por el método más apropiado, y comprobar el resultado

en cada caso:

1. x3 = 48 (Soluc: x ≅ 3,5237)

2. x 82 =

27 (Soluc: x ≅ -1,7549)

3. x+12 + 4 = 80 (Soluc: x ≅ 5,2479)

4. −x 2x2·3 3 + 3 = 0 (Soluc: x=1)

5. − −x 1 x+1 x3 + 3 3 =63 (Soluc: x=3)

6. −2x 3 x+12 = 8 (Soluc: x=-6)

7. x+2 x+13 + 9 = 810 (Soluc: x=2)

8. − −x 32 = 3 (Soluc: /∃ soluc.)

9. −−

x 1x 2

35 = 2 +

5 (Soluc: x=2)

10. −x 42 e = 3 (Soluc: x ≅ 4,4055)

11. −x 42 + e = 3 (Soluc: x=4)

12. xx 5100·10 = 1000 (Soluc: x=3)

13. x/ 23 = 768 (Soluc: x ≅ 12,0949)

14. 22 −2x +24 = (Soluc: /∃ soluc.)

15. 2x+5 73 = 3 (Soluc: x=1)

16. 1x = 27

e (Soluc: x ≅ -3,2958)

17. −2x 5x+65 = 1 (Soluc: x 1=2, x 2 =3)

18. ( )xx 2 33 · 3 = 9 (Soluc: x=2)

19. −2x x+1 2e 2e + e = 0 (Soluc: x=1)

20. −x x2 10·2 +16 =0 (Soluc: x ≅ 0,8301)

21. x+2 x+3 x+4 x+5 x+62 + 2 + 2 + 2 + 2 = 31 (Soluc: x= -2)

22. − −4x 3x 2x xe 5e + 5e + 5e 6 = 0 (Soluc: x 1=0, x 2 =ln2; x 3 =ln3)

23. −x +1 2x 42 = 4 (Soluc: x=3)

24. 0−x 1

e = (Soluc: /∃ soluc.)25. −2 x x xx e 5xe + 6e = 0 (Sol: x 1=2, x 2 =3)

26. −2x 3x 1 x+13 ·2 = 6 (Soluc: x=1)

27. 24x -x 3e = e (Sol: x 1=1, x 2 =3)

28. −x 3 x+12 = 3 (Soluc: x ≅ -7,8380)

29. −2x x+12 3·2 + 8 = 0 (Soluc: x 1=1, x 2 =2)

30. −2x 43 = 729 (Soluc: x=5)

31. −x 9e = 73 (Soluc: x ≅ 11,1452)

32. x+9 x2 = 3 (Soluc: x ≅ 15,38)

33. − 21 x 12 =

8 (Soluc: x= ± 2)

34. −3 x10 =1 (Soluc: x=3)

35. −x 1 x3 + 3 = 4 (Soluc: x 1=0, x 2 =1)

36. (*) e− +x+2 x 1 2xe + e = e (Soluc: x 1= -1, x 2 =2)

37. x/ 22 = 768

38. xx a = a (Soluc: x=1)

39. −2x xe 2e + 2 = 0 (Soluc: /∃ soluc.)

40. −−x x 14 14·2 +12 = 0

− 2 2N = log log 2(N raíces)






(Soluc: x 1=2, x 2 =log 3/log 2) 41. − − −x 1 1 x 2x 22 ·3 = 5 (Soluc: x=1)

42. 22x x2 4= (Soluc: x 1=0, x 2 =1)

43. −x+1 x 1 x2 ·3 = 4 (Soluc: x=1)

44. −x+1 x 1 x2 =3 ·4 (Soluc: x=1)

45. x x+19 + 2 · 3 = 27 (Soluc: x=1)

46. −−x x 14 2·2 = 6 (Soluc: x ≅ 1,5850)

47. −x x11·3 9 =18

(Soluc: x 1=2, x 2 =log 2/log 3)

48. 2x 1 0+x = (Soluc: x=0)

49. 2x 1 1+x = (Soluc: /∃ soluc.)

50.3

− −−

2x 1x 1 1

3 = (Soluc: x= -2)

51. − −2x 1 x+12 16 = 2 (Soluc: x=3)

52. 6+2x xe = e (Soluc: x=ln 3)

23. Considérese la siguiente fórmula:

1/DU P( V) −= ρ +

Despejar ρ (Ayuda: no es necesario utilizar logaritmos) (Soluc: −= − + D D ρ V P ·U )

24. Sin necesidad de operar, razonar que ecuaciones del tipo:

2

x x

x 2 x 1

2 3 0

4 2 2 0− +

+ =

+ + =2 xx + 5 = 0, etc.

no pueden tener solución.

Ecuaciones logarítmicas: 25. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

a) 2 log x - log (x+6)=3 log 2 (Soluc: x=12)

b) 4 log 2(x2+1)=log 2625 (Soluc: x= ± 2)

c) − −2 2 13

12log (x +1 )log (x 1 )=log (Soluc: x= ± 5)

d) −log (x 1 )=2 (Soluc: x=101)

e) ln (x+2 )=1 (Soluc: x=e - 2)

f) ln (x-3)+ln (x+1)=ln 3+ln (x -1) (Soluc: x=5)

g) 2log 2 x+7logx - 9=0 ( ) h) 2logx 2 +7logx - 9=0 ( ) i) 2 ln (x -3)=ln x - ln 4 (Soluc: x=4)

j) log (x+3) - log (x -6)=1 (Soluc: x=7)

k) log 10 x-1=2 (Soluc: x=3)

l) log (x+9)=2+log x (Soluc: x=1/11)

m) log (x+1)+log (x -1)=1/100 ( )

n) log 3x + 5 + log x =1 (Soluc: x=5)

o) log (x 2-7x+110)=2 (Soluc: x 1=2; x 2 =5)

5 10

1 2 Soluc : x = 10; x = / 10

11 9 Soluc : x = 10

100 Soluc : x = 1 + 10






p) 2 ln x+3 ln (x+1)=3 ln 2 (Soluc: x=1)

q) log (x 2+3x+36)=1+log (x+3) (Soluc: x 1=1; x 2 =6)

r) ln x+ln 2x +ln 4x=3 (Soluc: x=e/2)

s) 4 log x -2 log (x -1)=2 log 4 (Soluc: x=2)

t) ln (x-1)+ln (x+6)=ln (3x+2) (Soluc: x=2)u) 2 log x+log (x -1)=2 (Soluc: x=5)

v) 2 log (x+9) -log x=2 (Soluc: x ≅ 1,81)

w) log (2x+6) -1=2 log(x -1) (Soluc: x 1=2; x 2 =1/5)

x) log (x+11) -2 log x=1 (Soluc: x=11/10)

y) log (6x -1)- log (x+4)=logx (Soluc: x=1)

z) log x 2+log x 3=5 (Soluc: x=10)

Se recomienda ver también los ejercicios resueltos 1 pág. 79 y 4 pág. 89

Problemas de aplicación: 26. a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital C0 acumulado al cabo

de t años con un interés i es:t

0i

C(t)=C 1+ , en €100

·

donde: C0 es el capital inicial, en €

i es el interés anual, en %

b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20000 € al 2%? (Soluc: 22523 €)

c) ¿Cuántos años debemos mantener 100000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% siqueremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial? (Soluc: 28 años; NO)

d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30 000 € a una tasa del 3% quiere llegar atener 40000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital? (Soluc: 9 años y 9 meses)

27. a) Demostrar que la función que expresa el volumen de madera que tiene un bosque al cabo de t añoses:

( )t 30M(t)=M 1+l , enm·

donde: M0 es el volumen inicial de madera, en m 3

l es el crecimiento anual, en %

b) Se calcula que un bosque tiene 12 000 m3 de madera y que aumenta el 5% cada año ¿Cuánta maderatendrá al cabo de 10 años si sigue creciendo en estas condiciones? (Soluc: ≅ 19 546,7 m3)

c) ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse el bosque? (Soluc: 14,21 años)

28. Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento de sus poblaciones muy rápido. La escherichia coli puede duplicar su población cada hora. a) Supongamos que hacemos un cultivo en el que inicialmentehay 5000 bacterias de este tipo. Construir una tabla para razonar que la función que nos da el número debacterias al cabo de t horas es:

tf(t)=5000 2·






b) ¿Cuántas habrá al cabo de 16 horas? c) Dibujar una gráfica que represente el crecimiento en las 8primeras horas. d) Si tenemos un cultivo de 100 bacterias y queremos conseguir un millón, ¿cuántotiempo ha de transcurrir? (Soluc: b) 327680 000 bacterias; d) ≅ 13 horas y cuarto)

Cambio de base: log x = log a·log xb b a (fórmula del cambio de base)

29. Utilizando la fórmula del cambio de base se pide:

a) Demostrar que log a b ⋅⋅⋅⋅log b a=1

b) Hallar la relación entre el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal.

c) Expresar log2x en función de logx (Soluc: log 2 x=3,3219logx)

30. a) Nuestra calculadora sólo dispone de logaritmos decimales. Usando la fórmula del cambio de base,hallar log 45

b) Razonar que log 45 es irracional.

31. Volver a hacer el ejercicio 2, pero utilizando esta vez la calculadora y la fórmula del cambio de base.





LÍMITES DE FUNCIONESCONTINUIDAD










I) IDEA INTUITIVA DE

Ejemplo 1: La función no está definida en x=1; investigar, rellenando las siguientes tablas(mediante calculadora), su comportamiento en las proximidades de dicho punto, y explicargráficamente la situación:

En la práctica, los límites no se suelen calcular de esta forma, sino operando:

Es decir, nótese que la f(x) del enunciado se comporta como la recta y=x+1, salvo en x=1 (punto en el cual noestá definida); por lo tanto, su representación gráfica es:

Vemos que cuando las x se acercan a 1- (flecha izqda.; 1ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 2-,

mientras que cuando las x se acercan a 1+

(flecha dcha.; 2ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a2+. Y todo ello es independiente de que, exactamente en x=1, la función no está definida .

Conclusiones:1º Para que exista límite han de coincidir los límites laterales.2º A efectos de , no hay que tener en cuenta lo que ocurre exactamente en x=a, sino en las

proximidades ; de hecho, hay casos en los que en un punto no existe imagen pero sí límite (como enel ejemplo anterior), y esta es precisamente la utilidad del concepto de límite.

3º De todos modos, normalmente existen límite e imagen, y ambos coinciden, como en el siguienteejemplo:

x→ 1- 0,9 0,99 0,999…

f(x)→

N U M

É R I C A M E N T E

x→ 1+ 1,1 1,01 1,001…

f(x)→

A N A L

Í T I C A M E N T E

G R

Á F I C A M E N T E

Lf(x)limax

=→

1x1xf(x)

2

−

−=

=⇒+→f(x)lim

1x

x 1limf(x)

→⇒ =

( )xxxx →a→a→a→alim f xlim f xlim f xlim f x

1x 1x)x(f2

−−=

=⇒−→f(x)lim

1x

21)(xlim1x

1)1)(x(xlim1x1xlim

1x1x

2

1x=+=

−

−+=

−

−

→→→






Ejemplo 2: Dada f(x)=x2, obtener numéricamente, mediante las siguientes tablas, :

Es decir, cuando las x se acercan a 2- (flecha izqda.; 1ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 4-,mientras que cuando las x se acercan a 2+ (flecha dcha.; 2ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a4+. En este caso, la función sí está definida precisamente en x=2, y su valor es 4; es decir,en este ejemplolímite e imagen coinciden (lo cual, por cierto, es lo más habitual) . Analíticamente, sería muy sencillo:

2 2x 2lim x 2 4

→= =

Veamos ahora un ejemplo de función en el que no hay límite:

Ejemplo 3: Dada se pide:a) Representarla. b) Hallar gráficamente.

En este caso, al acercarnos a x=0- por la rama izquierda, las imágenes tienden exactamente a-1 (aunqueprecisamente en x=0 no tengan el valor esperado, sino 1; de nuevo, téngase en cuenta que a efectos dellímite no hay que tener en cuenta lo que hace la función exactamente en el punto sino en susproximidades…), mientras que al acercarnos a x=0+ por la rama derecha, las imágenes tienden exactamentea 1. Por lo tanto,como no coinciden los límites laterales, el límite global no existe .

Podríamos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirían en alguno de los 4 casos del siguiente esquema;

va a existir límite cuando x→ a sólo en los tres primeros supuestos:

x→ 2- 1,9 1,99 1,999…

f(x)→

x→ 2+ 2,1 2,01 2,001…

f(x)→

a

f xf a

][

f(x)lim f(a) aunque

ax∃

→

∃/

a

Lf(x)

f(a)Lf(x)lim ax

≠=∃

→

f a

a

Lf x

][Lf(x)lim

f(a) aunqueax

∃/

=∃

→

a

f af x

x a[Lo más habitual]

limf(x) f(a)→

∃ =

y 1=

y 1= −

f(x)lim2x→

=⇒−

→f(x)lim

2x

=⇒+→f(x)lim

2x

=⇒ → f(x)lim2x

2y x=

≥

<=

0xsi 1 0xsi 1-)x(f f(x)lim

0x→

x 0x 0x 0

x 0x 0

lim f(x) lim ( 1) 1 limf(x)

lim f(x) lim 1 1−

+

→→

→

→→

= − = − ⇒ ∃/

= =






Como resumen:«A efectos gráficos, no va a haber si en x=a las dos ramas no coinciden»

Ejercicios final tema: 1, 2, 3

II) . ASÍNTOTA VERTICAL

Ejemplo 4: Vemos fácilmente que la función no está definida en x=3; investigar, rellenandolas siguientes tablas (inténtese sin calculadora), su comportamiento en las proximidades de dichopunto, y explicar analítica y gráficamente la situación:

En la práctica, se procede así1:

Gráficamente, la situación es la siguiente:

Es decir, cuando las x se acercan a 3- (flecha izqda; rama izquierda) las imágenes correspondientes tienden ahacerse infinitamente grandes i.e.∞ , y cuando las x se aproximan a 3+ (flecha dcha.; rama derecha) lasimágenes tienden también a∞ . Y todo ello, volvemos a insistir, es independiente de que concretamente enx=3 la función no está definida. Esta es precisamente lautilidad de la noción de límite: inclusoaunque lafunción no esté definida en un punto, el límite da cuenta del comportamiento de la función en dichopunto.

En el ejemplo anterior, se dice que f(x) presenta una asíntota vertical en x=3.1 0+ o 0- se conocen como infinitésimos .

N U M

É R I C A M

E N T E x→ 3- 2,9 2,99 2,999…

f(x)→

x→ 3+ 3,1 3,01 3,001…

f(x)→

A N A L Í T

I C A M E N T E

G R

Á F

I C A M E N T E

∞=→

f(x)limax

2)3x(1f(x)

−=

=⇒−

→f(x)lim

3 x

=⇒+→f(x)lim

3 x

=⇒→

f(x)lim3x

∞=

−

⇒

∞===−

∞===−

→

++→

+−→

+

−

23x

223x

223x

3)(x

1lim

01)0( 13)(x 1lim

01

)0(1

3)(x1lim

X=3 A.V.

( )xxxx →a→a→a→alim f xlim f xlim f xlim f x






Observaciones:

1º Cuando por sustitución directa en un límite obtengamos k/0, automáticamente tenemos que plantearlímites laterales, para discernir si el denominador es 0+ o 0-, lo cual determinará si el límite finalmente es∞ o -∞ (en función también del signo de k).

2º Nótese que, a la hora de calcular un límite, en el momento en que sustituyamos en la función,desaparece el símbolo de lim.

Definición de asíntota vertical:

Ejemplo 5: Estudiar analíticamente y explicar gráficamente la situación. ¿Qué asíntota verticalpresenta la función?

Ejercicios final tema: 4, 5

III) . ASÍNTOTA HORIZONTAL

Ejemplo 6: Estudiar, mediante la siguiente tabla de valores,

En la práctica, como x→∞ , lógicamente podemos despreciar el efecto de sumar o restar un número finito a x,por lo cual podemos proceder de la siguiente forma:

Es decir, cuando x →→→→∞∞∞∞ (o -∞ ), nos quedaremos con el términode mayor grado del polinomio (lo que se conoce comotérminodominante ), y despreciaremos términos de menor grado.¡Nótese que esto sólo tiene sentido cuando x→∞ (o -∞ )! Éstaserá una técnica muy utilizada para calcular límites.

El símbolo≈ se lee “equivalente a “ y se utiliza cuando, a la hora

de resolver una indeterminación, x→ ∞

y despreciamos una cantidad finita aditiva respecto a un∞

.Gráficamente, la situación está indicada al margen.

x 100 1000 10000 100000… ∞

x 3f(x)x 5

+=

−

( )ox a lim f(x) x a A.V.

→ − ∞= ∞ ⇔ =

x 3

x 3

x 3

1lim 1x 3 lim1 x 3lim

x 3

−

+

→

→

→

=−

⇒ =−

=−

3x1lim

3x −→

Lf(x)limx

=∞→

x 3yx 5

+=

−

.H.A1y =

x 5 A.V.=

xx 3lim x 5→∞

+−

x

x 3limx 5→∞

+⇒ =

−

x x x

x 3 xlim lim lim 1 1x 5 x→∞ →∞ →∞

+≈ = =

−






Es decir, cuando las x se hacen cada vez más grandes, las imágenes correspondientes tienden a aproximarsecada vez más a 1+, pero sin llegar a alcanzar jamás el valor 1. Se dice entonces que f(x) presenta unaasíntota horizontal de ecuación y=1. (Por cierto que, por las razones explicadas en el anterior apartado,también presenta una A.V. en x=5).

Definición de asíntota horizontal:

Observaciones: 1º La gráfica puede cortar a la A.H. para valores finitos de x2º En cambio, la gráfica de una función nunca puede cortar a una A.V.3º En el próximo tema veremos un tercer tipo: las asíntotas oblicuas


IV) . RAMAS INFINITAS

Ejemplo 7: Obtener mediante la siguiente tabla de valores:

Es decir, cuando las x se hacen cada vez más grandes, las imágenescorrespondientes tienden a hacerse tan grandes como queramos, como quedareflejado en la gráfica adjunta. En la práctica, y como ya hemos comentado en elapartado anterior,cuando x →→→→∞∞∞∞ (o -∞ ) nos quedaremos con el término de mayorgrado del polinomio (lo que se conoce como término dominante ), ydespreciaremos términos de menor grado:

De nuevo, adviértase que esta forma de proceder sólo tiene sentido cuando x→∞ (o -∞ ), no cuando x tiende aun número finito. En el ejemplo anterior, se dice además que f(x) presenta una rama infinita o parábolica.

Regla práctica:


x 100 1000 10000 …∞

2f(x) x x 2= − +

A.H.LyL)x(flim)o(

x=⇔=

∞−∞→

grado)mayorde(tºlimP(x)lim)(o

x)(o

x∞−∞→

∞−∞→

=

2xlim (x x 2)

→∞− +

∞=∞→

f(x)limx

2 2 2x xlim (x x 2) lim x

→∞ →∞− + ≈ = ∞ = ∞

2xlim (x x 2)

→∞⇒ − + =

2xxy 2 +−=






V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES2

1º) «El límite-en caso de existir- es único»

2º) es decir, «El límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) delos límites».

3º) es decir, «El límite del producto es el producto de los límites».

4º) (siempre y cuando lim g(x)≠ 0)

5º) es decir, «El límite de una constante es igual a dicha constante»

6º) es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir (o entrar) en el límite».7º) Límite de una potencia: Ejemplo:

8º) Límite de una raíz:

9º) Límite de un logaritmo:

VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES

SUMA Y RESTA: ∞ +∞ =∞ ∞ +k=∞ ∞ -∞ =INDTDO. -∞ -∞ =-∞

Nótese que no podemos concluir que∞ -∞ sea siempre igual a 0, puesto que ambos ∞ pueden ser, engeneral, de distinto orden3; por lo tanto,el resultado de ∞∞∞∞ -∞∞∞∞ tendrá valores distintos dependiendo decada ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultado es indeterminado, o bien que se trata deuna indeterminación . La mayor parte de las indeterminaciones se deshacen operando. Veamos un sencilloejemplo justificativo:

Es decir, en este caso concreto ∞ -∞ ha resultado ser igual a 1, pero veremos muchos más ejemplos en losque puede resultar otro número (incluido, por supuesto 0), o∞ , o -∞ , o incluso no existir.

2 Todas estas propiedades son válidas independientemente de que x→∞ o a un valor finito. Pueden consultarse lasdemostraciones de estas propiedades en Internet o en cualquier libro de texto.

3 En el caso de una incógnita, sí es cierto quea-a, o x-x, etc. es obviamente igual a cero; ahora bien, adviértase que enel caso de ∞ -∞ estamos hablando de límites, es decir, ambos∞ no tienen por qué ser exactamente iguales, sino quepueden ser de distinto orden.

[ ] g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

±=±

[ ] g(x)imlf(x)limg(x)f(x)lim

·=····

g(x)limf(x)lim

g(x)f(x) lim

=

kklim

=

[ ] f(x)limk)x(fklim ·· =

g(x)limg(x)

f(x)][lim[f(x)]lim = ∞== ∞

∞→eelim x

x

nn

f(x)limf(x)lim =

f(x)limlogf(x)loglim

=

x x x xINDTDOx 2 x x 2 x 2lim . lim lim lim 1 12 2 2 2→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞

+ + − − = ∞ − ∞ = = = = =






PRODUCTO: ∞ · ∞ =∞ ∞ · (-∞ )=-∞ -∞ · (-∞ )=∞ si k 0

k si k 0 si k 0

∞ >

∞ = →

−∞ <

⋅⋅⋅⋅ INDTDO.

Veamos un ejemplo justificativo de la indeterminación anterior:

COCIENTE: si k 0

operar y/o hacer lim laterales si k 0k si k 0

∞ >∞

= →

− ∞ <

0k=

∞ ± ∞

=± ∞

INDTDO.

00

= INDTDO. lateraleslimacerh0k

=

Veamos ejemplos prácticos de algunos de los casos anteriores:

Como conclusión, hemos visto una serie de indeterminaciones que podemos resumir en cuatro4:

0

0 ,∞±

∞± , 0·(±∞ ), ∞ -∞


4 El próximo curso veremos las 3 indeterminaciones de tipo exponencial: 1±∞ , (±∞ )0, 00

x x x xINDTDO

x 2 1 x 2 x 1 1lim 0 . lim lim lim2 x 2x 2x 2 2→∞ →∞ →∞ →∞

− − = ∞ = = ≈ = =

· ·· ·· ·· ·

∞=∞=≈+=+=∞

=+

∞→∞→∞→∞→

22x

2xxx

xlim2x)(xlim]2)xx([lim0

x1

2x lim a)

33limx

3x limx

3x3 lim xxx

INDTDO ===∞

∞=

+

∞→∞→∞→≈b)

2

x 1 x 1 x 1INDTDOx 1 0 (x 1)(x -1) lim lim lim (x 1) 2

x - 1 0 x 1→ → →

=− +

= = = + =−

c)

)1x3xlim bien,(o

1x3xlim

04

1x3xlim

04

1x3xlim

04

1x3xlim

1x1x

1 x

1 x

1 x±∞=

−

+

−

+∃/⇒

∞==−

+

−∞==−

+

==−

+

→→

+→

−→

→

+

−

d)

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ∞=

−

+⇒

∞===−

+

∞===−

+

==−

+

→

++→

+−→

→

+

−

21x

221 x

221 x

21 x 1x3xlim

04

0

41x3xlim

04

04

1x3xlim

04

1x3xlim e)






VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS

1º) Límites de polinomios:

Un ejemplo sería el ejercicio 8 del final del tema, ya realizado.

2º) Límites de cocientes de polinomios:a) «Se resuelve factorizando numerador y denominador (habitualmente por Ruffini,

identidades notables, extraer factor común…)y eliminando a continuación elfactor problemático x -a que figura repetido en ambos términos de la fracción »

Ejemplo:


b) «Se resuelve recurriendo en numerador y denominador a los términos de mayorgrado de cada polinomio 5»

Ejemplos: Hay tres posibilidades, atendiendo a los grados de ambos polinomios:

a) gradP(x)=gradQ(x):

b)gradP(x)>gradQ(x):

c) gradP(x)<gradQ(x):


VIII) CONTINUIDAD Intuitivamente, una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Más formalmente, se definefunción continua en un punto de la siguiente forma:

Es decir: “Una función es continua en un punto si ellímite coincide con la imagen en dicho punto” .

A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar:

1) que exista imagen2) que exista límite3) y que ambos coincidan

(En caso de no ser continua en un punto, se dice que es discontinua).

5 Existe otra forma alternativa, en general más laboriosa, que consiste en dividir numerador y denominador por la mayorpotencia de x que aparezca en ambos polinomios.

grado)mayorde(tºlimP(x)lim)(o

x)(o

x∞−∞→

∞−∞→

=

00

Q(x)P(x) lim

ax=

→

∞

∞=

∞→ Q(x)P(x) lim

x

2 2

2 2x x xINDTDO4x x 2 4xlim lim lim 2 2

2x 3x 1 2x→ ∞ →∞ → ∞

+ + ∞= = ≈ = =

∞+ −

2 2

x x xINDTDO

x x 3 xlim lim lim xx 3 x→∞ →∞ →∞

≈+ + ∞

= = ≈ = ∞+ ∞

2 2x x xINDTDOx 3 x 1 1lim lim lim 0

x x 3 x x+

→∞ →∞ →∞≈

+ ∞= = = = =

+ + ∞ ∞

f(a)f(x)limaxencontinuaf(x) ax =⇔=

→

2

2x 2 x 2 x 2INDTDOx 2x 8 0 (x 2)(x 4) x 4 6lim lim lim 2

0 (x 2)(x 1) x 1 3x x 2→ → →=

+ − − + += = = = =

− + +− −








es decir, la función2x 4f(x)

x 2−

=−

prácticamente se comporta como la recta x+2 (salvo en x=2)

Por lo tanto, se trata de una discontinuidad evitable, es decir, bastaría redefinir la función de la siguienteforma:

para que pasara a ser continua en x=2

Ejercicio 1: Representar las siguientes funciones, y estudiar su continuidad.

a) ( Soluc: f(x) continua ∀ x ∈ ℝ - { 0 } )

b) ( Soluc: f(x) continua ∀ x ∈ ℝ - { 0 } )

c)

Ejercicios final tema: 16 y ss.

=

≠−

−

=

2xsi 4

2xsi 2x4x

f(x)2

xx

f(x)=

>

≤+=

0xsixnl 0xsi 3xf(x)

x1f(x)=




31 EJERCICIOS de LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD

1. Calcular los siguientes límites no indeterminados1:

a)x→ 3

1lim

x b)

−

x→ 3

x 1lim

x + 2 c) −2

x→ 4lim (x 4x + 3 ) d) 2

x→ 1lim (x + 4x ) e)

−x→ 1lim (3 x + 5 )

f)x→ elim (1+ln x ) g)

x→0,1lim log x h)

−−3 2

x→ 2lim (x 3x + 4x ) i)

+x→ 0lim x j)

x→ 4

1lim

x

2.

3. Representar la función

−

−

2 si x < 1f (x )= 4 x si 1≤ x < 3

x 2 si x ≥ 3

Obtener a continuación analíticamente lim f(x) cuando x→ 1, x → 3, x → 5, x → ∞ , x → -∞ , y comprobaren la gráfica.

4. Dados los siguientes límites, se pide:i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la existencia deA.V., indicar su ecuación. iii) Explicar gráficamente el comportamiento a ambos lados de la hipotéticaasíntota:

a) − 2x→ 4

1lim

(x 4 )b)

−

− 2x→ 1

2lim

(x 1 )c)

−x→ 3

2lim

x 3 d)

(x 1)(x 4)−

− −x→ 4

x 2lim e)

(x 2)(x 5)−

− −x→ 2

x 1lim

f) (x 2)(x 3)

−

− −x→ 1

x 1lim g)

−

−3x→ 1

x 1lim

(x +1 ) h)

+x→ 0

1lim

x i)

− 3x→ 2

x + 3lim

(x 2 )j) −

− −2x→ 3

x 1lim

x 2x 3

k) −

−2x→ 2

x 1limx + 6x + 8

l) 2−

+−2x→ 2xlim

x 5x + 6 m)

1−

−2x→x 3lim

x 3x + 2 ( Soluc: a) ∞ ; b)-∞ ; c) ±∞ ; d) ±∞ ; e) ±∞ ; f) 0; g) ±∞ ; h) ∞ ; i)±∞ ; j)±∞ ; k)±∞ ; l) 0; m) ±∞ )

5.

1 Es decir, se pueden hacer por sustitución directa, ya que límite e imagen coinciden.

Dada la gráfica de la figura, indicar si existe lim f(x) en lossiguientes casos:

a) Cuando x→ 1

b) Cuando x→ 2c) Cuando x→ 4d) Cuando x→ 5

1 2

b

x1 x3x0 x2

a) Si la gráfica de una función f(x) es la de la figura,averiguar lim f(x) cuando x→ 0, x → x1, x → x3, x → x0,x → x2

b) ¿Qué rectas son asíntotas?





6. Dados los siguientes límites, se pide:i) Calcularlos. ii) En caso de deducirse de ellos la existencia deA.H., indicar su ecuación.iii) Explicar gráficamente el comportamiento de la función en las proximidadesde la hipotética asíntota:

a) x 1

∞ −x→

2 x+ 3lim y

x 1∞ −x→ -

2x+3lim b)

x∞x→

1lim y

x∞x→ -

1lim c)

x∞

2

x→

x +1lim y

x∞

2

x→ -

x +1lim d)

2x∞

−

x→

x 3lim y

2x∞

−

x→ -

x 3lim

e) 5x∞x→

3x+2lim y

5x∞x→ -

3x+2lim

7.

8. Calcular los siguientes límites de funciones polinómicas:

a) 2x→ 2lim (x + x +1 ) b) 2

x→ ∞lim (x + x +1 ) c) − 7x→ 1lim (x 1 ) d) − 7

x→ ∞lim (x 1 ) e) − − −3 2

x→ ∞lim (x 2x 3x 10 ) f) − 2

x→ ∞lim (x + 2x + 5 ) g)

−

2

x→ ∞lim (x +3x +1 ) h)

−

3 2

x→ ∞lim (x + x + x + 7 )

i) 3 2

x→ 1lim (x + x + x + 7 ) j) − −2

x→ ∞lim (3x 100x 50 ) k)

−− 3

x→ ∞lim (2x + 100x + 2 00 )

( Soluc: a) 7; b) ∞ ; c) 0; d) ∞ ; e) ∞ ; f) -∞ ; g) ∞ ; h) -∞ ; i) 10; j) ∞ ; k) ∞ )

9. Calcular los siguientes límites por sustitución directa y, en algunos casos, operando:

1) 2x→ ∞

1lim + 3

x 2)

x→ ∞

1lim

x 3)

− 2x→ 1

1lim 5

x 4)

− 2x→∞

1lim 5

x 5)

−x→ ∞

1lim

x

6) x→ 2

2lim

x 7)

x→ ∞

2lim

x 8)

2x→ ∞

9 x + 2lim

x 9)

− 2x→ ∞

9x+2lim

x 10)

2x→ 2

9x+2lim

x

12

-3 1 4

g(x)

1

2-1

h(x)

5

6 a) Dadas las funciones cuyas gráficasaparecen en las figuras, calcular sus límitescuando x → 0, x → 2, x → 3, x → 4, x →∞ ,x→ - ∞

b) ¿Cuáles son las asíntotas en cada gráfica?

1

4

f(x)





11) 2x→ 0

9x+2lim

x 12) −x 1

x→ ∞lim 2 13) −

−

x 1

x→ ∞lim 2 14) −x 1

x→ ∞lim 0,5 15) −

−

x 1

x→ ∞lim 0,5

16) ( )x

x→ ∞lim 1+ e 17) ( )

−

x

x→ ∞lim 1+e 18)

xx→ ∞

1lim

e 19)

− xx→ ∞

1lim

e 20)

x→ ∞lim log x

21) +x→ 0lim ln x 22) 2

x→ ∞lim log (x +1 23)

x→ ∞

1lim ln 1+ x 24) x→ ∞

1lim 1+ log x 25) − 2x→ ∞

1lim ln x

26) 2x→ ∞

3x+2lim log x +

x 27)

−

xx→ ∞

1lim 1+

e 28)

2

x→ ∞

xlim ln x

x + 3 29)

2x→ ∞

3x+2lim

x log x 30)

− 2x→ ∞

1lim x

x

31) − + 2x→ 0

3x+2lim ln x

x 32)

+x→ 0

23x + 2lim log x2x + 3

33) xlim x 2

→ ∞− 34)

2x

2x 1limx→∞

− 35) ( )−

−3 2

x→ ∞lim 2x 3x

36) ( )−3 2

x→ ∞lim 2x 3x 37)

x

x 1lim4→ ∞

+ 38) 2

x

1 xlimx→ ∞

− 39) 2

x

1 xlimx→∞

+

( Soluc: 1) 3; 2) 0; 3) 4; 4) 5; 5) 0; 6) 1; 7) 0; 8) 0; 9) 0; 10) 5; 11) ∞ ; 12) ∞ ; 13) 0; 14) 0; 15) ∞ ; 16) ∞ ; 17) 1;18) 0; 19) ∞ ; 20) ∞ ; 21) -∞ ; 22) ∞ ; 23) 0; 24) 0; 25) -∞ ; 26) ∞ ; 27) ∞ ; 28 ) ∞ ; 29 ) 0; 30 ) -∞ ; 31 ) -∞ ; 32 ) -∞ ;

33 ) ∞ ; 34 ) 0; 35) - ∞ ; 36) ∞ ; 37) ∞ ; 38) -∞ ; 39) ∞ )

Resolución de indeterminaciones:10. Calcular los siguientes límites de funciones racionales (nótese que en el 2º miembro de la igualdad se

indica la solución):

a) −

−

3

2x→ 2

x 8lim = 3

x 4

b) −

−

2

4 2x→ 1

x + x 2 3lim =

7x + x + x 3

c) −−x→ 2

x 2 1lim =2x 4 2

d) −

−

3

2x→ 1

x + x 2lim =2

x 1

e) 3−

=3 2

3 2x→ 4

x + 9x + 24x +16lim

x +11x + 40x + 48

f) −

−

2

3 2x→3

x 4x + 3lim = ±∞

x 5x + 3x + 9

g) −

− −

2 2

2 2x→ a

2x + ax 3alim = 1

3x ax 2a

h)−

− −

3 2

3 2x→ 2

x 3x + 4lim = ±∞3x 18x + 36x 24

i) −

−

3 2

3 2x→ 1/2

2x + 3x 1lim = ±∞

4x +16x 19x +5

j)4 3 2

3 2x 2

x 5x 6x 4x 8lim 0x 4x 4x→

− + + −=

− +

k)2

3 2 2 3x b

b bx 1lim10bb 5b x 3bx 3x→

−=

+ − −

l)3

2x 1

x 1limx 2x+1→

−= ±∞

−

m)2

2x 2

x 2x 5 1lim2x 6→

− +=

+

n) 3 32 2x a

x alimx a→

+ = ±∞−

o) 3

x 2

x 2lim 2x 5→ −

+= −

+

p) −

− −

3 2

3 2x→ 2

x 3x + 4 3lim =

4x 2x 4x + 8

q) −

−

3 2

3x→ 1

x + 2x 3x 4lim =

3x 1

r) 2

3 2x 2

x 4limx +3x 4→ −

−= ±∞

−

s) 2x 2

x 2x 3 x 1lim 0xx

x 2→

−+ ++ =

+−

NOTA:Cuando señalamos que el resultado de un límitees ±∞ , no estamos indicando que haya dos límites(recordar que el límite, caso de existir, es único), sino que,a ambos lados de un valor finito, la función diverge a ∞ o-∞

11. Calcular los siguientes límites infinitos (en algunos casos figura la solución):

a)3

2x

x 8limx 4→ ∞

−

− b)

2

4 2x

x x 2limx x x 3→∞

+ −

+ + −





c)x

x 2lim2x 4→∞

−

−

d)3

2x

x x 2limx 1→−∞

+ −

−

e)2

3 2x

x 4x 3limx 5x 3x 9

→− ∞

− +

− + +

f)2 2

2 2x

2x ax 3a 2lim33x ax 2a→− ∞

+ −=

− −

g)3 2

3 2x

2x 3x 1lim4x 16x 19x 5→∞

+ −

+ − +

h)3 2

3 2x

x 3x 4lim3x 18x 36x 24→− ∞

− +

− + −

i)4 3 2

3 2x

x 5x 6x 4x 8limx 4x 4x→ ∞

− + + −

− +

j)3 3

2 2x

x alimx a→ ∞

+= ∞

−

k)2

3 2 2 3x

b bxlim 0b 5b x 3bx 3x→ ∞

−=

+ − −

l)2

2x -

x 2x 5limx 6→ ∞

− +

+

m)3

x

x 2limx 5→ ∞

+

+

n)3 2

3 2x

x 3x 4limx 2x 4x 8→ ∞

− +

− − +

o)3

3 2x

x 1limx 2x 3x→− ∞

−

+ −

p)2x

x 2x 3 1x 1lim2xx

x 2→ ∞

−+ +

+ =

+−

q)2x

x 3limx 3x 2→ ∞

−

− +

r)2

x

x 3x 2limx 3→ − ∞

− +

−

s)3

2x

x 1limx 2x 1→− ∞

−

− +

t)2

3 2x

x 4lim x 3x 4→ − ∞

−

+ −

12. En una empresa se ha comprobado que el número de unidades diarias producidas depende de los díastrabajados, de acuerdo con la siguiente función:

N(t) 30t=

t + 4 (donde t viene expresado en días)

a) ¿Cuántas unidades se producen el primer día? ¿Y el décimo?b) Representar la función N(t). ¿Qué ocurre si el período de producción se hace muy grande?

13. Siendo , hallar:

a) x 0lim g(x)

→= ±∞ b)

x 0lim h(x) 1 2

→= − c) [ ]

x 0lim f(x) g(x)

→= −∞⋅⋅⋅⋅ d)

xlim h(x) 2 3

→ ∞=

e) [ ]x 0lim f(x) g(x)

→− = ±∞ f)

xlim g(x) 1

→ ∞= g) [ ]

xlim f(x) g(x) 0

→ ∞=⋅⋅⋅⋅

14. Hallar una función f(x) que cumpla a la vezx 2lim f(x)

→= ∞ y

xlim f(x) 4→ ∞

=

15. Calcular los siguientes límites, aplicando el procedimiento apropiado en cada caso (en el 2º miembro de laigualdad se indica la solución):

a) 2

3 2x 2

x x 6limx 6x 12x 8→

+ −= ∞

− + − b)

3 2

2x

x 6x 12x 8limx x 6→− ∞

− + −= −∞

+ − c)

2 2

x

x 1 x 1lim 2x 1 x 1→ ∞

+ −− = −

+ −

d) 3 2

3 2x 1

x 3x 3x 1lim 0x x x 1→−

+ + +=

+ − − e)

3 2

3 2x 2

x 4x 5x 2limx 2x x 2→−

+ + +

+ − − f)

3 2

3 2x 1

x 3x 3x 1lim 0x x x 1→

− + −=

− − +

g)

3 2

3 2x

x 3x 3x 1lim 1x x x 1→ ∞

− + −=

− − + h) 2x 3

x 3lim x 5x 6→

−

− + i) −

− −

3 2

2x→ ∞

x + x x +1lim =1x +1x 1

2x 1 x 1 2x 1f(x) , g(x) y h(x)

x 3x 2x x+ − −

= = =++







( Soluc: a) discontinua en x=0; b) discontinua en x=0; c) discontinua en x=2; d) continua ∀ℜ ; e) discontinua en x=0 yx=1; f) discontinua. en x=3 y x=4; g) discontinua en x=2; h) continua ∀ℜ ; i) discontinua. en x=0; j) discontinua.en x=3; discontinua en x=5 )

19. TEORÍA: a) ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no está

definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto? Razonar la respuesta conejemplos.

b) ¿Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, poner algún ejemplo.

c) El denominador de una determinada función se anula en x=a ¿Presenta necesariamenteuna asíntota vertical en x=a? Poner ejemplos.

d) ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? ¿Por qué?

e) Six 2lim f(x) 5

→= , ¿podemos afirmar que f(x) es continua en x=2?

20. Probar que la función2

3 1xf(x)=+7x 8x

−−

no es continua en x=1( Soluc: no es continua pues ∃/ f(1) )

21. Considerar la siguiente función:2 1xf(x)=

x 1−

−

a) ¿Es discontinua en algún punto? ¿Por qué?b) En x=1 la función no está definida. Ampliar esta función de modo que sea continua∀ℜ .

(Soluc: discontinua en x=1 pues ∃/ f(1); basta hacer f(1)=2)

22. La función3 2+ +x+ax xf(x)=

x 1− no está definida en x=1. Hallar el valor dea para que sea posible definir el

valor de f(1), resultando así una función continua. (Soluc: a= -3; f(1)=6)

23. Hallar el valor dek para que la función2 9x

si x 3f(x)= x 3 k si x=3

−≠−

sea continua ∀ℜ . (Soluc: k=6)

24. Estudiar la continuidad de la siguiente función:

−

−

2

2

2 + 3x 2x si x ≠1/ 2f (x )= 2 5x + 2x

5 / 3 si x = 1 / 2

(Soluc: discontinua en x=2)





25. Calcular cuánto debe valera para que la siguiente función sea continua∀ℜ :

− 2

x +1 si x ≤ 2f (x )=

3 si x > 2ax

(Soluc: a=0)

26. Se considera la función

2

Ln x si 0 < x <1f (x )=

+b si 1≤ x < ∞ax

Determinar los valores dea y b para que f(x) sea continua y f(2)=3(Soluc: a=1 y b= -1)

27. Dada la función

−2

+ 2x 1 si x < 0xf (x )= ax +b si 0 ≤ x <1

2 si x ≥ 1

hallara yb para que la función sea continua y dibujar la gráfica de la función.(Soluc: a=3 y b= -1)

28. Dada la función

2

x 3 si x 1f(x) mx n si 1 x 3

x 10x 11 si x 3

+ ≤

= + < ≤

− + − >

hallar los valores dem yn para que f(x) sea continua (puede ser útil dibujar la gráfica).(Soluc: m=3, n=1)

29. Ídem:

2

2x 1 si x 2f(x) ax 2 si 2 x 2

x b si x 2

− + ≤ −

= + − ≤ ≤

+ ≥

(Soluc: a= -1/2, b= -3)

30. Ídem:2

2

x a si x 1f(x) x 4 si 1 x 2

ln(x b) si x 2

− + < −

= − − ≤ <

− ≥

(Soluc: a= -2, b=1)

31. Ídem:

2

ax 2 si x 1 b x si 1 x 3f(x) cx si 3 x 5

10 si x 5

+ < −

− ≤ <=

≤ <

≥

(Soluc: a= -52, b=54, c=2)





DERIVADAS

Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Leibniz (1646-1716)

MATEMÁTICAS CCSS I 1º BachilleratoAlfonso GonzálezIES Fernando de MenaDpto. de Matemáticas








I) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

En este tema vamos a conocer y emplear un operador matemático muy útil, llamado derivada de una

función , que opera sobre una función y da como resultado otra función (habitualmente más simple). Suutilidad radica en que, como veremos el próximo curso, el signo de la derivada de una función en un punto

nos dirá si la función es creciente o decreciente en dicho punto; ello nos permitirá deducir, por tanto, losmáximos y mínimos de la función, algo muy importante en infinidad de funciones extraídas de situacionesreales: pensemos en una función que represente los beneficios de una empresa, o el coste de fabricación deun determinado producto, etc.

Concepto previo: pendiente de una rectaPara entender qué es la derivada necesitamos repasar previamente en qué consistía la pendiente de

una recta (tema 2):

La pendiente de una recta, que suele llamarse m, mide lainclinación de ésta, y se define (ver figura) como el cociente incrementalsiguiente:

α=∆

∆= tg

xy

m (1)

Derivada de una función en un punto f‘(a):

Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica(ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a lavariable independiente x un pequeño incremento h (en el dibujolo hemos exagerado, para que se pueda ver la situación…); porlo tanto, nos desplazaremos a un nuevo punto Q de la curvapróximo. Consideremos la tangente del ángulo que forma elsegmento PQ con la horizontal:

h)a(f)ha(f

tg −+

=α (2)

Si h → 0, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva f(x) en x=a, es decir, losángulos α y α 0 tenderán a ser iguales:

Debido a (1), la fórmula anterior -que en el fondo es un cociente incremental - nos da por tanto la pendientede la recta tangente a la curva en x=a. Esta fórmula se conoce como derivada de la función f(x) en el puntox=a, y se designa como f ’(a); por lo tanto:

«La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dichopunto» , y se calcula mediante el límite dado por (3)

0 h 0 h 0

f(a h) f(a)tg lim tg lim f '(a)

h→ →

+ −α = α = =

por (2) por definición

(3)

α

α

∆ y

∆ x

α

a a+h

h

f(a) f(a+h)

P Q α 0

f(x)

r






Observaciones:1º) La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo, negativo o cero. Como

veremos el próximo curso, su signo indicará el crecimiento de la función.

2º) Veamos una expresión alternativa para calcular la derivada:Supongamos que hacemos el cambio de variable a+h=x ⇒ si h → 0, entonces x → a, con lo cual (3) quedacomo:

x a

f(x) f(a)f '(a) lim

x-a→

−= (4)

Esta fórmula es, sin duda, más cómoda que (3), y es la que más usaremos.

Ejercicios final tema: 1, 2 y 3

II) FUNCIÓN DERIVADA f´(x)Supongamos que nos piden la derivada de una función en, por ejemplo, diez puntos distintos.

¿Haremos diez límites? Es evidente que no; para evitar tanto trabajo, vamos a definir la función derivada, quese designa como f ’(x), y es la derivada en un punto genérico x (y sustituiríamos a continuación en ella cadauno de los diez puntos); por lo tanto, se obtendrá reemplazando en (3) a por x:

h 0

f(x h) f(x)f '(x) lim

h→

+ −= (5)

Observaciones:1º) La función derivada, es decir, el límite anterior, da como resultado una función. Habitualmente

abreviaremos diciendo simplemente “derivada” en vez de “función derivada”.

2º) La notación que nosotros seguiremos será la siguiente:

Si la función a derivar se llama f(x), entonces su derivada la denotaremos como f ’(x)

“ “ “ “ “ “ “ y, “ “ “ “ “ y’

Utilizaremos indistintamente ambas notaciones.


III) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES (Tabla de derivadas)

III.1) Función constante: Es decir, «La derivada de una constante es siempre cero»

NOTA: Esta derivada, y todas las de este apartado, pueden ser demostradas, pero ello excede los límites deeste curso. Todas estas reglas de derivación están recogidas en la tabla de derivadas que se adjunta alfinal del cuaderno.

Ejercicio 1: Hallar la derivada de las siguientes funciones constantes:

a) y = 2 b) y = -3

0'yKy =→=






c) 2

1y =

d) y = 0

e) 2

3

y =

f) y = π

g) y=0,5

III.2) Función identidad: 1'yxy =→=

III.3) Función de proporcionalidad directa: k'yK·xy =→=

Ejercicio 2: Hallar la derivada de las siguientes funciones de proporcionalidad directa:

a) y = 2x

b) f(x) = -5x

c) y = 0,01x

d) 2

yx

=

e) y = x

f) 2

f(x) x3=

g) y = -x

h)3

5xy −=

i) f(t) = 7t

III.4) Derivada de una potencia: n n 1y x y' n·x −= → = (donde n ∈ R )

Ejercicio 3: Hallar la derivada de las siguientes potencias:

a) y=x 2

b) f(x)=x3

c) y=x4

d) f(t)=t5

e) y=x 100

Este caso nos permite, dado que el exponente puede ser cualquier número real, abordar otros tipos dederivadas:

Ejercicio 4: Demostrar la fórmula de la derivada de: a) x1

y = b) xy =

a)

b)






Ejercicio 5: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones, pasándolas previamente a forma depotencia:

a) 3 xy = 3 2

1Sol : y ' =

3 x ( )

b) 4 3y x= 4

3 Sol : y ' =

4 x ( )

c) 5 2f(x) x= 5 3

2 Sol : y ' =

5 x ( )

d) xxy 2= 3 5 Sol : y ' = x

2 ( )

e) 3

1f(x)

x= −

3 4

1Sol : y ' =

3 x ( )

f) 3

xy

x= −

7

5 Sol : y ' =

2 x ( )

III.5) funciónesudonde 'k·u'yK·uy =→= , es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir

de la derivada»Ejercicio 6: Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

a) y = 3x 2

b) y = 4x 3

c) f(x) = -2x4

d)

2xy 2

=

e) y = -x5

f) 62y t

3=

g) y = -x

h)3 4

y 3 x= 3

Sol : y ' = 4 x ( )






i) 4 x

f(x)2

= 4 3

1Sol : y ' =

8 x ( )

j)

43xy 2= −

k) f(t) = -2t7

l)3x

f(x)3

=

m) 5y 2x x= 512

Sol : y ' = x 5

( )

III.6) Derivada de la suma (resta): funcionessonydonde v'u''yvuy vu±=→±=

Es decir: «La derivada de la suma (resta) es la suma (resta) de las derivadas»

NOTA: Esta regla, lógicamente, se puede generalizar a más de dos sumandos.

Esta regla, combinada con las anteriores, es muy útil para derivar polinomios, como puede verse en elsiguiente ejemplo:

Ejercicio 7: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones:

a) f(x) = x 2 + x 3

b) y = x 4 + 5

c) y = x 2 – 2

d) y = x – 2

e) f(t) = 3t – 5

f) y = 3x 2 – x 4

g) y = 2x 3 – 3x 4

h) s(t) = 2t 4 – t 2 + 3

i) y = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

j) y = x 3 – 3x 2 + 5x – 8

k) f(x) = –3x 5 + 4x 3 – x + 2






l) y =2 (x 2 – x + 1)

m)4x

y 5x2

= + (Sol: 2x 3 +5)

n) 3 2x x x 1

y3 2 5 2

= − + − (Sol: x 2 - x+1/5)

o) y =3 (x 3 - 2 x2 + 5 )

p)4 3

5 2x x xf(x) x 3x

3 6 3= − + − +

q)4 2x x

y2

+=

(Sol: 2x 3 +x)

r) 2 xy 2 2x 1

2

= − − +

s) f(x) = 0,05x 3 – 0,001x 2 + 0,1x – 0,02

t)3

56x3x63xy

−+−=

(Sol: 6x 5 - x 2 +2)

III.7) Generalización de la derivada de una potencia a una función compuesta (Regla de lacadena):

En el apdo. III.IV vimos que n n 1y x y' n·x −= → = . Ahora vamos a generalizar esa fórmula para el caso en quela base no sea simplemente x sino una función más general, que llamaremos u:

'u·n·u'yuy 1nn −=→= (donde n ∈ R )

Esto se conoce como Regla de la cadena .

Ejercicio 8: Hallar, utilizando la regla de la cadena, la derivada simplificada de las siguientes funciones:

a) ( )3y 2x 1= +

b) ( )42y 3x 5= −

c) ( )23 2y 4x x= − +






d) ( )5y x 7= −

e) ( )22y x x 1= + +

f) ( )2y 2 x 3= −

III.8) Derivada del producto: y u · v y' u'v u v'= → = +

Esta regla se puede generalizar a tres o más funciones: y u · v · w y' u'v w u v' w u v w'= → = + +

NOTA: Para derivar un producto, una alternativa, a veces, es operar previamente hasta transformar en unpolinomio, y luego derivar.

Ejercicio 9: Hallar, utilizando la fórmula más adecuada en cada caso, la derivada simplificada de lassiguientes funciones:

a) y = (2x+3)(3x -2) [de 2 formas, y comparar]

(Sol: 12x+5) b) y = (x -2)(x+3)

(Sol: 2x+1)

c) f(x) = (2x+3)(x -5)(Sol: 4x -7)

d) f(x) = (x 2+2)(3x -1)(Sol: 9x 2 -2x+6)

e) y = (x 2-5)(3x -1)+7(Sol: 9x 2 - 2x -15)

f) y = (2x -3)2 [de 2 formas]

(Sol: 8x -12)

g) f(x) = (x+2) 3

( Sol: 3(x+2) 2 )

h) y = (1,2 -0,001x 2) x(Sol: -0,003x 2 +1,2)

i) y = (2x 2-3)2

(Sol: 16x 3 - 24x)








f)2x 1

f(x)x 1

−=

+

( y'=1 )

g) 2x1x

3y2

−

−=

( ( )−

−

2

2

x 4x +1 y ' = 3

x 2 )


NOTA: Lo que hemos calculado hasta ahora es la función derivada de una función dada, o más comúnmentellamada derivada de una función. Por lo tanto, por tratarse de una función, podemos también evaluar laderivada en un punto dado, obteniendo como resultado un número. Es lo que se conoce como derivada deuna función en un punto , ya visto en el apartado I. Veamos, a continuación, un ejemplo:

Ejercicio 12: Para cada una de las funciones que figuran a continuación, hallar el valor de su derivada en elpunto indicado:

a) f(x)=x2 en x=2

b) f(x)=2x-5 en x=1

c) y=x 3 en x= -2

d) f(x)=x2+x+1 en x=0

e) y=x2-x en x= -1








a) y=x2 b) y=x3 c) y=3x4 d) y=-2x5 e) 4x23y =

f) 4xy

2= g) xy = h) 3y x= i) 3 2xy = j) 4 3x2y =

k)

x

1y = l) 2y x x= m) 2

x

xy = n) y=-2x6 o) 4xy

8=

p) x2y = q) 5 3x3y= r) xxy =

( Soluc: a) y’=2x; b) y’=3x 2 ; c) y’=12x 3 ; d) y’=-10x 4 ; e) y’=6x 3 ; f) y’=x/2; g) x 2

1 y '

= ; h)

x 2 3

y '

= ; i) 3 x 3

2 y '

= ;

j) 4 x 2

3 y '

= ; k) x 2

x

- 1

y '

= ; l) = 3 5 ' x

2 ; m)

3 2 x

x 3 - y '

= ; n) y’=-12x 5 ; o) y ’=2x 7 ; p) x

1 y '

= ;

q) 5 2 x 5

9 y '

= ; r) 2 2

x

x - y '

= )

8. Utilizando la fórmula de la derivada de la suma de funciones, hallar la derivadasimplificada de lassiguientes funciones:

a) y=x2+x+1 b) y=2x3-3x2+5x-3 c) 15x

3xy

2+−= d) x2xxy 4 33 +−=

( Soluc: a) y’=2x+1; b) y’=6x 2 -6x+5; c)5 1

x 3 2

y '

−= ; d)x

1

x 4

3

x 3

1 y '

4 3 2 +−= )

9. Utilizando en cada caso la fórmula más apropiada de la tabla de derivadas, hallar la derivadasimplificada de las siguientes funciones compuestas:

a) 2x1y = b) 32xx 1y 2 −+= c) 1xy 2 += d) 22 3)(xy −= e) 32y x

=

f) 32 1)x(xy ++= g) 3 32xy 3−= h) 4x

1y2 +

= i) 102 1)3(xy += j) 42 1)2(3xy −=

k) 32 1)(x

2y+

=

( Sol: a) −=

3

2 y'

x ; b)

2 2 3 )

2 x

(x 2 2

x y '

−+

+−= ; c)

1 x

x y '

2 += ; d) y’=4x 3 -12x; e)

−=

4

6 y'

x ; f) y’=3(2x+1)(x 2 +x+1) 2 ;

g) = −

2

3 2 3

2x y' (2x 3 ); h)

−

= +2 3

x y' (x 4 ); i) y’=60x(x

2

+1)9

; j) y’=48x(3x 2 -

1)3

; k) 4 2 1 )

(x 1

2 x

y '

+

−= )

10. Ídem:

a) 3y x x= b) 5)3)(x(2xy 2 −−= c) 32 xxy = d) 4 3x3)(2xy −= e) 22 3)1)(x(2xy −+=

f)2

1x1xy

+

=

( Soluc: a) = 3 5 ' x

2 ; b) y’=6x 2 -6x -10; c) 3 4 x

3 7

y '

= ; d) −=

4

14x 9 y'

4 x ; e) y ’=10x 4 +4x 3 -36x 2 -12x+18;

f) −

3

3x +1 y' =

2 (x + 1 ) x )






11. Utilizando la fórmula para el cociente de funciones, hallar la derivadasimplificada de las siguientesfunciones:

a)2x5xy

2

+

−= b) 2

xyx

= c) 5x

2xy 2 −

+= d)

22 1)(2x3xy

+= e)

1xxy

2

+=

( Sol: a) 2

2

2 )

(x 5 4

x x

y '

+

++= ; b)

= −

2

3 y'

2x x ; c)

2 2

2

5 )

(x 5 4

x x

y '

−

++−= ; d)

−=

+

2

2 3

3 18x y'

(2x 1 ); e) +

=+ +

2 3x 4x y'

2 (x 1 )x 1 )

12. Derivar las siguientes funciones, utilizando en cada caso el procedimiento más apropiado, ysimplificar:

a)2

2x 1y

x+

= b) 22x 3x +1y

x−

= c)

x 1y1 x

+=

− d)

2xyx

= e) 4 23x 2x 5y

2− +

=

f) ( )

52y 3x 5= + g)

22xy

x x 1=

+ +

( Sol: a) −

3

2 y' = x ; b)

−=

2

2

2x 1 y' x ; c) ( )

2=

− 2 y' 1 x ; d) =

3 x y' 2 ; e) −

3

y' = 6x 2x ; f) ( )4 2

y' = 30x 3x + 5 g)

( )−

=2

2 2

2x + 2 y'

x + x + 1 )

13. Hallar la fórmula para la derivada de e , siendo u, v y w funciones.uyv w

=·

u vyw

=·



ESTADÍSTICAUNIDIMENSIONAL










I) INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES La Estadística es la rama de las Matemáticas que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener

inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Es una ciencia relativamente reciente, pues sus orígenesse remontan al siglo XVIII. Pero su implantación hoy en día es muy acusada:

− Se diseñan encuestas para recopilar información previa al día de elecciones y así predecir elresultado de las mismas.

− Se seleccionan al azar consumidores para obtener información con el fin de predecir la preferenciacon respecto a ciertos productos y/o servicios.

− Los economistas consideran varios índices de la situación económica durante cierto periodo yutilizan la información para predecir la situación económica futura.

− Su utilidad es evidente también para los asesores financieros que han de evaluar las oportunidadesde inversión a través de las bolsas de valores.

− Los portales de apuestas deportivas online recurren a la Estadística para, de acuerdo con todos los

datos hasta la fecha, determinar el nivel de confianza de cada una de los posibles resultados.La Estadística se divide en dos grandes ramas:

− La Estadística Descriptiva se dedica a recolectar, ordenar, analizar y representar un conjunto dedatos, con el fin de describir apropiadamente las características de éstos. Utiliza para ello lasllamadas «medidas de centralización», que veremos en el apartado IV. Esta es la que estudiaremoseste curso.

− La Estadística Inductiva o Inferencial tiene como objeto obtener conocimientos sobre un colectivo,utilizando para ello las observaciones de una muestra, para sí poder inferir resultados1. En esteproceso se utiliza el cálculo de probabilidades. Todo esto lo veremos el próximo curso.

Para todo lo anterior, la Estadística trabaja con una serie de aspectos, cualidades o propiedades de losindividuos de la población, llamadoscaracteres ; los valores que recorre un determinado carácter se llamanvariables estadísticas. Pueden ser de varios tipos:

Población es el conjunto de elementos que se investigan,muestra es una parte representativa de lapoblación, eindividuo es cada uno de los elementos que forman la población.

Ejemplo 1: Una población puede ser los 90 individuos de los tres grupos de 1º de Bachillerato de un centro.Para estudiarla con mayor comodidad, podemos tomar una muestra formada por los 5 primeros

1 Es decir, pretende tomar como generales propiedades que sólo se han verificado para casos particulares. Las preguntastípicas que se hace la Estadística Inferencial son: ¿Cómo se elige la muestra? ¿Qué grado de confianza tiene el resultadoobtenido? Por el contrario, la Estadística Descriptiva no intenta extraer conclusiones para un grupo mayor.

variables

cuantitativas : son medibles, es decir, sedescriben mediante números

discretas : sólo toman valores puntuales(p. ej. número de hijos, tallade ropa, etc.)

continuas : puede tomar cualquier valorentre dos cualesquiera (p. ej.estatura, peso, edad, etc.)

cualitativas : no son medibles, por lo que se describen mediante “modalidades” (p. ej.color del pelo, sexo, estado civil, etc.). También se llaman atributos .








Ejemplo 3: En la misma clase del ejemplo anterior los 20 alumnos presentan las siguientes estaturas (en cm):

164 175 165 170 168 157 167 172 177 160168 160 164 174 170 182 161 171 173 194

Nótese que hemos indicado los valores mínimo y máximo subrayados. La variable que vamos a estudiarahora es la estatura (variable cuantitativa). Para confeccionar la tabla utilizaremos intervalos de amplitud 10 –llamadosintervalos de clase –, comenzando por 155:

Estatura (cm) f i Fi hi Hi

[155-165) 6 6 0,30 0,30

[165-175) 10 16 0,50 0,80

[175-185) 3 19 0,15 0,95

[185-195] 1 20 0,05 1

Σ =20 Σ =1

Adviértase que en cada intervalo de clase se incluye el extremo inferior pero no el superior, salvo en elúltimo. El punto medio de cada intervalo se llamamarca de clase , y lo denotaremos porxi.

¿Cuándo utilizar un tipo de tabla u otro?:1º) Tablas con los valores de la variable individualizados (como en el ejemplo 2):cuando , ya sean

pocos o muchos datos, la variable toma pocos valores diferentes (es decir, los valores se repitenmucho).

2º) Tablas con los valores de la variable agrupados en intervalos de clases (como en el ejemplo 3):cuando el número de datos y de valores diferentes que toma la variable son grandes . Con elloperderemos algo de información pero ganaremos en claridad…

En este último caso, ¿cuántos intervalos de clase utilizar? Existe un criterio orientativo según el cual elnº de clases debe ser aproximadamente igual a la√ del número de datos:

nº clases N= (3)

En el ejemplo anterior sería√ 20≅4,47, es decir, 4 intervalos vendrían bien. A continuación, sedetermina la amplitud de los intervalos teniendo en cuenta los valores mínimo (157 cm) y máximo(194 cm) de la distribución:

194cm 157cm 37cm 9,25cm / intervalo4intervalos 4intervalos

−= ≅ (4)

de modo que 10 cm por intervalo es lo apropiado. A la hora de decidir dónde comienza el primerintervalo se recomienda que, finalmente, los extremos de los intervalos no coincidan con ninguno delos datos.

Nótese que en la práctica el elegir un tipo de tabla u otro puede ser relativo: ¿qué se entiende por “pocosdatos”? Veremos que una misma distribución se puede estudiar con dos tablas no necesariamente iguales, ylas dos pueden ser perfectamente válidas.

También, téngase en cuenta que en ciertos casos los intervalos no tienen por qué ser necesariamente deigual amplitud (véase el ejemplo 4)







III) REPRESENTACIONES GRÁFICASIII.1) Diagrama de barras/Histograma

Consideremos la distribución del ejemplo 2. En unos ejes cartesianos situamos en el eje horizontal lasedades y en el vertical la frecuencia absoluta fi. Levantamos, a continuación, barras cuya altura es lafrecuencia. Obtendremos así undiagrama de barras 3:

Si hacemos lo propio con el ejemplo 3 pero, esta vez, dando a las barras el ancho de los intervalos,obtendremos unhistograma :

¿Cuál es la diferencia entre el diagrama de barras y el histograma?− El diagrama de barras visualiza las frecuencias como alturas, y se utiliza para variables discretas (y

también para cualitativas)− En el histograma el área de cada rectángulo representa la frecuencia correspondiente, y se utiliza

para datos agrupados en intervalos.

3 Obviamente, la idea de representar gráficamente los datos de la distribución es poder visualizar mejor ésta. Por tanto, sise trata de pocos datos, no tiene sentido ni tabularlos ni hacer una gráfica: basta con presentarlos ordenados.

Edad (años) f i

16 13

17 3

18 3

19 1

Σ =20

Estatura (cm) f i

[155-165) 6

[165-175) 10

[175-185) 3

[185-195] 1

Σ =20

Edad

f i

Estatura (cm)

155 165 175 185 195

f i

DIAGRAMA DE BARRAS DEFRECUENCIAS ABSOLUTAS

HISTOGRAMA DEFRECUENCIAS ABSOLUTAS








Observaciones:1º) En los ejemplos anteriores lo que se representaba era la frecuencia absoluta. Pero, evidentemente,

también existen diagramas de barras o histogramas de frecuencias relativas, de frecuenciasacumuladas, polígonos de frecuencias absolutas o relativas acumuladas, etc. Por ejemplo, en elcaso del ejemplo 2:

2º) En el caso de datos agrupados en intervalos, más adelante explicaremos cómo obtener el polígonode frecuencias (absolutas o relativas) acumuladas, el cual se utiliza para hallar gráficamente lamediana.

3º) Obviamente, si la variable es cualitativa, no tienen sentido los gráficos acumulativos….

III.3) Gráfico de sectores Si dividimos un círculo en sectores circulares de área 5 proporcional a cada frecuencia absoluta

fi, obtendremos ungráfico de sectores . Vamos a obtener, mediante regla de tres, la fórmula que nos indiquecuántos grados ααα α i corresponden a cada sector:5 Lógicamente, si el área del sector circular es proporcional a fi, también lo será su amplitud.

Edad

f i

Estatura (cm)155 165 175 185 195

f i

a i

5 7 9 10

Calificaciones

F i

HISTOGRAMA y POLÍGONOde FRECUENCIAS

ABSOLUTASHISTOGRAMA y POLÍGONO

de FRECUENCIASABSOLUTAS

DIAGRAMA de BARRAS yPOLÍGONO de

FRECUENCIAS ABSOLUTAS

DIAGRAMA de BARRAS yPOLÍGONO de FRECUENCIASABSOLUTAS ACUMULADAS

Edad






(6)

Vamos a aplicarla al caso concreto del ejemplo 4:

Nótese que, si la tabla está bien confeccionada, obviamente todos losα i sumarán 360º. Además, sesuele indicar el % que corresponde a cada sector.

Por último, conviene indicar que, en el caso de variables cualitativas, existen otros tipos alternativos derepresentaciones gráficas (si bien, las dos primeras obedecen más a fines de tipo publicitario que aconsideraciones de tipo matemático…):

− pictograma : en lugar de una barra se utiliza una figura alusiva de altura o tamaño proporcional a la

frecuencia. P. ej. para indicar la producción de automóviles de distintos países. Tiene elinconveniente de ser poco preciso.− cartograma : es un mapa coloreado en distintos tonos y colores con una leyenda al margen que

indica su significado.− diagramas de columnas apiladas : p. ej. la misma columna se divide en porcentaje de hombres y

mujeres.− pirámide de población : es un tipo de gráfico muy conocido pues se utiliza mucho en Ciencias

Sociales para cuestiones demográficas.

CUADRO-RESUMEN:


Calificación fi hi ααα α i=hi · 360º

[0-5) 2 0,10 36º

[5-7) 5 0,25 90º

[7-9) 11 0,55 198º

[9-10] 2 0,10 36º

Σ =20 Σ =1 Σ =360º

variable

cuantitativa :

discreta : diagrama de barras ↔ polígono de frecuenciasdiagrama de sectores

cualitativa : diagrama de barras (¡nunca frecuencias acumuladas!) ↔ polígono de frecuenciasdiagrama de sectorespictogramas, cartogramas, pirámides de población…

continua : histograma ↔ polígono de frecuenciasdiagrama de sectores

ii i

i i

360º N f 360º h 360ºf N

→ ⇒ α = =

α →· ·

N

f i

ααα α i






IV) MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL(media, mediana, moda)

IV.1) Media aritmética Se define como lasuma de todos los valores x i dividida por el número de valores, N. Se designa

como :n

ii 1

_ xx

N=

=

∑ (7)

Esta es la típica fórmula que se utiliza, por ejemplo, para calcular la nota media de una serie deexámenes. Ahora bien, en general, cada valorxi se repetirá con una frecuenciafi. En ese caso, la fórmulasería:

n

i ii 1

_ f xx

N=

=

∑ (8)

Observaciones:1º) En el caso de valores agrupados en intervalos,xi indica la marca de clase, es decir, el punto

intermedio de cada intervalo.

2º) Obviamente, no existe la media si los datos son cualitativos. Ni tampoco si los datos estánagrupados y alguna clase está abierta (p. ej. si en una encuesta el último grupo fuera “mayores de60 años”)

3º) La media es el centro de gravedad de la distribución; es decir, si las barras tuvieran pesorepresentaría el punto donde habría que sostener la base del diagrama para que no se venciera.

Vamos a ver cómo se calcula la media en los ejemplos 2 y 3:

Edad (xi) fi fi xi

16 13 208

17 3 51

18 3 54

19 1 19

Σ =20 Σ =332

Obsérvese que es fundamental no olvidarse de indicar las unidades.

IV.2) Mediana Es un valor tal que la mitad de los valores son menores o iguales que él, y la otra mitad mayores

o iguales . Se representa comoMe. Para calcularla, cabe distinguir tres posibles situaciones:

1º) Distribuciones con pocos valores , es decir, series estadísticas: Se ordenan crecientemente dichosvalores, y la mediana será el valor central (si el número de datos es par, se toma la semisuma de losdos centrales).

Estatura (cm) x i fi fi xi

[155-165) 160 6 960

[165-175) 170 10 1700

[175-185) 180 3 540

[185-195] 190 1 190

Σ =20 Σ =3390

_ __ _xxxx

n

i ii 1

_ f x 332x 16,6 añosN 20

== = =

∑n

i ii 1

_ f x 3390x 169,5 cmN 20

== = =

∑






Ejemplo 5: Los sueldos mensuales (en €) de 7 trabajadores de una empresa son los siguientes:

3000 915 650 825 700 775 1580

Si calculamos la media (1206,43 €) observamos que no es muy representativa de losdatos de esta distribución, ya que éstos se encuentran muy dispersos. Obtengamos lamediana:

650 700 775 825 915 1580 3000

El valor obtenido, 825 €, sí es representativo de la mayoría de los datos.

2º) Variable discreta (como en el ejemplo 2): construimos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas,Fi, calculamos N/2 y buscamos los valores de Fi que verifiquen:

i 1 iNF F2−

< < (9)

La mediana será entonces el valor xi de la variable correspondiente a Fi, es decir, el primer valor dela variable cuya Fi excede a N/2.

NOTA: Si coincide i 1 iNF F2−

= < , se toma i 1 ie

x xM2

− +

= (10)

Ejemplo 2:

Me=16 años

3º) Variable agrupada en intervalos (como en el ejemplo 3): como en el caso anterior, construimos latabla de frecuencias absolutas acumuladas, Fi, calculamos N/2 y buscamos los valores de Fi queverifiquen:

i 1 iNF F2−

< <

El intervalo mediano –es decir, en el que está la mediana– será entonces aquel correspondiente a Fi.

NOTA: Si coincide i 1 iNF F2−

= < , se toma, como antes, i 1 ie

x xM2

− +

=

Ejemplo 3:

Edad (años) f i Fi

16 13 13

17 3 16

18 3 19

19 1 20Σ =20

Estatura (cm) f i Fi

[155-165) 6 6

[165-175) 10 16

[175-185) 3 19

[185-195] 1 20

Σ =20

N 102

=eM

N 102

=Intervalo mediano








10 6165 ·10 165 4 169cm10

−= + = + =

i-1i-1i-1i-1

e i -1 ie i -1 ie i -1 ie i -1 i

iiii

NNNN- F- F- F- F

2222M = L + · cM = L + · cM = L + · cM = L + · cf ff f

(11)

Observaciones:

1º) Curiosamente, la mediana depende del orden de los datos y no de su valor.

2º) La mediana se puede calcular, evidentemente, en distribuciones de tipo cuantitativo, pero tambiénen las de tipo cualitativo cuyas modalidades se pueden ordenar.

3º) Además de la mediana, existen otros parámetros de posición, como por ejemplo loscuartiles 7,percentiles 8, etc. cuyo cálculo es similar al de la mediana.

IV.3) Moda «Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia» . Se representa como Mo. Representa el

valor dominante de la distribución; por ejemplo, en unas elecciones la moda sería el partido más votado.

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Observaciones:

1º) La Mo existe siempre9, en cualquier tipo de distribuciones (cualitativas o cuantitativas).

2º) Vemos que en las que presentan los datos agrupados en intervalos se habla deintervalo modal oclase modal . Para este caso existe una fórmula –que sobrepasa las pretensiones del presente

7 El primer cuartil,Q1, deja el 25% de la población por debajo de él; por lo tanto, el Q2 coincide con la mediana. Y elQ3

dejará el 75 % de los individuos por debajo de su valor.8 El percentilpk es el que deja al k% de los individuos por debajo de él. Por ejemplo, Q1=p25, Me=p50, Q3=p75.9 Salvo el inusual caso en el que todas lasfi sean iguales…

clases f i Fi

Fi-1

[Li-1-Li) fi

Edad (años) f i

16 1317 3

18 3

19 1

Estatura (cm) f i

[155-165) 6

[165-175) 10

[175-185) 3

[185-195] 1

Intervalomediano

c i=L i L i 1

oM

Intervalo modal






curso–, del estilo de la vista para la mediana, para hallar en qué punto concreto del intervalo modalse halla la moda.

3º) En una distribución sólo hay una media y una mediana, peropuede haber más de una moda . Y notiene por qué situarse en la zona central.


V) MEDIDAS de DISPERSIÓN(recorrido, varianza, desviación típica) Tienen por objeto dar una idea de la mayor o menor concentración de los valores de una distribución

alrededor de los valores centrales.

V.1) Recorrido «Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de una distribución» .

Ejemplo 6: Las notas de los exámenes de Matemáticas de dos alumnos a lo largo del curso son:

Carlos: 5 7 7 7 9

Ana: 2 6 8 10 9

Puede comprobarse que ambos tienen la misma media, 7. Pero Ana tiene sus notas mucho másdispersas que Carlos:

Recorrido notas Carlos=9-7=2

Recorrido notas Ana=10-2=8

V.2) Varianza y desviación típica Antes de definir la varianza, conviene considerar en una serie de datos sudesviación respecto a la

media, que sería la diferencia entre cada dato y la media, en valor absoluto (para que siempre sea >0):

idi x x| |= − (12)

La varianza, V, se define como «la media aritmética de los cuadrados de las desviacionesrespecto a la media» :

( )n 2

i ii 1

f x xV

N=

−

=

∑ (13)

Observaciones:

1º) No es necesario el valor absoluto en las desviaciones ix x− , puesto que éstas están al cuadrado(es decir, son siempre positivas).

2º) Puede comprobarse10 que la fórmula (13) es equivalente a la siguiente:

n2

i i 2i 1f x

V xN

== −

∑ (14)

y esta es precisamente, por su comodidad, la más utilizada en la práctica.

10 Mediante demostración –no es muy complicada– o, más recomendable, comprobando con ejemplos concretosque ambas fórmulas conducen al mismo resultado.








Ejemplo 2:

Edad (xi) fi fi xi fi xi2

16 13 208 3328

17 3 51 867

18 3 54 972

19 1 19 361

Σ =20 Σ =332 Σ =5528

Ejemplo 3:

V.3) Obtención de los parámetros estadísticos con la calculadora Vamos a explicarlo para una Casio fx-82 MS, uno de los modelos más

extendidos entre los estudiantes12. Para cualquier otro modelo se sueleproceder de forma bastante análoga. Utilizaremos los datos delejemplo 3:

1º) Ponemos la calculadora en modo SD (estadístico): MODE 2

2º) Borramos, por precaución, los datos previos de la memoria:

SHIFT CLR 1 =

3º) Introducimos los datos:

160 x 6 DT 170 x 10 DT 180 x 3 DT 190 x 1 DT

NOTA: Podemos utilizar▲ y ▼ para ver los datos ya introducidos. Inclusopodemos modificar alguno y luego pulsar =, o borrar pulsando SHIFT CL

4º) SHIFT S-SUM 1→ Σxi2=575900 SHIFT S-VAR 1→ x=169,5

SHIFT S-SUM 2→ Σ fixi=3390 SHIFT S-VAR 2→ s=8,0467385

SHIFT S-SUM 3→ N=20


12 Puede descargarse el manual en https://www.dropbox.com/s/nr5qlmhcupv7t8s/manual_casio_fx_82_ms.pdf

Estatura (cm) x i fi fi xi fi xi2

[155-165) 160 6 960 153 600

[165-175) 170 10 1700 289 000[175-185) 180 3 540 97 200

[185-195] 190 1 190 36 100

Σ =20 Σ =3390 Σ =575900

n

i ii 1

n 2i i 2 2 2i 1

_ f x 332x 16,6 añosN 20

f x 5528V x 16,6 276,4 275,56 0,84 añosN 20

s 0,84 0,92años

=

=

= = =

= − = − = − =

= ≅

∑

∑

n

i ii 1

n2

i i 2 2 2i 1

_ f x 3390x 169,5 cmN 20

f x 575900V x 169,5 28795 28730,25 64,75 cmN 20

s 64,75 8,05cm

=

=

= = =

= − = − = − =

= ≅

∑

∑

xi fi












15 EJERCICIOS de ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

Conceptos. Definiciones:1. De los siguientes caracteres de una población, indicar razonadamente los que son cualitativos y los que

son cuantitativos:

a) Sexo

b) Nacionalidad

c) Edad

d) Número de hermanos

e) Color del pelo

f) Nota de Matemáticas

g) Estatura

h) Número de calzado

2. De las siguientes variables, indicar razonadamente las que son discretas y las que son continuas:

a) Número de vecinos de unedificio

b) Número de horas que undeterminado individuo ve latelevisión

c) Nota de Matemáticas en unexamen

d) Nota de Matemáticas en elboletín de notas

e) Contenido en cm 3 de una latade conservas

Pasos a seguir a la hora de abordar un ejercicio de Estadística:1º) ¿Cuál es la variable, x i? 2º) ¿Qué tipo de variable es: cuantitativa (discreta o continua) o cualitativa? 3º) Agrupar los datos en función del tipo de variable y empezar a construir la tabla estadística, adjuntando,

de momento, dos columnas: x i y fi.

4º) En función de lo que nos piden ( x , s, histograma, etc.) añadir las columnas necesarias: F i, H i, Σ fixi, Σ fixi2,

etc.

Frecuencias y tablas:3. El número de hermanos de 40 alumnos es:

3 4 2 3 4 3 4 4 4 2 3 4 4 3 4 1 2 3 5 4 2 2 2 5 3 4 4 6 2 6 4 3 2 1 2 3 2 4 3 1

a) ¿De qué tipo de variable se trata? Construir una tabla estadística en la que figuren todas las frecuencias.

b) ¿Cuántos alumnos tienen 5 o más hermanos? ¿Cuántos 3 o menos?

4. Se aplica un test de inteligencia para averiguar el cociente intelectual de 40 alumnos de 1º de Bachillerato,obteniéndose los siguientes resultados:

106 136 81 110 95 92 99 106 81 95

110 103 88 81 81 99 110 114 128 103 103 74 95 136 95 88 106 121 106 114 117 92 85 125 95 110 132 95 103 81






a) Razonar qué tipo de variable es. Construir una tabla estadística en la que figuren todas las frecuencias.

b) ¿Cuántos alumnos tienen un CI por debajo de 100?

c) Si se consideran superdotados a los que tienen CI>130, ¿hay alguno en clase?

d) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene de CI 110 o más?

Representaciones gráficas:

5. Construir el diagrama de barras y polígono de frecuencias absolutas, y el diagrama de sectores, de ladistribución del ejercicio 3.

6. Construir el histograma y polígono de frecuencias relativas, y el diagrama de sectores, de la distribución delejercicio 4.

Parámetros de centralización:

7. En la figura adjunta aparecen los resultados de la última jornadade la Liga de fútbol 2013-2014. Se pide:

a) Formar con los goles/partido una tabla estadística apropiadapara responder a los apartados siguientes.

b) Dibujar el diagrama de barras, polígono y diagrama desectores, todos ellos de frecuencias absolutas

c) Calcular la media de goles/partido, moda y mediana.

8. El número de horas de sol registradas en un determinado mes en

50 estaciones meteorológicas es:

83 82 78 72 107 107 93 72 85

98 71 76 75 83 72 126 102 76

112 99 155 118 150 129 119 148 181

151 167 156 180 173 149 80 131 121

110 200 162 214 176 186 187 186 141

212 186 199 198 219

a) Razonar de qué clase de variable se trata. Confeccionar una tabla estadística de cara a los siguientesapartados.

b) Dibujar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias absolutas acumuladas

c) Calcular la media de horas de sol, la moda y la mediana.

9. En la tabla figuran los datos de las pulsaciones de un equipo de atletismo después de una carrera:

Pulsaciones 70 -74 75 -79 80 -84 85 -89 90 -94 95 -99

Nº de atletas 3 3 7 10 12 8

a) ¿Qué tipo de variable es? Construir una tabla apropiada para lo que se pide a continuación.

b) Hallar la media. (Sol: ≅ 88,2 pulsaciones)






c) Hallar la mediana ¿Qué significa el valor obtenido? (Sol: ≅ 89,25 pulsaciones)

d) Hallar la moda.

e) Construir el histograma y el polígono de frecuencias absolutas.

10. A un conjunto de cinco notas cuya media es 7,31 se le añaden las calificaciones siguientes: 4,47 y 9, 15¿Cuál es la nueva media?

Parámetros de dispersión:

11. Los datos que siguen corresponden a las medidas del tórax, en cm, de cien hombres adultos. Construir latabla estadística necesaria para responder a las siguientes cuestiones:

a) Hallar la media.

b) Calcular la mediana. ¿Qué significado tiene el valor obtenido?

c) Hallar la moda.d) Obtener la desviación típica.

e) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

12. En un centro militar se ha tomado una muestra de 16 jóvenes, obteniéndoselas siguientes estaturas (en cm):

160 172,4 168 167 175 179 180 198164 166 174 177 182,5 185 191 173,5

a) Construir una tabla estadística apropiada.

b) Obtener el histograma y el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

c) Calcular la media, moda, mediana y desviación típica. (Sol: x ≅ 176,25 cm; M e =175 cm; s ≅ 9,9 cm)

13. Se han medido los pesos y las alturas de 6 personas, obteniéndose los datos siguientes:

Peso (kg) 65 60 65 63 68 68

Altura (cm) 170 150 168 170 175 180

a) ¿Qué medidas están más dispersas, los pesos o las alturas? Utilizar el coeficiente de variación.(Sol: Las alturas, puesto que CV a =5%>CV p =4%)

b) Comprobar lo anterior gráficamente.

14. La tabla siguiente nos da las puntuaciones obtenidas por un grupo de 20 alumnos en un test:

Puntuaciones 0-20 20 -40 40 -50 50 -60 60 -80 80 -100

Nº alumnos 3 6 5 3 - 3

Al mismo grupo de alumnos se le hace otra prueba y las puntuaciones obtenidas son:

10 11 20 5 10 8 11 12 5 9 14 11 3 9 11 12 11 8 9 11

a) ¿Qué datos se hallan más dispersos? Utilizar el coeficiente de variación.

Medida deltórax (cm)

Nº dehombres

[80,85) 4[85,90) 10

[90,95) 24

[95,100) 32

[100,105) 22

[105,110] 8









ESTADÍSTICABIDIMENSIONAL

Sir Francis Galton (1822-1911), matemáticoinglés que acuñó el término regresión.

MATEMÁTICAS CCSS I 1º BachilleratoAlfonso GonzálezIES Fernando de MenaDpto. de Matemáticas








I) INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES

Ejemplo 1: De la clasificación final de la Liga 2013-2014 consideramos lascolumnas de partidos ganados (G) y perdidos (P):

Se trata de una tabla de distribución bidimensional , pues contempla dosvariables, G y P, para cada equipo.

Ahora bien, podemos agrupar cada variable en una tabla de dobleentrada , p. ej. en intervalos de amplitud 5:

Por ejemplo, hay 2 equipos –Barcelona y R. Madrid– entre [25–30) ganados y [5–10) perdidos, hay 1 equipo –el Levante– entre [10–15) ganados y [10–15) perdidos, etc. Cada uno de estos valores, 1, 2…, sellama frecuencia absoluta bidimensional:

«Frecuencia absoluta bidimensional fi j es el número de veces que aparece cada par (x i,y j) de lasvariables».

Lógicamente, «la suma de las frecuencias absolutas bidimensionales es igual al número total deelementos, N», en este ejemplo, 20:

i jf N=∑ (1)

«Distribución bidimensional es aquella en la que, para cada elemento, se consideran los valorescorrespondientes a dos características distintas» (partidos ganados y perdidos en este caso). Una tablade doble entrada como la anterior, que contiene las frecuencias correspondientes a las dos variables

PJPJPJPJ GGGG EEEE PPPP PtPtPtPt

1 Atlético 38 28 6 4 90

2 Barcelona 38 27 6 5 87

3 Real Madrid 38 27 6 5 87

4 Athletic 38 20 10 8 70

5 Sevilla 38 18 9 11 63

6 Villarreal 38 17 8 13 59

7 R. Sociedad 38 16 11 11 59

8 Valencia 38 13 10 15 49

9 Celta 38 14 7 17 49

10 Levante 38 12 12 14 4811 Málaga 38 12 9 17 45

12 Rayo 38 13 4 21 43

13 Getafe 38 11 9 18 42

14 Español 38 11 9 18 42

15 Granada 38 12 5 21 41

16 Elche 38 9 13 16 40

17 Almería 38 11 7 20 40

18 Osasuna 38 10 9 19 39

19 Valladolid 38 7 15 16 36

20 Betis 38 6 7 25 25

G 28 27 27 20 18 17 16 13 14 12 12 13 11 11 12 9 11 10 7 6P 4 5 5 8 11 13 11 15 17 14 17 21 18 18 21 16 20 19 16 25

Perdidos[0-5) [5-10) [10-15) [15-20) [20-25]

G a n a

d o s

[5-10)ElcheValladolid 2 Betis 1

[10-15) Levante 1

ValenciaGetafeCeltaMálaga 6 EspañolOsasuna

RayoAlmería 3 Granada

[15-20)SevillaReal Soc. 3 Villarreal

[20-25) Athletic 1

[25-30] Atlético 1 BarcelonaR. Madrid 2






consideradas, se denomina tabla de contingencia . Se aplican tanto a variables cuantitativas (ejemploanterior) como cualitativas.

Dividiendo cada frecuencia absoluta bidimensional por el número total de elementos, N , seobtienen las frecuencias relativas bidimensionales , h i j:

Se trata de las frecuencias en tanto por uno. Multiplicándolas por 100 las tendremos en %. Por ejemplo,el valor 0,3 significa que el 30% de los equipos (es decir, 6 en total) han ganado entre [10-15) partidos yperdido entre [15-20).

NOTA: Las tablas de doble entrada se utilizan cuando el número de datos, N, es grande, en cuyo casose agrupan en intervalos . Cuando el número de observaciones es muy pequeño, se considera unatabla simple de dos filas como la del principio del tema. Esto último será lo habitual.

Ejercicio 1: Clasificar los datos del ejemplo anterior en intervalos de amplitud 10. Obtener las frecuenciasabsolutas y relativas bidimensionales.

II) FRECUENCIAS y GRÁFICOSFrecuencias marginales

Si en la tabla de doble entrada sumamos las frecuencias por filas y por columnas obtenemos unanueva fila y una nueva columna que representan las frecuencias absolutas marginales, f i y fj:

Perdidos[0-5) [5-10) [10-15) [15-20) [20-25]

G a n a

d o s

[5-10) 0,1 0,05

[10-15) 0,05 0,3 0,15

[15-20) 0,15

[20-25) 0,05

[25-30] 0,05 0,1

Perdidos[0-5) [5-10) [10-15) [15-20) [20-25]

G a n a

d o s

[5-10) 2 1 3

[10-15) 1 6 3 10

[15-20) 3 3

[20-25) 1 1

[25-30] 1 2 3

1 3 4 8 4 Σ =20

f i

f j






Vemos que, lógicamente, la suma de ambas frecuencias absolutas marginales coincide con la suma delas frecuencias bidimensionales:

i j i jf f f N= = =∑ ∑ ∑ (2)

Estas frecuencias marginales tienen en cuenta una sola variable, por lo que se puede construir con ellassendas distribuciones unidimensionales y obtener parámetros representativos (De hecho, en el apartado IVveremos que es necesario calcular alguno de ellos), como hacíamos en el tema anterior:

Partidosganados f i

[5,10) 3

[10-15) 10

[15-20) 3

[20-25) 1

[25-30] 3

Σ =20

Ahora bien, en la práctica veremos que esto se hace en una sola tabla, de doble entrada. Es decir, noes necesario separar en dos tablas. Además, recordemos del tema anterior que la media y desviación típicasólo se pueden obtener 1 en el caso de variable cuantitativa. En el caso de variable cualitativa sólo podemosobtener porcentajes. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2: Los 20 alumnos de 1º de Bachillerato A se clasifican por sexo y color de pelo de acuerdo con losdatos de la siguiente tabla de doble entrada, en la que también hemos reflejado los porcentajes:

Se pueden construir diagramas de barras de frecuencias absolutas bidimensionales agrupadaspor una u otra variable:

1 En el caso de distribuciones bidimensionales no se puede calcular la mediana, y la moda no tiene sentido.

Partidosperdidos f j

[0-5) 1

[5-10) 3

[10-15) 4

[15-20) 8

[20-25] 4

Σ =20

PeloMoreno Castaño Rubio f i %

S e x o

Chica 5 2 4 11 55

Chico 4 5 9 45

f j 9 7 4 Σ =20

% 45 35 20 Σ =100

G

G

_ x 15, 25 partidoss 6,22 partidos

=

≅

P

P

_ x 15, 25 partidoss 5,58 partidos

=

≅






«Las frecuencias absolutas marginales divididas por el total de observaciones, N, nos dan lasfrecuencias relativas marginales, h i y h j»:

Vemos que, por ejemplo, el 20% de la clase son chicos morenos.

Frecuencias condicionadasSupongamos que nos planteamos preguntas de este estilo: ¿Qué % de alumnos de pelo moreno son

chicas? ¿Qué % de chicas tienen el pelo moreno?, etc.

En primer lugar, si para cada color de pelo (TOTALES) calculamos las frecuencias relativas, seobtienen las frecuencias relativas condicionadas al color del pelo:

Por ejemplo, del total de alumnos castaños, el 29%son chicas y el 71% chicos.

Pero también podemos hallar, para cada sexo, las frecuencias relativas, obteniéndose así las frecuencias relativascondicionadas al sexo:

Del total de chicos, el 44% son morenos y el 56% castaños.No hay rubios

«Las frecuencias relativas condicionadas nos permiten conocer el % de los valores de una variablecondicionada a cada valor de la otra variable ».

Observación: Las frecuencias condicionadas son siempre relativas.

Ejercicio 2: Responder a las dos preguntas del comienzo de este epígrafe, y a otras que formule el profesor.

PeloMoreno Castaño Rubio h i

S e x o Chica 0,25 0,1 0,2 0,55

Chico 0,2 0,25 0,45

h j 0,45 0,35 0,2 Σ =1

Moreno Castaño Rubio

Chica 5 /9= 0,56 2 /7= 0,29 4 /4= 1

Chico 4 /9= 0,44 5 /7= 0,71

Σ =1 Σ =1 Σ =1

Moreno Castaño Rubio

Chica 5/11= 0,46 2 /11= 0,18 4 /11= 0,36 Σ =1

Chico 4 /9= 0,44 5 /9= 0,56 Σ =1

TOTALES

TOTALES






RESUMEN: Hemos visto 5 tipos de frecuencias:

Frec. absoluta bidimensional: i jf Frec. relativa bidimensional: i j

i j

fh

N=

Frecs. absolutas marginales: if y jf Frecs. relativas marginales: i

i

fh

N= y

j j

fh

N=

Frecs. relativas condicionadas: Son relativas al total de cada variable.


III) NUBE de PUNTOSSobre unos ejes cartesianos vamos a representar los puntos (G,P) del ejemplo 1:

Esta representación gráfica del conjunto de pares de valores (x 1,y1), (x 2,y2), (x 3,y3), …, (x n,yn) recibe elnombre de nube de puntos o diagrama de dispersión. La nube de puntos es la representación gráfica delas distribuciones bidimensionales cuando el número de datos es pequeño y, por lo tanto, no estánagrupados en intervalos. Lógicamente, siempre va a ser posible en el caso de variables cuantitativas (si almenos una de las dos variables es cualitativa, no será posible). Pero si se trata de una distribución cuyosdatos estén agrupados en intervalos la opción 2 es asignar a cada dato un punto de tamaño proporcional a sufrecuencia. o bien poner agrupados tantos puntos como indique la frecuencia.

La relación que existe entre las variables partidos ganados, G, y perdidos, P, no es de tipo funcional 3 – es decir, no sigue ninguna ley o fórmula– sino estadística.

2 Otra opción –complicada– es hacer un estereograma, levantando barras de alturas proporcionales a cada frecuencia.3 Una relación funcional sería, por ejemplo, el espacio s recorrido por un automóvil que viaja a 90 km/h y el tiempo t

empleado: s=90t.

G 28 27 27 20 18 17 16 13 14 12 12 13 11 11 12 9 11 10 7 6P 4 5 5 8 11 13 11 15 17 14 17 21 18 18 21 16 20 19 16 25

G

P






La nube de puntos nos permite apreciar si hay una mayor o menor relación o dependencia entre lasvariables. En el ejemplo anterior se observa algo lógico: cuantos más partidos gana un equipo, menos pierde.

El proceso inverso también es posible, es decir, a partir de una nube de puntos podemos obtener ladistribución:

Ejemplo 3: Las calificaciones en Matemáticas y Lengua de los 18 alumnos de 1º de Bachillerato A son lasrepresentadas por la siguiente nube de puntos:

A partir de esta nube es inmediato deducir la distribución:

Observaciones:

1º) Hay nubes de puntos en las que los puntos están muy dispersos entre sí, como en el ejemplo 3: losalumnos buenos en Lengua no tienen por qué ser siempre buenos –o malos– en Matemáticas. Porel contrario, en otros casos los puntos se concentran aproximadamente en torno a una líneaaproximada, como ocurre en el ejemplo 2: cuantos más partidos ha ganado un equipo normalmenteha perdido menos partidos. Esto lo estudiaremos en el próximo apartado.

2º) En resumen, tenemos dos formas de representar una distribución bidimensional: mediantetabla o mediante nube de puntos .


IV) AJUSTE de una NUBE de PUNTOS: RECTA de REGRESIÓNEjemplo 4: La estatura y el peso de 20 alumnos de 1º de Bachillerato son:

(164,53) (175,62) (165,48) (170,60) (168,47) (157,52) (167,50)

(172,52) (177,63) (160,54) (168,63) (160,51) (164,50) (174,80)

(170,65) (182,63) (161,60) (171,62) (173,63) (194,86)

Dibujamos la nube de puntos:

Matemáticas 3 3 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 9 10Lengua 3 7 4 2 4 6 3 4 8 1 3 4 5 7 6 8 2 10

Matemáticas

L e n g u a






Nuestro objetivo es obtener la recta de la figura, es decir, la que mejor se ajusta 4 a la nube de puntos.

Aplicando un procedimiento denominado de mínimos cuadrados –cuyo nivel se escapa a laspretensiones de este curso 5 – se obtiene que la ecuación de la recta de ajuste es:

( )x y2x

sy y x x

s− = − (3)

donden

i ixy

i 1

x ys x y

N=

= −∑ se llama covarianza. Puede ser negativa. (4)

4 Supongamos que los puntos fueran localidades. Entonces la recta buscada representaría el trazado de una carreteraque diera servicio equitativamente a todas ellas.

5 La ecuación de la recta de ajuste, y=a x+b , va a ser aquella tal que a y b cumpla las dos siguientes condiciones:

1º) Que la recta pase por el punto _ _ x,y( ) ← centro de gravedad de la nube

2º) Que la suma ( )n n 22

i i ii 1 i 1

d y ax b= =

= − + ∑ ∑ sea mínima.

Esta 2ª condición, gráficamente, significa que la suma de los cuadrados de las distancias d 1, d 2, d 3, d 4…, es decir,

d12+d 22+d 32+d 42+… ha de ser mínima:

Aplicando el mencionado procedimiento de mínimos cuadrados se llega a obtener

ni i

xyi 12 2x x

x yx y s

N s=

−

= ≡σ

∑a . Por otra

parte, la 1ª condición significa que y ax b y ax= + ⇒ = −b . Sustituyendo a y b en y ax b= + se obtiene (3).

Estatura

P e s o






La recta de ajuste dada por (3) y (4) se llama 6 recta de regresión de y sobre x.

NOTA: También está la recta de regresión de x sobre y, que sería 7 ( )x y2y

sx x y y

s− = −

Vamos a obtener la recta de regresión del ejemplo 4:

Con estos parámetros, la recta de regresión (de y sobrex) será:

( )61,28y 59,2 x 169,6 y 0,89x 91,74

69,22− = − ⇒ = −

que es la recta del gráfico de la página anterior.

Utilidad de la recta de regresión: Con ella podemos hacer estimaciones . Por ejemplo, un alumnoque mida 180 cm pesará:

y 0,89·180 91,74 68,5kg= − =

La validez de la estimación estará en función del gradode correlación de ambas variables, como veremos en elapartado siguiente. Además, lógicamente hay quehacerlas en el intervalo de las variables o muy cerca deellas.

Obtención de los parámetros de regresión con la calculadora Vamos a explicarlo, como hicimos en el tema anterior, para una Casio fx-82 MS, uno de los modelos

más extendidos entre los estudiantes 8. Para cualquier otro modelo se suele proceder de forma bastanteanáloga. Utilizaremos los datos del ejemplo anterior:

1º) Ponemos la calculadora en modo REG (regresión): MODE 3

6 Como curiosidad, se llama de regresión porque el inglés Francis Galton (1822-1911), al estudiar la estatura de lospadres en relación con la de los hijos, encontró que a padres altos corresponden hijos altos, pero no tanto; y a padresmuy bajos corresponden hijos no tan bajos. Es decir, parece que la estatura de los hijos regresa hacia la media de lapoblación…

7 Se obtendría de forma análoga a la anterior, pero considerando mínima la suma de los cuadrados de las distancias decada punto a la recta en horizontal, no en vertical.

8 Puede descargarse el manual en https://www.dropbox.com/s/nr5qlmhcupv7t8s/manual_casio_fx_82_ms.pdf

Estatura (cm)

xi

Peso (kg)yi

xi yi xi2

164 53 8692 26896

175 62 10850 30625

165 48 7920 27225

170 60 10200 28900

168 47 7896 28224

157 52 8164 24649

167 50 8350 27889

172 52 8944 29584

177 63 11151 31329

160 54 8640 25600

168 63 10584 28224

160 51 8160 25600

164 50 8200 26896

174 80 13920 30276

170 65 11050 28900

182 63 11466 33124

161 60 9660 25921

171 62 10602 29241

173 63 10899 29929

194 86 16684 37636

Σ xi=3392cm

Σ yi=1184kg

Σ xiyi=202032cm·kg

Σ xi2=576668

cm 2

n

ii 1

n

ii 1

ni i

xyi 1

n2

2i2 2 2i 1x

_

_

_

x3392

x 169,6 cmN 20

y1184

y 59,2 kgN 20

x y 202032s x y 169,6 59,2 61,28cm·kg

N 20

x576668s x 169,6 69,24 cm

N 20

=

=

=

=

= = =

= = =

= − = − =

= − = − =

∑

∑

∑

∑

·








b) Obtener la ecuación de la recta de regresión utilizando una tabla estadística apropiada.

c) Dibujar la recta de regresión sobre la nube de puntos anterior.

d) ¿Qué temperatura mínima corresponderá a una máxima de 30º?

V) CORRELACIÓNObservemos los siguientes tres ejemplos de nubes de puntos correspondientes al ejemplo 1. Nos

servirán para ver el concepto de correlación , es decir, el grado de dependencia entre las dos variables :

− Al aumentar el valor de una variableaumenta el valor de la otra.

− No existe ningún grado dedependencia entre las dosvariables.

− Al aumentar el valor de una variabledisminuye el valor de la otra.

− CORRELACIÓN DIRECTA (o positiva)

− CORRELACIÓN NULA − CORRELACIÓN INVERSA (o negativa)

− Recta de regresión CRECIENTE − No tiene sentido la recta deregresión− Recta de regresión DECRECIENTE

Máxima (ºC)xi

Mínima (ºC)yi

xi yi xi2

16 7

17 10

19 12

19 13

21 15

25 19

28 21

27 22

23 18

21 15

18 12

17 9

Σ xi= Σ yi= Σ xiyi= Σ xi2=

Partidos ganados

P u n

t o s

Partidos empatados

P u n

t o s

Partidos perdidos

P u n

t o s

n

ii 1

n

ii 1

ni i

xyi 1

n2

2i2 i 1

x

_

_

_

xx

N

yy

N

x ys x y

N

x

s xN

=

=

=

=

≅

= =

= =

= − =

= − =

∑

∑

∑

∑

x

(Sol : 20,92 )

(Sol :14,42 )

(Sol :17,37 )

(Sol : σ 3,86












13 EJERCICIOS de ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

Frecuencias, tablas y gráficos:1. Dos fotógrafos hacen una exposición de fotos grandes, medianas y pequeñas, cuyo número es:

a) Calcular los 5 tipos de frecuencias vistos en el tema (utilizando cuatro tablas en total):− frecuencias absolutas bidimensionales− absolutas marginales− relativas bidimensionales− relativas marginales− condicionadas→ dos tablas

b) Diagramas de barras de frecuencias absolutas bidimensionales

2. Los ingresos mensuales, en €, en cuatro sucursales de loterías y apuestas, han sido los siguientes:

a) ¿Qué % supone la Lotería Nacional por sucursal? (Construir la tabla necesaria para responder a estacuestión) ¿Qué tipo de frecuencia es?

b) ¿Qué % se ha jugado en la sucursal del aeropuerto en cada tipo de apuestas? (Construir la tablanecesaria para responder a ello) ¿De qué tipo de frecuencia se trata?

Nube de puntos:3. Se pregunta a los 20 alumnos de una clase sobre la talla de su calzado y el número de hermanos

(contándose él), obteniéndose los siguientes resultados:

(38,4) (41,2) (38,2) (37,2) (37,3) (36,2) (37,3) (38,4) (42,5) (38,3) (40,2) (38,3) (42,3) (46,4) (38,2) (39,3) (43,1) (48,1) (40,2) (36,2)

a) Obtener la nube de puntos.

b) Razonar si se trata de una relación funcional o estadística.

c) ¿Si comparáramos talla de calzado y estatura la nube sería tan dispersa?

Grandes Medianas Pequeñas

Fotógrafo 1 9 8 7

Fotógrafo 2 10 11 5

Lotería

NacionalPrimitiva Apuestas

por InternetBonoloto Euromillones Gordo de

la primitivaCentro 10529 5139 1288 1053 568 311

Aeropuerto 3179 1259 314 218 200 97Estaciónde tren 2115 1495 376 229 135 106

Barrio delPilar 7386 4875 1015 950 417 309

una tabla

una tabla






4. En una copistería los precios de las fotocopias son los siguientes:

a) Representar la nube de puntos.b) ¿Se trata de una relación funcional o estadística? En caso de ser funcional, indicar la ley o fórmula que

siguen.

5. Las temperaturas máxima y mínima (en ºC) en una determinada localidad a lo largo del año han sido lassiguientes:

a) Representar la nube de puntos.b) Razonar si es una relación funcional o estadística.

c) Indicar qué grado de dispersión se observa y si hay o no cierta correlación entre ambas variables

NOTA: En los ejercicios que siguen, y en el examen, a la hora de hallar los parámetros estadísticos queconduzcan a la obtención del coeficiente de correlación y a la recta de regresión es obligatorio construirla tabla estadística apropiada, aunque también se recomienda comprobar los cálculos mediantecalculadora (o mediante Excel).

Correlación y regresión:6. Para cada una de las distribuciones bidimensionales que siguen dibujar la nube de puntos y construir una

tabla apropiada para hallar el coeficiente de correlación y, si procede, la recta de regresión de y sobre x:

a) d)

b)

para las variables (G,P), (G,PT) y (G,E).

c)

para las variables (E,T), (E,S) y (T,S)

Nº fotocopias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Precio (cent) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

Máxima 16 17 19 19 21 25 28 27 23 21 18 17Mínima 7 10 12 13 15 19 21 22 18 15 12 9

Nº horasestudio (E)

Nº horasTV(T)

Nº suspensos(S)

4 2 15 1,5 04 2,5 3

2,5 4 26 0,5 0

0,5 5,5 61 5 22 4 53 2,5 3

4,5 1,5 23 3,5 4

1,5 5 33,5 2,5 45,5 3,5 12,5 3,5 3

x 2 3 4 5 6

y 4 2 5 4 6

Clasificación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ganados (G) 27 24 20 18 19 16 18 15 15 15

Empatados (E) 12 15 11 11 9 13 9 14 12 12

Perdidos (P) 5 5 13 15 16 15 17 15 17 17

Puntos (PT) 66 63 51 47 47 45 45 44 42 42

Gastos en publicidad(miles €) 1 2 3 4 5 6 7 8Ventas (miles €) 15 16 14 17 20 18 18 19






7. La evolución de los asuntos que entraron por la vía civil y penal en una determinada localidad se expresa enla siguiente tabla:

¿Cuántos asuntos cabe esperar en el juzgado penal un año que se hayan recibido 300 en el civil?

8. La evolución del SIDA en España desde su aparición viene expresada en la siguiente tabla:

En un año que se vayan a presentar 700 casos, ¿cuántos muertos se prevén? ¿Tendría sentido hacer unaestimación para, por ejemplo, 1000 casos?(Sol: y=0,53x+14,21)

9. Se determina la pérdida de efectividad de un determinado preparado farmacéutico con el tiempo y seobtiene el siguiente resultado:

a) ¿Qué % de actividad quedará a los 6 meses?

b) ¿En cuánto tiempo la actividad se reduce al 50 %?

10. La evolución del IPC y la tasa de inflación en los primeros nueve meses de un año viene reflejada en lasiguiente tabla:

¿Qué tasa de inflación es razonable esperar en un mes en el que el IPC sea 4,5?

11. El número de separaciones matrimoniales y divorcios en una determinada provincia en el período 2010-2014se distribuye según la siguiente tabla:

Años Juzgado civil Juzgado penal 2010 134 872011 171 1072012 196 1352013 199 1432014 216 168

Año Nº de casos Nº de muertos

1981 1 11982 6 61983 17 171984 46 431985 164 1281986 437 2741987 624 322

Tiempo (meses) 1 2 3 4 5

Actividad (en %) 90 75 42 30 21

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP

IPC 0,7 1,1 1,7 2 1,9 1,9 2,9 2,9 3,8Inflación 6 6 6,3 6,2 5,8 4,9 4,9 4,5 4,4






¿Cuántas separaciones se prevé que se produzcan en un determinado año sabiendo que hubo 3600divorcios? (Sol: y = - 1,63x +7605,97; 2457 separaciones)

12. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de escolares en una batería de test en la que se trata de medir lahabilidad verbal y el razonamiento abstracto, son las siguientes?

¿Qué puntuación en razonamiento abstracto está previsto que tenga un alumno que tuvo 45 en habilidadverbal?

13. TEORÍA:a) Si el valor absoluto del coeficiente de correlación lineal es muy próximo a la unidad, ¿podemos estar

seguros de que las previsiones que realicemos serán fiables? ¿Podemos extrapolar los resultadosobtenidos?

b) ¿Puede ser la varianza de una variable negativa? ¿Y la desviación típica? ¿Y la covarianza? Razonar lasrespuestas.

c) Los números 0,95, -0,29, -1, 0,75 y 0,89 son los coeficientes de correlación de las distribucionesbidimensionales cuyos diagramas de dispersión se adjuntan. Asignar a cada diagrama su coeficiente:

Año Separaciones Divorcios 2010 2357 40002011 2586 34282012 2689 2903

2013 2821 27112014 3073 2910

Habilidad verbal[10-20) [20-30) [30-40) [40-50]

R a z o n a m

i e n

t o

a b s

t r a c

t o

[15-25) 5 3

[25-35) 2 6 1

[35-45) 1 4 2

[45-55) 3 3

[55-65] 1 2

1 2 3

4 5






d) Razonar qué tipo de relación –correlación directa o inversa, funcional, etc. – presentan los siguientespares de variables:

− Goles a favor y goles en contra de los equipos de fútbol de 1ª división.− Estatura media de los padres y de los hijos de una serie de familias.− Notas de los alumnos de 1º Bachillerato B en Filosofía y Educación Física en una evaluación.− Notas de los alumnos de 1º Bachillerato A en Matemáticas y Física en una evaluación.− Edad del marido y la mujer en un conjunto de matrimonios.− Altura de un objeto que se deja caer y tiempo de caída, en una serie de lanzamientos desde

diferentes alturas.− Distancia de lanzamiento y número de canastas de un jugador de baloncesto tras una serie de

intentos.− Índice de mortalidad infantil y promedio de horas de televisión por habitante de un conjunto de

países.− Índice de mortalidad infantil y número de médicos de un conjunto de países.− Kwh consumidos en las viviendas de un edificio en un mes y coste del recibo de la luz.− Número de personas que viven en cada casa y coste del recibo de la luz.

e) Si conocemos el signo de la covarianza, ¿podemos afirmar algo sobre la correlación? ¿Qué valor tomarcuando la covarianza es nula?

f) ¿Tiene sentido calcular la recta de regresión de una distribución bidimensional sabiendo que r=0,17?





PROBABILIDAD

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. IAlfonso González









I) DEFINICIONES

Vamos a dedicar este tema precisamente a los sucesos aleatorios 1.

■ Espacio muestral de un experimento aleatorio : conjunto de todos los resultados posibles de dichoexperimento. Se designa como E. Cada uno de los elementos que lo forman se llama suceso elemental , y sedesignan entre llaves: { }.

Ejemplo 1: Indicar el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios (fíjate en elprimer ejemplo):

a) Lanzar una moneda y anotar el resultado: E={C,X}

b) Lanzar dos monedas y anotar el resultado (puede ser útil construir un árbol):

c) Lanzar tres monedas y anotar el resultado (puede ser de nuevo útil construir un árbol):

d) Lanzar un dado y observar el resultado:

e) Lanzar dos dados 2 y observar el resultado:

1 Los sucesos aleatorios también se llaman estocásticos.2 Para evitar malentendidos, podemos imaginar ambos dados de colores distintos, con lo cual queda suficientemente claro

que, por ejemplo, los casos (1,2) y (2,1) son distintos.

Experimentos

Deterministas: al repetirlos en análogas condiciones podemos predecir suresultado de antemano (p.ej. dejar caer un objeto desde una

determinada altura y medir el tiempo de caída)

Aleatorios: no podemos predecir su resultado de antemano (p.ej. tirar una monedao un dado)






f) Lanzar dos dados y anotar la suma obtenida:

■ Suceso aleatorio : cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral E.

Ejemplo 2: Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Indicar los sucesos elementales quecomponen los sucesos aleatorios indicados (fíjate en el primer ejemplo):

Salir par: A={2,4,6}

Salir impar:

Salir•

3 :

Salir•

5 :

Salir nº primo:

Salir•

7 : (suceso imposible)

Salir nº comprendido entre 1 y 6: (suceso seguro)

■ Algunos sucesos reciben nombres especiales:

Suceso elemental : ya definido

Suceso compuesto : es aquel suceso formado por dos o más sucesos elementales (p.ej. que al lanzar undado salga nº par)

Suceso seguro : es aquel suceso que siempre se verifica; se designa como E, ya que, evidentemente,coincide con el espacio muestral (p.ej. que al lanzar una moneda salga cara o cruz)

Suceso imposible : es aquel suceso que nunca se verifica; se designa como ∅∅∅∅ (p.ej. que al lanzar un dado

salga•

7 )

■ Suceso contrario (o complementario) del suceso A: suceso que se realiza cuando no se realiza A, yviceversa; se designa como A (o también, a veces, como A c o A’)

Ejemplo 3: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, los sucesos

A=salir par={2,4,6}son contrarios (o complementarios), es decir, BA= (o, también, AB= )

B=salir impar={1,3,5}

Lo cual es fácil de entender con el siguiente gráfico, llamadoDiagrama de Venn 3:

3 Ideados por John Venn (1834-1923), matemático y lógico británico.

E

A

B

24

6

13

5






■ Observaciones: Es obvio que:

1. El suceso A está formado por todos los sucesos elementales de E que no pertenecen a A

2. El contrario del suceso seguro es el imposible, y viceversa: φ=E y E=φ

II) OPERACIONES CON SUCESOS1. Unión de sucesos:

Suceso A U B: «Suceso que se realiza cuando se realiza A o B; se forma reuniendo los sucesoselementales de A y los de B».

Ejemplo 4: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, considerar los sucesos

A=salir par={2,4,6}

entonces, A U B=”salir nº par o primo”={2,3,4,5,6}B=salir nº primo={2,3,5}

Lo cual es fácil de entender con un diagrama de Venn:(sombrea tú la unión)

NOTA: La conjunción “o” suele significar la utilización de la U

2. Intersección de sucesos:Suceso A ∩ B: «Suceso que se realiza cuando se realiza A y B a la vez; se forma escogiendo los sucesos

elementales comunes a A y B».

Ejemplo 5: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, considerar los sucesos

A=salir par={2,4,6}entonces, A ∩ B=”salir nº par y primo”={2}

B=salir nº primo={2,3,5}

Lo cual es fácil de entender con un diagrama de Venn:(sombrea tú la intersección)

NOTA: La conjunción “y” suele implicar la ∩

■ Observación: Es obvio que EAUA = y A ∩ A=∅ (trivial su demostración mediante diagramas de Venn)

Ejercicio 1: Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Indicar la U e ∩ de los siguientessucesos:

EA

B

24

6

3

5

1

E

A B

24

6

3

5

1






A={1,2,5} y B={2,3,5}

C={2,4,6} y D={2,5}

F={1,3} y G={1,3,6}

H={3} e I={5}

J={2,5} y K={1,3,6}

L={2,4} y M={1,6}

Ejercicio 2: Sea el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española 4.Considerar los siguientes sucesos:

A=”salir oro”

B=”salir as”C=”salir rey de copas o as de espadas”

Interpretar los sucesos A U B, A U C, B U C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C

■ Sucesos incompatibles: «Dos sucesos son incompatibles si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro,es decir, no se pueden verificar a la vez; por lo tanto, no tiene ningún elemento común».

Es decir: A y B incompatibles ⇔ A ∩ B = ∅

Lo cual de nuevo es fácil de entender con un diagrama de Venn:

De la misma forma, se dice que «dos sucesos son compatibles sipueden verificarse a la vez»:

A y B compatibles ⇔ A ∩ B ≠ ∅

Es obvio, por lo tanto, que un suceso y su contrario, A y A, son

siempre incompatibles.

4 Consideraremos 40 cartas (faltan los ochos y nueves), correspondientes a cuatro palos (oros, copas, espadas, bastos)

E

A B

E

A B






Propiedades de las operaciones con sucesos:Son fácilmente deducibles mediante diagramas de Venn:

CONMUTATIVA A U B=B U A A ∩ B=B ∩ A

ASOCIATIVA A U (B U C)=(A U B) U C A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C

DISTRIBUTIVA A U (B ∩ C)=(A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C)=(A ∩ B) U (A ∩ C)A U ∅ = AA U E = E

A ∩ ∅= ∅ A ∩ E= A

LEYES de MORGAN5 ABUA = ∩ B BUABA =∩

Ejercicio 3: Justificar mediante diagramas de Venn las dos propiedades distributivas y las leyes de Morgan.

III) DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Se define la probabilidad de que ocurra un suceso A, y se designa como P(A), mediante el siguientecociente, conocido como regla de Laplace 6:

posiblescasosºnfavorablescasosºn

)A(P = (1)

nº casos favorables=nº de elementos que componen A

nº casos posibles=nº de elementos de E, es decir, todos los sucesos elementales

5 Augusto De Morgan (1806-1871), matemático inglés que demostró tales leyes.6 Pierre Simon Laplace (1749-1827), físico y matemático francés. Ver la justificación de esta fórmula en la pág. 244 del

libro de texto.






Observación importante: Esta fórmula sólo es válida si todos los sucesos elementales que componen elespacio muestral son equiprobables 7 (piénsese, p.ej., en un dado trucado en vezde un dado perfecto…)

Ejemplo 6: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, hallar la probabilidad de que ocurranlos siguientes sucesos: a) salir nº impar b) salir nº primo c) salir

•3 d) salir

•5 e) Salir nº

comprendido entre 1 y 6 f) salir 7

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ejercicio 4: En el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española, hallar laprobabilidad de obtener: a) un oro b) un as c) la sota de espadas.

a)

b)

c)

Ejercicio 5: En el experimento aleatorio consistente en lanzar a la vez dos monedas, hallar la probabilidad deobtener: a) dos caras b) dos cruces c) una cara y una cruz d) al menos una cruz. Comprobarque se obtiene lo mismo haciendo un árbol y multiplicando las probabilidades de cada rama.

a)

b)

7 Es decir, que tengan la misma probabilidad.






c)

d)

Ejercicio 6: En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados 8, hallar la probabilidad de obtener: a) suma 11 b) suma 8 c) suma ≤ 4 d) ¿Cuál es el resultado más probable?

a)

b)

c)

d)


IV) PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD1. «La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1»

Esto es obvio, pues el numerador de (1) no supera al denominador.

Por lo tanto: la probabilidad no puede ser negativa“ “ no puede ser mayor que 1

2. «La probabilidad del suceso seguro es 1: P(E)=1 »

También obvio, pues en (1) coincidirían numerador y denominador.

3. «La probabilidad del suceso imposible es 0: P(∅)=0 »

Igualmente obvio, pues en (1) el numerador sería 0.

8 Se recuerda que, para evitar malentendidos, podemos imaginar ambos dados de colores distintos, con lo cual quedasuficientemente claro que, por ejemplo, los casos (1,2) y (2,1) son distintos.






4. Probabilidad de la U de dos sucesos incompatibles:

A y B incompatibles ⇔ P(A U B)=P(A)+P(B) (2)

La justificación de esta fórmula es sencilla mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, considerar los siguientes sucesos:

A=”salir impar”

B=”salir•

4 ”

Comprobar con ellos la validez de la fórmula anterior. Interpretar el resultado mediante un diagrama de Venn.

■ NOTA: La fórmula anterior se puede generalizar a más de dos sucesos incompatibles:

A, B y C incompatibles ⇔ P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)

5. Probabilidad del suceso contrario: )A(P1)A(P −= (3)

Dem: Como hemos visto en el apartado II, E AUA = ; por lo tanto, 1)E(P)AUA(P == (*)Por otra parte, como obviamente A y A son incompatibles, se cumplirá, según la propiedad 2, que

)A(P)A(P)AUA(P += (**)De ( *) y (**) deducimos que )A(P1)A(P1)A(P)A(P −=⇒=+ (C.Q.D.)

Aunque esta demostración debería ser suficiente, vamos a ver a continuación un ejemplo justificativo.

Ejemplo 8: Se extrae una carta de una baraja española 9. Comprobar con el suceso A=”salir figura” la validezde la fórmula anterior.

■ Observación: La fórmula anterior se puede poner también en la forma )A(P1)A(P −= ; a la hora de calcular

P(A) en un problema en el que aparece la frase “al menos”, suele funcionar calcular ) A(P yaplicar dicha fórmula. Veamos un ejemplo.

9 Las figuras de la baraja española, correspondientes a los números 10, 11 y 12, son la sota, el caballo y el rey.

E

A B1

3

5

4

26






Ejemplo 9: Se lanzan a la vez cuatro monedas. Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara.

6. Probabilidad de la U de dos sucesos compatibles:

A y B compatibles ⇒ P(A U B)=P(A)+P(B) -P(A ∩ B) (4)

La justificación de esta fórmula es sencilla mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo 10: En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, considerar los siguientes sucesos:

A=”salir par”B=”salir

•3 ”

Comprobar la validez de la fórmula anterior. Interpretar el resultado mediante un diagrama de Venn.

Ejercicio 7: Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 8. Se extrae una bola al azar. Considerar lossiguientes sucesos:

A=”salir par” B=”salir impar” C=”salir•

4 ”

Calcular P(AUB), P(AUC) y P(BUC) mediante la correspondiente fórmula. Comprobar a continuación por

conteo directo los resultados obtenidos.

EA B

2

4

63

1

5








V) EXPERIMENTOS COMPUESTOS. DIAGRAMAS DE ÁRBOLUna experiencia aleatoria es compuesta cuando está formada por varias pruebas. En estos casos, se

recomienda utilizar un diagrama de árbol. En un diagrama de árbol, la probabilidad de un determinadorecorrido es igual al producto de la probabilidad de cada rama 10, como ya hemos visto en el ejercicio 5, y

confirmaremos con los siguientes dos ejemplos:

Ejemplo 11: Lanzamos tres veces una moneda. Hallar la probabilidad de obtener tres caras, de dos formasdistintas: a) Construyendo el espacio muestral. b) Mediante un diagrama de árbol. (Utilizarcorrectamente el lenguaje de sucesos).

a)

b)

Ejemplo 12: Lanzamos un dado dos veces. Hallar la probabilidad de obtener las dos veces un 5, de dosformas distintas: a) Construyendo el espacio muestral. b) Mediante un diagrama de árbol.(Utilizar correctamente el lenguaje de sucesos).

a)

b)

10 Además, si sumamos las probabilidades de todos los recorridos finales posibles, observamos que suman 1; esteresultado, que puede comprobarse en los ejemplos de este apartado, es una consecuencia del llamado Teorema de laProbabilidad Total, que veremos en el apartado VIII








Mientras que:

A y B dependientes ⇒ P(A ∩ B)=P(A) · P(B supuestamente ocurrido A)

La P(B supuestamente ocurrido A) se llama probabilidad de B condicionada a A y se representa por P(B/A);por lo tanto:

A y B dependientes ⇒ P(A ∩ B)=P(A) · P(B/A) (7)

Definiciones: 1. «Dos sucesos son independientes cuando el resultado de cada uno de ellos nodepende del resultado de otro»

2. «Dos sucesos son dependientes cuando el resultado de uno de ellos influye ocondiciona el resultado del otro»

Veamos un ejemplo de aplicación de las fórmulas anteriores:

Ejemplo 15: a) Supongamos que nos reparten dos cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad deque las dos sean oros y de que ninguna sea un oro b) Hallar lo mismo, pero suponiendo que,una vez vista la primera carta, la devolvemos al mazo. (Se recomienda construir un árbol).

a)

b)

Ejemplo 16: Se lanzan dos dados. Hallar la probabilidad de que ambos no sean pares (Piénsese en locomplicado que sería resolver este problema por conteo directo sobre el espacio muestral E).






■ Nótese que una consecuencia del ejemplo anterior es que, si dos sucesos son independientes, también lo sonsus contrarios, es decir: P( A ∩ B )=P( A ) · P(B ). En la misma línea, puede probarse que si dos sucesos A y Bson independientes, también lo son los sucesos A y B .

■ Las fórmulas (6) y (7) se pueden generalizar a tres (o más) sucesos:

A, B y C independientes ⇒ P(A ∩ B∩ C)=P(A) · P(B) · P(C)

A, B y C dependientes ⇒ P(A ∩ B∩ C)=P(A) · P(B/A) · P(C/A ∩ B)

y así sucesivamente.

Ejemplo 17: Extraemos de una baraja tres cartas. Hallar la probabilidad de que sean tres ases a) condevolución después de cada extracción b) sin devolución.

a)

b)


VII) PROBABILIDAD CONDICIONADA. TABLAS DE CONTINGENCIALa probabilidad del suceso B condicionada al suceso A significa la probabilidad de que ocurra el

suceso B en el supuesto de que previamente se ha verificado A. Se representa por P(B/A), y se calcula[despejando de (7)] mediante la siguiente fórmula:

)A(P)BA(P

)A / B(P ∩= (8)

Observaciones:

1. Evidentemente, también se cumplirá que

2. La probabilidad condicionada es, en definitiva, una probabilidad, y cumple por tanto las propiedades detoda probabilidad; por ejemplo:

P(A/B)=1 -P( A /B), etc…

)B(P)BA(P

)B / A(P ∩=






3. Para resolver y/o entender correctamente problemas de probabilidad condicionada, se recomienda aveces construir una tabla de contingencia 11 . Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 18: En un aula hay 15 hombres y 20 mujeres; 3 de los hombres y 5 de las mujeres tienen ojos claros.a) Completar la tabla de contingencia. b) Elegido un sujeto al azar, hallar directamente,mediante la tabla de contingencia, la probabilidad de que tenga ojos claros, sabiendo que eshombre. c) Hallar dicha probabilidad utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada, ycomprobar que se obtiene el mismo resultado.

a)

b)

c)

Ejemplo 19: Continuando con el ejemplo anterior, hallar directamente de la tabla, la probabilidad de que,extraído un sujeto al azar: a) Sea hombre, sabiendo que tiene ojos claros. b) Sea mujer,sabiendo que tiene ojos claros. c) Tenga ojos claros, sabiendo que es mujer.

a)

b)

11 Se trataría de una alternativa al diagrama de árbol.

AAAA (hombre) AAAA (mujer)

BBBB (ojos claros) 3 5TOTAL OJOS CLAROS

BBBB (ojos oscuros)TOTAL OJOS OSCUROS

15

TOTAL HOMBRES

20

TOTAL MUJERES TOTAL






c)

Observaciones:1. En los ejercicios anteriores, con una tabla de contingencia, podemos hallar una probabilidad

condicionada cualquiera directamente; en cambio, si hacemos un árbol, tendremos que aplicar lafórmula.

2. Si P(B/A)=P(B) se dice que B es independiente de A; es fácil probar que, entonces, P(A/B)=P(A), esdecir, también A será independiente de A. Esto es obvio.

VIII) PROBABILIDAD TOTAL Ejemplo 20: Una urna contiene 9 bolas blancas y 5 negras. Se extraen al azar dos bolas, sin devolución de la

primera. Hallar la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color. (Ayuda:construir un diagrama de árbol).

■ Nótese que en el ejemplo anterior, y en muchos otros ya realizados, hemos sumado las probabilidades de dosrecorridos distintos del árbol, pero que conducían a la realización del mismo suceso (la extracción de dosbolas de distinto color); esto lo hemos podido hacer debido a que ambos recorridos son en realidad dossucesos incompatibles (no puede ocurrir a la vez que el orden de extracción sea blanca-negra y negra-blanca), por lo que, en virtud de la fórmula (2), la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es la suma.Este hecho se conoce como Teorema de la Probabilidad Total (puede verse su demostración en el libro detexto), cuya enunciación rigurosa es la siguiente:

Supongamos tres sucesos A 1, A 2 y A 3 que forman un sistema completode sucesos 12 (ver figura). Entonces:

P(S)=P(A 1) · P(S/A 1)+ P(A 2) · P(S/A 2)+P(A 3) · P(S/A 3) (9)

Es importante remarcar que, para poder aplicar la fórmula de laprobabilidad total, hay que comprobar previamente que A 1, A2 y A 3 forman unsistema completo de sucesos.

También, nótese que, en virtud de dicho teorema, la suma de lasprobabilidades de todos los recorridos posibles del árbol es 1 (ya que todos

ellos conforman el suceso seguro). Veamos otro ejemplo: 12 Incompatibles dos a dos, y tales que la unión de todos ellos cubre todo el espacio muestral E

A1

A2

A3

S

S

S






Ejemplo 21: En una población animal el 16% de los machos y el 9% de las hembras están enfermos. Haytriple número de machos que de hembras. Se elige al azar un individuo de esa población. ¿Cuáles la probabilidad de que esté enfermo? (Sol: 0,1425)

NOTA: Este ejemplo se recomienda hacerlo por diagrama de árbol, pero sale también por tabla de contingencia.

Ejercicio 10: Un alumno decide estudiar sólo 15 temas de los 25 del temario. El examen consiste en contestar ados temas extraídos al azar. Hallar la probabilidad: a) De que se sepa los dos. b) De que no sesepa ninguno. c) De que se sepa al menos uno. (Sol: 7/20; 17/20; 3/20)

a)

b)

c)







PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROBABILIDAD:

1. Leer atenta y completamente el enunciado. 2. Nombrar los sucesos con letras mayúsculas apropiadas.

3. Traducir la probabilidad que nos piden a lenguaje de sucesos (usando la U, ∩ , probabilidadcondicionada, suceso contrario, etc.).

4. Identificar qué fórmula hay que aplicar (puede ser útil un diagrama de árbol, tabla de contingencia,formar todo el espacio muestral, etc.).

5. Sustituir cada una de las probabilidades que figuran en el desarrollo de la fórmula. 6. Operar y simplificar (dejando el resultado, normalmente, en forma de fracción).

El paso crucial es, evidentemente, el 4; como ayuda, véase el siguiente esquema:

“o” ⇒ U

no se pueden verificar a la vez ⇒ INCOMPATIBLES ⇒ P(AUB)=P(A)+P(B)

A ∩ B = ∅

se pueden verificar a la vez ⇒ COMPATIBLES ⇒ P(AUB)=P(A)+P(B) P(A ∩ B)

(A ∩ B ≠ ∅ )

“al menos” ⇒ suele funcionar calcular antes la probabilidad del suceso contrario, y aplicar a continuación

“y”, “a la vez”

con devolución ⇒ INDEPENDIENTES ⇒ P(A ∩ B)=P(A) ·P(B)

sin devolución ⇒ DEPENDIENTES ⇒ P(A ∩ B)=P(A) ·P(B/A) (se recomienda hacer un árbol)








7. Se lanzan al aire tres monedas. Determinar la probabilidad de que se obtenga al menos dos cruces.(Sol: 1/2)

8. Considerar el experimento aleatorio consistente en extraer una carta de una baraja española.

a) Describir su espacio muestral E. ¿Cuántos sucesos elementales lo componen?(Soluc: 40)

b) Sea el suceso A=”extraer un oro”. Definirlo y hallar su probabilidad.(Soluc: 1/4)

c) Ídem para el suceso B=”extraer una figura”.(Soluc: 3/10)

d) Utilizando el resultado anterior y la fórmula adecuada (¡no mediante la regla de Laplace!), calcular laprobabilidad de no extraer una figura. (Soluc: 7/10)

e) Definir el suceso “extraer una figura y que sea además oro”; hallar su probabilidad. ¿Cómo es estesuceso respecto a A y B? (Soluc: 3/40)

f) Sea el suceso “extraer figura u oro”. Utilizando la fórmula adecuada y lo obtenido en los apartadosanteriores (¡no mediante la regla de Laplace!), calcular la probabilidad de dicho suceso, razonando elprocedimiento utilizado.(Soluc: 19/40)

9. Se lanzan dos dados y se suma la puntuación obtenida. Se pide:

a) Indicar el espacio muestral. ¿Cuántos casos posibles hay? (Soluc: 36)

b) Hallar la probabilidad de obtener exactamente un 4(Soluc: 1/12)

c) Hallar la probabilidad de obtener puntuación≤ 4 (Soluc: 1/6)

d) Hallar la probabilidad de no sacar un 12(Soluc: 35/36)

e) Hallar la probabilidad de sacar un 4 o un 12(Soluc: 1/9)

f) ¿Cuál es el número más probable de obtener? ¿Y el menos?

10. Se lanzan dos dados. Considerar los siguientes sucesos: A=”la suma de puntos es 5”B=”en uno de los dados ha salido 4”C=”en los dos dados salió el mismo resultado”

Se pide:

a) P(A), P(B) y P(C) (Soluc: 1/9; 11/36; 1/6)

b) P(A∩ B) (Soluc: 1/18)

c) P(AUB), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 13/36)

d) P(A∩ C) (Soluc: 0)

e) P(AUC), por conteo directo y mediante fórmula.(Soluc: 5/18)

f) P(B∩ C) (Soluc: 1/36)

g) P(BUC), por conteo directo y mediante fórmula. (Soluc: 4/9)

11. Se lanzan tres dados al aire. Calcular la probabilidad de que se obtenga:a) 3 seises (Soluc: 1/216) b) Una suma de puntos total igual a 8 (Soluc: 7/72)

12. En un juego tenemos que elegir una tarjeta de cada una de las dos cajas que hay sobre la mesa. En unade ellas hay tres tarjetas con las letras S, S, N, y en la otra tres con las letras O, O, I ¿Cuál es la






probabilidad de formar SÍ? ¿Y la palabra NO? ¿Cuál es la probabilidad de no formar ninguna de estas dospalabras? (Soluc: 2/9; 2/9; 5/9)

13. Hallar la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que se lanzó al azarsea múltiplo de 5. (Soluc: 1/3)

14. Supongamos una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara es triple que la de cruz. Hallarla probabilidad de obtener cara y la de obtener cruz.(Soluc: 3/4 y 1/4)

15. Se ha trucado un dado de tal forma que la probabilidad de obtener número par es doble que impar. Hallar:

a) Probabilidad de obtener un número par, y probabilidad de obtener impar. (Soluc: 2/3 y 1/3)

b) Probabilidad de cada suceso elemental. (Soluc: 1/9 cualquier número impar y 2/9 cualquier par)

c) Probabilidad de obtener puntuación≤ 3 (Soluc: 4/9)

Probabilidad de la ∩∩∩∩ de sucesos independientes: 16. Hallar la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas de una baraja, si una vez extraída la

primera se devuelve al mazo.(Soluc: 1/100)

17. En una población la probabilidad de nacer varón es de 0,46. De una familia con tres hijos, calcular laprobabilidad de que (se recomienda hacer un árbol):

a) Los tres sean varones. (Soluc: 0,097)

b) Ninguno sea varón. (Soluc: 0,15)

c) Al menos haya un varón. (Soluc: 0,84)

d) Al menos haya una mujer. (Soluc: 0,90)

18. Sean A, B y C tres sucesos independientes tales que P(A)=0,2, P(B)=0,8 y P(C)=0,7. Hallar laprobabilidad de los sucesos siguientes: A U B, A U C. (Soluc: 0,84; 0,76)

Probabilidad condicionada y total:

19. Repetir el ejercicio 16 suponiendo ahora que la primera carta extraída no se devuelve al mazo.

20. En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos/as de esa clase. Calcular laprobabilidad de que (se recomienda hacer un árbol):

a) Los dos sean chicos. (Soluc: 8/35)

b) Sean dos chicas. (Soluc: 98/35)

c) Sean un chico y una chica. (Soluc: 18/35)

21. Después de tirar muchas veces un modelo de chincheta, sabemos que la probabilidad deque una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas,¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? (Soluc: 0,47)






22. En un centro escolar hay 1000 alumnos/as repartidos como indica la tabla adjunta. Se elige al azar uno deellos. Hallar la probabilidad de que:

a) Sea chico.

b) No use gafas.

c) Sea una chica con gafas.d) No use gafas sabiendo que es chica.

e) Sea chica sabiendo que no usa gafas.

f) Use gafas sabiendo que es chica.

23. En una empresa hay 200 empleados, la mitad de cada sexo. Los fumadores son 40 hombres y 35mujeres. Si elegimos un empleado/a al azar, calcular la probabilidad de que sea hombre y no fume (Serecomienda hacer una tabla de contingencia como la del ejercicio anterior). Si sabemos que el elegido/ano fuma, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

24. Javier tiene en su bolsillo 4 monedas de cinco céntimos, 3 de 20 céntimos y 2 de 50 céntimos. Saca dosmonedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos (se recomienda hacer un árbol):

a) Que las dos sean de 5 céntimos. (Soluc: 1/6)

b) Que ninguna sea de 50 céntimos. (Soluc: 2/3)

c) Que sumen 70 céntimos. (Soluc: 1/6)

25. En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tresextracciones. Calcular la probabilidad de que el número formado por las tres bolas, y en el orden deextracción, sea el 121, suponiendo que:

a) La bola se reintegra a la bolsa. (Soluc: 1/8) b) La bola no se devuelve a la bolsa.(Soluc: 1/6)

26. Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de los tiros libres. Supongamos que si acierta el primertiro, puede tirar de nuevo. Calcular la probabilidad de que haga dos puntos, de que haga un punto, y deque no anote ningún punto. (Soluc: 9/16; 3/16; 1/4)

CHICOS CHICASUSAN GAFAS 147 135

NO USANGAFAS 368 350



DISTRIBUCIÓNBINOMIAL

Jakob Bernoulli (1654-1705), matemático y científico suizo,que fue el primero en investigar sobre la distribución binomial

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. IAlfonso González









I) NÚMEROS COMBINATORIOS«El factorial de un número n ∈ℕ se designa como n! –se lee1 “n factorial” –, yes el producto de todos losenteros desde 1 hasta n ». Por ejemplo:

4!=4· 3· 2· 1=246!=6· 5· 4· 3· 2· 1=720

7!=7· 6!=5040

Por definición2, 0!=1. He aquí una tabla de los primeros factoriales:

0!=11!=1

2!=2· 1=23!=3· 2· 1=6

4!=4· 3· 2· 1=24

5!=5· 4· 3· 2· 1=1206!=6· 5· 4· 3· 2· 1=720

7!=7· 6· 5· 4· 3· 2· 1=50408!=8· 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1=40320

“ “ “ “ “

El alumno puede comprobarlos con la calculadora. Vemos que los números de la serie factorial se vanhaciendo muy grandes. De hecho, las calculadoras convencionales dan error cuando se les pide, p. ej. 70!.

Definición de número combinatorio :

( )m m!n n! m n ! =

− donde m,n∈ℕ , m≥ n (1)

Observaciones:

1º) Se trata de una definición. Este nuevo objeto matemático se define así porque, como veremos en elpróximo apartado, tiene gran utilidad. De hecho, los números combinatorios también se llamancoeficientes binomiales .

2º) mn

se lee “m sobre n”. El resultado es siempre un número natural. Ver tabla anexa.

3º) ¡Cuidado! Puede comprobarse que (m-

n) ! no es m!-

n! 1 La notación actual n! fue usada por primera vez por el francésChristian Kramp en 1803. 2 He aquí una justificación:

5! 1205! 5 4! 4! 245 54! 244! 4 3! 3! 64 43! 6" " " 2! 23 3

2! 2" " " 1! 12 21! 1" " " 0! 1 (C.Q.D.)1 1

= ⇒ = = =

= ⇒ = = =

= = =

= = =

= = =

·

·

índiceorden






Ejemplo 1:

a)

Nótese cómo se ha operado: no hemos sustituido 6! por su valor, sino que hemos parado la serie factorialen el factorial del denominador, es decir, 4!. De esa forma, el cálculo es mucho más sencillo. Esto esparticularmente relevante para números elevados:

b)

Propiedades de los números combinatorios:

1º) n n 10 n

= =

(Esta propiedad se debe al francésPascal ); n n1

=

2º) m mn m n

=

− (Propiedad deStiffel

3º) m 1 m 1 mn 1 n n

− − + =

− (Identidad dePascal )

NOTA: Estas propiedades se probarán en los ejercicios.


II) CONCEPTO de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo 2: En un juego de azar que consiste en lanzar un dado consideramos:

ÉXITO: sacar un → probabilidad: 1p6

=

FRACASO: no sacar → probabilidad: 5q6

=

Lanzamos el dado 3 veces y queremos saber la probabilidad de obtener 3, 2, 1 y ningún éxito. Para ello, comohacíamos en el tema anterior, formamos el siguiente árbol:

RESULTADO

NO

NO

NO NO

NO

NO NO

NO NO NO NO NO

( )6 6! 6! 6 5 4! 3 5 152 2! 6 2 ! 2! 4! 2 4!

= = = = = −

· · ··

9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6 9 8 7 9 4 2 7 9 2 74 4! 5! 4 3 2 5! 4 3 2 4 4

= = = = = = =

· · · · · · · · · · · · · ·· · · · ·

p

qNO

p

q NO

p

q NO

p

q NO

p

q NO

p q NO

p

q NO






Recordemos del tema anterior que la probabilidad de un determinado camino del árbol es el productode las probabilidades de sus ramas, y que, debido al Teorema de la Probabilidad Total, si varios recorridosconducen al mismo suceso entonces hemos de sumar sus probabilidades:

3 éxitos: Sólo hay un camino, de probabilidad p3:3

3 1 1P(3éxitos) p6 216

= = =

2 éxitos: Hay 3 caminos –equiprobables–, cada uno de probabilidad p2q:2

2 1 5 15P(2éxitos) 3p q 36 6 216

= = =

1 éxito: Hay 3 caminos –equiprobables–, cada uno de probabilidad pq2:2

2 1 5 75P(1éxito) 3pq 36 6 216

= = =

0 éxitos: Sólo hay un camino, de probabilidad q3:3

3 5 125P(0éxitos) q6 216

= = =

Nótese que, debido a la probabilidad total, la suma de las cuatro probabilidades anteriores –

correspondientes a los 8 recorridos del árbol– tiene que ser 1. Vamos a expresar las probabilidades anterioresen función de los números combinatorios:

33P(3éxitos) p3

=

23P(2éxitos) p q2

=

23P(1éxito) pq1

=

33P(0éxitos) q0

=

Ejercicio 1: Ampliar el diagrama anterior al lanzamiento del dado 4 veces y comprobar que se obtiene:

44P(4éxitos) p4

=

34P(3éxitos) p q3

=

…. 44P(0éxitos) q0

=

Σ =1

Σ =1






P(4 éxitos)=

P(3 éxitos)=

P(2 éxitos)=

P(1 éxito)=

P(0 éxitos)=

Ejercicio 2: En el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda consideramos:

ÉXITO: sacar → probabilidad: 1p2

=

FRACASO: sacar → probabilidad: 1q2

=

Lanzamos la moneda 3 veces. Formar el árbol correspondiente y hallar la probabilidad (en forma decimal) deobtener 3, 2, 1 y ninguna cara:

P(3 éxitos)= (Sol: 0,125)


P(1 éxito)= (Sol: 0,375)


Consecuencia: r n rnP(r éxitos) p qr− =

, donde n es el número de ensayos (2)






Definición: Todo experimento aleatorio que conste de varias pruebas que tengan las siguientescaracterísticas diremos que sigue unadistribución binomial :

1º) En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados3, el suceso ÉXITO y sucontrario, FRACASO (de ahí el nombre de binomial).

2º) El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.3º) La probabilidad del suceso ÉXITO es constante en cada prueba4:

p(ÉXITO)=p

p(FRACASO)=q=1-p

Observaciones: 1º) La variableX que expresa el número de éxitosr obtenidos enn pruebas se llama variablealeatoria binomial. Esta variable es discreta ya que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, …, n.

2º)La probabilidad de obtenerr éxitos viene dada por (2).

3º)Representaremos la distribución binomial comoB(n,p), donde n es el número deexperimentos yp la probabilidad del éxito.(La del ejercicio anterior sería B(3,1/2))

4º)Las distintas probabilidades se pueden obtener cómodamente en una tabla como la delfinal del tema. Comprobémoslo con el ejercicio anterior:

Se trata de una B(3; 0,5). Por lo tanto, la confluencia de las filas n=3 y la columna p=0,5nos da rápidamente las 4 probabilidades calculadas anteriormente:

NOTA: En los exámenes y ejercicios se podrá utilizar la tabla como ayuda o comprobación, peroserá obligatorio indicar las distintas probabilidades mediante (2)

Es importante remarcar que la distribución binomial es unadistribución de probabilidad de variable discreta. Por lo tanto, al igual queveíamos en el tema 7, es posible su representación gráfica que, en estecaso, recordemos que será un diagrama de barras:

3 Se llama experiencia dicotómica.4 Es decir, en las sucesivas repeticiones han de darse las mismas condiciones.

pn r .01 .05 .10 .15 .20 .25 .30 1/3 .35 .40 .45 .49 .50

20 .9801 .9025 .8100 .7225 .6400 .5625 .4900 .4444 .4225 .3600 .3025 .2601 .2500

1 .0198 .0950 .1800 .2550 .3200 .3750 .4200 .4444 .4550 .4800 .4950 .4998 .5000

2 .0001 .0025 .0100 .0225 .0400 .0625 .0900 .1111 .1225 .1600 .2025 .2401 .2500

3

0 .9703 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2963 .2746 .2160 .1664 .1327 .1250

1 .0294 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4444 .4436 .4320 .4084 .3823 .3750

2 .0003 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2222 .2389 .2880 .3341 3674 .3750

3 .0000 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0370 .0429 .0640 .0911 .1176 .1250

4

0 .9606 .8145 .6561 .5220 .4096 .3164 .2401 .1975 .1785 .1296 .0915 .0677 .0625

1 .0388 .1715 .2916 .3685 .4096 .4219 .4116 .3951 .3845 .3456 .2995 .2600 .2500

2 .0006 .0135 .0486 .0975 .1636 .2109 .2646 .2963 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750

3 .0000 .0005 .0036 .0115 .0256 .4609 .0756 .0988 .1115 .1536 .2005 .2400 .2500

4 .0000 .0000 .0001 .0005 .0016 .0039 .0081 .0123 .0150 .0256 .0410 .0576 .0625

xi pi

0 0,125

1 0,375

2 0,375

3 0,125 x i

p i

Representación gráfica de la B(3;0,5)








Varianza y Desviación típica:

n2

i i n2 22 2i 1i i

i 1

f xs x h x x

N=

=

= − = −

∑∑ ( )

n2 2 2 2

i ii 1

p x p p p 1 p pq=

σ = − µ = − = − =∑

Distribución estadística Distribución de probabilidad

Nótese de nuevo que la desviación típica de una distribución estadística se designaba comos, mientrasque en el caso de una distribución de probabilidad se utilizaσ .

Supongamos ahora que tuviéramosn pruebas; únicamente tendremos que multiplicar porn losresultados anteriores (en efecto, intuitivamente, p. ej. si se trata de lanzar una sóla vez una moneda la media oesperanza de salir cara es 0,5 pero si lanzamos 10 veces será 10· 0,5= 5 caras):

npµ = npqσ = (3)Esperanza matemática Desviación típica

Observaciones:

1. La esperanza matemática es un parámetro muy importante en las apuestas y juegos de azar.

2. Ambos parámetros tienen las mismas unidades que la variable de probabilidadX, es decir, el númerode éxitosr.










20 EJERCICIOS de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Números combinatorios:

1. Calcular:

a) 63

b) 65

c) 53

d) 64

e) 75

f) 1002

g) 84

h) 1814

i) 2520

j) 37

k) 1510

l) 93

m) 51

n) 103

o) 66

p) 128

( Sol: a) 20; b) 6; c) 10; d) 15; e) 21; f) 4950; g) 70; h) 3060; i) 53130; j) ∄ ; k) 3003; l) 84; m) 5; n) 120; o) 1; p) 495 )

2. Demostrar: a) 1nn

0n

=

=

b) n

1n

=

3. A la vista del ejercicio anterior, y sin efectuar ningún cálculo, decir el valor de los siguientes coeficientesbinómicos:

11

00

1

50

100100

07

4. Calcular:10 10 11 11 7 7

y y y7 3 5 6 0 7

a) b) c) ¿Qué conclusión podemos sacar?

Distribución binomial:

5. Supongamos que la tercera parte de los presos de un determinado centro de reclusión dan positivo enuna prueba de agresividad. Escogida al azar una muestra de 10 reclusos, hallar las siguientesprobabilidades:

a) Encontrar dos individuos agresivos. (Sol: 0,1951)

b) Más de 6 agresivos. (Sol: 0,0196)

c) A lo sumo cinco. (Sol: 0,9234)

d) Hallar la media y la desviación típica de esta distribución. (Sol: µ ≅ 3,33 reclusos agresivos; σ ≅ 1,49)

6. Se sabe que las tres quintas partes de los enfermos que padecen una determinada enfermedad en ciertohospital se acaban curando. Encontrar la probabilidad de que de cinco pacientes tomados al azar securen exactamente dos. (Sol: 0,2304)

7. Una determinada película de la cartelera ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que ya la ha ido a verel 10% de la población. Si se reúnen cuatro amigos, hallar:

a) Probabilidad de que la hayan visto dos de ellos. (Sol: 0,0486)

b) Probabilidad de que la hayan visto dos o tres de ellos. (Sol: 0,0522)










19. Un equipo de fútbol ha determinado a lo largo de sus entrenamientos que en promedio sus jugadoresmarcan ocho de cada diez penaltis. En una tanda de cinco, hallar la probabilidad de:

a) Marcar todos. (Sol: 0,3277)

b) No marcar ninguno. (Sol: 0,0003) c) Marcar al menos uno. (Sol: 0,6723)

d) Marcar cuatro. (Sol: 0,4096)

e) Marcar cuatro o cinco. (Sol: 0,7373)

f) Esperanza matemática o valor esperado. Interpretar su significado. (Sol: µ = 4 goles)

(*) 20. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivoen la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan abrochado el cinturón de seguridad.También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para a

cinco conductores al azar. Se pide:a) Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos

infracciones. (Sol: 0,0223)

b) Determinar la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido algunade las dos infracciones. (Sol: 0,543)



DISTRIBUCIÓNNORMAL

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), físico y matemáticoalemán, uno de los pioneros en el estudio de las

propiedades y utilidad de la curva normal.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. IAlfonso GonzálezIES Fernando de MenaDpto. de Matemáticas








I) IDEA INTUITIVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo 1: Las estaturas, en metros, de los 40 alumnos de 1º de Bachillerato de un centro son las siguientes:1,81 1,70 1,86 1,78 1,85 1,69 1,77 1,65 1,70 1,80 1,66 1,75

1,79 1,92 1,76 1,74 1,81 1,68 1,63 1,60 1,73 1,84 1,80 1,811,73 1,77 1,71 1,72 1,68 1,89 1,86 1,80 1,82 1,79 1,76 1,761,72 1,72 1,65 1,76

Construimos, agrupando estos datos en intervalos de amplitud 5 cm, la tabla al margen, la cual nossirve para representar el histograma y el polígono de frecuencias relativas de esta distribución de variablecontinua:

Consideremos ahora la distribución de las tallas de los alumnos de 1º de Bachillerato de toda España;evidentemente, a medida que los intervalos de clase van siendo pequeños, su polígono de frecuenciasrelativas tenderá al diagrama representado a la derecha:

El diagrama de la derecha proporciona una idea intuitiva de la que se conoce comodistribuciónnormal.

Sabemos que la suma de todas las frecuencias relativas hi de una distribución de frecuencias es igual ala unidad. Por lo tanto,«el área encerrada debajo de la curva normal 1 es igual a 1».

La distribución normal se llama así porque durante mucho tiempo se pensó que ese era elcomportamiento de todos los fenómenos de la vida real. Conviene tener en cuenta que existe un gran númerode fenómenos cuyos histogramas de frecuencias observadas pueden considerarse como la imagen empírica

1 La curva normal también se llama curva de Gauss o campana de Gauss, en honor al matemático alemánCarl FriedrichGauss (1777-1855), que fue el primero en ver sus propiedades y utilidad.

Estatura x i fi hi [1,60;1,65) 1,625 2 0,05[1,65;1,70) 1,675 6 0,15[1,70;1,75) 1,725 9 0,225[1,75;1,80) 1,775 10 0,25[1,80;1,85) 1,825 8 0,2[1,85;1,90) 1,875 4 0,1[1,90;1,95] 1,925 1 0,025

Σ =40 Σ =1

1,75 1,80 1,85 1,90 1,951,701,651,60estaturas

área encerrada = 1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[1,60;1,65) [1,65;1,70) [1,70;1,75) [1,75;1,80) [1,80;1,85) [1,85;1,90) [1,90;1,95]estaturas

h i

Intervalo de clase→ 0

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[1,60;1,65) [1,65;1,70) [1,70;1,75) [1,75;1,80) [1,80;1,85) [1,85;1,90) [1,90;1,95]

estaturas

h i






Miles de € al mes

de una distribución normal, es decir, simétrica; por ejemplo, en la distribución del perímetro craneal de unaserie de individuos (ver figura), los que tienen poco y mucho perímetro se encuentran igualmente separadospor la media y se presentan con frecuencias similares. Otros ejemplos de situaciones que pueden responder,

aproximadamente, a una curva normal, pueden ser: el peso de losindividuos de la población, el cociente intelectual, etc., es decir,medidas psicométricas. Pero también se obtiene una distribución quetiende a la normal en otro tipo de medidas: duración media de unabombilla, esperanza de vida de una mascota, etc… Por supuesto, todoesto no se puede demostrar, pero es algo que se compruebaestadísticamente…

¡Cuidado!: No todas lasdistribuciones se comportansegún el modelo normal.Consideremos el siguientecontraejemplo: supongamos queclasificamos a los ciudadanos

españoles según su nivel de renta (ver figura). Evidentemente, sonmuy pocos los que poseen niveles de rentas altas y en cambio sonmuchos los que poseen niveles de rentas bajas. Por tanto, ladistribución ya no es simétrica y, en consecuencia, no se adapta al modelo normal.

II) DEFINICIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL: CURVA DE GAUSSVolviendo al ejemplo anterior, y como ya vimos, si el número de alumnos crece indefinidamente y

vamos haciendo cada vez más pequeña la amplitud de los intervalos, el polígono de frecuencias tomaráentonces la forma de la distribución normal, es decir, de una campana de Gauss. La variable en este casosería continua y su recorrido sería, en principio, el intervalo [1,60;1,95], aunque teóricamente sería desde 0hasta ∞ .

Vamos a definir la distribución normal teórica:

Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de mediaµµµµ y desviación típicaσσσσ , y sedesigna por N(µ ,σ ), si cumple:

1º) La variable recorre toda la recta real, es decir (- ∞ ,∞ )2º) La distribución tiene la forma de la curva de Gauss, cuya ecuación2 es:

Observaciones: 1º) µµµµ y σσσσ se llaman parámetros de la distribución normal, y cumplen:- ∞ <µ <∞ y σ >0

2º) El significado deµ es intuitivo; el deσ lo veremos más adelante, en el apartado V.4)

La forma de la curva de Gauss es la siguiente:

Se trata de una curva simétrica respecto a X=µ.Precisamente, tiene su máximo en X=µ. Por otra parte, yapodemos empezar a ver el significado de la desviacióntípica, la cual nos indica la forma de la curva: unadesviación típicaσ a ambos lados de la mediaµ nos marca

2 e ≅ 2,7182818… es un número irracional llamado constante de Euler, en honor al matemático suizoLeonhard Euler (1707-1783)

2x21

e21)x(f

σµ−−

πσ=

1,80 1,85X=µ µ+σ -σ






la posición de los dos puntos de inflexión3 simétricos de la curva. Por último, y muy importante: convienerepetir que el área total encerrada en el histograma de frecuencias relativas era 1⇒ «el área encerrada bajola curva de Gauss es 1» .

¿Qué representa la curva de Gauss? Por ejemplo,el área sombreada de la curva de la figurarepresenta la frecuencia relativa de individuos con estatura comprendida entre 1,80 y 1,85 m, es decir,representa la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una talla comprendida entredichos valores (por cierto, puede comprobarse que la media es 1,76 m).

III) DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR: N(0,1)A la vista de lo anterior, es evidente que para cada valor deµ y σ tendremos una curva de Gauss

distinta. Pero de las infinitas distribuciones normales posibles tiene interés la distribuciónN(0,1), llamadadistribución normal estándar , distribución normal reducida, distribución normada o tipificada. Corresponde ala ecuación:

22x

e21)x(f

−

π=

, cuya representación gráfica se muestra al margen.Decimos que tiene interés pues el área que deja estátabulada (ver tabla), y además toda distribución se puedeponer en función de la N(0,1), como veremos en elsiguiente apartado.

IV) TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLEConsiste en transformar la variable X que sigue una distribución N( µµµµ ,σσσσ ) en otra variable Z que

siga una distribución N(0,1), la cual está tabulada . Para ello, hay que hacer dos pasos:

1º) CENTRAR: Trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas, haciendo x-µ (esto equivale ahacer µ=0)

2º) CONTRAER la gráfica de la distribuciónσ unidades, lo cual se consigue dividiendo porσ (esto equivale ahacer σ =1)

Estos dos pasos se consiguen simultáneamente haciendo el cambio de variableσ

µ−=

XZ (1)

En resumen:

En el próximo apartado haremos uso de la expresión (1).

3 Recordar: los puntos de inflexión de una curva son los puntos donde cambia la curvatura de ésta.

(NOTA: Se acostumbra a modificar la escala del ejey para conseguir una forma más acampanada de lacurva)

0,44,0

21≅

π

N(µ ,σ )de variable X

CAMBIO

σ

µ−=

XZ

N(0,1)de variable Z






V) MANEJO DE TABLAS(Cálculo de áreas bajo la curva de gauss) Para hallar áreas (y por lo tanto probabilidades) bajo la curva normal mediante tabla a menudo

tendremos en cuenta que dicha curva es simétrica y por lo tanto deja un 50 % de observaciones a amboslados del origen. Además, no debe olvidarse que el área encerrada total es 1, es decir el 100 % de

observaciones, o lo que es lo mismo, la probabilidad del suceso seguro. Vayamos por pasos:

V.1) Cálculo de probabilidades en una distribución N(0,1) Vamos a ver todos los casos que se pueden presentar, desde el más fácil hasta el último, el más

“complicado”. SeaZ una variable que sigue una distribución normal N(0,1). Veamos algunos ejemplos,utilizando la tabla más usual, que es una tabla de frecuencias –es decir, de probabilidades– acumuladas(precisamente la suministrada en el anexo final), como la quefigura al margen. Esta tabla nos proporciona la probabilidad deque la variableZ sea menor o igual que un determinado valork. Este valork se busca en la tabla de la siguiente forma: susunidades y décimas en la columna izquierda y las centésimasen la superior:

Ejemplo 3: Calcular P( Z≤ 1,45)

La probabilidad pedida es el área sombreada:

Por lo tanto, buscamos en la tabla k=1,4 en la columnaizquierda, y 0,05 en la fila superior; su intersección nos da:

P(Z≤ 1,45)=0,9265

Es decir, el 92,65% de las observaciones se distribuyen entre-∞ y 1,45

■ Existen 4 casos suponiendo que, a diferencia del ejemploanterior (que llamaremosCASO 0), no nos pidan directamente una probabilidad de la tabla:

CASO I (Ejemplo 4): Calcular P( Z≤ -1,45)La probabilidad pedida es el área sombreada:

La tabla solo proporciona probabilidades para valores de k positivos. Ahora bien, teniendo en cuenta lasimetría de la curva de Gauss, y que el área total encerrada por esta es 1:

P(Z≤ -1,45)=P(Z>1,45)=1- P(Z≤ 1,45)=1- 0,9265=0,0735

k

Buscamos unidades y décimas de k en la columnaizquierda, y centésimas en la fila superior

P(Z ≤k)

0 k-∞ ∞






NOTA: En una distribución de variable continua (caso de Z) las probabilidades puntuales son nulas; por lotanto, P(Z≤ k)=P(Z<k)

CASO II (Ejemplo 5): Calcular P(1,25<Z≤ 2,57)

La probabilidad pedida es el área sombreada; por lo tanto, restaremos al áreamayor la menor:

P(1,25<Z≤ 2,57)=P(Z≤ 2,57)- P(Z≤ 1,25)=0,9949- 0,8944=0,1005

CASO III (Ejemplo 6): Calcular P(- 2,57<Z≤ -1,25)

La probabilidad pedida es el área sombreada; por lo tanto, por simetría de la curvanormal:

P(- 2,57<Z≤ - 1,25)=P(1,25<Z≤ 2,57)=0,1005

CASO IV (Ejemplo 7): Calcular P(- 0,53<Z≤ 2,46)

La probabilidad pedida es el área sombreada. Este es el caso más general, y seresuelve teniendo en cuenta todo lo anterior:

P(- 0,53<Z≤ 2,46)=P(Z≤ 2,46)- P(Z≤ - 0,53)=P(Z≤ 2,46)- P(Z≥ 0,53)

=P(Z≤ 2,46)- [1- P(Z<0,53)]=0,9931- (1- 0,7019)=0,695


■ Por otra parte, tenemos el problema inverso: dada una determinada probabilidad, hallar el valor dek asociado. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 8: Calcular el valor dek (exacto o aproximado) tal que P( Z≤ k)=0,85

En las tablas encontramos que P(Z≤ 1,03)=0,8485 y P(Z≤ 1,04)=0,8508; porlo tanto, asignaremos ak el valor intermedio de 1,03 y 1,04, es decir k =1,035

(Nótese que lo más probable siempre es quek no aparezca exactamente en latabla, en cuyo caso se hace la media)


como en el ejemplo 5

como en el ejemplo 4

0,85

k






V.2) Cálculo de probabilidades en una distribución N(µµµµ ,σσσσ ) (Tipificación de la variable) Como hemos visto en el apartado IV, utilizando la fórmula (1) podemos convertir unavariable X que sigue unadistribución N(µ ,σ ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1), con la ventaja de que esta últimaestá tabulada:

Esto se puede hacer porque, en esencia, todas las distribuciones normales son la misma. Por lo tanto, es máscómodo buscar probabilidades en una distribución N(0,1) . Veamos ejemplos:

Ejemplo 9: En una distribución N( 66,8) , calcular:a) P(X<70) b) P( X>80) c) P(70<X< 80)

a) X=70

Por tanto, P(X<70)=P(Z<0,5)=0,6915

Gráficamente:

b) X=80

Por tanto, P( X> 80)= P( Z> 1,75)= 1- P(Z<1,75)=1- 0,9599=0,0401

Gráficamente:

c) P(70<X<80)=P(0,5<Z<1,75)=P(Z<1,75)- P(Z<0,5)=0,9599- 0,6915=0,2684

Gráficamente:

N(µ,σ )de variable X CAMBIO

σ

µ−=

XZN(0,1)de variable Z

5,08

6670XZ =−

=

σ

µ−=

75,18

6680XZ =−

=σ

µ−=

6670

74

N(66,8)

X

00,5

1

N(0,1)

0,6915

Z

nueva variableZ tipificada

Tipificamos lavariable X



N(66,8)

8066 74

X


N(0,1)

0,0401

1,750 1

Z

N(66,8)

6670 80

XTipificamos lavariable X

N(0,1)

00,5 1,75

Z

0,2684







V.3) Problemas de aplicación Ejemplo 10: Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y

desviación típica 6 kg. De una población de 2000 personas, calcular cuántas personas tendránun peso entre 64 y 76 kg.

X=64→

X=76→

Por tanto:

P(64<X<76)=P(- 1<Z<1)=P(Z<1)- P(Z<- 1)=P(Z<1)- [1- P(Z<1)]=0,8413- (1- 0,8413)=0,6826

Es decir, el 68,26% de la población tendrán un peso entre 64 y 76 kg. Por consiguiente:

Solución: 2000 · 0,6826=1365 personas

Ejercicio 1: Se ha aplicado a 300 alumnos un test y se ha observado que se distribuyen normalmente con

media 30 y desviación típica 12a) ¿Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42?b)¿Qué proporción de alumnos tendrá una puntuación entre 20 y 25?

a)

[Soluc: ≅ 47 alumnos]

b)

[Soluc: ≅ 40 alumnos]

N(µ,σ )de variable X σ

µ−=

XZiablevarnuevade)1,0(N=σ

=µ

kg6kg70

16

7064XZ −=−

=σ

µ−=

16

7076XZ −=−

=

σ

µ−=








V.4) Casos particulares de áreas bajo la curva. Significado de σσσσ

A veces tiene interés saber qué proporción de individuos de la población se distribuye en intervalos de laforma (µ - σ ,µ +σ ) , (µ - 2σ ,µ +2σ ) , etc.

Supongamos que tenemos una variable aleatoria X que sigue una distribución N(µ ,σ ). Veamos, enprimer lugar, qué proporción de individuos se encontrará en el intervalo (µ - σ ,µ +σ ) ; para ello, tipificaremosla variable, como hemos hecho en ejemplos anteriores:

Área sombreada=P(- 1<Z<1)=P(Z<1)- P(Z<- 1)==P(Z<1)- [1- P(Z<1)]=0,8413- (1- 0,8413)=0,6826

Es decir, el 68,26% de las observaciones se encuentranalejadas una desviación típica a ambos lados de la media.

En general, puede comprobarse que:

El 68,26% de las observaciones están en (µ - σ , µ +σ )El 95,44% de las observaciones están en (µ - 2σ , µ +2σ )El 99,74% de las observaciones están en (µ - 3σ , µ +3σ )

X=µ-σ CAMBIO

σ

µ−=

XZ1)(Z −=

σ

µ−σ−µ=

X=µ+σ 1)(Z =σ

µ−σ+µ=

⇒ hay que hallar P( 1< Z ≤ 1)

0 11

σ 2σ 3σ µ +σ +2 σ +3 σ

68,26%

95,44%




















9. En un determinado examen la media de las calificaciones es 6 y la desviación típica 1,2. Calcular laprobabilidad de que un alumno tenga una calificación:a) Mayor que 7 b) Menor que 5 c) Entre 5,5 y 7(Soluc: 0,2633; ídem; 0,46)

10. El Ministerio de Educación ha hecho una encuesta sobre la distribución de las edades del profesorado de

Educación Especial, y ha observado que se distribuyen normalmente con media de 38 años y desviacióntípica 6. De un total de 500 profesores,a) ¿Cuántos profesores hay con edades menores o iguales a 35años? b) ¿Cuántos mayores de 55 años? (Soluc: ≅ 154 profesores; 1 profesor)

11. Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y desviacióntípica 6 kg. De una población de 2000 personas, calcular cuántas tendrán un peso comprendido entre 65 y75 kg. (Soluc: 1187)

12. El peso teórico de una tableta de cierto medicamento es de 324 mg. Si suponemos que los pesos de lastabletas siguen una normal de desviación típica 10 mg por tableta, calcular:a) ¿Cuál será el porcentaje detabletas con peso menor o igual a 310 mg?b) ¿Cuál será el porcentaje de tabletas con peso superior a330 mg?

13. La duración media de un determinado modelo de televisor es de ocho años, con una desviación típica demedio año. Si la vida útil del televisor se distribuye normalmente, hallar la probabilidad de que un televisorcualquiera dure más de nueve años. (Soluc: ≅ 2 % de los televisores)

14. Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Supongamos que ladistribución del C.I. de 2000 personas sigue una distribución normal de media 0,8 y desviación típica 0,2.Calcular:a) El número de personas con C.I. superior a 1,4 b) El número de personas con C.I. inferior a0,9 (Soluc: 2 personas; 1383 personas)

15. La duración de un determinado modelo de pila se distribuye según una normal con media 70 horas ydesviación típica de 2 horas. A un establecimiento le quedan del pedido anterior 20 pilas.a) ¿Cuántastendrán una duración superior a 70 horas?b) ¿Cuántas tendrán una duración entre 75 y 82 horas?

16. Por estudios realizados sobre un gran número de niñas al nacer, se ha determinado que su talla sedistribuye según una normal de media 50 cm y desviación típica 1,8 cm.a) Hallar la probabilidad de queuna niña al nacer tenga una talla superior a 54 cm.b) Si durante un mes en una maternidad nacen 100niñas, ¿cuántas tendrán al nacer una talla entre 48,2 y 51,8? (Soluc: 0,0132; 68 niñas)

17. Un almacén de camisas ha determinado que el cuello de los varones adultos se distribuye normalmentecon media 38 cm y desviación típica 1,5 cm. Con el fin de poder preparar la próxima temporada, yteniendo en cuenta que su producción está en 10 000 camisas, ¿cuántas camisas de los números 35, 36,37, 38 y 39 tendrá que fabricar? (Soluc: 376 camisas del 35; 1112 del 36; 2120 del 37; 2586 del 38)

18. Continuando con el problema anterior, ¿cuántas camisas habrá que fabricar del 43? ¿Y del 33?

19. En una población de 1 000 individuos se establecen dos grupos, A y B. Los cocientes intelectuales (C.I.)de ambos grupos se distribuyen según N(100,30) y N(120,35), respectivamente. Elegido, aleatoria eindependiente, un individuo de cada grupo, se pide:a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo delgrupo A tenga un C.I. superior a 90?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo del grupo B tenga unC.I. superior a 90? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan un C.I. superior a 90?

(Soluc: 0,6293; 0,8051; el producto de las dos anteriores)







ALFONSO GONZÁLEZIES FERNANDO DE MENA


Cuadro-resumen de rectas

Función de proporcionalidad directa y=mx

Función afín y=mx+n

m<0n<0

n8

m<0n>0

n

7

m>0n<0

n

6

m>0n>0

n

5

m<0

m

1

y=mx

4

m>0

m

1

y=mx

3

2

RECTA VERTICALx=k

x=k

ky=m

m

1

FUNCIÓN CONSTANTEy=m



ALFONSO GONZÁLEZIES FERNANDO DE MENA


Cuadro-resumen de parábolas e hipérbolasParábola y=ax 2

Parábola y=ax 2 +bx+c

1º) Vértice: bxv 2a= − → yv se obtiene sustituyendo la xv anterior en la ecuación de la parábola

2º) Puntos corte eje x: y=0⇒ resolver la ecuación ax2 + b x+ c = 0 (Puede haber 2, 1 o ningún corte)

3º) Puntos corte eje y: x=0⇒ y=c

Función de proporcionalidad inversaky =x

Hipérbolaa x + by =c x + d

1º) Asíntota horizontal:ayc

=

Asíntota vertical: Anular el denominador: cx+d=0⇒ dxc

= −

2º) Corte eje x: y=0⇒ ax b 0cx d

+=

+ ⇒

bxa

= −

Corte eje y: Sustituir x=0⇒ byd

=

k<0

13

k>0

12

a<0

10

a>0

9

11

14





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COEFICIENTES BINOMIALES( )

n n!k k! n k !

=

− donde n,k ∈ℕ , n ≥







TABLA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0,1)(Probabilidad acumulada inferior)

k 0 00 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09

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