LICENCIATURA EM ENGENHARIA QUÍMICA E … · exercÍcios de fenÓmenos de transferÊncia i deq - licenciatura em engenharia quÍmica e engenharia biolÓgica 1 2. hidrostática (1ª

FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA I EXERCÍCIOS

IST

LICENCIATURA EM ENGENHARIA QUÍMICA E ENGENHARIA BIOLÓGICA

3ºANO

2006/2007

EXERCÍCIOS DE FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA I DEQ - LICENCIATURA EM ENGENHARIA QUÍMICA E ENGENHARIA BIOLÓGICA

1

2. Hidrostática (1ª Aula)

2.1 Relacione a pressão no nível A do tanque

com as leituras do manómetro de tubo em

U.

2.2 Determine a diferença de pressão entre os pontos

A e B. Qual é o ponto com maior pressão?

2.3 Considere o sistema da figura. Se a pressão do reservatório esquerdo aumentar 100 Pa,

qual é o valor do deslocamento L do menisco da água?

2.4 Determine a massa da placa inclinada para que esta não

abra enquanto o nível do óleo não ultrapassar os 2 metros.

A largura do tanque é de 2 m.

30 º

Reservatório Ar Reservatório Ar

3 cm de Diâmetro

1 cm de DiâmetroL

água


2

3. Conservação de Massa, Quantidade de Movimento e Energia (2ª Aula)

3.1 Água circula através de uma conduta circular, representada na figura, com um perfil de

velocidades dado pela equação ( )16/14)( 2rrvz −= , em que vz é a componente z da

velocidade em cm/s e r é a coordenada radial em cm. Determine a velocidade média no

tubo de diâmetro mais pequeno.

d = 1.5 cm

r8 cm

3.2 A figura seguinte representa o escoamento de água em estado estacionário num canal com

3 metros de largura que está aberto para a atmosfera. A água entra no canal com uma

distribuição de velocidades uniforme. Mais a jusante, na secção B, o perfil de velocidades

é dado por v = 4y - 2y2, em que v é a velocidade em m/s e y é a distância à base do canal

em m. Determine a velocidade V da água na entrada do canal (secção A).

0.7 m 1.0 m

v = V v = 4y-2y2

y

AB

Água (20 ºC)= 1000 kg/m3

3.3 Um objecto é colocado num túnel de água de secção transversal circular com 1 m de

diâmetro.


3

a) Considerando os perfis de velocidade para a entrada e a saída apresentados na figura,

calcule v2.

b) Determine a velocidade média à saída do túnel.

3.4 Considere o seguinte canal em que a água entra com uma velocidade de 3 m/s. Admitindo

estado estacionário, calcule a velocidade média na saída e o caudal volumétrico.

3.5 O tanque da figura contém inicialmente 1000 kg de salmoura com um teor de 10% em

massa de sal. Uma corrente de alimentação que contém 20% em massa de sal escoa para o

tanque com um caudal mássico de 20 kg/min. A concentração de sal no tanque é mantida

uniforme através da agitação. A salmoura é removida do tanque com um caudal de 10

kg/min. Determine a quantidade de sal no tanque em função do tempo e o tempo

necessário para que a massa de sal no tanque seja de 200 kg.


4

10 cm

0.6 m d = ?

Álcool (ρ = 800 kg/m3 )

Ar (ρ = 1.2 kg/m3 )

(3ª Aula) 3.6 Um fluido incompressível circula

da secção A para a secção B do

tubo horizontal representado na

figura, a um caudal de 0.06 m3/s e

com uma perda de carga por

atrito equivalente a 0.05 m de

fluido. Para uma pressão em B

equivalente a 0.61 m calcule a

carga de pressão em A.

3.7 Um tubo de Venturi tem um diâmetro

à entrada de 0.6 m e é projectado para

lidar com 6 m3/s de ar. Qual deverá

ser o diâmetro do estrangulamento

para que um manómetro diferencial

ligado à entrada e ao estrangulamento

indique um diferença de carga

equivalente a 0.1 m de álcool?

3.8 A bomba representada na figura fornece água a 15 ºC a um

caudal de 0.03 m3/s. O tubo de entrada tem um diâmetro de

0.15 m e um comprimento de 3.5 m. O tubo de entrada está

1.8 m submerso dentro de água e é vertical. Calcule a pressão

dentro do tubo à entrada da bomba.

3.9 Um tubo de Pitot é usado para medir o perfil de

velocidade no interior do tubo seguinte onde

circula ar (ρ = 1.2 kg/m3). Determine o valor da

velocidade v sabendo que a diferença da altura

entre meniscos do manómetro de água é de 10 cm.


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3.10 Água circula através de uma conduta com a forma apresentada na figura abaixo, a um

caudal de 0.028 m3/s.

a) Calcule a diferença de pressão medida pelo manómetro diferencial em mm Hg,

considerando que não há perdas de carga por atrito.

b) Qual dos ramos do manómetro é que apresenta o menisco a maior altura?

Massa especifica do mercúrio: 13700 kg/m3, Massa específica da água: 1000 kg/m3

3.11 O tanque pressurizado que se mostra na figura tem uma

secção circular de 2 m de diâmetro. O óleo está a escoar-

se através de um orifício de 5 cm de diâmetro situado

numa parede lateral do tanque. Considerando que a

pressão do ar se mantém constante, quanto tempo levará

para baixar de 0.6 m a superfície de óleo no tanque? A

massa específica do óleo no tanque é de

750 kg/m3 e a do mercúrio é de 13600 kg/m3.

3.12 No fabrico da pasta de papel, as fibras de celulose da

madeira são separadas da lenhinha através do aquecimento

em solução alcalina sob pressão, em tanques circulares

designados por digestores. No fim da digestão alcalina, abre-

se um orifício na base do digestor, e a mistura é injectada de

encontro a uma placa plana para acabar de desfazer as tiras

de madeira e separar as fibras de celulose. Estimar a

velocidade da corrente de descarga e a força de impacto no

momento em que se inicia a descarga. O atrito no interior do

digestor e a energia cinética no interior do tanque podem ser

desprezados.

vapor a 7 atm

2.4 m

ρ = 1040 kg/m3

Diâmetro da abertura = 20 cm

6.1 m

0.6 m


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(4ª Aula) 3.13 Um jacto de água é introduzido num segundo curso de água por um tubo com 7 cm de

diâmetro a uma velocidade vj = 27 m/s, de acordo com a figura. O tubo por onde circulam

a segunda corrente mais o jacto de água tem uma secção recta uniforme com um diâmetro

de 28 cm. A velocidade da água na corrente secundária, antes de contactar com a corrente

de injecção é de 3 m/s. Considerando que na secção 2 a corrente de injecção e a corrente

secundária estão perfeitamente misturadas e que o escoamento é unidireccional e

invíscido calcule:

a) a velocidade média na secção 2.

b) o aumento de pressão entre as secções 1 e 2.

3.14 Num tubo com 2 cm de diâmetro, colocado numa

superfície horizontal, circula água com um caudal

de 85 l/min em regime turbulento. Calcule a força

horizontal exercida pelo fluido no tubo.

3.15 Água a 20ºC escoa com um caudal mássico de

15 kg/s através do cotovelo da figura e descarrega

para a atmosfera. O diâmetro da secção 1 é de 10 cm

enquanto que o diâmetro da secção 2 é de 3 cm.

Calcule a força exercida nos parafusos da flange 1

sabendo que a pressão relativa em 1 é de 2.3 atm e

que o peso do cotovelo e da água no cotovelo são

desprezáveis.

1

2

P2 = 1.3 atm (rel.)

P1 = 1.5 atm (rel.)


7

3.16 O jacto de água de 6 cm de diâmetro a 20 ºC

representado na figura ao lado atinge uma

placa com um orifício de 4 cm de diâmetro.

Parte do jacto atravessa o orifício da placa

enquanto a outra parte é deflectida.

Determine a força que é necessário exercer

para manter a placa imóvel.

3.17 Uma pasta viscosa é descarregada com um caudal de 65 kg/s sobre uma correia

transportadora, do modo representado na figura. Os cilindros rotativos têm 80 cm de

diâmetro e giram no sentido horário a 150 rpm. Desprezando o atrito do sistema, calcule

a potência necessária para accionar a correia.


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4. Viscosidade, mecanismos de transporte e balanços diferenciais de Quantidade de

Movimento (5ª Aula)

4.1 Um fluido Newtoniano (ρ = 1200 kg/m3, µ = 2 mPa.s) escoa em estado estacionário num

canal rectangular horizontal com 1 mm de altura, 20 cm de comprimento e 10 cm de

largura. Sabendo que o escoamento é laminar e está desenvolvido, e que a diferença de

pressão entre a entrada e a saída do canal é de 500 Pa, determine:

a) a expressão analítica do perfil de velocidades.

b) a tensão de corte nas paredes superior e inferior.

c) o caudal mássico do fluido.

4.2 Um viscosímetro habitual para medir a viscosidade

de líquidos consiste num reservatório relativamente

largo com um tubo fino de saída, tal como está

representado na figura. Determine a viscosidade

cinemática do óleo sabendo que ele escoa com um

caudal de 0.272 cm3/s pelo tubo de saída que tem um

diâmetro de 1.8 mm.

4.3 O perfil de velocidades para o escoamento de água a 20 ºC (ρ = 103 kg/m3; µ = 10-3 Pa⋅s)

através de um tubo com 2.5 mm de diâmetro é parabólico. Se a velocidade média for de

0.6 m/s, calcule a tensão de corte na parede do tubo.

4.4 Considere o sistema da figura, no qual um veio cilíndrico se desloca a uma velocidade v0.

A barra e o tubo dentro do qual se desloca a barra são cilíndricos. Calcule o perfil de

velocidade do fluido lubrificante e o seu caudal volumétrico, em estado estacionário,

admitindo que o fluido é Newtoniano.


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4.5 Determine o caudal volumétrico (em

ml/h) através do tubo capilar da figura,

para o escoamento de água a 20 ºC, em

regime laminar e estado estacionário. O

fluido manométrico é CCl4 (ρ = 1594

kg/m3). O diâmetro do capilar é de 0.25

mm.

Viscosidade da água a 20 ºC = 1 mPa.s

(6ª Aula)

5. Fluidos Não-Newtonianos.

5.1 Num tubo capilar com 0.2 mm de diâmetro e 2 m de comprimento circula um dado tipo

de sangue, sendo a perda de carga de 100 mm Hg/m. Para este fluido, a tensão de corte é

determinada pela equação:

−=−

drdv

drdv

m zn

zrz

1

τ

em que n = 0.7 e m = 1.0 mPa s0.7.

a) Classifique o sangue quanto ao seu comportamento reológico.

b) Determine o perfil da tensão de corte no tubo capilar.

c) Determine o perfil de velocidade no tubo capilar.

d) Calcule a velocidade máxima do sangue e a tensão de corte na superfície do tubo.

Dados: ρHg = 13600 kg/m3

6. Equações diferenciais de transporte de Massa, Quantidade de Movimento e Energia

Mecânica

6.1 Calcule o torque necessário e a potência consumida para

manter em rotação o veio representado na figura (L = 0.05 m).

0.1 mm

5 cm

200 rpm


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O lubrificante usado tem uma viscosidade de 0.2 Pa⋅s e uma massa específica de 800

kg/m3.

6.2 Ar a 1 atm e 20ºC (ρ = 1.2 kg/m3; µ = 1.8⋅10-5 Pa⋅s) escoa nos dois lados de uma placa

plana com 3 m de largura e 0.5 m de comprimento. A velocidade de aproximação do ar à

placa é de 6 m/s.

a) Verifique se o escoamento é laminar em toda a extensão da placa.

b) Assumindo escoamento laminar, determine o valor da espessura máxima da camada

limite.

c) Calcule a força de arrastamento exercida pelo ar sobre a placa em kgf.

6.2 O viscosímetro de prato-e-cone representado na figura, com um raio R = 0.10 m e um

ângulo de abertura θ'0 = 0.5º, é usado para medir a viscosidade de um fluido Newtoniano.

Determine a viscosidade do fluido sabendo que é necessário um torque de 4.0 mN⋅m para

manter o cone a rodar com uma velocidade angular de 10 rad/min.

Sugestões: Assuma que vφ é suficientemente pequeno para que se possa considerar 02 ≈φv

e que a distribuição de velocidades pode ser expressa por )(),( θθφ rfrv = . Em seguida,

determine o perfil )(θτθφ simplificando e integrando a equação do movimento em termos

de τ .


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7. Análise Dimensional (7ª Aula)

7.1 Para efeitos de dimensionamento de um sistema de transporte de um fluido de Bingham

com ρ = 1200 kg/m3, µ0 = 0.05 Pa.s, τ0 = 100 Pa, pretende-se prever o gradiente de

pressão ∆P/L ao longo de um tubo horizontal com um diâmetro D = 20 cm para uma

velocidade média V = 2 m/s. Para isso, realizam-se ensaios de transporte num sistema

modelo construído à escala de 1:3, usando um fluido de Bingham com os mesmos valores

de µ0 e ρ do fluido usado no protótipo.

a) Determine os valores de V e de τ0 no modelo para que exista semelhança dinâmica

entre os dois sistemas.

b) Determine o valor de ∆P/L no protótipo, sabendo que o valor de ∆P/L medido no

modelo em condições de semelhança dinâmica é de 1 atm/m.

Nota: Admita que ambos os tubos são lisos e que ∆P/L = f (V, D, ρ, µ0, τ0)

7.2 O momento das forças de atrito (M) que actuam num disco em rotação, imerso num

grande volume de fluido Newtoniano, depende do diâmetro do disco (D), da rugosidade

da superfície do disco (ε), da velocidade angular (Ω) e das propriedades físicas do fluido

(ρ e µ).

a) Obtenha o conjunto de grupos adimensionais que descrevem este sistema.

b) Pretende-se conhecer o momento das forças de atrito que actuam num disco liso, com

2 mm de diâmetro, com uma velocidade de rotação de 120 rps em água. Para isso,

efectua-se um ensaio num modelo maior, à escala de 20:1, em água. Em condições de

semelhança dinâmica, o momento da força no modelo é de 0.1 N⋅m. Determine a

velocidade de rotação do modelo e o momento da força que actua no protótipo.

8. Escoamento turbulento 8.1 Faz-se escoar água a 20ºC através de um tubo liso, rectilíneo e horizontal, de diâmetro

0.15 m, com um gradiente de pressão ao longo do tubo de 4.3 N/m3.

a) Calcule a tensão de corte na parede.

b) Calcule a espessura da sub-camada laminar.

c) Considerando o escoamento turbulento, calcule as distâncias radiais y, contadas a partir

da parede, para as quais max,/ zz vv = 0, 0.1, 0.2, 0.4 e 1.0.


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8.2 Determine a razão µ(t)/µ para y = R/2, para água a circular num tubo liso em estado

estacionário, nas seguintes condições:

R = 7.6 cm, τ0 = 0.16 N/m2, ρ = 1000 kg/m3 e ν = 1.02 × 10-6 m2/s.

9. Transferência de quantidade de movimento interfacial: factor de atrito e coeficiente

de arrastamento (8ª Aula)

9.1 Uma bomba cuja pressão absoluta de saída é de 1.75⋅105 Pa bombeia um líquido com uma

viscosidade de 8 mPa⋅s e com uma massa específica de 880 kg/m3 através de um tubo liso

e horizontal com 1.9 cm de diâmetro interno. Calcule o comprimento do tubo para que o

caudal seja de 720 l/h.

9.2 Um líquido, com uma viscosidade de 5 mPa⋅s e uma massa específica de 960 kg/m3,

circula numa canalização de 30 m de comprimento e com 7.5 cm de diâmetro no qual

sofre uma perda de carga de 26700 Pa. Calcule a velocidade média e o caudal sabendo

que o tubo tem uma rugosidade de 0.01 mm.

9.3 Pretende-se bombear água a 20 ºC

(ρ = 998 kg/m3; µ = 10-3 Pa⋅s) através de

uma conduta com um diâmetro interno de

7.8 cm para um reservatório elevado, tal

como está representado na figura.

a) Qual é a pressão à saída da bomba para

alimentar o reservatório com um caudal de

1.14 l/s. (Leq / D)cotovelo 45º = 15

b) Qual é a fracção da perda de carga total

que é necessária para compensar o atrito na tubagem?

Bomba

45º

4.6 m

9.1 m

15 m


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(9ª Aula)

9.4 Uma esfera de aço oca, com um diâmetro de 5.0 mm e uma massa de 0.050 g, é lançada

numa coluna de líquido e atinge uma velocidade terminal de 0.50 cm/s. A massa

específica do líquido é de 900 kg/m3. A aceleração local da gravidade é de 9.807 m⋅s-2. A

esfera está suficientemente afastada das paredes para o efeito destas poder ser desprezado.

a) Calcule a força de atrito.

b) Calcule o factor de atrito.

c) Determine a viscosidade do líquido.

9.5 Determine a velocidade terminal de uma esfera lisa com uma massa específica de

1500 kg/m3 e um diâmetro de 5 mm a cair numa coluna de água a 20 ºC (µ = 1 mPa⋅s,

ρ = 1000 kg/m3).

9.6 Água à temperatura ambiente circula tangencialmente a uma placa fixa e lisa com 1.5 m

de comprimento e 1 m de largura, com uma velocidade de 5 m/s.

a) Determine a distância ao bordo de ataque à qual a camada limite deixa de ser laminar.

b) Calcule a força de arrastamento exercida pela água sobre a placa.

Coeficientes médios de arrastamento:

- Regime laminar: Cd = 1.328 Re-0.5

- Regime turbulento: Cd = 0.0720 Re-0.2


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10. Coeficientes de descarga e medidores de caudal (10ª Aula)

10.1 Um medidor de caudal com um orifício de 8 cm, está montado num tubo com 10 cm de

diâmetro interno por onde circula água e regista uma diferença de pressão de 10 cm de

mercúrio. Cd = 0.63

Determine o caudal mássico de água.

10.2 Um reservatório cilíndrico com uma altura de 3 m e com 0.5 m2 de área de base está

inicialmente cheio de água. Num dado instante abre-se na base do tanque um orifício

circular com 5 cm2 de área. Cd = 0.63

Determine o tempo necessário para o tanque esvaziar por completo.

10.3 Dois reservatórios de água, abertos para a atmosfera, estão ligados por um tubo de 900 m

de comprimento e 60 cm de diâmetro. Os níveis da superfície diferem de 7.5 m. Ocorre

uma fractura no tubo a uma distância de 425 m do reservatório mais alto. Considere que a

fractura tem a mesma resistência hidráulica que um orifício circular com 30 cm de

diâmetro e com um coeficiente de descarga de 0.6.

a) Qual a perda de água através da fractura se o caudal para o reservatório mais baixo for

de 0.4 m3/s?

b) Qual o nível do ponto de fractura?

Assuma escoamento muito turbulento e um factor de atrito de 0.008.


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11. Fundamentos de Bombas (11ª Aula)

11.1 O sistema representado na figura é usado para bombear 2500 l/min água a 15ºC de um

lago para um reservatório. O sistema apresenta as seguintes características:

- Tubagem entre o lago e a bomba: - Tubagem de saída da bomba: comprimento total: 60 m comprimento total: 20 m diâmetro interno: 15 cm diâmetro interno: 15 cm rugosidade relativa: 0.0003 rugosidade relativa: 0.0003 cotovelos de 90º normais: 2 redutor de secção de 15 para 10 cm: 1

válvula de pé com filtro (k = 3.5): 1

- Tubagem de acesso ao reservatório: comprimento total: 250 m diâmetro interno: 10 cm

rugosidade relativa: 0.00044 válvula de guilhotina aberta: 1

cotovelos de 90º normais: 3

Admitindo que a bomba se encontra ao mesmo nível que a toma de água do lago, determine:

a) A potência hidráulica e de veio da bomba e as especificações desta.

b) Os valores máximos do nível da bomba, do caudal e da temperatura sem que ocorra

cavitação.

Equação de Antoine para a água: [ ]SITPv )45/(166809.10)(log10 −−=


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12ª Aula 11.2 Considere a instalação esquematizada na figura. Pretendem-se caudais de água de 14 e

7 l/s para os tanques A e B, respectivamente.

a) Calcule a perda de carga que é necessário impor na válvula V, fechando-a

parcialmente, para se obterem os caudais desejados.

b) Escolha o modelo da bomba, sabendo que as perdas de carga por atrito são de 2 m

entre o tanque e a bomba e de 3 m entre a bomba e o ponto 1.

Tubagem entre 1 e A: Tubagem entre 1 e B Tubagem entre 0 e 1 Comprimento total = 15 m Comprimento total = 18m Diâmetro interno = 0.1 m Diâmetro interno = 0.06 m Diâmetro interno = 0.06 m f = 0.0065 f = 0.0065 f = 0.0065

11.3 O circuito hidráulico representado na figura tem comprimentos equivalentes de tubo de

25 e 175 m, a montante e a jusante da bomba, respectivamente. Determine o caudal que

se obtém quando se liga a bomba, sabendo que a rugosidade relativa do tubo é de 0.002.

80 m

φφφφ 330


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13. Escoamento compressível de gases (13ª Aula)

13.1 Pretende-se transportar um caudal de 22.7 kg/s de monóxido de carbono através de uma

conduta com 0.62 m de diâmetro e 3.4 km de comprimento, fornecendo o monóxido de

carbono no fim do tubo a uma pressão relativa de 0.6 atm. A temperatura de saída do

compressor é de 43 ºC.

Determinar a pressão necessária à saída do compressor admitindo escoamento isotérmico.

Dados: rugosidade relativa = 0.001, µ = 0.018 cp, R = 8,314 J K-1 mol-1.

13.2 É necessário transportar 60 kg/min de hidrogénio desde um recipiente à pressão de

90 atm e a uma temperatura de 27ºC até um reactor que funciona a 75 atm. Sabendo que a

distância a percorrer é de 220 m e que o factor de atrito é 0.005, determine o diâmetro da

conduta a utilizar.


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ANEXOS

Tabela I. Equação da continuidade em várias coordenadas

Coordenadas rectangulares ( x, y, z )

Coordenadas cilíndricas ( r,θ, z )

Coordenadas esféricas ( r,θ, φ )


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Tabela II. Equação do movimento em coordenadas rectangulares ( x, y, z )

Em termos de τ

Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com ρ e µ constantes


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Tabela III. Equação do movimento em coordenadas cilíndricas ( r,θθθθ, z )

Em termos de τ



21

Tabela IV. Equação do movimento em coordenadas esféricas ( r,θθθθ, φφφφ )

Em termos de τ



22

Tabela V. Componentes do tensor de corte para fluidos Newtonianos.

Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas


23

Factor de atrito de Fanning para o escoamento em tubos.


24

Factores de perda de carga por atrito em acessórios de tubagens.

Perda de carga em contracções e expansões súbitas.


25

Coeficiente de arrastamento para o escoamento em torno de esferas lisas.


26

Diagramas de Selecção e Curvas características de Bombas centrífugas


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