Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci

Emanuele Giorgi, classe VD

Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG

Geodetiche nella geometria iperbolica

Poincarè e l’infinito di Escher

Geodetiche sul cono

Geometria IperbolicaLa geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele* con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma:

* Nei testi di geometria in uso nelle scuole oggi, il V postulato viene generalmente enunciato nei seguenti termini:

“Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data"

"Data una retta L e qualche punto A non su L, almeno due

rette distinte esistono che passano per A e sono parallele a

L."

In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano L, anche se non hanno distanza

costante da L.

L’inversione circolaredetta anche trasformazione per raggi vettori

reciproci del piano

Consideriamo la circonferenza γ di centro O e raggio r; si definisce inversione circolare di centro O e di potenza k = r^2, o equivalentemente inversione circolare relativa a γ, la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P' appartenente alla semiretta uscente da O e passante per P tale che:

(Il numero k viene detto potenza dell’inversione circolare)

Tale trasformazione è inoltre biunivoca e involutoria: non è quindi necessario distinguere il piano dei punti P da quello dei punti P’ (piani sovrapposti).

kOTPOOP 2

LE PROPRIETA’dell’inversione circolare

1) I punti di γ si trasformano in se stessi.

2) Le rette passanti per O si trasformano in se stesse.

L’inversione circolare è dunque un’interessante trasformazione che non trasforma rette in rette!

3) Le rette non passanti per O si trasformano

in circonferenze

per O e viceversa. 4) Le circonferenze non passanti

per O si trasformano in circonferenze.

Usando le animazioni con Cabri è visibile che mentre P descrive una circonferenza con verso antiorario, il punto P’ descrive una circonferenza immagine con verso orario (e viceversa): l’inversione è una

trasformazione che inverte l’ordinamento su una data curva chiusa

Circonferenze ortogonali

Rette del primo e del secondo tipo

RETTE PARALLELE ED IPERPARALLELE

Nel fascio di rette passanti per P, le rette r ed s incontrano la retta passante per A e B sul bordo di γ separano le rette incidenti alla retta AB da quelle che non si intersecano con quest’ultima. Le rette r ed s sono così definite parallele alla retta AB. Tra le rette r ed s sono comprese infinite rette che non intersecano la retta AB. Tali rette si definiscono iperparallele alla retta AB. Possiamo dunque concludere che:

SONO VALIDI TUTTI GLI ASSIOMI DI EUCLIDE TRANNE QUELLO DELLE

PARALLELE!

Il triangolo iperbolicoNella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato, non è quindi affatto scontato

che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo.

Spostando l’orizzonte all’infinito si ritorna alla geometria euclidea!

Si può infatti verificare che:

- La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°.

- Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli,

allora sono congruenti.

Osserviamo che, mentre nella geometria euclidea i criteri di congruenza dei triangoli sono tre (due angoli e un lato, due lati e l'angolo compreso, tre lati), in quella iperbolica ce n'è uno in più. Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.

LE CONICHE

LE GEODETICHE NEL PIANO DI POINCARE’

La distanza tra due punti nel piano di Poincarè è così definita:

La lunghezza iperbolica di un segmento AB gode di alcune proprietà: •è definita per ogni coppia di punti interni al cerchio. •è sempre positiva o nulla. •è nulla se e solo se il punto A coincide con B. •possiede la proprietà additiva, ovvero se A, B, C appartengono allo stesso segmento e B sta tra A e C, allora la lunghezza di AB + la lunghezza di BC = la lunghezza di AC. •la lunghezza di un segmento AB tende all’infinito se il punto B tende a Q oppure se il punto A tende a P.

Poincarè e l’infinito di EscherGrazie alla geometria iperbolica di Poincarè, Escher racchiude e

delimita l’infinito in un cerchio, e chiama la sua opera “Cerchio limite IV”

Provare a disegnare le rette passanti per altri punti:

basta spostare A o B in altri punti di intersezione delle ali degli angeli

Circle Limit III is likewise based on circular arcs, but in this case, instead of being orthogonal to the boundary circle, they meet it at equal angles of almost precisely 80. (Instead of a straight line of the hyperbolic plane, each arc represents oneof the two branches of an equidistant curve.")

Da “THE TRIGONOMETRY OF

ESCHER'S WOODCUT

CIRCLE LIMIT III"H. S. M. COXETER

Geodetiche sul cono

La via più breve

per andare da B

al punto F, non

è l’arco BF sulla

circonferenza di

base del cono

ma, come si

vede sullo

sviluppo nel

P.V., è il

segmento B'F'.Muovere il punto P’

ed osservare la

traccia di H sul cono.

Geodetiche sul cono

Una geodetica

chiusa è la via più

breve per partire

da B,

circumnavigare il

cono e tornare in B

stesso.

Basta osservare il

segmento B'B'',

rappresentazione

della stessa linea

rossa, sul piano

verticale ,dove è

sviluppato il cono.