LimitDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebasBelum DiperiksaDalammatematika,konseplimitdigunakan untuk menjelaskansifatdari suatufungsi, saatargumenmendekati ke suatutitik, atautak hingga; atau sifat dari suatubarisansaatindeksmendekati tak hingga. Limit dipakai dalamkalkulus(dan cabang lainnya darianalisis matematika) untuk mencariturunandankekontinyuan.Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadapkalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.Daftar isi[sembunyikan] 1Limit sebuah fungsi 1.1Definisi formal 1.2Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga 2Limit barisan 3Bacaan lebih lanjutLimit sebuah fungsi[sunting|sunting sumber]Artikel utama untuk bagian ini adalah:Limit fungsiJikaf(x) adalah fungsi real dancadalah bilangan real, maka:

berartif(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin denganLdengan cara membuat nilaixdekat denganc. Dalam contoh ini, "limit darif(x), bilaxmendekatic, adalahL". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipunf(c)L. Bahkan, fungsif(x) tidak perlu terdefinisikan pada titikc. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.Sebagai contoh,pada saatxmendekati 2. Dalam contoh ini,f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)

0.41210.40120.40010.40.39980.39880.3882

Semakinxmendekati 2, nilaif(x) mendekati 0.4, dan karena itu. Dalam kasus dimana,fdisebutkontinyupadax=c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,

Limitg(x) pada saatxmendekat 2 adalah 0.4 (sama sepertif(x)), namun;gtidak kontinyu pada titikx= 2.Atau, bisa diambil contoh dimanaf(x) tidak terdefinisikan pada titikx=c.

Dalam contoh ini, pada saatxmendekati 1,f(x) tidak terdefinisikan pada titikx=1namun limitnya sama dengan 2, karena makinxmendekati 1,f(x) makin mendekati 2:f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)

1.951.991.999undef2.0012.0102.10

Jadi,xdapat dibuat sedekat mungkin dengan1, asal bukan persis sama dengan1, jadi limit dariadalah2.

Definisi formal[sunting|sunting sumber]Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bilaadalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik(dengan kemungkinan pengecualian pada titik) danadalah bilangan real, maka

berarti bahwa untuk setiapterdapatyang untuk semuadimana, berlaku.Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga[sunting|sunting sumber]Konsep yang berkaitan dengan limit saatxmendekati sebuah angka adalah konsep limit saatxmendekatitak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antaraxdan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalahxmenjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).Sebagai contoh, lihat. f(100) = 1.9802 f(1000) = 1.9980 f(10000) = 1.9998Semakinxmembesar, nilaif(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa

Limit barisan[sunting|sunting sumber]Perhatikanbarisanberikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.Secara formal, misalkanx1,x2, ... adalah barisanbilangan riil. Kita menyebut bilangan riilLsebagailimitbarisan ini dan menuliskannya sebagai

yang artinyaUntuk setiapbilangan riil > 0, terdapat sebuahbilangan aslin0sehingga untuk semuan>n0, |xnL| < .Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xnL| adalah jarak antaraxdanL. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagaikonvergen, bila tidak, disebutdivergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.Limit barisan danlimit fungsiberkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan padabilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsifpadax, bila ada, sama dengan limit barisanxn=f(x+1/n).

Coba Anda perhatikan kalimat - kalimat yang sering di jumpai dalam percakapan seharihari berikut ini!1.Pembalap sepedaxhampirsaja mencapai kota.2.Nilai rata-rata ulangan matematika di kelasXI IPAmendekatisempurna.

Kata-kata sepertihampir, mendekatidapat dianalogikan dengan pengertianlimitdalam matematika. Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi, yaitu :1.perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau,dan2.pengamatan grafik fungsi di sekitar titik yang ditinjau

Untuk pengamatan limit fungsi di suatu titik dapat di pahami dengan menghitung nilai fungsi di sekitar titik yang di tinjau. Misalnya, kita mempunyai fungsif(x) = x + 2, untukxmendekati 1, berapakah nilai fungsif(x)?Perhitungan nilaif(x)untukxmendekati 1 dapat dilakukan dengan cara membuat daftar nilai-nilai fungsif(x)untuk nilaixyang dekat dengan 1. Nilai fungsif(x) = x + 2di tunjukan pada tabel berikut:x0,80,90,9999 11,00011,1

f (x)2,82,92,9999...3...3,00013,1

Pada tabel di atas, terlihat nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang di tinjau dari tabel itu, tampak bahwa fungsif(x) = x + 2mendekati nilaiL= 3 jika x mendekati 1, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Dengan demikian dapat di tuliskan bahwa :a.dari arah kiri dituliskan sebagai :b.dari arah kanan dituliskan bebagai :c.baik dari arah kiri maupun kanan dituliskan sebagai :Tanda

Bagaimanakah cara menentukan limit fungsi melalui pengamatan grafik fungsi ? sebagai contoh, kita gunakan kembali fungsif(x) = x + 2.sketsa grafik fungsif (x)di tunjukan pada gambar berikut ini :

Pada gambar ini tampak bahwa fungsif(x) = x + 2 mendekati nilai L= 3jika xmendekati 1. Coba perhatikan gambar1 disamping.Tanda (+) pada 1+dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = 1 darikanan. Oleh sebab itu,di sebutlimitkanan.Gambar 1

Dengan demikian, tanda (-) pada 1-di maksudkan bahwa arah ketika mendekati x=1 adalah dari kiri. Oleh sebab itu,di sebutlimit kiri.

Pada tabel di atas limit fungsif(x)untuk x mendekati 1 dari arah kanan sama denganL2=3,0001, dan limit fungsif(x)untuk x mendekati 1 dari arah kiri sama denganL1=2,9999.Dari gambar di atas pula tampak bahwa nilaiL1danL2hampir sama dengan 3, maka dapat di katakan bahwa limit fungsif(x)untuk x mendekati 1 ada dan nilai tersebut sama dengan 3.Secara umum dapat di nyatakan bahwa jika:

Maka dapat di katakan bahwa limit fungsif(x)untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama denganL.Pernyataan itu dapat di tulis sebagai :Berdasarkan deskripsi di atas, jika, maka fungsi y =f (x)terdefinisi untuk x di sekitara.Penjelasan di atas makin di pahami dengan menyimak contoh berikut ini.