WETTL FERENC

L INERISALGEBRAazoknak, akik rteni is szeretnk

2011

Tartalomjegyzk

Plyzati tmogats

Gondoz

Copyright

Kulcsszavak: Lineris algebra, vektorok, lineris egyenletrend-szerek, mtrixok, lineris lekpezsek.

Rvid ismertets: A knyv a szerzo mrnkhallgatk szmratartott eloadsainak tapasztalataira ptve a lineris algebra tbbtmjt jszeru mdon trgyalja. A fogalmakhoz s ttelekheza szoksos helyett igyekszik motivlhatbb, termszetesebb uta-kat tallni, s ezzel rthetobb tenni az Olvas szmra. Kl-nsen azokra a tmkra koncentrl, melyek ismerete a modernmrnki, termszettudomnyos s kzgazdasgi alkalmazsokmegrtshez szksges.

A knyv jelen vltozata az elso oktatsi eredmnyek nyomnfolyamatosan vltozik.

Tmogats: Kszlt a TMOP 4.1.2. 08/2/A/KMR-2009-0028 sz-m plyzat Termszettudomnyos (matematika s fizika) kpzs amuszaki s informatikai felsooktatsban cmu projekt keretben.

Kszlt: a BME TTK Matematika Intzet gondozsbanSzakmai felelos vezeto: dr. Ferenczi MiklsProjektmenedzser: dr. dm Katalin

A projekt webcme: http://tankonyvtar.ttk.bme.hu

Cmlap grafikai terve: Cspny Gergely Lszl, Tth Norbert

Copyright: Wettl Ferenc, BME TTK, 2011E mu a Creative Commons (CC BY-NC-ND 3.0) Nevezd meg! Neadd el! Ne vltoztasd! 3.0 Magyarorszg Licenc szerint hasznlhat.

A copyright terminusai: kizrlag a Budapesti Muszaki Egyetem Termszettudomnyi Ka-

rnak s a Szerzo nevnek feltntetsvel idzheto, kizrlag szerzodskts nyomn hasznlhat kereskedelmi clra, nem mdosthat s nem ksztheto belole tdolgozs.

Tartalomjegyzk

Bevezets 17A knyvben kvetett elvek 18

A knyv felptse 21

Szoftverek 23

I. A lineris algebra forrsai 25

1 Vektorok 29Vektorok a 2- s 3-dimenzis trben 29

Irnytott szakasz, kttt s szabad vektor 29 Vektor magadsaegy irnytott szakasszal 30 Vektor megadsa hossz s irnysegtsgvel 31 Vektormuveletek a 2- s 3-dimenzis trben 31 A lineris kombinci defincija 33 Linerisfggetlensg 35 Specilis lineris kombincik 36

Tvolsg, szg, orientci 39Skalris szorzs 39 Hosszsg s szg 40 Pithagorsz-ttel 40 Kt fontos egyenlotlensg 41 Egysgvektorral val szorzs s a meroleges vetts 42 Merolegessg s orientci 43 Vektori szorzs 44 Parallelepipedon trfogata, s elojeles trfogata 47 Vegyesszorzat 47

Vektorok koordints alakban 50Descartes-fle koordintarendszer 50 Muveletek koordintsalakban megadott vektorokkal 51 A derkszgukoordintarendszer 53 Az Rn halmaz 55 Rn vektorainaksszeadsa s skalrral szorzsa 55 Lineris kombinci,lineris fggetlensg, lineris sszefggosg 57 Skalrisszorzs Rn-ben 59 Tvolsg s szg Rn-ben 60 Korrelcisegytthat 62 Bitvektorok 63 Kdvektorok, kdok 63 Vektormuveletek Znm-ben 64

62 Lineris egyenletrendszerek s megoldsuk 69Egyenes s sk egyenletei 69

Alakzatok s egyenletek 69 Skbeli egyenes egyenletei 71 Skbeli pont egyenletei 74 A 3-dimenzis tr skjainakegyenletei 75 Trbeli egyenes egyenletei 77 Trbeli pontegyenletei 80 Egyenletek Rn-ben 81

A lineris egyenletrendszer s kt modellje 84Lineris egyenlet s egyenletrendszer 84 Ekvivalens linerisegyenletrendszerek 86 Mtrixok 87 Egyenletrendszermtrixa s bovtett mtrixa 88 Sormodell: hiperskokmetszete 89 Oszlopmodell: vektor elolltsa lineriskombinciknt 92

Megolds kikszblssel 95Elemi sormuveletek 95 Lpcsos alak 95 Gauss-mdszer 96 Reduklt lpcsos alak 100 Gauss Jordan-mdszer 101 A reduklt lpcsos alak egyrtelmusge 103 Szimultnegyenletrendszerek 104 Kikszbls Zp-ben* 106

Megolds a gyakorlatban 109A kikszbls muveletignye 109 Numerikusan instabilegyenletrendszerek 109 Rszleges foelemkivlaszts 111 Sklzs 113 Iteratv mdszerek 114 Jacobi-iterci 115 Gauss Seidel-iterci 116 Az itercik konvergencija 117

3 Megoldhatsg s a megoldsok tere 121Homogn s inhomogn egyenletrendszerek megoldsai 121

Kttt vltozk szma, mtrix rangja 121 Egyenletrendszermegoldhatsgnak felttele 123 Homogn linerisegyenletrendszer megoldsai 125 Altr 126 Kifesztettaltr 128 Az inhomogn lineris egyenletrendszermegoldsai 130 Lineris fggetlensg s sszefggosg 132

Alterek tulajdonsgai s az egyenletrendszerek 135Sor- s oszloptr 135 Bzis 136 Vektor egy bzisravonatkoz koordints alakja 138 Dimenzi s rang 140 Elemi bzistranszformci* 143

A lineris algebra alapttele 147A sortr s a nulltr merolegessge 147 Kiegszto altr 148 A lineris egyenletrendszer megoldsainak jellemzse 151

Megoldsok 155

II. Mtrixok algebrja s geometrija 161

74 Mtrixmuveletek defincii 165Tblzatok 165

Tblzatok sszeadsa 165 Tblzat szorzsa szmmal 166 Tblzatok szorzsa 166 Lineris helyettests 167

Elemenknti mtrixmuveletek 170Alapfogalmak, jellsek 170 Elemenknti mtrixmuveletek 172 Mtrixok lineris kombincii 173

Mtrixszorzs 175Skalris szorzat s diadikus szorzat mtrixszorzatos alakja 176 Lineris egyenletrendszer mtrixszorzatos alakja 177 Lineris helyettests mtrixszorzatos alakja 178 Szorzsvektorral 179 Szorzs standard egysgvektorral 179 Abziscsere mtrixszorzatos alakja 180 Bzisfelbonts* 182 Egysgmtrix, elemi mtrixok 183 MtrixmuveletekZm-ben* 185

Blokkmtrixok 185Muveletek blokkmtrixokkal 185 Vektorokra particionltmtrixok 187 Lineris egyenletrendszer megoldsnakblokkmtrix alakja* 190

5 Mtrixmuveletek tulajdonsgai 195Az alapmuveletek algebrai tulajdonsgai 195

Az sszeads s a skalrral val szorzs tulajdonsgai 195 Aszorzs tulajdonsgai 196 Mtrix hatvnyozsa 198 Atranszponls tulajdonsgai 200

Mtrix inverze 201Az inverz 201 Elemi mtrixok inverze 204 Az inverzkiszmtsa 205 Az inverz tulajdonsgai 207 Azinvertlhatsg s az egyenletrendszerek megoldhatsga 209 Invertlhatsg, bzis, bziscsere 212

Muveletek specilis mtrixokkal 216Diagonlis mtrixok 216 Permutcis mtrixok s kgyk 216 Hromszgmtrixok 218 Szimmetrikus s ferdnszimmetrikus mtrixok 219 Mtrix s did sszegnekinverze* 220 Gyorsszorzs* 222

Az LU-felbonts 225Az LU-felbonts hasznlata egyenletrendszer megoldsra 226 Mtrix invertlsa LU-felbontssal 227 Az LU-felbontskiszmtsa 228 PLU-felbonts 230 Az LU-felbonts agyakorlatban 233

Megoldsok 235

86 Determinns 239Parallelogramma elojeles terlete 239 Parallelepipedon elojelestrfogata 240

A determinns, mint sorvektorainak fggvnye 241A determinns defincija 241 A determinns rtknekkiszmtsa 243 Mtrixmuveletek s determinns 246 Mikor 0 a determinns rtke 248

A determinns, mint elemeinek fggvnye 254Kgyk determinnsa 254 Permutcis mtrixdeterminnsa* 256 Elojeles aldeterminns 258 Determinnskifejtse 261 Cramer-szably s a mtrix inverze 262 Blokkmtrixok determinnsa* 266 Vandermonde-determinns 267

Megoldsok 273

7 Mtrixlekpezsek s geometrijuk 279

Mtrixlekpezs, lineris lekpezs 279A mtrixlekpezs fogalma 279 Muveletek mtrixlekpezsekkztt 280 Mtrixlekpezsek tulajdonsgai 281 Amtrixlekpezs hatsnak szemlltetsei 282 Linerislekpezs 285 Lineris lekpezsek alaptulajdonsgai 288 Lineris lekpezs mtrixa klnbzo bzisokban 289 Hasonlsg 290 Tartomnyok kpe s mrtkkvltozsa 292 Tbbvltozs fggvnyek differencilsa* 293

2- s 3-dimenzis geometriai transzformcik mtrixa 301Forgats 301 Meroleges vetts 304 Tkrzs 306 Vetts 306 Eltols 307

Meroleges vetts s a legjobb kzelts 308Meroleges vetts Rn egy alterre 308 Melyik mtrixmeroleges vetts mtrixa? 309 Altrtol val tvolsg 310 Egyenletrendszer optimlis megoldsa 312 A pszeudoinverzfogalma* 313 A pszeudoinverz tulajdonsgai* 317 Apszeudoinverz s a minimlis abszolt rtku optimlismegolds* 318 Lineris s polinomilis regresszi 320

Ortonormlt bzis, ortogonlis mtrixok 324Ortogonlis s ortonormlt bzis 324 Ortogonlismtrixok 326 Ortogonlis mtrixok geometrija 328 A 2- s3-dimenzis tr ortogonlis transzformcii 329 Givens-forgats, Householder-tkrzs* 331 GramSchmidt-ortogonalizci* 333 A QR-felbonts* 334 Egyenletrendszer optimlis megoldsa QR-felbontssal* 338

Komplex s vges test feletti terek* 342

9Komplex vektorok skalris szorzata 342 nadjungltmtrixok 344 Tvolsg s a meroleges vetts komplexterekben 345 Unitr mtrixok 345 Fourier-mtrixok 345 Diszkrt Fourier-transzformci 348 Periodikus sszetevokszurse 350 Gyors Fourier-transzformci 352 Vektorokkonvolcija 355

Megoldsok 355

III. Mtrixok sajtsgai 359

8 Sajtrtk, diagonalizls 363Sajtrtk, sajtvektor, sajtaltr 363

A sajtrtk s a sajtvektor fogalma 363 Karakterisztikuspolinom 365 A vals 2 2-es mtrixok sajtaltereinekjellemzse 367 Mtrix sszes sajtrtknek s sajtvektornakmeghatrozsa 368 A karakterisztikus egyenlet komplexgykei 371 A karakterisztikus egyenlet tbbszrs gykei: azalgebrai s a geometriai multiplicits 372 Specilis mtrixoksajtrtkei 373 Sajtrtkek s a mtrix hatvnyai 374

Hasonlsg, diagonalizlhatsg 377Lineris transzformcik sajtrtkei 377 Hasonl mtrixoksajtrtkei 378 Mtrixok diagonalizlsa 379 Sajtrtkekmultiplicitsa s a diagonalizlhatsg* 382 Mtrixokhatvnyai s egyb fggvnyei 385 Mtrixok ortogonlisdiagonalizlsa 386

Kvadratikus formk 388Homogn msodfok polinomok mtrixszorzatos alakja 389 Fotengelyttel 390 Kvadratikus formk s mtrixokdefinitsge 391 Kpszeletek osztlyozsa 393 Definitsg ssajtrtkek 393 Szlsortk 393 Szlsortk azegysggmbn 393

9 Szingulris rtk 395Szingulris rtk, szingulris vektor, SVD 395

Szingulris rtk 395 Szingulris felbonts 396 Aszingulris rtkek s a szingulris felbonts meghatrozsa 399 Szingulris rtk szerinti felbonts ltezse 401 Bal s jobbszingulris vektorok 402 Szimmetrikus s nadjungltmtrixok szingulris felbontsa 402 Polrfelbonts 402 Pszeudoinverz 402 Informcitmrts 402

10

10 Jordan-fle normlalak 405Schur-felbonts 405 ltalnostott sajtvektorok s aJordan-blokk 405 Jordan normlalak 409 A Jordan-alakegyrtelmusge 411 A Jordan-bzis konstrukcija 415 Mtrixfggvnyek 420 A Jordan normlalak hasznlata adifferencilegyenletrendszerek megoldsban 421

11 Nemnegatv mtrixok 423Mtrixok sszehasonltsa 423

Pozitv mtrixok 424

Nemnegatv mtrixok 427

Irreducibilis mtrixok 431

Megoldsok 434

A Fggelk 437Lebegopontos szmbrzols 437

A lebegopontos szmbrzols 437 Muveletek lebegopontosszmokkal 439 Algoritmusok muveletignye: flop s flops 440

Komplex szmok 442

Testek, gyuruk 442

Prmelemu testek 445Aritmetika vges halmazon 445

Polinomok 447

B Lineris algebra dihjban 449

Irodalomjegyzk 451

Trgymutat 453

Listk

Ttelek, lltsok, kvetkezmnyek

1.2. Parallelogramma-mdszer . . . . . . . . . . . . 321.5. A vektormuveletek tulajdonsgai . . . . . . . . . 331.7. Vektorral prhuzamos vektorok . . . . . . . . . . 341.8. Kt vektorral egy skba eso vektorok . . . . . . . 341.9. Trbeli vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.11. Skbeli vektor felbontsa . . . . . . . . . . . . . . 361.12. Trbeli vektor felbontsa . . . . . . . . . . . . . . 361.13. Kt ponton tmeno egyenes jellemzse . . . . . 361.14. Intervallum pontjainak jellemzse . . . . . . . . 371.17. Mikor 0 a skalris szorzat? . . . . . . . . . . . . . 391.18. A skalris szorzs muveleti tulajdonsgai . . . . 401.19. Pithagorsz-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.21. CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenlotlensg 411.22. Hromszg-egyenlotlensg . . . . . . . . . . . . 411.23. Egysgvektorral val szorzs geometriai jelentse 421.24. Vektor felbontsa meroleges sszetevokre . . . . 421.29. Mikor 0 a vektori szorzat? . . . . . . . . . . . . . 461.30. Vektori szorzat abszolt rtknek geometriai

jelentse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.31. Vektori szorzs muveleti tulajdonsgai . . . . . 461.35. Ekvivalencia relci . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.38. Vektormuveletek koordints alakja . . . . . . . 521.40. Skalris szorzat ortonormlt koordintarend-

szerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.41. Vektori szorzat ortonormlt koordintarend-

szerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.44. Az sszeads s skalrral szorzs tulajdonsgai 561.46. Lineris fggetlensg . . . . . . . . . . . . . . . . 571.47. Lineris sszefggosg . . . . . . . . . . . . . . . 591.48. A skalris szorzs tulajdonsgai . . . . . . . . . 591.51. CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenlotlensg 611.52. Hromszg-egyenlotlensg Rn-ben . . . . . . . . 611.53. Skalris szorzat s abszolt rtk Rn-ben . . . . 622.5. Skbeli egyenes explicit vektoregyenlete . . . . . 71

2.6. Skbeli egyenes implicit vektoregyenlete . . . . . 722.7. Skbeli egyenes explicit egyenletrendszere . . . . 722.8. Skbeli egyenes (implicit) egyenlete . . . . . . . . 722.10. Sk explicit vektoregyenlete . . . . . . . . . . . . 752.11. Sk implicit vektoregyenlete . . . . . . . . . . . . 752.12. Sk explicit egyenletrendszere . . . . . . . . . . . 762.13. Sk implicit egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . 762.15. Trbeli egyenes explicit vektoregyenlete . . . . . 772.16. Trbeli egyenes explicit egyenletrendszere . . . 782.17. Trbeli egyenes implicit egyenletrendszere . . . 782.29. Ekvivalens talaktsok . . . . . . . . . . . . . . . 862.34. Sormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.36. Oszlopmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.42. Lpcsos alakra hozs . . . . . . . . . . . . . . . . 982.50. A reduklt lpcsos alak egyrtelmu . . . . . . . 1032.56. A kikszbls muveletignye . . . . . . . . . . 1092.65. Elgsges felttel az itercik konvergencijra . 1183.1. Foelemek oszlopai . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4. Kttt s szabad vltozk szma . . . . . . . . . 1223.6. A megoldhatsg mtrixrangos felttele . . . . . 1233.7. Homogn lineris egyenletrendszer megoldha-

tsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.9. Megoldsok lineris kombincija . . . . . . . . 1253.11. Alterek sszege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.13. Megoldsok altere . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.16. A kifesztett altr altr . . . . . . . . . . . . . . . 1293.18. Homogn s inhomogn egyenletrendszer meg-

oldsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.20. Inhomogn egyenletrendszer megoldhatsga . 1313.22. Lineris fggetlensg eldntse . . . . . . . . . . 1323.24. Elemi sormuveletek hatsa a sor- s oszlopvek-

torokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.25. Mtrix lpcsos alakjnak vektorai . . . . . . . . . 1363.29. Bzis ekvivalens defincii . . . . . . . . . . . . . 1383.31. Bzis-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.34. Dimenzi = rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.37. Dimenzittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.38. Elemi bzistranszformci . . . . . . . . . . . . . 1443.41. A sortr s a nulltr merolegessge . . . . . . . . 148

12

3.42. Kiegszto alterek tulajdonsgai . . . . . . . . . . 1493.43. A meroleges kiegszto altr tulajdonsgai . . . 1503.44. A lineris algebra alapttele . . . . . . . . . . . . 1513.45. A ngy kitntetett altr . . . . . . . . . . . . . . . 1513.46. Lineris egyenletrendszer megoldsai . . . . . . 1514.17. Mtrixszorzs s lineris kombinci . . . . . . 1794.18. Mtrix elemeinek, sor- s oszlopvektorainak elo-

lltsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.22. Koordintk vltozsa a bzis cserjnl . . . . . 1824.23. Bzisfelbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.29. Elemi sormuveletek mtrixszorzssal . . . . . . 1854.30. Muveletek blokkmtrixokkal . . . . . . . . . . . 1854.34. A szorzat oszlopai s sorai . . . . . . . . . . . . . 1894.36. A megolds felrsa blokkmtrixokkal . . . . . . 1904.37. A nulltr bzisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.1. sszeads s skalrral szorzs tulajdonsgai . . 1955.4. Mtrixszorzs algebrai tulajdonsgai . . . . . . . 1965.5. Hatvnyozs azonossgai . . . . . . . . . . . . . 1995.8. Transzponls tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . 2005.13. Sormuvelet inverznek mtrixa . . . . . . . . . . 2045.14. Az inverz egyrtelmusge . . . . . . . . . . . . . 2055.15. Az inverz ltezshez elg egy felttel . . . . . . 2055.17. 2 2-es mtrix inverze . . . . . . . . . . . . . . . 2075.18. Az inverz alaptulajdonsgai . . . . . . . . . . . . 2075.20. Az invertlhatsg s az egyenletrendszerek . . 2095.24. Invertlhatsg s bzis . . . . . . . . . . . . . . 2125.25. Az ttrs mtrixnak inverze . . . . . . . . . . . 2125.28. Muveletek diagonlis mtrixokkal . . . . . . . . 2165.32. Muveletek permutcis mtrixokkal . . . . . . . 2175.35. Muveletek hromszgmtrixokkal . . . . . . . . 2195.38. Muveletek (ferdn) szimmetrikus mtrixokkal . 2195.39. Felbonts szimmetrikus s ferdn szimmetrikus

mtrix sszegre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.40. ATA s AAT szimmetrikus . . . . . . . . . . . . 2205.41. Sherman Morrison-formula . . . . . . . . . . . 2205.49. Az LU-felbonts ltezse s egyrtelmusge . . 2296.2. Nullvektort tartalmaz determinns . . . . . . . 2436.3. Elemi sormuveletek determinnson . . . . . . . 2436.4. Elemi mtrixok determinnsa . . . . . . . . . . . 2446.5. Permutcis mtrix determinnsa . . . . . . . . 2446.6. Hromszgmtrix determinnsa . . . . . . . . . 2446.8. Determinnsok szorzsszablya . . . . . . . . . 2476.10. Transzponlt determinnsa . . . . . . . . . . . . 2476.12. Zrus rtku determinns . . . . . . . . . . . . . 2486.14. Egyenletrendszer megoldhatsga s a determi-

nns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.15. Felbonts kgyk determinnsainak sszegre . 2556.16. Permutcis mtrix determinnsa . . . . . . . . 2576.18. Determinnsfggvny ltezse . . . . . . . . . . 2576.21. Determinns rendjnek cskkentse . . . . . . . 2596.23. Determinnsok kifejtsi ttele . . . . . . . . . . . 261

6.25. Cramer-szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.27. Mtrix inverznek elemei . . . . . . . . . . . . . 2646.29. Determinnsok szorzata blokkmtrixban . . . . 2666.30. 2 2-es blokkmtrix determinnsa . . . . . . . . 2676.33. Vandermonde-determinns rtke . . . . . . . . 2697.2. Mtrixlekpezsek alapmuveletei . . . . . . . . . 2807.3. Inverz mtrixlekpezsek . . . . . . . . . . . . . 2817.4. A lineris kombincit megorzo lekpezsek . . 2817.9. Skbeli forgats, tkrzs, vetts . . . . . . . . . 2867.10. Lineris lekpezs mtrixa . . . . . . . . . . . . . 2867.12. Lineris lekpezsek alaptulajdonsgai . . . . . 2887.13. Lineris lekpezs mtrixai kzti kapcsolat . . . 2907.16. Hasonl mtrixok hatsa . . . . . . . . . . . . . . 2917.17. Hasonlsgra invarins tulajdonsgok . . . . . . 2917.18. Tartomny mrtknek vltozsa lineris

transzformciban . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.20. Jacobi-mtrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2947.23. Lncszably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2977.25. A forgats mtrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.28. Tengely krli forgats Rodrigues-formula . . 3027.31. Egyenesre val meroleges vetts mtrixa . . . . 3047.32. Skra val meroleges vetts mtrixa . . . . . . . 3057.34. Skbeli tkrzs mtrixa . . . . . . . . . . . . . . 3067.35. Skra val tkrzs mtrixa . . . . . . . . . . . . 3067.37. Altrre val vetts mtrixa . . . . . . . . . . . . 3087.39. Meroleges vetts mtrixai . . . . . . . . . . . . . 3097.41. Legjobb kzelts ttele . . . . . . . . . . . . . . . 3117.42. Vektor felbontsa sszetevokre . . . . . . . . . . 3117.44. Egyenletrendszer optimlis megoldsa . . . . . 3127.47. Pszeudoinverz ltezse s egyrtelmusge . . . 3157.48. A pszeudoinverz kiszmtsa . . . . . . . . . . . 3157.50. Penrose-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.51. A+A s AA+ meroleges vetts . . . . . . . . . . 3187.52. Optimlis megolds pszeudoinverzzel . . . . . . 3187.55. Lineris regresszi . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217.56. Linearizlhat regresszis modellek . . . . . . . 3217.58. Ortogonlis vektorok fggetlensge . . . . . . . 3247.59. Legjobb kzelts ONB esetn . . . . . . . . . . . 3257.63. Szemiortogonlis mtrixok ekvivalens defincii 3277.64. Ortogonlis mtrixok ekvivalens defincii . . . 3277.66. Ortogonlis mtrixhoz tartoz mtrixlekpezs 3287.67. Ortogonlis mtrixok tulajdonsgai . . . . . . . 3297.68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.70. Egy vektor tkrzse egy msikba . . . . . . . . 3327.72. GramSchmidt-ortogonalizci . . . . . . . . . . 3337.75. QR-felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3367.78. Legkisebb ngyzetek QR-felbontssal . . . . . . 3397.82. Az adjunglt tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . 3437.83. A komplex skalris szorzs tulajdonsgai . . . . 3437.85. Fourier-sszeg helyettestsi rtkei . . . . . . . 3457.86. A Fourier-mtrixok tulajdonsgai . . . . . . . . . 347

13

7.88. A DFT tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . 3507.91. Gyors Fourier-transzformci . . . . . . . . . . . 3538.4. A sajtvektorok alterei . . . . . . . . . . . . . . . 3648.8. Hromszgmtrixok sajtrtkei . . . . . . . . . 3678.9. Determinns, nyom s a sajtrtkek . . . . . . . 3678.11. 2 2-es szimmetrikus mtrixok sajtalterei . . . 3688.16. Specilis mtrixok sajtrtke . . . . . . . . . . . 3738.17. Mtrix invertlhatsga s a 0 sajtrtk . . . . . 3748.18. Mtrix hatvnyainak sajtrtkei s sajtvektorai 3748.19. Mtrix hatvnyainak hatsa . . . . . . . . . . . . 3758.22. Sajtrkhez kapcsold invarinsok . . . . . . . 3788.24. Diagonalizlhatsg szksges s elgsges fel-

ttele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3798.26. Klnbzo sajtrtkek sajtvektorai . . . . . . . 3808.27. Klnbzo sajtrtkek s diagonalizlhatsg . 3818.29. Algebrai s geometriai multiplicits kapcsolata . 3828.30. Diagonalizlhatsg s a geometriai multiplicits 3838.34. Szimmetrikus mtrix sajtalterei . . . . . . . . . 3868.35. Vals spektrlttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868.38. Fotengelyttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3908.42. Definitsg meghatrozsa a sajtrtkekbol . . . 3939.6. A szingulris rtkek tulajdonsgai . . . . . . . 40110.6. Jordan normlalak . . . . . . . . . . . . . . . . . 40910.8. A Jordan-alak egyrtelmusge . . . . . . . . . . . 41210.13.Exponencilis fggvny kiszmtsa . . . . . . . 42011.1. Perron-ttel: pozitv sajtrtk s sajtvektor . . 42411.2. Perron-ttel: egyszeres s dominns sajtrtk . 42511.3. PerronFrobenius-ttel gyenge vltozat . . . . 42711.4. CollatzWielandt-ttel . . . . . . . . . . . . . . . 42811.5. Nemnegatv mtrixok spektrlsugarnak becs-

lse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42911.8. PerronFrobenius-ttel eros vltozat . . . . . . 4322.1. Mtrix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4492.2. Invertlhat ngyzetes mtrixok . . . . . . . . . 450

Defincik

. Irnytott szakasz, kttt vektor . . . . . . . . . . 29

. Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

. Zrusvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

. Vektor hossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

. Vektorok szge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1. Kt vektor sszege hromszgmdszer . . . . 311.3. Vektorok klnbsge . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4. Vektor szorzsa skalrral . . . . . . . . . . . . . 331.6. Lineris kombinci . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10. Vektorok fggetlensge . . . . . . . . . . . . . . . 351.15. Kt vektor skalris szorzata . . . . . . . . . . . . 39. Egysgvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.26. Vektori szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.33. Vegyes szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

. Vektor koordints alakja 2D-ben . . . . . . . . . 50

. Vektor koordints alakja 3D-ben . . . . . . . . . 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.43. Vektormuveletek Rn-ben . . . . . . . . . . . . . . 551.49. Abszolt rtk, szg, merolegessg, tvolsg . . 60. Korrelcis egytthat . . . . . . . . . . . . . . . 621.54. Kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3. Alakzat (implicit) egyenletrendszere . . . . . . . 702.4. Alakzat (explicit) egyenletrendszere . . . . . . . 712.21. Lineris egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.25. Lineris egyenletrendszer . . . . . . . . . . . . . 852.26. Lineris egyenletrendszer megoldsa . . . . . . 862.28. Ekvivalens egyenletrendszerek . . . . . . . . . . 862.37. Elemi sormuveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.38. Lpcsos alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.45. Reduklt lpcsos alak . . . . . . . . . . . . . . . . 100. rref fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.51. Szimultn egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . 1042.64. Soronknt dominns fotlj mtrix . . . . . . . 1183.2. Mtrix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.10. Altr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.14. Nulltr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.15. Kifesztett altr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.19. Sortr, oszloptr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.26. Bzis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.32. Dimenzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.35. Vektorrendszer rangja . . . . . . . . . . . . . . . 142. Meroleges altr s meroleges kiegszto altr . . 148. Kiegszto altr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.1. Lineris helyettests . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.4. Mtrixok egyenlosge . . . . . . . . . . . . . . . 1714.5. Adott tpus mtrixok tere . . . . . . . . . . . . 1714.6. Mtrixok sszege, klnbsge . . . . . . . . . . . 1724.8. Zrusmtrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.9. Mtrix szorzsa skalrral . . . . . . . . . . . . . . 1724.11. Mtrixok szorzsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.13. Diadikus szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.21. ttrs mtrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.25. Egysgmtrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.26. Elemi mtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.9. Mtrix inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.30. Permutcis mtrix, kgy . . . . . . . . . . . . . 2175.34. Hromszgmtrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.36. Szimmetrikus s ferdn szimmetrikus mtrixok 2195.45. LU-felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.50. PLU-felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.1. Determinns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.19. Elojeles aldeterminns . . . . . . . . . . . . . . . 2586.32. Vandermonde-determinns . . . . . . . . . . . . 268. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

14

7.7. Lineris lekpezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.15. Hasonlsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290. Lineris lekpezs rangja . . . . . . . . . . . . . 292. Lineris lekpezs determinnsa . . . . . . . . . 2927.19. Differencilhatsg . . . . . . . . . . . . . . . . . 294. Altrre val meroleges vetlet . . . . . . . . . . . 308. Optimlis megolds . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Normlegyenlet-rendszer . . . . . . . . . . . . . 3127.45. A MoorePenrose-fle pszeudoinverz . . . . . . 314. Regresszis egyenes . . . . . . . . . . . . . . . . 321. Ortogonlis s ortonormlt bzis . . . . . . . . . 3247.61. Ortogonlis s szemiortogonlis mtrix . . . . . 326. Givens-forgats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331. Householder-tkrzs . . . . . . . . . . . . . . . 331. QR-felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3347.80. Komplex mtrix adjungltja . . . . . . . . . . . . 3427.81. Komplex vektorok skalris szorzata . . . . . . . 343. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344. Komplex vektorok hossza, tvolsga, szge, me-

rolegessge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3457.87. Diszkrt Fourier-transzformci (DFT) . . . . . . 349. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.2. Sajtrtk, sajtvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 3648.5. Sajtaltr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.20. Lineris transzformci sajtrtke, sajtvektora 3778.23. Diagonalizlhatsg . . . . . . . . . . . . . . . . 3798.33. Ortogonlis diagonalizlhatsg . . . . . . . . . 386. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3898.40. Kvadratikus formk s mtrixok definitsge . . 3919.1. Szingulris rtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396. Szingulris felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . 398. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39810.1. ltalnostott sajtvektor . . . . . . . . . . . . . . 40610.3. Jordan-blokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40710.12.Mtrix exponencilis fggvnye . . . . . . . . . 420. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42511.6. Reducibilis s irreducibilis mtrixok . . . . . . . 4311.1. Lebegopontos szmok . . . . . . . . . . . . . . . 4381.6. Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4421.10. Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

Kidolgozott pldk

1.16. Skalris szorzat kiszmtsa a definci alapjn . 391.20. Skalris szorzat kiszmtsa . . . . . . . . . . . . 411.25. Meroleges sszetevokre bonts . . . . . . . . . . 431.27. Vektori szorzat meghatrozsa . . . . . . . . . . 451.28. i, j, k vektori szorzata . . . . . . . . . . . . . . . 451.32. Parallelepipedon trfogata . . . . . . . . . . . . . 47

1.34. Vegyes szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.36. Vektorok koordinti . . . . . . . . . . . . . . . . 501.37. Pontok koordinti . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.39. Skalris szorzs koordintarendszerben . . . . . 521.42. Parallelogramma terlete . . . . . . . . . . . . . 541.45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.50. Vektorok szge s tvolsga . . . . . . . . . . . . 611.55. BCD-kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.56. Lineris kombinci Znm-ben . . . . . . . . . . . 641.57. One time pad a tkletes titkosts . . . . . . . 651.58. Paritsbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.59. Ellenorzo sszeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1. Az x + y = 1 egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . 692.2. Az x2 + y2 = 1 egyenlet . . . . . . . . . . . . . . 692.9. Skbeli egyenes egyenletei . . . . . . . . . . . . . 742.14. Sk egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.18. Trbeli egyenes egyenletrendszerei . . . . . . . . 792.19. Egyenes s sk explicit vektoregyenlete . . . . . 812.20. Hipersk egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.22. Lineris egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.23. Lineris egyenlet azonos talaktsa . . . . . . . 842.24. Lineris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . 852.27. Egyenletrendszer egy megoldsa . . . . . . . . . 862.30. Mtrix hasznlata a megoldshoz . . . . . . . . 882.31. Sormodell kt ktismeretlenes egyenlettel . . . . 892.32. Ha 0 lesz a bal oldal . . . . . . . . . . . . . . . . 902.33. Sormodell hrom hromismeretlenes egyenlettel 902.35. A megolds lpsei az oszlopmodellben . . . . . 932.39. Lpcsos alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.40. Gauss-mdszer, egy megolds . . . . . . . . . . 962.41. Gauss-mdszer, vgtelen sok megolds . . . . . 972.43. Homogn lineris egyenletrendszer megoldsa . 992.44. Skok metszsvonalnak meghatrozsa . . . . . 992.46. Reduklt lpcsos alak . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.47. Reduklt lpcsos alakra hozs . . . . . . . . . . . 1012.48. Gauss Jordan-mdszer, egy megolds . . . . . 1012.49. Gauss Jordan-mdszer, vgtelen sok megolds 1022.52. Szimultn egyenletrendszer megoldsa . . . . . 1052.53. Szimultn egyenletrendszer bovtett mtrixa . . 1052.54. Egyenletrendszer Z2 fltt . . . . . . . . . . . . . 1062.55. Egyenletrendszer Z5 fltt . . . . . . . . . . . . . 1072.57. Instabil egyenletrendszer . . . . . . . . . . . . . . 1102.58. Gauss-mdszer lebegopontos szmokkal . . . . 1112.59. Rszleges foelemkivlaszts . . . . . . . . . . . . 1122.60. Sor szorzsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.61. Jacobi-iterci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.62. Gauss Seidel-iterci . . . . . . . . . . . . . . . 1162.63. Divergens iterci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.3. Mtrix rangjnak kiszmtsa . . . . . . . . . . . 1223.5. Kttt s szabad vltozk szma . . . . . . . . . 1223.8. Egyenletrendszer megoldsainak szma . . . . . 124

15

3.12. Altr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.17. Nulltr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.21. Kifesztett altr vektorai . . . . . . . . . . . . . . 1313.23. Vektorok lineris fggetlensgnek eldntse . . 1323.27. Altr bzisnak meghatrozsa . . . . . . . . . . 1373.28. Vektor felrsa a bzisvektorok lineris kombi-

ncijaknt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.30. Vektor koordints alakja a B bzisban . . . . . 1393.33. Mtrix transzponltja . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.36. Dimenzi kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . . . 1423.39. Egyenletrendszer megoldsa elemi bzistransz-

formcival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.40. Vektorokra meroleges altr . . . . . . . . . . . . 1473.47. Lineris egyenletrendszer sortrbe eso megol-

dsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2. Lineris helyettestsek kompozcija . . . . . . 1684.3. Mtrixok s elemeik . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.7. Mtrixok sszege, klnbsge . . . . . . . . . . . 1724.10. Mtrixok lineris kombincija . . . . . . . . . . 1734.12. Mtrixok szorzsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.14. Skalris s diadikus szorzat . . . . . . . . . . . . 1764.15. Egyenletrendszer mtrixszorzatos alakja . . . . . 1774.16. Szimultn egyenletrendszer mtrixszorzatos

alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.19. ttrs a standard bzisra . . . . . . . . . . . . . 1804.20. Bziscsere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.24. Bzisfelbonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.27. Elemi mtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.28. Mtrix balrl szorzsa elemi mtrixszal . . . . . 1844.31. Muveletek blokkmtrixokkal . . . . . . . . . . . 1864.32. 2 2-es blokkmtrixok . . . . . . . . . . . . . . . 1874.33. Szorzat elolltsa didok sszegeknt . . . . . . 1884.35. Nulltr bzisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2. Egyszerusts mtrixszal . . . . . . . . . . . . . . 1965.3. Nulloszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.6. Mtrix hatvnyozsa . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.7. Polinom helyettestsi rtke . . . . . . . . . . . 2005.10. Mtrix inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.11. Szingulris mtrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.12. IA inverze nilpotens A esetn . . . . . . . . . 2045.16. Az inverz kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . . . 2065.19. Inverz tulajdonsgainak alkalmazsa . . . . . . . 2085.21. Egyenletrendszer megoldsa mtrixinvertlssal 2105.22. Mtrixegyenlet megoldsa mtrixinvertlssal . 2115.23. Mtrix elemi mtrixok szorzatra bontsa . . . . 2115.26. Az ttrs mtrixnak inverze . . . . . . . . . . . 2135.27. Muveletek diagonlis mtrixokkal . . . . . . . . 2165.29. Sorok permutcija mtrixszorzssal . . . . . . . 2165.31. Kgyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.33. Permutcis mtrix inverze . . . . . . . . . . . . 2185.37. Szimmetrikus s ferdn szimmetrikus mtrixok 219

5.42. Inverz vltozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.43. Inverz vltozsa szmpldn . . . . . . . . . . . 2215.44. Gauss-kikszbls mtrixszorzssal . . . . . . 2255.46. Egyenletrendszer megoldsa LU-felbontssal . . 2265.47. Mtrix invertlsa LU-felbontssal . . . . . . . . 2275.51. PLU-felbonts elolltsa . . . . . . . . . . . . . . 2326.7. Determinns kiszmtsa hromszg alakra ho-

zssal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.9. Determinns kiszmolsa PLU-felbontsbl . . 2476.11. Determinns kiszmtsa elemi oszlopmuvele-

tekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.13. Zrus rtku determinnsok . . . . . . . . . . . . 2496.17. Inverzik szma s a determinns . . . . . . . . 2576.20. Elojeles aldeterminns . . . . . . . . . . . . . . . 2586.22. Determinns rendjnek cskkentse . . . . . . . 2606.24. Kifejtsi ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.26. Cramer-szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.28. Mtrix inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2656.31. Interpolci msodfok polinomokra . . . . . . 2677.1. Vektori szorzssal definilt mtrixlekpezs . . 2807.5. Mtrixlekpezs brzolsa az egysgrcs kpvel 2837.6. Mtrixlekpezs brzolsa az egysgkr kpvel 2847.8. A derivls s az integrls lineris lekpezs . 2867.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.14. Lineris lekpezs mtrixa msik bzisban . . . 2907.21. Jacobi-mtrix kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . 2957.22. Fggvnyrtk becslse Jacobi-mtrixszal . . . . 2967.24. Lncszably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2977.26. Forgats egy tetszoleges pont krl . . . . . . . 3017.27. Koordintatengely krli forgats a trben . . . 3027.29. Forgats mtrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.30. A forgats mtrixnak inverze . . . . . . . . . . 3047.33. Skra eso meroleges vetlet kiszmtsa . . . . . 3057.36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.38. Meroleges vetlet kiszmtsa . . . . . . . . . . . 3097.40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3107.43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.46. Nhny pszeudoinverz . . . . . . . . . . . . . . . 3147.49. A pszeudoinverz kiszmtsa . . . . . . . . . . . 3167.53. Egyenletrendszer optimlis megoldsa . . . . . 3197.54. Egyenletrendszer optimlis megoldsa . . . . . 3207.57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3227.60. Egy pont skra val meroleges vetlete . . . . . 3267.62. Ortogonlis mtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . 3267.65. Ortogonlis mtrixok inverze . . . . . . . . . . . 3287.69. Forgats tengelye s szge . . . . . . . . . . . . . 3307.71. Householder-tkrzs . . . . . . . . . . . . . . . 3327.73. GramSchmidt-ortogonalizci . . . . . . . . . . 3347.74. QR-felbonts kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . 3357.76. QR-felbonts Givens-forgatsokkal . . . . . . . . 3367.77. QR-felbonts Hauseholder-tkrzssel . . . . . . 338

16

7.79. Egyenletrendszer optimlis megoldsa . . . . . 3397.84. nadjunglt mtrixok . . . . . . . . . . . . . . . 3457.89. DFT kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3507.90. Magas frekvencij sszetevok szurse . . . . . 3518.1. J bzis tkrzshez . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.3. Sajtrtk, sajtvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 3648.6. Sajtaltr bzisnak meghatrozsa . . . . . . . 3658.7. Karakterisztikus polinom felrsa . . . . . . . . . 3668.10. 2 2-es mtrixok sajtvektorainak brzolsa . 3678.12. Az sszes sajtrtk s sajtvektor meghatrozsa 3698.13. Magasabbfok karakterisztikus egyenlet . . . . 3708.14. Komplex sajtrtkek s komplex elemu sajt-

vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3718.15. Sajtrtk algebrai s geometriai multiplicitsa . 3728.21. Lineris transzformci sajtrtke, sajtaltere . 3778.25. Mtrix diagonalizlsa . . . . . . . . . . . . . . . 3808.28. Diagonalizlhatsg megllaptsa . . . . . . . . 3828.31. Lineris transzformci diagonalizlsa . . . . . 3848.32. Mtrixok nagy kitevos hatvnyai . . . . . . . . . 3858.36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3878.37. Msodfok polinom mtrixszorzatos alakja . . . 3898.39. Fotengely-transzformci . . . . . . . . . . . . . 3918.41. Definitsg meghatrozsa a sajtrtkekbol . . . 392

9.2. Szingulris rtkek . . . . . . . . . . . . . . . . . 3969.3. Szingulris felbontsok . . . . . . . . . . . . . . . 3989.4. Szingulris rtkek meghatrozsa . . . . . . . . 3999.5. Szingulris felbonts . . . . . . . . . . . . . . . . 40010.2. Jordan-lnc konstrukcija . . . . . . . . . . . . . 40610.4. Jordan-lnchoz tartoz Jordan-blokk . . . . . . . 40710.5. Jordan-lncok s Jordan-blokkok kapcsolata . . 40810.7. Normlalakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41110.9. Jordan-blokkok mrete . . . . . . . . . . . . . . . 41310.10.Jordan-blokkok mrete . . . . . . . . . . . . . . . 41410.11.Jordan-bzis elolltsa . . . . . . . . . . . . . . . 41710.14.Mtrix exponencilis fggvnye . . . . . . . . . 42011.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.2. Lebegopontos szmok rtke . . . . . . . . . . . 4381.3. Lebegopontos szmok halmaza . . . . . . . . . . 4381.4. Alapmuveletek lebegopontos szmokkal . . . . 4391.5. Flop s flops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4401.7. Muveletek paritsokka . . . . . . . . . . . . . . . 4451.8. XOR s AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4451.9. Szmols az rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4451.11. Szmols Zm-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4461.12. Muvelettbla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4471.13. Oszts, reciprok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Bevezets

Kt motivl emlkem Nhny ve, az akkor legkivlbb mrnkhall-gatmat megkrdeztem, hogy mi a vlemnye a szemeszter anyagrl.Nhny vatos, tartzkod mondat utn egy vratlan, s akkor sz-momra teljesen rthetetlen mondattal lepett meg A lineris algebrtnem lehet rteni. Hiba prblkoztam azzal, hogy minden dolgo-zatt maximlis pontszmmal rta meg, mg a nehz, gondolkodtat,bizonytst kro krdsekre is tudott vlaszolni. Semmi magyarzat-tal nem tudta feloldani ezt az ellentmondst, csak makacsul megis-mtelte lltst, s a vgn mg annyit tett hozz, az analzist lehetrteni, az szp. Mire gondolhatott? Hamar n is gy gondoltam,igaza lehet. Pldul a fggvny hatrrtknek vagy folytonossg-nak Cauchy-fle defincija igen nehz sok dik szmra, pedig mrkzpiskolban is tanultk. Nehz, de valami fogalma mgis mindenhallgatnak van rla. Akr tudja, akr nem a defincit, akr jk, akrzavarosak az elkpzelsei, tbbnyire tudja mirol van sz. De nincs ezgy pldul a determinnssal. Aki megtanulta azt, hogy vedd az el-so sor elemeit, s mindegyiket szorozd meg a hozz tartoz elojelesaldeterminnssal (egy rekurzv mdon definilt fogalom!), az ezzelellhet, megoldhat feladatokat, de gy rzi, nem rt ebbol semmit.s mit gondol, ha azt ltja, hogy ezt az rthetetlen fogalmat hasznlvaegy rejtlyesnek tuno szabllyal (Cramer-szably) meg tudja oldani aztaz egyenletrendszert, amit mr az ltalnos iskolban is meg tudott?Csak akkor rtette is, hogy mit mirt csinl!

A msik trtnet 30 ves. Fiatal oktatknt krdore vontam azegyik mrnki kar dknjt, hogy az oktatsi reformjban mirt csk-kentette a matematikark szmt! Azt vlaszolta, hogy mert szks-gnk van idore, hogy megtanthassuk a dikokat gondolkodni. Kz-bevetsemre, hogy a matematika pp ezt teszi, rviden csak annyitmondott, hogy a matematika csak kaptafkat ad nekik, gondolkodnimi tantjuk oket.

Kinek kszl ez a knyv s mirt Ez a knyv foiskolai s egyetemi BScs MSc szintu lineris algebra kurzusaihoz s rszben az azt megelo-zo flvek vektorgeometrit is tartalmaz kurzusaihoz kszlt. Szem-

18 lineris algebra

lletben eltr a Magyarorszgon megjelent hasonl tmj tankny-vektol. Megrst s a sok tekintetben jfajta megkzeltst az albbitnyek indukltk: A felsooktats reformjnak hatsaknt a hallgatk mind hozott tu-

dsukat, mind matematikai kpessgeiket tekintve heterognebbek,mint korbban.

A felsofok oktats vltoz szemllete nagyobb hangslyt fektet azalkalmazsokra, mind a tananyag sszelltsban, mind azoknaka kpessgeknek a kifejlesztsben, amelyek a megszerzett tudsalkalmazshoz szksgesek.

A matematika felsofok oktatsval foglalkoz nemzetkzi kutat-sok eredmnyei, a szmtgp hasznlatnak elterjedse j oktatsiszemllet kialaktst kvnjk.

A knyvben kvetett elvek

Didaktikai clszerusg A knyv megrsakor fo clunk az volt, hogya lineris algebra absztrakt fogalmait a leheto legegyszerubben, leg-rthetobben vezessk be. Sosem a legltalnosabb megfogalmazs, alegaxiomatikusabb felpts, a matematikailag legtmrebb trgyals-md megtallsa volt a cl, hanem a didaktikai clszerusg, a tananyagminl hatkonyabb tanulhatsgnak elrse.

Modulris szerkeszts A knyv anyagt igyekeztnk modulrisan, ap-r egysgekre bontva megszerkeszteni, ezzel nem csak az ttekintheto-sgt nvelni, de a tbbcl, klnbzo szintu, klnbzo idotartamkurzusokhoz val alkalmassgt is megknnyteni.

Alapfogalmak korai bevezetse Tapasztalataink szerint nem elg hatko-nyak a lineris algebra alapfogalmainak megrtetsben azok a kur-zusok, melyek a kurzus elejt az egyszeru mtrix- s determinns-szmtsi, egyenletrendszer-megoldsi, sajtrtk-szmtsi technikk-kal tltik, majd a kurzus vgn a hallgatk nyakba ntik a linerisfggetlensg, test feletti vektortr, altr, bzis, lineris lekpezs. . . fo-galmakat. De nem jobb a hatsfoka a fordtott felptsu kurzusok-nak sem, melyek az ltalnos fogalmakkal s eredmnyekkel kezdik,melyekbol a vgn knnyedn kipottyan pl. az egyenletrendszerekelmlete.

Az a hatrozott vlemnynk, hogy (az absztrakt gondolkodsbankivlak szuk csoportjt leszmtva) a hallgatk gyorsabban s m-lyebb ismeretekhez jutnak, ha az absztakt fogalmakkal konkrt esetek-ben mr korbban megismerkednek, s az absztrakt fogalomalkotsvalban absztrakci, s nem kinyilatkoztats tjn trtnik. A line-ris algebra legtbb fontos, e knyvben trgyalt fogalmval az elso

TARTALOMJEGYZK 19

fejezetekben tallkozik az olvas, az ltalnos fogalomalkots csak eztkveti.

Fokozatossg A knyv egszen elemi az elso fejezetekben kzpis-kols szintig visszanyl trgyalsmddal kezdodik, melyet egyresszetettebb, nehezebb anyagrszek, s fokozatosan egyre tmrebbtrgyalsmd kvet.

Tbbirny megkzelts A lineris algebrai ismeretek, hasonlan egybismeretekhez, tbb klnbzo mdon is feldolgozhatk. Br e knyvsemmikpp sem sorolhat a formlis definci-ttel-bizonyts ciklu-sokra plo tanknyvek kz, gerinct a klasszikus megkzelts adja,mely a defincik s ttelek, valamint a kztk lvo sszefggsek pre-cz megfogalmazsra, az algoritmikus ismeretek mintapldkon valbemutatsra, s a tudsnak feladatok megoldsn val elmlytsrepl. Emellett tbb jkeletu technikt is segtsgl hvunk. Ezek egy r-sznek felsofok matematika tanknyvben val alkalmazsa haznk-ban nem gyakori.

Fogalmi s procedurlis gondolkods Elsoknt az absztrakt sszefggsekmegrtst segto elemi, konkretizl, szemllteto pldk hasznla-tt emltjk. Ezek elso sorban a procedurlis gondolkodsban erosebb,a valami fajta kzzelfoghatsgot ignylo hallgatknak kszltek. Azabsztrakt, fogalmi gondolkodsban otthonos olvas szmra ezek tbb-nyire egyszeru trivialitsok, az elobb jelzett hallgatk szmra viszonta megrts elso lpst jelenthetik.

Vizulis, geometriai megkzelts A msodik technika a mrnkhall-gatk kzt rthetoen eros, de korunk kultrjra egybknt is jellemzo vizulis gondolkodsra, s ennek matematikai megfelelojre, a geo-metriai intucira pt. Szerencsre erre egy lineris algebra knyv k-lnsen alkalmas a tma szmtalan geometriai kapcsolata okn. Kny-vnk a geometriai tartalom megismertetse mellett a vizualizci egyblehetosgeit is ignybe veszi (sszefggsek absztrakt brzolsa, di-namikus geometriai programok a knyvet ksro weboldalon,. . . ).

Algoritmikus megkzelts Rszben a szmtgpes kultra elterjedts-ge, rszben az alkalmazsokban val fontossga miatt knyvnk fon-tos szerepet szn egyes tmk algoritmikus megkzeltsnek.

Alkalmazsok A harmadik technika az alkalmazsok bemutatshoz kap-csoldik, ami nem csak matematikn kvli alkalmazst jelent. Aknyvben szereplo alkalmazsok nem csak a megtanult anyag felhasz-nlsi lehetosgeit tekinti t, ami a lineris algebra tanulsnak moti-

20 lineris algebra

vl tnyezoje is lehet, de sok helytt a megrtst a matematikaifogalmak megrtst segti, sot a matematikai fogalomalkotsban, saz absztrakcis kszsg mlytsben is szerepet jtszik.

Szmtgp hasznlata A negyedik eszkz a szmtgp bevonsa az ok-tatsba. Az letszerubb problmkkal val foglalkozshoz, valsgosalkalmazsok megrtshez ma mr nlklzhetetlen a szmtgpeseszkzk hasznlata. Ezek radsul oktatsi segdeszkzknt is hasz-nlhatk (pl. szemlltets, vizualizci), s tbb numerikus plda vizs-glatt is lehetov teszik. A dikok szmra knlt szoftverek kivlasz-tsban fontos szempont volt a szabad elrhetosg s az ingyenessg.Br a szmtgp hasznos segdeszkz, a knyv szmtgpet nemhasznl kurzusokhoz is teljes rtku.

Kitekintsek Egy ismeret elsajttst nagyban segti, ha tbb szlonkapcsoldik mr korbban megszerzett ismeretekhez. A matematikasokak szmra idegen terlet, mely elvontsga miatt nehezen kapcso-ldik brmi mshoz. A knyv szvegt a margn apr kitekinto meg-jegyzsek ksrik, melyek a kzvetlen alkalmazsokon tli egyb kap-csolatokat igyekeznek ltrehozni. Ilyenek pldul a trtneti megjegy-zsek, letrajzok, a lineris algebra fogalmaira vonatkoz etimolgiaimagyarzatok, lineris algebrai szmtgpes programokhoz kapcso-ld ismeretek, programkdok, de ide tartoznak a tovbbi tanulm-nyokat motivl, a matematika ms terleteire kitekinto megjegyzsekis. E kitekintseket nhol internetes linkek erostik.

Feladatok Didaktikai clbl a knyv sok kidolgozott mintapldt tar-talmaz. A feladatokat a knyv tbbcl felhasznlsa rdekben ne-hzsg s tartalom szerint osztlyoztuk. A feladat sorszmt a fel-so indexbe tett az A beture emlkezteto hromszg jelzi, ha al-kalmazsi feladatrl van sz (pl. 2.11N), s a szmtgp monitor-ra emlkezteto ngyzet jelzi a szmtgppel megoldhat feladatokat(pl. 2.12 ). A fontosnak tlt feladatokat egy dszpont (pl. 2.13), a nehz,tbb idot s nmi matematikai kpessget ignylo feladatokat csillagjelzi (pl. 2.15?). Vgl az elemi rutinfeladatokat, egszen egyszeru nhaa kpletbehelyettests szintjn lvo alapfeladatokat, amelyek megol-dsa minden hallgattl elvrhat, egy bztatsnak sznt karakter jelzi(pl. 2.19). Remnyeink szerint ezek a matematika irnt kevesebb fo-gkonysgot mutat hallgatkat is sikerlmnyhez juttathatjk.

Angol sztr Mra a legtbb szakterleten val elorelps felttele azangol szakkifejezsek ismerete. A tovbbi tanulmnyokhoz szmta-lan forrs rheto el angol nyelven, ezrt fontosnak tartottuk, hogy eknyvben hasznlt fontosabb szakszavakat angolul is megadjuk.

TARTALOMJEGYZK 21

A knyv felptse

A knyv rszei A knyv elso rszt a lineris algebra kt fo forrsnaktanulmnyozsra szntuk. E kt forrs jl jellemezheto egy-egy alap-fogalommal: a vektorral s a lineris egyenletrendszerrel. Egyikkgeometriai, msikuk algebrai jellegu. E fogalmakat az Olvas korbbitanulmnyaibl mr ismeri. E rszben ezekbol kiindulva, de a linerisvektortr absztrakt fogalmnak ismerete s a mtrixmuveletek beveze-tse nlkl kzel jutunk a lineris algebra mlyebb fogalmaihoz.

A knyv msodik rsze a Mtrixok algebrja s geometrija cmet vi-seli. Megszvlelve a Linear Algebra Curriculum Study Group ajn-lsait 1, e rsz az elso lineris algebra kurzus kzppontjba helyezi a 1

mtrix fogalmt, de a legtbb knyvvel ellenttben a mtrixok algeb-rja mell helyezi a mtrixok hatsnak geometriai vizsglatt is. Eznhny ksobbi fogalom szemlletesebb ttelben is segt, de fontostbb modern alkalmazs miatt is (pl. komputer grafika). E rszbenvezetjk be a determinns fogalmt is, mivel annak egyrtelmuen geo-metriai motivcit adunk.

A knyv harmadik rsznek kulcsfogalma a sajtrtk, amit a cm a mt-rix sajtsgai szjtkkal jelez. E rszben nem csak a mtrixok diagona-lizlsa, vagy Jordan-fle normlalakja szerepel, de ide vettk a szin-gulris rtket is, melynek fontossga az alkalmazsokban rohamosannvekszik.

A szoksostl eltro tartalmi megoldsok Kiemelnk nhny tmt, mely-nek trgyalsban eltrnk a bevezeto lineris algebra knyvek tbb-sgtol.1. A vektorok geometriai-fizikai bevezetst fontosnak tartottuk szem-

ben az egyszerubb, de a kevsb motivlt koordints bevezetssel.2. Az egyenes s sk egyenletei/egyenletrendszerei osztlyozsban

a szoksosak helyett (paramteres, norml) az implicit s explicitelnevezseket hasznljuk, ami sokkal szorosabb teszi e geometriaialakzatok s a lineris egyenletrendszerek s azok megoldsai kztikapcsolatot. Nevezetesen termszetess vlik az egyenletrendszerimplicit alak, egyenletrendszer megoldsaexplicit alak prosts.

3. Az Rn alternek fogalmt sokkal elobb bevezetjk, mint a vektor-tr fogalmt. Fontosnak tartjuk annak megmutatst egszen elemiszinten, hogy egy homogn lineris egyenletrendszer megoldsaialteret alkotnak, s hogy az inhomogn egyenletrendszer megold-sait ennek eltolsa adja.

4. Egszen elemi szinten olyan fogalmakat is trgyalunk, mint az alte-rek merolegessge s direkt sszege, hogy megrtsk az egyenlet-rendszer megoldsainak szerkezett.

5. Az elso rsz vgn eljutunk a lineris algebra alapttelnek kimon-

22 lineris algebra

dsig (a mtrix sortere s nulltere meroleges kiegszto alterei egy-msnak).

6. Az alterek szemlltetsre egy teljesen j mdszert, a levldiagram-mokat hasznljuk.

7. A mtrixok szorzst motivlt mdon vezetjk be, gy, mint ami avalsok kzti szorzs szmtblzatokra val termszetes ltalno-stsbl addik.

8. Csak a magyar nyelvu tanknyvirodalomban jszeru, hogy miutnaz egyenletrendszerek megoldsa az elemi sormuveletekre pl, amtrixmuveletek trgyalsban fontos szerep jut az elemi mtrixok-nak, s az elemi sormuveletek bizonyos sorozatt magban orzoLU-felbontsnak.

9. A determinnsok trgyalsban is fontosnak tekintettk, hogy e fo-galomnak ne valami rthetetlen, gbol pottyant defincijt adjuk.A parallelepipedon elojeles trfogatn keresztl val szemlletesbevezets e cl elrsre kivl, radsul szerencss mdon a fel-sobb matematika modern defincijhoz vezet.

10. A determinnsok trgyalsban j a fejezet kt alfejeztre osztsa.Az elso a determinnst, mint sorvektorainak fggvnyt trgyalja.Itt szerepel a determinns defincija, s kiszmtsnak a gyakor-latban is hasznlt elemi technikja. A msik alfejezet a determi-nnst, mint elemeinek fggvnyt vizsglja. Ez a kifejtsi ttelt saz n. elemi szorzatok sszegeknt val elolltst az ltalunk is-mert knyveknl egyszerubb mdon teszi rthetov s emsztheto-v.

11. A mtrixlekpezsek geometrija tartalmas fejezet, melyben a for-gats s vetts transzformciibl messzire jutunk (legkisebb ngy-zetek mdszere, GramSchmidt-eljrs, ortogonlis mtrixok). Efejezet igen sok rsze opcionlis, egy elso kurzusbl kihagyhat.

12. Ebben a fejezetben trgyaljuk a pszeudoinverz fogalmt, amelynekegszen elemi, egyszeru s szemlletes defincijt adjuk, mellyelmsutt nem tallkoztunk.

13. A sajtrtk-sajtvektor fogalmnak trgyalsa nem tr el a hagyo-mnyostl, de mindjrt az elso pillanattl nagy hangslyt helye-znk a sajtaltr fogalmra is, melynek megrtse nlkl nem lehete tmban sokra jutni.

14. Br egy elso lineris algebra kurzusba nem fr el, de kiemeltenfontos helyet kap a szingulris rtk s az SVD is. E fogalmakatis egszen elemi s termszetes mdon, kt olyan ortonormlt b-zis meghatrozsval vezetjk be, melyek egyiknek kpe a msikelemeinek skalrszorosaibl ll. Ez a sajtrtk fogalmnak term-szetes ltalnostsa.

TARTALOMJEGYZK 23

Szoftverek

Lineris algebra kurzusokhoz tbbnyire ktfle szoftver valemelyikthasznljk: MATLAB-tpus vagy komputer algebra rendszert. Egykurzus alatt elegendo egyetlen szoftver hasznlata.

Mtrix alap nyelvek A lineris algebra a programnyelvek felol legter-mszetesebb mdon valamely mtrix alap numerikus matematikaiszoftveren keresztl kzeltheto meg. A MATLAB-nak s a hozz ha-sonl nyelveknek e terleten meghatroz szerepk van, ezrt a tovb-biakban mtrix alap nyelveken csak ezeket rtjk. E nyelvek kzl n-gyet emelnk ki. A mintaad s egyttal a legelterjedtebb kzttk aMATLAB, mely egy msik, O-Matrix nevu programmal az zleti szoft-verek kz tartozik. A tbb, foknt francia kutatintzet s egyetem(pl. cole Polytechnique, cole Centrale Paris, INRIA) valamint cg(pl. a nagy francia autgyrak) konzorciuma ltal tmogatott SciLabs a GNU szoftverek kz tartoz Octave nylt forrskd ingyenesszoftverek. E szoftverek mindegyike igen megbzhat, nagy tuds,mindegyik komoly referencikat szerzett valdi muszaki, pnzgyi studomnyos szmtsok elvgzsvel, ezrt nyugodt szvvel ajnlha-t oktatsi clokra is. Krltekinto mrlegels utn az Octave mellettdntttnk, annak ingyenessge s a MATLAB-bal val nagyobb kom-patibilitsa miatt, gy a knyvnkben szereplo mtrix alap nyelven rtkdok ebben kszltek.

Komputer algebra rendszerek A komputer algebra rendszerek (Compu-ter Algebra Systems, rvidtve CAS) oktatsban val hasznlhatsgama mr nem krds. Legismertebb ilyen rendszerek a Maple s a Ma-thematica. Mindkt rendszer igen nagy tuds, kpessgeik messzefellmljk azt, amire egy lineris algebra kurzusnak szksge lehet.Mivel e szoftverek beszerzse nem olcs, itt is rdemes az ingyen elr-heto lehetosgeket keresni. Egy friss fejleszts a Sage nevu program.Ennek egyik elonye, hogy sajt programnyelv helyett egy szles kr-ben elterjedt s knnyen tanulhat nyelvre, a Pythontra pl. Tovbbijellemzoi: felhasznli felletnek egy web-es kereso, melyen keresztlszmtalan egyb computer algebra program is elrheto. Mindez gyorsfejlodst s nagy lehetosgeket knl. A fent felsorolt szoftverek br-melyike ajnlhat lineris algebra kurzushoz. Knyvnk CAS-kdjaia Sage-rendszert hasznljk. A tmogats oka a rendszer ingyenes-sge s nagy tudsa mellett az, hogy mivel webes keresokben futhat,ezrt nem csak sajt gprol, hanem az Interneten keresztl valamelyszerverrol, gy akr netbookon, vagy okostelefonon is hasznlhat, sezzel igen rugalmas hozzfrst biztost.

24 lineris algebra

Jellsek

Kplet oldal megjegyzs

projb a 42 a vektor b-re eso vetletea b 39 a s b skalris szorzataa b 45 a s b vektori szorzata(a, b) 31 a s b szge(a, b)^ 44 a s b irnytott szge:= definil egyenlosgi, i imaginrius egysg, s az i vltoze, e az e szm, s az e vltozC, R, Q, Z komplex, vals, racionlis, illetve egsz szmokZm 446 modulo m vett maradkosztlyokFp = Zp 447 a modulo p (p prm) vett maradkosztlyok, a prmelemu test|a| 31 az a vektor abszolt rtkea 31 az a vektor normjaaij, ai,j 170 az A mtrix i-edik sornak, j-edik oszlopnak elemeai 170 az A mtrix i-edik sorvektoraaj, aj 170 az A mtrix j-edik oszlopvektora(v)B , [v]B 139 a v vektor B bzisra vonatkoz koordints alakja[L]B az L lineris lekpezs B bzisra vonatkoz mtrixaA, A az A lineris lekpezs s annak A mtrixa a standard bzisban

A jellsek kivlasztsnl azt az elvet kvettk, hogy a fontosabbjellsek esetn a nemzetkzi angol nyelvu matematikai szakiroda-lomban elterjedt jellsek valamelyikt kvettk. Ez a lebegopontosszmok rsra is vonatkozik, teht nem a magyar irodai szabvnytkvetjk, gy nem tizedesvesszot, hanem tizedespontot hasznlunk.

I. rsz

A lineris algebra forrsai

27

A lineris algebra kt fo forrsnak egyike a geometria, msika azalgebra vidkrol ered. Mindkt forrs jl jellemezheto egy-egy elemifogalommal: az egyik a vektor, a msik a lineris egyenletrendszer.E knyv elso rsze e kt fogalmat vizsglja egszen elemi, kzpis-kolai szintrol indulva. A lineris algebra mlyebb fogalmai mr ittflbukkannak, de csak nagyon egyszeru s a legkevsb absztrakt for-mjukban. Az elso rsz vgre ltni fogjuk, hogy e kt forrs mr ezena bevezeto szinten sztvlaszthatatlanul egyetlen folyamm vlik.

1Vektorok

ltalnosan elterjedt nzet szerint a termszeti jelensgek lersakorsok sszefggst szmszeru adatokkal, n. skalrokkal vagy skalrmeny-nyisgekkel fejeznk ki, mg msok lershoz a szmadat mellett egyirny megadsa is szksges, s ez utbbiakat nevezzk vektoroknak. Avalsg ennl sokkal sznesebb: a trido 4-dimenzis vektoraitl, a bit-vektorokon, a gazdasgi szmtsok tbbszzezer-dimenzis, vagy azinternetkeresok ltal kezelt sokmilli-dimenzis vektorain t a mate-matika klnbzo terletein gymlcszo absztrakt vektorfogalomigszles a skla.

Vektorok a 2- s 3-dimenzis trben

E szakaszban a vektor szemlletes, geometriai fogalmval ismerkednk. Avektorok sszeadsn s skalrral val szorzsn keresztl kt kulcsfogalomig a lineris kombinci s a lineris fggetlensg fogalmig jutunk.

Irnytott szakasz, kttt s szabad vektor Tekintsnk egy srknyrep-lot repls kzben. Szmtalan skalr- s vektormennyisg rja le lla-pott. A fldtol val tvolsg, a lgnyoms, a lgellenllsi egytthat Skalr, skalris: a lpcso, ltra jelentsu la-

tin scalae (scalae) szbl ered. E szszrmazka a skla sz is, mely jl orziaz eredeti jelentst. A skalr vagy ska-lris szt a matematikban szm vagyszmszeru rtelemben hasznljuk, pl-dul olyankor, amikor egy mennyisg-rol azt akarjuk hangslyozni, hogy irnynlkli, azaz nem vektor jellegu.

vagy az emelkeds szge skalrmennyisgek, mg vektormennyisgeka sebessg- s gyorsulsvektor, a szrnyra hat felhajtero, a gravitci-s ero, a szl ereje vagy az elmozdulst ler vektor.

A vektor fogalma kapcsolatban van az irnytott szakasz fogalm-val. Irnytott szakaszon olyan szakaszt rtnk, melynek vgpontjainmegadunk egy sorrendet, azaz kijelljk, hogy melyik a kezdo- s me-lyik a vgpontja. Ms szhasznlatban az irnytott szakaszt szokskttt vektornak is nevezni. Az A kezdopont s B vgpont irnytottszakaszt

AB jelli.

Tbb jelensg lersra a kttt vektor alkalmas. Termszetes pldaaz elmozdulsvektor, mely megadja, hogy egy trgy a tr mely pont-

30 lineris algebra

jbl melyik pontjba jutott. Msik plda kttt vektorra a rugalmastesten alakvltozst okoz erot ler vektor (1.1. bra).

(a) (b)

1.1. bra: Kttt vektorok: (a) elmozdu-lsvektor (lbnyomokkal), (b) rugalmastesten alakvltozst okoz ero vektora

1.2. bra: Plda szabad vektorra

Alkalmazsokban gyakran elofordul, hogy egy jelensg klnbzoirnytott szakaszokkal is ugyangy lerhat. Pldul ha egy trgymozgst egy olyan irnytott szakasszal jellemezzk, melynek hosszaaz idoegysg alatt megtett t hosszval egyenlo, irnya pedig a moz-gs irnyt jelzi, akkor mindegy hogy a tr melyik pontjbl indtjuke szakaszt, a mozgst ugyangy lerja (1.2. bra). Ekkor teht nem akt pont, hanem azok viszonya a krds, vagyis pldul hogy az egyikpont a msiktl milyen tvolsgra, s milyen irnyban van. Az, hogy akt pont pontosan hol van, nem lnyeges. Ekkor brmely kt irnytottszakasz, mely prhuzamosan egymsba tolhat, ugyanazt a viszonytfejezi ki. Az gy kapott fogalmat a fizikban szabad vektornak nevezik.Ez a fogalom a lineris algebra vektor-fogalmnak egyik forrsa. A

Vektor: a hordoz, vivo, utaz jelentsu la-tin vector szbl szrmazik. A tudomnyms terletein hordoz anyag, az let-tanban vrushordoz rtelemben hasz-nljk.

vektor fogalma az irnytott szakaszbl szrmaztathat, annak a fel-ttelnek a hozzadsval, hogy kt irnytott szakasz pontosan akkorreprezentlja ugyanazt a vektort, ha prhuzamosan egymsba tolhatk(ld. 1.3 bra).

1.3. bra: Ugyanazt a vektort reprezen-tl irnytott szakaszok

Vektorok jellsre flkvr kisbetuket hasznlunk, pl. x, u, v, stb. Amuszaki s fizikai szakirodalomban a flkvr nagy betu is elofordul,pl. az F ero, a B indukci is vektormennyisgek.

Vektorok jellse: Muszaki, fizikaiszvegek szedsnek tipogrfiai szab-lyait az ISO 31-11 szabvny rja le. Esze-rint a vektorok flkvr betukkel szeden-dok. Kzrsban alhzssal, vagy flrt nyllal szoks jelezni a vektort (pl. x,u, ~v. . . ), de krltekinto jellsrendszers jegyzetels esetn elhagyhatk a jel-zsek. Felsobb matematikai muvek nemhasznljk e szabvnyt, mondvn, kide-rl a szvegbol, hogy vektort jellnek-ea betuk (x, u, v. . . ).

Vektor magadsa egy irnytott szakasszal Egy vektor megadhat egyirnytott szakasszal, azaz kt pont s a kztk lvo sorrend kijells-vel. Valjban ennyi adat felesleges, hisz egy irnytott szakasz nma-gval prhuzamosan eltolva ugyanazt a vektort adja meg, ezrt pld-ul kiktheto, hogy a kezdopont a sk (tr) egy elore kijellt rgztettpontja legyen. Ezt a kzs kezdopontot nevezzk orignak. Egy ori-gbl indul irnytott szakaszt egyrtelmuen definilja a vgpontja,gy a vektorok megadshoz elg egyetlen pont, a vgpont megadsa.Ezzel a sk vagy tr pontjai s vektorai kzt klcsnsen egyrtelmumegfeleltetst ltesthetnk (1.4. bra). Az origbl egy P pontba h-zott irnytott

OP szakaszt a ponthoz tartoz helyvektornak is szoks

nevezni. Vilgos, hogy minden vektor reprezentnsai kzt pontosanegy helyvektor van.

A ksobbiekben gyakran fogunk egy ponthalmazt gy jellemezni,hogy az origbl a ponthalmaz pontjaiba mutat vektorokat jellemez-zk. Amikor vektorok vgpontjairl beszlnk, mindig a vektorokatmegad, az origbl indtott irnytott szakaszok vgpontjaira gondo-lunk.

P

OP

O

1.4. bra: A sk pontjai s vektorai kz-ti klcsnsen egyrtelmu megfeleltets:egy P pontnak az

OP vektor felel meg,

az orignak a nullvektor.

Az olyan vektort, melynek kezdo s vgpontja egybeesik, zrusvek-tornak vagy nullvektornak nevezzk. A zrusvektort ltalban flkvrzrussal, azaz 0-val jelljk. A pontok s vektorok kzti megfelelte-tsben a zrusvektornak az orig felel meg.

vektorok 31

Vektor megadsa hossz s irny segtsgvel Ha tudunk tvolsgot mr-ni, s irnyt meghatrozni, akkor a vektor megadhat hosszval sirnyval is. Vektor hosszt, azaz kt vgpontjnak tvolsgt a vektorabszolt rtknek is nevezzk. Az a vektor abszolt rtkt |a| jel-li. Az abszolt rtk msik neve euklideszi norma, ugyanis specilisesete egy ksobb rszletezendo fogalomnak, a normnak. Az a vektor(euklideszi) normjnak jellse az abszolt rtkre emlkeztet: a.

Az irny fogalmt az 1.20. feladatban definiljuk. Itt megelgsznkannyival, hogy kt nemzrus vektort azonos irnynak vagy egyir-nynak neveznk, ha a kezdopontjukbl indul, s a vgpontjukonthalad flegyenesek prhuzamos eltolssal fedsbe hozhatk (1.5 (a)bra). Kt nemzrus vektort kollinerisnak vagy prhuzamosnak neve-znk, ha az oket tartalmaz egyenesek prhuzamosak. Kt vektort,amely prhuzamos, de nem egyirny, ellenkezo irnynak neveznk(1.5 (b) bra). A zrusvektor irnyt tetszolegesnek tekintjk, gy azbrmely vektorral egyirny. Belthat, hogy a vektort egyrtelmuenmeghatrozza hossza s irnya.

(a) (b)

1.5. bra: (a) egyirny vektorok, (b) kol-lineris (prhuzamos) vektorok, vannakkztk egyirnyak s ellenkezo irny-ak

Vektor irnynak meghatrozsakor gyakran hvjuk segtsgl a szgfogalmt. Kt vektor szgn azt a szget rtjk, melyet a sk vagy tregy tetszoleges pontjbl kiindul s az adott vektorokkal egyirnyflegyenesek zrnak be (1.6. bra). Az a s b vektorok szgt (a, b)jelli. Kt vektor szge teht mindig 0 s 180 radinban mrve 0s pi kz esik, belertve a hatrokat is. Egyirny vektorok szge 0,ellenkezo irnyak pi.

(a)

(b)

(c)

1.6. bra: Kt vektor szge (0 , , pi). Az bra felso feln a kt adott vektor,alatta szgk meghatrozsnak mdjaszerepel.

Vektormuveletek a 2- s 3-dimenzis trben A vektormuveletek az ssze-ads s a szmmal val szorzs defincija termszetes mdon ad-dik, ha a vektorok legtipikusabb alkalmazsaira gondolunk. Pl. mag-tl rtetodo, hogy kt elmozduls sszegn az elmozgatsok egymsutn val elvgzst, egy eltols ktszeresn egy azonos irny, dektszer olyan hossz eltolst rtsnk.

1.1. definci (Kt vektor sszege hromszgmdszer). Legyenadva kt vektor, a s b. Vegynk fl egy tetszoleges O pontot. Indtsunkbelole egy a-val egyenlo

OP vektort, ennek vgpontjbl pedig egy b-vel

egyenloPQ vektort. Az

OQ vektort az a s b vektorok sszegnek nevezzk

s a + b-vel jelljk (ld. 1.7. bra).

O

P

ab

Qa + b

ab

1.7. bra: Az a s b vektor sszege

Knnyen belthat, hogy az eredmny fggetlen az O pont meg-vlasztstl, teht vektorok sszeadsnak muvelete definilhat emdszerrel (a bizonyts leolvashat az 1.8. brrl). O

Pa

b

Qa + b

O

P

ab

Qa + b

1.8. bra: Az sszeg fggetlen az O pont

megvlasztstl, ugyanisOQ =

OQ.

Egy msik mdszert is ismertetnk kt nem kollineris vektor ssze-gnek megszerkesztsre:

32 lineris algebra

1.2. llts ( Parallelogramma-mdszer). A kzs kezdopontbl in-dtott a s b vektorok sszege megkaphat abbl a parallelogrammbl, mely-nek kt szomszdos oldala a s b, ekkor az sszeg a kzs kezdopontbl ind-tott, s a parallelogramma szemkzti cscsba fut vektor.

I Ha a s b nem kollinerisak, akkor sszegk pl. megkaphat gy,hogy a vgpontjn t egy b egyenesvel, b vgpontjn t egy a egye-nesvel prhuzamos egyenest hzunk. A kzs kezdopontbl e ktegyenes metszspontjba fut vektor lesz az sszeg (ld. 1.9. bra).

O

a

b

a + b

ab

1.9. bra: Parallelogramma-mdszer

Az alkalmazsokban hol a hromszg-, hol a parallelogramma-md-szer tunik kzenfekvobbnek (ld. 1.10).

O

P

Q

(a)O A

B C

(b)

1.10. bra: Az (a) brn a lbnyomok O-bl P-be, majd onnan Q-ba vezetnek. AzOP s a

PQ elmozdulsvektorok sszege

OQ (hromszgmdszer). A (b) brn acsnak az

OB irnyba evez, de a foly

OA irnyba folyik. A kt sebessg ere-doje, azaz sszege

OC (parallelogramma

mdszer).

Ha a s b kt trbeli vektor, akkor a hromszgmdszerben s aparallelogramma-mdszerben is az a, b s a + b vektorokat repre-zentl irnytott szakaszok egy skba esnek. ltalban azt mondjuk,hogy nhny trbeli vektor egy skba esik, ms szval komplanris, havan olyan sk, hogy mindegyik vektort reprezentl irnytott szakaszprhuzamosan betolhat e skba. Eszerint teht az a, b s a+ b vekto-rok mindig komplanrisak.

A vektorsszeads kt fontos tulajdonsga, kommutativitsa (a +b = b + a) s asszociativitsa (a + (b + c) = (a + b) + c) knnyenleolvashat az 1.11. brrl. Az asszociativits kvetkeztben tbb tagsszeadsnl elhagyhat a zrjel, pldul az brabeli hrom vektorsszegre a + b + c rhat.

ab

a + b

bab + a

ab

ca + b

b + c

a + (b + c) =(a + b) + c =

a + b + c

1.11. bra: A vektorsszeads kom-mutativitsa s asszociativitsa.Az a s b vektorokat kzs kezdopontbl indtva a hromszg-

mdszerrel azonnal lthat, hogy csak egyetlen olyan x vektor l-tezik, melyre a = b + x (ld. 1.12 (a) bra). Ennek felhasznlsvaldefinilhat vektorok klnbsge.

1.3. definci (Vektorok klnbsge). Adva van az a s b vektor.Azt az egyrtelmuen ltezo x vektort, melyre a = b + x, az a s b klnb-sgnek nevezzk s a b-vel jelljk.

Knnyen fejben tarthat a klnbsgvektor megszerkesztse akra hromszg-, akr a parallelogrammamdszerrel (ld. 1.12. bra), haarra gondolunk, hogy a b az a vektor, melyet b-hez adva a-t kapunk,azaz

a = b + (a b).

b

aa b

b

a b a

1.12. bra: A klnbsgvektor meghat-rozsa hromszg- s parallelogramma-mdszerrel.

vektorok 33

Az 1.13. brrl az is leolvashat, hogy ha a b vektorral egyenlohosszsg, de ellenkezo irny vektort b jelli, akkor fnnll aza b = a + (b) sszefggs, s gy az is igaz, hogy b + (b) = 0.

b

a b a

b1.13. bra: Az a b = a + (b) szem-lltetse.

rdekes megjegyezni, hogy ha P s Q kt tetszoleges pont, akkor azOQOP vektort akkor is ismerjk, ha az O pontot nem, hisz az a PQvektor. Sok hasonl jelensg vezetett a torzor fogalmhoz, melyet egyrvid szljegyzetben ismertetnk. Torzor: a modern matematika fogal-

ma. Nhny plda, mielott definilnnk:(1) Az energit a newtoni fizikban nemtudjuk mrni, csak az energiaklnbs-get. Ha viszont megllapodunk abban,hogy egy adott rendszernek melyik lla-pota tartozik a 0 energiaszinthez, beszl-hetnk a rendszer energijrl is. (2) Apontba mutat vektor fogalmnak nincsrtelme, amg nincs kijellve az orig, vi-szont kt pontba mutat vektor klnb-sgt az origtl fggetlenl is meg tud-juk hatrozni. (3) Egy f fggvny I in-tervallumon vett hatrozatlan integrljaF + C alak, ahol C konstans. Nincs r-telme megkrdezni, hogy f egy konkrtprimitv fggvnyben mennyi a C rt-ke, de kt primitv fggvny klnbsgemindig egy konstans. (4) Egy hasonl je-lensg a zenbol: brmely kt hang kz-ti tvolsg meghatrozhat, de azt nemmondhatjuk egy hangra, hogy az a f,amg nem rgztjk, melyik a d.

A torzort egy kommutatv csoport ne-vu algebrai struktrval definilhatjuk,mely egy kommutatv, asszociatv, null-elemes, invertlhat muvelettel elltotts e muveletre zrt halmaz. Kommuta-tv csoport pldul a valsok az ssze-adsra nzve, a vektorok az sszeads-ra nzve, vagy Z12 az sszeadsra nzve(ld. az 1.9.. pldt s az 1.10.. definci-t). Legyen G egy kommutatv csoport,s X egy nem res halmaz, melyen defi-nilva van brmely kt elem klnbsge,ami G-beli. Ekkor X-et G-torzornak ne-vezzk, ha brmely x0, x1, x2 X elemesetn, ha x1 x0 = g1 s x2 x0 =g2, akkor x1 x2 = g1 g2. Ms-knt fogalmazva, X orzi G struktrjta zruselem nlkl gy, hogy brmelyelemt zruselemnek vlasztva azonnalmegkapjuk G-t.

1.4. definci ( Vektor szorzsa skalrral). Legyen k vals szm.Az a vektor k-szorosn azt a vektort rtjk, melynek hossza az a hossznak|k|-szorosa, irnya tetszoleges, ha k = 0 vagy a = 0, megegyezik a irnyval, ha k > 0, s ellenttes, ha k < 0 (ld. 1.14. bra).

a 1a 2a(1)a 0a = 0

1.14. bra: Vektor skalrszorosai

A skalrral val szorzs defincijbl azonnal ltszik, hogy mindena vektorra 1a = a, 0a = 0 s (1)a = a.

E paragrafus vgn sszefoglaljuk a vektormuveletek legfontosabbtulajdonsgait, melyek segtsgvel ksobb ltalnostani fogjuk a vek-tor fogalmt. Az eddig nem bizonytott tulajdonsgok igazolst azolvasra hagyjuk.

1.5. ttel (A vektormuveletek tulajdonsgai). Ha a, b s c a 2-vagy 3-dimenzis tr tetszoleges vektorai, 0 a zrusvektor s r, s kt tetszo-leges vals szm, akkor fnnllnak az albbi azonossgok:

a) a + b = b + a e) r(sa) = (rs)ab) (a + b) + c = a + (b + c) f) r(a + b) = ra + rbc) a + 0 = a g) (r + s)a = ra + sad) a + (a) = 0 h) 1a = a s 0a = 0

A lineris kombinci defincija Ha vektorokra a skalrral val szorzss az sszeads muvelett alkalmazzuk, akkor e vektorok egy lineriskombincijt kapjuk. Pontosabban:

1.6. definci (Lineris kombinci). Az a1, a2,. . . ak vektorok line-ris kombincijn egy

c1a1 + c2a2 + . . . + ckak

alak vektort rtnk, ahol c1, c2, . . . , ck vals szmok. Azt mondjuk, hogya v vektor eloll az a1, a2,. . . , ak vektorok lineris kombincijaknt, havannak olyan c1, c2, . . . , ck vals szmok, hogy v = c1a1 + . . . + ckak.

Ha egy vektort egy skalrral beszorzunk, az elozo definci szerintegy lineris kombincijt kapjuk, mely vele prhuzamos, azaz kolli-neris. gy egy nemzrus vektor sszes lineris kombincija csupavele prhuzamos vektor (ld. 1.15. brt). Ennl tbb is igaz:

34 lineris algebra

a

a

1.15. bra: Egy nemzrus a vektor, s n-hny lineris kombincija ktfle repre-zentciban.

1.7. ttel (Vektorral prhuzamos vektorok). Ha a nem zrusvek-tor, akkor brmely vele prhuzamos v vektor az a skalrszorosa, azaz vanolyan c vals szm, hogy v = ca, ms szval v eloll az a valamely lineriskombincijaknt. Ez az elollts egyrtelmu.

Bizonyts. Ha a kt vektor egyirny, az elolltsban szereplo ckonstans egyszeruen a v s a vektorok abszolt rtknek hnyado-sa, ha ellenkezo irnyak, e hnyados (1)-szerese. 2

E ttel kvetkezmnye, hogy ha a nem zrusvektor, akkor az asszes lineris kombincijnak halmaza s az a-val prhuzamos vek-torok halmaza megegyezik. Msknt fogalmazva: egy nemzrus vek-tor sszes lineris kombincijnak vgpontja egy orign tmeno egye-nest ad.

A hromszgmdszerbol jl ltszik, hogy tetszoleges kt vektor br-mely lineris kombincija velk komplanris vektor lesz. Az lltsmegfordtsa is igaz:

1.8. ttel (Kt vektorral egy skba eso vektorok). Ha a1 s a2nem prhuzamos vektorok, akkor brmely velk egy skba eso v vektor elollaz a1 s a2 valamely lineris kombincijaknt, azaz van olyan v1 s v2konstans, hogy v = v1a1 + v2a2. Ez az elollts egyrtelmu.

a1 v1a1

a2

v2a2v

1.16. bra: A v egyrtelmuen eloll v =v1a1 + v2a2 alakban, ha a1 s a2 nem pr-huzamos.

Bizonyts. A bizonytsnak a felbonts ltezst biztost rsze kny-nyen leolvashat az 1.16. brrl. A v vgpontjbl hzzunk az a1 saz a2 vektorokkal prhuzamos egyeneseket. Az gy ltrejtt nem el-fajul parallelogramma kt oldala az elozo ttel szerint a1, illetve a2konstansszorosa, melyek sszege a parallelogramma szably szerintpp v. Elolltottuk teht v-t a1 s a2 lineris kombincijaknt. Megkell mg mutatnunk, hogy ez az elollts egyrtelmu. Legyen

v = v1a1 + v2a2 = w1a1 + w2a2.

a v vektor kt elolltsa. Ekkor trendezs utn (v1 w1)a1 = (w2 v2)a2. Mivel a1 s a2 nem kollinerisak, konstansszorosaik csak akkoregyezhetnek meg, ha mindketto a zrusvektor. Ugyanakkor a1 6= 0s a2 6= 0, ezrt az elozo egyenlosg csak akkor ll fnn, ha (v1 w1) = (w2 v2) = 0, azaz ha v1 = w1 s v2 = w2. Teht a felbontsegyrtelmu. 2

Lthat teht, hogy kt nem prhuzamos vektor sszes lineris kom-bincijnak halmaza megegyezik a kt vektorral komplanris vekto-rok halmazval, egyszerubben fogalmazva kt nem prhuzamos vek-tor sszes lineris kombincijnak vgpontja egy orign tmeno skotad.

vektorok 35

Abban nincs semmi meglepo, hogy a tr hrom nem egy skbaeso vektornak brmely lineris kombincija trbeli vektor, az lltsmegfordtsa viszont igen fontos:

1.9. ttel (Trbeli vektorok). Ha a1, a2 s a3 nem egy skba eso vek-torok, akkor a tr brmely v vektora eloll az a1, a2 s a3 valamely lineriskombincijaknt, azaz van olyan v1, v2 s v3 konstans, hogy

v = v1a1 + v2a2 + v3a3. (1.1)

Ez az elollts egyrtelmu.

Bizonyts. A bizonyts alaptlete az, hogy a v vektor V vgpontjnt prhuzamos egyenest hzunk az a3 vektorral, mely az a1 s a2 vek-torok skjt egy C pontban metszi. Az

OC vektor az elozo ttel szerint

egyrtelmuen eloll a1 s a2 lineris kombincijaknt (1.17. bra), az-azOC = v1a1 + v2a2. Msrszt v =

OV =

OC+

CV, ahol

CV a3, gy

CV = v3a3 valamely v3 valsra. Teht v = v1a1 + v2a2 + v3a3.Be kell mg ltnunk az elollts egyrtelmusgt! Tegyk fel, hogy

v = v1a1 + v2a2 + v3a3 = w1a1 + w2a2 + w3a3

a v kt felbontsa. Ekkor (v1w1)a1 + (v2w2)a2 + (v3w3)a3 = 0.gy ha v1 6= w1, akkor a1 kifejezheto a2 s a3 lineris kombincijaknt:

a1 = v2 w2v1 w1 a2 v3 w3v1 w1 a3.

Ez ellentmond annak, hogy a1, a2 s a3 nem esnek egy skba. gy tehtv1 = w1. Hasonlan kapjuk, hogy v2 = w2 s v3 = w3, azaz az (1.1)elollts egyrtelmu. 2

v1a1a1

v2a2a2

v3a3

a3

v

1.17. bra: A trbeli v vektor elolltsahrom nem egy skba eso vektor lineriskombincijaknt.

Lineris fggetlensg Az elozo kt ttelbol vilgos, hogy a tr hromvektora vagy egy skba esik, ekkor valamelyikk a msik ketto lineriskombincija, vagy nem esik egy skba, s akkor egyikk sem ll eloa msik ketto lineris kombincijaknt. Ekkor viszont a tr mindenvektora eloll az o lineris kombincijukknt. Ltjuk, alapveto, hogyegy vektor kifejezheto-e ms vektorok lineris kombincijaknt.

1.10. definci (Vektorok fggetlensge). Azt mondjuk, hogy egy vvektor linerisan fggetlen az a1, a2,. . . an (n 1) vektoroktl, ha v nemfejezheto ki e vektorok lineris kombincijaknt. Azt mondjuk, hogy az a1,a2,. . . an (n 2) vektorok linerisan fggetlenek ha e vektorok egyike semfejezheto ki a tbbi lineris kombincijaknt. Ha legalbb egyikk kifejezhetoa tbbi lineris kombincijaknt, azaz legalbb egyikk linerisan fgga tbbitol, akkor e vektorokat linerisan sszefggoknek nevezzk. Azegyetlen vektorbl ll vektorrendszert linerisan fggetlennek tekintjk, haa vektor nem a zrusvektor.

36 lineris algebra

Pldul egy trbeli vektor, mely nem esik egy adott skba, fggetlena skba eso vektorok brmely rendszertol (??. bra). Egy kocka egycscsbl kiindul lvektorai linerisan fggetlenek (??. bra). ltal-ban: brmely kt nem kollineris vektor linerisan fggetlen, hasonl-kpp, a tr brmely hrom nem komplanris, azaz nem egy skba esovektora linerisan fggetlen.

Az 1.8. ttel teht a kvetkezokpp fogalmazhat t:

1.11. ttel (Skbeli vektor felbontsa). Ha a1 s a2 egy sk kt line-risan fggetlen vektora, akkor a sk minden v vektora egyrtelmuen eloll evektorok lineris kombincijaknt, azaz egyrtelmuen lteznek olyan v1 sv2 vals szmok, hogy

v = v1a1 + v2a2.

Hasonlkpp az 1.9. ttel gy fogalmazhat t:

1.12. ttel (Trbeli vektor felbontsa). Ha a1, a2 s a3 hrom line-risan fggetlen trbeli vektor, akkor a tr minden v vektora egyrtelmueneloll e vektorok lineris kombincijaknt, azaz egyrtelmuen lteznek olyanv1, v2 s v3 vals szmok, hogy

v = v1a1 + v2a2 + v3a3.

A koordintkrl szl szakaszban e kt ttel lesz alapja a koordi-ntarendszer bevezetsnek.

Specilis lineris kombincik A sk s a tr bizonyos konfigurcii jljellemezhetok lineris kombincikkal, ha a kombincis egytthatk-ra bizonyos feltteleket ktnk ki.

A

a

B

b

X

x

r(a b) (r R)

a b

O

1.18. bra: Az X pont pontosan akkorvan az AB egyenesen, ha valamely r s svalsokra

OX = r

OA + s

OB, s r + s =

1.

1.13. llts (Kt ponton tmeno egyenes jellemzse). Legyen O,A s B a sk vagy a tr hrom pontja. Az r

OA + s

OB alak lineris kom-

binci vgpontja pontosan akkor mutat az A s B ponton tmeno egyenesegy pontjba, ha r + s = 1.

Bizonyts. Legyen a =OA, b =

OB, s x mutasson az AB egyenes

valamely X pontjra, azaz legyen x =OB + r

BA valamilyen r vals

szmra, teht

x = b + r(a b), azaz x = ra + (1 r)b.

A fenti gondolatmenet lpsein visszafel haladva lthat, hogy min-den vals r szmra az ra+ (1 r)b vektor vgpontja az AB egyenesenvan. Fogalmazhatunk gy is, hogy az a s b vektorok vgpontjn t-meno egyenes sszes pontjt pontosan azok az ra + sb alak lineriskombincik adjk, amelyeknl r + s = 1. 2

vektorok 37

A

a

B

b

Xx

r(a b) (0 r 1)

O

1.19. bra: Az X pont pontosan akkorvan az AB intervallumban, ha valamely0 s 1 kz eso r s s valsokra

OX =

rOA + s

OB, s r + s = 1.

1.14. llts (Intervallum pontjainak jellemzse). Legyen O, As B a sk vagy a tr hrom pontja. Az r

OA + s

OB vektor pontosan akkor

mutat az A s B pontot sszekto szakasz valamely pontjba, ha r + s = 1s 0 r, s 1.

Bizonyts. Megismteljk az elozo feladat megoldst azzal a k-lnbsggel, hogy itt a

BX = r

BA sszefggs csak 0 s 1 kz eso r

rtkekre igaz. Teht x = ra+(1 r)b, ahol 0 r 1. Msknt fogal-mazva az a s b vektorok vgpontjait sszekto szakasz sszes pontjtpontosan azok a ra+ sb alak lineris kombincik adjk, amelyekbenr + s = 1 s 0 r, s 1. 2

Hasonl sszefggs igaz hrom vektor esetn is, azaz megmutat-hat, hogy a nem kollineris a, b s c vektorok vgpontjaira fektetettsk pontjaiba pontosan azok a vektorok mutatnak, melyeket ra + sb +tc alakba rva r + s + t = 1. Ha mg azt is kiktjk e hrom szmrl,hogy legyen 0 r, s, t 1, akkor az ra + sb + tc alak vektorok ahrom vektor vgpontja ltal meghatrozott hromszg pontjaiba mu-tatnak (ld. az 1.20. brt s a ?? feladatot).

A

B

CX

O

r + s + t = 1

A

B

C

X

O

r + s + t = 1 s 0 r, s, t 1

1.20. bra: Az X pont pontosan akkoresik az A, B s C pontokon tmenoskba, ha

OX = r

OA + s

OB + t

OC s

r + s + t = 1. Az X az ABC hromszg-be pedig pontosan akkor esik, ha ezenkvl mg 0 r, s, t 1 is fnnll.

Szemlletesen vilgos, pldul a mellkelt 1.21. brrl leolvasha-t, de nem bizonytjuk, hogy kt tetszoleges nem kollineris vektorsszes olyan lineris kombincija, amelyben az egytthatk 0 s 1kz esnek, egy parallelogrammt ad. Pontosabban fogalmazva egyra + sb alak vektor vgpontja pontosan akkor tartozik az a s b ltalmeghatrozott (kifesztett) parallelogrammhoz, ha 0 r, s 1.

Hasonl mondhat hrom, nem egy skba eso vektorrl: egy ra +sb + tc alak vektor vgpontja pontosan akkor tartozik az a, b s cltal kifesztett parallelepipedonhoz, ha 0 r, s, t 1 (1.21. bra).

A

B

X

A

B

C

1.21. bra: A parallelogramma s a paralle-lepipedon olyan lineris kombincikkalllthat elo, ahol az egytthatk nemnegatvak, s sszegk legfljebb 1.

38 lineris algebra

Feladatok

Vektormuveletek a 2- s 3-dimenzis trben1.1. Adva van a skban kt tetszoleges vektor, a s b.Szerkesszk meg a kvetkezo vektorokat: a) c = 2a + b,b) d = 2a b, c) e = 23 a + 13 b, d) f = 25 a + 35 b.1.2. Legyen u = a + b, v = a b. Fejezzk ki az a sb vektor segtsgvel a kvetkezo vektorokat: a) 2u + 2v,b) 3u 3v, c) 3u v, d) 2u 12 v.1.3. Tekintsk az ABCD ngyzetet. Hatrozzuk meg a k-vetkezo sszegeket! a)

AB+

CD, b)

AB+

BC+

CD, c)

AB

AC, d)ABCB, e) AC +DB, f) ACDB, g) 2AB +BD

1.4. Tekintsk az ABCD ngyzetet. Jellje a BC oldal fe-lezopontjt E, a CD oldal felezopontjt F, a ngyzet k-zppontjt O. Fejezzk ki az egymsra meroleges a =

AB

s d =AD vektorok segtsgvel az

AE,AF,AO,

EF,OF

vektorokat!1.5. Tekintsk az ABCD tetradert! Hatrozzuk meg aza)AB +

BC +

CD +

DA,

b)ABCB +CDAD,

c)ADACBD

vektorokat.1.6. Tekintsk a szablyos ABCDEF hatszget, melynekgeometriai kzppontjt jellje O. Fejezzk ki az a =

OA

s b =OB vektorok segtsgvel az a)

OC, b)

OE, c)

OF,

d)AC, e)

BD, f)

BF, g)

AB +

CD +

EF vektorokat!

1.7. Adva van n tetszoleges, nem felttlenl klnbzo P1,P2,. . . ,Pn pont a trben. Mivel egyenlo a

P1P2 +

P2P3 +

P3P4 + . . . +

Pn1Pn

s a P1P2 +

P2P3 +

P3P4 + . . . +

Pn1Pn +

PnP1

sszeg?

1.8. Mutassuk meg, hogy az a, b s c vektorok pontosanakkor lehetnek (egy esetleg szakassz vagy pontt elfajul)hromszg oldalvektorai, ha az

a + b + c, a + b c, a b + c, a b c

vektorok legalbb egyike zrus. Msknt fogalmazva: ha ahrom vektor sszege 0, vagy valamelyik vektor egyenlo amsik ketto sszegvel.

1.9. Legyen a s b kt tetszoleges vektor. Mutassuk meg,hogy van olyan (esetleg elfajul) hromszg, melynek ol-dalvektorai 2a b, a + 2b s 3a + b.Lineris kombinci, lineris fggetlensg

Specilis lineris kombincik1.10. Szakaszt m : n arnyban oszt pont Ha az ABszakaszt a P pont gy bontja kett, hogy |AP| : |PB| = m :n, akkor brmely O pontra igaz, hogy

OP =

nm + n

OA +

mm + n

OB.

Specilisan, az AB szakasz felezopontjba az

OA +

OB

2

vektor mutat.

Alkalmazs: geometriai bizonytsok vektorokkal

Alkalmazs: szv.....

vektorok 39

Tvolsg, szg, orientci

A cmben jelzett hrom alapfogalomhoz hrom vektorok kzti szorzs-muvelet visz kzelebb. Mindegyik muvelet igen szokatlan tulajdonsgokkalrendelkezik: az egyik eredmnyl nem vektort, hanem skalrt ad, a msik nemfelcserlheto, s ktvltozs (binris) muveletknt csak a 3-dimenzis trbendefinilhat, a harmadik pedig nem kt- hanem hromvltozs muvelet.

Skalris szorzs A fizikban az ero ltal vgzett munka az t hossz-nak s az ero elmozduls irnyba eso meroleges vetlete hossznakszorzata. Vagyis kt vektorjellegu mennyisgbol egy skalrmennyis-get kapunk eredmnyl. Ha F jelli az erovektort, s az elmozduls-vektort, Fs az eronek az elmozduls irnyba eso meroleges vetletivektort s az F s s vektorok hajlsszgt, akkor a munka rtke|Fs||s| = |F||s| cos. Ez vezet a kvetkezo defincihoz:1.15. definci (Kt vektor skalris szorzata). Kt vektor skalrisszorzatn a vektorok abszolt rtknek s az ltaluk bezrt szg koszinu-sznak szorzatt rtjk. Az a s b vektorok skalris szorzatt a b jelli,teht

a b = |a||b| cos(a, b),ahol a kt vektor ltal bezrt szg (a, b).

Ha a s b valamelyike zrusvektor, akkor a kt vektor szge, s gyannak koszinusza sem hatrozhat meg egyrtelmuen, a skalris szor-zat viszont ekkor is egyrtelmu, spedig 0, hisz a zrusvektor abszoltrtke 0, s 0 brmivel vett szorzata 0.

Szoks a s b skalris szorzatt ab-vel is jellni, de ezt egy ksobbbevezetendo muvelettel (a mtrixszorzssal) val sszekevers elker-lse rdekben e knyvben nem fogjuk hasznlni.

1.16. plda (Skalris szorzat kiszmtsa a definci alapjn).Mennyi a skalris szorzata egy 1 s egy 2 egysg hossz, s egymssal 60-osszget bezr kt vektornak?

Megolds. A szorzat 1 2 cos 60 = 1 2 12 = 1. 21.17. ttel (Mikor 0 a skalris szorzat?). Kt vektor skalris szor-zata pontosan akkor 0, ha a kt vektor meroleges egymsra.

Bizonyts. (=) Ha a b, akkor (a, b) = pi/2, azaz cos(a, b) =0, teht a b = 0.

(=) Ha a b = 0, azaz |a||b| cos(a, b) = 0, akkor |a| = 0, |b| = 0vagy cos(a, b) = 0. Ha valamelyik vektor zrusvektor, akkor irnyabrmely vektorra merolegesnek tekintheto. Ha viszont a 6= 0 s b 6=

40 lineris algebra

0, akkor cos(a, b) = 0, a cos fggvnynek a [0,pi] intervallumban csakpi/2-ben van zrushelye, teht a kt vektor meroleges egymsra. 2

1.18. ttel (A skalris szorzs muveleti tulajdonsgai). Ha a,b s c tetszoleges trbeli (skbeli) vektorok s r tetszoleges vals szm, akkorigazak az albbi sszefggsek:

a) a b = b a (kommutativits)b) (a + b) c = a c + b c (disztributivits)c) r(a b) = (ra) b = a (rb)d) a a > 0, ha a 6= 0, s a a = 0, ha a = 0.

A bizonytst az olvasra hagyjuk.Mivel kt vektor skalris szorzata skalr, ezrt az asszociativits

(csoportosthatsg) krdse fl sem vetheto, hisz az (a b)c szor-zatban kt klnbzo szorzsmuvelet szerepel. Mindezzel egyt (a b)c 6= a(b c) (ld. az 1.12. feladatot).

Hosszsg s szg Egy vektor hossza, s ezzel kt pont tvolsga, vala-mint kt vektor hajlsszge kifejezheto a skalris szorzat segtsgvel.

Egy tetszoleges a vektorra a a = |a||a| cos 0 = |a||a|, teht

|a|2 = a a, azaz |a| = a a.

E kplet szerint teht egy vektor hossza megegyezik az nmagval vettskalris szorzat gykvel. Ebbol az is addik, hogy kt pont tvolsgamegegyezik az oket sszekto vektor nmagval vett skalris szorza-tnak ngyzetgykvel.

Kt pontot sszekto vektor egyenlo az oda mutat helyvektorokklnbsgvel, gy ha a kt pontba mutat helyvektor a s b, akkor apontok tvolsga s ezt fogjuk a vektorok tvolsgnak is tekinteni

d(a, b) = |a b|.

Kt vektor skalris szorzatnak s a vektorok hossznak ismeret-ben a szgk meghatrozhat:

cos(a, b) =a b|a||b| (1.2)

Pithagorsz-ttel A tvolsgot vagy hosszsgot skalris szorzattal iski tudjuk fejezni, gy segtsgvel a r vonatkoz sszefggsek is vizs-glhatk.

1.19. ttel (Pithagorsz-ttel). Az a s b vektorokra pontosan akkorteljesl az

|a + b|2 = |a|2 + |b|2

sszefggs, ha a s b merolegesek egymsra.

vektorok 41

Bizonyts.

|a + b|2 = (a + b) (a + b)= a a + a b + b a + b b disztributivits= a a + 2(a b) + b b kommutativits?= a a + b b ?= |a|2 + |b|2,

Vilgos, hogy a ?-lel megjellt egyenlosg pontosan akkor teljesl, haa b = 0, azaz ha a s b merolegesek egymsra. 2

1.20. plda (Skalris szorzat kiszmtsa). Szmtsuk ki az brnlthat kt vektor skalris szorzatt (a szomszdos rcsvonalak tvolsga 1egysg).

a

b

1.22. bra: Kt vektor skalris szorzata

Megolds. Az a vektor hossza 3, a b vektor hossza a Pithagorsz-ttellel kiszmolhat:

42 + 32 = 5, a vektorok ltal kzbezrt szg

koszinusza cos = 45 , gy a skalris szorzat a b = 3 5 45 = 12. 2

Kt fontos egyenlotlensg Mivel a koszinusz fggvny rtke abszoltrtkben sosem nagyobb 1-nl, ezrt a skalris szorzat defincijblazonnal ltszik, hogy

|a b| = |a||b|| cos(a, b) |a||b|.

Ezzel bizonytottuk a kvetkezo ttelt:

1.21. ttel (CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenlotlensg).Kt vektor skalris szorzatnak abszolt rtke sosem nagyobb abszoltrtkeik szorzatnl, azaz

|a b| |a||b|.

A CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenlotlensg segtsgvel bi-zonytjuk a geometribl jl ismert hromszg-egyenlotlensget. En-nek az az rtelme, hogy e bizonyts vltoztats nlkl mukdni fogsokkal