Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · baze prostora V su jednakobrojne. Vje zbe 3 Linearna algebra 1. Linearna algebra 1 Vje zbe 3 Baza i dimenzija vektorskog prostora De nicija

Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3

Baza idimenzijavektorskogprostora

Linearna algebra 1

Vjezbe 3

12.3.2012.

Vjezbe 3 Linearna algebra 1

Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 1.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Izraz oblika

λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λkak =k∑

i=1

λiai

pri cemu je λ1, . . . , λk ∈ F , a1, . . . , ak ∈ V naziva se linearnakombinacija vektora a1, . . . , ak s koeficijentima λ1, . . . , λk .


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 2.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S = {a1, . . . , ak}konacan skup vektora iz V . Kazemo da je S linearnonezavisan ako vrijedi

λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λkak = 0 ⇒ λ1 = . . . = λk = 0

U suprotnom kazemo da je S linearno zavisan.

Primjedba 1.

Skup S = {a1, . . . , ak} je linearno zavisan ako postojeλ1, . . . , λk ∈ F takvi da je λj 6= 0 bar za jedan

j ∈ {1, 2, . . . , k} ik∑

i=1

λiai = 0.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Primjedba 2.

Svaki skup koji sadrzi nulvektor je zavisan.

Primjedba 3.

Svaki neprazan podskup nezavisnog skupa je nezavisan.Svaki nadskup zavisnog skupa je zavisan.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Propozicija 1.

Skup S = {a1, a2, . . . , ak} u vektorskom prostoru V je linearnozavisan ako i samo ako postoji j ∈ {1, 2, . . . , k} takav da je ajlinearna kombinacija preostalih elemenata skupa S .

Primjer 1.

Skup

{a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (1,−2, 0,−1), a3 = (1, 6, 2, 3)}

u prostoru R4 je linearno zavisan jer je a3 = 2a1 − a2.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 3.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S ⊆ V , S 6= ∅.Linearna ljuska skupa S oznacava se simbolom [S ] i definirakao

[S ] = {k∑

i=1

λiai , λi ∈ F , ai ∈ S}.

Primjer 2.

a1 = (1, 7, 0), a2 = (−1, 2, 0) ∈ R3;

[{a1, a2}] = {(x , y , 0) : x , y ∈ R}


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 4.

Neka je V vektorski prostor i S ⊆ V . Kaze se da je S sustavizvodnica (ili da S generira V ) ako vrijedi [S ] = V .

Primjer 3.

S =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(1 21 0

),

(0 00 1

)}

S je sustav izvodnica za M22.

Ako izostavimo

(0 00 1

), S vise nije sustav izvodnica.

Medutim, S bez

(1 21 0

)je novi, manji sustav izvodnica.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Propozicija 2.

Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u Spostoji x koji se moze prikazati kao linearna kombinacijaelemenata u S . Tada je i S \ x sustav izvodnica za V .

Definicija 5.

Konacan skup B = {b1, b2, . . . , bn} u vektorskom prostoru Vse naziva baza za V ako je B linearno nezavisan sustavizvodnica za V .


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Teorem 1.

Neka je V vektorski prostor te neka je B = {b1, b2, . . . , bn}baza za V . Tada za svaki v ∈ V postoje jedinstveni skalariα1, . . . , αn ∈ F takvi da je

v =n∑

i=1

αibi .

Primjedba 4.

Vektorski prostor moze imati mnogo razlicitih baza.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Primjer 4.

a) V = Rn;B = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en =(0, 0, . . . , 0, 1)}

b) V =Mmn;B = {Eij : i ∈ {1, 2, . . . ,m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}}, Eij = [ekl ]

ekl =

{1, k=i,l=j;0, inace.

c) V = Pn, skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n;B = {1, t, t2, . . . , tn}


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 6.

Kaze se da je vektorski prostor V konacnodimenzionalan ilikonacnogeneriran ako postoji neki konacan sustav izvodnica zaV .

Teorem 2.

Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} imabazu.

Teorem 3.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Svebaze prostora V su jednakobrojne.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Definicija 7.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor.Dimenzija prostora V definira se kao broj elemenata bilo kojenjegove baze.

Primjer 5.

a) dim{0} = 0

b) dimRn =dimCn = n

c) dimMmn = mn

d) dimPn = n + 1


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Propozicija 3.

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak} linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A mozenadopuniti do baze.

Korolar 1.

Neka je V vektorski prostor te neka je dimV <∞.

i) Svaki lin. nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata.Svaki lin. nezavisan skup u V koji ima tocno n elemenataje baza za V .

ii) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svakisustav izvodnica koji ima tocno n elemenata je baza za V .


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3

Baza idimenzijavektorskogprostora Zadatak 1.

Je li skupS = {(1, i , 1 + i), (i , 0, i), (1, 1, 1)}

baza prostora C3?


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 2.

Dokazi da su skupovi simetricnih i antisimetricnih matrica izM22 vektorski potprostori od M22. Nadi im bazu i dimenziju.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 3.

Neka je

W = {(x1, x2, . . . , x10) ∈ R10 :10∑i=1

xi = 0}.

Dokazi da je W potprostor od R10, nadi mu bazu, dimenziju tenadi koordinate vektora (1,−1, 2,−2, 3,−3, 4,−4, 5,−5) u tojbazi.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Domaca zadaca

Zadatak 4.

Dokazi da je

W = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0}

potprostor od R4. Nadi mu bazu i dimenziju.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 5.

a) Dokazi da je skup svih polinoma P (uz standardneoperacije zbrajanja funkcija i mnozenja funkcija skalarom)vektorski prostor, a skup Pn svih polinoma stupnja manjegili jednakog n njegov vektorski potprostor, ∀n ∈ N.

b) Za n = 3 dokazi da je skup

{t − t2, t3, 1 + 5t + t3, (1 + t)3}

baza za P3 i rastavi polinom p(t) = t3 − 4t2 + 8t − 3 utoj bazi.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 6.

a) Nadopunite skup A do baze prostora R4.

A = {(1, 2,−1,−2), (2, 3, 0,−1)}

b) Nadopunite skup A do baze prostora M22.

A = {(

1 12 1

),

(1 12 2

)}


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Domaca zadaca

Zadatak 7.

Vektore x = (1, 0,−1, 0) i y = (2, 0, 1, 1) nadopunite do baze uR4.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 8.

Neka su u vektorskom prostoru V dani konacni skupoviA = {a1, . . . , ar} i B = {b1, . . . , bs}. Dokazite da je [A] = [B]ako i samo ako vrijedi

ai ∈ [B],∀i ∈ {1, 2, . . . , r}

ibj ∈ [A], ∀j ∈ {1, 2, . . . , s}.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 9.

U prostoru R3 dani su vektori

a1 = (1, 3, 1), a2 = (1, 2, 1),

b1 = (−1, 0,−1), b2 = (−1,−1,−1).

Pokazite da vrijedi

[{a1, a2}] = [{b1, b2}].


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3

Baza idimenzijavektorskogprostora Zadatak 10.

Pokazite da je skup

S = {(1, 1, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 7), (6, 2, 13)}

sustav izvodnica za R3 pa ga reducirajte do baze prostora R3.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 11.

Dokazite da je svaki skup matrica koji sadrzi nul-matriculinearno zavisan.


Linearnaalgebra 1

Vjezbe 3


Zadatak 12.

Neka je {a1, . . . , an} baza u vektorskom prostoru V i

b =n∑

i=1

biai neki vektor iz V . Dokazite da je

{a1, . . . , ai−1, b, ai+1, . . . , an} baza u V ako i samo ako jebi 6= 0.


Documents

Linearna algebra 1 - Odjel Za Matematiku · baze prostora V su jednakobrojne. Vje zbe 3 Linearna algebra 1. Linearna algebra 1 Vje zbe 3 Baza i dimenzija vektorskog prostora De nicija