Upload
others
View
11
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Linearna algebra Tok 104, Grupa A 12. decembar 2018.
1. Rexiti sistem Gausovim metodom u zavisnosti od realnog parametra a:
ax + y + z = a(a+ 1)x + (a− 1)y + 2z = 2a− 1(a− 2)x + y − z = a− 2
.
2. a) Odrediti realne koeficijente polinoma P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx− 8, tako da bude deiv sax+ 2i, a da pri dee�u sa x+ 2 daje ostatak 32. Na�i ostale nule polinoma P (x).
b) Odrediti sva rexe�a jednaqine z3 =(
8√3(−√3 + 3i)
)50
.
3. a) Ispitati da li su skupovi
U ={p ∈ R5[x]
∣∣ p(4) = 0, deg p 6= 3}
i V ={p ∈ R5[x]
∣∣ p′(−2)− 3p′′(0) = p(10)}
vektorski potprostori vektorskog prostora R5[x].
b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora
U ={(x, y, z) ∈ R3
∣∣ x+ y + 3z = 0}
i V = L ((1, 1, 0), (2, 1, 1, ), (2,−1, 3)).
Pokazati da je R3 = U + V . Da li je prethodna suma direktna?
Vreme za rad je 90 minuta. Sre�no!
Linearna algebra Tok 104, Grupa B 12. decembar 2018.
1. Rexiti sistem Gausovim metodom u zavisnosti od realnog parametra a:
(a+ 1)x + y + z = 1x + (a+ 1)y + z = ax + y + (a+ 1)z = a2
.
2. a) Odrediti realne koeficijente polinoma P (x) = x4 + ax2 + bx+ c, tako da bude deiv sa x− 2i,a da pri dee�u sa x− 1 daje ostatak 5. Na�i ostale nule polinoma P (x).
b) Odrediti sva rexe�a jednaqine z3 =(
8√2(−1 + i)
)50
.
3. a) Ispitati da li su slede�i skupovi
U ={p ∈ R5[x]
∣∣ p(11) = 0, deg p 6= 2}
i V ={p ∈ R5[x]
∣∣ p′′′(3)− 3p(0) = 2p′(−1)}
vektorski potprostori vektorskog prostora R5[x].
b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora
U ={(x, y, z) ∈ R3
∣∣ x+ 2y + z = 0}
i V = L ((1, 0, 1), (1, 3,−3, ), (7, 9,−5)).
Pokazati da je R3 = U + V . Da li je prethodna suma direktna?
Vreme za rad je 90 minuta. Sre�no!
Kolokvijum iz Linearne algebreqetvrti tok, 27.1.2019.
1 Rexiti sistem nad poljem Z11
4x + 3y + 5z = 23x + 4y + 2z = 78x + 10y + 6z = 4.
2 Ispitati da li je (M2(R),z, •) vektorski prostor nadpoljem R ako su operacije definisane sa
XzY = X + Y + E i α •X = αX + (α− 1)E.
3 Neka je An kvadratna n× n matrica qiji su svi koeficijenti jednaki 1.a) Odrediti prirodne brojeve m i n takve da su mno�enja XAm i AnX definisana za sve matriceX ∈M23(R).b) Za m i n iz dela pod a) pokazati da je U = {X ∈M23(R) | XAm = AnX} potprostor vektorskogprostora M23(R).v) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora U .
4 Dati su vektorski prostoriU =
{p ∈ R4[x]
∣∣ p′(1) = p′′(−1)}, V = L
(x− x2, x2 − x3, x3 − x
)i W =
{p ∈ R3[x]
∣∣ 2p(1) = p(2)}.
a) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora (U ∩ V ) +W .b) Odrediti dimenziju vektorskog prostora U ∩ V ∩W .
5 U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rangmatrice 1 1 1 1
1 λ λ2 λ3
1 λ2 λ3 λ4
.
6 Odrediti inverz matrice1 2 1 02 5 1 11 3 1 −21 4 −2 4
.
Vreme za rad je 3 sata. Sre�no!
Kolokvijum iz Linearne algebreqetvrti tok, 27.1.2019.
1 Rexiti sistem nad poljem Z11
4x + 3y + 5z = 23x + 4y + 2z = 78x + 10y + 6z = 4.
2 Ispitati da li je (M2(R),z, •) vektorski prostor nadpoljem R ako su operacije definisane sa
XzY = X + Y + E i α •X = αX + (α− 1)E.
3 Neka je An kvadratna n× n matrica qiji su svi koeficijenti jednaki 1.a) Odrediti prirodne brojeve m i n takve da su mno�enja XAm i AnX definisana za sve matriceX ∈M23(R).b) Za m i n iz dela pod a) pokazati da je U = {X ∈M23(R) | XAm = AnX} potprostor vektorskogprostora M23(R).v) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora U .
4 Dati su vektorski prostoriU =
{p ∈ R4[x]
∣∣ p′(1) = p′′(−1)}, V = L
(x− x2, x2 − x3, x3 − x
)i W =
{p ∈ R3[x]
∣∣ 2p(1) = p(2)}.
a) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskog prostora (U ∩ V ) +W .b) Odrediti dimenziju vektorskog prostora U ∩ V ∩W .
5 U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rangmatrice 1 1 1 1
1 λ λ2 λ3
1 λ2 λ3 λ4
.
6 Odrediti inverz matrice1 2 1 02 5 1 11 3 1 −21 4 −2 4
.
Vreme za rad je 3 sata. Sre�no!
1
Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 17.6.2019.
1 Neka je RN skup svih realnih nizova i neka je
U ={x ∈ RN ∣∣ x je aritmetiqki
}i V =
{x = (xn)n∈N ∈ RN
∣∣xn+3 = 5xn+2 − 8xn+1 + 4xn, ∀n ∈ N}.
a) Pokazati da su U i V vektorski potprostori RN.b) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U i V .v) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U + V i U ∩ V . Da li je prethodna suma direktna?
2 a) U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rang matrice
A =
1 λ+ 2 −1 λ+ 1λ+ 1 6 −2 4−1 −3 λ λ− 3
.
b) Za λ = −5 odrediti kanonsku matricu A0, kao i invertibilne matrice P i Q takve da va�iA0 = PAQ.
3 Linerno preslikavanje L : R3[x] −→ R3 ima matricu
2 1 13 0 −34 −5 −19
u odnosu na par baza
e = {1 + x, 1− x, 1 + 2x2} i f = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}.a) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par kanonskih baza vektorskih prostora R3[x] iR3.b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.
4 Izraqunati vrednost determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n1 8 27 · · · n3
1 32 243 · · · n5
......
... . . . ...1 22n−1 32n−1 · · · n2n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
5 Izraqunati
minp∈R3[x]
p(0)=p′′(0)
∫ 1
−1|x|(p(x)− 14)2dx.
6 Neka je A =
1 −2 2−2 4 −42 −4 4
.a) Odrediti dijagonalnu matricu D i ortogonalnu matricu P takve da va�i A = PDP T .b) Izraqunati A2019.v) Svesti kvadratnu formu na q(x, y, z) = x2 + 4y2 + 4z2 − 4xy + 4xz − 8yz na dijagonalni oblik.
Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u ponedeljak 24.6.2019. u 16:30. Sre�no!
1
Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 26.6.2019.
1 a) U zavisnosti od realnog parametra α odrediti skup rexenja U sistema jednaqinaαx + 2y + z − (1 + α)t = 0−αx + 2y + 3z = 0
(1 + α)x + 2y − (1 + 2α)t = 04x + 2y − 2z − (3 + 2α)t = 0
.
b) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju ortogonalne dopune U⊥, ako je skalarni proizvod na R4 zadat sa(a, b, c, d) ◦ (a′, b′, c′, d′) = aa′ + 2bb′ + cc′ + dd′.v) Odrediti bar po jednu bazu i dimenziju U +V i U ∩V , gde je V = L ((1,−1, 1, 0), (1, 0, 1,−1), (0,−1, 0, 1)).Da li je prethodna suma direktna?
2 Ispitati da li je podskup U potprostor vektorskog prostora V i ako jeste odrediti bazu i dimenzijuU ako jea) V = M2(R), U = {M ∈ V | trM = detM},
b) V = M2(R), U ={M ∈ V
∣∣ trM = tr(ATMA
)}, gde je A =
(1 0 11 0 1
),
v) V = R6[x], U = { p ∈ V | deg p+ deg (p(1)x3) < 6}.
3 a) Pokazati da je preslikavanje
L : R3[x] −→M2(R), Lp =
p(0) 31∫0
p(t)dt− 32p′(0)
p(1) + p(−1) p′′(3)2
linearno.b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.v) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par baza {1 + x + x2, 1 − 2x + x2,−1 + x + 2x2} i{(
1 11 0
),
(1 10 1
),
(1 01 1
),
(0 11 1
)}.
4 Neka je
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 3 0 0 · · · 0 02 5 3 0 · · · 0 00 2 5 3 · · · 0 00 0 2 5 · · · 0 0...
......
.... . .
......
0 0 0 0 · · · 5 30 0 0 0 · · · 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣determinanta reda n.a) Pokazati da va�i ∆n+2 = 5∆n+1 − 6∆n, za sve n ∈ N.b) Izraqunati ∆n.
5 Neka je
A =
0 −2 31 1 −10 −1 2
.
a) Odrediti �ordanovu formu J matrice A iinvertibilnu matricu P takve da va�i A =PJP−1.b) Izraqunati An, n ∈ N.
6 a) Pokazati da je preslikavanje
◦ : R3[x]× R3[x] −→ R, p ◦ q = p(0)q(0) + p(1)q(1) +p′′(0)q′′(0)
4
skalarni proizvod na R3[x].b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu R3[x].v) Izraqunati rastojanje polinoma 1 + x+ x2 od potprostora R2[x].g) Izraqunati ugao izme�u polinoma 1 + x+ x2 i ortogonalne dopune R2[x]⊥.
Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u utorak 9.7.2019. u 17:30. Sre�no!
1
Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 4.9.2019.
1 a) Pokazati da je skup V =
{(a 00 b
)∣∣∣∣ a, b > 0
}sa operacijama
A⊕B = A
(1 00 2
)B i α�
(a 00 b
)=
(aα 00 2α−1bα
)jedan vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.
b) Ispitati da li su podskupovi U1 =
{(a 00 a+ 1
)∣∣∣∣ a > 0
}i U2 =
{M ∈ V
∣∣detM = 12
}potprostori
vektorskog prostora (V,⊕,�).
2 Odrediti inverz matrice
1 −1 0 0 · · · 0 0−1 2 −1 0 · · · 0 00 −1 2 −1 · · · 0 00 0 −1 2 · · · 0 0...
......
... . . . ......
0 0 0 0 · · · 2 −10 0 0 0 · · · −1 2
.
3 Date su matrice A =
(1 21 0
), B =
(−1 10 0
), C =
(1 01 3
)i D =
(1 0−1 −1
)i polinomi
p(x) = 1 + 2x, q(x) = x− x2 i r(x) = 1− 3x+ 2x2.a) Pokazati da je preslikavanje
L :M2(R) −→ R3[x], L(M) = (M ◦ A)p+ (M ◦B)q + (C ◦M)(q + r)
linearno ako je skalarni proizvod na M2(R) zadat sa A ◦B = tr(ABT
).
b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt preslikavanja L.v) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par kanonskih baza, kao i u odnosu na par baza{A,B,C,D} i {p, q, r}.4 U zavisnosti od realnog parametra αizraqunati vrednost determinante reda n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α α · · · α α 1n
α α · · · α 1n−1
α
α α · · · 1n−2
α α...
... . . . ......
...α 1
2· · · α α α
1 α · · · α α α
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
5 a) Odrediti �ordanovu kanonsku formu Jmatrice
1 −1 −2 3 20 0 −2 3 10 1 1 −1 00 0 −1 2 50 0 0 0 2
.
b) Izraqunati J100.
6 a) Pokazati da je preslikavanje
◦ : R[x]× R[x] −→ R, p ◦ q = 1
π
1∫−1
p(t)q(t)√1− t2
dt
skalarni proizvod na vektorskom prostoru R[x].b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu vektorskog potprostora R3[x].v) Izraqunati ugao koji polinom x2 zaklapa sa potprostorom R2[x].
Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u qetvrtak 12.9.2019. u 17:00. Sre�no!
1
Pismeni ispit iz Linearne algebreqetvrti tok, 15.9.2019.
1 Neka je U = {p ∈ R4[x]| p(1) = p′(1), p(0) = p(−1)} i V = L (p1, p2, p3, p4), gde je
p1(x) = 3 + x2 + x3, p2(x) = 2− 2x− x2 + x3, p3(x) = 4 + 2x+ 3x2 + x3 i p4(x) = 1 + 2x+ 2x2.
a) Odrediti po jednu bazu i dimenziju vektorskih potprostora U + V i U ∩ V . Da li je prethodnasuma direktna?b) Odrediti sve λ ∈ R za koje polinom 2 + x+ λx2 + x3 pripada U + V .
2 Odrediti sve matrice A za koje je
adjA =
2 −2 0−6 9 −18 −12 2
.
3 Neka jeL : R3[x] −→ R3[x], L(p)(x) = p′′(0)x3 − p′(x)
(x2 − x+ 1
)+ p(−1).
a) Pokazati da je L dobro definisan linearni operator na vektorskom prostoru R3[x].b) Odrediti bar po jednu bazu KerL i ImL, kao i rang i defekt operatora L.v) Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore operatora L.
4 Izraqunati vrednost determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 0 0 · · · 01(21
) (22
)0 · · · 0
1(31
) (32
) (33
)· · · 0
......
...... . . . ...
1(n1
) (n2
) (n3
)· · ·
(n
n−1
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
5 Neka je A kvadratna 3× 3 matrica determinante −4 i traga 1 qija je jedna sopstvena vrednost1.a) Odrediti sve sopstvene vrednosti matrice A.b) Odrediti dimenziju L (E,A,A2, A3, . . . , A100).v) Pokazati da je L (E,A,A2, A3, . . . , A100) = L (E,A2, A4, A6, . . . , A100).
6 a) Odrediti 3 × 3 matricu A takvu da preslikavanje v 7→ Av predstavlja projekciju na ravanπ : x− 2y − 2z = 0 u vektorskom prostoru R3 (sa standardnim skalarnim proizvodom).b) Izraqunati ugao koji vektor (1, 1, 1) zaklapa sa ravni π.
Vreme za rad je 3 sata. Usmeni deo ispita je u qetvrtak 26.9.2019. u 17:00. Sre�no!
1