Universidade Federal da Integrao LatinoAmericanaDocente: Newton Solrzano

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Clculo IIIExerccios 7

Temas Abordados: Transformada de Laplace, Fraes parciais e a transformada inversa;

1. Achar a transformada de Laplace inversa de cada uma das funes abaixo.

a) F (s) = 3s2+4 b) F (s) =

4(s1)3

c) F (s) = 2s+2s2+2s+5 d) F (s) =

3ss2s6

2. Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.

a) y y 6 = 0, y(0) = 1 e y(0) = 1b) y + 3y + 2y = 0, y(0) = 1 e y(0) = 0c) y 4y + 4y = 0, y(0) = 1 e y(0) = 1d) y 2y 2y = 0, y(0) = 2 e y(0) = 0.

3. Encontre a Transformada de Laplace da funo dada.

a) f(t) ={

0 se t < 2(t 2)2 se t 2.

b) f(t) =

0 se t < pi

(t pi) se pi t < 2pi0 se t > 0

4. Calcule a transformada de Laplace inversa da funo dada.

a) F (s) = 3!(s2)4 b) F (s) =e2s

s2+s2

c) F (s) = 2(s1)e2ss22s+2 d) F (s) =

2e2ss24

5. Achar a soluo do problema de valor inicial proposto.

a) y + y = f(t), y(0) = 0 e y(0) = 1 onde f(t) ={

1, se 0 t < pi/2,0, se pi/2 t

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7. Considere um circuito RLC onde a fora eletromotriz E(t) = cos(2t), a resistncia R = 5, a indutncia L = 1 e a capacitncia C = 4. Pela segunda Lei de Krichoff, acarga q(t) no capacitor satisfaz

q + 5q + 4q = cos(2t).

Considere as condies iniciais q(0) = 0 e q(0) = 1.

a) Determine a transformada L[q] da soluo q(t) do PVI.b) Determine as razes do denominador de L[q] e escreva q(t) como combinao de

funes elementares.c) Escreva L[q] como combinao de transformadas de funes elementares e deter-

mine seus coeficientes.d) Determine a soluo q(t) do PVI.

8. Considere um sistema MMA onde a fora externa F (t) = et sen(2t), a massa m = 1,a constante da mola k = 10 e constante de amortecimento b = 6. Pela segunda Leide Newton, a posio y(t) da massa em relao ao equilbrio satisfaz

y + 6y + 10y = et sen(2t)

Considere as condies iniciais y(0) = 0 e y(0) = 0.

a) Determine a transformada L[y] da soluo y(t) do PVI.b) Determine as razes do denominador L[y] e escreva y(t) como combinao de fun-

es elementares.c) Escreva L[y] como combinao de transformadas de funes elementares e deter-

mine seus coeficientes.d) Determine a soluo y(t) do PVI.

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