Ljusets Diffraktion 2018

Laborationsinstruktioner Våglära och optik FAFF30+40

Samuel Bengtsson: samuel.bengtsson@fysik.lth.se

Ludvig Hassbring: tfy15lha@student.lu.se

Lärandemål IdenhärlaborationenfårDuanvändasammautrustningsomdulärdediganvändaiOptiklaborationentillattstuderaolikaformeravdiffraktionochinterferens.DukommerocksåattsimulerafenomeneniMATLAB.Laborationenkopplarframförallttillföljandelärandemålikursplanen: SyfteSyftetmedkursenärattutvecklastudentensproblemlösningsförmågaochmodelltänkandesamtintroducerastudententillexperimentelltarbeteinklusiveanvändningavdatorstödförattgrafisktrepresenteraochanalyseradata.Kursenbehandlarvågorochvågorsrörelseitidochrummedtonviktpåelektromagnetiskstrålningidetoptiskaområdet.Elektromagnetiskavågorochderasutbredningärett centraltbegrepp inomdagens teknologi,menockså fördenkvantmekaniskabeskrivningenavmikrokosmos.Kursengerengrundförattförståochutvecklabådeteknikenomkringossochdenmodernafysiken.MålKunskapochförståelseFörgodkändkursskallstudenten

• kunnadegrundläggandefysikaliskaprincipernaförvågutbredning,• förståhurettabstraktmodelltänkandeiformavmatematiskamodeller,analogier

ochbilderrelaterartillexperimentochdenfysikaliskaverkligheten,• kunnaanalyseraproblemställningarsamtutföraochtolkaberäkningarinom

ämnesområdet.

FärdighetochförmågaFörgodkändkursskallstudenten

• hatillägnatsigförmågaattgenomföralaborationerochanvändadatorersomhjälpmedel,särskiltförberäkningar,analysochsimulering,

• hatillägnatsiggrundläggandefärdighetiskriftligframställningavobservationerochberäkningarsamthaökadförmågaattdiskuterafysikaliskaproblemmedkollegor,

• kunnaangripaproblemställningarpåettstruktureratsätt.VärderingsförmågaochförhållningssättFörgodkändkursskallstudenten

• visainsiktidennaturvetenskapligametodenochfysikensmöjligheterochbegränsningar,

• kunnavärderautfallavolikaexperimentellametoder,• visa förmåga att identifiera sitt behov av ytterligare kunskaper även inom andra

områden.

Introduktion

1.1 Att läsa • Riskbedömning–finnspåLive@LundunderLaborationer• Helahandledningen(försökfunderauthurDuskallutföraallamoment)• Pedrotti

− Vågor:4-1–4-8− Vågaddition:5-1–5-2− Diffraktion

§ Fraunhofer:kap.11§ Fresnel:kap.13

− Extraläsning(kursivt)§ Fourieranalys:9-1–9-2§ Fourieroptik:21-1(s.458–461)

1.2 Riskanalys IdennalaborationkommerDuattanvändaenlaseravklass3Bsomärinställdpåeneffektsomärmindreän5mW.Effektenärbegränsad förattundvikapermanent skadapåögonenomDu tittardirekt in i laserstrålen eller får en reflex. Även om effekten är begränsad kan det vara mycketobehagligt att få en stråle i ögonen och det är därför viktigt att Du alltid har Ditt huvud ovanförstrålhöjden,använderskärmarnatillattblockeraeventuellareflexerochattDutaravDinklocka.

2 Förberedelseuppgifter1. ExperimenteramedMATLAB-demos(seappendixC).2. Beräknabreddenavdenspaltsomgerupphovtillintensitetsfördelningenifigur1a.

Avståndettillskärmenär7,00mochlaservåglängden546,1nm.3. Ifigur1bsynsintensitetsfördelningenpåenskärmplacerad10,0mbortfrånett

flerspaltssystem.Lasernharvåglängden632,8nm.a. Hurmångaspalterharbelysts?b. Hurstortäravståndetmellanspalterna?c. Vadhändermedintensitetsfördelningenomenavytterspalternatäcksöver?Skissa!d. Hurmycketlägreblircentraltoppenjämförtmedomallaspalternabelyses?

Figur1.Intensitetsfördelningenpåskärmenförtvåolikaspaltsystem

3 Teori Läsigenomalltnedan,menvarinteoroligomDuinteförstårallt;delaravmatematikenharDuännuinteläst.HandledarenkommergörasittbästaunderlaborationenförattDuskallfåenaningomhurmatematikenförvågekvationenhängerihopmeddefenomenDuskallstuderaunderlaborationen. 3.1 Vågekvationen Börjameddenhomogenavågekvationeni3dimensioner:

!!

!!!− !

!!∇! 𝑢 = 0 (1)

Sätt𝑐 = 1.Ansats𝒓 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ! ∶ 𝑢 𝒓, 𝑡 = 𝐴 𝒓 𝑇 𝑡

⇒𝑇𝑇=∇!𝐴𝐴

= −𝑘!.

DennaseparationledertillHelmholtzekvation:

∇! + 𝑘! 𝐴 = 0, 𝜔 ≡ 𝑘 ⇒ !!

!!!+ 𝜔! 𝑇 = 0. (2)

Tidsdelenhardenharmoniskalösningen:

𝑇 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝜔𝑡 .

Ommanharenpunktkällaiorigo,kanmanskrivaomHelmholtzekvationpåenradielltsymmetriskform:

1𝑟𝜕!

𝜕𝑟!+ 𝑘! 𝐴 = 𝛿 𝒓 ,

ochmankanvisaattekvationenharlösningen

𝐴 𝒓 = !"# !"#!!"

. (3)

Medettändligtantalkällorpåpositionerna𝒓!!medamplituderna𝑓! = 𝑓 𝒓!! för𝑖 ∈ 1. .𝑁 ,kandetelektromagnetiskafältetpåpositionenr skrivas

𝐴 𝑟 = 𝑓!!"# !" 𝒓!𝒓!

!

!! 𝒓!𝒓𝒊!

!!!! → 𝑑!𝑟!𝑓 𝒓′ !"# !" 𝒓!𝒓!

!

!! 𝒓!𝒓𝒊! . (4)

Dettakallas förHuygensprincip.Övergångentillen integralskernärvivillbeskrivaenkontinuerligkällaiställetförfleradiskreta.

Figur 2. Typisk situation för vilken ekvation (4) beräknas. r' löper över ett plan däraperturenfinnsochrärdenpunktpåskärmendärvivillräknautdiffraktionsmönstret.

3.2 Diffraktion Närmansummeraröverdediskretakällorna 𝑓! ,ellerintegreraröverdenkontinuerligakällan𝑓 𝒓 iekvation (4),kommer resultatetbliett interferensmönster. Integralen i (4)ärkompliceradatt lösa,menvikommerattsetvåfalldärmankanförenkladen.NärFresneltalet𝐹 ≡ 𝑑! 𝑙𝜆 ≳ 1(därd2ärstorleken på det belysta objektet, l avståndet mellan objekt och skärm och λ ljusets våglängd)befinnerviossiFresnelregimenochnär𝐹 ≪ 1befinnerviossiFraunhoferregimen.

3.2.1 Fresneldiffraktion Nära diffraktionskällan är vågfronternas krökning viktiga för att beräknas interferens korrekt.MedhjälpavdesåkalladeFresnelzonerna kanbyggauppenanalytiskapproximation, som ikapitel13 iPedrotti. För till exempel fallet med en rak kant, måste man beräkna Fresnelintegralerna, vilketlättastgörsmedendator.

3.2.2 Fraunhoferdiffraktion Omvi tänker oss att𝑓 𝒓′ är kompakt runt origo och vi endast är intresserade av lösningar långtborta(idetsåkalladefjärrfältet,därFraunhoferdiffraktionenråder)kanvi,eftersom𝑟! = 𝒓′ ärlitetiförhållandetill𝑟 = 𝒓 ,skriva

𝒓 ⋅ 𝒓 − 𝒓! = 𝑟 𝒓 − 𝒓! cos 𝜃 ⇔ 𝒓 − 𝒓! =𝑟! − 𝒓 ∙ 𝒓!

𝑟 cos 𝜃=𝑟 − 𝒓 ∙ 𝒓!

cos 𝜃≈ 𝑟 − 𝒓 ∙ 𝒓!

⟹ 𝐴 𝒓 ≈ 𝑑!𝑟!𝑓 𝒓!𝑒𝑥𝑝 𝑖𝑘 𝑟 − 𝒓 ∙ 𝒓!

4𝜋 𝑟 − 𝒓 ∙ 𝒓!

Om 𝒓 ∙ 𝒓! ≪ 𝑟 kanvigöraföljandeapproximation

𝐴 𝒓 ≈𝑒𝑥𝑝 𝑖𝑘𝑟4𝜋𝑟

𝑑!𝑟!𝑓 𝒓! 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝑘𝒓 ∙ 𝒓!

Omvidessutomdefinierar 𝒌 ≡ 𝑘𝒓 fårvi

𝐴 𝒓 = !"# !"#!!"

𝑑!𝑟!𝑓 𝒓! 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝒌 ∙ 𝒓! . (5)

Tänkpåattdetsomsynspåskärmenärintefältetisig,utanintensiteten:

𝐼 𝒓 ∝ 𝐴 𝒓 ! (6)

Ekvation (5)är giltig i Fraunhoferregimen förgodtyckligaobjekt. Förden typav flerspaltssystemvikommerattstötapåunderlaborationen,seretttvärsnitt𝑓 𝑥′ genomspaltsystemetutsom

därb är spaltbreddenhosvarjeenskild spaltochd spaltavståndet. Förett sådant spaltsystemkanekvation(5)beräknasexakt,ochdiffraktionsmönstretfårutseendet

𝐼 = 𝐼!!"#!!

! !"#!"!"# (!)

!, 𝛽 = !

!𝑏 sin 𝜃 , 𝛾 = !

!𝑑 sin 𝜃 (7)

därN är antalet spalter. Böjningsminima ges av𝑏 sin 𝜃 = 𝑚𝜆 och interferensmaxima av𝑑 sin 𝜃 =𝑛𝜆.Typiskaplottaravekvation(7)synsifigurerna1aoch1b.

3.2.3 Fouriertransform – överkurs för den intresseradeAllaperiodiskafunktionerkanutvecklasien(möjligtvisoändlig)serieavharmoniskafunktioner,ensåkalladFourierserie:

𝑓 𝑥 = 𝑓!𝑒𝑥𝑝 𝑖2𝜋𝑛𝑥!

!!!!

, 𝑓! = 𝑑𝑥 𝑓 𝑥!

!𝑒𝑥𝑝 −𝑖2𝜋𝑛𝑥

Jämför särskilt med den första MATLAB-demonstrationen, där Du adderade sinusvågor av olikafrekvenser.

Förattserienskallvarakonvergent,måstesekvensen 𝑓! varaavtagande.Mergenerellafunktioner(icke-periodiska) kan hanteras genom att ett kontinuerligt spektrum används för att bygga uppfunktionen

𝑓 𝑥 = !"!!𝑓 𝜉 𝑒𝑥𝑝 𝑖𝜉𝑥 ≡ ℱ!! 𝑓 𝜉 .

Detta är den inversa Fouriertransformen. Fouriertransformen som avbildar från rummet tillfasrummet(ellerfrekvensrummet)ärdådefinieradsom

𝑓 𝜉 = ℱ 𝑓 𝑥 ≡ 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝜉𝑥 .

PåsammasättärdentredimensionellaFouriertransformendefinieradsom

𝑓 𝒌 = ℱ 𝑓 𝒓 ≡ 𝑑!𝑟 𝑓 𝒓 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝒌 ∙ 𝒓 .

Dettaärprecisintegraleni(5).

Fouriertransformkanlättberäknasmedhjälpavendator,sedatordelennedan.

4 Praktisk del 4.1 Fraunhoferdiffraktion

Figur 3. Experimentuppställningen som används under laborationen för att studeraFraunhoferdiffraktion. Lasern kollimeras först och de plana vågfronterna passeraraperturendärdeböjsavochpropagerartillskärmendärvidetekterardem.

Börjamedattlinjeraochkollimerastrålen.VarförbehöverDugöradet?

1. Bestäm avståndet till skärmen med hjälp av en dubbelspalt. Behåll detta avstånd fixeratunderrestenavlaborationen.

2. Bestämbreddenpåenenkelspalt.3. Jämfördiffraktionsmönstretfrånenenkelspaltmeddetfrånentråd.4. BevisaBabinetsprincip.5. Bestämspaltavståndetiettflerspaltsystem.Funderapåeffektenavatthameränenspalt.6. Undersök effekten av en ställbar spalt och bestäm dennas bredd inteferometriskt för fem

olikainställningar.

4.2 Fresneldiffraktion

Figur 4: Experimentuppställningen som används under laborationen för att studeraFresneldiffraktion.

TabortspeglarochlinssåattDuharendivergentljusstråleigen.Varförskalldugöradet?

1. Belysencirkel—kanDuseAragos/Poissonsfläck?2. Belysenställbarspalt—vadhändermedinterferensmönstretomDuändrarspaltbredden?3. Studeradiffraktionfrånenegg.

A Dioddata S/N Våglängd LD PD Polaritet Min Rekommenderat Max120501–55 405,0nm CG CG CG 20mA

0,5mW37mA5mW

48,3mA10,5mW

130201–56 403,9nm CG CG CG 20mA0,8mW

38mA5mW

60mA10mW

130201–57 403,4nm CG CG CG 20mA0,5mW

31mA5mW

42,5mA10mW

130201–67 640,5nm AG CG AG 60mA1,5mW

65mA5mW

100mA17mW

130201–68 641,3nm AG CG AG 60mA1,5mW

70mA5mW

100mA15,5mW

B Rapport Rapportenskall skickas in ipdf-formatviaemail inomenveckaefterutförd laboration.Lämpligtvisbestårdenavföljandedelar:

1. Inledning2. Teori3. Materialochmetod4. Resultat5. Diskussion

GivetvisärDuvälkommenattviamailfrågahandledarenomDuundrarnågot.

C Matlab-demos Matlab finns på alla datorer i Fys:Curie, i alla datorsalar i E-huset och Mattehuset. Skulle Du haproblem, kan säkert någon handledare på programmeringskursen hjälpa Dig. Alternativt kan DuladdanedMatlabgratisfrånhttp://program.ddg.lth.se/.

Skriptenfinnstillgängligapåkursenshemsida.