Методы передачи дискретных сообщений

Конспект лекций (апрель 2010)

© 2001-2010 А.Н.Трофимов

Кафедра информационных систем

С-Петербургский Государственный Университет Аэрокосмического Приборостроения

2001-2004-2007-2010

Введение

В этом документе представлен конспект лекций по курсу “Методы передачи

дискретных сообщений”, читавшийся студентам кафедры информационных систем

факультета систем управления Санкт-Петербургского государственного университета

аэрокосмического приборостроения в 1995-2004гг. В конспекте представлены практически

все вопросы, входящие в лекционную часть курса. Первая редакция этого конспекта

относится к 2001 г.

1. Структура системы передачи информации. Модели каналов и помех.

Самая общая структура системы передачи информации показана на рис.1.1.

Здесь под каналом понимается часть системы передачи, природа и характеристики

которой заданы, а их изменение нежелательно, затруднено или просто невозможно. Задача,

решаемая системой передачи, состоит в том, чтобы передать сообщение m от источника к

получателю. Как правило, сообщение источника представлено в такой форме, в которой

невозможна его эффективная передача по каналу. Поэтому в систему обычно включаются

устройства передачи и приема, которые выполняют преобразование сообщения m в сигнал

s и преобразование принятого сигнала r в принятое сообщение m! (см. рис.1.2).

Заметим, что преобразование sm → , выполняемое передатчиком, является взаимно

однозначным и детерминированным; преобразование rs → , определяемое каналом,

является случайным; преобразование mr !→ , выполняемое в передатчике, является

детерминированным, но не взаимно однозначным.

Рис.1.1 Общая схема системы передачи информации

Источниксообщений Канал Получатель

m m!

Рис.1.2 Схема системы передачи информации

Источниксообщений Канал ПриемникПередатчик Получатель

m s r m!

Если источник порождает сообщения из конечного множества, то он называется

источником дискретных сообщений, в противном случае источник называется источником

непрерывных сообщений.

Процесс формирования сигнала по сообщению называется модуляцией. В процессе

модуляции выполняется изменение параметров сигнала в соответствии с сообщением,

подлежащим передаче. Если множество сигналов, формируемых в процессе модуляции,

оказывается конечным, то такая модуляция называется дискретной или цифровой. В

настоящем курсе рассматривается передача с использованием дискретной модуляции. Более

подробная схема передачи дискретных сообщений с использованием цифровой модуляции

показана на рис. 1.3.

Рис. 1.3 Схема системы передачи дискретных сообщений

Канал

Источникдискретныхсообщений

Кодеристочника

m

)(ts

m!

Кодерканала Модулятор

ПолучательДекодеристочника )(trДекодер

канала Демодулятор

Кодекисточника

Кодекканала Модем

Кодирование-декодирование источника служит для уменьшения избыточности,

присутствующей в сообщениях источника. В результате кодирования сообщения источника

оказываются записанными с использованием меньшего числа символов, то есть эти

сообщения представляются в сжатой форме. Кодирование источника может выполняться с

потерями (например, сжатие звука и изображений, представленных в цифровой форме), либо

без потерь (например, архивирование файлов).

Канальное, или помехоустойчивое, кодирование-декодирование применяется для

обеспечения большей надежности передачи. При использовании помехоустойчивого

кодирования скорость передачи уменьшается за счет передачи избыточных символов,

позволяющих исправлять ошибки, возникающие в канале. Вообще говоря, в системе

передачи информации операции кодирования-декодирования источника и/или

помехоустойчивого кодирования-декодирования могут отсутствовать.

На рис.1.4 показана структура системы цифровой передачи непрерывных сообщений.

Рис. 1.4 Схема цифровой системы передачи непрерывныхсообщений

Источникнепрерывныхсообщений

)(tm

)(tm!

Получатель

Канал

Кодеристочника

)(ts Кодерканала Модулятор

Декодеристочника )(trДекодер

канала Демодулятор

Кодекисточника

Кодекканала Модем

Аналого-цифровоепреобразо-вание

Цифро-аналоговоепреобразо-вание

Исходный цифровой(двоичный) поток

Принятый цифровой(двоичный) поток

Непрерывное сообщение источника подвергается дискретизации и квантованию

(аналого-цифровому преобразованию); в результате этой операции формируется цифровой

поток. Дальнейшая передача выполняется так же как показано на рис.1.3. После приема

цифрового потока непрерывное сообщение источника восстанавливается с использованием

цифро-аналогового преобразования и интерполяции (сглаживания).

Качество системы передачи дискретных сообщений характеризуется вероятностью

ошибки, которая определяется как

]Pr[ mmPe ≠= ! ,

где m - переданное сообщение, m! - полученное сообщение. Само сообщение может иметь

различный объем: от одного бита до нескольких тысяч бит в зависимости от назначения

системы передачи сообщений. При передаче непрерывных сообщений в качестве критерия

качества рассматривается некоторая мера близости сообщения )(tm! , доставленного

получателю, и оригинального сообщения )(tm . Наиболее часто используется

среднеквадратичное отклонение

( )∫ −=∆∞→

T

Tdttmtm

T 0

22 )()(1lim !

или отношение P/2∆ , где

∫∞→=

T

Tdttm

TP

0

2)(1lim

мощность непрерывного сообщения. Следует отметить, что малое значение

среднеквадратичного отклонения не всегда соответствует хорошему воспроизведению

непрерывного сообщения, например, звукового. В этом случае используется другая мера

отклонения, например, такая )()(max0

tmtmTt

!−<<

.

Основными параметрами системы передачи являются скорость передачи, ширина

полосы частот и отношение сигнал/шум. Эти параметры обычно являются исходными, и

при заданных значениях этих параметров требуется обеспечить требуемое качество

передачи.

Помехи, действующие в канале передачи информации, можно разделить на помехи

естественного происхождения и помехи искусственного происхождения, которые в свою

очередь делятся на преднамеренные и непреднамеренные. По своему действию на

передаваемый сигнал помехи могут быть аддитивными и мультипликативными. Среди

аддитивных помех различаются а) тепловой шум, б) сосредоточенная помеха, в) импульсная

помеха, г) помехи от других систем передачи. На рис.1.5 показаны типичные реализации

некоторых аддитивных помех (слева) и их спектральное представление (справа).

а б

Рис.1.5 Аддитивные помехи: шум, сосредоточенная, импульсная(сверху вниз); а) типичные реализации, б) типичные спектры

Видно, что спектр сосредоточенной помехи сконцентрирован в нескольких узких

участках частотного диапазона, а сама сосредоточенная помеха занимает всю временную

область. Импульсная помеха представляет собой последовательность коротких по

сравнению с длительностью полезного сигнала импульсов, то есть импульсная помеха

сосредоточена во временной области. Спектр импульсной помехи достаточно протяжен в

частотной области. Реализация теплового шума занимает всю временную область. Спектр

теплового шума занимает всю частотную область и имеет примерно равную интенсивность

на всех частотах.

2. Геометрическое представление сигналов

Начнем с напоминания необходимых определений и обозначений. Пусть некоторые

функции и определены на интервале . Величина называется

скалярным произведением функций и и обозначается как . Величина

называется нормой функции и обозначается как

)(tg )(th ],[ ba ∫b

adtthtg )()(

)(tg )(th ),( hg2/1

2 )( ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫

b

adttg )(tg g . Заметим, что

2),( ggg = . Наконец, величина называется расстоянием, точнее

говоря, евклидовым расстоянием, между функциями и и обозначается .

Очевидно, что

2/12))()(( ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −∫

b

adtthtg

)(tg )(th ),( hgd

hghgd −=),( . Кроме того очевидно, что 222 ),(2 hhgghg +−=− .

Аналогично определяются расстояние, норма и скалярное произведение для векторов

и : ),...,( 1 naa=a ),...,( 1 nbb=b ( ) 2/1

12)(),( ∑ =

−=n

j jj bad ba , ( ) 2/1

12∑ =

=n

j jaa ,

. Легко видеть также, что ∑ ==

n

j jjba1

),( ba .),(2 222 bbaaba +−=−

Пусть сигнал определен на конечном интервале времени, например на , где

- период следования сигналов. Пусть

)(ts ],0[ T

T )}({ tjϕ , ,...,2,1=j множество ортонормированных

функций, определенных на интервале , то есть таких, для которых выполняется

условие

],0[ T

∫⎩⎨⎧

≠=

===T

ikkiki kiki

dttt0 .,0

,,1)()(),( δϕϕϕϕ

Сигнал может быть представлен в виде линейной комбинации базисных функций )(ts D

∑=

=D

jjj tsts

1

)()( ϕ . (2.1)

Величина называется размерностью пространства сигналов. Заметим, что может быть

конечной или бесконечной величиной. По поводу размерности следует сделать пару

замечаний.

D D

D

Замечание 1. Пусть , )}({ tsi 1,...,0 −= qi , некоторое фиксированное сигнальное

множество. Тогда существует алгоритм построения базиса )}({ tjϕ , , и Dj ,...,1= qD ≤ ,

причем равенство имеет место только тогда, когда сигналы линейно независимы. )}({ tsi

Алгоритм построения базиса по набору сигналов называется процедурой Грама–

Шмидта (см. Приложение 0). □

)}({ tsi

Замечание 2. Если сигнальное множество не фиксировано, но все сигналы имеют

конечную норму, то существует универсальный базис )}({ tjϕ , с помощью которого можно

представить любой сигнал. Число базисных функций в этом случае может быть

бесконечным. □

Вернемся к рассмотрению равенства (2.1), называемого также обобщенным рядом

Фурье. Величины в (2.1) называются коэффициентами разложения сигнала по базису js )(ts

)}({ tjϕ . Найдем как коэффициенты разложения связаны с сигналом. Для этого умножим

левую и правую части равенства (2.1) на )(tkϕ и проинтегрируем на интервале , т.е.

вычислим

],0[ T

∑∑ ∫∫ ∫ ∑===

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

jkjkj

D

j

T

kjj

T T

k

D

jjjk ssdtttsdtttsdttts

11 00 0 1

)()()()()()( δϕϕϕϕϕ .

Таким образом, -ый коэффициент разложения вычисляется следующим образом k

),()()(0

k

T

kk sdtttss ϕϕ == ∫ . (2.2)

Собирая вместе равенства (2.1) и (2.2), получим в итоге пару преобразований

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∫

∑=

T

jj

D

jjj

dtttss

tsts

0

1

)()(

)()(

ϕ

ϕ (2.3)

которые ставят во взаимное соответствие сигнал и набор коэффициентов )(ts

),...,,( 21 Dsss=s что будем обозначать как

s)}({

)(tj

tsϕ

↔ .

Далее рассмотрим случай сигнального множества конечной размерности, т.е. ∞<D .

В этом случае имеет место отображение сигнального множества в множество

сигнальных векторов, или сигнальных точек в -мерном вещественном пространстве

)}({ tsi

D DR

DR∈↔ }{)}({)}({

i

t

i

j

ts sϕ

(2.4)

Для значений размерности множество сигнальных точек может быть изображено

графически. Такое изображение называется иногда сигнальным созвездием (signal

constellation). Примеры сигнальных созвездий показаны на рис. 2.1.

3≤D

в) б) а)

Рис.2.1 Примеры сигнальных созвездий а) 1=D , б,в) 2=D

Рассмотрим свойства отображения (2.4).

Свойство 1. Представление (2.3) дает наилучшее приближение при любом

фиксированном числе слагаемых. □

Пусть ∑ ==

N

j jj tcts1

)()(~ ϕ , где -- некоторые коэффициенты, . Покажем, что

если коэффициенты назначены равными коэффициентам из (2.2), то и будут

близки в некотором смысле. Обозначим через

jc DN ≤

jc js )(~ ts )(ts

∆ величину рассогласования между и

и определим ее как квадрат расстояния между функциями, т.е. .

Найдем значения коэффициентов , минимизирующие

)(~ ts

)(ts ∫ −=∆T

dttsts0

2))(~)((

jc ∆ , решая уравнение 0/ =∂∆∂ jc .

Подробнее,

∫ ∑∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−=∆

=

T N

kkk

T

dttctsdttsts0

2

10

2 )()())(~)(( ϕ ,

тогда

∫ ∫ ∑∑ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

∂∂

=∂∆∂

==

T T

j

N

kkk

N

kkk

jj

dtttctsdttctscc 0 0 1

2

1

)()()(2)()( ϕϕϕ

0)(22)()(2)()(20 0 11

=−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=+−= ∫ ∫ ∑∑

==jj

T T

kj

N

kkjjk

N

kkj cscsdtttcdttts δϕϕϕ .

Отсюда следует, что при рассогласование между и минимально. Заметим

также, что при это рассогласование равно нулю. □

jj sc = )(~ ts )(ts

DN =

Свойство 2. Энергия, или квадрат нормы сигнала равна квадрату нормы (квадрату

длины) соответствующего сигнального вектора, т.е.

∑∑ ∫∫ ∫ ∑∫===

======D

jjj

D

j

T

jj

T T D

jjj

T

ssdtttssdttstsdttstsdttsE1

2

1 00 0 10

2 .)()()()()()()( sϕϕ

□

Свойство 3. Скалярное произведение сигналов равно скалярному произведению

соответствующих сигнальных векторов, т.е. ),(),( 2121 ss=ss ;

∑∫ ∑ ∫∑∫===

====D

jjj

T D

j

T

jj

D

jjj

T

ssdtttssdttstsdttsts1

21120 1 0

121

210

21 ),()()()()()()( ssϕϕ .

□

Свойство 4. Отображение (2.4) изометрично т.е. сохраняет расстояние,

; иными словами расстояние между сигнальными функциями совпадает с

расстоянием между соответствующими сигнальными точками. □

),(),( 2121 ssdssd =

Рассмотрим квадрат расстояния между сигналами

=+−=−= ∫∫∫∫TTTT

dttsdttstsdttsdttstsssd0

22

021

0

21

0

22121

2 )()()(2)())()((),(

= ),(),(2 2122

2212

1 ssssss d=+− .

Замечание. Перечисленные свойства отображения (2.4) справедливы независимо от

конкретного вида базиса, который может быть выбран многими способами.

Примеры базисов. Рассмотрим два примера универсальных, или функционально

полных, базисов. Эти базисы содержат бесконечно много функций и могут использоваться

для представления любых сигнальных функций.

1. Ортонормированный гармонический базис. Пусть Tt ≤≤0 .

L

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

Tt

Tt

Tt

Tt

Tt

Tt

Tt

Tt

Tt

22cos2)(

22sin2)(

2cos2)(

2sin2)(

1)(

4

3

2

1

0

πϕ

πϕ

πϕ

πϕ

ϕ

Заметим, что множитель T/2 обеспечивает нормировку функций базиса. Графики

нескольких первых функций гармонического базиса показаны на рис.2.2. □

2.Ортономированный базис Уолша (Walsh) Сначала определим функции )(τnw на

интервале ]2/1,2/1[−∈τ . Пусть

⎩⎨⎧

≤>

=2/1,12/1,0

)(0 ττ

τw ,

а все остальные функции более высокого порядка определяются рекурсивно

( ))2/12()1()2/12()1()( ]2/[2 −−++−= ++

+ τττ npn

npn

pn www .

Функции )(τnw , ортогональны и нормированы на интервале . Графики

нескольких первых функций базиса Уолша показаны на рис.2.2. □

,...,1,0=n ]2/1,2/1[−

Рис.2.1 Функции гармонического базиса, заданные на интервале [0,1]

Рис.2.2 Функции Уолша.

Если положить Tt )2/1( += τ , то ],0[ Tt ∈ , если ]2/1,2/1[−∈τ . Поэтому, множество

функций )(tnϕ , определенных как )2/1/(/1)( −= TtwTt nnϕ , образуют ортонормированный

базис на интервале . Множитель ],0[ T T/1 обеспечивает, как и ранее, нормировку функций

базиса.

3. Периодические сигналы и ряд Фурье

Если для сигнала )(ts выполняется условие )()( Ttsts ±= , то он называется

периодическим. Наименьшее T , для которого это условие выполняется, называется

периодом сигнала.

Рассмотрим интервал ]2/,2/[ TT− . В качестве базиса возьмем гармонический базис,

рассмотренный ранее

=

=

+

=

=

,...6,4,2,)2/(2cos2

,...5,3,1,2/)1(2sin2

,0,1

)(

kT

ktT

kT

ktT

kT

tk

π

πϕ

Заметим, что этот базис обладает свойством ортонормированности не только на интервале

],0[ T , но и на интервале ].2/,2/[ TT− Вычислим коэффициенты разложения

∫−

==2/

2/

)()(),(T

Tkkk dtttsss ϕϕ (3.1)

Тогда для ]2/,2/[ TTt −∈ справедливо представление

∑=k

kk tsts )()( ϕ (3.2)

Если распространить область определения базисных функций )}({ tkϕ с интервала

]2/,2/[ TT− на всю ось времени, то они станут периодическими с периодом T . Поскольку

сигнал )(ts имеет период T , то равенство (3.2) будет выполняться и для ),( ∞−∞∈t . Это

значит, что обобщенный ряд Фурье для периодических функций и для гармонического

базиса совпадает с обычным рядом Фурье.

Обычно ряд Фурье записывается в форме

( )∑∞

=

++=1

0 2sin2cos2/)(k

kkkk tfbtfaats ππ , (3.3)

где Tkfk /= . Найдем значения коэффициентов ряда Фурье ka , kb из (3.3), исходя из

выражений (3.1) для коэффициентов обобщенного ряда Фурье (3.2). Ряд (3.2) можно

переписать в виде

...)()()()()()( 4433221100 +++++= tstststststs ϕϕϕϕϕ =

...22cos222sin22cos22sin2143210 +++++=

Tt

Ts

Tt

Ts

Tt

Ts

Tt

Ts

Ts ππππ

Аналогично, ряд (3.3) можно переписать в виде

tfbtfatfbtfaats 222211110 2sin2cos2sin2cos2/)( ππππ ++++=

Из сравнения двух последних выражений видно, что

∫∫−−

===2/

2/

2/

2/00

0 )(1)()(112

T

T

T

T

dttsT

dtttsTT

sa ϕ

отсюда следует, что

∫−

=2/

2/0 )(2 T

T

dttsT

a ,

∫∫∫−−−

=

===

2/

2/

2/

2/

2/

2/22 2cos)(22cos2)(2)()(22 T

Tk

T

T

T

Tkkk tdtfts

Tdt

Tkt

Tts

Tdttts

Ts

Ta ππϕ

и

∫∫∫−−−

−− =

===

2/

2/

2/

2/

2/

2/1212 2sin)(22sin2)(2)()(22 T

Tk

T

T

T

Tkkk tdtfts

Tdt

Tkt

Tts

Tdttts

Ts

Tb ππϕ .

Итак, периодический сигнал может быть представлен рядом (3.3), с коэффициентами

∫−

=2/

2/0 )(2 T

T

dttsT

a ,

∫−

=

2/

2/

2cos)(2 T

Tk dtt

Tkts

Ta π ,

∫−

=

2/

2/

2sin)(2 T

Tk dtt

Tkts

Tb π .

4. Комплексная форма ряда Фурье

Ранее получено выражение для ряда Фурье

( )∑∞

=

++=1

0 2sin2cos2/)(k

kkkk tfbtfaats ππ ,

где

∫−

=2/

2/0 )(2 T

T

dttsT

a

∫−

=

2/

2/

2cos)(2 T

Tk dtt

Tkts

Ta π

∫−

=

2/

2/

2sin)(2 T

Tk dtt

Tkts

Tb π .

Его можно преобразовать с использованием формул Эйлера для тригонометрическихфункций: 2/)(cos jxjx eex −+= и jeex jxjx 2/)(sin −−= , где 1−=j , то есть

=

−+++= ∑∞

=

−−

1

22220

222)(

k

tfjtfj

k

tfjtfj

k jeebeeaats

kkkk ππππ

∑∞

=

−

+

+−

+=1

220

222 k

tfjkktfjkk kk ejbaejbaa ππ

Обозначим коэффициент при )2exp( tfj kπ как kc , а коэффициент при )2exp( tfj kπ− как kc− .Очевидно, что 2/)( kkk jbac −= и 2/)( kkk jbac +=− . Кроме того, *

kk cc −= . C учетом этихобозначений имеем запись ряда Фурье в комплексной форме

∑∞

−∞=

=k

tTkj

k ectsπ2

)( , (4.1)

где

dtetsT

jbacT

T

tTkjkk

k ∫−

−=

−=

2/

2/

2)(1

2π

. (4.2)

Равенства (4.1) и (4.2) допускают любопытную графическую интерпретацию. (См. рис. 4.1 –он пока не нарисован)

5. Преобразование Фурье и спектры сигналов

Ряд Фурье дает разложение периодического сигнала по гармоническому

ортонормированному базису. Сигнал общего вида (т.е. непериодический) можно

представить как "предельный" случай периодического сигнала при . ∞→T

В общем случае вместо ряда Фурье рассматривается преобразование Фурье,

определенное как

∫∞

∞−

−= dtetsfS ftj π2)()( , (5.1)

и обратное преобразование Фурье

∫∞

∞−

= dfefSts ftj π2)()( (5.2)

Формулы (5.1) и (5.2) имеют определенное сходство с формулами ряда Фурье в комплексной

форме и коэффициентами этого ряда соответственно

dtetsT

cT

T

tTkj

k ∫−

−=

2/

2/

2)(1 π

, (5.3)

∑∞

−∞=

=k

tTkj

k ectsπ2

)( . (5.4)

Действительно, если подставить правую часть равенства (5.3) в (5.4), то получим, что

∑ ∫∞

−∞= −

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

k

tTkjT

T

tTkj

edtetsT

tsππ 22/

2/

2)(1)( .

Предельный переход при соответствует заменам: а) на , б) на , и

в) на ∫ . Выполняя этот предельный переход, получаем, что

∞→T T/1 df Tk / f

∑∞

−∞=kK

∞

∞−dfK

∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=

∞

∞−

− =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= dfefSdfedtetsts ftjftj

fS

ftj πππ 22

)(

2 )()()(44 344 21

,

то есть получаем равенства (5.1) и (5.2)

Функция , определенная равенством (5.1), называется спектральной плотностью

или спектром сигнала ) . Также функция ) называется преобразованием или образом

функции ) , которая иногда называется оригиналом. Преобразование Фурье является

взаимно-однозначным преобразованием; символически это преобразование будет

)( fS

(ts ( fS

(ts

обозначаться как ) . В настоящем курсе рассматриваются вещественные сигналы.

Спектр даже в этом случае представляет собой комлекснозначную (принимающую

комплексные значения) функцию вещественной переменной. Поэтому можно записать, что

()( fSts ↔

)(sin)()(cos)()()( )( ffSjffSefSfS fj θθθ +== ,

где )( fS - амплитудный спектр (модуль комплексного спектра), )( fθ - фазовый спектр.

Квадрат амплитудного спектра 2)( fS называется энергетическим спектром. Кроме того, имеют место соотношения

( ) ( )22 )(Im)(Re)( fSfSfS += ,

)(Re)(Imarctan)(

fSfSf =θ .

Рассмотрим подробнее вопрос о соотношении вещественной и мнимой составляющей

спектра. Для этого рассмотрим произвольный вещественный сигнал . Он может быть

представлен в виде суммы четной и нечетной ) функций, то есть

, где

)(ts

)(tsч (tsн

)(s(t)s ts(t) нч += 2/))()(()( tststsч −+= и 2/))()(()( tststsн −−= . Найдем

преобразование Фурье от )(ts

( ) ( )(∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

− =−+=+== dtftjfttstsdtetstsdtetsfS нчftj

нчftj ππππ 2sin2cos)()()()()()( 22 )

∫ ∫∫∫∞

∞−

=

∞

∞−

=

∞

∞−

∞

∞−

−+−44 344 2144 344 21

00

2sin)(2cos)(2sin)(2cos)( ftdttsjftdttsftdttsjftdtts чннч ππππ .

Два последних слагаемых равны нулю, потому что они получены в результате

интегрирования нечетной функции (произведения ) на четную функцию или

произведения ) на нечетную функцию ) в симметричных пределах

интегрирования. Таким образом,

(tsн cos(...)

(tsч sin(...)

∫∫∞

∞−

∞

∞−

−= dtfttsjdtfttsfS нч ππ 2sin)(2cos)()( ,

откуда следует, что

∫∞

∞−

= dtifttsfS ч π2cos)()(Re ,

∫∞

∞−

−= dtifttsfS н π2sin)()(Im .

Два последних равенства означают, что четная функция имеет вещественный спектр, а

нечетная - мнимый, или , )(Re)( fStsч ↔ )(Im)( fStsн ↔ . Повторим, что в общем случае

спектр комплексный.

Рассмотрим важные примеры.

Пример 1. Пусть сигнал задан равенством

⎩⎨⎧

<≥

=−

0,00,)/(

)(/

tteTA

tsTt

,

где , . График сигнала показан на рис.5.1. Вычислим его спектр 0>A 0>T

fTjAe

fjTTAdte

TAdtetsfS fjTtfjTtftj

πππππ

212/1/)()(

0

)2/1(

0

)2/1(2

+=

+−===

∞+−

∞+−

∞

∞−

− ∫∫ .

Амплитудный и фазовый спектры равны соответственно

)2arctan()(,)2(1

)(2

fTffT

AfS πθπ

−=+

= .

Графики амплитудного и фазового спектров показаны на рис. 5.1. □

а

)( fθ

)( fS

)(ts

)( fθ

)( fS

)(ts

б Рис.5.1 Сигнал из примера 1, его амплитудный и фазовый спектры;

а) 1=A , 4=T , б) 1,1 == TA .

Пример 2. Спектр прямоугольного импульса. Пусть сигнал задан равенством

⎩⎨⎧

>≤

=2/,02/||,

)(TtTtA

ts ,

где , . График сигнала показан на рис.5.2. Вычислим его спектр 0>A 0>T

=−===−−

−−∞

∞−

− ∫∫2/

2/

2/

2/

222

2)()(

T

T

T

T

ftjftjftj efj

AdteAdtetsfS πππ

π

( )fT

fTATfTfAee

fjA fTjfTj

πππ

ππππ sinsin

2==−= − .

Графики спектра и амплитудного спектра показаны на рис. 5.2.

ба

|)(| fS|)(| fS

)( fS)( fS

)(ts)(ts Рис.5.2 Сигнал из примера 2, его спектр и амплитудный спектр;

а) 1,3 == AT , б) 1,1 == AT

Как видно из выражений для спектра и из графиков, показанных на рис.5.2, спектр

прямоугольного импульса имеет бесконечную ширину. Это значит, что на практике в

точности прямоугольный импульс не может существовать. То, что в инженерной практике

называется прямоугольным импульсом, представляет собой лишь некоторое приближение к

нему с передним и задним фронтами конечной, а не бесконечной, крутизны. На практике за

ширину спектра прямоугольного сигнала принимается величина равная , где TW /1= T

длительность сигнала. Это так называемая ширина главного лепестка графика спектра.

Такое соглашение обосновывается тем, что в интервале частот от W− до содержится

более 90% энергии прямоугольного импульса. На рис.5.3 приведены амплитудный спектр и

график величины

W

∫−

=max

max

2max |)(|)(

f

f

dffSfE ,

представляющей собой часть энергии сигнала в полосе ],[ maxmax ff− . Видно, что

).(9.0)/1( ∞> ETE)( maxfE|)(| fS

Tf /max Tf /

Рис.5.3 Амплитудный спектр прямоугольного импульса и его энергия в зависимости от полосы частот

Пример 3. Спектр δ -функции.

Напомним основное свойство δ -функции, которое можно рассматривать как ее

определение. Пусть ) некоторая функция, тогда (tg

)()()( 00 tgdttttg =−∫∞

∞−

δ . (5.5)

Равенство (5.5) известно также как фильтрующее свойство δ -функции. Функция )(tδ может также рассматриваться как "предел" функции )(tτδ , определенной как

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=2/||,0

2/||,1)(

τ

ττδτ

t

tt

Поясним смысл этого утверждения. Для этого рассмотрим предел

∫∫+

−→

∞

∞−→

=−2/

2/000

0

0

)(1lim)()(limτ

ττττ τ

δt

t

dttgdttttg .

Пусть ) - первообразная функции ) , т.е. (tG (tg )()( tgtG =′ . Тогда

( ) )()()2/()2/(1lim)(1lim 00000

2/

2/0

0

0

tgtGtGtGdttgt

t

=′=−−+=→

+

−→ ∫ ττ

ττ τ

τ

ττ

.

Таким образом

)()()(lim 000tgdttttg∫

∞

∞−→

=−ττδ . (5.6)

Сравнивая равенства (5.5) и (5.6), можно заметить, что δ -функция может рассматриваться

как предельный случай короткого и мощного прямоугольного импульса. Заметим, что это не

единственный способ такого "предельного" описания δ -функции.

Вернемся к рассмотрению спектра δ -функции. Преобразование Фурье δ -функции

имеет вид

1)(0

22 ===

−∞

∞−

−∫ t

ftjftj edtet ππδ .

Последнее равенство означает, что спектральная плотность δ -функции постоянна на всей

частотной оси. □

6. Свойства преобразования Фурье

Прямое и обратное преобразования Фурье определяются как

∫∞

∞−

−= dtetsfS ftj π2)()( ,

∫∞

∞−

= dfefSts ftj π2)()( ,

и символически обозначаются как )()( fSts ↔ . Рассмотрим важнейшие свойствапреобразования Фурье.

Линейность. Если )()( fGtg ↔ , )()( fHth ↔ , то )()()()( fbHfaGtbhtag +↔+ , гдеa и b постоянные.

Доказательство очевидно.□

Площадь под кривой. Пусть )()( fGtg ↔ . Тогда

)0()( Gdttg =∫∞

∞−

, )0()( gdffG =∫∞

∞−

.

Доказательство.

∫∞

∞−

−= dtetgfG ftj π2)()(

Положив в левой и правой части этого равенства 0=f , получим искомое

утверждение. Второе равенство доказывается аналогично с заменой прямого преобразования

на обратное. (Полезно проверить это свойство для примеров, рассмотренных ранее.) □

Сдвиг по времени и по частоте. Пусть )()( fGtg ↔ , тогда )()( 020 fGettg ftj π−↔− ,

)()( 020 tgeffG tfj π↔− .

Доказательство. Найдем преобразование Фурье от )( 0ttg −

==+==−==− ∫∫∞

∞−

+−∞

∞−

−1

)(2101101

20

10)(,,:переменной Замена

)( dtetgtttdtdttttdtettg ttfjftj ππ

)()( 010 21

21

2 fGedtetge ftjftjftj πππ −∞

∞−

−− == ∫ .

Свойство сдвига по частоте доказывается аналогично. Из этого свойства следует, что при

сдвиге по времени амплитудный спектр не меняется, т.к.

)()()(1

00 fGfGefGe ftjftj =⋅==

−−

!"#ππ . □

Дифференцирование. Пусть )()( fGtg ↔ . Тогда )()2(/)( fGfjdttdg π↔ ,

)()2(/)( tgtjdffdG π−↔ .

Доказательство.

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=== dfefGfjdfedtdfGdfefG

dtd

dttdg ftjftjftj πππ π 222 )()2()()()( .

Отсюда непосредственно следует, что )()2(/)( fGfjdttdg π↔ . Свойство о

дифференцировании в частотной области доказывается аналогично. Очевидно, что

амплитудный спектр производной сигнала равен )(2 fGf ⋅π ; это выражение значит, что

спектральные составляющие в области высоких частот усиливаются, а в области низких -

ослабляются. □

Интегрирование. Пусть )()( fGtg ↔ . Тогда

∫ ↔ )(21)( fG

fjdttg

π, ∫ −

↔ )(21)( tg

tjdffG

π.

Доказательство.

dfefj

fGdtdfefGdtdfefGdttg ftjftj

tg

ftj ∫∫ ∫∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

=

∞

∞−

=== πππ

π22

)(

2

21)()()()(

$$ !$$ "#

.

Отсюда непосредственно следует доказываемое утверждение. Свойство об интегрировании в

частотной области доказывается аналогично. Очевидно, что амплитудный спектр

проинтегрированного сигнала равен ffG π2/)( ; это выражение значит, что спектральные

составляющие в области высоких частот ослабляются, а в области низких - усиливаются. □

Теорема умножения (теорема о свертке). Напомним определение операции свертки.

Пусть )(tg и )(th некоторые функции. Сверткой функций )(tg и )(th называется функция

(обозначаемая как )()( thtg ∗ ), полученная как

∫∞

∞−

−=∗ τττ dtghthtg )()()()(

Пусть )()( fGtg ↔ , )()( fHth ↔ , тогда )()()()( fHfGthtg ↔∗ , )()()()( thtgfHfG ↔∗ .

Доказательство.

=−=−↔∗ ∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

ττττττ ππ dtdetghdtedtghthtg ftjftj 22 )()()()()()(

)()()()( 2 fGfHdefGh fj == ∫∞

∞−

− ττ τπ .

Аналогично доказывается теорема о свертке в частотной области. В качестве важного

частного примера применения теоремы о свертке укажем

)()()()( 002 0 ffSfffSets tfj −=−∗↔ δπ .

Теорема о свертке может быть проиллюстрирована на примере линейной

фильтрации. Напомним некоторые первоначальные сведения из теории линейных фильтров.

Линейный фильтр задается импульсной переходной характеристикой фильтра )(th . Пусть

)(tx сигнал на входе линейного фильтра, тогда выходной сигнал )(ty связан с входным

сигналом соотношением

)()()()()( txthdxthty ∗=−= ∫∞

∞−τττ . (6.1)

Если взять преобразование Фурье от обеих частей этого равенства и применить

теорему о свертке, то получим, что )()()( fXfHfY = , где )()( tyfY ↔ , )()( txfX ↔ и

).()( thfH ↔ Функция )( fH называется частотной переходной характеристикой фильтра.

Рис. 6.1 поясняет сказанное.

Линейныйфильтр

)()( fHth ↔

)(tx )()()( txthty ∗=

)( fX )()()( fXfHfY =

Рис.6.1. Линейная фильтрация

Заметим, что если положить )()( ttx δ= , то как следует из равенства (6.1), )()( thty = . Это

соотношение служит основанием для определения импульсной переходной характеристики

фильтра как реакции фильтра на входной сигнал в виде δ -функции. Заметим также, что

частотная характеристика фильтра может быть определена как отношение спектров

выходного и входного сигналов, то есть ).(/)()( fXfYfH =

Равенство Парсеваля. Пусть )()( fSts ↔ , тогда ∫∫∞

∞−

∞

∞−

= dtfSdtts 22 )()( .

Доказательство.

∫ ∫∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

==== dtdfetsfSdttsdfefSdttstsdtts ftj

ts

ftj ππ 2

)(

22 )()()()()()()($$ !$$ "#

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∗ == dffSdffSfS 2)()()( .

Это свойство означает, что энергия сигнала может быть вычислена во временной или в

частотной области. □

7. Частные случаи вычисления спектра

Спектр гармонического сигнала. Рассмотрим сигнал вида )2cos()( 0 !" #$ tfAts .

Найдем его спектр, используя ранее установленные соотношения )( fAA %& и

)()2exp()( 00 ffGtfjtg '&" , где )()( fGtg & . Используя формулу Эйлера для косинуса,

2/)(cos jxjx eex '#$ , имеем

( ) ( )!!!"!" %% jjjtfjjtfj effeffAeeeeAts ''' ##'&#$ )()(22

1)( 0022 00 .

Аналогично, для синусоидального сигнала )2sin()( 0 !" #$ tfAts

( ) ( )!!!"!" %% jjjtfjjtfj effeffj

Aeeeej

Ats ''' #''&'$ )()(22

1)( 0022 00 .

При 0$!

( ))()(2

2cos 000 ffffAtfA ##'& %%" ,

то есть спектр вещественный, так как сигнал задается четной функцией, и

( ))()(2

2sin 000 ffffj

AtfA #''& %%" ,

то есть спектр мнимый, так как сигнал задается нечетной функцией. □

Спектр произведения произвольного сигнала и гармонического сигнала. Пусть

сигнал определен как )()()( tctgts $ , где )(tg - некоторая произвольная функция

(огибающая), а )2cos()( 0 !" #$ tftc - гармонический сигнал (несущая). Найдем спектр )( fS

сигнала )(ts . По теореме о свертке )()()( fCfGfS *$ , где )()( tgfG & , )()( tcfC & .

Поскольку )(tc гармонический сигнал, то

( )!! %% jj effefffC '##'$ )()(21)( 00 .

Тогда

( ) $#*#'*$##'*$'

' )()(2

)()(2

)()()(21)( 0000 fffGefffGeeffefffGfS

jjjj %%%%

!!!!

( ) 2/)()( 00 ffGeffGe jj ##'$ ' !! .

Последнее равенство означает, что при умножении на гармонику с частотой 0f

спектр сигнала локализуется около частоты 0f .

Рассмотрим важный пример.

Пример. Спектр отрезка гармоники с прямоугольной огибающей. Пусть

+,-

./

$2/||,02/||,

)(TtTtA

tg ,

где 0.A , 0.T . Найдем спектр сигнала fttgts "2cos)()( $ . Поскольку

)/()sin()( fTfTATfG ""$ , то

001

2334

5##

#''

$Tff

TffTff

TffATfS)(

)(sin)(

)(sin2

)(0

0

0

0

""

""

Графики сигнала, его спектра и амплитудного спектра показаны на рис.7.1 .

□)(ts )(ts

)( fS )( fS

|)(| fS |)(| fS

а б

Рис.7.1 Сигнал из примера, его спектр и амплитудный спектр,а) 1$A , 1$T , 50 $f , б) 1$A , 4$T , 50 $f .

Как видно из выражения и графиков, спектр сконцентрирован вблизи центральной

частоты 0f , но имеет бесконечную ширину. Это значит, что идеальный отрезок гармоники

не может быть воспроизведен практически. На практике при Tf /10 .. за ширину спектра

принимается значение TW /2$ . Это обусловлено тем, что в полосе ]/1,/1[ 00 TfTf #'

сосредоточено более 90% энергии идеализированного сигнала.

Спектр последовательности сигналов. Пусть )}({ tsi - сигнальное множество,

1,...,0 '$ qi . Определим последовательность индексов ),...,,( 110 '$ Niiii длины N , где

}1,...,1,0{ '6 qil , 10 '// Nl . Определим также последовательность сигналов длины N ,

определяемую последовательностью индексов i , 7 '

$'$

1

0)()( N

l i lTtstsli где T - период

следования сигналов. Например, для 7$N и ( )3,3,1,3,0,2,5$i , сигнальная

последовательность образована сигналами ),(5 ts ),(2 ts ),(0 ts ),(3 ts ),(1 ts ),(3 ts )(3 ts .

Найдем спектр )( fS i последовательности )(tsi . Пусть )( fSi спектр i -го сигнала из

сигнального множества, тогда используя свойство линейности и сдвига во временной

области, имеем

7'

$

'$1

0

2)()(N

l

flTji efSfSl

"i .

Как следует из последней формулы, спектр последовательности сигналов

представляет собой линейную комбинацию спектров сигналов, образующих

последовательность.

8. Стационарные гауссовские случайные процессы

Введем необходимые обозначения. Пусть )...,,( 21 Lzzz!z L -мерный случайный

вектор. Обозначим многомерную функцию распределения вектора z как "#"#"#"#(zF , где

)...,,( 21 L"""!"""" . Она определена как ],...,,Pr[)( 2211 LLzzzF """ $$$!""""z . Обозначим

многомерную плотность вероятностей вектора z как )(""""zw , она равна

L

L Fw""" %%%

%!

...)()(

21

"""""""" z

z .

Введем обозначение для набора моментов времени ),...,,.( 21 kttt!t , 0&k . Обозначим

вектор отсчетов одномерного случайного процесса )(tx , взятых в моменты времени

kttt ,...,, 21 , как ))(),...,(),(()( 21 ktxtxtx!tx . Случайный процесс называется стационарным,

если )()( )()( """""""" ''''(! txtx ww для всякого вектора '''' с одинаковыми компонентами, ),...,( '''!'''' ;

это значит, что функция плотности вероятности набора отсчетов не зависит от сдвига по оси

времени.

Определение. Стационарный случайный процесс называется гауссовским, или

нормальным, если для любого k и любого набора моментов времени ),...,,( 21 kttt!t

)*+

,-. /0//

0! / T

kw )()(21exp

)(det)2(1)( 1

2/12/)( mmtx """"""""""""1

. (8.1)

□

Поясним выражение (8.1). В нем использовано обозначение m для вектора

математических ожиданий, 2 #)(...,),(),( 21 ktxtxtx!m . Заметим, что в силу стационарности

процесса )(tx mtxtxtx k !!!! )(...)()( 21 . Далее, 0 -- корреляционная матрица kk 3 ,

определенная как

4444

5

6

7777

8

9

!0

kkkk

k

k

:::

::::::

...............

...

...

21

22221

11211

.

Элементы корреляционной матрицы задаются как

))()()(())()()()()(( mtxmtxtxtxtxtx lilliiil //!//!: . (8.2)

Заметим, что 22))(( iiii mtx ;: !/! , где 2i; - дисперсия i -го отсчета. В силу

стационарности процесса )(tx дисперсии всех отсчетов равны между собой, т.е. 22 ;; !i для

всех i . И наконец, 0det - обозначение определителя матрицы 0 . Из равенства (8.1)

следует, что многомерное гауссовское распределение полностью определяется

корреляционной матрицей 0 и вектором математических ожиданий m .

Величины 2// ;:;;: illiil ! называются коэффициентами корреляции случайных

величин )( itx и )( ltx . Коэффициенты корреляции принимают значения из множества

]1,1[ (/ . Величины, имеющие нулевой коэффициент корреляции, называются

некоррелированными.

Выражение, стоящее в показателе экспоненты в выражении (8.1), может быть

записано в компонентной форме, т.е.

< = !

4444

5

6

7777

8

9

/

//

4444

5

6

7777

8

9

///!/0/

/

/

m

mm

mmm

kkkkk

k

k

kT

"

""

:::

::::::

"""!

!

!!!!

!

!

!2

11

21

22221

11211

211 )()( mm """"""""

>>! !

/ //!k

i

k

llili mm

1 1

)1( )()( ":" ,

где )1(/il: элементы матрицы 1/0 (обратной к 0 ).

Пример 1. Пусть величины )(),...,(),( 21 ktxtxtx имеют нулевые математические

ожидания и не коррелированны, то есть, )0,...,0,0(!m и

44444

5

6

77777

8

9

!!0

2

2

2

222

00

0000

),...,,diag(

;

;;

;;;

"

""""

"

"

.

Поскольку k)(det 2;!0 и )/1,...,/1,/1diag( 2221 ;;;!0/ , то нетрудно видеть, что

??>!!!

!))*

+,,-

./!)

*

+,-

./))

*

+,,-

.!

k

iitx

ik

i

k

ii

k

iww

1)(2

2

11

22)( )(

2exp

21

21exp

21)( "

;"

;1"

;;1""""tx .

Последнее равенство означает, что компоненты вектора 2 #)(),...,(),()( 21 ktxtxtx!tx

независимы. Это значит, что некоррелированные гауссовские случайные величины

независимы. Обратное верно для любого распределения, то есть независимые случайные

величины не коррелированны. Иначе говоря, некоррелированность и независимость для

гауссовских случайных величин эквивалентны. □

Пример 2. Пусть 2!k , ),( 21 mm!m и 45

678

9!0

112

@@

; ; величина @ называется

коэффициентом корреляции и лежит в интервале ]1,1[ (/ . На рис.8.1 показаны графики

функций плотности вероятностей )(""""xw вектора ),( 21 xxx ! для различных значений

параметров распределения. Видно, что при 0!@ функция плотности вероятностей имеет

круговую симметрию относительно вертикальной оси, проходящей через точку ),( 21 mm . В

общем случае (при 0A@ ) линии уровня функции плотности вероятностей имеют вид

эллипсов.□

Рис.8.1 Двумерная гауссовская плотность вероятностей; а) графики плотности, б) линии уровня

а б

01

5.11

22

1

!!

!!

@;

mm

9.01

5.11

22

1

!!

!!

@;

mm

Вернемся к рассмотрению непрерывного времени. Далее будем считать, что

процесс )(tx имеет нулевое математическое ожидание, то есть 0)( !tx . Корреляционная

функция стационарного процесса )(tx определяется как )()(),( '' (! txtxtK x . В силу

стационарности она не зависит от t , и поэтому можно писать ).('xK Заметим, что

)()( '' /! xx KK и 2)0( ;!xK . С учетом равенства (8.2) легко заметить, что )( lixil ttK /!: .

Это значит, что корреляционная функция определяет корреляционную матрицу для любого

набора отсчетов, следовательно, корреляционная функция полностью задает описание

стационарного гауссовского процесса с нулевым средним.

Преобразование Фурье корреляционной функции процесса )(tx называется

спектральной плотностью мощности процесса )(tx ,

BC

C/

/! '' '1 deKfS fjxx

2)()( ,

и наоборот

BC

C/

! dfefSK fjxx

'1' 2)()( .

Функция )( fS x принимает действительные и неотрицательные значения.

Спектральная плотность мощности называется так потому, что интеграл вида B/F

F x dffS )(

определяет среднюю мощность процесса )(tx в частотном интервале ],[ FF/ . Полная

мощность процесса может быть вычислена как BC

C/! dffSP x )( . Из одного из свойств

преобразования Фурье (“площадь под кривой”) следует, что 2)0()( ;!!! BC

C/ xx KdffSP , то

есть средняя мощность процесса с нулевым математическим ожиданием численно равна его

дисперсии. Поскольку спектральная плотность мощности однозначно связана с

корреляционной функцией процесса, то она также как и корреляционная функция

полностью определяет стационарный гауссовский процесс с нулевым средним.

На рис.8.2 показаны три примера корреляционной функции, спектральной плотности

мощности и типичной реализации гауссовского случайного процесса. Первый пример

соответствует слабо коррелированному (быстро изменяющемуся) процессу, его спектр

мощности почти равномерен. Во втором примере корреляция больше, а спектр – уже. Третий

пример соответствует процессу с наибольшей корреляцией и наименее узким спектром.

Линейное преобразование (в частности, фильтрация) гауссовского случайного

процесса не изменяет распределение (т.е. процесс остается гауссовским), но меняет его

спектральную плотность мощности. Линейный фильтр задается импульсной переходной

характеристикой )(th или связанной с ней преобразованием Фурье частотной

характеристикой )( fH , )()( thfH D . Реализация случайного процесса на выходе фильтра

равна свертке реализации на входе с импульсной переходной характеристикой фильтра.

Спектральная плотность процесса на выходе равна )(|)(|)( 2 fSfHfS xy ! . Таким образом,

линейное преобразование меняет в общем случае спектр и корреляционную функцию

процесса; см. рис. 8.2.

Линейныйфильтр

)()( fHth D

)(tx )()()( txthty E!

)( fS x)(|)(|)( 2 fSfHfS xy !

Рис.8.2. Линейная фильтрация случайного процесса

Рис.8.2. Примеры гауссовских случайных процессов, а) корреляционная функция,б) спектральная плотность мощности, в) типичная реализация

а б в

9. Белый гауссовский шум

Формально белый гауссовский шум (БГШ) определяется как гауссовский случайный процесс с нулевым средним ( )(tn 0)( =tn ) и постоянной спектральной плотностью мощности =)( fSn 2/0N . Пусть произвольная функция с конечной нормой, то есть

)(tg∞<g . Тогда случайная величина,

определенная как

∫∞

∞−

= dttntgng )()( ,

обладает следующими свойствами: а) – гауссовская случайная величина

(г.с.в.), б) gn

0=gn , в) 2g02 )2/(Nng = . Случайная величина может

рассматриваться как скалярное произведение ) и ) , то есть . gn

(g(tn (tg ))

,nng =

Найдем корреляционную функцию БГШ. Известно, что ()( fSK nn ↔τ Поскольку 2/)( 0NfSn = , то )()2/()( 0 τδτ NKn = .

В дальнейшем будет использоваться одно важное свойство БГШ, сформулированное в виде следующего утверждения.

Утверждение. Скалярные произведения БГШ и ортогональных функций

независимы. Доказательство. Пусть )(1 tϕ и )(2 tϕ - ортогональные функции, т.е. 0),( 21 =ϕϕ . Скалярные произведения БГШ и функций )(1 tϕ и )(2 tϕ определены как

∫∞

∞−

== dtttnnn )()(),( 111 ϕϕ , . ∫∞

∞−

== dtttnnn )()(),( 222 ϕϕ

Требуется доказать, что и независимы. По определению БГШ и это г.с.в. Найдем корреляционный момент (корреляцию) этих величин

1n 2n 1n 2n

21nn . Эта величина равна

∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

== ')'()()'()(')'()'()()( 212121 dtdttntnttdtttndtttnnn ϕϕϕϕ .

Поскольку )'()2/()'()'()( 0 ttNttKtnt n −=−= δn , то

=

−=−= ∫ ∫∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

dtdtttttNdtdtttttNnn ')'()'()(2

')'()'()(2 21

021

021 δϕϕδϕϕ

0)()(2 21

0 == ∫∞

∞−

dtttNϕϕ .

Переход в третьем равенстве основан на использовании фильтрующего

свойства δ -функции, а последний переход – на ортогональности функций )(1 tϕ

и )(2 tϕ . Таким образом доказано, что а) и - гауссовские случайные

величины, б) и не коррелированны. Отсюда следует, что и

независимы. □

1n 2n

)f

1n

σ

2n

∫∞

∞−

1n 2n

∞<

Дисперсия случайного процесса, как уже отмечалось, может быть

вычислена как . Для БГШ = dffSn )(2 2/( 0NSn = для .

Таким образом, для БГШ . Это значит, что БГШ реально не может

существовать, так как имеет бесконечно большую мощность. В то же время

БГШ часто используется в качестве математической модели для описания

помех, действующих в реальных системах и расчета характеристик таких

систем. Приведем объяснение этого кажущегося противоречия (см. рис.9.1).

<∞− f

∞=2σ

Шум, действующий в реальных условиях, имеет спектр мощности

гладкий в некоторой полосе и спадающий к нулю за ее пределами. Полоса

любого реального устройства имеет ширину, меньшую, чем ширина полосы

реального шума. Поэтому, реакция реального устройства на реальный шум и

реакция реального устройства на идеализированный шум (БГШ) совпадают.

Иными словами, поскольку БГШ никогда не рассматривается сам по себе, а

рассматривается только результат его фильтрации (реакция устройства на шум),

то проблем, связанных с бесконечно большой дисперсией на входе устройства,

просто не возникает. На выходе реального устройства появляется в точности

такой же процесс, как если бы на входе был БГШ.

Частотная характеристика

реальной системы

Спектр мощности идеализированного шума

(БГШ)

0 Спектр мощности реального шума

f0

Рис.9.1. Спектры мощности реального и идеализированного шума.

10. Оптимальный прием дискретных сигналов

Задача оптимального приема дискретных сигналов формулируется

следующим образом. Имеется q сигналов )(0 ts ,…, )(1 tsq! . При передаче

случайно выбирается один из них в соответствии с вероятностным

распределением 0P ,…, 1!qP , 0"iP , 11

0#$ !

#

q

i iP . Приемник наблюдает выход

канала )(tr . Задача приемника состоит в определении номера переданного

сигнала i!

, 1,...,0 !# qi!

. При этом возможно, что решение приемника будет

ошибочным. Оптимально построенный приемник обеспечивает наименьшую

вероятность ошибки ]Pr[ iiPe %#!

(см. рис. 10.1)

Пусть для представления сигналов выбран базис )}({ tj& , Dj ,...,2,1# .

Тогда сигнальному множеству )}({ tsi с использованием этого базиса ставится в

соответствие множество сигнальных точек }{ is , Di R's . Если разложить по

базису сигнал на выходе канала )(tr , то получим точку (вектор) r . Канал

формально может быть задан набором условных плотностей вероятностей

)|( iw sr , 1,...,2,1,0 !# qi . Процесс передачи можно тогда описать как показано

на рис. 10.2

Передатчик:Выбор }{ iss' всоответствии сраспределением

}{ iP

Канал:

)|(....

)|()|(

1

1

0

!qw

ww

sr

srsrs r

Приемник:Определениеномерапереданногосигнала

i!

Рис.10.2 Формальная модель передачи дискретных сигналов

Рис.10.1 Cистема передачи дискретных сигналов

)(tsi

Канал Демодулятор(приемник)

Модулятор(передатчик)

Сообщение i Решение i!

)(tr

Для описания приема (процесса формирования решения о переданном

сигнале) используем понятие решающей области. Разобьем некоторым образом

множество всех возможных значений вектора r на q непересекающихся

областей iR , ,1,...,1,0 !# qi , т.е. Di

iRR #" , (#ji RR # . Решение о переданном

сигнале принимается по правилу ii #!

, если iR'r . Понятно, что вероятность

ошибки зависит от конфигурации решающих областей iR . Поэтому задача

построения оптимального приемника может быть переформулирована как

задача построения решающих областей, обеспечивающих минимальную

вероятность ошибки.

Пусть )(reP вероятность ошибки при условии, что принятый вектор

равен r . Тогда безусловная вероятность ошибки равна

$))!

#

##1

0)()()()(

q

i Re

Ree

iD

dwPdwPP rrrrrr .

Для всякого iR'r имеем ]|Pr[1)( rr iPe !# , где ]|Pr[ ri – вероятность

принятия решения в пользу i -го сигнала при условии, что полученный вектор

равен r . Тогда вероятность ошибки равна

$)!

#

!#1

0)(]|Pr[1

q

i Re

i

dwiP rrr . (10.1)

Чтобы вероятность ошибки была минимальной, должна быть максимальной

сумма в правой части (10.1), то есть нужно назначить решающие области таким

образом, чтобы эта сумма была максимальной. Поскольку решающие области

не пересекаются, то условие максимизации суммы эквивалентно максимизации

каждого слагаемого этой суммы, то есть значения интеграла )iR

dwi rrr )(]|Pr[ .

Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то легко видеть, что

значение этого интеграла максимально, если положить

* +iiwiwiRi %,-,"# ),(]|Pr[)(]|Pr[: rrrrr

или, исключая из определения области несущественный для этого множитель,

получим

* +iiiiRi %,-,"# ],|Pr[]|Pr[: rrr . (10.2)

Вероятности ]|Pr[ ri это апостериорные вероятности приема i . Поэтому прием

решений с использованием решающих областей (10.2) называется приемом по

максимуму апостериорной вероятности (МАВ). С использованием формулы

Байеса имеем )(/)|(]|Pr[ rrr wPiwi i# , тогда равенство (10.2) можно

переписать в виде

* +iiPiwPiwR iiМАВ

i %,-,"# , ,)|()|(:)( rrr . (10.3)

Тогда алгоритм оптимального приема можно записать следующим

образом: по принятому из канала сигналу вычислить вектор r коэффициентов

разложения по базису и положить ki #!

, если kR'r , где решающие области

определены равенством (10.3). Иллюстрация приведена на рис. 10.3.

На практике часто встречается случай, когда сигналы передаются

равновероятно, то есть qPi /1# для всех i , 1,...,1,0 !# qi . В этом случае

определение решающих областей и оптимального приемника можно упростить,

исключив из определения (10.3) одинаковые априорные вероятности.

Получающийся в этом случае алгоритм носит название приема по максимуму

правдоподобия (МП), а решающие области принимают вид

Вычисление значения0)0|( Pw r

Вычисление значения1)1|( Pw r

Вычисление значения1)1|( !! qPqw r

r Выбормаксимума

i!

Рис.10.3 Схема оптимального приемника (приемника по МАВ)

* +iiiwiwR МПi %,-,"# ),|()|(:)( rrr . (10.4)

Схема приемника, принимающего решения по МП, показана на рис 10.4.

Заметим, что приемник МП является оптимальным только в случае

равновероятных сигналов.

На практике приемник может быть построен следующим образом.

Сначала по принятому сигналу вычисляется вектор r (см. рис. 10.5) , а затем

производится обработка этого вектора как это показано на рис. 10.3 и 10.4.

Вычисление значения)0|(rw

Вычисление значения)1|(rw

Вычисление значения)1|( !qw r

r Выбормаксимума

i!

Рис.10.4 Схема оптимального приемника (приемника по МП)

Вычисление

)#T

dtttrr0 11 )()( &

Dr

)(tr

1r

Dr

r#

.

.

.

.

.

.

.

.

0

1

Рис.10.5. Вычисл

Вычисление

)#T

D dtttr0

)()( &

ение компонент вект

ора r

/

11. Вероятность ошибки при оптимальном приеме дискретных сигналов

Вероятность ошибки может быть найдена как

∑−

=

=1

0)(

q

iiee PiPP , (11.1)

где ) – вероятность ошибки при передаче -го сигнала, – вероятность

передачи -го сигнала. Выражение (11.1) дает точное значение вероятности

ошибки. В ряде случаев воспользоваться этим выражением не удается, так как

невозможно точно вычислить условные вероятности ) . В этом случае

приходится пользоваться верхней оценкой вероятности ошибки

(iPe i iP

i

(iPe

∑−

=

≤1

0)(~q

iiee PiPP , (11.2)

где )()(~ iPiP ee ≥ верхняя оценка условной вероятности ошибки. Для вычисления

этой оценки существует ряд подходов. Рассмотрим некоторые из них.

Аддитивная граница (аддитивное неравенство, неравенство Буля,

граница объединения). Условная вероятность ошибки при передаче -го

сигнала определяется как

i

]|Pr[)( iiiiPe ≠=)

.

Используя понятие решающей области, это выражение можно переписать в

виде

[ ] {⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∈=∉=≠

−

≠=U

) 1

0

|Pr|Pr]|Pr[q

ikk

ki iRiRiii rr } . (11.3)

Аддитивное неравенство позволяет оценить сверху вероятность объединения

любых событий. Оно записывается как

∑≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ii

ii AA ]Pr[Pr U , (11.4)

где }{ множество некоторых событий. Применяя (11.4) к (11.3), получим iA

∑−

≠=

∈≤≠1

0]|Pr[]|Pr[

q

ikk

k iRiii r)

. (11.5)

Вероятность ] в свою очередь может быть оценена сверху

вероятностью ошибки в системе передачи, использующей только два сигнала

и ) . В такой системе существуют только две решающие области

и

|Pr[ iRk∈r

)(tsi (tsk)2(

iR

)2(kR 1), то есть и . Очевидно, что ,

поэтому , далее

Dki RR R)2()2( =U ∅)2()2(

ki RR I kk RR ⊇)2(

]|Pr[]|Pr[ )2( iRiR kk ∈≤∈ rr

∑−

≠=

∈=≤1

0

)2( ]|Pr[)(~)(q

ikk

kee iRiPiP r .

Вычисление вероятности обычно оказывается сравнительно

несложным в отличие от вероятности ]

]|Pr[ )2( iRk∈r

|Pr[ iRk∈r . Окончательное выражение

для аддитивной границы вероятности ошибки имеет вид

[∑∑−

=

−

≠=

∈≤1

0

1

0

)2( |Prq

ii

q

ikk

ke PiRP r ] . (11.6)

□

Аппроксимация решающей области. Условная вероятность

ошибки при передаче -го сигнала определяется как i

]|Pr[)( iiiiPe ≠=)

.

Используя понятие решающей области, это выражение можно переписать в

виде

[ ] ∫−=∈−=≠iR

i diwiRiii rrr )|(1|Pr1]|Pr[)

. (11.7)

Если интеграл в правой части равенства (11.7) вычислить не удается, то можно

оценить его снизу, используя подходящую аппроксимацию решающей области

. Пусть iR ii RR ⊆~ и конфигурация аппроксимирующей области iR~ выбрана так,

что интеграл вычисляется аналитически. Поскольку для

всех , так как это плотность вероятностей, то .

Поэтому имеем верхнюю границу и окончательно

∫iR

diw~ )|( rr 0)|( ≥iw r

r ∫∫ ≤ii RR

diwdiw rrrr )|()|(~

∫−≤iRe diwiP ~ )|(1)( rr

1 Верхний индекс 2 здесь означает, что в системе используется только два сигнала

∑ ∫−

=

−≤1

0 ~)|(1

q

i Rie

i

diwPP rr . (11.8)

□

В завершение отметим, что для вычисления вероятности ошибки следует

использовать, в тех случаях, когда это возможно, точное выражение (11.1), либо

оценки, например, оценки (11.6) и (11.8). Во всех случаях для вычисления

вероятности ошибки необходимо знать априорное распределение на входе

канала }, условные функции плотности вероятности , описывающие

канал, и алгоритм приема, то есть конфигурацию решающих областей.

{ iP )|( iw r

Число двоичных единиц (бит) переносимых -ичным сигналом равно

. При ошибке, происходящей при передаче сигналов, формируется

ошибочное решение относительно номера переданного сигнала и возникает от

1 до ошибочных бит. Рассмотрим вероятность ошибки на бит , и ее связь с

вероятностью ошибки на символ . Определим вероятность принятия решения

в пользу сигнала с номером при условии, что был передан сигнал с номером

, и обозначим ее как ,

q

qm 2log=

m bP

eP

'i

i )',( iiPe ii ≠' , то есть ]|Pr[)',( ' iRiiP ie ∈= r . Тогда

очевидно, что . ∑ −

≠==

1

',0')',()( q

iii ee iiPiP

Пусть - число разрядов, в которых различаются двоичные

представления номеров сигналов и . Например, , так как

, . Очевидно, что

)',( iin

i 'i 2)6,5( =n

210 1015 = 210 1106 = miin ≤≤ )',(1 при ii ≠' . Тогда можно

записать, что

∑∑−

=

−

≠=

=1

0

1

'0'

)',()',(1 q

i

q

iii

ieb PiiniiPm

P .

В этом равенстве фактически записано отношение среднего числа

ошибочно принятых бит к их общему числу. Точное вычисление вероятности

ошибки на бит может оказаться затруднительным. Основная проблема состоит

в вычислении, или достаточно точном оценивании, вероятностей ) . Тем

не менее, в ряде случаев сигналов она разрешима.

',( iiPe

Заметим, что вероятность ошибки на бит может быть уменьшена, если

назначить номера сигналов так, чтобы уменьшить величины произведений

)',()',( iiniiPe . На практике часто оказывается, что значения вероятностей

сильно различаются при различных ' . В частности это так при

использовании АМ, ФМ, КАМ сигналов. Поэтому разумно назначить номера

сигналов так чтобы величина была малой для тех пар , для которых

вероятность ) велика. В этом случае можно добиться, что произведения

будут небольшими и общая вероятность ошибки на бит

уменьшится. Такая нумерация может быть обеспечена с использованием кода

Грея (Gray code).

)',( iiPe ,ii

)',( iin )',( ii

',( iiPe

)',()',( iiniiPe

Код Грея представляет собой переупорядочение двоичных кодовых

последовательностей таким образом, что соседние последовательности

отличаются только в одном двоичном разряде. Простой пример приведен в

табл.11.1.

Таблица 11.1

Код Грея длины 3 Десятичное

представление Двоичное

представление Код Грея

0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 110 101 7 111 100

Из табл. 11.1 в частности следует, что 1)6,5( =n , так как ,

. Это значит, что при ошибочном решении в пользу сигнала 6 при

условии, что был передан сигнал 5, произойдет ошибка только в одном

двоичном разряде, а не в двух как при обычной нумерации сигналов. Это

значит, что применение кода Грея вместо обычной нумерации сигналов

желательно, если вероятность ) велика.

Gray111510 =

Gray101610 =

6,5(eP

Алгоритм построения кода Грея. Код Грея любой длины может быть

построен рекуррентно. Обозначим код Грея длины как . Очевидно, что

. Построение кода

n )(nG

}1,0{)1( =G )1( +nG на основе кода выполняется

следующим образом:

)(nG

а) Построение вспомогательного списка )(~ nG . Список )(~ nG

представляет собой список , переупорядоченный в обратном порядке )(nG

б) Построение кода Грея )1( +nG из и )(nG )(~ nG . К началу каждого

слова из приписывается 0, к словам из )(nG )(~ nG приписывается 1, и оба

списка слов объединяются, то есть ( )))(~,1()),(,0()1( nGggnGggnG ∈∈=+ .

Пример. Построение кода Грея длины 4.

По определению }1,0{)1( =G . Тогда )0,1()1(~=G , и .

Следовательно

)10,11,01,00()2( =G

)00,01,11,10()2(~=G , и G(3) = (000,001,011,010,110,111,101,100).

Поэтому )000,001,011,010,110,111,101,100()3(~=G , и окончательно G(4) = (0000,

0001, 0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1111,1110,1010,1011,1001,1000).

12. Оптимальный прием в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

Пусть - множество сигналов, используемых для передачи,

заданных на интервале ,

)}({ tsi

],0[ T 1,...,1,0 −= qi

)} )(tn

, - априорное распределение,

заданное на этом множестве. Сигнал на выходе канала имеет вид

, где , - аддитивный белый гауссовский шум

(АБГШ) со спектральной плотностью мощности 2 . Задача приемника

состоит в определении номера переданного сигнала

}{ iP

)()()( tntstr += ({) si∈( tts

/0N

i)

по принятому сигналу

. )(tr

Выберем базис )}({ tjϕ , Dj ,...,1= , для представления сигналов. Тогда

вместо множества сигналов { можно рассматривать множество -мерных

вещественных сигнальных векторов (сигнальных точек) { , где s

и - скалярное произведение

)}t(si

j dtt)(ϕ

D

( is}is ),...,1 iDi s=

∫==T

ijiij tsss0

)(),( ϕ −i го сигнала и j -ой

базисной функции, . Аналогично можно построить разложение

принятого сигнала ) по базисным функциям,

Dj ,...,1=

(tr ),...,1r( Dr=r , где

. Очевидно, что ∫==T

jj ttrr0

()(),( ϕϕjr dt) nsr += , где )( 1 Dnn ,...,=n и

- скалярное произведение шума и ∫==T

jjj tnn0

()(),( ϕϕ dtt)n j -ой базисной

функции. Отметим, что случайные величины (с.в.) независимы между

собой и имеют гауссовское распределение с нулевым математическим

ожиданием, поскольку шум имеет нулевое среднее, и дисперсией 2 , то есть

jn

/0N

0=jn , 2/02 Nn j = , и 0=kj nn , Dkj ,...,1,0, = , kj ≠ . Эти свойства следуют из

свойств БГШ.

Для построения алгоритма оптимального приема нужно знать вид

условных плотностей вероятностей ) , определяемых каналом. При

условии, что передан i -й сигнал,

|( iw r

+= isr n , поэтому для канала с АБГШ

−−

=

−−

= ∑

=

D

jijj

D

i

D

srNNNN

iw1

2

000

2

0

)(1exp1exp1)|(ππ

srr ,

или ( )02 /),(exp)|( NdKiw isrr −= , где ( ) 2/

0DNK −= π , ),( ⋅⋅d - евклидово

расстояние между точками из DR . Теперь можно записать выражение для

решающих областей оптимального приемника МАВ

( ) ( ){ }02

1002)( /),(expmax/),(exp: NdPNdPR kkqkii

MABi srsrr −=−=

−≤≤,

или

( ){ }kkqkiiMAB

i PNdPNdR ln),(minln),(: 02

1002)( −=−=

−≤≤srsrr . (12.1)

Схема приемника МАВ для канала с АБГШ показана на рис. 12.1

10 ln −− qPN

+

10 ln PN−

+

00 ln PN−

+),( 02 srd

),( 12 srd

),( 12

−qd sr

Выбор

минимума r i)

Рис.12.1 Схема оптимального приемника для канала с АБГШ (приемник по МАВ)

Решающие области МП имеют вид

( ) ( ){ }02

1002)( /),(expmax/),(exp: NdNdR kqki

MПi srsrr −=−=

−≤≤,

или

{ }),(min),(:10

)(kqki

MПi ddR srsrr

−≤≤== . (12.2)

Последнее равенство означает, что прием по МП в канале с АБГШ эквивалентен

приему по минимуму евклидова расстояния. Схема приемника МП для канала с

АБГШ показана на рис. 12.2

r i

),( 12

−qd sr

1 ),(2 srd )

Выбор

минимума

),( 02 srd

Рис.12.2. Схема оптимального приемника для канала с АБГШ (приемника по МП)

Решающая область , заданная равенством (12.2), представляет собой

множество точек из

iR

DR , лежащих ближе к , чем к любой другой сигнальной

точке , . Для случая

is

ks ik ≠ 2=D эти области представляют собой выпуклые

многоугольники и известны как области Вороного. На рис.12.3 показано для

примера некоторое произвольное двумерное сигнальное созвездие и

соответствующее ему разбиение на решающие области (области Вороного).

Рис.12.3 Сигнальное созвездие и разбиение на решающие области

(области Вороного).

На вход схем, показанных на рис.12.1 и 12.2 , подается вектор ,

полученный в результате конечномерного представления выходного сигнала

канала r . Рассмотрим более подробно как выглядит приемник,

обрабатывающий выходной сигнал канала ) . Поскольку конечномерное

представление сохраняет расстояние, то

r

)(t

(tr

∫ ∫ ∫ +−=−==T T T

iiiii Edttstrdttrdttstrtstrdd0 0 0

2222 )()(2)())()(())(),((),( sr ,

где – энергия -го сигнала. Тогда равенства (12.1) и (12.2) можно

переписать в виде

∫=T

ii dttsE0

2 )( i

−=−= ∫∫ −≤≤

)(

010

)(

0

)( )()(max)()(: МАВk

T

kqk

МАВi

T

iMAB

i CdttstrCdttstrR r , (12.3)

где C , 2/)ln( 0)(

ikМАВ

k PNE −= 1,...,1,0 −= qk ,

−=−= ∫∫ −≤≤

)(

010

)(

0

)( )()(max)()(: МПk

T

kqk

МПi

T

iMП

i CdttstrCdttstrR r , (12.4)

где 2 . Как видно из определения областей (12.3) и (12.4),

решения по МАВ и по МП строятся почти одинаково, разница состоит лишь в

постоянных и . На рис 12.4 показана схема оптимального

приемника. Эта схема эквивалентна ранее приведенным схемам.

/)(k

МПk EC =

(МАВkC ) )(МП

kС

)(tr i)

∫T

dt0

)(0 ts0C−

∫T

dt0

)(1 ts1C−

∫T

dt0

)(1 tsq− 1−− qC

×

×

×

+

+

+

Выбор

максимума

Рис.12.4. Схема оптимального (корреляционного) приемника для

канала с АБГШ

Приемник, показанный на рис.12.4 называется корреляционным, так как

структура, приведенная на рис 12.5, называется коррелятором.

∫T

dt0

)(tsi

)(tr×

Рис.12.5. Коррелятор

Еще одна эквивалентная приведенным структура оптимального

приемника может быть получена с использованием так называемых

согласованных фильтров. Фильтр называется согласованным с сигналом ,

если его импульсная переходная характеристика равна

Рассмотрим реакцию фильтра, согласованного с сигналом ) , на сигнал r

)(tsi

).tT −

)(t

()( sth ii =

(tsi

==

+−=+−=

=+−=−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−1

1

1

)()()()()(dtd

tTttTt

dtTsrdthrty iii

ττ

τττττττ

∫∞

∞−

+−= 111 )()( dttstTtr i .

Отсюда следует, что ∫∞

∞−=

== 111 )()()()( dttstrTyty iiTti . Это значит, что значение

на выходе согласованного фильтра, взятое в момент Tt = , равно значению на

выходе коррелятора. Поэтому оптимальный приемник может быть построен по

схеме с согласованными фильтрами и следующими за ними устройствами

взятия отсчетов (см. рис.12.6)

+

0C−

+

1C−

)(0 th

)(1 th

Tt =

)(1 thq−

1−− qC

+

Выбор

максимума i)

)(tr

Рис.12.6. Схема приемника с согласованными фильтрами для канала с АБГШ

Свойства согласованного фильтра. Предположим, что имеется

некоторый фильтр с конечной импульсной переходной характеристикой ,

. Пусть на его вход поступает сигнал

)(th

)Tt <<0 ()()( tntstr += , где -

полезный сигнал, а ) - АБГШ. Покажем, что если фильтр ) согласован с

сигналом , то отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет

максимальным.

)(ts

(tn (th

)(ts

Рассмотрим сигнал на выходе фильтра (символ ∗ , как и ранее,

обозначает свертку)

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−+−=−=∗= τττττττττ dthndthsdthrthtrty )()()()()()()()()( .

Поскольку импульсная переходная характеристика фильтра ) равна нулю

вне интервала ( то можно записать, что

(th

),0 T

)()()()()()()( tntsdthndthsty hh

t

Tt

t

Tt

+=−+−= ∫∫−−

ττττττ ,

где , - сигнальная и шумовая

составляющие сигнала на выходе фильтра соответственно. Обозначим

∫−

−=t

Tth dthsts τττ )()()( ∫

−

−=t

Tth dthntn τττ )()()(

)()(~ Tthth −= и рассмотрим значение отсчета сигнала на выходе фильтра,

взятого в момент . Оно равно Tt =

ty(

,( ⋅⋅

)2/(~)2/(2

0 hN = h

22),( fgf ≤

)(tf )(tCg

2 sC=2 ,()( CssTsh =

1C

∫∫ +===

TT

TtdtthtndtthtsTy

00

)(~)()(~)()() ,

или

)~,()~,()()()( hnhsTnTsTy hh +=+= , (12.5)

где через ) обозначено скалярное произведение функций, )~,()( hsTsh =

)

-

отсчет сигнальной составляющей на выходе фильтра, ~,( hn)(Tnh =

(Tnh

- отсчет

шумовой составляющей на выходе фильтра. Величина ) представляет

собой гауссовскую случайную величину с нулевым средним и дисперсией

.20N

В дальнейшем рассмотрении будет использовано неравенство 2g

=

, известное как неравенство Коши-Шварца-Буняковского.

Оно обращается в равенство, если функции и пропорциональны, то

есть если , где - некоторая константа.

)(tf )(tg

C

Легко видеть, что если положить

)()(~ tCsth = , (12.6)

то для величины квадрата сигнальной составляющей в равенстве (12.5) можно

с использованием неравенства Коши-Шварца-Буняковского записать, что 2242) EC= , где E - энергия сигнала. При этом условии

дисперсия шумовой компоненты будет равна 220

20

2 )2/()2/( sCNCsNh ==σ ,

а отношение этих величин будет равно своему максимальному значению

)2/()(

02

2

NETs

h

h =σ

. (12.7)

Заметим, что значение константы не играет роли, так как она присутствует в

числителе и знаменателе этого отношения. Поэтому в дальнейшем можно

считать что . Из равенства (12.6) следует, что

C

= ()(~)( tTststh −== , что

совпадает с определением согласованного фильтра.

)

Рассмотрим теперь свойства согласованного фильтра в частотной

области. Обозначим через )()( thfH ↔ частотную характеристику фильтра.

Поскольку h , то )()( tTst −=

∫∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

−∞

∞−

− ==

−=−==−

=−== 1)(2

1

1

1

122 1)(

Замена

)()()( dtets

dtdttTtttT

dtetTsdtethfH tTfjftjftj πππ

)()( *21

21

2 1 fSedtetse fTjftjfTj πππ −∞

∞−

− == ∫ ,

где ) - спектр сигнала. Спектр сигнальной составляющей на выходе

согласованного фильтра равен

( fS

22*2 )()()()()()( fSefSefSfHfSfS fTjfTjh

ππ −− === .

Тогда сама сигнальная составляющая )()( fSts hh ↔ равна

∫∞

∞−

−= dfefSets ftjfTjh

ππ 222 )()( ,

а ее отсчет в момент t будет равен T=

∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

− ===== EsdttsdffSdfefSeTs fTjfTjh

222222 )()()()( ππ .

Здесь также использовано равенство Парсеваля. Отсюда следует, что как и

ранее, . 22)( ETsh =

Шум на выходе согласованного фильтра окрашен и имеет спектральную

плотность мощности 2

0

22*0

20 )()2/()()2/()()2/()( fSNefSNfHNfN fTj

h === − π .

Мощность шума на выходе фильтра (или дисперсия отсчета шума на выходе

фильтра) равна, как и прежде,

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

===== .)2/()2/()()2/()()2/()( 02

02

02

02 ENsNdttsNdffSNdffNhhσ

Следовательно получаем, что

)2/()(

02

2

NETs

h

h =σ

,

и это выражение совпадает с (12.7).

13. Вероятность ошибки при передаче двоичных сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

Рассмотрим простой случай передачи двоичных сигналов. Вероятность

ошибки определяется по формуле полной вероятности как

10

1

0

)1()0()( PPPPPiPP ee

q

iiee +== ∑

−

=

,

где ) - условная вероятность ошибки при передаче -го сигнала, -

вероятность передачи -го сигнала. Найдем сначала вероятность ) . Как

следует из определения алгоритма приема по МП

(iPe i iP

i 0(eP

[ ] [ ]0|Pr0|),(),(Pr)0( 21

201

20

2 srsrsrsr −>−=>= ddPe

При передаче сигнала ) на выходе канала наблюдается , и

следовательно r

(0 ts

n

)()()( 0 tntstr +=

s += 0 . Тогда

[ ] [ ]0PrPr)0( 2

1022

102 >+−−=+−>= nssnnssneP .

Рассмотрим выражение 2

102 nssn +−− :

),(2),(2 102

102

102

1022

102 nssssnnssssnnssn −−−−=−−−−−=+−− .

Таким образом,

[ ]2Pr)0( ∆>= ξeP , (13.1)

где ),(2 10 nss −−=ξ , 21010

22 ),( ssss −==∆ d – квадрат расстояния между сигналами. Определим характеристики случайной величины ξ . Она равна

∑=

−−=−−=D

jjjj nss

11010 )(2),(2 nssξ , (13.2)

где , - координаты соответствующих сигнальных точек, - скалярные произведения АБГШ и базисных функций. Величины это независимые одинаково распределенные гауссовские с.в. (см. свойства АБГШ) с параметрами

js0 js1 jn

jn

0=jn , 2/0N2n j = . Найдем параметры величины ξ , определенной равенством

(13.2). Поскольку ξ представляет собой линейную комбинацию независимых гауссовских с.в., то она тоже гауссовская. Далее, найдем математическое ожидание и дисперсию

=ξ

−j

2

(x

0)(2)(21

101

10 =−−=−− ∑∑==

D

jjjj

D

jjjj nssnss ,

2

01

2100

1

210

110 2)(2]D[)(4)(2D]D[ ∆=−=−=

−= ∑∑∑

===

NssNnssnssD

jjj

D

jjjj

D

jjjξ .

Итак, вероятность ) вычисляется, как указано в (13.1), где 0(eP ξ -

гауссовская с.в. с параметрами . )2, 20∆N0(

Определим функцию

∫∞

−=x

z dzexQ 2/2

21)(π

. (13.3)

Легко видеть, что ]Pr[)( xxQ >= ζ , где ζ гауссовская с.в. с

параметрами (0,1). С использованием функции (13.3) можно найти вероятность превышения некоторого порога гауссовской с.в. A X общего вида с параметрами ) , то есть ,( σm

−

=>σmAQAX ]Pr[ .

С использованием (13.1) и (13.3) можно записать, что

∆=

∆

∆=

002

2

22)0(

NQ

NQPe .

Аналогичное значение имеет и вероятность ) , поэтому 1(eP

∆=

02NQPe . (13.4)

Как следует из выражения (13.4), вероятность ошибки при передаче двоичных

сигналов по каналу с АБГШ зависит только от евклидова расстояния между

сигналами (но не от их конкретного вида!) и от интенсивности шума.

Функция , используемая в выражении (13.4), не выражается через

элементарные функции и вычисляется численно. На практике она может быть

найдена из таблиц. Чаще, однако, в руководствах по теории вероятностей

)Q

встречаются таблицы значений гауссовской функции распределения,

определенной как

∫∞−

−=x

z dzexF 2/2

21)(π

.

Связь между ней и функцией ) задается равенством (xQ )(1)( xFxQ −= . Часто

встречаются также таблицы так называемой функции ошибок и дополнительной

функции ошибок, определенных следующим образом

∫ −=x z dzex

0

22)erf(π

и

)erf(12)erfc(2

xdzexx

z −== ∫∞ −

π,

соответственно. Связь функции с ) задается равенством )(xQ erfc(x

( ) 2/2/erfc)( xxQ = . Можно указать также просто вычисляемые верхние и

нижние границы для Q для положительных значений ее аргумента )(x

2/2/2

22

21)(11

21 xx e

xxQe

xx−− <<

−

ππ, (13.5)

и наиболее простую верхнюю границу

2/2

21)( xexQ −≤ . (13.6)

На рис.13.1а показан график функции , а на рис.13.1б – графики этой

функции, а также верхняя и нижняя границы (13.5) и простейшая верхняя

граница (13.6) в полулогарифмическом масштабе.

)(xQ

Весьма точно значения ) могут быть найдены с использованием

приближенного выражения сравнительно удобного для программирования

(xQ

i

ii pxaxfxQ ∑

=

+

≈5

0 )1(1)()( , (13.7)

где )2/exp()2/1()( 2xxf −= π , 2316419.0=p

821256.1

, ,

, ,

3193815.01 =a

3565638 781478.13 =a.02 −=a 4 −=a , 330274.15 =a . Качество

приближения иллюстрируется графиком рис.13.2, где показана разность между

истинным значением )Q и приближением (13.7) (x

)(xQ )(xРис.13.1 а) функция , б) 1- функция Q , 2,3 – верхняя и нижняя границы (13.5) , 4 – простая верхняя граница (13.6)

б а

Рис.13.2 Ошибка приближения функции Q )(x

14. Вероятность ошибки для различных систем двоичных

сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

Ранее получено, что вероятность ошибки для двоичных сигналов может

быть найдена как

!!"

#$$%

& '(

02NQPe ,

где ' - расстояние между сигналами, 2/0N - значение спектральной плотности

мощности АБГШ. Рассмотрим три различных набора двоичных сигналов.

1. Противоположные сигналы. Пусть )(1 t) некоторая нормированная

функция, заданная на интервале ],0[ T и определяющая форму сигнала, 11 () .

Положим что )()( 10 tEts )( , )()( 11 tEts )*( , где E энергия сигналов,

++ ((TT

dttsdttsE0

21

0

20 )()( .

Оба сигнала могут быть представлены с использованием всего одной базисной

функции. Это значит, что противоположные сигналы образуют одномерное

сигнальное множество, )(0 E(s , )(1 E*(s . Легко заметить, что решающие

области в данном случае имеют вид бесконечных полупрямых ),0[0 ,(R ,

)0,(1 *,(R , см. рис.14.1

Очевидно, что расстояние между сигналами равно E2(' , тогда вероятность

ошибки равна

0 EE*

0s1s

Рис.14.1 Сигнальное множество (противоположные сигналы)

!!"

#$$%

&(

0

)пр( 2N

EQPe . (14.1)

Величина 0/ NE называется отношением сигнал/шум. В инженерной

практике принято выражать это отношение в децибелах (дБ). Величина

отношения, измеренная в дБ, определяется как

- . - .010дБ0 /log10/ NENE ( ,

и наоборот- . 10//

0дБ010/ NENE ( .

Перевод отношения в децибелы и обратно можно легко выполнять в уме,

если запомнить несложные правила:

a) при увеличении отношения в два раза, соответствующая величина в

децибелах увеличивается на 3 дБ (точнее на 3.01 дБ), так как

301.32log10 10 /( ;

б) при уменьшении отношения в два раза, соответствующая величина в

децибелах уменьшается на 3 дБ (точнее на 3.01 дБ) так как

301.3)2/1(log10 10 */*( ;

Пример. Пусть 5/ 0 (NE . Требуется оценить - .дБ0/ NE . Легко видеть,

что - . дБ 7/ дБ0 (NE , действительно

73102log1010log10)2/10(log105log10 10101010 (*(*(( . □

2. Ортогональные сигналы. Пусть )(1 t) и )(2 t) две ортонормированные

функции, заданные на интервале ],0[ T , 0),( 21 ()) и 121 (( )) . Положим

что )()( 10 tEts )( , )()( 21 tEts )( , где E - энергия сигналов. В этом случае

0)()(0 10 (+T

dttsts , и сигналы имеют равную энергию

++ ((TT

dttsdttsE0

21

0

20 )()( .

Сигналы могут быть представлены с использованием двух базисных

функций. Это значит, что ортогональные сигналы образуют двумерное

сигнальное множество, )0,(0 E(s , ),0(1 E(s . Легко заметить, что

решающие области в данном случае имеют вид бесконечных полуплоскостей

}:),({ 21210 rrrrR 0(( r , }:),({ 21211 rrrrR 1(( r , см. рис.14.2 .

Очевидно, что расстояние между сигналами равно E2(' , тогда

вероятность ошибки равна

!!"

#$$%

&(

0

)орт(

NEQPe . (14.2)

□

3. Сигналы с пассивной паузой. В этом случае 0)(0 (ts , 0)(1 2ts и

+(T

dttsE0

21 )( . Базис для представления этого набора сигналов состоит из одной

функции Etst /)()( 11 () . Тогда )()( 11 tEts )( и 11 () . Сигналы с пассивной

паузой образуют одномерное сигнальное множество, )0(0 (s , )(1 E(s . Легко

заметить, что решающие области в данном случае имеют вид бесконечных

полупрямых )2/,(0 ER *,( , ),2/(1 ,( ER , см. рис.14.3

Очевидно, что расстояние между сигналами равно E(' , тогда вероятность

ошибки равна

Рис.14.2 Сигнальное множество (ортогональные сигналы)

0E

E

0s

1s

0 E

0s 1s

Рис.14.3 Сигнальное множество (сигналы с пассивной паузой)

!!"

#$$%

&(

0

)пп(

2NEQPe . (14.3)

□

Приведенные выражения для вероятности ошибки справедливы при

любой форме сигналов (при сохранении противоположности или

ортогональности). От формы сигналов зависят другие свойства сигналов, в

частности, спектральные свойства.

Как видно из равенств (14.1)-(14.3) и графиков, представленных на

рис.14.1, наименьшую вероятность ошибки обеспечивают противоположные

сигналы. При использовании ортогональных сигналов для достижения той же

вероятности ошибки требуется вдвое (или на 3дБ) большее отношение

сигнал/шум, чем при использовании противоположных сигналов. Сигналы с

пассивной паузой уступают ортогональным 3дБ, а противоположным - 6 дБ.

дБ,/ 0NE

eP

Рис.14.1 Вероятность ошибки для двоичных сигналов

15. Дискретная амплитудная модуляция. Вероятность ошибки

Сигналы дискретной амплитудной модуляции (АМ) имеют вид

)()( tAts ii ϕ= , где )(tiϕ - некоторая нормированная функция, заданная на

интервале и определяющая форму сигнала, - амплитуда -го сигнала,

. Определим амплитуду i -го сигнала как

],0[ T iA i

1,...1,0 −= qi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=1

21q

iEAi .

Тогда EA =0 , EAq −=−1 , а все промежуточные значения амплитуды

расположены с равномерным шагом в интервале ],[ EE− . Сигнальное

множество АМ показано на рис 15.1.

01 ss1−qs

0E− E

Рис.15.1 Сигнальное множество АМ сигналов.

Минимальное расстояние между сигналами, как видно из рис.15.1, составляет

)1/(2 −=∆ qE . Определим энергию каждого сигнала. Очевидно, что энергия

-го сигнала равна i2

2

121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==q

iEAE ii ,

то есть энергия сигналов принимает различные значения. Величина E имеет

смысл максимальной энергии. Как обычно будем полагать, что сигналы

передаются равновероятно. Найдем значение средней энергии

∑ ∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==1

0

1

0

22

1

0

1

0

21

0 )1(4

)1(41

121

q

i

q

i

q

i

q

i

q

iii i

qi

qqE

qi

qEPEE .

Найдем значение выражения ∑−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−1

0

2

1211 q

i qi

q. Используя тождества

и , получим 2/)1(0

+=∑ =kkik

i6/)12)(1(

02 ++=∑ =

kkkik

i

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− ∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

1

0

22

1

0

1

0

1

0

2

)1(4

)1(411

1211 q

i

q

i

q

i

q

ii

qi

qqqi

q

.11

31

6)12()1(

)1(4

2)1(

)1(41

2 −+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

+−

−−=

qqqqq

qqq

qq

q

Поэтому

11

3 −+

=qqEE . (15.1)

Решающие области для 2,...,2,1 −= qi представляют собой отрезки

длины с центрами в сигнальных точках , то есть ∆ 221 ,...,, −qsss

)2/,2/[ ∆+∆−= iii AAR . Решающие области для крайних точек и

представляют собой бесконечные полупрямые

0s 1−qs

),2/[ 00 ∞∆−= AR и

)2/,( 11 ∆+−∞= −− qq AR .

Сигнал на выходе канала имеет вид )()()( tntstr += , где ,

– АБГШ со спектральной плотностью мощности 2 . В силу того, что

сигнальное множество АМ сигналов одномерно, имеем следующее

конечномерное представление

)}({)( tsts i∈

)(tn /0N

nAr += , где }{ iAA∈ , – г.с.в с параметрами n

0=n , 2/02 Nn = . Найдем вероятность ошибки. По формуле полной

вероятности имеем

∑∑−

=

−

=

==1

0

1

0)(1)(

q

ie

q

iiee iP

qPiPP , (15.2)

где ) - вероятность при передаче -го сигнала, - вероятность передачи

-го сигнала, . Рассмотрим сначала вычисление ) при

.

(iPe i iP

i qPi /1= (iPe

2,...,2,1 −= qi

[ ] [ ] =∆+∆−∉=∆+∆−∉+=∉= )2/,2/[Pr)2/,2/[Pr]|Pr[)( nAAnAiRriP iiiie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=+= ∫∫

∞

∆

−∆−

∞−

−

02/

/

0

2//

0 2211

02

02

NQdxe

Ndxe

NNxNx

ππ. (15.3)

Найдем оставшиеся вероятности и ) )0(eP 1( −qPe

[ ] [ ] =∞∆−∉=∞∆−∉+=∉= ),2/[Pr),2/[Pr]0|Pr[)0( 000 nAnARrPe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆== ∫

∆−

∞−

−

0

2//

0 21

02

NQdxe

NNx

π . (15.4)

Аналогично можно показать, что

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=−

02)1(

NQqPe . (15.5)

Подстановка (15.3)-(15.5) в (15.2) с учетом того, что )1/(2 −=∆ qE дает

окончательное выражение

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=1

1222

0 qNEQ

qqPe , (15.6)

определяющее зависимость вероятности ошибки от максимального отношения

сигнал/шум . С использованием равенства (15.1) получим выражение,

определяющее зависимость вероятности ошибки от среднего значения

отношения сигнал/шум

0/ NE

0/ NE

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

=1

16222

0 qNEQ

qqPe . (15.7)

При 2 равенства (15.6) и (15.7) обращаются в =q )/2( 0NEQPe = -

вероятность ошибки для двоичных противоположных сигналов, при этом также

EE = .

Графики, показанные на рис. 15.2, дают представление о зависимости

вероятности ошибки от среднего значения отношения сигнал/шум. Важно

отметить, что вероятность ошибки резко возрастает с увеличением объема

сигнального алфавита.

eP

дБ ,/ 0NE

5.2 Вероятность ошибки для АМ сигналовРис.1

Рассмотрим вывод выражения для вероятности ошибки на бит для

сигналов АМ. Среднее значения отношения сигнал шум/шум на бит равно

020 log1

NE

qNE

bit

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Вероятность ошибки на бит зависит от отображения сообщений (номеров

сигналов) в сигнальные точки. Предпочтительным будет такое отображение,

при котором близко расположенные сигнальные точки соответствуют

сообщениям, различающимся в малом числе двоичных разрядов. Такое

отображение для сигналов АМ достигается с использованием кода Грея. В этом

случае блоки двоичных данных, соответствующие соседним сигнальным

точкам, будут отличаться только в одной позиции (см. пример для АМ-8 на

Рис.15.3).

100 101 111 110 010 011 001 000

0

Рис.15.3 Сигнальное множество АМ –8 сигналов (отображение в соответствии с кодом Грея)

Поскольку ошибочное решение относительно переданного сигнала наиболее

вероятно в пользу соседних сигналов, то оно будет приводить к ошибке только

в одном бите. Это значит, что в большинстве случаев доля ошибочных

двоичных разрядов при ошибочном решении равна . Отсюда

следует, вероятность ошибки на бит как функции от отношения сигнал/шум на

бит задается выражением

mq /1log/1 2 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=≈

1log622

log1

log1

22

022 qq

NEQ

qq

qP

qP

biteb . (15.8)

16. Квадратурная амплитудная модуляция. Вероятность ошибки

Сигналы квадратурной амплитудной модуляции (КАМ) (quadrature

amplitude modulation, QAM) имеют вид )()()( 2211 tststs iii ϕϕ += , где )(),( 21 tt ϕϕ

- две ортонормированные функции, заданные на интервале и

определяющие форму сигнала,

],0[ T

1,...,1,0 −= qi . Из определения сигналов КАМ

следует, что 2=D . Величины для сигналов КАМ принимают

дискретные значения равномерно расположенные в некотором конечном

интервале. Они могут рассматриваться как амплитудные множители при

функциях

21 , ii ss

)(1 tϕ и )(2 tϕ , поэтому сигнал КАМ представляет собой сумму двух

ортогональных АМ сигналов )(11 tsi ϕ и )(22 tsi ϕ .

Как обычно будем считать, что , где - целое; число может

рассматриваться как число бит переносимых сигналом (при отсутствии

кодирования). Положим для начала, что

mq 2= m m

km 2= , - целое. Тогда k kq 2= тоже

целое. Поставим в соответствие номеру сигнала , i 1,...,1,0 −= qi , пару целых

и ,

1i

2i 1,...,1,0, 21 −= qii , по правилу 21 iqii += . Иначе говоря, , это цифры

в

1i 2i

q -ичном представлении числа i . Положим, что

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

121 1

1 qiAsi , ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

121 2

2 qiAsi ,

где - максимальное абсолютное значение величин и . Очевидно, что

значения величин и расположены с равномерным шагом в

интервале . Сигнальное множество КАМ показано на рис 16.1

A 1is 2is

1is 2is

],[ AA−

а б в

Рис.16.1 Сигнальное множество КАМ а) 4=q , б) 16=q , в) q 64=

При , где 1 , сигнальное множество строится путем

“прореживания ” сигнального множества для . Примеры приведены на

рис.16.2 – множество для КАМ8 построено из множества КАМ16, а множество

для КАМ32 из множества для КАМ64 путем выбрасывания половины точек.

mq 2= 2 −= kmkq 22=

а б

Рис.16.2 Сигнальное множество КАМ а) 8=q , б) 32=q

Минимальное расстояние между сигналами, как видно из рис.16.1,

составляет

)1/(2 −=∆ qA . (16.1)

Определим энергию каждого сигнала. Очевидно, что энергия -го

сигнала равна

i

2

22

2

1222

21 1

211

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=+=

qiA

qiAssE iii ,

то есть энергия сигналов принимает различные значения. Как обычно будем

полагать, что сигналы передаются равновероятно. Найдем значение средней

энергии

∑∑∑−

=

−

=

−

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−==

1

0

1

0

2

2

2

121

0 1 2 121

1211 q

i

q

i

q

ii q

iqi

qAE

qE

∑∑∑−

=

−

=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

1

0

2

12

2

21

0

2

11

0

2

121 1212

121

121

q

i

q

i

q

i qi

qA

qiq

qiq

qA .

Ранее получено, что 11

31

1211 1

0

2

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−∑−

= qq

qi

q

q

i. Отсюда легко следует, что

11

31

1211 1

0

2

1

1 −

+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−∑

−

= qq

qi

q

q

i.

Тогда с учетом (16.1) имеем соотношение между средней энергией сигналов

КАМ и минимальным расстоянием между ними

)1(61

13

2 22

−∆

=−

+= q

qqAE (16.2)

Решающие области для сигнальных точек, находящихся в середине

сигнального созвездия, представляют собой квадраты. Для точек на краях

сигнального созвездия они бесконечны (см. рис.16.3).

а б

Рис.16.3 Решающие области КАМ а) 8=q , б) 16=q

Оценим вероятность ошибки для КАМ сигналов1. Вероятность ошибки

вычисляется как

∑∑−

=

−

=

==1

0

1

0)(1)(

q

ie

q

iiee iP

qPiPP , (16.3)

1 Вывод точного выражения для вероятности ошибки приведен в Приложении 3.

где ) вероятность ошибки при передаче -го сигнала, вероятность

передачи -го сигнала,

(iPe i iP

i qPi /1= . Рассмотрим вычисление ) . По

определению ] , где - -ая решающая область, -

точка в сигнальном пространстве, соответствующая принятому сигналу.

(iPe

|Pr[)( iRiP ie ∉= r iR i nsr += i

Обозначим квадрат с длиной стороны ∆и центром в некоторой точке

как . Он может быть описан как ),( 21 zz=z )(zS

]2/,2/[]2/,2/[)( 2211 ∆+∆−×∆+∆−= zzzzS z .

Тогда ) это квадрат с центром в -й сигнальной точке и .

Поэтому

( iS s i ii RS ⊆)(s

[ ] [ ] [ ] =∉=∉+=∉≤∉= )(Pr)(Pr|)(Pr]|Pr[)( 0nsnssrr SSiSiRiP iiiie

[ ] [ ] =∆+∆−×∆+∆−∈−=∈−= ]2/,2/[]2/,2/[),(Pr1)(Pr1 21 nnS 0n

[ ] [ ] =∆+∆−∈∆+∆−∈−= ]2/,2/[Pr]2/,2/[Pr1 21 nn

2

0

2

/2/

2/ 0 221111 0

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

∆

∆−∫ N

QdxeN

Nx

π. (16.4)

Подстановка (16.4) в (16.3) дает с учетом (16.2) оценку

2

0 113211 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−≤

qNEQPe . (16.5)

Рассмотрим получение более простой, но менее точной чем (16.5)

оценки вероятности ошибки при использовании КАМ сигналов. Пусть

круг радиуса 2 с центром . Заметим что

)(zC

/∆ z )()( iii CSR ss ⊃⊇ , тогда

[ ] [ ]22

221 )2/(Pr)](Pr[)(Pr)( ∆>+=∉<∉≤ nnCSiPe 0n0n .

Далее

[ ] ∫∫∆>+

−− ==∆>+222

02

02

)2/(

/

0

/

0

222

21

11)2/(Pryx

NyNx dxdyeN

eN

nnππ

{ } { }=

=<<∆>=∆>+

==== ∫∫

∆>+

+−−

222

022

)2/(222

/)(10 20,2/)2/(

sin,cos:мкоордината полярным к Переход

)(yx

Nyx

dddxdyyx

yxdxdyeN

θρρπθρ

θρθρπ

02

02

02

02 4/

2/

/2

0 2/ 2/

/

0

/10

2)( NNNN eedeN

ddeN ∆−∞

∆

−∞

∆

∞

∆

−−− =−=== ∫ ∫ ∫ ρπ

ρρ ρρθρρπ .

Следовательно . Отсюда с использованием (16.2) и (16.3)

получаем, что

)4/exp()( 02 NiPe ∆−<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−<0)1(2

3expNE

qPe . (16.6)

На рис. 16.4 показаны графики границ вероятности ошибки,

вычисленных по формулам (16.5) (сплошная линия ) и (16.6) ( пунктир) для

. 64,16,4=q

eP

0/ NE , дБ

Рис.16.4 Границы вероятности ошибки для сигналов КАМ

Рассмотрим вывод выражения для вероятности ошибки на бит для сигналов КАМ. Среднее значения отношения сигнал шум/шум на бит равно

020 log1

NE

qNE

bit

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. (16.7)

Для отображения сообщений в сигнальные точки КАМ может использоваться

код Грея. Для нумерации строк и столбцов в сигнальном созвездии

применяются два кода Грея длины , 2/m qm 2log= . Сообщение, строится как

конкатенация слов кода Грея для номеров строки и столбца, соответствующих

сигнальной точке. Пример для КАМ-16 показан на рис. 16.5.

0000

0001

0011

0010

0100

0101

0111

0110

1100

1101

1111

1110

1000

1001

1011

1010

Рис.16.5 Сигнальное множество КАМ –16 (отображение в соответствии с кодом Грея для строк и столбцов)

Очевидно, что в этом случае соседним точкам соответствуют сообщения,

отличающиеся в одном двоичном разряде. Поэтому формула для вероятности

ошибки на бит может быть получена из выражений (16.5) и (16.7) как

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≈≈

2

2

022 1log3211

log1

log1

qq

NEQ

qP

qP

biteb .

17. Фазовая модуляция. Вероятность ошибки

Сигналы фазовой модуляции (ФМ) (phase shift keying, PSK) имеют вид

TttfTEts ii <<−= 0),2cos(/2)( 0 θπ , (17.1)

где E энергия сигнала, T период следования сигналов, несущая частота,

, - целое,

0f

Tlf /0 = l iθ - фаза -го сигнала, i )/2( qii πθ = , .

Равенство (17.1) можно переписать в виде

1,...,1,0 −= qi

)()(2sin2sin2cos2cos)( 221100 tststfT

EtfT

Ets iiiii ϕϕπθπθ +=+= , (17.2)

где ii Es θcos1 = , ii Es θsin2 = - коэффициенты разложения по

ортонормированным функциям tfTt 01 2cos/2)( πϕ = и tfTt 02 2sin/2)( πϕ = .

Из равенства (17.2) следует, что 2=D в случае сигналов ФМ. Сигнальное

множество ФМ показано на рис 17.1 Сигнальные точки равномерно

расположены на окружности радиуса E , угол между радиусами,

соединяющими соседние сигнальные точки равен q/2π . Следовательно,

минимальное расстояние между сигналами равно )/sin(2 qE π=∆ .

is

iθ

kR

ks 1−qs

1s

0s

Рис.17.1 Сигнальное множество ФМ

Решающая область для -го ФМ сигнала представляют собой угол

величины

kR k

q/2π с вершиной в начале координат, биссектриса которого

проходит через точку (см. рис. 17.1). ks

Оценим вероятность ошибки для ФМ сигналов. Вероятность ошибки

вычисляется как

∑∑−

=

−

=

==1

0

1

0)(1)(

q

ie

q

iiee iP

qPiPP , (17.3)

где ) вероятность ошибки при передаче -го сигнала, вероятность

передачи -го сигнала,

(iPe i iP

i qPi /1= . Рассмотрим вычисление ) . По

определению ] , где - -ая решающая область, -

точка в сигнальном пространстве, соответствующая принятому сигналу.

Рассмотрим рис.17.2

(iPe

|Pr[)( iRiP ie ∉= r iR i nsr += i

is

1+is 1−is

1l1l2l

iR

Рис.17.2. К вычислению вероятности ошибки для ФМ

Нетрудно заметить, что

<=∉= ]| прямой левее лежит или прямой правее лежитPr[]|Pr[)( 21 illiRiP ie rrr

=+< ]| прямой левее лежитPr[]| прямой правее лежитPr[ 21 ilil rr

=<+<= +− ]|),(),(Pr[]|),(),(Pr[ 11 iddidd iiii srsrsrsr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

qNEQ

NQ

NQ πsin22

22 000

. (17.4)

При переходе от первой ко второй строке (17.4) использовано аддитивное

неравенство. Далее использовано общее выражение для вероятности

ошибочного приема в системе передачи с двоичными сигналами и выражение

для минимального расстояния сигналов ФМ. В итоге после подстановки (17.4) в

(17.3) получаем, что

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

qNEQPe

πsin220

. (17.5)

На рис. 17.3 показаны графики границы вероятности ошибки,

вычисленной по формуле (17.5).

eP

0/ NE , дБ

Рис.17.3 Граница вероятности ошибки для сигналов ФМ

Для сигналов ФМ номера сигналов обычно отображаются в сигнальные

точки с использованием кода Грея. В этом случае блоки двоичных данных,

соответствующие соседним сигнальным точкам, отличаются только в одной

позиции (см. пример для ФМ-8 на Рис.17.4).

100

101

111

110

010011

001

000

Рис.17.4 Сигнальное множество ФМ-8 (отображение в соответствии с кодом Грея)

Поскольку ошибочное решение относительно переданного сигнала наиболее

вероятно в пользу соседних сигналов, то оно будет приводить к ошибке только

в одном бите. Это значит, что доля ошибочных двоичных разрядов при

ошибочном решении равна mq /1log/1 2 = . Отсюда следует, что вероятность

ошибки на бит как функция от отношения сигнал/шум на бит задается

выражением

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<≈

qq

NEQ

qP

qP

biteb

πsinlog2log

2log

12

022

.

18. Частотная модуляция. Вероятность ошибки

Сигналы частотной модуляции (ЧМ) (frequency shift keying, FSK) имеют

вид

TttfTEts ii <<= 0,2cos/2)( π , (18.1)

где E энергия сигнала, T период следования сигналов, центральная частота

-го сигнала,

if

i Tlf ii /= , - целое, il 1,...,1,0 −= qi . Величины должны быть

различны при различных . При таком выборе центральных частот сигналы ЧМ

будут ортогональными.

il

i

Естественно выбрать в качестве базиса функции вида

tfTt ii πϕ 2cos/2)( = . Можно проверить, что

⎩⎨⎧

≠=

=−−

+++

=kiki

llll

llll

ki

ki

ki

kiki ,0

,1)(2

)(2sin)(2

)(2sin),(

ππ

ππ

ϕϕ .

Число базисных функций совпадает в этом случае с числом сигналов, то есть

. Тогда можно записать, что qD = )()( tEts ii ϕ= , а сигнальные точки тогда

будут иметь вид

),...,0,0(

...)0,...,0,,0(

)0,...,0,0,(

1

1

0

E

E

E

q =

=

=

−s

s

s

Сигнальное созвездие может быть изображено только в случаях и .

Наглядное описание решающих областей также возможно только в этих

случаях.

2=q 3=q

Оценим вероятность ошибки для ЧМ сигналов. Вероятность ошибки

вычисляется как

∑∑−

=

−

=

==1

0

1

0

)(1)(q

ie

q

iiee iP

qPiPP , (18.2)

где ) - вероятность ошибки при передаче -го сигнала, - вероятность

передачи -го сигнала, . Рассмотрим вычисление ) . Условная

вероятность ошибки может быть записана как

(iPe i iP

i qPi /1= (iPe

)(1)( iPiP ce −= , (18.3)

где ) вероятность правильного решения при передаче -го сигнала. При

оптимальном приеме в канале с АБГШ вероятность правильного приема

определяется как

(iPc i

]|),(min),(Pr[]|),(min),(Pr[)( 2

0

2

0iddiddiP kqkikqkic srsrsrsr

<≤<≤==== .

Это равенство можно переписать в виде

{ }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡<=

−

≠=

iddiPq

ikk

kic |),(),(Pr)(1

0

22I srsr .

Поскольку

ErEd jjjjj +−=+−=−= 2),(2),( 22222 rssrrsrsr ,

для любого 1,...,1,0 −= qj , то условие эквивалентно условию . Поэтому можно записать, что

),(),( 22ki dd srsr <

ki rr >

{ }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>=

−

≠=

irriPq

ikk

kic |Pr)(1

0I .

При передаче -го сигнала i ii nEr += , kk nr = , где , in kn 1,...,1,0 −= qk , , независимые гауссовские с.в. с параметрами ) . Следовательно,

ik ≠2/,0( 0N

{ }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>+=

−

≠=I

1

0

Pr)(q

ikk

kic nnEiP ,

или, переходя к нормированным переменным 2// 0Nnii =η , 2// 0Nnkk =η ,

{ }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>+=

−

≠=I

1

00/2Pr)(

q

ikk

kic NEiP ηη .

Здесь iη , kη , , 1,...,1,0 −= qk ik ≠ , независимые гауссовские с.в. с параметрами

)1,0( .

Для получения результата поступим следующим образом: 1) зафиксируем значение iNEz η+= 0/2 , 2) найдем значение вероятности

{ }[ ]I1

,0Pr −

≠=>

q

ikk kz η , и 3) усредним по значению iNEz η+= 0/2 .

{ } { } dzezNEiP NEzq

ikk

k

q

ikk

kic2/)/2(

1

0

1

00

20

21Pr/2Pr)( −−

∞

∞−

−

≠=

−

≠=

∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>+=

πηηη II . (18.4)

Далее,

{ } ( ) ( ) .)(1)(1]Pr[Pr1

0

11

0

1

0∏∏−

≠=

−−

≠=

−

≠=

−=−=>=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>

q

ikk

qq

ikk

k

q

ikk

k zQzQzz ηηI (18.5)

Подстановка (18.5) в (18.4) и далее в (18.3) и в (18.2) дает в результате

( ) dzezQP NEzqe

2/)/2(1 20

21)(11 −−

∞

∞−

−∫ −−=π

. (18.6)

Формула (18.6) дает точное значение вероятности ошибки, но его

вычисление требует численного интегрирования. Для этой вероятности можно

легко получить просто вычисляемую верхнюю границу. Ее вывод основан на

использовании аддитивного неравенства. Условная вероятность ошибки может

быть найдена как

{ }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>=

−

≠=

iddiPq

ikk

kie |),(),(Pr)(1

0

22U srsr .

Применяя аддитивную границу, имеем

=<+=<=>≤ ∑∑∑−

≠=

−

≠=

−

≠=

1

0

1

0

1

0

22 ]Pr[]|Pr[]|),(),(Pr[)(q

ikk

ki

q

ikk

ki

q

ikk

kie nnEirriddiP srsr

( ) ( )00

1

0

1

00 /)1(/]/2Pr[ NEQqNEQNE

q

ikk

q

ikk

ki −==<+= ∑∑−

≠=

−

≠=

ηη .

И окончательно,

( )0/)1( NEQqPe −≤ . (18.7)

Граница (18.7) вычисляется гораздо проще, чем точное значение (18.6).

Точность оценки (18.7) во многих случаях оказывается вполне приемлемой.

Заметим также, что при граница и точное значение совпадают. На рис.

18.1 показаны графики вероятности ошибки (сплошная линия) и оценки

вероятности ошибки (пунктир) в зависимости от отношения сигнал/шум.

2=q

eP

дБ ,/ 0NE

Рис.18.1 Вероятность ошибки и граница вероятности ошибки для сигналов ЧМ

Рассмотрим вывод выражения для вероятности ошибки на бит. Ранее

было показано, что вероятность ошибки на бит может быть вычислена как

∑∑−

=

−

≠=

=1

0

1

'0'

)',()',(1 q

i

q

iii

ieb PiiniiPm

P ,

где ) - вероятность принятия решения в пользу сигнала с номером при

условии, что был передан сигнал с номером ,

',( iiPe 'i

i ii ≠' , число разрядов, в

которых различаются двоичные представления номеров сигналов и . При

использовании ортогональных сигналов и, в частности, сигналов ЧМ,

)',( iin

i 'i

)1/()()',( −= qiPiiP ee

для всех . Тогда ii ≠'

∑ ∑∑∑−

=

−

≠=

−

=

−

≠= −

=−

=1

0

1

'0'

1

0

1

'0'

)',()()1(

1)',(1)(1 q

i

q

iii

ie

q

i

q

iii

ie

b iinPiPqm

Piinq

iPm

P . (18.8)

Рассмотрим сумму . Пусть ∑−

≠=

1

'0'

)',(q

iii

iin j - число различий в двоичной записи

величин i и ; ясно, что . Тогда легко заметить, что 'i mj ≤≤1

∑∑=

−

≠=

=m

j

jm

q

iii

jCiin1

1

'0'

)',( ,

и далее

∑∑∑∑====

=−−−−

−=

−−=

−=

m

j

m

j

m

j

m

j

jm jmj

mmjmj

mjmj

mjjC1111 ))!1()1(()!1(

)!1()!()!1(

!)!(!

!

1

1

01

1

11 2 −

−

=−

=

−− === ∑∑ m

m

l

lm

m

j

jm mCmCm ,

то есть

11

'0'

2)',( −−

≠=

=∑ mq

iii

miin .

Подставляя полученное выражение в (18.8) и принимая во внимание, что

имеем для ортогональных сигналов mq 2=

em

m

b PP12

2 1

−=

−

.

Заметим, что для двоичных сигналов, то есть когда 2=q и 1=m , , а при

. eb PP =

1>>q 2/eb PP ≈ Отношение сигнал/шум на бит 00 /)/1(/ NEmNEb = , поэтому

окончательное выражение для вероятности ошибки на бит, как следует из формулы (18.6), имеет вид

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= −−

∞

∞−

−−

∫ dzezQP NmEzqm

m

bb 2/)/2(1

12

0

21)(11

122

π.

19. Предельные характеристики достижимые при использовании ортогональных сигналов

Рассмотрим передачу с использованием ортогональных сигналов. Пусть

)()( tEts ii ϕ= , где )(tiϕ , 1,...,1,0 −= qi , - ортонормированные функции,

заданные на интервале , ],0[ T E -энергия сигнала. В качестве базисных

функций могут рассматриваться, в частности, отрезки гармоник

соответствующим образом выбранных различных частот. Получающиеся при

этом сигналы соответствуют сигналам ЧМ.

Выражение для вероятности ошибки, полученное при рассмотрении ЧМ,

справедливо для любых ортогональных сигналов и имеет вид

( ) dzezQP NEzqe

2/)/2(1 20

21)(11 −−

∞

∞−

−∫ −−=π

(19.1)

и, кроме того

( )0/)1( NEQqPe −≤ . (19.2)

Рассмотрим передачу при различных значениях . Число двоичных

единиц (бит), переносимых -ичным сигналом, равно

q

q qm 2log= . При этом

энергия, приходящаяся на один переданный бит, равна mEEb /= ; определим

также отношение сигнал/шум на бит . Логично рассмотреть вероятность

ошибки на бит в отличие от вероятности ошибки на символ (сигнал) и

построить зависимость от при различных . Ранее было показано,

что вероятность ошибки на бит может быть вычислена как

0/ NEb

bP eP

bP 0/ NEb q

em

m

b PP12

2 1

−=

−

. (19.3)

Заметим, что для двоичных сигналов, то есть когда 2=q и 1=m , , а при

2 . Из (19.1) и (19.4) следует, что eb PP =

1>>q /eb PP ≈

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= −−

∞

∞−

−−

∫ dzezQP NmEzqm

m

bb 2/)/2(1

12

0

21)(11

122

π.

На рис. 19.1 показаны графики вероятности ошибки на бит в зависимости от

отношения сигнал/шум на бит.

bP

дБ,/ 0NEb

Рис.19.1 Вероятность ошибки на бит для ортогональных сигналов

Как следует из рассмотрения графиков, вероятность ошибки на бит убывает с

ростом числа сигналов, если отношение сигнал/шум на бит оказывается не

слишком малым. Оценим величину этого порогового значения. Для этого,

основываясь на оценке (19.2), получим соответствующую оценку для . Из

(19.2) и (19.3) следует, что

bP

( )01 /2 NmEQP b

mb

−≤ . Используя оценку , получим /)2/exp()( 2xxQ −< 2

( ) 4/)2ln2/)(2/(exp)/)2/(exp(2 002 −−=−< − NEmNEmP bb

mb . (19.4)

Последнее равенство означает, что если 2 1ln2/ 0 >NEb (что соответствует

только 1.41 дБ!), то вероятность ошибки может быть сделана сколь угодно

малой при возрастании . Из этого утверждения можно было бы сделать

вывод о возможности построения сколь угодно надежного метода передачи с

использованием ортогональных сигналов. Например, если дБ, то

при 50 из (19.4) следует, что ; если же взять , то

m

2

/ 0 =NEb

=m 7102 −⋅<bP 80=m

1 На самом деле пороговое значение отношения сигнал/шум на бит равно не 2ln2 а ln2 (-1.59 дБ). Неточность в определении порогового значения связана с использованием сравнительно слабой границы вероятности ошибки.

11103 −⋅<bP . На практике такой метод оказывается нереализуемым. При

увеличении экспоненциально возрастает число ортогональных сигналов, т.к.

. В рассмотренных примерах число сигналов равно и

соответственно. Это приводит к экспоненциальному возрастанию полосы

частот, требуемой для передачи и экспоненциальному возрастанию сложности

формирования и приема сигналов. Практически реализуемые методы передачи

с использованием ортогональных сигналов основываются на применении

сигналов из сравнительного небольшого алфавита и формировании из них

длинных последовательностей (кодирования). При возрастании длины этих

последовательностей можно добиться требуемой надежности передачи без

неприемлемого расширения полосы частот и увеличения сложности обработки.

mmq 2= 15101.1 ⋅ 24102.1 ⋅

20. Сравнительная характеристика АМ, КАМ, ФМ и ЧМ.

Сигналы АМ имеют вид

)()( tAts ii !" ,

где # $)1/(21 %%" qiEAi , 1,...1,0 %" qi , E - максимальная энергия сигналов.

Сигналы КАМ могут быть представлены в виде

)()()( 2211 tststs iii !! &" ,

где # $)1/(21 11 %%" qiAsi , # $)1/(21 22 %%" qiAsi , 1,...,1,0, 21 %" qii .

Сигналы ФМ имеют вид

ФМ: )/22cos(/2)( 0 qitfTEtsi '' %" ,

где 1,...1,0 %" qi , E - энергия сигналов. И, наконец, выражение для ЧМ сигналов

tfTEts ii '2cos/2)( " ,

где E энергия сигнала, if несущая (центральная) частота i -го сигнала,

fi iff (&" 0 , 0f - частота 0-го сигнала, причем Tlf /0 " , где l целое число, а

f( частотный интервал, разделяющий соседние несущие. Величины f( и 0f

должны быть выбраны так, чтобы сигналы были ортогональными.

Вид сигналов АМ и КАМ во временной области зависит от вида

базисных функций, используемых для их представления. Предположим, что в

качестве базисных функций выбраны отрезки гармоник: для АМ отрезок

синусоиды длительности T с частотой 0f , а для КАМ отрезки синусоиды и

косинусоиды длительности T с частотой 0f . Тогда во всех рассматриваемых

здесь видах модуляции используются сигналы представляющие собой отрезки

гармонического колебания длительности T . На рис. 20.1 показаны примеры q -

ичных, 16"q , сигнальных последовательностей длины 8, соответствующих

передаче одной и той же последовательности сообщений. Отметим некоторые

очевидные особенности представленных сигнальных последовательностей.

Сигналы ФМ и ЧМ имеют постоянную амплитуду и, следовательно,

постоянную энергию. Сигналы АМ, КАМ и ФМ передаются с использованием

одной несущей частоты, а для передачи ЧМ требуется несколько частот.

Поэтому АМ, КАМ и ФМ относятся к узкополосным методам модуляции, а ЧМ

к широкополосным. По внешнему виду сигналы АМ и КАМ близки; для АМ

существует два варианта изменения фазы в момент смены сигналов: изменение

на противоположную и сохранение предыдущего значения. Для КАМ это

изменение возможно в более широких переделах. Последнее утверждение

справедливо и для ФМ.

Важным является сравнение видов модуляции по их энергетической

эффективности. Рассмотрим значение отношения сигнал/шум требуемое для

достижения фиксированного значения вероятности ошибки eP , скажем

510%"eP , и исследуем изменение этого значения с увеличением числа сигналов

q и связанного с ним значения числа бит, переносимых одним сигналом,

)(log2 qm " . Эти данные представлены в таблице 20.1

Рис.20.1 Примеры сигнальных последовательностей АМ, КАМ, ФМ и ЧМ(сверху вниз)

Таблица 20.1

Отношение сигнал/шум, дБ, требуемое для достижения 510%"eP

24

""

mq

38""

mq

416""

mq

532""

mq

664""

mq

7128""

mq

ЧМ 13 15

АМ 17.6 23.8 29.9 35.9 42.0 48.0

ФМ 12.9 18.2 24.1 30.1 36.1

КАМ 12.9 18.0 20.6 23.8 26.8 29.9

Из приведенных в таблице 20.1 данных следует, что для увеличения m

на 1 при сохранении значения вероятности ошибки требуется увеличить

отношение сигнал шум для АМ примерно на 6дБ, для ФМ тоже примерно на 6

дБ, для КАМ примерно на 3дБ. Для ЧМ это увеличение измеряется долями дБ.

На рис. 20.2 приведены эти зависимости. Из приведенных данных следует, что

наибольшей энергетической эффективностью обладает ЧМ, потом идут КАМ,

ФМ и АМ.

Рассмотрим теперь спектральную эффективность, или удельную

скорость передачи. Эта величина определяется как WVVуд /" , где

TmTqV //log2 "" - скорость передачи, бит/с, а W - ширина полосы частот.

Рис.20.2 Энергетическая эффективность различных видов модуляции

Для сигналов КАМ, АМ, ФМ, полученных на основе отрезков гармоник с

прямоугольными огибающими TW /2) ; заметим, что ширина полосы в этом

случае не зависит от объема сигнального алфавита. Для ЧМ сигналов с

прямоугольными огибающими и несущими, выбранными с постоянным шагом

по частоте, fqTW (%&" )1(/2 , где f( - частотный интервал между соседними

несущими. Известно, что минимальное значение )2/(1 Tf "( (в общем случае

для обеспечения ортогональности сигналов ЧМ нужно чтобы выполнялось

условие )2/( Tlf "( , где l целое). Тогда для полосы частот, занимаемой ЧМ

сигналами, имеем выражение

TTq

Tq

TW

m

232

23

212 &

"&

"%

&" .

В итоге

*+

*,

-

&

"ЧМ для,

322

ФМ АМ, КАМ, для,2

m

уд m

m

V

Графики для удельной скорости передачи для этих видов модуляции показаны

на рис. 20.3.

Рис.20.3 Спектральная эффективность различных видов модуляции

Из приведенного графика видно, что наименьшей спектральной

эффективностью (удельной скоростью передачи) обладает ЧМ, а КАМ, АМ и

ФМ по этому показателю эквивалентны. Таблица 20.2 содержит основные

параметры сигналов рассмотренных видов модуляции.

Таблица 20.2

Основные параметры сигналов АМ, КАМ, ФМ и ЧМ

Скорость

V , бит/сПостоянная

амплитуда

Полоса

W , ГцудV ,

бит/(c.Гц)

Место по

энергетич.

эффект.

Место по

спектр.

эффект.

Размерность

АМ Tq /log2 - T/2 2/m 4 1-3 1

КАМ Tq /log2 - T/2 2/m 2 1-3 2

ФМ Tq /log2 + T/2 2/m 3 1-3 2

ЧМ Tq /log2 +T

q2

3&32

2&m

m 1 4 q

20-1. Частотное разделение с использованием ортогональных несущих

(OFDM)

Сигналы OFDM (OFDM = Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

формируются как сумма сигналов КАМ (или ФМ), передаваемых на различных

несущих частотах. Общая полоса частот, отведенная для передачи, делится на

параллельных частотных подканалов, число которых на практике может

лежать в пределах от нескольких десятков до нескольких тысяч. В подканале с

номером , , передается сигнал вида

N

n 1,...,1,0 −= Nn

tfT

stfT

sts nn

inn

in

i ππ 2sin22cos2)( )(2

)(1

)( += , Tt ≤≤0 , (20-1.1)

где T – длительность сигнала, – несущая частотаnf 1, используемая для

передачи в -ом частотном подканале, n 1,...1,0 −= nqi , – число сигналов,

используемых в -ом подканале. На практике все величины обычно равны

между собой, но в общем случае они могут быть различными: например, в части

подканалов может использоваться КАМ-16, а в другой части подканалов

КАМ-4. Пара коэффициентов находится во взаимно-однозначном

соответствии с индексом и определяет -ую точку в двумерном сигнальном

созвездии КАМ или ФМ, используемом в -ом подканале.

nq

n nq

),( )(2

)(1

ni

ni ss

i i

n

Обозначим индекс сигнала передаваемого в -ом подканале как ,

. Пусть – набор этих индексов (мультииндекс), то есть

. Тогда совокупный OFDM сигнал, соответствующий

мультииндексу i , определяется как сумма сигналов в подканалах

n ni

1,...,2,1,0 −= nn qi i

),...,,( 110 −= Niiii

∑−

=

=1

0

)( )()(N

n

ni tstsni (20-1.2)

Общее число OFDM сигналов равно числу различных мультииндексов , то

есть . Значение мультииндекса может рассматриваться как

сообщение, подлежащее передаче. Тогда очевидно, что скорость передачи

(информационная скорость) равна

q i

110 ... −= Nqqqq

1 Эти частоты иногда называют поднесущими частотами (subcarrier)

∑−

=

==1

022 log1log1 N

nnq

Tq

TV , бит/с.

Передаваемое сообщение представляет собой значение мультииндекса, то есть

блок из бит. Он разбивается на подблоков длиной ,

, и -ый подблок, то есть величина задает номер пары

, которая определяет КАМ или ФМ сигнал, передаваемый в -ом

подканале. Очевидно, что один сигнал OFDM может переносить много бит

информации. Например, при числе подканалов

∑ −

=

1

0 2logN

n nq N nq2log

1,...,2,1,0 −= Nn n ni

),( )(2

)(1

ni

ni ss n

64=N и КАM-16 в каждом

подканале сигнал OFDM переносит 256464log 02 =⋅=qN бит. Значение

мультииндекса представляет собой в этом случае любую 256-битную

последовательность.

Несущие частоты выбираются так, чтобы подканалы были

ортогональными, то есть чтобы выполнялись условия

nf

∫∫⎩⎨⎧

≠=

==T

kn

T

kn knkn

tdtfTtfTtdtfTtfT00 ,0

,12sin/22sin/22cos/22cos/2 ππππ

и

02sin/22cos/20

=∫T

kn tdtfTtfT ππ для всех kn, .

Это условие достигается, если fn nff ∆+= 0 , где Tlf /00 = , – целое число

или , и , – целое. Минимальный шаг по частоте , при

котором достигается ортогональность подканалов, равен . Тогда полоса

частот, занимаемая совокупным OFDM сигналом, равна

0l

10 >>l Tlf /=∆ l f∆

T/1

TNTNTNTW f /)1(/)1(/2)1(/2 +=−+=∆−+= .

Отсюда следует, что OFDM сигналы являются широкополосными2 сигналами;

их спектр лежит в диапазоне от Tf /10 − до TNf /0 + .

Удельная скорость передачи (эффективность использования полосы) при

использовании OFDM равна

∑−

=+==

1

02уд log

11/

N

nnq

NWVV .

2 Напомним, что широкополосными называются сигналы, для которых . 1>>WT

Рассмотрим частный случай, когда во всех подканалах передается одинаковое

число сигналов, то есть , 0qqn = 1,...,2,1 −= Nn . Тогда

mqqN

NV =→+

= 0202уд loglog1

при . 1>>N

Последнее соотношение означает, что OFDM обладает очень высокой удельной

скоростью, то есть очень эффективно использует полосу частот (ср. с

данными, приведенными в Табл. 20.2).

В канале с АБГШ вероятность ошибки при оптимальном приеме OFDM

сигналов может быть легко оценена. Поскольку несущие частоты в подканалах

выбраны так, что обеспечивается ортогональность, то искажения, возникающие

из-за влияния АБГШ, независимы в различных подканалах. Поэтому

вероятность ошибки (вероятность неправильного определения значения

мультииндекса на приемной стороне) легко может быть найдена следующим

образом

i

∏−

=

−−=1

0

)( )1(1N

n

nee PP ,

где - вероятность ошибки в )(neP −n ом подканале, то есть вероятность

ошибки КАМ или ФМ сигналов (см. соответствующие выражения в разделах о

КАМ и ФМ).

Формирование и прием OFDM сигналов. Формирование и прием OFDM

сигналов может выполняться:

– непосредственным путем по формулам (20-1.1) и (20-1.2);

– более эффективным цифровым способом с использованием быстрого

преобразования Фурье (БПФ), (Fast Fourier Transform, FFT) .

Идея цифрового способа формирования OFDM сигнала состоит в том,

что в цифровой форме вычисляются значения отсчетов сигнала в моменты

времени NTNNTNTt /)1(,...,/2,/,0 −= , а затем с помощью цифро-

аналогового преобразования и интерполяции восстанавливается сигнал в

непрерывной форме. Рассмотрим этот алгоритм более подробно.

Сигнал OFDM имеет вид

( )∑−

=

+=1

0

)(2

)(1 2sin2cos2)(

N

nn

nin

ni tfstfs

Tts

nnππi .

Обозначим . Покажем, что )(2

)(1

)( ni

ni

ni nnn

jssX −=

∑−

=

=1

0

2)(Re/2)(N

n

tfjni

n

neXTts π

i . (20-1.3)

Действительно,

( )( )∑∑−

=

−

=

− =+−=1

0

)(2

)(1

1

0

2)( 2sin2cosN

nnn

ni

ni

N

n

tfjni tfjtfjsseX

nn

n

nπππ

( ) (∑∑−

=

−

=

+−++=1

0

)(1

)(2

1

0

)(2

)(1 2sin2cos2sin2cos

N

nn

nin

ni

N

nn

nin

ni tfstfsjtfstfs

nnnnππππ ),

откуда следует выражение (20-1.3). Поскольку Tnfnff fn /00 +=∆+= , где

, то из (20-1.3) следует, что 1,...,1,0 −= Nn

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑

−

=

−

=

+1

0

)/(2)(21

0

)/(2)( 00 /2ReRe/2)(N

n

tTnjntfjN

n

tTnffjni eXeTeXTtsn

πππii . (20-1.4)

Обозначим

∑−

=

=1

0

)/(2)()(N

n

tTnjni eXtxn

πi . (20-1.5)

Функция принимает комплексные значения и может быть представлена в

виде . Тогда из равенств (20-1.4) и (20-1.5) следует,

что

)(txi

)(Im)(Re)( txjtxtx iii +=

( )=++= ))(Im)()(Re2sin/22cos/2(Re)( 00 txjtxtfTjtfTts iii ππ

tfTtxtfTtx 00 2sin/2)(Im2cos/2)(Re ππ ii −= .

Последнее выражение означает, что для формирования OFDM сигнала,

зависящего от значения мультииндекса , нужно уметь вычислять значения

функций и для

i

)(Re txi )(Im txi Tt <<0 .

Рассмотрим отсчеты функции в моменты ,

, то есть величины

)(txi NkTt /=

1,...,1,0 −= Nk

∑−

==

==1

0

/2)()(/

)(N

n

NnkjnkNkTt

eXxtx πiii .

Тогда легко заметить, что комплексный вектор ( ))1()1()0( ,...,, −= Nxxx iiiix

представляет собой дискретное преобразование Фурье (ДПФ)3 комплексного

3 Прямое и обратное ДПФ определяются как

и ∑−

=

−=1

0

/2)()(N

k

Nnkjkn exX π ∑−

=

=1

0

/2)()( 1 N

n

Nnkjnk eXN

x π соответственно.

вектора ( ))1()1()0( ,...,, −= NXXX iiiiX . При определенных значениях длины

преобразования , в частности когда , - целое, получение вектора

из вектора может быть выполнено очень эффективно с использованием

быстрого преобразования Фурье (БПФ).

N pN 2= p ix

iX

Поэтому формирование OFDM сигнала выполняется так:

– по значению мультииндекса вычисляются величины , ,

(отображение КАМ или ФМ) и формируется вектор

i )(nX i 1,....1,0 −= Nn

( ))1()1()0( ,...,, −= NXXX iiiiX ;

– по вектору вычисляется комплексный вектор (быстрое ДПФ); iX ix

– по и восстанавливаются непрерывные сигналы и

(цифро-аналоговое преобразование и интерполяция);

ixRe ixIm )(Re txi )(Im txi

– формируется OFDM сигнал как tfTtxtfTtx 00 2sin/2)(Im2cos/2)(Re ππ ii − .

Иллюстрация показана на рис.20-1.1.

Формированиевектора iX

КАМ (ФМ) отображение

0i ),( 21 00 ii ss

),( 21 21 ii ss

),( 21 11 −− NN ii ss

1i

КАМ (ФМ) отображение

КАМ (ФМ) отображение

ОБПФ

ix

ixRe

ixIm

Цифровая обработка

ЦАП ×

×

tfT 02sin2 π−

+

ЦАП

tfT 02cos2 π

1−Ni

)(tsi

Рис. 20-1.1 Схема формирования OFDM сигнала

Рассмотрим поясняющий пример со значениями параметров близкими к

реальным (стандарт IEEE 802.11b для локальных беспроводных сетей). Пусть

число подканалов и в каждом подканале используется КАМ-16. Пусть

частотный интервал между соседними несущими равен кГц,

следовательно, длительность сигнала равна

64=N

312.5=∆ f

312500/1=T =3.2мкс. Положим

также значение минимальной несущей 4.20 =f ГГц. Каждый сигнал переносит

в этом случае 25616log64 2 =× бит за время 3.2 мкс, то есть скорость передачи

составляет 80 Мбит/с. Заметим, что реальная скорость передачи,

обеспечиваемая стандартом, значительно меньше указанного значения из-за

потерь в скорости требуемых для обеспечения работы всей системы (временные

защитные интервалы, управление, помехоустойчивое кодирование и др.). На

рис. 20-1.2 и 20-1.3 показаны графики, иллюстрирующие формирование OFDM

сигнала с указанными параметрами для некоторого случайного

информационного набора из 256 бит.

0 1 2 3

x 10-6

-0.5

0

0.5

t, c

Re xi, Re xi(t)

0 1 2 3

x 10-6

-1

-0.5

0

0.5

1

t, c

Im xi, Im xi(t)

0 1 2 3

x 10-6

-0.5

0

0.5

t, c

Re xi(t) cos2πf0t

0 1 2 3

x 10-6

-1

-0.5

0

0.5

1

t, c

Im xi(t) sin2πf0t

a) b)

c) d)

Рис. 20-1.2 Компоненты OFDM сигнала. Пример.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-6

-1

-0.5

0

0.5

1

t, c

si(t)

Рис.20-1.3 Пример OFDM сигнала

Схема приемника OFDM сигнала показана на рис. 20-1.4

БПФ

Формирование

вектора sc jrr +

)0(X cr

sr

X

)1(X

)1(ˆ −NX

Решение КАМ (ФМ)

0i

Решение КАМ (ФМ)

1i

Решение КАМ (ФМ)

Цифровая обработка

1ˆ

−Ni

АЦП

)(tr

×

×

tfT 02sin2 π

ФНЧ

ФНЧ

tfT 02cos2 π

АЦП

Рис. 20-1.4. Схема приема OFDM сигнала

Поясним работу этой схемы. После умножения принятого сигнала на

гармонические функции и НЧ фильтрации получаются низкочастотные

компоненты сигнала. Они соответствуют непрерывным функциям,

показанным на частях а) и b) рис. 20-1.2. Аналого-цифровые преобразования

формируют векторы и , состоящие из отсчетов. Из векторов и

строится комплексный вектор

cr sr N cr sr

sc jrr + и подвергается обратному

преобразованию Фурье (БПФ). В результате получается комплексный вектор

. По величинам )ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ )1()1()0( −= NXXXX )(ˆ nX строятся решения ,

.

ni

1,...,1,0 −= Nn

21. Тактовая синхронизация. Устройство установлениятактовой синхронизации

Схема оптимального приемника содержит корреляторы либо

согласованные фильтры, соединенные с устройством взятия отсчетов (см. рис.

21.1)

Работа этих устройств должна быть синхронизирована с поступающей из

канала последовательностью: должны быть точно известны моменты начала и

конца интегрирования в случае использования корреляторов или моменты

взятия отсчетов при использовании приемника с согласованными фильтрами. В

обоих случаях достаточным будет знание в точке приема моментов времени

,...4,3,2, TTTT . Получение этих моментов времени (“меток времени”)

называется синхронизацией. Возможны следующие подходы к установлению

синхронизации: 1) использование общего внешнего источника сигналов точного

времени для передатчика и приемника; 2) передача меток времени по

отдельному каналу; 3) получение меток времени из принятой сигнальной

последовательности. Очевидно, что наиболее практически значимым является

третий подход. Иллюстрация показана на рис.21.2.

Существует ряд подходов к решению задачи установления тактовой

синхронизации. Рассмотрим один из них. Ограничимся случаем передачи

двоичных противоположных сигналов по каналу с АБГШ.

!T

dt0

"

)(tsi

)(thi

Tа) б)

Рис.21.1 Коррелятор (а) и согласованный фильтр с устройством взятияотсчетов (б).

Предположим, что временной сдвиг (ошибка синхронизации) # равномерно

распределен на интервале ],0[ T , и на интервале наблюдения NT этот сдвиг

постоянен. Возьмем на длительности сигнала n отсчетов и будем оценивать

этот временной сдвиг с точностью до величины nT / , то есть будем оценивать

величину nmTm /$# , где 1,...,1,0 %$ nm . Обозначим значение i -го отсчета

принятого сигнала на %j ом интервале наблюдения как )(ijr , Nj ,...,2,1$ ,

ni ,..,2,1$ . Обозначим последовательность отсчетов принятой сигнальной

последовательности как

),...,,,...,,...,,,,...,,( )()2()1()2()22()12()1()21()11( nNNNnn rrrrrrrrr$r .

Можно записать также, что ),...,,( )()2()1( Nrrrr $ , где ),...,,( )()2()1()( njjjj rrr$r .

Обозначим также отсчеты сигнала в пределах одного j -го сигнального

интервала как )()(m

ijs # . Каждый отсчет выходного сигнала канала может быть

записан как)()()( )( ij

mijij nsr &$ # ,

где )(ijn - отсчет шума, соответствующий i -му отсчету j -го сигнала в

последовательности. Все )(ijn - независимые гауссовские случайные величины,

и 0)( $ijn , 22)( )( '$ijn . Обозначим вектор отсчетов сигнальной

последовательности, взятых в пределах j -го интервала, как

))(),...,(),(()( )()2()1()(m

njm

jm

jm

j sss #### $s .

Оптимальное решение (решение по максимуму апостериорной

вероятности) относительно m# вычисляется как

Устройствоустановлениясинхронизации

Метки времени

T 2T 3T 4T 5T …

Оптимальныйприемник

)(tr

Рис.21.2 Установление синхронизации по принятому сигналу

)|(maxarg rmm Pm

###

$! ,

где )|( rmP # - апостериорное распределение величины m# , 1,...,1,0 %$ nm . По

формуле Байеса имеем

)|()()(

)|( mm

m ww

PP ##

# rr

r $ .

Поскольку величина m# распределена равномерно, то есть nP m /1)( $# , то

очевидно, что оптимальная оценка может быть получена как

)|(maxarg mm wm

###

r$! . (21.1)

Плотность вероятностей )|( mw #r может быть записана как

($

$N

jm

jm ww

1

)( )|()|( ## rr .

Для плотности )|( )(m

jw #r имеем следующее выражение (формула полной

вероятности)

1)(

0)()( ),1|(),0|()|( PwPww m

jm

jm

j ### rrr &$ , (21.2)

где ,0P 1P - вероятности передачи нуля и единицы соответственно, ),0|( mw #r ,

),1|( mw #r - условные плотности вероятностей величины r при передаче нуля и

единицы при фиксированном временном сдвиге m# . При передаче

противоположных сигналов в канале с АБГШ имеем

))*

+,,-

. %%$))

*

+,,-

. %%$ /(

$$

n

i

mijijn

i

mijij

mj sr

Ksr

w1

2

2)()(

12

2)()(

2

)(

2))((

exp2

))((exp

21),0|(

'#

'#

0'#r

и

))*

+,,-

. &%$))

*

+,,-

. &%$ /(

$$

n

i

mijijn

i

mijij

mj sr

Ksr

w1

2

2)()(

12

2)()(

2

)(

2))((

exp2

))((exp

21),1|(

'#

'#

0'#r

где . При записи этих выражений учтено, что отсчеты сигналов,

соответствующих передаче нуля и единицы, различаются только знаком. Далее,

с учетом этих выражений из равенства (21.2) следует, что

2/2 )2( nK −= πσ

∏ ∑∑= ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

N

j

n

i

mijijn

i

mijij

Nm

srPsrPKw1 1

2

2)()(

11

2

2)()(

0 2))((

exp2

))((exp)|(

στ

στ

τr ,

Полагая сигналы равновероятными, то есть 2/110 == PP , получим

∏ ∑∑= ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

N

j

n

i

mijijn

i

mijij

msrsrKw

1 12

)()(

12

)()(

1)(

exp21)(

exp21)()|(

στ

στ

τ rr , (21.3)

где

∏ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

N

j

n

i

mijij srKK

1 12

2)(2)(

1 2))(()(

exp)(σ

τr ,

множитель, не зависящий от величины mτ . Используя определение функции

гиперболического косинуса 2 , получим из (21.3) /)()cosh( xx eex −+=

∏ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

N

j

n

i

mijij

msrKw

1 12

)()(

1)(cosh)()|(

σττ rr .

Поэтому, оптимальная оценка величины временного сдвига может быть

получена как

∑ ∑∏ ∑= == =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

N

j

n

i

mijijN

j

n

i

mijij

msrsr

mm 1 12

)()(

1 12

)()( )(coshlogmaxarg)(coshmaxargσ

τσ

ττττ

) .

Рассмотрим величину . Нетрудно заметить, что ∑=

∆

=n

im

ijijm

j srY1

)()()( )()( ττ

∫∑−

−−=

+−−≈=m

m

jT

Tjm

n

im

ijijm

j dtTjtstrCsrYτ

τ

τττ)1(1

)()()( ))1(()()()( ,

где - некоторая константа; то есть это значение пропорциональное

может быть вычислено с использованием коррелятора, похожего на показаный

C )()(m

jY τ

на рис.21.1а. Ранее отмечалось, что коррелятор может быть реализован с

использованием согласованного фильтра. Пусть )()( tTsth %$ импульсная

переходная характеристика фильтра согласованного с сигналом )(ts . Заметим,

что импульсная переходная характеристика фильтра )(th имеет конечную

длительность. Обозначим сигнал на выходе согласованного фильтра как )(ty .

Он равен

!!3

3%

3

3%

&%$%$4$ 111111 )()()()()()()( dtttTstrdttthtrthtrty .

С учетом конечной длительности импульсной переходной характеристики

фильтра имеем

!%

&%$t

Tt

dtttTstrty 111 )()()(

Тогда очевидно, что )()()(mm

j jTCyY ## %$ , то есть требуемое значение может

быть получено как отсчет сигнала на выходе согласованного фильтра, взятый в

момент mjT #% .

Таким образом, устройство установления синхронизации должно иметь в

своем составе согласованный фильтр, нелинейный элемент с характеристикой

)cosh(log 5 , устройства взятия отсчетов, накопители и блок выбора максимума.

Схема показана на рис.21.3. Заметим, что нелинейная функция )cosh(log 5 на

практике с успехом может быть заменена более простой в реализации функцией

взятия модуля || 5 . Основанием для такой замены является соотношение

2log)cosh(log %2 xx при не слишком малых x .

НакоплениеN отсчетов

Замыкание в моменты

0#%jT

НакоплениеN отсчетов

Замыкание в моменты

1#%jT

НакоплениеN отсчетов

Замыкание в моменты

1%% njT #

)cosh(log 5или

|| 5)(th

Выбормаксимума

m#!

Рис.21.3 Устройство оптимальной оценки временного сдвига

22. Влияние неточности тактовой синхронизации на вероятность ошибки

Предположим, что синхронизация установлена с ошибкой τ . Оценим

влияние неточно установленной синхронизации на вероятность ошибки. Как и

прежде ограничимся рассмотрением двоичной передачи с использованием

противоположных сигналов. Обозначим )()( tAts ii ϕ= , где EA −=0 , EA =1 ,

)(tϕ - нормированная функция, определенная на интервале ] . При

синхронизации, установленной с ошибкой

,0[ T

τ , приемник может быть описан

схемой, показаной на рис.22.1. Заметим, что при 0=τ эта схема в точности

соответствует оптимальному приемнику.

)( τϕ −t

Рассмотрим передачу двух последовательно идущих сигналов. Их можно

описать как и ) , где , - амплитуды текущего и

следующего сигналов соответственно,

()1( tA ϕ ()2( TtA −ϕ )1(A )2(A

EA ±=1( , .A )2() Пусть как обычно

обозначает АБГШ. Тогда величина на выходе коррелятора может быть найдена

как

)(tn

)

ndttTtAdtttAdtttrT

T

TT

+−−+−=−= ∫∫∫++ τ

τ

τ

ττ τϕϕτϕϕτϕξ )()()()()()( )2()1( ,

Рис.22.1 Оптимальный прием противоположных сигналов при неточно установленной синхронизации

× ∫+τ

τ

T

dtСравнение с нулевым порогом

i))(tr

где - гауссовская с.в. с нулевым средним и дисперсией

. Для дальнейшего рассмотрения требуется ввести некоторые

обозначения. Пусть

∫+

−=τ

ττϕ

Tdtttnn )()(

2/0N

∫ −=T

dtttRττ τϕϕ )()()1( (22.1)

и

∫+

−−=τ

τ τϕϕT

TdttTtR )()()2( . (22.2)

Очевидно, что , , , 1)1(0 =R 0)2(

0 =R 0)1( =TR .1)2( =TR

Оценим вероятность ошибки. Как обычно сигналы предполагаются

равновероятными, поэтому 2/))1()0(( eee PPP += , где , условные

вероятности ошибки при передаче нуля и единицы соответственно. Рассмотрим

вероятность ) . Легко видеть, что при передаче нуля и при фиксированном

значении амплитуды следующего за текущим сигнала вероятность ошибки

равна

) )1(eP0(eP

0(eP

[ ]0Pr],0|0Pr[),0( )2()2()1()2()2( >++−=>= nRAREAAPe τττξ .

Поскольку амплитуда равновероятно принимает значения )2(A E± , то после

усреднения по этим значениям имеем

[ ] [ ]0)(Pr)2/1(0)(Pr)2/1()0( )2()1()2()1( >+−−+>++−= nRREnRREPe ττττ .

Отсюда следует, что

−+

+= )(2

21)(2

21)0( )2()1(

0

)2()1(

0ττττ RR

NEQRR

NEQPe .

Правая часть этого выражения не зависит от номера переданного сигнала; это

значит, что условная вероятность ошибки в данном случае совпадает с

безусловной, то есть

−+

+= )(2

21)(2

21 )2()1(

0

)2()1(

0ττττ RR

NEQRR

NEQPe . (22.3)

Вероятность ошибки, как это следует из выражения (22.3), зависит от

отношения сигнал/шум и косвенно, то есть через величины и , от

временного сдвига

)1(τR

)2(τR

τ и формы сигналов.

Рассмотрим частный случай. Пусть сигналы представляют собой

противоположные прямоугольные импульсы, то есть

<<=

иначе,0

0,1

)(Tt

Ttϕ .

Тогда с использованием определений (22.1) и (22.2), легко показать, что

, . Отсюда TR /)2( ττ = TTR /)()1( ττ −=

−+

=

TNEQ

NEQPe

τ212212

21

00

. (22.4)

Аналогичное выражение можно получить, если рассмотреть не положительное,

а отрицательное значение временного сдвига τ . В итоге будет получена

формула, совпадающая с (22.4) , в которой вместо τ будет τ− . Окончательное

выражение, учитывающее как положительную ошибку синхронизации

(опоздание) так и отрицательную (опережение), имеет вид

−+

=

TNEQ

NEQPe

||212212

21

00

τ .

Графики вероятности ошибки для различных величин отношения T/τ

показаны на рис.22.1. Видно, что при увеличении этого отношения вероятность

ошибки убывает с ростом отношения сигнал/шум все медленнее, а при

2/1/ =Tτ передача становится невозможной.

Рис.22.1 Вероятность ошибки для двоичных противоположных сигналов при различных значениях ошибки синхронизации

23. Канал с аддитивным белым гауссовским шумом и случайнойфазой

Основной моделью канала, рассматривавшейся до сих пор, был канал с

аддитивным белым гауссовским шумом. В этой модели сигнал на выходе

канала имеет вид

)()()( tntstr += , (23.1)

где 10)}({)( −

=∈ qii tsts переданный сигнал, принимающий значения из конечного

сигнального множества, )(tn - белый гауссовский шум. Более сложный класс

моделей каналов образуют каналы со случайными параметрами. В канале со

случайными параметрами сигнал на выходе канала имеет вид

)(),()( tntstr += a , (23.2)

где a - вектор параметров сигнала, случайно изменяемых при передаче по

каналу, ),...,( 1 Laa=a , L - число случайных параметров, )(tn - белый

гауссовский шум. Обычно случайные параметры и шум статистически

независимы. При некотором значении вектора случайных параметров, скажем

при 0aa = , имеет место равенство ),()( 0atsts = где 10)}({)( −

=∈ qii tsts . Иначе

говоря, если значения параметров сигнала не меняются и равны 0a , то имеет

место канал с АБГШ. Канал со случайными параметрами задан, если задано

распределение вектора случайных параметров a . Обычно предполагается, что

значение вектора случайных параметров не известно или не точно известно в

точке приема и приемник должен быть построен с учетом этого обстоятельства.

Иллюстрация приведена на рис. 23.1

Как правило, число случайных параметров невелико, например, в модели

канала со случайной фазой рассматривается только один случайный параметр –

фазовый сдвиг приходящего сигнала. При рассмотрении канала со случайной

фазой предполагается использование сигнала, передаваемого на одной несущей

частоте (или на одной из нескольких несущих). Рассмотрим для примера

передачу с использованием ЧМ, то есть

tfTEts ii π2cos2)( = , Tt <<0 , 1,...,1,0 −= qi .

Сигнал на выходе канала со случайной фазой имеет вид

)()2cos(2)( tntfTEtr i +−= θπ ,

где θ - случайный фазовый сдвиг. Распределение случайного фазового сдвига

может быть задано различным образом. Наиболее простым и распространенным

является предположение о равномерном распределении фазового сдвига, то есть

плотность вероятностей величины θ задается как

<≤

=иначе,0

20,21

)(πθ

πθw .

Случайноеизменениепараметров

+

),( 0ats ),( ats

)(tn

)(tr

Рис. 23.1 Общая схема канала со случайными параметрами

Причины случайного фазового сдвига могут быть различными; в частности, он

может возникать из-за условий распространения сигнала и/или из-за

нестабильного формирования сигнала в передатчике.

24. Оптимальный прием дискретных сигналов в канале со случайной фазой

Рассмотрим равновероятную передачу ЧМ сигналов по каналу со

случайной фазой. Сигналы ЧМ имеют вид tfTEts ii π2cos/2)( = , ,

. Частоты сигналов выбираются так, чтобы сигналы были

ортогональны в усиленном смысле. Ортогональность в усиленном смысле

означает, выполнение следующих условий

Tt <<0

1,...,2,1,0 −= qi if

∫∫

≠=

==T

ki

T

ki kiki

tdtfTtfTtdtfTtfT00 ,0

,12sin/22sin/22cos/22cos/2 ππππ

и

02sin/22cos/20

=∫T

ki tdtfTtfT ππ .

Это условие достигается если fi iff ∆+= 0 , где Tlf /00 = , целое, и ,

- целое. Минимальный шаг по частоте, при котором достигается

ортогональность в усиленном смысле, равен 1 . Заметим, что ортогональность

в обычном смысле означает лишь, что

0l Tlf /=∆

l

T/

≠=

=∫ kiki

tdtfTtfTT

ki ,0,1

2cos/22cos/20

ππ

и достигается Tlf 2/=∆ , l - целое.

Упражнение. Покажите, что

а) =

∫

T

dttTkTt

TiT

0

2sin/22cos/2 ππ

≠−

−+−−−+

=−

=ki

kikkikikiki

kikk

,)(2

2)(2cos)()(2cos)(

,4

4cos1

22πππ

ππ

б) )(2

)(2sin)(2

)(2sin2cos/22cos/20 ki

kikikidtt

TkTt

TiT

T

−−

+++

=

∫ π

πππππ ,

в) ∫ ++

−−−

=

T

kiki

kikidtt

TkTt

TiT

0 )(2)(2sin

)(2)(2sin2sin/22sin/2

ππ

ππππ .

Сигнал на выходе канала со случайной фазой имеет вид

)()2cos(/2)( tntfTEtr i +−= θπ , (24.1)

где θ - случайный фазовый сдвиг, - белый гауссовский шум. С

использованием тождества

)(tn

xcos yxyyx sinsincos)cos( +=− , равенство (24.1)

можно представить в виде

)(2sin/2)sin(2cos/2)cos()( tntfTEtfTEtr ii ++= πθπθ . (24.2)

Функции tfT iπ2cos/2 и tfT iπ2sin/2 , 1...,2,1,0 −= qi

i

, образуют

ортонормированный базис, состоящий из функций. Обозначим скалярные

произведения принятого сигнала и косинуса и синуса -й частоты,

, как и , то есть

q2

sir1,...,1,0 −= qi cir ∫=T

ici tdtfTtrr0

2cos)( π/2 ,

∫=T

isi tdtfTtrr0

2sin/2)( π

i

),...,( 10 −= cqcc rrr ( 0= ss rr

. Аналогично, скалярные произведения шума и

косинуса и синуса -й частоты обозначим как и . Далее введем векторы

, и

cin

,...,0

sin

1−)1−sqr,..., )(= cqcc nn n , ),...,( 10 −= sqs nn sn , а

также r , . Тогда для принятого сигнала (24.2) можно

получить векторное представление

),( sc rr= (n = )sn,cn

nsr += )(θi , (24.3)

где все векторы имеют размерность а q2 , )sin,cos()( θθθ iii sss = и

, причем ),...,( 10 −= iqii sss

≠=

=ikikEski ,0,,

При получении представления (24.3) использовано свойство усиленной

ортогональности сигналов.

Обозначим условную плотность вероятностей вектора при условии

передачи i -го сигнала как . Оптимальный приемник принимает решение

по правилу )

r

)|( iw r

|( irmaxarg10wi

qi −≤≤=

). Рассмотрим выражение для плотности .

Ясно, что

)|( iw r

∫∫ −==ππ

θθπθθθ2

0

12

0

),|()2()(),|()|( diwdwiwiw rrr , (24.4)

где ),|( θiw r - условная плотность вероятностей при фиксированном значении

случайной фазы, )(θw - плотность вероятностей случайной фазы,

,(θw )2() 1−= π πθ 20 << . Для условной плотности вероятностей ),|( θiw r

можно записать, что

),|(),|(),|( θθθ iwiwiw sc rrr = , (24.5)

где

−−

=

0

22/

0

cosexp1),|(

NNiw ic

q

c

θπ

θsr

r , (24.6а)

−−

=

0

22/

0

sinexp1),|(

NNiw is

q

s

θπ

θsr

r . (24.6б)

После подстановки равенств (24.6) в (24.5) имеем

+=

0

sin),(2cos),(2exp)(),|(

NKiw isic θθ

θsrsrrr , (24.7)

где

++−

==

0

22

0

exp1)(N

EN

K scq rr

rπ

- величина, не зависящая от и i θ .

Рассмотрим скалярные произведения в показателе экспоненты в (24.7). Они

равны Ersr ciq

k ikckic == ∑ −

=

1

0),( sr и Ersr si

q

k ikskis == ∑ −

=

1

0),( sr . Поэтому

показатель экспоненты в (24.7) может быть записан в виде

)sincos(2

0

θθ sici rrNE

+ ,

или с использованием тождества ))/arctan(cos(sincos 22 abxbaxbxa −+=+

преобразован к виду

)cos()()(2 22

0isici rr

NE φθ −+ ,

где )/arctan( cisii rr=φ . Тогда для плотности ),|( θiw r имеем выражение

−+= )cos()()(2exp)(),|( 22

0isici rr

NEKiw φθθ rr .

Подставляя это выражение в (24.4), получаем

∫

−+=

π

θφθπ

2

0

22

0

)cos()()(2exp21)()|( drr

NEKiw isicirr .

Выражение вида

( )∫ −=π

αβαπ

2

00 )cos(exp

21)( dxxI ,

где β - любое, известно как функция Бесселя первого рода нулевого порядка. График функции ) показан на рис.24.1 (0 xI

Рис.24.1 График функции )(0 xI

С использованием определения функции )(0 ⋅I имеем

( )2200 )()()/2()()|( sici rrNEIKiw += rr .

Оптимальное решение строится по правилу

)|(maxarg10

iwiqi

r−≤≤

=)

.

Поскольку функция квадратного корня и функция Бесселя монотонно

возрастают, то эквивалентное правило принятия решения имеет вид

( )22

10)()(maxarg siciqi

rri +=−≤≤

).

Схема, реализующая это правило, показана на рис. 24.2.

∫T

dt0

×

tfT 02cos/2 π

2)(⋅

∫T

dt0

×

tfT 02sin/2 π

2)(⋅

∫T

dt0

×

tfT q 12cos/2 −π

2)(⋅

∫T

dt0

×

tfT q 12sin/2 −π

2)(⋅

)(tr

i)

+

+

Выбор максимума

Рис.24.2 Схема оптимального приемника ЧМ сигналов в канале со случайной фазой

Рассмотрим теперь кратко другой метод передачи сигналов по каналу со

случайной фазой – передачу с использованием сигналов с ортогональными

огибающими. В этом случае сигналы передаются на одной несущей частоте и

имеют вид tfEtmts ii 02cos2)()( π=

T ,...,1,0

, где - ортонормированные на

интервале ] огибающие,

)(tmi

,0[ 1−= qi . В качестве огибающих могут быть

использованы любые ортонормированные функции. Важно только чтобы они

были низкочастотными по сравнению со значением несущей частоты . Часто

в качестве огибающих используются кусочно-постоянные функции, полученные

с использованием кода Адамара1 соответствующего порядка. Например, для

огибающие показаны на рис.24.3.

0f

8=q

8=qРис.24.3 Ортогональные огибающие, построенные на основе кода Адамара,

.

Огибающие, построенные с использованием кода Адамара, состоят из

элементов сигнала, или чипов (chip), длительности T

q

qTc /= .

1 Код Адамара определяется как набор векторов, совпадающих со строками матрицы Адамара. Матрица Адамара порядка может быть определена рекурсивно

как , и .

kn 2=

=

11

−

=2/2/

2/2/

nn

nnn HH

HHH

−11

2H

Условие низкочастотности огибающей, упомянутое выше, состоит в

данном случае в том, что , то есть на длительности чипа должно

помещаться много периодов несущей.

cTf /10 >>

Принятый сигнал в отсутствие шума имеет вид

)2sinsin2cos(cos2)()2cos(2)()( 000 tftfEtmtfEtmtr ii πθπθθπ +=−= .

В приемнике сначала выполняется низкочастотная демодуляция (перенос

спектра в низкочастотную область). Эта операция выполняется следующим

образом. Сначала принятый сигнал умножается на tf02cos2 π и tf02sin2 π и

потом пропускается через фильтр низких частот, то есть вычисляются

( )НЧ02cos2)()( tftrtrc π= и ( )НЧ02sin2)()( tftrtrs π=

)(trc

. Здесь через

обозначена операция низкочастотной фильтрации выражения, стоящего в

скобках. Рассмотрим вычисление ,

НЧ)(⋅

( ) ( ) =−== НЧ00НЧ0 2cos)2cos()(222cos2)()( tftftmEtftrtr ic πθππ

( ) =+= НЧ0000 2cos2sinsin2cos2coscos)(2 tftftftftmE i ππθππθ

( )( ) =++==+== НЧ00

2 4sinsin)4cos1(cos)(2/2sinsincos

2/)2cos1(cosПоскольку

tftftmExxxxx i πθπθ

θcos)(tmE i= .

При переходе к последнему выражению учтено, что НЧ фильтр полностью

подавляет составляющие удвоенной частоты. Аналогично можно показать, что

θsin)()( tmEtr is = .

Далее в приемнике вычисляются скалярные произведения функций

и и ортогональных огибающих, возведение в квадрат, сложение и

)

)

(trc

(trs

окончательного решения. Схема некогерентного приемника для сигналов с

ортогональными огибающими показана на рис.24.4.

Рис.24.4 Схема некогерентного приемника для сигналов с ортогональными огибающими.

tf 02cos2 !

<

<

tf02sin2 !

НЧфильтр

НЧфильтр

)(0 tm

)(0 tm

%T

dt0

<

%T

dt0

<

2)(;

2)(;

)(1 tmq$

%T

dt0

<

)(1 tmq$

%T

dt0

<

2)(;

2)(;

)(tr

Выбормаксимума

i!

+

+

25. Вероятность ошибки при оптимальном приеме в канале со случайной фазой

Рассмотрим равновероятную передачу ЧМ сигналов по каналу со

случайной фазой. Вероятность ошибки в этом случае вычисляется как

∑−

=

=1

0

)(1 q

iee iP

qP ,

где ) - вероятность ошибки при передаче -го сигнала. Всегда справедливо

равенство )

(iPe i

(1)( iPiP ce −= , где ) вероятность правильного приема при

передаче -го сигнала. Оптимальное правило принятия решения имеет вид

(iPc

i

2

10maxarg iqi

i ξ−≤≤

=)

,

где . Следовательно, 222 )()( sicii rr +=ξ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡>=

−

≠=

iiPq

ikk

kic |)(Pr)(1

0

22I ξξ .

При передаче -го сигнала i 222 )sin()cos( sicii nEnE +++= θθξ , и

, где 222 )()( skckk nn +=ξ θ - случайный фазовый сдвиг,

независимые гауссовские с.в., распределенные с параметрами .

sici nn , , skck nn , -

)2/,0( 0N

При вычислении величины ) поступим следующим образом.

Поскольку величины

(iPc

kξ , 1,...,1,0 −= qk , ik ≠ , и iξ независимы, то можно

фиксировать значение iξ , найти значение условной вероятности при

фиксированном iξ , то есть ),( ic iP ξ , а потом усреднить полученное выражение

по iξ .

Пусть iξ фиксировано. Тогда, в силу независимости величин kξ ,

[ ] [ ]∏∏−

≠=

−

≠=

=+>=>=1

0

2221

0

22 )()(PrPr),(q

ikk

skcki

q

ikk

kiic nniP ξξξξ

1

0

21

0 0

2

exp1exp1−

−

≠=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=∏

q

iq

ikk

i

NNξξ .

Переход от первой ко второй строке этого равенства выполняется путем

перехода к полярным координатам при интегрировании гауссовских плотностей

по той же схеме как это было сделано при получении верхней границы

вероятности ошибки для КАМ . Далее имеем

1

0

2

exp1),()(−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==

q

iicc N

iPiPξ

ξ , (25.1)

где черта сверху означает усреднение по iξ (то есть по всем с.в., определяющим

)iξ . Рассмотрим выражение под чертой в правой части (25.1). Используя

тождество , можно записать, что ∑ =−=+

N

lllNl

NN baCba

0)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ∑

−

=−

−

0

21

01

1

0

2

exp)1(exp1NlC

Ni

q

l

llq

q

i ξξ . (25.2)

После подстановки (25.2) в (25.1) имеем

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∑

−

=−

0

21

01 exp)1()(

NlCiP i

q

l

llqc

ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++−−= ∑

−

=−

0

221

01

))sin()cos((exp)1(

NnEnElC sici

q

l

llq

θθ. (25.3)

При усреднении в правой части (25.3) полезной оказывается следующая лемма.

Лемма. Пусть - гауссовская случайная величина , распределенная с

параметрами ) ,

x

,( 2σm α - постоянная, такая что . Тогда )2/(1 2σα <

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= 2

2

2

2

21exp

211)exp(

ασα

ασα mx .

□.

Применяя эту лемму к усреднению правой части (25.3), получим

∑−

=− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=1

0 01 1

exp1

1)1()(q

l

llqc N

El

ll

CiP .

Правая часть этого равенства не зависит от номера переданного сигнала; это

значит, что и безусловная вероятность правильного приема вычисляется по

этой же формуле. Поскольку

cP

ce PP −=1 , то имеем окончательное выражение для

вероятности ошибки

∑−

=

+− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=1

1 0

11 1

exp1

1)1(q

l

llqe N

El

ll

CP . (25.4)

Выражение (25.4) дает точное значение вероятности ошибки. Простая верхняя

оценка может быть получена на основе аддитивной границы. Она имеет вид

)2/exp(2

10NEqPe −

−< . (25.5)

При , то есть для двоичных сигналов, из (25.4) следует, что 2=q

)2/exp(21

0NEPe −= . (25.6)

Заметим, что (25.6) следует и из (25.5) и из (25.4), то есть аддитивная граница

(25.5) при дает точное значение. 2=q

а б

Рис.25.1 Вероятность ошибки (а) и верхняя граница вероятности ошибки (б)

На рис.25.2 показаны графики вероятности ошибки для двоичных ЧМ

сигналов в канале с АБГШ и в канале с АБГШ и случайной фазой. Из этих

графиков следует, что в канале со случайной фазой вероятность ошибки больше

и может быть компенсирована незначительным (в практически важных случаях

на 0.5…0.8 дБ) увеличением отношения сигнал/шум. С увеличением отношения

сигнал/шум дополнительные энергетические затраты, связанные со случайным

фазовым сдвигом, быстро уменьшаются.

В заключение отметим, что выражения (25.4), (25.5) и (25.6) справедливы

для передачи по каналу с АБГШ и случайной фазой при использовании не

только ЧМ сигналов, но и сигналов с ортогональными огибающими.

Рис.25.2 Вероятность ошибки для двоичных ЧМ сигналов

26. Относительная фазовая модуляция

В канале со случайной фазой нельзя использовать сигналы ФМ. Эти

сигналы различаются между собой начальной фазой, а случайный фазовый

сдвиг, вносимый каналом, делает их неразличимыми на выходе канала даже в

отсутствие шума. В частности, в двоичной системе передачи нельзя

использовать двоичные противоположные сигналы, которые обеспечивают

наилучшее соотношение между отношением сигнал/шум и вероятностью

ошибки в канале с АБГШ.

Двоичные сигналы ЧМ в канале с АБГШ обеспечивают вероятность

ошибки

)/( 0NEQPe ! , (26.1)

а в канале с АБГШ и случайной фазой

02

21 N

E

e eP"

! , (26.2)

что незначительно уступает (26.1). Однако в канале с АБГШ и неслучайной

фазой можно применить ФМ (противоположные сигналы) и вероятность

ошибки при этом станет равной )/2( 0NEQPe ! , что соответствует выигрышу

в 3дБ в отношении сигнал/шум по сравнению с сигналами ЧМ (см. (26.1)).

Применение ФМ в канале со случайной фазой не только не дает выигрыша, но и

вообще делает передачу невозможной. Однако при некоторых условиях в

канале с АБГШ и случайной фазой можно получить зависимость вероятности

ошибки от отношения сигнал/шум, определяемую равенством

0

21 N

E

e eP"

! , (26.3)

что соответствует такому же выигрышу в 3дБ по сравнению с сигналами ЧМ.

Такую вероятность ошибки обеспечивает применение относительной фазовой

модуляции (ОФМ) (DPSK, differential phase shift keying).

Сигналы двоичной ОФМ строятся следующим образом: при передаче

символа “0” фаза текущего сигнала совпадает с фазой предыдущего сигнала, а

при передаче “1” фаза текущего сигнала меняется на противоположную по

сравнению с предыдущим. Рис.26.1 дает представление о различии между

сигналами двоичной ФМ и двоичной ОФМ.

Из построения сигналов ОФМ следует, что информация передается разностью

фаз двух смежных во времени сигналов в отличие от сигналов ФМ, в которых

информация заключена в значении фазы текущего сигнала. Сигналы ОФМ

могут применяться в канале со случайной фазой, если случайный фазовый

сдвиг, определяемый каналом, меняется медленно по сравнению с

Рис.26.1. Примеры сигнальных последовательностей ФМ (вверху) иОФМ (внизу)

длительностью сигнала. Это значит, что сдвиг на двух соседних временных

позициях остается примерно постоянным, и следовательно, разность фаз двух

соседних по времени сигналов остается неизменной.

Рассмотрим сигналы ОФМ на двух соседних временных позициях. Легко

заметить, что они представляют собой две пары сигналов с ортогональными

огибающими, состоящими из двух чипов (см. рис.26.2), соответствующих

знакам амплитуды (+,+) (+,-) или (-,-) (-,+) в зависимости от значения фазы

предыдущего сигнала и текущего передаваемого бита.

Нетрудно заметить, что пара возможных сигналов ОФМ,

соответствующих одному значению фазы предыдущего сигнала, может

рассматриваться как пара сигналов с ортогональными огибающими

длительности T2 ; очевидно, что энергия сигнала двойной длительности равна

E2 , где E - энергия одиночного сигнала. Отсюда следует, что прием сигналов

Рис.26.2. Пары смежных ОФМ сигналов.

ОФМ может быть реализован как прием двоичных сигналов с ортогональными

огибающими на интервале T2 , то есть после небольшой модификации может

быть использована схема, показанная на рис. 24.4. Для вероятности ошибки

при использовании двоичных сигналов с ортогональными огибающими

справедливо равенство (26.2), где E - энергия сигнала. Поскольку в случае

ОФМ решение принимается на основе анализа сигнала двойной длительности,

то есть на основе анализа сигнала, имеющего двойную энергию, то для

двоичных ОФМ сигналов формула для вероятности ошибки получается путем

замены в (26.2) E на E2 , что дает в итоге выражение (26.3). Подчеркнем в

заключение, что применение ОФМ возможно только при медленно

изменяющейся фазе приходящих сигналов. Заметим также, что это условие не

является очень сильным ограничением и часто выполняется на практике.

27. Распределения Релея и Райса

Пусть x и y - независимые гауссовские случайные величины, xmx ! ,

ymy ! , 222 )()( "!#!# yx mymx . Требуется найти функцию распределения и

функцию плотности вероятностей величины 22 yx $!% .

По определению

&&

& %% d

dFw

)()( ! ,

где )(&%F - функция распределения, а )(&%w - функция плотности

вероятностей случайной величины % . Функция распределения определяется

как ]Pr[)( &%&% '!F . С учетом определения случайной величины % имеем

(('$

!'$!222

)()(]Pr[)( 222

&)*% )*)*&& ddwwyxF yx , (27.1)

где )(*xw , )()yw - функции плотности вероятностей величин x и y ,

определенные как

++,

-../

0 ##! 2

2

2)(exp

21)(

"*

"1* x

xmw ,

++,

-../

0 ##! 2

2

2)(

exp21)(

"

)

"1) y

y

mw .

После подстановки этих выражений в (27.1) имеем

(('$

++,

-../

0 #$##!

2222

22

2 2)()(

exp21)(

&)*% )*

"

)*

1"& dd

mmF yx . (27.2)

Рассмотрим показатель экспоненты в (27.2)

)*)*)* yxyxyx mmmmmm 22)()( 222222 ##$$$!#$# (27.3)

Заменим в (27.3) прямоугольные координаты ),( )* на полярные ),( 23 , имея в

виду что 23* cos! , 23) sin! , тогда

23233)* sin2cos2)()( 22222yxyxyx mmmmmm ##$$!#$# . (27.4)

Обозначим 222yx mmm $! и используем соотношение

))/arctan(cos(sincos 22 ABxBAxBxA #$!$ ,

тогда (27.4) принимает вид

)cos(2)()( 2222 4233)* ##$!#$# mmmm yx , (27.5)

где )/arctan( xy mm!4 . После подстановки (27.5) в (27.2) и замены

233)* dddd ! , 5 6 5 612&3&)* 20,222 '''!'$ , имеем

( ( ++,

-../

0 ##$#!

& 1

% 23"

42331"3&

0

2

02

22

2 2)cos(2exp

2)( ddmmF ,

или

3242"3

1"3

"3

&& 1

% ddmmF ( ( ++,

-../

0+,-

./0 #++

,

-../

0 $#!

0

2

022

22

2 )cos(exp21

2exp)( . (27.6)

Интеграл вида

7 8 любое- ,)cos(exp21)(

2

00 4242

1

1

dxxI ( #! ,

называется функцией Бесселя первого рода нулевого порядка. Заметим, что

1)0(0 !I . Использование этого соотношения в (27.6) дает выражение для

функции распределения

3"3

"3

"3

&&

% dmImF ( +,-

./0

++,

-../

0 $#!

0202

22

2 2exp)(

и функции плотности вероятностей

0,2

exp)( 202

22

2 9+,-

./0

++,

-../

0 $#! &

"&

"&

"&

&%mImw . (27.7)

Плотность вероятностей (27.7) называется плотностью вероятностей Райса

(Rice). Она зависит от двух параметров m и " . Если 0!m , то имеем частный

случай распределения Райса известный как распределения Релея (Rayleigh)

0,2

exp)( 2

2

2 9++,

-../

0#! &

"&

"&

&%w .

Графики функции (27.7) для различных значений параметров m и " показаны

на рис.27.1

Рис.27.1 Плотности вероятностей Райса для различных значенийпараметров m и "

28. Канал с замираниями. Модель с рассеивателями

Рассмотрим передачу ЧМ сигналов, tfTEts ii !2cos/2)( " , Tt ##0 ,

1,...,2,1,0 $" qi . Частоты сигналов if выбраны так, чтобы сигналы были

ортогональны в усиленном смысле. Пусть был передан i -ый сигнал, на выходе

канала с замираниями сигнал описывается как

)()2cos(/2)( tntfTEtr i %$" &!' , (28.1)

где ' - случайный коэффициент передачи канала, 0(' , & - случайный

фазовый сдвиг, !& 20 #) , )(tn - белый гауссовский шум. Модель канала с

замираниями относится к классу каналов со случайными параметрами,

которыми в данном случае являются величины ' и & . Величины ' и &

статистически независимы друг от друга и от шума. Случайный фазовый сдвиг

распределен равномерно в интервале ]2,0[ ! , а коэффициент передачи канала

распределен по закону Релея или Райса. Рассмотрим простую, но реалистичную

модель, которая приводит к описанию (28.1).

Пусть сигнал распространяется через передающую среду, которая может

быть описана как множество рассеивателей (отражателей) (см. рис.28.1)

“Облако” рассеивателей

Передатчик Приемник

Рис.28.1 Модель канала с рассеивателями

Тогда в отсутствие шума сигнал на выходе канала с рассеивателями может быть

описан как

* $"k

kik tsctr )()( + , (28.2)

где kc коэффициент отражения k -го рассеивателя, k+ задержка, вносимая $k м

рассеивателем. Подставляя в (28.2) выражение для сигнала, получаем, что

** $"$"k

ikikk

kik tfTEctfTEctr )2cos(/2)(2cos/2)( ,!+! , (28.3)

где kiik f +!, 2" - фазовый сдвиг, возникающий из-за задержки, связанной с

распространением сигнала до и от k -го рассеивателя. Из (28.3) следует, что

"-.

/01

2%-

.

/01

2" ** tfTEctfTEctr i

kikki

kikk !,!, 2sin/2sin2cos/2cos)(

tfTEytfTEx ii !! 2sin/22cos/2 %" , (28.4)

где использовано обозначение

*"k

ikkcx ,cos (28.5)

*"k

ikkcy ,sin . (28.6)

Равенство (28.4) можно тогда переписать в виде

)2cos(/2)( &!' $" tfTEtr i , (28.7)

где 22 yx %"' , )/arctan( xy"& . Случайные величины x и y называются

квадратурными компонентами коэффициента передачи. Заметим, что амплитуда

и энергия принятого сигнала даже в отсутствие шума случайны, в этом

собственно и состоит смысл явления, называемого замираниями сигнала

(fading). Поэтому можно говорить о средней энергии принятого сигнала и

среднем отношении сигнал/шум. Средняя энергия принятого сигнала

определяется как

3 4 "$""" 555T

i

TT

dttfTEdttrdttrE0

22

0

2

0

2 )2cos(/2)()( &!'

3 4 EyxEdttfTET

i )()2cos(/2 222

0

22 %""$" 5 '&!' . (28.8)

Правая часть равенства (28.7) при прибавлении всегда присутствующего

шума совпадает с правой частью (28.1). Таким образом, модель с

рассеивателями приводит к описанию (28.1). Для завершения рассмотрения

модели с рассеивателями осталось дать статистическое описание случайных

параметров канала и показать, что при некоторых разумных предположениях

это распределение будет задаваться распределениями Релея и Райса.

Предположим, что а) рассеивателей много, б) они статистически

независимы, и в) вклад каждого рассеивателя в суммы (28.5), (28.6) невелик.

При этих предположениях, можно считать распределения величин x и y

примерно гауссовскими независмо от того как были распределены образующие

их слагаемые. Это следует из центральной предельной теоремы теории

вероятностей. Поскольку x и y - гауссовские случайные величины, то для

завершения их описания надо определить параметры их совместного

распределения. Для гауссовских величин необходимо и достаточно определить

только первые и вторые моменты. Для математических ожиданий имеем

0coscos """ ** ikk

kk

ikk ccx ,, ,

0sinsin """ ** ikk

kk

ikk ccy ,, ,

так как 0cossin "" 66 при равномерно распределенном аргументе 6 ,

!6 20 #) . Далее

""" ****k l

illikkl

lilk

ikk ccccxy ,,,, sincossincos

*** "%"7k kl

iliklkikikk

k ccc 0sincossincos2 ,,,, ,

так как 0cossincossin """ 6666 при равномерно распределенном аргументе

6 , !6 20 #) . И наконец,

"""-.

/01

2-.

/01

2"-

.

/01

2" *****

k lillikk

lill

kikk

kikk cccccx ,,,,, coscoscoscoscos

22

**** "%"7 k

kk kl

illikkk

ikk cccc 222

21coscoscos ,,, ,

"""-.

/01

2-.

/01

2"-

.

/01

2" *****

k cillikk

lill

kikk

kikk cccccy ,,,,, sinsinsinsinsin

22

**** "%"7 k

kk kl

illikkk

ikk cccc 222

21sinsinsin ,,, ,

так как 2/1cossin 22 "" 66 при равномерно распределенном аргументе 6 ,

!6 20 #) . Введем нормировку * "k kc 12 . При такой нормировке средняя

принятая энергия равна энергии E , см. равенство (28.8).

Итак, получено, что x и y гауссовские случайные величины, и

0""" xyyx , .2/122 "" yx Это значит, что они независимы и одинаково

распределены с параметрами )2/1,0( . Отсюда следует, случайный коэффициент

передачи канала 22 yx %"' распределен по закону Релея.

Более общий случай, приводящий в итоге к замираниям,

распределенным по закону Райса, возникает когда x и y распределены по

гауссовскому закону, независимы, имеют одинаковые дисперсии, но ненулевые

математические ожидания. В этом случае можно положить, что как и прежде

122 "% yx , но 2/8"" yx , а 2/)1()()( 22 8$"$"$ yyxx , где величина 8

имеет смысл доли энергии сигнала, переданной по нерассеянной (регулярной)

компоненте, 10 )) 8 , (см. рис.28.2)

При 0"8 имеет место канал с релевскими замираниями (нет регулярной

компоненты), а при 1"8 - канал с АБГШ и случайной фазой (нет рассеянной

компоненты, то есть в канале нет замираний) .

“Облако” рассеивателей

Передатчик Приемник

Рис.28.2 Модель канала с рассеянной и регулярнойкомпонентами

Рассеянная компонентапринятого сигнала

Регулярая компонентапринятого сигнала

29. Вероятность ошибки при передаче ЧМ сигналов по каналу сзамираниями

Рассмотрим передачу ЧМ сигналов tfTEts ii !2cos/2)( " , Tt ##0 ,

1,...,2,1,0 $" qi , по каналу с замираниями. Частоты сигналов if выбраны так,

чтобы сигналы были ортогональны в усиленном смысле. Пусть был передан i -й

сигнал; на выходе канала с замираниями сигнал описывается как

)()2cos(/2)( tntfTEtr i %$" &!' , (29.1)

где ' - случайный коэффициент передачи канала, 0(' , & - случайный

фазовый сдвиг, !& 20 #) , )(tn - белый гауссовский шум. Случайный фазовый

сдвиг распределен равномерно в интервале ]2,0[ ! , а коэффициент передачи

канала распределен по закону Райса. Случайный коэффициент передачи канала

может быть представлен в виде 22 yx %"' , где x и y - независимые

гауссовские с.в. с параметрами 2/*"" yx , а 2/)1()()( 22 *$"$"$ yyxx ,

где величина * имеет смысл доли энергии сигнала, переданной по не

рассеянной (регулярной) компоненте, 10 )) * .

Оптимальный приемник для канала с замираниями совпадает в

рассматриваемом случае с оптимальным приемником для канала с АБГШ и

случайной фазой, рассмотренным ранее. Вероятность ошибки при передаче по

каналу с замираниями может быть вычислена как

)('ee PP " ,

где )('eP - вероятность ошибки при фиксированном значении коэффициента

передачи канал ' , черта сверху означает усреднение по случайным параметрам

канала. При фиксированном значении коэффициента передачи канала энергия

принятого сигнала равна E2' . Поэтому условная вероятность ошибки )('eP

равна вероятности ошибки при передаче ЧМ сигналов по каналу со случайной

фазой при замене E на E2' , то есть

+$

"

%$ ,,

-

.//0

1%

$%

$"1

1 0

21

1 1exp

11)1()(

q

l

llqe N

El

ll

CP '' .

Отсюда следует, что

+$

"

%$ ,,

-

.//0

1%

$%

$"1

1 0

21

1 1exp

11)1(

q

l

llqe N

El

ll

CP '. (29.1)

Рассмотрим среднее в выражении (29.1). Для него можно записать, что

,,-

.//0

1%

$,,-

.//0

1%

$",,-

.//0

1 %%

$",,-

.//0

1%

$0

2

0

2

0

22

0

2

1exp

1exp)(

1exp

1exp

NEy

ll

NEx

ll

NEyx

ll

NE

ll ' .

(29.2)

поскольку x и y независимы.

Ранее приводилась следующая лемма.

Лемма. Пусть x - гауссовская случайная величина , распределенная с

параметрами ),( 22m , 3 - постоянная, такая что )2/(1 223 # . Тогда

,,-

.//0

1$$

" 2

2

2

2

21exp

211)exp(

323

323 mx .

Применяя лемму к вычислению средних в (29.2) со значениями)1(/ 0 %$" lNlE3 , 2/*"m , 2/)1(2 *2 $" , имеем

",,-

.//0

1%

$",,-

.//0

1%

$0

2

0

2

1exp

1exp

NEy

ll

NEx

ll

,,-

.//0

1$%%

$$

%%

")/)1(1(2

/exp

/)1(1

1

1

0

0

0

NEllNEl

NEl

l **

*.

Подстановка этого выражения в (29.2) и далее в (29.1) приводит к

окончательному выражению

+$

"

%$ ,,

-

.//0

1$%%

$$%%

$"1

1 0

0

0

11 /)1(1

/exp

/)1(11)1(

q

l

llqe NEll

NElNEll

CP*

**

.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть 2"q , тогда

,,-

.//0

1$%

$$%

")/)1(2

/exp

/)1(21

0

0

0 NENE

NEPe *

**

.

Для двух крайних случаев 0"* и 1"* имеем соответственно

0/21

NEPe %"

и

02

21 N

E

e eP$

" .

Сравнение этих выражений показывает, что в канале с релеевскими

замираниями (при 0"* ) вероятность ошибки убывает с ростом отношения

сигнал/шум очень медленно (обратно пропорционально). При отсутствии

замираний (при 1"* ) вероятность ошибки убывает с ростом отношения

сигнал/шум гораздо быстрее (экспоненциально). Примерно такие же

соотношения имеют место и для недвоичных сигналов.

Графики вероятности ошибки для различных значений параметров

показаны на рис.29.1-29.4.

Рис. 29.1 Вероятность ошибки при передаче ЧМ сигналов по каналу с АБГШи случайной фазой ( )1"* .

Рис. 29.2 Вероятность ошибки при передаче ЧМ сигналов по каналу срелевскими замираниями ( )0"* .

Рис. 29.3 Вероятность ошибки при передаче ЧМ сигналов по каналу срайсовскими замираниями ( )8.0"* .

Рис. 29.4 Вероятность ошибки при передаче двоичных ЧМ сигналов

30. Передача с разнесением по каналу с замираниями. Перемежение

Рассмотрим передачу двоичных ЧМ сигналов tfTEts ii π2cos/2)( =

0f

,

, i по каналу с релеевскими замираниями. Частоты сигналов и

выбраны так, чтобы сигналы были ортогональными в усиленном смысле.

Вероятность ошибки в этом случае равна

Tt <<0

1f

,1,0=

0/21

NEPe +

= .

Это выражение показывает, что в канале с релеевскими замираниями

вероятность ошибки убывает с ростом отношения сигнал/шум очень медленно

(обратно пропорционально). Улучшить соотношение между величиной

отношения сигнал/шум и вероятностью ошибки можно, если применить

передачу с разнесением.

Передача с разнесением состоит в том, что энергия передаваемого

сигнала делится на частей и сигнал передается по независимым

подканалам (ветвям разнесения).

L L

Ветви разнесения могут быть организованы:

а) во временной области; в этом случае имеет место временное

разнесение;

б) в частотной области; в этом случае имеет место частотное разнесение;

в) во временной и в частотной области; в этом случае имеет место

частотно-временное разнесение.

Во всех случаях при передаче с разнесением в раз снижается удельная

скорость передачи. Действительно, удельная скорость определяется как

, V скорость передачи, полоса частот. При использовании

L

WVV /уд = W

двоичной ЧМ и передаче без разнесения V T/1= , а W T/3= , то есть V .

При -кратном разнесении имеем

3/1уд =

L )LV 3/(1уд = , так как при временном

разнесении скорость уменьшается в раз, а при частотном разнесении в раз

расширяется полоса частот.

L L

l

,...,2

)() )() tn ll +2cos( tf i −π

)(lcir

/T (θ

1

)ti2cos(/2 T fπ

)2sin( tf iπ

1 l

+ lsr )(0

2 )()

+ lsr )(1

2 )()

<>

0

0

XXXX

cr

r(

( ,

Пусть сигнал, приходящий в приемник по -ой ветви разнесения,

, имеет вид Ll ,1=

)/(2)( )()( LEtr ll = µ , (30.1)

,0=i

L

. В этом равенстве учтено, что энергия сигнала разделена поровну между

ветвями разнесения. Обозначим через скалярное произведение сигнала

принятого в -й ветви разнесения и l , а через скалярное

произведение сигнала принятого в -й ветви разнесения и

)(lsir

l /2 T ,

, . Пусть приемник вычисляет величины ,0=i L2,1= ,...,

( )∑=

=L

l

lX1

2)(00

и

( )∑=

=L

l

lcX

1

2)(11

и формирует решение по правилу

=1

1

если,1если,0

i)

.

Приемник, принимающий решение по такому критерию, называется

приемником с аналоговым квадратичным сложением.

Вероятность ошибки вычисляется как обычно для равновероятных

сигналов

2/))1()0(( eee PPP += .

Найдем ) . Эта вероятность равна 0(eP

]0|Pr[)0( 01 XXPe >= . (30.2)

При передаче нулевого сигнала имеют место соотношения

2)(0

)(2)(0

)(2)(0

2)(0 )/()/()()( l

sll

cll

sl

c nLEynLExrr +++=+ , (30.3)

2)(1

2)(1

2)(1

2)(1 )()()()( l

sl

cl

sl

c nnrr +=+ , (30.4)

где , гауссовские компоненты коэффициента передачи канала в -й

ветви разнесения , , - скалярные произведения шума в -й ветви

разнесения и cos и -й частоты соответственно,

)(lx )(ly l

)(lµ )(lcin

sin

)(lsin l

i 1,0=i

)l )(ly

) )(lsin

, . В

релеевском канале с независимыми ветвями разнесения , - независимые

гауссовские с.в. с нулевым средним и дисперсией 1 , , - независимые

от них и независимые между собой гауссовские с.в. с нулевым средним и

дисперсией 2 . Чтобы оценить вероятность (30.2) применим границу

Чернова

Ll ,...,= 1

(x

(lcin2/

/0N

( ))(exp]0|Pr[ 0101 XXXX −<> λ ,

где λ - параметр оценки Чернова, 0>λ . Используя определения (30.3) и

(30.4), получим, что

( ) ( )∏=

×+−+−<L

l

ls

llc

le nLEynLExP

1

2)(0

)(2)(0

)( )/(exp)/(exp)0( λλ

( ) ( )∏=

×L

l

ls

lc nn

1

2)(1

2)(1 )(exp)(exp λλ (30.5)

При записи этого выражения учтена независимость ветвей разнесения и

независимость шума от случайного коэффициента передачи канала.

Ранее приводилась следующая лемма.

Лемма. Пусть x - гауссовская случайная величина, распределенная с

параметрами ) , ,( 2σm α - постоянная, такая что . Тогда )2/(1 2σα <

−−

= 2

2

2

2

21exp

211)exp(

ασα

ασα mx .

Применяя лемму к вычислению средних в (30.5) со значениями λα −= , , , имеем 0=m 2/)/( 0

2 NLE +=σ

( ) ( ))/(1

1)/(exp)/(exp0

2)(0

)(2)(0

)(

NLEnLEynLEx l

sll

cl

++=+−+−

λλλ ,

далее, применяя эту же лемму со значениями λα = , 0=m , , имеем 2/02 N=σ

( ) ( )0

2)(0

2)(0 1

1)(exp)(expN

nn ls

lc λ

λλ−

= .

Здесь возникает дополнительное ограничение на параметр границы Чернова: 0/1 N<λ .

Подстановка этих выражений в (30.5) дает оценку

L

e NNLEP

−++

<00 1

1)/(1

1)0(λλ

, (30.6)

где 0/1 N<<0 λ . Отыскание значения параметра λ , оптимизирующего оценку

(30.6), сводится к максимизации знаменателя, то есть к решению уравнения

( ) 0)1()/(1 00 =−++ NNLEdd λλλ

,

или

0))/(1()1)(/( 0000 =++−−+ NNLENNLE λλ

откуда находим

00 )/(/

21

NNLELE

+=λ .

Подставляя это значение в (30.6) имеем наиболее точную границу Чернова

L

e

NLELE

LNE

P

+−+

<

)/(2/1

1

21

1)0(

00

. (30.7)

Упростив (30.7) и приняв во внимание, что в данном случае условная

вероятность ошибки совпадает с безусловной, имеем окончательное выражение

L

e

LNE

LNE

P

+

+

< 2

0

0

2

14. (30.8)

Графики верхней границы вероятности ошибки, вычисленной по формуле

(30.8), показаны на рис.30.1. Для 1=L приведено точное значение вероятности

ошибки

Можно показать, что для каждого значения отношения сигнал/шум существует

Рис.30.1 Вероятность ошибки при двоичной передаче с разнесением в канале с релеевскими замираниями

оптимальное число ветвей разнесения. Оно может быть найдено численно и

оказывается равным . Если подставить это значение в (30.8), то

получится выражение для оценки вероятности ошибки, оптимизированной по

числу ветвей разнесения. Оно имеет вид

3/)/( 0NEL ≈

0149.0

NE

e eP−

< .

Отсюда следует, что в канале с релеевскими замираниями при передаче с

оптимальным разнесением вероятность ошибки убывает с ростом отношения

сигнал/шум экспоненциально. Напомним, что в канале без замираний

вероятность ошибки равна

02

21 N

E

e eP−

= .

Сравнение этих выражений показывает, что в канале с релеевскими

замираниями и оптимальным разнесении проигрыш в отношении сигнал/шум

составляет величину около 5.25 дБ ( =10 ) и не возрастает

бесконечно, как при передаче без разнесения. Серьезным недостатком при

передаче с оптимальным разнесением является сильное убывание скорости

передачи (и/или увеличение полосы частот) с ростом отношения сигнал/шум.

Легко показать, что удельная скорость передачи меняется как

. Это ухудшение удельной скорости передачи в раз

(т.е. в 3 раз при оптимальном разнесении) зачастую препятствует

применению оптимального разнесения на практике. На рис.30.2 приведены

иллюстрирующие графики.

)149.0/5.0(log10

10уд )/()3/(1 −== NELV

/)/( 0NE

L

Рис.30.2 Вероятность ошибки и удельная скорость передачи при передаче по релеевскому каналу с оптимальным разнесением и при передаче по каналу

без замираний.

31. Сравнительная характеристика методов передачи врадиоканалах

Рассмотрим передачу двоичных сигналов )(tsi , Tt <<0 , ,1,0=i по

каналам, которые могут быть заданы следующими моделями:

- канал с АБГШ;

- канал с АБГШ и случайной фазой;

- канал с релеевскими замираниями.

Эти модели могут использоваться для описания условий передачи по

различным радиоканалам. В рамках перечисленных моделей могут

использоваться различные виды модуляции и приема, рассмотренные в

предыдущих разделах курса.

В таблице 31.1 приводятся основные характеристики некоторых методов

передачи применительно к перечисленным моделям. На рис.31.1 показаны

графики зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал/шум для этих

каналов и видов модуляции. Наилучшую зависимость обеспечивает ФМ в

канале с АБГШ. В каналах со случайной фазой ФМ неприменима. В канале со

случайной фазой наилучшую зависимость между отношением сигнал/шум и

вероятностью ошибки дает ОФМ. Следует подчеркнуть, что использование

ОФМ ограничено каналами с медленно меняющейся случайной фазой. При

быстрых изменениях случайной фазы при переходе от одного сигнального

интервала к другому применение ОФМ невозможно. В этом случае возможна

передача с использованием ЧМ, которая, вообще говоря, проигрывает ФМ и

ОФМ по эффективности использования отношения сигнал/шум и по

эффективности использования спектра (удельной скорости). Условия передачи

по каналу с замираниями оказываются наиболее тяжелыми. Уменьшение

вероятности ошибки при передаче по каналу с замираниями требует

значительных энергетических затрат. Используя передачу с разнесением, можно

улучшить зависимость между отношением сигнал/шум и вероятностью ошибки.

При этом существенно снижается удельная скорость передачи. Особенно

сильное снижение удельной скорости передачи имеет место при оптимальном

разнесении.

Таблица 31.1

Канал,Вид модуляции,

прием

Вероятностьошибки, eP

Проигрышв отношениисигнал/шум, дБ

Удельнаяскоростьпередачи,

удVАБГШ, ФМ,когерентный прием )/2( 0NEQ 0 1/2

АБГШ, ЧМ,когерентный прием )/( 0NEQ

З дБ по сравнению сФМ в канале с АБГШ 1/3

АБГШ + сл.фаза, ЧМ,Некогерентный прием

02

21 N

E

e−

≤ 1 дБ по сравнению сЧМ в канале с АБГШ;≤ 4 дБ по сравнению сФМ в канале с АБГШ

1/3

АБГШ + сл.фаза,(медленно изменяю-щаяся), ОФМ,некогерентный прием

0

21 N

E

e−

≤ 1 дБ по сравнению сФМ в канале с АБГШ 1/2

Релеевские замирания,ЧМ,Некогерентный прием

0/21

NE+

проигрыш ∞→ при∞→0/ NE , по

сравнению с ЧМ вканале без замираний

1/3

Релеевские замирания,ЧМ, некогерентныйприем, L-кратноеразнесение

L

LNE

LNE

+

+

2

0

0

2

14проигрыш ∞→ при

∞→0/ NE , посравнению с каналомбез замираний, номедленнее, чем приотсутствии разнесения

1/(3L)

Релеевские замирания,ЧМ, некогерентныйприем, оптимальноеразнесение,( 3/)/( 0NEL = )

0/149.0 NEe−

проигрыш около5.25 дБ по сравнению сЧМ в канале беззамираний

)//(1 0NE

Рис.31.1 Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум дляразличных каналов и видов модуляции.

32. Каналы с межсимвольной интерференцией. Оптимальныйприем

Рассмотрим передачу по каналу с линейным фильтром, схема которого

показана на рис 32.1.

Здесь )(tg - импульсная переходная характеристика фильтра, описывающего

канал, )(tn - аддитивный белый гауссовский шум. Межсимвольная

интерференция возникает, когда сигнал проходит через линейный фильтр,

частотная характеристика которого отлична от константы в полосе частот

сигнала.

Предположим, что для передачи используются двоичные

противоположные сигналы вида )()(0 tsts ! , )()(1 tsts "! , где )(ts - некоторая

сигнальная функция, заданная на интервале ],0[ T . Рассмотрим передачу

последовательности сигналов. Она может быть записана как

# "!l

l lTtsuts )(),( )(u ,

где величина 1)( $!lu однозначно определяется значением передаваемого

двоичного символа по правилу 10 %& , 11 "& , а u - последовательность

величин )(lu . Положим, что длина передаваемой последовательности равна N2

и индекс l меняется в пределах от N" до 1"N , то есть

),...,,,,,...,,( )1()2()1()0()1()2()1()( """%""! NNN uuuuuuuuu .

Обозначим сигнал на выходе фильтра канала (отклик канала на

последовательность ),( uts ) как ),( utx . Очевидно, что )(),(),( tgtstx '! uu , где

' - обозначение свертки, или

+)(tg

Выходнойсигнал

Входнойсигнал

АБГШ

Рис.32.1 Общая схема передачи по каналу с линейным фильтром

## (( "!""!"!)

)"

)

)" l

l

l

l lTthudglTtsudgtstx )()()()(),(),( )()( ****** uu ,

где )()()()()( tgtsdtgtsth '!"! ()

)"

** . Иначе говоря, функция )(th представляет

собой отклик фильтра канала на входной сигнал )(ts . Функция )(th может

также рассматриваться как импульсная переходная характеристика пары

“модулятор-фильтр канала”.

Пример. Пусть сигнальная функция )(ts , задана в виде прямоугольного

импульса. Рассмотрим два примера канала: с относительно широкой и

относительно узкой полосой, то есть с относительно слабой и относительно

сильной интерференцией соответственно. На рис.32.2 приведены графики

импульсной переходной характеристики канала )(tg для двух примеров

каналов. Там же показаны графики функции )(th для этих каналов.

Рис.32.2 Примеры импульсной переходной характеристики канала )(tg иимпульсного отклика пары “модулятор-фильтр канала” )(th .

Видно, что при слабой интерференции функция )(th слабо отличается от

сигнальной функции )(ts . Иными словами, широкополосный канал вносит

небольшие линейные искажения, приводящие к слабой межсимвольной

интерференции.□

Сигнал на выходе канала с интерференцией может быть записан как

#"

"!

%)++)"%"!%!1

)( ),()()(),()(N

Nl

l ttnlTthutntxtr u , (32.1)

где )(tn - аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) со спектральной

плотностью мощности 2/0N .

Пример (продолжение). На рис.32.3 и 32.4 показано влияние фильтра

канала на переданную последовательность ),( utx в случае слабой и сильной

интерференции соответственно. Каналы со слабой и с сильной интерференцией

определены так же как в начале примера (см. рис. 32.2).

Рис.32.3 Влияние фильтра канала на передаваемую последовательность.Случай слабой интерференции.

Видно, что в канале со слабой интерференцией отклик канала практически

совпадает с входной сигнальной последовательностью (см. рис.32.3). В канале с

сильной интерференцией различие между входной последовательностью и

откликом на нее становится очень заметным. Отметим, что графики,

приведенные на рис.32.3 и 32.4 , не содержат аддитивного шума. □

Рассмотрим задачу построения оптимального приемника для канала с

интерференцией. Поскольку при прохождении по каналу с интерференцией

символы сигнальной последовательности оказывают взаимное влияние, то

естественным становится рассмотрение оптимального приема

последовательности сигналов, а не одиночного сигнала, как это делалось ранее.

Обратимся вновь к равенству (32.1). Нетрудно заметить, что число различных

Рис.32.4 Влияние фильтра канала на передаваемую последовательность.Случай сильной интерференции.

функций ),( utx конечно и равно числу различных последовательностей u , то

есть равно N22 . Пусть )(ux и r - коэффициенты разложения функций ),( utx и

)(tr по некоторому ортогональному базису, размерность которого ограничена

сверху величиной N22 . Решение по максимуму правдоподобия относительно

последовательности u формируется по правилу

))(|(maxarg uxruu

w!! ,

где )|( ,,w - условная плотность вероятностей, задающая аддитивный шум,

действующий в канале. Для канала с АБГШ это правило может быть

переписано в виде

- .- .ruxuxuxruuu

),(2)(minarg)(minarg 22"!"!! .

Используя свойства разложения сигналов по ортогональному базису, можно

записать, что ()

)"

! dttx ),()( 22 uux и - . ()

)"

! dttrtx )(),(),( urux . Тогда

.)(),(2),(minarg 2//0

1223

4"! ((

)

)"

)

)"

dttrtxdttx uuuu

! (32.2)

Рассмотрим по отдельности интегралы из правой части (32.2).

( ##()

)"

"

"!

"

"!

)

)"

!""! dtjTthulTthudttxN

Nj

jN

Nk

k1

)(1

)(2 )()(),( u

# ## # ("

"!

"

"!"

"

"!

"

"!

)

)"

!!""!1 1

)()(1 1

)()( )()(N

Nk

TN

Nj

jjk

kN

Nk

N

Nj

jk uhudtjTthkTthuu uHu ,

где

kjjk hdtjTthkTthh "

)

)"" !""! ( )()( , (32.3)

а H - матрица NN 22 5 с элементами jkh " , или в явном виде

.

..................

...

...

...

][

0322212

32012

22101

12210

666666

7

8

999999

:

;

!!

"""

"

"

"

"

hhhh

hhhhhhhhhhhh

h

NNN

N

N

N

jkH

Величины ih называются коэффициентами межсимвольной интерференции.

Далее имеем,

!"! ( #()

)"

"

"!

)

)"

dttrkTthudttrtxN

Nk

k )()()(),(1

)(u

- .## ("

"!

"

"!

)

)"

!!"!1

)()(1

)( ,)()(N

Nk

kkN

Nk

k urdtkTthtru u< ,

где ()

)"

"! ,)()()( dtkTthtrr k и ),...,,( )1()1()( "%""! NNN rrr< .

Для того, чтобы дать интерпретацию величины )(kr рассмотрим свертку

)(tr и некоторой функции )(tc

()

)"

"! *** dtcrtctr )()()(*)( .

Легко видеть, что если положить ),()( thtc "! то можно записать, что

kTtk thtrdtkTthtrr

!

)

)"

"!"! ( )(*)()()()( .

Это значит, что величины )(kr представляют собой отсчеты сигнала на выходе

фильтра, согласованного с )(th , взятые в моменты kT . Оптимальное решение

относительно последовательности u , основанное на рассмотрении принятой

последовательности < , принимается по правилу

- .- .uuHuuu

,2maxarg2}1{

<%"!$=

TN

! . (32.4)

Схема оптимального приемника последовательности, переданной по каналу с

межсимвольной интерференцией, показана на рис.32.5.

Рис.32.5 Схема оптимального приема последовательности при передачепо каналу с межсимвольной интерференцией

)(tr

kTt !

)( th "

Фильтр,согласованныйс функцией )(th

)(kr

Формированиепоследовательности

отсчетов}{ )(kr!<

Вычисление

- .- .uuHuuu

,2maxarg2}1{

<%"!$=

TN

!

u!<

Для величин ih , определенных равенством (32.3), справедливо равенство

ii hh "! . Предположим, что 0!ih при Li > , где NL ++ . Это означает, что

интерференция распространяется на конечное число соседних символов. При

таком предположении матрица H имеет вид

!H

66666666666666666666666

7

8

99999999999999999999999

:

;

""

""

"""

""""

""""

""""

""""

""""

""""

""""

"""

""

""

0121

10121

210121

1210121

1210121

1210121

1210121

1210121

1210121

1210121

121012

12101

1210

...000000000...0...00000000...0

.......................................................00000000

......00000000.............................................0.........000000...0......00000...00.......0000...000.......000...0000......00...00000......0...000000.....................................................0...00000000...0...000000000...

hhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhh

hhhhhh

hhhhhhhhh

LL

LL

LLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLL

LL

LL

Ввиду симметричности матрицы H квадратичная форма TuHu в (32.4) может

быть представлена в виде удвоенной суммы слагаемых, относящихся к верхней

треугольной матрице, сложенной с суммой слагаемых по диагонали, то есть

# ### #"

"!

"

"!

"

"!"

"

"!

"

"!" !%!!

1 1

02)(

1)()(

1 1)()( )(2

N

Nk

N

Nk

kk

Nj

jjk

kN

Nk

N

Nj

jjk

kT huuhuuhuuHu

# ##"

"!

%

!

""

"!

%!1

1

)()(1

02)( 2)(

N

Nk

Nk

i

iki

kN

Nk

k uhuhu .

Поскольку 0)( !ku при Nk "+ , и 0!ih при Li > , то

- . !/0

123

4""!%" # #

"

"!

"

!

"1 1

1

)()(0

2)()()( 2)(2,2N

Nk

L

i

iki

kkkkT uhuhuuruuHu <

#"

"!

%""!1

)1()1()()( ),...,,;(N

Nk

Lkkkk uuurm (32.5)

где использовано обозначение

#"

!

"%"" ""!1

1

)()(0

2)()()()1()1()()( 2)(2),...,,;(L

i

iki

kkkkLkkkk uhuhuuruuurm . (32.6)

Из формулы (32.5) следует, что

#"

"!

%""

$=!

1)1()1()()(

}1{),...,,;(maxarg

2

N

Nk

Lkkkk uuurmNu

u! . (32.7)

Максимизация в правой части равенства (32.7) соответствует максимизации

суммы слагаемых, каждое из которых зависит от текущего значения отсчета на

выходе согласованного фильтра )(kr , текущего значения переданного символа)(ku , и 1"L предыдущих значений переданных символов )1()1( ,..., %"" Lkk uu .

Пример (продолжение). Вычислим величины 110 ,...,, "Lhhh для каналов с

сильной и слабой интерференции. На рис. 32.6 они показаны в графической

форме.

Из этих графиков следует, что можно принять 1!L для канала со слабой

интерференцией и 3!L для канала с относительно сильной интерференцией.

Заметим, что значение 1!L означает отсутствие интерференции. Матрицы H

для этих двух случаев имеют вид

Рис.32.6. Коэффициенты интерференции для каналов с относительно слабой иотносительно сильной интерференцией

666666

7

8

999999

:

;

!

0

0

0

0

000

000000000

h

hh

h

"

"""""

"

"

"

H

и

66666666666

7

8

99999999999

:

;

!

012

1012

21012

21012

21012

2101

210

0000000

00

00000000000

hhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhh

hhhhhhh

#

#

#

########

#

#

#

"

H

соответственно. Отсюда следует, что выражение (32.6) принимает вид

0)()(

02)()()()()()1()1()()( 2)(2);(),...,,;( hurhuururmuuurm kkkkkkkLkkkk "!"!!%""

для канала со слабой интерференцией, и

!! ""%"" ),,;(),...,,;( )2()1()()()1()1()()( kkkkLkkkk uuurmuuurm

)(22)(2)(2 )2(2

)1(1

)(0

)()()2(2

)1(1

)(0

2)()()( """" %""!%""! kkkkkkkkkkk uhuhuhuruhuhuhuur

для канала с сильной интерференцией. □

Назовем набор предыдущих 1"L значений ),...,( )1()1( "%" kLk uu состоянием

некоторого конечного автомата. Нетрудно заметить, что величина

),...,,;( )1()1()()( %"" Lkkkk uuurm соответствует переходу

),...,(),...,( )()2()1()1( kLkkLk uuuu %""%" &

Тогда максимизация в правой части (32.7) может быть интерпретирована как

поиск пути с максимальной накопленной метрикой в решетке с 12 "L

состояниями, аналогичной кодовой решетке сверточного кода. Отыскание

последовательности, имеющей максимальное значение метрики (32.7), может

быть выполнено с использованием алгоритма Витерби.

Пример (окончание). Для двух рассматриваемых случаев имеем решетки

следующего вида (см. рис.32.7).

Для канала со слабой интерференцией (практически без интерференции)

“решетка” имеет только одно состояние. Это означает, что зависимости от

предыдущих символов нет, и оптимальный прием состоит в одиночном приеме

каждого сигнала. В этом случае понятие решетки вообще не нужно

использовать для описания процедуры приема. В канале с относительно

сильной интерференцией решетка имеет четыре состояния, задающие четыре

возможных значения пары предыдущих символов ),( )1()2( "" kk uu , то есть (+1,+1),

(+1,-1), (-1,+1) и (-1,-1). Алгоритм оптимального приема в этом случае может

быть реализован с использованием алгоритма Витерби. Метрикой ребра,

соединяющего узлы ),( )1()2( "" kk uu и ),( )()1( kk uu " , будет значение, вычисляемое

по формуле (32.7).□

……

+1+1

-1+1

+1-1

-1-1

… …

),( )1()2( "" kk uu

Рис.32.7. Решетки для каналов со слабой (а) и сильной интерференцией (б).

(а)

(б)

33. Каналы с межсимвольной интерференцией. Оценка

вероятности ошибки (предварительный вариант)

Рассмотрим передачу последовательности по каналу с межсимвольной

интерференцией и прием по максимуму правдоподобия, реализованный в форме

алгоритма Витерби.

Пусть

),...,,,,,,...,,( )1()2()1()0()1()2()1()( !!!"!!# NNN uuuuuuuuu

переданная последовательность, и

)',...,',',',',',...,','(' )1()2()1()0()1()2()1()( !!!"!!# NNN uuuuuuuuu

некоторая другая последовательность, 'uu $ , 1', )()( %#kk uu . Обозначим через

),( utx и )',( utx отклики канала на переданные последовательности u и 'u ,

& !#l

l lTthutx )(),( )(u ,

& !#l

l lTthutx )(')',( )(u .

Обозначим также разложения функций ),( utx и )',( utx по некоторому

функциональному базису как )(ux и )'(ux .

Последовательности u и 'u соответствуют некоторым путям в решетке.

Определим вероятность того, что конкретный неправильный путь 'u в решетке

будет выбран вместо правильного u . Вероятность этого события равна

' ( ))*

+,,-

. !##

02)'()(

|'PrN

Quxux

uuu! . (33.1)

Квадрат расстояния между последовательностями )(ux и )'(ux можно записать

как

#)*

+,-

.!!#!#! / &/

0

0!

!

!#

0

0!

dtkTthuudttxtxN

Nk

kk21

)()(22 )()'())',(),(()'()( uuuxux

& & /!

!#

!

!#

0

0!

#!!!!#1 1

)()()()( )()()')('(N

Nk

N

Nj

jjkk dtjTthkTthuuuu .

& &!

!#

!

!#! !!#

1 1)()()()( )'()'(

N

Nk

N

Nj

jjjk

kk uuhuu .

Определим ошибочную последовательность ),...,,( )1()1()( !"!!# NNN eeee , где

12

13

4

#!#!#

!##"#!#

1',1 если ,1' если,0

1',1 если ,1)'(

21

)()(

)()(

)()(

)()()(

kk

kk

kk

kkk

uuuu

uuuue .

Тогда по аналогии с выводом равенства, непосредственно предшествующим

формуле (32.3), с учетом симметричности матрицы H и конечного числа

ненулевых коэффициентов интерференции }{ ih можно получить, что

& &!

!#

!

#

! )*

+,-

."##!

1 1

1

)()(0

2)(2 2)(44)'()(N

Nk

L

i

iki

kkT eheheeHeuxux .

Вероятность (33.1) может быть записана как

' ( ,)(|'Pr euuu EP##! (33.2)

где

))

*

+,,

-

.)*

+,-

."#)

)*

+,,-

.# & &

!

!#

!

#

!1 1

1

)()(0

2)(

00

2)(22)(N

Nk

L

i

iki

kkT

E eheheN

QN

QP eHee (33.3)

- вероятность события, состоящего в том, что при передаче некоторой

последовательности принято ошибочное решение в пользу другой

последовательности, определяемой последовательностью ошибок e . Равенства

(33.2) и (33.3) означают, что искомая вероятность ' (uuu |'Pr #! зависит только от

значения ошибочной последовательности e и не зависит от значений

последовательностей u и 'u .

Обозначим

&!

#

!"!! "#1

1

)()(0

2)()1()1()( 2)(),...,,(L

i

iki

kkLkkkE eheheeeem ,

тогда можно записать, что

))*

+,,-

.# &

!

!#

"!!1

)1()1()(

0

),...,,(2)(N

Nk

LkkkEE eeem

NQP e . (33.4)

Для подсчета вероятности )(eEP полезным оказывается использование

некоторого конечного автомата. Заметим, что он прямо не связан с конечным

автоматом, описываемым решеткой, применяемой при приеме по алгоритму

Витерби. Назовем набор предыдущих значений ),...,( )1()1( !!! kLk ee состоянием

этого конечного автомата. Нетрудно заметить, что величина

),...,,( )1()1()( "!! LkkkE eeem соответствует переходу

),...,(),...,( )()11()1()1( kLkkLk eeee "!!!!! 5 .

При подсчете вероятности )(eEP величину ),...,,( )1()1()( "!! LkkkE eeem можно

рассматривать как метрику ребра в решетке (назовем ее решеткой ошибок) с13 !L состояниями, соответствующего этому переходу. Суммирование в правой

части (33.4) при этом соответствует следованию вдоль некоторой траектории в

решетке ошибок, соответствующей последовательности ошибок e .

Поскольку при оценке вероятности ошибки для алгоритма Витерби

следует учитывать только те последовательности e , которые соответствуют

ошибочным событиям, то далее будем полагать e именно такими. Напомним,

что ошибочным событием при декодировании называется выбор пути в

решетке, который соответствует петле, то есть один раз ответвляется от

правильного пути и сливается с ним где-то далее. Нетрудно заметить, что

ошибочное событие соответствует такой последовательности e , в которой

ненулевая компонента стоит на некоторой, например, l -ой, позиции и далее не

имеется 1!L нулей, следующих подряд. Обозначим множество таких

последовательностей через )(lE . Если предположить, что источник порождает

символы )(ku равновероятно и независимо, то вероятность появления

конкретной последовательности ошибок равна )(2 ew! , где )(6w - обозначение

числа ненулевых элементов в последовательности. Тогда с использованием

аддитивной границы имеем следующую оценку для вероятности ошибочного

события в l -ом узле решетки канала

&7

!8)(

)(2 )()(

lEE

wlE PP

e

e e . (33.5)

Для вероятности ошибочного решения о переданном бите, возникающего

вследствие ошибочного события в некотором узле, имеем границу вида

&7

!8)(

)(2)( )()(

lEE

wlb PwP

e

e ee . (33.6)

Рассмотрим вычисление границ (33.5) и (33.6). Заметим, что метрики ребер в

решетке ошибок могут принимать лишь конечное число различных значений.

Более того, они могут быть представлены в виде линейной комбинации

некоторых (базовых) констант взятых с целыми неотрицательными

коэффициентами, т.е.

)()2(2

)1(1

)1()1()( ...),...,,( KEKEE

LkkkE mwmwmweeem """#"!! ,

где )()1( ,..., KEE mm - базовые константы, K - их число, Kwww ,...,, 21 - целые

неотрицательные коэффициенты, определяемые набором )1()1()( ,...,, "!! Lkkk eee и

коэффициентами интерференции }{ ih . Набор базовых констант и их число,

очевидно, зависят от коэффициентов интерференции }{ ih . Легко видеть, что

при любых значениях коэффициентов интерференции }{ ih выполняется

неравенство LK 38 .

Введем формальный ряд (производящую функцию) вида

& ""#nww

nmwmwK

K

KEKE NZnwwaNZT

,...

...1

1

)()1(1 )2/(),,...,(),( ,

где ),,...,( 1 nwwa K - число петель в решетке ошибок, метрики которых равны

величине)()2(

2)1(

11 ...),,...,( KEKEEKE mwmwmwnwwm """# ,

а число ненулевых элементов в последовательности ошибок, соответствующих

этой петеле, равно n . Тогда границы (33.5) и (33.6) можно выразить в виде

& ))*

+,,-

.8 !

nwwKE

nK

lE

K

nwwmN

QnwwaP,,...,

10

1)(

1

),,...,(22),,...,( ,

& ))*

+,,-

.8 !

nwwKE

nK

lb

K

nwwmN

QnwwnaP,,...,

10

1)(

1

),,...,(22),,...,( .

Величины ),,...,( 1 nwwa K можно найти, анализируя диаграмму (граф) состояний

ошибок.

В общем виде формула для определения производящей функции ),( NZT

может быть найдена следующим образом. Определим 11 33 !! 9 LL матрицу

переходов )],([),( NZaNZ ij#A в диаграмме состояний. Элемент матрицы

nmij NZNZa )2/(),( # , если переход (ребро) ji 5 в диаграмме состояний

имеет метрику равную m и соответствует n ненулевым элементам в

последовательности ошибок.

Пусть 11 33 !! 9 LL матрица переходов в диаграмме ошибок записана в виде

:;

<=>

?#

),(),(),(1

),(1 NZNZ

NZNZ

Aba

A ,

где ),( NZa - матрица-строка размера )13(1 1 !9 !L , ),( NZb - матрица-столбец

размера 1)13( 1 9!!L , ),(1 NZA - матрица )13()13( 11 !9! !! LL . Тогда

производящая функция ),( NZT равна

@ A ),(),(),(),(),(),(),( 11

01 NZNZNZNZNZNZNZT

l

l bAIabAa !0

#

!## & ,

где I - единичная матрица )13()13( 11 !9! !! LL .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть 2#L и коэффициенты интерференции равны 10 ,hh .

Число состояний решетки ошибок и диаграммы состояний ошибок равно

33 1 #!L . Состоянием называется набор )(),...,,( )1()1()2()1( !"!!! # kLkkk eeee ; все

возможные состояния это: 0, +, -. Здесь и далее при обозначении состояний для

краткости используется обозначение: % вместо 1% . Метрики ребер

вычисляются по формуле)1(

1)(

02)()1()( 2)(),( !! "# kkkkk

E eheheeem .

Их значения перечислены в таблице 33.1

Таблица 33.1)1()( , !kk ee ),( )1()( !kk

E eem

0,0 0

0,+1 0

0,-1 0

+1,00h

+1,+1 hh 20 "

+1,-1 hh 20 !

-1,00h

-,1+1 hh 20 !

-1,-1 hh 20 "

Матрица переходов из состояния в состояние в данном случае равна

2/2/12/2/1

2/2/100

1010

1010

00

22

22

NZNZNZNZ

NZNZ

hhhh

hhhh

hh

"!

!"

!"

!"

.

Тогда производящая функция может быть найдена как

' ( #:;

<=>

?))

*

+

,,

-

.:;

<=>

?# &

0

#"!

!"

11

2/2/2/2/

2/2/),(0

22

22

1010

101000

l

l

hhhh

hhhhhh

NZNZNZNZNZNZNZT

' ( #:;

<=>

?:;

<=>

?

!!

#!

"!

!"

11

2/12/2/2/1

2/2/1

22

22

1010

101000

NZNZNZNZ

NZNZ hhhh

hhhhhh

(НЕ ЗАВЕРШЕНО!)

Пример 2. Пусть 3#L и коэффициенты интерференции равны 210 ,, hhh .

Число состояний решетки ошибок и диаграммы состояний ошибок равно

93 1 #!L . Состоянием называется набор ),(),...,( )2()1()1()2()1( !!"!!! # kkLkkk eeeee ; все

возможные состояния это: (0,0), (0,+1), (0,-1), (+1,0), (+1,+1), (+1,-1), (-1,0),

(-1,+1), (-1,-1). Метрики ребер в решетке ошибок (диаграмме состояний)

вычисляются по формуле)2(

2)()1(

1)(

02)()2()1()( 22)(),,( !!!! ""# kkkkkkkk

E eheeheheeeem . Их значения

перечислены в таблице 33.2 Удвоенная (с целью экономии места) матрица

переходов из состояния в состояние равна

NZNZNZNZ

NZNZNZNZNZNZ

NZNZNZNZNZNZ

NZNZ

hhhhhh

hhhhhh

hhhh

hhhhhh

hhhhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hh

210210

210210

1010

210210

210210

1010

2020

2020

00

2222

2222

22

2222

2222

22

22

22

0000200000020000002000

00000200000020000002000000002000000020000000200

000000

""!!

!""!

"!

"!!"

!!""

!"

"!

!"

!!"!

!!"""

"!"

!!"!!!""""!"

Таблица 33.2

)2()1()( ,, !! kkk eee ),,( )2()1()( !! kkkE eeem

0,0,0 00,0,+1 00,0,-1 00,+1,0 0

0,+1,+1 00,+1,-1 00,-1,0 0

0,-1,+1 00,-1,-1 0+1,0,0

0h+1,0,+1

20 2hh "+1,0,-1

20 2hh !+1,+1,0

10 2hh "+1,+1,+1

210 22 hhh ""+1,+1,-1

210 22 hhh !"+1,-1,0

10 2hh !+1,-1,+1

210 22 hhh "!+1,-1,-1

210 22 hhh !!-1,0,0

0h-1,0,+1

20 2hh !-1,0,-1

20 2hh "-1,+1,0

10 2hh !-1,+1,+1

210 22 hhh !!-1,+1,-1

210 22 hhh "!-1,-1,0

10 2hh "-1,-1,+1

210 22 hhh !"-1,-1,-1

210 22 hhh ""

(НЕ ЗАВЕРШЕНО!)

34. Совместное рассмотрение модуляции и кодирования

В этом разделе мы рассмотрим передачу с использованием

помехоустойчивого кодирования (см. рис.34.1.)

Вообще говоря, существует много способов совместного выбора и/или

согласования параметров модуляции, кодирования и алгоритмов

декодирования. Рассмотрим наиболее простой из этих способов.

Предположим, что источник порождает поток двоичных

информационных символов. Блок из m , 1!m , последовательных

информационных двоичных символов может рассматриваться как одно из

"q ичных значений, mq 2# . Эти значения объединяются в наборы из k

символов и кодируются "q ичным блоковым кодом длины n , 1!! kn , с

минимальным расстоянием d . Пусть для передачи используется "q ичное

множество сигналов, и отображение символов кодового слова в сигналы

происходит очевидным образом: если символ кодового слова принимает

значение i , 1,...,1,0 "# qi , то передается сигнал )(tsi . Эти сигналы

последовательно передаются по каналу, демодулируются, и на выходе

демодулятора образуется последовательность жестких решений

Рис. 34.1 Схема системы передачи дискретных сообщений с использованиемкодирования

Источникдискретныхсообщений

Получатель

Канал

)(ts Кодерканала Модулятор

)(trДекодерканала Демодулятор

Дискретныйканал

(последовательность "q ичных значений), которая поступает на вход декодера.

Относительно алгоритма декодирования предположим, что декодирование

выполняется с исправлением всех ошибок, число которых t удовлетворяет

условию

$$%

$$&

'

"

"

(четное если ,1

2

нечетное если ,21

dd

dd

t .

Будем полагать, что ошибки в кодовых словах возникают независимо, то есть

дискретный канал, образованный модулятором, каналом и демодулятором

представляет собой дискретный канал без памяти. Это условие выполняется при

использовании модуляции без памяти и канала с независимыми искажениями,

например, канала с АБГШ, канала с АБГШ и случайной фазой, канала с

замираниями при использовании достаточного перемежения.

Обозначим через eP вероятность ошибки, возникающую при передаче

одиночного сигнала. Она определяется видом модуляции и параметрами канала.

Вероятность ошибочного декодирования одного кодового слова может быть

оценена как

)*#

""(n

ti

ine

ie

in

worde PPCP

1

)( )1( , (34.1)

где ))!(!/(! ininC in "# . При последовательной передаче многих кодовых слов

декодирование иногда выполняется с ошибкой и при каждом ошибочном

декодировании декодер выдает получателю несколько ошибочных символов.

Можно показать, что вероятность ошибки в потоке "q ичных символов,

формируемых декодером, может быть оценена как)()( )/( word

esymbol

e PndP + . (34.2)

Действительно, число ошибочных кодовых символов, возникающих при

ошибочном декодировании одного слова, лежит в пределах от d до n . При

ошибочном декодировании наиболее вероятным оказывается принятие

решения в пользу слова отличного от переданного и находящегося на

минимальном расстоянии от него. Отсюда следует формула (34.2).

Рассмотрим теперь вероятность ошибки на бит. Ранее было показано (см.

выражение (19.4)), что вероятность ошибки на бит связана с вероятностью

ошибки на символ соотношением

)(1

)(

122 symbol

em

mbit

e PP"

#"

,

где qm 2log# . Отсюда с учетом формул (34.1) и (34.2) следует, что

)*#

""

""

+n

ti

ine

ie

inm

mbit

e PPCndP

1

1)( )1(

122 . (34.3)

Важной является зависимость вероятности ошибки на бит от отношения

сигнал/шум на бит. При передаче с использованием "q ичного кодирования со

скоростью R каждый сигнал переносит qR 2log бит. Поэтому энергия,

приходящаяся на передачу одного бита, равна )log/( 2 qRE , где E - энергия

сигнала. Тогда отношение сигнал/шум на бит равно

qRNE

NE

bit 200 log1

#,,-

.//0

1. (34.4)

Чтобы явно указать зависимость вероятности ошибки, возникающей при

передаче одиночного сигнала, будем писать )/( 0NEPe вместо eP . Тогда, исходя

из формул (34.3) и (34.4), можно записать выражение, связывающее вероятность

ошибки на бит с отношением сигнал/шум на бит и включающее в себя

параметры кода

2 3 2 3)*#

""

""

+n

ti

inbite

ibite

inm

mbit

e qRNEPqRNEPCndP

12020

1)( )log)/(1(log)/(

122 . (34.5)

Рассмотрим примеры вычислений по формуле (34.5). Примеры

соответствуют двоичным кодам БЧХ и передаче с использованием двоичных

противоположных сигналов: 1) 2#q , 63#n , 30#k , 13#d и 2) 2#q , 63#n ,

57#k , 3#d . Графики вероятности ошибки на бит в зависимости от

отношения сигнал/шум на бит показаны на рис.34.2

Эффективность применения кодирования может быть оценена

количественно с использованием понятия энергетического выигрыша.

Энергетический выигрыш обычно определяется из сравнения графиков,

показывающих зависимость вероятности ошибки на бит от отношения

сигнал/шум на бит для системы без кодирования и с кодированием.

Энергетический выигрыш от кодирования определяется для некоторого

Рис.34.2 Вероятность ошибки на бит для двух кодов БЧХ и для передачи без кодирования

Рис.34.3 Определение энергетического выигрыша от кодирования пографикам

фиксированного уровня вероятности ошибки на бит как разница в отношении

сигнал/шум на бит, требуемом для достижения этого значения вероятности

ошибки при передаче с кодированием и без кодирования (см. рис. 34.3)

Из графиков, показанных на рис.34.3, видно, что величина выигрыша от

кодирования может принимать различные значения. Более того она может быть

отрицательной, например для этого примера при дБ 4/ 0 4NEb кодирование

ухудшает вероятность ошибки и выигрыш становится отрицательным, т.е.

становится проигрышем.

Вернемся к рассмотрению конкретного примера (рис.34.2) Пусть

вероятность ошибки на бит фиксирована, например, на уровне 610" . Из

графиков видно, что для достижения этой вероятности ошибки при передаче без

кодирования требуется обеспечить отношение сигнал/шум на бит около 10.5 дБ.

При использовании кода (63,57) требуется менее 9 дБ. Это значит, что код

(63,57) обеспечивает энергетический выигрыш равный 5.195.10 #" дБ при

вероятности ошибки на бит 610" . Если зафиксировать вероятность ошибки на

бит на уровне 810" , то выигрыш для этого кода составит величину

21012 #" дБ. Для кода (63,30) выигрыш составляет 35.75.10 #" дБ при6)( 10"#bit

eP и 6.34.812 #" дБ при 8)( 10"#biteP . Видно, что а) разные коды

имеют различные значения энергетического выигрыша от кодирования, б)

выигрыш увеличивается с ростом отношения сигнал/шум.

Качество кода может быть оценено асимптотическим значением

энергетического выигрыша при 2 3 56bitNE 0/ . Асимптотический выигрыш

можно определить аналитически из формулы (34.5). Для двоичного кода эта

формула приобретает вид

2 3 2 3)*#

""+n

ti

inbite

ibite

in

bite RNEPRNEPC

ndP

100

)( ))/(1()/(

и при 2 3 56bitNE 0/

2 3 10

)( )/( *+ tbite

bite RNEKPP , (34.6)

где 1)/( *# tnCndK . Вероятность ошибки при использовании двоичных

противоположных сигналов имеет вид

,,-

.//0

1"4#

000 exp

21)/2()/(

NENEQNEPe . (34.7)

Используя неравенство (34.7) в (34.6) получаем, что

,,-

.//0

1,,-

.//0

1*"+ *"

bit

tbite N

EtRKP0

)1()( )1(exp2 . (34.8)

При двоичной передаче без кодирования 00 /)/( NENE bit # и

,,-

.//0

1,,-

.//0

1"4##

bitbite

bite N

ENEQPP0

0)( exp

21))/(2( . (34.9)

Сравнивая показатели экспонент в (34.7) и (34.9) нетрудно видеть, что они

отличаются множителем )1( *tR , который и определяет скорость

экспоненциального убывания вероятности ошибки с ростом отношения

сигнал/шум. Поэтому асимптотический энергетический выигрыш,

обозначаемый как G , составляет величину )1( *# tRG , или в децибелах

)1(lg10 *# tRGдБ , дБ.

Легко подсчитать, что для рассмотренных примеров кодов (63,57) и (63, 30)

асимптотический выигрыш составляет 2.58 дБ и 5.23 дБ соответственно.

Заметим, что при конечных значениях отношения сигнал/шум энергетический

выигрыш меньше своего асимптотического значения, но стремится к нему с

ростом отношения сигнал/шум.

Приложение 0

Метол ортогонализации Грама – Шмидта

Метод ортогонализации Грама – Шмидта позволяет строить ортогональный базис по множеству функции (сигналов). Пусть имеется множество сигналов ,

. Требуется построить множество ортонормированных функций (базис)

)}({ tsi

1,...,1,0 −= qi)}({ tjϕ , . Не теряя общности, можно считать, что Dj ,...,2,1= 0)( ≠tsi для всех .

Это условие означает, что среди сигналов нет тождественно равных нулю. Построение базиса можно описать в виде алгоритма. Исходными данными для этого алгоритма служат сигналы , а в результате формируется множество ортонормированных функций (базис)

i

)(),...,( 10 tsts q−

{ })(tjϕ , , Dj ,...,2,1= qD ≤ . Алгоритм построение ортонормированного базиса представлен ниже.

;1;)(/)()( 001

←

←

Dtststϕ

( )

endend

;)(/)()( ;1

0)( if

);()(),()()(

1 1,2,...,for

1

tttDD

t

tttstst

qi

D

j

D

jjii

ψψϕ

ψ

ϕϕψ

←

+←

≠

−←

−=

∑=

Поясним этот алгоритм. В качестве первой базисной функции выбирается любой сигнал, например, , деленный на норму этого сигнала. Этим достигается выполнение

условия

)(0 ts

1)(1 =tϕ . Далее в цикле последовательно рассматриваются остальные сигналы и

формируются базисные функции. Для этого вычисляется вспомогательная функция )(tψ как разность очередного сигнала и его разложения по построенным к этому моменту

базисным функциям. Если функция )(tψ не равна тождественно нулю, то очередная

базисная функция вычисляется как )(/)( tt ψψ . Процесс оканчивается, если исследованы

все сигнальные функции. В результате выполнения алгоритма формируется qD ≤ базисных функций. Равенство qD = выполняется только в случае, если все сигналы из множества , 1, оказываются линейно независимыми. Очевидно, что все

построенные таким образом функции

)}({ tsi ,...,1,0 −= qi

)(tjϕ , Dj ,...,2,1= , qD ≤ , будут нормированными.

Нетрудно показать, что они при этом будут ортогональными. Рассмотрим пример. Пусть сигнальное множество содержит следующие четыре

функции, заданные на интервале , ],0[ T))/3(2sin(2)(0 Tts π= ,

))/3(2cos(4)(1 θπ −−= Tts ,

)4/)/3(2cos(3)(2 ππ +−= Tts , )6/5)/3(2cos()2/3()(3 ππ −−= Tts ,

где θ и – параметры. Графики этих сигналов показаны на рис.П.0.1 для значений T1=T и 8/3πθ = .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4

-2

0

2

4

s0(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4

-2

0

2

4

s1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4

-2

0

2

4

s2(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4

-2

0

2

4

s3(t)

Рис.П.0.1. Графики сигнальных функций . )(),(),(),( 3210 tstststs

Последовательно выполняя шаги алгоритма, получаем:

1. Выражение для функции )(1 tϕ имеет вид

))/3(sin(/2)(/)()( 001 tTTtstst πϕ 2== , (П.0.1)

поскольку TdttstsT

2)()(0

200 == ∫ .

2. Далее, применяя тождество bababa sinsincoscos)cos( +=− к выражению для сигнала , легко вычисляем, что )(1 ts

θϕϕ sin22)()(),(0 1111 TdtttssT

−== ∫ .

Отсюда следует, что разностная функция на этом шаге алгоритма равна

))/3(sin(sin4))/3(cos(4)(),()()( 1111 tTtTtstst πθθπϕϕψ 2+−2−=−= .

Нетрудно вычислить, что θψψ cos6)()(0

2 TdtttT

== ∫ . Далее будем считать, что

8/3πθ = . Отсюда следует, что 0)( ≠tψ , и поэтому

( ) ( )( )8/3cos2

)/3(sin8/3sin)8/3)/3(cos(4)(/)()(2 πππππψψϕ

TtTtTttt 2+−2−

== . (П.0.2)

3. Рассмотрим функцию и определим вид функции )(2 ts )(tψ на этом шаге алгоритма. Функция )(tψ для этого шага алгоритма определяется как

)(),()(),()()( 2221122 tststst ϕϕϕϕψ −−= . (П.0.3)

Используя выражения (П.0.1) и (П.0.2), после некоторых по сути несложных, но громоздких преобразований получаем, что 2/3),( 12 Ts =ϕ и 2/3),( 22 Ts −=ϕ . Подстановка этих значений в (П.0.3) в итоге приводит к равенству 0)( =tψ . Это равенство означает, что рассмотрение функции не влечет увеличения числа базисных функций. )(2 ts

4. Осталось рассмотреть последнюю сигнальную функцию ) . Разностная

функция в этом случае равна

(3 ts

)(),()(),()()( 2231133 tststst ϕϕϕϕψ −−= . Здесь после

вычислений получаем, что 8/63),( 13 Ts =ϕ и 8/23),( 23 Ts −=ϕ , и в итоге вновь оказывается, что 0)( =tψ . Выполнение алгоритма на этом шаге заканчивается.

Рассмотрев, таким образом сигнальные функции , , и ,

получаем, для их представления достаточно иметь две базисные функции

)(0 ts )(1 ts ))(2 ts (3 ts)(1 tϕ и )(1 tϕ ,

заданные равенствами (П.0.1) и (П.0.2) соответственно. Графики базисных функций показаны на рис.П.0.2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4φ1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4φ2(t)

Рис.П.0.2. Графики ортонормированных базисных функций )(),( 21 tt ϕϕ .

Координаты сигнальных точек, соответствующие сигналам , , и

, равны

)(0 ts )(1 ts )(2 ts

)(3 ts )0,2(0 T=s , )8/3cos22,8/3sin22(1 ππ TT−=s , )2/3,2/3(2 TT −=s ,

)8/23,8/63(3 TT −=s . Множество сигнальных точек (сигнальное созвездие) для этих функций, полученное с использованием построенного базиса, показано на рис. П.0.3.

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

s0

s1

s2

s3

Рис.П.0.3. Множество сигнальных точек .,,, 3210 ssss .

Приложение 1

Сигналы с непрямоугольными огибающими

Двумерные сигнала, в частности сигналы КАМ и ФМ, представимы в виде

)()()( 2211 tststs iii ϕϕ += , (П.1.1)

где )(1 tϕ , )(2 tϕ – ортонормированные функции, – коэффициенты, задающие конкретный сигнал. В частности, если

21, ii ss

tfT

t 01 2cos2)( πϕ = , tfT

t 02 2sin2)( πϕ = , Tt <<0 ,

то сигнал ) имеет вид отрезка гармонической функции длительности (tsi T с постоянной амплитудой.

В общем случае функции )(1 tϕ и )(2 tϕ могут быть заданы как tftmt 01 2cos)()( πϕ = , tftmt 02 2sin)()( πϕ = , где – огибающая, выбранная таким образом, что )(tm )(1 tϕ и )(2 tϕ

образуют ортонормированный базис, ∞<<∞− t . Пусть , тогда спектр сигнала ) равен

)()( tmfM ↔(tsi

( ) ( ))()(2

)()(2

)( 002

001 ffMffM

jsffMffMsfS ii

i +−−+++−= .

Очевидно, что спектр сигнала сосредоточен около несущей частоты , а его форма и ширина полосы частот определяются видом функции однозначно определяемой огибающей ) . Выбор огибающей ) в виде кусочно–постоянной функции на интервале ] приводит к спектру вида . Ширина полосы частот при этом равна

.

0f)( fM

(tm (tm,0[ T xx /sin

TW /2=При другом выборе огибающей возможно сокращение полосы до величины . В

частности, это достигается путем применения огибающей вида . В последующем рассмотрении используется функция sinc(x), которая связана с функцией .

T/1xx /sin

xx /sinФункция определена как )sinc(x

xxx

ππsin)sinc( = .

Определим также функцию прямоугольного импульса

⎩⎨⎧ ≤

=случае противном в,0

2/1,1)rect(

xx

Графики этих функций показаны на рис. П.1.1

-5 0 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xsi

nc(x

)-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

rect

(x)

Рис. П.1.1. Графики функций sinc( и . )x )rect(x Рассмотрим некоторые свойства этих функций. 1. Четность функций

)sinc()sinc( xx −= , rect( )rect() xx −= . 2. Частные значения

1)0sinc( = , 0)sinc( =k для ,...3,2,1 ±±±=k 3. Преобразование Фурье

)rect()sinc( yx ↔ .

Доказательство. Вычисляя обратное преобразование Фурье от функции , получаем

)rect(y

)sinc(sin122

)rect(2/1

2/1

22/1

2/1

22 xx

xxj

eexj

edyedyeyxjxjxyj

xyjxyj ==−

===−

−−

∞

∞−∫∫ π

πππ

πππππ . □

4. Произведение двух функций )rect(⋅)rect()rect()rect( xxx =⋅ .

5. Свертка двух функций )sinc(⋅

)sinc()sinc()sinc( xxx =∗ .

Доказательство. Обозначим )sinc()sinc()( xxx ∗=ψ . Пусть )(yΨ преобразование Фурье функции )(yψ , то есть )()( yy Ψ↔ψ . По определению

∫∞

∞−

−= 111 )sinc()sinc()( dxxxxxψ .

Используя теорему о свертке для преобразования Фурье и свойства 3 и 4, получаем

).rect()rect()rect()( yyyy ==Ψ

Поскольку )()( yy Ψ↔ψ и )rect()sinc( yx ↔ , то )(xψ =sinc( . □ )x

6. Автокорреляция функции )sinc(x

∫∞

∞−

=− )sinc()sinc()sinc( 11 xdxxxx .

Доказательство. Используя четность функции )sinc(⋅ и свойство 5, получаем требуемое утверждение. □ 7. Функции )sinc()( kxxk −=ϕ , – целое, образуют ортонормированный базис на интервале ) , то есть

k,( +∞−∞

kllk dxxx δϕϕ =∫∞

∞−

)()( .

Доказательство.

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=−=−+=−−= kllk kldxlkxxdxlxkxdxxx δϕϕ )sinc()sinc()sinc()sinc()sinc()()( . □

8. Связь с функцией интегрального синуса Si( )⋅ .

Функция интегрального синуса определена как Si( . График функции ∫=t

xdxxt0

/sin)

)Si(⋅ показан на рис. П.1.2.

-30 -20 -10 0 10 20 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

Si(x

)

Рис.П.1.2. График функции )Si( x Выполняются равенства

)Si(1)sinc(0

tdxxt

ππ∫ = ,

)Si(1)sinc( tdtdt ππ

= .

Доказательство.

)Si(1sin1sin)sinc(01

1

00

tdyy

y

dydxyx

yxdx

xxdxx

ttt

πππ

π

π

π

ππ π

==

=

=

=

== ∫∫∫−

− . □

-10 0 10-0.5

0

0.5

1

t

s(t)

Ts = 5

-2 0 2-0.5

0

0.5

1

1.5

f

S(f)

-10 0 10-0.5

0

0.5

1

t

s(t)

Ts = 15

-2 0 2-0.5

0

0.5

1

1.5

f

S(f)

-10 0 10-0.5

0

0.5

1

t

s(t)

Ts = ∞

-2 0 2-0.5

0

0.5

1

1.5

f

S(f)

)9. Спектр отрезка функции . sinc(x Пусть

⎩⎨⎧

≥<

=. 2/||,0

,2/||),sinc()(

s

s

TtTtt

ts

Этот сигнал представляет собой отрезок функции )sinc( ⋅ длительности . Найдем

спектр этой функции ) . Легко заметить, что sT

()( tsfS ↔ )/rect()sinc()( sTttts = , ∞<<∞− t . Тогда используя теорему о свертке и учитывая, что

)sinc()/rect( sss fTTTt ↔ ,

)rect()sinc( ft ↔ , получаем, что

∫∫+

−

∞

∞−

==−=∗=2/1

2/1

)sinc()rect()sinc()sinc()rect()(f

fssssss dxxTTdxxfxTTfTTffS

( )

( )

( ) ( )( )ss

Tf

Tfs

s

s

TfTfdyydyTdx

dxTdyxTy

s

s

πππ

2/1Si2/1Si1)sinc()/1(

2/1

2/1

−−+=====

= ∫+

−

. (П.1.2)

Здесь в последнем переходе использовано свойство 8. Графики функций и

для различных значений показаны на рис. П.1.3. Видно, что ростом значения форма спектра приближается к прямоугольной, и в пределе спектр равен . □

)(ts)( fS sT sT

)rect( f

Рис. П.1.3. Графики функций s и S )(t )( f

Для формирования сигналов, , определенных равенством (П.1.1) следующих с периодом

)(tsi

T и занимающих полосу TW /1= , выберем функции )(1 tϕ и )(2 tϕ следующим образом

tfWtWt 01 2cos)sinc(2)( πϕ = , (П.1.3)

tfWtWt 02 2sin)sinc(2)( πϕ = , (П.1.4)

где , . Покажем, что ∞<<∞− t 2/0 Wf > )(1 tϕ и )(2 tϕ образуют ортонормированный базис

1. Ортогональность. Поскольку )(1 tϕ – четная функция, а )(2 tϕ – нечетная, то их

произведение )()( 21 tt ϕϕ – нечетная функция. Следовательно, . □ 0)()( 21 =∫∞

∞−dttt ϕϕ

2. Норма. Пусть )()( 11 tf ϕ↔Φ . Найдем выражение для . Поскольку , то

)(1 fΦ)/rect()sinc( 1 WfWWt −↔

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Φ −−

WffWW

WffWWf 0101

1 rect2rect221)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=W

ffW

ffW

00 rectrect21 . (П.1.5)

Учитывая, что и , получаем, что 2/0 Wf > rect(x)rect(x)2 =

2002

1 rectrect21)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ΦW

ffW

ffW

f ,

откуда следует, что

.1)()( 21

21 =Φ= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

dffdttϕ

Для )()( 22 tf ϕ↔Φ имеем

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Φ −−

WffWW

WffWW

jf 0101

2 rect2rect221)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=W

ffW

ffW

j 00 rectrect21 , (П.1.6)

и 2

0022 rectrect

21)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ΦW

ffW

ffW

f .

Следовательно

.1)()( 22

22 =Φ= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

dffdttϕ

□

Поскольку, функции )(1 tϕ и )(2 tϕ имеют бесконечную длительность, то при передаче сигналов вида (П.1.1) с периодом следования , неизбежно их перекрытие, иначе говоря, возможна межсимвольная интерференция. Для того, чтобы исключить влияния перекрытия сигналов во временной области должны выполняться условия ортогональности сдвигов функций

WT /1=

)(1 tϕ и )(2 tϕ . Это значит, что для целых

ненулевых должны выполняться условия: 1) ,

2) , 3) . Докажем выполнение этих

условий.

k 0)/()( 11 =−∫∞

∞−dtWktt ϕϕ

0)/()( 22 =−∫∞

∞−dtWktt ϕϕ 0)/()( 21 =−∫

∞

∞−dtWktt ϕϕ

Доказательство условия 1. Обозначим свертку

∫∞

∞−

−= dxxtxt )()()( 1111 ϕϕψ .

Пусть – преобразование Фурье функции )(11 fΨ )(11 tψ . По теореме о свертке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Φ=ΨW

ffW

ffWW

ffW

ffW

ff 00

2

002111 rectrect

21rectrect

21)()(

Поскольку )()( 1111 ft Ψ↔ψ и учитывая, что

)sinc(rect 020 WtWeW

ff fj π↔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − , (П.1.7)

)sinc(rect 020 WtWeW

ff fj π−↔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (П.1.8)

получаем, что

( ) tfWtWtWeWtWeW

t tfjtfj0

2211 2cos)sinc()sinc()sinc(

21)( 00 πψ ππ =+= − .

В силу четности функции )(1 tϕ имеем

0)/2cos()sinc()()/()()/()( 0111111 ===−=− ∫∫∞

∞−

∞

∞−

WkfkkWdttWktdtWktt πψϕϕϕϕ . □

Доказательство условия 2. Поступая аналогично предыдущему пункту, обозначим свертку

∫∞

∞−

−= dxxtxt )()()( 2222 ϕϕψ .

Пусть – преобразование Фурье функции )(22 fΨ )(22 tψ . По теореме о свертке

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=Φ=Ψ2

002222 rectrect

21)()(

Wff

Wff

Wjff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=W

ffW

ffW

00 rectrect21 .

Далее, принимая во внимание нечетность функции )(2 tϕ и используя равенства (П.1.7) и (П.1.8), имеем

0)/2cos()sinc()()/()()/()( 0222222 ==−=−−=− ∫∫∞

∞−

∞

∞−

WkfkkWdttWktdtWktt πψϕϕϕϕ . □

Доказательство условия 3. Пусть

∫∞

∞−

−= dxxtxt )()()( 2112 ϕϕψ

и – преобразование Фурье функции )(12 fΨ )(12 tψ . По теореме о свертке

=ΦΦ=Ψ )()()( 2112 fff

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=W

ffW

ffWW

ffW

ffW

j 0000 rectrect21rectrect

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=W

ffW

ffW

j 00 rectrect21 .

Применяя обратное преобразование Фурье к функции )(12 fΨ , получаем с использованием равенств (П.1.7) и (П.1.8), что

( ) tfWtWtWeWtWeW

jt fjfj0

2212 2sin)sinc()sinc()sinc(

21)( 00 πψ ππ =−−= − ,

и тогда

0)/()/()()/()( 122121 =−=−−=− ∫∫∞

∞−

∞

∞−

WkdttWktdtWktt ψϕϕϕϕ . □

Итак, получено, что сигналы вида (П.1.1), где базисные функции )(1 tϕ и )(2 tϕ , определены равенствами (П.1.3) и (П.1.4), обладают следующими свойствами:

– спектр сигналов, как следует из выражений (П.1.5) и (П.1.6), строго прямоугольный, локализован, около частоты и ширина его равна W . 0f

– несмотря на то, что последовательно передаваемые сигналы перекрываются во времени (интерферируют), их влияние друг на друга в силу ортогональности сдвигов базисных функций отсутствует; минимальный временной сдвиг, при котором обеспечивается ортогональность, равен WT /1= ; величина имеет смысл периода следования сигналов.

T

Поскольку на практике сигналы не могут иметь бесконечную длительность, то оценим влияние конечной длительности базисных функций )(1 tϕ и )(2 tϕ . Для этого рассмотрим функции вида

⎩⎨⎧ <<−

=иначе,0

2/2/),()(~ 1

1ss TtTt

tϕ

ϕ ,

⎩⎨⎧ <<−

=иначе,0

2/2/),()(~ 2

2ss TtTt

tϕ

ϕ .

Очевидно, что tfWtWTtt s 01 2cos)sinc(2)/rect()(~ πϕ = , ∞<<∞− t ,

tfWtWTtt s 02 2sin)sinc(2)/rect()(~ πϕ = , ∞<<∞− t .

Пусть )sinc()/rect(2)( WtTtWtm s= и – преобразование Фурье функции , . По аналогии с выводом равенства (П.1.2) имеем

)( fM )(tm)()( tmfM ↔

( ) =−=∗= ∫∞

∞−

dxWxfxTTW

WfW

fTTWfM ssss /)(rect)sinc(2)/rect(1)sinc(2)(

( ) ( ) =+==

+=−=

=−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dyyTfWyTWWdydx

fWyxWfxy

dxWfxxTTW ssss rect))sinc((2

/)(/)(rect)sinc(2

==

=

=+=

=+= ∫∫+

−−

s

s

TWf

TWf

s

s

s

ss duuW

WTdudy

dyWTduTfWyu

dyTfWyTW)2/(

)2/(

2/1

2/1

)sinc(2)(

))sinc((2

( ) (( )ss TWfTWfW

πππ

)2/(Si)2/(Si21−−+= ) .

То есть

( ) (( )ss TWfTWfW

fM πππ

)2/(Si)2/(Si21)( −−+= ) . (П.1.9)

Используя свойства преобразования Фурье, получаем окончательно, что

( ))()(21)(~

001 ffMffMf ++−=Φ ,

( ))()(21)(~

002 ffMffMj

f +−−=Φ ,

где функция определена равенством (П.1.9). )( fMРассмотрим иллюстрирующий пример. Пусть несущая частота 18000 =f Гц,

модуляционная скорость 2400=модV Бод, длительность сигнала = 0.004 с = 4 мс. Графики функций

sT)(~

1 tϕ и )(~2 tϕ и их амплитудных спектров показаны на рис. П.1.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 10-3

-50

0

50

f0 =1800 Hz, W = 2400 Hz, T = 1/W s,Ts = 0.004 s

t, s

φ1(t)φ2(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.005

0.01

0.015

0.02

f, Hz

|Φ1(f)||Φ2(f)|Channel band (300..3400 Hz)

Рис. П.1.4. Графики функций )(~1 tϕ и )(~

2 tϕ и их амплитудных спектров

Приложение 2

О моделировании передачи сигналов заданных отсчетами во временной области

Пусть сигнал на выходе канала с АБГШ со спектральной плотностью мощности задается выражением 2/0N

)()()( tntstr i += , (П.2.1) где , – длительность сигнала, sTt <<0 sT 1,...,1,0 −= qi . Каждый сигнал ) может быть представлен как линейная комбинация базисных ортонормированных функций

(tsi

∑=

=D

jjiji tsts

1

)()( ϕ , (П.2.2)

где – размерность сигнального пространства. Отношение сигнал/шум определяется как D

∑−

=

=1

000

11 q

iiE

qNNE , (П.2.3)

где – энергия i -го сигнала. iEДля моделирования во временной области передачи по каналу с шумом, заданному

выражением (П.2.1), представим принятый сигнал в виде последовательности отсчетов, взятых с интервалом , то есть t∆

)()()( lli

l nsr += , (П.2.4) где , – отсчет сигнала на выходе канала и отсчет переданного сигнала соответственно, ,

)()( tlrr l ∆= )()( tlss ll

i ∆=

sNl ,...,2,1= ss NTt /=∆ , а случайная величина учитывает влияние шума. Для канала с АБГШ представляет собой гауссовскую случайную

величину, и

)(ln)(ln

0)( =ln , ( ) 22)( σ=ln . При моделировании величин требуется определить значение дисперсии отсчета и связать его с отношением сигнал/шум (П.2.3). Рассмотрим получение этой зависимости.

)(ln2σ

Для дискретизированного сигнала можно указать разложение аналогичное равенству (П.2.2)

∑∑==

=∆=∆=D

j

ljij

D

jjiji

li stlstlss

1

)(

1

)( )()( ϕϕ , (П.2.5)

где – отсчет базисной функции. Выберем число отсчетов так, чтобы с приемлемой точностью выполнялись условия

)()( tljl

j ∆=ϕϕ sN

⎩⎨⎧

≠=

=≈∆∑= jk

jkt kj

N

l

lj

lk ,0

,1

1

)()( δϕϕ (П.2.6)

для всех . Энергия дискретизированного сигнала равна Dkj ,...,2,1, =

( )∑=

∆=sN

l

lii tsE

1

2)( .

C использованием равенств (П.2.5) и (П.2.6) несложно показать, что . ∑ ==

D

j iji sE1

2

Случайная величина , определенная как jn

∫=sT

jj dtttnn0

)()( ϕ

где – белый гауссовский процесс, имеет гауссовское распределение с параметрами )(tn0=jn и

)2/()()2/( 0

2

02 NtNn jj == ϕ . (П.2.7)

Для базисной функции, заданной отсчетами, имеем

∑∑ ∫∑ ∫∑ ∫∫==

∆

∆−=

∆

∆−=

∆

∆−

===∆==sssss N

l

llj

N

l

tl

tl

lj

N

l

tl

tl

lj

N

l

tl

tlj

T

jj dttndttndttltndtttnn1

)()(

1 )1(

)(

1 )1(

)(

1 )1(0

)()()()()()( ξϕϕϕϕϕ , (П.2.8)

где – гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией

. (П.2.9) ∫∆

∆−=

tl

tl

l dttn)1(

)( )(ξ

tN ∆= )2/( 02ξσ

При достаточно большом числе отсчетов , то есть при малой длительности интервала дискретизации, с приемлемой точностью выполняется равенство

sNt∆

∑∫=

∆∆≈=ss N

lj

lT

jj ttlndtttnn1

)(

0

)()()( ϕϕ , (П.2.10)

где – гауссовские случайные величины, определенные в равенстве (П.2.4). Из равенств (П.2.7), (П.2.8), (П.2.9) и (П.2.10) следует, что . Следовательно,

)(ln)()( ll tn ξ=∆

( ) tNtn l ∆=∆== /)2/(/ 0222)(2

ξσσ , откуда следует, что . Тогда из формулы (П.2.3) получаем, что

tN ∆= 20 2/ σ

( )∑∑∑−

= =

−

= 2=

∆2=

1

0 1

2)(2

1

02

0

1111 q

i

N

l

li

q

ii

s

sq

EqtN

Eσσ

.

Это значит, что для моделирования передачи с отношением сигнал/шум γ=0/ NE нужно назначить

( )∑∑−

= =2=

1

0 1

2)(2 11 q

i

N

l

li

s

sqγ

σ

и использовать гауссовские псевдослучайные величины с дисперсией для моделирования выхода канала по формуле (П.2.4).

)(ln 2σ

Приложение 3

Точное выражение для вероятности ошибки для КАМ

В этом разделе выводится точное выражение для вероятности ошибки при передаче с использованием КАМ по каналу с АБГШ со спектральной плотностью мощности . Рассматривается случай, когда число сигналов , где - четное, то есть

и т.д. В этом случае сигнальное созвездие представляет собой полную решетку (см. рис.16.1) и имеются три типа конфигурации решающих областей как показано на рис. П3.1. На рис. П3.1 символом

2/0Nmq 2= m

...256,64,16,4=q

∆ обозначено минимальное евклидово расстояние между сигналами (сигнальными точками). Заметим, что существуют конфигурации решающих областей, полученных путем поворота конфигурации типов 1 и 2 на 90, 180 и 270 градусов. Они, очевидно, эквивалентны в канале с АБГШ конфигурациям типа 1 и типа 2 соответственно и поэтому отдельно не рассматриваются.

∆

∆

2/∆

2/∆

∆

Тип 2Тип 1

2/∆

Тип 3

Рис. П3.1 Типы решающих областей

Точка в сигнальном пространстве, соответствующая принятому сигналу, записывается как , где – сигнальная точка соответствующая переданному двумерному сигналу, – гауссовский случайный вектор, определяемый шумом. Случайные величины и (компоненты вектора ) независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

nsr += s),( 21 nn=n

1n 2n n

2/0NРассмотрим вероятности ошибки при условии, что переданный сигнал имеет

решающую область, относящуюся к одному из показанных на рис. П3.1 типов. Для трех указанных типов имеем следующие выражения для условных вероятностей ошибки; они получены как вероятности выхода точки, соответствующей принятому сигналу из решающей области, соответствующей переданному сигналу, ]2/Pr[]2/2/Pr[1)1 тип( 21 nnPe <∆−∆<<∆−−= ,

]2/[]Pr2/Pr[1)2 тип( 21 nnPe <∆−<∆−−= , (П3.1) ]2/2/Pr[]2/2/Pr[1)3 тип( 21 ∆−<<∆−∆−<<∆−−= nnPe .

Очевидно, что

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−=−==<∆−=<∆− ∫∫

∞

∆

−∞

∆−

−

02/ 02/ 021 2

1111]2/Pr[]2/Pr[ 0

2

0

2

NQdxe

Ndxe

Nnn N

xNx

ππ, (П3.2)

и

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−==∆−<<∆−=∆−<<∆− ∫

∆

∆−

−

0

2/

2/ 021 2

211]2/2/Pr[]2/2/Pr[ 0

2

NQdxe

Nnn N

x

π, (П3.3)

где . Обозначим для удобства записи ∫∞ − −=x

duuxQ )2/exp()2()( 22/1π ( )02/ NQp ∆= . С

учетом того, что )1/(6 −=∆ qE (см. равенство (16.2)) , получаем, что

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

113

0 qNEQp . (П3.4)

Подставляя (П3.2) и (П3.3) в (П3.1) получаем , 223)1)(21(1)1 тип( ppppPe −=−−−=

, (П3.5) 22 2)1(1)2 тип( pppPe −=−−=

, 22 44)21(1)3 тип( pppPe −=−−= где вероятность p определена равенством (П3.4).

Найдем теперь вероятности передачи сигналов, относящиеся к различным типам. Полагая равновероятную передачу всех сигналов, нетрудно видеть, что qqP /)2(41) тип( −= ,

qP /42) тип( = , (П3.6) qqPPP /4/412) тип(1) тип(13) тип( +−=−−= . Безусловная вероятность ошибки вычисляется как

3) тип()3 тип( 2) тип()2 тип(1) тип()1 тип( PPPPPPP eeee ++= , и окончательно, подставляя в это выражение правые части (П3.5), (П3.6) и (П3.4), после несложных преобразований получаем.

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

=1

1311

13)1(4

00 qNEQqq

qNEQ

qq

Pe . (П3.7)

На рис.П3.2 и П3.3 показаны графики зависимости вероятности ошибки и ее верхних границ в зависимости от отношения сигнал/шум для 16=q и 64=q . Видно, что точность верхних границ возрастает с увеличением числа сигналов . Особенно точной оказывается граница, вычисленная по формуле (16.5).

q

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

3 2

1

eP

дБ,/ 0NE

Рис.П3.2 Графики вероятности ошибки и двух верхних границ ошибки для

КАМ-16, (1 –точное значение, 2 – верхняя граница (16.5) и 3 – верхняяграница (16.6)).

дБ,/ 0NE

eP

0 5 10 15 20 25 3010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

3 2

1

Рис.П3.3 Графики вероятности ошибки и двух верхних границ ошибки дляКАМ-64, (1 –точное значение, 2 – верхняя граница (16.5) и 3 – верхняяграница (16.6)).

Литература

1. Возенкрафт Дж., Джекобс И. Теоретические основы техники связи. – М.:Мир, 1969.

2. Финк Л.М. Передача дискретных сообщений. – М.: Советское радио, 19703. Стейн С., Джонс Дж. Принципы современной теории связи и их применениек передаче дискретных сообщений. - М.: Связь, 1971

4. Теория электрической связи., ред. Кловский Д.Д.,- М.: Радио и связь, 1999.5. Прокис Дж. Цифровая связь. – М.: Радио и связь , 20006. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическоеприменение. – М.-СПб-Киев: Издательский дом “Вильямс”, 2003.