Embed Size (px)
Citation preview
1
LỜI NÓI ĐẦU
Nâng cao chất lƣợng, đổi mới trong giáo dục đào tạo là tiêu chí sống còn đối với
một trƣờng đại học trong thời đại khoa học công nghệ nhƣ hiện nay. Một trong những
nội dung đổi mới quan trọng ở Trƣờng Đại học Lạc Hồng đƣợc thực hiện trong thời
gian qua là xây dựng và ban hành chuẩn đầu ra chất lƣợng cao bao gồm các yêu cầu về
Kiến thức;
Kĩ năng;
Thái độ;
Vị trí và khả năng công tác sau khi tốt nghiệp;
Khả năng học tập và nâng cao trình độ sau khi tốt nghiệp.
Nhƣ vậy, việc trang bị và rèn luyện các kĩ năng nghề nghiệp cho sinh viên đƣợc xác
định là nhiệm vụ vô cùng quan trọng và phải thực hiện lâu dài, xuyên suốt trong cả
quá trình đào tạo. Tuy nhiên, một câu hỏi lớn nảy sinh đó là “các kĩ năng nghề nghiệp
của sinh viên đƣợc trang bị và rèn luyện nhƣ thế nào thông qua quá trình học tập các
môn thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản và kiến thức đại cƣơng?”
Môn học Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê là một môn thuộc khối kiến thức cơ
bản và đây là một trong những học phần quan trọng đƣợc Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
quy định là môn học bắt buộc đối với sinh viên ngành Dƣợc. Giáo trình Toán Cao Cấp
& Xác Suất Thống Kê theo định hƣớng phát triển kĩ năng này ra đời nhằm mục đích
trả lời câu hỏi ở trên với nội dung nhƣ sau:
Chƣơng 1. Phép tính tích phân hàm một biến
Chƣơng 2. Phƣơng trình vi phân
Chƣơng 3. Đại cƣơng về xác suất
Chƣơng 4. Đại lƣợng ngẫu nhiên
Chƣơng 5. Thống kê
Trong giáo trình, bên cạnh việc trang bị các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân
hàm một biến, phƣơng trình vi phân, xác suất và công thức tính xác suất, các phân
phối xác suất thông dụng, các bài toán về thống kê toán học, giáo trình còn hƣớng đến
việc áp dụng các kiến thức vào bài toán ứng dụng thực tiễn của chuyên ngành Dƣợc và
rèn luyện các kĩ năng cần có của sinh viên để thích ứng với nền giáo dục trong bối
cảnh của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại nhƣ hiện nay.
Kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề gắn với thực tiễn nghề nghiệp
thông qua các tình huống, câu hỏi có vấn đề và bài tập ứng dụng ở mỗi chƣơng.
2
Kĩ năng làm việc nhóm thông qua hệ thống bài tập ứng dụng.
Kĩ năng tự học, tự nghiên cứu thông qua việc trả lời các câu hỏi và giải hệ thống
bài tập.
Kĩ năng tƣ duy tựa thuật giải thông qua các thuật toán đối với từng bài toán cụ
thể.
Nhƣ vậy, giáo trình trên đã bƣớc đầu đáp ứng đƣợc các yêu cầu đặt ra trong chuẩn
đầu ra chất lƣợng cao của nhà trƣờng. Tuy nhiên, đây là giáo trình đầu tiên đƣợc biên
soạn theo định hƣớng phát triển kĩ năng nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác
giả xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Đình Ánh đã cho nhiều góp ý rất quý báu trong
suốt quá trình biên soạn giáo trình này. Tác giả cũng rất mong nhận đƣợc những góp ý
từ các bạn sinh viên và các đồng nghiệp gần xa để giáo trình đƣợc hoàn thiện hơn khi
tái bản.
Xin trân trọng cảm ơn.
Biên Hòa, ngày 20 tháng 8 năm 2014
Tác giả
3
MỤC LỤC Chƣơng 1. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ............................................................................. 6
1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ........................................................................ 6
1.1.1. Nguyên hàm .................................................................................................... 6
1.1.2. Tích phân bất định .......................................................................................... 7
1.1.3. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các biến đổi sơ cấp.................... 11
1.1.4. Tích phân hàm hữu tỷ ................................................................................... 13
1.1.5. Các phƣơng pháp tính tích phân ................................................................... 24
1.2. Tích phân xác định .............................................................................................. 37
1.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong ............................................................... 37
1.2.2. Định nghĩa..................................................................................................... 38
1.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định .................................................... 40
1.3. Ứng dụng của tích phân xác định ........................................................................ 43
1.3.1. Tính diện tích hình phẳng ............................................................................. 43
1.3.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay ............................................................... 45
CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................... 46
BÀI TẬP .................................................................................................................... 47
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ..................................................................................... 50
Chƣơng 2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ...................................................................... 54
2.1. Khái niệm cơ bản ................................................................................................ 54
2.2. Phƣơng trình vi phân cấp 1 ................................................................................. 55
2.2.2. Phƣơng trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến đƣợc) .................... 56
2.2.3. Phƣơng trình đẳng cấp .................................................................................. 57
2.2.4. Phƣơng trình vi phân toàn phần .................................................................... 58
2.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai .............................................................................. 62
2.3.1. Khái niệm cơ bản .......................................................................................... 62
2.3.2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 giảm cấp đƣợc .................................................. 62
2.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng ..................................... 63
CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................... 70
BÀI TẬP .................................................................................................................... 71
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ..................................................................................... 73
Chƣơng 3. ĐẠI CƢƠNG VỀ XÁC SUẤT ................................................................... 75
3.1. Giải tích tổ hợp .................................................................................................... 75
4
3.1.1. Quy tắc cộng ................................................................................................. 75
3.1.2. Quy tắc nhân ................................................................................................. 75
3.1.3. Hoán vị ......................................................................................................... 77
3.1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp ...................................................................................... 78
3.2. Phép thử và biến cố ............................................................................................. 79
3.2.1. Khái niệm ..................................................................................................... 79
3.2.2. Phân loại biến cố .......................................................................................... 80
3.2.3. Quan hệ giữa các biến cố .............................................................................. 81
3.2.4. Phép toán của các biến cố ............................................................................. 82
3.3. Xác suất của biến cố ........................................................................................... 85
3.3.1. Định nghĩa xác suất ...................................................................................... 85
3.3.2. Xác suất có điều kiện .................................................................................... 88
3.3.3. Biến cố độc lập ............................................................................................. 89
3.4. Các công thức tính xác suất ................................................................................ 90
3.4.1. Công thức cộng xác suất ............................................................................... 90
3.4.2. Công thức nhân xác suất ............................................................................... 92
3.4.3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes ........................................... 96
3.4.4. Công thức Bernoulli ..................................................................................... 99
CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................. 101
BÀI TẬP .................................................................................................................. 102
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ................................................................................... 108
Chƣơng 4. ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN ................................................................... 110
4.1. Khái niệm về đại lƣợng ngẫu nhiên .................................................................. 110
4.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 110
4.1.2. Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên .................................................................. 110
4.1.3. Luật phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên .................................... 111
4.2. Các tham số đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu nhiên ............................................. 114
4.2.1. Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) ................................................................. 114
4.2.2. Phƣơng sai và độ lệch chuẩn ...................................................................... 116
4.2.3. Mode ........................................................................................................... 120
4.3. Đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đặc biệt ...................................... 121
4.3.1. Phân phối nhị thức (Bernoulli) ................................................................... 121
4.3.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 121
5
4.3.2. Phân phối Poisson ....................................................................................... 122
4.3.3. Phân phối chuẩn .......................................................................................... 124
4.3.4. Phân phối “Chi – bình phƣơng” ................................................................. 126
CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................. 128
BÀI TẬP .................................................................................................................. 129
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ................................................................................... 132
Chƣơng 5. THỐNG KÊ ............................................................................................... 134
5.1. Lý thuyết mẫu ................................................................................................... 134
5.1.1. Khái niệm cơ bản ........................................................................................ 134
5.1.2. Phân loại mẫu ............................................................................................. 134
5.1.3. Các tham số đặc trƣng của mẫu .................................................................. 136
5.1.4. Phƣơng pháp tính các số đặc trƣng của mẫu bằng bảng ............................. 137
5.1.5. Phƣơng pháp tính các tham số đặc trƣng của mẫu bằng máy tính ............. 141
5.2. Ƣớc lƣợng các tham số đặc trƣng của tổng thể ................................................. 143
5.2.1. Bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ tổng thể ............................................................... 144
5.2.3. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng tỷ lệ .................................... 147
5.2.4. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng trung bình ........................... 148
5.2.5. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng tỷ lệ ........................... 150
5.2.6. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng trung bình .................. 151
5.3. Kiểm định giả thiết thống kê ............................................................................. 152
5.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể ............................................. 153
CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................................. 157
BÀI TẬP .................................................................................................................. 158
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ ................................................................................... 161
CÁC BẢNG PHỤ LỤC ............................................................................................... 162
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 173
6
Chƣơng 1. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Mục đích yêu cầu
Chƣơng này trình bày các kiến thức về định nghĩa, tính chất, phƣơng pháp cơ bản
tính tích phân bất định và tích phân xác định và một số ứng dụng hình học của tích
phân xác định.
Ngƣời học cần nắm vững các khái niệm, các phƣơng pháp tính tích phân, vận dụng
thành thạo và linh hoạt các phƣơng pháp đó trong tính tích phân và biết cách sử dụng
tích phân để xác định một số tính toán trong hình học.
1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Mở đầu
Ở phổ thông trung học, ta đã đƣợc tìm hiểu bài toán đạo hàm: Cho hàm số
( ) cosF x x . Tìm hàm số ( ) ( )f x F x . Ở đây ( ) ( ) (cos ) sinf x F x x x .
Phát biểu bài toán ngƣợc lại của bài toán trên?
Cho hàm số ( ) cosf x x . Tìm hàm số ( )F x sao cho ( ) ( )F x f x . Ta có
(sin ) cosx x nên ( ) sinF x x .
Ngoài kết quả trên có thể tìm đƣợc các ( )F x khác thỏa mãn yêu cầu bài toán
hay không?
Ta thấy ( ) sinF x x C thì vẫn thỏa yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu nguyên hàm của một hàm số cho trƣớc?
Từ bài toán trên dẫn đến khái niệm nguyên hàm sau
1.1.1. Nguyên hàm
1.1.1.1. Định nghĩa
Hàm số ( )F x đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ;a b nếu
( )F x liên tục, có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ;a b và ( ) ( )F x f x .
1.1.1.2. Định lý 1
Mọi hàm số ( )f x liên tục trên ;a b đều có nguyên hàm trên khoảng đó.
7
Ví dụ 1.1. Cho 2( )f x x , dễ thấy 3
( )3
xF x là một nguyên hàm của ( )f x trên .
Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng 3
3
xC , với C là hằng số tùy ý.
1.1.1.3. Định lý 2
Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x trên (a,b) thì ( )F x C (C là hằng số) cũng là
nguyên hàm của ( )f x .
Mọi nguyên hàm của ( )f x trên ;a b đều có dạng ( )F x C .
1.1.2. Tích phân bất định
1.1.2.1. Định nghĩa
Dạng tổng quát của nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ;a b , kí hiệu là ( )f x dx ,
đƣợc gọi là tích phân bất định của hàm f (x) trên khoảng đó.
( ) ( )f x dx F x C
1.1.2.2. Tính chất cơ bản
1) ( ) ( )f x dx f x .
2) ( ) ( )d f x dx f x dx .
3) Nếu ( )f x khả vi thì ( ) ( )f x dx f x C .
4) Nếu ( )f x khả vi thì ( ) ( )df x f x C .
5) ( ) ( )f x dx f x dx .
6) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx .
1.1.2.3. Nguyên hàm các hàm số sơ cấp
Từ đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản và các tính chất của tích phân bất định, ta có
các tích phân bất định sau:
1) adx ax C , đặc biệt: dx x C .
8
2) 1
1
xx dx C
( 1), đặc biệt:
2
1dxC
x x .
3) ax b
ax b ee dx C
a
.
Các trƣờng hợp đặc biệt: x xe dx e C và
ln
xx a
a dx Ca
.
4) sin( )
cos( )ax b
ax b dx Ca
, đặc biệt: cos sinxdx x C .
5) cos( )
sin( )ax b
ax b dx Ca
, đặc biệt: sin cosxdx x C .
6) 2
tan( )
cos ( )
dx ax bC
ax b a
, đặc biệt: 2
tancos
dxx C
x .
7) 2
cot( )
sin ( )
dx ax bC
ax b a
, đặc biệt: 2
cotsin
dxx C
x .
8) '( )
ln ( )( )
u xdx u x C
u x .
Các trƣờng hợp đặc biệt:
lndx
x Cx hay
1ln
dxa x b C
ax b a
.
cos
cot ln | sin |sin
xxdx dx x C
x .
sin
tan ln | cos |cos
xxdx dx x C
x
.
9) 2 2
1arctan
dx xC
x a a a
, đặc biệt: 2
arctan1
dxx C
x
.
10) 2 2
1ln
2
dx x aC
x a a x a
.
Chú ý. 2 2
1ln
2
dx a xC
a x a a x
.
11) 2
2ln
dxx x a C
x a
.
9
12) 2 2
arcsindx x
Caa x
, đặc biệt: 2
arcsin1
dxx C
x
.
Các tích phân bất định trên đƣợc coi là các tích phân cơ bản. Để tính đƣợc tích phân
bất định của một hàm số, trƣớc hết ta phải nhớ và biết vận dụng những tích phân cơ
bản đó. Sau đây là một số ví dụ về cách vận dụng trực tiếp các tích phân cơ bản trên.
Ví dụ 1.2. Vận dụng công thức tính tích phân x dx
, ta có:
a) 1975 1 1976
1975
1975 1 1976
x xx dx C C
.
b)
11
1 22
2
1 31
2
xx dx x dx C x x C
.
c)
1 21
1 3 3233
3
3
1 2 21
3 3
dx x xx dx C C x C
x
.
d) 2 2 2
( 2) 1
4 4 ( 2) ( 2) 2
dx dx d xC
x x x x x
.
Ví dụ 1.3. Vận dụng công thức tính tích phân ax be dx
, ta có:
a) 1
1
xx
x x
dx ee dx C C
e e
.
b) 3 4
(3 4 ) ln 2 3 43 4 ln 2 (3 4 ) ln 2 2
24ln 2 4ln 2
xx x
x x edx e dx e dx C C
.
Ví dụ 1.4. Vận dụng các công thức tính tích phân hàm lƣợng giác, ta có:
a) sin(4 5)
cos(4 5)4
xx dx C
.
b) cos(2 )
sin(2 ) cos(2 )1
xx dx C x C
.
c) 2
dxtan(2 x) C
cos (2 x)
.
d) 2
dx 1co t(4x 5) C
sin (4x 5) 4
.
10
e) 2 2
xtan
dx dx 1 dx 1 x2 C tan Cx x 11 cos x 2 2 2
2cos cos2 2 2
.
Ví dụ 1.5. Vận dụng công thức tính tích phân'( )
( )
u xdx
u x , ta có:
a) 1 2 1
ln | 2 3 |2 3 2 2 3 2
dxdx x C
x x
.
b) cos(2 3) 1 2cos(2 3) 1
co t(2 3) ln | sin(2 3) |sin(2 3) 2 sin(2 3) 2
x xx dx dx dx x C
x x
.
c) 2
2 2
1 2 1ln( 4)
4 2 4 2
xdx xdx x C
x x
.
d)
1
ln | ln |ln ln
dx x dx x Cx x x
.
Ví dụ 1.6. Vận dụng công thức tính tích phân 2 2
dx
x a và2 2
dx
x a , ta có:
a) 2 2 2
1arctan
4 2 2 2
dx dx xC
x x
.
b) 2 2
1 1 1arctan arctan
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
dx dx x xC C
x x
.
c) 2 2 2
( 1) 1 1arctan .
2 10 ( 1) 9 ( 1) 9 3 3
dx dx d x xC
x x x x
d) 2 2 2
1 2 1 2ln ln .
4 2 2.2 2 4 2
dx dx x xC C
x x x x
e) 2 2
1 1 1 2 1 2. ln ln .
2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2
dx dx x xC C
x x x x
f) 2
2
11 1 1 2. ln
1 1 11 4 4 42.
4 2 2
xdx dx
Cx
x x
1 2 1 1 2 1ln ln .
4 2 1 4 2 1
x xC C
x x
11
g) 2 2 2
( 1) 1 1 3 1 2ln ln .
2 8 ( 1) 9 ( 1) 9 2.3 1 3 6 4
dx dx d x x xC C
x x x x x x
Ví dụ 1.7. Vận dụng công thức tính2
dx
x a và
2 2
dx
a x , ta có:
a) 2
2ln 4
4
dxx x C
x
b) 2
2 2
( 1)ln 1 2 3
2 3 ( 1) 2
dx d xx x x C
x x x
c) 2
2 2
1 1ln 2 .
2 22 4 2
dx dxx x C
x x
d) 2 2 2
arcsin .416 4
dx dx xC
x x
e) 2 2
1 1arcsin .
2 2 216 4 4
dx dx xC
x x
f) 2 2 2
( 1) 1arcsin
23 2 3 ( 2 ) 4 ( 1)
dx dx d x xC
x x x x x
.
1.1.3. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các biến đổi sơ cấp
1.1.3.1. Tính tuyến tính của tích phân bất định
Kết hợp tính chất 3 và 4 của tích phân bất định, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx .
Tính chất trên của tích phân bất định đƣợc gọi là tính tuyến tính. Vận dụng tính chất
này, ta có thể tính đƣợc tích phân bất định của một lớp hàm có dạng tổng và hiệu của
những hàm có trong các tích phân cơ bản, đặc biệc là tích phân của hàm đa thức
( )nP x dx , trong đó nP x là một đa thức bậc n .
Ví dụ 1.8. Vận dụng tính tuyến tính của tích phân bất định, ta có:
a) 3
2 2 2( 2 3) 2 3 33
xx x dx x dx xdx dx x x C .
b) 2 3 2 3
2 2
1(2 3sin3 ) 2 3 sin3
2 2
x x dxe x dx e dx xdx
x x
.
12
2 3 1 2cos3 ln
2 2 2
x xe x C
x
.
1.1.3.2. Phƣơng pháp tính tích phân bất định bằng các phép biến đổi sơ
cấp
Khi ta gặp một tích phân mà hàm số dƣới dấu tích phân có dạng tích, thƣơng hay
lũy thừa của các biểu thức. Nếu ta có thể sử dụng đƣợc các phép biến đổi sơ cấp thích
hợp để biến đổi hàm số dƣới dấu tích phân về dạng tổng và hiệu của các hàm có trong
các tích phân cơ bản. Khi đó, ta có thể sử dụng tính tuyến tính của tích phân và các
tích phân cơ bản để tính các tích phân đó. Các phép biến đổi sơ cấp thƣờng đƣợc sử
dụng trong trƣờng này là: phép nhân và chia các biểu thức, phép khai triển hằng đẳng
thức, các phép tính đối với các căn thức, các hệ thức và công thức trong lƣợng giác
nhƣ hệ thức cơ bản, công thức nhân, công thức biến đổi.
Ví dụ 1.9. Sử dụng các phép biến đổi thích hợp, ta có:
a) 6
2 2 2 4 3 5 2 4(2 ) (4 4 ) (4 4 ) 26
xx x dx x x x dx x x x dx x x C .
b) 3 2
22 7 12 11 22 3
2 3 2 3
x x xdx x x dx
x x
32 3 ln 2 3
3
xx x x C .
c)
2
3 3 23
1 12
xx dx x dx
x x x
1 2 2 636 3
122 3
2 7
x x xxdx x dx x dx x C
.
d) 1 sin 4 sin 2
cos cos3 (cos4 cos2 )2 8 4
x xx xdx x x dx C .
e) 2 1 cos2 1 sin 2 sin 2cos
2 2 2 2 4
x x x xxdx dx x C C
.
f) 2
2 2
1tan 1 tan
cos cos
dxxdx dx dx x x C
x x
.
g)
2
4 2 2 1 cos2sin (sin )
2
xxdx x dx dx
13
21(1 2cos2 cos 2 )
4x x dx
1 1 cos41 2cos2
4 2
xx dx
1 3 sin 2 sin 4(3 4cos2 cos4 )
8 8 4 32
x x xx x dx C .
Ghi chú. Ta có các công thức biến đổi trong lƣợng giác thƣờng đƣợc sử dụng trong
phƣơng pháp này nhƣ sau:
2 21 cos2 1 cos2cos , sin
2 2
a aa a
;
1
cos cos cos( ) cos( )2
a b a b a b ;
1
sin cos sin( ) sin( )2
a b a b a b ;
1
sin sin cos( ) cos( )2
a b a b a b .
1.1.4. Tích phân hàm hữu tỷ
Tích phân hàm hữu tỉ là tích phân dạng ( )
( )
n
m
P xdx
Q x , trong đó nP x và mQ x là
các đa thức bậc n và m . Với tích phân ( )nP x
dxax b , ta chỉ cần thực hiện phép chia đa
thức nP x cho ax b rồi sử dụng tính tuyến tính của tích phân thì sẽ tính đƣợc tích
phân này dễ dàng: 1 1
( )( ) ( )n
n n
P x dxdx P x dx P x dx
ax b ax b ax b
.
Trong phần sau, ta sẽ nghiên cứu cách tính tích phân các hàm hữu tỉ có mẫu là đa
thức bậc hai và ba. Trong trƣờng hợp đa thức mẫu mQ x có bậc 3m , ta chỉ xét các
trƣờng hợp có thể dễ dàng đƣa đƣợc về dạng tích của các nhị thức bậc nhất và tam
thức bậc hai vô nghiệm.
1.1.4.1. Tích phân hàm hữu tỉ với mẫu là đa thức bậc hai
Với tích phân hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc hai, ta có ba dạng sau:
Tích phân dạng 2
dxI
ax bx c
.
Để tính tích phân dạng này, ta xét ba trƣờng hợp sau:
14
1) Tam thức 2ax bx c có hai nghiệm phân biệt là
1x và 2x .
Trong trƣờng hợp này, ta có
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1.
( )( )
dxI dx
a x x x x a x x x x x x
11 2
1 2 1 2 2
1 1ln ln ln
( ) ( )
x xx x x x C C
a x x a x x x x
.
Ví dụ 1.10. Ta có: 2
1 1 3 1 3. ln ln
2 4 6 2 3 ( 1) ( 1) 8 1
dx x xC C
x x x x
.
2) Tam thức 2ax bx c có nghiệm kép là 0x .
Trong trƣờng hợp này, ta có:
0
2 2
0 0 0 0
( )1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
d x xdxI C C
a x x a x x a x x a x x
.
Ví dụ 1.11. Ta có: 2 2
1 1 1
2 8 8 2 ( 2) 2( 2) 4 2
dx dxC C
x x x x x
.
3) Tam thức 2ax bx c vô nghiệm.
Trong trƣờng hợp này, đầu tiên ta đặt a là thừa số chung rồi đƣa ra ngoài dấu tích
phân và đặt lại nhƣ sau: 2 2
1dx dxI
ax bx c a x px q
.
Sau đó ta biến đổi và tính tích phân nhƣ sau:
2 22 22 2
1 1 2
4 4
2 2 2 2
pd x
dxI
a aq p q pp p
x x
2 2
1 1 2arctan4 4
2 2
px
Ca q p q p
2 2
2 2arctan
4 4
x pC
a q p q p
.
15
Ví dụ 1.12. Ta có: 22 2 2
1
1 1 2
2 2 2 2 1 2 1 3
2 2
d xdx dx
x x x xx
11 1 1 2 12. arctan arctan2 3 3 3 3
2 2
xx
C C
.
Tích phân dạng 2
xI dx
ax bx c
0 .
Để tính tích phân dạng này, ta xét ba trƣờng hợp sau:
1) Tam thức 2ax bx c có hai nghiệm phân biệt là 1x và 2x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể tính tích phân bằng cách biến đổi nhƣ sau:
1 2 1 2
1 1
( )( )
x A BI dx dx
a x x x x a x x x x
1 2
1lnA x x B x x C
a .
Trong đó, A và B là các hằng số đƣợc xác định theo và bằng phƣơng pháp hệ
số bất định.
Ví dụ 1.13. Tính tích phân sau: 2
2 10
2 3
xI dx
x x
.
Giải
Ta có: 2
2 10 2 10
2 3 ( 1)( 3) 1 3
x x A Bdx dx dx
x x x x x x
.
Do: ( 3) ( 1) ( ) 3 2 10
1 3 ( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3)
A B A x B x A B x A B x
x x x x x x x x
.
Nên: 2 3
3 10 1
A B A
A B B
.
Vậy, 33 1 ( 1)
3ln 1 ln 3 ln1 3 3
xI dx x x C C
x x x
.
Ta cũng có thể tính tích phân này nhƣ sau:
2
2 2
2 2 1 38 ln 2 3 8 ln
2 3 2 3 4 1
x dx xI dx x x C
x x x x x
16
33 ( 1)ln ( 1)( 3) 2ln ln
1 3
x xx x C C
x x
.
2) Tam thức 2ax bx c có nghiệm kép là
0x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể tính tích phân bằng cách biến đổi nhƣ sau:
2 2
0 0 0
1 1
( ) ( )
x A BI dx dx
a x x a x x x x
0 0
0 0
1ln ln
( )
B A BA x x C x x C
a x x a a x x
.
Trong đó, A và B là các hằng số đƣợc xác định theo và bằng phƣơng pháp hệ
số bất định.
Ví dụ 1.14. Tính tích phân sau: 2
2 3
4 4
xI dx
x x
.
Giải
Ta có: 2 2 2
2 3 2 3
4 4 ( 2) 2 ( 2)
x x A Bdx dx dx
x x x x x
.
Do 2 2 2 2
( 2) 2 2 3
2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
A B A x B Ax A B x
x x x x x
.
Nên: 2 2
2 3 7
A A
A B B
.
Vậy,
2
2
2 7 1 72ln 2 7 ln( 2)
2 ( 2) 2 2I dx x C x C
x x x x
.
Ta cũng có thể tính tích phân này nhƣ sau:
2
2 2
2 4 77 ln 4 4
4 4 4 4 2
x dxI dx x x C
x x x x x
2 7ln( 2)
2x C
x
.
3) Tam thức 2ax bx c vô nghiệm.
Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi để tính tích phân nhƣ sau:
17
2 2
(2 )2 2
bax b
x a adx dxax bx c ax bx c
2 2
2
2 2
ax b b dxdx
a ax bx c a ax bx c
2
2
1ln
2 2
b dxax bx c
a a a x px q
.
Trong đó, 2 2 2
2 2arctan
4 4
dx x pC
x px q q p q p
.
Ví dụ 1.15. Tính tích phân sau: 2
3 5
4 13
xI dx
x x
.
Giải
Ta có:
2 2 2
3 3.42 4 5
3 2 42 2
4 13 2 4 13 4 13
xx dx
I dx dxx x x x x x
2
2 2
3ln 4 13
2 ( 2) 3
dxx x
x
2 3 1 2ln ( 4 13) arctan
3 3
xx x C
.
Chú ý. Cách biến đổi để tính tích phân trong trƣờng hợp này có thể sử dụng cho các
trƣờng hợp 1 và 2.
Tích phân dạng 2
( )nP xI dx
ax bx c
2n .
Để tính tích phân dạng này, trƣớc hết ta chia đa thức nP x cho tam thức bậc hai
2ax bx c để đƣa tích phân này về dạng:
22 2
( )( )n
n
P x xdx P x dx dx
ax bx c ax bx c
.
Trong đó, tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân hàm đa thức và tích phân thứ hai
sẽ rơi vào một trong hai dạng trên.
Ví dụ 1.16. Tính tích phân sau: 4 3 2
2
3 18 18 6 36
3 12 15
x x x xI dx
x x
.
Giải
18
Thực hiện phép chia hai đa thức rồi tính tích phân, ta có:
32 2
2 2
92 3 3 3
3 12 15 3 4 5
x dxI x x dx x x
x x x x
32 3 5
3 ln3 5 ( 1) ( 1)
x xx x C
x
32 1 5)
33 2 1
x xx x C
x
.
Ví dụ 1.17. Tính tích phân sau: 3 2
2
2 12 43 51
2 8 26
x x xI dx
x x
.
Giải
Thực hiện phép chia hai đa thức rồi tính tích phân, ta có:
2
2 2
1 12 2
2 8 26 2 2 8 26
x x xI x dx x dx
x x x x
2
2
1(4 8) 3
422 2 8 26
xx
x dxx x
2
2 2
1 4 8 32
2 4 2 8 26 2 4 13
x x dxx dx
x x x x
22
2 2
1 32 ln 2 8 26
2 4 2 ( 2) 3
x dxx x x
x
221 1 2
2 ln 2 8 26 arctan2 4 2 3
x xx x x C
.
1.1.4.2. Tích phân hàm hữu tỉ với mẫu là đa thức bậc ba
Với tích phân này, ta chỉ xét dạng tích phân sau (trong trƣờng hợp tử là đa thức bậc
3n thì với phép chia đa thức ta sẽ đƣa về dạng này): 2
3 2
x xI dx
ax bx cx d
.
Để tính tích phân dạng này, ta xét bốn trƣờng hợp sau:
1) Đa thức mẫu có ba nghiệm phân biệt là 1 2 3, ,x x x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau:
2
1 2 3 1 2 3
1 1
( )( )( )
x x A B CI dx dx
a x x x x x x a x x x x x x
19
1 2 3
1lnA x x B x x C x x C
a .
Trong đó, A, B, C là các hằng số đƣợc xác định theo , , bằng phƣơng pháp hệ
số bất định.
Ví dụ 1.18. Tính tích phân sau: 2
3 2
2 6
7 14 8
x xI dx
x x x
.
Giải
Ta thấy đa thức bậc ba dƣới mẫu có ba nghiệm là 1, 2, 4 nên:
2 2 6
( 1)( 2)( 4) 1 2 4
x x A B CI dx dx
x x x x x x
.
Do ( 2)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 2)
1 2 4 ( 1)( 2)( 4)
A B C A x x B x x C x x
x x x x x x
2( ) ( 6 5 3 ) 8 4 2
( 1)( 2)( 4)
A B C x A B C x A B C
x x x
2 2 6
( 1)( 2)( 4)
x x
x x x
.
Nên:
1 3
6 5 3 2 7
8 4 2 6 5
A B C A
A B C B
A B C C
.
Vậy, 3 7 5
1 2 4I dx
x x x
3 5
7
( 1) ( 4)3ln 1 7ln 2 5ln 4 ln
( 2)
x xx x x C C
x
.
2) Đa thức mẫu có nghiệm kép là 0x và nghiệm đơn là 1x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau:
2
2 2
0 1 0 0 1
1 1
( ) ( ) ( )
x x A B CI dx dx
a x x x x a x x x x x x
0 1
0
1ln
BA x x C x x C
a x x
Ví dụ 1.19. Tính tích phân sau: 3 2
3
2 4 3 1
2 6 4
x x xI dx
x x
.
Giải
20
Thực hiện phép chia tử cho mẫu rồi biến đổi nhƣ sau:
2 2
3 3
4 3 5 1 4 3 51
2 6 4 2 3 2
x x x xI dx dx dx
x x x x
2
2 2
1 4 3 5 1
2 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2
x x A B Cx dx x dx
x x x x x
.
Ta có: 2
2 2
( 1)( 2) ( 2) ( 1)
1 ( 1) 2 ( 1) ( 2)
A B C A x x B x C x
x x x x x
2
2
( ) ( 2 ) 2 2
( 1) ( 2)
A C x A B C x A B C
x x
2
2
4 3 5
( 1) ( 2)
x x
x x
Nên:
4 1
2 3 2
2 2 5 3
A C A
A B C B
A B C C
.
Vậy, 2
1 1 2 3
2 1 ( 1) 2I x dx
x x x
31 1ln ( 1)( 3)
2 1x x x C
x
.
3) Đa thức mẫu có nghiệm bội ba là 0x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi và tính tích phân nhƣ sau:
2
3 2 3
0 0 0 0
1 1
( ) ( ) ( )
x x A B CI dx dx
a x x a x x x x x x
0 2
0 0
1ln
2( )
B CA x x C
a x x x x
.
Ví dụ 1.20. Tính tích phân sau: 4 3 2
3 2
2 9 17 18 4
3 3 1
x x x xI dx
x x x
.
Giải
Thực hiện phép chia tử cho mẫu rồi biến đổi nhƣ sau:
2 22
3 2 3
2 7 1 2 7 12 3 3
3 3 1 ( 1)
x x x xI x dx x x dx
x x x x
21
2
2 33
1 ( 1) ( 1)
A B Cx x dx
x x x
.
Ta có: 2
2 3 3
( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1) ( 1)
A B C A x B x C
x x x x
2
3
( 2 )
( 1)
Ax A B x A B C
x
2
3
2 7 1
( 1)
x x
x
.
Nên:
2 2
2 7 3
1 4
A A
A B B
A B C C
.
Vậy, 2
2 3
2 3 43
1 ( 1) ( 1)I x x dx
x x x
2 2
2
3 23 ln( 1)
1 ( 1)x x x C
x x
.
4) Đa thức mẫu chỉ có một nghiệm là 1x .
Với trƣờng hợp này, ta có thể biến đổi để tính tích phân nhƣ sau:
2
2 2
1 1
1 1
( )( )
x x A Bx CI dx dx
a x x x px q a x x x px q
1 2
1ln
A Bx Cx x dx
a a x px q
.
Trong đó, tam thức bậc hai 2x px q vô nghiệm và A, B, C là các hằng số đƣợc
xác định theo , , bằng phƣơng pháp hệ số bất định. Ngoài ra, tích phân bên phải ta
đã biết cách tính nhƣ phần trên.
Ví dụ 1.21. Tính tích phân sau: 2
3 2
2 3 11
3 5
x xI dx
x x x
.
Giải
Ta có: 2
2 2
2 3 11
( 1)( 2 5) 1 2 5
x x A Bx CI dx dx
x x x x x x
.
Do: 2
2 2
( 2 5) ( )( 1)
1 2 5 ( 1)( 2 5)
A Bx C A x x Bx C x
x x x x x x
22
2
2
( ) (2 ) 5
( 1)( 2 5)
A B x A B C x A C
x x x
2
2
2 3 11
( 1)( 2 5)
x x
x x x
.
Nên:
2 2
2 3 0
5 11 1
A B A
A B C B
A C C
.
Vậy, 2 2 2
2 12
1 2 5 1 ( 1) 2
dx dxI dx
x x x x x
2 1 1ln( 1) arctan
2 2
xx C
.
1.1.4.3. Tích phân với mẫu là đa thức bậc lớn hơn ba
Với tích phân hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc lớn hơn ba, ta chỉ xét các trƣờng
hợp đặc biệt có dạng nhƣ sau:
Tích phân dạng ( )
( ) ... ( )
n
r s
r s
P xI dx
x x x x
.
Trong đó: ,...,r s là các số nguyên dƣơng sao cho ...r s n (bậc mẫu lớn hơn
bậc tử) và ... 3r s .
Để tính tích phân dạng này, ta có thể biến đổi để tính nhƣ sau:
1 1... ... ...( ) ( )
sr
r s
r r s s
BA A BI dx
x x x x x x x x
.
Trong đó: 1 1,..., , ,...,Br sA A B là các hằng số đƣợc xác định theo các hệ số của đa
thức nP x bằng phƣơng pháp hệ số bất định. Khi đó, các tích phân bên phải ta có thể
tính đƣợc dễ dàng.
Ví dụ 1.22. Tính tích phân 3 2
5 3
5 5 4x xI dx
x x
.
Giải
Ta có: 3 2 3 2
3 2 3
5 5 4 5 5 4
( 1) ( 1)( 1)
x x x xI dx dx
x x x x x
23
2 3 1 1
A B C D Edx
x x x x x
.
Do: 2 3 1 1
A B C D E
x x x x x
2 2 2 2 3 3
3 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
Ax x Bx x C x Dx x Ex x
x x
4 3 2
3 2
( ) ( ) ( )
( 1)
A D E x B D E x A C x Bx C
x x
3 2
3 2
5 5 4
( 1)
x x
x x
Nên bằng phƣơng pháp hệ số bất định, ta tính đƣợc: 1,A 0,B 4,C 2,D
3E .
Khi đó: 3
1 4 2 3
1 1I dx
x x x x
2
2 2 2
2 ( 1) 2ln 2ln 1 3ln 1 ln
( 1)
x xx x x C C
x x x
Tích phân dạng 2
1
( )
( ) ... ( ) ( )
n
r s
k
P xI dx
x x x x x px q
.
Trong đó: 2x px q là tam thức bậc hai vô nghiệm và ,...,r s là các số nguyên
dƣơng sao cho ... 2r s n (bậc mẫu lớn hơn bậc tử).
Để tính tích phân dạng này, ta có thể tính biến đổi nhƣ sau:
1 1
2... ... ...
( ) ( )
sr
r s
r r s s
BA A B Cx DI dx
x x x x x x x x x px q
.
Trong đó: 1 1,..., , ,...,r sA A B B , C, D là các hằng số đƣợc xác định theo các hệ số của
đa thức nP x bằng phƣơng pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1.23. Tính tích phân I =2
4 3 2
3 3
2 3 4 2
x xdx
x x x x
.
Giải
Ta có: 2
2 2 2 2
3 3
( 1) ( 2) 1 ( 1) 1
x x A B Cx DI dx dx
x x x x x
.
24
Bằng phƣơng pháp hệ số bất định, ta tính đƣợc: 1 7 1 13
, , ,9 3 9 9
A B C D .
Do đó: 2 2
1 7 1 13
9 1 3 ( 1) 9 2
dx dx xI dx
x x x
2 2
1 7 1 1 2 13ln 1
9 3( 1) 9 2 2 2
xx dx
x x x
2 2
1 7 1 2 13ln 1
9 3( 1) 18 2 9 2
x dxx dx
x x x
21 7 1 13ln 1 ln( 2) arctan
9 3( 1) 18 9 2 2
xx x C
x
.
1.1.5. Các phƣơng pháp tính tích phân
Khi tính một tích phân, nếu ta chỉ sử dụng các tích phân cơ bản và các tính chất của
tích phân thì sẽ có rất nhiều tích phân ta không thể tính đƣợc. Sau đây, ta sẽ vận dụng
các tính chất của phép tính tích phân kết hợp với các tính chất của phép tính vi phân để
đƣa ra hai phƣơng pháp tính tích phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp
tích phân từng phần.
1.1.5.1. Phƣơng pháp đổi biến số
Để tính tích phân ( )f x dx , trong đó f x là một hàm liên tục, ta có thể sử dụng
một công thức đổi biến số thích hợp để chuyển tích phân về dạng dễ tính hơn. Ta có
hai cách đổi biến số nhƣ sau:
1) Đặt x t , trong đó t là một hàm khả vi và đơn điệu.
Khi đó ta lấy vi phân hai vế, 'dx t dt , rồi thế vào tích phân:
( ) ( ) '( ) ( )f x dx f t t dt g t dt .
Với cách chọn hàm t thích hợp thì ta tính đƣợc tích phân của hàm g t . Nếu
( ) ( )g t dt G t C thì: 1( ) ( )f x dx G x C .
2) Đặt x t , trong đó x là một hàm khả vi.
Khi đó ta lấy vi phân hai vế, ' x dx dt , rồi thế vào tích phân:
( ) ( ) '( ) ( )f x dx g x x dx g t dt .
25
Nếu ( ) ( )g t dt G t C thì: ( ) ( )f x dx G x C .
Sau đây, ta sẽ trình bày cách tính tích phân của một số dạng hàm bằng phƣơng pháp
đổi biến số.
Phƣơng pháp đổi biến số cho tích phân hàm hợp
Các tích phân của hàm hợp có dạng [ ( )] '( )f u x u x dx . Để tính tích phân này, ta sử
dụng công thức đổi biến số u x t .
Lấy vi phân hai vế rồi thế vào tích phân, ta đƣợc: [ ( )] '( ) ( )f u x u x dx f t dt .
Ví dụ 1.24. Tính tích phân I =2 1975( 1)x xdx .
Giải
Đặt 2 1x t thì 2xdx dt hay
2
dtxdx .
Thay vào tích phân đã cho, ta đƣợc:
1976 2 19761975 19751 1 ( 1)
2 2 2 1976 3952
dt t xI t t dt C C
.
Ta cũng có thể đổi biến số trực tiếp nhƣ sau:
2 2 1976 2 19762 1975 2 1975 2( 1) 1 1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) .2 2 2 1976 3952
d x x xI x x d x C C
Ví dụ 1.25. Tính tích phân 3
23
sin xI dx
x .
Giải
Đặt 3 x t thì 233
dxdt
x hay
233
dxdt
x .
Thay vào tích phân đã cho, ta đƣợc:
3sin 3 3 sin 3cos 3cosI t dt tdt t C x C .
Ta cũng có thể đổi biến số trực tiếp nhƣ sau:
2 23 33 3 3sin 3 3 sin 3cosI x d x xd x x C .
26
Ví dụ 1.26. Tính tích phân
1
2
xe dxI
x .
Giải
Đặt 1
tx thì
2
dxt
x hay
2
dxdt
x . Thay vào tích phân, ta đƣợc:
1
( )t t t xI e dt e dt e C e C .
Ta cũng có thể đổi biến số trực tiếp nhƣ sau:
1 1 1 1
2
1 1x x x x
dxI e e d e d e C
x x x
.
Ví dụ 1.27. Tính tích phân sau 2
4
1
1
xI dx
x
.
Giải
Ta có:
2
2 2 2
4 2 22
22
11 1 11 1
11 1 12 2
x d xxx x xI dx dx dx
xx x x
xx x x
2
11 1 1
arctan arctan2 2 2 2
xxx C C
x
.
Chú ý. Ta có các phƣơng pháp đổi biến số cho một số tích phân hàm hợp đặc biệt
sau:
1)1( )n nf ax b x dx .
Phƣơng pháp. Đặt nax b t , khi đó ta có 1n dt
x dxna
Ví dụ 1.28. Ta có:
a) 2
2 2 21 sin( 1)cos( 1) cos( 1) ( 1)
2 2
xx x dx x d x C
.
b) 2 3 3
6 3 2 2 3
1 ( ) 1 3ln
3 189 ( ) 3 3
x dx d x xC
x x x
.
27
2) ( )xf e dx .
Phƣơng pháp. Đặt xe t , khi đó ta có
dtdx
t
Ví dụ 1.29.
111 2
2( 8)
( 8) ( ) 2 818 12
x xx x x
x
e dx ee d e C e C
e
3) ( ln )dx
f a x bx
.
Phƣơng pháp: Đặt lna x b t , khi đó ta có dx dt
x a
Ví dụ 1.30.
a) 2ln ln
ln (ln )2
x dx xx d x C
x .
b) 4 5
4(2ln 3) 1 (2ln 3)(2ln 3) (2ln 3)
2 10
x xdx x d x C
x
.
4) sin cosf x xdx .
Phƣơng pháp: Đặt sin x t , khi đó ta có cos xdx dt .
Ví du 1.31. Tính tích phân 5cosI x dx .
Giải
Đặt sin x t thì cos xdx dt .
Khi đó ta có:
4 2 2 2 2cos cos (cos ) cos (1 sin ) cosI x xdx x xdx x xdx
2 2 2 4(1 ) (1 2 )t dt t t dt 3 5 3 52 2sin sin
sin3 5 3 5
t t x xt C x C .
Ví dụ 1.32. Tính tích phân 6sinI x dx .
Giải
Ta có:
3
2 3 1 cos 2(sin )
2
xI x dx dx
28
2 31(1 3cos 2 3cos 2 cos 2 )
8x x x dx
31 1 cos 4(1 3cos 2 3 cos 2 )
8 2
xx x dx
35 3 3 1cos 2 cos 4 cos 2
16 8 16 8dx xdx xdx xdx
25 3sin 2 3sin 4 1(1 sin 2 )cos 2
16 16 64 8
x x xx xdx .
Đặt sin 2x t thì 2cos2xdx dt , hay cos 22
dtxdx . Khi đó ta có:
3 32 2 sin 2 sin 2
(1 sin 2 )cos 2 (1 )2 2 6 2 6
dt t t x xx xdx t .
Vậy, 35 3sin 2 3sin 4 1 sin 2 sin 2
16 16 64 8 2 6
x x x x xI C
35 sin 2 3sin 4 sin 2
16 4 64 48
x x x xC .
5) cos sinf x xdx .
Phƣơng pháp: Đặt cos x t , khi đó ta có sin xdx dt .
Ví dụ 1.33. Tính tích phân 3sin
2 cos
x dxI
x
.
Giải
Đặt cos x t thì sin xdx dt .
Khi đó ta có: 2 2sin sin (1 cos )sin
cos 2 cos 2
x xdx x xdxI
x x
2 2( 1) 32 2 3ln 2
2 2 2
t dt tt dt t t C
t t
2cos2cos 3ln cos 2
2
xx x C .
6) tanf x dx .
Phƣơng pháp: Đặt tan x t , khi đó ta có 2 1
dtdx
t
.
29
Ví dụ 1.34. Tính tích phân 2 2sin 2sin cos 2cos
dxI
x x x x
.
Giải
Ta có: 2
2 2 2
tan 1
(tan 2 tan 2)cos tan 2 tan 2
dx xI dx
x x x x x
.
Đặt tan x t , khi đó ta có 2 1
dtdx
t
. Thế vào tích phân trên, ta đƣợc:
2
2 2 2 2
1 ( 1).
2 2 1 2 2 ( 1) 1
t dt dt d tI
t t t t t t
arctan( 1) arctan(tan 1)t C x C .
7) 2
arcsin1
dxf x
x .
Phƣơng pháp: Đặt arcsin x t , khi đó ta có 21
dxdt
x
.
Ví dụ 1.35. Tính tích phân 2 21 arcsin
dxI
x x
.
Giải
Đặt arcsin x t , khi đó ta có 21
dxdt
x
.
Thế vào tích phân trên, ta đƣợc: 2
1 1
arcsin
dtI C C
t xt .
8) 2arctan
1
dxf x
x .
Phƣơng pháp: Đặt arctan x t , khi đó ta có 21
dxdt
x
.
Ví dụ 1.36. Tính tích phân 2
sin(1 arctan )
1
x dxI
x
.
Giải
Đặt arctan x t , khi đó ta có 21
dxdt
x
.
Thế vào tích phân trên, ta đƣợc:
30
sin(1 ) cos(1 ) cos(1 arctan )I t dt t C x C .
Phƣơng pháp đổi biến số cho tích phân hàm vô tỉ
Với tích phân hàm vô tỉ, ta chỉ xét các dạng đặc biệt sau:
o Đổi biến số cho tích phân dạng , nR x ax b dx .
Phƣơng pháp: Đặt n ax b t , khi đó nt b
xa
và
1nntdx dt
a
Ví dụ 1.37. Tính tích phân 1 1
xdxI
x
.
Giải
Đặt 1x t , khi đó 2 1x t và 2dx tdt .
Thế vào tích phân đã cho, ta đƣợc:
2 32 2( 1)2 2 2( 1) 1
2 ( ) 11 3 3
t tdt t x xI t t dt t C x C
t
.
o Đổi biến số cho tích phân dạng ( , , )m nR x ax b ax b dx .
Phƣơng pháp: Đặt pax b t (p là bội chung nhỏ nhất của m và n), khi đó:
pt bx
a
và
1pptdx dt
a
.
Ví dụ 1.38. Tính tích phân 3(1 )
dxI
x x
.
Giải
Đặt 6x t , khi đó
56dx t dt .
Thay vào tích phân đã cho, ta đƣợc:
5 5 2
3 2 236 6
66 6
(1 ) 11
t dt t dt t dtI
t t tt t
6 6
2
16 1 6( arctan ) 6 arctan
1dt t t C x x C
t
.
o Đổi biến số cho tích phân dạng 2f ax b xdx .
Phƣơng pháp: Đặt 2ax b t , khi đó 2
2 t bx
a
và
tdtxdx
a .
31
Ví dụ 1.39. Tính tích phân 2 4x
I dxx
.
Giải
Đặt 2 4x t , khi đó 2 2 4x t và xdx tdt .
Thế vào tích phân đã cho, ta đƣợc: 2
2 2
4
4
x tI xdx tdt
x t
2
41 2arctan
4 2
tdt t C
t
22 4
4 2arctan2
xx C
.
Chú ý. Với dạng tích phân này, ta chú ý hai tích phân sau:
1)
1
2 2 22
2
1( ) ( )
2
xdxx a d x a x a C
x a
.
2)
1
2 2 2 2 2 22
2 2
1( ) ( )
2
xdxI a x d a x a x C
a x
.
Phƣơng pháp đổi biến số cho tích phân hàm lƣợng giác
Với tích phân hàm lƣợng giác sin , cosR x x dx , nếu không rơi vào các trƣờng
hợp đặc biệt đã nêu trong các phần trên thì ta có thể sử dụng phƣơng pháp đổi biến số
sau đây:
Đặt tan2
xt , khi đó ta có
2
2
1
dtdx
t
.
Cần lƣu ý trong phƣơng pháp đổi biến số này là:
2
2 2 2
2 1 2sin ,cos , tan
1 1 1
t t tx x x
t t t
.
Ví du 1.40. Tính tích phân sau: 1 sin cos
dxI
x x
.
Giải
Đổi biến theo công thức trên, ta đƣợc:
32
2
2
2 2
2
1 ln 1 ln 1 tan1 22 1
11 1
dt
dt xtI t C Ctt t
t t
.
Ví du 1.41. Tính tích phân sau: 2 sin
2 cos
xI dx
x
.
Giải
Đổi biến theo công thức trên, ta đƣợc: 22
2 2 2 2
2
22
2 11 . 41 1 ( 1)( 3)
21
t
dt t ttI dtt t t t
t
.
Sử dụng phƣơng pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ cho tích phân vế phải, ta có:
2 2 2 2
12 2 42 24
1 3 1 3
t t
t tI dt dt
t t t t
2
2 2 2 2
2 2 3 44 ln arctan
3 1 3 1 3 3
t t dt t tdt dt C
t t t t
2
2
1 4ln 2 arctan
1 3 3
t tC
t
4 1
ln 2 cos arctan tan23 3
xx C
.
1.1.5.2. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Giả sử ( ), ( )u x v x là hai hàm số khả vi, có các đạo hàm ( ), ( )u x v x liên tục. Khi đó,
từ công thức ( )d uv udv vdu . Suy ra: udv uv vdu .
Công thức trên đƣợc gọi là công thức tích phân từng phần. Công thức này đƣợc áp
dụng khi việc tính vdu đơn giản hơn việc tính.
Công thức tích phân từng phần thƣờng đƣợc dùng tính các tính phân có dạng sau
Trƣờng hợp 1. Tích phân các hàm số ngƣợc.
33
Nhận xét. Các hàm ngƣợc không có công thức nguyên hàm, tuy nhiên nếu lấy đạo
hàm thì các hàm ngƣợc sẽ trở thành những hàm số hữu tỉ hoặc căn thức. Vì vậy dùng
công thức: ln ,arctan ,arsin ,cot ,arccosu x x x gx x
dv dx
.
Ví dụ 1.42. Tính các tích phân
a) ln xdx b) arcsin xdx
Giải
a) ln xdx .
Đặt ln
dxu x u
xdv dx
v x
.
Vậy, ln ln (ln 1)xdx x x dx x x C .
b) arcsin xdx
Đặt 2arcsin
1
dxuu x
xdv dx
v x
.
Vậy, 2
2 2
1 (1 )arcsin arcsin arcsin
21 1
xdx d xxdx x x x x
x x
2 31arcsin (1 )
3x x x C .
Trƣờng hợp 2. Tính các tích phân dạng ( ) lnP x xdx , ( )arcsinP x xdx ,
( )arctanP x xdx , arccosP x xdx , arccotP x xdx .
Các tích phân này là mở rộng của trƣờng hợp 1, nên ta sử dụng phép đặt sau:
ln ,arcsin ,arccos ,arctan ,arccot ,
( )
u x x x x x
dv P x dx
.
Ví dụ 1.43. Tính các tích phân
a) arctanx xdx b) 2( 2 1) lnx x xdx
Giải
34
a) arctanx xdx .
Đặt 2
2
arctan 1
2
dxdu
u x x
dv xdx xv
Suy ra: 2 2 2 2
2 2
1 1 (1 ) 1arctan arctan arctan
2 2 2 21 1
x x x xx dx x dx x dx
x x
2
2
1 1arctan 1
2 2 1
xx dx
x
2 1
arctan arctan2 2
xx x x C .
b) 2( 2 1) lnx x xdx .
Đặt 2 3
2
ln
( 2 1)
3
dxdu
u x x
dv x x dx xv x x
.
Suy ra 3 2
2 2( 2 1) ln ln 13 3
x xx x xdx x x x x dx
3 3 22 ln
3 9 2
x x xx x x x C
.
Trƣờng hợp 3. Tính các tích phân dạng ( ) , ( )sin , ( )cosaxP x e dx P x axdx P x axdx .
Nhận xét. Các hàm ,sin ,cosaxe ax ax không bị mất dạng khi lấy đạo hàm hoặc
nguyên hàm, vì vậy để tính đƣợc các tích phân trên cần giảm bậc của P x với phép
đặt: ( )
,sin ,cosax
u P x
dv e ax axdx
.
Ví dụ 1.44. Tính các tích phân
a) sin 2x xdx b) x
xdx
e
Giải
a) sin 2x xdx .
35
Đặt 1sin 2 os2
2
du dxu x
dv xdx v c xdx
.
Suy ra 1 1 1 1
sin 2 cos 2 os2 cos 2 sin 22 2 2 4
x xdx x x c xdx x x x C .
b) x
xdx
e.
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e dx
.
Suy ra 1x x
x x x
x xdx xe e dx C
e e e
.
Trƣờng hợp 4. Tính tích phân dạng sinaxe axdx , osaxe c axdx .
Nhận xét. Cả hai hàm số axe và sin ,cosax ax đều không mất dạng qua phép lấy
đạo hàm hoặc nguyên hàm, nhƣng (sin ) cosax a ax hoặc ngƣợc lại. Do đó để tính
đƣợc hai dạng tích phân này ta dùng công thức tích phân từng phần hai lần với hàm u
cố định trong cả hai lần.
Ví dụ 1.45. Tính tích phân 2 cosxI e xdx .
Giải
Đặt 22
sincos
1
2
xx
du xdxu x
u edu e dx
.
Suy ra 2 21 1cos sin
2 2
x xI e x e xdx . (1)
Tính 2 sinxK e xdx .
Đặt 22
ossin
1
2
xx
du c xdxu x
u edu e dx
.
Suy ra 2 2 21 1 1 1sin cos sin
2 2 2 2
x x xK e x e xdx e x I .
Thay K vào (1) ta đƣợc:
36
2 2 2 21 1 1 1 1 1 1cos sin cos sin
2 2 2 2 2 4 4
x x x xI e x e x I e x e x I
.
Suy ra 2 25 1 1cos sin
4 2 4
x xI e x e x .
Vậy, 2 22 1cos sin
5 5
x xI e x e x .
Chú ý. Đôi khi cần kết hợp cả hai phƣơng pháp đổi biến và tích phân từng phần để
tính tích phân nhƣ ví dụ sau:
Ví dụ 1.46. Tính các tích phân:
a) arctan xdx b) xe dx
Giải
a) arctan xdx .
Nhận xét. Vì tích phân chứa hàm ngƣợc nên ta áp dụng phƣơng pháp tích phân
từng phần với phép đặt arctan
2 (1 )
dxduu x
x xdv dx
v x
.
Suy ra arctan arctan2 (1 )
xdxxdx x x
x x
.
Đến đây ta cần tính
( 1) 1
2 (1 ) 2 (1 ) 2 2 (1 ) 2 (1 )
xdx x dx dx dx dxx
x x x x x x x x x
.
Bây giờ tính 2 (1 )
dx
x x .
Đặt 2
dxu x du
x .
Suy ra 2
arctan arctan12 (1 )
dx duu x
ux x
.
Vậy, arctan arctan arctanxdx x x x x C .
b) xe dx .
37
Đặt 2 2t x t x tdt dx .
Suy ra 2x te dx te dt .
Đặt t t
u t du dt
dv e dt v e
.
Khi đó, 2 2( ) 2 2x t t t t te dx te dt te e dt te e C
2 ( 1) 2 ( 1)t xe t C e x C .
1.2. Tích phân xác định
1.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm trên ;a b . Hãy tính diện tích S của hình
thang cong aABb giới hạn bởi trục Ox , đƣờng cong ( )y f x và hai đƣờng thẳng
,x a x b .
Hãy xác định diện tích của hình S?
Chia tùy ý đoạn a;b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
0 1 2 1i i na x x x x x x b .
Từ các điểm chia, dựng những đƣờng thẳng vuông gốc với trụcOx . Khi đó, hình
thang cong aABb đƣợc chia thành n hình thang nhỏ 1 2, , , nS S S . Diện tích của hình
thang cong nhỏ iS có thể xem gần bằng diện tích của hình chữ nhật có kích thƣớc:
1i i ix x x và ( )if , với là một điểm bất kì trên 1;i ix x .
38
Do đó diện tích của hình thang đƣợc tính gần đúng bằng công thức
1
0 0 1 1 1 1
0
( ) ( ) ( ) ( )n
n n n i i
i
S f x f x f x f x
.
Dễ thấy rằng nếu ta chia 1;i ix x càng nhỏ thì nS càng gần với diện tích của hình
thang. Do đó diện tích S của hình thang cong aABb đƣợc xem là giới hạn của tổng nS
khi max 0ix , có nghĩa là 1
ax 00
lim ( )i
n
i im x
i
S f x
.
Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:
1.2.2. Định nghĩa
Giả sử hàm số ( )f x xác định trên đoạn a;b .
a) Chia đoạn a;b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
0 1 2 1i i na x x x x x x b .
b) Trên mỗi đoạn nhỏ i i 1
[x ,x ]
ta chọn điểm ξi tùy ý.
c) Lập tổng tích phân 1
0
( )n
n i i
i
I f x
.
d) Nếu 0
lim nd
I
tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn a;b và các cách chọn
điểm i thì nó đƣợc gọi là tích phân xác định của hàm số ( )f x trên đoạn a;b .
Ký hiệu. 0
( ) lim
b
nd
a
I f x dx I
với 1( ),0i id max x x i n .
Quy ƣớc.
Cho ( )f x xác định tại a, ta có ( ) 0a
bf x dx .
39
Cho ( )f x xác định trên đoạn a;b và a b , ta có ( ) ( )a b
b af x dx f x dx .
Ví dụ 1.47. Dùng định nghĩa tính tích phân xác định
a)
1
0
xI e dx b)
2
2
1
I x dx
Giải
a)
1
0
xI e dx .
Chia đoạn 0;1 thành n phần bằng nhau, mỗi phần sẽ có độ dài 1
n trên mỗi phần ta
lấy i là điểm đầu mút bên trái của các đoạn 1;k kx x , lập tổng:
1
10
1 1
( 1)
kn
nn
k n
eS e
nn e
.
Suy ra 1
1
0
1lim 1
( 1)
x
nn
eI e dx e
n e
.
b)
2
2
1
I x dx
.
Chia đoạn 1;2 thành n phần bằng nhau, mỗi phần sẽ có độ dài 3
n trên mỗi phần
ta lấy i là điểm đầu mút bên trái của các đoạn 1;k kx x , lập tổng:
2 21 1
20 0
3 3 3 6 9 3 3( 1)1 1
2
n n
n
k k
k k k nS n
n n n n n nn
.
Suy ra
2
2
1
3 3( 1)lim 3
2n
nI x dx n
n n
.
Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dƣới dấu tích phân và đoạn lấy tích
phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân
( ) ( ) ( )b bb
aa a
f x dx f t dt f u du .
1.2.3. Tính chất
(1) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx .
40
(2) ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx (k: hằng số).
(3) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx .
(4) b
adx b a .
(5) Nếu ( ) ( )f x g x , ;x a b thì ( ) ( )b b
a af x dx g x dx .
(6) Nếu ( )m f x M , ;x a b thì ( ) ( ) ( )b
am b a f x dx M b a .
1.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định
1.2.4.1. Phƣơng pháp dùng công thức Newton – Leibnitz
Nếu ( )f x liên tục trên ;a b và F x là một nguyên hàm của ( )f x thì
( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a .
Ví dụ 1.48. Dùng công thức Newton – Leibnitz tính các tích phân
a)
1
2
2
1
2
4 4 5
dx
x x
b)
1
2
2
1
2
4 4 5
dx
x x
Giải
a)
1 11
2 22
2 2 21
1 12
2 2
1 2 1arctan
4 2 164 4 5 (2 1) 2
dx dx x
x x x
.
b)
44 4
2
3 3 3
2 2 1 4ln ln ln ln
( 1)( 2) 1 3 2 33 2
dx dx x
x x xx x
.
1.2.4.2. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lý. Xét tích phân xác định b
af (x)dx với f(x) liên tục trên[a,b] .
Giả sử x (t) thỏa các điều kiện.
1) (t) có đạo hàm liên tục trên [ , ] ;
2) ( ) a, ( ) b ;
41
3) Khi t biến thiên trên ; thì x biến thiên trên ;a b .
Khi đó: ( ) ( ) . '( )b
af x dx f t t dt
Ví dụ 1.49. Tính các tích phân sau :
a) 2
1 1 (ln )
edx
Ix x
b)
ln 8
ln 3 1x
dxI
e
c)
1
0 1
dxI
x
d)
2
02 cos
dxI
x
Giải
a) 2
1 1 (ln )
edx
Ix x
.
Đặt lndx
u x dux
.
Đổi cận 1 0;x u 1x e u .
Suy ra
11
02 21 0
arcsin21 (ln ) 1
edx du
I ux x u
.
b)
ln 8
ln 3 1x
dxI
e
.
Đặt 2
2
21 1 2
1
x x x uduu e u e udu e dx dx
u
.
Đổi cận ln3 2;x u ln8 3x u .
Suy ra
ln8 3
2
ln 3 2
2
( 1)1x
dx uduI
u ue
33
2 2
1 32 ln ln
( 1)( 1) 1 2
du u
u u u
.
c)
1
0 1
dxI
x
.
Đặt 2 2u x u x udu dx .
Đổi cận 0 0;x u 1 1x u .
42
Suy ra:
1 1 1 1
0 0 0 0
2 (1 ) 1 12 2 1
1 1 11
dx udu uI du dx
u u ux
1
02 ln 1 2 2ln 2u u .
d) 2
02 cos
dxI
x
.
Đặt 2
2 2
1 2tan ,cos ,
2 1 1
x t dtt x dx
t t
.
Đổi cận 0 0x t ; 12
x t
.
Suy ra
112
2
00 0
22 arctan
2 cos 3 3 3 3 3
dx dt tI
x t
.
1.2.4.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần
Với tích phân xác định, công thức tích phân từng phần chỉ thêm các cận
b bb
a
a a
udv uv vdu .
Ví dụ 1.50. Tính các tích phân sau
a)
1
0
arI ctgxdx b)
1
0
. xI x e dx
c)
1
0
.arI x ctgxdx d) 4
3
0
sin
os
x xI dx
c x
Giải
a)
1
0
arI ctgxdx .
Đặt 2ar
1
dxu ctgx du
xdv dx
v x
.
Suy ra:
11 11 1 2
20 0
0 0 0
1arctan arctan arctan ln(1 )
1 2
xdxI xdx x x x x x
x
43
ln 2 ln 2arctan1
2 4 2
.
b)
1
0
. xI x e dx .
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
.
Suy ra 1 1
11
0 00 0
2. 1x x x x xI x e dx xe e dx xe e
e
.
c)
1
0
.arctanI x xdx .
Đặt 2
2
arctan 1
2
dxdu
u x x
dv xdx xv
.
Suy ra
11 12 2
2
0 00
1.arctan arctan
2 2 1
x xI x xdx x dx
x
11 2
2
00
1 (1 ) 1 1 1( arctan )
8 2 1 8 2 4 2
xdx x x
x
.
d) 4
3
0
sin
cos
x xI dx
x
.
Đặt
3 2
sin 1
cos 2cos
u x du dx
xdv dx v
x x
Suy ra 4 4
4
3 2 2
00 0
sin 1
os 2cos 2 cos
x x x dxI dx
c x x x
4
2
0
1 1tan
2cos 2 4 2
xx
x
.
1.3. Ứng dụng của tích phân xác định
1.3.1. Tính diện tích hình phẳng
44
Trong định nghĩa của tích phân xác định, ta đã biết diện tích S của một hình thang
cong giới hạn bởi đƣờng cong ( )y f x , trục Ox và các đƣờng thẳng ,x a x b là
( )
b
a
S f x dx .
Tƣơng tự nếu ( ) 0f x trên ;a b thì ( )
b
a
S f x dx .
Do đó trong mọi trƣờng hợp ta có: ( )
b
a
S f x dx .
Trƣờng hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong liên tục ( ), ( )y f x y g x và
hai đƣờng thẳng ,x a x b thì diện tích S là ( ) ( )
b
a
S f x g x dx .
Ví dụ 1.51. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng cong sau:
a) 2 9y x và 3y x b) 2y x , 2y x và 0y
Giải
a) Giao điểm của hai đƣờng là nghiệm của hệ
2 2 0 19 9 9
33 3
x xy x x x
y xy x y x
.
Vậy, có hai giao điểm 0;0 và 1;3 .
Suy ra
11
2
0 0
3 1( 9 3 ) 2
2 2S x x dx x x x
.
b) Giao điểm của hai đƣờng là nghiệm của hệ
2 21
2 02
2 22
xy x x x
xy x y x
y x
.
Suy ra
11 32
2
0 0
2 5(2 ) 2
2 3 6
yS y y dy y y
.
1.3.2. Tính độ dài cung
Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số ( )y f x trên ;a b . Khi đó
45
21 ( )
b
AB
a
l f x dx .
Nếu AB cho bởi phƣơng trình tham số( )
, ( )
x x ta t b
y y t
thì
2 2[ ( )] [ ( )]
b
AB
a
l x t y t dt .
Ví dụ 1.52. Tính chu vi đƣờng tròn tâm O bán kính 2R .
Tham số hóa: 2cos
, 0 t 22sin
x t
y t
.
Do đó
2 2
2 2
0 0
4cos 4sin 2 4ABl t tdt dt
.
1.3.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
Xét vật thể V nhận đƣợc bằng cách quay đƣờng cong ( )y f x (với x ;a b )
quanh trụcOx . Khi đó thể tích của V cho bởi công thức: 2[ ( )]
b
a
V f x dx .
Nếu quay đƣờng cong ( )x g y (với ;y c d ) quanh trục Oy thì thể tích là:
2[ ( )]
d
c
V g y dy .
Ví dụ 1.53. Tính thể tích vật thể tròn xoay, tạo bởi sự quay xung quanh trục Ox của
hình giới hạn bởi đƣờng cong 2 4y x và 4x .
Giải
Ta có
44 4 22
0 0 0
4 4 322
xV y dx xdx .
46
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Nêu định nghĩa và tính chất của tích phân bất định.
2. Phát biểu công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần trong tích phân
bất định. Phạm vi ứng dụng của mỗi công thức.
3. Nêu định nghĩa và tính chất của tích phân xác định.
4. Phát biểu quan hệ giữa tích phân bất định bà tích phân xác định.
5. Phát biểu công thức Newton – Leibnitz.
6. Nêu phƣơng pháp đổi biến số và công thức tích phân từng phần trong tính tích
phân xác định.
7. Nêu công thức tính diện tích hình phẳng trong tọa độ Descartes.
8. Nêu công thức tính chiều dài cung đƣờng cong.
9. Nêu công thức tính thể tích vật thể.
47
BÀI TẬP
1.1. Dùng các tính chất của tích phân bất định, hãy tính các tích phân sau
a) b)
c) 2cos xdx d)
e) f)
1.2. Dùng phƣơng đổi biến số, hãy tính những tích phân sau
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
1.3. Dùng phƣơng pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) 2
arctan xdx
x
i) j) 2cos
xdx
x
1.4. Tính tích phân các hàm số hữu tỷ sau
2
21
x dx
x 2 9
dx
x
29
dx
x
2 4
2 1
xdx
x
2 9
dx
x
2
3 1
x dx
x
2
1
x
x
e dx
e
1x
dx
e 3 ln
dx
x x
2
61
x dx
x
ln
1 ln
xdx
x x
3(3ln 5)xdx
x
5
21
x dx
x
2(4 ln )
dx
x x
32 2xx e dx
2 lnx xdx2xxe dx
2 sin3x xdx 4
ln xdx
x
2sinx xdx2ln xdx
2 3xx e dx
2( 1)
xxedx
x
48
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) 4
2 1
xdx
x j) 2
3 1
2 10
xdx
x x
k) 3 2
2
2 3 4 5
2
x x xdx
x x
l)2
3
3 2 2
1
x xdx
x
m) 2
3 2
2 3
1
x xdx
x x x
n) 2
4 2
4 1x xdx
x x
o) 6 2(1 )
dx
x x p) 7
7
1
(1 )
xdx
x x
1.5. Tính tích phân các hàm số lƣợng giác sau
a) b) 3sin
cos
xdx
x
c) d) 3
4
cos
sin
xdx
x
e) 2 sin
2 cos
xdx
x
f) 2 4sin cosx xdx
g) h) 1 cos
1 cos
xdx
x
1.6. Dùng công thức Newton - Leibnitz tính các tích phân xác định sau
a) b) 4
0cos2xdx
c) d) 0
2
4 cos
dx
x
1.7. Dùng phƣơng pháp đổi biến, tính các tích phân xác định sau
2
1
6
xdx
x x
2
2 7
4 4
xdx
x x
2
2 10
4 13
xdx
x x
3 2
2 5
3 4
xdx
x x
2
2
2 3 2
1
x xdx
x x
2
2
2 1
2 5
x xdx
x x
3
2
1
4 5
xdx
x x
3
4 2
2
1
xdx
x x
5 3cos
dx
x
3 5sin osxc xdx
3 4sin cosx xdx
1
0 1 2
dx
x
1
23
0
x x dx
49
a) b)
c) d)
e) f)
g) 1
9 5
0
1x x dx h) /2
3 8
0
sin cosx xdx
i) 2
1
lne
xdx
x j)
2
1 ln 2
edx
x x
k) 2 2 2
0
a
x a x dx l) 2
20
sin
2cos cos
xdx
x x
m) ln 3
01 x
dx
e1
2
1( 1)( 1)x
dx
e x
n) 1
15 8
0
1 3x x dx
1.8. Dùng phƣơng pháp tích phân từng phần, tính các tích phân xác định sau
a) b)
c) d)
e)
3
0
arctanx xdx f) 4
3
0
sin
cos
x xdx
x
g) 1
0
xxe dx
h) 2 2
1
ln
e
x xdx
i) 2
2
0
cosx xdx
j) 0
cosxe xdx
1.9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
a) b)
4
3 2
0
9x x dx3
1
2
0
xx e dx
2
1
(2ln 1)e xdx
x
ln8
ln3 1x
dx
e
9
4 1
dx
x
ln 2
0
1xe dx
0
sin2
xx dx
1
2
0
xx e dx
1
0
ln( 1)x x dx2
1
( ln )e
x x dx
2 , 2y x y x 2 9 , 3y x y x
50
c) d)
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1.
a) arctanx x C b)
c) d)
e) f) 1
arctan3 3
xC
1.2.
a) b)
c) d)
e) 31arctan
3x C f)
g) h)
i) k)
1.3.
a) b)
c) 3 2 2
cos3 sin3 cos33 9 27
x xx x x C d)
e) 21 1 1sin 2 cos2
4 4 8x x x x C f)
g) h) 2
1ln arctan
1
xx C
xx
2 1, 3y x y x 2 2 28, 2x y y x
1 3ln
6 3
xC
x
1 1sin 2
2 4x x C arcsin
3
xC
3ln 2 1
2x x C
321
3x C ln( 1)x xe e C
2ln 1 1xx e C 233
(ln )2
x C
2(ln 2) 1 ln
3x x C
4(3ln 5)
12
xC
2 4 21
(8 4 3 ) 115
x x x C
1ln (2 ln )(2 ln )
4x x C
321
6
xe C
3 3ln
3 9
x x xC 2 21
2 4
x xxe e C
3 3
ln 1
3 9
xC
x x
2(ln 2ln 2)x x x C
3
2(9 6 2)27
xex x C
51
i) j) tan ln cosx x x C
1.4.
a)
b)
c) 2
2
2 10 14 2ln 4 13 arctan
4 13 3 3
x xdx x x C
x x
d)
e) 2
2
2
2 3 2 5 5 2 12 ln 1 arctan
1 2 2 3
x x xdx x x x C
x x
f) 2
2
2
2 1 5 12 ln 2 5 2arctan
2 5 2 2
x x xdx x x x C
x x
g) 3
2 2
2
1 1 114 ln 4 5 arctan 2
4 5 2 2
xdx x x x x C
x x
h) 3
4 2
4 2
2 1 1 2 1ln 1 arctan
1 2 2 3
x xdx x x C
x x
i) 3
arctan3
xI x x C
j) 23 2 1ln 2 10 arctan
2 3 3
xI x x C
k) 2 21 5 1ln | 2 | ln
2 2 2
xI x x x x C
x
l) 2 4 2 1
ln 1 ln( 1) arctan3 3
xI x x x C
m) 2ln( 1) arctanI x x C
n) 4 2 21ln ln 1 ( 1)I x x x C
x
1
xeC
x
2
1 1 4ln 2 ln 3
6 5 5
xdx x x C
x x
2
2
2 7 3ln 4 4
4 4 2
xdx x x C
x x x
3 2
2 5 1 7 2ln
3 4 3( 2) 9 1
x xdx C
x x x x
52
o) 3 5
1 1 1arctan
3 5I x C
x x x
p) 6
7
7
1 2 2ln ln 1
1 7
xI dx x x C
x x
1.5.
a) 1
arctan 2tan5 3cos 2 2
dx xC
x
b) 3
2sin 1cos ln cos
cos 2
xdx x x C
x
c) 3 5 8 61 1sin cos cos cos
8 6x xdx x x C
d) 3
4 3
cos 1 1
sin 3sin sin
xdx C
x x x
e) 3 tan
2 sin 4 3 2arctan ln cos 22 cos 3 3
xx
dx x Cx
f)
g) 3 4 7 51 1sin cos cos cos
7 5x xdx x x C
h) 1 cos
2tan1 cos 2
x xdx x C
x
1.6.
a) b)
c) d)
1.7.
a) b)
c) d)
2 4 31 1 1sin cos sin 4 sin 2
16 64 48x xdx x x x C
1ln 3
2
1
2
19
151
141
5
1 11
3 e
13
3
3ln
2
53
e) f)
g) 4 2 1
75
h)
2
99
i)1
3 j) 2(2 – 2 )
k) 4
16
a ` l)
2
m) ln 3
2 n)
4
1.8 .
a) b)
c) d)
e) f)
g) 12
e h)
35 2
27
e
i) 2
24
j)
1
2
e
1.9
a) b)
c) d)
2 2ln 21
(4 )2
45
2e
1
4
35 2
27
e
2 3
3 2
1
4 2
5
6
1
2
9
2
2
3
54
Chƣơng 2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Mục đích yêu cầu
Chƣơng này trình bày những khái niệm cơ bản về phƣơng trình vi phân: định nghĩa,
cấp, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát và cách giải một số phƣơng
trình vi phân cấp một, phƣơng trình vi phân cấp hai tuyến tính hệ số hằng. Sinh viên
cần hiểu rõ các khái niệm, nhận dạng và giải thành thạo các phƣơng trình đã học, cũng
nhƣ các bài toán ứng dụng phƣơng trình vi phân.
Mở đầu
Ta xét bài toán sau: Cấy vi trùng trong hộp pitin, cho biết sự tăng trƣởng của vi
trùng tỷ lệ với số vi trùng hiện có trong hộp. Hảy tìm quy luật tăng trƣởng của vi
trùng, nếu biết số vi trùng ban đầu đem cấy và thời gian số vi trùng tăng gấp đôi là 4
ngày. Hỏi sau 3 ngày thì số vi trùng tăng đƣợc bao nhiêu phần trăm so với số lƣợng
ban đầu?
Gọi M t là số vi trùng tại thời điểm t. 0M là số vi trùng ban đầu 0t . Theo đề
bài: 0dM
kM kdt
.
Đây là phƣơng trình mô tả bài toán trên, trong phƣơng trình có chứa dM
dt đó là vi
phân của hàm số M theo biến t. Phƣơng trình có dạng Nhƣ vậy đƣợc gọi là phương
trình vi phân.
2.1. Khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân là phƣơng trình có dạng ( )( , , , , , ) 0nF x y y y y , trong đó
x là biến số độc lập; ( )y y x là hàm số phải tìm; ( ), , , ny y y là các đạo hàm của
nó.
Cấp cao nhất của đạo hàm trong phƣơng trình vi phân gọi là cấp của phƣơng trình
vi phân.
Ví dụ 2.1.
a) 22y xy x là phƣơng trình vi phân cấp 1.
b) 2 5 (2 1) xy y y x e là phƣơng trình vi phân cấp 2.
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phƣơng trình ấy, tức là
mọi hàm số sao cho khi thế chúng vào phƣơng trình ta đƣợc một đồng nhất
55
thức.Chẳng hạn các hàm số 2
1 2
x xy C e C e trong đó 1 2,C C là những hằng số tùy ý
đều là nghiệm của phƣơng trình 3 2 0y y y . Nhƣ vậy một phƣơng trình vi phân
sẽ có vô số nghiệm.
Giải một phƣơng trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2.2. Phƣơng trình vi phân cấp 1
2.2.1. Khái niệm cơ bản
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là: ( , , ) 0F x y y .
Nếu có thể giải ra đối với y thì phƣơng trình có dạng ( , )y f x y .
Ví dụ 2.2. Các phƣơng trình sau là phƣơng trình vi phân cấp 1.
a) xy xy xe .
b) 2(1 ) 0x dy xydx .
Bây giờ để tìm biểu thức nghiệm của phƣơng trình vi phân thử giải cấp 1 ta
phƣơng trình đơn giản sau cos 0y x ?
Ta có: cos 0 cosdy
y x xdx
cos cos sindy xdx dy xdx y x C .
Hãy tìm nghiệm của phƣơng trình trên thỏa mãn điều kiện 32
y
?
Thay 2
3
x
y
vào nghiệm của phƣơng trình ta đƣợc giá trị C tƣơng ứng với điều
kiện 0 sin 3 sin 2
2C y x
.
Vậy, nghiệm ứng với điều kiện đề bài là sin 2y x .
Từ bài toán trên dẫn đến các khái niệm sau:
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân là hàm số có dạng ( , )y x C thỏa
phƣơng trình vi phân.
Nghiệm riêng của phƣơng trình vi phân là hàm số có dạng 0( , )y x C , với 0C
đƣợc tìm từ điều kiện ban đầu 0 0( )y x y .
56
Có phải bao giờ cũng tìm đƣợc nghiệm của một phƣơng trình vi phân?
Để trả lời câu hỏi trên ta thử giải phƣơng trình vi phân: 2 2(1 ) (1 ) 0x dy y dx
Ta có 2 2
2 2 2 2(1 ) (1 ) 0
1 1 1 1
dy dx dy dxx dy y dx
y x y x
arctan arctan arctan arctan 0y x C y x C .
Nhƣ vậy, đôi khi ta không tìm đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp
một dƣới dạng tƣờng minh ( , )y x C , mà chỉ tìm đƣợc một hệ thức có dạng
( , , ) 0x y C và nó đƣợc gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân.
2.2.2. Phƣơng trình vi phân biến số phân ly ( hay là tách biến đƣợc)
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân biến số phân ly là phƣơng trình có dạng
( ) ( )( ) ( )
dy dxy f x g y
g y f x .
Cách giải. Lấy tích phân 2 vế của phƣơng trình
( ) ( )( ) ( )
dy dxG y F x C
g y f x .
Ví dụ 2.3. Giải phƣơng trình vi phân: 2 2( ) ( ) 0y x y dy xy x dx . (1)
Ta có 2 2(1) (1 ) ( 1) 0y x dy x y dx . (2)
Nếu 2 1 0 1x x thì 0dx , nên (2) thỏa mãn. Vậy, 1x là nghiệm
của (1).
Nếu 2 1 0 1x x thì
2 2(2)
1 1
y xdy dx
y x
2 2 2 21 1 1ln 1 ln 1 ln 1 ( 1)
2 2 2y x C y C x .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 2 21 ( 1)
1
y C x
x
.
Ví dụ 2.4. Giải phƣơng trình vi phân : 23y x y . (1)
Ta có 2 2(1) 3 3dy
x y dy x ydxdx
. (2)
Nếu 0y thì 0y nên (2) thỏa mãn. Vậy, 0y là nghiệm của (1).
57
Nếu 0y thì 2(2) 3
dyx dx
y . Lấy tích phân hai vế ta đƣợc:
3 32 33 ln ln ln ln x xdyx dx y x C y Ce y Ce
y .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 3xy Ce .
2.2.3. Phƣơng trình đẳng cấp
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân ( , )y f x y đƣợc gọi là đẳng cấp đối với x và
y là phƣơng trình có dạng: y
y fx
.
Cách giải
Đặt y
ux
hay y ux . Khi đó: y xu u .
Thế vào phƣơng trình ta đƣợc: ( )( )
du dxxu u f u
f u u x
.
Đây là phƣơng trình biến số phân ly theo u và x .
Ví dụ 2.5. Giải phƣơng trình vi phân: x y
yx y
. (1)
Đặt y ux y u x u .
2
1 1(1)
1 1
x ux u u dxu x u u x u du
x ux u u x
2 2 2
1 u u 1 2
1 u 1 u 2 1
dx d udu dxdu
x u x
21 1arctan ln(1 ) ln ln
2 2u u x C
2
2ln1
arctan ln(1 )2 2
Cxu u .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 2 22arctan ln ( )y
C x yx .
Ví dụ 2.6. Giải phƣơng trình vi phân : lnx
y xy yy
. (1)
58
(1) ln lny y y y y y
y yx x x x x x
.
Đặt y ux y u x u , phƣơng trình trở thành
(1) lnln ln
du dx du dxu x u u u u
u u x u u x
1ln
ln ln ln ln ln ln ln lnC xu
u x C C u C x u ex
.
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 1C xy xe .
2.2.4. Phƣơng trình vi phân toàn phần
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân toàn phần là phƣơng trình có dạng
( , ) ( , )P x y dx Q x y dy trong đó Q P
x y
Cách giải
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình: ( , )u x y C .
Với
0 0
0( , ) ( , ) ( , )
yx
x y
u x y P x y dx Q x y dy C . Trong đó 0 0( , )x y là một điểm tùy ý
mà P, Q liên tục.
Ví dụ 2.7. Giải phƣơng trình 2(2 3) (2 3 ) 0y dx x y dy .
Ta có: 2
2( , ) 2 3
( , ) 2 32
P
P x y y y
Q x y x y Q
x
.
Suy ra đây là phƣơng trình vi phân toàn phần.
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: ( , )u x y C .
Với 2
0 0 0 0
( , ) ( , ) (0, ) (2 3) 3
y yx x
u x y P x y dx Q y dy y dx y dy .
Do đó: 3( , ) 2 3u x y xy x y .
Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình: 32 3xy x y C .
Ví dụ 2.8. Giải phƣơng trình 2 2 3(3 2) 2 0x y dx x ydy .
59
Ta có:
2
2 2
32
6( , ) 3 2
( , ) 26
Px y
P x y x y y
QQ x y x yx y
x
.
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: ( , )u x y C .
Với 2 2
0 0 0 0
( , ) ( , ) (0, ) (3 2) 0
y yx x
u x y P x y dx Q y dy x y dx dy .
Do đó: 3 2( , ) 2u x y x y x .
Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình: 3 2 2x y x C .
2.2.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình có dạng
( ) ( )y p x y q x .
Khi q(x) 0 thì phƣơng trình trên trở thành phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần
nhất.
Cách giải. ( ) ( )y p x y q x . (1)
Bƣớc 1. Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng ( ) 0y p x y . (2)
Giả sử ( , )y x C nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2).
Bƣớc 2. Xem C là một hàm theo x , tính 'y rồi thay vào (1) để tìm ( )C x .
Ví dụ 2.9. Giải phƣơng trình vi phân : 2y xy x . (1)
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 2 0y xy .
Ta có nghiệm 0y hoặc 222 ln ln xdy
xdx y x C y Cey .
Xem C là một hàm số theo x : ( )C x .
Từ nghiệm của phƣơng trình thuần nhất ta có:
2 2 2
( ) ( ) 2 ( )x x xy C x e y C x e xC x e .
Thay ,y y vào phƣơng trình (1) ta đƣợc
2 2 2 2
(1) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )x x x xC x e xC x e xC x e x C x e x
60
2 21( )
2
x xdC xe dx C x e K .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 2 21
2
x xy e K e
.
Ví dụ 2.10. Giải phƣơng trình vi phân : 2
2 xy xy xe . (1)
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 2 0y xy ,ta có nghiệm 0y hoặc
222 ln ln xdyxdx y x C y Ce
y
.
Xem C là một hàm số theo x: ( )C x .
Ta đƣợc: 2 2 2
( ) ( ) 2 ( )x x xy C x e y C x e xC x e .
Thay y, y vào phƣơng trình (1) ta đƣợc
2 2 2 2
(1) ( ) 2 ( ) 2 ( )x x x xC x e xC x e xC x e xe
2
( ) ( )2
xC x x dC xdx C x K .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 2
2
2
xxy K e
.
2.2.6. Phƣơng trình Bernoulli
Định Nghĩa. Phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình có dạng: ( ) ( ).y p x y q x y
trong đó ( ), ( )p x q x là những hàm liên tục .
Cách giải
Nếu 0 hoặc 1 , phƣơng trình trở thành phƣơng trình tuyến tính.
Giả sử 0 và 1 .
Với 0y , chia 2 vế cho y ta đƣợc: 1( ) ( )y y p x y q x .
Đặt 1z y suy ra (1 )z y y , phƣơng trình trở thành:
(1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x .
Đây là phƣơng trình tuyến tính cấp 1 đối với z.
Ví dụ 2.11. Giải phƣơng trình vi phân : 3 32 2 yy xy x . (1)
Nếu 0 0y y , (1) thỏa mãn nên 0y là nghiệm của phƣơng trình.
61
Nếu 0y thì 3 2 3(1) 2 2y y xy x .
Đặt 2
3
2
yz z y y
, phƣơng trình trở thành: 34 2z xz x . (2)
Giải phƣơng trình thuần nhất: 224 0 xz xz z Ce .
Xem C là một hàm số theo x: ( )C x .
Ta đƣợc: 2 2 22 2 2( ) ( ) 4 ( )x x xz C x e z C x e xC x e .
Thay ,z z vào phƣơng trình (2):
2 2 2 22 2 2 3 2 3(2) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 2x x x xC x e xC x e xC x e x C x e x
2 23 2 2 21 12 ( )
2 2
x xdC x e dx C x x e K
.
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (2) là:
2 2 22
2 2 2 21 1 1.
2 2 4 2
x x xxz x e K e K e
.
Suy ra nghiệm của phƣơng trình (1) là:
22 2
2
1 12
2
0
xKe xy
y
.
Ví dụ 2.12. Giải phƣơng trình vi phân 2 ln , (1) 1xy y y x y . (1)
Giải
21 ln(1)
xy y y
x x .
Chia hai vế cho 2y ta đƣợc 1
2
1 lny xy
y x x
.
Đặt 1 2z y z y y , phƣơng trình trở thành: 1 ln x
z zx x
.
Giải phƣơng trình tuyến tính ta đƣợc nghiệm: ln 1z x Cx .
Từ điều kiện ban đầu: 1
(1) 1(1)
zy
. Suy ra 0C .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 1
ln 11 ln
z x yx
.
62
2.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai
2.3.1. Khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân cấp hai là phƣơng trình có dạng ( , , , ) 0F x y y y .
Ví dụ 2.13. Giải phƣơng trình 2y x .
Giải
3
2 2
1 1 1 2( ) 2 2 ( )
3
xy y x y xdx x C y x C dx C x C .
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp 2có dạng: 1 2
( , , )y x C C .
2.3.2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 giảm cấp đƣợc
2.3.2.1. Phƣơng trình thiếu y và y
Định nghĩa. Là phƣơng trình có dạng ( )y f x .
Cách giải. Lấy tích phân liên tiếp hai lần ta sẽ đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng
trình.
Ví dụ 2.14. Giải phƣơng trình 2xy e .
Giải
Lấy tích phân phƣơng trình liên tiếp 2 lần ta đƣợc
2 2 2 2
1 1 1 2
1 1 1
2 2 4
x x x xy e dx e C y e C dx e xC C
.
Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 2
1 2
1
4
xy e xC C .
2.3.2.2. Phƣơng trình thiếu y
Định nghĩa. Là phƣơng trình có dạng ( , , ) 0F x y y . (*)
Cách giải. Đặt u y y u . Phƣơng trình (*) trở thành ( , , ) 0F x u u .
Đây là phƣơng trình cấp 1 theo u và x . Giải phƣơng trình tìm u rồi suy ra y .
Ví dụ 2.15. Giải phƣơng trình 2 6 ( 0)xy y x x .
Giải
Đặt u y y u . Phƣơng trình trở thành 2
2 6 6xu u x u ux
.
63
Đây là phƣơng trình tuyến tính cấp một, giải phƣơng trình ta đƣợc: 1
22
Cu x
x .
Mà u y nên 2 1
2
Cy x C
x là nghiệm tổng quát của phƣơng trình cần tìm.
2.3.2.3. Phƣơng trình thiếu x
Định nghĩa. Là phƣơng trình có dạng ( , , ) 0 F y y y . (**)
Cách giải. Đặt u y ta đƣợc ( ) ( )du du dy
y u y y x u udx dy dx
.
Phƣơng trình (**) trở thành ( , , ) 0F y u uu . Đây là phƣơng trình vi phân cấp 1 theo
y vàu . Giải phƣơng trình tìm u sau đó suy ra y .
Ví dụ 2.16. Giải phƣơng trình 2.y y y .
Giải
Đặt u y ta đƣợc ( ) ( )du du dy
y u y y x u udx dy dx
.
Phƣơng trình trở thành 2. .y u u u .
Nếu 0u thì y C là một nghiệm của phƣơng trình.
Nếu 0u thì phƣơng trình trở thành du dy
du y .
Giải phƣơng trình ta đƣợc nghiệm là: 1
u C y .
Mà u y nên phƣơng trình là 1
y C y .
Giải phƣơng trình ta đƣợc nghiệm 1
2
C xy C e (nghiệm này bao gồm cả nghiệm
y C ).
Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 1
2
C xy C e .
2.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
Định nghĩa. Là phƣơng trình có dạng ( )y py qy f x , trong đó ,p q là các
hằng số thực và f x là một hàm số liên tục.
Nếu 0f x thì phƣơng trình đƣợc gọi là phƣơng trình thuần nhất.
Nếu 0f x thì phƣơng trình đƣợc gọi là phƣơng trình không thuần nhất.
64
Định lý 1. (Về cấu trúc nghiệm của phương trình thuần nhất)
Nếu 1 2( ), ( )y x y x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phƣơng trình thuần nhất
0y py qy thì nghiệm tổng quát của nó là 1 2( ) ( )
1 2
y x y xy C e C e .
Định lý 2. (Về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất)
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình ( )y py qy f x bằng nghiệm tổng quát
của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng 0y py qy cộng với một nghiệm riêng
của nó.
Cách giải
i) Phƣơng trình thuần nhất 0y py qy .
Bƣớc 1. Lập phƣơng trình đặc trƣng của phƣơng trình thuần nhất bằng cách đồng
nhất 2 , , 1y k y k y ta đƣợc: 2 0k pk q . Giải phƣơng trình đặc trƣng với ẩn
số k trên tập số phức có ba trƣờng hợp: Có hai nghiệm thực phân biệt, có nghiệm thực
kép, có hai nghiệm phức liên hợp.
Bƣớc 2. Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất.
TH1. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có hai nghiệm thực phân biệt là 1k và 2k thì
phƣơng trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 1 2
1 2
k x k xy C e C e .
TH2. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm thực kép là k thì phƣơng trình thuần
nhất có nghiệm tổng quát là: 1 2
( ) kxy C xC e
TH3. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có hai nghiệm phức liên hợp là 1
k i và
2k i thì phƣơng trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là:
1 2( os sin ) xy C c x C x e .
Ví dụ 2.17. Tìm nghiệm của các phƣơng trình vi phân sau
a) 2 3 0y y y b) 6 9 0y y y
c) 2 5 0y y y d) 4 0y y
Giải
a) 2 3 0y y y
Phƣơng trình đặc trƣng: 21
2 3 03
kk k
k
.
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 3
1 2
x xy C e C e .
65
b) 6 9 0y y y
Phƣơng trình đặc trƣng: 2 6 9 0 3k k k (nghiệm kép).
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 3
1 2( ) xy C xC e .
c) 2 5 0y y y
Phƣơng trình đặc trƣng: 21 2
2 5 0 ( 1, 2)1 2
k ik k
k i
.
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 1 2
( os2 sin 2 ) xy C c x C x e .
d) 4 0y y
Phƣơng trình đặc trƣng: 22
4 02
kk
k
.
Vậy, nghiệm của phƣơng trình là: 2 2
1 2
x xy C e C e .
ii) Phƣơng trình tổng quát ( )y py qy f x .
Bƣớc 1. Tìm nghiệm của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng 0y py qy (đã
làm ở phần (a)).
Bƣớc 2. Tìm một nghiệm riêng của phƣơng trình ( )y py qy f x bằng cách
dựa vào dạng của ( )f x .
Trƣờng hợp 1. ( ) ( ) x
nf x P x e , trong đó ( )
nP x là một đa thức bậc n cho trƣớc.
i) Nếu không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có dạng
( )x
ny e Q x .
ii) Nếu là nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có dạng
( )x
ny xe Q x .
iii) Nếu là nghiệm kép của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có dạng
2 ( )x
ny x e Q x .
Ví dụ 2.18. Giải các phƣơng trình vi phân
a) 42 3 xy y y e b) 2 3y y x
c) 2 6 xy y y xe d) 4 xy y xe
Giải
a) 42 3 xy y y e (1)
66
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 2 3 0y y y . (2)
Phƣơng trình đặc trƣng: 21
2 3 03
kk k
k
.
Nghiệm (2) là: 3
1 2
x xy C e C e .
Ta có 4( ) 1
( )4
nxP x
f x e
.
Vì 4 không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng, nên nghiệm riêng (1) có
dạng: 4 4 44 16x x xy Ae y Ae y Ae .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình (1).
4 4 4 4 1(1) 16 2.4 3 5 1
5
x x x xAe Ae Ae e A A .
Nghiệm riêng của (1) là: 41
5
xy e .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (1): 3 4
1 2
1
5
x x xy C e C e e .
b) 2 3y y x
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng 2 0y y .
Phƣơng trình đặc trƣng: 20
2 02
kk k
k
.
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất: 2
1 2
xy C C e .
Ta có 0
( ) 3( ) 3
f x xP x x
.
Vì 0 là nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng nên nghiệm riêng có dạng
2(Ax ) Ax 2 2y x B Bx y Ax B y A .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình đã cho ta đƣợc
3
4 3 44 2 2 3
2 2 0 3
4
AA
Ax A B xA B
B
.
67
Nghiệm riêng của phƣơng trình là: 23 3
4 4y x x .
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: 2 2
1 2
3 3
4 4
xy C C e x x .
c) 2 6 xy y y xe (1)
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 2 0y y y . (2)
Phƣơng trình đặc trƣng: 2 2 1 0 1k k k ( nghiệm kép).
Nghiệm (2) là: 1 2
( ) xy C xC e .
Ta có ( ) 6
( ) 61
nxP x x
f x xe
.
Vì 1 là nghiệm kép phƣơng trình đặc trƣng, nên nghiệm riêng (1) có dạng:
2 3 2( ) ( )x xy x Ax B e Ax Bx e
2 3 2 2 3 2(3 2 ) ( ) (3 2 )x x xy Ax Bx e Ax Bx e Ax Bx Ax Bx e
2 2 3 2(6 2 3 2 ) (3 2 Ax )x xy Ax B Ax Bx e Ax Bx Bx e .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình (1)
6 6 1(1) 6 2 6
2 0 0
A AAx B x
B B
.
Nghiệm riêng của (1) là: 3 xy x e .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (1): 3
1 2( ) xy C xC x e .
d) 4 xy y xe (1)
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 0y y . (2)
Phƣơng trình đặc trƣng: 2 1 0k k i .
Nghiệm (2) là: 1 2cos siny C x C x .
Ta có ( ) 4
( ) 41
xP x x
f x xe
.
Vì 1 không là nghiệm phƣơng trình đặc trƣng, nên nghiệm riêng (1) có dạng:
(Ax ) ( ) ( 2 )x x xy B e y Ax A B e y Ax A B e .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình (1).
68
2 4 2(1) 2 2 2 4
2 2 0 2
A AAx A B x
A B B
.
Nghiệm riêng của (1) là: (2 2) xy x e .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (1):1 2cos sinx (2 2) xy C x C x e .
Trƣờng hợp 2: ( ) ( ) os ( )sinm n
f x P x c x P x x .
i) Nếu i không trùng với nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng
của phƣơng trình (1) có dạng ( ) os ( )sinl l
y Q x c x R x x , với max( , )l m n .
ii) Nếu i trùng với nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng của
phƣơng trình (1) có dạng ( ) os ( )sinl l
y x Q x c x R x x , với max( , )l m n .
Ví dụ 2.19. Giải các phƣơng trình vi phân
a) 4 3 sin2y y y x b) osy y c x
Giải
a) 4 3 sin2y y y x (1)
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 4 3 0y y y . (2)
Phƣơng trình đặc trƣng: 21
4 3 03
kk k
k
.
Nghiệm (2) là: 3
1 2
x xy C e C e .
Ta có ( ) 1
( ) sin 22
nP x
f x x
.
Vì 2i i không trùng với nghiệm phƣơng trình đặc trƣng, nên nghiệm riêng
(1) có dạng: Acos2x sin2y B x
2 sin2 2 cos2 4 cos2 4 sin2y A x B x y A x B x .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình (1).
8
8 0 65(1) ( 8 ) os2 (8 )sin 2 sin 2
8 1 1
65
AA B
A B c x A B x xA B
B
.
Nghiệm riêng của (1) là: 8 1
cos2 sin 265 65
y x x .
69
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (1): 3
1 2
8 1cos2 sin 2
65 65
x xy C e C e x x .
b) osy y c x (1)
Giải
Giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng: 0y y . (2)
Phƣơng trình đặc trƣng: 2 1 0k k i .
Nghiệm (2) là: 1 2cos siny C x C x .
Ta có ( ) 1
( ) os1
nP x
f x c x
.
Vì i i trùng với nghiệm phƣơng trình đặc trƣng, nên nghiệm riêng (1) có
dạng: (Acosx sin ) ( Ax)sin ( )cosy x B x y B x A Bx x
(2 Ax) os ( 2 )siny B c x A Bx x .
Thay , ,y y y vào phƣơng trình (1).
0
(1) 2 sin 2 os os 1
2
A
A x Bc x c xB
.
Nghiệm riêng của (1) là: 1
sin2
y x x .
Vậy, nghiệm của phƣơng trình (1) 1 2
1cos sinx sin
2y C x C x x .
70
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa phƣơng trình vi phân, cấp của phƣơng trình vi phân, cho ví dụ minh
họa.
2. Định nghĩa nghiệm của phƣơng trình vi phân. Phân biệt nghiệm riêng và nghiệm
tổng quát.
3. Định nghĩa phƣơng trình vi phân cấp 1, cho ví dụ minh họa.
4. Nêu định nghĩa và cách giải của các phƣơng trình vi phân cấp 1: tách biến, đẳng
cấp, Becnoulli, tuyến tính.
5. Định nghĩa phƣơng trình vi phân cấp 2, cho ví dụ minh họa.
6. Nêu định nghĩa và cách giải các phƣơng trình vi phân cấp 2: khuyết x, khuyết y.
7. Định nghĩa và cách giải phƣơng trình vi phân cấp 2 hệ số hằng.
71
BÀI TẬP
2.1. Giải các phƣơng trình vi phân biến số phân ly sau
a) ( 1) 0ydx x dy b) 2(1 ) 0ydx x dy
c) 3( 1) 0x dy ydx d) 21 0ydx x dy
e) 21 0xydx x dy f) (1 ) 0ydx x dy
g) 2 2tan sin os cot 0x ydx c x ydy h) 2 2(1 ) (1 ) 0y dx x dy
2.2. Giải các phƣơng trình vi phân đẳng cấp sau
a) 2
24
y yy
x x b)
x yy
x y
c) 2 2
xyy
x y
d) ln
yxy y
x
e) sin siny y
xy x yx x
f) ( 2 ) 0x y dx xdy
2.3. Giải các phƣơng trình vi phân tuyến tính sau
a) 2 4y xy x b) 43xy y x
c) 2 2 2(1 ) 2 (1 )x y xy x d) 2yy x
x
e) 42 2xy y x f) ( ) xx y y e
g) siny x
yx x
h) 32( 1)
1
yy x
x
2.4. Giải các phƣơng trình vi phân cấp hai
a) 24y y x b) 5 6 xy y y e
c) cosy y x x d) 2 1y y y x
e) 42 3 xy y y e f) 2 xy y y xe
g) 4 3 ( 2)xy y y e x h) 3 2 2siny y y x
i) '' 4 ' 5 1y y y j) 2'' 6 ' 9 2 3y y y x x
k) 2 '' ' 2 xy y y e l) 2'' 2 ' 2 1 xy y y x x e
72
2.5. Cấy vi trùng trong hộp pitin, cho biết sự tăng trƣởng của vi trùng tỷ lệ với số vi
trùng hiện có trong hộp. Hảy tìm quy luật tăng trƣởng của vi trùng, nếu biết số vi trùng
ban đầu đem cấy và thời gian số vi trùng tăng gấp đôi là 4 ngày. Hỏi sau 3 ngày thì số
vi trùng tăng đƣợc bao nhiêu phần trăm so với số lƣợng ban đầu?
2.6. Định luật Newton tốc độ nguội dần của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu
số giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Hãy tìm quy luật nguội dần của vật nếu
nhiệt độ không khí là 200C và trong khoảng 20 phút vật nguội dần từ 100
0C xuống
600C. Hỏi sau bao lâu thì nhiệt độ của vật là 30
0C?
73
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
2.1.
a) ( 1)y C x b) arctan x
Cy
e
c) 2
1 1ln ln
2 ( 1)y C
x
d) ln arcsiny x C
e) 2ln 1y x C f)
1
Cy
x
g) 2 2cot tany x C h) arctan arctany x C
2.2.
a) 2arctan ln2
yx C
x b) 2 22y xy x C
c) 2
ln2
xy C
y d) 1Cxy xe
e) cos lny
x Cx f) 2y Cx x
2.3.
a) 2
2 xy Ce b) 4y x Cx
c) 2( )(1 )y x C x d) 31
2y x Cx
e) 4 2y x Cx f) lnx xy e x Ce
g) cos x K
yx x
h) 2
2( 1)2
xy x K x
2.4
a) 2
1 2os2 sin 2 2y C c x C x x b) 2 3
1 2
1
12
x x xy C e C e e
c) 1 2cos sin ( sin cos )
4
xy C x C x x x x
d) 2
1 2
1
2 4
x x xy y C e C e e) 3 4
1 2
1
5
x x xy C e C e e
f) 3
1 2
1( )
6
x xy C xC e x e g) 2
3
1 2
5
4
x x xx xy C e C e e
h) 2
1 2
3 1cos sin
5 5
x xy C e C e x x i) 5
1 2
1
5
x xy C e C e
74
j) 2
3
1 2
2 5 11
9 27 27
xx xy C C x e k) 2
1 2
x
x xy e C e C e
l) 2
1 21 cos sin xy x x C x C x e
2.5. 68%
2.6. 1h
75
Chƣơng 3. ĐẠI CƢƠNG VỀ XÁC SUẤT
Mục đích yêu cầu
Chƣơng này trình bày các kiến thức cơ bản về: quy tắc của đại số tổ hợp, khái niệm
biến cố, xác suất biến cố, các công thức tính xác suất.
Sinh viên cần nắm vững một cách có hệ thống kiến thức trên, sử dụng linh hoạt các
kiến thức để giải quyết các bài toán về:
Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa và kết hợp vận dụng các quy tắc của
đại số tổ hợp.
Nhận dạng bài toán và áp dụng đúng các công thức cộng, nhân, có điều kiện, đầy
đủ, Bayes, Bernoulli vào bài toán tính xác suất cụ thể.
3.1. Giải tích tổ hợp
Trong lý thuyết xác suất, ta thƣờng thực hiện các công việc và phải tính số cách
thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc đó. Với các công việc
đơn giản, ta có thể tính bằng phương pháp suy luận trực tiếp. Chẳng hạn nhƣ, lấy từ
một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra một bi. Bằng suy luận ta thấy, có 10 cách lấy ra một
bi có màu tùy ý, có 6 cách lấy ra một bi xanh, có 4 cách lấy ra một bi đỏ. Với các công
việc phức tạp hơn, ta có thể tính bằng cách vẽ sơ đồ của công việc rồi đếm số kết quả,
ta gọi cách tính này là phương pháp vẽ sơ đồ. Chẳng hạn nhƣ, tung đồng thời hai hột
xúc xắc. Bằng phƣơng pháp vẽ sơ đồ, ta thấy có 5 cách tung để tổng số nút xuất hiện
của hai hột xúc xắc là 6. Phƣơng pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số
kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng các quy tắc và công thức
của giải tích tổ hợp.
3.1.1. Quy tắc cộng
Bài toán 1. Công việc: đi từ A đến B và có 3 loại phƣơng tiện. Đi bằng xe: có 5
chuyến hàng ngày (7h, 9h, …), đi bằng tàu: có 3 chuyến hàng ngày, đi bằng máy bay:
có 2 chuyến hàng ngày. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B hàng ngày?
Quy tắc. Giả sử công việc H đƣợc chia làm k trường hợp để thực hiện. Nếu có in
cách thực hiện theo trƣờng hợp i 1,2,..., ki và không có bất kỳ cách thực hiện nào
ở trƣờng hợp này trùng với cách thực hiện của các trƣờng hợp khác, thì công việc đó
sẽ có số cách thực hiện là: 1 2 ... kn n n n .
3.1.2. Quy tắc nhân
76
Bài toán 2. Đi từ A đến B phải qua điểm trung gian là C, biết rằng có 2 cách đi từ A
đến C và có 3 cách đi từ C đến B. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B?
Quy tắc. Giả sử công việc H đƣợc chia làm k giai đoạn liên tiếp để thực hiện. Nếu
có in cách thực hiện ở giai đoạn thứ i 1,2,..., ki , thì công việc đó có số cách thực
hiện là: 1 2. ..... kn n n n .
Ví dụ 3.1. Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển sách hóa.
Hỏi có bao nhiêu cách để chọn trong các trƣờng hợp sau:
a) Một quyển sách.
b) Một bộ gồm 3 quyển sách toán, lý, hóa.
Giải
a) Việc chọn một quyển sách đƣợc chia làm 3 trường hợp để thực hiện:
TH1: Chọn quyển Toán có 6 cách;
TH2: Chọn quyển Lý có 5 cách;
TH3: Chọn quyển Hóa có 4 cách.
Vậy, theo quy tắc cộng, có 6 5 4 15 cách chọn.
b) Việc chọn một bộ gồm 3 quyển sách (T, L, H) đƣợc chia làm 3 giai đoạn để thực
hiện:
GĐ1: Chọn quyển Toán có 6 cách;
GĐ2: Chọn quyển Lý có 5 cách;
GĐ3: Chọn quyển Hóa có 4 cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, có 6.5.4 120 cách chọn.
Ví dụ 3.2. Một ngƣời có 5 cái áo, 3 cái quần và 2 đôi giày. Hỏi ngƣời đó có bao
nhiêu cách chọn một bộ đồ để đi dự tiệc (biết rằng một bộ đồ phải bao gồm: áo, quần
và giày).
Giải
Việc chọn một bộ đồ đƣợc chia làm 3 giai đoạn để thực hiện:
GĐ1: Chọn áo có 5 cách;
GĐ2: Chọn quần có 3 cách;
GĐ3: Chọn giày có 2 cách.
Vậy, theo quy tắc nhân, có 5.3.2 30 cách chọn.
77
Ví dụ 3.3. Cho tập hợp 0;1;2;3;4;5;6A . Hỏi có bao nhiêu số ngàn đƣợc lập từ
tập A trong các trƣờng hợp sau:
a) Số ngàn có các chữ số khác nhau.
b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn.
c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẻ.
Hƣớng dẫn
a) Gọi số ngàn cần tìm là abcd, áp dụng quy tắc nhân. Số các số tìm đƣợc là 720.
b) Số các số ngàn chẵn là 420.
c) Số các số ngàn lẻ là 300.
3.1.3. Hoán vị
Bài toán 3. Có bao nhiêu bộ thứ tự của 3 phần tử A, B, C?
Quy tắc. Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số
hoán vị của n phần tử kí hiệu là n
P n! .
Chú ý. ! ( 1)( 2) 1.0!n n n n (quy ƣớc 0! 1 ).
Ví dụ 3.4. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chỗ.
Có bao nhiêu cách xếp trong các trƣờng hợp sau:
a) Ngồi tùy ý.
b) M và N ngồi cạnh nhau.
c) M và N ngồi ở hai đầu bàn.
d) M và N ngồi cách nhau một ngƣời.
e) M và N không ngồi cạnh nhau.
Giải
a) 5! Cách.
b) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:
GĐ1: Xếp M, N cạnh nhau có 2! cách;
GĐ2: Xếp 3 ngƣời còn lại và M, N vào bàn có 4! cách.
Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.4! 48 cách.
c) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:
78
GĐ1: Xếp M, N ngồi ở hai đầu bàn có 2! cách;
GĐ2: Xếp 3 ngƣời còn lại vào bàn có 3! cách.
Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.3! 12 cách.
d) Tƣơng tự câu b), ta có số cách xếp là 2!.3.3! 36 cách.
e) Ta có số cách xếp M, N không ngồi cạnh nhau = Xếp tùy ý – số cách xếp M, N
ngồi cạnh nhau. Vậy, có 5! 2!.4! 72 cách.
3.1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp
Bài toán 4. Trong mặt phẳng cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
a) Có bao nhiêu đƣờng thẳng đƣợc tạo thành?
b) Có bao nhiêu vector đƣợc tạo thành?
Định nghĩa 1. Một tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n
phần tử cho trƣớc và không kể đến thứ tự của k phần tử đó.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là !
!( )!
k
n
nC
k n k
.
Định nghĩa 2. Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau
từ n phần tử cho trƣớc và có kể đến thứ tự của k phần tử đó.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là !
( )!
k
n
nA
n k
.
Khi nào số tổ hợp bằng số chỉnh hợp?
Ví dụ 3.5. Trong một buổi tiệc cứ hai ngƣời thì bắt tay nhau và ngƣời ta đếm đƣợc
có 120 cái bắt tay. Hỏi buổi tiệc có bao nhiêu ngƣời tham dự?
Giải
Gọi số ngƣời tham dự buổi tiệc là n, với n .
Số cái bắt tay là số tổ hợp chập 2 của n ngƣời tham dự buổi tiệc, suy ra 2 120n
C .
Giải phƣơng trình ta nhận nghiệm là 16n .
Vậy, có 16 ngƣời tham dự buổi tiệc.
Ví dụ 3.6. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra
5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trƣờng hợp sau
a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
79
b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
e) Có ít nhất 1 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
f) Có nhiều nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên đƣợc chọn.
Giải
a) Số cách chọn là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử.
b) Việc chọn đƣợc chia thành 2 giai đoạn:
GĐ1: Chọn 3 sinh viên nữ trong 30 nữ: 3
30C ;
GĐ2: Chọn 2 sinh viên nam trong 20 nam: 2
20C .
Vậy, có 3 2
30 20C C cách chọn.
c) Chia việc chọn thành 2 trƣờng hợp:
TH1: Chọn 4 sinh viên nữ, 1 sinh viên nam: 4 1
30 20C C ;
TH2: Chọn 5 sinh viên nữ: 5
30C ;
Vậy, có 4 1 5
30 20 30C C C cách chọn.
d) Chia việc chọn thành 3 trƣờng hợp:
TH1: Chọn 2 sinh viên nữ, 3 sinh viên nam: 2 3
30 20C C ;
TH2: Chọn 1 sinh viên nữ, 4 sinh viên nam: 1 4
30 20C C ;
TH3: Chọn 5 sinh viên nam: 5
20C .
Vậy, có 2 3 1 4 5
30 20 30 20 20C C C C C cách chọn.
e) Số cách chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ = Số cách chọn tùy ý – Số cách chọn 5
sinh viên nam.
f) Số cách chọn có nhiều nhất 4 sinh viên nữ = Số cách chọn tùy ý – Số cách chọn 5
sinh viên nữ.
3.2. Phép thử và biến cố
3.2.1. Khái niệm
Ví dụ 3.7.
80
i) Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: sấp hoặc ngửa.
Tung đồng xu đƣợc gọi là phép thử. Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa đƣợc gọi
là biến cố của phép thử “tung đồng xu”.
ii) Tung một hột xúc xắc, có 6 kết quả có thể xảy ra là: 1 nút, …, 6 nút.
iii) Quan sát giới tính một ca sinh ta đƣợc: nam hoặc nữ
Định nghĩa. Thực hiện một công việc đƣợc gọi là phép thử. Các kết quả có thể xảy
ra của công việc đó đƣợc gọi là biến cố. Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của
phép thử đƣợc gọi là các biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép
thử đƣợc gọi là không gian mẫu của phép thử đó.
Mỗi biến cố của một phép thử đƣợc trình bày dƣới dạng một mệnh đề xác định kết
quả của phép thử và ngƣời ta thƣờng viết mệnh đề đó giữa hai dấu ngoặc kép.
Ngƣời ta thƣờng dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các biến cố, đôi khi có chỉ
số chẳng hạn: A, B, C, Di ,…
Ví dụ 3.8. Gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i
nút”, với 1;2; ;6i ta đƣợc các biến cố: A1, A2,…, A6.
Biến cố có hai đặc trƣng định tính là xảy ra và không xảy ra. Tùy theo hai đặc trƣng
này, ngƣời ta phân loại biến cố, xét quan hệ giữa các biến cố và xác định các phép toán
đối với các biến cố.
3.2.2. Phân loại biến cố
3.2.2.1. Biến cố chắc chắn
Là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: Ω.
Ví dụ 3.9. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
không quá 6” là biến cố chắc chắn.
3.2.2.2. Biến cố không thể
Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: Φ.
Ví dụ 3.10. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
lớn hơn 6” là biến cố không thể.
3.2.2.3. Biến cố ngẫu nhiên
Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta
thƣờng dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên.
81
Ví dụ 3.11. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là
một biến cố ngẫu nhiên.
3.2.3. Quan hệ giữa các biến cố
3.2.3.1. Biến cố tƣơng đƣơng
Định nghĩa. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là tương đương nếu A xảy ra thì B xảy ra
và A không xảy ra thì B không xảy ra. Kí hiệu: A B .
Ví dụ 3.12. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ.
Gọi A “Ba lọ lấy ra không có lọ hỏng”; B “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt”. Khi đó ta có
A B
3.2.3.2. Biến cố đối lập
Bài Toán 5. Tung đồng xu. Gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; B: “Đồng xu xuất
hiện mặt ngửa”.
Quan hệ giữa A và B ?
Nhận xét. Nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngƣợc lại, vậy A, B có quan hệ đối
lập.
Định nghĩa. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy
ra và ngƣợc lại. Kí hiệu: B A .
Ví dụ 3.13. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ.
Gọi A: “Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng”;
Gọi B: “Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng”.
Hãy tìm biến cố đối lập của A, B?
Hƣớng dẫn
Để A xảy ra gồm có các trƣờng hợp: 1 lọ hỏng, 2 lọ hỏng, 3 lọ hỏng.
Suy ra A : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt”.
Tƣơng tự ta có B : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng”.
3.2.3.3. Biến cố xung khắc
Bài toán 6. Tung hột xúc xắc. Gọi Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i nút”,
1,2, ,6i .
Quan hệ giữa A1 và A2?
82
A1 và A2 có đối lập không? Tại sao?
Nhận xét. Nếu A1 xảy ra thì A2 không xảy ra và nếu A2 xảy ra thì A1 không xảy ra.
Nhƣng nếu A1 không xảy ra thì sao? (chƣa chắc A2 xảy ra mà có thể là A3, A4, A5,
A6)
Định nghĩa. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì B không
xảy ra và nếu B xảy ra thì A không xảy ra.
Phân biệt quan hệ xung khắc và đối lập?
Ví dụ 3.14. Một lô thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ lô ra 3 lọ.
Gọi Ai: “Ba lọ lấy ra có i lọ hỏng”, 0;1;2;3i . Khi đó A0, A1, A2, A3, là các biến cố
xung khắc.
3.2.4. Phép toán của các biến cố
3.2.4.1. Phép cộng biến cố
Bài toán 7. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ra 3 lọ.
Gọi A1: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng”;
A2: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”.
Gọi A: “Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại”.
Biểu diễn A qua A1, A2.
Định nghĩa. Tổng của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến
cố đó xảy ra.
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
3.2.4.2. Phép nhân biến cố
83
Bài toán 8. Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 6 lọ tốt, 4 lọ hỏng; hộp 2 có 7 lọ tốt, 3 lọ
hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Gọi Ai: “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ
hỏng” 1;2i .
Dùng A1, A2 biểu diễn các biến cố sau:
a) A “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”;
b) B “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng”.
Định nghĩa. Tích của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố đó đồng
thời xảy ra
A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Định lí. Nếu A1, A2, … , An là các biến cố thì:
a) 1 2 n 1 2 n
A A ... A A .A .....A ;
b) 1 2 n 1 2 n
A .A . ... .A A A ... A .
Nhận xét. Với biến cố A, có khả năng xảy ra phụ thuộc vào nhiều biến cố khác, thì
biến cố đó đƣợc biểu diễn dƣới dạng tích của các biến cố. Khi đó, nếu ta suy luận: “A
nghĩa là A1 và A2 và … và An”, thì ta có: A = A1 . A2 .….An
Ví dụ 3.15. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng
còn lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ
hỏng”, i = 1 ;2.
Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau :
a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng .
b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng.
c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại.
d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng.
84
Giải
a) Gọi A : " Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng".
Suy ra 1 2
A A A .
b) Gọi B: " Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng".
Suy ra 1 2 1 2
B A A A A .
c) Gọi C: " Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại".
Suy ra 1 2 1 2
C A A A A .
d) Gọi D: " Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra 1 2 1 2 1 2
D A A A A A A .
Có thể làm theo cách 2:
Suy ra D : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”.
Do đó 1 2
D A A .
e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”.
Do đó 1 2
E A A .
Ví dụ 3.16. Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau. Khả năng chuẩn đoán sai của các
bác sĩ tƣơng ứng là 5%, 10% và 15%. Ba ngƣời đã khám cho một bệnh nhân.
Gọi Ai: „„ Bác sĩ thứ i chuẩn đoán đúng‟‟, i=1;2;3.
Hãy dùng A1, A2, A3 để biểu diễn các biến cố sau:
a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng.
b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
f) Chỉ có bác sĩ thứ hai chuẩn đoán đúng.
Hƣớng dẫn
Giải tƣơng tự nhƣ Ví dụ 3.15 với chú ý để xảy ra một trƣờng hợp cần có 3 giai
đoạn.
85
3.3. Xác suất của biến cố
3.3.1. Định nghĩa xác suất
Biến cố có hai đặc trƣng định tính là xảy ra và không xảy ra. Khi gặp một biến cố
của một phép thử, câu hỏi đƣợc đặt ra là biến cố đó có xảy ra không? Biến cố chắc
chắn thì dĩ nhiên phải xảy ra, biến cố không thể thì đƣơng nhiên không xảy ra dù ta
thực hiện phép thử của biến cố đó bao nhiêu lần. Biến cố ngẫu nhiên thì có thể xảy và
cũng có thể không xảy ra trong những lần thử khác nhau. Khi thực hiện phép thử của
một biến cố ngẫu nhiên nhiều lần trong những điều kiện nhƣ nhau, ta thấy đặc trƣng
xảy ra hay không xảy ra của biến cố có tuân theo những quy luật xác định. Để thể hiện
quy luật xảy ra của một biến cố, ngƣời ta gán cho biến cố một số hợp lý để thể hiện
khả năng xảy ra của biến cố đó. Ngƣời ta gọi số đó là xác suất của biến cố và đó là đặc
trƣng định lƣợng của biến cố. Nhƣ vậy, xác suất của một biến cố là một số thể hiện
khả năng xảy ra của biến cố đó. Tính xác suất của một biến cố là tính khả năng xảy ra,
hay tỷ lệ xảy ra trong số lần thử, của biến cố.
3.3.1.1. Định nghĩa cổ điển
Bài toán 9.
a) Tung một đồng xu, gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
b) Tung một hột xúc xắc, gọi B: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt có nút lẻ”.
Khả năng A, B xảy ra khi thực hiện hai phép thử trên là bao nhiêu và tại sao?
Xét một phép thử ngẫu nhiên gồm có n biến cố sơ cấp 1 2 n
A ,A , ,A (n kết quả có
thể có của phép thử).
Giả sử các biến cố i
A (i 1;2; ;n) đồng khả năng lập thành một nhóm đầy đủ các
biến cố và biến cố A là biến cố bằng tổng của m biến cố sơ cấp i
A nào đó (m biến cố
thuận lợi cho biến cố A). Khi đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) là một số đƣợc xác định nhƣ
sau: m
P(A)n
.
Trong đó: n: Số biến cố sơ cấp của phép thử;
m: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A.
Theo định nghĩa trên thì: 0 P(A) 1, P() = 0, P() = 1. Ngoài ra, nếu A và B là
hai biến cố tƣơng đƣơng thì P(A) = P(B).
86
Nhận xét. Để tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta có thể thực hiện
theo các bƣớc sau:
1. Xác định và đặt tên cho biến cố cần tính xác suất.
2. Xác định phép thử của biến cố và tính số biến cố sơ cấp của phép thử.
3. Tính số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.
4. Dùng công thức xác định xác suất trong định nghĩa để tính xác suất.
Khi tính số biến cố sơ cấp của phép thử và số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố
cần tính xác suất, ta có thể sử dụng các phƣơng pháp: Suy luận trực tiếp, vẽ sơ đồ, sử
dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp.
Ví dụ 3.17. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba
lọ. Tính các xác suất sau:
a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt.
b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
c) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ tốt.
d) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt.
Giải
a) Gọi A: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”.
Suy ra m
P(A)n
.
Với m là số cách lấy ra 3 lọ tốt từ 6 lọ tốt, suy ra 3
6m C ; và n là số cách lấy 3 lọ từ
hộp có 10 lọ, suy ra 3
10n C .
Do đó
3
6
3
10
CP(A) 0,1667
C .
b) Gọi B: “Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt”.
Suy ra
1 2
6 4
3
10
C CmP(B) 0,3
n C .
c) Gọi C: “Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ tốt”.
Suy ra
1 2 3
6 4 4
3
10
C C CmP(C) 0,3333
n C
.
d) Gọi D: “Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt”.
87
Suy ra
1 2 2 1 3 3
6 4 6 4 6 4
3 3
10 10
C C C C Cm CP(D) 1 0,9667
n C C
.
Ví dụ 3.18. Để kiểm tra chất lƣợng sản phẩm từ một công ty sữa, ngƣời ta đã gửi
đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận
kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính các xác suất sau:
a) 3 hộp sữa đƣợc chọn có cùng loại.
b) 3 hộp sữa đƣợc chọn thuộc 3 loại khác nhau.
c) 3 hộp sữa đƣợc chọn có 2 hộp sữa dâu.
d) 3 hộp sữa đƣợc chọn có ít nhất 1 hộp sữa dâu.
e) 3 hộp sữa đƣợc chọn có nhiều nhất 2 hộp sữa dâu.
Hƣớng dẫn
a) Gọi A: “Ba hộp sữa đƣợc chọn có cùng loại”.
Suy ra m
P(A)n
.
Với m là số cách lấy ra 3 hộp sữa có cùng loại: Có 3 trƣờng hợp:
TH1: Cả 3 hộp là sữa cam;
TH2: Cả 3 hộp là sữa dâu;
Th3: Cả 3 hộp là sữa nho.
Suy ra 3 3 3
5 4 3m C C C .
Và n là số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp, suy ra 3
12n C .
Do đó
3 3 3
5 4 3
3
12
C C CP(A) 0,0682
C
.
Phân tích tƣơng tự để giải các câu còn lại.
Định nghĩa cổ điển về xác suất có ƣu điểm cơ bản là để tìm xác suất của một biến
cố ta chỉ cần thực hiện phép thử một cách giả định. Ngoài ra, có thể tìm đƣợc chính
xác giá trị xác suất của một biến cố.
Tuy nhiên, định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế là nó đòi hỏi phải biết đƣợc số
kết quả đồng khả năng thuận lợi cho biến cố cần tìm và số kết quả đồng khả năng của
phép thử, đồng thời số kết quả đồng khả năng thì phải hữu hạn.
88
Câu hỏi đặt ra là, trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết quả có là vô hạn
hoặc không biết đƣợc hoặc không biết số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tìm. Trong
những trƣờng hợp này thì xác suất đƣợc tính nhƣ thế nào?
3.3.1.2. Định nghĩa thống kê
Xét A là một biến cố của một phép thử. Thực hiện phép thử n lần trong những điều
kiện nhƣ nhau và giả sử có m lần biến cố A xảy ra. Ngƣời ta gọi tỉ số m
n là tần suất
của biến cố A. Khi số lần thử n của phép thử tăng lên thì ngƣời ta thấy tần suất của
biến cố A ngày càng gần với một số xác định gần bằng với tần suất của A. Ngƣời ta
đồng nhất tần suất của biến cố A với số xác định đó và gọi là xác suất của A.
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tần suất của biến cố A khi
số lần thử của phép thử tăng dần lên.
Ví dụ 3.19. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất, gọi A là biến cố đƣợc mặt sấp.
Một số nhà toán học đã thực hiện nhiều lần tung và thu đƣợc kết quả nhƣ sau
Ngƣời thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp Tần suất
Buffon 4040 2048 0,5086
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005
Ngƣời ta nhận thấy khi n khá lớn, tần suất dao động quanh 0,5 nên xem nhƣ
P(A) 0,5 .
3.3.2. Xác suất có điều kiện
Khi tính xác suất của biến cố A bằng định nghĩa cổ điển, ta phải tính số kết quả sơ
cấp của phép thử và số kết sơ cấp quả thuận lợi cho A. Trong thực tế, ta có thể phải
tính xác suất của biến cố A trong điều kiện đã biết biến cố B nào đó đã xảy ra. Khi tính
xác suất trong trƣờng hợp này, số kết quả của phép thử và số kết quả thuận lợi cho A
có thể thay đổi. Xác suất của biến cố A đƣợc tính với điều kiện B đã xảy ra đƣợc gọi là
xác suất có điều kiện.
Bài toán 10. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên
thi đậu.
Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu.
89
Gọi A: "Sinh viên X thi đậu"; B: "Sinh viên Y thi đậu". Nhƣ vậy, yêu cầu đề bài là
tính xác suất để biến cố A xảy ra biết rằng biến cố B đã xảy ra. Đó chính là xác suất
có điều kiện.
Định nghĩa. Xác suất của biến cố A đƣợc tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra
đƣợc gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B.
Công thức. Xác suất có điều kiện của A đối với B. Kí hiệu A
PB
và đƣợc xác
định nhƣ sau: A P(A.B)
PB P(B)
.
Trong đó: P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra;
P(B) là xác suất để B xảy ra.
Ví dụ 3.20. Tại một địa phƣơng trong dân số, tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%, tỷ lệ lách to
là 30%, trong số ngƣời bị sốt rét thì tỷ lệ lách to là 80%. Một ngƣời đến ngẫu nhiên từ
dân số đó, ngƣời này có lách to, tính khả năng ngƣời này bị sốt rét.
Giải
Gọi A: “Ngƣời bệnh bị sốt rét”; B: “Ngƣời bệnh có lách to”.
Yêu cầu đề bài là tính A P(A.B)
PB P(B)
.
Trong đó P(B) 0,3 ; P(AB) 0,8.0,2 0,16 .
Suy ra: A 0,16
P 0,53B 0,3
.
3.3.3. Biến cố độc lập
Bài toán 11. Một hộp có 10 lọ thuốc, trong đó có 4 lọ hỏng.
a) Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt có hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc. Gọi A1: "Lọ
thuốc lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt" ; A2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt". Tính
2
1
AP
A
, 2
1
AP
A
. Nhận xét về kết quả nhận đƣợc?
b) Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt không hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc. Gọi B1: "Lọ
thuốc lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt"; B2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt". Tính
2
1
BP
B
, 2
1
BP
B
. Nhận xét về kết quả nhận đƣợc?
90
Định nghĩa. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập nếu A xảy ra hay không xảy ra
không làm thay đổi xác suất của B, hay ngƣợc lại.
Định lý. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
AP P(A)
B
hay
BP P(B)
A
.
Ví dụ 3.21. Gọi A là biến cố chị X sinh con trai, B là biến cố chị Y sinh con trai, thì
A và B là hai biến cố độc lập.
Nhận xét. Khi xét sự độc lập của các biến cố, ta chú ý các trƣờng hợp:
1. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử đƣợc thực hiện theo kiểu lần lượt
không hoàn lại từ một tập hợp thì A và B không độc lập.
2. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử đƣợc thực hiện theo kiểu lần lượt có
hoàn lại từ một tập hợp thì A và B độc lập.
3. Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử đƣợc thực hiện từ hai tập hợp khác
nhau thì A và B độc lập.
3.4. Các công thức tính xác suất
Để tính xác suất của biến cố chỉ của một phép thử, ta sử dụng định nghĩa là đủ. Tuy
nhiên, với các biến cố có dạng tổng hay tích của nhiều biến cố, việc sử dụng định
nghĩa để tính xác suất là khá phức tạp, thậm chí khó có thể thực hiện đƣợc. Ngƣời ta
đã tìm đƣợc các quy tắc tính xác suất của các biến cố đó và gọi là công thức tính xác
suất.
3.4.1. Công thức cộng xác suất
Nếu C A B thì P(C) P(A) P(B) ?
3.4.1.1. Công thức cộng xác suất thứ nhất
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có: P(A B) P(A) P(B) .
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:
1 2 n 1 2 nP(A A A ) P(A ) P(A ) P(A ) .
Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có: P(A) 1 P(A) .
Ví dụ 3.22. Một chuồng gà có 10 con trong đó có 4 con gà trống. Chọn ngẫu nhiên
3 con gà trong chuồng. Tính xác suất để trong 3 con gà đƣợc chọn có nhiều nhất 2 con
gà trống.
91
Giải
Gọi Ai: “3 con gà đƣợc chọn có i con gà trống”, i 0;1;2 .
Gọi A: “3 con gà đƣợc chọn có nhiều nhất 2 con gà trống”.
Cách 1. Suy ra: 0 1 2
A A A A và 0 1 2
A ,A ,A từng đôi xung khắc, nên:
0 3 1 2 2 1
4 6 4 6 4 6
0 1 2 3 3 3
10 10 10
C C C C C C 29P(A) P(A ) P(A ) P(A )
C C C 30 .
Cách 2. Suy ra A : “3 con gà đƣợc chọn là 3 con gà trống”.
Ta có P(A) 1 P(A) nên
3
4
3
10
C 29P(A) 1
C 30 .
3.4.1.2. Công thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A B) P(A) P(B) P(AB) .
Ví dụ 3.23. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60
sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. Chọn
ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau :
a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán.
b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ.
c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn.
Giải
a) Gọi A: "Sinh viên chỉ giỏi môn toán".
Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50 20 30 .
Vậy, 30
P(A) 0,3100
.
b) Gọi B: "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ".
Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60 20 40 .
Vậy, 40
P(B) 0,4100
.
Cách 1
Gọi C: “sinh viên đƣợc chọn giỏi môn Toán”;
D: “sinh viên đƣợc chọn giỏi môn ngoại ngữ”
Khi đó:
92
- CD là biến cố sinh viên đƣợc chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ.
- C + D là biến cố sinh viên đƣợc chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc
ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên:
P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD);
50 60 20P(C D) 0,9
100 100 100 .
Cách 2
Gọi E: “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”.
Khi đó E A B AB , vì A,B,AB xung khắc nên theo công thức cộng thứ nhất
P(E) P(A) P(B) P(AB) 0,3 0,4 0,2 0,9 .
3.4.2. Công thức nhân xác suất
Nếu C A.B thì P(C) P(A).P(B) ?
3.4.2.1. Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có:
P(AB) P(A)P(B) .
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi
1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: 1 2 n 1 2 n
P(A A A ) P(A )P(A ) P(A ) .
Ví dụ 3.24. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng
còn lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Tính các xác suất sau:
a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng.
b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng.
c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại.
d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng.
f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng.
g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt.
Giải
Gọi Ai: "Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng", i=1;2.
93
1 1P(A ) 0,3;P(A ) 0,7 ,
2 2P(A ) 0,4;P(A ) 0,6 .
a) Gọi A: " Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng".
Suy ra 1 2
A A A .
Do đó 1 2
P(A) P(A )P(A ) 0,3.0,4 0,12 .
b) Gọi B: " Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng".
Suy ra 1 2 1 2
B A A A A .
Do đó 1 2 1 2
P(A) P(A )P(A ) P(A )P(A ) 0,3.0,6 0,7.0,4 0,46 .
c) Gọi C: " Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại".
Suy ra 1 2 1 2
C A A A A .
Do đó 1 2 1 2
C P(A )P(A ) P(A )P(A ) 0,3.0,4 0,7.0,6 0,54 .
d) Gọi D: " Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra D : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”.
Do đó 1 2 1 2
D A A P(D) P(A )P(A ) 0,7.0,6 0,42 .
Vậy, P(D) 1 P(D) 1 0,42 0,58 .
e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng".
Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng.
Do đó 1 2 1 2
E A A P(E) P(A )P(A ) 0,3.0,4 0,12 .
Vậy, P(E) 1 P(E) 1 0,12 0,88 .
f) + Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng: B;
+ Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng: A2.
Vậy, 2 2 2 1A P(A .B) P(A ).P(A ) 0,4.0,7
P 0,6087B P(B) P(B) 0,46
.
Ví dụ 3.25. Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7%.
Lấy ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột. Tính các xác suất sau:
a) Hai chuột lấy ra là hai chuột mắc bệnh X.
b) Hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X.
c) Hai chuột lấy ra có ít nhất một chuột mắc bệnh X.
94
d) Chuột mắc bệnh X đƣợc lấy từ lô thứ I, biết rằng hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc
bệnh X.
Hƣớng dẫn
Gọi Ai: “Chuột lấy ra từ lô thứ i là chuột mắc bệnh X”, i=1;2.
1P(A ) 0,1 ;
2P(A ) 0,07 ;
1P(A ) 0,9 ;
2P(A ) 0,93 .
Ý a), b) giải tƣơng tự ví dụ trên.
c) Gọi A: “Hai chuột lấy ra có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X”.
1 2 1 2A A A P(A) P(A )P(A ) 0,9.0,93 0,837 .
Do đó: P(A) 1 P(A) 1 0,837 0,163 .
d) Gọi B: “Hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X”.
1 2 1 2B A A A A P(B) 0,1.0,93 0,9.0,07 0,156 .
Vậy, 1 1 2A P(A )P(A ) 0,1.0,93
P 0,5962B P(B) 0,156
.
Ví dụ 3.26. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô
có rất nhiều lọ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra một lọ. Tính các xác suất sau:
a) Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng.
b) Ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
c) Ba lọ lấy ra có 2 lọ hỏng.
d) Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng.
e) Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng.
f) Ba lọ lấy ra chỉ có lọ thuốc lấy từ lô 2 là lọ hỏng.
g) Lọ thuốc lấy ra từ lô 2 là hỏng, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
h) Lọ thuốc lấy ra từ lô 1 là tốt, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng.
Hƣớng dẫn
Gọi Ai: “Lọ thuốc lấy ra từ lô thứ i là lọ hỏng”, i=1;2;3.
1P(A ) 0,1 ;
2P(A ) 0,08 ;
3P(A ) 0,15 ;
1P(A ) 0,9 ;
2P(A ) 0,92 ;
3P(A ) 0,85 .
Giải tƣơng tự các ví dụ trên với chú ý để có một trƣờng hợp của yêu cầu đề bài xảy
ra cần có 3 giai đoạn.
3.4.2.2. Công thức nhân xác suất thứ hai
95
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có B A
P(AB) P(A)P P(B)PA B
.
Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:
2 n
1 2 n 1
1 1 2 n 1
A AP(A A A ) P(A )P P
A A A A
.
Chẳng hạn: B C
P(ABC) P(A)P PA AB
.
Ví dụ 3.27. Trong một kỳ thi, bạn phải thi hai môn. Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt
môn thứ nhất. Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai. Nếu không
đạt môn thứ nhất thì hy vọng đạt môn thứ hai chỉ còn 40%. Hãy tính xác suất để bạn:
a) Đạt yêu cầu cả hai môn thi.
b) Không đạt yêu cầu cả hai môn thi.
Giải
Gọi Ai: “Đạt môn thứ i”, i 1;2 .
Ta có: 2 2
1
1 1
A AP(A ) 0,7; P 0,6; P 0,4
A A
.
a) Gọi A: “Đạt yêu cầu cả hai môn thi”.
Suy ra 1 2
A A A ; do đó 2
1
1
AP(A) P(A )P 0,7.0,6 0,42
A
.
b) Gọi B: “Không đạt yêu cầu cả hai môn thi”.
Suy ra 1 2
B A A ; do đó 2
1
1
AP(B) P(A )P (1 0,7).(1 0,4) 0,18
A
.
Ví dụ 3.28. Một lô thuốc tiêm cùng loại có 100 hộp thuốc, trong đó có 10 hộp có
nhãn bị mờ. Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 6 hộp thuốc, nếu có ít nhất 1 hộp thuốc
có nhãn bị mờ thì không nhận lô thuốc. Tính xác suất để lô thuốc đó đƣợc nhận.
Giải
Gọi Ai: “Lần kiểm tra thứ i đƣợc hộp thuốc có nhãn mờ”, i 1; ;6 .
Gọi A: “Lô thuốc đó đƣợc nhận”.
Theo công thức nhân thƣ hai ta có:
96
3 5 62 4
1
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
A A AA AP(A) P(A )P P P P P
A A A A A A A A A A A A A A A
90 89 88 87 86 850,5223
100 99 98 97 96 95 .
3.4.3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
3.4.3.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A1, A2,…, An đƣợc gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
nếu hai tính chất sau đƣợc thỏa:
1 2 n
A A A ;
1 j
1 i j n, A A .
Nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và
chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.
Nhận xét. Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
1 2 nP(A ) P(A ) P(A ) 1 .
Ví dụ 3.29. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng,
còn lại là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp.
Gọi Ai: „„Chọn đƣợc hộp thứ i‟‟, i = 1;2;3.
Khi đó {A1, A2, A3} là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc.
3.4.3.2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với
A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ 1 2 n
{A ,A , ,A }, ta có:
a) 1 2 n
1 2 n
A A AP(A) P(A )P P(A )P P(A )P
A A A
.
b)
k
kk
AP(A )P
AAP
A P(A)
, với k 1;2; ;n .
Công thức tính P(A) đƣợc gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức tính kA
PA
đƣợc gọi là công thức Bayes.
97
Ví dụ 3.30. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng,
còn lại là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 2 lọ thuốc. Tính xác
suất để:
a) Hai lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt.
b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
c) Chọn đƣợc hộp 1, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt.
d) Chọn đƣợc hộp 2, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
Giải
Gọi Ai: “Chọn đƣợc hộp thứ i”, i 1;2 .
Suy ra 1 2
1P(A ) P(A )
2 và
1 2{A ,A } là hệ biến cố đầy đủ.
a) Gọi A: “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”.
2 2
7 6
1 2 2 2
1 2 10 10
C CA A 1P(A) P(A )P P(A )P 0,4
A A 2 C C
.
b) Gọi B: “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt”.
1 1 1 1
7 3 6 4
1 2 2 2
1 2 10 10
C C C CB B 1P(B) P(A )P P(A )P 0,5
A A 2 C C
.
c)
2
71 2
1 101
A C1P(A )P
A 2 CAP 0,5833
A P(A) 0,4
.
d)
1 1
6 42 2
2 102
B C C1P(A )P
A 2 CAP 0,5333
B P(B) 0,5
.
Ví dụ 3.31. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô
có rất nhiều lọ. Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính các xác suất sau:
a) Ba lọ lấy ra có 2 lọ hỏng.
b) Ba lọ lấy ra có 2 lọ tốt.
c) Giả sử ba lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để chọn đƣợc lô C.
Hƣớng dẫn
Gọi Ai: “Chọn đƣợc lô thứ i tƣơng ứng là A, B, C”, i=1;2;3.
98
1 2 3
1P(A ) P(A ) P(A )
3 và
1 2 3{A ,A ,A } là hệ biến cố đầy đủ.
a) Gọi A: “Có hai lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra”.
1 2 3
1 2 3
A A AP(A) P(A )P P(A )P P(A )P 0,034013
A A A
.
Trong đó: 2 2
3
1
AP C 0,1 .0,9
A
; 2 2
3
2
AP C 0,08 .0,92
A
; 2 2
3
3
AP C 0,15 .0,85
A
.
Giải tƣơng tự cho câu b).
b) + Ba lọ lấy ra có một lọ tốt: A
+ Chọn đƣợc lô C: A3
Cần tính:
2 23
333
A 1P(A )P C 0,15 .0,85AA 3P 0,5623A P(A) 0,034013
.
Ví dụ 3.32. Một ngƣời đến khám vì sốt. Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì có các khả
năng sau: bị cúm là 40%, sốt rét 30%, thƣơng hàn 10%, hoặc bệnh khác. Cho ngƣời
này làm xét nghiệm máu thấy bạch cầu tăng. Theo tổng hợp của phòng xét nghiệm thì
tỷ lệ bạch cầu tăng trong các bệnh trên theo thứ tự là: 50%, 40%, 10% và 80%.
a) Tính xác suất ngƣời này bị bạch cầu tăng.
b) Giả sử ngƣời này bị bạch cầu tăng. Khả năng ngƣời này mắc bệnh nào nhiều nhất
trong 4 loại bệnh trên.
Giải
Gọi Ai: “Ngƣời bệnh có khả năng bị cúm, sốt rét, thƣơng hàn, bệnh khác tƣơng ứng
với giá trị của i”, i 1; ;4 .
Suy ra 1 2 3 4
P(A ) 0,4;P(A ) 0,3;P(A ) 0,1;P(A ) 0,2 và 1 2 3 4
{A ,A ,A ,A } là hệ
biến cố đầy đủ.
a) Gọi A “Ngƣời bệnh bị bạch cầu tăng”.
1 2 3 4
1 2 3 4
A A A AP(A) P(A )P P(A )P P(A )P P(A )P
A A A A
,
với 1 2 3 4
A A A AP 0,5;P 0,4;P 0,1;P 0,8
A A A A
.
Suy ra P(A) 0,4.0,5 0,3.0,4 0,1.0,1 0,2.0,8 0,49 .
b) Tính lần lƣợt:
99
1
11
AP(A )P
AA 0,4.0,5P 0,4082
A P(A) 0,49
;
2
22
AP(A )P
AA 0,3.0,4P 0,2449
A P(A) 0,49
;
3
33
AP(A )P
AA 0,1.0,1P 0,0204
A P(A) 0,49
;
4
44
AP(A )P
AA 0,2.0,8P 0,3265
A P(A) 0,49
.
Nhƣ vậy, khả năng ngƣời này bị cúm là cao nhất.
3.4.4. Công thức Bernoulli
3.4.4.1. Phép thử Bernoulli
Bài toán 12. Một máy sản xuất ra một loại sản phẩm. Xác suất để một sản phẩm
làm ra không đạt chất lƣợng là 0,1. Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 3 sản phẩm. Tính
xác suất
a) Không có sản phẩm không đạt chất lƣợng trong 3 sản phẩm.
b) Có 2 sản phẩm không đạt chất lƣợng trong 3 sản phẩm.
Tổng quát: Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 100 sản phẩm. Tính xác suất có k
sản phẩm không đạt chất lƣợng trong 100 sản phẩm k 0;1; ;100 ?
Phép thử Bernoulli: n phép thử độc lập với nhau đƣợc gọi là n phép thử Bernoulli
nếu trong mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A
không xảy ra và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p (xác suất
không xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q 1 p ).
3.4.4.2. Định lý Bernoulli
Xét n phép thử Bernoulli với biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều có xác suất
bằng p. Khi đó xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử là:
k k n k
n nP (k;p) C p (1 p) , (k 0,1,2, ,n) .
100
Ví dụ 3.33. Một máy sản xuất ra một loại sản phẩm. Xác suất để một sản phẩm làm
ra không đạt chất lƣợng là 0,1. Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 10 sản phẩm. Tính xác
suất:
a) Có 3 sản phẩm không đạt chất lƣợng.
b) Có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lƣợng.
Giải
Việc sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử. Gọi A: “Sản phẩm sản xuất ra
không đạt chất lƣợng” thì A : “Sản phẩm sản xuất ra đạt chất lƣợng”.
Ta có: P(A) 0,1; P(A) 0,9 .
Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 10 sản phẩm, ta có n 10, p 0,1 .
a) Gọi B: “Có 3 sản phẩm không đạt chất lƣợng”.
3 3 7
10P(B) C (0,1) (0,9) 0,057396 .
b) Gọi C: “Có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lƣợng”.
Suy ra C : “Không có sản phẩm nào không đạt chất lƣợng”.
0 0 10
10P(C) 1 P(C) 1 C (0,1) (0,9) 0,651322 .
101
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Trình bày các định nghĩa và nêu công thức: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
2. Phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân, cho ví dụ minh họa.
3. Trình bày khái niệm về phép thử, biến cố, phân loại biến cố, quan hệ giữa các
biến cố, cho ví dụ minh họa.
4. Trình bày các phép toán của biến cố (cộng, nhân) và cho ví dụ minh họa.
5. Định nghĩa xác suất của biến cố (cổ điển và thống kê), nêu công thức tính trong
hai trƣờng hợp và cho ví dụ minh họa.
6. Định nghĩa và công thức của xác suất có điều kiện, áp dụng nêu điều kiện để hai
biến cố độc lập.
7. Trình bày công thức cộng xác suất. Phân biệt công thức cộng số 1 và số 2.
8. Trình bày công thức nhân xác suất. Phân biệt công thức nhân số 1 và số 2.
9. Trình bày công thức xác suất đầy đủ, phân biệt với công thức cộng và công thức
nhân xác suất.
10. Trình bày công thức Bayes, phân biệt với công thức xác suất có điều kiện.
11. Trình bày định nghĩa phép thử Bernuolli và công thức Bernuolli.
102
BÀI TẬP
3.1. Có 5 quyển sách toán và 4 quyển sách tin học khác nhau cần xếp vào kệ sách có
9 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong các trƣờng hợp sau:
a) Xếp tùy ý.
b) Xếp sách toán kề nhau và tin học tùy ý.
c) Xếp sách toán kề nhau và tin học kề nhau.
d) Xếp xen kẻ
3.2. Một ngƣời bán hàng xếp 3 hộp thuốc Vitamin B1, 4 hộp Vitamin C, 2 hộp
Vitamin B6, 5 hộp Vitamin B12 vào một kệ theo từng loại thuốc. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp?
3.3. Một hội nghị y khoa có 35 bác sĩ tham dự. Cần lập một nhóm bác sĩ để thực
hành một ca phẫu thuật minh họa cho một công trình nghiên cứu. Hỏi có bao nhiêu các
lập một nhóm gồm:
a) Một bác sĩ chính và một phụ tá.
b) Một bác sĩ chính và hai phụ tá.
3.4. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 4
sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trƣởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ
và thủ quỷ. Có bao nhiêu cách chọn trong các trƣờng hợp sau:
a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ.
b) Lớp trƣởng phải là nữ.
c) Có đúng một nữ.
d) Có ít nhất một nữ.
3.5. Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy từ hộp ra 9 bi. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy trong các trƣờng hợp sau:
a) Có màu tùy ý.
b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng.
c) Có 2 bi xanh.
d) Có nhiều nhất 2 bi xanh.
3.6. Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 3 lọ hỏng, 4 lọ tốt; hộp 2 có 4 lọ hỏng, 5 lọ tốt. Lấy
ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 lọ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 2 lọ thuốc trong các
trƣờng hợp sau:
103
a) Lấy tùy ý.
b) Có 1 lọ hỏng.
c) Có nhiều nhất 1 lọ hỏng.
d) Có ít nhất 1 lọ hỏng.
3.7. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ. Lấy từ
hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trƣờng
hợp sau:
a) Có màu tùy ý.
b) Có 1 bi xanh.
c) Có nhiều nhất 1 bi xanh.
3.8. Một túi bài thi có 5 bài loại giỏi, 8 bài loại khá và 7 bài loại trung bình. Rút
ngẫu nhiên 3 bài thi từ túi bài đó. Tính xác suất để:
a) 3 bài thi có 2 bài đạt loại giỏi.
b) 3 bài thi thuộc 3 loại khác nhau.
c) 3 bài thi thuộc cùng một loại.
d) 3 bài thi có ít nhất 1 bài loại giỏi.
e) 3 bài thi có nhiều nhất 2 bài loại giỏi.
3.9. Trong một hộp thuôc tiêm có 10 ống Vitamin C và 5 ống Vitamin B1. Lấy
đồng thời 3 ống thuốc. Tính xác suất để:
a) Cả 3 ống lấy ra là ống Vitamin C.
b) Trong 3 ống lấy ra có 2 ống Vitamin C.
c) Có ít nhất 1 ống Vitamin C đƣợc lấy ra.
3.10. Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau. Khả năng chuẩn đoán sai của các bác sĩ
tƣơng ứng là 5%, 10% và 15%. Ba ngƣời đã khám cho một bệnh nhân. Tính xác suất:
a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng.
b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng.
f) Bác sĩ thứ hai chuẩn đoán sai, biết rằng có một bác sĩ chuẩn đoán đúng.
104
g) Bác sĩ thứ nhất chuẩn đoán đúng, biết rằng có hai bác sĩ chuẩn đoán đúng.
3.11. Một bác sĩ điều trị cho 3 bệnh nhân A, B, C trong một ngày. Xác suất để bệnh
nhân A, B, C cần đến sự chăm sóc của bác sĩ lần lƣợt là 0,9; 0,8 và 0,85. Hãy tính xác
suất để trong 1 ngày:
a) Không có bệnh nhân nào cần đến sự chăm sóc của bác sĩ.
b) Có ít nhất 1 bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ.
c) Có không quá một bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ.
d) Cả 3 bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ.
e) Chỉ có bệnh nhân A cần đến sự chăm sóc của bác sĩ.
3.12. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại
là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 3 lọ thuốc. Tính xác suất để:
a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt.
b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
c) Ba lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt.
d) Chọn đƣợc hộp 1, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt.
e) Chọn đƣợc hộp 3, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt.
3.13. Trong điều trị bệnh lao có hiện tƣợng kháng thuốc. Gọi A là hiện tƣợng
“kháng INH của vi khuẩn lao”, B là hiện tƣợng “kháng PAS của vi khuẩn lao”, C là
hiện tƣợng “kháng Streptomycin của vi khuẩn lao”. Qua theo dõi, biết khă năng kháng
INH, PAS và Streptomycin của vi khuẩn lao lần lƣợt là 20%, 40% và 30% và việc
kháng các loại thuốc khác nhau là độc lập với nhau. Nếu phối hợp cả ba loại thuốc trên
thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu?
3.14. Tỷ lệ ngƣời nghiện thuốc lá ở một địa phƣơng là 30%. Biết rằng tỷ lệ viêm
họng trong số những ngƣời nghiện thuốc lá là 60% còn tỷ lệ ngƣời bị viêm họng trong
số những ngƣời không hút thuốc lá là 40%.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 ngƣời, biết ngƣời đó bị viêm họng. Tính xác suất để ngƣời đó
là ngƣời nghiện thuốc lá.
b) Nếu ngƣời đó không viêm họng. Tính xác suất để đó là ngƣời nghiện thuốc lá.
3.15. Trong một hộp thuốc tiêm có 10 ống thuốc, trong đó có 6 ống thuốc A và 4
ống thuốc B có cùng kích thƣớc. Một ống bị vỡ không rõ là loại gì. Từ hộp rút ngẫu
nhiên ra một ống. Tính xác suất để ống rút ra là ống thuốc A.
105
3.16. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh một con). Giả sử xác suất sinh con trai là
0,51. Tính xác suất để trong hai ngƣời con đƣợc sinh đó:
a) Có đúng 1 con trai.
b) Không có con trai.
c) Có 2 con trai.
3.17. Theo kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ ngƣời bị lao ở một địa phƣơng là
0,001. Tính xác suất để khi khám 10 ngƣời ở địa phƣơng đó thì:
a) Không có ai bị lao.
b) Có ít nhất 1 ngƣời bị lao.
c) Số ngƣời bị lao có khả năng nhất.
3.18. Một máy dập thuốc viên có tỷ lệ viên đạt chất lƣợng là 99%. Chọn ngẫu nhiên
ra 20 viên thuốc đƣợc máy đó sản xuất. Tính xác suất để trong 20 viên đƣợc chọn có
đúng 1 viên không đạt chất lƣợng.
3.19. Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7%.
a) Lấy ngẫu nhiên 3 chuột ở lô I. Tính xác suất có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X. Phải
lấy ít nhất bao nhiêu chuột ở lô I để xác suất có ít nhất một chuột mắc bệnh X lớn hơn
0,9?
b) Lấy ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột. Tính xác suất để có 1 chuột mắc bệnh X
và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc bệnh X, tính
xác suất để chuột mắc bệnh X đƣợc lấy từ lô thứ II?
c) Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 2 chuột. Tính xác suất để có
một chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có
một chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chọn đƣợc lô thứ I?
3.20. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô có rất
nhiều lọ.
a) Lấy 3 lọ ở lô A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ (ở lô A)
để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95.
b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng.
c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất để có 2 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy
ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt đƣợc lấy từ lô thứ 3?
d) Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C. Ta mua ở cửa hàng 1
lọ về dùng. Tính xác suất đƣợc lọ tốt.
106
3.21. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 15 lọ thuốc, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng,
còn lại là lọ tốt.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 hộp, rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất chọn đƣợc 3
lọ tốt? Đƣợc 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng?
b) Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất để có 1 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra?
3.22. Ba lô thuốc A, B, C gồm rất nhiều lọ, tỷ lệ hỏng ở mỗi lô lần lƣợt là 10%, 8%,
5%.
a) Lấy mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất đƣợc 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1
lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng đƣợc lấy từ lô thứ hai?
b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất đƣợc 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng?
Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ hỏng, tính xác suất để chọn đƣợc lô C?
c) Lấy 5 lọ từ lô B. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô B
để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9?
3.23. Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lƣợt là 10% và 7%. Giả sử các lô
thuốc này có rất nhiều lọ
a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng. Lấy
tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9?
b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất đƣợc 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử
hai lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng đƣợc lấy từ lô thứ hai?
c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 2 lọ. Tính xác suất đƣợc 1 lọ tốt và
1 lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để chọn đƣợc lô A?
3.24. Cho biết tỷ lệ bệnh sốt rét tại một địa phƣơng là 8%.
a) Khám ngẫu nhiên 3 ngƣời, tính xác suất để có ít nhất một ngƣời mắc bệnh sốt
rét?
b) Khám tối thiểu mấy ngƣời để xác suất có ít nhất 1 ngƣời mắc bệnh lớn hơn hoặc
bằng 0,9?
c) Dùng 3 loại thuốc A, B, C để điều trị. Tỷ lệ khỏi bệnh khi dùng từng loại thuốc
để điều trị lần lƣợt là 85%, 90%, 95%. Nếu dùng cả 3 loại thuốc phối hợp điều trị thì
tỷ lệ khỏi bệnh là bao nhiêu? (bỏ qua sự tƣơng tác giữa các loại thuốc)
3.25. Hộp A có 10 lọ thuốc: 8 tốt, 2 hỏng; hộp B có 15 lọ thuốc: 11 tốt, 4 hỏng; hộp
C có 20 lọ thuốc: 15 tốt, 5 hỏng.
107
a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra một lọ. Tính xác suất đƣợc lọ tốt? Giả sử lấy
đƣợc lọ hỏng, tính xác suất chọn đƣợc hộp C?
b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất đƣợc 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử
3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt đƣợc lấy từ lô A?
3.26. Giả sử tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ của máy dập A là 10%.
a) Lấy ngẫu nhiên 5 viên từ máy dập A. Tính xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ?
b) Quan sát tối thiểu mấy viên để xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ lớn hơn hoặc
bằng 0,95?
3.27. Hộp A có: 15 tốt, 5 hỏng; hộp B có: 17 tốt, 3 hỏng; hộp C có: 10 tốt, 10 hỏng.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra ba lọ. Tính xác suất đƣợc 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng?
Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để chọn đƣợc hộp B?
b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất đƣợc 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử
3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lấy từ lô A ra lọ hỏng?
c) Trộn chung 3 hộp rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất đƣợc 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng?
3.28. Có tài liệu cho biết tỷ lệ K phổi là 7%.
a) Khám ngẫu nhiên 5 ngƣời. Tính xác suất có ít nhất 1 trƣờng hợp K phổi. Khám
tối thiểu mấy ngƣời để xác suất có ít nhất 1 ngƣời K phổi lớn hơn hoặc bằng 0,8?
b) Khả năng kháng thuốc của vi trùng đối với từng loại thuốc A, B, C lần lƣợt là
10%, 15%, 12%. Nếu dùng cả ba loại thuốc để diệt vi trùng. Hãy tính xác suất vi trùng
bị diệt? (bỏ qua sự tƣơng tác của các loại thuốc).
108
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
3.1. a) 9! Cách b) 5!.5! c) 5!.4!.2! d) 5!.4!
3.2. 3!.4!.2!.5!.4!
3.3. a) 1190 b) 19635
3.4. a) 4
50A b) 1 3
30 49A .A c) 3
2030.C .4! d)
4 4
50 20A A
3.5. a) 9
20C b) 2 3 4
5 7 8C .C .C c) 2 7
5 15C .C d) 2 7 1 8 9
5 15 5 15 15C .C C .C C
3.6. a) 1 1
7 9C .C b) 1 1 1 1
3 5 4 4C .C C .C c) 1 1 1 1
7 9 3 4C .C C .C d) 1 1 1 1
7 9 4 5C .C C .C
3.7. a) 2 3
10 15C .C b) 1 1 3 2 1 2
6 4 8 4 7 8C .C .C C .C .C c) 1 1 3 2 1 2 2 3
6 4 8 4 7 8 4 8C .C .C C .C .C C .C
3.8. a)
2 1
5 15
3
20
C .C
C b)
1 1 1
5 8 7
3
20
C .C .C
C c)
3 3 3
5 8 7
3
20
C C C
C
d)
3
15
3
20
C1
C e)
3
5
3
20
C1
C
3.9. a) 0,2637 b) 0,4945 c) 0,978
3.10. a) 0,72675 b) 0,02525 c) 0,24725 d) 0,99925
e) 0,27325 f) 0,7327 g) 0,8453
3.11. a) 0,003 b) 0,997 c) 0,059
d) 0,612 e) 0,027
3.12. a) 0,4956 b) 0,0868 c) 0,4132
d) 0,2887 e) 0,5053
3.13. 0,976
3.14. a)0,3913 b)0,2222
3.15. 0,6
3.16. a) 0,4998 b) 0,2401 c) 0,2601
3. 17. a) 0,99910
b) 101 0,999 c) 10
3.18. 0,1652
3.19. a) 0,271; 22 b) 0,156; 0,4038 c) 0,155
3.20. a) 0,271; 29 lọ b) 0,2927 c) 0,0314; 0,2166 d) 0,896
109
3.21. a) 0,37; 0,47; b) 0,44
3.22. a) 0,1972; 0,3469 b) 0,1938; 0,2329 c) 28 lọ
3.23. a) 0,271; 22 lọ b) 0,1560 c) 0,0776; 0,5803
3.24. a) 0,2213 b) 28 ngƣời c) 0,99925
3.25. a) 0,7611; 0,3488 b) 0,4175; 0,4071
3.26.a) 0,4095 b) 29 lần
3.27. a) 0,4044; 0,295 b) 0,4813; 0,3103 c) 0,45
3.28. a) 0,3034; 23 ngƣời b) 0,9982
110
Chƣơng 4. ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
Mục đích yêu cầu
Chƣơng này trình bày các kiến thức cơ bản về: đai lƣợng ngẫu nhiên, các tham số
đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu nhiên và các đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất
đặc biệt thƣờng dùng.
Sinh viên cần nắm vững một cách có hệ thống kiến thức trên, sử dụng linh hoạt kiến
thức để giải quyết các bài toán về:
Lập bảng phân phối xác suất và tìm hàm mật độ xác suất của đại lƣợng ngẫu
nhiên.
Tính các tham số đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu nhiên.
Nhận biết đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối đặc biệt và áp dụng tính xác suất
theo yêu cầu bài toán.
Sử dụng mối quan hệ giữa các loại phân phối xác suất đặc biệt vào bài toán cụ
thể.
4.1. Khái niệm về đại lƣợng ngẫu nhiên
Mở đầu
Ở chƣơng ba, ta đã nói đến kết quả của phép thử nhƣ một biến cố. Bây giờ ta nghiên
cứu đến đại lƣợng mà trong kết quả của phép thử nó chỉ nhận một và chỉ một trong các
giá trị có thể của nó với một xác suất tƣơng ứng nào đó.
Chẳng hạn, giả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 20%. Quan sát ngẫu nhiên 3 ngƣời.
Gọi X là số ngƣời bệnh, khi đó X {0,1,2,3} . X đƣợc gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
4.1.1. Định nghĩa
Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lƣợng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép
thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lƣợng ngẫu nhiên. Các kí tự: x, y, z,… chỉ
giá trị của các đại lƣợng ngẫu nhiên.
Ví dụ 4.1. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốc
Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra thì X là đại lƣợng ngẫu nhiên có thể
nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.
4.1.2. Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên
111
4.1.2.1. Đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc
Là loại đại lƣợng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm đƣợc các giá trị.
Ví dụ 4.2. Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là
một đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n 1 giá trị: 0, 1, …, n.
4.1.2.2. Đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục
Là loại đại lƣợng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm đƣợc các giá trị mà thông
thƣờng các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực.
Ví dụ 4.3. Gọi T là nhiệt độ đo đƣợc tại một địa phƣơng. Ta có T là một đại lƣợng
ngẫu nhiên liên tục.
4.1.3. Luật phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên
Để xác định đƣợc một đại lƣợng ngẫu nhiên, ta phải xác định đƣợc các giá trị của
đại lƣợng ngẫu nhiên và các xác suất tƣơng ứng của nó. Các hình thức biểu diễn mối
quan hệ giữa các giá trị của đại lƣợng ngẫu nhiên và xác suất tƣơng ứng của nó, đƣợc
gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên.
Ngƣời ta dùng ba phƣơng pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của đại lƣợng
ngẫu nhiên là: bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác
suất.
4.1.3.1. Bảng phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên
Với X là một đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…, xn ta
lập bảng:
X x1 x2 … xn
P(X) p1 p2 … pn
Đƣợc gọi là bảng phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên X.
Chú ý. i
0 p 1, i 1,2, ,n và 1 2 n
p p p 1
Ví dụ 4.4. Một hộp có 6 lọ thuốc tốt và 4 lọ thuốc hỏng. Lấy từ hộp ra 3 lọ thuốc.
Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất của
X.
Giải
Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 3 lọ thuốc lấy ra. Suy ra X {0;1;2;3} .
112
3
4
3
10
C 1P(X 0)
C 30 ;
1 2
6 4
3
10
C C 9P(X 1)
C 30 ;
2 1
6 4
3
10
C C 15P(X 2)
C 30 ;
3
6
3
10
C 5P(X 3)
C 30 .
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:
X 0 1 2 3
P(X) 1/30 9/30 15/30 5/30
Ví dụ 4.5. Giả sử tỷ lệ bệnh B trong dân số là 0,2. Khám ngẫu nhiên 3 ngƣời. Gọi X
là số ngƣời bệnh trong 3 ngƣời đƣợc khám. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải
Gọi X là số ngƣời bệnh trong 3 ngƣời đƣợc khám. Suy ra X {0;1;2;3}
0 0 3
3P(X 0) C 0,2 0,8 0,512 ; 1 1 2
3P(X 1) C 0,2 0,8 0,384 ;
2 2 1
3P(X 2) C 0,2 0,8 0,096 ; 3 3 0
3P(X 3) C 0,2 0,8 0,008 .
Vậy, bảng phân phối xác suất của X là:
X 0 1 2 3
P(X) 0,512 0,384 0,096 0,008
4.1.3.2. Hàm mật độ xác suất
Để thiết lập luật phân phối xác suất của một đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục, ngƣời ta
dùng một hàm số gọi là hàm mật độ xác suất.
Định nghĩa. Hàm f(x), có miền xác định là , đƣợc gọi là hàm mật độ xác suất
của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau
1. ( ) 0, f x x ;
2. ( ) 1
f x dx .
Định lý. Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f x
thì với mọi số thực a, b ta có: ( ) ( ) b
a
P a X b f x dx .
4.1.3.3. Hàm phân phối xác suất
113
Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên X, ký hiệu là F x ,
là hàm số đƣợc xác định nhƣ sau: ( ) ( ); F x P X x x .
Định lý. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X x1 x2 … xn
P(X) p1 p2 … pn
Khi đó hàm phân phối xác suất của X đƣợc xác định nhƣ sau: ( ) ;i
ix x
F x p x
.
Cho X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f x . Khi đó
hàm phân phối xác suất của X đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ( ) ( ) ;
x
F x f t dt x
.
Tính chất
Định lý 1. Giả sử F x là hàm phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên X. Khi
đó ta có:
1. 0 ( ) 1; F x x ;
2. ( ) 1, ( ) 0F F ;
3. F x là một hàm không giảm, nghĩa là nếu 1 2
x x thì 1 2
( ) ( )F x F x .
Hệ quả
1. Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất là F x thì:
( ) ( ) ( )P a X b F b F a .
2. Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục thì với mọi số thực a cho trƣớc ta có:
( ) 0P X a .
3. Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục thì với mọi số thực a, b ta có:
( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b P a X b P a X b .
Định lý 2. Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) và
hàm phân phối xác suất là F x thì: ( ) ( )F x f x .
Ví dụ 4.6. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất dạng
2
0 khi 0
( ) khi 0 1
1 khi x>1
x
F x ax x
.
114
a) Tìm a.
b) Tìm hàm mật độ xác suất của X.
c) Tính 1 3
P X4 4
Giải
a) Xét tính liên tục của F(x) ta có:
Tại 1x , 1
lim ( ) (1)x
F x F
; Mà 1 1
l im ( ) , l im ( ) 1x x
F x a F x
.
Để F x liên tục tại 1x thì 1a .
b) Hàm mật độ xác suất ( ) ( )f x F x .
Với 0 ( ) 0 ( ) 0x F x f x .
Với 20 1 ( ) ( ) 2x F x x f x x .
Với 1 ( ) 1 ( ) 0x F x f x .
Tại 0x ta có 0 0
( ) (0) 0 0(0 ) lim lim 0
0x x
F x FF
x x
.
2
0 0
( ) (0) 0(0 ) lim lim 0
0x x
F x F xF
x x
.
Tại 1x ta có 2 2
1 1
( ) (1) 1(1 ) lim lim 2
1 1x x
F x F xF
x x
.
2
1 1
( ) (1) 1 1(1 ) lim lim 0
1 1x x
F x FF
x x
.
Vậy,
0 khi 0
( ) 2 khi 0 1
0 khi x>1
x
f x x x
.
c)
2 21 3 3 1 3 1 1
4 4 4 4 4 4 2P X F F
.
4.2. Các tham số đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu nhiên
4.2.1. Kỳ vọng (hay giá trị trung bình)
Định nghĩa. Kỳ vọng của đại lƣợng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực đƣợc
xác định nhƣ sau:
115
Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X x1 x2 … xn
P(X) p1 p2 … pn
thì 1 1 2 2
( )n n
M X x p x p x p .
Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là ( )f x thì
( ) ( )M X xf x dx
.
Ví dụ 4.7. Cho đại lƣợng rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
X -1 2 3 3
P(X) 0,1 0,5 0,4 5/30
Tính M(X).
Giải
M(X) 1.0,1 2.0,5 3.0,4 2,1 .
Ví dụ 4.8. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc có hàm mật độ xác suất:
23( 2 ) khi x (0,1)
( ) 4
0 khi x (0,1)
x xf x
.
Tính M(X).
Giải
1 1
2 3 2
0 0
3 3 11M(X) xf (x)dx x (x 2x)dx (x 2x )dx
4 4 16
.
Ý nghĩa của kỳ vọng
Kỳ vọng của một đại lƣợng ngẫu nhiên là một số biểu thị giá trị trung bình (theo xác
xuất) trong các giá trị mà đại lƣợng ngẫu nhiên đó có thể nhận. Trong ứng dụng, khi
cần tìm giá trị trung bình trong các giá trị có thể nhận của một quan sát đối với một
phép thử nào đó thì ta xác định đại lƣợng ngẫu nhiên của quan sát rồi tìm kỳ vọng của
đại lƣợng ngẫu nhiên đó.
116
Ví dụ 4.9. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 bi. Hãy
tìm số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra.
Giải
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lƣợng ngẫu nhiên có bảng phân
phối xác suất nhƣ sau:
X 0 1 2 3
P 0,0333 0,3 0,5 0,1667
Số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra là M(X) nên:
M(X) = 0×0,0333 + 1×0,3 + 2×0,5 + 3×0,1667 = 1,8.
Nhƣ vậy, số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra là 1,8 viên.
Tính chất của kỳ vọng
Định lý. Giả sử X, Y là các đại lƣợng ngẫu nhiên và C là một hằng số. Khi đó ta có:
1. M(C) = C.
2. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y).
3. M(CX) = CM(X).
Ví dụ 4.10. Cho X và Y là các đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất nhƣ sau:
X -1 0 1 Y 0 1 2
P(X)
0,2 0,3 0,5 P(Y)
0,3 0,4 0,3
Hãy tìm kỳ vọng của đại lƣợng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y + 4.
Giải
Ta có:
M(X) = - 1×0,2 + 0×0,3 + 1×0,5 = 0,3.
M(Y) = 0×0,3 + 1×0,4 + 2×0,3 = 1.
Nên:
M(Z) = M(2X – 3Y + 4) = 2M(X) – 3M(Y) + 4= 2.0,3 – 3.1 + 4 = 1,6.
4.2.2. Phƣơng sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa. Phương sai của đại lƣợng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực
117
không âm đƣợc xác định bởi: 2D(X) M{[X M(X)] } .
Ta còn có thể tính phƣơng sai bằng công thức 2 2D(X) M(X ) M (X) .
Trong đó 2M (X) là bình phƣơng của kỳ vọng và đƣợc tính bằng một trong hai
trƣờng hợp sau.
Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X x1 x2 … xn
P(X) p1 p2 … pn
thì 2 2 2 2
1 1 2 2( )
n nM X x p x p x p .
Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là ( )f x thì
2 2( ) ( )M X x f x dx
.
Ví dụ 4.11. Cho đại lƣợng rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X 1 3 4
P(X) 0,1 0,5 0,4
Tính M(X), D(X).
Giải
Ta có M(X) 1.0,1 3.0,5 4.0,4 3,2 .
2 2 2 2M(X ) 1 .0,1 3 .0,5 4 .0,4 11 .
Suy ra 2D(X) 11 (3,2) 0,76 .
Ví dụ 4.12. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất
23 khi x (0,1)( )
0 khi x (0,1)
xf x
.
Tính D(X).
Giải
Ta có: 1 1
2 3
0 0
3( ) ( ) .3 3
4M X xf x dx x x dx x dx
.
118
1 1
2 2 2 2 4
0 0
3( ) ( ) .3 3
5M X x f x dx x x dx x dx
.
Suy ra:
2
2 2 3 3 3( ) ( ) ( )
5 4 80D X M X M X
.
Ý nghĩa của phƣơng sai
Theo định nghĩa thì phƣơng sai của một đại lƣợng ngẫu nhiên là một số biểu thị độ
sai lệch trung bình giữa các giá trị mà đại lƣợng ngẫu nhiên đó có thể nhận so với kỳ
vọng của nó. Phƣơng sai lớn thì độ sai lệch lớn, khi đó mức độ tập trung các giá trị của
đại lƣợng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng nhỏ. Nhƣ vậy, một đại lượng ngẫu nhiên có
phương sai lớn thì có ít giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó.
Ngƣợc lại, phƣơng sai nhỏ thì mức độ tập trung các giá trị của đại lƣợng ngẫu nhiên
gần với kỳ vọng lớn, nghĩa là một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai nhỏ thì có
nhiều giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó.
Phƣơng sai của đại lƣợng ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong công
nghiệp, chỉ số phƣơng sai của một sản phẩm biểu thị độ chính xác của sản phẩm đó.
Một sản phẩm có chỉ số phƣơng sai nhỏ thì độ chính xác của sản phẩm đó cao và
ngƣợc lại. Trong trồng trọt, phƣơng sai là chỉ số cho biết mức độ ổn định của năng
suất cây trồng. Trong chăn nuôi, phƣơng sai là số nêu lên mức độ đồng đều của đàn
gia súc. Nhƣ vậy, phƣơng sai là một số biểu thị độ chính xác, mức độ đồng đều, tính
ổn định, ... của một quan sát đối với một phép thử nào đó. Điều đó có nghĩa là trong
ứng dụng thì phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên là một số biểu thị độ chính
xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của đại lượng ngẫu nhiên đó.
Ví dụ 4.13. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 bi. Hãy
tìm số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.
Giải
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lƣợng ngẫu nhiên có bảng phân
phối xác suất nhƣ sau:
X 0 1 2 3
P(X)
0,0333 0,3 0,5 0,1667
Do X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra nên số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong
3 bi lấy ra là D(X).
Ta có:
119
M(X) = 0.0,0333 + 1.0,3 + 2.0,5 + 3.0,1667 = 1,8.
M(X2) = 0
2.0,0333 + 1
2.0,3 + 2
2.0,5 + 3
2.0,1667 = 3,8.
Nên: D(X) = 3,8 – 1,82 = 0,56.
Nhƣ vậy, số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra là 0,56.
Tính chất của phƣơng sai
Định lý. Giả sử X, Y là các đại lƣợng ngẫu nhiên và C là một hằng số. Khi đó:
1. D(C) = 0.
2. D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
3. D(CX) = C2D(X).
Ví dụ 4.14. Cho X và Y là các đại lƣợng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất
nhƣ sau:
X -1 0 1 Y 0 1 2
P(X)
0,2 0,3 0,5 P(Y)
0,3 0,4 0,3
Hãy tìm phƣơng sai của đại lƣợng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y + 4.
Giải
Ta có:
D(X) = M(X2) – M
2(X) = 0,7 – 0,3
2 = 0,61.
D(Y) = M(Y2) – M
2(Y) = 1,6 – 1
2 = 0,6.
Nên: D(Z) = D(2X – 3Y + 4) = 4D(X) + 9D(Y) = 4.0,61 + 9.0,6 = 7,84
Độ lệch chuẩn
Định nghĩa. Độ lệch chuẩn của đại lƣợng ngẫu nhiên X, ký hiệu là (X), là một số
không âm đƣợc xác định nhƣ sau: (X) D(X) .
Độ lệch chuẩn của một đại lƣợng ngẫu nhiên cũng là một số biểu thị độ chính xác,
mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của đại lƣợng ngẫu nhiên. Nhƣng khác với phƣơng
sai không có đơn vị đo, độ lệch chuẩn của một đại lƣợng ngẫu nhiên là một số có đơn
vị đo. Do đó, khi cần tính độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, ... của một đại
lƣợng ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó thì ngƣời ta thƣờng sử dụng độ lệch chuẩn của
đại lƣợng ngẫu nhiên đó.
120
Ví dụ 4.15. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 bi. Hãy
tìm số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra.
Giải
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi
xanh trong 3 bi lấy ra là (X).
Do D(X) = 0,56 nên số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra
là: (X) = 0,56 0,75 (bi xanh).
4.2.3. Mode
Định nghĩa. Giá trị x0 đƣợc gọi là mode của X, kí hiệu là mod(X), nếu nó là giá trị
có xác suất lớn nhất.
Để tính Mod(X), ta xét theo một trong hai trƣờng hợp sau:
Trƣờng hợp 1. X là một đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc.
Mod(X) trong trƣờng hợp này là các giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong
bảng phân phối xác suất của nó.
Trƣờng hợp 2. X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục.
Mod(X) trong trƣờng hợp này là các giá trị làm hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt
giá trị lớn nhất.
Ví dụ 4.16. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 bi. Hãy
tìm số bi xanh có thể xảy ra chắc chắn nhất trong 3 bi lấy ra.
Giải
Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì số bi xanh có thể xảy ra chắc chắn nhất
trong 3 bi lấy ra là Mod(X).
Do X có bảng phân phối xác suất là:
X 0 1 2 3
P(X)
0,0333 0,3 0,5 0,1667
Nên số bi xanh chắc chắn nhất có thể xảy ra trong 3 bi lấy ra là: Mod(X) = 2.
Ví dụ 4.17. Một nghiên cứu y học cho biết xác suất thành công của phép hóa trị khi
điều trị ung thƣ da là 70%. Giả sử có 5 bệnh nhân đƣợc điều trị bằng hóa trị và gọi X
là số ngƣời điều trị thành công trong 5 ngƣời. Ta có bảng phân phối xác suất sau:
121
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0,002 0,029 0,132 0,309 0,360 0,168
Tính kỳ vọng, phƣơng sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải
M(X) 0.0,002 1.0,029 2.0,132 3.0,309 4.0,36 5.0,168 3,5 .
2 2 2 2 2 2 2M(X ) 0 .0,002 1 .0,029 2 .0,132 3 .0,309 4 .0,36 5 .0,168 13,298 .
2D(X) 13,298 3,5 1,048 .
(X) 1,048 1,023 .
4.3. Đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đặc biệt
4.3.1. Phân phối nhị thức (Bernoulli)
Xét một thí nghiệm chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: „„thành công‟‟ hoặc „„thất
bại‟‟. Thành công với xác suất p, thất bại với xác suất 1 – p. Thí nghiệm Nhƣ vậy gọi
là phép thử Bernoulli.
Ví dụ 4.18.
a) Khám bệnh có hai khả năng: Có bệnh / không có bệnh.
b) Điều trị bênh: Khỏi / không khỏi.
c) Phẩu thuật: Thành công / thất bại.
d) Kiểm tra thuốc: Tốt / xấu.
4.3.1.1. Định nghĩa
Đại lƣợng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0,1,2, ,n và tồn tại số thực
p 0;1 sao cho k k n k
nP(X k) C p (1 p) đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân
phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X B(n,p) .
Ví dụ 4.19. Bệnh B có tỷ lệ 10% trong dân số. Khám ngẫu nhiên 5 ngƣời. Tính xác
suất:
a) Có một ngƣời bị bệnh B.
b) Có ít nhất 1 ngƣời bị bệnh B.
Giải
122
Gọi X là số ngƣời bị bệnh B trong 5 ngƣời. Suy ra X B(5;0,1) .
a) 1 1 4
5P(X 1) C 0,1.0,9 0,32805 .
b) 0 0 5
5P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0) 1 C 0,1 .0,9 0,4095 .
Ví dụ 4.20. Xác suất để mỗi trẻ em khi đƣợc tiêm phòng một loại vacxin, sẽ miễn
dịch là 0,9. Có 6 trẻ em đƣợc tiêm phòng. Tính xác suất để có ít nhất 2 trẻ em sẽ miễn
dịch.
Giải
Gọi X là số trẻ em sẽ miễn dịch, suy ra X B(6;0,9) .
P(2 X 6) 1 P(X 2) 1 [P(X 0) P(X 1)]
0 0 6 1 1 5
6 61 [C (0,9) (0,1) C (0,9) (0,1) ] 0,999945
Tính trực tiếp kết quả trên?
4.3.1.2. Các tham số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X B(n,p) . Khi đó X có các đặc số nhƣ sau:
a) Mod(X) k , trong đó k là số nguyên thỏa np q k np q 1 .
b) M(X) np .
c) D(X) npq .
Ví dụ 4.21. Tính kỳ vọng, phƣơng sai và Mod của X B(3;0,7) .
Giải
Theo công thức ta có:
M(X) 3.0,7 2,1 ; D(X) 3.0,7.0,3 0,63 .
2,1 0,3 Mod(X) 2,1 0,7 Mod(X) 2 .
Tính trực tiếp kết quả trên bằng cách lập bảng phân phối xác suất của X?
4.3.2. Phân phối Poisson
Quan sát số các biến cố xảy ra trong một thời gian cho trƣớc, số các biến cố trung
bình trên một đơn vị là .
123
Ví dụ 4.22. Số ngƣời bị tai nạn giao thông ở một ngã tƣ, số sản phụ đến sinh trong
một thời điểm, số hồng cầu trong mỗi ô của hồng cầu kế, số trẻ em sinh đôi trong một
năm tại một bệnh viện X,...
4.3.2.1. Định nghĩa
Đại lƣợng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0,1,2, ,n và tồn tại số thực dƣơng
sao cho ke
P(X k)k!
đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson
theo tham số và kí hiệu X P( ).
4.3.2.2. Các tham số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X P( ). Khi đó X có các đặc số nhƣ sau:
a) M(X) .
b) D(X) .
c) 1 Mod(X) .
Ví dụ 4.23. Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ đến sinh trong 1h có phân
phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1h có:
a) Đúng 3 sản phụ đến sinh.
b) Có nhiều hơn một sản phụ đến sinh.
Giải
Ta có X P(4) 4
a) 4 3e .4
P(X 3) 0,1953!
.
b) 4 0 4 1e .4 e .4
P(X 1) 1 P(X 1) 1 (P(X 0) P(X 1)) 1 0,9080! 1!
.
4.3.2.3. Tính chất
Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 P( 1),X2 P( 2). Khi đó
1 2X X cũng có phân phối Poisson X1 + X2 P(
1 2 ).
4.3.2.4. Định lý Poisson (Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson)
124
Cho X là một đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X B(n,p) . Giả sử rằng
n khá lớn và p khá bé (thông thƣờng p 0,1 ). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lƣợng
ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y P( ), với np , nghĩa là:
keP(X k)
k!
, với k 0;1;2;
Ví dụ 4.24. Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân cƣ. Biết xác
suất một trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0,001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có
không quá 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
Giải
Gọi X là số trẻ bị phản ứng thuốc tiêm trong 2000 trẻ.
Suy ra X B(2000;0,001) với n 2000 lớn và p 0,001 nhỏ.
Do đó X P(2) .
P(X 5) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) P(X 5) 0,983 .
So sánh kết quả với tính trực tiếp bằng phân phối nhị thức?
4.3.3. Phân phối chuẩn
4.3.3.1. Định nghĩa
Đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận các giá trị ( , ) , và có hàm mật độ
xác suất dạng:
2
2
( )
21
( )2
x
f x e
, đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với các tham số 2, . Kí hiệu: 2X N( , ) .
Nếu X N 0;1 , nghĩa là hàm mật độ xác suất của X là
2
21
( )2
x
f x e
, thì X
đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn chuẩn tắc.
Định lý. Nếu 2X N( , ) thì 2 1
1 2
k kP(k X k )
.
Ví dụ 4.25. Cho X N(13,16) . Tính các xác suất sau
a) P(X 20) b) P(X 10) c) P(5 X 21)
Giải
125
Ta có:2
13X N(13,16)
16 4
.
a) 20 13 13
P(X 20) P( X 20)4 4
(1,5) ( ) 0,4332 0,5 0,9332 .
b) 13 10 13
P(X 10) P(10 X )4 4
( ) (0,75) 0,5 0,2734 0,7734 .
c) 21 13 5 13
P(5 X 21)4 4
(2) (2) 2 (2) 2.0,4772 0,9544 .
Ví dụ 4.26. Kích thƣớc một viên thuốc là đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối
chuẩn với 1cm , 0,16 . Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một viên thuốc có kích
thƣớc từ 0,8cm đến 1,2cm.
Giải
Ta có 2
1X N(1;0,16)
0,16 0,4
.
1,2 1 0,8 1P(0,8 X 1,2) (0,5) (0,5) 2 (0,5) 2.0,1915 0,383
0,4 0,4
4.3.3.2. Các tham số của phân phối chuẩn
Định lý. Nếu 2X N( , ) thì M(X) Mod(X) ; 2D(X) .
4.3.3.3. Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phôi chuẩn
Định lý. Nếu X B(n,p) với n khá lớn và np không nhỏ thì X N(np,npq)
(q 1 p) .
Vì đại lƣợng ngẫu nhiên X trong phân phối nhị thức là đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc
nên khi tính xấp xỉ các giá trị xác suất của X bằng phân phối chuẩn ta đã chuyển sang
một biến mới là biến liên tục nên trong thực hành phải thực hiện phép hiệu chỉnh liên
tục nhƣ sau: P(X k) P(X k 0,5) ; P(X k) P(X k 0,5) .
126
Ví dụ 4.27. Một bệnh B chiếm 10% dân số. Chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời. Tính xác
suất:
a) Có 6 ngƣời bị bệnh.
b) Không tới 6 ngƣời bị bệnh B.
c) Số ngƣời bị bệnh trong khoảng 6 đến 12 ngƣời.
Giải
Gọi X là số ngƣời bị bệnh B trong 100 ngƣời đƣợc chọn.
Suy ra X B(100;0,1) với n 100 khá lớn, np 10 không nhỏ.
Do đó X N(10,9) .
a) 6,5 10 5,5 10
P(X 6) P(5,5 X 6,5)3 3
(1,5) (1,17) 0,533 0,479 0,054 .
5,5 10 10P(X 5) P( X 5,5)
3 3
(1,5) ( ) 0,433 0,5 0,067 .
b) 12,5 10 5,5 10
P(6 X 12) P(5,5 X 12,5)3 3
(0,83) (1,5) 0,433 0,297 0,730 .
4.3.4. Phân phối “Chi – bình phƣơng”
Giả sử 1 2 n
X , X , , X là n đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập và cùng có phân phối
chuẩn tắc.
Định nghĩa. Đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục 2 , đƣợc xác định nhƣ sau
2 2 2 2
1 2 nX X X , đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối “Chi – bình
phƣơng” với n bậc tự do và ký hiệu là 2 2(n) .
Các tham số đặc trƣng. 2M( ) n và 2D( ) 2n .
Ứng dụng. Giả sử 2 2(k) và 2P( a) thì các số dƣơng a thƣờng đƣợc sử
dụng để giải các bài toán ƣớc lƣợng hay kiểm định giả thiết trong thống kê toán. Số
127
dƣơng a trong trƣờng hợp này thƣờng đƣợc kí hiệu là 2 (k)
. Với k và cho trƣớc thì
2 (k)
có trị đƣợc trình bày trong bảng phụ lục số 4.
4.3.5. Phân phối Student
Giả sử 1 2 n
X , X , , X là n đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập và cùng có phân phối
chuẩn tắc.
Định nghĩa. Đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục 2 2 2
1 2 n
XT
X X X
n
, đƣợc gọi là
đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Student với n bậc tự do và ký hiệu là T T(n) .
Các tham số đặc trƣng. M(T) 0 và n
D(T)n 2
.
Ứng dụng. Giả sử T T(k) và P( T a) thì các số dƣơng a thƣờng đƣợc sử
dụng để giải các bài toán ƣớc lƣợng hay kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể khi
mẫu đƣợc xét có kích thƣớc nhỏ hơn 30. Số dƣơng a trong trƣờng hợp này thƣờng
đƣợc kí hiệu là t (k)
. Với k và cho trƣớc thì t (k)
có giá trị đƣợc trình bày trong
bảng phụ lục số 5.
128
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa, phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên.
2. Trình bày các quy luật phân phối xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên: Bảng phân
phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất.
3. Nêu định nghĩa và công thức tính các tham số đặc trƣng của đại lƣợng ngẫu
nhiên. Ý nghĩa của chúng.
4. Định nghĩa đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức, công thức tính xác suất
và một số ứng dụng.
5. Định nghĩa đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson, công thức tính xác suất
và một số ứng dụng.
6. Định nghĩa đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, công thức tính xác suất và
một số ứng dụng.
7. Nêu quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poison, cho ví dụ minh họa.
8. Nêu quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn, cho ví dụ minh họa.
129
BÀI TẬP
4.1. Một phòng điều trị có 6 bệnh nhân, 2 nam, 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 bệnh
nhân. Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng, phƣơng sai và độ lệch chuẩn của số
nữ bệnh nhân đƣợc chọn ra.
4.2. Một nữ y tá phụ trách 3 bệnh nhân. Xác suất để bệnh nhân cần đến sự chăm sóc
của y tá trong khoảng thời gian t tƣơng ứng là 0,1; 0,2; 0,3. Hãy lập bảng phân phối
xác suất, tìm hàm phân phối xác suất và tính độ lệch chuẩn của số bệnh nhân cần đến
sự chăm sóc của y tá trong khoảng thời gian t.
4.3. Một hộp thuốc tiêm có 10 lọ, trong đó có 2 lọ nhãn bị mờ. Chọn ngẫu nhiên 3
lọ để tiêm. Lập bảng phân phối xác suất và tìm phƣơng sai của số lọ bị mờ nhãn trong
3 lọ lấy ra.
4.4. Một địa phƣơng có tỷ lệ ngƣời mắc bệnh sốt rét là 0,03. Cần chọn ngẫu nhiên
để kiểm tra ít nhất bao nhiêu ngƣời ở địa phƣơng đó để gặp ít nhất một ngƣời bị sốt rét
với xác suất 0,99.
4.5. Giả sử chiều cao của trẻ em là một biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân
phối chuẩn N(1,3;0,1) . Tính xác suất để trẻ em có chiều cao nằm trong khoảng
(1,2;1,4) .
4.6. Xác suất để khỏi bệnh A khi dùng thuốc B là 3 4 . Có 5 ngƣời mắc bệnh A
dùng thuốc B. Tính xác suất để:
a) Có 3 nguời khỏi bệnh.
b) Có ít nhất 1 ngƣời khỏi bệnh.
4.7. Kích thƣớc một viên thuốc là đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với
1cm , 0,16 . Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một viên thuốc có kích thƣớc từ
0,8cm đến 1,2cm
4.8. Một xí nghiệp sản xuất thuốc cho biết có 10% số chai không đúng tiêu chuẩn.
Lấy 10 chai, tính xác suất để:
a) Có 1 chai không đúng tiêu chuẩn.
b) Có ít nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn.
c) Có nhiều nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn.
4.9. Một máy sản suất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 7%
a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất:
130
1) Có 1 sản phẩm hỏng?
2) Có ít nhất 1 sản phẩm hỏng?
3) Có nhiều nhất 1 sản phẩm hỏng?
b) Quan sát tối thiểu mấy sản phẩm để xác suất có ít nhất 1 sản phẩm hỏng lớn hơn
hoặc bằng 90%?
4.10. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh trung bình có 1 trƣờng hợp bị phản ứng
trên 1000. Ta lại dùng huyết thanh trên tiêm cho 2000 ngƣời. Tính xác suất để:
a) Có 3 ca bị phản ứng.
b) Nhiều nhất 3 ca bị phản ứng.
c) Hơn 3 ca bị phản ứng.
4.11. Tỷ lệ một bệnh bẩm sinh trong dân số là 1%. Bệnh này cần đƣợc chăm sóc
đặc biệt ngay từ lúc mới sinh. Một nhà bảo sinh thƣờng có 20 ca sinh trong một tuần
lễ. Tính xác suất để:
a) Không có ca nào cần đƣợc chăm sóc.
b) Có 1 trƣờng hợp.
c) Có nhiều hơn 1 trƣờng hợp cần đƣợc chăm sóc.
4.12. Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lƣợt là 10% và 7%. Giả sử các lô
thuốc này có rất nhiều lọ
a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng. Lấy
tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 1 lọ. Tính xác suất để lọ lấy ra là
hỏng. Giả sử lọ lấy ra là hỏng, tính xác suất để chọn đƣợc lô A?
c) Lấy ngẫu nhiên 50 lọ thuốc ở lô A. Tính xác suất để có 3 lọ hỏng?
4.13. Cho biết trọng lƣợng trẻ sơ sinh là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với kỳ vọng là 3,2kg và phƣơng sai 0,16kg2. Một trẻ sơ sinh đƣợc gọi là bình thƣờng
nếu trọng lƣợng từ 2,688 đến 3,721kg. Đo trọng lƣợng một cách ngẫu nhiên trên 100
trẻ sơ sinh. Tính xác suất để:
a) Có 85 trẻ bình thƣờng.
b) Có ít nhất 75 trẻ bình thƣờng.
4.14. Cho biết trọng lƣợng viên thuốc sản xuất tại xí nghiệp là đại lƣợng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 250mg, phƣơng sai là 8,1mg2. Thuốc đƣợc đóng
131
thành vĩ, mỗi vĩ 10 viên. Mỗi vĩ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lƣợng từ 2490mg đến
2510mg (đã trừ bao bì). Lấy ngẫu nhiên 100 vĩ để kiểm tra. Tính xác suất để:
a) Có 80 vĩ đạt tiêu chuẩn.
b) Có từ 70 vĩ trở lên đạt tiêu chuẩn.
4.15. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô có rất
nhiều lọ.
a) Lấy 3 lọ ở lô A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ (ở lô A)
để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95.
b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng.
c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Lập bảng phân phối xác
suất của X.
d) Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C. Ta mua ở cửa hàng 1
lọ về dùng. Tính xác suất đƣợc lọ tốt.
132
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
4.1.
X 1 2 3
P(X) 0,2 0,6 0,2
2; 0,4; 0,6325M X D X X
4.2.
X 0 1 2 3
P(X) 0,504 0,398 0,092 0,006
4.3.
X 0 1 2
P(X) 7/15 7/15 1/15
0,6; 0,3733; 0,611M X D X X
4.4. 152
4.5. 0,251
4.6. a) 0,263 b) 0,999902
4.7. 0,7888
4.8. a) 0,3874 b) 0,6513 c) 0,7361
4.9. a) 1) 0,3643 2) 0,516 3) 0,8483 b) 32
4.10. a) 0,1804 b) 0,8571 c) 0,1429
4.11. a) 0,8179 b) 0,1652 c) 0,0169
4.12. a) 0,271; 22 b) 0,085; 0,5882 c) 0,1387
4.13. a) 0,0525 b) 0,916
4.14. a) 0,03 b) 0,849
4.15. a) 0,271; 29 b) 0,2927
c) d) 0,896
133
X 0 1 2 3
P(X) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
134
Chƣơng 5. THỐNG KÊ
Mục đích yêu cầu
Chƣơng này trình bày các kiến thức cơ bản về: lý thuyết mẫu, bài toán ƣớc lƣợng và
kiểm định các tham số đặc trƣng của tổng thể.
Sinh viên cần nắm vững một cách có hệ thống kiến thức trên, sử dụng linh hoạt các
kiến thức để giải quyết các bài toán về:
Tính các tham số đặc trƣng của mẫu.
Ƣớc lƣợng trung bình và tỷ lệ tổng thể.
Tìm độ tin cậy và kích thƣớc mẫu trong bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ và ƣớc lƣợng
trung bình.
Kiểm định giả thiết về trung bình và tỷ lệ tổng thể.
Mở đầu
Giả sử muốn nghiên cứu về chiều cao ngƣời Việt Nam. Phƣơng pháp chính xác nhất
là đo chiều cao của tất cả mọi ngƣời, ghi lại số liệu và từ đó có thể tính đƣợc chiều cao
trung bình, độ phân tán, tỷ lệ số ngƣời có chiều cao trong khoảng (a,b),… Tuy nhiên,
trên thực tế ta không thể làm đƣợc điều đó vì số liệu quá nhiều.
Thống kê học đề nghị một phƣơng pháp là quan sát ngẫu nhiên một số trƣờng hợp
gọi là mẫu và trên cơ sở số liệu quan sát này ta suy rộng ra cho toàn thể. Muốn cho sự
suy rộng không bị sai lầm thì mẫu phải đại diện cho tổng thể, muốn vậy việc lấy mẫu
phải đƣợc thực hiện sao cho mọi cá thể có cơ hội đồng đều để đƣợc quan sát.
5.1. Lý thuyết mẫu
5.1.1. Khái niệm cơ bản
Tổng thể: là tập hợp có các phần tử là đối tƣợng ta nghiên cứu.
Chẳng hạn ta cần khảo sát trọng lƣợng của trẻ sơ sinh Việt Nam thì tổng thể là tất cả
trẻ sơ sinh ở Việt Nam. Khi nghiên cứu hàm lƣợng thuốc của một lô thuốc sản xuất
nào đó thì tổng thể là tất cả số thuốc của lô thuốc đó,…
Mẫu: là tập hợp gồm n phần tử đƣợc chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn đề của
tổng thể, n đƣợc gọi là kích thƣớc mẫu. Chẳng hạn cần khảo sát trọng lƣợng của trẻ sơ
sinh ở Việt Nam, ngƣời ta chọn ra 200 trẻ sơ sinh ở Việt Nam để cân thì ta đƣợc một
mẫu có kích thƣớc là 200.
5.1.2. Phân loại mẫu
135
5.1.2.1. Mẫu tổng quát và mẫu cụ thể
Xét một mẫu có kích thƣớc n. Khi khảo sát ngẫu nhiên dấu hiệu X của tổng thể tại
phần tử thứ i của mẫu thì ta đƣợc đại lƣợng ngẫu nhiên ký hiệu là Xi (i 1,2, ,n) .
Khi đó đại lƣợng ngẫu nhiên n chiều 1 2 n
(X ,X , ,X ) đƣợc gọi là mẫu tổng quát.
Mỗi giá trị có thể nhận 1 2 n
(x ,x , ,x ) của mẫu tổng quát đƣợc gọi là một mẫu cụ thể.
5.1.2.2. Mẫu định tính và mẫu định lƣợng
Mẫu 1 2 n
(x ,x , ,x ) trong đó xi chỉ nhận một trong hai giá trị 0 và 1 đƣợc gọi là mẫu
định tính. Nhƣ vậy, mẫu định tính là mẫu mà dấu hiệu X ta nghiên cứu trên mẫu là tính
chất A. Khi khảo sát cụ thể tính chất A trên từng phần tử của mẫu, phần tử nào có tính
chất A thì giá trị là 1, ngƣợc lại là 0.
Trong thực tế mẫu định tính thƣờng đƣợc xác định bằng hai số nguyên: n là kích
thƣớc mẫu và m là số phần tử của mẫu có tính chất A.
Mẫu 1 2 n
(x ,x , ,x ) , trong đó xi nhận một giá trị thực tùy ý, đƣợc gọi là mẫu định
lƣợng. Nhƣ vậy, mẫu định lƣợng là mẫu có dạng vector n chiều 1 2 n
(x ,x , ,x ) , trong
đó xi là kết quả khảo sát cụ thể dấu hiệu X tại phần tử thứ i của mẫu.
Trong thực tế, khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n:
1 2 n(x ,x , ,x )và thƣờng lập bảng số liệu theo các dạng sau:
Dạng 1: Liệt kê dƣới dạng: 1 2 n
(x ,x , ,x ) trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều
lần.
Dạng 2: Lập bảng có dạng:
xi x1 x2 ... xk
ni n1 n2 ... nk
Trong đó x1 < x2 <...< xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần.
Dạng 3: Lập bảng có dạng:
xi x1 – x2 x2 – x3 ... xk – xk+1
ni n1 n2 ... nk
Trong đó x1 < x2 <...< xk < xk+1 là các kết quả khảo sát cụ thể của dấu hiệu X trên
các phần tử của mẫu, ni là tần số của xi.
136
Chú ý. Khi xử lý số liệu ta sẽ đƣa số liệu về dạng 2. Có thể đƣa dạng 1 về dạng 2
bằng cách thống kê lại. Dạng 3 đƣợc đƣa về dạng 2 bằng cách thay các khoảng
i i 1x x
bằng giá trị trung bình của hai đầu mút i i 1
i
x xx
2
.
5.1.3. Các tham số đặc trƣng của mẫu
5.1.3.1. Tỷ lệ mẫu
Định nghĩa. Cho mẫu có kích thƣớc n, trong đó có m phần tử có tính chất A, khi đó
tỷ lệ mẫu là một số đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau: m
fn
.
Ví dụ 5.1. Nghiên cứu về nam sinh viên trong một khoa, ngƣời ta khảo sát ngẫu
nhiên 100 sinh viên thì thấy có 80 sinh viên nam. Tỉ lệ nam sinh viên trong số sinh
viên đƣợc khảo sát đƣợc coi là tỉ lệ mẫu và đƣợc tính nhƣ sau:
80f 0,8
100 .
5.1.3.2. Trung bình mẫu - Phƣơng sai mẫu
Định nghĩa. Trung bình mẫu của mẫu 1 2 n
(x ,x , ,x ) là một số đƣợc xác định nhƣ
sau
k
i i1 1 2 2 k k i 1
x nx n x n x n
xn n
.
Phương sai mẫu là một số không âm đƣợc xác định nhƣ sau: 2 2 2s x x .
Trong đó
k2
2 2 2 i i2 1 1 2 2 k k i 1
x nx n x n x n
xn n
.
Với phƣơng sai mẫu, ta còn có các số đặc trƣng liên quan nhƣ phương sai mẫu
hiệu chỉnh kí hiệu là 2s , độ lệch mẫu đƣợc kí hiệu là s , độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí
hiệu là s và đƣợc xác định nhƣ sau:
2 2nˆs s
n 1
2ˆ ˆs s 2s s
Ví dụ 5.2. Tính các số đặc trƣng của mẫu sau:
X 5 10 15 20
ni 17 28 30 25
137
Giải
Ta có:
5 17 10 28 15 30 20 25x 13,15
100
;
2 2 2 2
2 5 17 10 28 15 30 20 25x 199,75
100
;
22s 199,75 13,15 26,8275
22 n 100 26,8275
s s 27,0985n 1 99
;
2
s s 26,8275 5,1795 ;
2s s 27,0985 5,2056 .
Chú ý. Khi xét mẫu tổng quát (X1, X2, … , Xn), thì trung bình mẫu, phƣơng sai
mẫu, phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu tổng quát là các đại lƣợng ngẫu nhiên đƣợc
ký hiệu và xác định lần lƣợt nhƣ sau:
1 2 nX + X + ... + X
Xn
;
2 2 22
1 2 n(X X ) + (X X) + ... + (X X)
Sn
;
2 2 2
2 1 2 n(X X ) + (X X) + ... + (X X)
Sn 1
.
Ngƣời ta chứng minh đƣợc: Nếu đại lƣợng ngẫu nhiên X của tổng thể có phân phối
chuẩn X N( ; 2), thì trung bình mẫu của mẫu có kích thƣớc n cũng là đại lƣợng
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn XN( ; 2
n
).
5.1.4. Phƣơng pháp tính các số đặc trƣng của mẫu bằng bảng
Cho mẫu định lƣợng dƣới dạng bảng nhƣ sau:
X x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
138
Khi k khá lớn thì việc tính các đặc trƣng của mẫu đó bằng các công thức nêu trên
thƣờng dễ có sai sót. Để tránh các sai sót có thể xảy ra trong tính toán, ngƣời ta thƣờng
tính các đặc trƣng của mẫu đó bằng phƣơng pháp lập bảng nhƣ sau:
5.1.4.1. Phƣơng pháp tính trực tiếp
Bƣớc 1: Từ mẫu đã cho ta lập một bảng gồm 4 cột nhƣ sau
xi ni xini xi2ni
x1
x2
…
xk
n1
n2
…
nk
x1n1
x2n2
…
xknk
x12n1
x22n2
…
xk2nk
n X 2
X
Bƣớc 2: Từ bảng trên áp dụng công thức ta tính đƣợc các tham số đặc trƣng cần
tìm.
Ví dụ 5.3. Tính các tham số đặc trứng của mẫu sau:
xi 10,1 10,2 10,4 10,5 10,7 10,8 10,9 11 11,3 11,4
ni 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1
Giải
xi ni xini xi2ni
10,1
10,2
10,4
10,5
10,7
10,8
10,9
2
3
8
13
25
20
12
20,2
30,6
83,2
136,5
267,5
216,0
130,8
204,02
312,12
865,28
1433,25
2862,25
2332,80
1425,72
139
11
11,3
11,4
10
6
1
110,0
67,8
11,4
1210,00
766,14
129,96
100 1074,0 11541,54
Ta đƣợc: 2
i i i in 100; x n 1074; x n 11541,54 ;
k
i ii 1
x n1074
x 10,74n 100
;
k2
i i2 i 1
x n11541,54
x 115,4154n 100
;
2 2 2 2s x x 115,4151 10,74 0,0678 ; 2 2n 100ˆs s 0,0678 0,06848
n 1 99
;
2ˆ ˆs s 0,0678 0,2604 ; 2s s 0,06848 0,2617 .
5.1.4.2. Phƣơng pháp đổi biến số
Bƣớc 1. Từ mẫu đã cho, ta thực hiện phép biến đổi theo công thức sau
i 0
i
x xu (i 1,2, ,k)
h
Trong đó x0 là giá trị xi ứng với tần số ni lớn nhất và h là khoảng cách nhỏ nhất
giữa các giá trị xi trong mẫu.
Bƣớc 2. Lập bảng gồm 5 cột nhƣ sau:
xi ui ni uini ui2ni
x1
x2
…
xk
u1
u2
…
uk
n1
n2
…
nk
u1n1
u2n2
…
uknk
u12n1
u22n2
…
uk2nk
n u 2u
Bƣớc 3: Tính các tham số đặc trƣng theo công thức sau
0
uu x uh x
n
;
2
2 2 2 2 2uˆu s (u u )h
n
.
140
Ví dụ 5.4. Định lƣợng Glucoza trong máu của 100 ngƣời bình thƣờng, thu đƣợc kết
quả (mg/lít huyết thanh):
Khoảng Glucoza Số ngƣời Khoảng
Glucoza Số ngƣời
65 – 70
70 – 75
75 – 80
80 – 85
85 – 90
90 – 95
95 – 100
1
0
2
5
8
16
18
100 – 105
105 – 110
110 – 115
115 – 120
120 – 125
125 – 130
17
16
9
5
2
1
Tính các tham số đặc trƣng của mẫu.
Giải
Đổi biến i
i
x 97,5u
5
với h 5 và lập bảng sau:
xi ui ni uini ui2ni
65 – 70
70 – 75
75 – 80
80 – 85
85 – 90
90 – 95
95 – 100
100 – 105
105 – 110
110 – 115
115 – 120
120 – 125
125 – 130
67,5
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
97,5
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1
0
2
5
8
16
18
17
16
9
5
2
1
-6
0
-8
-15
-16
-16
0
17
32
27
20
10
6
36
0
32
45
32
16
0
17
64
81
80
50
36
Tổng 100 51 489
Từ đó ta tính đƣợc các tham số đặc trƣng của mẫu nhƣ sau:
51u 0,51 x 0,51.5 97,5 100,05
100 ;
2 2 2489u 4,89 s [4,89 0,51].5 115,7475
100 ;
141
2 100s 115,7475 113,6642 s 10,6613
99 .
5.1.5. Phƣơng pháp tính các tham số đặc trƣng của mẫu bằng máy tính
Ví dụ 5.5. Tính các tham số đặc trƣng của mẫu sau:
X 25 30 33 34 35 36 37 39 40
N 6 13 38 74 106 85 30 10 3
Giải
Đối với Casio FX570ES
Nhập số liệu
- Ấn các phím: Shift Mode 4 1
- Ấn các phím: Mode 3
- Ấn các phím: 1 1-Var
Hiện ra bảng:
X Freq
Dùng phím Replay để di chuyển qua lại giữa 2 cột x và freq
Nhập cột x: 25 =
30 =
33 =
34 =
35 =
36 =
37 =
39 =
40 =
Nhập cột freq: Dùng phím Replay di chuyển qua cột freq, dòng 25
6 =
13 =
142
38 =
74 =
106 =
85 =
30 =
10 =
3 =
Nhập xong ấn phím AC.
Xem kết quả
- Ấn các phím: Shift 1 5 1 = n 365 (cỡ mẫu)
- Ấn các phím: Shift 1 5 2 = x 34,795 (tạ/ha)
- Ấn các phím: Shift 1 5 3 = s 2,069 (độ lệch mẫu)
- Ấn các phím: Shift 1 5 4 = s 2,072 (độ lệch mẫu hiệu chỉnh)
Chú ý. Khi nhập số liệu ta có thể dùng các phím để:
- Xóa một dòng dữ liệu: di chuyển đến dòng cần xóa và ấn phím Del.
- Chèn thêm một dòng dữ liệu: di chuyển đến dòng cần chèn và nhấn các phím:
Shift 1 3 1 Ins
- Xóa toàn bộ nội dung đã nhập:
Shift 1 3 2 Del – A
Đối với các loại máy fx-500MS, fx-350MS, fx-350TL, fx-570MS.
Nhập các số liệu:
- Ấn các phím: MODE 2 hoặc MODE MODE 2 để chuyển máy sang chế độ SD
- Ấn các phím: 25 Shift , 6 data (phím M+)
- Ấn các phím: 30 Shift , 13 data
- Ấn các phím: 33 Shift , 38 data
- Ấn các phím: 34 Shift , 74 data
- Ấn các phím: 35 Shift , 106 data
- Ấn các phím: 36 Shift , 85 data
- Ấn các phím: 37 Shift , 30 data
- Ấn các phím: 39 Shift , 10 data
- Ấn các phím: 40 Shift , 3 data
Xem kết quả
143
- Ấn các phím: Shift S-VAR 1 = x 34,795
- Ấn các phím: Shift S-VAR 2 = s 2,069
- Ấn các phím: Shift S-VAR 3 = s 2,072
Chú ý. Xóa SD bằng lệnh SHIFT MODE 2 =
Đối với các loại máy fx-220MS, fx-500A, fx-95, fx-82super.
Nhập số liệu
- Ấn các phím: MODE . (dấu chấm) để đƣa máy về chế độ SD
- Ấn các phím: Shift Sac 25x6 data (phím M+)
- Ấn các phím: 30x13 data
- Ấn các phím: 33x38 data
- Ấn các phím: 34x74 data
- Ấn các phím: 35x106 data
- Ấn các phím: 36x85 data
- Ấn các phím: 37x30 data
- Ấn các phím: 39x10 data
- Ấn các phím: 40x3 data
Xem kết quả
- Ấn các phím: Shift n 365
- Ấn các phím: Shift x 34,795
- Ấn các phím: Shift s 2,069
- Ấn các phím: Shift s 2,072
Chú ý. Xóa SD bằng lệnh: MODE 0
5.2. Ƣớc lƣợng các tham số đặc trƣng của tổng thể
Ước lượng là phỏng đoán một giá trị chƣa biết bằng cách dựa vào quan sát mẫu.
Thông thƣờng ta cần ƣớc lƣợng giá trị trung bình, tỷ lệ, phƣơng sai, hệ số tƣơng
quan... Ở đây trình bày các kết quả của ƣớc lƣợng khoảng – Phƣơng pháp khoảng tin
cậy.
Phƣơng pháp. Để ƣớc lƣợng số đặc trƣng của dấu hiệu X, ta chọn thống kê
1 2 nG G(X ,X , ,X , ) của mẫu tổng quát
1 2 n(X ,X , ,X ) .
Với là số không âm khá bé (thƣờng lấy 0,05 ), ngƣời ta tìm đƣợc các số thực
1 2g ,g sao cho:
1 2P(g G g ) 1 , hay
1 2P(G G ) 1 .
144
Khi đó khoảng ngẫu nhiên 1 2
(G ,G ) đƣợc gọi là khoảng tin cậy của . Số thực
1 đƣợc gọi là độ tin cậy của ƣớc lƣợng, số thực là xác suất mắc sai lầm của ƣớc
lƣợng.
Chọn một mẫu cụ thể 1 2 n
(x ,x , ,x ) , ta tính đƣợc 1 1 1 2 n
G (x ,x , ,x ) và
2 2 1 2 nG (x ,x , ,x ) . Khoảng số thực
1 2( , ) đƣợc gọi là khoảng ƣớc lƣợng của
với độ tin cậy 1 . Dƣới đây là các bài toán ƣớc lƣợng các số đặc trƣng của tổng thể
bằng phƣơng pháp khoảng tin cậy.
5.2.1. Bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ tổng thể
Bài toán 1. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p. Xét một mẫu có kích
thƣớc n và tính đƣợc tỷ lệ mẫu là f. Hãy tìm khoảng ƣớc lƣợng của tỷ lệ tổng thể p với
độ tin cậy 1 cho trƣớc?
Cách giải
Gọi p là tỷ lệ tổng thể, từ mẫu đã cho ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 1 .
Bƣớc 1. Với độ tin cậy 1 , ta tìm số t từ công thức: 1 2 (t )
.
Tra bảng phụ lục số 2, ta đƣợc giá trị t cần tìm.
Bƣớc 2. Tính độ chính xác của ƣớc lƣợng theo công thức: f (1 f )
tn
.
Bƣớc 3. Kết luận: Khoảng ƣớc lƣợng của p có dạng: f p f
Ví dụ 5.6. Quan sát ngẫu nhiên 200 lọ thuốc trong một lô hàng rất nhiều, ta thấy có
17 lọ không đạt tiêu chuẩn. Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn với độ tin
cậy 95%?
Giải
Gọi p là tỷ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn, ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 95%.
Ta có: n 200; m 17; f 0,085; 1 0,95 .
Từ công thức: 1 0,95
1 2 (t ) (t ) 0,475 t 1,962 2
.
Độ chính xác của ƣớc lƣợng: f (1 f ) 0,085(1 0,085)
t 1,96 0,0387n 200
.
Suy ra khoảng ƣớc lƣợng của p là: 0,0463 p 0,1237 .
Vậy, tỷ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn từ 4,63% đến 12,37% với độ tin cậy 95%.
145
Ví dụ 5.7. Một vùng có 2000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu sử dụng một loại
thuốc tân dƣợc tại vùng đó, ngƣời ta tìm hiểu ngẫu nhiên 100 hộ gia đình và thấy có 60
gia đình có nhu cầu sử dụng loại thuốc trên. Hãy ƣớc lƣợng số hộ gia đình trong vùng
có nhu cầu sử dụng loại thuốc tân dƣợc trên với độ tin cậy 95%.
Giải
Ta có: n 100, m 60 f 0,6; 1 0,95; N 2000 .
Gọi M là số gia đình có nhu cầu sử dụng thuốc tân dƣợc.
Gọi p là tỷ lệ gia đình có nhu cầu sử dụng thuốc tân dƣợc.
Suy ra M
p2000
.
Bƣớc 1. Ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 95%.
Ta có 1 0,95
1 2 (t ) (t ) 0,4752 2
, tra bảng ta đƣợc t 1,96
.
Độ chính xác của ƣớc lƣợng f (1 f ) 0,6(1 0,6)
t 1,96 0,096n 100
.
Suy ra 0,504 p 0,696 .
Bƣớc 2. Ta ƣớc lƣợng M.
Mà M M
p 0,504 0,696 1008 M 13922000 2000
.
Vậy, số gia đình trong vùng có nhu cầu sử dụng thuốc tân dƣợc là từ 1008 đến 1392
(gia đình) với độ tin cậy 95%.
5.2.2. Bài toán ƣớc lƣợng trung bình tổng thể
Bài toán 2. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể . Xét một mẫu có
kích thƣớc n và tính đƣợc trung bình mẫu x , độ lệch mẫu hiệu chỉnh là s. Hãy tìm
khoảng ƣớc lƣợng của trung bình tổng thể với độ tin cậy 1 cho trƣớc?
Cách giải
Gọi là trung bình tổng thể. Ta sẽ ƣớc lƣợng với độ tin cậy 1 .
Bƣớc 1. Với độ tin cậy 1 , ta tìm số t theo một trong hai trƣờng hợp sau:
TH1. Nếu n 30 thì t đƣợc xác định theo công thức: 1 2 (t )
.
Tra bảng phụ lục số 2, ta đƣợc giá trị t cần tìm.
146
TH2. Nếu n 30 và dấu hiệu X nghiên cứu trên tổng thể đƣợc xem là đại lƣợng
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, thì t đƣợc xác định theo công thức: t t (k)
.
Trong đó k n 1 và đƣợc suy ra từ độ tin cậy 1 . Tra bảng phụ lục 5 ta
đƣợc t cần tìm.
Bƣớc 2. Tính độ chính xác của ƣớc lƣợng theo công thức: s
tn
.
Bƣớc 3. Kết luận: Khoảng ƣớc lƣợng của là: x x .
Ví dụ 5.8. Kiểm nghiệm hàm lƣợng vitamin B1(mg/viên) của thuốc B1 viên ở một
cơ sở sản xuất, thu đƣợc kết quả sau:
Hàm lƣợng 48,5 49 49,5 50 50,5 51
Số viên 1 6 7 9 5 3
Hãy ƣớc lƣợng hàm lƣợng vitamin B1 trung bình của thuốc viên B1 ở cơ sở sản xuất
trên với độ tin cậy 95%.
Giải
Từ mẫu đã cho ta tính đƣợc: n 31; x 49,82; s 0,6544; 1 0,95 .
Gọi hàm lƣợng vitamin B1 trung bình của thuốc viên B1 ở cơ sở sản xuất. Ta sẽ
ƣớc lƣợng với độ tin cậy 95%.
Vì n 31 30 nên 1 0,95
1 2 (t ) (t ) 0,475 t 1,962 2
.
Độ chính xác của ƣớc lƣợng: s 0,6544
t 1,96 0,23n 31
.
Do đó: x x 49,59 50,05 .
Vậy, hàm lƣợng vitamin B1 trung bình của thuốc viên B1 ở cơ sở sản xuất từ 49,59
đến 50,05(mg) với độ tin cậy 95%.
Ví dụ 5.9. Đo lƣợng huyết tố cầu (X cg/l) của một số ngƣời bị bỏng có kết quả nhƣ
sau:
X 70–75 75–80 80–85 85–90 90–95 95–100 100–105
Số N 5 30 20 25 10 5 5
a) Ƣớc lƣợng lƣợng huyết tố cầu trung bình của ngƣời bị bỏng với độ tin cậy 95%.
147
b) Những ngƣời có lƣợng huyết tố cầu từ 90 cg/l trở lên là ngƣời bị bỏng nhẹ. Hãy
ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời bị bỏng nhẹ với độ tin cậy 98%.
Giải
a) Ta có: n 100,X 84,5(cg / l),s 7,521 .
Gọi là lƣợng huyết tố cầu trung bình. Ta sẽ ƣớc lƣợng với độ tin cậy 95%.
Vì n 100 30 nên 1 0,95
1 2 (t ) (t ) 0,475 t 1,962 2
.
Ta có: s 7,521
t 1,96 1,4741n 100
.
Vậy, khoảng ƣớc lƣợng trọng lƣợng trung bình của bé gái là (83,0259;85,9741)
(cg/l) với độ tin cậy 95%.
b) Gọi p là tỷ lệ ngƣời bị bỏng nhẹ. Ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 98%.
Ta có: n 100, f 0,2, 1 0,98 .
Suy ra: 1 0,95
1 2 (t ) (t ) 0,4752 2
, tra bảng ta đƣợc t 2,33
.
Do đó: f (1 f ) 0,2(1 0,2)
t 2,33 0,0932n 100
.
Vậy, khoảng ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời bị bỏng nhẹ với độ tin cậy 99% là
p (0,1068;0,2932) .
5.2.3. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng tỷ lệ
Bài toán 3. Cho mẫu có kích thƣớc n và tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm độ tin cậy của phép
ƣớc lƣợng tỷ lệ tổng thể p với độ chính xác cho trƣớc.
Cách giải
Ta có f (1 f ) n
t tn f (1 f )
.
Với độ chính xác và mẫu đã cho, ta tính đƣợc t. Tra bảng phụ lục 2 ta tìm đƣợc
(t )
. Từ đó ta suy ra độ tin cậy cuả ƣớc lƣợng bằng công thức 1 2 (t )
.
Ví dụ 5.10. Để ƣớc lƣợng tỉ lệ phế phẩm trong các sản phẩm sản xuất tại một xí
nghiệp, ngƣời ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của xí nghiệp đó thì thấy có 40 phế
phẩm.
148
a) Hãy ƣớc lƣợng tỉ lệ phế phẩm của xí nghiệp đó với độ tin cậy 95%?
b) Nếu muốn phép ƣớc lƣợng tỉ lệ phế phẩm có độ chính xác là 2% thì độ tin cậy
của ƣớc lƣợng đó phải là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của xí nghiệp. Ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 95%.
Do độ tin cậy của ƣớc lƣợng p là 0,95 nên t = 1,96.
Theo giả thiết bài toán, ta có mẫu để ƣớc lƣợng p có kích thƣớc n = 400 và tỉ lệ mẫu
là f = 0,1. Do đó độ chính xác của ƣớc lƣợng p là: 0,1(1 0,1)
1,96 0,0294400
.
Vậy, khoảng ƣớc lƣợng của p là p(0,0706 ; 0,1294).
Nhƣ vậy, với độ tin cậy 95%, ta có thể dự đoán tỉ lệ phế phẩm của kho hàng là từ
7,06% đến 12,94%.
b) Do phép ƣớc lƣợng tỉ lệ phế phẩm p có độ chính xác 2% nên:
f (1 f ) n 400t t 0,02 1,33
n f (1 f ) 0,1(1 0,1)
.
Do đó ta có: 1 – = 2(1,33) = 20,4082 = 0,8164.
Nhƣ vậy, nếu muốn phép ƣớc lƣợng tỉ lệ phế phẩm có độ chính xác là 2%, thì độ tin
cậy của ƣớc lƣợng đó phải là 81,64%.
5.2.4. Bài toán xác định độ tin cậy trong ƣớc lƣợng trung bình
Bài toán 4. Cho mẫu có kích thƣớc n và độ lệch mẫu hiệu chinh s. Hãy tìm độ tin
cậy của phép ƣớc lƣợng trung bình tổng thể với độ chính xác cho trƣớc.
Cách giải
Ta có s n
t tsn
.
Với độ chính xác và mẫu đã cho, ta tính đƣợc t. Từ đó ta tìm đƣợc độ tin cậy
của phép ƣớc lƣợng theo một trong hai trƣờng hợp sau:
1. Nếu n 30 thì độ tin cậy của ƣớc lƣợng đƣợc tính bằng công thức:
1 2 (t )
.
149
2. Nếu n 30 thì độ tin cậy của ƣớc lƣợng đƣợc tính bằng công thức: t t (n 1)
Tra bảng phụ lục 5 ta đƣợc từ đó suy ra 1 cần tìm.
Chú ý. Nếu dấu hiệu X nghiên cứu trên tổng thể đƣợc coi là đại lƣợng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với phƣơng sai là 2 , thì ta thay độ lệch mẫu hiệu chỉnh s trong
công thức trên bằng .
Ví dụ 5.11. Để ƣớc lƣợng điểm thi môn toán trong kỳ thi tuyển sinh vào một trƣờng
đại học, các giám khảo chấm thử 100 bài thi và tính đƣợc điểm trung bình là 5 với độ
lệch đã điều chỉnh là 2,5 điểm.
a) Hãy ƣớc lƣợng điểm trung bình môn toán tại trƣờng đại học đó với độ tin cậy
95%?
b) Nếu muốn phép ƣớc lƣợng điểm trung bình môn toán có độ chính xác 0,25 điểm
thì độ tin cậy của ƣớc lƣợng đó phải là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi là điểm trung bình môn toán trong kỳ thi tuyển sinh tại trƣờng đại học đó.
Ta sẽ ƣớc lƣợng với độ tin cậy 95%.
Ta có mẫu để ƣớc lƣợng có kích thƣớc n = 100, trung bình mẫu x = 46 và độ lệch
mẫu hiệu chỉnh s = 2,5.
Do n = 100 và độ tin cậy của ƣớc lƣợng là 0,95 nên t = 1,96.
Do đó độ chính xác của ƣớc lƣợng là: 2,5
1,96 0,49100
.
Vậy, khoảng ƣớc lƣợng của là (4,51 ; 5,49).
Nhƣ vậy, với độ tin cậy 95%, ta có thể dự đoán điểm trung bình môn toán trong kỳ
thi tuyển sinh tại trƣờng đại học đó là từ 4,51 đến 5,49 điểm.
b) Do độ chính xác của ƣớc lƣợng là = 0,25 nên:
s n 100t t 0,25 1
s 2,5n
.
Do đó độ tin cậy của ƣớc lƣợng là: 1 – = 2(1) = 20,3413 = 0,6826.
Ví dụ 5.12. Trọng lƣợng các bao gạo bán tại một cửa hàng lƣơng thực là một đại
lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phƣơng sai là 2 = 0,25.
150
a) Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo tại cửa hàng đó thì thấy trọng lƣợng trung bình
là 48kg. Hãy ƣớc lƣợng trọng lƣợng trung bình của các bao gạo tại cửa hàng đó với độ
tin cậy 99%?
b) Nếu ƣớc lƣợng trên có độ chính xác 200g thì độ tin cậy là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi là trọng lƣợng trung bình của các bao gạo tại cửa hàng đó. Ta sẽ ƣớc lƣợng
với độ tin cậy 99%.
Ta có mẫu để ƣớc lƣợng có kích thƣớc n = 20, trung bình mẫu x = 48. Nên với
độ tin cậy 0,99 ta có: t = t0,01(20 – 1) = t0,01(19) = 2,86.
Do đó độ chính xác của ƣớc lƣợng là: 0,5
t 2,86 0,3198n 20
.
Vậy, khoảng ƣớc lƣợng của là (47,6802 ; 48,3198).
Nhƣ vậy, với độ tin cậy 99%, ta có thể dự đoán trọng lƣợng trung bình của các bao
gạo tại cửa hàng đó là từ 47,6802kg đến 48,3198kg.
b) Ta có độ chính xác của ƣớc lƣợng là = 0,2 nên:
n 20t t 0,2 1,79
0,5n
.
Tra bảng phụ lục 5 ta có: t0,09(19) = 1,79 = 0,09.
Do đó độ tin cậy của ƣớc lƣợng là: 1 – = 1 – 0,09 = 0,91.
5.2.5. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng tỷ lệ
Bài toán 5. Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm kích thƣớc mẫu (ở đây kích thƣớc mẫu
khá lớn) để có phép ƣớc lƣợng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 và độ chính xác
cho trƣớc.
Cách giải
Nếu gọi N là kích thƣớc mẫu để có phép ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 1 và độ
chính xác .
Khi đó N đƣợc tính theo công thức: 2
2
f (1 f )N t 1
.
Trong đó t đƣợc suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1 2 (t )
.
151
Ví dụ 5.13. Quan sát ngẫu nhiên 200 ngƣời ở vùng đồng bằng sông Cửu Long thấy
có 24 ngƣời mắc bệnh sốt rét.
a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ bệnh sốt rét p ở đồng bằng sông Cửu Long với độ tin cậy
95%.
b) Muốn độ chính xác của ƣớc lƣợng không quá 0,03 với độ tin cậy 95% thì cần
quan sát ít nhất mấy ngƣời?
c) Nếu phép ƣớc lƣợng tỷ lệ bệnh sốt rét này có độ chính xác 5% thì độ tin cậy của
ƣớc lƣợng là bao nhiêu?
Giải
a) Gọi p là tỷ lệ bệnh sốt rét, ta sẽ ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 95%.
Ta có: n 200; m 24; f 0,12; t 1,96
.
Độ chính xác của ƣớc lƣợng: f (1 f ) 0,12(1 0,12)
t 1,96 0,045n 200
.
Kết luận: Khoảng ƣớc lƣợng của p là: 0,075 p 0,165 .
b) Ta có n 200; m 24; f 0,12; t 1,96; 0,03
.
2 2
2 2
1 0,12 1 0,121 1,96 1 451
0,03
f fN t
.
Vậy, cần quan sát ít nhất 451 trƣờng hợp.
c) Ta có: n 200; m 24; f 0,12; 0,05 .
n 200t 0,05 2,18
f (1 f ) 0,12(1 0,12)
.
Suy ra (t ) 0,4854 1 97,08%
.
Vậy, độ tin cậy cần tìm là 97,08%.
5.2.6. Bài toán xác định kích thƣớc mẫu trong ƣớc lƣợng trung bình
Bài toán 6. Cho mẫu có phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh là s2. Hãy tìm kích thƣớc mẫu
(ở đây kích thƣớc mẫu khá lớn) để có phép ƣớc lƣợng trung bình tổng thể với độ tin
cậy 1 và độ chính xác cho trƣớc.
Cách giải
Nếu gọi N là kích thƣớc mẫu để có phép ƣớc lƣợng với độ tin cậy 1 và độ
chính xác . Khi đó N đƣợc tính theo công thức: 2
2
2
sN t 1
.
Trong đó, t đƣợc suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1 2 (t )
.
152
Ví dụ 5.14. Phỏng vấn 5 gia đình có 4 ngƣời ở một vùng về chi phí hàng tháng cho
nhu yếu phẩm, thu đƣợc các số liệu sau (nghìn đồng): 700, 730, 850, 930, 990. Vậy,
phải phỏng vấn bao nhiêu gia đình cùng loại để với độ tin cậy 95% độ chính xác của
việc ƣớc lƣợng khoảng tin cậy của chi phí trung bình hàng tháng cho nhu yếu phẩm
không vƣợt quá 60 ngàn đồng.
Giải
Ta có: 2n 5, x 840, s 15600, 60 .
Với độ tin cậy 1 0,95 0,05 và k n 1 4 .
Suy ra: k 4
t ( ) t (0,05) 2,78 .
Tính 2
2
2
sN t 1 34
.
Vậy, phải phỏng vấn ít nhất 34 gia đình, nghĩa là cần phỏng vấn thêm ít nhất 29 (gia
đình).
5.3. Kiểm định giả thiết thống kê
Mở đầu
Tỷ lệ bệnh A trong dân số là 20%. Một chƣơng trình điều trị bệnh A đƣợc tiến
hành. Sau một thời gian nhất định, ngƣời ta chọn ngẫu nhiên một mẫu 100 ngƣời trong
dân số đó và khám thấy có 12 ngƣời bị bệnh A. Vấn đề đặt ra là sau khi thực hiện
chƣơng trình điều trị bệnh A, tỷ lệ bệnh A trong dân số có thực sự khác 20% không?.
Câu hỏi Nhƣ vậy dẫn đến một bài toán nêu lên một nghi ngờ cần phải khẳng định,
hoặc phải đƣa ra kết luận của một vấn đề kinh tế, kỹ thuật, … liên quan đến các số đặc
trƣng, luật phân phối xác suất của X hoặc tính độc lập của hai dấu hiệu X và Y đƣợc
gọi là bài toán kiểm định giả thiết thống kê.
Để giải một bài toán kiểm định giả thiết thống kê, ta có thể tiến hành theo ba bƣớc
sau:
Bƣớc1. Đặt giả thiết thống kê.
Từ câu hỏi của bài toán liên quan đến các số đặc trƣng, luật phân phối xác suất của
X hoặc tính độc lập của hai dấu hiệu X và Y, ta đặt giả thiết thống kê H sao cho khi
chấp nhận hay bác bỏ giả thiết H ta sẽ trả lời đƣợc câu hỏi của bài toán.
Giả thiết thống kê H liên quan đến số đặc trƣng của dấu hiệu X trên tổng thể
thƣờng đƣợc đặt dƣới dạng: H : = 0 ; H : 0.
153
Trong đó H là giả thiết đối của H (Khi kiểm định một phía, giả thiết đối của H có
dạng H : > 0 hay H : < 0) và 0 là số thể hiện thông tin đã biết về trong quá khứ
hay những định mức kinh tế, kỹ thuật,…
Bƣớc2. Kiểm định giả thiết thống kê.
Để kiểm định giả thiết thống kê H, ta cần phải xét một mẫu có kích thƣớc n và phải
biết mức ý nghĩa của kiểm định. Mức ý nghĩa thƣờng là một số khá bé (thƣờng thì
0,05) và đó là số cho biết xác suất mắc sai lầm khi ta chấp nhận H nhƣng trong
thực tế H sai hay bác bỏ H nhƣng trong thực tế H đúng.
Với các số liệu thu đƣợc từ mẫu có kích thƣớc n đã cho, ta tìm đƣợc một số gọi là
tiêu chuẩn kiểm định. Với mức ý nghĩa cho trƣớc, tùy theo kích thƣớc n của mẫu, tra
bảng phụ lục ta tìm đƣợc một số gọi là giá trị tới hạn. Tùy theo kết quả so sánh giữa
tiêu chuẩn kiểm định với giá trị tới hạn, ta đƣa ra quyết định chấp nhận hay bác bỏ H.
Bƣớc3. Kết luận cuối cùng.
Từ quyết định chấp nhận hay bác bỏ giả thiết H, ta suy ra kết luận cuối cùng về nghi
ngờ cần phải khẳng định hay kết luận của một vấn đề kinh tế, kỹ thuật, … trong bài
toán.
Khi đƣa ra quyết định “chấp nhận H” thì điều đó không có nghĩa là H đúng mà chỉ
có nghĩa là với số liệu của mẫu và với mức ý nghĩa đã chọn thì ta chƣa đủ cơ sở hay
chƣa đủ bằng chứng để bác bỏ H. Do đó trong kết luận cuối cùng của bài toán, ta nên
nói là “có thể nói rằng …”, “có bằng chứng để nói rằng …” hay “không có cơ sở để
nói rằng …”…
Sau đây ta sẽ trình bày cách giải quyết một số bài toán kiểm định giả thiết thống kê
cụ thể.
5.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể
Bài toán 7. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p. Ta có giả thiết về p là:
0H : p p ;
0H : p p .
Xét một mẫu có kích thƣớc n (n 30) và tính đƣợc tỷ lệ mẫu là f. Hãy kiểm định
giả thiết H với mức ý nghĩa cho trƣớc?
Cách giải
Bƣớc 1. Tính tiêu chuẩn kiểm định t bằng công thức: 0
0 0
nt f p
p (1 p )
.
Bƣớc 2. Với mức ý nghĩa cho trƣớc, ta tính đƣợc giá trị tới hạn t từ công thức:
154
1 2 (t )
.
Bƣớc 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu t t
thì ta đƣa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu t t
thì ta đƣa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là 0
H : p p hay 0
H : p p thì giá trị tới hạn của
kiểm định là 2
t
.
Ví dụ 5.15. Trong một dây chuyền sản xuất thuốc có 20% viên không đạt tiêu
chuẩn. Một cải tiến đƣợc thực hiện và sản xuất thử 100 viên thấy có 12 viên không đạt
tiêu chuẩn. Cải tiến trên có thay đổi tỷ lệ viên không đạt tiêu chuẩn hay không với mức
ý nghĩa 5%?
Giải
Ta có: 0
f 0,12, p 0,2, n 100 .
Giả thiết: H : p 0,2, H : p 0,2 .
Tính tiêu chuẩn kiểm định t: 0
0 0
n 100t f p 0,12 0,2 2
p (1 p ) 0,2(1 0,2)
.
Với 0,05 cho trƣớc, giá trị tới hạn t từ công thức:
11 2 (t ) (t ) 0,475
2
, tra bảng ta đƣợc t 1,96
.
Vì t t
thì ta đƣa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Kết luận: Sự cải tiến làm thay đổi tỷ lệ viên thuốc không đạt tiêu chuẩn.
Ví dụ 5.16. Tại một địa phƣơng tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%. Dùng DDT để diệt muỗi.
Khám 100 ngƣời thấy có 13 ngƣời bị sốt rét. Hỏi DDT có làm giảm tỷ lệ bệnh hay
không với mức ý nghĩa 5%?
Giải
Ta có: 0
f 0,13, p 0,2, n 100 .
Giả thiết: H : p 0,2, H : p 0,2 .
Tính tiêu chuẩn kiểm định: 0
0 0
n 100t f p 0,13 0,2 1,75
p (1 p ) 0,2(1 0,2)
.
Với 0,05 cho trƣớc, giá trị tới hạn 2
t
từ công thức:
155
2 2
1 21 2 (t ) (t ) 0,45
2
, tra bảng ta đƣợc
2t 1,65
.
Vì t t
thì ta đƣa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Kết luận: Sử dụng thuốc DDT để diệt muỗi thực sự làm giảm tỷ lệ bệnh sốt rét ở địa
phƣơng với mức ý nghĩa 5%.
5.3.2. Bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể
Bài toán 8. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể . Ta có giả thiết về
là: 0
H : , 0
H : . Xét một mẫu có kích thƣớc n và tính đƣợc trung bình
mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là x, s . Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa
cho trƣớc?
Cách giải
Bƣớc 1. Tính tiêu chuẩn kiểm định t bằng công thức: 0
nt x
s .
Bƣớc 2. Với mức ý nghĩa cho trƣớc, ta tính đƣợc giá trị tới hạn t
theo một
trong hai trƣờng hợp sau:
TH1. Nếu n 30 thì t đƣợc xác định theo công thức: 1 2 (t )
.
TH2. Nếu n 30 thì t
đƣợc xác định theo công thức: t t (k) , trong đó
k n 1 .
Bƣớc 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu t t
thì ta đƣa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu t t
thì ta đƣa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là 0
H : hay 0
H : thì giá trị tới hạn của
kiểm định là 2
t
.
Ví dụ 5.17. Một phƣơng pháp chiết xuất dƣợc liệu (DL) cho trung bình 150g
cao/1kg DL và s 20g . Một cải tiến đƣợc thực hiện. Sau khi chiết xuất 30 lần, ta
đƣợc trung bình 160g cao/1kg DL. Kết luận với mức ý nghĩa 5%?
Giải
Ta có: 0
150, s 20, n 30, x 160 .
Giả thiết: H : 150; H : 150 .
156
Tính tiêu chuẩn kiểm định t: 30
t 160 150 2,720
.
Với mức ý nghĩa 0,05 và n 30 nên
1 2 1 0,11 2 2 (t ) (t ) 0,45 t 1,65
2 2
.
Vì t t
nên bát bỏ H, chấp nhận H .
Kết luận: Cải tiến kỹ thuật trên thật sự mang lại hiệu quả.
Ví dụ 5.18. Điều tra lƣợng huyết cholesterol toàn phần trong huyết thanh của 25
ngƣời bị bệnh X, có x 176mg, s 40mg . Theo tài liệu 156mg là hằng số sinh
học của ngƣời bình thƣờng. Hãy cho kết luận với mức ý nghĩa 5%?
Giải
Ta có: 0
156, s 40, n 25, x 176 .
Giả thiết: H : 156; H : 156 .
Tính tiêu chuẩn kiểm định t: 25
t 176 156 2,540
.
Với mức ý nghĩa 0,05 và n 25 nên 0,05
t t (k) t (24) 2,06 .
Vì t t
nên bát bỏ H, chấp nhận H .
Kết luận: Lƣợng cholesterol của ngƣời bị bệnh X và ngƣời bình thƣờng khác nhau
với mức ý nghĩa 5%.
157
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa tổng thể, mẫu.
2. Các phƣơng pháp chọn mẫu và mô tả các số liệu mẫu.
3. Trình bày các tham số đặ trƣng của mẫu.
4. Trình bày các phƣơng pháp tính các tham số đặc trƣng của mẫu và cho ví dụ
minh họa.
5. Trình bày bài toán ƣớc lƣợng tỉ lệ tổng thể và cách giải.
6. Trình bày bài toán ƣớc lƣợng trung bình tổng thể và cách giải.
7. Trình bày phƣơng pháp xác định độ tin cậy và kích thƣớc mẫu trong các bài toán
ƣớc lƣợng tỉ lệ và trung bình tổng thể.
8. Trình bày bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ tổng thể và cách giải.
9. Trình bày bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể và cách giải.
158
BÀI TẬP
5.1. Đo lƣợng cholesterlemie (đơn vị: mg%) của một số ngƣời, ta đƣợc:
X(mg%) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-201
Số N 2 4 5 6 4 3
Tính X , 2S ,
2S , S ?
5.2. Đo độ dài của 30 chi tiết đƣợc chọn ngẫu nhiên của một loại sản phẩm ta đƣợc
bảng số liệu sau:
39 43 41 41 40 41 43 42 41 39 40 41
44 42 42 41 41 42 43 40 41 41 42 43
39 40 41 39 40 42
Tính X , 2S ,
2S , S ?
5.3. Ta muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ p trong một lô thuốc rất nhiều.
a) Nếu ta muốn sai số ƣớc lƣợng không quá 0,01 và độ tin cậy 95% thì phải quan
sát ít nhất mấy viên?
b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 25 viên bị sứt mẻ.
i) Hãy ƣớc lƣợng p với độ tin cậy 95%?
ii) Trong trƣờng hợp này nếu muốn sai số ƣớc lƣợng không quá 0,01 và độ tin cậy
95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
5.4. Khám ngẫu nhiên 150 ngƣời thấy có 18 ngƣời mắc bệnh B
a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ bệnh này trong dân số với độ tin cậy 95%?
b) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ bệnh này có độ chính xác không quá 0,03 và độ tin
cậy 95% thì phải khám ít nhất bao nhiêu ngƣời?
c) Nếu phép ƣớc lƣợng tỷ lệ bệnh này có độ chính xác 3% thì độ tin cậy của ƣớc
lƣợng đó là bao nhiêu?
5.5. Một loại thuốc mới đƣợc đem thử điều trị cho 50 ngƣời bị bệnh B, kết quả có
40 ngƣời khỏi bệnh.
a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ khỏi bệnh p nếu dùng thuốc đó điều trị với các độ tin cậy
95% và 99%?
159
b) Nếu ta muốn độ chính xác của ƣớc lƣợng không quá 0,02 và độ tin cậy 95% thì
phải quan sát ít nhất mấy trƣờng hợp?
5.6. Quan sát chiều cao X(cm) của một số ngƣời, ta ghi nhận đƣợc:
X (cm) 140–145 145–150 150 - 155 155 -160 160–165 165–170
Số N 1 3 7 9 5 2
Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình trong dân số với độ tin cậy 95%.
5.7. Để đánh giá sức khỏe của các bé gái sơ sinh, ngƣời ta kiểm tra số đo trọng
lƣợng các cháu gái sơ sinh trong một bệnh viện và có kết quả nhƣ sau:
X 1,7–2,1 2,1–2,5 2,5- 2,9 2,9 -3,3 3,3–3,7 3,7–4,1
N 4 20 21 15 2 3
a) Hãy ƣớc lƣợng trung bình của bé gái sơ sinh với độ tin cậy 95%.
b) Những bé gái sơ sinh có trọng lƣợng trên 2,9kg là bé khỏe. Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ
bé khỏe trong vùng với độ tin cậy 99%.
5.8. Nghiên cứu hoạt tính Hydrocloruatetracyclin ngƣời ta thu đƣợc kết quả sau
(tính theo EG/mg):
925 940 960 965 995 960 940 925 940 905
Với độ tin cậy 95%, hãy ƣớc lƣợng hoạt tính trung bình của Hydrocloruatetracyclin
đƣợc nghiên cứu ở trên.
5.9. Bệnh X theo điều trị đã gây tử vong 15%. Một loại thuốc A dùng cho 250 bệnh
nhân bị bệnh X thấy có 20 ngƣời tử vong. Hỏi hiệu quả của thuốc A trong việc điều trị
bệnh X với mức ý nghĩa 1%?
5.10. Có khoảng 12% ngƣời bị huyết khối khi thay van tim trong vòng 4 năm.
Ngƣời ta muốn xét xem Aspirin có ảnh hƣởng đến bị huyết khối khi thay van tim
không? Chọn ngẫu nhiên 188 bệnh nhân sau khi thay van tim, cho dùng 100 mg
Aspirin/ngày suốt 4 năm liền , theo dõi thấy có 21 trƣờng hợp bị huyết khối. Kết luận
với mức ý nghĩa 5%?
5.11. Đo lƣợng cholesterolemie (X mg%) trên một số ngƣời bình thƣờng. Kết quả
X 125–
149
150–
174
175–
199
200–
224
225–
249
250–
274
275–
299
300–
224
Số N 2 5 5 7 10 10 8 3
160
Cho rằng số sinh học trung bình về cholesterolemie là 225 mg%. Hỏi kết quả thực
nghiệm trên có khác hằng số sinh học trung bình về cholesterolemie không với mức ý
nghĩa 5%?
5.12. Một mẫu 35 ngƣời bị K tiền liệt tuyến có di căn, hàm lƣợng trung bình PSA là
15 mg/ml; s 1,5mg / ml . Dùng PSA làm chất chỉ điểm có di căn trong bệnh K tiền
liệt tuyến. Với bệnh K tiền liệt tuyến chƣa di căn, hàm lƣợng trung bình PSA là 12
mg/ml. Hỏi PSA có thể làm cho chất chỉ điểm có di căn trong bệnh K tiền liệt tuyến
đƣợc không với mức ý nghĩa 5%?
5.13. Một máy phân tích huyết học đƣợc gọi là không đạt yêu cầu khi máy chạy hết
công suất, trung bình máy phân tích 99 mẫu máu/ngày. Chọn một máy phân tích huyết
học, cho chạy thử một tuần hết công suất, kết quả nhƣ sau:
Thứ 2 3 4 5 6 7 Cn
Số lƣợng 04 93 97 101 105 95 105
Hỏi máy phân tích huyết học trên đạt yêu cầu chƣa?
5.14. Kiểm định hàm lƣợng Vitamin B1 viên loại 0,1g/viên của một xí nghiệp sản
xuất, ngƣời ta thu đƣợc kết quả (mg/viên) nhƣ sau:
HL 95 96 97 98 99 100 101 102 103
Số viên 1 2 2 5 7 12 8 2 1
Có thể cho rằng hàm lƣợng trung bình của Vitamin B1 viên của thuốc do xí nghiệp
trên sản xuất là đạt yêu cầu đƣợc không với mức ý nghĩ 5%?
161
HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
5.1. n 24, x 181,25, s 14,98
5.2. Thu gọn mẫu
Xi 39 40 41 42 43 44
ni 4 5 9 7 4 1
2n 30, x 41,17, s 1,8, s 1,34
5.3. a) 9604 viên b) 0,125 0,04583 ; 4102 viên
5.4. a) 0,068 p 0,172 b) 451 c) 79,6%
5.5. a) 0,8 0,11 , 0,8 0,15 b) 1537 ngƣời
5.6. 156,20 2,43
5.7. a) 2,7 0,11 b) 0,307 0,147
5.8. 945,50 18,19
5.9. t 3,18, t 2,58
. Thuốc A thực sự có hiệu quả.
5.10. t 0,35 t 1,96
nên chấp nhận H.
5.11. t 1,43 t 1,96
nên chấp nhận H.
5.12. t 11,83 t 1,96
nên chấp nhận H .
5.13. t 0,53 t 2,44
nên chấp nhận H.
5.14. t 1,950 t 1,96
nên chấp nhận H.
162
CÁC BẢNG PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Bảng giá trị hàm mật độ Gauss
2u
21
f (u) e2
u f(u) u f(u) u f(u) u f(u)
0,00 0,3989 0,30 0,3814 0,60 0,3332 0,90 0,2661
0,01 0,3989 0,31 0,3802 0,61 0,3312 0,91 0,2637
0,02 0,3989 0,32 0,3790 0,62 0,3292 0,92 0,2613
0,03 0,3988 0,33 0,3778 0,63 0,3271 0,93 0,2589
0,04 0,3986 0,34 0,3765 0,64 0,3251 0,94 0,2565
0,05 0,3984 0,35 0,3752 0,65 0,3230 0,95 0,2541
0,06 0,3982 0,36 0,3739 0,66 0,3209 0,96 0,2516
0,07 0,3980 0,37 0,3726 0,67 0,3187 0,97 0,2492
0,08 0,3977 0,38 0,3712 0,68 0,3166 0,98 0,2468
0,09 0,3973 0,39 0,3797 0,69 0,3144 0,99 0,2444
0,10 0,3970 0,40 0,3683 0,70 0,3123 1,00 0,2420
0,11 0,3965 0,41 0,3668 0,71 0,3101 1,01 0,2396
0,12 0,3961 0,42 0,3653 0,72 0,3079 1,02 0,2371
0,13 0,3956 0,43 0,3637 0,73 0,3056 1,03 0,2347
0,14 0,3951 0,44 0,3621 0,74 0,3034 1,04 0,2323
0,15 0,3945 0,45 0,3605 0,75 0,2911 1,05 0,2299
0,16 0,3939 0,46 0,3689 0,76 0,2989 1,06 0,2275
0,17 0,3932 0,47 0,3572 0,77 0,2966 1,07 0,2251
0,18 0,3925 0,48 0,3555 0,78 0,2943 1,08 0,2227
0,19 0,3918 0,49 0,3538 0,79 0,292 1,09 0,2203
0,20 0,3910 0,50 0,3521 0,80 0,2897 1,10 0,2179
0,21 0,3902 0,51 0,3503 0,81 0,2874 1,11 0,2155
0,22 0,3894 0,52 0,3585 0,82 0,2850 1,12 0,2131
0,23 0,3885 0,53 0,3467 0,83 0,2827 1,13 0,2107
0,24 0,3876 0,54 0,3448 0,84 0,2803 1,14 0,2083
0,25 0,3867 0,55 0,3429 0,85 0,2780 1,15 0,2059
0,26 0,3857 0,56 0,3411 0,86 0,2756 1,16 0,2036
0,27 0,3847 0,57 0,3491 0,87 0,2732 1,17 0,2012
0,28 0,3836 0,58 0,3372 0,88 0,2709 1,18 0,1987
0,29 0,3825 0,59 0,3352 0,89 0,2685 1,19 0,1965
163
Bảng giá trị hàm mật độ Gauss
2u
21
f (u) e2
u f(u) u f(u) u f(u) u f(u)
1,20 0,1942 1,50 0,1295 1,80 0,0790 2,10 0,0440
1,21 0,1919 1,51 0,1276 1,81 0,0775 2,11 0,0431
1,22 0,1895 1,52 0,1257 1,82 0,0761 2,12 0,0422
1,23 0,1872 1,53 0,123 1,83 0,0748 2,13 0,0413
1,24 0,1849 1,54 0,1219 1,84 0,0734 2,14 0,0404
1,25 0,1826 1,55 0,1200 1,85 0,0721 2,15 0,0396
1,26 0,1804 1,56 0,1182 1,86 0,0707 2,16 0,0387
1,27 0,1781 1,57 0,1163 1,87 0,0694 2,17 0,0379
1,28 0,1758 1,58 0,1145 1,88 0,0681 2,18 0,0371
1,29 0,1736 1,59 0,1127 1,89 0,0669 2,19 0,0363
1,30 0,1714 1,60 0,1109 1,90 0,0656 2,20 0,0355
1,31 0,1691 1,61 0,1092 1,91 0,0644 2,21 0,0347
1,32 0,1669 1,62 0,1074 1,92 0,0632 2,22 0,0339
1,33 0,1647 1,63 0,1057 1,93 0,0620 2,23 0,0332
1,34 0,1626 1,64 0,1040 1,94 0,0608 2,24 0,0325
1,35 0,1604 1,65 0,1023 1,95 0,0596 2,25 0,0317
1,36 0,1582 1,66 0,1006 1,96 0,0584 2,26 0,0310
1,37 0,1561 1,67 0,0989 1,97 0,0573 2,27 0,0303
1,38 0,1539 1,68 0,0973 1,98 0,0562 2,28 0,0297
1,39 0,1518 1,69 0,0957 1,99 0,0551 2,29 0,0290
1,40 0,1497 1,70 0,0940 2,00 0,0554 2,30 0,0283
1,41 0,1476 1,71 0,0925 2,01 0,0529 2,31 0,0277
1,42 0,1456 1,72 0,0909 2,02 0,0519 2,32 0,0270
1,43 0,1435 1,73 0,0893 2,03 0,0508 2,33 0,0264
1,44 0,1415 1,74 0,0878 2,04 0,0498 2,34 0,0258
1,45 0,1394 1,75 0,0863 2,05 0,0488 2,35 0,0252
1,46 0,1374 1,76 0,0848 2,06 0,0478 2,36 0,0246
1,47 0,1354 1,77 0,0833 2,07 0,0468 2,37 0,0241
1,48 0,1334 1,78 0,0818 2,08 0,0459 2,38 0,0235
1,49 0,1315 1,79 0,0804 2,09 0,0449 2,39 0,0229
164
Bảng giá trị hàm mật độ Gauss
2u
21
f (u) e2
u f(u) u f(u) u f(u) u f(u)
2,40 0,0224 2,70 0,0104 3,00 0,0044 3,30 0,0017
2,41 0,0219 2,71 0,0101 3,01 0,0043 3,31 0,0017
2,42 0,0213 2,72 0,0099 3,02 0,0042 3,32 0,0016
2,43 0,0208 2,73 0,0096 3,03 0,0040 3,33 0,0016
2,44 0,0203 2,74 0,0093 3,04 0,0039 3,34 0,0015
2,45 0,0198 2,75 0,0091 3,05 0,0038 3,35 0,0015
2,46 0,0194 2,76 0,0088 3,06 0,0037 3,36 0,0014
2,47 0,0189 2,77 0,0086 3,07 0,0036 3,37 0,0014
2,48 0,0184 2,78 0,0084 3,08 0,0035 3,38 0,0013
2,49 0,0180 2,79 0,0081 3,09 0,0034 3,39 0,0013
2,50 0,0175 2,80 0,0079 3,10 0,0033 3,40 0,0012
2,51 0,0171 2,81 0,0077 3,11 0,0032 3,41 0,0012
2,52 0,0167 2,82 0,0075 3,12 0,0031 3,42 0,0012
2,53 0,0163 2,83 0,0073 3,13 0,0030 3,43 0,0011
2,54 0,0158 2,84 0,0071 3,14 0,0029 3,44 0,0011
2,55 0,0154 2,85 0,0069 3,15 0,0028 3,45 0,0010
2,56 0,0151 2,86 0,0067 3,16 0,0027 3,46 0,0010
2,57 0,0147 2,87 0,0065 3,17 0,0026 3,47 0,0010
2,58 0,0143 2,88 0,0063 3,18 0,0025 3,48 0,0009
2,59 0,0139 2,89 0,0061 3,19 0,0025 3,49 0,0009
2,60 0,0136 2,90 0,0060 3,20 0,0024 3,50 0,0009
2,61 0,0132 2,91 0,0058 3,21 0,0023 3,55 0,0007
2,62 0,0129 2,92 0,0056 3,22 0,0022 3,60 0,0006
2,63 0,0126 2,93 0,0055 3,23 0,0022 3,65 0,0005
2,64 0,0122 2,94 0,0053 3,24 0,0021 3,70 0,0004
2,65 0,0119 2,95 0,0051 3,25 0,0020 3,75 0,0004
2,66 0,0116 2,96 0,0050 3,26 0,0020 3,80 0,0003
2,67 0,0113 2,97 0,0048 3,27 0,0019 3,85 0,0002
2,68 0,0111 2,98 0,0047 3,28 0,0018 3,90 0,0002
2,69 0,0107 2,99 0,0046 3,29 0,0018 4,00 0,0001
165
Phụ lục 2: Bảng giá trị hàm tích phân Laplace
2u t
2
0
1(u) e dt
2
u (u) u (u) u (u) u (u)
0,00 0,0000 0,30 0,1179 0,60 0,2257 0,90 0,3159
0,01 0,0040 0,31 0,1217 0,61 0,2291 0,91 0,3186
0,02 0,0080 0,32 0,1255 0,62 0,2324 0,92 0,3212
0,03 0,0120 0,33 0,1293 0,63 0,2357 0,93 0,3238
0,04 0,0160 0,34 0,1331 0,64 0,2389 0,94 0,3264
0,05 0,0199 0,35 0,1368 0,65 0,2422 0,95 0,3289
0,06 0,0239 0,36 0,1406 0,66 0,2454 0,96 0,3315
0,07 0,0279 0,37 0,1443 0,67 0,2486 0,97 0,3340
0,08 0,0319 0,38 0,1480 0,68 0,2517 0,98 0,3365
0,09 0,0359 0,39 0,1517 0,69 0,2549 0,99 0,3389
0,10 0,0398 0,40 0,1554 0,70 0,2580 1,00 0,3413
0,11 0,0438 0,41 0,1591 0,71 0,2611 1,01 0,3438
0,12 0,0478 0,42 0,1628 0,72 0,2642 1,02 0,3461
0,13 0,0517 0,43 0,1664 0,73 0,2673 1,03 0,3485
0,14 0,0557 0,44 0,1700 0,74 0,2704 1,04 0,3508
0,15 0,0596 0,45 0,1736 0,75 0,2734 1,05 0,3531
0,16 0,0636 0,46 0,1772 0,76 0,2764 1,06 0,3554
0,17 0,0675 0,47 0,1808 0,77 0,2794 1,07 0,3577
0,18 0,0714 0,48 0,1844 0,78 0,2823 1,08 0,3599
0,19 0,0753 0,49 0,1879 0,79 0,2852 1,09 0,3621
0,20 0,0793 0,50 0,1915 0,80 0,2881 1,10 0,3643
0,21 0,0832 0,51 0,1950 0,81 0,2910 1,11 0,3665
0,22 0,0871 0,52 0,1985 0,82 0,2939 1,12 0,3686
0,23 0,0910 0,53 0,2019 0,83 0,2967 1,13 0,3708
0,24 0,0948 0,54 0,2054 0,84 0,2995 1,14 0,3729
0,25 0,0987 0,55 0,2088 0,85 0,3023 1,15 0,3749
0,26 0,1026 0,56 0,2123 0,86 0,3051 1,16 0,3770
0,27 0,1064 0,57 0,2157 0,87 0,3078 1,17 0,3790
0,28 0,1103 0,58 0,2190 0,88 0,3106 1,18 0,3810
0,29 0,1141 0,59 0,2224 0,89 0,3133 1,19 0,3830
166
Bảng giá trị hàm tích phân Laplace
2u t
2
0
1(u) e dt
2
u (u) u (u) u (u) u (u)
1,20 0,3849 1,50 0,4332 1,80 0,4641 2,10 0,4821
1,21 0,3869 1,51 0,4345 1,81 0,4649 2,11 0,4826
1,22 0,3888 1,52 0,4357 1,82 0,4656 2,12 0,4830
1,23 0,3907 1,53 0,4370 1,83 0,4664 2,13 0,4834
1,24 0,3925 1,54 0,4382 1,84 0,4671 2,14 0,4838
1,25 0,3944 1,55 0,4394 1,85 0,4678 2,15 0,4842
1,26 0,3962 1,56 0,4406 1,86 0,4686 2,16 0,4846
1,27 0,3980 1,57 0,4418 1,87 0,4693 2,17 0,4850
1,28 0,3997 1,58 0,4429 1,88 0,4699 2,18 0,4854
1,29 0,4015 1,59 0,4441 1,89 0,4706 2,19 0,4857
1,30 0,4032 1,60 0,4452 1,90 0,4713 2,20 0,4861
1,31 0,4049 1,61 0,4463 1,91 0,4719 2,21 0,4864
1,32 0,4066 1,62 0,4474 1,92 0,4726 2,22 0,4868
1,33 0,4082 1,63 0,4484 1,93 0,4732 2,23 0,4871
1,34 0,4099 1,64 0,4495 1,94 0,4738 2,24 0,4875
1,35 0,4115 1,65 0,4505 1,95 0,4744 2,25 0,4878
1,36 0,4131 1,66 0,4515 1,96 0,4750 2,26 0,4881
1,37 0,4147 1,67 0,4525 1,97 0,4756 2,27 0,4884
1,38 0,4162 1,68 0,4535 1,98 0,4761 2,28 0,4887
1,39 0,4177 1,69 0,4545 1,99 0,4767 2,29 0,4890
1,40 0,4192 1,70 0,4554 2,00 0,4772 2,30 0,4893
1,41 0,4207 1,71 0,4564 2,01 0,4778 2,31 0,4896
1,42 0,4222 1,72 0,4573 2,02 0,4783 2,32 0,4898
1,43 0,4236 1,73 0,4582 2,03 0,4788 2,33 0,4901
1,44 0,4251 1,74 0,4591 2,04 0,4793 2,34 0,4904
1,45 0,4265 1,75 0,4599 2,05 0,4798 2,35 0,4906
1,46 0,4279 1,76 0,4608 2,06 0,4803 2,36 0,4909
1,47 0,4292 1,77 0,4616 2,07 0,4808 2,37 0,4911
1,48 0,4306 1,78 0,4625 2,08 0,4812 2,38 0,4913
1,49 0,4319 1,79 0,4633 2,09 0,4817 2,39 0,4916
167
Bảng giá trị hàm tích phân Laplace
2u t
2
0
1(u) e dt
2
u (u) u (u) u (u) u (u)
2,40 0,4918 2,70 0,4965 3,00 0,4987 3,30 0,49952
2,41 0,4920 2,71 0,4966 3,01 0,4987 3,31 0,49953
2,42 0,4922 2,72 0,4967 3,02 0,4987 3,32 0,49955
2,43 0,4925 2,73 0,4968 3,03 0,4988 3,33 0,49957
2,44 0,4927 2,74 0,4969 3,04 0,4988 3,34 0,49958
2,45 0,4929 2,75 0,4970 3,05 0,4989 3,35 0,49960
2,46 0,4931 2,76 0,4971 3,06 0,4989 3,36 0,49961
2,47 0,4932 2,77 0,4972 3,07 0,4989 3,37 0,49962
2,48 0,4934 2,78 0,4973 3,08 0,4990 3,38 0,49964
2,49 0,4936 2,79 0,4974 3,09 0,4990 3,39 0,49965
2,50 0,4938 2,80 0,4974 3,10 0,4990 3,40 0,49966
2,51 0,4940 2,81 0,4975 3,11 0,4991 3,41 0,49968
2,52 0,4941 2,82 0,4976 3,12 0,4991 3,42 0,49969
2,53 0,4943 2,83 0,4977 3,13 0,4991 3,43 0,49970
2,54 0,4945 2,84 0,4977 3,14 0,4992 3,44 0,49971
2,55 0,4946 2,85 0,4978 3,15 0,4992 3,45 0,49972
2,56 0,4948 2,86 0,4979 3,16 0,4992 3,46 0,49973
2,57 0,4949 2,87 0,4979 3,17 0,4992 3,47 0,49974
2,58 0,4951 2,88 0,4980 3,18 0,4993 3,48 0,49975
2,59 0,4952 2,89 0,4981 3,19 0,4993 3,49 0,49976
2,60 0,4953 2,90 0,4981 3,20 0,4993 3,50 0,49977
2,61 0,4955 2,91 0,4982 3,21 0,4993 3,60 0,49984
2,62 0,4956 2,92 0,4982 3,22 0,4994 3,70 0,49989
2,63 0,4957 2,93 0,4983 3,23 0,4994 3,80 0,49993
2,64 0,4959 2,94 0,4984 3,24 0,4994 3,90 0,49995
2,65 0,4960 2,95 0,4984 3,25 0,4994 4,00 0,49997
2,66 0,4961 2,96 0,4985 3,26 0,4994 4,10 0,49998
2,67 0,4962 2,97 0,4985 3,27 0,4995 4,20 0,49999
2,68 0,4963 2,98 0,4986 3,28 0,4995 4,50 0,49999
2,69 0,4964 2,99 0,4986 3,29 0,4995 4,99 0,49999
168
Phụ lục 3: Bảng giá trị của phân phối Poisson k
P(X k) ek!
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 0,9048 0905 0045 0002 0000 0000 0000 0000 0000 0000
0,2 8187 1637 0164 0011 0001 0000 0000 0000 0000 0000
0,3 7408 2222 0333 0033 0003 0000 0000 0000 0000 0000
0,4 6703 2681 0536 0072 0007 0001 0000 0000 0000 0000
0,5 6065 3033 0758 0126 0016 0002 0000 0000 0000 0000
0,6 5488 3293 0988 0198 0030 0004 0000 0000 0000 0000
0,7 4966 3476 1217 0284 0050 0007 0001 0000 0000 0000
0,8 4493 3595 1438 0383 0077 0012 0002 0000 0000 0000
0,9 4066 3659 1647 0494 0111 0020 0003 0000 0000 0000
1,0 3679 3679 1839 0613 0153 0031 0005 0001 0000 0000
1,1 3329 3662 2014 0738 0203 0045 0008 0001 0000 0000
1,2 3012 3614 2169 0867 0260 0062 0012 0002 0000 0000
1,3 2725 3542 2303 0998 0324 0084 0018 0003 0001 0000
1,4 2466 3452 2417 1128 0395 0111 0026 0005 0001 0000
1,5 2231 3347 2510 1255 0471 0141 0035 0008 0001 0000
1,6 2019 3230 2584 1378 0551 0176 0047 0011 0002 0000
17 1827 3106 2640 1496 6360 0216 0061 0015 0003 0001
1,8 1653 2975 2678 1607 0723 0260 0078 0020 0005 0001
1,9 1496 2842 2700 1710 0812 0309 0098 0027 0006 0001
2,0 1353 2707 2707 1804 0902 0361 0120 0034 0009 0002
2,5 0821 2052 2565 2138 1336 0668 0278 0099 0031 0009
3,0 0498 1494 2240 2240 1680 1008 0504 0216 0081 0027
3,5 0302 1057 1850 2158 1888 1322 0771 0385 0169 0066
4,0 0183 0733 1465 1954 1954 1563 1042 0594 0298 0132
4,5 0111 0500 1125 1687 1898 1780 1281 0834 0463 0232
5,0 0067 0337 0842 1404 1755 1755 1462 1044 0653 0363
6,0 0025 0194 0446 0892 1339 1606 1606 1377 1033 0688
7,0 0009 0064 0223 0521 0912 1277 1490 1490 1304 1014
8,0 0003 0027 0107 0286 0573 0916 1221 1396 1390 1241
169
Phụ lục 4: Bảng giá trị phân phối “Chi-bình phƣơng” 2 (k)
k 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,05
1 7,879 6,635 5,916 5,412 5,024 4,709 3,841
2 10,60 9,210 8,399 7,824 7,378 7,013 5,991
3 12,84 11,35 10,47 9,837 9,348 8,947 7,815
4 14,86 13,28 12,34 11,67 11,14 10,71 9,488
5 16,75 15,07 14,10 13,39 12,83 12,37 11,07
6 18,46 16,81 15,78 15,03 14,55 13,97 12,59
7 20,28 18,48 17,40 16,62 16,01 15,51 14,07
8 21,96 20,09 18,97 18,17 17,54 17,01 15,51
9 23,59 21,67 20,51 19,68 19,02 18,48 16,92
10 25,19 23,21 22,02 21,16 20,48 19,92 18,31
11 26,76 24,73 23,50 22,62 21,92 21,34 19,68
12 28,30 26,22 24,96 24,05 23,34 22,74 21,03
13 29,82 27,69 26,40 25,47 24,74 24,12 22,36
14 31,32 29,14 27,83 26,87 26,12 25,49 23,68
15 32,80 30,58 29,23 28,26 27,49 26,85 25,00
16 34,27 32,00 30,63 29,63 28,85 28,19 26,30
17 35,72 33,41 32,01 31,00 30,19 29,52 27,59
18 37,16 34,81 33,38 32,35 31,54 30,84 28,78
19 38,58 36,19 34,74 33,69 32,85 32,16 30,14
20 40,00 37,57 36,09 35,02 34,17 33,46 31,41
21 41,40 38,93 37,43 36,34 35,48 34,76 32,67
22 42,80 40,29 38,77 37,66 36,78 36,05 33,92
23 44,18 41,64 40,09 38,97 38,08 37,33 35,71
24 45,56 42,98 41,41 40,27 39,36 38,61 36,42
25 46,93 44,31 42,73 41,57 40,65 39,88 37,65
26 48,29 45,64 44,03 42,86 41,92 31,15 38,89
27 49,65 46,96 45,33 44,14 43,19 42,41 40,11
28 50,99 48,28 46,63 45,42 44,46 43,66 41,34
29 52,36 49,59 47,92 46,69 45,72 44,91 42,56
30 53,67 50,89 49,20 47,96 46,98 46,16 43,77
170
Bảng giá trị phân phối “Chi-bình phƣơng” 2 (k)
k 0,10 0,90 0,95 0,975 0,98 0,99 0,995
1 2,706 0,016 0,004 0,001 0,001 0,000 0,000
2 4,605 0,211 0,103 0,051 0,040 0,020 0,010
3 6,251 0,584 0,352 0,216 0,185 0,115 0,072
4 7,779 1,064 0,711 0,484 0,429 0,297 0,207
5 9,236 1,610 1,145 0,831 0,752 0,554 0,412
6 10,65 2,204 1,635 1,237 1,134 0,872 0,676
7 12,02 2,833 2,167 1,690 1,564 1,239 0,989
8 13,36 3,490 2,733 2,180 2,033 1,647 1,344
9 14,68 4,168 3,325 2,700 2,532 2,088 1,735
10 15,99 4,865 3,940 3,247 3,059 2,558 2,156
11 17,28 5,578 4,575 3,816 3,609 3,054 2,603
12 18,55 6,304 5,226 4,404 4,178 3,571 3,074
13 19,81 7,042 5,892 5,009 4,765 4,107 3,565
14 21,06 7,790 6,571 5,629 5,368 4,660 4,075
15 22,31 8,547 7,261 6,262 5,985 5,229 4,601
16 23,54 9,312 7,962 6,908 6,014 5,812 5,142
17 24,77 10,09 8,672 7,564 7,255 6,408 5,697
18 25,99 10,87 9,390 8,231 7,906 7,015 6,265
19 27,20 11,65 10,12 8,907 8,567 7,633 6,844
20 28,41 12,44 10,85 9,591 9,237 8,260 7,434
21 29,62 13,24 11,59 10,28 9,915 8,897 8,034
22 30,81 14,09 12,34 10,98 10,60 9,542 8,643
23 32,01 14,85 13,09 11,69 11,29 10,20 9,260
24 33,20 15,66 13,85 12,40 11,99 10,86 9,886
25 34,38 16,47 14,61 13,12 12,70 11,52 10,52
26 35,56 17,29 15,38 13,84 13,41 12,20 11,16
27 36,74 18,11 16,15 14,57 14,13 12,88 11,81
28 37,92 18,94 16,93 15,31 14,85 13,56 12,46
29 39,09 19,77 17,71 16,05 15,57 14,26 13,12
30 40,26 20,60 18,49 16,79 16,31 14,95 13,79
171
Bảng giá trị phân phối “Chi-bình phƣơng” 2 (k)
k 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
31 55,00 52,19 50,48 49,23 48,23 47,40
32 56,33 53,49 51,75 50,49 49,48 48,64
33 57,65 54,78 53,02 51,74 50,73 49,88
34 58,96 56,06 54,29 53,00 51,97 51,11
35 60,27 57,34 55,55 54,24 53,20 52,34
36 61,58 58,62 56,81 55,49 54,44 53,56
37 62,88 59,89 58,07 56,73 55,67 54,78
38 64,18 61,16 59,32 57,97 56,89 56,00
39 65,48 62,43 60,57 59,20 58,12 57,22
40 66,77 63,69 61,81 60,44 59,34 58,43
41 68,05 64,95 63,05 61,67 60,56 59,64
45 73,17 69,96 67,99 66,56 65,41 64,45
50 79,49 76,15 74,11 72,61 71,42 70,42
55 85,75 82,29 80,17 78,62 77,38 76,35
60 91,95 88,38 86,19 74,58 83,30 82,23
65 98,10 94,42 92,16 90,50 89,18 88,07
70 104,2 100,4 98,10 96,39 95,02 93,88
75 110,3 106,4 104,0 102,2 100,8 99,67
80 116,3 112,3 109,9 108,1 106,6 105,4
85 122,3 118,2 115,7 113,9 112,4 111,2
90 128,3 124,1 121,5 119,7 118,1 116,9
95 134,2 130,0 127,3 125,4 123,9 122,6
100 140,2 135,8 133,1 131,1 129,6 128,2
105 146,1 141,6 138,9 136,9 135,25 133,9
110 151,9 147,4 144,6 142,6 140,9 139,5
120 163,6 159,0 156,1 153,9 152,2 150,8
172
Phụ lục 5: Bảng giá trị phân phối Student t (k)
k 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
1 63,7 31,8 21,2 15,9 12,7 10,6 9,06 7,92 7,03 6,31
2 9,93 6,97 5,64 4,85 4,30 3,90 3,58 3,32 3,10 2,92
3 5,84 4,54 3,90 3,48 3,18 2,95 2,76 2,61 2,47 2,35
4 4,60 3,75 3,30 3,00 2,78 2,60 2,46 2,33 2,22 2,13
5 4,03 3,37 3,00 2,76 2,57 2,42 2,30 2,19 2,10 2,02
6 3,71 3,14 2,83 2,61 2,45 2,31 2,20 2,10 2,02 1,94
7 3,50 3,00 2,71 2,52 2,36 2,24 2,14 2,05 1,97 1,89
8 3,36 2,90 2,63 2,45 2,31 2,19 2,09 2,00 1,93 1,85
9 3,25 2,82 2,57 2,40 2,26 2,15 2,06 1,97 1,90 1,83
10 3,17 2,76 2,53 2,36 2,23 2,12 2,03 1,95 1,88 1,81
11 3,11 2,72 2,49 2,33 2,20 2,10 2,01 1,93 1,86 1,80
12 3,06 2,68 2,46 2,30 2,18 2,08 1,99 1,91 1,84 1,78
13 3,01 2,65 2,44 2,28 2,16 2,06 1,97 1,90 1,83 1,77
14 2,98 2,62 2,41 2,26 2,14 2,05 1,96 1,89 1,82 1,76
15 2,95 2,60 2,40 2,25 2,13 2,03 1,95 1,88 1,81 1,75
16 2,92 2,58 2,38 2,24 2,12 2,02 1,94 1,87 1,80 1,75
17 2,90 2,57 2,37 2,22 2,11 2,02 1,93 1,86 1,80 1,74
18 2,88 2,55 2,36 2,21 2,10 2,01 1,93 1,86 1,79 1,73
19 2,86 2,54 2,35 2,20 2,09 2,00 1,92 1,85 1,79 1,73
20 2,85 2,53 2,34 2,20 2,09 1,99 1,91 1,84 1,78 1,72
21 2,83 2,52 2,33 2,19 2,08 1,99 1,91 1,84 1,78 1,72
22 2,82 2,51 2,32 2,18 2,07 1,98 1,91 1,84 1,78 1,71
23 2,81 2,50 2,31 2,18 2,07 1,98 1,90 1,83 1,77 1,71
24 2,80 2,49 2,31 2,17 2,06 1,97 1,90 1,83 1,77 1,71
25 2,79 2,49 2,30 2,17 2,06 1,97 1,89 1,83 1,76 1,71
26 2,78 2,48 2,30 2,16 2,06 1,97 1,89 1,82 1,76 1,71
27 2,77 2,47 2,29 2,16 2,05 1,96 1,89 1,82 1,76 1,70
28 2,76 2,47 2,29 2,15 2,05 1,96 1,88 1,82 1,76 1,70
29 2,76 2,46 2,28 2,15 2,05 1,96 1,88 1,81 1,75 1,70
30 2,75 2,46 2,28 2,15 2,04 1,95 1,88 1,81 1,75 1,70
173
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Đình Ánh, Giáo trình Toán C1, Đại học Lạc Hồng, 2010.
[2] Trần Đình Ánh, Giáo trình Xác Suất Thống Kê, Đại học Lạc Hồng, 2010.
[3] Đại học Lạc Hồng (2012), Báo cáo thực hiện quy chế công khai của Trường Đại
học Lạc Hồng năm học 2012 – 2013.
[4] Nguyễn Phan Dũng, Xác Suất và Thống Kê, Đại học Dƣợc Hà Nội , 2011.
[5] Dƣơng Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1, Nxb Thống Kê, 2004.
[6] Trần Văn Hoan, Diệp Cẩm Thu, Giáo trình Toán A1, Đại học Lạc Hồng, 2010.
[7] Trần Văn Hoan, Thực trạng dạy học Xác Suất – Thống Kê so với chuẩn đầu ra ở
trường Đại học Lạc Hồng, Tạp chí khoa học Đại học Sƣ Phạm TPHCM, số 59,
2014.
[8] Trần Văn Hoan, Một số đề xuất biên soạn giáo trình môn học Xác suất – Thống
kê theo định hướng rèn luyện kỹ năng nghề nghiệp cho sinh viên khối ngành kinh tế
ở trường Đại học Lạc Hồng, Tạp chí Khoa học và Công nghệ trƣờng Đại học Đà
Nẵng, số 4(89), 2015.
[9] Trần Văn Hoan, Một số biện pháp phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề thông
qua dạy học Xác suất – Thống kê cho sinh viên khối ngành kinh tế ở trường Đại học
Lạc Hồng, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, số 5(104), 2015.
[10] Trần Văn Hoan, Dạy học Xác suất – Thống kê theo định hướng rèn luyện kỹ
năng nghề nghiệp cho sinh viên khối ngành kinh tế ở trường Đại học Lạc Hồng,
Hội nghị toàn quốc lần thứ 5 “Xác suất – Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng
dạy”, 2015.
[11] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy, Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo Dục,
2001.
[12] Chu Văn Thọ, Phạm Minh Bửu, Trần Đình Thanh, Nguyễn Văn Liêng, Xác
Suất Thống Kê, Đại học Y Dƣợc TPHCM , 2013.
[13] Chu Văn Thọ, Phạm Minh Bửu, Trần Đình Thanh, Nguyễn Văn Liêng, Bài tập
Xác Suất Thống Kê, Đại học Y Dƣợc TPHCM , 2013.
[14] Chu Văn Thọ (và tgk), Toán Cao Cấp, Đại học Y Dƣợc TPHCM, 2013.
[15] Chu Văn Thọ (và tgk), Bài tập Toán Cao Cấp, Đại học Y Dƣợc TPHCM,
2013.
[16] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập Toán
Cao Cấp, tập 2, Nxb Giáo dục, 2007.
[17] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán Cao Cấp,
tập 2, Nxb Giáo dục, 2007.
174
[18] Edward Crawley, Johan Malmqvist, Soren Ostlund, Doris Brodeur, Cải cách
và xây dựng chương trình đào tạo kỹ thuật theo phương pháp tiếp cận CIDO, Biên
dịch: Hồ Tấn Nhật, Đoàn Thị Minh Trinh, Nxb ĐHQG TPHCM, 2010
[19] Jame Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1991.
[20] Ronal F. Walpole & Raymond H. Myers Sharon, Probability and Statistics for
Engineers and Scientists, Prentice Hall International. Inc. Sixth Edition, 1998.
[21] Sheldon P. Gordon & Florence S. Gordon, Contemporary Statistics, Mc Graw
– Hill Inc, 1998.
[22] http://www.lhu.edu.vn.
[23] http://www.ungdungtoan.vn.
[24] http://www.statistics.vn.
