Logica del primo ordine - DISI, University of Trentodisi.unitn.it/.../Courses/LoLa/Papers/LogicaPrimoOrdine.pdfLogica del primo ordine Sandro Zucchi 2009-10 S. Zucchi: Metodi formali

Logica del primo ordine

Sandro Zucchi

2009-10

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica del primo ordine 1

L’argomento dei filosofi inaffidabili

I Questo argomento, come abbiamo gia osservato, e valido in italiano(e impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa):

Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi.Premessa due: Ogni filosofo e distratto.Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi.

I Abbiamo osservato inoltre che l’argomento e valido in italiano invirtu della sua forma, in quanto tutti gli argomenti della formaseguente sono validi in italiano:

Premessa uno: Ogni M e un P.Premessa due: Ogni S e un M.Conclusione: Dunque, ogni S e un P.


Rappresentazione in LP

I L’argomento dei filosofi inaffidabili e valido in italiano e lo e in virtudella sua forma. Ma se proviamo a rappresentarlo in LP nonotteniamo affatto un argomento valido in LP:

Premessa uno: Ogni individuo distratto perde le chiavi.Traduzione in LP: p

Premessa due: Ogni filosofo e distratto.Traduzione in LP: q

Conclusione: Dunque, ogni filosofo perde le chiavi.Traduzione in LP: r

I La ragione e che premesse e conclusione dell’argomento non sonoenunciati composti (cioe, enunciati formati da altri enunciati), edunque contano come enunciati atomici per LP. Quindi, premesse econclusione sono rappresentate in LP da lettere proposizionali. MaLP non ha nessuna regola che consente di provare questo:

p, q `LP r


Il problema

I Abbiamo visto in passato che ci sono argomenti validi in italiano che nonsono validi in LP. Ad esempio:

Premessa: Questo oggetto e (tutto) rosso.Traduzione in LP: p

Conclusione: Dunque, questo oggetto non e verde.Traduzione in LP: ∼ q

I La differenza e che questo argomento non e valido in italiano in virtudella sua forma, mentre quello dei filosofi inaffidabili sı.

I Il nostro scopo, quando rappresentiamo un argomento in un linguaggiologico, e di assicurarci che la forma dell’argomento garantisca la suavalidita. Nel caso dell’argomento dei filosofi inaffidabili, la forma neassicura la validita, ma la sua rappresentazione in LP non e valida!

I Chiaramente, c’e qualcosa che non va: il linguaggio logico con cuirappresentiamo gli enunciati dell’italiano deve permetterci di rendereconto del fatto che l’argomento dei filosofi inaffidabili e valido in virtudella sua forma.


Un nuovo linguaggio

I Se vogliamo un linguaggio formale in cui argomenti comequello dei filosofi inaffidabili hanno una rappresentazionevalida, e chiaro che questo linguaggio deve distinguereenunciati della forma “a e P” da enunciati della forma “ogniM e P”.

I I linguaggi della logica proposizionale non permettono di farequesta distinzione.

I Per questa ragione, introdurremo ora un nuovo linguaggio: illinguaggio LQ (che appartiene a una classe linguaggi dettilinguaggi della logica del primo ordine).

I (La particolare formulazione di questo linguaggio cheadottiamo e quella di Bonevac 2003).


Il linguaggio LQi simboli

I Un insieme infinito di costanti individuali: c1 c2 c3 . . .

I Un insieme infinito di variabili individuali: x1 x2 x3 . . .

I Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0):P1

1 P12 P1

3 . . . P21 P2

2 P23 . . . P3

1 P32 P3

3 . . .[l’indice soprascritto indica il numero di argomenti del predicato, l’indicesottoscritto distingue uno dall’altro i predicati con lo stesso numero diargomenti]

I La relazione di identita: =I I quantificatori: ∀ ∃

[“∀” e detto “quantificatore universale” e si legge “per ogni”, “∃” e detto“quantificatore esistenziale” e si legge “esiste”.

I I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼I Le parentesi: ( )

I (Convenzione: per comodita, negli esempi, useremo a, b, c, d . . . per lecostanti individuali, x , y , z ,. . . per le variabili individuali, P, Q, R,S . . . per i predicati).


Sostituzione

I Prima di definire l’insieme delle formule ben formate di LQ,introduciamo la nozione di sostituzione.

I In primo luogo, chiamiamo le costanti e le variabili di LQtermini.

I Se t e un termine, indichiamo con ϕ(t) un’espressione checontiene t.

I Data un’espressione ϕ(t) di LQ, indichiamo con ϕ(t ′)l’espressione che otteniamo sostituendo ogni occorrenza di tin ϕ(t) con una occorrenza del termine t ′.

I In questo caso, diciamo che ϕ(t ′) e ottenuta per sostituzioneda ϕ(t).

I Ad esempio, se ϕ(a) e “R(a, b)”, allora ϕ(x) e “R(x , b)”.Oppure, se ϕ(a) e “∀xR(x , a)”, allora ϕ(y) e “∀xR(x , y)”.


Il linguaggio LQle frasi

(a) Se P e un predicato a n-posti e c 1, . . . , c n sono costanti, allorapP (c 1, . . . , c n)q e una frase (atomica) di LQ.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQ, allora

(b) p∼ ϕq e una frase di LQ,

(c) p(ϕ ∧ ψ)q e una frase di LQ,

(d) p(ϕ ∨ ψ)q e una frase di LQ,

(e) p(ϕ ⊃ ψ)q e una frase di LQ,

(f) p(ϕ ≡ ψ)q e una frase di LQ.

(g) Se pϕ(c )q e una frase di LQ che contiene la costante c, e v e unavariabile che non compare in pϕ(c )q, allorap∀v ϕ(v )q e p∃v ϕ(v )q sono frasi di LQ.

(h) Se c e u sono costanti, pc = uq e una frase di LQ.

(i) Nient’altro e una frase di LQ.

(Convenzione: e possibile tralasciare le parentesi, quando non creaambiguita).


Terminologiaambito e vincolamento

I In una frase della forma p∀v ϕq o p∃v ϕq, diciamo chep∀v ϕq e l’ambito di ∀v e p∃v ϕq e l’ambito di ∃v.

I Diciamo che una variabile v e vincolata in una espressione se e solo se v

occorre nell’ambito di ∀v o ∃v in quella espressione. Una variabile nonvincolata e detta libera. Un’espressione che contiene una variabile libera edetta formula aperta.

I Per esempio, la variabile pxq e vincolata nelle espressioni 1-2, mentre e

libera nelle espressioni 3-5:

1. ∀x(P(x) ⊃ Q(x))2. ∃x(P(x) ∧Q(x))3. P(x) ⊃ Q(x)4. ∀xP(x) ⊃ Q(x)5. ∃xP(x) ∧Q(x)

I Notate che, date le clausole (a), (g) e (h) nella definizione di frase dellinguaggio LQ, non ci sono variabili libere nelle frasi di LQ.


Modelli

I Per descrivere la semantica di LQ, dobbiamo in primo luogospiegare cos’e un modello per LQ.

I Un modello per LQ e una coppia M=<D, F>, dove

• D e un insieme non vuoto (detto dominio),• F e una funzione (detta interpretazione) tale che

(a) per ogni costante individuale c, F(c ) e un elemento di D,(b) per ogni predicato P n, F(P n) e un insieme di n-uple di

elementi di D.


Un esempio di modelloI Facciamo un esempio per mostrare concretamente cos’e un

modello per LQ. M1 e un modello per LQ:I M1 =< D1, F1 >, dove

• D1 = {Tom, Jerry},• F1(a) = Tom,• F1(b) = Jerry ,• F1(c) = Jerry , per ogni altra costante c ,• F1(P) = {Tom},• F1(Q) = {Tom, Jerry},• F1(P ) = ∅, per ogni altro predicato P.

I In altre parole, nel modello M1 il dominio D1 e l’insieme i cuiunici membri sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F1

assegna Tom alla costante paq, Jerry alla costante pbq e atutte le altre costanti; inoltre F1 assegna l’insieme {Tom} alpredicato a un posto P, l’insieme {Tom, Jerry} al predicato aun posto Q, e l’insieme vuoto a tutti gli altri predicati.


c -varianti

I Definiamo ora cos’e una c -variante di un modello:

• una c -variante di un modello M e un modello M’ uguale Meccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione puoassegnare alla costante c un individuo diverso del dominio diM da quello che la funzione interpretazione assegna a c in M.


Un esempio di c -varianteI Consideriamo di nuovo il modello M1 definito sopra:

I M1 =< D1, F1 >, dove

• D1 = {Tom, Jerry},• F1(a) = Tom,• F1(b) = Jerry ,• F1(c) = Jerry , per ogni altra costante c ,• F1(P) = {Tom},• F1(Q) = {Tom, Jerry},• F1(P ) = ∅, per ogni altro predicato P.

I Una a-variante di M1 e il modello M2=< D2, F2 > tale che M2 eidentico a M1 eccetto per il fatto che, in M2, F2(a) = Jerry .

I Inoltre, M1 stesso e una a-variante di M1, dal momento che la funzioneinterpretazione in una a-variante di M1 puo assegnare alla costante paqun individuo diverso da quello che gli assegna in M1, ma non e necessarioche assegni ad paq un individuo diverso da quello che gli assegna in M1.

I Dal momento che il dominio D1 ha due soli individui, Tom e Jerry, M1 eM2 sono tutte le a-varianti di M1.


DenotazioneDefiniamo ora cosı la denotazione delle frasi di LQ in un modello M (leggiamo[[α]]M come “la denotazione della frase α in M”):

1. se P n e un predicato e c 1, . . . , c n sono costanti individuali, allora[[P n(c 1, . . . , c n)]]M = 1 se < F (c 1), . . . , F (c n)> ∈ F(P n);altrimenti [[P n(c 1, . . . , c n)]]M = 0.

2. se c e u sono costanti individuali, [[c = u ]]M = 1 se F (c )=F (u );altrimenti [[c = u ]]M = 0.

Se ϕ e ψ sono frasi di LQ,

3. [[∼ ϕ]]M = 1 se [[ϕ]]M = 0; altrimenti [[∼ ϕ]]M = 0,

4. [[ϕ ∧ ψ]]M = 1 se [[ϕ]]M = 1 e [[ψ]]M = 1; altrimenti [[ϕ ∧ ψ]]M = 0,

5. [[ϕ ∨ ψ]]M = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M = 0 e [[ψ]]M = 0; altrimenti[[ϕ ∨ ψ]]M = 0,

6. [[ϕ ⊃ ψ]]M = 1 se non si da il caso che [[ϕ]]M,g = 1 e [[ψ]]M,g = 0;

altrimenti [[ϕ ⊃ ψ]]M = 0,

7. [[ϕ ≡ ψ]]M = 1 se [[ϕ]]M = [[ψ]]M ; altrimenti [[ϕ ≡ ψ]]M = 0.


Denotazionecont.

Infine, sia c una costante che non occorre in ϕ e ϕ(c/v ) ilrisultato di sostituire c a ogni occorrenza di v in ϕ:

8. [[∀v ϕ]]M = 1 se [[ϕ(c/v )]]M ′ = 1 per ogni c -variante M ′ diM; altrimenti [[∀v ϕ]]M = 0,

9. [[∃v ϕ]]M = 1 se [[ϕ(c/v )]]M ′ = 1 per qualche c -variante M ′

di M; altrimenti [[∃v ϕ]]M = 0.


Come calcolare la denotazioneun esempio con frasi quantificate

I Facciamo un esempio per mostrare come viene computata la denotazione dellefrasi quantificate.

I Consideriamo di nuovo il modello M1, in cui il dominio D1 e l’insieme i cuielementi sono Tom e Jerry, la funzione interpretazione F1 assegna Tom allacostante paq, Jerry alla costante pbq e a tutte le altre costanti, l’insieme {Tom}al predicato pPq, l’insieme {Tom, Jerry} al predicato pQq, e l’insieme vuoto atutti gli altri predicati. (M2 assegna invece Jerry ad paq).

I Qual e la denotazione di p∀x(P(x) ⊃ Q(x))q in M1?I Dunque, per la clausola 8, [[∀x(P(x) ⊃ Q(x))]]M1 = 1 se e solo se

[[P(a) ⊃ Q(a)]]M1 = 1 per ogni a-variante di M1 sse (dal momento M1 e M2sono le uniche a-varianti di M1) [[P(a) ⊃ Q(a)]]M1 = 1 e [[P(a) ⊃ Q(a)]]M2 = 1sse, per la clausola 6, non si da il caso che [[P(a)]]M1 = 1 e [[Q(a)]]M1 = 0 e nonsi da il caso che [[P(a)]]M2 = 1 e [[Q(a)]]M2 = 0 sse, per la clausola 1, non si dail caso che F1(a) ∈ F1(P) e F1(a) /∈ F1(Q) e non si da il caso cheF2(a) ∈ F2(P) e F2(a) /∈ F2(Q) sse (per la definizione di M1 e M2) (i) non si dail caso che Tom ∈ {Tom} e Tom /∈ {Tom, Jerry} e (ii) non si da il caso cheJerry ∈ {Tom} e Jerry /∈ {Tom, Jerry}.

I Dal momento che Tom ∈ {Tom, Jerry}, la condizione (i) e soddisfatta e, dalmomento che Jerry /∈ {Tom}, anche la condizione (ii) e soddisfatta. Dunque,[[∀x(P(x) ⊃ Q(x))]]M1 = 1.


Validita

La nozione di validita in LQ e definita cosı:

I una frase ϕ di LQ e vera in un modello M se e solo se ladenotazione di ϕ in M e 1 (se e solo se [[ϕ]]M = 1);

I un argomento in LQ con premesse ϕ1, . . . , ϕn e conclusione ψe valido in LQ (in simboli, ϕ1, . . . , ϕn |=LQ ψ) se e solo senon esiste un modello M tale che ϕ1, . . . , ϕn sono tutte verein M e ψ e falsa in M;

I una frase ϕ di LQ e valida in LQ (in simboli, |=LQ ϕ) se esolo se non esiste un modello M tale che [[ϕ]]M = 0.


Proprieta di LQequivalenza di p∼∃v ϕq e p∀v ∼ ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:

• ∼∃v ϕ |=LQ ∀v ∼ ϕ• ∀v ∼ ϕ |=LQ ∼∃v ϕ

I Infatti: se p∼∃v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 3 della definizione di denotazione, p∃v ϕq e falsa inM. Dunque, per la clausola 9 della definizione di denotazione,pϕ(c/v)q e falsa in ogni c -variante M’ di M. Dunque, per laclausola 2 della definizione di denotazione, p∼ ϕ(c/v)q e verain ogni c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 8 delladefinizione di denotazione, p∀v ∼ ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∀v ∼ ϕ |=LQ ∼∃v ϕ.


Proprieta di LQequivalenza di p∼∀v ϕq e p∃v ∼ ϕq


• ∼∀v ϕ |=LQ ∃v ∼ ϕ• ∃v ∼ ϕ |=LQ ∼∀v ϕ

I Infatti: se p∼∀v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 3 della definizione di denotazione, p∀v ϕq e falsa inM. Dunque, per la clausola 8 della definizione di denotazione,pϕ(c/v)q e falsa in qualche c -variante M’ di M. Dunque, perla clausola 2 della definizione di denotazione, p∼ ϕ(c/v)q evera in qualche c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9della definizione di denotazione, p∃v ∼ ϕq e vera in M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∃v ∼ ϕ |=LQ ∼∀v ϕ.


Proprieta di LQequivalenza di p∀v ϕq e p∼∃v ∼ ϕq

I Questi sono fatti relativi a LQ:• ∀v ϕ |=LQ ∼∃v ∼ ϕ• ∼∃v ∼ ϕ |=LQ ∀v ϕ

I Infatti: se p∀v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 8 della definizione di denotazione, pϕ(c/v)q e vera inogni c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 2 delladefinizione di denotazione, p∼ ϕ(c/v)q e falsa in ogni c-variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9 della definizionedi denotazione, p∃v ∼ ϕq e falsa in M. Dunque, per laclausola 2 della definizione di denotazione, p∼∃v ∼ ϕq e verain M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∼∃v ∼ ϕ |=LQ ∀v ϕ.


Proprieta di LQequivalenza di p∃v ϕq e p∼∀v ∼ ϕq


• ∃v ϕ |=LQ ∼∀v ∼ ϕ• ∼∀v ∼ ϕ |=LQ ∃v ϕ

I Infatti: se p∃v ϕq e vera in un modello M, allora, per laclausola 8 della definizione di denotazione, pϕ(c/v)q e vera inqualche c -variante M’ di M. Dunque, per la clausola 2 delladefinizione di denotazione, p∼ ϕ(c/v)q e falsa in qualche c

-variante M’ di M. Dunque, per la clausola 9 della definizionedi denotazione, p∀v ∼ ϕq e falsa in M. Dunque, per laclausola 2 della definizione di denotazione, p∼∀v ∼ ϕq e verain M.

I Con un ragionamento simile, si prova anche che∼∀v ∼ ϕ |=LQ ∃v ϕ.


Deduzione naturale per la logica del primo ordine

I Introdurremo ora un sistema di deduzione naturale per illinguaggio LQ, che chiameremo Q(NAT).

I Il sistema si basa su Bonevac (2003).


Il sistema Q(NAT)

I Il sistema Q(NAT) consiste in queste regole:

• tutte le regole di LP(NAT);

• le regole di inferenza e le regole di inscatolamento ecancellazione specifiche di Q(NAT).


Istanze e generalizzazioni

I Prima di presentare le regole specifiche di Q(NAT), definiamole nozioni di istanza e generalizzazione.

I Siano p∀v ϕ(v)q e p∃v ϕ(v)q frasi di LQ e sia ϕ(c) ilrisultato che otteniamo sostituendo la costante c a ognioccorrenza della variabile v nella formula aperta ϕ(v):

• ϕ(c) e detta un’istanza di p∀ϕ(v)q e p∃ϕ(v)q,• mentre p∀ϕ(v)q e p∃ϕ(v)q sono dette generalizzazioni di

pϕ(c)q.


Esempi

I pP(a)q e un’istanza di p∃xP(x)q e p∃xP(x)q e una generalizzazione di P(a).Infatti, pP(a)q e ottenuta sostituendo la costante paq a ogni occorrenza di pxqin pP(x)q.

I p∃yP(a, y ) ∧Q(y , a)q e un’istanza di p∃x∃yP(x , y ) ∧Q(y , x)q ep∃x∃yP(x , y ) ∧Q(y , x)q e una generalizzazione di p∃yP(a, y ) ∧Q(y , a)q.Infatti, pP(a, y ) ∧Q(y , a)q e ottenuta sostituendo la costante paq a ognioccorrenza di pxq in pP(x , y ) ∧Q(y , x)q.

I p∃yP(a, y ) ∧Q(y , x)q non e un’istanza di p∃x∃yP(x , y ) ∧Q(y , x)q in quantopP(a, y ) ∧Q(y , x)q non e ottenuta sostituendo la costante paq a ognioccorrenza di pxq in pP(x , y ) ∧Q(y , x)q.

I pR(a, a)q e un’istanza di p∃xR(x , a)q e p∃xR(x , a)q e una generalizzazione dipR(a, a)q. Infatti, pR(a, a)q e ottenuta sostituendo la costante paq a ognioccorrenza di pxq in pR(x , a)q.

I pF (b) ⊃ G (b)q non e un’istanza di p∀xF (x) ⊃ G (x)q, in quantop∀xF (x) ⊃ G (x)q non e della forma p∀ϕ(v)q.

I pF (b) ⊃ G (b)q e un’istanza di p∀x(F (x) ⊃ G (x))q e p∀x(F (x) ⊃ G (x))q euna generalizzazione di pF (b) ⊃ G (b)q. Infatti, pF (b) ⊃ G (b)q e ottenutasostituendo la costante pbq a ogni occorrenza di pxq in pF (a) ⊃ G (a)q.


Regole di inferenza specifiche per Q(NAT)

dove ϕ(c ) e un’istanza di p∀ϕ(v )q e p∃ϕ(v )q, e pϕ (c/u)q e qualunque

risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le

occorrenze della costante u in ϕ.


Regole di inscatolamento e cancellazione di Q(NAT)

C’e una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica diQ(NAT):


Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che Q(NAT) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LQ.

I In simboli:

{ϕ1, . . . , ϕn} `Q(NAT ) ψ sse {ϕ1, . . . , ϕn} |=LQ ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `Q(NAT ) ψsse |=LQ ψ).


Tableaux per LQ

I Per LQ introduciamo il sistema di tableaux Q(TAB).

I (Q(TAB) e basato su Bonevac 2003).


Regole di Q(TAB)Le regole di Q(TAB) sono le regole di LP(TAB) + le regole seguenti:

dove ϕ(c ) e un’istanza di p∀ϕ(v )q e p∃ϕ(v )q, e pϕ (c/u)q e qualunque

risultato si ottiene sostituendo la costante c ad alcune o tutte le

occorrenze della costante u in ϕ.


Tableaux chiusi e terminati

I Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazionesono le consuete:

• un ramo di un tableaux e chiuso se e solo per qualche frase ϕ,sia ϕ che ∼ ϕ occorrono sul ramo;

• un tableau e terminato se e solo se ogni regola che puo essereapplicata e stata applicata;

• un tableau e chiuso se ogni suo ramo e chiuso; altrimenti eaperto;

• ψ e derivabile in Q(TAB) da un insieme di frasi Σ di LQ se esolo se c’e un tableau terminato e chiuso la cui radice consistenei membri di Σ e nella negazione di ψ.

• {ϕ1, . . . , ϕn} `Q(TAB) ψ =def . ϕ e derivabile in Q(TAB)

dall’insieme di formule {ϕ1, . . . , ϕn}.• `Q(TAB) ϕ =def . ϕ e derivabile in Q(TAB) dall’insieme vuoto

∅.


Completezza e correttezza

I E possibile mostrare che Q(TAB) permette di derivare unaconclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi incui le premesse implicano la conclusione in LQ.

I In simboli:

{ϕ1, . . . , ϕn} `Q(TAB) ψ sse {ϕ1, . . . , ϕn} |=LQ ψ.

I (Come caso particolare, e possibile mostrare che `Q(TAB) ψsse |=LQ ψ).


Traduzione dall’italiano a LQI Come e possibile usare LQ per rappresentare gli enunciati dell’italiano?

I L’idea e questa:

• i connettivi p∼q, p∧q, p∨q, p⊃q e p≡q vengono usati comeal solito per rappresentare i connettivi vero-funzionalidell’italiano;

• le costanti di LQ si usano per rappresentare i nomi propridell’italiano;

• i predicati di LQ si usano per rappresentare i nomi comuni, iverbi e alcuni aggettivi dell’italiano;

• il predicato di identita p=q si usa per rappresentare predicatidell’italiano come “e uguale a”, “e identico a”;

• il quantificatore universale p∀q si usa per rappresentare parolecome “ogni”, “ciascuno”, “tutti”;

• il quantificatore esistenziale p∃q si usa generalmente perrappresentare parole come “un”, “qualche”, “qualcuno”,“qualcosa”.

I Vediamo alcuni esempi.


Filosofi inaffidabili

Le frasi 1-3 dell’italiano si rappresentano cosı in LQ:

1. Ogni individuo distratto perde le chiavi.∀x(D(x) ⊃ P(x))

2. Ogni filosofo e distratto.∀x(F (x) ⊃ D(x))

3. Ogni filosofo perde le chiavi.∀x(F (x) ⊃ P(x))


Validita dell’argomento dei filosofi inaffidabili

I Per inciso, rappresentazione in LQ dell’argomento dei filosofiinaffidabili e valida in LQ:

I ∀x(D(x) ⊃ P(x)), ∀x(F (x) ⊃ D(x)) `LQ(NAT ) ∀x(F (x) ⊃ P(x))

I Infatti, la conclusione e derivabile dalle premesse in LQ(NAT)e, come sappiamo, se la conclusione di un argomento ederivabile dalle premesse in LQ(NAT), l’argomento e valido inLQ.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

∀x(D(x) ⊃ P(x))∀x(F (x) ⊃ D(x))Prova: ∀x(F (x) ⊃ P(x))

Prova: F (a) ⊃ P(a)

F (a)Prova: P(a)

∼ P(a)F (a) ⊃ D(a)D(a) ⊃ P(a)∼ D(a)∼ F (a)F (a)

P

P

∀I

⊃I

Ass

∼E

Ass

∀E, 2

∀E, 1

⊃E*, 7, 9

⊃E*, 8, 10

R, 5


Indefiniti polimorfiI Questo e un esempio di frasi in cui “un” e “qualcuno” sono

correttamente rappresentati dal quantificatore esistenziale ∃:• Leo ha un gatto∃x(G (x) ∧H(l , x))

• qualcuno e entrato∃x E (x)

I Tuttavia, ci sono anche casi in cui parole come “un” e“qualcuno” devono essere rappresentate per mezzo di unquantificatore universale per essere fedeli al significatodell’enunciato italiano in cui occorrono. Ecco alcuni esempi:• un gatto e un felino∀x(G (x) ⊃ F (x))

• se Leo ha un gatto, gli vuol bene∀x((G (x) ∧H(l , x)) ⊃ B(l , x)

• se un gatto fa amicizia con qualcuno, dorme con lui∀x∀y((G (x) ∧ A(x , y)) ⊃ D(x , y))


Ambiguita di ambitoI All’inizio del corso, abbiamo osservato che la frase (1) e ambigua:

(1) Ogni gatto del vicinato e innamorato di una gatta del vicinato.

I Infatti, (1) puo essere interpretata come (a) o come (b):

(a) c’e una gatta del vicinato di cui tutti i gatti del vicinato sonoinnamorati;

(b) ogni gatto del vicinato e innamorato di qualche gatta delvicinato, non necessariamente la stessa di cui sono innamoratigli altri.

I Le letture (a) e (b) sono rappresentate cosı in LQ (“D” sta per

“femmina”, “M” sta per “maschio”, “G” sta per “gatto del vicinato” e

“I” sta per “innamorato”):

(a’) ∃y(G (y) ∧D(y) ∧ ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , y)))(b’) ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ ∃y(G (y) ∧D(y) ∧ I (x , y)))

I Cosı come (b) non implica (a) in italiano, in LQ (b’) non implica (a’).


Un contro-modelloI Ecco un contro-modello (una classe di modelli) che ci mostra che

∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ ∃y(G (y) ∧D(y) ∧ I (x , y))) 2LQ

∃y(G (y) ∧D(y) ∧ ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , y)))

• D = {Romeo, Rossini , Kukla, Luna}• F (a) = Romeo• F (b) = Rossini• F (c) = Kukla• F (d) = Luna• F (M) = {Romeo, Rossini}• F (D) = {Kukla, Luna}• F (G ) = {Romeo, Rossini , Kukla, Luna}• F (I ) = {< Romeo, Kukla >, < Rossini , Luna >}• ...

I E possibile (anche se e un po’ lungo) verificare che in questo modello lapremessa e vera (in quanto ogni gatto e innamorato di una gatta), ma laconclusione e falsa (in quanto non c’e una gatta di cui ogni gatto einnamorato).


La verificaverita della premessa in M

I [[∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ ∃y (G (y ) ∧D(y ) ∧ I (x , y )))]]M = 1 sse per ognia-variante M’ di M [[(G (a) ∧M(a)) ⊃ ∃y (G (y ) ∧D(y ) ∧ I (a, y ))]]M ′ = 1sse per ogni a-variante M’ di M o [[G (a) ∧M(a)]]M ′ = 0 oppure[[∃y (G (y ) ∧D(y ) ∧ I (a, y ))]]M ′ = 1 sse per ogni a-variante M’ di Mo [[G (a) ∧M(a)]]M ′ = 0 oppure c’e almeno una b-variante M” di M’ tale che[[G (b) ∧D(b) ∧ I (a, b))]]M ′′ = 1.

I Ora, nel dominio ci sono 4 individui, quindi 4 a-varianti M’ di M (incluso M),che assegnano ad “a” un individuo diverso: Romeo, Rossini, Kukla e Luna.Inoltre, per ciascun M’ ci sono 4 b-varianti M”, che assegnano a “b” unindividuo diverso.

I Consideriamo la a-variante M’ di M che assegna ad “a” Romeo. In questo caso,c’e una b-variante M” di M’ tale che [[G (b) ∧D(b) ∧ I (a, b))]]M ′′ = 1 ed e lab-variante che assegna Kukla a “b”.

I Consideriamo ora la a-variante M’ di M che assegna ad “a” Rossini. Di nuovo,c’e una b-variante M” di M’ tale che [[G (b) ∧D(b) ∧ I (a, b))]]M ′′ = 1 ed e lab-variante che assegna Luna a “b”.

I Le a-varianti M’ rimanenti assegnano una gatta ad “a”, quindi[[G (a) ∧M(a)]]M ′ = 0. Dunque, per ogni a-variante M’ di Mo [[G (a) ∧M(a)]]M ′ = 0 oppure c’e almeno una b-variante M” di M’ tale che[[G (b) ∧D(b) ∧ I (a, b))]]M ′′ = 1. Pertanto, la premessa e vera.


La verificafalsita della conclusione in M

I [[∃y (G (y ) ∧D(y ) ∧ ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , y )))]]M = 1 sse, per qualchea-variante M’, [[G (a) ∧D(a) ∧ ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , a))]]M ′ = 1 sse, perqualche a-variante M’, [[G (a) ∧D(a)]]M ′ = 1 e[[∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , a))]]M ′ = 1 sse, per qualche a-variante M’,[[G (a) ∧D(a)]]M = 1 e per ogni b-variante M” di M’[[(G (b) ∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M ′′ = 1.

I Ora, consideriamo la a-variante M’ che assegna Kukla ad “a”. Per questo M’,[[G (a) ∧D(a)]]M ′ = 1, in quanto Kukla e una gatta. Tuttavia, c’e una b-varianteM” di M’ tale che [[(G (b) ∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M ′′ = 0, ed e la variante cheassegna Rossini a “b”, dal momento che Rossini e un gatto che non ama Kukla.

I Consideriamo la a-variante M’ che assegna Luna ad “a”. Di nuovo, per questoM’, [[G (a) ∧D(a)]]M ′ = 1, in quanto Luna e una gatta. Tuttavia, c’e unab-variante M” di M’ tale che [[(G (b) ∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M ′′ = 0, ed e la varianteche assegna Romeo a “b”, dal momento che Romeo e un gatto che non amaLuna.

I Le a-varianti M’ rimanenti assegnano un gatto ad “a” e quindi[[G (a) ∧D(a)]]M ′ = 0. Dunque, non c’e una a-variante M’ di M tale che[[G (a) ∧D(a)]]M ′ = 1 e per ogni b-variante M” di M’[[(G (b) ∧M(b)) ⊃ I (b, a)]]M ′′ = 1.

I Dunque, [[∃y (G (y ) ∧D(y ) ∧ ∀x((G (x) ∧M(x)) ⊃ I (x , y )))]]M = 0.


Aggettivi intersettivi e nonI Torniamo ora alla traduzione dall’italiano ad LQ.

I Una bandiera rossa e una bandiera ed e rossa, un cane nero e un cane ede nero, un uomo ricco e un uomo ed e ricco.

I Aggettivi, come “rosso”, “nero”, “ricco” sono intersettivi, vale a dire leespressioni complesse che si ottengono combinando questi aggettivi conun nome equivalgono a delle congiunzioni.

I Le espressioni composte da un nome e un aggettivo intersettivo possono

dunque essere rappresentate per mezzo di congiunzioni in LQ:

(c) Leo ha sventolato una bandiera rossa(c’) ∃x(B(x) ∧ R(x) ∧ S(l , x))

I Alcuni aggettivi, tuttavia, non sono intersettivi: un buon pianista non e

una persona buona che e anche un pianista e un diamante falso non e

qualcosa che e un diamante ed e falso. Predicati come “diamante falso”

devono essere rappresentati come singoli predicati in LQ:

(d) Leo ha comprato un diamante falso(d’) ∃x(Q(x) ∧ C (l , x))


Relative restrittive e nonI Le frasi relative possono essere restrittive o non restrittive:

(e) Un gatto che Leo conosce bene e entrato. (restrittiva)(f) Un gatto, che tra l’altro Leo conosce bene, e entrato.

(non restrittiva)I Le frasi precedenti hanno le stesse condizioni di verita e

possono essere rappresentate cosı in LQ:(e-f’) ∃x(G (x) ∧ C (l , x) ∧ E (x))

I In presenza di quantificatori universali, tuttavia, puo faredifferenza per le condizioni di verita se la relativa e restrittivao no. Per esempio, le frasi seguenti non sono sinonime (solo(h) implica che tutti gli studenti si annoiano):(g) Tutti studenti del corso che sono matricole si annoiano.(h) Tutti studenti del corso, che tra l’altro sono matricole, si

annoiano.I In questo caso, la traduzione corretta e la seguente:

(g’) ∀x((S(x) ∧M(x)) ⊃ A(x))(h’) ∀x(S(x) ⊃ A(x)) ∧ ∀x(S(x) ⊃ M(x))


Ci sono almeno n gattiI Attraverso il simbolo di identita possiamo esprimere

affermazioni numeriche della forma• ci sono almeno n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (i) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (i’), la frase (j) dalla frase (j’), e cosı via(px 6= yq abbrevia p∼ x = yq):

(i) ci sono almeno due gatti(i’) ∃x∃y(G (x) ∧ G (y) ∧ x 6= y)

(j) ci sono almeno tre gatti(j’) ∃x∃y∃z(G (x) ∧ G (y) ∧ G (z) ∧ x 6= y ∧ y 6= z ∧ x 6= z)

. . .

I (Si noti che e necessario introdurre condizioni come px 6= yq,in quanto p∃x∃y(G (x) ∧ G (y))q puo essere vera anche se c’eun solo gatto).


Ci sono al piu n gatti

I Attraverso il simbolo di identita possiamo esprimere inoltreaffermazioni numeriche della forma

• ci sono al piu n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (k) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (k’), la frase (l) dalla frase (l’), e cosı via:

(i) c’e al piu un gatto(i’) ∀x∀y((G (x) ∧ G (y)) ⊃ x = y)

(j) ci sono al piu due gatti(j’) ∀x∀y∀z((G (x) ∧ G (y) ∧ G (z)) ⊃ (x = y ∨ y = z ∨ x = z))

. . .

I (Possiamo anche esprimere (i) negando la formula cheasserisce che esistono almeno due gatti, esprimere (j) negandola formula che asserisce che esistono almeno tre gatti, ecc.)


Ci sono esattamente n gatti

I Attraverso il simbolo di identita possiamo esprimere infineaffermazioni numeriche della forma

• ci sono esattamente n individui che sono F.

I Ad esempio, la frase (m) dell’italiano puo essere rappresentatain LQ dalla frase (m’), la frase (n) dalla frase (n’), e cosı via:

(i) c’e esattamente un gatto(i’) ∃x(G (x) ∧ ∀y(G (y) ⊃ y = x))

(j) ci sono esattamente due gatti(j’) ∃x∃y(G (x) ∧ G (y) ∧ x 6= y ∧ ∀z(G (z) ⊃ (z = x ∨ z = y))

. . .


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Logica del primo ordine - DISI, University of Trentodisi.unitn.it/.../Courses/LoLa/Papers/LogicaPrimoOrdine.pdfLogica del primo ordine Sandro Zucchi 2009-10 S. Zucchi: Metodi formali