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Luisa Ruiz Higueras

Maestro/a Educacin Infantil

Luisa Ruiz Higueras Maestro/a Educacin Infantil

Bloque 2: La actividad lgica en

Educacin Infantil

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BLOQUE 2: LA ACTIVIDAD LGICA EN LA ESCUELA INFANTIL

OBJETIVOS:

Desarrollar competencias profesionales que permitan:

- Estudiar y analizar, desde el punto de vista matemtico y didctico, las nociones relativas a los conocimientos lgico-matemticos que integran este captulo: proposiciones, predicados, clasificaciones, relaciones de orden, etc.

- Construir, bajo una hiptesis constructivista por adaptacin al medio, situaciones de enseanza aprendizaje de conocimientos lgico-matemticos en la Escuela Infantil.

- Analizar las situaciones que pueden dar significacin al aprendizaje de las actividades lgicas en la Escuela Infantil.

- Determinar y analizar los procedimientos que pueden emplear los nios en la resolucin de las situaciones anteriores, as como la actividad matemtica que desarrollan con ellos.

- Llevar a cabo anlisis didcticos de situaciones de enseanza aprendizaje de conocimientos lgico-matemticos.

- Analizar errores cometidos por los nios en relacin con los conocimientos matemticos de este bloque e identificar sus causas.

Contenidos: 1. INTRODUCCIN. 2. LA ACTIVIDAD LGICA EN LA ESCUELA INFANTIL: UNA NUEVA CONCEPCIN DE LOS

CONOCIMIENTOS PRENUMRICOS. 3. LAS COLECCIONES DE OBJETOS: LA FORMACIN DE LISTAS. 5. INICIACIN A LA CODIFICACIN Y DESIGNACIN DE OBJETOS Y COLECCIONES 5. PROPOSICIONES LGICAS 6. PROCESOS DE CENTRACIN Y DECANTACIN. 7. RELACIONES BINARIAS: PROPIEDADES. 8. LAS CLASIFICACIONES. Actividades de discriminacin, seleccin y clasificacin en la Escuela

Infantil. 9. LAS RELACIONES DE ORDEN.

9.1. Actividades para construir seriaciones en la Escuela Infantil. 9.2. La enumeracin de colecciones: Una relacin de orden total. 9.3. Conservacin del orden en las relaciones espaciales.

10. BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA

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LA ACTIVIDAD LGICA EN LA ESCUELA INFANTIL

El aprendizaje ms fundamental que los nios pueden encontrar en las

matemticas, en la escuela infantil y primaria, es el de la gestin

personal y social de la verdad. Las matemticas no tienen el monopolio

de la investigacin de la verdad, pero constituyen el dominio donde la

encuentran ms precozmente y donde pueden aprender a tratarla con el

menor nmero de saberes previos.

Guy Brousseau1

1. Introduccin. En la vida cotidiana se escuchan con mucha frecuencia expresiones, tales como Es lgico!, o bien Es razonable!, lo que supone considerar un argumento lgico como un argumento razonable, es decir, conforme al buen sentido. Esto supone la aceptacin o el rechazo de un razonamiento, es decir, su validez, en el contexto donde se ha establecido un debate.

Si tuvisemos que determinar brevemente qu es la lgica, con toda seguridad podramos dar muy diferentes respuestas:

- El arte de razonar bien. - Un mtodo que permite argumentar correctamente. - La ciencia de la demostracin. - Una disciplina cuya norma de funcionamiento se basa en el

establecimiento de la verdad. - El estudio de las leyes del pensamiento. - El estudio de los fundamentos tericos de la informtica, etc.

Todas estas posibles respuestas han transitado a travs de la historia de la lgica, el estudio profundo de cada una de ellas nos permitira mostrar cmo ha evolucionado la lgica a travs de los siglos. La lgica clsica fue desarrollada para establecer las bases del razonamiento y para construir un fundamento terico de las matemticas y otras ciencias deductivas. Se trata de una disciplina matemtica cuyo objeto es el estudio de los tipos de argumentos lgicos y de su validez. (Ors2, 1992, p. 39)

En el transcurso del tiempo, mltiples trabajos de filsofos y especialistas en lgica han contribuido a construir un cuerpo terico denominado lgica formal que da cuenta de las leyes del pensamiento humano o pensamiento natural. Los modelos propuestos aportan gran claridad sobre el funcionamiento del pensamiento natural, aunque existe una gran distancia entre el lenguaje de la lgica formal y la lgica del lenguaje natural. Por ejemplo, la afirmacin de una persona: soy un mentiroso, en la lgica formal constituye una paradoja, mientras que en el lenguaje natural es perfectamente admisible.

1 Brousseau, G. (1998) Les Mathmatiques lcole. Conferencia.

2 Ors, P. (1992) Le raisonnement des lves dans la relation didactique; effects dune initiation lanalyse classificatoire dans la scolarit

obligatoire. Thse. Universit de Bordeaux I.

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La lgica natural es uno de los constituyentes del sistema cognitivo de todo sujeto y normalmente se designa como prelgica al nivel ms inferior (o nivel cero) de la lgica natural. Justamente este es el nivel que tienen los nios que acceden a la Escuela Infantil.

Si es necesario poseer un cierto nmero de llaves para entrar en el mundo de las matemticas y para explorar todas sus posibilidades, podemos afirmar, sin lugar a dudas, que el razonamiento lgico constituye una de las ms importantes llaves de entrada. El razonamiento y, en consecuencia, la lgica, se impone como una necesidad para la construccin no slo de los conocimientos matemticos sino de cualquier otro conocimiento perteneciente a otras reas de currculum, aunque, en especial, su presencia se requiere singularmente en matemticas.

Para adentrarnos en este dominio, proponemos resolver las actividad 1 que se presenta a continuacin y estudiar las dos situaciones que se ofrecen en el ejemplo 1.

Actividad 1: Lea detenidamente el relato de los siguientes hechos:

Un comerciante acaba de abrir las puertas de un establecimiento cuando se presenta un hombre pidiendo dinero. Su propietario abre la caja registradora. El dinero que contiene la caja se retira a toda prisa. A continuacin, alguien corre. Se avisa inmediatamente a la polica.

Seale la conclusin (o conclusiones) que a su juicio sean verdaderas: Mientras el propietario de un establecimiento encenda las luces, se present un hombre. El ladrn fue un hombre. El hombre que abri la caja registradora era el propietario. El hombre que pidi dinero, tras tomar todo el dinero de la caja registradora, huy. El ladrn pidi todo el dinero de la caja registradora al propietario Los acontecimientos relatados se refieren a cuatro personas distintas: el propietario del

establecimiento, el comerciante, un hombre que pide dinero y otro que huye. Ocurrieron, entre otros, los siguientes acontecimientos: alguien pidi dinero, una caja registradora se abri, el dinero que contena se retir y un polica fue avisado por telfono.

Para resolver correctamente esta actividad las personas adultas recurrimos a lo que se denomina, normalmente, razonar con lgica. Es decir, tratamos de encontrar la solucin aplicando criterios que nos permitan establecer relaciones lgicas entre los hechos relatados (las premisas de partida) y las posibles conclusiones que se deriven de ellos.

Leamos detenidamente el ejemplo 1 donde se nos muestran algunos casos de razonamientos de nios en edad escolar.

Ejemplo 1:

1 situacin:

Pedro tiene cuatro aos y es un apasionado de los dibujos animados. Sabe que los sbados pasan en la televisin la serie El osito Misha y, tan pronto como se levanta de la cama, pide a su mam que le encienda el televisor para poder verla. Su madre le informa que debe esperar, ya que esa serie comienza despus de comer. Pedro le responde:Mam, dame la comida ahora mismo, y ya puedo ver la pelcula.

Como hemos podido observar Pedro no razona lgicamente, tal como lo hara una persona adulta. Su madre enuncia la expresin despus de comer con un sentido genrico, indicativo de una hora

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socialmente aceptada y que normalmente, en nuestro pas, va desde las 14h. a las 15.30h aproximadamente. Pedro no capta el sentido de esta expresin porque su razonamiento en esta edad tiene caracteres prelgicos que le impiden, entre otras muchas actividades, generalizar, como consecuencia de su transductividad y egocentrismo. Para Pedro, conocer el significado de la palabra comer, no garantiza la compresin lgica de la situacin.

2 situacin: Una profesora de Educacin Infantil solicita a sus alumnos (4 5 aos) que le pidan, mediante un mensaje escrito, el nmero de pegatinas necesario para cubrir, en una ficha, los ptalos de una flor. Marta le entrega el siguiente mensaje:

Si analizamos la produccin de Marta, podemos observar que para pedir 7 pegatinas, ella necesita emplear las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7. En su peticin, para cada pegatina precisa escribir una cifra indicativa. La cifra 7 no le es suficiente para determinar el cardinal de toda la coleccin. Marta tiene problemas para llevar a cabo la cardinacin de colecciones. Su origen est muy relacionado con una falta de razonamiento lgico sobre la significacin de la inclusin jerrquica de clases, debido a las limitaciones de su desarrollo gentico.

Los profesores de la Escuela Infantil, a lo largo de sus aos de experiencia en las aulas, se encuentran con casos anlogos a los mostrados: errores debidos a la falta de razonamiento lgico. Para evitarlos, tratan de suscitar, entre los alumnos, razonamientos correctos, es decir, lo ms lgicos posible. Cabe sealar, en este sentido, que, es, justamente, la calidad de sus razonamientos, uno de los indicadores que emplea, en general, todo el profesorado para identificar a los mejores alumnos.

Pero a diferencia de los nios de los cursos superiores, los nios de la Escuela Infantil y primer ciclo de la Escuela Primaria, disponen de un razonamiento que tiene caracteres prelgicos debido a las limitaciones de su desarrollo gentico. Por ello, el profesor debe disear, organizar y conducir a sus alumnos a travs de situaciones de enseanza-aprendizaje que les permitan evolucionar, desarrollando conocimientos lgicos y superando determinados obstculos ontogenticos propios de esta edad.

2. La actividad lgica en la Escuela Infantil: una nueva concepcin de los conocimientos prenumricos.

Nos sustentaremos en una opcin didctica cuyo objetivo es generar, en los nios de este nivel, una actividad matemtica que promueva el desarrollo de su pensamiento y razonamiento lgico3. En consecuencia, desde esta opcin4, es necesario realizar un trabajo

3 Decir que un determinado sujeto es capaz de utilizar de forma natural la lgica de proposiciones no significa, por supuesto, que sea

consciente de ella. Para esto tendra que hacerla explcita, cosa que slo se logra estudindola, de la misma manera que nosotros usamos el

lenguaje y, sin embargo, no somos conscientes de la gramtica hasta que no la hemos estudiado. Debemos, pues, diferenciar y no confundir los conocimientos de lgica matemtica que aparecen como respuesta al problema de formalizar y fundamentar el razonamiento matemtico

y las relaciones, manipulaciones, observaciones, identificaciones concretas que deben aprender a desarrollar los alumnos en este nivel. 4 Esta opcin se ha consolidado teniendo en cuenta los resultados de toda una serie de investigaciones sobre la construccin del nmero y de

la numeracin, tales como: Meljac, C. (1979) Dcrir, agir, compter. Pars: PUF; El Bouazzaoui, H. (1982) Etude de situations scolaires des

premiers enseignements du nombre et de la numration. Thse Universit de Bordeaux I. Desde entonces, la didctica de las matemticas ha

comenzado a cuestionarse las denominadas actividades prenumricas en la Escuela Infantil.

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didctico que permita la creacin de situaciones de enseanza que provoquen y hagan evolucionar el lenguaje, el pensamiento y la actividad lgica en los nios de esta edad. En lo que sigue, nos basaremos en una serie de trabajos, desarrollados bajo la direccin de Brousseau5, en los que se aborda todo un dominio de situaciones didcticas vlidas para la Escuela Infantil, que permiten establecer una relacin ptima entre los saberes lgicos, las actividades de accin, formulacin y validacin, y el desarrollo del lenguaje y del pensamiento natural en los nios de este edad.

Trataremos de evitar todo deslizamiento hacia un formalismo fuera de lugar, para ello hablaremos de actividades lgicas en la Escuela Infantil y, en su construccin, tendremos en cuenta que:

- La actividad de simbolizacin incluye, en principio, esencialmente el lenguaje. El desarrollo de la lgica en los nios se encuentra asociada, en primer lugar, a la construccin del lenguaje: han de dar a cada palabra un empleo preciso y claro.

- La lgica no es un juego puro y gratuito. Todas las actividades deben ser portadoras de sentido. No se hace el inventario de una coleccin, se clasifican, o bien se ordenan unos objetos bajo el influjo de una fantasa momentnea, sino porque se tiene una razn para ello: ahorrar espacio, ganar tiempo, comprobar que no falta nada, localizarlos con rapidez y seguridad, etc.

Las situaciones que propondremos se inscriben en un proyecto de aprendizaje constructivista por adaptacin al medio6, y se caracterizan porque:

Estn construidas alrededor de situaciones a-didcticas cuya resolucin supone la necesidad

de poner en funcionamiento el conocimiento deseado. El profesor lleva a cabo la devolucin al alumno de la responsabilidad en la resolucin del

problema. Las acciones de los alumnos son validables por la propia situacin o por ellos mismos. Permiten a los alumnos hacer muchas tentativas a partir de las informaciones aportadas por

las retroacciones de la situacin (medio).

Ser en el curso o bien al trmino del desarrollo de la situacin a-didctica, cuando el profesor se responsabilizar de la institucionalizacin de los conocimientos elaborados por los alumnos (Por ej.: Hemos ordenado los objetos de la coleccin).

3. Las colecciones de objetos: la formacin de listas. Como ya se ha indicado, la lgica infantil est muy ligada al lenguaje y a los mecanismos de percepcin y codificacin. La percepcin de un objeto y su designacin no son actos sencillos ni espontneos. Al contrario, slo tienen sentido dentro de todo un sistema, que integra la representacin y el lenguaje.

5 Fundamentalmente nos apoyaremos en: Briand, J., Loubet, M., Salin, M.H. (2004) Apprentissages Mathmatiques en Maternelle. Pars:

Hatier. y en V.V.A.A. (2000, 2001) Special Grand N Maternelle. IREM de Grenoble: Universit Joseph Fourier. 6 Este modelo de aprendizaje se ha explicado detalladamente en el Tema 1.1 de este curso.

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Las actividades lgicas en la Escuela Infantil se inician, en muchas ocasiones, con el examen de las propiedades de los objetos, la constitucin de colecciones y su simbolizacin. Son situaciones indispensables para la construccin de las matemticas.

La produccin de una coleccin por el sujeto se confunde con frecuencia con la manipulacin que permite el reagrupamiento de objetos: cuando un observador ve a un nio tomar objetos y colocarlos en una caja, puede afirmar que ha constituido una coleccin, pero no puede asegurar que el sujeto ha concebido dicha coleccin.

En los textos escolares frecuentemente encontramos actividades, tales como: Cuenta el nmero de elementos de esta coleccin. Aparentemente no existe ningn misterio en esta peticin, pero debemos observar algo muy importante: la nocin de coleccin no es objeto de enseanza. La coleccin se muestra simplemente. El profesor no dispone de ningn medio que le permita controlar si el sujeto ha concebido realmente la coleccin, o si slo existe para el maestro. As, por ejemplo, los nios pueden ver que en la clase hay ventanas, tambin hay puertas, mesas, sillas, perchas, etc. pero no es espontneo formar cada uno de estos conjuntos, ni concebir que el conjunto de puertas tiene menos elementos que el conjunto de ventanas o el de perchas. Sin embargo, en muchas ocasiones, se considera que la formacin de estas colecciones constituye un proceso totalmente natural y espontneo.

Ahora bien, sabemos que construir los nmeros naturales supone medir colecciones, aunque la coleccin, el conjunto no es un objeto material. Es un objeto que pertenece a una estructura matemtica y el dominio de estos objetos es lo que permite asignarle una estructura de espacio medible. As, si el sujeto no dispone de medios para determinar el objeto coleccin, no puede asignarle correctamente una medida. (Briand, 1999, p. 50)7 Constituir una coleccin a partir de una lista, construir una lista como medio para recordar una coleccin o para comunicar su contenido, elaborar smbolos para designar objetos y poder confeccionar una lista son diferentes actividades que favorecen y potencian el desarrollo del pensamiento lgico en los alumnos de la Escuela Infantil. Una lista constituye el modo ms simple de designacin de colecciones de objetos no estructurados. Es una herramienta que encontramos en la vida corriente, ya que nos permite recordar y controlar informaciones, tratarlas y llevar a cabo mltiples anticipaciones. Para ser eficaz, una lista precisa que a todos y cada uno de los objetos de la coleccin se le asigne uno y solo un smbolo. Es decir, es necesario establecer una aplicacin biyectiva entre los objetos de la coleccin y los signos. Ahora bien, a la edad de estos nios (Escuela

7 Briand, J. (1999) Contribution la rorganisation des savoirs pr-numeriques et numeriques. Recherches en Didactique des

Mathmatiques, 19, 1, 41-77.

Figura 1. Coleccin cuadrados (Zoo, Dienes, 1982)

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Infantil) la construccin de aplicaciones biyectivas no es espontnea, por lo tanto no se espera que los nios inicialmente lleven a cabo asignaciones correctas entre los objetos y los signos, sino que esto constituya un verdadero aprendizaje. En el proceso de elaboracin de listas, los nios encuentran dificultades y obstculos que les provocan desequilibrios: repiten designaciones anlogas para objetos diferentes, olvidan objetos por designar, etc. En el apartado que sigue vamos a estudiar en profundidad una situacin de aprendizaje, propia para la Escuela Infantil, cuyo objetivo es la construccin efectiva de una coleccin por el alumno. En este proceso de construccin cual debe llevar a cabo codificaciones y designaciones de objetos y de colecciones. La estructura de esta situacin se apoya en la siguiente situacin fundamental8:

Situacin fundamental para la determinacin de una coleccin: Decimos que una persona determina efectivamente una coleccin cuando dispone de medios que le permiten asegurar que los objetos de esa coleccin, despus de una serie de transformaciones, son los que tena en principio o bien son diferentes. La situacin fundamental debe construirse, de tal manera, que permita al sujeto poner en funcionamiento medios de control efectivos sobre una coleccin de objetos, cuando sta ha sufrido diversas transformaciones.

Adaptada al nivel de la Escuela Infantil, implica:

Encontrar el contenido exacto de una caja recordando todos los objetos que contiene9. El maestro/a puede gestionar convenientemente las variables didcticas de esta situacin y generar situaciones a-didcticas que provoquen en los nios la necesidad de construir listas como inventario de las colecciones de objetos.

La situacin que estudiaremos est construida bajo el modelo de la teora de situaciones de Brousseau (1998)10.

8 Esta nocin se ha estudiado en el Bloque 1 de este curso.

9 Nos basamos en la investigacin de Pres, J. (1987) Construction et utilisation dun code de designation dobjets lecole maternelle.

IREM de Bordeaux. 10

Brousseau, G. (1998) Thorie des situations didactiques. Grenoble: La pense Sauvage. Este modelo terico se estudia en el captulo 2 de este libro.

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4. INICIACIN A LA CODIFICACIN Y DESIGNACIN DE OBJETOS Y COLECCIONES

Estudio de la situacin: Construccin de listas como inventario de las colecciones de objetos. El objetivo fundamental se esta situacin es que los nios de la Escuela Infantil (alumnos de 4 y 5 aos de edad que no han aprendido, en su gran mayora, ni a leer ni a escribir) puedan crear y utilizar representaciones simblicas para controlar diferentes colecciones de objetos, permitiendo adems, que en el futuro aprendizaje del nmero, puedan dar sentido a las funciones de designacin y simbolizacin que tiene la numeracin. Material: Un tesoro formado por los siguientes objetos: I. Canicas 1. de nquel 2. negra 3. azul de cristal traslcido 4. roja de cristal traslcido 5. verde de cristal translcido II. Objetos longitudinales 6. tubo de dentfrico 7. tubo de crema 8. bibern 9. barra de labios 10. frasco cilndrico de perfume 11. pila cilndrica gruesa 12. pila cilndrica pequea III. Objetos redondos 13. rollo de fixo 14. pelota pequea de baloncesto 15. pelota pequea de goma con cascabel 16. botn rojo de abrigo (dos agujeros) 17. botn azul de camisa (cuatro agujeros) 18. cajita de pastillas de regaliz 19. caja de caramelos refrescantes

IV. Objetos rectangulares 20. jabn de tocador rosa 21. cajita de perfume (caja fantstica) 22. cajita azul 23. libro pequeo 24. cajita con espejo V. Monederos 25. monedero negro 26. monedero beige 27. monedero marrn VI. Objetos diversos 28. excavadora de juguete 29.camin de juguete 30.mueco de peluche 31. mueco tipo click

Foto 1: Tesoro con 4 objetos

Foto 2: Tesoro con 12 objetos

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Desarrollo de la actividad: Primera fase: a) Preparatoria: Los nios deben familiarizarse con los objetos del tesoro. Los deben reconocer y nombrar, es decir, identificar correctamente. Es muy importante que todos los nios nombren cada objeto del mismo modo. Esto debe ser consensuado entre los alumnos y el maestro/a. b) De transicin: La profesora toma cuatro objetos del conjunto referencial, los ensea a los nios y los coloca en una caja sobre una mesa a la vista de todos (foto 1). All estarn expuestos todo el da. Les advierte que, maana, cuando regresen, deben recordar todos los objetos estando la caja tapada: deben reconstruir el contenido de la caja sin ver los objetos. Realizarn este juego durante tres sesiones al menos. Segunda fase: El juego de las listas. Est basada en el modelo terico de la dialctica de la accin. La situacin se desarrolla de la forma siguiente: Por la maana, los nios se renen alrededor de la profesora, que coloca en el interior de una caja 12 objetos (foto 2). Ella les avisa que la caja estar a su disposicin durante todo el da, a continuacin se cerrar hasta el da siguiente. El juego consistir en que cada alumno recuerde su contenido: deben reconstruir el contenido de la caja sin ver los objetos. Algunos nios experimentan la necesidad de hacer, en una hoja de papel, una serie de dibujos que represente a los objetos que contiene la caja (una lista). Al da siguiente, los que quieran jugar vendrn por turnos (con o sin lista). Podrn nombrar solamente 12 objetos (varios nios que no juegan, controlarn la exactitud de las designaciones, segn el contenido de la caja, y respondern si o no para cada objeto nombrado). Si describe el contenido exacto, el jugador gana. La sesin termina con la preparacin por la profesora de una nueva coleccin de objetos para el da siguiente. Al trmino de esta fase, se espera que cada nio tenga construido un repertorio personal de representaciones grficas suficientemente elaboradas como para obtener un mnimo de xito en el desarrollo del juego.

Tercera fase: El juego de la comunicacin Est basada en el modelo terico de la dialctica de la formulacin. El juego consiste en que los nios construyan una lista para que la interpreten otros compaeros que, gracias a ella, deben encontrar el contenido de la caja. Durante su desarrollo, la profesora intervendr incentivando a los nios para que representen los objetos de la forma ms objetiva posible. La finalidad de este aprendizaje es la construccin de un repertorio simblico colectivo, que les permita, sin error, a los nios, descodificar los mensajes recibidos.

Fotos 3 y 4. Construyendo las listas

Fotos 5 y 6: Listas que designan los objetos del tesoro

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Cuarta fase: Construccin y validacin de un cdigo comn. Est basada en el modelo terico de la dialctica de la validacin. En esta fase comienzan a intervenir las secuencias de validacin bajo forma de debates motivados por los problemas de comunicacin encontrados por los nios. La profesora controlar las discusiones cuando existan malentendidos y animar a los nios a justificar sus argumentos. En esta fase deben aparecer los razonamientos de orden lgico en los nios. Aprendizajes que permite desarrollar esta actividad en la Escuela Infantil: La construccin de un cdigo para la designacin de objetos encierra un conjunto muy rico de aprendizajes, entre ellos, destacamos los de tipo semiolgico y los de tipo lgico-matemtico.

Aprendizajes de tipo semiolgico: - El sentido de la representacin: En el caso de la construccin de signos, es necesario que el nio abandone una actitud de "dibujante" a la

que est acostumbrado en las actividades de dibujo (donde la fuente de realismo no est subordinada a ninguna necesidad de hacerse comprender) para tomar una actitud de "designante" donde la finalidad es exclusivamente la de poder indicar sin error la existencia de un objeto determinado y preciso. La experiencia vivida por los nios en esta actividad les permite madurar y afianzar la distincin entre significado y significante. Sus aprendizajes, en esta lnea, constituyen una fase previa para el aprendizaje posterior de los smbolos estrictamente matemticos.

- La representacin grfica: Aunque los nios a esta edad tienen ya a su disposicin un repertorio de signos grficos convencionales,

ste se revelar insuficiente en aquellos casos en los que intentar hacer una copia de un objeto singular, a veces muy complejo (caso de la retroexcavadora en miniatura) y le resultar casi imposible. El aprendizaje en estos casos le conducir a adquirir esquemas representativos nuevos y a un enriquecimiento de su repertorio simblico.

Aprendizajes de tipo lgico-matemtico. Son los que nos interesa desarrollar en este nivel escolar, por ello, se han concebido las situaciones de enseanza con el objetivo de favorecer al mximo su aparicin. Destacamos los que siguen: - Puesta en correspondencia trmino a trmino: Para que un nio realice su actividad con xito es preciso que a un solo objeto corresponda un solo signo y

recprocamente. Para ello, es necesario que se pongan en correspondencia biyectiva todos los objetos de la coleccin con sus signos respectivos. Esta actividad cognitiva, a la edad de nuestros nios, no es espontnea, y supone por lo tanto un aprendizaje muy significativo.

Adems, elaborar o bien interpretar el listado de una coleccin de objetos son actividades que implican la necesidad de llevar a cabo la enumeracin de dicha coleccin (pasar revista a todos y cada uno de los objetos de la coleccin una y slo una vez).

- Operaciones lgicas de centracin y decantacin:

El proceso de designacin de objetos permite a los nios reconocer las caractersticas de un objeto y aislarlas unas de otras, poniendo en funcionamiento las operaciones lgicas de centracin y decantacin de componentes de predicados amalgamados

11 relativos a los objetos de la coleccin (tesoro).

- Clasificacin, ordenacin de objetos:

Esta situacin permite, adems, poner en evidencia la estructuracin lgica de los conjuntos que los nios manipulan, las posibles relaciones de orden entre sus elementos, sus posibles clasificaciones, etc. Deben aislar caracteres comunes a diversos objetos, lo que les conduce, por comparacin, a formar clases, y a configurar series.

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Las nociones de: centracin y decantacin se estudian en el apartado 6 de este tema.

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- Construccin de trazos distintivos: Sabemos, a partir de las investigaciones piagetianas, que la representacin est dirigida por actividades de

tipo operatorio. Simbolizar un objeto es hacer una eleccin entre un cierto nmero de trazos que pueden ser representados en funcin de la informacin que queremos transmitir. Los nios deben, pues, hacer un conjunto de actividades de tipo deductivo en el proceso de seleccin de trazos suficientemente caractersticos de la singularidad del objeto que quieran representar.

- Construccin de trazos opositivos: Una de las principales dificultades de los nios reside en la codificacin de objetos cuyos caracteres

formales son anlogos a otros de la coleccin (por ejemplo, las canicas: todas son redondas y del mismo tamao, aunque de naturaleza diferente: barro, cristal, nquel,. . . ). En este caso, la seleccin de trazos que caracterizan al objeto (por ejemplo, un simple redondel) no es suficiente para determinarlo unvocamente. Ante esta situacin, el nio tendr necesidad de construir significantes capaces de diferenciar suficientemente un objeto de otros semejantes para no confundirlos. Para ello, necesitar construir trazos no solamente afirmativos sino tambin negativos. Debe representar simultneamente lo que es y lo que no es el objeto, es decir, su identidad y su diferencia. La construccin de cdigos a travs de procesos de contrastacin, mediante la identificacin de semejanzas y diferencias, es fundamental para el desarrollo del pensamiento lgico: razonamientos vlidos, tautologas, contradicciones, inferencias, etc. Adems, permite introducir divergencias entre los propios alumnos generando confrontaciones y discusiones que contribuyen a su desarrollo sociocognitivo, superando el egocentrismo que limita su actividad lgica.

Actividad 2: A partir de la situacin anterior: Juego de El tesoro, determine:

a. Hiptesis de aprendizaje sobre las que se sustenta esta actividad. b. Variables didcticas de la situacin. c. Gestin que puede hacer el maestro/a de dichas variables para provocar desequilibrios en el

aprendizaje de los alumnos. d. Estrategias que pueden poner los alumnos en funcionamiento. e. Relacin entre las variables didcticas y las estrategias de los alumnos. f. Obstculos epistemolgicos y ontogenticos que permite superar esta situacin a los alumnos.

Actividad 3: Anlisis de producciones de los nios. Las producciones siguientes constituyen listas construidas por dos alumnos (tesoro de 12 objetos). Analice cada una de ellas, teniendo en cuenta los aprendizajes de tipo semiolgico y de tipo lgico-matemtico que han puesto en funcionamiento. (Las palabras que figuran en la produccin de la derecha las escribi la maestra, segn iba el nio identificando los objetos)

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5. Proposiciones lgicas.

La lgica natural o lgica del pensamiento natural es uno de los constituyentes del sistema cognitivo del sujeto y comporta diferentes niveles que van, desde la prelgica de los nios, hasta la lgica formal del pensamiento natural de las personas adultas. Segn Wermus (1987), no debemos confundir la lgica del pensamiento natural con la lgica formal axiomatizada que sustenta a toda la matemtica como sistema cientfico. Sin embargo es conveniente, para nuestra formacin como maestros/as, conocer algunos elementos bsicos de lgica matemtica.

5.1. Qu es una proposicin lgica?

Las expresiones lingsticas, que estn integradas por una pluralidad de signos, pueden ser expresiones sin sentido o expresiones con sentido. Las primeras son aquellas carentes de significacin, como, por ejemplo, sera en espaol la expresin: Cervantes es con. Las segundas son las que tienen una significacin, como por ejemplo: Cervantes fue un gran escritor.

A su vez, las expresiones lingsticas con sentido, que reciben el nombre de enunciados, pueden ser de diversas clases: interrogativas, desiderativas, imperativas y declarativas. nicamente estas ltimas se consideran proposiciones. Una expresin como Hace calor?, iCunto me gustara que saliese el sol! , Cierre la ventana!, no son proposiciones. Por el contrario, si es una proposicin la expresin: La Luna es un satlite, ya que consiste en la manifestacin o declaracin de un hecho. Analizando detenidamente la diferencia entre este ltimo enunciado y los anteriores, se ve que radica en que los primeros no pueden ser calificados de verdaderos o de falsos. No tiene sentido alguno decir que el enunciado Hace calor? sea verdadero o falso. El enunciado cunto me gustara que saliese el sol! puede cumplirse o no cumplirse, ya que se trata de un deseo, pero no es ni verdadero ni falso. Del mismo modo, la persona a la que nos dirigimos podr o no cerrar la ventana, es decir, obedecer nuestro mandato, pero el enunciado en si mismo considerado no es ni verdadero ni falso. Por el contrario, el enunciado La Luna es un satlite es verdadero o falso, segn que la Luna gire o no alrededor de un planeta.

En consecuencia, la caracterstica fundamental de los que hemos llamado enunciados declarativos es que pueden ser verdaderos o falsos. Por tanto, podemos definir una proposicin como un enunciado declarativo, es decir, un enunciado que puede ser verdadero o falso.

5.2. Simbolismo proposicional

Corrientemente se simbolizan las proposiciones mediante las ltimas letras minsculas del alfabeto a partir de la p, es decir, que la primera proposicin utilizada se designa con p, la segunda con q, y as sucesivamente (p, q, r, s , t, u, v, y, x, z).

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Actividad 4.

Indicar cules de estos enunciados son proposiciones y cules no: 1. Esperemos que suceda como has dicho. 2. Vete corriendo. 3. Los rboles son mamferos. 4. Algunos peces tienen branquias.

5.3. Tipos de proposiciones Las proposiciones se dividen en simples o atmicas y en compuestas o moleculares. Proposicin atmica es el enunciado declarativo mnimo (por ejemplo, Thales fue un matemtico griego).

Proposicin molecular es la constituida por dos o ms proposiciones simples (p. e., Lope de Vega fue un dramaturgo espaol y Hegel fue un filosofo alemn ).

Otra terminologa usada es dividir las proposiciones en proposiciones de orden uno, de orden dos, de orden tres, etc., dependiendo dicho orden del nmero de proposiciones simples que las constituyen. As, la proposicin dos ms dos son cuatro es de orden uno, y la proposicin Si Lus es inteligente, entonces resuelve el problema propuesto es de orden dos.

5.4. Disyuncin lgica Se define como la proposicin de orden dos que solo es falsa al serlo tambin las dos proposiciones que la integran.

p q p V q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Para simbolizar esta proposicin se toman dos letras, p, q, representativas de las dos proposiciones simples, introduciendo entre ellas un smbolo representativo de su enlace. Este smbolo se llama conectiva lgica (tambin recibe los nombres de operador lgico o de functor lgico); en concreto, la simbolizacin de la disyuntiva inclusiva es p V q, que se lee: p o q, utilizando como conectiva el signo V, llamado disyuntor lgico.

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Un ejemplo de este tipo de proposicin sera: Los temas de Matemticas son difciles o son interesantes; precisamente esta disyuncin se llama inclusiva porque una de las alternativas no excluye a la otra, sino que ambas pueden darse conjuntamente; es decir, que los temas de Matemticas pueden ser solo difciles, solo interesantes o ambas cosas (difciles e interesantes).

5.5. Conjuncin lgica Se define como una proposicin de orden dos que slo es verdadera al serlo tambin las dos proposiciones simples que la integran.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La simbolizacin de esta proposicin es p q, que se lee p y q. El signo es la conectiva, llamada conjuntor lgico. Un ejemplo de proposicin conjuntiva sera: El da es hermoso y la fortuna me sonre. 5.6. Proposicin condicional

Se define como la proposicin de orden dos que solo es falsa al ser verdadera la primera de sus proposiciones integrantes y falsa la segunda.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

La simbolizacion de esta proposicion es p q, que se lee si p, entonces q, utilizando como conectiva el signo , llamado condicionador. Un ejemplo de este tipo de proposicin seria:

Si los alumnos estudian, entonces aprueban.

5.7.Proposicin bicondicional Se define como la proposicin de orden dos que solo es verdadera al ser verdaderas o falsas las dos proposiciones que la integran.

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p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

La simbolizacin de esta proposicin es p q, que se lee si y solo si p, entonces q, utilizando como conectiva el signo , llamado bicondicionador.

Un ejemplo de este tipo de proposicin seria: Si y solo si un ser es racional, entonces es un ser humano. 5.8. Proposicin negativa Se define como la proposicin que solo es verdadera al ser falsa la proposicin simple que la integra (o, tambin, que solo es falsa al ser verdadera la proposicin simple que la integra).

p p

1 0

0 1

La simbolizacin de esta proposicin es p, que se lee no p, utilizando como conectiva el signo , llamado negador. Un ejemplo de proposicin negativa sera: Cervantes no es escandinavo. En realidad, las negaciones o proposiciones negativas no son, en sentido estricto, proposiciones de orden dos, ya que no estn integradas por dos proposiciones simples. Pero tampoco, en sentido estricto, son proposiciones simples o de orden uno, ya que en ellas interviene una conectiva. Se trata, pues, de un tipo muy especial de proposiciones.

Actividad 5 Clasificar y simbolizar las siguientes proposiciones:

1. Los matemticos son geniales o los filsofos son inteligentes. 2. Si alguien me llevase en coche ira a esquiar 3. Los gatos son mamferos, pero las araas no 4. En el supuesto de que un polgono tenga tres lados, es un triangulo. 6. Siempre que hace fro, me acatarro. 7. Los patos no son microbios. 8. O me voy al cine a las siete o me quedo estudiando.

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6. Procesos de centracin y decantacin. En el nivel de la Escuela Infantil, las operaciones lgicas de centracin y decantacin afectan a la significacin de los operadores lgicos, principalmente a la conjuncin lgica, ya que para que un nio pueda conectar, mediante la conjuncin y, varias caractersticas de un objeto, es preciso que, en primer lugar, sea capaz de reconocerlas sobre dicho objeto, aislarlas unas de otras y establecer entre ellas conexiones lgicas.

Centracin: Accin y efecto que muestra la capacidad del alumno para centrarse en una sola caracterstica de un objeto.

Decantacin: Accin y efecto que muestra la capacidad del alumno para

seleccionar, entre una coleccin de objetos, aquellos que posean una determinada caracterstica.

Ejemplo 2: Procesos lgicos de centracin y decantacin. Para mejor comprender los procesos de centracin y decantacin nos vamos a ubicar en la situacin estudiada anteriormente: Juego de El Tesoro. Proponemos una situacin de formulacin entre dos nios: un emisor y un receptor. Material: 12 objetos del tesoro (debe contener al menos 4 o 5 objetos cuya forma sea homognea) Consigna: El emisor debe elegir un objeto del tesoro (sin que lo vea el receptor) y debe hacer su designacin grfica en un papel. El receptor, slo con la lectura de esta designacin, debe identificar correctamente, entre los 12 objetos del tesoro, el que ha designado el emisor. Supongamos que el emisor ha elegido la pelota pequea de goma roja con cascabel. Su primera designacin fue:

El anlisis de las actividades lgicas que ponen en funcionamiento estos nios, nos informa de que:

El emisor, que lleva a cabo la descripcin de un objeto oculto para el receptor, opera centraciones sucesivas para determinar las caractersticas del objeto. Para este sujeto, designar lo mejor posible un objeto implica retener una caracterstica e identificarla con un signo, despus identificar una segunda caracterstica y asociarle otro signo, y as sucesivamente hasta caracterizar grficamente al objeto con tal singularidad que permita distinguirlo de los dems.

El receptor, por el contrario, para seleccionar un objeto, entre todos los de una coleccin, basndose nicamente en el mensaje grfico del emisor, debe seguir un proceso de decantacin de objetos, explorando la coleccin. Por ejemplo, para el caso anterior, el receptor debe decantar, entre todos los objetos de la coleccin, slo los objetos redondos, eliminando todos los dems. Posteriormente, entre todos los redondos, deber eliminar aquellos que no sean rojos, entre stos ltimos, desechar los que no sean de goma, etc.

Como el receptor le exiga ms informacin, dado que en el tesoro haba muchos objetos redondos, el emisor, enriqueci su codificacin inicial.

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7. Relaciones binarias

El trmino relacin no es exclusivo de las Matemticas, lo utilizamos en nuestra vida cotidiana de forma continua cuando nos referimos a relaciones tales como la de amistad, de parentesco, de vecindad, de procedencia, de pertenencia, de ubicacin, etc.

- Alberto es amigo de Juan

- Mara es madre de Pedro

- Eva es vecina de Carlos

- Samuel es del mismo pueblo que Cristina

- Jos pertenece al mismo equipo que Manuel

- El libro est sobre la mesa

Las relaciones son conexiones que establecemos mentalmente entre dos o ms objetos, personas o situaciones.

Entre los objetos que estudian las Matemticas existen muy numerosas relaciones, por ejemplo, entre las rectas del plano podemos establecer la relacin de paralelismo o de perpendicularidad:

Entre los nmeros naturales podemos establecer relaciones, tales como, la relacin de paridad, de orden, de igualdad, de divisibilidad, de equivalencia, etc:

- el nmero 12 y el nmero 4 son pares

- el nmero 5 es menor que el nmero 97

- (17- 8) es igual a 9

- El nmero 6 es divisor del nmero 30

- La fraccin 1/5 es equivalente a la fraccin 4/20

- la recta a es paralela a b

- la recta b es perpendicular a c

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EJEMPLO 3: Criterios de permiten establecer relaciones binarias Ejemplo A. Considerado el conjunto de los bloques lgicos, podemos comparar dos de ellos para decidir si uno tiene, o no tiene, la misma forma que el otro. La forma es pues un posible criterio de comparacin de bloques lgicos. Ejemplo B. En el mismo conjunto de los bloques lgicos, podemos comparar cada pareja de ellos para decidir si uno tiene o no el mismo color que el otro. El color es pues otro criterio de comparacin de bloques.

Coleccin de bloques lgicos

Ejemplo C. En el conjunto de nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, podemos comparar cada dos de ellos, a y b, para decidir si a es o no mltiplo de b. Ejemplo D. En el conjunto de las personas, podemos comparar cada dos de ellas para decidir si tienen la misma nacionalidad. He aqu un criterio de comparacin de personas.

En cada uno de los ejemplos anteriores, se ha enunciado un criterio que permite comparar un objeto matemtico (bloque, nmero, recta, punto, etc.) o no matemtico, con otro, para decidir "si" o "no" como resultado de la comparacin. Como vemos, existe una gran diversidad de relaciones, tanto en el dominio de las Matemticas como en nuestra vida cotidiana. Estos criterios de comparacin entre cada dos objetos, se llaman tambin relaciones o relaciones binarias (binarias porque se comparan entre s dos objetos, uno con el otro).

7.1. Relacin binaria entre los elementos de un conjunto A: definicin.

Las relaciones que permiten comparar elementos (de un conjunto A) dos a dos reciben el nombre de relaciones binarias.

Si a, b A ,, a R b a est relacionado con b

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7.2. Propiedades que pueden tener las relaciones binarias.

Consideremos un conjunto M en el que est definida una relacin R entre los elementos de dicho conjunto. Las propiedades ms importantes que puede tener R son:

a. Propiedad REFLEXIVA: Una relacin binaria R entre los elementos de un conjunto M tiene la propiedad reflexiva si todo elemento de ese conjunto esta relacionado consigo mismo, es decir:

a M , se verifica a R a

Por ejemplo:, si consideramos la relacin de maternidad definida entre los miembros de la familia Hinojosa:

a R b a es madre de b esta relacin nunca puede tener la propiedad reflexiva porque ninguna persona puede ser madre de s misma. b. Propiedad SIMETRICA: Una relacin R binaria entre los elementos de un conjunto M tiene la propiedad simtrica si para dos elementos a y b del conjunto M se verifica:

a,b M,, si a R b b R a

As, por ejemplo:, la relacin de maternidad que hemos definido en la familia Hinojosa no tendra la propiedad simtrica , ya que si a es madre de b, no es cierta su simtrica, es decir, no se cumple que: b es madre de a. Sin embargo, la relacin de hermandad definida en esta misma familia, s que tendra la propiedad simtrica, ya que si a es hermano de b, entonces b es tambin hermano de a.

c. Propiedad ANTISIMETRICA: Una relacin R entre los elementos de un conjunto M tiene la propiedad antisimtrica si para dos elementos a y b del conjunto M: si a R b b R a As, por ejemplo, la relacin de maternidad que hemos definido en la familia Hinojosa posee claramente la propiedad antisimtrica, ya que si a es madre de b, entonces podemos afirmar con toda seguridad que b no es madre de a. d. Propiedad TRANSITIVA: Una relacin R binaria entre los elementos de un conjunto M tiene la propiedad transitiva, si:

a, b, c M , a R b y b R c a R c As, por ejemplo:

1. El conjunto de las rectas del plano y la relacin de paralelismo. Si dadas las tres rectas a, b y c se verifica que

a es paralela a b y b es paralela a c a es paralela a c 7.3. Relacin de EQUIVALENCIA. Una relacin binaria establecida entre los elementos de un conjunto diremos que es de equivalencia si verifica las propiedades:

1. Reflexiva 2. Simtrica 3. Transitiva

Por ejemplo, en el conjunto formado por el alumnado de la universidad, las relaciones: R1: pertenecer al mismo curso R2: tener la misma edad

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R3: haber nacido en la misma ciudad son relaciones de equivalencia, porque cumplen las propiedades anteriores. Conjunto cociente. Vamos a partir de un ejemplo muy intuitivo, de la vida cotidiana, que nos va a servir para generalizar las propiedades que posee un conjunto cociente. Ejemplo: En la taquilla de un teatro hay colocado un cartel con los precios de las localidades: Butaca: 20 . Anfiteatro: 15 General: 5 . Observemos que la relacin tener el mismo precio que dentro del conjunto T de las localidades del teatro es una relacin de equivalencia. Cumple:

a. Propiedad reflexiva: Toda localidad tiene el mismo precio que ella misma. b. Propiedad simtrica: Si la localidad a tiene el mismo precio que la localidad b; entonces

la localidad b tiene el mismo precio qua la a. c. Propiedad transitiva: Si la localidad a tiene el mismo precio que la localidad b y sta el

mismo precio que la c, entonces la localidad a y la c tienen el mismo precio.

Qu hemos conseguido hacer en el conjunto T de las localidades mediante esta relacin R de equivalencia? Hemos formado tres subconjuntos, el de todas las localidades de butaca, el de todas las localidades de anfiteatro y el de todas las localidades de general; es decir, subconjuntos en que todas las localidades tienen el mismo precio entre si. Adems, estos tres subconjuntos son disjuntos entre si ya que ninguna localidad sirve a la vez para butaca y anfiteatro y tambin que toda localidad pertenece a alguno de estos tres subconjuntos. Podemos decir que estos tres subconjuntos constituyen una particin del conjunto T de todas las localidades del teatro: butacas, anfiteatro, general. Podramos decir que toda relacin de equivalencia determina una particin en el conjunto en que se ha definido. Cada parte recibe el nombre de clase de equivalencia. 7.4. Definicin de Conjunto cociente: Dada una relacin de equivalencia R definida entre los elementos de un conjunto M, se llama conjunto cociente respecto de R al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia, y lo designamos

M / R = { (a), (b), (c), ... }

As, en el conjunto de las localidades del teatro el conjunto cociente seria

T / R = { butaca, anfiteatro, general }

consta slo de tres elementos; cada uno de ellos es una clase definida en el conjunto de localidades por la relacin costar el mismo precio que.

Cuando nos referimos a una particin, provocada por una relacin de equivalencia, a dicha particin se le suele llamar clasificacin y a cada uno de las partes clase de equivalencia. A uno cualquiera de los elementos de una clase se le llama un representante de esa clase.

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Ejemplo 4: Clasificaciones en el conjunto de Bloques lgicos

o Dicotoma La forma ms sencilla de clasificacin es la dicotoma. Realizar una dicotoma es clasificar los elementos de un conjunto en dos clases de equivalencia, segn un determinado criterio. Por ejemplo, la relacin tener el mismo tamao clasifica a los bloque lgicos en dos clases: los grandes y los pequeos. La relacin tener la misma percepcin al tacto, los clasifica tambin en dos clases: lisos y rugosos.

o Particin en mltiples clases

Podemos establecer relaciones de equivalencia entre los elementos del conjunto de bloques lgicos (tener el mismo color, tener la misma forma), de tal manera que produzcan particiones, tales como las siguientes:

Grandes y pequeos Lisos y rugosos

Clases: rojo, azul, amarillo, verde Clases: tringulo, crculo, rectngulo

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o Doble (o triple) dicotoma Consiste en aplicar dos o tres dicotomas sucesivamente. Primero clasificamos atendiendo a una variable y luego a otra. Por ejemplo:

o Las clasificaciones multiplicativas Consiste en clasificar atendiendo a dos variables. Si una de ellas, por ejemplo, toma tres valores y otra cuatro, obtendremos en total doce clases de equivalencia:

Forma

Co

lor

azul

rojo

verde

amarillo

Actividad 6:

1. En el conjunto A = 23, 31, 40, 41, 43, 45, 50, 63, 70, 81, 90 Se define la siguiente relacin binaria:

Dos nmeros se relacionan la suma de sus cifras coincide Demostrar que es una relacin de equivalencia, determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.

Cuando el nio/a comienza a hablar designa a varios objetos distintos con la misma palabra. Por ejemplo, si en su casa hay mesas muy diferentes, normalmente se referir a todas ellas con la misma palabra: mesa, porque esta palabra determina una clase de objetos. El nio est cl asificando los objetos, es decir, establece relaciones de equivalencia considerando que constituyen una misma clase aquellos objetos que tienen unas ciertas caractersticas comunes. Del mismo modo, la Geometra no estudia, por ejemplo, las propiedades de u n cuadrado determinado, sino las propiedades de una clase de figuras que llamamos "cuadrados". Los bilogos no estudian un saltamontes concreto, sino que estudian la clase de los insectos.

grande

pequeo

26

A la vista de estas observaciones, se comprende que el estudio del proceso de clasificacin, es imprescindible para la vida, no slo en la clase de Matemticas.

Actividad 7

Conocemos las siguientes relaciones entre los miembros de una familia

Se pide determinar la relacin que ex iste entre:

1. E y A 2. E y F 3. B y D 4. F y G

5. E y G 6. B y F 7. E y C 8. A y D

8. Las clasificaciones.

Vivimos en un mundo de objetos, estamos enfrentados cotidianamente con objetos a travs de su percepcin. Nuestra concepcin de los objetos del mundo es compleja y variada. Si aceptamos que esta cognicin est basada en toda una serie de procesos lgicos complejos, es necesario aceptar que, un primer desglose, se lleva a cabo por medio de actividades que implican cualificar y cuantificar.

Cualificar: Atribuir o apreciar cualidades. Caracterizar un objeto atribuyndole una cualidad.

Cuantificar: Atribuir una medida a una cantidad de magnitud. Las entidades del mundo son cualificables y cuantificables. Comprender la organizacin del mundo supone organizar los objetos en modelos que permitan reagruparlos en subconjuntos segn ciertos criterios: se les califica. Determinamos el orden de magnitud de estos

T eres mi hermana

T eres mi esposo

T eres mi madre

T eres mi esposa

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subconjuntos: se les cuantifica. Est generalmente aceptado que las operaciones cognitivas de cualificacin tienen como resultado clasificaciones y categorizaciones. Las operaciones de cuantificacin conducen a establecer el orden de magnitud de las clases. Este es el sentido comn ordinario de la cualificacin y de la cuantificacin. Fue necesario que la humanidad construyese el concepto del nmero para desarrollar con toda profundidad la inmensa riqueza del sentido de la cuantificacin. Las nociones de cualificacin y de cuantificacin, as como las de objeto, clase, categora son bastante vagas en el sentido ordinario, podemos afirmar que son transparentes socialmente y bastante alejadas de la significacin que se les atribuye en diferentes dominios cientficos. Fueron las ciencias las que comenzaron a clasificar y jerarquizar los objetos con los que trabajaban con el fin de estudiar sus propiedades. La clasificacin12 es un instrumento intelectual que permite al individuo organizar mentalmente el mundo que le rodea. Toda clasificacin implica la seleccin y la agrupacin de objetos en clases, de acuerdo con una regla o principio. El color del cabello, el estado civil, el nivel de educacin, son caractersticas sin relacin entre s, de acuerdo con las cuales puede clasificarse a las personas. Clasificar supone abstraer de los objetos determinados atributos esenciales que los definen. La clasificacin es un instrumento de conocimiento porque obliga a analizar las propiedades de los objetos y, por tanto, a ampliar su conocimiento relacionndolos con otros semejantes estableciendo as, sus parecidos o sus diferencias. Pero, al mismo tiempo que ayuda al conocimiento del mundo exterior, es tambin un sistema de organizacin del propio pensamiento, porque le proporciona coherencia lgica. La clasificacin es la agrupacin lgica ms sencilla, permite constituir clases por medio de equivalencias cualitativas de los elementos a agrupar. La clase, por ser generalmente indefinida, no se construye solo por percepciones; se llega al concepto de clase a travs de abstracciones, generalizaciones y operaciones lgicas de composicin, reversibilidad y asociatividad. Esta construccin se produce en el nio de forma gradual. Poco a poco se va independizando de la realidad y procede a construir esquemas abstractos. De la realizacin de colecciones figurales concretas, pasa a las colecciones abstractas no figurales, hasta llegar a realizar verdaderas clasificaciones. La clasificacin es ms significactiva cuando tiene en cuenta, no slo el nivel horizontal de las clases, sino el sentido vertical o jerrquico, es decir cuando da lugar a una verdadera categorizacin de clases. Cul es la diferencia entre clasificacin y categorizacin?

Una clasificacin representa una simple distribucin de los objetos en clases, mientras que una categorizacin contiene, adems de las clases, las relaciones entre las clases. Una categora no puede ser pensada ms que con otras

12

Para Piaget, los conceptos numricos no se construyen slo con imgenes o a partir de la mera capacidad para usar smbolos verbales, sino a partir de la formacin y sistematizacin en la mente infantil de dos operaciones: clasificacin y seriacin. El nmero, segn este

investigador, es producto de la fusin de clasificaciones y ordenaciones.

28

categoras. Una categora es ms que una clase. No se define por ella misma, sino en relacin con las dems clases. (Descls, 1998)13

Para percibir mejor la diferencia entre una simple clasificacin y una jerarquizacin o categorizacin de clases, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5: Jerarquizacin de clases. Supongamos que el rbol genealgico de una familia sea:

Esta situacin implica la posibilidad de establecer una relacin jerrquica de clases en cuanto que todas ellas estn relacionadas entre s. La clase de los hijos en el nivel (II) implica la clase de los padres en el nivel (I) y la presencia de las clases de los hijos y nietos en los niveles (III) y (IV). El nio que comprende este sistema jerarquizado, tanto verticalmente como horizontalmente, puede entender perfectamente que una misma persona J puede pertenecer a la clase de los padres, de los hijos, de los hermanos, de los primos y de los nietos.

Los nios tienen problemas para separar claramente tres aspectos fundamentales en una clasificacin :

a) Confunden un objeto con la clase, no ven claramente la diferencia entre la construccin mental de la clase y objetividad fsica del objeto. Las clases no existen en el mundo fsico, sino que han sido construidas por la mente. Si un nio de cinco aos tiene en sus manos un ramo de flores compuesto por diez rosas, dos margaritas y un gladiolo, y se le pregunta: tienes ms flores o ms rosas?, responde normalmente que tiene ms rosas que flores, a pesar de conocer perfectamente lo que son las flores y las rosas.

b) Tienen dificultades para utilizar un nombre con dos significados distintos, es decir,

que pueda corresponder a dos clases diferentes. La palabra escuela la asocia a su propia experiencia (escuela de nios) y le es imposible llamar escuela a una institucin dedicada a la enseanza de adultos.

13

Descls, J.P. (1998) Categorisation et Quantification. Cours de Doctorat. Universit de Pars IV-Sorbonne. Citado en Vaetus-Pascu (2001, p. 5) Logique de la determination dobjets: Concepts de base et mathmatisation. Thse. Universit de Pars IV-Sorbonne.

29

c) No aceptan el carcter arbitrario de toda clasificacin. Dado que las clases no existen en el mundo fsico sino que se construyen conceptualmente por la mente, los nios tienen muchos problemas para admitir que un determinado objeto podamos clasificarlo arbitrariamente de un modo u otro, segn nos convenga en una situacin determinada. (p.e.: los nios tienen muchas dificultades en admitir que una madre pueda ser madre y abuela al mismo tiempo, o que un mdico pueda ser enfermo y mdico mismo tiempo).

Estas no son simples dificultades lingsticas, sino sntomas de la inmadurez lgica de su pensamiento. Constituyen verdaderos obstculos ontogenticos que deben tenerse en cuenta en el proceso de enseanza, con el fin de disear situaciones para que los nios puedan superarlos y llevar a cabo aprendizajes que le permitan desarrollar una rica actividad lgico matemtica y utilizar el lenguaje inteligentemente. 8.1. Actividades de discriminacin, seleccin y clasificacin en la Escuela Infantil.

La aptitud para la clasificacin se desarrolla en el nio a partir de experiencias que le

permiten observar las semejanzas y las diferencias entre los objetos y obrar en consecuencia: distinguir objetos en razn de sus similitudes y de sus diferencias.

Segn figura en el diccionario de la RAE: Clasificar: es disponer por clases, por categoras (una categora es un conjunto

de personas o cosas que presentan caracteres comunes). Seleccionar: elegir, escoger por medio de una seleccin, elegir entre muchos,

separar del resto. Discriminar: Separar, segregar, distinguir, diferenciar una cosa de otra.

Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, podemos considerar que: cuando elegimos entre muchos, o cuando diferenciamos o disponemos por clases, es preciso definir criterios que justifiquen dicha eleccin, diferenciacin o clasificacin. Podemos, por lo tanto, considerar que existe una determinada relacin entre clasificar, seleccionar y/o discriminar. La actividad de clasificacin implica llevar a cabo una seleccin y una discriminacin segn ciertos criterios. Para realizar una clasificacin es preciso ser capaz de concebir relaciones entre los elementos de un conjunto y generar a partir de dichas relaciones diferentes subclases. Desde el punto de vista matemtico clasificar los elementos de un conjunto es realizar una particin de este conjunto, es decir fraccionar este conjunto en subconjuntos disjuntos dos a dos. Seleccionar, discriminar y clasificar son actividades tiles tanto socialmente como matemticamente. As, es normal escuchar frases rituales a lo largo de la jornada escolar que invitan a llevarlas a cabo:

- Es necesario organizar la mesa de la clase para trabajar mejor. - Es preciso organizar muy bien todos los objetos y rincones de la clase para que todos

los nios podamos localizar aquello que buscamos rpida y eficazmente.

30

- Debemos recoger y dejar todos los materiales bien colocados en su lugar correspondiente.

Estas iniciativas externas, por parte del profesor/a, pueden contribuir eficazmente a la

motivacin de los alumnos para llevar a cabo estas tareas, pero existen tambin retos internos a la propia actividad matemtica que se lleva a cabo, ya que seleccionar, discriminar, clasificar son actividades matemticas que permiten dar solucin a problemas matemticos, ahora bien, cmo formular este problema matemtico de modo pertinente en la Escuela Infantil? Vamos a dar respuesta a esta cuestin, apoyndonos en el trabajo de Briand, Loubel, Salin14 (2004). Ejemplo 6: Situacin de seleccin-discriminacin-clasificacin.

Material: Una coleccin de tres o cuatro categoras de diferentes granos (legumbres, cereales, caf, etc.) mezclados entre s. Cinco cajas idnticas con una tapa en la que hay perforado un pequeo orificio que permita introducir los granos. (Debemos colocar mayor nmero de cajas que de categoras de granos). Las cajas, a lo largo de todo el desarrollo de la actividad, deben permanecer tapadas. Consigna: Debes colocar todos los granos iguales en la misma caja. El hecho de tener las cajas cerradas obliga a los alumnos necesariamente a recordar las acciones precedentes, esta exigencia no es gratuita, sino que obliga a los alumnos a poner en funcionamiento una rica actividad matemtica construyendo estrategias que impliquen: - enumeracin: hacer una secuencia para introducir los granos en las cajas (por ejemplo, arroz, lentejas,

maz) y reiterarla constantemente (ya que las cajas estn tapadas), - separar los granos en montones segn categoras diferentes y, posteriormente, introducirlos en cada

caja.

9. Las relaciones de orden. En lengua espaola, la palabra orden tiene muy diversas acepciones15, destacamos

entre ellas: a. Manera de estar colocadas las cosas o de sucederse en el espacio o en el tiempo:

nos colocaron por orden de estatura,

las fichas estn en orden alfabtico,

la ceremonia transcurri segn el orden previsto,

se ha invertido el orden de intervencin de los ponentes. b. Cada grupo taxonmico de los que integran una clase:

pertenece a la orden de Calatrava,

el orden de los mamferos incluye a los carnvoros.

c. Acto por el cual una autoridad manifiesta su voluntad:

dar una orden, 14

Ibidem. 15

Ver diccionario de M. Moliner.

31

estar bajo sus rdenes,

de orden del alcalde.

En esta seccin nos interesaremos por la primera acepcin, ya que se corresponde con la nocin matemtica -relacin de orden- cuyo estudio didctico queremos abordar.

Definicin matemtica: Una relacin binaria R establecida entre los elementos de un conjunto diremos que las de orden si verifica las propiedades:

1. Reflexiva ,, 2. Antisimtrica ,, 3. Transitiva Por ejemplo, en el conjunto N de los nmeros naturales, la relacin menor o igual definida entre sus elementos verifica las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva, por lo tanto es una relacin de orden.

Los nios pueden ordenar un conjunto de crculos en relacin a su tamao. En esta ordenacin, consistente en "ser menor que", el circulo azul es anterior al verde, el amarillo es anterior al anaranjado, etc.

Seriacin cuantitativa, segn el tamao de los crculos

Ordenacin por apilamiento

32

115

OrdenarOrdenar es inherente a la naturaleza de todas las acciones es inherente a la naturaleza de todas las acciones

que concurren en el tiempo y que, por lo tanto, manifiestan que concurren en el tiempo y que, por lo tanto, manifiestan

una coordinaciuna coordinacin temporal.n temporal.

Objetos ubicados unos Objetos ubicados unos

a continuacia continuacin de otros, n de otros,

de acuerdo con una de acuerdo con una

determinada posicideterminada posicinn

Sucesos que han Sucesos que han

trascurrido a travtrascurrido a travs s

del tiempo. del tiempo.

En resumen, diremos que estamos ante una ordenacin, cuando se verifiquen estas dos condiciones:

a. Ante dos elementos comparables a y b, puede decirse si a es anterior a b o bien b es anterior a a.

b. Si a es anterior a b y b es anterior a c, entonces a es anterior a c. El trmino seriacin, derivado de la palabra serie o sucesin, indica un conjunto ordenado de objetos segn un determinado criterio (una relacin de orden). Las actividades de seriacin, desde los niveles ms inferiores de la escuela infantil, pueden interpretarse, bien espacialmente o temporalmente, segn se trate de objetos ubicados unos a continuacin de otros de acuerdo con un determinado criterio o bien sucesos que han transcurrido a travs del tiempo. Ordenar es inherente a la naturaleza de todas las acciones que transcurren en el tiempo y que, por lo tanto, manifiestan una coordinacin temporal.

Material para construir torres ordenadas Ordenacin por apilamiento

33

119

A A A B B B C D D A A B C C A A A B B B C D D A A B C C

A B C D E F GA B C D E F G

120

AA B B CC A A B B CC A B A B C C ......

......

A AA A B B B B B B C C A AA A B B B B B B CC

Ejemplo 7:

Tareas escolares para construir seriaciones cuantitativas: Ordenar de menor a mayor

Tareas escolares para construir seriaciones lineales cualitativas16:

16 Llamamos serie cualitativa a una sucesin de objetos ordenados atendiendo a una cualidad que cambia alternativamente, dando lugar a series repetitivas (bien arbitrarias o atendiendo a un criterio determinado)

34

Tareas escolares para construir seriaciones temporales:

Si por medio de la clasificacin, el nio ha de ser capaz de agrupar los objetos en clases en funcin de sus semejanzas, por medio la seriacin deber consolidar la capacidad de comparar objetos y de ordenarlos en funcin de sus diferencias. La actividades de seriacin, desde los niveles ms inferiores de la Escuela Infantil, pueden interpretarse bien espacialmente o temporalmente, segn se trate de objetos ubicados unos a continuacin de otros, de acuerdo con una determinada posicin, o bien de sucesos que han trascurrido a travs del tiempo. De todos modos, ordenar es inherente a la naturaleza de todas las acciones que concurren en el tiempo y que, por lo tanto, manifiestan una coordinacin temporal. La sucesin lineal la comienzan a construir los nios, segn Piaget-Inhelder (1980)17, en los niveles de la Escuela Infantil, ya que constituye uno de los aspectos que caracteriza a las propiedades que permanecen invariantes en las transformaciones topolgicas (constituidas con anterioridad a las transformaciones proyectivas y eucldeas). Emergen en este nivel los trminos comparativos: delante de, detrs de, siguiente, sucesor; y las relaciones comparativas cuantificadas: mayor que, menor que, etc., cuya expresin se especifica para diferentes magnitudes: ms largo que, ms corto que, ms alto que, ms bajo que, ms pesado que, ms extenso que, con ms capacidad que, etc. Para que los nios lleguen a la construccin de series o sucesiones ordenadas deben poner en funcionamiento operaciones lgicas que impliquen el control de:

la reversibilidad: capacidad para ordenar en dos direcciones: hacia delante y hacia atrs (empleando la relacin recproca de la anterior ),

la transitividad: capacidad para admitir que si A es anterior B y B es anterior a C A es anterior a C.

la asignacin de un carcter dual a todo elemento de la serie: un elemento, segn su posicin en la serie, es, a la vez, sucesor del anterior y antecesor del siguiente. En el

17

Piaget, J., Inhelder, B. (1980) La gense des structures logiques lmentaires. Clasifications et seriations. Pars: Delachaux et Niestl.

35

caso de series cuantitativas: un elemento es, a la vez, mayor que el anterior y menor que el siguiente.

la asimetra: capacidad para asignar a todo par de elementos de la serie una relacin asimtrica: dados dos elementos A, B; si A es anterior a B, B no es anterior a A.

Los nios comienzan normalmente, desde la Escuela Infantil, a relacionarse con seriaciones cualitativas, bien arbitrarias (p.e.: formar serpientes en relacin con el color, la forma, etc.) o bien basadas en convenciones sociales (p.e.: el orden de das de la semana, de los meses del ao, de los rituales horarios, del abecedario, etc.), para llegar progresivamente a las cuantitativas como actividad que enlaza con el periodo numrico. Piaget & Inhelder18 (1980) observaron en sus experiencias un desarrollo paralelo de la clasificacin y la seriacin, la primera constataron que estaba ms favorecida por el lenguaje y la segunda por la percepcin.

9.1. Actividades para construir seriaciones en la Escuela Infantil.

Las actividades relativas a la concepcin ordinal del nmero se estudiarn ms ampliamente en el Bloque 3 de este curso, no obstante, en esta seccin presentamos en el ejemplo 8 un anlisis de diferentes situaciones que permiten a los nios de Educacin Infantil construir con sentido las relaciones de orden y configurar seriaciones.

Ejemplo 8: Reproducir una serie ordenada segn un orden lineal. Material A: Trenes de imgenes.

Material B: Perlas para ensartar.

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Ibidem.

Una coleccin de imgenes variadas (a modo de pequeas cartas de una baraja) y dos bandas de madera con una ranura que permita introducir las cartas para que se mantengan verticales. Consigna: Tienes colocadas en esta banda de madera una fila de cartas. Con estas cartas que tienes sobre la mesa, t debes hacer otra exactamente igual sobre esta banda vaca.

Figuras geomtricas de madera coloreada con un orificio que permite poder ensartarlas en una varilla.

Consigna: En esta varilla hemos ensartado varias figuras. Con las figuras que tienes sobre la mesa, t debes hacer otra igual.

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Variables didcticas: - Nmero de objetos que integran en las series. - Figuras homogneas de diferentes colores (por ej: cubos: rojo, verde, azul, amarillo,

blanco, etc.) o figuras heterogneas y de diversos colores (por ej.: cubo rojo, esfera blanca, cilindro verde, etc.).

- Repeticin (o no) de figuras idnticas: AAABBBCDDAABCC, o bien series configuradas por objetos diferentes entre s: ABCDEFG.

- Series algortmicas de objetos diferentes: ABCABCABC, o bien series algortmicas de objetos repetidos: AABBBCAABBBCAABBB.

- Posicin del modelo a reproducir: i. cercano al nio (sobre la misma mesa donde trabaja),

ii. alejado, pero visible, iii. no visible desde su mesa de trabajo.

- Tipo de situacin:

i. autocomunicacin (el trabajo es individual), ii. comunicacin: un alumno que ve el modelo lo describe (oralmente o por escrito)

a otro alumno, para que ste ltimo lo pueda reproducir. - El modo de alterar la posicin de un objeto en la serie . (Por ejemplo, una vez ensartadas las perlas, no es posible cambiar un elemento de lugar sin sacar otras perlas de la varilla, sin embargo, con los trenes de imgenes podemos tomar un solo elemento y modificar su posicin.)

Anlisis didctico:

Para el caso en que la varilla modelo est prxima y visible, el nio slo tiene que proceder mediante una correspondencia trmino a trmino para resolver el problema y verificar (validar) su trabajo. Se trata, pues, de una actividad simple de reproduccin pues le basta conocer los colores y las formas, seleccionar y discriminar los objetos de la coleccin en funcin de los datos facilitados por el modelo y establecer la correspondencia. En caso de que la varilla modelo no est visible desde su mesa de trabajo, el nio debe desplazarse para ver el modelo, centrarse en sus aspectos significativos: sus extremos (el principio y el fin) y reconocer el orden de los objetos, regresar a su mesa, observar los objetos de la coleccin y determinar el primer objeto que ha de colocar, el siguiente, el sucesor, etc. Este razonamiento moviliza necesariamente la nocin de orden (tanto entre los objetos ensartados en la varilla modelo como entre los de la coleccin que tiene sobre su mesa) y su vocabulario asociado: primero, siguiente, detrs de, delante de, etc. Aunque el vocabulario no interviene explcitamente en la actividad, sin embargo, se puede suscitar en el curso de debates en caso de error, o de comunicaciones entre nios. En suma, para resolver esta actividad los nios deben poner en funcionamiento procedimientos ligados a una relacin de orden y pueden, adems, validarlos autnomamente mediante una correspondencia trmino a trmino entre el modelo y su produccin. Si el modelo est configurado, por ejemplo, por una serie del tipo AAABBBCDDEEFGGG, el nio, para producir otra que conserve esta configuracin, debe movilizar no slo conocimientos asociados al reconocimiento de los objetos y a una relacin orden, sino tambin al cardinal de colecciones.

9.2. La enumeracin de colecciones: una relacin de orden total. Investigaciones19 en Didctica de las Matemticas, sobre los conocimientos que los nios necesitan movilizar para la construccin del nmero, han puesto de manifiesto que, muchas de las dificultades que stos tienen, son debidas a un dominio muy deficiente de la enumeracin de colecciones.

19

Berthelot, R., Salin, M.H. (1993), Lenseignement de lespace et de la geomtrie dans la scolarit obligatoire. Thse. Universit de Bordeaux I.

Briand (1993), Lenumration dans le mesurage de collections. Thse. Universit de Bordeaux I.

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Enumeracin: Expresin sucesiva de las partes de que consta un todo. Enumerar una coleccin finita consiste en pasar revista a todos los objetos de

esta coleccin una y solo una vez. (Diccionario de la R. Academia Espaola)

Desde el punto de vista matemtico, la enumeracin de los elementos de un determinado conjunto finito supone establecer una relacin de orden total en el mismo. Un nio, para llevar a cabo correctamente la actividad de enumerar los elementos de una coleccin, debe:

1. Ser capaz de distinguir dos elementos diferentes de esta coleccin. 2. Elegir un primer elemento de la coleccin. 3. Determinar el sucesor en el conjunto de elementos no elegidos anteriormente. 4. Conservar la memoria de las elecciones precedentes. 5. Recomenzar el paso 3. 6. Saber que ha elegido el ltimo elemento.

La puesta en prctica de estos seis puntos sucesivamente es necesaria para llevar a cabo correctamente el procedimiento de contar los elementos de una coleccin, ya que el algoritmo de la enumeracin est contenido en el algoritmo del conteo. En el medio escolar la actividad de enumeracin est enteramente bajo la responsabilidad del alumno. La enumeracin no est incluida en los contenidos de los programas escolares ni es sealada como necesaria por los profesores, de tal manera que podemos afirmar que constituye un punto ciego en el panorama escolar, ya que no existe explcitamente como objeto de enseanza. Sin embargo, como se ha puesto de manifiesto en las investigaciones anteriores, las actividades de enumeracin deben ser objeto de enseanza desde la Escuela Infantil, antecediendo a las actividades de tipo numrico.

Ejemplo 9: Actividades de ENUMERACIN Situacin 1: "Juego de las huchas": Disponemos de una coleccin de vasos de plstico no transparentes en los que hemos hecho una ranura en la base. Los colocamos boca abajo y pedimos a los nios que cojan botones de una cestita e introduzcan un botn y solo uno, en todos y cada uno de los botes. Observacin: El hecho de que los botes sean opacos impide el control visual continuo en el desarrollo de la actividad de enumeracin, es decir, no podemos conocer con una sola mirada, en el transcurso de la actividad, lo que hemos realizado y lo que nos queda por realizar.

Situacin 2: "Juego del repartidor de propaganda": Se trata de colocar una octavilla y solo una en cada uno de los casilleros de un mueble que tiene una estructura parecida al conjunto de buzones que estn ubicados en los bloques de pisos (se puede formar con cajas de zapatos o de cerillas). Situacin 3: Juego del cartero: Cada nio ha de distribuir un conjunto de cartas entre las clases del colegio, de tal manera que debe introducir una y solo una por debajo de la puerta de cada una de las clases. Un alumno, para llevar a cabo este algoritmo, puede emplear distintas estrategias o procedimientos: E0 : Enumeracin instantnea, basada en un control visual fugaz. Solo se puede llevar a cabo con seis objetos a

lo sumo. E1 : Marcar los vasos a medida que se van distribuyendo los botones (o en su caso fichas, octavillas, cartas ...). E2 :Utilizar el espacio: Para saber si hay algn vaso vaco, es suficiente diferenciar los vasos llenos de los vacos

separndolos entre s. Cada vez que el nio mete un botn, separa este vaso del resto.

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E3 : Organizar el espacio segn una estructura de orden total: por la simple puesta en lnea de todos los vasos. Esta estructuracin permite al alumno establecer, en la coleccin de objetos, un orden total previo a la accin, as la coordinacin espacio temporal ser inmediata y no necesitar ms utilizar los desplazamientos.

E4 : Si el alumno no puede modificar la posicin espacial de los objetos, ni marcarlos, es preciso que pueda estructurarlos mentalmente por medio de seales (o localizadores) interiores o exteriores a la coleccin, con el fin de producir un orden total: Esta estrategia depende pues de:

- la coleccin de objetos, - el espacio del entorno (microespacio, mesoespacio, macroespacio) - la relacin con el espacio del alumno que enumera, - la capacidad del alumno para estructurar la coleccin de objetos en el espacio.

Las variables didcticas que van a permitir al profesor provocar cambios en las estrategias del alumno son las siguientes: V1: Utilizacin o no de "marcaje" para sealar los objetos. Posibilidad de que el nio pueda hacer una seal (o no) en los vasos en los que ya ha metido un botn. V2: Desplazamiento o no de los objetos. Posibilidad de desplazar o no los vasos en los que ya ha metido un botn. V3: Tipo de configuracin espacial que presentan los objetos: Alineados, en tabla de nxm (3x4, 5x6, etc.), colocacin totalmente arbitraria, ... V4: Nmero de objetos de la coleccin (10, 15, 20, o ms objetos). V5: Naturaleza del espacio en el que se desarrolla la actividad: micro-espacio, meso-espacio o macro-espacio.

9.3. Conservacin del orden en las relaciones espaciales.

El espacio sensible es el espacio donde estn contenidos los objetos y nos es accesible por medio de los sentidos. Los conocimientos espaciales nos permiten a las personas dominar la anticipacin de los efectos de nuestras acciones sobre el espacio y controlar la comunicacin de informaciones espaciales. Estos conocimientos se manifiestan, por ejemplo, cuando conocemos suficientemente bien un espacio urbano y podemos seleccionar los caminos a seguir para optimizar nuestros trayectos, o bien, cuando un nio pequeo pierde de vista su pelota y sabe ir a buscarla detrs de la puerta aunque no la vea; o cuando un electricista sabe cmo evaluar la distancia entre dos puntos aunque no pueda llevar a cabo la medida directa, etc. Aunque en este curso dedicaremos el Bloque 4 a estudiar las relaciones espaciales, consideramos conveniente presentar aqu brevemente varias actividades que permiten a los nios de la Escuela Infantil movilizar las relaciones de orden en situaciones que plantean problemas relativos al espacio vivido y representado. Estos problemas varan sustancialmente dependiendo del tamao del espacio: microespacio, mesoespacio o macroespacio20.

20 Se denomina microespacio al espacio de las interacciones ligadas a la manipulacin de los objetos pequeos; mesoespacio al espacio de los desplazamientos del sujeto, es el espacio que contiene un inmueble, que puede ser recorrido por un sujeto, tanto en el interior como en el

exterior; macroespacio al espacio para el que el sujeto no puede, con los medios normales, obtener una visin global simultnea (en l se

consideran tres categoras: urbano, rural y martimo).

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Ejemplo 10: Orientarse sobre un plano: Proponemos a los nios realizar sobre un papel (A-4) el plano de la clase.

En esta actividad hay un espacio real (tridimensional) y un espacio (bidimensional) que lo representa o modeliza de manera analgica: trazos y dibujos realizados sobre el papel. Objetivo de aprendizaje: orientarse sobre un plano, lo que supone:

establecer una correspondencia biyectiva entre los dibujos del plano y los objetos de la clase,

controlar el orden de los dibujos del plano y su correspondencia con los objetos reales en relacin con determinados sistemas de referencia. Esto es fundamental para saber interpretar y utilizar el modelo analgico correctamente.

Primera fase: dibujar el plano estando los nios en el interior de la clase. Segunda fase: dibujar el plano estando los nios fuera de la clase (por ej.: en el patio del colegio). Cuando vuelvan a la clase deben comparar el dibujo que acaban de realizar con la clase real y corregir, en una sesin colectiva, los errores. Tercera fase: En el plano construido por cada nio se pide que escriba su nombre y el de sus compaeros en el lugar correspondiente a su puesto de trabajo en clase.

Ejemplo 11: Representacin e interpretacin de recorridos.

Objetivos: elaborar cdigos para la representacin grfica de trayectos, consensuar y unificar los cdigos a travs de la discusin colectiva, verificar su eficacia mediante actividades de codificacin y descodificacin, representar ordenadamente trayectos que se suceden en el tiempo.

Se trata de establecer correspondencias entre el mesoespacio (clase) y el microespacio (plano). Para tener xito en esta actividad es imprescindible controlar el orden seguido en los trayectos reales y ponerlo en correspondencia con su representacin en el plano. Actividad colectiva: el profesor representa un desplazamiento sobre el plano de la clase con la ayuda de flechas, un nio (por turnos) debe realizar este desplazamiento en la clase real y otro debe describirlo verbalmente, bajo el control de sus compaeros. Actividad por parejas: un alumno se desplaza libremente por la clase y otro debe representar este desplazamiento sobre el plano de la clase. Posteriormente, un alumno debe llevar a cabo un recorrido en la clase real a partir del plano que le aporta otro alumno. Si no logra este objetivo, se debate la necesidad de rectificar las codificaciones del plano y las dificultades encontradas en su interpretacin.

Representacin de la clase. Educacin Infantil

5 aos

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Actividad 7: A partir de las situaciones que figuran en el ejemplo 10 y en el ejemplo 11, determinar:

- Qu conocimientos matemticos deben movilizar los alumnos para resolver correctamente los

problemas propuestos? - La propia situacin puede informar al nio sobre el xito o el error cometido en la construccin

de planos y/o en su interpretacin? - Qu variables didcticas puede gestionar la profesora?

10. BIibliografa complementaria

BRIAND, J., LOUBET, M., SALIN, M.H. (2004) Apprentissages Mathmatiques en maternelle. Pars: Hatier.

MARTN, F. (2003) Apprentissages mathmatiques: jeux en maternelle. Bordeaux: Scrn. CRDP Aquitaine.

RUIZ HIGUERAS, L. (2003) Aprendizaje y Matemticas. En Chamorro, C. (Coord.) Didctica de las Matemticas, p. 31-69. Madrid: Pearson. Prentice-Hall.

VERGNAUD, G. (1991) El nio, las matemticas y la realidad. Mxico: Trillas.

Representacin de un recorrido. Educacin Infantil

5 aos

Representacin de un recorrido. Educacin Infantil - 3 aos