1/5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006

Môn: TOÁN, khối A

(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) y = 3 22x 9x 12x 4.− + − • TXĐ: . • Sự biến thiên: ( )2y ' 6 x 3x 2= − + , y ' 0 x 1, x 2.= ⇔ = =

0,25

Bảng biến thiên:

+_++∞

-∞

0

1

0

021 +∞-∞

y

y'x

yCĐ = ( ) ( )CTy 1 1, y y 2 0.= = =

0,50

• Đồ thị:

O

−4

1

1

2 x

y

0,25

2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 3 22 x 9 x 12 x 4 m 4− + − = − . Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

3 2y 2 x 9 x 12 x 4= − + − với đường thẳng y m 4.= −

0,25

Hàm số 3 2y 2 x 9 x 12 x 4= − + − là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

0,25

2/5

Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số: 3 2y 2 x 9x 12 x 4= − + −

0,25

Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 0 m 4 1 4 m 5.< − < ⇔ < <

0,25

II 2,00 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Điều kiện: ( )2sin x 1 .2

≠

Phương trình đã cho tương đương với:

( )6 6 23 12 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 04 2

⎛ ⎞+ − = ⇔ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

23sin 2x sin 2x 4 0⇔ + − =

0,50 sin 2x 1⇔ =

( )x k k .4π⇔ = + π ∈

0,25

Do điều kiện (1) nên: ( )5x 2m m .4π= + π ∈

0,25

2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Điều kiện: x 1, y 1, xy 0.≥ − ≥ − ≥ Đặt ( )t xy t 0 .= ≥ Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra: x y 3 t.+ = +

0,25

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được: ( )x y 2 2 xy x y 1 16 2+ + + + + + = .

Thay 2xy t , x y 3 t= + = + vào (2) ta được: 2 23 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t+ + + + + + = ⇔ + + = −

0,25

( ) ( )22 2

0 t 11 0 t 11t 3

4 t t 4 11 t 3t 26t 105 0

≤ ≤⎧ ≤ ≤⎧⎪⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨+ + = − + − =⎩⎪⎩

0,25

Với t 3= ta có x y 6, xy 9.+ = = Suy ra, nghiệm của hệ là (x; y) (3;3).= 0,25

O

−4

1

1

2 x −1 −2

y = m − 4

y

3/5

III 2,00 1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm)

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN . Khi đó:

( ) ( )( )d A 'C, MN d M, P .=

0,25

Ta có: ( ) 1 1C 1;1;0 ,M ;0;0 , N ;1;02 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )A 'C 1;1; 1 ,MN 0; 1; 0= − =

( )1 1 1 1 1 1A 'C, MN ; ; 1;0;1 .

1 0 0 0 0 1⎛ − − ⎞⎡ ⎤ = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

0,25 Mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )A ' 0;0;1 , có vectơ pháp tuyến ( )n 1;0;1 ,= có

phương trình là: ( ) ( ) ( )1. x 0 0. y 0 1. z 1 0 x z 1 0.− + − + − = ⇔ + − =

0,25

Vậy ( ) ( )( )2 2 2

1 0 112d A 'C, MN d M, P .

2 21 0 1

+ −= = =

+ +

0,25

2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm) Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) ( )2 2 2Q : ax by cz d 0 a b c 0 .+ + + = + + >

Vì ( )Q đi qua ( )A ' 0;0;1 và ( )C 1;1;0 nên: c d 0

c d a b.a b d 0

+ =⎧⇔ = − = +⎨ + + =⎩

Do đó, phương trình của ( )Q có dạng: ( ) ( )ax by a b z a b 0.+ + + − + = .

0,25

Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến ( )n a;b;a b= + , mặt phẳng Oxy có

vectơ pháp tuyến ( )k 0;0;1= .

Vì góc giữa ( )Q và Oxy là α mà 1cos6

α = nên ( ) 1cos n,k6

=

0,25

( )22 2

a b 16a b a b

+⇔ =

+ + + ( ) ( )2 2 26 a b 2 a b ab⇔ + = + +

a 2b⇔ = − hoặc b 2a.= −

0,25

Với a 2b= − , chọn b 1,= − được mặt phẳng ( )1Q : 2x y z 1 0.− + − =

Với b 2a= − , chọn a 1,= được mặt phẳng ( )2Q : x 2y z 1 0.− − + =

0,25

IV 2,00 1 Tính tích phân (1,00 điểm)

Ta có: 2 2

2 2 20 0

sin 2x sin 2xI dx dx.cos x 4sin x 1 3sin x

π π

= =+ +∫ ∫

Đặt 2t 1 3sin x dt 3sin 2xdx.= + ⇒ =

0,25

Với x 0= thì t 1= , với x2π= thì t 4.= 0,25

Suy ra: 4

1

1 dtI3 t

= ∫ 0,25

4

1

2 2t .3 3

= =

0,25

4/5

2 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm)

Từ giả thiết suy ra: 2 2

1 1 1 1 1 .x y x y xy

+ = + −

Đặt 1 1a, bx y

= = ta có: ( )2 2a b a b ab 1+ = + −

( )( ) ( )23 3 2 2A a b a b a b ab a b .= + = + + − = +

0,25

Từ (1) suy ra: ( )2a b a b 3ab.+ = + −

Vì 2a bab

2+⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ nên ( ) ( )2 23a b a b a b

4+ ≥ + − +

( ) ( )2a b 4 a b 0 0 a b 4⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤

Suy ra: ( )2A a b 16.= + ≤

0,50

Với 1x y2

= = thì A 16.= Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.

0,25

V.a 2,00 1 Tìm điểm 3M d∈ sao cho ( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= (1,00 điểm)

Vì 3M d∈ nên ( )M 2y; y . 0,25

Ta có:

( ) ( )( )

1 22 2 22

2y y 3 3y 3 2y y 4 y 4d M,d , d M,d .

2 21 1 1 1

+ + + − − −= = = =

+ + −

0,25

( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= ⇔ 3y 3 y 4

2 y 11, y 1.2 2+ −

= ⇔ = − = 0,25

Với y 11= − được điểm ( )1M 22; 11 .− −

Với y 1= được điểm ( )2M 2; 1 .

0,25

2 Tìm hệ số của 26x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm)

• Từ giả thiết suy ra: ( )0 1 n 202n 1 2n 1 2n 1C C C 2 1 .+ + ++ + ⋅⋅⋅+ =

Vì k 2n 1 k2n 1 2n 1C C , k,0 k 2n 1+ −

+ += ∀ ≤ ≤ + nên:

( ) ( )0 1 n 0 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C C C C C 2 .2

++ + + + + ++ + ⋅⋅⋅+ = + + ⋅⋅⋅+

0,25

Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( )2n 11 1 ++ suy ra:

( ) ( )2n 10 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1 1 2 3 .++ +

+ + ++ + ⋅⋅⋅ + = + =

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2n 202 2= hay n 10.=

0,25

• Ta có: ( ) ( )10 10 1010 k k7 k 4 7 k 11k 40

10 104k 0 k 0

1 x C x x C x .x

−− −

= =

⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

0,25

Hệ số của 26x là k10C với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6.− = ⇔ =

Vậy hệ số của 26x là: 610C 210.=

0,25

5/5

V.b 2,00 1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: ( )3x 2x x2 2 23 4 2 0 1 .

3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,25

Đặt ( )x2t t 0

3⎛ ⎞= >⎜ ⎟⎝ ⎠

, phương trình (1) trở thành: 3 23t 4t t 2 0+ − − = 0,25

( ) ( )2 2t 1 3t 2 0 t3

⇔ + − = ⇔ = (vì t 0> ). 0,25

Với 2t3

= thì x2 2

3 3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

hay x 1.=

0,25

2 Tính thể tích của khối tứ diện (1,00 điểm) Kẻ đường sinh AA '. Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A 'D.

A

A'

O

O' H D

B

Do BH A 'D⊥ và BH AA '⊥ nên ( )BH AOO 'A ' .⊥

0,25

Suy ra: OO'AB AOO'1V .BH.S .3

= 0,25

Ta có: 2 2 2 2A 'B AB A 'A 3a BD A 'D A 'B a= − = ⇒ = − =

BO 'D⇒ Δ đều a 3BH .2

⇒ =

0,25

Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: 2AOO'

1S a .2

=

Vậy thể tích khối tứ diện OO 'AB là: 2 31 3a a 3aV . . .

3 2 2 12= =

0,25

NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.

----------------Hết----------------