L’opera “Elementi” di Euclide

Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria in forma sistematica di tipo ipotetico-deduttivo

Raccoglie tutte le conoscenze dei matematici in 13 libri

Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali della geometria piana

Il Primo Libro degli Elementi

23 definizioni: descrizione intuitiva dei concetti geometrici con riferimento al reale• “”Punto è ciò che non ha parti”

Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere generale che hanno validità universale

5 postulati: verità evidenti, caratteristiche della geometria

Costruzione della geometria euclidea

DEFINIZIONIDEFINIZIONI POSTULPOSTULATIATI

ASSIOMIASSIOMI

TEOREMITEOREMI

La geometria euclidea si basa su 5 postulatiI )Si può tracciare una retta da un punto ad un qualsiasi altro puntoII )Si può prolungare in maniera indefinita una linea rettaIII )Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio IV) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

V) Se una retta, incontrandone altre due, produce 2 angoli adiacenti dalla stessa parte minore di 2 angoli retti, quelle rette, prolungate indefinitamente, si incontreranno dalla stessa parte in cui stanno gli angoli minori dei due rettiIl V postulato attrasse l’interesse di molti studiosi in quanto sembrava meno ovvio degli altri molti hanno tentato di

dimostrarne la necessità ma arrivarono solo a dimostrare che esso è equivalente ad altre affermazioni:

Proclo (410-485 D.C.): Data una retta e un punto fuori di essa, per il punto dato è possibile tracciare una e una sola retta parallela alla retta data

Legendre (1752-1833 D.C.): la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° (o π radianti)

Il gesuita Saccheri (1677-Il gesuita Saccheri (1677-1733)1733)

Opera: “Euclide emendato da ogni macchia” (1733)Opera: “Euclide emendato da ogni macchia” (1733) Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del

quinto postulatoquinto postulato ““Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il

quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V è valido!”è valido!”

Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di aver trovato la validi, e credette di aver trovato la contraddizione! Senza accorgersene getta, contraddizione! Senza accorgersene getta, invece, le basi per le geometrie non invece, le basi per le geometrie non euclidee.euclidee.

All’inizio del 1800 Gauss, Bolyai e Lobatchevski crearono una nuova

geometria sostituendo al V post. Di Euclide il nuovo postulato:

Per ogni punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele alla

retta datao, equivalentemente

La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

Essi dimostrarono che questa soluzione dava luogo ad una geometria diversa da quella euclidea, con teoremi diversi, ma perfettamente valida, autoconsistente e

senza contraddizioni

Nasce la geometria iperbolica o a curvatura negativa

Gauss (1824) afferma che una geometria fondata sui primi 4 postulati e sulla negazione del V non è contraddittoria, ma non ha il coraggio di pubblicare la sua opera

Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria iperbolica quasi contemporaneamente all'ungherese Boljai

Il ragionamento di Lobatceskij

r

t

sP

O A B

ll’

Per P passano secanti e non secanti: l e l’ sono le due rette parallele ad r

() è l’angolo di parallelismo La somma degli angoli interni di un

triangolo è minore di due retti -(++)= è il difetto angolare Indicata con A l’area di triangolo, la

quantità k=(++)/A viene chiamata curvatura dello

spazio. Per la geometria iperbolica esso è un valore costante

negativo

Il ragionamento di LobatceskijIl ragionamento di Lobatceskij

Se A tende a 0, δ tende a zero e la somma degli angoli interni di un triangolo vale π

Allora la geometria euclidea è il limite della geometria iperbolica al tendere di A a zero

La geom. euclidea vale su scala terrestre e astronomica

Riemann (1826-66)Riemann (1826-66) Costruisce la geometria ellittica Assioma di Riemann: “Due rette hanno sempre in comune un punto”, quindi

non esistono rette parallele” o, equivalentemente: “la somma degli angoli interni di un triangolo è

maggiore di 180°” La geometria ellittica ha curvatura costante positiva Viene modificato il postulato dell’infinità della retta, introducendo il concetto

di ILLIMITATO: una curva può essere finita (ossia la sua lunghezza è finita, ossia non infinita) ma illimitata (cioè senza bordo). Una circonferenza ad esempio è finita (lunghezza 2 πR ) ma non ha termine.

Riemann introduce il concetto di GEODETICA ossia della curva che congiunge 2 punti con la minima distanza. La geodetica sostituisce la retta nelle geometrie non euclidee. Ad esempio un triangolo è individuato da tre punti dello spazio e dalle tre parti di geodetica che li uniscono.

Nel caso dello spazio euclideo le geodetiche coincidono con le rette.

Modelli di geometrie non euclidee in 2DIl più semplice esempio di geometria non

euclidea è quella costruita sulla superficie di una sfera (geometria ellittica di Riemann)Le “rette” di questa geometria (geodetiche) sono circonferenze di raggio massimo. Un modo pratico di realizzare gli archi geodetici (parti di geodetica) è di ritagliare una strisciolina rettilinea di carta e appli-carla sulla superficie in modo che aderisca senza pieghe.

Ecco qui a fianco un triangolo sulla sfera. I lati sono archi geodetici,

analogamente al caso euclideo in cui i lati sono segmenti rettilinei

Per realizzare una superficie iperbolica

basta prendere una superficie circolare e inserire un settore circolare come

mostrato qui sopra.Attenzione!!! Quella che abbiamo così costruita è solo una parte della superficie

iperbolica in quanto essa è infinita al pari del piano euclideo!

Un triangolo su una superficie sferica

95° +67° +80° =242° > 180° !

Curvatura positiva

Un triangolo su una superficie iperbolica

38° +41° +42° =121° < 180° !

Curvatura negativa

Come individuare la curvatura di una superficie?Se riusciamo a appiattire la superficie senza lacerazioni

o sovrapposizioni -> Curvatura nulla

Esempi: Piano, Cilindro, Toro

Se, per appiattirla, operiamo lacerazioni

-> Curvatura positiva

(c’è meno superficie di quanto serve per appiattirla)Se, per appiattirla,

operiamo pieghe e sovrapposizioni ->

Curvatura negativa

(c’è più superficie di quanto serve per appiattirla)