LOS NÚMEROS RACIONALES

OBJETIVOS:

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos

numéricos en sus diversas formas de expresión,

tanto en las ciencias exactas como en las ciencias

sociales y en el ámbito cotidiano.

• Aplicar la operatoria básica en los números

naturales y enteros.

OBJETIVOS:

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

1. Números racionales (Q)1.1 Propiedades de los racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.3 Transformaciones de números racionales

1.4 Comparación de fracciones

2. Números irracionales (Q*)

Contenidos

3. Números reales ( IR )

4. Números imaginarios ( II )

5. Números complejos ( C )

1.5 Secuencia numérica

1.NÚMEROS RACIONALES (Q)

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2;

70,489; 2,18; -0,647-1;

8

14;3

15,0

NO es racional

a: numerador y b: denominador

Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0),

3 es Entero (3 Z), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 3

1

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

1.1 Propiedades de los racionales

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙

3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

=12

18

• Las fracciones se pueden clasificar en:

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.

Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto elnumerador como el denominador por un mismonúmero.

3

3=

9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 2

9

es: 9

2

Ejemplo:

1.2 Operatoria en los racionales

• Suma y resta

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+

7

15=

11

15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙

8

7=

-32

35=

• Multiplicación:

Ejemplo:-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

• División:

Ejemplo:-4

5 :

7

8=

32

35-

• Número Mixto:

Ejemplo:

83

5=

8∙5 + 3

5=

43

5

1.3 Transformación de números racionales

• De fracción a decimal:

Ejemplo:

Se divide el numerador por el denominador.

7

4= 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el

denominador es una potencia de 10 que depende del

número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

4

25∙7

25∙4

=

• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233

99 99

Ejemplo 2:0,376 = 376 – 0 = 376

999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se

repite indefinidamente.

3,21 = 321-32 = 2899090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay

entre la coma decimal, y el período.

Ejemplo:

1.4 Comparación de fracciones

• Multiplicación cruzada:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicando cruzado)13

15

9

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 13

15

9

10<

• Igualando denominadores:

Ejemplo:

13

15

7

12

Al comparar y (Igualando denominadores)

13∙4

15∙4

7∙5

12∙5y

52

60

35

60y

Como 52 > 35, entonces 13

15

7

12>

• Transformar a decimal:

Ejemplo:

13

15

7

12

Al comparar (Transformando a decimal)y

13

15= 0,86666666…

7

12= 0,58333333…

13

15

7

12

>Como 0,86 > 0,583 , entonces

• Igualando Numeradores:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

10

3

13

4y

10·13

3·13

13·10

4·10y

130

39

130

40y

Por lo tanto,10

3

13

4es mayor que

Ejemplo:

En la secuencia: 6 ,

5

16 ,

5

26 ,

5

36 , ...

5

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

1 ,

5

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .

5

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

65

5

1 ,

5

65 = 13

5

Es decir:

Respuesta:

1.5 Secuencia Numérica

Observación:

La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

1 + 1 ,

5

1 + 3 ,

5

1 + 5 ,

5

1 + 7 ,

5

1 + 13…

5

... ,

1° 2° 3° 4° ... , 7°…

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,

¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Respuesta:

Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1

5

1 + (2n - 1)

5

(Con n = posición del término)

Son aquellos que NO se pueden escribir como

una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

2. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q

U

Q*=

3. Números Reales (IR)

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2;

7

2,18; ;2 23,491002

IN IN0 Z Q IR

Q* IR

4. Números imaginarios (II)

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25

5. Números complejos (C)

Es el conjunto formado por el producto cartesianoentre los números reales y los números imaginarios.

Diagrama representativo:

IN IN0 Z Q IR C

II C

IR x II = C

Sinteticemos en el siguiente

mapa conceptual

lo que hemos aprendido

Conjunto Q

Propiedades

y comparaciónOperatoria Transformaciones

Decimal finito a

fracción

Decimal periódico a

fracción

Decimal semiperiódico

a

fracción

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Simplificación

Amplificación

Fracciones

equivalentes