Læringsdagene i Alta

Grunnleggende regneferdighet –

matematisk kompetanse

Tone Skori

3. oktober 2013

Ditt navn og årstall

Agenda for dagen

• Læringspartner

• Grunnleggende ferdigheter i matematikk – matematisk kompetanse med ulike aktiviteter

Oppgave Tall i T

• Du har sifrene 1, 2, 3, 4 og 5

• Plasser sifrene slik at du får lik sum loddrett og vannrett.

Læringspartner

Læringspartner

Utvikle sosiale ferdigheter

Skape variasjon

Utvikle muntlig kompetanse

Involvere elever i lærings-prosesser

Utvikle vurderings-kompetanse

Utvikle fagkompetanse

Verktøyet læringspartner – hensikter

Vi lærer best sammen med andre sosiokulturell læring

(Referert i Olsen og Aasland, 2013)

Hva er en læringspartner?

• En du sitter sammen med en viss periode (2-3 uker) • En du samtaler med/ jobber sammen med • En du skal hjelpe / en du får hjelp av • En som gir deg tilbakemelding/fremovermelding

(VFL) • En som oppmuntrer og er positiv til deg • En som inspirerer og motiverer deg

Hvorfor læringspartner?

• Tenketid • Er ikke alene om svaret • Aktiviserer alle • Lærer bedre selv ved å forklare/diskutere • Alle kan svare etter samtale/diskusjon • Rettferdig • Fungerer godt for alle type elever

Tidspunkt for bruk av læringspartner

Læringspartner kan brukes • i oppstart av en læringsøkt • underveis i en læringsøkt • som oppsummering av en læringsøkt • når lærer stiller spørsmål til klassen - tenketid • når elever skal utføre oppgaver • ved gjennomgang av lekser eller prøver • når elever skal diskutere eller lage mål og kriterier • i forbindelse med skriftlig eller muntlig vurdering

(Olsen og Aasland, 2013)

Hvordan er en perfekt læringspartner?

• Elevene må få tid til å reflektere • De diskuterer hva som kan være gode kriterier

Forslag: Kriterier til en god læringspartner

• Ser på den som snakker • Lytter til den som prater • Avbryter ikke • Er positiv • Er konstruktiv kritisk • Diskuterer • Samarbeidsvillig • Ærlig • Hjelpsom • Følger med

Valg av læringspartner

Tilfeldig trekking Ispinner • Evt. ulik farge på ispinner – knyttet til kjønn • Odde antall elever: Tre læringspartnere («vikar» ved sykdom) • 2-3 uker

• Innlede samarbeid: (Kroppsspråkregel) • «Det skal bli hyggelig å være læringspartneren din!»

• Avslutte samarbeid: • «Takk for samarbeidet» eller • «Det har vært hyggelig å samarbeide med deg»

(Olsen og Aasland, 2013)

Ispinner

Begrunnelser for bruk av læringspartner

Utvikle sosiale relasjoner og evne til samarbeid • Kan bli kjent med mange i klassen gjennom samarbeid • Alle får mulighet til å delta i samtalen – alle stemmer høres • Elever kan oppleve det mer trygt å være sammen om å svare • Elever får trening i å hjelpe og å ta i mot hjelp

Grunnleggende ferdigheter i matematikk

Ditt navn og årstall

Grunnleggende ferdigheter i

matematikkfaget

Grunnleggende ferdigheter er integrerte i

kompetansemålene, der de medvirker til å utvikle

fagkompetansen og er en del av den.

I beskrivelsene av grunnleggende ferdigheter i muntlig,

lesing, skriving, regning og bruk av digitale verktøy for

matematikkfaget, finner vi arbeidsmåtene som skal gi

matematisk kompetanse.

Nøkkelord i beskrivelsene er:

Muntlig ferdighet i matematikk: • Skape mening gjennom å lytte, tale og samtale

om matematikk

•Gjøre seg opp en mening

• Stille spørsmål

• Argumentere ved hjelp av et uformelt språk,

presis fagterminologi og begrepsbruk

•Kommunisere ideer

•Drøfte problemer og løsningsstrategier med

andre

•Utvikling MF går fra å delta i samtaler om

matematikk til å presentere og drøfte komplekse

faglige emner

Å kunne lese i matematikk:

•Tolke og dra nytte av tekster med matematisk

innhold

• Lese og tolke matematiske uttrykk,

diagrammer, tabeller, symboler, formler og

logiske resonnement

•Utvikling i å lese i matematikk går fra å finne og

bruke informasjon i tekster, til å finne mening og

reflektere over komplekse fagtekster

Å kunne skrive i matematikk: • Løse problemer

• Beskrive og forklare en tankegang

• Sette ord på oppdagelser og ideer

• Lage tegninger, skisser, figurer tabeller og

diagram

• Benytte matematiske symboler og det formelle

språket

•Utviklingen i å skrive i matematikk går fra å bruke

enkle uttrykksformer til gradvis å ta i bruk et formelt

symbolspråk og en presis fagterminologi

Digitalt ferdigheter i matematikk:

• Spill

• Utforskning

• Visualisering

• Publisering

• Bruke slike hjelpemidler til problemløsing,

simulering og modellering

• Finne informasjon

• Analysere, behandle og presentere data

• Kildekritikk

• Være klar over den nytten bruk av digitale verktøy

kan ha for læring i matematikk

Å kunne regne i matematikk: • Problemløsing

• Utforsking

• Mestre regneoperasjoner

• Varierte strategier

• Gjøre overslag

• Kommunisere og vurdere svar

• Kjenne igjen og beskrive situasjoner der

matematikk inngår

•Utviklingen av å regne i matematikk går fra

grunnleggende tallforståelse og til å kjenne igjen

og løse problem til å analysere og løse komplekse

problem

Kompetansemålene i læreplanene innbefatter:

1. Ferdigheter

2. Forståelse

3. Anvendelse

Alle disse momentene hører innunder det vi kan kalle

grunnleggende ferdigheter i matematikk

1.står for reproduksjon

2. og 3. står for produksjon

Til topps! • Jobb sammen to og to.

• Kast 5 terninger – kun en gang

• Dere skal nå bruke de 5 terningene til å lage matematikkoppgaver som gir svar fra 1 og oppover – alle fire regningsarter er lov.

• Pass på at du bruker parenteser riktig og at regneuttrykker stemmer i forhold til hva som kommer først av multiplikasjon/divisjon og addisjon/subtraksjon

• Eksempel: 2, 5, 4, 6 og 6. 6-5 = 1, 2 = 2, 6:2 =3 osv

Matematisk kompetanse

Forståelse

• Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner, prosedyrer og relasjoner

Elever som har utviklet forståelse kan;

• Mer enn isolerte fakta og prosedyrer

• Tolke, forstå og benytte ulike representasjoner

• Se mønster og systemer i forskjellige problemer og situasjoner

• Bruker varierte metoder

Mitt mystiske tall 1

- - - -

• Tallet har 4 siffer

• Tallet på enerplass er det minste oddetallet

• Tallet på tierplass er det nest minste partallet

• Tallet på hundreplassen er det dobbelte av enerplass

• Tallet på tusenplassen er halvparten av tierplass

Mitt mystiske tall 2

_ _ _ _ _ _ - Tallet har 6 siffer

- Sifrene på enerplassen og tierplassen er de to minste oddetallene. De andre sifrene er partall og ingen av dem er like

- Sifferet på hundrerplassen er lik summen av sifrene på enerplassen og tierplassen

- Sifferet på tusenplassen er 2 ganger sifferet på tierplassen

- Sifferet på hundretusenplassen er det dobbelte av sifferet på hundrerplassen

- Det er to løsninger på oppgaven

Begrep

• Begrepbingo

Ulike representasjoner

Tone Skori 2012

Beregning

• Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt

Beregning

Beherske prosedyrer som:

• Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon

• Måling

• Algebra

• Geometri

• Funksjoner

• Statistikk

Gangekrig Utstyr: kortstokk med kort fra 1 til 10 Hensikt: øve gangetabellen Spill mot hverandre to og to. Alle kortene deles ut, slik at begge får like mange kort. Elevene snur to kort hver og multipliserer tallene. Den med størst produkt vinner. Enklere: bruk to terninger hver. Den som har størst produkt får ett poeng. Elevene kan da spille først til 20.

Anvendelse

• Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer

Anvendelse

• Formulere og avgrense problemer

• Utvikle løsningsstrategier og modeller

Eks:

I en kiosk kan du velge mellom fire ulike

smaker på kuleis. Du skal ha to kuler.

Hvor mange valgmuligheter har du?

Resonnering

• Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe som er kjent til noe som ikke er kjent

Resonnering

• Limet som holder matematikken sammen

• Handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner

• Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og situasjoner

• Handler om å vurdere gyldigheten til løsningen på et problem og reflektere over valgte strategier

• Å kunne forklare sine løsninger til andre og presentere strategier på ulike nivåer

• Å kunne tolke og forstå matematiske tekster og andre sine løsninger og utsagn

Resonnement

• Denne henger nøye sammen med å kunne anvende det du har av ferdigheter og forståelse

• og vi kan si at resonneringskompetansen er disse kompetansenes ”juridiske” side, den som vurderer om svaret er rett eller galt.

Nærmest 1500 • Hver deltaker lager et

rutenett som det nedenfor.

• Læreren (eller en elev) kaster en terning (1-6). Alle deltakerne velger hvor de vil plassere det sifferet terningen viser. Den sifferplassen er da opptatt.

Når terningen er kastet 9 ganger, har du laga 3 tresifrede tall. Summen av tallene skal være nærmest mulig 1500.

+

+

=

4-Oct-13 42

Gjett tre kort

Engasjement

• Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk

Engasjement

• ”Nøkkelen” til å lære matematikk

• Innsats

• Selvtillit

• Følelse av mestring

Kilpatric - Niss

Kilpatric Niss

Forståelse Tankegang - Representasjon

Beregning Symbol og formalise - Hjelpemiddel

Anvendelse Problemløsning – Modellering

Resonnering Resonnering - Kommunikasjon

Engasjement

Matematisk kompetanse består i å kunne:

• Resonnere • Tenke logisk • Forstå begreper • Kunne bruke symboler og vite hvilke regler som gjelder i

ulike situasjoner • Kunne bruke ulike matematiske representasjoner som

formler, grafer, tabeller osv. • Kunne bruke hjelpemidler • Løse problemer der det ikke finnes noen på forhånd gitt

oppskrift • Kunne kommunisere sin egen matematiske tenkemåte

med andre og forstå andres forklaringer • Kunne lage og forstå ulike matematiske modeller

Formålet med faget • En del av den globale kulturarven vår

• Faget går inn i mange vitale samfunnsområde

• God matematiskkompetanse er en forutsetning for utvikling av samfunnet

• En skal jobbe med problemløsning og modellering til å analysere og omforme et problem til matematisk form, løse det og vurdere om løsningen er gyldig

• Språklig aspekt, som det å formidle, samtale og resonnere rundt ideer

• En skal kunne bruke og vurdere ulike hjelpemiddel

• Elevene må arbeide både praktisk og teoretisk

• Opplæringen skal veksle mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening

• Elevene må utfordres til å kommunisere matematikk skriftlig, muntlig og digitalt

Prinsipper for god regneopplæring

• Sette klare mål, og form undervisningen deretter

• Vær bevisst i valg av oppgaver

• Varier mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt

• Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før

• Bruk det matematiske språket aktivt

• Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet

• Oppsummering av timen - refleksjon

49

Metode betyr en måte å gå frem på.

Hvilken metode er best?

… og for hvem?

… for læreren?

… for elevene?

Gårsdagens ”metode”: Sett med elevens øyne:

“Hvilket svar ønsker læreren”?

Dagens ”metode”: Hva lærer bør være opptatt av:

Hvordan tenker egentlig eleven?

Hvorfor svarer eleven slik eller sånn?

Hvilket resonnement ligger bak elevens forslag til løsning?

49

Forskning

TIMSS:

• En mulig årsak til de svake resultatene i matematikk i norsk skole er knyttet til ensidige arbeidsmåter i opplæringen

• Norsk skole må legge mer vekt på både trening med sikte på å automatisere viktige ferdigheter og diskusjon og refleksjon rundt svar og løsningsmetoder

Finn en som kan klare utfordringene nedenfor. Den du finner, skal si det

muntlig, skrive det ned og signere. Hver person kan bare svare på en utfordring.

FINN EN SOM KAN …

1. Tegne et trapes

2. Løse likningen 2x+4=3(x-1)

3. Vise hva som er størst av 3/8 og 2/5

4. Finne det neste tallet I tallrekka 1, 2, 4, 7, 11

5. Forklare hvordan du kan finne omtrent hvor mye 241:79 er

6. Kan finne alle faktorene til 64

Anvendt matematikk

Problembehandlingskompetanse

Modelleringskompetanse (Niss, 2002)

Modelleringskompetanse

• å kunne matematisere en situasjon.

• Dvs å kunne oversette situasjonen til et matematisk språk med matematiske problemstillinger, nødvendige symboler og matematiske uttrykk,

• Å kunne behandle den matematiske modellen og løse de matematiske problemene

Organisering, systematisering krever matematiske modeller

Modellbegrepet tenkes bredt. Det er mye som kan være en modell:

- Tegninger

-Konkreter

-Symboler

-Diagrammer

-Overordna, generelle strategier, som for eksempel gjentatt addisjon

54

Rett abstraksjonsnivå

Oppgaver i modellering

Kai har halvparten så mye penger som Tim. Chris har 186kr, og det er 126kr mer enn Tim.

Hvor mye penger har Kai?

• Lag en modell!

Forslag løsning

Kai

Tim

Chris 186

126

Hva koster sekkene?

• Susann, Mariell og Petter kjøper hver sin sekk.

• Sekken til Mariell er tre ganger så dyr som sekken til Susann.

• Petter sin sekk koster halvparten så mye som Mariells sekk.

• Petter betaler 50 kr mer for sin sekk enn Susann gjør for sin.

• Hva er prisen på hver sekk?

– Tegn-modell-strategi

• Susanne

• Mariell

• Petter

• 1ookr 50kr

Tegne modell som hjelp i brøk

• Chris brukte 1/7 av ukelønnen sin hver dag. Tre dager etter at han hadde fått utbetalt ukelønnen hadde han 60kr igjen. Hvor mye penger brukte Chris de tre første dagene?

Forslag løsning

• For å løse oppgaven må vi først finne ut hvor mye 1/7 er. Det er ikke helt enkelt, fordi vi vet jo ikke hvor mye helheten er. Vi må da starte med det vi vet, nemlig at 4/7 = 60 kr. Det best er kanskje å lage en tegning.

De første 3 dagene 60 kr

Utvikling av strategier

• Et eksempel

14∙5

10∙5

4∙5

62

Modell av strategi

5

10

4

50

20

63

25 * 35

64

Utfordring

Divisjonsalgoritmen

Hva med divisjon?

Kan vi lage en modell for det?

Spørsmål?

Målingsdivisjon - delingsdivisjon

488 : 4 ?

Hvordan konkretisere dette?

Divisjon med konkreter

Moro?

Problembehandlingskompetanse

• å kunne finne og formulere matematiske problemstillinger,

• å kunne løse matematiske problemstillinger og etter hvert også kunne løse dem på forskjellige måter

Problembehandlingskompetanse

• Bygge ny matematisk kunnskap gjennom problemløsning

• Løse problemer som dukker opp i matematiske og andre kontekster

• Bruke og tilpasse et mangfold av hensiktsmessige strategier til å løse problemer

• Bevisst reflektering over matematikken i problemløsningen

Faser i problemløsning

• 1. fase: Identifisere problemet

• 2. fase: Selve problemløsningen

• 3. fase: Presentere løsningen og løsningsmetoden

Læreren spiller en vesentlig rolle ved problemløsning!

Problemløsningsstrategier.

• Gjør det på ordentlig

• Bruk konkreter

• Tegne

• Forenkle problemet

• Søk etter mønster

• Arbeid baklengs

• Lag en tabell

• Gjett og prøv

• Resonere seg fram

Drops

3 barn skal dele 7 drops. Alle dropsene må brukes hver gang og alle barna må ha minst ett drops. På hvor mange måter kan du fordele dropsene på?

Kortspill for barnetrinnet

Utstyr:

Kortstokk med kortene fra 1 til 10

Matematiske begreper:

sum, differanse, produkt, minst, mest, nærmest og hoderegning

Antall:

For to eller flere spillere eller lag

Hvem har mest?

Kortbunken stikkes og deles likt mellom

spillerne. Snu 2 kort hver. Den som har mest, får kortene og legger dem på bunnen av sin bunke. Hvis det er likt, kan dere ta halvparten hver, eller ”krige” (det vil si fortsette med 2 nye kort hver til en har mest og får alle kortene fra den omgangen).

Par eller odde?

Kortbunken stokkes og deles likt

mellom spillerne. Vi snur ett kort hver, samtidig. Den som først kan si om summen er par eller odde, får kortene og legger dem under sin bunke. Her kan vi være flere enn to spillere.

Gjett 2 kort

2-6 spillere. Kortene stokkes og

legges i ei bunke mellom spillerne. Første spiller trekker to kort og sier både summen av kortene og produktet av kortene. Den som gjetter riktig får kortene og trekker to nye kort.

Største forskjell. Største produkt

Som over, men hvem har størst differanse

mellom sine kort? Begge tar det største tallet minus det minste. Da ser dere hvem som har størst forskjell.

Eller: Vi multipliserer tallene på våre to kort med hverandre.

Gjett summen? Før vi snur ett kort hver, skal vi gjette hvor

mye de blir til sammen. Bytt om å gjette først. Det er ikke lov å gjette likt. – Så snur vi kortene og legger dem sammen. Den som gjettet nærmest, får kortene.

(Øver på differanse: ”nærmest”)

4-Oct-13 81

Hvorfor er den matematiske samtalen viktig?

For å få tak i:

• elevenes matematiske tenkning

• elevenes forkunnskaper som legger premisser for videre undervisning

• begrepsforståelsen til elevene

• metakognisjon: Elevene blir bevisste sin egen tenkning og egne strategier.

• Trene og utvikle resonnementskompetanse, logisk

tenkning og argumentasjon.

4-Oct-13 82

Hvorfor er den matematiske samtalen viktig?

• Å formulere matematikkoppgaver med egne ord

• Å tenke høyt når man løser oppgaver

• Å ”høre seg selv” i regneregler og tabellkunnskap

• Å stille spørsmål og drøfte løsninger med både medelever

og lærer

• Å bruke varierte arbeidsmåter med rom for differensiering • Å bruke nok tid og samtale om nye begreper når de skal

innføres (eks: brøkbegrepet, funksjonsbegrepet)

Veien mot matematisk kompetanse

Vektlegging av …

• Grunnleggende ferdigheter

• Begrepsforståelse

• Opparbeidelse av et bredt spekter av metoder

• Evne til å tenke logisk, kunne resonnere

• Gjenkjenne matematikken i ulike kontekster

• Kunne gå fra det spesielle til det generelle. Finne mønster og system

• Kunne anvende tidligere erfaringer på nye problemstillinger

• Kunne vurdere holdbarheten og gyldigheten av egne løsninger

Ulike oppgavetyper

– Rutineoppgaver

– Rike oppgaver

– Problemløsningsoppgaver

– Flervalgsoppgaver

– Utforsking, åpne oppgaver

– Interaktive oppgaver

Sats på eleven

Elevene

• Kan tenke selv

• Er nysgjerrige

• Liker å finne ut av ting

• Liker utfordringer

• Lærer best

– Av det de tenker å gjør selv

Praktiske konsekvenser

Mindre av:

• Lærer forklarer

• Elevene øver

• Prøver

Mer av:

• Problem

• Diskusjon

• Oppsummering

• www.matematikksenteret.no

• www.lamis.no

• www.matematikk.org

• www.gruble.net

• www.udir.no

Nettsider

Kilder

• www.matematikksenteret.no

• http://www.regjeringen.no/nb/dep/kd/sok.html?quicksearch=Fra+matteskrekk+til+mattemestring

• M.Røsseland (2011) ”Jeg gidder ikke bry meg mer!” Høgskolen i Bergen

• Olsen, H., Ø og M. Aasland (2013): Læringspartner, underveisvurdering i praksis. Pedlex

• Håndboka Alle teller

• Multi lærerens bok 2b

• Multi lærerens bok 7b

• Multi kopiperm 5 - 7