Lý thuyết mở rộng trường và Galois

8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois

1/328

NGUYN CHNH TKhoa Ton, i Hc S Phm Hu

Gio trnh in t

L THUYT M RNG TRNG V

GALOIS

Hu 12-2006


2/328

D AC TNH KY THUA

T

C the tra cuu den tung phan cu a gio trnh bang cch click vo Bookmarks

bn le tri cu a Acrobat Reader.

C siu kin ket tham kha o cho v tham chieu den cc ti lie

u tham kha o

(305).

C siu lin ket de tra cuu cc thua

t ngu hoa

c no

i dung cu

the bang Ch mu

c

(307) o cuoi gio trnh.

C the lin ket voi trang web ch ra.

C siu lin ket de tham kha o nhanh huong dan gia i cu a tung bi ta

p (250).

C the do

c trn ma

ng, download hoa

c nhanh chng in thnh gio trnh do

c.

C the dng de trnh chieu voi chuc nang View|Full Screen.

ii


3/328

MUC LU

C

LOI NI DAU ix

HUONG DAN SU DUNG xiii

VI NT VE LICH SU 1

a) Lich su gia i phuong trnh da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

b) Cuoc doi cu a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chuong 0 KIE

N THUC CHUAN BI 21

0.1 Truong. Dac so cu a truong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.2 Vnh da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

iii


4/328

0.3 Mot so nhm huu ha

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

0.4 Hm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chuong 1 MO RO

NG TRUONG 45

1 Mo rong truong. Ba

c cu a mo ro

ng truong . . . . . . . . . . . . . 45

1.1 Mo rong truong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2 Bac cu a mo ro

ng truong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Mo rong don . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1 Vnh con v truong con sinh ra boi mot ta

p . . . . . . . . . 53

2.2 Cau trc cu a mo rong don . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Mo rong huu ha

n v mo ro

ng da

i so . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1 Tnh chat cu a mo rong huu ha

n v mo ro

ng da

i so . . . . . 69

iv


5/328

3.2 Truong con cc phan tu dai so. Truong dng da

i so. Bao dng

dai so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Du

ng hnh bang thuoc ke v compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1 Ba bi ton dung hnh co d ien . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Dieu kien can d e da gic deu p ca

nh du

ng duo

c bang thuoc

ke v compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Bi ta

p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Truong phn r cu a mot da thuc. Da thuc tch duo

c . . . . . . . 91

5.1 Truong phn r cu a mot da thuc . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Da thuc tch duoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Chuong 2 L THUYE

T GALOIS 109 6 Tu da ng cau v truong trung gian cu a mo ro

ng truong . . . . . . 109

6.1 Nhm cc tu da ng cau cu a mo ro

ng truong . . . . . . . . . 110

v


6/328

6.2 Truong trung gian cu a mo rong truong . . . . . . . . . . . 114

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Mo

ro

ng tch du

oc, chuan tac v Galois . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1 Mo rong tch duo

c v di

nh l phan tu nguyn thu y . . . . . 124

7.2 Tiu chuan cu a mo rong Galois v chuan tac . . . . . . . . 127

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 Dinh l co ba n cu a L thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bi ta

p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9 Mot so ung dung cu a L thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . 1569.1 Truong huu ha

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2 Truong v da thuc chia duong trn . . . . . . . . . . . . . . 160

9.3 Da gic deu dung duo

c bang thuoc ke v compa . . . . . . . 169

9.4 Dinh l co ba n cu a da

i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10 Nhm Galois cu a da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.1 Bie

t thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

vi


7/328

10.2 Nhm Galois cu a da thuc bac 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.3 Da thuc bac 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.4 D

a thuc tong qut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11 Tiu chuan gia i duoc bang can thuc cu a da thuc . . . . . . . . . 201

11.1 Mo rong can v tiu chuan gia i duo

c . . . . . . . . . . . . . 201

11.2 Tnh khng gia i duoc cu a da thuc c ba

c lon hon bon . . . . 211

11.3 Nghiem can thuc cu a cc da thuc tong qut c ba

c khng qu 4213

Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

PHU

LU

C 223

A Nhm gia i duoc v nhm don . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

B Dinh l Sylow v Di

nh l Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239

C Bao dng dai so cu a mo

t truong . . . . . . . . . . . . . . . 242

D So luoc ve Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

HUONG DAN GIA I BI TA

P 250

vii


8/328

BA NG K HIEU V QUY UOC 302

TI LIE

U THAM KHA O 305

CHI MUC 307

viii


9/328

LOI NI DAU

L thuyet Galois l mot trong nhung l thuyet de

p de nhat cu a da

i so, ta

p ho

p

nhieu kien thuc v phuong php cu a cc lnh vuc ton hoc khc nhau, nham gia iquyet cc bi ton co d ien v nhung van d e quan tro

ng khc cu a da

i so hie

n da

i.

Mot trong nhung ung du

ng chu yeu cu a L thuyet Galois l gia i quyet bi ton

tm nghiem can thuc cu a phuong trnh da thuc, da

c bie

t ch ra rang phuong trnh

bac lon hon bon khng the gia i duo

c bang can thuc. Ma

t khc, L thuyet Galois cho

php xc dinh da gic deu n ca

nh du

ng duo

c bang thuoc ke v compa. Bn ca

nh

d, chng ta nhan d uo

c tu L thuyet Galois loi gia i cho ba bi ton du

ng hnh co

d ien, d l khng the (bang thuoc ke v compa) chia ba mot gc, gap di hnh la

p

phuong hoac cau phuong duong trn.

Do tam quan trong cu a L thuyet Truong v Galois m tu nam 1986, mn ho

c

ny d duoc Bo

Gio du

c v do ta

o dua vo trong chuong trnh chnh thuc cu a

khoa Ton cc truong Dai hoc v Cao da ng, dac biet l cho khoa Ton cc TruongSu pha

m. Hon the, L thuyet Galois cung d uo

c gia ng da

y cho cc lop Cao Ho

c, xem

nhu kien thuc co ba n de tu d mo rong cho nhung nghin cuu l thuyet v ung

du

ng su sac hon. ix


10/328

Gio trnh ny ra doi trn co so bi gia ng cu a tc gia cho sinh vin Khoa Ton,

Truong Dai ho

c su pha

m Hue suot hon 10 nam tru

c tiep gia ng da

y mn ho

c ny.

Trong qu trnh d, ba n tha o duoc chnh sua v bo sung sao cho vua ph ho

p voi

chuong trnh cu a Bo

Gio duc v Do ta

o, vua dp ung nhu cau su du

ng cc cng

cu

moi cu a dai so tnh ton, vua bo sung nhung kien thuc lin quan kh c the

tm du trong mot vi quyen sch tham kha o. V the, gio trnh ra doi, truoc het,

nham dp ung nhu cau su dung cu a sinh vin da

i ho

c, cao da ng v ho

c vin cao

hoc ngnh ton. Bn ca

nh d, gio trnh c the l mo

t ti lie

u tham kha o bo ch cho

gio vin pho thng trung hoc v hoc sinh gio i. Ho c the tm thay trong gio trnhny co so ton ho

c cha

t che cho vie

c tm nghie

m can thuc cu a phuong trnh da

thuc, cu a cc bi ton dung hnh bang thuoc ke v compa, nhung kien thuc ve li

ch

su ton hoc lin quan. Ngoi ra, gio trnh so luo

c gioi thie

u ve Maple, mo

t trong

nhung he

thong tnh ton dai so ma

nh me v pho bien nhat hie

n nay. Thng qua

nhung v du

minh ho

a, gio trnh ch ra kha nang tnh ton ma

nh me cu a Maple

cung nhu viec ho tro dac luc cu a phan mem ny cho cc gio vin pho thng, chosinh vin v ho

c sinh trong hoa

t do

ng gia ng da

y, nghin cuu v ho

c ta

p ton.

x


11/328

Gio trnh duoc bin soa

n trn nguyn tac da m ba o day du v cha

t che cu a kien

thuc. De lm viec voi gio trnh ny, do

c gia ch can mo

t so kien thuc co so cu a da

i

so tuyen tnh, lgic, dai so da

i cuong nhu d ho

c trong nam thu nhat v thu hai

cu a Dai ho

c hoa

c Cao da ng. Ngoi nhung kien thuc d, nhung khi nie

m moi duo

c

dinh ngha v nhung ket qua moi d eu d uo

c chung minh day d u . Phan kien thuc

bo sung, neu chua duoc ho

c trong nhung nam dau tin cu a chuong trnh Da

i ho

c,

Cao da ng, se duoc gioi thie

u chi tiet trong Phu

lu

c. Cuoi moi tiet (), gio trnh

cung cap mot he

thong phong ph cc bi ta

p tu de den kh, bat dau tu bi trac

nghiem l thuyet nham gip doc gia nam mot cch chac chan nhung khi niem vket qua chu yeu. Gan 150 bi ta

p trong gio trnh deu c phan huong dan gia i day

du trong no luc gip do

c gia c the tu

ho

c. Qua thu

c te gia ng da

y, tc gia cho rang

viec da

y-ho

c ton hie

n nay ni chung, o da

i ho

c ni ring, nguoi da

y v nguoi ho

c

can khai thc su ho tro

hie

u qua cu a cc phan mem ton ho

c. C su

ho tro

ny,

vie

c da

y-ho

c c nhung thay doi tch cu

c v chat luo

ng gio du

c duo

c ca i thie

n r

ret. Cng voi viec nam vung kien thuc l thuyet, c kha nang gia i quyet cc biton ung du

ng, nguoi ho

c can biet su du

ng cc phan mem ho tro

cho cc mu

c dch

xi


12/328

tnh ton cu

the. C nhieu tnh ton rat kh v phuc tap truoc dy nay tro nn

v cng don gia n voi su tro

gip cu a cc phan mem ton ho

c. Trn tinh than d,

o

nhung vi

tr thch ho

p, tc gia bo sung cc le

nh v v du

minh ho

a cho vie

c su

dung Maple.

De hon thnh gio trnh ny, tc gia d nhan duo

c su

ho tro

cu a nhieu the he

sinh vin v ho

c vin cao ho

c trong vie

c pht hie

n, sua chua sai st trong gio

trnh. Nhieu thay c, dong nghiep v ba

n b cung d dng gp nhieu kien qu

bu trong qu trnh bin soan. Nhn di

p gio trnh ny ra doi, tc gia , mo

t lan

nua, goi loi ca m on su sac den cc thay c, dong nghiep, ban b v sinh vin venhung gip do v gi trn.

Mac d d co gang, gio trnh ny khng the trnh kho i nhung thieu st. Tc

gia v cng biet on neu nhan duo

c nhung kien dng gp, bnh lua

n v nhung

pht hien loi trong gio trnh ny cu a d o

c gia gan xa. Mo

i kien dng gp, trao doi

xin gui ve di

a ch : TS. Nguyen Chnh T, Khoa Ton, Truong Da

i ho

c su pha

m

Hue, 32 L Loi, Thnh pho Hue, email: [email protected].

Hue ngy 25 thng 4 nam 2007.

xii


13/328

HUONG DAN SU DUNG

L thuyet Galois c nhieu cch tiep can khc nhau. Mo

t cch tiep ca

n c nhieu

uu diem l trnh by L thuyet Galois trn co so L thuyet mo rong truong. Quand iem d cu a Bo

Gio du

c v do ta

o duo

c chng ti thong nhat trong vie

c bin

soan gio trnh ny. Gio trnh c 2 chuong, ung voi L thuyet mo ro

ng truong v

L thuyet Galois. Moi chuong duoc chia ra thnh cc tiet () tuong ung voi 4-5 gio

hoc ta

p trn lop. Ngoi ra, gio trnh c bo sung phan Kien thuc chuan bi

(Chuong

0), nham nhac la

i nhung kien thuc cu chu yeu c lin quan sau ny. Gio trnh co

gang trnh by theo thu tu hop l nhat cu a viec gia ng day-hoc tap mn hoc. Tuynhin ty theo mu

c dch m do

c gia c the su du

ng theo mo

t thu tu

ph ho

p khc.

Sau khi doc xong phan l thuyet cu a tiet, do

c gia can tu

mnh gia i quyet cc bi

tap cuoi tiet v tra loi bi ta

p trac nghie

m (c the tham kha o phan huong dan, neu

can). Cc bi tap duo

c sap xep tu de den kh ; nhung bi ta

p (*) di hoi su

tu duy

cao hon. Nhu d trnh by, ne

u c die`u kien, doc gia

nn khai thc su

dung Maplethng qua cc v du

v no

i dung cu

the trong gio trnh.

Tu ( 8), gio trnh su dung thm cc kien thuc su sac hon cu a da

i so da

i cuong.

xiii


14/328

Nhung kien thuc ny duoc trnh by chi tiet trong Phu

luc.

Cc dinh l, me

nh de, he

qua , bo de duo

c dnh so theo tung tiet, v du

Me

nh de

2.3 nam trong

2 v duoc trch dan l Me

nh de 2.3 hoa

c go

n hon l 2.3. Cc

cng thuc hoac phuong trnh duo

c dnh so tu dau d en cuoi gio trnh ve bn pha i,

v du

Df = 4p3 27q2 (1)duo

c trch dan l (1). Ring phan Phu

lu

c, moi di

nh l, me

nh de,...duo

c dnh so

voi mot chu ci dung truoc, v du

Me

nh de A.2. duo

c trch dan l Me

nh de A.2.

hay don gia n l A.2.. Gio trnh c ba ng cc k hieu su dung trong gio trnh vphan Ch Mu

c (307) (Index) nham gip do

c gia de dng tra cuu duo

c no

i dung khi

niem hoa

c kien thuc can thiet.

xiv


15/328

VI NT VE LICH SU 1

A) LI

CH SU GIA I PHUONG TRNH D A THUC

Ngy nay, nguoi ta tin rang, viec gia i phuong trnh da thuc ba

c hai d duo

c cc

nh ton hoc co da

i Babilon quan tm cch dy gan 4000 nam. Nhung tam dat st

c nin dai 1600 BC duo

c tm thay cu a nen van minh Babilon cn ghi la

i vie

c tm

nghiem cu a nhung phuong trnh ba

c hai cu

the. Tuy nhin, nhung loi gia i trn

duoc m ta bang phuong php hnh ho

c v do d ch lin quan den nhung phuong

trnh bac hai c he so lon hon 0.Nhung phuong php hnh ho

c de gia i phuong trnh ba

c hai tiep tu

c duo

c nh

ton hoc v da

i Hy La

p Euclid (325 BC-265 BC) de ca

p den. Mi den the k thu 7,

nh ton hoc An Do

Brahmagupta (598-665), moi trnh by mo

t cch gia i phuong

trnh bac hai c su du

ng so m v cc k hie

u, dnh dau su

pht trien cu a da

i so.

Viec xt mo

t cch day du nghie

m cu a phuong trnh ba

c hai bang phuong php

dai so ch duo

c thu

c hie

n boi cc nh ton ho

c Arab, tiu bieu l al-Khwarizmi

1Thng tin trong phan ny duoc tham kha o chu yeu tu [5] v [7].


16/328

2 Vi nt ve lich su

(780-880). Tuy nhin, cc nh ton hoc Arab la

i chua biet den so m, do d trong

cuon sch cu a mnh c tn Hisabal-jabrwal-muqaba, al-Khwarizmi d phn

thnh 6 loai phuong trnh ba

c hai, ung voi 6 chuong trong cuon sch v trnh

by cch gia i cho tung loai. Dy duo

c xem l cuon sch dau tin ve da

i so v tu

Algebra (dai so) ra doi tu tn cu a cuon sch ny. Den nam 1145, cuon sch noi

tieng cu a nh ton hoc Ty Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136)

duoc xuat ba n o chu u c tn Latinh l Liber ambadorum cung trnh by day

du nghiem cu a cc phuong trnh ba

c hai.

Truong phi ton hoc Italy khoi dau khoa ng nam 1500 voi cuon sch cu a Luca

Pacioli (1445-1517) xuat ba n nam 1494, duoc biet den voi tn viet tat l Suma,

trong d loigia i cu aphuong trnh bachaiduo

c trnh by chi tiet bang ngn ngu da

i

so hien da

i. Pacioli khng de ca

p den vie

c gia i phuong trnh da thuc ba

c ba nhung

ng lai nhac den vie

c gia i phuong trnh da thuc ba

c bon. ng viet, theo ngn ngu

cu a d ai so ngy nay, phuong trnh bac bon x4

= a + bx2

giai duoc bang phuongphp nhudoi voi phuong trnh ba

c hai, nhung cc phuong trnh x4 + ax2 = b v

x4 + a = bx2 th khng thegiai duoc.

Ng uyen Chnh T


17/328

Vi nt ve lich su 3

Nguoi dau tin tm duoc nghie

m cu a phuong trnh da thuc ba

c ba l Scipione

del Ferro (1465-1526), mot gio su noi tieng cu a Da

i ho

c Bologna, Italy. Ferro tm

duoc nghie

m can thuc cu a phuong trnh x3 + mx = n. Tat nhin, neu biet su

du

ng khi niem so m cu a cc nh ton ho

c An Do

, th cng thuc nghie

m d l

du de gia i tat ca cc dang cu a phuong trnh ba

c ba. Tuy nhin, lc bay gio, Ferro

khng biet dieu d. Ferro gia i duoc phuong trnh ba

c ba nu trn vo nam 1515,

nhung giu b mat cho den truoc lc qua doi nam 1526 moi tiet lo

cho mo

t nguoi ho

c

tr cu a mnh l Antonio Fior. Fior l mot nguoi ho

c ton bnh thuong v ngay la

p

tuc lm r r loi gia i cu a thay mnh ra ngoi. Tin don ve loi gia i cu a phuong trnhba

c ba lan ro

ng khap Bologna v cc vng ln ca

n, kch thch nh ton ho

c nghie

p

du Niccolo Fontana(1499-1557) tm ra loi gia i cu a phuong trnh x3 + mx2 = n

khng lu sau d. N. Fontana (duoc biet den voi tn Tartaglia) quyet di

nh cng

bo thnh cng cu a mnh. Mot cuo

c thch do khoa ho

c no ra giua Tartaglia v Fior

nam 1535. Lua

t cu a cuo

c thi don gia n l moi nguoi se dua ra 30 phuong trnh ba

c

ba cho doi thu , hen trong 50 ngy, ai gia i duoc nhieu hon th thang. Tat ca ccphuong trnh m Fior dua ra cho Tartaglia deu c da

ng x3 + mx = b v Fior tin

Nguy en Chnh T


18/328

4 Vi nt ve lich su

Hnh 1: Chn dung Tartaglia

chac l Tartaglia khng the gia i duoc. Truoc thoi ha

n cuoi cng 8 ngy, Tatarlia

d tm duoc phuong php tong qut gia i tat ca phuong trnh ba

c ba. Truoc cng

chng, Tartaglia dua ra loi gia i cu a 30 bi ton trong vng 2 gio v d uoc cng nha

n

l nguo`i tha

ng cuo

c. Tuy nhin, ng khng cng bo

lo`i gia

i chi tie

t.

Chien thang cu a Tartaglia lan den Milan, kch thch mot nh ton ho

c nghie

p

du khc, bc s Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lap tuc moi Tartaglia

Ng uyen Chnh T


19/328

Vi nt ve lich su 5

den tham Milan vo nam 1539 v tm cch thuyet phuc Tartaglia tiet lo

loi gia i

phuong trnh bac ba cho mnh. Tartaglia dong voi giao uoc Cardano pha i giu

b mat ve loi gia i cho den khi Tartaglia tu

mnh xuat ba n cng trnh d. Nhung

Cardano khng giu giao uoc, loi gia i cu a phuong trnh bac ba v ba

c bon d d uo

c

xuat hien chi tiet trong quyen sch Ars Magna noi tieng cu a Cardano, xuat ba n

nam 1545. Tartaglia v cng tuc gian v trong mo

t bi bo cu a mnh xuat ba n sau

d, Tartaglia kha ng dinh la

i cng lao cu a mnh v ln n su

pha n bo

i cu a Cardano.

Trong Ars Magna, cuon sch tieng Latinh dau tin trn the gioi ve dai so,

Cardano c de cap den cng lao cu a Tartaglia chnh l tc gia cu a cng thuc

nghiem cu a phuong trnh ba

c ba, nhung ng cung gia i thch thm rang vie

c chung

minh cng thuc cung nhu trnh by loi gia i chi tiet l cu a ng cng cc hoc tr cu a

mnh. Dac bie

t, cuon sch cu a Cardano lan dau tin trnh by loi gia i cho 20 loa

i

phuong trnh da thuc bac bon. Cc loi gia i ny deu c chung phuong php l tmnghie

m cu a mo

t phuong trnh phu

ba

c ba (ngy nay ta go

i l giai thuc ba

c ba),

roi su dung n de gia i phuong trnh ba

c bon d cho. Tc gia cu a ket qua ny l

Nguy en Chnh T


20/328

6 Vi nt ve lich su

Hnh 2: Chn dung G. Cardano

Lodovico Ferari (1522-1565), mot trong nhung ho

c tr xuat sac nhat cu a Cardano.

Mot l do nua de gia i thch cho quyet di

nh cu a Cardano l ng pht hie

n ra rang

Ferro l nguoi d gia i duoc cc phuong trnh ba

c ba truoc d 30 nam.

Su ra doi cu a Ars Magna truyen ca m hung cho nhieu nh ton hoc trn thegioi tiep tuc nghin cuu ve phuong trnh da thuc nhu Bombelli (1526-1572, Italy),

Vite (1540-1603, Php), Descartes (1596-1650, Php), Harriot (1560-1621, Anh),

Ng uyen Chnh T


21/328

Vi nt ve lich su 7

Hnh 3: Chn dung N. Abel

Tschirnhaus (1651-1708, Duc), Euler (1707-1783, Thu

y S), Bezout (1730-1783,

Php). Sau khi gia i duoc phuong trnh da thuc ba

c ba v bon, van de tm nghie

m

can thuc cho phuong trnh da thuc bac nam duo

c da

t ra mo

t cch tu

nhin v thu

ht su quan tm cu a nhieu nh ton hoc trong mot thoi gian di. Euler that baitrong no luc cu a mnh nhung da

t d uo

c mo

t phuong php moi gia i phuong trnh

bac bon. Lagrange (1736-1813), mo

t nh ton ho

c Italy-Php, d da

t duo

c buoc

Nguy en Chnh T


22/328

8 Vi nt ve lich su

tien quan trong trong vie

c nghin cuu ba n chat qu trnh tm nghie

m cu a phuong

trnh bac nho hon nam ; qu trnh d phu

thuo

c vo vie

c xc di

nh cc hm nghie

m

m chng khng doi duoi tc dong cu a cc hon vi

da

c bie

t trn ta

p nghie

m cu a

da thuc ; ng cung d ch ra rang qu trnh d khng the thuc hie

n duo

c d oi voi da

thuc bac nam. Tu d, gia thuyet ve vie

c khng the gia i duo

c phuong trnh ba

c nam

bang can thuc tro thnh mot thch thuc cho cc nh ton ho

c. Nam 1813, Ruffini

(1765-1822, Italy) d co gang dua ra mot chung minh cho gia thuyet trn, rat tiec

chung minh cu a ng cn nhieu diem khng chnh xc. Van de ch duoc gia i quyet

tron ven boi than dong ton hoc nguoi Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vonam 1824. Abel chua ki

p gia i quyet bi ton tong qut hon l khi no mo

t phuong

trnh da thuc bac n c thegiai duo

c bang can thuc th ng qua doi lc chua trn

27 tuoi. Cng trnh cu a Abel ch duoc cng nha

n v xuat ba n sau d, nam 1830.

Ba nam sau, mot bi ki

ch tuong tu

cung xa y ra voi Evariste Galois (1811-1832),

mot tha`n d o

`ng ton hoc khc. Su ra d i d ot ngot cu a ng d khng kip cho the

gioiton ho

c nha

n ra mo

t trong nhung l thuyet d e

p d e nhat cu a d a

i so, m tu d de

dng c cu tra loi cho bi ton tong qut trn. Pha i doi den nam 1843, muoi mo

t

Ng uyen Chnh T


23/328

Vi nt ve lich su 9

Hnh 4: Chn dung Galois lc 15 tuoi

nam sau ngy ng qua doi, nhung tuyn bo sau cu a nh ton hoc Php Joseph

Liouville (1809-1882) trong buc thu gui cho Vien Hn Lm Khoa Ho

c Php moi

dnh dau su thua nha

n chnh thuc cu a co

ng dong ton ho

c dnh cho E. Galois.

Liouville viet :

Hy vo

ng ti se mang den cho Vie

n Hn Lm mo

t suquan tm da

c bie

t bang

vie

c cng bo rang ti d pht hie

n duoc trong cc cng trnh cua Evariste

Nguy en Chnh T


24/328

10 Vi nt ve lich su

Galois loi giai hon hao v su sac cho bi ton noi tieng: khi no th

phuong trnh da thuc giai duoc bang can thuc.

Abel v Galois, hai so phan bat hanh voi nhieu diem tuong dong k la, xuat hien

v bien mat nhu hai vet sao bang sng chi trn bau troi ton ho

c. Su

ton ta

i ngan

ngu i cu a ho

d de lai nhung di sa n v da

i cho van ha nhn loa

i. Cng trnh cu a

Abel v Galois khp lai mo

t chuong cu a li

ch su gia i phuong trnh da thuc v mo

ra nhieu chuong moi cu a dai so hie

n da

i, khoi nguon cho nhung l thuyet de

p de

cng nhieu ung du

ng quan tro

ng khc.

B) CUO

C D OI CUA EVARISTE GALOIS

Evariste Galois sinh ngy 25 thng 10 nam 1811 tai Bourg-la-Reine, mo

t vng

ngoai cu athu d Paris nuoc Php, trong mo

t gia dnh tr thuc. Bo Galois l mo

t

nguoi noi tieng, nhieu nam l thi

truong cu a Bourg-la-Reine. Me

ng am hieu

nhie`u lnh vuc nhu trie

t hoc, ngn ngu, tha

`n hoc. Galois duoc me day tie

ng Hyla

p, Latinh, than ho

c cho den nam 12 tuoi.

Thng 10 nam 1823, Galois bat dau den truong v vo hoc lop 4, Truong Louis-

Ng uyen Chnh T


25/328

Vi nt ve lich su 11

le-Grand. Tai dy, Galois som chung kien su

noi da

y cu a ho

c sinh huong ung cuo

c

cch mang chong la

i vua Louis XVIII v sau d l vua Charles X. Gan 40 ho

c sinh

cu a truong bi

duoi hoc trong nam ho

c dau tin cu a Galois. Vie

c ho

c cu a Galois

trong nam hoc d au tin dien ra thua

n lo

i. Galois da

t d iem so tot v nha

n duo

c ho

c

bong. Tuy nhin, viec ho

c trn lop ngy cng tro nn km hap dan v Galois pha i

luu ban vo nam 1826 do thieu diem mn tu tu hoc.

Nam 1827, Galois tham gia kha hoc ton dau tin voi gio su M. Vernier, v

som say m mn ho

c ny. Nam 1828, Galois thi vo truong cole Polytechnique,

truong dai ho

c danh gi hng dau cu a Php nhung khng do. Quay tro ve Louis-

le-Grand, anh tham gia kha hoc ton voi gio su Louis Richard (1795-1849) v

bat dau nghin cuu nhung de ti ring biet cu a mnh. Galois tm do

c cc gio trnh

ton cao cap nhu Hnh ho

c cua Legendre, l thuyet Langrange...Richard viet ve

Galois Sinh vin ny ch quan tm den nhung lnh vuc kh nhat cua ton ho

c.

Suc ht cu a ton hoc lm anh chenh ma ng hon voi viec hoc trn lop. Phie

u nhanxt ve Galois nhung nam d deu m ta anh l mo

t ho

c sinh khc thuong, la

p

di, do

c do v khp kn. Thng 4 nam 1829, Galois c cng trnh ton dau tin

Nguy en Chnh T


26/328

12 Vi nt ve lich su

Hnh 5: Chn dung Galois duoc anh trai ve lai nam 1848

xuat ba n trn tap ch Annales de Mathmatiques ve lin phn so. Cuoi thng 5 v

dau thng 6, Galois gui cho Vien hn lm khoa ho

c Php cc ket qua nghin cuu

ve nghiem cu a phuong trnh da

i so. Cauchy (1789-1857) l nguoi duo

c phn cng

pha n bien v ng d bc bo cc ket qua ny.

Tha m kich bat d au xa y ra voi Galois khi cha anh tu

tu tu mo

t su

vu co c hiem

cu a vi

thay te vng Bourg-la-Reine. Cha cu a Galois l mot chnh khch theo phi

Ng uyen Chnh T


27/328

Vi nt ve lich su 13

cong ha. Nhung xung do

t chnh tri

phuc ta

p thoi bay gio giua phi co

ng ha v

ba o hong d li cuon v gp phan day den nhung bi kich lin tiep cho Galois

v gia dnh anh. Ci chet cu a cha gy soc ma

nh me v tc do

ng lon den cuo

c doi

Galois sau ny.

Ch vi tuansaucichet cu a cha, Galois pha itra iqualanthithu hai vo Truong

cole Polytechnique. V Galois lai rot ! Khng na n ch, thng 12 nam 1829, Galois

thi v do vo truong cole Normal. Trong k thi d, vi

gim kha o mn ton d c

nhan xt ve Galois nhu sau :

Ho

c sinh ny nhieu khi dien ta mo

t cch roi ram tuong cua mnh nhungl mo

t ho

c sinh thng minh v c kha nang da

c bie

t trong nghin cuu.

Cn nhung nhan xt cu a vi

gim kha o mn van ho

c l :

D y l hoc sinh duy nhat tra loi rat toi cu hoi cua ti v to ra khng biet

g ca. Truoc dy, nhie`u nguoi ni voi ti ra

`ng hoc sinh ny c nang khie

uda

c bie

t ve ton ho

c. Ti tha

t su

nga

c nhin ve dnh gi d v sau k thi

ny, ti cho rang anh ta khng thng minh lam.

Nguy en Chnh T


28/328

14 Vi nt ve lich su

Cuoi nam 1829, Galois lai gui mo

t cng trnh khc ve l thuyet phuong trnh cho

Cauchy. Mot lan nua Cauchy khng thua nha

n ket qua cu a Galois. Thng 2 nam

1830, Galois gui cng trnh Ve dieu kie

n mo

t phuong trnh giai duo

c bang can

thuc cho Vien hn lm khoa ho

c Php de tham du

gia i thuong ton ho

c cu a Vie

n.

Thu k Vien, gio su noi tieng J. Fourier (1768-1830), l nguoi pha n bie

n cng

trnh cu a Galois. Nhung Fourier qua doi dot ngo

t vo thng 4 nam 1830. V cng

trnh cu a Galois khng bao gio duoc tm thay nua. Khoa ng thoi gian ny, Galois

biet rang mot bi bo cu a nh ton ho

c qu co Abel duo

c xuat ba n trn Bulletin

de Frussac c mot phan ket qua giong cu a mnh. Sau khi tm doc cc bi bo cu aAbel v Jacobi (1804-1851, Duc), Galois d hon thnh cc nghin cuu ve cc hm

elliptic v tch phn aben. Galois d dang 3 cng trnh trn Bulletin de Frussac

trong thng 4 nam 1830. Trong thng 6, Galois biet tin gia i thuong ton hoc cu a

Vien hn lm d duo

c trao dong thoi cho Abel v Jacobi.

Thng 6 nam 1830, nuoc Php suc si voi nhung xung dot giua phe cong hav ba o hong. Vua Charles X bi

truc xuat kho i Php, nhuong ngai vng cho vua

Louis-Phillipe. Cc cuoc bieu tnh, ba

o loa

n, dn p tiep tu

c xa y ra thuong xuyn

Ng uyen Chnh T


29/328

Vi nt ve lich su 15

trn cc duong pho Paris. Hieu truong truong cole Normal, GS. M. Guigniault,

nhot hoc sinh trong truong de trnh khng cho ho

c sinh tham gia xuong duong.

Tro tuong ra ngoi khng thnh, Galois viet mo

t bi bo dang trn Gazette des

coles de pha n doi viec kha cua nhot ho

c sinh trong truong cu a hie

u truong.

Galois bi

duoi hoc v tham gia vo pho binh, mo

t binh chu ng trong qun do

i

hong gia. Tuy nhin, den thng 12 nam 1830, pho binh bi

gia i tn boi sac lenh

cu a nh vua do lo so binh chu ng ny l moi de do

a cho ngai vng.

Galois co gang quay tro lai lm ton. Anh mo mo

t lop ho

c ve da

i so cao cap thu

ht khoa ng 40 sinh vin. Nhung sau buoi hoc dau tin, so sinh vin gia m mot cchnhanh chng v cuoi cng lop ho

c tan r. Nhung cng trnh cuoi cng trong doi

Galois l 2 bi bo nho dang trn Annales de Gergonne (thng 12 nam 1830) v

trn Gazette des coles (thng 1 nam 1831).

Thng 1 nam 1831, theo goi cu a vie

n s Vie

n hm lm khoa ho

c Php Poisson

(1781-1840), lan thu ba, Galois gui cng trnh nghin cuu ve phuong trnh cu a

mnh cho Vien hn lm.

Chnh su nuoc Php la

i li cuon Galois, nguoi dang mang tm tra

ng na

ng ne

Nguy en Chnh T


30/328

16 Vi nt ve lich su

khi pha i doi mat voi nhung bat ha

nh don da

p. Nguoi thanh nin ny lin tiep roi

vo vng xoy cu a nhung ngh v hnh dong tiu cu

c. Cuoi nam 1830, muoi chn

s quan pho binh bi

bat ve to

i m luu la

t do ngai vng, nhung duo

c tha bong sau

d. Ngy 9 thng 5 nam 1831, nhung nguoi cong ha to chuc mo

t bua tie

c cho

mung su kie

n ny v ph truong thanh the. Phan khch tu khng kh cu a bua

tiec, Galois deo knh, tay cam dao gam ku go

i mo

i nguoi chong la

i nh vua. Sau

bua tiec, Galois bi

bat giam o nh t Sainte-Plagie. Ra ta, Galois duo

c tha bong

vo ngy 15 thng 6 nam 1831. Ngy 14 thng 7, k niem su

kie

n ngu

c Bastille,

Galois lai xuat hien o hng dau trong cuoc bieu tnh ram ro cu a nhung nguoi congha, voi trang phu

c pho binh, tay cam sng v kiem. Galois la

i bi

tong giam vo

Sainte-Plagie. Lan ny Galois bi

ket n 6 thng t giam. Trong t, Galois nhan

duoc tin ve so pha

n ham hiu cu a cng trnh khoa ho

c m anh gui lan thu 3 cho

Vien hn lm khoa ho

c Php. Poisson nha

n xt ve cng trnh cu a Galois :

Chng ti d co

gang de

hie

u chung minh cua Galois. Ra

t tie

c, lap luancua tc gia khng r rng v nhung ket qua da

t duo

c chua du dechng ti

khang dinh duo

c tnh dng dan cua cng trnh...Ti cho rang tc gia nn

Ng uyen Chnh T


31/328

Vi nt ve lich su 17

bin soa

n la

i ton bo

ket qua cua mnh trong mo

t cng trnh thong nhat de

c tnh thuyet phu

c lon hon.

Thng 3 nam 1832, dich ta honh hnh o Paris. Galois cng cc t nhn duocchuyen den nh an duong Sieur Faultrier. Ta

i dy, mo

t con gi mt tuong chung

c the lm diu di nhung dau buon v ta

n trong lng nguoi t tre . Galois dem lng

yu Stephanie-Felice du Motel, con gi cu a mot nh va

t l trong vng. Bat ha

nh

thay, day l mot moi tnh don phuong v la

i l khoi dau cho bi ki

ch lon nhat cu a

Galois. Sau khi duo

c tu

do vo ngy 29 thng 4 nam 1832, Galois tiep tu

c theo

duoi c gi no, nhung c lun tm cch tu choi tnh ca m cu a anh.Trong thoi gian ny, nghe theo loi khuyn cu a Poisson, Galois la

ng le xu chuoi

lai nhung pht minh cu a mnh bang nhung trang viet vo

i vng (Hnh 6).

The roi, Galois bi

li vo cuoc dau sng di

nh me

nh vo ngy 30 thng 5 nam

1832 voi Perscheux dHerbinville. Nguyn nhn cu a cuoc dau sng van chua thu

c

su r rng nhung chac cha

n l c lin quan truc tie

p de

n Stephanie-Felice duMotel. Nhu tin don duo

c ket cu

c, dm 29 thng 5, Galois thuc tro

n d e viet buc

thu cuoi cng cho nguoi ban Auguste Chevalier, tm tat la

i ton bo

pht minh

Nguy en Chnh T


32/328

18 Vi nt ve lich su

Hnh 6: Mot trang ba n tha o cu a Galois

cu a mnh. Rat nhieu doan trong buc thu bi

bi xa nhieu lan voi ch thch ti

khng c du thoi gian. Sng hm sau, Galois buoc chn den dau truong v ket cuc

tin lieu d xay ra. Cuo

i ngy, mot nguoi nng dn trong vng pht hien Galoisbi

tro

ng thuong nam trn cnh dong v dua anh vo be

nh vie

n. Ngy 31 thng 5

nam 1832, Galois trt hoi tho cuoi cng tai be

nh vie

n Cochin v duo

c an tng ta

i

Ng uyen Chnh T


33/328

Vi nt ve lich su 19

Montparnasse 2 ngy sau d.

Anh cu a Galois v Chavalier gui buc thu cng ton bo

nhung ba n tha o dang

do cu a Galois cho Gauss (1777-1855, Duc) v Jacobi nhu di chc cu a anh. Khng

hieu v l do g, khng c mot pha n ung hoac kien no tu Gauss v Jacobi. Mayman l sau d, cng trnh cu a Galois den d uo

c tay Liouville. Muoi mo

t nam sau,

Liouville d viet thu thng bo cho Vien hn lm Php ve su

dng dan v su sac

trong ket qua cu a Galois ; ng d cho xuat ba n nhung pht minh cu a Galois trn

tap ch Revue Encyclopdia cu a mnh vo nam 1846.

Galois ke

t thc buc thu dinh menh cua mnh ba

`ng nhung dng :

Xin gui cho Gauss v Jacobi deho

dnh gi cng khai, khng phai ve tnh

dng dan m l tam quan tro

ng cua nhung dinh l ny. Ti hi vo

ng ha

u

the sec nguoi thay duoc su

su sac cua chng cung nhugiai m duo

c tat

ca nhung b an hien thoi.

Pht minh m Galois dem lai cho khoa hoc de

tu d hau the d, dang v se tieptu

c gia i m l l thuyet mang tn ng : L thuye t Galois.

Nguy en Chnh T


34/328

20 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI

Ng uyen Chnh T


35/328

Chuong 0

KIE N THUC CHUAN BI

444

Trong phan Kien thuc chuan bi, ta nhac la

i cc kien thuc co ba n nhat cu a da

i

so dai cuong se duo

c su du

ng trong cuon sch ny. Chung minh cu a cc ket qua

ny de dng tm thay trong cc gio trnh dai so o Cao da ng v Da

i ho

c. Cc kien

thuc su sac hon ve L thuyet nhm can thiet se duoc trnh by chi tiet trong Phan

Phu luc. Dac biet, viec giai quye

t cc bi tap cuo

i tie

t ny tao d ie

`u kien cho doc gia

nam tot hon cc tnh chat v phuong php co ba n su dung trong L thuyet truong

v vnh da thuc.

21


36/328


0.1 TRUONG. D AC SO CUA TRUONG.

D inh ngha.

Truong l mot vnh giao hon c don vi

khc 0 v mo

i phan tu

khc 0 de`u kha

nghich.Nha

n xt 0.1. Truong l mo

t mien nguyn, da

c bie

t truong khng c uoc cu a 0.

V du

1. Q l truong cc so huu t voi cc php ton cong v nhn thng thuong.

Tuong tu, ta c truong R cc so thu

c v truong cc so phuc C.

V du

2. Vnh thuong Zn = Z/nZ l mot truong khi v ch khi n nguyn to.

Truong Zp voi p nguyn to

l truong huu han c p pha`n tu

.

D inh ngha.

Mot dong cau truong l mo

t d ong cau vnh bien don vi

thnh don

vi. Tuong tu

nhu vnh, ta c khi nie

m don cau, ton cau v da ng

cau truong.

Cho F l mot truong. Mo

t d ong cau (da ng cau) truong tu F vo F go

i l mo

t tu

dong cau (tu

dang cau) truong. Ta

p tat ca cc tu

da ng cau truong voi php ton

tch cc nh xa

tao thnh mo

t nhm, k hie

u Aut(F).

Nha

n xt 0.2. Moi dong cau truong deu l don cau.

Ng uyen Chnh T


37/328

Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI

23

D inh ngha.

Mot vnh con A chua phan tu 1 cu a truong F duo

c go

i l truong

con neu A on dinh voi php lay phan tu nghi

ch da o.

Nha

n xt 0.3.

(i) Mot truong con cu a F l mo

t truong voi cc php ton ca m sinh.

(ii) Giao cu a mot ho

khc rong cc truong con l mo

t truong con.

Cho F l mot truong. Xt nh xa

: Z F

m m 1F.De dng chung minh rang l mo

t dong cau vnh. Xt Ker(), ta c cc truong

hop sau:

Ker() = 0. Do Z l mien nguyn chnh, ta c Ker() = (p) voi p > 0 l songuyn duong nho nhat tho a p 1F = 0. R rng p l mo

t so nguyn to. Suy ra

cam sinh mot d on ca

u tu Zp vo F, do d F chua mot truong con da

ng ca

uvoi Zp. Truong con ny chua trong tat ca cc truong con cu a F. So nguyn to

p duoc go

i l da

c so cu a truong F.

Nguy en Chnh T


38/328


Ker() = 0, tuc l 0 lso nguyn duy nhat de m 1F = 0.Khid mo rong duynhat thnh mo

t dong cau truong tu Q vo F di

nh boi

m/n

(m)(n)1. Do d F chua mo

t truong con da ng cau voi Q v

truong con ny chua trong tat ca cc truong con cu a F. Khi d ta ni F l

truong c da

c so 0.

D inh ngha.

Cho F l mot truong. Giao cu a tat ca cc truong con cu a F go

i l

truong con nguyn to cu a F.

Tu ket qua trn, ta c:

Menh de 0.4. Mo

t truong da

c so p c truong con nguyn to dang cau voi Zp xc

dinh boi m m1F. Mo t truong da c so

0 c truong con nguyn to dang cau voi Q

xc dinh boi mn (m1F)(n1F)1.

Nha

n xt 0.5. Ch rang ch c duy nhat mot dong cau tu Q hay Zp vo mo

t

truong cho truoc F v dong cau d xc di

nh nhu trong me

nh de trn. Tha

t va

y, gia

su F c dac so 0 v : Q F l mot dong cau truong. Khi d m N,(m) = (1 + + 1) = m(1) = m1F.

Ng uyen Chnh T


39/328


25

Hon nua, (m) = (m) = (m1F) = (m)1F. Hay(m) = m1F, m Z.

Do d(m/n) = (m1F)(n1F)

1 voi moi m/n Q.

Tuong tu voi truong ho

p F c da

c so p v : Zp F l mot dong cau, ta lun

c (m) = m1F.

0.2 VNH D A THU

CCho A l mo

t vnh giao hon c don vi

1 = 0. K hie

u A[x] l vnh cc da thuc

bien x siu viet c he

tu trong A. Mo

t da thuc

f = a0 + a1x + + anxn A[x], an = 0go

i l c ba

c n, k hie

u deg(f). Khi d vnh A chua trong A[x] nhu mo

t vnh con.

Menh de 0.6 (Tnh pho du

ng cu a vnh da thuc). Cho vnh da thuc A[x] v

R l mo

t vnh giao hon v R. Khi d mo

i dong cau vnh : A RmoNguy en Chnh T


40/328


ro

ng duy nhat thnh dong cau vnh tuA[x] vo Rthoa

(x) = v (a) = (a), a A.

Me nh de 0.7. Cho f, g A[x] v g = 0 c he tudan dau kha nghich. Khi d, tonta

i duy nhat q, r D[x] sao cho f = gq + r voi r = 0 hay deg(r) < deg(g). D athuc q (tuong ung r) go

i l thuong (tuong ung du) cua php chia (Euclide) f cho g.

Vnh da thuc trn truong dng mot vai tr da

c bie

t quan tro

ng trong L thuyet

mo rong truong v Galois. Suot trong cuon sch ny, ta k hie

u F l mo

t truong

neu khng c gia i thch khc.

He

qua 0.8. Mo

i idan cua F[x] deu l idan chnh. Hon the idan (f) F[x] ltoi da

i khi v chkhi f bat kha quy.

Thuat ton Euclide cho php ta tm uoc chung lon nhat cu a 2 da thuc cho truoc

v hon the, cho php ta tm cc da thuc s, t trong he

qua sau:

He

qua 0.9. Cho f, g F[x]. K hie

u d = (f, g). Khi d ton ta

i cc da thuc

s, t F[x] sao cho sf + tg = d.Ng uyen Chnh T


41/328


27

Voi Maple, cc thuat ton trn trong Q[x] duo

c cho boi cc le

nh the hie

n trong

v du

sau:

Sudu ng Maple1

.

De

tnh du v thuong cu a php chia da thucf = x5 + 2 x4 + x3 + x 1

cho g = x3 x + 3, ta c the dng lenh rem hoa

c quo:

> rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,q);

7

3 x

x2

> q;

x2 + 2 x + 2

Nhu the khi chia f cho g ta duoc thuong l x2 + 2x + 2 v du l

7 3x x2.De tnh uoc chung lon nhat trong Q[x], ta dng le

nh

> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x);

1

Nguy en Chnh T


42/328


Lenh trn cung cho ta tnh duo

c da thuc s, t sao cho sf + tg = d nhu v du

sau

dy.

> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,s,t);

1

> s,t;

64511

+24

511x 1

511x2,

149

511+

18

511x2 +

79

511x 22

511x3 +

1

511x4

Tnh ton trong vnh Zp[x], ta dng lenh Rem v Gcdex tuong ung.

Menh de 0.10. Cho f Z[x] bat kha quy trn Z. Khi d f bat kha quy trn Q.

D inh ngha.

Cho D l mot mien nguyn Gauss. Mo

t da thuc thuo

c vnh D[x]

goi l chuan tac neu he

tu dan dau cu a f bang 1.

Menh de 0.11. Cho f Z[x] l mo

t da thuc chuan tac. Neu g Q[x] l mo

t uoc

chuan tac cua f trong Q[x] th g

Z[x].

Chung minh. Xem BT 0.14.

Ng uyen Chnh T


43/328


29

Me

nh de 0.12 (Tiu chua n ba t kha quy cu a Eisenstein).

Cho f = anxn + + a0 Z[x]. Neu ton ta

i mo

t so nguyn to p sao cho:

p an, p|ai, i = 0, . . . , n 1 v p2 a0 th f bat kha quy trong Q[x].

Me

nh de 0.13. Cho f = a0 + + anxn Q[x]. Neu phan tu

r

s Q , voi

(r, s) = 1, l nghie

m cua f th r | a0 v s | an.

Sudu

ng Maple 2. Maple c the tm da

ng nhn tu ha cu a mo

t da thuc khc 0

bat ky trong Q[x] hay Zp[x] bang le

nh factor hay Factor.

> factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5);

(2 x2 + 1) (x2 + 2 x + 5)

> Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13;

2 (x + 4) (x2 + 7) (x + 11)

Xt vnh thuong Zm. Ton cau chnh tac Z Zm mo rong tam thuong thnhton cau vnhZ[x] Zm[x] bien f = anx

n+ +a0 thnh f := anxn+ +a0.

Nguyen Chnh T


44/328


Menh de 0.14. Cho f Z[x]. Neu ton ta

i mo

t so nguyn to pkhng chia het he

tu

cao nhat cua f v f bat kha quy trong Zp[x] th f bat kha quy trong Q[x].

Chung minh. Xem Bi tap 0. 8.

Ch rang, menh de trn ch cho mo

t d ieu kie

n du . C nhung da thuc bat kha

quy trong Q[x] nhung a nh cu a n trong Zp[x] l kha quy voi moi so nguyn to p,

xem Bi tap 0. 6.

0.3 MO T SO

NHM HUU HANCap cu a mo

t nhm (nhn) huu ha

n G l so phan tu cu a nhm, k hie

u (G : 1) hay

|G|. Cap cu a mot phan tu a G l cap cu a nhm con cyclic sinh ra boi a. Ta gioi

thieu mo

t so nhm huu ha

n quan tro

ng se ga

p trong no

i dung cu a cuon sch ny.

a) Nhm dihedral D2nNhm dihedral D

2ncn go

i l nhm cc php doi xu

ng cua da gic deu n ca

nh

Pn, tuc l nhm cc php bien d oi d a ng cu cu a ma

t pha ng bien Pn thnh chnh n.

Goi l php quay c tm l tm cu a Pn v gc quay l 2/n (gc di

nh huong).

Ng uyen Chnh T


45/328


31

R rng c cap n. Goi l php doi xung tru

c voi tru

c doi xung di qua mo

t dnh

chon truoc cu a Pn. Cap cu a bang 2. Khi d

D2n = {i

j

| i = 0, 1 ; j = 1, . . . , n}c cap bang 2n.

De dng ch ra rang

D2n =< , | n = 2 = 1, = 1 > .b) Nhm doi xung Sn

Nhm doi xung Sn l nhm cc php hon vi n phan tu cu a tap = {1, . . . , n}, c cap bang n!. Moi phan tu cu a Sn goi l mot php the. Nhmdoi xung Sn voi n 3 l mot nhm khng giao hon.

Mot vng xch = (a1 a2 . . . am) gom cc so tu

nhin phn biet cu a bieu dien

mot php the cu a Sn di

nh boi (ai) = ai+1 voi 1 i m 1, (am) = a1 vgiu

nguyn cc phan tu

cn la

i cu a .

Vng xch goi l c do

di m neu n chua m phan tu. Hai vng xch go

i l do

c

lap neu chng khng c phan tu chung. Tch cu a 2 vng xch do

c la

p c tnh giao

Nguy en Chnh T


46/328


hon. C the chung minh de dng ket qua sau.

Menh de 0.15. Mo

i php the deu c thebieu dien mo

t cch duy nhat (sai khc thu

tu) duoi dang tch cua cc vng xch doc lap. Bie

u die

n ny duoc goi l bie

u die

nvng xch cua php the.

V du

3. Trong S12, cho php the dinh boi:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8

Ta c = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9).Khi duo

c bieu dien bang tch cu a cc vng xch do

c la

p, nghi

ch da o cu a php the

duoc xc di

nhmo

tcchde dngbangcchviet da onguo

cccphan tu trong cc vng

xch doc la

p cu a n. V du

, voi php the o trn, ta c

1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9).Ta cung de dng chung minh duo

c ket qua sau.

Menh de 0.16. Cap cua php the bang bo

i chung nho nhat cua do

di cua cc

vng xch trong bieu dien vng xch cua .

Ng uyen Chnh T


47/328


33

Chung minh. Xem Bi tap 0.16.

Mot vng xch c do

di bang 2 go

i l mo

t php chuyen tr. Mo

i vng xch deu

duoc bieu dien (khng duy nhat) bang tch cu a cc php chuyen tr, cha ng ha

n :

= (a1 a2 . . . am) = (a1 am) (a1 a3)(a1 a2). (1)Tu d suy ra :

Menh de 0.17. Mo

i php the deu bieu dien duo

c duoi dang tch cua cc php

chuyen tr.

Nhu the tap hop T tat ca cc php chuyen tr cu a Sn sinh ra Sn. Ket qua saucung duo

c su du

ng sau ny.

Menh de 0.18. Nhm doi xung Sn duo

c sinh boi vng xch (1 2 . . . n) v php

chuyen tr(12).

Chung minh. Cho c = (1 2 . . . n) v t = (12). Go

i G l nhm con sinh boi t v

c. Khi d G chua phan tu c tc1 = (2 3), nn chua

c(23)c1 = (3 4), . . .

Nguy en Chnh T


48/328


v do d chua cc php chuyen tr dang (m m + 1). Suy ra G chua cc phan tu

(1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ; ...

nhu the G chua cc php chuyen tr dang (1 m). Do d G chua cc phan tu da

ng

(1 m)(1 r)(1 m) = (m r) voi moi m, r {1, . . . , n}. Tat ca cc php chuyen tr

sinh ra Sn nhu d thay o menh de trn. Do d G = Sn.

Ta nhac lai khi nie

m dau cu a php the v gioi thie

u nhm thay phin An.

D

at

n =

1i


49/328


35

Dat

sign() =(n)

n {1}

goi l da

u cu a php the

.D i

nh ngha.Php the go

i l php the chan neu sign() = 1, l php the le

neu sign() = 1.Me

nh de 0.19. nh xa

sign : Sn {1} l mo t ton ca

u nhm.

Chung minh. Ta c

sign( ) =

1i


50/328


V du

4. Ta tnh dau cu a php chuyen tr ty (i j). Ta d biet php chuyen tr

(12) l mot php the le . Go

i = (1 i)(2j) l php the hon vi

1 cho i v 2 cho j.

Khi d ta c (i j) = (1 2). V sign l dong cau nhm, ta c

sign(i j) = (1) sign()2 = 1.Va

y php chuyen tr l php the le .

Menh de 0.21. Mo

t vng xch do

di m l php the le khi v chkhi m l so chan.

Suy ra, mo

t php the l le khi v chkhi so cc vng xch do

di chan trong bieu

dien vng xch cua l mot so le.Chung minh. Mo

t vng xch do

di m c the bieu dien nhu tch cu a m 1 php

chuyentr(xem(1)).Domoi php chuyentrlle ,suyradieupha ichung minh.

c) Nhm quaternion

Nhm quaternion Q8 l nhm c 8 phan tu, xc d inh nhu sau. Cho

Q8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k},voi php nhn di

nh boi:

Ng uyen Chnh T


51/328


37

1a = a1 = a voi moi a Q8 ;

(1)(1) = 1 ; (1)a = a(1) = a voi moi a Q8 ;

ii = jj = kk = 1 ;

ij = k ; ji = k ;

jk = i ; kj = i ;

ki = j ; ik = j.

De dng kiem tra tat ca cc tin de cu a nhm deu tho a mn.

0.4 HM EULER

Ta nhac lai khi nie

m hm Euler v mo

t so tnh chat quan tro

ng cu a n. Phan

chung minh cc tnh chat ny duoc thu

c hie

n trong phan Bi ta

p.

Nguy en Chnh T


52/328


D i

nh ngha.

Hm Euler l mot nh xa

tu N vo N di

nh boi

(n) = #{m N | m n, (m, n) = 1}.

Ngha l (n) l so cc so tu nhin khng lon hon n v nguynto cng nhau voi n.

Mot so tnh chat cu a hm Euler duo

c pht bieu trong me

nh de sau.

Menh de 0.22. K hie

u l hm Euler. Khi d:

(i) (p) = p

1 voi p l so nguyn to ;

(ii) (pm) = (p 1)pm1 ;(iii) (ab) = (a)(b) voi mo

i (a, b) = 1 ;

(iv) Neu a = pm11 pmrr th

(a) = a(1

1

p1)

(1

1

pr) ;

(v)d|n

(d) = n.

Ng uyen Chnh T


53/328


39

Chung minh. Xem Bi tap 0.17.

Bi tap

0.1. Chon dng (D), sai (S) cho cc me

nh de sau:

a) Hai da thuc bat ky cu a F[x] deu ton tai uoc chung lon nhat.

b) Tuong ung tu F[x] vo Z cho boi f deg(f) l mot dong cau vnh.

c) Moi truong de`u da

ng ca

u voi truong cc thuong cu

a n.

d) Vnh Zn l mot mien nguyn khi v ch khi n l mo

t truong.

e) Moi da thuc trn truong F deu c mo

t nghie

m trong F.

f) Moi da thuc bat kha quy trn Q deu bat kha quy trn Z.

g) Moi da thuc bat kha quy trn Q th bat kha quy trn R.

h) C v han cc da thuc bat kha quy bac n trn Q (trn R, trn C).

i) Nhung da thuc nguyn to cng nhau th c bac khc nhau. (Xem HD 250)

Nguy en Chnh T


54/328


0.2. Cho F l truong c dac so p > 0. Xt nh xa

: F F

a

ap.

goi l nh xa

Frobenius. Chung minh rang l mo

t d ong cau truong. Suy ra

neu F l truong huu han th l mo

t tu

da ng cau. (Xem HD 250)

0.3. Cho D l mien nguyn v FD l truong cc thuong cu a n. Cho K l mot

truong v : D K l mot don cau vnh. Chung minh rang ton ta

i duy

nhat mot dong cau truong : FD

K sao cho (a) = (a),

a

D. Suy

ra tnh duy nhat cu a truong cc thuong cu a D. (Xem HD 250)

0.4. Xc d inh cc tu

dong cau cu a truong cc so huu ty. Tuong tu

, xc di

nh cc tu

dong cau cu a Zp; suy ra cng thuc Fermat ap a mod p vi moi a Z. (XemHD 251)

0.5. Chung minh rang mot truong F c da

c so 0 (tuong ung p nguyn to) khi v

ch khi ton tai mo

t d ong cau (don cau) truong tu Q (tuong ung Zp) vo F. Hon

nua, dong cau truong d l duy nhat.

Ng uyen Chnh T


55/328


41

(Xem HD 252)

0.6. Cho f = x4 10x2 + 1 Z[x]. Chung minh rang f bat kha quy trn Z nhungkha quy khi xt nhu mo

t da thuc trong Zp[x] voi mo

i p nguyn to.

(Xem HD 252)

0.7. Chung minh He

qua 0.8. (Xem HD 252)

0.8. Chung minh Menh d e 0.14. (Xem HD 253)

0.9. Tm d = (f, g) voi f, g Z11[x] cho boi f = x5 +2x4 +3x3 +3x25x+2, g =2x3 + 7x2 + 5x2. Tm s, t Z11[x] sao cho sf+ tg = d. Nn su dung Maple.

(Xem HD 253)

0.10. Chung minh dang tong qut cu a MD. 0.10: cho D l mien nguyn Gauss v

FD l truong cc thuong cua D. Neu f D[x] bat kha quy trn D th bat khaquy trn FD. (Xem HD 253)

0.11. Xc dinh tnh bat kha quy cu a cc da thuc sau dy. Trong truong hop kha quy,tm da

ng nhn tu ha cu a da thuc trn truong ch ra.

Nguy en Chnh T


56/328


a) x4 + 1 trn Q.

b) x4 + 1 trn R.

c) x7 + 11x3

33x + 22 trn Q.

d) x4 + x3 + x2 + x + 1 trn Q.

e) x3 7x2 + 3x + 3 trn Q.f) x4 + 15x3 + 7 trn Q.

g) x4 + 7 trn Z17.

h) x3 5 trn Z11. (Xem HD 253)

0.12. Tm nghiem cu a cc da thuc sau dy (truoc tin trong Q sau d trong R, C).

a) x3 + 1.

b) x3

6x2 + 11x

6.

c) x5 + x + 1.

d) x2 + 1.

e) x4 + x3 + x2 + x + 1.

f) x4 6x2 + 11.

(Xem HD 254)

0.13. Tm tat ca cc da thuc chuan tac x2 + bx + c Z5[x]. Da thuc no bat khaquy ? Trong moi truong ho

p, tnh := b2 4c. Du

don v chung minh tiu

chuan bat kha quy theo . (Xem HD 254)

0.14. Chung minh Menh de 0.11. (Xem HD 254)

Ng uyen Chnh T


57/328


43

0.15. Cho p l mot so nguyn to. Chung minh rang trong Zp[x] c dng

p2 p2

da

thuc chuan tac bat kha quy bac 2. (Xem HD 255)

0.16. Chung minh Menh de 0.16 bang cch chung minh cc kha ng dinh sau.

Neu = (a1 a2 . . . am) th voi moi i {1, 2, . . . , m}, ta c i(ak) = ak+i

voi k + i duoc lay tha

ng du theo modulo m.

Trong mot nhm nhn G, cho a, b l 2 phan tu giao hon duo

c, khi d

(ab)n = anbn voi moi n Z.

0.17. Cho l hm Euler. Chung minh rang

a) neu q | n th (qn) = q(n) ;b) neu (p, n) = 1 v p nguyn to th (pn) = (p 1)(n) ;c) suy ra neu p nguyn to v (p, n) = 1 th

(pmn) = (p 1)pm1(n) ;d) suy ra (ab) = (a)(b), (a, b) = 1 ;

Nguy en Chnh T


58/328


e)d|n

(d) = n. (Xem HD 255)

* 0.18. Cho F l mot truong. Chung minh rang mo

i nhm con huu ha

n cu a nhm

nhn F = F {0} l mot nhm cyclic. Suy ra neu F l truong huu han thF l nhm cyclic. (Xem HD 256)

* 0.19. Xc d inh ta

p cc tu

dong cau cu a truong R. (Xem HD 257)

Ng uyen Chnh T


59/328

Chuong 1

MO RO

NG TRUONG

444

1 MO RO

NG TRUONG. BAC CU A MO RO

NG TRUONG

1.1 MO RO

NG TRUONG

D inh ngha.

Cho truong K v F l mo

t truong con cu a K. Khi d F

K go

i

l mot mo rong truong v K duoc goi l mot mo rong (truong) cu aF. Mo

t mo ro

ng truong F K cn duo

c k hie

u l K : F hay

K/F.45


60/328

46 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

Nha

n xt 1.1. (i) Moi truong deu l mo ro

ng cu a truong con nguyn to cu a n.

(ii) Cho K : F l mot mo ro

ng truong. Khi d truong con nguyn to cu a chng

trng nhau.

V du

5. Q R, Q C, R C l cc mo rong truong.

V du

6. Cho F l mot truong v F(x) l truong cc phn thuc huu ty bien x siu

viet trn F. Dong nhat F voi cc phn thuc hang, ta c F F(x) l mo

t mo ro

ng

truong.

D inh ngha.

Cho K : F v L : F l cc mo rong truong cu a F. Mo

t d ong cau

(da ng cau) truong : K L tho a (a) = a, a F goi l

F-dong cau (F-da ng cau). Mo rong K : F duo

c go

i l F-da ng cau

voi mo rong L : F neu ton ta

i mo

t F-da ng cau tu K vo L, k

hieu K =F L. Neu K = L th cc F-dong cau (F-da ng cau) goi

l F-tu dong cau (F-tu da ng cau).

Tong qut hon, ta c:

Ng uyen Chnh T


61/328

1. Mo rong truong. Ba

c cu a mo ro

ng truong 47

D inh ngha.

Cho F K v E L l cc mo rong truong, cho

: F E l mot dong cau (da ng cau) truong. Dong cau

(da ng cau) : K

L go

i l mo

t mo ro

ng cu a neu

(a) = (a), a F.

D inh ngha.

Mo rong F K go

i l da ng cau voi mo ro

ng E L neu ton ta

i

cc da ng cau i : F E v mot mo ro

ng cu a n j : K L,

ngha l j(a) = i(a), a F.Nha

n xt 1.2. Quan he

da ng cau cu a cc mo ro

ng truong l mo

t quan he

tuong

duong. Dac biet, quan he =F l mot quan he tuong duong.

Menh de 1.3. Cho K : F v L : F l cc moro

ng truong, cho : K L l mo tF-dong cau. Cho K l mo

t nghie

m cua f F[x]. Khi d () L l mo

t

nghie

m cua f.

Chung minh. Goi f = anxn

+ + a0. Ta cf() = an

n + + a0 = 0.Nguy en Chnh T

`


62/328

48 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

Suy ra

0 = (f()) = an()n + + a0 = f(()).

Ngha l () l mo

t nghie

m cu a f.

Ta c dang tong qut cu a me

nh de trn, xem Bi ta

p 1. 8.

1.2 BA

C CUA MO RO

NG TRUONG

Cho K : F l mot mo ro

ngtruong. Khi d K c cau trc cu a mo

t khng gian vc

to trn F voi php nhn v huong l php nhn trn K. Mot co so cu a Fkhng

gian vc to K cung duoc goi l co so cu a mo rong truong K : F.

D inh ngha.

Bac cu a mo ro

ng truong K : F l chieu cu a Fkhng gian vc to

K, k hieu [K : F]. Neu [K : F] huu ha

n th ta go

i K : F l mo

t

mo rong huu ha

n. Neu mo ro

ng K : F khng huu ha

n th go

i l

mo rong v ha

n.

V du

7. Xt mo rong truong C : R. Ta biet mo

i phan tu cu a C duo

c viet mo

t cch

duy nhat duoi dang a + bi voi a, b R. Do d {1, i} l mo

t co so cu a C : R. Suy

ra [C : R] = 2.

Ng uyen Chnh T

` `


63/328


c cu a mo ro

ng truong 49

V du

8. Cc mo rong truong R/Q, C/Q, K(x)/K l cc mo ro

ng v ha

n.

Nha

n xt 1.4. Bac cu a mo ro

ng F K bang 1 khi v ch khi F = K. Ni cch

khc ba

c cu a mo ro

ng truong bang 1 khi v ch khi mo ro

ng l tam thuong. Tha

t

vay, neu K = F. th 1 = a, ko theo = a1 F. Do d F = K.D i

nh l 1.5. Cho K : F v L : K l cc moro

ng truong. Khi d L : F l mo

t moro

ng truong v

[L : F] = [L : K][K : F].

Hon the neu {ei}iI v {fj}jJ lan luot l co so cua K : F v L : K th{eifj}iI,jJ l mot cosocua L : F.Chung minh.

K hieu E = {ei}iI, S = {fj}jJ v ES = {eifj}iI,jJ. Cho u L. Khi d

u =

ajfj voi aj K. Do aj bieu thi tuyen tnh qua E nn thay aj trong bieu

dien cu a u boi cc to hop tuyen tnh cu a S , ta c bieu dien tuyen tnh cu a u qua

ES. Do d ES l he

sinh cu a khng gian vc to L trn F.

Ta chung minh rang ES doc la

p tuyen tnh. Xt mo

t to ho

p tuyen tnh trong L

cho boi

i,j aijeifj = 0 voi aij F. Ta viet

j(

i aijei)fj = 0 nhu mot quan he

Nguy en Chnh T

`


64/328

50 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

tuyen tnh tam thuong cu a S. Do S doc la

p tuyen tnh, ta c

i aijei = 0 voi mo

i

j. Mat khc, do E do

c la

p tuyen tnh, ta c aij = 0 voi mo

i i, j. Vay ES do

c la

p

tuyen tnh.

Nha

n xt 1.6. Dinh l trn cho thay rang L : F l mo ro

ng huu ha

n khi v ch

khi L : K v K : F l cc mo rong huu ha

n.

Bi tap

1.1. Trong cc truong hop sau, du l mo rong truong ?a) Q A := {a + b2 | a, b Q} ;b) Q B := {a + b | a, b Q} voi N ;c) Q C := {a + b 32 | a, b Q} ;d) Q D := {a + bi | a, b Q} ? (Xem HD 257)

1.2. Xc d inh ba

c cu a cc mo ro

ng truong tm duo

c trong bi ta

p trn. (Xem HD

257)

Ng uyen Chnh T

1 M t B t 51


65/328


c cu a mo ro

ng truong 51

1.3. Chung minh rang Q[

3] := {a + b3 | a, b Q} vQ[

5] := {a + b5 | a, b Q} deu l cc mo ro

ng truong ba

c 2 cu a Q

nhung khng da ng cau voi nhau. (Xem HD 257)

1.4. Chung minh rang mo rong R : Q l v ha

n. (Xem HD 258)

1.5. Chung minh rang moi tu

dong cau truong : K K deu l Ptu

dong

cau voi P l truong con nguyn to cu a K. (Xem HD 258)

1.6. Chung minh ra`ng quan he da

ng ca

u cu

a cc mo

rong truong l mot quan hetuong duong.

1.7. Cho F K l mot mo ro

ng truong. Mo

t truong E tho a F E K duo

c

goi l truong trung gian cu a mo ro

ng F K. Chung minh rang mo

i mo ro

ng

truong bac nguyn to khng c truong trung gian no khc F v K. (Xem HD

258)

1.8. a) Cho : F E l mot dong cau truong. Khi d mo ro

ng thnh mo

t don

Nguy en Chnh T

C O O G O G


66/328

52 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

cau vnh : F[x] E[x] dinh boi:(a0 + + anxn) = (a0) + + (an)xn.

Dac biet, ch ra rang neu l da ng cau truong th l da ng cau vnh vkhi d, neu f F[x] bat kha quy trn F th (f) bat kha quy trn E. D edon gian, ta thuong viet f thay cho (f).

b) Cho F K v E L l cc mo rong truong; cho : F E l mo

t dong

cau truong v : K L l mot mo ro

ng cu a . Chung minh rang neu

Kl nghie

m cu a

f F[x]th

() Ll nghie

m cu a

f.(Xem HD 258)

Ng uyen Chnh T

2 Mo rong don 53


67/328

2. Mo rong don 53

2 MO RO

NG DON

2.1 VNH CON V TRUONG CON SINH RA BOI MO

T TA

P

D inh ngha.

Cho K l mot truong v S l mot tap con cu a K. Giao cu a tat cacc vnh con (truong con) cu a K chua S l mo

t vnh con (truong

con) cu a K, goi l vnh con (truong con) sinh ra boi S. Vnh con

(truong con) sinh ra boi S l vnh con (truong con) nho nhat cu a

K chua S.

D inh ngha.

Cho F

K l mot mo ro

ng truong, cho S l mo

t ta

p con cu a K.

Vnh con (truong con) sinh ra boi F Strong K duoc go

i l vnh

con (truong con) sinh ra boi S trn F, k hieu F[S]

tuong ung

F(S).

Neu S = {s1, . . . , sn} th ta k hieu F[s1, . . . , sn] cho F[S]. Tuong tu k hieuF(s1, . . . , sn) cho F(S).

Nha n xt 2.1.

(i) Ta c F(s1, . . . , sn) = F(s1, . . . , sn1)(sn), n 2.Nguy en Chnh T

54 Ch 1 MO RONG TRUONG


68/328

54 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

(ii) Neu S F, dac bie

t khi S = th F[S] = F(S) = F. Trong truong ho

p

S = ta c ket qua sau:Me

nh de 2.2. Cho mo

ro

ng truong F

K v

= S l mo

t ta

p con cua K. Khi d

(i) F[S] =

huu ha

nai1ins

i11 sinn | ai1in F, sj S, n N

voi quy uoc

s0 = 1, s S;

(ii) F(S) =f

g:= f g1 | f, g F[S], g = 0

. Ni cch khc, ta

p F(S) l

truong cc thuong cua F[S].

Chung minh. (i) Dat

E =

huu han

ai1insi11 sinn | ai1in F, sj S, n N

.

Ta chung minh rang E l vnh con nho nhat chua F S. R rng F E doquy uoc trn. Ta

p E l mo

t vnh con v n l mo

t nhm con v dng kn voi

php nhn. Cuoi cng moi vnh con cu a K chua F S deu chua cc phan tu

cu a E.

Ng uyen Chnh T

2 Mo rong don 55


69/328

2. Mo rong don 55

(ii) Hien nhin do tnh nho nhat cu a truong cc thuong.

V du

9. C = R[i] = R(i). Tuong tu, ta c Q[2] = Q(2).

2.2 CA U TRC CUA MO RO

NG D ON

D i

nh ngha.

Mo rong truong F K go

i l mo ro

ng don neu ton ta

i K

sao cho K = F(). Phan tu goi l phan tu nguyn thu y cu a

mo rong don. Ch rang mot mo rong don c the c nhieu phantu nguyn thu y khc nhau.

V du

10. Cc mo rong R C, Q Q(), Q Q(i), F F(x) l cc mo ro

ng

don.

D inh ngha.

Cho K : F l mo rong truong. Phan tu u K duo

c go

i l da

i so

trn F neu n l nghiem cu a mo

t da thuc f khc 0 trong F[x].

Mot phan tu u Kkhng da

i so trn F duo

c go

i l siu vie

t trn

F.

Nguy en Chnh T

56 Chuong 1 MO RONG TRUONG


70/328

56 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

D inh ngha.

Mo rong K : F duo

c go

i l mo ro

ng da

i so neu mo

i phan tu cu a

K deu dai so trn F.

V du

11. Cc phan tu i,

2,

2 + 3

5 deu da

i so trn Q.

Nha

n xt 2.3. Nam 1844, Liouville (1809-1882, Php) chung minh su ton ta

i cu a

so siu viet (trn Q). Nam 1873, Hermite (1822-1901, Php) chung minh so e siu

viet. Sau d, so siu vie

t d uo

c Lindemann (1852-1939, Duc) chung minh nam

1882. Nam 1874, Cantor (1845-1918, Php) chung minh rang tap cc so da

i so

trn Q l dem duo

c v ta

p cc so thu

c R l khng dem duo

c. Nhu the, so cc so

thuc siu vie

t l nhieu hon so cc so thu

c da

i so. Tuy nhin, ni chung, rat kh

de chung minh mot so thu

c cu

the l siu vie

t.

Nam 1934, Gelfond (1906-1968, Nga) v Schneider doc la

p chung minh bi ton

thu 7 noi tieng cu a Hilbert (1862-1943), rang cc so l siu viet, trong d ,

dai so trn Q, = 0, 1 v / Q.

By gio, chng ta se phn tch su hon ve cau trc cu a cc mo rong don F(u)

ung voi cc truong hop u da

i so hoa

c siu vie

t trn F.

Ng uyen Chnh T

2 Mo rong don 57


71/328

2. Mo rong don 57

Cho K : F l mot mo ro

ng truong v u K. Xt dong cau vnh :

: F[x] F[u]f

f(u).

R rng l mot ton cau. Xt Ker(), c 2 truong ho

p nhu sau :

Ker() = 0. Ngha l u siu viet trn F. Khi d l mo

t da ng cau, do d

F(x) = F(u). Ker() = 0. Ngha l u da

i so trn F. Do F[x] l mien nguyn chnh nn

Ker() = (f), voi 0 = f F[x]. Khi d f chnh l da thuc c bac nhonhat nha

n u lm nghie

m. Suy ra f bat kha quy v do d Ker() l idan toi

dai (xem 0.8). Theo di

nh l dong cau vnh, ta c F[x]/Ker() = F[u]. Do

F[x]/Ker() l mot truong nn F[u] = F(u).

Nhu the, ta d chung minh ket qua sau dy :

Me nh de 2.4. Cho K : F l mot morong truong v u K.(i) Neu u siu vie

t trn F th F(u) =F F(x), truong cc phn thuc huu ty trn F.

Nguy en Chnh T



72/328

58 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

(ii) Neu u da

i so trn F th

F(u) = F[u] =F F[x]/(f)

voi f = 0 l mot da thuc c bac nho nhat nhan u lm nghiem.Nha

n xt 2.5. Cho K : F l mo ro

ng truong v u K da

i so trn F. Khi d :

(i) Da thuc 0 = f F[x] c bac nho nhat nha

n u lm nghie

m khi v ch khi f

bat kha quy nhan u lm nghie

m. Dieu d tuong duong voi f(u) = 0 v f chia

het moi da thuc nha

n u lm nghie

m.

(ii) Neu f v g l 2 da thuc cu a F[x] c bac nho nhat nhan u lm nghiem thdeg(f) = deg(g) v hon the f g. Trong cc da thuc c ba

c nho nhat nha

n

u lm nghiem, ton ta

i duy nhat mo

t da thuc c he

tu dan dau bang 1, da thuc

d duoc go

i l da thuc toi tieu cua u. Ba

c cu a f duo

c go

i l ba

c cua u (trn F).

He

qua 2.6. Cho K : F l mo

t moro

ng truong v u K da

i so trn F c ba

c n.

Khi d moi phan tucua F(u) duoc viet duy nhat duoi dang

a0 + a1u + + an1un1, ai FNg uyen Chnh T

2 Mo rong don 59


73/328

2. Mo rong don 59

voi mo

i i = 0, . . . , n 1. Ni cch khc ta

p {1, u, , un1} l mo

t cosocua

F(u) : F. Suy ra morong don F(u) : F l mo

t morong huu ha

n.

Chung minh. Goi f l da thuc toi tieu cu a u. Cho

F(u). Go

i

= b0 + b1u + + bmum. Xt g = b0 + b1x + + bmxm. Ton ta i q, r F[x]sao cho g = fq + r voi r = a0 + a1x + + atxt, voi t < n. R rng

= g(u) = r(u) = a0 + a1u + + atut.

Hon nua, neu c 2 bieu dien

= a0 + a1u + + an1un1 = c0 + c1u + + cn1un1,

th chng trng nhau, ngha l ai = ci, i = 0, . . . , n 1. That vay, neu khngth 0 = (a0 c0) + + (an1 cn1)un1 tri voi gia thiet u c bac n.

Moi mo ro

ng don da

i so deu l mo ro

ng huu ha

n. Dieu nguo

c la

i ni chung khng

dng. Sau ny, ta se xc dinh dieu kien de mot mo rong huu han l mo rong donda

i so.

Nguy en Chnh T



74/328

60 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

He

qua 2.7. Cho K : F l mo

t moro

ng truong v u, v K da

i so trn F. Neu

u v v c cng mo

t da thuc toi tieu th ton tai duy nhat mo

t F-dang cau truong

: F(u) F(v) sao cho (u) = v.

Chung minh. That va

yccmo ro

ng don F(u) v F(v) deu da ngcau voi F[x]/(f)

voi f l da thuc toi tieu cu a u v v.

Ta thay rang, ung voi mot mo ro

ng don da

i so trn F c mo

t lop cc da thuc bat

kha quy lin ket voi nhau trn F nha

n u lm nghie

m. Nguo

c la

i, ta chung minh

rang :

Menh de 2.8. Cho F l mo

t truong v f F[x] l mo t da thuc ba

t kha quy. Khi

d ton ta

i mo

t morong don da

i so F() : F sao cho l mo

t nghie

m cua f.

Chung minh. Da

t K := F[x]/(f).Theo(0.8), nhat a

F voi a

K,tac K : F

l mot mo rong truong. Dat = x. R rng f() = f = 0 v K = F().

Ng uyen Chnh T

2. Mo rong don 61


75/328

2. Mo rong don 61

Bi tap

2.1. Xc di

nh tnh dng, sai cho cc me

nh de sau :

a) Moi truong deu c mo

t mo ro

ng khng tam thuong.

b) Moi truong deu c mo

t mo ro

ng da

i so khng tam thuong.

c) Moi mo ro

ng don deu l mo ro

ng da

i so.

d) Moi mo ro

ng truong deu l mo ro

ng don.

e) Moi mo rong don dai so deu da ng cau.f) Mo

i mo ro

ng don siu vie

t cu a mo

t truong cho truoc deu da ng cau.

g) Moi da thuc toi tieu deu bat kha quy.

h) Moi da thuc bat kha quy thuo

c F[x] nha

n u K F lm nghie

m deu c

cng bac.

i) Moi da thuc bat kha quy thuo

c F[x] nha

n u K F lm nghie

m d eu l

da thuc toi tieu cu a u.

Nguy en Chnh T

62 Chuong 1. MO RONG TRUONG


76/328

62 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG

j) Bac cu a da thuc bat kha quy thuo

c F[x] nha

n u K F lm nghie

m go

i

l bac cu a u. (Xem HD 258)

2.2. Cho K =Q

[] voi

Cl nghie

m cu a da thu

c x3

x2 + x + 2. Bieu dien

cc phan tu (2 + + 1)(2 ) v ( 1)1 cu a K nhu cc da thuc theo c ba

c khng qu 2. (Xem HD 258)

2.3. M ta cc mo rong don F() voi l mo

t nghie

m cu a cc da thuc sau trn

truong ch ra :

a) x2

5 Q[x] ;b) x4 + x3 + x2 + x + 1 Q[x] ;c) x2 + x + 1 Z2[x] ;d) x3 + 2 Q[x]. (Xem HD 259)

2.4. Cho K : F l mo

t mo ro

ng huu ha

n v f

F[x] l mo

t da thuc bat kha quy

c deg(f) > 1. Chung minh rang neu [K : F] v deg(f) nguyn to cng nhau

th f khng c nghiem trong K. (Xem HD 259)

Ng uyen Chnh T

2. Mo rong don 63


77/328

g

2.5. Cho K : F l mot mo ro

ng truong v [K : F] = n. Cho f F[x] l da thuc

bat kha quy bac m tho a (m, n) = 1. Chung minh rang f bat kha quy trn K.

(Xem HD 259)

2.6. Xc dinh ba

c v ch ra mo

t co so cu a cc mo ro

ng truong :

a) Q Q(2, i) ; b) Q Q( 35, 2) ;c) Q Q(18, 32) ; d) Q Q(27, 3 + 12);e) Q Q(18, 42) ; f) Q Q(u, 32) voi u l

nghiem cu a x4 + 6x2 + 3.

(Xem HD 260)

2.7. Xc d inh tat ca tu

dong cau cu a cc truong Q(i), Q(

3

2). (Xem HD 260)

2.8. Chung minh rang Q(

a,

b) = Q(

a +

b), a, b N. (Xem HD 260)2.9. Bieu dien cc truong con sau cu a Z2(x) :

a) Z2(x2) ;b) Z2(x + 1). (Xem HD 260)

Nguy en Chnh T

64 Chuong 1. MO RONG TRUONG


78/328

6 C uo g O O

G UO G

2.10. Tm da thuc toi tieu cu a cc phan tu sau dy trn truong ch ra :

a)

5 + 1

2trn Q ;

b) i3 12

trn Q ;

c) Z3(t)() voi tho a 2 = t + 1 trn Z3(t) ;d) 4

5 +

5 trn Q ;

e) 3

2 + 3

4 trn Q ;

f) u2+

u voi u l nghie

m cu a x3

+ 3x2

3;

g) + 6 voi = e2i/7 trn Q ;

h) + 2 + 4 voi = e2i/7 trn Q ;

i) 2 + 5 voi = e2i/7 trn Q. (Xem HD 260)

2.11. Cho v lan luot l nghie

m cu a x2 2 v x2 4x + 2 thuo

c Q[x]. Chung

minh rang Q() =Q Q(). (Xem HD 261)2.12. Cho F l truong c da

c so khc 2 v f l mo

t da thuc ba

c 2 c he

tu trong

Ng uyen Chnh T

2. Mo rong don 65


79/328

g

F. Chung minh rang ca 2 nghiem cu a f deu thuo

c mo

t mo ro

ng don F(u) voi

u2 F. Suy ra tnh chat moi da thuc ba

c 2 deu gia i duo

c trn mo ro

ng truong

cu a F nhan duo

c bang cch ghp vo cc can ba

c 2 cu a cc phan tu cu a F.

Chung to rang tnh chat d khng dng voi truong c dac so 2. (Xem HD 261)

2.13. a) Chung minh rang moi mo ro

ng ba

c 2 trn Q deu da ng cau voi Q(

d) voi

d Z l mot so khng chnh phuong.

b) Chung minh rang moi mo ro

ng ba

c 2 trn R deu d a ng cau voi C.

(Xem HD 262)

2.14. Cho K : F l mot mo ro

ng truong v [K : F] = n. Chung minh rang ba

c cu a

phan tu u K l mot uoc cu a n. Suy ra neu n nguyn to th K = F(u) voi

moi u K\ F. (Xem HD 262)

2.15. Tm tat ca cc da thuc bat kha quy ba

c 2 trn Z3. M ta cc mo ro

ng don ba

c 2

trn Z3. Chung minh tat ca cc mo rong don d l da ng cau voi nhau.

(Xem HD 262)

Nguy en Chnh T

66 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG


80/328

g

2.16. Cho E = F() l mot mo ro

ng thu

c su

cu a F voi l nghie

m chung cu a x3 1

v x4 + x2 + 1. Xc dinh da thuc toi tieu cu a . (Xem HD 262)

2.17. Cho i : F

E l mo

t da ng cau truong. Go

i l nghie

m cu a mo

t da thuc

f = a0 + a1x + + anxn F[x] bat kha quy. Goi l mot nghiem cu a dathuc

if := i(a0) + i(a1)x + + i(an)xn E[x].Chung minh ton ta

i mo

t mo ro

ng j : F() E() cu a i sao cho j() = .

Ket qua trn mo rong cho He

qua 2.7. (Xem HD 262)

2.18. Cho mo rong don da

i so F() voi f F[x] l da thuc toi tieu cu a . Cho K : F

l mot mo ro

ng truong. Chung minh rang

a) Neu : F() K l mot F-dong cau th () l mo

t nghie

m cu a f.

b) nh xa

() xc d inh mo

t song nh giua ta

p cc F-d ong cau tu F()

vo K v tap cc nghie

m cu a f trong K. Suy ra so cc F-dong cau bang so

nghiem phn biet cu a f trong K. (Xem HD 262)2.19. Cho mo ro

ng don da

i so F() voi f F[x] l da thuc toi tieu cu a . Cho

Ng uyen Chnh T

2. Mo rong don 67


81/328

: F K l mot dong cau truong. Chung minh:

a) Neu : F() K l mot mo ro

ng cu a th () l mo

t nghie

m cu a

f trong K. Xem Bi ta

p 1. 8 ve di

nh ngha cu a f.

b) nh xa

() l mot song nh giua ta

p cc mo ro

ng cu a voi ta

p cc

nghiem phn bie

t cu a f trong K.

Bi tap ny l da

ng tong qut cu a bi ta

p trn. (Xem HD 263)

* 2.20. Chung minh cc mo rong Q R v Q C deu khng pha i l cc mo ro

ng don.

(Xem HD 263)

* 2.21. Cho F l truong c dac so khc 2 v cho E : F l mo

t mo ro

ng truong c ba

c

bang 2. Dat

S(E) = {a F | a = b2, voi b E}.

Chung minh rang:a) S(E) l mo

t nhm con cu a F chua (F)2;

Nguy en Chnh T

68 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG


82/328

b) Hai mo rong ba

c hai E, E cu a F l F-da ng cau khi v ch khi S(E) =

S(E);

c) Ton ta

i v ha

n cc mo ro

ng ba

c hai E1, E2 . . . cu a Q sao cho

Ei Ej, i = j.d) Ton ta

i duy nhat (sai khc da ng cau) mo

t truong c dng p2 phan tu.

(Xem HD 264)

Ng uyen Chnh T

3. Mo rong huu ha

n v mo ro

ng da

i so 69


83/328

3 MO RO

NG HUU HA

N V MO RO

NG DA

I SO

3.1 TNH CHA T CUA MO RO

NG HUU HA

N V MO RO

NG D AI SO

Ta biet rang mot mo rong d on d ai so l mo rong huu han. Ta c ket qua tong quthon sau dy :

Menh de 3.1. Cho K : F lmo

t moro

ng truong v u1, . . . , un Ksao cho u1 da i

so trn F v uj dai so trn F(u1, . . . , uj1), j = 2, . . . , n. Khi d F(u1, . . . , un)

l morong huu ha

n trn F.

Chung minh. Ta chung minh bang quy nap trn n. Voi n = 1 ta c mo rong donda

i so nn l mo ro

ng huu ha

n. Gia thiet ket qua dng cho k. Da

t

E = F(u1, . . . , uk). Ta c

[F(u1, . . . , uk+1) : F] = [F(u1, . . . , uk+1) : E][E : F].

Theo gia thiet quy na

p, ta c [E : F] huu ha

n. Ma

t khc, ta c mo ro

ng

F(u1, . . . , uk+1) : E = E(uk+1) : E c uk+1 dai so trn E nn l mo ro

ng

huu han. Suy ra F(u1, . . . , uk+1) : F l mo ro

ng huu han.

Nguy en Chnh T

70 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG


84/328

Menh de 3.2. Mo

i phan tucua mo

t moro

ng huu ha

n ba

c n deu da

i so v c ba

c

l mo

t uoc cua n.

Chung minh. Cho K : F l mo ro

ng huu ha

n v da

t n = [K : F]. Xt u

K.

Tap hop {1, u , . . . , un} lmot tap gom n+1 phan tu trong Knn phu thuoc tuyentnh.Dod ton ta

iquanhe

tuyentnhkhngtamthuong a0+a1u+ +anun = 0.

Ni cch khc u l nghiem cu a da thuc f = a0 + a1x + + anxn F[x] khc

0. Do d u dai so trn F. Ma

t khc, ta c

[K : F] = [K : F(u)][F(u) : F] = n.

Do d [F(u) : F] | n. Vay bac cu a u l uoc cu a n.Sau ny (xem 3.6) ta se ch ra rang ton ta

i cc mo ro

ng da

i so khng huu ha

n.

He

qua 3.3. Mo

t mo rong K : F l mo ro

ng huu han khi v ch khi ton ta

i

u1, . . . , un K da i so trn F sao cho K = F(u1, . . . , un).

Chung minh. Gia su [K : F] = n. Go

i

{u1, . . . , un

}l mo

t co so cu a mo ro

ng

K : F. Theo menh d e trn u1, . . . , un da

i so trn F. R rng K = F(u1, . . . , un).Dieu kie

n du c duo

c do Me

nh de 3.1.

Ng uyen Chnh T

3. Mo rong huu ha

n v mo ro

ng da

i so 71


85/328

Menh de 3.4. Cho F K L l cc moro

ng truong. Khi d L : F l moro

ng

da

i so khi v chkhi L : K v K : F l cc moro

ng da

i so.

Chung minh. Neu L : F da

i so th r rng cc mo ro

ng L : K v K : F da

i so.

Nguoc la

i, gia su L : K v K : F da

i so. Xt u L. Do u da

i so trn K nn ta

c b0 + b1u + + bnun = 0 voi bi K khng dong thoi bang 0. Xt mo rongF(b0, . . . , bn, u) : F, theo Me

nh de 3.1, d l mot mo ro

ng huu ha

n. Do d u da

i

so trn F.

3.2 TRUO`

NG CON CC PHA

N TU

D AI SO

. TRUO`

NG D NGD AI SO

.BAOD NG D AI SO .

Menh de 3.5. Cho K : F l mo

t moro

ng truong. Ta

p ho

p

E = {u K | u da

i so trn F}l mo

t truong con cua K chua F, go

i l truong con cc phan tuda

i so cua K trn

F. Suy ra E : F l mot morong dai so.Chung minh. V mo

i phan tu thuo

c F deu da

i so trn F nn F E. Cho

Nguy en Chnh T

72 Chuong 1. MO RO

NG TRUONG


86/328

u, v E. Xt mo rong F(u, v) : F. Theo (3.1) v (3.2), ta c F(u, v) l da

i so trn

F. Suy ra F(u, v) E. Suy ra u v,uv F(u, v) E v neu u = 0 ta cu1 F(u, v) E. Va

y E l truong.

Nha

n xt 3.6. Truong con E cc phan tu dai so cu a R trn Q l mo

t mo ro

ng v

han trn Q. Tha

t va

y, neu [E : Q] = n th de dng ch ra mo

t phan tu da

i so thuo

c

R c bac lon hon n. Dieu ny mu thuan voi Me

nh de 3.2.

D inh ngha.

Mot truong K duo

c go

i l dng da

i so neu mo

i da thuc ba

c lon

hon 0 deu c t nhat mot nghie

m trong K.

V du 12. Truong cc so phuc C l mot truong dng dai so. Dy l mot ket qua codien thuong duo

c go

i l Di

nh l co ba n cu a da

i so. Ta se dua ra mo

t chung minh

cu a dinh l ny trong 9.

Nha

n xt 3.7. Cho K l mot truong. Cc me

nh de sau l tuong duong :

(i) K dng dai so ;

(ii) moi da thuc thuoc K[x] c bac lon hon khng deu phn tch thnh tch ccnhn tu ba

c nhat ;

Ng uyen Chnh T

3. Mo rong huu ha

n v mo ro

ng da

i so 73


87/328

(iii) moi da thuc bat kha quy trong K[x] deu l da thuc ba

c nhat ;

(iv) moi mo ro

ng da

i so cu a K deu trng voi K.

D inh ngha.Cho mo ro

ng truong K : F. Truong K duo

c go

i l bao dng da

i

so cu a F neu K dng dai so v K : F l mo ro

ng da

i so.

V du

13. Truong C l bao dng dai so cu a R nhung khng pha i l bao dng da

i so

cu a Q.

Menh de 3.8. Cho K : F l moro

ng truong, trong d K dng da

i so. K hie

u E l

truong con cc phan tuda

i so cua K : F. Khi d E l mo

t bao dng da

i so cua F.

Chung minh. Ta d biet F E l mo rong da

i so. Cho

f = a0 + a1x + + anxn E[x]l mo

t da thuc ba

c lon hon 0. Do K dng da

i so, da thuc f c nghie

m u K. R

rng F(a0, . . . , an, u) : F l mot mo ro

ng da

i so (Me

nh de 3.1) nn u da

i so trn

F. Suy ra u E. Vay E dng dai so

.Nha

n xt 3.9. Mo

i truong con cu a C deu ton ta

i mo

t bao dng da

Documents

Lý thuyết mở rộng trường và Galois