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DGRS DIRECCIN GENERAL DE REGLAMENTO Y SISTEMA
DISEO A FLEXOCOMPRESION
DE MUROS DE HORMIGON ARMADO
SECCIONES RECTANGULARES, L y C.
PUBLIO SILFA
SERIE DE PUBLICACIONES TECNICAS PT-2
DICIEMBRE 1986
M-018
SECRETARIA DE ESTADO DE OBRAS PBLICAS Y COMUNICACIONES
2
REPBLICA DOMINICANA SECRETARIA DE ESTADO DE OBRAS PBLICAS Y
COMUNICACIONES
PRESENTACIN
La Direccin General de Reglamentos y Sistemas, identificada con su misin de incentivar a la
investigacin y por tanto de elevar el nivel tcnico de nuestros profesionales de la Ingeniera, les
ofrece esta publicacin tcnica, PT-2, sobre Diseo a Flexocompresin de Muros de Hormign
Armado en Secciones Rectangulares, L y C.
Este trabajo de investigacin, realizado por el Ing. Publio Silfa, Asesor de esta DGRS, surge ante la
necesidad de proporcionar al Ingeniero calculista, herramientas actualizadas para la aplicacin del
diseo a su Resistencia Ultima de elementos sujetos a flexocompresin, cuya bibliografa existente
es quizs poco conocida.
Esperemos que esta publicacin tcnica resulte de inters para todos los profesionales del rea y
les sirva de estmulo para realizar trabajos de investigacin que contribuyan al desarrollo tecnolgico
de nuestro pas, los cuales recibiremos con agrado para su correspondiente publicacin, a travs
de esta Direccin General de Reglamentos y Sistemas.
Atentamente,
DIRECCIN GENERAL DE REGLAMENTOS Y SISTEMAS
Diciembre/1986.-
3
INDICE
PG.
INTRODUCCIN 4
1 DISEO DE MIEMBROS A SU RESISTENCIA LTIMA
1.1 Generalidades 7
1.2 Hiptesis para Diseo por flexocompresin.. 7
1.3 Diagramas de Interaccin. 8
1.4 Consideraciones para el Clculo de los Diagramas. 9
1.5 Programa de Computadora.. 10
2. DIAGRAMAS DE INTERACCIN PARA CARGA AXIAL Y FLEXIN DE
SECCIONES L Y C
2.1 Consideraciones 10
2.2 Clculo de los Puntos de los Diagramas 10
3. DIAGRAMAS DE INTERACCIN DE SECCIONES RECTANGULARES CON
ACERO EXTREMO CONCENTRADO Y ACERO MNIMO DISTRIBUIDO 11
4. DIAGRAMAS DE INTERACCIN 12
4.1 Secciones Rectangulares 16
4.2 Secciones L 23
4.3 Secciones C34
5. APNDICE 45
5.1 Deduccin de Ecuaciones.. 46
5.2 Ejemplos.... 70
4
INTRODUCCIN
Al ser adoptado el criterio de diseo a su resistencia ltima de elementos sujetos a flexocompresin,
surge la necesidad de proporcionar al calculista herramientas que faciliten su aplicacin y, al mismo
tiempo, que sean congruentes con dicho criterio.
Para dar respuestas a esta necesidad, se han elaborado estas Recomendaciones para Diseo de
Muros de Hormign Armado, donde se incluyen grficas para el dimensionamiento de muros de
secciones rectangulares, L y C, sujetas a flexocompresin; para esto, se recurri a la elaboracin
de diagramas de interaccin carga axial-momento flexionante, ya que son de fcil aplicacin y
proporcionan una idea completa del comportamiento de la seccin bajo la carga.
Para la obtencin de estos diagramas se plantean las ecuaciones de equilibrio interno de la seccin,
las cuales no pueden resolverse para un caso general, pero s obtenerse un nmero indefinido de
soluciones para casos particulares, a travs de los cuales se determina la forma del diagrama con
la precisin deseada.
Fue necesario acudir a la formulacin de programas de computadoras para desarrollar los
diagramas de interaccin, ya que el procedimiento para su obtencin requera de un volumen
extraordinario de trabajo. Estos diagramas de interaccin se presentan en el apndice del trabajo;
adems, se introducen varios ejemplos para su aplicacin.
En los diagramas de interaccin se incluye la zona de flexotensin, por considerarse que adems
de tener aplicacin en algunos casos particulares, da una idea ms completa del comportamiento
de la seccin.
5
SIMBOLOGA
t = Espesor
h = Altura total
h = Long. Del patn superior en secc. L y C.
h = Long. Del patn inferior en secc. L y C.
= t/h
cu = Deformacin ltima del hormign.
su = Deformacin ltima del acero.
y = Deformacin de fluencia.
fc = Resistencia del hormign en compresin.
fy = Esfuerzo de fluencia del acero.
Pu = Carga axial factorizada
Mu = Momento factorizado
cp = Centroide plstico.
1c = Profundidad del bloque equivalente de compresin
Mcp = Momento en el centroide plstico.
CC = Resultante de compresin en el hormign
= cu/y
= c/h
Cc = Resultante parcial del hormign de la zona h
Cc = Resultante parcial del hormign en la zona h
CCL = Resultante parcial del hormign en el alma de la seccin.
6
Q = fy/fc
= Porcentaje de refuerzo
E = Modulo de elasticidad
As = rea de acero en h
Cts = Profundidad del eje neutro para que fluya el acero en tensin.
As = rea de acero en h
PL = Resultante de fuerzas en el acero laminar
M1 = Resultante de momentos en el acero laminar
Csc = Profundidad del eje neutro en que fluye a compresin el acero superior concentrado.
Cst = Profundidad del eje neutro en que fluye a tensin el acero superior concentrado.
Crc = Profundidad del eje neutro en que fluye a compresin el acero inferior concentrado.
Crt = Profundidad del eje neutro en que fluye a tensin el acero inferior concentrado.
7
1 DISEO DE MIEMBROS A SU RESISTENCIA LTIMA
1.1 Generalidades
En los ltimos aos, los criterios de diseo a la resistencia ltima se han ido afirmado en los
reglamentos oficiales y en la prctica del clculo estructural. La ventaja de estos mtodos es que
permiten predecir la resistencia de un miembro, o una seccin, a la falla, y usar un factor de
seguridad apropiado para la posibilidad de que esta falla ocurra.
Los pasos bsicos que deben seguirse en el diseo a la resistencia ltima son:
a) Clculo de las cargas de trabajo
b) Obtencin de los elementos mecnicos de diseo
c) Dimensionamiento de las secciones
d) Revisin bajo condiciones de servicios
1.2 Hiptesis para Diseo por Flexocompresin.
Para establecer un mtodo general de diseo para piezas sujetas a cualquier combinacin de carga
axial y momento flexionante, se plantean las hiptesis siguientes:
1.2.1 Las Secciones Transversales Planas antes de la Deformacin, Permanecen
Planas despus que esta ocurre.
Esta hiptesis permite conocer la deformacin de las fibras a cualquier altura de la seccin si se
fijan dos puntos de formacin conocida.
1.2.2 El Concreto no Resiste Tensiones.
En realidad el concreto tiene cierta resistencia a la tensin, pero para fines prcticos no influye en
la capacidad de secciones con cantidades normales de refuerzo.
8
1.2.3 Las Caractersticas Esfuerzo-Deformacin del Acero son Conocidas.
En este trabajo se supone un comportamiento elstico del acero, para el cual los esfuerzos son
directamente proporcionales a las deformaciones, hasta una deformacin mxima y despus
permanecen constantes. Con esta idealizacin se desprecia la zona de endurecimiento por
deformacin.
Si se tomara en cuenta esta zona, se obtendran resistencias mayores en algunos casos; sin
embargo, se considera que las deformaciones son de tal magnitud que la pieza se vuelve inservible
antes de alcanzar esta resistencia.
1.2.4 Las caractersticas Esfuerzo-Deformacin del Concreto son Conocidas.
Para la relacin esfuerzo-deformacin del concreto en flexocompresin, han sido propuestas curvas
muy diferentes; adems son muchas las variables que influyen en las caractersticas de esta curva,
de las cuales las principales son el tamao y la forma de la seccin, el gradiente de esfuerzo y la
duracin de la carga. Aunque las distintas idealizaciones de la curva esfuerzo-deformacin difieren
grandemente en su forma (triangular, rectangular, trapezoidal, parablica, etc.), todas llevan
resultados aproximadamente iguales en cuanto a la magnitud y posicin de la fuerza resultante de
compresin del concreto.
Para los propsitos de este trabajo se usar la idealizacin adoptada en la ref. (1).*
1.2.5 La Adherencia entre el Acero y el Concreto es perfecta.
Esta hiptesis es necesaria para establecer la igualdad de deformaciones en el acero y el concreto,
para las mismas distancias al eje neutro. Esta hiptesis se apega mucho a la realidad para concreto
reforzado con varillas corrugadas.
1.2.6 Una seccin falla, si el Concreto, en alguna Fibra, alcanza una deformacin de
Compresin mxima cu.
Esta hiptesis, considerada vlida tanto para flexo-compresin como para flexotensin, implica que
el acero puede deformarse indefinidamente en tensin sin romperse. Una teora ms apegada a la
realidad considera dos posibilidades de falla, la de aplastamiento del concreto y la de rotura del
acero en tensin al alcanzar una deformacin mxima.
Sin embargo, para los aceros normales usados como refuerzo, el valor de su es por lo menos 30
veces, mayor que cu, y la posibilidad de que alcance su corresponde a casos muy particulares
en la zona de flexotensin.
9
1.3 Diagramas de Interaccin.
Un diagrama de interaccin para flexin y carga axial es la representacin grfica de todas las
combinaciones de carga axial y momento flexionante en una direccin principal que causan la falla
de una seccin.
Para un material elstico cualquiera, con una resistencia a compresin fc y a tensin fy, puede
obtenerse fcilmente el diagrama de interaccin utilizando la frmula de la escuadra
I
MCF ;
sin embargo, este procedimiento no es aplicable al concreto reforzado, por tratarse de un material
no elstico y heterogneo. En este caso, las combinaciones Pu y Mu de falla se obtienen a partir de
un anlisis plstico de la seccin, basado en las hiptesis del inciso anterior.
1.4 Consideraciones para el Clculo de los Diagramas.
1.4.1 Esfuerzo en el Concreto. (De acuerdo con la ref. 1).
Cuando alguna fibra del concreto en compresin alcanza la deformacin cu, la distribucin de
esfuerzo en el concreto es uniforme en una zona equivalente de compresin cuya profundidad es
0.85 veces la del eje neutro.
1.4.2 Adimensionamiento
Para generalizar las frmulas empleadas, stas se plantearon en forma adimensional, lo cual se
logr dividiendo la longitud entre la altura (h), las reas entre ht, las fuerzas entre htfc, los brazos
de palanca entre h, y las deformaciones unitarias entre y.
Esta ltima relacin introdujo la variable cu/y; cu, ha sido fijada en la ref. (1) como 0.003; sin
embargo, se trata de un valor que puede tener variaciones muy grandes, dependiendo
principalmente de la duracin de la carga, del confinamiento del concreto y del gradiente de
esfuerzos en la seccin.
La otra cantidad, y, para los aceros normalmente usados vara entre 0.0014 y 0.0021; esta
diferencia es menor de la que pueda esperarse en c, para la cual se han registrado valores desde
0.0015 hasta mayores de 0.0016. Por lo tanto, no parece justificado el uso de una relacin cu/y
diferente para acero de 2,800 Kg/cm2 y 4,200 Kg/cm2.
10
Se encontr que para grandes variaciones de = cu/y, corresponden pequeos cambios en los
elementos mecnicos resultantes.
Por esta razn aunque tanto las frmulas como los programas estn en funcin de la relacin, las
grficas de diseo se han obtenido considerando esta relacin con valor constante igual a 1.79 para
todos los casos.
Aparece, adems, la relacin = t/h la cual ocasiona un inconveniente en cuanto a la representacin
de grficas para diseo, lo que dara lugar a un juego de grficas para cada valor de que se desee
incluir.
Para eliminar esta variable se utiliz un valor constante de la relacin t/h para el cual se hizo un
estudio detallado de su influencia, obtenindose variaciones que en ningn caso fueron mayores
que un 20%, considerando los casos extremos ( =1, = 1.0, q= 1.0) donde tiene mayor influencia.
Cabe mencionar que los errores aqu inducidos son de orden de magnitud no mayores que los
involucrados en las hiptesis iniciales o en la obtencin de las cargas de diseo; a pesar de esto se
propone una frmula emprica para calibrar los resultados.
1.5 Programa de Computadora
El procedimiento que se sigue para la obtencin de las grficas tiene caractersticas comunes para
todos los casos, y consiste en asumir la profundidad del eje neutro y encontrar las resultantes
parciales del concreto y del acero en funcin de la cantidad de acero, forma de la seccin y valores
y que deben proporcionarse como datos de problemas.
La profundidad del eje neutro se hace variar desde valores muy pequeos hasta un valor mximo
que produce la condicin de momento nulo, con un nmero de intervalos que permite definir
completamente el diagrama.
11
2 DIAGRAMAS DE INTERACCIN PARA CARGA AXIAL Y FLEXIN DE
SECCIONES L Y C.
2.1 Consideraciones.
En la fig. (1) se muestra la idealizacin del refuerzo de la seccin.
Se hicieron las consideraciones siguientes:
-El refuerzo est formado por dos partes, una situadas en las caras perpendiculares al plano de
momentos (acero extremo) y otra paralela a ese plano (acero lateral).
-El acero extremo est distribuido uniformemente a lo largo del peralte con las mismas
caractersticas del acero extremo.
-El recubrimiento es igual en las dos caras extremas.
Se establece adems la siguiente convencin de signos.
Fuerzas de compresin, positivas.
Momentos positivos, en contra de las manecillas del reloj.
Deformacin de compresin, positivas.
2.2 Clculo de los Puntos de los Diagramas.
La secuencia de clculo de los distintos diagramas se presenta slo esquemticamente en este
captulo; la deduccin detallada de las frmulas se encuentra en el apndice.
Los diagramas se construyen a partir del clculo de un cierto nmero de puntos siguiendo la
metodologa expuesta en el inciso 1.3; se fija una deformacin cu en la fibra superior extrema de
la seccin de concreto y, para una profundidad dada del eje neutro (c), se tiene definida la
distribucin de deformaciones, a partir de las resultantes parciales de fuerzas y momentos, que son:
12
a) Resultantes del concreto (Cc, Mcp). Se obtiene a partir del bloque rectangular de esfuerzos;
inciso 1.4. Hay que distinguir dos casos.
Si la profundidad del eje neutro (c) es menor que h, siendo h el peralte total de la seccin, el bloque
equivalente tiene una altura de 1c; si c es mayor qu h, toda la seccin est trabajando a compresin
a un esfuerzo constante de 0.85 fc.
b) Resultantes del acero superior (Fs, Ms), se distinguen tres casos:
Acero fluyendo a compresin, fluyendo en tensin, o con esfuerzo menor que el de fluencia.
c) Resultantes del acero inferior (fi, Mi). Se distinguen los mismos casos que para el acero
superior.
d) Resultantes del acero lateral (FI,MI). El acero lateral esta idealizado como una barrera vertical
de acero equivalente, con esta barra se pueden presentar varias distribuciones de esfuerzos
que se aprecian en la fig. 2 del apndice.
3. DIAGRAMAS DE INTERACCIN DE SECCIONES RECTANGULARES CON
ACERO EXTREMO CONCENTRADO Y ACERO MNIMO DISTRIBUIDO.
Para este tipo de secciones no fue posible hacer grficas totalmente adimencionales, por lo cual fue
necesario hacer un juego de grficas para cada combinacin de fc, fy y , donde a f c se le dio
valores de 210 Kg/cm2 y 280 Kg/cm2, a fy de 2800 Kg/cm2 y 4200 Kg/cm2, a se le asignaron
valores de 0.10 y 0.15 como porcentaje de la altura total de la seccin.
El rea de acero extrema (concentrada) se expresa como una funcin de bh siendo bh el rea
del muro donde debe concentrarse dicho refuerzo.
Para l % de acero distribuido se utiliz un valor constante igual a 0.0025 para todas las grficas,
siguiendo los alineamientos para acero mnimo que exige la ref (1), las hiptesis para la deduccin
de las ecuaciones son las mismas que para las secciones L y C.
13
4. DIAGRAMAS DE INTERACCIN
a) Secciones Rectangulares.16-22
b) Secciones L....23-33
c) Secciones [.34-45
14
A) SECCIONES RECTANGULARES
15
16
17
18
19
20
21
22
23
B) SECCIONES L
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
C) SECCIONES [
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
5 APNDICE a) Deduccin De Ecuaciones.46-69
b) Ejemplos...70-76
47
48
49
cft
hhth
htt
htMU c
85.0
222
fYt
hhtph
htph
htpMU s
222
cf
pfycf
thht
ththMU
'85.01'85.0
222
22
85.0185.0
21
2
1
2` 2q
h
t
h
t
thfc
MU
1
5.02
12
CP
50
DEDUCCIN DE LAS ECUACIONES
1. CONCRETO
CASO 1.1. Si C < (h-t) > t
1 1
CC = CC + CCL = 0.85 f ht + 0.851 f ct
CC= 0.85fht
h
c1
Mcp= 0.85fht[(2
(2
)( 11a
cph
ctcp
)
Mcp= 0.85fht [( )2
()2
)( 11h
c
h
cp
h
c
h
t
h
cp )]
EN FORMA ADIMENSIONAL Definiendo h
t
htfc
CC
'85.0[(
h
c1) ](I.1.1)
thfc
M Cp2'85.0
[( )2
()2
() 11h
c
h
cp
h
c
h
cp
] (I.1.1)
51
CASO 1.2 1
1
tCS
t
h
h
cchtfcfhtCCC
1'85.0'85.0 11
2
1 ccpCCMcp
EN FORMA ADIMENSIONAL.
1.2.1'85.0
1 ihtf
CCCC
.2.2.12
''85.0
1
2
h
cpCC
tchf
Mcp
CASO 1.3 Si
11
hC
th
CCCCLCCCC
11 185.0
h
cfchtCC
1185.0 fchtCC
2222
11 thCcpcphtC
brazo
22
1
2185.0 11
2 h
cptfchMcp
1.3.185.0 11 IfchtCC
52
McpIEQMcpMcp 2.1..
22
1
21
2285.0
11
112
h
cp
h
C
h
cp
h
cp
tfch
Mcp ch
CASO 1.4 Si 1
HC
CCCCCCCC L
hfctCC 85.0
hfctCCL 85.0
fctCCL 85.0
185.0 fcthCC
2
1
21
285.0 2
h
cp
h
cp
h
cpfcthMpc
EN FORMA ADIMENSIONAL
1.4.1185.0 fchtCC
2.4.2
1
21
285.0 2 I
h
cp
h
cp
h
cptfchMcp
53
ll. ACERO SUPERIOR CONCENTRADO
a) Profundidad del Eje Neutro para Fluencia en Compresin.
ey
ecu
t
sC
scC
2
h
t
h
Csctsc
C21
;2
1
b) Profundidad del Eje Neutro para la Fluencia en Tensin.
2/teyecu
C
ecu
122
t
eyecu
ecutCst
bh
t
h
Cst
1212
54
II.-1 eyesseaoh
Csc
h
CS 1
'fc
fyqDEFINIENDOfyACA Ss
fythCA
.1.''
IIqfc
fy
chtf
sCA
sF
CASO II. 2 eyesseaoh
Cst
h
CSi
fyAsTA
.2.'
IIqhtfc
TAsFs
CASO II.3 eyeseyseaoh
Csc
h
C
h
CstSi
ecu
C
tCes
C
tCes
2/;
2/
eyc
tes
21
hteyEc
tAsesEFAs
21
.3.2
1'
IIqc
t
htfc
FAsFs
MOMENTO
En todos los Casos Anteriores
2
tcpFsMcp
55
.4.2'2
llh
t
h
cpFs
ctfh
Mcp
III. ACERO INFERIOR CONCENTRADO
a) EJE NEUTRO PARA FLUENCIA EN TENSIN.-
eyecu
th
ecu
CIT
2/
212
th
th
eyecu
ecuCIT
ah
CIT IT
21
1
b) EJE NEUTRO PARA FLUENCIA EN COMPRESIN.-
21
2
2/
thC
thCC
ey
thC
ecu
C
C
CCCIC
21
thCIC
56
bh
CCIIC
21
1
CASO III.1.- eyesdeciresh
C
h
CSi IT
fyhtfyAT SAS
1.'
IIIqchtf
Tf ASS
CASO III.2.- eyesdeciresh
Cc
h
CSi
htpfyfyAC SAS
2.'
IIIqchtf
CF ASS
CASO III.3.- eyeseydeciresh
C
h
C
h
CSi ICIT
ecuecuc
th
est
h
esecu
c
ecu
2;
2
1
2;1
2 c
t
c
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c
t
c
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1
2c
t
c
hfyhtEAC esSAS
1
2' c
t
c
hq
chtf
CF ASS
3.11
IIIqFS
57
EN TODOS LOS CASOS..EL MOMENTO ES:
21*
'2
h
cpF
ctfh
MS
UCP
IV. ACERO LAMINAR DISTRIBUIDO EN LA ALTURA
CASO IV.1 CASO IV. 2
CASO IV. 1
STCCseaoEyEsSi
FL = Ty
TYMML
CASO IV. 2
EyE
CcCseao
EyEsEySi
ITST
1
YSYSL TTCF
ML = Mcs + Mtsy + Mty
58
CASO IV. 3 CASO IV. 4
CASO IV. 3.-
yyysySi I ;
SCST CCC
ICIT CCC
SSL TCF
MtsMcsML
CASO IV. 4.-
yys I ;
SCCC
ITCC
FyFsyCsyCyFL
MtyMfsyMcsMcyML
59
CASO IV. 5 CASO IV. 6
CASO IV. 5
yyysSi I ;
CCCTCyCSCCdecirEs II
TsCsyCyFL
MtsMcsyMcyML
CASO IV. 6
CCCdeciresy II
FL = Cy
ML = Mcy
60
RESULTANTES PARCIALES
1. (CS) Y (MCS)
fyc
tfs
21
thAslt
cfs
sC
22'
thht
fyt
cc
tsC
2221'
q
th
tcc
t
chtf
scCs
2
2/2
1
'
'
a
qww
wwCs .1
124/
12
2/2/1 2
33263223
tccp
ttccp
ttC
tcpbrazo
tccpbrazo 3
1
61
tccpcpcsM
3
1'
w
h
cpcp
tfh
csM
C3
1
'
'2
bwh
cpcsMcs .1
3
1
syMyCsy C.2
c
zth
slAZfy
syC
11 ;
2'
htfy
th
CsyC
2'
aq
chtf
syC
Csy .212'
'
3
21
3
21 cpZccpbrazo
3
21'' ccpsyCcsyM
62
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Ycs
M
scyM .2
3
2
'
2
cyMyCy.3
2/;/ 121 tZZcZ
2
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2
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2
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1
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'
'
2
11
2
22
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bcyh
cp
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'2
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2
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1
2
1
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h
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bh
cp
sT
ctfh
tsM
.423
1
'2
5. (Tsy) y (MTsy)
Cc
cu
yZ
Z
y
c
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1
1
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syT
1
2
1'
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hthtfy
th
htpfyT
c
/122sy'
12'
'q
chtf
syT
aq
syT .5
12
3
21ccpbrazo
3
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h
cp
h
brazo
bh
cpsyTTsy
M .53
21
66
6. (Ty) y (MTy)
122;/
1Zc
thZcZ
thsl
AZfyyT
2'
thhtpc
ct
hfyTy
2
1
/2/1
'
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chtf
yT
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21
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2/14/
22
h
cp
h
brazo
67
aqTy .61
/2/1
bh
cpTy
TsM .6
2
1
422
ACERO SUPERIOR CONCENTRADO
FLUENCIA EN COMPRESIN FLUENCIA EN TENSIN
12)
12)
ststCb
sch
scC
a
cf
fyq
y
cusiendo
'
ACERO SUPERIOR
sc
FA
MEA
1
q
2/ KFA
st
q
2/ KFA
2
scst
q
21
2/ KFA
3
ACERO INFERIOR CONCENTRADO
FLUENCIA DE TENSIN FLUENCIA DE COMPRESIN
68
11
2)
121)
CIITba
ACERO INFERIOR
IT
FA MFA
1
q
21
KFA
IC
q
2/1 KFA
2
ICIT
1
21q
21
KFA
3
ACERO LONGITUDINAL (Cont.)
69
IT
sc
y
TYFSYCSYCYFL
1
2
11qc y
12
qCsy
1qTsy
1
/2/1qTy
MTyMTsyMCsMCyML
422
KCM ycy
3
2KCM sycsy
3
21KTM syTsy
2
1
422
KTM yTy
.1V
CASO
ICIT
SC
y
ssyyL TCCF
1
2/1
1qCy
12
qCsy
12
11
2
2q
TS
TscsycyL MMMM
422
KCM ycy
3
2KCM sycsy
2
3
1KCM yTs
.V
CASO
IC
yL CF
1
2
11
qCy
cyL MM
422
KCycy
.Vl
CASO
70
E) EJEMPLOS
71
EJEMPLO 1
Disear el siguiente muro con acero distribuido en toda la seccin.
Datos:
fc = 280.0 Kg/cm2
fy = 4200.0 Kg/cm2
Mux = 1000.0 ton - m
Muy = 1800.0 ton - m
Pu = 1000.0 ton
T = 0.20 m (cte)
Diseo Segn ( Mux)
Debe notarse que para la direccin de Mux no existen grficas, pero puede recurrirse a las
grficas para seccin L, tomando la mitad de la seccin, que resulta una L y disearla para la
mitad del momento y la mitad de la carga axial.
72
8.00.2
6.1
6.120.08.1
0.2
mh
mh
* usar grfico L - 8
a) Diseo en la direccin que produce compresin
en el patn
Calcular chtf
Pny
ctfh
Mn
''2
AgcfRR
PuMuxMn '1.0;7.02.09.0;
tonR 6.201)2.0*6.120.0*.2(*2800*1.0
7.07.04.06.201
0.500*2.09.0 usar
.3.7147.0/0.500
3.7147.0/0.500
tonP
mtonM
n
n
32.00.2800*2.0*2
3.714
' 22
ctfh
Mn
64.00.2800*2.0*2
3.714
'
chtf
Pn
De la grfica y con valores de
a) -0.32 y 0.64 (tensin en el patn)
b) 0.32 y 0.64 (compresin en el patn)
73
Tenemos:
30.0
28.0
b
a
q
q
Rige caso b)
Correccin de q
qcorreccinf 5.21
10.00.2
2.0
h
tdonde
0225.1)10.0()30.0()8.0(5.21 crf
307.00225.1*3.0* crx fqfinalq
0205.00.4200
0.280*307.0
'
fy
cfq
Revisin segn Muy
Tomando la seccin total y en el momento y axial total.
Tenemos:
h = 3.60m. Muy = 1800.0 ton-m
8.1 hh pu = 1000.0 ton
5.06.3
8.1
Usamos la grfica C-5
Con 7.0
Mn = 1800.0/0.7 = 2571.4
Pn = 1000.0/0.7 = 1428.57
74
354.02.0*0.2800*6.3
4.2571
' 22
ctfh
M n
709.02.0*0.2800*6.3
57.1428
'
chtf
Pn
De la grfica C-5 tenemos:
qy = 0.065 < qx
Rige la direccin de Mux
Usar 0205.0
Con 41 cm2 / ml
Usar 0.14@"4/3 cm en 2 capas
EJEMPLO 2
Disear el siguiente muro considerando acero concentrado en los extremos y acero mnimo
distribuido en la zona central.
DATOS:
fc = 210.0 Kg/cm2
fy = 4200.0 Kg/cm2
Pu = 200.0 ton
Mu = 950.0 ton-m
75
1) Calculamos los parmetros Agh
Mny
Ag
Pn
Pn= AgcfRR
PP uu '10.0;2.09.0;
R = 0.10 * 210. * (425 * 25) = 223125 Kg
72.0223125
000.2002.09.0 x
Pn = 200.0/0.72 = 277.50 ton.
Mn = mt 44.131972.0
0.950
12.2625*425
0.277500
Ag
Pn
22.2925*425
10*44.1319 5
Agh
M n
Supongamos un de 0.15
Entramos a la grfica de fc = 210, fy = 4200, = 0.15
22.2912.26 hA
M
Ag
P
g
nn
Leemos directamente el porcentaje
03.0
As concentrada = 28.470.425*15.0*25*03.0 cmhb
76
EJEMPLO 3
Disear el mismo muro del ejemplo (2) con acero distribuido.
Del ejemplo (2) tenemos:
Mn = 1319.44 ton-m
Pn = 277.50 ton
124.0210*25*425
10*50.277
'
3
chtf
Pn
139.0210*25*425
10*44.1319
' 2
5
2
ctfh
Mn
De la grfica C-0
q = 0.26
013.00.4200
210*26.0
'
fy
cfq
As/ mt = 0.013 * 25 * 100 = 32.5
Si usamos capasencm 218@"4/3
Usar capasencm 218@"4/3
77