37
M A 2 4 6

M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

  • Upload
    dokhue

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

M A

2 4

6 ������������ ������

� �������������� ����� �! #"$�&%'�(�!�)�&*+"-,

.0/&13254$687:9<;>=&/&?&@BADC EF?GIH0J C(KL4MC 131)N

O /&PQPR254TSVUFUVW

XZY\[I]_^`^ba>ced�c$f:f$a>g5]ih`ajfekBlm [Ia>g�no[(p+dqY\r�a>h�d�c$fLsut_l5hInocLv5^I]ikwkwd�[Ifyx

z|{~}��0�y�\�����5�j�:�0�y���F�&�F�y�����X3dBx m n�a>cw�jno�$[bd��oa�lon���^In:^Iaqd�����lono�$[IhIa>t_����dD^I�waj��dD^I]i�jh

��[Ino��Y\[I]8^I^ba>c���dD^Iaj[`]�d�t3�X~kyx m n��wajt_��lon��Tfwa>g�ajt_no�T^b�wa+d�[`^ n���]_cwfwa>�Va>cwfwajcB^�h¡^b�wf!l

¢ Y�no[`r�]icw�£aj]8^b�wa>[LdDtinocwaD��no[��jnM¤'no�¥aj[IdD^b]8goajt8lQY\]_^I�n�^b�$aj[�h`^I�wfwa>c�^Ihj�

X~�qx m n¦�$ajti��l�no��tiaqdD[Ic�d§��dD^b�wa>��dM^b]i�jd�t�^bno�w]_���&]_c�^b�w]_h�qd�h`a©¨(�w�0k¥aj[ m �wa>no[`l��L^b�$[Ino�w���ª�jd�ti�>�wt�dD^I]inoc«dDcwf�w[In�kwtia>��¤¬hInot8g!]_cw�w­

® no�w]_ajh\n���^b�w]_h�Y�no[`r�kVn5nory�-kVnD^b��Y\]_^b�:d�c$f:Y\]8^b�wno�!^hInot_�$^b]_nocwhj�$�qd�c:kVa¯��no�$cwf�noc§°LdD^b�wh¡^b�$±²­

Page 2: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

³B´�µ�¶�·R¸`¶º¹w»¯¸)·�¼ µ¾½-¿(À�µ\µ ¿m �wa§ÁÂv!aj�Ã^b]in�c m dD[I�oaÃ^bhjÄÅkVnqÆÇ�jnocB^�dD]icwh�d�c�]ifwajden���Y\�-dM^lono�ÈhI�$no�wtif�dD]i��^bnÉ�oa>^�n��$^&n��¥^b�wa��>�w[I[`ajcB^¾hIa>�>^b]_nocF­&Ê�aj[)¤�-d��wh\lon��e�È]i�o�B^�[`a>^b�$[IcL^InË^b�w]_hudM^(^I�waÉajcwf:^bnÈa>gDd�t_�-dD^balono�$[(�$[Ino�o[`ajh`hj­

Ì ajd����w]_cw�Í^I�w]ih�]_�jnoc�]icËl�no�w[FÎ`no�w[Ic$a>l0^I�w[Ino�$�o�È^I�wa\Y�no[`ro¤kVn5norÈ]ih�dDc|]icwfw]_�qdD^I]inocÈ^b�-dM^\d�c|]if$aqd0hI�$no�wtif|k¥a�h¡^�d�[¡^b]ic$�^bn�aj�Èaj[`�oa¯��[Ino��^b�wa¯gDd�[`]ino�wh�aÏÆ$d����$tiajh�l�no�L�wdÐg�a�h`aja>cF­°edD^Iaj[I]id�t��waj[`aÑ]ic$�jti�$fwajhÒ[Ia>��a>[Ia>cw�jaÓa>]_^b�$aj[Ò^InÔaqdD[Iti]_aj[Y�n�[Ir�kVn5nor�hj�+no[T^bn��w[`a>g5]ino�$h|�jno�w[`hIa>hLh`�w���Õd�hT��n��wcwf-dM¤^b]_nocwh�Ö�v!a>^IhudDcwf§×¯[In��w�whj­

sQ�qdD�$^b]_nocF­ÙØ�dD^I���Ëlono�w[Åh`^ba>��n�g�aj[<]_hIh`�wajh&]_c�g�not_g�ajfË�wa>[IaD­

zT���:Ú��¥ÛRÜ��5ÝwÞÙßÅàm nË�wc$fwaj[`h`^�dDcwf|^b�wa���dD^Iaj[I]id�t¥d�cwf|fwn0^I�wa��w[`nokwt_aj�Èh�]ic�aqd�����hIa>�>^I]inoc|n��^b�w]_h\Y no[`r5k¥n5nory�wlono��Y\]it_tcwa>ajfL^In�kVaÉnoc��on5n!f|^Iaj[I�Èh�Y\]_^I�FáâFã�äÃå3æ çMè�éBê ë m �wa Ì a>��dD]icwfwa>[�^b�wa>no[Ia>�ìX���n�[��Vnot8l5cwno�È]�d�t_h�x

í¯îDï`ð�ñÅò&îDóÈô�õ_ö8ö-÷$ðqðjø�ù¯ú¥î�ûIü�ð>ï�ûÃù�ö_ûÃó$ö8ùÐïIîMý\þ�îDý�ÿ`î���ð\î�þï��$ð��Bó$ðqÿ¡ïIõ8î�÷!ÿ õ8÷ï��!ðÍô¾îDýIü��Vî�îMü�ÿ-ù�÷$ø�ùÐý�ðÍðq÷$ûÃî�ó5ý�ù���ðqø|ï`î�ó$ÿIðÉîD÷$ðÉþ�îDý(ï��$õ8ÿ�úwó!ýIúVîDÿIðÉù�÷$øïIîÈð� Bú¥ðjý�õ���ðq÷oï�ô�õ ï���ý�ðqÿ`ó$ö ïIÿ\ù�÷$ø:õ8ø$ðqù�ÿ\õ_÷�ï��$ð�ûÃî�ó5ý�ÿIð���� ù�ö_ûÃó$ö8ùÐïIîMý�ÿuùÐý�ðí�����÷$ðqðqø!ðqøTù�÷$ø�ùÐý�ðÉí����Rù�ö_ö8îqô¾ðqøTõ8÷TïIðjÿ`ï`ÿ�îDý(õ8÷�ï��!ðÉð� �ù��Èõ8÷$ùÐï`õ_îD÷��

���������! #"%$'&)(�")"&)�� #�*$'�+ ,$'-/.�.���021%0�3435�*6)-7�8��39():<;�=�>@?BAB=DCFEBGIH>KJLENM�O9ENM�OQP+RTSUJ*ABMV�WYX�Z�Z EB=�ON[\�����*:] #"%^�_73]_`-a&�b.�"+.���1%0�&LcD>*MedfEB=K=�gh"$\35���8-`i%0�-a0�i!1Dj/k���l)m<.���nQo�_`1N.���gh"%$.'�������Q �"$�&)(�"�"&5�*pq1N0�3srDA Z rD> X O4gh"%$!��-7�!� l m+��o���$8.'-`���Q-a0ut@"%0)6�*$�.�-`0�i�.����*-`$v3�$'1Ngw.'�-`0�.�"!�*_`�*i�1N0�.Io�$'-`0.�[yx+6�*$z.'���#:%��1%$'��pU"N.'���*$\_a��tK.'^�$���$'�\1N0�3{�|.'^�35��0.}�\��1U6%�~t*"%$'$���tK.'��3{1��n�1N_`_�0)^�nL(��*$b"%g�.|:)o�"��pNn�-`�8.'1%&%���b1N0�3F"N.'���*$f-`05gh��_a-7t@-a.�-`����[I��g�:"%^F��o�"N.~1N0):{n�-7�|.}1N&���"$, ,-`���4.�"���^�i%i���8.�-`n�o�$'"B6%�*n���0.}�*p)o�_`��1�8�]���*0�3��@��n�1N-`_q.�"��

� x!�D� l � ����x!�!�9�DxF� t*��o�1%$�$'"B +�+n�1B.����*[ #1%$� ,-7t}&q[ 1tN[ ^�&

Page 3: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

� � ���]� �,������� � ������� � � �]� �,��� � �¡ £¢����,��¤ � �

¥ �-��{§¦wÝ!��{~�~¨ª© ݬ« �y���¥�5Þ®­�¯�Ý-}ª°+±~�

X3dBxD²Å]icwf:dË�wcw]8^�³T]icµ´�¶K¶�Y\�$nohIa��VnÐY aj[Ih(�oa>cwaj[IdD^baÉ^b�waÉ�o[`no�w�:n��<�$cw]_^Ih�·�¶@¶M�-]_cLn�^I�waj[�Y no[If$hj�hI�w���:^b�-dD^

·�¶@¶9¸º¹z»�¼�³~¼�³¾½¼�³¾¿)¼�³¾À�¼)Á)Á)Á¼�³¾ÂÃX~kyx~²yn�[Èajd����ÅÄÇÆÇ·�¶K¶D��fwaÈwcwaÊÉoX8ÄVx0^bnÇk¥aL^I�waeh`��dDtitia>h`^�cwnoc!¤¬cwaj�odD^b]8goa:]icB^ba>�oaj[�hI�w���Q^I�-dD^

³�Ë}Ì`ÍÎ�¸ÏÄ�­ ® n����wt_a>^Ia�^b�wa¯��not_tinÐY\]icw�ÑÐ`tino�0^bd�kwt_a�ÒwáÄ » Ó Ô Õ Ö × Ø Ù Ú »5ÛÉBX|ÄVx

ÜF�~±~ÛÙ��{��~¨

X3dBx²v!]icw�>aÝ»q»É]ih��w[`]i�Èa��\·�¶K¶��jnocwh`]ih¡^bh\n��Åd�titFc$noc!¤KÞ>aj[`n�a>tiaj�ÈajcB^Ih�n��v´�¶K¶�ß$^I�5�$h·�¶K¶9¸à¹z»q¼BÓI¼BÔ\¼UÕ\¼NÖI¼B×\¼BØI¼BÙ\¼BÚI¼)»5ÛIÃ

ØÇa�cwnÐY«tin5nor�dD^�^I�wa�h`a>^ËnD���VnÐY aj[`há¹5³¾âuá!ãsÆåä�Ã���no[ÉgDd�[I]_no�whÍ���wno]i�>ajh0nD��³æÆÏ·�¶K¶M­èç¬�³é¸�»o�^I�wajc�¹5³~¼�³ ½ ¼�³ ¿ ¼)Á)Á)ÁhÃê¸ë¹z»�Ã��FhInÑ»Ë�oa>cwaj[IdD^ba>h¯^b�wa0]_fwajcB^I]_^'l§h`�wkw�o[`no�w��n��]·�¶@¶M­ÍØ ad�[Ia:tin5nor�]icw����no[�d�cRa>tiaj�ÈajcB^<³�Y\�w]i��� �oa>cwaj[IdD^ba>h�^b�$aLY\�wnot_ae�o[`no�w�®·�¶K¶M­ m [¡lì³Ï¸íÓIß^b�wa>cæ³ ½ ¸îÕy¼�³ ¿ ¸�ÙI¼�³ À ¸�Ö�X�kVa>�qd��wh`aïÓ À ¸í»5×�ðñÖ�X~�Èn!fò»q»ÐxIxÃ�]³¾óô¸í»5Û£X~k¥aj�qdD�whIaÓ�óõ¸öÓ À�÷ Óá¸øÖ ÷ Óá¸�»5ÛQX���n5fò»q»�x`xÃ��³¾ùe¸öÚ\¼�³Iú4¸ûؾ¼�³¾üe¸öÔ\¼�³  ¸ö×\¼�³ ¶8ý ¸þ»Ý¸ÿ³ ý ­m �5�$hj�ÙdD^¯n��w[�hIa>�jnoc$fÇdD^`^ba>���$^+Y�aË�-dqg�a���n��wcwf�dT�oa>cwaj[IdD^bno[u��no[4·�¶K¶D�Fc-d��Èajt8lé³Ê¸öÓ5­�ç¬�Y�a¯^b[`]ia>fµ³Ý¸ Ô$�$Y aÉY�no�$tif��-dqgoaÉ��no�wcwf

¹�Ô â á�ã{Æïä�à ¸º¹�Ô\¼UÚ\¼NÖI¼UÕ\¼)»�ÃY\�w]i����]ih0d§hI�wkw��[Ino�w��n���·�¶K¶�n��(no[Ifwa>[ Ö�X~[`aj�qdDtit ^I�-dD^ ·�¶K¶��-d�hËno[`fwaj[ »)ÛBx�d�cwf��wd�f�Y�a���wnohIa>cʳݸà»5Û-X�ð � »�X~�Èn!fò»q»ÐxIxÃ�w^I�wajc�Y aÉY no�wt_fL�wdÐg�aÍ��n��wcwf

¹z»5Û â á�ã{Æïä�Ãê¸à¹z»)Û\¼)»�Ãd�h`�wkw�o[`no�w�:n��D·�¶K¶�n��²no[Ifwa>[�Ó!­

X~kyx-ØÇa§�jd�c cwnÐY �wh`a§^b�wa�dDkVnÐgoa¦�jd�ti�>�wt�dM^b]in�cR^bn��>no���$tia>^Iae^b�$a¦tino�Ç^bd�kwt_ae^bn�^I�wa¦k-d�h`a¬Ó!�[Iaj�jd�tit_]icw��^b�-dD^�ÉoX|Äx�]_h�^b�waÉh`��d�t_tia>h`^�cwn�c!¤'cwa>�BdD^I]_goa¯�¥nÐY�a>[unD�]Ó0�jn�cw�o[I�$ajcB^u^InêÄe�Èn!fò»q»o­

Ä » Ó Ô Õ Ö × Ø Ù Ú »5ÛÉBX|ÄVx Û » Ù Ó Õ Ú Ø Ô × Ö

»

Page 4: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

ÜT�5}ÇÝw��� Ì aj�jd�titÙ^b�-dM^2·�¶K¶��wd�h�no[`fwaj[��²X*»q»Ðx�¸ë»5Û$��dDcwfhIn�d�c¦a>tia>��a>c�^4³:^I�-dD^¯��ajcwa>[bdD^Iajh2·�¶K¶�]ih�h`]i�È�wt_l:d�c¦a>tiaϤ��a>cB^�n��&n�[Ifwa>[u»5Û�]_cL^I�wa0�o[`no�w�Ê·�¶@¶M­���kwh`aj[¡goa0^b�wdD^+Y a�-dqgoa¯fwa%È-cwa>fµÉoX*»Ðx�^bnËk¥aeÞja>[InË[IdD^b�wa>[�^b�wd�cò»q»+^bnËa>cwhI�$[Ia^b�-dM^Ë^b�waìÐ`t_no�qÒe���wc$�>^b]_noc�ÉT^bd�r�a>hÈgDd�t_�wajhË]_c�^I�wa��o[In��w�X8´�¶8ý%¼��ÉxÃ�!Y\�wnohIaÍ�wcwf$aj[It8l5]icw��hIaÃ^(]ih2¹�Û\¼)»�¼)Á)Á)Á%¼BÚIÃ�­

��� ���� ���!¨�{���{��~¨ s+c£ajt_aj�ÈajcB^<³Ç^b�-dD^È�oa>cwaj[IdD^ba>h�^I�wa�o[In��w�s·��0nD�y�wcw]_^Ih²]_cu´��\]_h²�jd�tit_ajf������ æ��ËæZå~æ���ã � çÐçMå ��ç!#"$&% ç�' ­

���)(*� Ü��!} Ýw�����X3dBx�ç'cL^I�wa�tid�cw�o�wd��oaÉn��<��[Ino�w�:^b�wa>no[`l��¥d��w[`]i�È]_^b]8goa¯[`n!n�^

]ih�h`]i�È�wt_l�d0�oa>cwaj[IdD^bn�[���no[�^b�$a¯�0�wt_^I]i�wt_]i�jdD^b]8goa\�o[In��w�n��\�wcw]8^bh0nD��´���­Ñç'c��oajc$aj[bdDt �<^b�$aj[IaTd�[IaT��d�cBl hI�w����oajc$aj[bdM^bno[`hj­

X~kyxfç'c�^I�wautid�cw�o�wd��oa\n����>nocw�o[`�wajcw�>ajh�dÉ�w[`]i�È]_^b]8goa�[`n!n�^¾]_hg5]ia>Y ajfed�h(d�c:]icB^ba>�oaj[�X~c$n�^ud�cLa>tia>��a>c�^(n��!´��Mx�Y\]_^I�^b�waL�w[In��Va>[`^'l�^b�-dM^�^b�$aehIaÃ^|n��¯]8^bhÈ�Vn�hI]_^I]_g�aL�¥nÐY�a>[Ih�jnocB^bd�]icwh(d��jno�È�wt_a>^ba¯h`a>^un��<[`ajh`]ifw�wa>h(��n�[�·+�­�°edDc�ld��$^I�wno[Ih n��Ùk¥n!nor�h noc|¨u�$�0kVa>[ m �wa>no[`l��whIau^b�w]_h�fwaÃ��¤]icw]8^b]_nocF­

,�"B è35"� ��v&)0�"B é.���1N.-�.0/214365*798:1<;=5 >���)?*��� �@�v¨�{Z��{~�~¨9A a>^+³ÉkVa d+�w[`]i�È]_^I]_goa&[`n!nD^²nD�b´���­+²yn�[d�tit�ÄèÆè·���wY�aÉfwa%È-cwaeÉBX|ÄVxÃ�$^I�wa % çCB �#� æZåED=� nD�!Ä�X�^bnË^I�wak-d�h`au³$x\^bn|k¥a�^I�wa0hI��d�t_tiajh¡^�cwn�c!¤'cwa>�BdD^I]_goa�]icB^ba>�oaj[+hI�w���^b�-dM^�³�Ë}Ì`ÍÎ,¸ Ä�­<Ø aÉ[IaÃ��aj[�^bnË^b�$aÉ���$cw�>^I]inoc

ÉÉá�·+�GF ´�H Ì � Î�o]_g�ajc§kBlÊÄJIF ÉoX8ÄVx(d�h�dLK è-æZå'ã % çCB �#� æZåED=� ­(s+h+Y a0h`�-d�tithIa>a���h`�w���Q���wcw�Ã^b]in�cwh�h`�-d�[`aL��d�cBl��w[In��Va>[`^b]_ajh�Y\]_^I�£^I�wah`^bd�cwf-d�[`fLt_no�Bd�[`]_^I�w��h>­

Ó

Page 5: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

ÜF�=M���{��~¨ON�Ý$�QPy�B���X3dBx�^bnË]_c�g�ajh¡^b]i�odD^ba+^I�wa�R��wajh¡^b]_nocF�Á ��no[�Y\�w]_���|g�dDti�wa>h�n�� '

fwn5ajh�´����-dqgoaÍdÈ�$[I]i�È]_^I]_g�a+[In5n�^TSBÄX~kyx-^bn�h`^I�wf$l

ë �$[Ino�¥aj[¡^b]ia>h�n���^b�waeÈ-cw]8^baÉtin��Bd�[I]8^b�w�ë d�c ]icB^ba>[Ia>h`^b]_cw� �~d��>^ d�kVn��$^VU&�wtia>[jÄ h �w�w]8¤���wcw�Ã^b]_noc

ë ^I�waÉ�oajc$aj[bdM^bno[`h(nD�Å�Ãl!�>ti]_�¯�o[Ino�$�whë ^I�waÉc��w�0k¥aj[\n��²�w[I]_��]8^b]_g�a+[`n!n�^Ihë h`no�Èa¯�wcwhIn�t_goa>fe�w[`nokwt_aj�Èh

W)÷oïIðjýbðqÿ`ï`õ_÷I�YX�î�õ8÷oï�§0�.���"��8� t*1�8���u ,���*0[Z]\µ��1%� 1o�$'-an�-a.�-`6%��$'"�"%.�pz-a.v.�^�$'0��v"^5.].���1N.-a.���1%�,o�$���t@-7�8��_a: 8:1^8&14;=5 5 "Ng\.�����n4[_f"%^�n�-ai�.u_a-`&%� .�"Ê.���-`0�&ò1%(�"^5. ,�):�.���-`�,-7�,��"�[

���<`a�cb Û��5�>��{��~¨²��Ýw�&�¥Û��ô°��M{3}�{Z��{§¦¥�|�M��y�Ð�²-no[�^b�$aÉgDd�t_�wajh>�X~]�x ' ¸ Ø!�X~]_]Zx ' ¸ »)Û$�X~]_]i]�x ' ¸ »�Ó!�X3dBxÙti]_h`^�^I�waÉajtia>��a>cB^bh\n��D·+��X~kyx-Y�n�[IrTno�!^�^b�waÉno[`fwaj[`hun��²aqdD���Ln���^b�$ajhIaÍajt_aj�ÈajcB^bh>�X~�qx �whIaÈX�kyx¾^In�Y\[I]8^ba�fwnÐY\c|^b�$a��w[I]_��]8^b]8goa([In5n�^bh��Èn5fw�wtin' �w]8�<dDc�lTaÃÆ!]ih¡^q�X~fyx-Y\�waj[`a�dD�w�w[In��w[I]idD^baD�w�jno�È�-d�[`a¯^b�waÉc��w�0k¥aj[\n��Å�w[I]_��¤

]_^I]_goa+[In5n�^bh\�Èn!fw�$tin ' Y\]_^I�|^b�wa¯gDd�ti�$ad�ÅXe�²X ' xIxíX~aqx ® d�ti�>�wt�dM^ba�^I�waËtino�T^bd�kwt_a�^bn|^b�$aÈkwd�hIaݳ¥�Y\�wa>[Iaê³e]_h

^b�waÉh`��d�t_tia>h`^��w[`]i�È]_^I]_goau[In5n�^\]ic|ajd����e�jd�hIaD­

Ô

Page 6: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� ���<` �X3dBx~X~]�x · ú ¸º¹z»�¼NÓI¼BÔ\¼�Õy¼NÖI¼B×¾Ã

X~]_]ZxÏ·�¶8ýõ¸ ¹z»q¼BÔ\¼BØI¼BÚIÃX~]_]i]�x ·�¶ ½ ¸º¹z»�¼NÖI¼NØI¼�»q»�Ã

X~kyxfç'cedDtit�·���w^b�waÉajt_aj�ÈajcB^õ»É�-d�h\no[`fwaj[õ»X~]�xîç'cè· ú �V^b�$a0ajt_aj�ÈajcB^õÓ��wd�h�no[`fwaj[4Ô$�Fd�hufwn5ajh+^I�wa

ajt_aj�ÈajcB^�Õw­ m �wa�ajt_aj�ÈajcB^�×��wd�h�no[`fwaj[�Ó!�5Y\�$]itia4Ôd�cwfÊÖËkVn�^I���-dqgoaÍno[Ifwa>[9×$­

X~]_]Zxåç'c�·�¶�ýB�&^b�wa�ajt_aj�ÈajcB^ Ú�X'ð � »�X~�Èn5f¬»)ÛBxIx��wd�hno[If$aj[9Ó!�wY\�w]_tiaeÔÈd�cwféÚ�kVnD^b���-dqgoaÍno[If$aj[�Õw­

X~]_]i]�xÏç'c<·�¶ ½ �B^b�$aua>tiaj�ÈajcB^IhQÖ¾¼Nدd�cwfè»�»(�wdÐg�a+no[`fwaj[FÓ!­X~�qx m �wa¯�w[`]i�È]_^b]8goau[In5n�^bhÉX�]Zx���n5fw�wt_nêØ0d�[IaõÔËdDcwfÊÖ�dDcwf

X~]_]ZxË��n5fw�wt_n®»5Û�dD[IaÑÔ�d�c$fÏØ!­ªX~]i]_]Zx m �wa>[Ia�d�[Iaecwn�w[I]_��]8^b]8goa+[`n!nD^bh��Èn!fw�$tin »�Ó!­

X~fyx8X~]�xf�ÅX�Øox]¸å×\¼g�²Xe�ÅX�ØoxIx]¸åÓ!�X~]_]Zxh�²X*»5Ûox]¸åÕy¼g�ÅXi�ÅX*»)ÛBxIxv¸ Óm ���whj��]_c£^I�wa�^'Y�n �qd�h`ajh ' ¸ñØ�d�cwf ' ¸ »)Û$� ^I�wac��w�0k¥aj[0n��(�w[`]i�È]_^I]_goa�[In5n�^bh���n5fw�wt_n ' ]ih�cwnoc!¤}Þjaj[`nd�cwf�aR��-dDtÙ^Inj�ÅXe�²X ' xIxí

X~aqxIX~]�x m �wa+h`��dDtitia>h`^¾�w[`]i�È]_^b]8goa�[`n!n�^ �Èn!fw�$tinsØÍ]_hQÔ0dDcwf^b�waÉt_no�0^�d�k$tia�^bn�k-dDhIa�ÔË]ih

Ä » Ó Ô Õ Ö ×ÉoX8ÄVx Û Ó » Õ Ö Ô

X~]_]Zx m �$a�h`��dDtitia>h`^|�$[I]i�È]_^I]_g�ae[In5n�^��Èn!f$�wtin »)Û�]_hµÔd�cwf|^b�$aÍt_no�0^�dDkwtia�^In�k-dDhIa�ÔË]ih

Ä » Ô Ø ÚÉoX8ÄVx Û » Ô Ó

X~]_]i]�xÏç'c ^b�wa�d�k$hIajc$�ja�n���d��w[I]_��]8^b]_g�ae[`n!n�^j�(^I�wa¦tin��^�d�k$tia��jd�cwcwn�^(k¥aÉ�qd�t_�j�wtidD^ba>fF­

Õ

Page 7: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

k î�î�øTîDö_ø�luùnm�ÿo ����0].����#1N^5.'��"%$}�¾�8.'1%$8.'��3]�'t}��")"%_ po�")t}&�@.Lt�1N_7t@^�_71B.'"%$}�+��1%3u0�"N.F(����*0-`0�6�*0�.���3�[á�§0 .'��"���e3�1U:5�*p#��t}��"�"_t}��-`_`3�$���0 ^��8��3á_a"iÝ.'1%(�_`����gh"$�.'���$'��1N_�0)^�nF(���$'�#.'"�t@"0�6�*$�.�1�nF^�_a.�-a�o�_`-`t�1B.'-a"0�.'1�8&Q.�"Q"%0��D"Ng\1%3�35-a.�-`"%0¾[,���$��~.����#_`"%i�.}1N(�_`�~n�"535^�_`" ;L1 .�"!1i%-`6%��0](�1%��� 5 1N_`_`"B ��z^��¾.�"!t*1N$'$':+"^5.nL^�_/.'-ao�_`-7t*1B.'-a"0Ê-`0Jpq\ï():é13�35-`0�i-`0rZtsnu \�v [xw\-`0�-a.��õ_`"%i .}1N(�_`����1%_`��"o�_71U:s1%0u-`n�o�"$8.}1N0�.{o�1%$8.{-`0Ýn�")35��*$'02t@$':�o�.�"%i$'1%o��):%[

���)y*�Ob Û��5�>�Ð{~�~¨ Ýw�&�¥ÛÙ�ÒÛ��q{�¨]Pû±~�zPÓ�ÐÝw�+±��!� ç¬^L]ih:d�~d��>^�^I�-dD^9»5Ú�د]ih¾dÉ�w[I]_��a\d�c$f�^b�wdD^QÓÉ]_h dÉ�w[`]i�È]_^b]8goa�[`n!n�^��n5fw�wt_nª»5ÚqØ!­ Ø [I]8^baTno�!^Ë^b�wa|t_no�e^�dDkwtiaT^In§^b�wa|k-dDhIaÊÓÎ`�wh`^���no[�^b�$aTg�dDti�wa>h0n���ÉoX8ÄVxݸîÛ\¼)»�¼NÓI¼)Á)Á�Á%¼�»�Ö!��d�cwf��wh`a]_^(^bnÈY�no[`rLn��$^+^I�wa��w[`n!f$�w�>^2×�Õ ÷ »q»5ÙÈ]icé·�¶  ú Y\]8^b�wno�!^�qd�[`[`l5]ic$�Lno�!^�^I�wa����wt_^I]i�wt_]i�qdM^b]in�cF­ ® �waj��r�lono�$[�d�c$h`Y aj[Y\]_^I��l�no�w[\�qdDti�j�$t�dD^Ino[j­

{ ø$øTï`îc|�ó!ö8ï`õ úwö<mx+(����*$'6%�~.���1N.�p%i-a6�*0L.����#.'1%(�_`�%pN #���1U6�e^��8��3 "%0�_a:<.����s�8-`0�i%_`��13�35-a�.�-`"%0c}�~9�d���C��.'"õt@"%n�o�^�.���.'���o�$'"535^�tK.]}2���L�n���F-a0�p � �e�)[

z ¨²�Ã�0�����Ð� ���)yq��pua>[Ia�]_h<d+�-dD[`^<nD�-^b�wa�t_no�u^bd�kwt_a��Èn!f!¤�wtin »)Ú�Ø�^bn�k-d�h`a Ó!á

Ä » Ó Õ Ù »)× Ô�Ó ×�Õ »�Ó�Ù Ö�ÚÉBX|ÄVx Û » Ó Ô Õ Ö × Ø ÙÄ »q»5Ù ÔqÚ Ø�Ù »�Ö�× »q»�Ö ÔqÔ ×q×ÉoX|Äx Ú »5Û »�» »�Ó »5Ô »)Õ »�Ö

²-[Ino�ì^b�wa|^bd�kwtiaD� �Èn5fw�wtinª»5Ú�Ø!�&Y a:�wdÐg�aè×�Õ�ð�Ó ù dDcwf»q»5Ù�ð Ó Â ­�p(ajcw�>a��

×�Õ ÷ »q»5Ù�¸ Ó ù ÷ Ó Â ¸ Ó ù��  ¸ Ó ¶ ód�cwf:d��BdD]icT��[In���^b�wa¯^bd�kwtiaD�

Ó ¶ ó ¸Ï×q×� h`]icw�ÈdË�qd�t_�j�wtidD^bn�[j�$n�cwaÉ���waj��r�hu^I�-dD^×�Õ ÷ »q»5Ù�¸ »5Ô�Ù ÷ »5Ú�Ø��ì×�×uð ×q× X~�Èn!fò»5ÚqØox

^b�wa>[Ia>k�l��>noc\È-[`��]_cw�0^b�wdD^�×�Õ ÷ »q»5Ù�¸å×�×�]_c ·�¶  ú ­

Ö

Page 8: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

jz�*. 14������5 1N0�3 1)�����25 (���.| #"i%$'"%^�o��D ,-a.�� (�-`0�1%$�:e"o���$'1N.�-`"%0�� �1N0�3 � $����8o���t@.�-`6%��_a:[��Ån�1Nox�æ������ -7��t�1N_`_a��3<1J�<�%=�AT�C ¡�¢�AT£¤ A ¤ AB=^ ¥¢ X J ¤ -ag� 1<¦ � ��¦2§�5 �x� 1¨¦ � 5&� � 1¨¦2§�5gh"%$#1N_`_ ¦ � �E¦ §ª© � [b�§0� #"%$}3��*�¬«|.'���-`n�1%i%�f"%g�1�o�$'"535^�[email protected]�z.'����o�$�"535^�t@."NgI.����]-`n�1Ni���e­�[��gI13�35-a.�-`"%0�1%_a_`:®�2-7�#1F(�- ¯|��t@.�-`"%0zp5-a.-7�,t*1N_`_`��321N0 X J*A ¤ AB=^ ¥¢ X J ¤ [

���)°*� N��Ù���y�M�5} ± ãÃå ³³² ã �´��� æ��ËæZå~æ���ã � çÐçMåd��ç! $=% ç'¶µf· D-ãÃèÒå�D-ã K è-æZå'ã % çCB �#� æZå�D=� � �2�¹¸�²T�Qº ã ³@» !5ã K èãC!æZè ¸ é@µ~ä » æ º�� è�æ º çQ��ç ��� D5æ º �½¼ � çQ��å�D-ã�B � ç $ �¾¸ ·���¼ ÷ » å'çåED-ã®B � ç $ �ÇX8´ H Ì � Î ¼T�Íx µ¿ ���F�y�rA a>^u³ k¥a�de�w[`]i�È]_^I]_goaÈ[In5n�^Ë�Èn5fw�wtin ' d�cwf���n�[d�tit#ÄïÆÑ·+�V�ytiaÃ^�ÉoX|Äx�f$ajcwn�^IaÍ^I�waÍhI��d�tit_ajh`^\c$noc!¤'c$aj�BdD^I]_g�a]icB^ba>�oaj[ÅhI�w���Ë^b�wdD^]Ä ¸ ³�Ë}Ì`ÍÎ'­!ç¬^<��n�titinÐY\h���no[&d�t_tIÄ�¼ÁÀ<Æè·��^b�-dM^

ÄzÀݸ ³ Ë}Ì`ÍÎ ³ ËKÌÃÂ�Î ¸ ³ Ë}Ì`ÍÎ4�¾ËKÌÃÂ�Îv!]ic$�ja�³È�-dDh�no[If$aj[��²X ' x d�cwf|h`]icw�>a2Û0Ä®ÉoX8ÄVx�ÄÅ�ÅX ' x � »d�cwféÛ0Ä®ÉBXEÀ!x�ÄÅ�ÅX ' x � »o�w]8^���notit_n�Y\h ^b�-dD^

ÉoX8ÄVx ��ÉBXEÀ!xL¸�Æ#�ÅX ' xa�ÈÇ X@»o­ doxY\�waj[`a�Æ�¸åÛ�no[e»Íd�cwfÊÛcÄ�ÇcÄÅ�ÅX ' x � »o­¾pua>cw�jaD�

³ ËKÌaÍÎ)�¾Ë}ÌÃÂ�Î ¸Ï³�É H Ì � Î4�:Ê ¸ÌË�³ H Ì � ÎEÍ É ³ Ê ¸Ï³ ÊhI]_cw�ja ³ H Ì � Îs¸ »LkBlÈU&�wt_aj[jÄ h m �wajno[`aj�:­ m �$aLanR5�wdD^b]_nocÄzÀݸ ³ Ê �wY\]_^I�ÊÛ0Ä�ÇYÄÅ�²X ' x � »É�Èaqd�c$h\^I�-dD^Ç�¸ÅÉoX8ÄzÀ!x X@»o­ k-xd�cwf�hIn�Y a�fwa>fw�w�>aÍ��[`no� X@»o­ dox�d�cwfÇX*»o­ kyx ^b�wdD^

ÉoX8ÄVx ��ÉoXEÀ$x{ðÏÉoX8ÄzÀ!x X~�Èn!fÎ�ÅX ' x`x X*»�­ �qxno[�aR��w]8gDd�tia>c�^It_l��-d�h(d�c�aR��-dD^I]inoc�]_cé´ H Ì � Î

ÉoX8ÄzÀ!x]¸ ÉoX8ÄVx ��ÉBXEÀ!x X@»o­ f-xhIn�^b�waÑÈ-c$]_^ba�t_no�Bd�[`]_^b�$� ɧ]ih:d£�$no��n���no[`�w�w]_hI� ��[Ino�X|·¶�#¼ ÷ x�^InRX|´ H Ì � Î ¼��Éxí m �wa�fwa%È-cw]8^b]in�c£nD��d¦�w[`]i�È]_^b]8goa[In5n�^�]i�È�wti]_ajh^I�-dD^�^b�wa>[Ia�d�[Ia�Ï ·��ÐÏ�¸Ñ�ÅX ' xFfw]ih¡^b]ic$�>^�g�dDti�wa>hn��y³�Ò\d�htÓÈ[I�wcwh²^b�w[`no�w�o�0^I�wa gDd�t_�wajh]ÛI¼)»q¼NÓI¼�Á)Á)ÁN¼��ÅX ' x � »�­pua>cw�javÉÅ]ih�hI�$[�Î`aj�Ã^b]8goa¾d�cwfÉ]_^V��notit_nÐY\h^b�-dM^#É&]_h�d�kw] Î`a>�>^b]_nocF­Ô

×

Page 9: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

���ÖÕ��cb Û��5�>��{��~¨Q�~¨QÞ²{§¦Ù{~�j�y�M�0�¥� '²-no[�^b�$aÉgDd�t_�wajh>��X~]�x ' ¸ ×$�ÙX�]i]Zx ' ¸ÏÙ$��X~]_]i]�x ' ¸ »�Ó5�X3dBx�Y\[I]8^ba&fwnÐY\c�d�titM^b�wa�fw]8g!]_hIno[`hFn�� ' ]icÉ]ic$�j[Iajd�hI]_cw��no[`fwaj[>�× ¶]¸à»q¼ × ½ ¼)Á)Á�Á¼ ×@Ø ¸ ' ­X~kyx-Y\[I]8^ba¯fwnÐY\c�^b�waÉhIaÃ^Ù '× ¶ ¼ '× ½ ¼)Á�Á)Á¼ '×�ØtÚd�cwf��jn����-dD[Ia¯]_^�Y\]8^b�|^b�$aÍh`a>^�¹ × ¶B¼ × ½ ¼)Á�Á)Á�¼ ×@Ø ÃX~�qx¾Y�n�[IrTno�!^�^b�wa¯��not_tinÐY\]icw��hI�w�:�ÛÝÜ�Þ � �ÅX × x]¸h�²X × ¶¡xa�ß�ÅX × ½ xa�Åàáàáà¥�ß�ÅX ×@Ø x X*»�­ aqx

X~fyx-Y�n�[IrTno�!^�^b�wa¯��not_tinÐY\]icw��hI�w�ÛÝÜ�Þ � �Îâ ' תã X*»o­ �bx

X~aqx ��dDr�aTdL�jnocMÎ`a>�>^I�w[Ia�XZ��no[��oa>cwaj[Id�t ' xÉ��no[Í^b�wa�g�dDti�wa>hn���^b�waÉhI�$��h\t�dDkVa>titia>f�X*»�­ aqx\dDcwf X*»o­ �3xí

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� ���ÖÕz�X3dBx X~]�x�»q¼NÓI¼UÔ\¼B×$�FX~]i]�x9»q¼BÓI¼UÕy¼BÙ!��X~]_]i]�x9»q¼NÓ¾¼BÔ\¼UÕy¼U×\¼)»�ÓX~kyx²X~]�xL¹�×\¼BÔ\¼BÓI¼)»�Ã��wX~]i]�x{¹�Ù\¼�Õy¼NÓI¼)»�Ã��yX~]_]i]Zxv¹z»�ÓI¼U×\¼UÕy¼BÔI¼NÓI¼)»�Ã

]ic aqd���� �jd�hIaD� ^I�wa h`a>^bh ¹ 'aä × ¶N¼)Á�Á)Á�¼ ' ä ×@Ø Ã dDcwf¹ × ¶N¼ × ½ ¼)Á�Á)Á�¼ ×@Ø ÃËd�[`a¯aR��-d�t3­

X~�qxIX~]�xf�ÅX@»�x�¸ë»q¼��²X'Óox�¸ø»q¼��²X�ÔBx�¸ÇÓ¾¼��ÅX8×Bx�¸ÿÓ!­ m ���wh>�å Ü�Þù �²X × x]¸ÏÕ

X~]_]Zxh�²X*»�xQ¸û»q¼��²X'ÓoxF¸û»q¼T�ÅX8ÕBxQ¸ÿÓ¾¼��ÅX8ÙBxQ¸ºÕw­ m ���wh>�å Ü�Þü �²X × x]¸åÙ

X~]_]i]�xÑ�ÅX@»�xí¸ »�¼��ÅX�Óoxñ¸ »q¼T�ÅX�Ôox�¸ ÓI¼T�ÅX8ÕBxñ¸ÓI¼��²X�×Bxv¸ ÓI¼��ÅX@»�Óoxv¸å×$­ m ���wh�å Ü�Þ

¶ ½ �ÅX × x]¸ »�Ó!­X~fyxys+h × [`�wcwh+^I�w[In��w�o�e^I�wa�fw]8g5]ihIn�[Ih(n�� ' �VhIn|d�t_hIn�fwn!a>h'aä × X~hI]_cw�ja ' ¸ ×�÷ 'aä × xÏ­Ôpua>cw�ja¾å Ü�Þ � �ÅX × x�¸å Ü�Þ � �ÅX 'aä × x�hI]_cw�jaË^I�waÈ^Iaj[`��hÉn�� ^b�wa�hI�$��h�d�[IaË^I�wa

hbd��Èa¯]ic�fw]8±a>[Ia>c�^(no[`fwaj[`hj­X~aqx ® nocMÎ`a>�>^b�$[Ia�á å Ü�Þ � �²X × x]¸ å Ü�Þ � �²X 'aä × x]¸ ' ­

Ø

Page 10: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

���)æ*��b ÛÙ�5�>��{��~¨ Ýw�&�¥ÛÙ�[ç�èêé��rA aÃ^Gë:d�c$f ' k¥a|]ic!¤^ba>�oaj[`hj­ Ê&[InÐgoa ^b�wdD^��w�Ã�¹ìëq¼ ' à ¸ × ]8�:d�cwfÓnocwt8lÑ]8��w�>�%¹ ë× ¼ ' × Ãõ¸à»�­

z ¨²�Ã�0���¦�Ð� ���^æq� A a>^0�$�>�%¹ìë�¼ ' Ãé¸ × ­ m �wajcÈë ¸ × ëd�cwf ' ¸ × ' ��no[�hI�w]8^�d�k$tia ëq¼ ' Æ ´�­µç¬�gí�îþÛefw]8g5]ifwa>hë¦d�cwf ' ��^b�$ajc × í�f$]_g5]ifwa>h9ë�d�cwf ' ­àç¬^���notit_n�Y\hÈ^b�-dM^× íïÄ × d�cwf§^I�waj[`a>��no[`a�^b�-dM^�í ¸ë»�­Év!]ic$�ja ë ¸ðë ä × dDcwf' ¸ 'aä × ��Y�a��qdDc£�>nocw�>ti�wfwa|^I�-dD^Ë�w�Ã��¹ìë ä × ¼ ' ä × ÃѸí»o­v!�w�w�¥noh`a��>nocBgoaj[`hIa>t_l�^b�-dD^��w�Ã�¹ìë ä × ¼ ' ä × Ãḣ»o­9ñ l¦^I�waU&�w�jt_]ifwajd�cËd�t_�ono[I]8^b�w�:�Ð^b�wa>[Ia�aÏÆ!]ih`^<]icB^ba>�oaj[`h¶òÉd�cwf0ó�hI�w���^b�-dM^

»4¸³ò ë× �ßó ' ×d�cwf�h`n × ¸ôò=ë��Ñó ' ­ m ���wh�fw]8g!]_hIno[`h�n��gë�d�cwf ' d�tih`nfw]_g5]_fwa × d�cwfÍ^b�wa>[Ia>��n�[Ia × ]ihÙ]ic$fwaja>f�^b�$a �w]_�o�wa>h`^²�jno�È��n�c�~d��>^Ino[�n��ªë�d�c$f ' ­

õ �-�ÐÝ$�Ð{~�~¨ÅA aÃ^ ' kVa�d¦c-dD^I�w[bdDt�c��w�0k¥aj[Èd�cwf�t_a>^ïöö¸¹z»q¼NÓI¼�Á)Á)ÁN¼ ' Ã�­+÷�a%È-cwaö Ü ¸à¹ìëõÆ�ö�áB�w�Ã�¹ìëq¼ ' Ãe¸ × Ã���)ø*�gb ÛÙ�!�Ã��{~�~¨��~¨����Ù�È}Ç��Ýb¨²{8¨]P:�y�<����{~�4¨Ù�y�qÝ$��{���¨ç¬� ×Jù Ï ' �D^b�$ajcïö Ü ¸Åúw­ m �wa>[IaÃ��no[Ia�Y a�d�[`a n�cwt_lÍ]icB^Iaj[Ia>h`^Iajf]icT^I�waÉhIa>^Ih�ö Ü ��no[�fw]8g!]_hIno[`h × n�� ' ­X3dBxD²-no[�X�]Zx ' ¸ Ù0d�cwf�X�]i]�x ' ¸ »5Ó!�5Y\[`]_^Ia+fwnÐY\c|^b�wauhIaÃ^bhö Ü ��no[\dDtit × fw]_g5]_fw]icw� ' ­X~kyxq��kwhIa>[`goa¦^I�-dD^�^I�wa¦hIaÃ^bh´ö Ü ��no[I� dÇ�-dD[`^b]8^b]_nocRn��êö

X�^I�-dD^�]_h ^InÕhbdqlo��dÕfw]_g5]_hI]in�c n��xö ]_c�^InÕ�-d�]_[`Y\]_hIaäfw]ihZÎ`no]icB^�h`�wkwh`a>^bhbx

X~�qxFç'cLajd����:�qd�h`a��y�jno�È�-d�[`a�ÏÝö Ü ÏBY\]8^b�x� â ' × ã ­

Ù

Page 11: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� ���)øq�X3dBx~X~]�x�²-no[ ' ¸ ÙI¼�öD¶{¸ ¹z»q¼BÔ\¼BÖI¼NؾÃz¼Ðö ½ ¸º¹�ÓI¼B×IÃz¼ªö À ¸¹�Õ\Ãz¼®ö ü ¸à¹�ÙIÃ�­

X~]_]Zx ²-no[ ' ¸ »�Ó!�ûöD¶]¸º¹z»q¼NÖ¾¼NØI¼)»q»�Ão�ûö ½ ¸à¹�Ó¾¼)»5ÛIÃB�ö ¿ ¸ ¹�Ô\¼BÚIÃo�@ö À ¸à¹�Õy¼BÙIÃo�@ö ù ¸º¹�×IÃ��6öD¶ ½ ¸à¹z»5Ó¾ÃX~kyx�ñ l¦]_cwhI�¥aj�Ã^b]in�cF��aqd���� ajt_aj�ÈajcB^Én��üöϸþ¹z»q¼NÓI¼)Á�Á)Á¼ ' Ã

ti]_ajh+]_c¦nocwa�d�c$f�n�cwt_lLnocwaËn��¾^b�$aËhIa>^IhLö Ü ��no[ ' ¸öÙd�fò»�Ó!­

X~�qxIX~]�x ÏÝöD¶áÏI¸ºÕ<¸ð�ÅX8ÙBx%¼jÏÝö ½ ÏI¸ Ó ¸ý�ÅX|Õ�x%¼ïÏÝö À ÏI¸û»s¸�ÅX�Óox%¼YÏþö ü Ï�¸à»4¸Ñ�ÅX@»�xX~]_]ZxÿÏþöD¶áÏ{¸�Õ�¸ �²X*»�Ó�x%¼�ÏÝö ½ Ïv¸ Ó�¸f�ÅX8×Bx%¼�Ïþö ¿ Ï{¸Óö¸ �²X8Õ�xN¼½ÏÝö À Ïê¸ Óö¸ �ÅX�Ôox%¼½ÏÝö ù Ï ¸ »à¸�ÅX�Óox%¼YÏþöD¶ ½ Ï�¸à»4¸Ñ�ÅX@»�xím ���whu]_c�aqd����:�qd�h`a´Ïþö Ü Ï�¸h�ÅX 'aä × xÏ­

��� � ��� �5}�}ÇÝ ± ãÃåt' ÆèäÌ� è�! % ãÃå ö Ü !5ãÃèçMå)ã¯åED-ã º ãÃåö Ü ¸ ¹ìë�áb»�ÄÅëLÄ ' ¼I�w�>�%¹ìëq¼ ' Ã2¸ × ÃX3dBx åED-ã º ãÃå º ö Ü � º $ äTD å�D � å × Ï ' � �:�#� å3æZå~æ çMè å�D-ã º ãÃå

¹z»q¼NÓI¼�Á)Á)ÁN¼ ' à µX~kyx¶ÏÝö Ü Ï�¸h�Îâ ' × ã µ¿ ���F�y�X3dBxtU�d����|ajt_aj�ÈajcB^®ësƪ¹z»�¼)Á)Á)Á%¼ ' ÃÍ�-dDh�d��wcw])R��wa¯�w]i���wajh¡^

�jno�È�Ènoc��~d��>^Ino[ËY\]_^b� ' d�cwf£^b�wa>[Ia>��n�[Ia:kVa>tinocw��h�^InnocwaÍd�cwf:nocwt8lTnoc$a�n���^b�$aÍh`a>^Ih�ö Ü ­ m �w]ih\]ih��$[Iaj�>]ih`ajt_lY\�-dD^¾Y�a(�Èaqd�cÈkBl�hIdql!]_cw��^I�-dD^�^b�$auh`�wkwhIaÃ^bhüö Ü ��no[I�dË�-d�[`^I]_^I]inocTnD�F¹z»q¼�Á)Á)Á�¼ ' Ã�­

X~kyx�ñ l§f$aÈ-cw]8^b]_noc ëáƽö Ü ]_� d�cwf�noc$t_lL]_�¾�w�>�%¹ìëq¼ ' Ã<¸ ×]_�<d�cwf¦nocwt8l�]_�&�$�>�%¹ìë ä × ¼ 'aä × Ãs¸û»�k�l�X*»�­`ÙBxÏ­ m �$aj[IaϤ��no[Ia¯^I�wa�c��w��kVa>[un��<ajtia>��a>cB^bh(]icÎö Ü ]ih\aR��-dDt�^InÈ^I�wac��w�0k¥aj[&n��¥ajt_aj�ÈajcB^bh ëÍX'¸Ñë ä × xÙY\�w]i���Èd�[`a�[IajtidD^b]8goa>t_l�w[I]_��a�^In ' ä × d�c$fL^b�$]ih\]ih\aR��-dDt�^In��²X 'aä × x�kBl�fwa%È$¤cw]_^I]inoc�n��Å^I�wadU��$tiaj[��$�w]8¤ ���wcw�>^I]inoc­

Ú

Page 12: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

×ÍdD�whIhFY�d�hÙ^b�wavÈ-[`h`^Ù^bn\fw]_hI�>n�g�aj[²d�cwfÉ�w[`n�g�a¾^I�wa<��not_tinÐY\]icw�]icB^ba>[Ia>h`^b]_cw���w[In��Va>[`^'l|n���^b�$aLU&�wt_aj[\�w�w] ¤¬���wc$�>^b]_nocF­

��� �:� ¿ ���~°&�¥�q{Z��{��~¨�� ¼û' ÆæäV� è�! × ¶%¼ × ½ ¼�Á)Á)Á�¼ ×�Ø �#� ãåED-ãd!�æ º å3æZèäÃå�!�æ��Ðæ º ç �Áº ç�¼ü' � å�D-ãÃè' ¸ �ÅX × ¶`xa�ß�ÅX × ½ xa�Åàáàáàá�ß�ÅX ×�Ø x¸ Û Ü�Þ � �²X × x

��� &(q� ­4¯FÝ-}ª°+±~�Ú�¸ » �®Ó��ì×s¸Ñ�²X*»�xa�ß�ÅX8ÔBx �½�²X�ÚBx]¸³å Ü2Þ

 �²X × xí¿ ���F�y���y� ���iz:�&v!]icw�>a¾^I�wa¾hIa>^Ih¶ö Ü Y\�$aj[Ia × Ï ' �-d�[¡^b]_^I]inoc^b�waÉh`a>^ûöª¸à¹z»�¼)Á)Á)Á%¼ ' Ã��wY aÉ�-dqgoa' ¸ ÏÝö Ü � Ïn�Åàáàáà � Ïþö Ü � Ï X@»o­ �5x

¸ Û Ü�Þ � Ïþö Ü Ï¸ Û Ü�Þ � � â ' × ã

kBl X*»o­�»5ÛBx>X~kyxÏ­¾suh × [I�wc$h(^I�w[Ino�$�o�:^I�waÉfw]_g5]_hIno[`h(nD� ' �-hInfwn5ajh ' × X�hIa>a0X@»o­7Ø�xjX~k-xIxÃ�5d�c$f�^b�$aj[IaÃ��no[Ia\Y au�jd�c�[`aqd�[`[bd�cw��a^b�waÉh`�w� d�h���not_tinÐY\hÛþÜ�Þ � � â ' × ã ¸ ÛÝÜ�Þ � �ÅX × x X@»o­ �-x

U¶R5�wdD^b]_nocwh�X*»o­ ��x�d�c$fQX@»o­ �-xu^bno�oaÃ^b�wa>[¯l!]_ajt_f�^I�wa�fwajh`]i[`ajf�jnoc$�jti�$hI]in�c:nD�<Ê&[In��Vnoh`]_^I]inocÑ»o­�»q» ÔX3¨(n�^baDá�Ø a§Y\]it_tu�o]8goa¦dDcwn�^b�$aj[T�w[`n!nD�Én��É^b�wa§[`ajh`�wt_^|]_cØÇn�[Ir�kVn5norôÔBx

m �waTcwaÏÆ5^�[Iajh`�wt_^j�ÅY\�wa>c£aÏÆ!�w[Ia>hIhIa>fR]_cÇ^b�wa�t�d�cw���-d��oaÈn���jnoc$�o[I�wa>cw�ja>hj�¾]ih0f$�waT^bn A d��o[Id�cw�oaD­¬ç¬^�]_h0hI]_���$t_l d§[IaϤh`^bdD^ba>��a>c�^j�+��no[µ´M��n��Í^b�wa�Y ajtit ¤'r�cwnÐY\c [Iajh`�wt_^�^I�-dD^Ld�Vn�t_l5cwno�È]�d�t¥n��²fwaj��[Iaja ' �-d�h(dD^\�Ènoh¡^ ' f$]ih`^I]icw�Ã^\[In5n�^bh>­

��� &?q� N��Ù�5�y���5} ± ãÃå�� ² ã �d��� æ���ã � è�! % ãÃå XEÓVx]¸ÅÓ Ü �ßò\¶�Ó Ü � ¶ � Á)Á)Á¥�Èò Ü � ¶�Óc�ßò ܲ ã �j� ç %�� èçQ�Ëæ � % ¸ ç�¼j!5ãeB � ã�ã × »�� æZåED�æZå º ä�çÐã�� äÃæ ãÃè-å ºLò âæZè ´ µï· D-ãÃè X ò!x]¸åÛ ¼qç ��� å���ç º å × !�æ º å~æZèäÃå¶� � %¨$ ã º ç�¼ò æZè ´ µ»5Û

Page 13: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

�,��t*1N_`_�.���1B. 1���>@=�A�£8O X ? X J*AB=��Ñ-7�1sM�ABMì£���>@=�A4��_a��n��*0�. 1 -`0 ��"%n����8�*. ,-a.�� nL^�_a.�-`o�_`-`t�1B.'-a"0 5 gh"%$Ñ ,��-7t}�.����*$'� -7��1é����t*"%0�3ï0�"%05���*��$�" ��_a�*�n��*0�.��+�8^�t}��.���1B.����a� - [ +-a6)-735-a0�i].����+o�"_a:)0�"n�-`1%_ 1"!# �á� 5-`0.'"Q.����]o�"%_`:)0�"%n�-71N_%$ 1"!65 i%-`6%���$ 1"!65 � 1&!'# �á� 5 $Á� 1"!65 ~)( � ,����$��)$ � 1"!65 -7��1ôo�"_a:)0�"n�-`1%_{"Ng35��i%$'�*�'* # �41N0�3+( © Z-,U[ê�)^�(���8.�-a.�^5.'-a0�i ! �.� � i-a6���/( �0$ 1 � � 5 [����-7��-7��.����FrD> ¤ E X M�O>@=e;#¢�>}AB=�> ¤ [�§0µo�1%$8.'-`t*^�_71N$�p#-ag1� � -7�41Ý$�")"%.9"Ng$ 1"!65 p�.�����02(�� - [

¿ ���F�y� v!]_cw�ja � ]_h�dË�w[I]_��aD�\´��wd�h�cwnêÞja>[In�fw]_g5]_hIno[`h�ß$]_cn�^b�$aj[¯Y�n�[Ifwh>�Å]_��òb¼Tó<Æ®´0Y\]_^I�¾ò ù¸ëÛ$�²d�cwf�]_��ò�óݸëÛ$�^b�wa>cOóé¸ Û$­ A a>^jò\¶�kVa:d�c£ajt_aj�ÈajcB^�n���´|hI�w���£^b�-dM^ X ò\¶`x{¸åÛ$­�ñ l�^b�wa Ì aj��d�]icwf$aj[ m �wa>no[Ia>�L� XEÓVx{¸ÑX�Ó � ò\¶`x ¶jXEÓVx��no[�h`no��a èçMè�"43Mã � ç �Vn�t_l5cwno�È]�d�t ¶ÃXEÓVx�n�� fwaj�o[`aja × � »o­¨unÐY hI�w�$�Vnoh`aË^b�-dD^�ò ½ X ù¸ðò\¶Ixu]ih�d�cwn�^I�waj[�[`n!nD^�n�� XEÓVxÏ­m �wajc Ûì¸ X ò ½ x ¸ X ò ½ � ò\¶Ix ¶jXiò ½ x�d�cwfRh`]icw�>a�X ò ½ �ò\¶`x ù¸ Û$�&]8^���n�titinÐY\hÍ^b�-dD^ ¶>X ò ½ xݸ£Û$­�pua>cw�ja ¶jXEÓVxݸXEÓ � ò ½ x ½ XEÓVxÉd�hÍkVaÃ��no[IaD­ ® nocB^b]ic��w]_cw�:]ic�^b�w]_hÍY�dqlo�ÅY anok$^bd�]ic�dË�¥not_l5cwno�È]�dDt 65 XEÓVx�hI�w���:^b�-dM^ X�ÓVx{¸ XEÓ � ò\¶`xjX�Ó � ò ½ x#Á)Á)ÁqXEÓ � ò 5 x 75 X�ÓVx]_� ò\¶%¼Tò ½ ¼)Á)Á�ÁÁò 5 dD[Ia !�æ º å3æZèäÃå [In5n�^bhÉn�� XEÓVxí ® n����-dD[I]ic$�fwaj��[Iaja>hj�-Y aÍ��a>^× ¸Òfwa>�o[Ia>a�X XEÓVx`x]¸98 �£fwa>�o[Ia>a�X 65 XEÓVxIxNßhI]_cw�jaÉfwa>�o[Ia>a�X 65 XEÓVx;:ÏÛ$�w]_c:�wd�[`^I]i�j�$t�d�[>�<8�Ä × ­ Ô��� �` � b ÛÙ�!�Ã��{~�~¨�� �~¨ Py�¾¨�����Ý$�Ð�y�M� �¬�y� M�ß]M�±~{ MPy�M�¥Û�°Å�X3dBx A a>^�=º¸à¹5³~¼�³ ½ ¼�³ ¿ ¼�³ À ¼�³ ó ¼�³ ù ¸ »�Ã�k¥a�d\�>l5�jt_]i�¾�o[In��w�

n��&no[`fwaj[4×$�¥�oajcwa>[bdD^Iajf§kBlé³¥­\Ø �$]i���§a>tiaj�ÈajcB^Ih+n��>=d�[Ia�dDtihIn��oa>cwaj[IdD^bn�[Ih�n��2= X~]ic�n�^I�waj[ËY no[If$hj� Y\�$]i���ajt_aj�ÈajcB^bh�n��=Ñ�-dqgoaÍno[`fwaj[9×Bx�S

X~kyx A a>^\X|´ ü ¼��Éx�k¥a�^b�wa�d�fwfw]8^b]8goa���[Ino�w��n��y]icB^ba>�oaj[`h<�Èn!f!¤�wtinêÙ!­<Ø �w]i���:ajt_aj�ÈajcB^bh�X~]8�<dDc�l$x�d�[`a¯�oajcwa>[bdD^Ino[IhÁS

X~�qx�°ed�rDa d��>nocMÎ`aj�Ã^b�w[`a�dDkVno�!^�^b�wa�c��w�0k¥aj[�n��!�oa>cwaj[IdD^bno[`h]ic�d��>l5�jt_]i�¯�o[`no�w��n��²no[If$aj[ ' ­

»q»

Page 14: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� ��� @`a�X3dBx²v!]ic$�jaÈX|³ ½ x ¿ ¸à»o�$^b�$aÍa>tia>��a>c�^�³ ½ �-d�h\no[`fwaj[9Ô$­ v!]_��¤

]itid�[It8lá³ À �-d�h�n�[Ifwa>[2Ô$�¥Y\�w]it_as³ ¿ �-d�h+no[Ifwa>[õÓ!­¯p(nÐY�¤a>g�aj[j�¥]_�@? ¸ ³Ió>�-Y�a��oa>^A? ½ ¸ ³ ¶8ý ¸ ³ À ¼B? ¿ ¸å³ ¶ ó�¸³ ¿ ¼�? À ¸ÿ³ ½ ý ¸ÿ³ ½ ¼�? ó ¸Ç³ ½ ó ¸ÿ³�¼�? ù ¸Ç³ ¿ ý ¸¡»o­pua>cw�jaõ³¾ó(]_h\d�cwn�^I�waj[\�oa>cwaj[IdD^bn�[�n��=�­

X~kyx A a>^<´ ü ¸ ¹�Û\¼�»q¼NÓI¼)Á�Á)Á¼Bؾæd�c$fQ]_��ò ÆÇ´ ü ���wh`a ' ò^bn fwajcwnD^ba�òï� òj� àáàáà:� ò-��^I�waeh`�w� nD� ' �>no�w]ia>hn�� ò-­:X3¨unD^baË^b�-dM^ ' òe]_h�^b�wa�d�f$fw]_^I]_goaËanR��w]_gDd�t_ajcB^Én��^b�wa:�0�wt8^b]_�wti]_�qdD^I]_goa�cwn�^�dM^b]in�cæ³ � �wh`ajfQ]_c��-dD[`^§X3dBx`xU<g!]_fwajcB^It_lï´ ü ¸ë¹ ' ÁY»�áD»jÄ ' ÄÿÙ¾Ã���d�cwf�hInò»Ë]_h¯d�oajc$aj[bdM^bno[>­&v!]_cw�ja�ÕyÁ`Ó�¸ÏÕyÁa×u¸ÏÛ\¼FÓIÁ/Õu¸åÛ¯d�cwfé»qÁ`Û�¸Û$�D^I�wa�a>tiaj�ÈajcB^Ih]Û\¼NÓI¼�Õ�d�cwfêÙu�-dqgoa�no[`fwaj[`h<fw]_g5]_fw]icw��Õd�cwfed�[Ia�cwn�^���ajcwa>[bdD^Ino[Ih>­+p(n�Y a>g�aj[>�]»qÁ`Ôê¸àÔ\¼eÓ¾Á`Ôê¸×\¼�Ô\ÁaÔµ¸¡»q¼õÕyÁaÔé¸øÕ\¼uÖ¾Á`Ôµ¸ëØI¼�×\Á`Ôµ¸ûÓI¼sØIÁaÔµ¸�Ö!�d�cwf�Ù\ÁaÔ�¸ Û$­�p(ajcw�>aèÔ¦]ih�d¦�oa>cwaj[IdD^bn�[Ën��ËX|´ ü ¼��Éxd�cwf�hI]_��]_t�d�[`t_l<ÖËd�cwfèØËd�[IaÍd�t_hIn��oa>cwaj[IdD^bno[`hj­

X~�qx�v!aja A aj�È��dá»o­Y»5ÖËk¥ajt_nÐYÉ­

m �wa�cwaÃÆ5^Í[Ia>hI�wt8^É]ihÉdT�o[`no�w�!¤ ^b�wa>no[IaÃ^b]_�qd�tÅg�aj[`hI]in�c n���^I�wa��[I]_hIk¥aja0R��wajh¡^b]in�cÇd�c$h`Y aj[Ia>f�]ic v!a>�>^b]_nocªÓ�n�� ØÇn�[Ir�kVn5nor»o­

��� &yq�;� �5}�} Ýr± ãÃå ³´² ã � B5ãÃèã ��� å)ç � ç�¼ � ä � ä % æ ä�B � ç $ �= ç�¼�ç � !5ã � 'ªµï· D-ãÃè ³DC æ ºû� B5ãÃèã ��� å'ç � ç�¼ = æ ¼ � è�!�çMè %��æ ¼ �w�Ã�¹Qòb¼ ' Ãõ¸à» � è �:�#� å~æ ä $&% �#� � = D �Qº �ÅX ' x B5ãÃèã ��� å)ç �Áº µ¿ ���F�y� ç¬� �w�>�%¹Qòb¼ ' Ã<¸ × îë»��F^b�wa>cRX§³

Üx ��E Ü ¸ÿ³ � ¸þ»o�

d�cwfÈhInÍ^b�wa(no[If$aj[¾n��#³Ü

]_h¾t_ajh`h¾^I�-d�c ' �5Y\�$ajcw�>a�³Ü

]ih�cwnD^d��oa>cwaj[IdD^bno[>­ ® nocBgoa>[IhIa>t_l���hI�w�w�¥noh`a�^I�-dD^+�w�>�%¹Qòb¼ ' Ãݸë»d�cwf|t_a>^�ÛcÄ óûÄ ' � »o­�ñ¾l m �wa>no[Ia>� Ó!­aÚ0n��ÙØÇn�[Ir�kVn5nor»o�Ù^b�wa>[IaÈaÃÆ!]ih¡^bh0dDc Ó�h`�w����^b�-dM^êò6Ó�¸Ìó �GF ' �<dDcwf Y a�oa>^ X|³ C x Ò ¸ ³DH � Ø � ¸Å³DH'³ Ø � ¸Ï³DHbX|³ � x Ø ¸ ³DHpua>cw�ja�d�^'l5�w]i�jd�tÙajtia>��a>cB^�³ H nD�>=��jd�c§k¥a�aÏÆ!�w[Ia>hIhIa>f�d�hdË�VnÐY aj[\n��!³ C �yd�c$f:^I�waj[`a>��no[`aõ³ C ]ih\d��oajcwa>[bdD^Ino[�n��I=È­ ÔØÇa¯c$n�YÒ�-dqgoaÍd�t_tV^I�wa¯��dD���w]icwa>[`l�]ic|�wtid��ja�^InË�w[InÐgoa¯^I�wa��dD]ic|[Ia>hI�wt8^+]_c|^b�w]_huh`aj�>^I]inoc­Qç'cL^I�waÍt�d�cw���-d��oa¯n��Å�o[In��w�^b�wa>no[`l��w]_^�h`^�dM^bajh�^I�-dD^�Y\�wa>c � ]_h�dË�w[I]_��aD�!^I�wa¯�o[In��w�|n���wcw]8^bh�·�ݸà¹z»�¼NÓI¼)Á)Á�Á¼ � � »�Ã�n��+´¯]_h��>l5�jt_]i��­

»�Ó

Page 15: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

��� &°q� ­¯Û+±����KJ � Ý�Py��Ýb¨tPy�LJ � ��Py�¾¨²ÞÙ���ON������y���!} � ¼M�æ ºg�ü��� æ���ã � å�D-ã � ã�ãONoæ º å �ÅX � � »�xÐ��� æ��ËæZå3æ���ã � çÐçMå º ��ç! $=% ç�tµ¿ ���F�y��A a>^QP<X × xÈf$ajcwn�^Ia§^b�wa¦c��w��kVa>[Tn��Íajt_aj�ÈajcB^bhT]_c·�£nD��n�[Ifwa>[ × ­Ñv5]icw�>a§^b�wa§n�[Ifwa>[|n��Éaqd���� a>tiaj�ÈajcB^|]_c·�¬¸�¹z»�¼NÓI¼)Á)Á�Á¼ � � »�Ã|]ih�dec-dD^I�w[bdDt¾c��w��kVa>[0fw]_g5]_fw]icw�� � »o�-]_^���notit_n�Y\h�^I�-dD^� � »2¸ ÛÜ�Þ � ¶ P<X × x X*»o­ ]Zxç¬^�^b�wa>[IaÃ��no[Ia¯��not_tinÐY\h���[Ino��Ê&[Ino�¥nohI]8^b]_nocÑ»o­�»q»¯^b�-dD^ÛÜ�Þ � ¶ P<X × x]¸ ÛÜ�Þ � ¶ �ÅX × x X@»o­ ÎbxØÇa¯Y\]_titc$n�Y©hI�wnÐYÕ^I�-dD^P<X × x]¸h�²X × x X*»o­ r!x��no[�aqdD���Lfw]8g5]ihIn�[ × n�� � � »o­® d�hIaè»oá+P<X × x0î�Û$­ A a>^cò¦k¥a|d�c�a>tia>��a>c�^�n��\no[`fwaj[ × ­m �wajc[ò���ajcwa>[bdD^IajhËde�Ãl5�jti]_��h`�wkw�o[`no�w�®¹Qòb¼Tò ½ ¼)Á�Á)Á�¼Tò Ü ¸»�ÃÍn��D·

Üd�cwfF�w]_c��-d�[`^I]i�>�wt�d�[>�5^I�wajh`a × fw]ih¡^b]_cw�>^�a>tia>��a>c�^Ih

d�[Ia�[In5n�^Ihen��0^I�waÇanR��-dD^b]_nocÑÓ Ü � »å¸ Û$­ ñ l m �wa>nD¤[Ia>� »o­Y»)Ô$��^b�$ajhIaed�[Ia�^b�$aenocwt8l�[In5n�^bh�n��+^b�w]_h�anR5�wdD^b]_nocd�cwf�hIn|^I�waËajt_aj�ÈajcB^bhÉn��¾no[`fwaj[ × ]icï·�edD[Ia�d��Ènocw�T^I�waajt_aj�ÈajcB^bh�¹Qòb¼Tò ½ ¼)Á�Á)Á�¼Tò Ü Ã�­Ðñ l A aj�È��ds»o­Y»5Ö+nocwt_lY�ÅX × x²n��^b�wa>hIa��-dqgoa�no[`fwaj[ × �Ùd�c$f�h`n.PÅX × x�¸ �²X × x+]ic§^I�w]ih¯�jd�hIaD�d�h�[IanR��w]i[`ajfF­® d�hIa4Ó!áP<X × x]¸ Û$­&v!]icw�>a��²X × xR: »o�BY a+hIa>a(^I�-dD^;P<X × xRS�ÅX × xÏ­�ñ��$^Ë^I�w]ih�]ih0]_���¥noh`hI]ik$tia��o]_g�ajc�anR5�wdD^b]_nocÅ»o­ ÎËdDcwf^b�waÉ[`ajhI�$t_^\]ic ® d�h`a<»�­m ���wh�Y a¾�qd�cÉ�jn�cw�jt_�wfwa�^b�-dD^�PÅX × x]¸h�ÅX × x¥��no[�d�titDfw]_g5]_hIno[`h× n�� � � »o­Dç'c��wd�[`^I]i�j�$t�d�[>�TP<X � � »�x{¸³�ÅX � � »ÐxÙdDh��jt�dD]i�ÈajfF­ÔN�Ýw��{8¨tPÇ{����¬Û��Ð���Ù���

X3dBx�ØÇa|hIdÐYª]icVU��wa>h`^I]inocÅ»o­/Õ¦^b�-dM^0^b�wa>[Ia|]_hËcwn¦�w[I]_��]8^b]8goa�[`n!nD^0�Èn!fw�$tin�»�Ó5­�ç'c��~d��Ã^q��]_^�]ihaqd�h¡l�^In����waj��r£^b�-dM^�^b�$]ih�]_h�^I�wa§hIa>�jnoc$f hI��d�tit_ajh`^ÈgDd�ti�$aLn�� ' ��no[ÈY\�$]i��� cwn��$[I]i�È]_^I]_g�a[In5n�^bh�aÏÆ!]ih`^j­Ýç'c �$]ihXW æ ºZY $ æ º æZå3æ çMèã º\[û� æZåED=��ãÃå~æ ä � ã ��×ÍdD�whIhÉ�BdqgoaÈd|�jn����wt_a>^Ia0fwajh`�j[`]i�$^I]inocn��²Y\�$]i����g�dDti�wa>h�n�� ' �-dqg�a��w[`]i�È]_^I]_goau[In5n�^bh>­�puaÉ�w[`n�g�ajf:^b�wa¯��not_tinÐY\]icw�\ßN��Ù�5�y���5} �� �Õ m �waj[`aÍ]_h�d0�w[`]i�È]_^I]_goa([In5n�^���n5fw�wt_n ' ]8��d�cwf|nocwt8l�]8� ' ]ih�Ó�no[�ÕËno[��-d�h^b�wa¯��no[`� � Ê �wno[�Ó � Ê ��no[�h`no�Èa ' Æèä�d�cwf�hIno�ÈaÉn!f$f:�$[I]i�Èa � ­XiU<g5]ifwa>c�^It_l�^I�wa:c5�$�0kVa>[Ihµ»q¼NÓ¾¼)Á)Á)Á¼Nئd�cwfìÚ\¼)»5Û\¼�»q»��-dqgoa�^b�w]_h���n�[I� Y\�w]_tiaµÙ�¸�Ó ¿ d�cwf»�Óõ¸ Ó ½�÷ Ô�fwn�cwn�^q­ x

X~kyx~²yn�[Å��d�cBl0�w[`]i�Èajhj��Ó¯]_h&d��w[`]i�È]_^b]8goa [In5n�^(X���n�[Å^b�wa��$[I]i�ÈajhvÔ\¼NÖI¼)»�»q¼)»5Ô\¼BÓ�Ú\¼BÔ�ؾ¼NÖ�Ô\¼NÖ�Ú\¼B×\»q¼�×�Ød�cwf:hIn�n�cF­Âxôç¬^u]ih(�jn�cMÎ`aj�Ã^b�w[`ajfe^I�-dD^q�ykw�!^+cwnD^ur�cwnÐY\c§Y\�waÃ^b�wa>[eÓË]ihudÈ�$[I]i�È]_^I]_g�a¯[In5n�^���no[]ic\È-c$]_^ba>t_l���dDc�l��w[I]_��a>hj­

»5Ô

Page 16: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

X~�ÐxF²yn�[�d0�o]8goajc ' �wtiaÃ^M] X ' x fwajc$n�^ba�^I�wa¯hI��d�tit_ajh¡^ÉX~�¥noh`]_^b]8goaqx¾�w[`]i�È]_^b]8goa([In5n�^��Èn!f$�wtin ' ­I^¾no���]_�o�B^�t_]ir�a:^bn�Y no[Ir�no�$^_]�X�Ó�ÔBxÏ­ ²-no[��w[I]_��a>h � Ä »5Ù\»§]8^T]_hTr�cwnÐY\c ^I�-dD^`] X � x Ä Ø!­punÐY�aÃgoa>[�] X*»)Ú\»�x9¸�»5Ú|d�cwf�]_^�]ih�r�cwnÐY\c�^b�-dD^+��no[Éd�cBl�a Æ�ä��&^b�wa>[Ia�aÃÆ!]_h`^bhÉd|�w[`]i�Èa �Y\]_^b�Q] X � x�îba ­

X~fyxfç'c§�jnoc$�jti�$hI]in�cF�¥l�no�§�È]i�o�B^uti]_r�aÉ^bn�^I[`l:^b�waÍ��notit_nÐY\]icw��aÃÆ!a>[I�j]_hIaDá A a>^ � k¥aËd�cLn!fwfe�w[I]_��aD�d�cwf�tiaÃ^®ò�kVaÍd�c�]_c�^Iaj�oa>[\hbdD^I]ih`�Zl5]_cw�X3dBx{»dÄ òjÄ � � »��-d�cwfX~kyx�ò ð ó ½ X~�Èn!f � x ��n�[�hIno�Èadó4Æï´�­v!�wnÐY�^I�-dD^�òÉ]ihÅcwn�^¾d��w[`]i�È]_^b]8goa¾[In5n�^<�Èn5fw�wtin � ­Åsu[`^b]_cË�-d�h<�>nocMÎ`a>�>^b�$[Iajf�^b�wdD^�d�t_t$]icB^Iaj�oa>[Ihd��-d�[¡^���[Ino�dcê»�d�cwf��¥aj[`��a>�>^uhCR��-d�[`ajhud�[Ia¯�$[I]i�È]_^I]_g�a�[In5n�^bh���n�[�]ic\È-c$]_^ba>t_l���dDc�lT�w[I]_��a>hj­

egfBhihkj ½mlºµon e'p ´¹-¸)µ�¶ qr /<40P�sVC ?Ç2%t�E4ÐAD7 J svu�2xw�252$?Vy&C34�2!@�AM2<y�A�Emz{sV4Ty&7A|&4ME}uÅC ?~LA J 2�2%�<C 7qAM2$?&@�2TE��R|&4MC P£;C~ADC�u�2§4ME²E¥A�7�C ?�s�|&4MC PR2¦PRE�y&/&13/&7<�Í.0?©4MEF/ÅAM2.z�2�1 E�E��F2<y�s¥A{�¾?&C�AM2�1 E�~�A�s�w�132!7_�¡E4A J 2Q/&?&C�A�7�� ; E��_� ; s?@y J C4~ J 1 C4~ J AM2<y A J 2��Os@BA A J s¥A�A J 2�A7zTE�~F4MEF/|�7 G � ;1�/� Ns?@y G � 8&14;=5 �L� N�sV4�2©C 7�EFPQE4�| J C3@�z J 2$?�s�|&4MC PQC�A�C�u�2 4ME²E¥A�2��<C 7qAD7<�d�«2�7 J Emz�2<yA J s¥A��� *L� ; 9 GO� NX������ |�EF14�Å?&EFPQC�s1 7.z:C~A J @!EÙ2D Q@!C~2$?�AD7�C ?¡�£¢Õ@vs? J smuF2 ?&EÑPQE4�2�y&C37qA�C3?&@�A�4DE�EVAD7

A J s? A J 2!C34_y<2<~4M252��osV?@y� s�@%�Å@51 C @.~4DE/|ÕE��¯EV4¤y<254{� J sV7:9 G �+Nxy&C 7qADC ?&@BA{~F2!?<254�syA�EV4D7D��«2LA J 2!?�|�/ÅAÈA J 2!7Ð20�Os@BA�70ADE�~F2�A J 2!4�A�E¥|&4DEmu�2�¦ J 2!E4�2$P §��¨§D©��7�EFP�25ADC P�2$7�@vs13132<yA J 2«ª_A J 2!E4�2$P E���A J 2�|&4MC PRC~ADC4u�2:4ME²E¥Aw6¬�

»)Õ

Page 17: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

­ ® ¢d¯°�± ¯!¢Ç���]�   ² ³µ´·¶ÜF�=M���{��~¨ON�Ý$�QPy�B���X3dBx m nËh`�wnÐY©^I�-dD^g�ÅX ' x �wd�h�^b�wa¯]_���¥no[`^bd�cB^��w[`no�¥aj[`^'l�n��

kVa>]icw�Ë���wt_^I]i�wt_]i�qdM^b]_g�a�­X~kyx m n fwa>[I]8goa£d hI]i�È�wt_aÇ��no[I���wt�dR��no[ �²X ' xL��[Ino� ^b�w]_h

�w[In��Va>[`^'lo­

¸5ùMûÏï`îDý�õ8ÿIùÐï`õ_îD÷�I"ô1%o�o�_`:á.����ugh"%$'nL^�_`1êgh"%$ 8:1<;=5 p:%"^Ï ,-`_a_ ��1U6%��.�"�¹�0�3 1%_a_ .'���o�$'-an��Lg�1%tK.'"%$}�D"%g ; [Lx+0e.����û���n�Zº��^�nL(��*$������*"%$':L�¼»�1Nn2p1v0)^�nF(���$"Ngbt*1%0�35-73�1B.'����t*"%^�_7320�"%.,g�1%tK.'"%$'-`���½6½ � -n- -`0.'"�o�$�-`n��]o�"B #�*$}��[

�Á( � ��cb Û��5�>��{��~¨Q�~¨ ¿ �M{~}Ç�xéÙÝ�M��Ð�y�D{~�jÝ$�Ð{~�~¨X3dBxD²yd��>^Ino[I]_hIa\^b�wa+��n�titinÐY\]_cw�Éc5�$�0kVa>[Ih�]_cB^bnËd��$[In5fw�w�>^�n��

fw]ih¡^b]_cw�>^��$[I]i�Èajh>á×�Õ\¼NØqÓI¼)»)×qÙ\¼NÓ�Õ\»5Ú

X~kyx~²yd��>^Ino[I]_hIa\^b�wa+��n�titinÐY\]_cw�Éc5�$�0kVa>[Ih�]_cB^bnËd��$[In5fw�w�>^�n��fw]ih¡^b]_cw�>^��$[I]i�Èa¯�¥n�Y aj[`hjá

Úq×\¼�»5×qÙ\¼NÓ�ÓqÖ�ÛqÛX~�qx¾Ø �w]i����n��²^b�wa¯��not_tinÐY\]ic$��c��w�0k¥aj[`h+d�[`a¯�w[I]_��aDá

»5×qÚ\¼�»�Ó�Ô\»q¼BÓ�ÙqÙqÚ\»

�,��t*1N_`_).���1B. ; -7�yo�$'-an��,-ag�1N0�3L"0�_a:-agQ-a.eg�1N-`_`�e.�"á(��ê3�-a6)-7�8-`(�_`�Ý(�:Ê1N_`_o�$'-an���� ¢ �'1B.'-`�8gh:)-a0�i ½�. ¢ .`¾ ; [

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� �Á( � :�ËX~dBx×�Õ ¸ Ó ÷ Ó ÷ Ó ÷ Ó ÷ Ó ÷ ÓØqÓ ¸ Ó ÷ Ó ÷ Ó ÷ Ô ÷ Ô»5×qÙ ¸ Ó ÷ Ó ÷ Ó ÷ Ô ÷ ØÓ�Õy»5Ú ¸ Õy» ÷ Ö�Ú

X~kyx]Úq×s¸ Ó�ó ÷ Ô\ß)»5×�Ùu¸åÓ ¿]÷ Ô ÷ ØIßNÓ�ÓqÖ�ÛqÛ�¸ Ó ½]÷ Ô ½]÷ Ö ÀX~�qx4»5×qÚ�¸ »5Ô ÷ »5ÔIß)»�Ó�Ô\»¯]_h��w[I]_��a�ßfÓ�ÙqÙ�Ú\»9¸ »5×�Ø ÷ »5Ø�Ô

¿ �M{~}Ç�5� U<goajcL^b�wno�$�o�:l�no�en�cwt_l|�wdÐg�a�^In����wa>��r��w[I]_��a>h�w�Õ^bnG¿ ' �Ílono� Y\]it_tÉ�-dqgoa�cwn�^I]i�ja>fÕ��[Ino� X~�qx:^b�wdD^¦]_^]ihÍ�-d�[`f�Y�no[`r�^In§���wa>��r Y\�waÃ^b�wa>[�de�o]_g�ajc�c��w��kVa>[ ' ]_h�w[I]_��aD­

ÀuðqûÃù�ö_ö8:1<;=5 -`�õ.����ô0)^�nL(��*$s"Ng�-`0�.��*i�*$}�Á �'1B.'-`�8gh:)-a0�i�� . Á .ÿ; 1%0�3��t@g¼Â Á � ;mà ���%[

ç¬^�Y�n��wtif:kVaÉcw]_�ja¯]8�¾Á k¥aj]ic$�È���wt_^I]i�wt_]i�qdM^b]_g�a�Ä5��ajd�cB^�^b�-dM^' ¸Åò=ó;Ä �ÅX ' x]¸h�²Xiò5xC�²XióÃxkw�$^\]8^\fwn!a>hIcFÄ ^KÅ ® �wa>��r|^b�w]_h�no�$^q­

»�Ö

Page 18: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

X�ùÐï`ï`ðjý�÷mÆw�$'"%nà.����õt�1%������ ,����$�� 8:1 �K� 5 $��*�1N_`_`: X J��ÈÇ�^�1N_�.�" 8:1 � 5i8&1 � 5 p)t*1%0F:"%^���*�]1Qo�1B.�.��*$'02�*n��*$'i%-`0�i >ɯõ8÷oï>ñ � ����t}&�.����£6U1%_a^��¡"Ng��t@g¼ÂÈ� � � Ã

�Á( �)(*�cb Û��5�>��{��~¨²���~¨ �ÅX ò�ó>xX3dBx�ØÇn�[Ir�n��$^û�ÅX'Ó�x%¼��²X8Õ�xN¼��ÅX8ÙBxí+ç'hû�²X'Óox��ÅX|Õ�xv¸h�²X�ÙBx�SX~kyx-ØÇn�[IrÍno�$^+�²X�ÔBxN¼��ÅX8×Bx%¼��²X*»�Ó�xí�Y\�w]i����n��y^I�wa���not_tinÐY\]icw�

X~]8�ÅdDc�l$x�]ih�anR��-d�t�^bnj�ÅX�Ó�Õ�xÏáX~]�x��ÅX�ÓoxC�²X*»�ÓoxÏ��X�]i]Zx��ÅX�ÔoxC�ÅX8ÙBxÃ�FX~]_]i]Zx �ÅX|Õ�xC�²X�×BxÏ­

X~�qxFç'c|^b�wa¯��not_tinÐY\]icw��^'Y�nÈ�qd�h`ajh\Y\[I]8^ba¯fwnÐY\cLd�tit¥^b�wa¯�~d��Ϥ^bno[`]ihIdD^b]_nocwhj� ' ¸ôò=ó�d�cwf�f$aj�j]_fwa�Y\�waÃ^b�wa>[ï�ÅX ò=óÃxݸ�ÅX ò!x��ÅX ó>xÏáX~]�x ' ¸ ÔqÛ$�ÙX�]i]�x ' ¸ ØqÓ

X~fyx-Ø �w]i���ªn��§l�no�w[��~dD�>^bn�[I]ihIdD^b]_nocwhìØqÓ�¸ ò�ó hIdD^b]_h`�Zl�w�>�%¹Qòb¼Tó)Ãõ¸º»¥S

z ¨²�Ã�0���M���Ð� �Á( �^(q�TX3dox��ÅX'Ó�x2¸¡»�¼Y�²X8Õ�x�¸�ÓI¼L�ÅX8ÙBx2¸Õy¼¾�ÅX'Ó�xC�ÅX|Õ�x ¸ Ó ù¸ �²X�ÙBx�X~k-x �²X�ÔBxϸ ÓI¼¾�ÅX�×oxå¸ÓI¼��²X*»�Óox ¸ Õw­ X~]�xj�²X'Óox��ÅX*»5Óoxµ¸íÕ ù¸ Ù ¸ �²X'Ó�ÕBxeX~]_]Zx�ÅX8ÔBxC�²X�ÙBxé¸ ÙŸ �ÅX'Ó�Õ�xeX�]i]i]�x0�ÅX8ÕBxC�ÅX8×Bxé¸ Õ ù¸ �²X'Ó�Õ�xX~�qxÊÔqÛ ¸ Ó ÷ »�Öà¸ Ô ÷ »5Û ¸ Ö ÷ ×�X~]�xx�²X�ÔqÛBxæ¸Ùµ¸ �²X'Óox ÷ �ÅX@»�Öox2¸ �ÅX8ÔBx ÷ �ÅX*»)ÛBx2¸ �²X'Öox ÷ �²X�×Bx�X~]_]ZxØqÓѸîÓ ÷ Ôq×ò¸£Ô ÷ Ó�Õ¬¸¡Õ ÷ »)Ùò¸ × ÷ »�ÓѸ Ù ÷ Ú�ÅX�ØqÓox ¸�Ó�Õæ¸ �ÅX�Ùox ÷ �ÅX8ÚBx�]ih0^I�wa�nocwt8l��~d��>^Ino[I]_hbdD^I]inocY\�w]i����Y no[Ir�hj­ÒX�fyxêØqÓª¸�Ù ÷ Ú�]ih0^I�wa�nocwt8l�Á �jno�$[I]i�Èa�Ä�~d��>^Ino[I]_hbdD^I]inoc­

»5×

Page 19: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

{ õY�«î�þµÊD �ù��Ëú$ö_ð�I"+����"B Ý-a0F1D��:)�8.���n�1B.�-7tf �1U:!.���1N.8:1�½2-n5 � 8:1 � 5i8:1 � 5�Á( �)?*� « �y���¥�5Þ®­�¯�Ý-}ª°+±~�X3dBx�ØÇ[`]_^Ia(n��$^ ^I�wa(c5�$�0kVa>[Ih�»q¼NÓI¼)Á�Á)Á¼BÓ�ÛÍ]_c�d�Õ ÷ ÖÍ[Ia>�>^¡¤

d�cw�o�$t�d�[�dD[I[bdql��-�jno�wcB^I]icw�Èd�t_nocw�0^b�$aÍ[`nÐY\hj­» Ó Ô Õ Ö× Ø Ù Ú »)Û»q» »�Ó »5Ô »)Õ »5Ö»5× »�Ø »5Ù »5Ú Ó�Û

Ë �$î�ö8ð�ûÃî�ö8ó\��÷$ÿoÌ�ù�÷$õ8ÿ�������,��_a��nQ��0�.'�f0�"N.~t@"o�$'-an��, ,-a.��ü�t@"0���-`�8.�"Ng]1s ,��"%_`�2t*"%_`^�n�0z[rou���1U6� 8:1 � 5 t@"_a^�n�0���_a�*gw.�[

X~kyx¥¨unÐY [Iaj�ÈnÐgoaÈd�t_t�^I�wa�ajcB^b[`]iajh�^I�-dD^Íd�[`a èçMå �>no�w[I]_��aY\]_^I�æÖ§d�cwf��wc$fwaj[`ti]ic$a�^b�$a|[Iaj��d�]_cw]icw�:ajcB^I[I]ia>h0^b�-dM^d�[Ia¯c$n�^(�jno�w[`]i�Èa+Y\]_^I�µÕw­

» Ó Ô Õ× Ø Ù Ú»q» »�Ó »5Ô »�Õ»5× »�Ø »5Ù »)Ú

À(ð)��ùMõ8÷$õ8÷\�ÍûÃî�ö8ó\��÷$ÿ ù�ýbð�;Í%Àl 1t}�Ft*"%_`^�n�0F_`�@gw.f-`0Q1%$�$}1U: 1 ( 5 -7�b1t@"n�o�_a�*.������@.{"%g#$'����-`3�^����vn�"535^�_`"��[

X~�qx Ì a>�wt�dD�ja�ajd�����ajcB^b[¡l|]ic�^I�w]ihQÕ ÷ �²X'Öox d�[I[IdÐlÈY\]_^I�|]_^Ih[Ia>��d�]_cwfwa>[�noc:fw]_g5]ih`]inoc|kBl Õ$á

» Ó Ô ÛÓ Ô Û »Ô Û » ÓÛ » Ó Ô

d�cwf �wcwfwa>[It_]icwa§^I�wa�ajcB^b[`]iajh�^b�wdD^:d�[Ia èçMå �>no�w[I]_��aY\]_^I�éÕ$­

Àuðqÿ¡ï�ûÃîDú!ý�õY��ð+ô�õ8ï�� ½2-�����Ý$'�*n�1N-`0�-`0�iá0)^�nL(��*$}�e1N$'�Ý1N_`_t@"o�$'-an��v ,-/.'� ½�- X~fyx Ì a>��nÐg�aÍ^I�wa��$cwfwaj[`ti]_cwajf:ajcB^b[`]ia>h(��[`no�ÔaqdD���§�jnot_�w�Èc

]icÈd�[`[bdql�X�kyx&d�cwfÈ�jtin�hIa\�w��^b�wa\�Bd��$hj­ m �wa>[Iaud�[Ia\cwnÐY�ÅX|Õ�x]¸ Ó¯tiaÃ�Z^ ]_c�ajd������>noti�$��cÈd�cwf�hInê�ÅX|Õ�x ÷ �²X'Öox]¸ÙËc5�$�0kVa>[Ih\[Ia>��dD]icF­

» Ø Ô Ú»�» »�Ø »5Ô »5Ú

X~aqx m �wa¦[Ia>��dD]icw]_cw� a>cB^b[I]_ajh�d�[`a§�jn��w[I]_��a:Y\]_^b�RkVn�^I�ÅÕd�cwfªÖLd�c$fÇ�wa>cw�ja��jno�w[`]i�ÈaËY\]_^b�¬Õ ÷ Öé¸þÓ�Û$­ m �wac��w�0k¥aj[Ih�fw]ih`�qd�[`fwajf:d�[`a+aj]8^b�wa>[�cwn�^��jno�w[`]i�Èa(Y\]8^b�éÖ!�no[�c$n�^��jn��w[I]_��a\Y\]_^I� ÕËd�cwfT^I�waj[`a>��no[`a¯�jaj[¡^�d�]_cwt_lÈcwnD^�jno�$[I]i�Èa Y\]8^b�êÓ�Û$­<p(ajcw�>aû�²X'Ó�Ûox�ajcB^I[I]ia>h<[Ia>��dD]icF�BdDcwfY�aÉh`ajaÉ^b�-dD^ �²X'Ó�ÛBx]¸³�ÅX|Õ�xC�²X'Öox

»�Ø

Page 20: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

�Á( �<`a� ­4¯����QMB{~�j� Ì aj�¥aqdM^:^I�wa¦h`^Iaj�wh:n��Í^b�wa¦�$[Iaj�>ajfw]_cw�Y�n�[Ir�a>feaÏÆwdD���wt_a�Y\]_^I��^I�wa¯��notit_nÐY\]icw�ÝÚ ÷ »5Û�d�[`[bdqlo�

X3dBx

» Ó Ô Õ Ö × Ø Ù Ú »5Û»q» »5Ó »5Ô »)Õ »�Ö »5× »5Ø »5Ù »)Ú Ó�ÛÓI» Ó�Ó Ó�Ô Ó�Õ ÓqÖ Ó�× Ó�Ø Ó�Ù Ó�Ú ÔqÛÔ\» ÔqÓ ÔqÔ Ô�Õ Ô�Ö Ôq× ÔqØ ÔqÙ Ô�Ú Õ�ÛÕy» Õ�Ó Õ�Ô ÕqÕ ÕzÖ Õ�× Õ�Ø Õ�Ù ÕqÚ Ö�ÛÖI» Ö�Ó Ö�Ô Ö�Õ ÖqÖ Ö�× Ö�Ø Ö�Ù Ö�Ú ×qÛ×\» ×qÓ ×qÔ ×�Õ ×�Ö ×q× ×qØ ×qÙ ×�Ú Ø�ÛØI» Ø�Ó Ø�Ô Ø�Õ ØqÖ Ø�× Ø�Ø Ø�Ù Ø�Ú ÙqÛÙ\» ÙqÓ ÙqÔ Ù�Õ Ù�Ö Ùq× ÙqØ ÙqÙ Ù�Ú ÚqÛ

X~kyx Ì a>��nÐg�aÇd�t_t¯ajcB^b[`]ia>hecwn�^L�jn��w[I]_��a¦Y\]_^I�ÿ»5Û©Xe�²X*»5ÛBx�jnot_�w�Ècwh�[Ia>��d�]_cyxí

X~�qx � cwf$aj[It_]icwa+[Iaj��d�]_cw]icw��ajcB^b[`]iajh�c$n�^\�jno�$[I]i�Èa+Y\]8^b�éÚ$­X~fyx Ì a>�wt�dD�jaea>cB^b[I]_ajhTkBl�^b�wa>]i[�[`ajh`]ifw�wa>h|��n5fw�wt_nªÚ�dDcwf

�wcwfwa>[It_]icwa�ajcB^I[I]ia>h�cwnD^��>no�w[`]i�Èa�Y\]8^b�®Ú$­�Xe��kwh`aj[¡goa^b�-dM^\�jnot_�w��c$h���no[I� ® v Ì h(�Èn!fw�$tinÝÚBx

X~aqx Ì a>��nÐg�a0�wcwfwa>[It_]icwa>f§ajcB^b[`]ia>h�]ic¦dD[I[bdql�X~�qx+d�cwf¦�>tinoh`a�w��^b�waÉ�Bd��$hj­

X��bx m �wa�[Ia>��d�]_cw]ic$�r�ÅX8ÚBx ÷ �ÅX@»5ÛBxua>c�^I[I]_ajhÍd�[IaË�$[Iaj�>]ih`ajt_l^b�wa+c5�$�0kVa>[Ih�k¥a>^'Y aja>c�»Éd�c$fµÚqÛ�^b�-dM^\d�[Ia+[IajtidD^b]8goa>t_l�w[I]_��au^bn ÚqÛ$­

z ¨²�Ã�0�����Ð� �Á( �<`a�X3dBx

» Ó Ô Õ Ö × Ø Ù Ú »5Û»q» »5Ó »5Ô »)Õ »�Ö »5× »5Ø »5Ù »)Ú Ó�ÛÓI» Ó�Ó Ó�Ô Ó�Õ ÓqÖ Ó�× Ó�Ø Ó�Ù Ó�Ú ÔqÛÔ\» ÔqÓ ÔqÔ Ô�Õ Ô�Ö Ôq× ÔqØ ÔqÙ Ô�Ú Õ�ÛÕy» Õ�Ó Õ�Ô ÕqÕ ÕzÖ Õ�× Õ�Ø Õ�Ù ÕqÚ Ö�ÛÖI» Ö�Ó Ö�Ô Ö�Õ ÖqÖ Ö�× Ö�Ø Ö�Ù Ö�Ú ×qÛ×\» ×qÓ ×qÔ ×�Õ ×�Ö ×q× ×qØ ×qÙ ×�Ú Ø�ÛØI» Ø�Ó Ø�Ô Ø�Õ ØqÖ Ø�× Ø�Ø Ø�Ù Ø�Ú ÙqÛÙ\» ÙqÓ ÙqÔ Ù�Õ Ù�Ö Ùq× ÙqØ ÙqÙ Ù�Ú ÚqÛ

»5Ù

Page 21: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

Mo�~¨V��{8¨FÛ��5Þ �6�@�X~kyx

» Ô Ø Ú»q» »)Ô »�Ø »5ÚÓI» Ó�Ô ÓqØ Ó�ÚÔ\» Ô�Ô Ô�Ø ÔqÚÕy» ÕqÔ ÕzØ Õ�ÚÖI» Ö�Ô ÖqØ Ö�Ú×\» ×�Ô ×�Ø ×qÚØI» Ø�Ô ØqØ Ø�ÚÙ\» Ù�Ô Ù�Ø ÙqÚ

X~�qx

» Ô Ø ÛÓ Õ Ù »Ô Ö Û ÓÕ × » ÔÖ Ø Ó Õ× Ù Ô ÖØ Û Õ ×Ù » Ö ØÛ Ó × Ù

X~fyx

» »)Ô Ø »5Ú»q» Ó�Ô »�Ø Ó�ÚÔ\» ÕqÔ Ô�Ø Õ�ÚÕy» Ö�Ô ÕzØ Ö�Ú×\» Ø�Ô ×�Ø Ø�ÚØI» Ù�Ô ØqØ ÙqÚ

ØÇa�Y\]_titFcwnÐY©�whIaÉ^b�waÉ�-dM^I^ba>[Ic�n���^b�wa¯^'Y n��w[`a>g5]in��wh\aÃÆ$d��È�wtia>h�^bnÈ�w[InÐgoa¯^I�-dD^]_�¬òTdDcwf´ó�d�[IaÉ�>no�w[I]_��a¯cwdD^b�w[Id�tFc��w�0k¥aj[`h

^b�wa>cJ�²Xiò�óÃxL¸³�ÅX ò!x��ÅX ó>xÏ­L²yn�[�^b�waÉ�w[`n!nD�)�$Y�aÉY\]it_tcwa>ajf:^b�wa¯��not_tinÐY\]icw��^'Y�n��~d��>^IhjáéÙÝ�M�� Qs c-dD^I�w[bd�t²c��w�0k¥aj[AÎì]ihu�jno�$[I]i�Èa�Y\]8^b��ò:d�cwf�óÉ]_�&d�cwf¦nocwt8l:]_��]_^+]ihu�jno�w[`]i�ÈaÍY\]8^b�^b�wa>]i[��w[`n!f$�w�>^j�zò=óЭéÙÝ�M�� ( ç¬�F�w�>�¹Qòf¼Áó5Ã2¸ »¯dDcwfï»�Ä�ÇcÄ óÐ�!^b�$ajcè¹¥Ç�¼Tó*��Ç�¼)Á)Á�Á)¼�Xiò � »�x ó ��ǾÃÉ]_h�d ® v Ì �Èn5f�ò-­

²¥dD�>^{»���notit_n�Y\hF��[`no�©^I�waL²y�$cwf-d��ÈajcB^�dDt m �wajno[`aj� n��$s+[`]_^b�$��aÃ^b]i�(X~d��w[I]_��a&fw]8g5]ifw]_cw�üò�ó<fw]_g5]if$ajhdD^�t_aqd�h¡^�nocwa¯n��¬òÈd�cwf´óÃxí{²yd��Ã^9Ó���notit_nÐY\h ��[In�� m �wa>no[Ia>�¡ÓIÁaÚ0n���Ø no[Ir�k¥n!norÊ»¯hI]_cw�ja+��n�[�aqd����Û�Äöã�Ä ò � »�^b�wa��jn�cw�o[I�$ajcw�>a�óÁÓ9��ǵð�ãTX~�Èn!f´ò5xÃ�ÙY\�w]i��� ]ihÉaR��w]8gDd�tia>c�^É^InÎóÁÓæð�ã � ÇX~�Èn!f´ò5xÃ�w�wd�h(dÈh`noti�$^I]inoc­�Á( �)yq�ï� ���!¨�{���{��~¨ s ���wcw�Ã^b]in�cÏP�ábä�F äÑ]_h+hbdD]ife^InTkVa � $&% å~æ � % æ ä � å3æ���ã ]_�oPÅXiò�óÃx�¸ÐP<Xiò5xÈPÅXióÃx��no[�aÃgoaj[¡l��-d�]_[�n��Å�>no�w[`]i�Èa�c��w�0k¥aj[IhgòTd�c$fxóЭ�Á( �)°q� N������y���5} · D-ã2Ñ $=% ã ��� D5æ�" ¼ $ èäÃå~æ çMè§æ º � $=% å3æ � % æ ä � å~æ���ã

»5Ú

Page 22: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

¿ �M��¥�rA aÃ^0ò dDcwf ó�k¥aT�jn��w[I]_��a�c-dD^b�$[bd�t c5�$�0kVa>[Ih>­�Ø [I]8^ba�^I�waTc��w�0k¥aj[`h »q¼NÓI¼�Á)Á)Á%¼Tò�óÈ]_c�d�cò ÷ ó+d�[I[IdÐl|d�h���notit_nÐY\hjá» Ó àáàáà óóª�Ï» ó¶�ìÓ àáàáà Óìó

Ó#óÐ�Ï» Ó#óÐ�®Ó àáàáàíÔ#ó­­­ ­­­ ­ ­ ­ ­­­X ò � »�x ó¶�Ï» Xiò � »�x�óª�®Ó àáàáà ò=ó÷�ajt_a>^IaËd�tit²ajcB^b[`]ia>h�^b�-dD^ÍdD[IaËcwn�^É�>no�w[`]i�Èa�Y\]_^I� ó���n�kwhIa>[`g5]icw�|^I�-dD^É�w�Ã�¹�ãeó��½Ç�¼Tó)Ã<¸ �w�>�%¹¥Ç�¼Tó)Ã�­

pua>cw�jae]_�Éd�c�ajcB^b[¡lR]_c d ��]_goa>cQ�jn�ti�w�ÈcR]_h�fwa>tiaÃ^bajf�\^I�waLY\�$notiaL�jnot_�w��c£�on5ajh�d�cwf�Î`�wh¡^r�²XióÃx[Ia>��dD]icF­¬ñ l ²yd��>^QÓ!�o^I�wa([Iaj��d�]_cw]icw�¯�>noti�$��cwh<��n�[I� �>no���$tia>^Ia�hIaÃ^bh�nD�[`ajhI]_fw�wa>h �Èn!f$�wtin�óЭ m ���wh]_��Y aÉcwnÐY©f$ajtiaÃ^ba�^I�wa¯ajcB^b[`]ia>h�^b�-dD^(dD[Ia�cwnD^\�jno�w[`]i�ÈauY\]8^b�´ò-�MÎ`�wh`^g�²Xiò5x a>c�^I[I]_ajh�[Ia>��dD]ic|]ic�aqd�����jn�ti�w�ÈcF­Jñ¾lª²yd��Ã^á»o�<^I�wa�[`aj��d�]ic$]icw�Î�ÅX ò!x ÷ �²XióÃxÍa>c�^I[I]_ajhËd�[`a��w[`aj�>]ihIa>t_l�^b�wa9�ÅXiò�óÃxÍc��w��kVa>[Ih��[In��^bnjò�óu^b�-dM^(d�[IaÉ[Ia>t�dD^I]_g�ajt_l��w[`]i�Èa�^bnïò�ó�­ Ôñ l|[`aj�¥aqdD^IajfLd��w�wt_]i�jdD^b]_nocTn���^b�w]_h m �wajno[`aj�:�wY�aÉnok!^�d�]_c�^I�wa¯��notit_nÐY\]icw�wá

�Á( �ÖÕz� è��y���~±�±�Ýw�ÐßÒ� ¼¯å�D-ãÍè � å $ ��� % è $ � ² ã � ' D �QºL� ¼ � äÃå)ç � æ º� å~æ çMè' ¸ �}Ó �¶ �}Ó�Ô½ Á)Á)Á � Ó�Õ5æZè-å'ç � ç � ã �Tº ç�¼d!�æ º å3æZèäÃå ��� æ���ã º � å�D-ãÃè�²X ' x{¸³�ËX �}Ó �¶ x:�ËX �}Ó�Ô½ x~Á)Á)ÁT�ËX � Ó�Õ5 x

�Á( �)æq� ­�¯�Ý-}ª°+±~� �ÅX�Ô�×Bx]¸Ñ�²X'Ó ½ x��ÅX8Ô ½ x{¸Ñ�²X8Õ�x��ÅX�Úox]¸ Ó ÷ ×�¸ »�Ó�Á

Ë�ù�ýb÷$õ8÷\��®_a"%.�"Ng+t�1N0�35-73�1N.�����-`0<.����Y���n�Zº�Ö»�1%nQ-`0�1N.�-`"%0Ç6%��$�:º ,$'"%0�i%_`:à1%�8���^�n���3�.���1N.8 1 ¢L× 5 � 8&1 ¢ 5 ×�)-`0�t@� 8:1�½n5 � �ª1%0�3 8:1 � 5 �8:1�½ § 5 � ½ p].���-`�st*1N0�0�"N.õ(��ê.'���t*1�8�7Ø

�Á( �)ø*�cb Û��5�>��{��~¨²���~¨ �ËX � Ó xX3dBx�ØÇ[`]_^IaÈf$n�Y\c ^b�waÈc��w�0k¥aj[Ih<»È^InÑÓ À ­ ® [Inoh`h�no�!^�^I�wa

nocwa>h�^I�-dD^¾d�[`a èçMå �jn��w[I]_��a�Y\]8^b�<Ó À ­ÅpunÐYQ��d�cBl�d�[`atiaÃ�Z^q­ÅØ �w]_���Ln�cwajh\fw]_f�l�no�ef$ajtiaÃ^ba S

X~kyx¥¨unÐY ^b[¡l«^bn Y no[`rªno�!^��²X'Ó ó xN¼��ÅX8Ô ½ xN¼��ÅX8Ô À xN¼��ÅX�Ø ¿ xíA n!norÉ��no[�d¯�-dD^`^ba>[Ic�]icË^b�$a�c5�$�0kVa>[Ih�lono��fwa>tiaÃ^ba�^b�-dM^�o]_g�ajh�lon��edËhI�$no[`^I�j�$^\^bn�^b�$a�dDcwh`Y aj[>­

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� �Á( �)øq�ËX~dBx4»q¼ ù ÓI¼UÔ\¼ ùÕy¼NÖI¼ ù ×I¼NØI¼ ù Ù\¼BÚI¼ ù»5ÛI¼)»q»q¼ù»�ÓI¼)»)Ô\¼ ù»�Õy¼)»�ÖI¼ ù»5×$­xU&]i�o�B^�d�[Ia�tiaÃ�Z^\Ù§lono��f$ajtiaÃ^ba>f�d�tit<^I�waa>g�ajc c��w�0k¥aj[Ih>­«X~k-xG�ÅX�Ó ó xʸ Ó À ß��²X�Ô ½ xé¸ ×\ß��²X�Ô À xÊ¸Ô À � Ô ¿ ß��²X'Ø ¿ x{¸ Ø ¿ � Ø ½ ­

Ó�Û

Page 23: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

^¾no�|��dql��-dqgoaÍd�t_[IaqdDf$l�c$n�^b]_�jajf|^I�-dD^\dËc��w�0k¥aj[�]_h èçMå �>no�w[I]_��a(Y\]_^I� � Ó ]_�²d�cwf|noc$t_l�]_��]_^�]ihfw]_g5]ih`]ikwt_aÉk�l � ­ m ���wh�^b�wa���notit_n�Y\]_cw��c��w��kVa>[Ih�]_c§^b�wa0[Id�cw�oaô»�^bn � Ó dD[Ia èçMå �jno�$[I]i�Èa�Y\]8^b�� Ó á � ¼NÓ � ¼BÔ � ¼)Á�Á)Á¼ � ½)¼ � ½¬� � ¼ � ½Ð�®Ó � ¼)Á)Á)Á%¼ � Ó�¯c$a�]icËa>g�aj[¡l � ]_h èçMå �jn��w[I]_��a�Y\]8^b� � Ó ß�]_cÈnD^b�wa>[<Y�no[`fwh � Ó ä6� ¸ � Ó � ¶ d�[`a èçMå �jn��w[I]_��a�Y\]8^b�� Ó ­�pua>cw�ja � Ó � � Ó � ¶ �#� ã �jno�w[`]i�Èa�Y\]_^I� � Ó ­I^¾no��hI�wno�$tif:kVaÉ�jn�c�g5]_cw�ja>fF�-^b�wa>[Ia>��n�[Ia��w^I�-dD^�Á( � � �X� �5}�}ÇÝ�� ¼��æ ºê����� æ���ã � è�!XÚ � è � å $ �C� % è $ � ² ã � � å�D-ãÃè�ËX � Ó x]¸ � Ó � � Ó � ¶ ¸ � Ó{Û » � »�@ÜØ a�c$n�Yº�jn��0kw]ic$a§^b�w]_h|tiaj�È��d�d�cwf ^b�wa¦�$[Iaj�>ajfw]_cw�£�jno[`notitid�[`l£^bn��w[`n!f$�w�ja�d�^b�wa>no[Ia>� ^b�-dM^ajcwd�kwtia>h\�wh�^bn�aqd�h`]it8lT�qdDti�j�$t�dD^Ia��ÅX ' x���no[d� è � ' ­

�Á( � z�� N������y���!} Ý ç �d� è � è � å $ �C� % è $ � ² ã � ' ��ÅX ' x]¸ 'ßÞà;áãâåä æ�ç Þ � Û » � »� Ü¿ �M��¥� ç¬� ' ¸ � Ó �¶ � Ó�Ô½ Á)Á�Á � Ó�Õ5 ]_h�^b�waÉ�w[`]i�Èa��VnÐY aj[(fwaj�>no�È�Vnoh`]_^I]inoc|n�� ' �w^I�wajc�²X ' x ¸ �ËX � Ó �¶ x�Á�Á)ÁT�ËX � Ó�Õ5 x

¸ �mÓ �¶ Û » � »� ¶ Ü �}Ó�Ô½ Û » � »� ½ Ü Á)Á)Á � Ó Õ5 Û » � »� 5 ܸ � Ó �¶ � Ó�Ô½ Á)Á)Á � Ó�Õ5 Þàoáãâåä æ�ç Þ � Û » � »�>ܸ '�Þà1á�âåä æ�ç Þ � Û » � »� Ü

�Á( � &(q� è��~¨¬M�±~Û�Þ²{8¨tP b ÛÙ�!�Ã��{~�~¨��X3dBx ® d�ti�>�wt�dM^ba��²X'Ó�ÙqÙox%¼®�ÅX�ÓqÓqÖ�Û�ÛBx%¼®�²X*»5Û ù xíX~kyx-ØÇ[`]_^Ia¯fwnÐY\c:^I�waÉfw]_g5]ih`no[Ih�nD�]Ó�ÕÈd�c$fL���wa>��r|^b�-dD^Û Ü�Þ

½}À�ÅX × x]¸ Ó�Õ

X~�qxFç¬�g�ÅX ò=óÃxݸV�ÅX ò!x��ÅX ó>xÏ�&fwn5ajh0]8^���not_tinÐY ^I�-dD^0ò�d�cwf ód�[Ia¯�>no�w[`]i�ÈaáS

ÓI»

Page 24: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

z ¨²�Ã�0���M�Ë�q� �Á( � =(*�X3dBx+Ó�ÙqÙ®¸ Ó ó ÷ Ô ½ ¼r�²X'Ó�Ù�ÙBxʸ Ó�Ù�Ù-X*» � ¶

½ xjX*» � ¶¿ xè¸Úq×\¼4ÓqÓqÖ�Û�ÛݸºÓ ½ ÷ Ô ½ ÷ Ö À ¼��²X'ÓqÓ�Ö�ÛqÛBxF¸àÓ�ÓqÖ�ÛqÛ-X@» �¶

½ xjX@» � ¶¿ xjX@» � ¶

ó x]¸ ×qÛqÛqÛI¼2»5Û ù ¸ Ó ù ÷ Ö ù ¼®�ÅX@»5Û ù x{¸»5Û�ù�X@» � ¶

½ xjX@» � ¶ó x{¸ Õ ÷ »)Û�óq­

X~kyx m �waÉfw]_g5]_hIno[`h�n��]Ó�Õ�dD[Iaê»q¼NÓI¼UÔ\¼UÕy¼B×I¼BÙ\¼)»�ÓÍd�cwfèÓ�Õw­Û Ü�Þ½}À

¸ �ÅX@»�xa�O�²X'Óox �ß�ÅX8ÔBxa�O�²X'Ó ½ xa�ß�ÅX�ÓIÁ`Ôox�ß�ÅX'Ó�¿�x]�O�²X'Ó�½Á`ÔBxa�ß�ÅX�Ó�¿)ÁaÔBx¸ » �®Ó Û » � »

Ó Ü ��Ô Û » � »Ô Ü ��Õ Û » � »

Ó Ü��× Û » � »Ó Ü Û » � »

Ô Ü ��Ù Û » � »Ó Ü� »�Ó Û » � »

Ó Ü Û » � »Ô Ü

¸ » �Ï» �®Óü�®Óü�ìÓ®�æÕg��Õg�ìÙ¸ Ó�Õ

X~�qx>^¾ajh7Å ç¬�xòÑd�cwfÿóR�wdÐg�a dÕ�jno�È��n�c �~d��>^Ino[Ç^b�$ajc�ÅX ò!x��ÅX ó>xRS��ÅXiò�óÃxí ® dDc:l�no�eh`aja¯Y\�Bl�SegfBhihkj ½mlºµon e'p ´¹-¸)µ�¶éè

�ëê ?G~F2!?<2!4¤s1u9 GÈì�í N.î� 9 GOì N�9 GÈí NL�� ¦ J 2 .0/&13254�9<;ï�¡/&?&@BA�C3EF? C37ñð�ò@óõô¼öø÷Mó�öúù¤û-ô¼öÖü�ý#C ? A J 2º7�2!?&7Ð2ºA J s¥AÔ9 GOì�í Né�

9 GOì N�9 GÈí Nþz J 2!? ì s?@y í sV4�2�@!E�|&4MC3PR2-��ëê �>ÿ � � ÿ ½D��������� ÿ � s����� J ��y� ���� �����+|��� P�� y��u� �����������2s��>s������¤s��������«w �!�)�����"����$#&%¼�(')*�+�,"���|�����y������-���A��z./��"0�,"��1�¤s��� �2�>s��3�����«w �!�4&576 5

ÿ98!: 4&576 5ÿ<;=: ����� 4>576 5

ÿ � :

?@?

Page 25: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

A B CED�FHGJI CLK�M CNI O P QSRTF�U CNK�MVXW�Y�Z\[^]`_badc�e,Zf[bY�]g[^c�h�ij[XkXk^iml�ZfY+]n[\o=[pe,Z3q Zdr�e,Z�ajksZdr=[bYXo�Z a*Y�c�tvu

wyx!z|{ }�~��s�����|����x!���\���n���7���,�j�j�������������������7�,�<�p�����p���p�����n���n���@�����,���p���n���@�=�,�<�� ��g¡����p��¢£�¤�,�X��j�^�p�p���9�v�n�,���������@���b���¦¥����p���|�§�����@����¨H©0�=���ª�,�v�>�n���«�����@���p�X¬­ª�®�¯<° ± ²´³ ¯<°3µ ³§³ ¯<°3µ ³ª³ ¯<°3µ ³¶²¤²¤²·­ª¸ ± ² ¸§¹&¸(�f·§¸§¹«¸ª�f·ª¸§¹&¸(�f· ²¤²�²®º ­ ± ²´³ ¯£»£¯£¸�® ³ ¯£»£¯£¸�® ³ ¯£»£¯£¸�® ²�²¤²¼*½ ���«�����.�,�¾�p���^�n���@�y���@���,���¿� ���p�XÀ

Á�Â�ÃvÄ&Å�ĤÆyÁ�Ç�Â�ÃÈ2É�ÊvË Ê)Ì´ÍÏÎ�Ð^Ñ É�Ì´Î�ÒÓÍ/Ô,ÊvÕ¿Ì´Ö^× Ö^Ø�Ð�Ù�ÑØ�Ö�Í/Ê&Ñ*Ê¿Î�Ú¶ÛHÙ�Ë�Ø�Ö�Í/Ê&Ñ*Ê¿Î-Ø�Ì´Ö�Í�ÌÜÍÔ�Ë*ÊvÍ Ù�Ý9Ö`Ø�×´Þàß�Ù�ÊÓÑ*жÐ^Ù�Ëyß�Ì´Ò^ÌáÑ*Ö^×Ê¿Î�ß�ÐXâãÝ3Ê¿Î�ÑvÚäÈ2É�Ê)å&ÊpÍ/Ð�Ô�Ð^Ñ*Ö`Ý3ÌáæÖ`Î�Í�Ö`Î�ßgç2Ö`ؤޤ×áÐ�Î�ÌÜÖ`Î�Í�ÕfÐ�Ù�Î�Ñ Êpß�Ì´ÎØ�Ö�Í/Ê®}�è�éêØ,ÐXÞ^ëìß�Ì´ßgÑ*É�Ê¿ÞgÉ�Öní�Ê�Ø�Ì´ÒÉ�Ö^Î�ß�Ívî ïâãÉ�ÌÜÕðÉ�ÌÜÍ£É�ÐXâ¶â�Ê�Ê¿Î�ß�ÊvßÙ�Ô�âãÌáÑ Éj}^è«Í ÊvÕ¿Ð^Î�ß�Í<ÌáÎ)Ö«Ý3ÌáΤÙ�Ñ*ÊÖ`Î�ßc}^è>Ý3ÌáΤÙ�Ñ*ÊvÍ<ÌáÎ�Ö^ÎÏÉ�Ð^Ù�ËpÚ&ñò×´×Ñ É�Ê&Ì´ß�ÊpÖ^Í�ß�Ê¿í^Êv×áÐ�Ô�Êpß+Ì´Î7Ñ É�ÌÜÍ§Í ÊvÕfæÑ Ì´Ð^ÎóÖ`Ô�Ô�×´ÞôÑ ÐôÖ^ΤÞôØ�Ö�Í/Ê.ÌöõsÞ�Ð^ÙÝ9Ö`÷�Ê+Ñ*É�ÊyÐ^ؤí¤ÌáÐ�Ù�ÍgÖ^ßnø�Ù�Í�Ñ*Ý ÊvÎ�Ñ*ÍvÚù�Ð�ËgÌáÎ�Í/Ñ*Ö^Î�ÕfÊ�ë Ñ É�ÊvÞúâ�Ð�Ù�×Üßúâ�Ð^Ë*÷Êvû�Ù�Ö^×á×´Þ<â�ʿ״×�Ì´Î3Ñ É�ÊòÕ¿Ð^Ý3Ô�Ù�Ñ*Ê¿Ë�×´Ö^Î�æÒ^Ù�Ö`Ò^Ê2Ð^õ@è�ÍìÖ`Î�ß 8 Í¿ëXÑ*É�ÖXÑ�Ì´Í�Ñ*Ð£Í ÖnÞ�ëÌ´Î(Ø�Ö^Í Ê ; Ú

ü x!z,ý�{�þ�ÿ�� ~����ìx|ý���<�@ ��¿�n ����j�����������j�)�,�ò�p�����p���v���|�X���n�j�,�1�,���n���n�j�,�=�,�ã�� ����¡����p� ���=�v�v��� �@���,��� c�e,iml�k^ajk ¨T»����p���,�����@�,  �p���+���Ï¡�����n�=���Ó�n���n�j�,�=�,�«�� ��g¡����p�Ó�,�p�¶�X���,�n�,�^�n���p�j�v��� ¡��T�����!������������j�)�,���v�����v���p���|�X���p�j�@���s�n�=���Ï���p�����,���|�n =���j���ú�����v�j�!���j�¼ � ¨á��¨��p���� ��v�p�j����À^¨£�\��p���j�9�v���^�n�j�,�2¢=� �«�X�����s�+���j�@�v�����j�!������s�n�����s���������,�)�����@�2¨-�\�¶�=���v�n���� ��j�,��¢ã���7���j���������p�����,�������� �p�+���,�j�� �� ���n�� �p��� h![^i¦e,l ¼ �n���1�! ��g¡���� �,�s�����@���p�)¡������@�v�Ó�p���� �����v���������v���n�§�j�=À^¢=�,���� �p��� o=[^]^a*Y�h ¼ �p���«�! ��g¡������,�¾�v���� ��p�v�j���������@���p�XÀ�,���p���3�������j�)�,�|���@�H�(�n���n�j�,�=�,���� ��g¡�����¨H®9�� ����@ ��H�@¡��v���^��,�&�¿�n ����ó���j���§¡����p���Ó�������j�)�,���p�����p���p�����p�j���à� �������j�¤����n���p�j�@���,���� ��g¡������� �!�¢��������p�"�$#&% �����'!(#*)�¨

Page 26: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

+-,/.�,�ÃpÃ0,�132,ĤÆ�Ä54XÂ6.¦Ç87 9È2É�Ê;:�Ë*Í/Ñ Ö^Í*Í/Ù�Ý Ô�Ñ Ì´Ð^ÎEË ÊpÍ�Ñ*Ë ÌÜÕ\ÑðÍÖXÑ Ñ ÊvÎ�Ñ*ÌáÐ�Î Ñ Ð=<6>@? ACBDACE@F¶Ë*Ö`Ñ Ì´Ð^Î�Ö^×´ÍvÚG Ì´Î�ÕfÊ<Ê¿í^ÊvË Þ§Ô�Ð�Í/ÌáÑ Ì´í^Ê�ËðÖXÑ*ÌáÐ�Î�Ö`×�ÕvÖ`ÎØ,Ê«âãË ÌáÑ/Ñ*Ê¿Î Ì´Î Ñ É�Ê&õêÐ�Ë ÝIHê~'J6KMLâãÌáÑ É-HONQP�R"Snè�T<Ö`Î�ß-J(UVLXë�Ñ*É�ÊÍ ÊvÕfÐ�Î�ß Ö�Í Í Ù�Ý3Ô�Ñ*ÌáÐ�Î�õêÐ�ÕfÙ�Í*Í/ÊpÍ7Ð^ÎØ,Ê¿É�Öní¤Ì´Ð^Ù�Ë�Ñ ÐHÑ É�ÊXW�AZY\[]B�Ð`õ�Ñ*É�Ê2ß�ÊvÕfæÌ´Ý3Ö^×�Ô,Ð^Ì´Î�ÑvÚôÈ2É�Ê«Ñ É�ÌáËðß-Ö^Í*Í Ù�Ý3Ô�æÑ Ì´Ð^Î.Ê¿Î�Í Ù�Ë*Êv꤄ É�Ö`ѪÑ*É�ÊsõêËðÖ^ÕfÑ Ì´Ð^Î�Ö^×Ë*Ê¿Ô�Ë*ÊvÍ Ê¿Î�Ñ*Ö`Ñ Ì´Ð^Î Ì´Í^AC_`ACB8?bac>@deF�? BBfF�W�g0?\ë`Ì�Ú Ê^Ú`Ñ É�Ê2õêËðÖ^ÕfÑ Ì´Ð^Î<ÌÜÍhWiF jMk�lmF j`Ú

ü {/}onH� {fp¾z@~�ý�{�þ�ÿ �\� �@�p����� �p�ä���!�� �� �,� ���=�����v�¤�,��������@ ����p��¢£� �y�����j�<�7����� �n���v���y�v�j�+���j�¦�f�������Ó���p�p ��)���p�j�@����������.���,���p�������v�j���b�n���s�p���n���@�=�,���� ��g¡������� �!rqs �¤�¤��}onòý�{/þ�ÿut;�wv\!x#*)s �¤�¤��}onòý�{/þ�ÿ�yz�|{}!s �¤�¤��}onòý�{/þ�ÿ�~ ����������v@!]� ±`�®H�,�@���p�������n�����p� �,�v�p ��+���p�j�@�������j���n���n� �p�=������ �!����à�� ���v�@�������b���n�����n���@�y�j�-�¦�n� � ���������¿���n���v�)����¨Å���Ä"��ĤÂ�Æ�Ç�Æ�2",�137vÄ54@��ǦÆ�Â�7vÇ�,�ÆÈ2É�Ê�ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö`×)Ë ÊvÔ�Ë*ÊvÍ Ê¿Î�Ñ*Ö`Ñ Ì´Ð^ÎTÐ`õ8 K ; ÕfÐ�Ù�×Üß�Ø,Ê(âãË*ÌáÑ/Ñ ÊvÎ)è�� ���è¤ë�âãÌáÑ ÉË*ÊvÕfÙ�Ë Ë*ÌáÎ�Ò(�vÊ¿Ë*Ð�ÍvÚ�È2É�Ê9ÕfÐ^Τí�Ê¿Î�Ñ Ì´Ð^ÎÌÜÍ�Ñ*Ð+×´ÊvÖní^Ê&Ð��Ñ*É�Ê��¿Ê¿Ë*Ð�ͧÖ`Î�ß Ñ*ÐÍ*ÖnÞ9Ñ É�Ö`ÑòÑ É�Ê<ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö^×eBfF�W�g�AC_��MB�F�?\ÚÈ2ɤÙ�Í 8 K ; �-è6���£Ö^ÕvÕfÐ�Ë*ß�Ì´Î�Ò�Ñ*Ð<Ñ*É�ÌÜÍÕfÐ�Τí^Ê¿Î�Ñ*ÌáÐ�Î�Ú

� ~���t�������x!��ý�{�þ�ÿH��~���þ��ãý�� x ��}¶{/ÿ�~�ý�{/þ�ÿ¼ �|Àã©��v���p�«�p���«���@�j�����������g�p���n���@�=�,�ã�� ��g¡����v�ª���.�p���«���@�p�¡£¢ �� �!ª���¦�n� ¡ #*)¤v��${;!>�,���-���^�5����v@!]� ±I��¥��¦�]§ v ��¨ ?� ?�© v ��ª�«�«�¦©@? «�¦¼ ¡ìÀ=©��v���p�>�n���&���@���j�����j���s���n�,�^�n���@���9�j�-���������7�,�����@�p� ¥�¦ v «? § v ¬© v ������ ? ¦ v ��«­ §�§¼ �¤À<©��v���p�>�n���«���@�j�������j���Ï�p���v�)���=���n�����b�������j�)�,�����,�9���n�,�M��n���@��� ¼ ��� �n�����j�9���������¿�ª�p���v�)�nÀ�q§�² ? v §�² ¬ ¦ v §�²8� ©X®¨ v §�²8� ?@? ¦¼ �ìÀ°¯������9�ª���@���v���^�n ��v�9�,¡��@ ��������j�X�Ï�n���p�j�@�=���j�ò�=�]�@� �p������)���=���p�j���+�������j�)�,�j� ¼i± { ÿ�ý�²´³ò�!������>�p���b���p���)�����8��!�j�p�,�p�(�����n���Ï�������,�)���=���n�,���������Ó�n���g�n���p�j�@���,�j�§�,�v��j� �p�������9�j��� ���v�§�n���p�+��¨´À

? ­

Page 27: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

µ(Ä5¶�Ç8��Â�.¦Ã Â�4XÄ«Â6�"·�Ç�2�¸�,�¸�ùãÊvÝ ÊvÝ<Ø,Ê¿Ë Ñ*É�ÖXÑäÑ É�Ê Î�Ð`Ñ*Ö`Ñ Ì´Ð^Îè6� �2�n�h�����2�yè6� �� Ý3ÊvÖ`Î�Í״̴ݺ�»½¼ ¾ �8 è ~¿�����C~ �8 è ºrÀ � 8ÁòÊvÎ�ÕfÊ 8 Ö`Î�ß è�� �� � è�� �n�2�h�����Ö`Ë*Ê�ß�ÌZ�@Ê¿Ë*Ê¿Î�Ñ�ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö`×�Ë*Ê¿Ô�Ë*ÊvÍ Ê¿Î�ÑðÖXæÑ Ì´Ð^Î�ÍsÐ^õ Ñ*É�Ê Í Ö^Ý Ê+Î�Ù�Ý<Ø,Ê¿ËpÚ`ÂdÎÒ^ÊvÎ�Ê¿ËðÖ`×jë3Ìöõ-J]ÃÅÄ�f��ë3Ñ É�ÊyË ÊpÕfÙ�Ë æË*ÌáÎ�Òàß�ÊvÕfÌ´Ý9Ö`×gè6� J6Æ J]Ç������iJ]Ã����ÕvÖ`ÎØ,ÊÏË*Ê¿Ô�×´Ö�ÕfÊvß.ؤÞyÑ É�ÊÏÑ*Ê¿Ë*Ý Ì´Î�Ö`Ñ Ì´Î�ÒõêÐ^Ë*Ý è6� J Æ J Ç �����vé�J à ~ 8 ï\Ú�ñ�Ô�Ö`Ë ÑõêË*Ð^Ý ß�Ð�Ù�Ø�×´ÊÓË ÊvÔ�Ë ÊpÍ/ÊvÎ�Ñ*ÖXÑ*ÌáÐ�Î�Í7Ð`õÑ É�Ì´Í(õêÐ�Ë Ý>ëHß�ÊvÕfÌ´Ý9Ö`×ÜÍ>Ö`Ë*Ê�Ù�Î�Ì´û�Ù�Ê�ÚÈÏÊ�âãÌ´×á×|Ö`×´â2ÖnÞ¤ÍìÙ�Í/Ê�Ñ É�Ê�Ñ ÊvË Ý3Ì´Î�ÖXÑ æÌ´Î�Ò(õêÐ^Ë*Ý0Ñ Ð>Ë*Ê¿Ý3ÐXí^Ê�Ñ É�Ê�Ö`Ý<Ø�ÌáÒ�Ù�æÌáÑ�Þ«Ö`Î�ß�Ê¿Î�Í Ù�Ë*Ê ÖªÙ�Î�ÌÜû�Ù�Ê9ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö^×Ë*Ê¿Ô�Ë*ÊvÍ Ê¿Î�Ñ*Ö`Ñ Ì´Ð^Î

s ÿH��Égx ���bý¤þ � ~���t��¼ �|À�6¦��§ ±I� ¢ �? v ��¨ ?� ?�©VÊ � ¢ �? v ��ª�«�«�¦©|? «�¦ ±I� ¢ ª�§ª��¼ ¡ìÀ �¦ ±u§�² ? v «? § ±Ë§�²��6¦ v ¬© ±Ë§�² © ¬ ¦ v������ ? ¦ ±Ë§�² ©�©�© v �]«­ § ±u§�²c§�« ? ¦¼ �¤À

§�² ? ± ?��§ ± �¦ v §�² ¬ ¦«± ¬ ¦��§�§ ± «­ v§�²�� © ®¨�±u§�²��]¨�± ��¨��§�§ v §�²8� ?@? ¦&± � ?@? ¦��§�§�§�§ ± ­ ¨­ §�§¼ �ìÀì¸ �p���n���@�=�,���! ��g¡���� �=��� �«�n���v�)���=���p�j���«�������j�)�,�=�¦�2����¤�,�¡��«���p�¦�p�p�������.�p���«���@�p�Ì�� �!(���¦�n�*! ± ?�Í ¦6Î ���,��p ��¦�X�,¡��j�-Ï�v\ÐoÑ § ¨ü }ô~=� �Òn�x ��{�þhÓH�Ï©ô�Ï¡����,�j�Ó�@ ��(�j���,���v�p�j�|���n�j�,��¡�������������j���¶���-�p���� ��v�p�j�����������j�)�,�j�7�����j�X�0�p���������.���d�n���-����������j�,���n��¨

+-,�7vÂ�7pÇ8,,ƹãÊpÕ¿Ö`×´×ÏÑ É�ʶÎ�Ð^Ñ*Ö`Ñ Ì´Ð^Î0õêÐ�ËÓË ÊpÕfÙ�Ë æË*ÌáÎ�Ò(ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö^×´Í�Ô�ñ�? AC_]YMacF�j�>MB�ÐXí�Ê¿ËÑ É�Ê ×ÜÖ^Í/Ñ�ß�Ì´Ò^ÌáÑÝ3ÊvÖ^Î�Í.Ñ É�Ö`ÑÑ*É�Êß�Ì´Ò^ÌáÑ«Ë ÊvÔ�ÊpÖXÑðÍbéêÔ,Ê¿Ë*ÌáÐ�ß 8 ïfÚ0È2É�Ù�Íè6� 8p; �Õ Í�ÑðÖ`Î�ß�Í�õêÐ^Ë�è6� 8p; Õ�Õ�Õ�Õ ����� Ú�ù�Ð�Ë×´Ð^Î�Ò�Ê¿Ë=Ô,Ê¿Ë*ÌáÐ�ß�Ívë`â�ÊãÔ�Ù�ÑÖ��j�>MB�>ME\F�WB×[6F´ØeW ?�BQ�@_�jÙaÚ�\?�B"jMAZYMACB�?.Ð^õªÑ*É�ÊË*ÊvÕfÙ�Ë Ë*ÌáÎ�ÒÏÍ Êvû�Ù�ÊvÎ�ÕfÊ�Ú È2ɤÙ�Í9è��Û�8p; �ÕÍ/Ñ*Ö`Î�ß�Í�õêÐ�Ë�è6� 8p; Õ 8n; Õ 8n; Õ ����� ë=Ö&Ë Ê¿æÕfÙ�Ë Ë*ÌáÎ�Ò ß�ÊpÕfÌ´Ý9Ö`×�Ð^õ�Ô,Ê¿Ë*ÌáÐ�ß Õ Ú

� ~���yÜ�"�+�òx��^ý�{/þ�ÿ��g~���þ��òý+��þ�}ôx��n�x�z|{fp¾z x Ý2~=}onH�/x!�¼ �|À�¯ÖÞ����p���v�y�n�������,�j�j�����������p���n���@�=�,���)��� �������j�)�,�����@�p��,���&���@���>�, ��ã�n���£�����v�j�!�&�,�����,�X� ¼  ��v�j���9�n�������@���@������n���@� �n�=�����g�n���v�)���=���p�j���g���������7�����=�,�9�����v�j�!�¿ß����p��ÀMq¼ � À ? ¨ v � « v ¦ ¨ v ¬ � ? v ª�� ¬ ¦ v ��� ¬ ? ¥¼ ���dÀ � ��� v ? «�« v ­ ¨�¨ v �]« ­�­ v ©|? ­ ©@? ¦�¥¼ ���j� À ? § ? ¬ v ? § « ¬ v ? ¬ � ­ © v ��§�« � © ¦ v �]§�« « ¬ § ¨¼ ¡ìÀ=©��v���p�Ï�n���b�������@�+�j�����n�@�ª�,�<�¤�,�X�ú�,�£�p�����v�����p�,���p�j�@����j�à�n���-���@�v� ?�Í ¦�Î�à �������v� à �j�����@���p���)�y���¦�n� ��§¼ ®9�� �� ���,�<�MÞ��,�)���j� ©|? ¦«±z¦�á½â$«�« ¨´À/ãì�,�����,�X�|���,�j ���,� à ¢�=���0�n���1�v�7���j�j���v�����,�� ��Ó�,� ¡ ���@� �������X� à�����!������� ��§�ä-å}�(±u¨�¨9²¤²¤²�¨ ¼ ¡ ���j�,���n�nÀ^¨

? ¦

Page 28: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

s ÿH��Égx ���bý¤þ � ~���y°�¼ �|À ¼ � À ? ¨s±Ë§�² ®? ±u§�² ?@?@?,? ²�²¤² v � «�±u§�² ®« v¦ ¨s±u§�² ®¦ v ¬ � ? ±u§�²c¦ © ®« v ª�� ¬ ¦&±Ë§�² © � ®« v ��� ¬ ? ±§�²8�6¦ ? ®¬ ¨ ¸(��� �=�]�@� �����v�j�!� � ¨ ¼ �j� À � ��� ±§�² ®§ ®¨ ± §�²Ú§�¨�§�¨�§�¨9²¤²¤² v ? «�« ± §�² ®§ ®ª v ­ ¨�¨ ±§�² ®§ ®­ v ��« ­�­ ± §�² ? ¨ ®¦ ®­ v ©@? ­ ©|? ¦ ± §�²c¨�¨ ®©Ö®¬ ¨¸(��� �����,� �����p����� ? ¨ ¼ �j�j� À ? § ? ¬ ± §�² ®¬ ­ ®§ ±§�² ¬ ­ § ¬ ­ § ¬ ­ §9²¤²¤² v ? § « ¬ ± §�² ®¦ ­ ®§ v ? ¬ � ­ © ±§�²8� ©X®? ­ ®« v ��§�« � © ¦à±æ§�²ç¦ ®¦�ª ®¬ v ��§�« « ¬ § ±è§�² ?Ö®¬ ©X®« ¨¸(�����=�]�@�s�����p����� « ¨¼ ¡ìÀì�\����,�X�.�¤�,�v�,¢=�n���«�v�7�,���j���v� ¡ ���3�n���«�����p������¨µ(Ä].¦Â�9È2É�Êéj�F�aÚ�@ê§Ð`õ�Ö�Ë ÊpÕfÙ�Ë*Ë*ÌáÎ�Ò ß�ÊvÕ¿ÌáÝ9Ö^×ÌÜÍ£Ñ*É�ʪΤÙ�Ý�Ø�ÊvË�Ð^õ�ß�Ì´Ò^ÌáÑ*Í�Ø�Ê¿Ñ�â�ÊvÊ¿ÎÑ É�Ê(ß�ÊpÕfÌ´Ý9Ö`×2Ô�Ð�ÌáÎ�Ñ9Ö`Î�ßbÑ É�Ê&Í/Ñ*Ö`Ë ÑÐ`õ�Ñ É�Ê9Ë*ÊvÕ¿Ù�Ë*Ë Ì´Î�Ò>Í/Êpû�Ù�Ê¿Î�Õ¿Ê^Ú3È2É�Ù�Íè6� �ë>É�Ö^Í�ß�Ê¿×ÜÖnÞsè&Ö`Î�ßÏè6� 8�ì �; ë �Õ É�Ö�Íß�Êv×´ÖnÞ ; Ú

í Ä],��+Ä�7�4XÇ8¶xî!Ä54XǦĤùãÊpÕ¿Ö`×´×,Ñ É�Ö`Ñ�Ìáõ�ï ð�ï6U 8 ë�Ñ É�Ê�Í Ù�Ý�Ð`õÑ É�Ê�ÌáÎ�:�Î�ÌöÑ*Ê�Ò^ÊvÐ^Ý3ÊfÑ*Ë ÌÜÕ�Í/ÊvË Ì´ÊvÍ8 ~�ð�~Oð Ç ~¿�����ÌÜÍ2Êvû�Ù�Ö`×@Ñ*Ð×á̴ݺ�»½¼ é 8 ~�ð�~�ð Ç ~¿�����T~�ð º ï� ×á̴ݺ�»½¼òñ 8hó ð ºMô Æ8hó ðöõ� 88hó ð

� ~���~Ü� s ÷ þw�6øìx�ÓúùxÝ2~=}onH�/xÅû>���p���v�j¡����,�����p���n���@�=�,��� ��g¡����p�-�,�s�n���ú���,�p� §�² ®ü ®ý ¢ª�������p� §`þ ü ÿ± ý þ ¨¼ �p���@�p�ª¡��^�\� ����� § �,��� � �����p�7����� �]� § �,���)�����p����� ? À£�,����n�,�^�n���@���3���-�p�������9�j�������v�§�n���p�+��¨ü þ��/�òý�{/þ�ÿ ³ã��� � ±è§�² ®ü ®ý ¨ ®9���Ó���,�n���n���@� §�² ®ü ®ý �¿�X�,��������@�ª�p���g�v���� ��p�p�����y�������j�)�,� §�² ü�ý]ü�ý�ü�ý ²�²¤² ¢ã�,���Ó�n�����(�j�(¡ �����������p�j�@� �p���«�p ��L�,���n���s����=���¦�n�>�,���@�+���p�p�j�&�v���v�j����¢ü�ý��§�§ ¢ ü�ý¼ ��§�§ À á ¢ ü�ý¼ �]§�§ À�� ¢ ²¤²¤²± ü�ý��§�§� � ¢ ���§�§ ¢�� ���§�§�� á ¢ ²�²¤²± ü�ý��§�§ � ��¤å �� ��� �± ü�ý��§�§ å;� ± ü�ý¨�¨½ �j����� üÿ± ý ¢¾�n���7�! ��)���n���p�@�����9�n���+���n�,�^�n�j�,� ü�ý ¨�¨ ������,�������!���p�j¡��j�b¡�� ��� ¢������n���@ ��@� ���s�)���ú¡��+�����!�j�v�j¡�����¡ �« �@� ¨ ¢<�����������X� ���,�p� �p���y���,�)�+�@���/�,�^�n�@���p���, ��j��¡���¤�,���������j���2¨�­§�������3�n���9�p���n���@�=�,���� ��g¡����v��¡��^�\� ����� § ������ �����p�Ó����� �]� § �,���1�����p����� ? �,�v�g��Þ��,�^�n���.�n���@�p�Ï�����j�X��¤�,�-¡��&���p���v�n�����,� ]n[ph����X[ph ���p�,���p�j�@���9���H�p���&���@�p�.¢���� v �«�« v �@� �¨�¨

�ìÙ�×áÊvËãâãÌá×´×|Ë Ê¿Ñ Ù�Ë*Î�î � ~����h�u�+�òx��^ý�{/þ�ÿ��T�/{�øìx � ~���~°�oû>���p���p��¡��à�,���Ï�v���� ���������n�,�^�n���@���7¡����\������� § �,��� � �������X� �=�]�@�1����� �]� § ����������p��������¢��������p� ¥ ¼ �dÀ�� ±`� ¢ì�,��� ¼ �j� À�� ±u« ¨? ª

Page 29: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

s ÿH��Égx ���bý¤þ � ~������¼ �|À º �����-���n�����n���@���>�����n���g���@�v� ü ¨ ¢��������v� �$þ ü þ ©�,�p�Ï���@�v�p��¡��j��¨ º �������,���Ó���,�)�+�@� « �&���p�b�¤���������j�j���� �1�v���1�n����� �n���1�p���� ������ ���n�����n���@���)�¤�,�0�=�]�@�1�p������@�p� �� « �@�¤�� ¨ ¨¼ ¡ìÀeã=�n�,�^�n�j�,���¾�g ��v��¡��3�,�ì�n��� ���@�p� ü�ý��¨�¨�¨ �������v� ����� ÿ�� ü�ý���,��� �´þ ü�ý�� þŨ�¨ © ¨ º �����£���@�p�v�j¡��������,�)�+�@�>�/�,�^�n�@�v��,�p�����,�������j�����2¢��p�����p���� ����������p�,���p�j�@���2�,�p���,���p�������@�p��� « ¬ v¤�� ����� v��� «�«�« �,���V�� ¨�¨�¨ ¨¼ ·§�,�n� �p�=��� ¨�¨�¨�± « � âQ« ¬ ± ¨ÒâO����� ¢��,���+�¦�ì�n���9�� ��+��������n�,����� �s�g ����p�j�������,� ����� ¢����,�������j�j���n���@���@���,���3�s���n�,�^�n�j�,��,���n���&���@�v� ¼ �@À^¨´À©��T�����j�.����� ������� ���!�v�n���7���n�j���,�j�8� ��� �n��� ����¥����v���|��n�������@�Ï�p�=�������,�à�=�,���������n� �1�������j�)�,�iq)�����n�����b��� Zf[^]��_badc�e,Zf[Xk �,�9���9�=���ª�������p����� ���¦�n�-���@�p�v�j¡��8�y� h![^i¦e,l ¨�°,! <ĤÃ�7�Å�Ä54\�+ùãÊpÕ¿Ö`×´×@Ñ É�ÖXÑ�Ö�õêË*Ö�Õ\Ñ*ÌáÐ�ÎxJ6KMLòÌ´ÍãÍ*Ö`ÌÜßÑ Ð>Ø,Ê AC_OACB8?ÒaÚ>MdeF�?�B BfF�W�g�?&éêÐ�Ë�WmF#"j@k�l F j�ï�Ìáõ�É�Õ\õ�S\J�$mL�Tt� 8 Ú

� x ��}¶{ ÿò~�ý�{�þ�ÿ&ã=�p�@� �,�j�ì�n���>��Þ��,�+���j���3� �&�����,�&�j�!���,������¤¢����¾�p���@ ��j�b¡����/�,���p���«���j���,�¾¡��g�����à�p�=�����p���3¡����=�]�!�j�@ ���,�3�p��� �������j�)�,�£���@�����n���p�j�@���,�£�! ��g¡����g�j���v�p�p�@���,��� �j���%  ���������� ¡����n���-���@�p� �,�>�¦�n���������@�)���=���p�@� ¼ �������ó�p������n�,�^�n���@�y�j�9�MÞ����p���v�p���Ó�j�-���p�9�j�������v���p���p�+�XÀ`¨£®9���«��Þ��,������j���ª�����n���p�+�j�=���p�j���b���������7���j���j� ¼ « ¨ � À ¼ ¡ìÀ��,��� ¼ ��À��7�]��=�]�@�+�,���p�¤�����������&�@�, ú�p�y�n���b���@������ ��p���@�1�n�=��� ? �,��� ¦�,�p���n���b�@��������p���)�Ï�/�����n�,�p�&�,���j�������1�j�Ó�p���b�������@�+�j�=����n�@�«�,�3�p ��X�����p�,���p�j�@����¨¿³ã����&á���j�!�����+�@�v�)���j�@�v�����,¨¿ã¾���p�v����@���p�j�����§�b�n���p�j�@�=������ ��g¡������,���n���«�v���� ������.���@�p�� ± �? Í ¦ Î�,����j���(' ± �7��Þw��Ï�v\Ð ��¨9®9�����Ó�p���Ï����� ���p�>��� ? �,��� ¦�j� �p���«�������,�)���=���n�,�3�,���§*) � ± ? ) ¦ ) �? Í ¦ Î�¤�,���������@ ��9�����p� �n���«�� ��+���p���n�@��¢��,���.�v� ��§ ) � �����g�=����� ��n���2�� ��g¡�����¨

? ¬

Page 30: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

ã= ��v�p�����v�)�@�v�,¢!�p�������ª�����¦�n����� ? ���@� ¦ �����!�j���(���,��� �v�j������������¤�,�¿���@���3�,�°Ï��,����Ð.������+� =�����n�,'¾¢,�n��� �! ��g¡���� ��§ ) ��j�9�����������!�j�v�j¡����>¡�� ��§ ¨�®9�����p�^���@�p�«�������,�y���p���p�,¢��§ ) � ±.- ä ��§ ä ¢ - ä*/ � ��§ ä*/ � ¢102020�¢ - � ��§ ¢ - ��������v�g�¤���X� -43 ���>� �����@��� ¼ �*¨ö�,¨ §�þ5-43½þ`¨ Àª�,��� - � ÿ± § ¨­ª������� � ± - ä ��§ ä6/ ) ¢102020]¢ - � ��§ / )�7 � ¢ - � ��§ / )± - ä - ä6/ � ²¤²¤²8- ) 0 - ) / � ²¤²¤²8- � - ��j� �������j�)�,�����,�n���n���@� ���¦�n�ó��Þ��,���p���9' �p���v�)�7���d�n���+�p����������j�)�,�����@������¨®9�����,�p�@ ��)���������,�Ï¡��£�p���,���v�p����¨��ð� � ���ò�p���<�p�¤���|�! ��g¡�����p�����p���p���|�p���Ó¡�� �p���«�������j�)�,�� ±:- ä - ä6/ � ²¤²¤²;- ) 0 - ) / � ²¤²¤²4- � - ��n����� � ���1�n��� �n���p�j�@���,�g�� ��g¡���� �� ��§ ) ¢b�������v�}� ±- ä - ä*/ � ²¤²¤²;- � - � ¨ �ð� - � ÿ± § ¢ª�n����� �]§ ÿ� � �,��� �v� �p����p���� ������Ó���@�p�L���½�� ��§ ) ± �� ? ) ¦ ) ��� �� ?�Í ¦�Î ¢��������p�b����j���,�v�«�@���b�,�ÒÏ �����ÙÐ��j�&�<+� =�,���n�='�¨g©ô���=�]�@�����v�6�,����n���&���@���j�����j����q

� ~��?>Ü�E�"��þwn�þ��¤{dý�{/þ�ÿö� ]ve,Z/a*Y�c�e,iyc���_A@^[^] �� �!CBED adZdr��v@! #z) e,c�h ���^�5����v@!]� ±ö�<F r�e�kye Z\[^]`_badc�e,Z adcHG h![4�I�ad_+e,i2]n[\o�]n[Xk�[^c=Zðe,Z/a*Y�côY#J&Zdr=[KJ¤Y�]`_- ä - ä6/ � ²�²¤²8- ) 0 - ) / � ²�²¤²8- � - �D adZ�r - � ÿ±Ë§ a J>e,c�h Y�c=imlÏa J ! ± ?�Í ¦�Î D adZdr �)��Þe��Ï0v�н� ±' t

í 4XĤÄ<LM��Ä57�7pÄ54nÃÈÏÊHÙ�Í Êvß�Ñ É�Ê�×´ÊfÑ Ñ Ê¿ËON+é¦Ý<Ù�ïìÑ Ð3ß�Ê¿æÎ�Ð^Ñ ÊãÑ*É�ÊòÝ9Ö4P�Ì´Ý<Ù�ÝôÐ`õ@Ñ É�Ê�Ô�ÐXâ�Ê¿ËðÍÐ`õ ; Ö`Î�ßX��Ì´Î�Ñ É�Ê�ß�Ê¿Î�Ð^Ý3ÌáÎ�ÖXÑ Ð�Ë|Ð`õ�ÖÑ ÊvË Ý3Ì´Î�ÖXÑ*ÌáÎ�Ò3ß�ÊvÕfÌ´Ý9Ö`×jÚ�È�Ê£Ö^Ë Ê¾Ò^Ð^æÌ´Î�Ò�Ñ*ЧÙ�Í Ê£Ñ*É�Ê<Î�Ê�P¤Ñ¾×´ÊfÑ Ñ Ê¿ËRQbé¦Î�Ù,ïÌ´Î&Ñ É�Ê�S¾Ë*Ê¿Ê¿÷&Ö^×áÔ�É�Ö`Ø,ÊfÑ�Ñ*Ъß�ÊvÎ�Ð`Ñ*ÊÖ�ΤÙ�Ý�Ø�ÊvË�âãÉ�Ì´ÕðÉsÑ Ù�Ë*Î�;Ð^Ù�ÑHÑ*ЪØ,ÊÑ É�ÊsÔ,Ê¿Ë*ÌáÐ�ß|ÚUT�ÊvË É�Ö^Ô�Í9â�ÊsÍ É�Ð^Ù�×ÜßÉ�Öní�Ê�Ù�Í ÊvßWVé¦Ô�ÌmïHõêÐ^Ë�Ô�ÊvË Ì´Ð�ß|ë�Ø�Ù�ÑVÏÌ´Í2ÐXí�Ê¿Ë*â�Ð�Ë ÷�Êvß|Ú

X�s �/��ý2Y�x[Z�{/ÿ�x!�!\��\� ¼ « ¨ « Àª�,��� ¼ « ¨ ­ À`¢2� �b���!�� ��v��� �@��������j�)�,�j�ò�n������� �� ����X�b�v�p�n�,���@�|�������p�&�>�p���� ��v�p�����>�=���v�n���p��,�(�p���-���@�p� §�² ®- � - á ²¤²�² ®-�] ¨�©ô��p�¤�L�n�=�������@�M� ± � v ?�,��� « ¢|�n���§�������@�+�j�=���p�@�£�,���p���§���@�v�p���v���,�����j�����v���� ���������n�,�^�n���@� �3���(�b���8�����p�@� �,� ¨ v ¨�¨ �,��� ¨�¨�¨ �p���p�����^�n���,���8�@¨

?�©

Page 31: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

µx, ¶M7�,�4!^áÃ`_é48a�Ä54XÃÂdÎ>ç�Ì´Î�Ò�Ð(é¦Ð^Ë�Ñ Ð�Ý<Ø,Ð^×ÜÖ�ï\ë¤Ñ*É�Ê�ΤÙ�Ý æØ,Ê¿Ëcb1â�Ö�Í+ÕvÖ`×´×áÊpßed ß�Ð�ÕfÑ Ð^Ë;f ÍbÐ^Ë æß�ÊvË*Íhg�ë+Ö�Ë*ÊfõêÊvË ÊvÎ�ÕfÊ�Ñ Ð�Ñ*É�Ê�õêË Ê¿æû�Ù�Ê¿Î�Ñ*×áÞ Ô�Ë ÊpÍ Õ¿Ë Ì´Ø,Êvß.iòÐ�ÚWb Ô�Ìá×´×jÚÈ2É�ʣΤÙ�Ý�Ø�ÊvËjbIb3ÌÜÍòÕvÖ`×´×áÊpßcd Ö`×´×|Ñ*É�ÊÎ�Ì´Î�ÊvÍhgyÖ`Î�ß�Ö^×´Í Ð-Ö`Ô�Ô�ÊpÖ`ËðÍ>ÌáÎÓÑ*É�ÊÊ#P�Ô�Ë*ÊvÍ*Í ÌáÐ�Î(d Î�ÌáÎ�ÊfÑ�Þ¾Î�ÌáÎ�Ê^ënÐ^Î�Ê=ɤÙ�Î�æß�Ë*Êvß|ë�ÕðÉ�Ö`Î�Ò^Ê9É�Ö^Î�ß�Íhg�ë�Ö>Í ×áÞgÖ`×´×´Ù�æÍ ÌáÐ�ΧÑ*Ð Ð�Î�Ö`Î�Ì´Í Ý>Ú

� ~��?kÜ������x!��ý�{�þ�ÿ ~���þ��òý|Ó�{mlò{/��þw���gþon ¨�¨�¨�²�²¤²�¨¼ �|À ãì�,���p�@�p���p�b�¤���X���,���n�������@�j�������j���y�����p�.����v���� ����s�,����p���)���5q ¨ v ¨�¨ v ¨�¨�¨ v ¨�¨�¨�¨ v ¨�¨�¨�¨�¨�¨ ¨¼ ¡ìÀ�»��p���@�à�n�=�����0���8�����p�@�1��� �0�� ��g¡���� �,�)�p���à���@�p�¨�¨9²¤²¤²�¨ �j�9���,���p���)�>���¦�n� ��§¼ �¤À µª�v���@�@ ����¤�,���� ��j���n�@�ò�n�(=���b�n��� �@�p�������,� ��§ �+�!�� ��j�? ¬ � ¢��n�=���g�j�s�n�Ó�p�]�ô�p��� �p�)�,���j���¿�"���,�� ��7���`p �p ��X��n�=��� ��§6q Ê � ¼ �)�!� ? ¬ � Àû>���� ����>�n����� ? ¬ � �����!�j����� �p���&�� ��g¡���� ¨�¨9²¤²¤²�¨ �����p�p ���j������¨¼ �ìÀ�»��p���@�+�n�=�����,���ú�� ��g¡����s���,���p���)�b�����p� �]§ ���Ï�-���8��!�j�p�,�ª�,���p�@�+���� ��Ï¡����(�,���p�������,�p� ¨�¨9²¤²¤²�¨ ¨ ¼ ­§�j�|�]qµª�v��¯� ������<&á��®9�����@�p���¨´ÀŽ��Ä´,�48a�Ä54�,�13J-éêÝ3Ð�ßxH!ï õ�É�Õfõ�S\J*$iH�Tsr 8 ë,Ñ É�Ê3ÕfÐ�Î�Ò^Ë*Ù�Ê¿Î�ÕfÊÕf×ÜÖ^Í*Í�Hutwv(JãØ,ʿ״Ð^Î�Ò�Í�Ñ Ð�Ñ É�ÊãÒ^Ë*Ð^Ù�Ôx º Ð^õ�Ù�Î�ÌáÑ*Íyt º Ú�È2É�ÊWd/Ð^Ëðß�ÊvË�Ð`õeJÝ3Ð�ß�Ù�×´Ð�Hugg̴ͪß�Ê�:�Î�Êvß)Ñ Ð�Ø,Ê&Ñ*É�ÊÐ^Ëðß�ÊvË�Hutzv0J2Ö^Í�Ö`Î�ʿ״ʿÝ3Ê¿Î�Ñ�Ð`õ�Ñ*É�ÌÜÍÒ^Ë*Ð^Ù�Ô�Ú� õ�è�{$Jw{$H ó&8 ëXÑ É�Ê�Õf×ÜÖ^Í*ÍHut`v¤J2ÌÜÍ=ß�ÊvÎ�Ð`Ñ*Êvß Ø¤Þ�J,Ú� Ñ;f Í�Ð�Ë*ß�ÊvËÌÜÍ3Ñ É�Ê�Í/Ý9Ö`×´×´ÊvÍ/ѧíXÖ`×´Ù�Ê&Ð`õR| Í Ù�ÕðÉÑ É�ÖXÑÜJ!}~r 8 Ú G Ì´Î�Õ¿ÊòÑ É�ÊHÒ�Ë Ð�Ù�Ô�x ºÉ�Ö�Í���é×H!ï�ʿ״ʿÝ3Ê¿Î�ÑðÍ¿ë¤â�Êò÷¤Î�ÐXâ Ñ É�Ö`Ñ|uï���é8H!ï

s ÿH��Égx ���bý¤þ � ~��?k°�¼ �|À ¨Ó± «�â^« v ¨�¨�± «¿â^«¿â}��� v ¨�¨�¨±Ì«¿â^«¿â^« ¬ â« v ¨�¨�¨�¨s±z«$â&«Oâò���"âò��§�� v ¨�¨�¨�¨�¨�¨�±u«$â&«£â&«O⬠âo���Qâo��«Oâ&« ¬ ¨¼ ¡ìÀ ½ �j����� ¨�¨9²¤²¤²�¨ �j�ã�!���2¢��,�j�,�����!�j�v�@�p�ò���p���!���2¨H·ª ��g¡����v������!���p�j¡��j�Ï¡�� ¦ �����ô��� § �@� ¦ ¨b®9�! �� ¨�¨9²¤²�²\¨ �j�&����������!���p�j¡��j�Ï¡�� ? �,� ¦ �,���ú�j�>�p�����v�����@�v�b���@���v�j�+�Ï�����p���§ ¨¼ �¤À ��§ � Ê � © ¬ ¼ �+��� ? ¬ � À`¢ ��§*� Ê ? ­�­ ¼ �+�!� ? ¬ � À^¢��§�� Ê ? ­�­ §�±u¨�â ? ¬ � ¢ � Ê � ¼ �)�!� ? ¬ � À`¨�­ª��������¢��§ ���,�7�@�v����� ¦ �+���� ��j� ? ¬ � ¢9����� �p� ? ¬ � ���8�!�j�������§ � å}�(±u¨�¨�¨�¨�¨ ¨¼ �ìÀ ½  ������@�v� ¡ �j�����@���p�j�+�������n� ��§ ¨Ó®9�����à¡ ��¯� ��j����&ö�®9�����,�p���.¢ ��§��2�cä!� Ê � ¼ �)�!� ¡ À^¨ô­ª������� ¡ ���8�!�j�������§��2�cä!��åÅ� ¢��������X�1�j�ª�,� � �,���8�*�n���M�\���������������!���g�� ����¡�����¨��� ��g¡�����¨

? ¨

Page 32: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

+-,�7pÄÂdΪÖ<Ô�Ù�Ë*ʿ״Þ3Ô�ÊvË Ì´Ð�ß�Ì´Õ¾ß�ÊpÕfÌ´Ý3Ö^×�ë�Ñ*É�ÊÕfÐ�Ë Ë*ÊvÍ Ô,Ð^Î�ß�Ì´Î�Ò�õêË*Ö�Õ\Ñ Ì´Ð^Î É�Ö�Í�Î�Ð ; f ÍÐ^Ë ��f Íãß�Ìáí¤ÌÜß�ÌáÎ�Ò ÌáÑ*Í�ß�Ê¿Î�Ð�Ý3ÌáÎ�Ö`Ñ Ð�Ë�Ï�3��x!�m� �>x ��{/þhÓ�{/z wyx!z|{ }ô~=� � ®9�����p� �,�v� ���@����n���p�+�j�=���p�j���Ï�������j�)�,�j�3���H�p���&���@�p�� ±u§�² ®- � - á ²¤²¤² ®-I]®9�����.�=�]�,�Ï����� �]� § ����������v�j�!����¨��0�-����=�����p�j�@��¢=�p ��X��,� � ���y��+� =�,�&�n���p���ú�p �� �����p���ú�j��=�����n�1�,���@�+���p�p�j��p���p�j��� ¥- � - á ²¤²¤²8-�]��§ ] ¢ - � - á ²�²¤²8-�]�]§ á ] ¢ ²¤²�²± - � - á ²¤²�²8-�]��§ ] � � ¢ ���§ ] ¢ � ���§ ] � á ¢ ²�²¤² ± - � - á ²¤²�²8-�]��§ ] � ��¤å �� �#� �± - � - á ²¤²�²8-�]��§ ] å}� ± - � - á ²¤²¤²;-I]¨�¨9²¤²¤²\¨ v�������v�7�n���|=�=�,���������@�)���=���p�@�«�=�,��������������¨Ó�\�����p� ]n[I�h��o�X[ph ���@�p�.¢@�n���ª�������@�+�j�=���n�@���,���n����=���,�=���n�,�^�n�j�,�������j�¡��«�����8�����p�@� �,� ¨�¨�²�²¤²\¨s±I��§ ] å;� ¨

«�§

Page 33: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

�úÇ�Æ�Ç���Â6.w+-¸È2É�Ê9Ý3Ì´Î�ÌáÝ9Ö^×�ÕðÉ�Ð�Ì´Õ¿Ê Ð^õjQgÕ¿Ö`ÎgØ,ÊÊ#P�Ô�Ë*ÊvÍ*Í Êvß3ؤÞ9Í Önޤ̴Î�Ò�Ñ É�ÖXÑ�Q3Ì´Í�Ñ*É�ÊÐ^Ëðß�ÊvË�Ð^õ 8 è<Ý3Ð�ß�Ù�×´Ð�LnÚ®9���g���p�@ ��+���|�ª�¤�,�¡��s�p���@���p�p���2¨ ³ã�^� !&¡��Ï�+�����!�j�v�@���,���§ ] å;� ¢��n�]� ��§ ] å��>± ! -�,���7�,�p�v ��)���n�������+�=�,�<¡������ �X���,�p���-�����v�7�,���ì�,�<���@�v�p�×�¡��j��¨½³ã������ �!(¡��s�+�v���� ������.���n�,�^�n�j�,� �����n�V�|{}!�¨£®9������ ! ± � -! - ± � -��§ ] å;� ± � -¨�¨9²¤²�²�¨ ¼ �y���������`À�,���ú�p�������£� - {I! -b± ¨�¨�²�²¤²�¨ ¼ �ú���������nÀ^¢ã���)���,� ���v���p��n���«�����p���@���¤� - �j�-¡=�,�v���ð�p���-���@�p�.¢� -9±:- � - á ²¤²¤²4-�]�������v�b���,�p�p��¡����-�p���b�¤�,�v������j�,���n� - � v - á v ²¤²¤² �,�p��ß����v��¨s�ð����@�j������� �n�=���� ! ± � -�]§ ] å}� ± � -��§ ] � ��¤å �� �#� �± � -�]§ ] � � ¢ ��]§ ] ¢ � ���§ ] � á ¢ ²¤²¤² ± - � - á ²¤²¤²8-�]��§ ] ¢ - � - á ²�²¤²8-�]�]§ á ] ¢ ²¤²�²± §�² ®- � - á ²�²¤² ®-�]�j� ���������7���ª�����X���p�j�@�2¨ �ð� �j�7���@�����������,¡��j���p�=��� �p���Ó�p�M�+� �������� - � - á ²�²¤²8-�] ���<�s�v��+� ��������>�,���p���� ��v�p�j�����v��+� �����������,�3�v�7���j�j���>�����p������¢ò���,�s�����v�n�,�����,¢����s�)���@�|�«¡��+��+� =���£�p���«���«���« ¨��  ��«�p�����ú�n�������������7�,�H���@�Q�� �!�� �, ��j� �=�]�@�)��p�)�,�j�����9�����v�j�!� �-�n�=�,��� ¼ ? �j���v�n���,����� ª ���.�p���s��Þ��,������j�¤À^¢��,��� ¡��ó�p���Ó�¤���p�j�����+�p���,�p�@���j����¢3�p���Ó�v���� ������0���M����@�+�j�=���n�@��!&� �@ ��j�1¡��b�7���8�����p�@�ª�,� ��§ ] å � ¨,�  ��(�n������ �, ��j�y���@�|�n�n�����j�^�3�@ ��3�,�p�v ��)���n�j�,�7�n�=���w� �j���p���>�v�7�,���8����¿���� ��Ï¡����«���,�>�����j�X� ��§ ] åu� ���«�.�Ï ����p�j�����Ï�,��!�¨)®���p ��+�)�,�p���p�,¢!� �s�=�]�@�s���v�6�,���.�n���&���@���j�����j����q

È2É�Ê�Ë*ÊfÑ Ù�Ë Î>Ð`õ��ìÙ�×´Ê¿ËãÌÜÍ2Î�Ì´Ò^É�î � ~����e� �Q��þwn�þ��¤{dý�{�þ�ÿ�� [^Z �� �! @^[�e ]n[ph����X[phT]pe,Z/a*Y�c�e,ic���_A@^[^] D adZ�r § {æ�`{æ! t W2r=[1h![4�^ad_+e,i�]n[\o�]X[Xk�[^c=Z*e��Z a*Y�c�J¤Y�] �� �! ajk+o��!]n[^iml.o=[^]`a*Y�h,ah� D adZdr o=[^]`a*Y�h � a Je,c�hY�c=imlÏa J ! h,a���a/h![Xk ��§ ] åo� e,c�h � ajk(Zdr=[ªk^_+e,idij[Xk^ZHc���_A@^[^]J¤Y�] D r!ah�Xr+Z�r!ajk§ajk§Z/]��ì[ B a/t/[�t � ajk§Zdr=[sY�]vh![^]>Y#J ��§ _7Y�h��!ijY! F t

«��

Page 34: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

��Yòx��9{/ÿ�~�� ü z@x!ÿòx ©ô�y�=�]�@�y���¤�,�¦�Ï�����p�¶�n���p�+�j�=���p�j����������j�)�,�j�ª�,���������p�j�!���������������7�,���§©ô�g���,�1�����ä�� ��>�p����\� �§�j���¤�,�2�p�@�@���p�����2�p�9� �@���>�@ ��ã�p�������@�p� �,�!�n���£�������j�)�,���Þ��=�,���p�j�,�¶�,�§��,�������n�,���n���p�j�@�=�����! ��g¡����g�j� �n���)�@������j�|�n�������,� ¼ § v � À`¨ ½  ��X���b�! ��g¡������¤�,��,��� �]�!�§¡��&���p�¦�p�n����j� �p���&���@�p� �? Í ¦ Î�� ¼ « ¨´�@À�������v�b������� � v ��§ � ± � ¨�·ª�,�p�g�n�=���(�n���b�� ��+���p���n�@� �.����j���p� �p�=�,�2¢=�����-���@���v�j�+�ª���¦�n�2¢��p���&�������@�+�j�=���p�@� ?�Í ¦�Î � ¨®H�´=�v�  ��7�@ ��£�����¤�,��¢!���(����=���§���@�p�)�,�����s�n���§���@���������n��,�H�����j��� �,���.�����p�����2¨� ~��?�Ü�bwyx p¾ÿ�{�ý�{�þ�ÿ�¸E�����p���������«�������j�)�,�H����p���g�j�|�p�������,�¼ § v � À��¤�����,�¦�3�]�!��¡��&���v���p�p���-�j�y�p���&���@�p�§�² � � � á ²¤²¤² � ) ®- � - á ²¤²¤² ®-I]�����p� � ) ÿ±�-�] vw' Ñ § ¢ì�,������Ñ � ¨�©ô�s���,�j��'1�p��� h![^i¦e,l�,���~� �n��� o=[^]`a*Y�h ���¾�n���j�9�������j�)�,� ¨³ã���!&ö���j�!���)�,�|�,���-���§�p�@�+�&��Þ��,�+���j����¨

� Â6.�¶�¸�.¦Â�7�,�4 � 4XÂ61D7 õ�Ñ*É�Ê âãÌáÎ�ß�ÐXâ Ð`õ§Þ�Ð^Ù�ËgÕ¿Ö^×´Õ¿Ù�×´Ö`æÑ Ð�Ë�ß�ÌÜÍ/Ô�×´ÖnÞ�Í�õêÊ¿â�Ê¿Ë�ß�ÌáÒ�ÌöÑðÍ=Ñ*É�Ö`Î3Ñ*É�ÊÍ Ù�Ý Ð`õ=Ñ É�Ê ß�Êv×´ÖnÞ>Ö`Î�ß>Ñ É�Ê Ô,Ê¿Ë*ÌáÐ�ßÐ`õ!Ñ É�Ê�ß�ÊpÕfÌ´Ý3Ö^×�ë�Þ�Ð^Ù�âãÌ´×´×|Î�Ê¿ÊpߪÖ�ߤæß�ÌáÑ Ì´Ð^Î�Ö^×�Í*Öní¤í�Þ§Ñ Ð�â�Ð^Ë*÷§Ð�Ù�ÑòÑ*É�ÊvÍ ÊΤÙ�Ý<Ø,Ê¿ËðÍvÚ

� ~��? Ü�x�+��x!��ý�{/þ�ÿ��>þ�ÿ¢¡�þ�ÿ�z���x|ý�xOùxÝã~=}onH��x��¤ã=�@�����,�X��,���n���&���@���j�����j�������n�,�^�n�j�,���5q¼ �dÀ ¦? ­ ¼ �j� À ?¬ ¼ ���j�dÀ ��§��«�¨�¨�¨�¨�ª ¼ �8��À ����«© ¬ ¦�§ ��p� �,�@ ��9���,�j�� �� ���p�@�£�n�g���@���)�@ ��3�p���&�����j�]�@¢�'�¢��,��� �p��������p�����2¢£��¢H�,� �p���+���@�v�p���v���,�����j�����������j�)�,� ¨ ·ª���E���v���p��n���&���p�,���p�j�@�y���-�p���&���@�p� �? Í ¦ Î���,��� ���@�+�� ��n���7��Þe��Ï�v\Ð �ú�,��� �p���Ó�@�v����� ��� ��§ �+����� ��j� � ¨�° �@�+�=�,�p�-�,�@ ��§�,���¿� ���p�(���y�n���´=�p�¿�ª�,���.�p�����@����p�����n���@����¨£©0���������O�@�@ .���@�����j �����¬s ÿH��Égx ���ý�þ � ~��? Ü� ¼ � À �áE� ± §�² ? § © ®« v�' ± « v¤� ± � ¨�áE� ± �á�¥���¦ � ¢ã�7��Þe� « v § � ± « v « � ¼ ��§ � åu� À`¢ã�p�y�n���b�@�p������,� ��§ �+�!�� ��j� « �j� � ¨ ¼ ���dÀ á § ± §�² ®?�© ¦ ¬ � ®­ v�' ±Ë§ v`� ±Ëª ¨á § ± áá�¦���¦ § v)�7��Þw� § v § � ± § ¢��n����@�v�����+�,� ��§ �+�!�� ��j�¬ ��� ª ¨ ¼ �j���dÀ � �;���������� ��� ± §�²Ú§�§ ®§�§�¨�§ ®¨ v�' ± ? v~� ± ¦ ¨� �;���������� ��� ± � �;�á#¨E�#¨ ��������� v)�7��Þe� ? v ? � ± ? ¢��p�����,�p�����)�,� ��§�)�!�� ���� ��������� �j� ¦ ¨ ¼ ����À ��� �© § � � ± §�²Ú§�� ? ¨ ®� ­ ?�© ¦ ®¬ ¨ ��� �© § � � ±��� �á;ªm��« § v��7��Þw� � v ­ � ± ­ ¢��p���«�@�p�������,� �]§ �+�!�� ��j� ¬ ± ª ¨¡�þ�ÿ�z|�/�H�¤{�þ�ÿ�²¬' ± �7�6Þw��Ï0v\Ð ��¨~� ± �n���7�@�p�����Ï�,� ��§�)�!�� ���� � ¨

« ?

Page 35: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

©��ª�,�v�ª�����0�v�¤�,�����p�s�p���j�=�p���§�� ��j�=�v�p�@���)�,¡��@ ����������j�)�,��p�����p���p���|�n���n���@���§�,���p���n���@�=�,�2�� ��Ï¡����p��¨<©0���p���@ ��§�j�,�p���,��@�������n���j�����,¢��������@���v�j�����§�,�����)�n���«���@�p�¦�n���,�&�@������¨­fÆ�7vÄ]2�4nÂ�.�®HÂ�4\7ñòΤÞ&Ë*ÊvÖ^×�ΤÙ�Ý�Ø�ÊvËXðgÕvÖ`Î�Ø�Ê3âãË*ÌöÑ æÑ ÊvΧ̴Î9Ñ É�Ê�õêÐ�Ë ÝòH�v°¯(âãÌáÑ É(H"N,tÖ`Î�ß�è9{±¯ËU 8 Ú È2É�Ê�ÌáÎ�Ñ*Ê¿Ò^ÊvËH ÌÜÍ&Í Ð^Ý3ÊfÑ*ÌáÝ3ÊvÍ>ÕvÖ`×´×áÊpß-Ñ*É�Ê�AC_�BfF#"Y�Wi�@a�<��@W�B�Ð^õ6ð�Ö`Î�ß�¯<Ñ É�ʳ² Wi��l�B�A8>M_��Ma<��@W�B2Ð`õ�ð!Ú

� ~���tH´Ü� ��Yòx�þw��x!} � [^Z � @^[ge�o=Y�k^adZ a��,[s]ve,Z/a*Y�c�e,i�c��!_¤�@^[^]�tbW2r=[^]n[&[¶µ@ajk^Zòc�Y�c��\c�[hG|e,Z a��,[9adc=Zf[hG![^]nk ��v@! e,c�h ¡ kI���XrZ�r�e,Z � ± ¡$¢ � !D r=[^]n[ §'þ �b{`! t � kXkI��_7[ D adZ�r=Y6�!ZªijY�kXk)Y#J°G![^c�[^]ve,imadZ lZ�r�e,Z ��· § e,c�h ���^������v@!]� ± � tA¸s[¶µ@Z D ]^adZ\[ ! ± ? Í ¦ Î �D adZ�r ������� � v ��§ � ±`�*¹ e,c�hbk�[^Z' ± �)��Þe��Ï0v\Ð � ¹ e,c�h� ± Zdr=[bY�]vh![^]ÏY#J ��§ _7Y�h��!ijY � tW2r=[^c¼ �|À a J � ± �*¹ Zdr=[Ïh![4�^ad_+e,i2]n[\o�]X[Xk�[^c=Z/adcHG � Zf[^]`_badc�e,Z\[Xk 'h,aºG,adZ�k&ZfY+Zdr=[s]`aºG�r!Z�Y#J«Zdr=[�h![4�^ad_+e,i�o=Y�adc=Z ¹ e,c�h¼ ¡ìÀ a J � · �*¹ Z�r=[^c � r�e�kbego=[^]`a*Y�h,ah�bh![4�^ad_+e,iH]n[\o�]n[Xk�[^c��Zðe,Z/a*Y�c Y#Jyh![^i¦e,l ' e,c�h o=[^]`a*Y�h � t¼»^Z&Zdr=[^]n[mJ¤Y�]n[7r�e�kZ�r=[yJ¤Y�]^_ � ± ¡½0 � � � á ²¤²¤² � ) ®- � - á ²¤²�² ®-�]�²©ô�&�=�]�@�&���@���«�,�j�ì�n���>���@���)���@� �p���&���v���,�f¨¾�ð� � ±`� ¢��p���&�,���v�������j�3�,���@���y�j�-»��p�,���@�v���p�j�@� « ¨ ¦ ¨º �y�n���«�,�p�������=�,���2¢=��� � · � ¢��n������]§ ) �! ± ? ) / Í ¦ ) / Î �� ± p ¢ -������p�¾p #}% v §Ùþ p { ��§ ) ¢H�,��� § { - { � ¨c�0� »��p�@���@�p�¦�n���@� « ¨ ¬ �n���+�������j�)�,�¾���,� - � ����� ��v���8�y�����p���������>�,�H�����p�������-�,���.�p�+���p ± ��§ ) / � � � ¢ ²¤²¤² ¢ ��§ � ) / � ¢ � )�����p� §Oþ � 3 þŨ �,��� - � ±u§�² ®- � - á ²¤²¤² ®-I] ¢�� �«���@������ ����&�n������ ! ± p ��§ / ) ¢ -� ��§ / )± � ���§ ¢ � á��§ á ¢102020�¢ � )��§ ) ¢ - ���§ )�7 � ¢102020± §�² � � � á ²¤²�² � ) ®- � - á ²¤²¤² ®-�]�²�ð�&�n���������p�������j���¦�����v�n�,�v�p��� ���,�p���j���+�p�=�,���p���¿' ¢ � �¿� ���������7�,�����j�,����¢9���+� �, ��j� �v�����v���v���|�.��n���n�j�,�=�,�������@�p�s�������@�)���=���p�@�3���8��������� ��§ ) / ��À �����p�.�����5� À v ��§ � ±`� ¢ì�,���-�p���j�����9���,�9�n���s���,�p��¨­ª�������"� ) ÿ±.-�]

«�«

Page 36: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

�ìÙ�×áÊvËãË Ê¿Ñ Ù�Ë*Î�Í2ÖXÑò×ÜÖ^Í/Ñvî ¡�þhÓ�~.Á ¡Ï~�� z|���/~�ý�{ ÿ3�Tý�Yòx �>x ��{�þhÓT�ð� ���)�¿�n�n���j�@�|������@�v� �,�v���n� �����n���p�+�j���«�n���g�����j�]�~'��,�<�7�n���n�j�,�=�,�ã�� ����¡�����¢3¡� ��7�v�@�+�����=���)�n�v�j�@���j�����p�����,�j�� �� ���p�y�n��������p�j�!�2¨¯� ��j����&ö�3®9�����,�p��� ���,�)��� �n�Ï�p���>�v���p�� ��&�����p�,¨£�ð�3�p�����j�< ���n�=��� ��§ �2�ÃÂ�� Ê � ¼ �+��� � À�,���ó�p�����*������� �n�=���+�n���Ó�@�p�����+�,� ��§ �����!�j�����cÄ ¼ � À^¨�ð�7���@���j�����)�p�=���7��� ��§ q ÿÊ � ¼ �)�!� � Àb���@� ��� �����p�,����������!���p�@�y�,�¤Ä ¼ � À`¢(�n����� �]§ �g ��v��=�]�@���,�p�����.���p�����j�v�����Ä ¼ � À`¨(®��y�j���j ��¿�n�n���n�&�n������¢��j���( ��>���@���.�@ ��ª�n���g�,�p�����>�,���§ �+���� ��j� ¨ ¬ ¨ ½ �j����� ¨ ¬ �j�H���p���)��¢ÅÄ ¼ ¨ ¬ À ±u¨�ªs± ? ��â´« ¨½ �j����� ¨ ¬ ÿ � ¨�¨�¨-±Ì�]§ � åË� v �]§ �������s���,�«�=�]�@�+�@�p����� «�)�!�� ���� ¨ ¬ ¨£·§�����§ á Ê ��§�§ Ê « ¼ �)�!� ¨ ¬ À��§ � Ê « á Ê ¨ ¼ �+�!� ¨ ¬ À��§ © Ê ¨ á Ê © � ¼ �)�!� ¨ ¬ À��§ � Æ Ê © � á ±Ëª�¦�ª�� Ê ª ? ¼ �)�!� ¨ ¬ À��§ � á Ê ª ? á ±Ë« © ­�­ Ê ª�� ¼ �)�!� ¨ ¬ À��§ � © Ê ª ? � Ê ª��Qâ&ª ? Ê ¨�ª ¼ �+��� ¨ ¬ À�ð�����@�j�������9�p�=��� ��§ �=�,�§�@�p����� ¨�ª �+���� ��j� ¨ ¬ �,���.����������n�=���§�,���-���@���ð�j�|�n���@�n�,���n���p�j�@���,�2�� ��g¡���� ¡ ¨ ¬ �j�9�p�����p�M��p�����p���¡ �y�+���������7�,���,�H�����p�j�!� ¨�ª ¨®9���j�¾�p���^�n���@�b�j�H�����v�����^�n�8�g�p ��)�)�,�p���p���g�j�Ï�p���3�¿�X���p���+���|��,�H®9�����@�v��� « ¨ ��§ ¨

s ÿ���Égx ���gý�þ¶wyx!z|{ }ô~=�������|����x!�© ¨� ? « ± §�² ®¬ ? «�¦ ®¬ � ­§�®�¯<° �¦­ � ± §�² ®� ? ��¨ ®¦ � ·­§¸ �¦«�¨ ± §�² ®� ?�©|? § ®¦ � ®º ­ �

« ­

Page 37: M A 2 4 6 - clux.x-pec.comclux.x-pec.com/files/mathstuff/2ndyear/oldhelp/MA246 - Number Theory... · ³B´ µ ¶·R¸`¶º¹w»¯¸)· ¼ µ¾½-¿(À µ\µ ¿ m wa§ÁÂv!aj Ã^b]in

egf,ÇÈDZÉRÊ�ËÍÌ�Î.ewÏ�Ð�Ñ�Ò#ÌzÓÕÔÖ�×ÙØ*ÚRÛhÜÝÜ2Þ³ßÅØ*ÛhàO×�á¬Þ.Ø*à£à�â�ãäßæåçàOÜ2ÞæèÝåhàjà�âéãoØÝØ*ÚyÞ.êKè6Ü!ØÝëOÞ�ã�èÝì¿×Kã�å ëíÜ6ÛçܼØ*ÚyÞæà�è�Þ³îÜ!Ø�ã�Ø*Ûh×yïMØ*ÚKã�Ø(è*ã�Ø*ÛhàO×Kã�å�×jðRî¼ñsÞæè6Ü(ã�è�Þòß�ÚKã�è�ã�ßuØ6ÞHè*ÛçÜ2Þ³ó�ñ�ëUÚKã³ôyÛç×yïcè�Þ³ßHðyè�è6Ûh×yï½óyÞæßæÛçîõã�åè�ÞæöRè�ÞæÜ2Þ³×�Ø�ã�Ø*ÛhàO×RÜH÷ÝøùÛ Ø*ÚRàOðíØ[åhà�Ü6Üúà�ûAïOÞæ×yÞæè*ã�åçÛ Ø�ëOüwá¬Þ�Ü!Ø*ðRóRÛçÞæóÈè*ã�Ø*ÛçàO×Kã�åý×£ðRî¢ñsÞæè6Üìíþ�í Ü6ã�Ø*ÛhÜ2û�ëíÛh×yïÿØ�áMà¼ßæà�×RóRÛ Ø*ÛhàO×RÜ��� ÚRßuû�� ì���í�� 5�� ìíþ�í Ûh×�ÛmØ�ÜMåhà�áMÞæÜ!ØMØ6ÞHè*î Ü� ����� ì � í � ��� ìíþ�í � 5

� ÚyÞ9Ü2Þ³ßuè�ÞHØúÛçÜ¿Ø�à1Þ��íöRè�Þ³Ü�Ü¿Ø*ÚyÞ9óyÞ³×Rà�î�Ûh×Kã�Ø*à�è í� ��������� á�Û Ø*Ú � ßHà�öRè6Ûhî Þ¾á�Û Ø*Ú5� ÷,ø±Þ[Ü�ÚRà�á¬Þ³ó Ø�ÚKãoØ ìíþ�í� Ø6ÞHè*î Ûh×Kã�Ø6ÞæÜAÛ! �� 5 ü� ÛçÜMöKðyè�Þ³åmë özÞHè*Ûçà£óRÛçß Û" $# &%$ � ü� Ûç×ùïOÞæ×yÞHè�ã�å8ü¿ÚKã�Ü.óyÞ³åhã�ë�Þ�'jðKã�å¿Ø*àÙîõã�����# �(%)� ã�×RóÕösÞæè6Ûhàjó Þ�'jðKã�å¿Ø*à�Ø�ÚyÞÜ�îõã�åçåçÞæÜ!Ø=ö�à�áMÞHè+* à�û 5 � Ü�ðRß�ÚeØ*ÚKã�Ø � óRÛ ôíÛhóyÞæÜ 5 � Q 6 5,� *eÛçÜ�Ø*ÚyÞ.-�/10324/�à�û5

� î�àjóRðRåhà � ã�×Ró.Ûhܽã9óRÛ ôíÛhÜ�à�ècà�û65 � � 7 �÷

«�¦