Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
สมการเชิงเสนไมเอกพันธที่มัสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่
สมการเชิงเสนไมเอกพันธอันดับ n คือ สมการที่อยูในรูป
y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x) −−− (∗)
และจะมีสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง คือ
y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = 0 −−− (∗∗)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 1 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
คำตอบทั่วไปของy(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x)
สำหรับคำตอบทั่วไปของสมการ (*) คือ
y(x) = yc(x) + yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + ...+ cnyn(x) + yp(x)
โดย yc(x) เปนคำตอบของสมการเอกพันธที่สอดคลอง (**) และ yp(x) เปนคำตอบเฉพาะของสมการ (*)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 2 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
ขั้นตอนการหา yp(x)
ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง สำหรับสมการเชิงอนุพันธอันดับสูง เรามีวิธีการหา yp(x) อยู 2 วิธี คือ1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์2. วิธีแปรผันพารามิเตอร
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 3 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
วิธีที่ 1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์
ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง วิธีนี้จะใชไดเฉพาะสมการเชิงอนุพันธที่อยูภายใตเงื่อนไขตอไปนี้1. สัมประสิทธิ์ของสมการเอกพันธที่สอดคลองของสมการนั้นตองเปนคาคงที่เทานั้น2. พจนของ r(x) เปนฟงกชันที่เกี่ยวของกับฟงกชันพหุนาม ฟงกชันโคซายน ฟงกชัน
ซายน ฟงกชันเอกซโพแนนเชียล หรือเปนผลบวก หรือ เปนฟงกชันผลคูณของฟงกชันดังกลาวเหลานั้น
*** ซึ่งมีหลักเกณฑในการกำหนด yp(x) เชนเดียวกับการกำหนด yp(x) ในเรื่องสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง โดยจะตองกำหนดให ไมซ้ำ กับคำตอบใน yc(x)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 4 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 4.9..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = e−x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 5 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 6 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 7 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 4.10..
......
จงหา yp(x) ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′′ + 2y′′ + y′ = 2− x+ 3xe−x + sin x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 8 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 9 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 10 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 11 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 4.11..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ
y(4) − 2y′′′ + 14y′′ − 18y′ + 45y = cos x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 12 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 13 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 14 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 15 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 4.12..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ
y′′′ − 3y′′ + 9y′ + 13y = x cos 3x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 16 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 17 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 18 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 19 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′′ − y′′ − y′ + y = 2e−x + 3
(ii) y′′′ − 3y′′ + y′ + 13y = e2x cos 3x(iii) y(4) − 4y′′ = x2 + ex(iv) y(4) − y = x sin x(v) y(5) − 4y(4) + 3y′′′ − 4y′′ = 2x+ 5 + e−x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 20 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร
ทำนองเดียวกันกับสมการเชิงอนุพันธอันดับสอง วิธีแปรผันพารามิเตอรนี้เปนวิธีที่แพรหลายกวาวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะวาสามารถใชไดกับสมการเชิงเสนไมเอกพันธในรูปแบบทั่วๆ ไป คือ สัมประสิทธิ์ไมจำเปนตองเปนคาคงที่
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 21 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร
ผลเฉลยเฉพาะ yp(x) ของสมการเชิงเสนไมเอกพันธ
y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = r(x) −−− (∗)
** อยาลืมวา สัมประสิทธิ์หนา y(n) ตองเทากับ 1 หาไดจากสูตร
yp(x) =y1(x)∫ W1r(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx+ y2(x)∫ W2r(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx
+ ...+ yn(x)∫ Wnr(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 22 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
วิธีที่ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร
yp(x) =y1(x)∫ W1r(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx+ y2(x)∫ W2r(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx
+ ...+ yn(x)∫ Wnr(x)
W(y1, y2, ..., yn)dx
เมื่อ y1(x), ..., yn(x) เปนคำตอบของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง (**) ที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันและ Wi คือคาดีเทอรมิแนนทซึ่งไดจากการแทนคอลัมภที่ i ของ W ดวย[0, 0, ..., 0, 1]T
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 23 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 4.13..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ
y′′′ + y′ = sec x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 24 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 25 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 26 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 27 / 28
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′′ − y′′ − y′ + 6 = x(ii) y′′′ + y′ = tan x(iii) y′′′ − y′′ + y′ − y = sec x(iv) y′′′ − y′ = csc x(v) จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 2x4, x > 0 เมื่อ
ทราบวา x, x2, 1/x เปนคำตอบของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 4 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 28 / 28