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Obiettivo della ricerca L’obiettivo della ricerca è consi-stito nella definizione del collasso di volte in muraturarinforzate con elementi in FRP. A questo proposito, unacampagna di prove sperimentali è stata condotta su proto-tipi in scala reale e, sulla base dei risultati ottenuti, sono statisviluppati modelli previsionali, formulati in veste analitica(forma chiusa).È bene sottolineare che la ricerca ha limitato l’attenzionealle sole volte, escludendo i piedritti, potendo quest’ultimiessere gestiti senza particolari incertezze rinforzandone laresistenza a flessione, oppure – ove possibile – applicandouna catena tra le imposte.[3-5]

Le prove sperimentali La sperimentazione è stata con-dotta su prototipi di volte a botte nervate ed a crociera,aventi dimensioni tali da non implicare effetti di scala.Le prove sono consistite nell’applicazione di un carico cre-scente (su tre cicli), sino alla rottura, e nella misura deglispostamenti di punti prestabiliti. È da rimarcarsi il fattoche, in tutte le prove effettuate, le imposte delle volte eranoimpedite di traslare.Con il proposito di mettere in evidenza i riflessi dovuti airinforzi, i prototipi sono stati provati prima in condizionidi muratura semplice e, successivamente, in condizionirinforzate. A tal fine, le prove sui campioni non-rinforzatisono state arrestate a fronte o dell’innesco della labilità,oppure di un apprezzabile calo di portanza, salvando così ilprototipo, il quale poteva quindi essere riparato posizio-nando in aderenza elementi in FRP e nuovamente sotto-posto a test, stavolta fino al collasso.

Prove a rottura sulle volte a botte nervateTre prove a rottura sono state eseguite su altrettanti cam-pioni,ottenuti da due prototipi di identica geometria (fig. 1):1. uno dei due prototipi in condizioni non rinforzate;2. il prototipo provato nella prima esperienza con incolla-

te strisce in FRP disposte a cavallo delle fessure manife-statesi nel corso di tale prova (fig. 2);

3. l’altro prototipo, con incollate strisce in FRP diffuse suquasi tutto l’intradosso e l’estradosso (fig. 3).

L’azione esterna è consistita in un carico applicato ad unquarto della luce – e quindi generando una risposta non-simmetrica –, distribuito lungo una generatrice e, quindi,in assenza di effetti longitudinali (volta a botte piuttostoche cilindrica).

Prove a rottura sulle volte a crocieraDue prove a rottura sono state eseguite su altrettanti cam-pioni, ottenuti da un prototipo:1. il prototipo in condizioni non rinforzate;2. il prototipo precedentemente provato con incollati tessu-

ti in FRP disposti a griglia, sul 40% del solo estradosso.

Volte in muraturarinforzate con FRP

Roberto Di Marco, Paolo Faccio

Paolo Foraboschi, Enzo Siviero

L’incollaggio di rinforzi a strutture voltate in muratura rappresenta una tecnica

assai diffusa nella pratica. L’apparato teorico di supporto è tuttavia ancora lacunoso

e, pertanto, una netta cesura esiste tra teoria e pratica

Nor

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’incollaggio di elementi resistenti a trazione – detti“rinforzi” – sul contorno di strutture in muratura con-ferisce al materiale murario quella resistenza a trazione

che, congenitamente, non possiede. Tale tecnica eliminaquindi l’aspetto meccanico più sfavorevole che caratterizzale murature, assicurando indubbi vantaggi strutturali.Ma non solo. I rinforzi possono essere localizzati sui solicontorni in trazione ed avere sezione estremamente ridot-ta, comportando quindi contenuti apporti materici; inoltre,sono rimovibili. Infine, i rinforzi tendono a non alterare ilcomportamento d’esercizio e, nelle situazioni estreme, essisi limitano a collaborare con la muratura.Tutto ciò consi-derato, la tecnica in questione assicura indubbi vantaggianche nella prospettiva del restauro e della conservazio-ne[1], sebbene un suo esame più approfondito ponga inevidenza alcune questioni teoriche fondamentali.Innanzitutto l’aderenza di un rinforzo ad una struttura pro-duce un campo di trazioni nella struttura stessa. Quandopoi i rinforzi sono applicati al contorno di una volta, l’a-derenza determina un ulteriore campo di trazioni, in quan-to, come ovvio, le τ scambiate tra rinforzo e muratura pre-sentano risultante non nulla, in ragione della curvaturadelle superfici di supporto; quindi l’equilibrio del rinforzoimplica anche uno scambio di σ (il cui verso è dettato dalsegno della curvatura). Ebbene, il campo tensionale pro-dotto dalle σ e dalle τ al contorno può determinare σprincipali di trazione entro la muratura. Perciò, la resisten-za a trazione della muratura è indispensabile affinché la tec-nica funzioni e, pertanto, non può essere disconosciuta.Tuttavia, ai fini delle verifiche di sicurezza, le normativecogenti impongono di non avvalersi di alcuna resistenza atrazione della muratura.Inoltre, una muratura rinforzata non è più considerabilecome mezzo non-resistente a trazione. Pertanto, tutti i

risultati reperibili in letteratura per il continuo “no-tension”non sono applicabili tout court alle murature rinforzate, lequali richiedono invece metodi mirati.D’altro canto, l’idea di rinforzare le murature mediantel’incollaggio di elementi resistenti a trazione è tutt’altroche recente, tant’è che numerosissimi sono gli interventigià eseguiti – molti dei quali documentati in letteratura – ela loro efficacia sembra essere quella auspicata in fase diprogetto. Quindi, a fronte di un apparato teorico ancoraincompleto, si colloca una pratica professionale che oramaiapplica tale tecnica diffusamente e – almeno in apparen-za – validamente, dando così luogo ad una discrasia tra teo-ria e pratica.I rinforzi possono ovviamente essere in acciaio. Ma la tec-nica diviene ancora più efficace se essi sono costituiti dacompositi fibro-rinforzati a matrice polimerica (acronimoFRP). Difatti, rispetto all’acciaio, tali materiali – comenoto[2] – presentano resistenze paragonabili o superiori, masono immuni dalla corrosione elettrochimica. A ciò siaggiunge il fatto, forse meno importante ma comunquesempre a valenza positiva, che la posa in opera degli ele-menti in FRP è più agevole, stante la maggiore adattabilitàdei prodotti alle superfici ed il ben minore peso specifico.I rinforzi considerati nella presente ricerca sono in FRP edappartengono a due diverse tipologie: strisce a fibra di car-bonio e matrice epossidica (68% di fibra), da incollare allamuratura mediante pasta epossidica adesiva; tessuti a fibradi carbonio, da applicare alla muratura e poi da impregna-re con resine epossidiche (ottenendo contestualmente sia ilmateriale composito, sia la sua aderenza alla muratura).Tutti i rinforzi applicati hanno resistenza a trazione supe-riore a 2000 N/mm2, modulo elastico a trazione superio-re a 120000 N/mm2 ed allungamento a rottura superio-re al 17 ‰.

1. Dettagli della volta a botte nervata, della strumentazione di misura, dei vincoli

alla traslazione delle imposte e dei ripartitori della forza.

2. Vista di alcuni rinforzi estradossali. Si osserva una disposizione decisamente

rada in senso longitudinale (ciò rimane vero anche in intradosso); perciò i rinforzi

non precludono la traspirabilità della struttura.

3. Rinforzi intradossali di uno dei campioni a botte.

L

• la crisi della volta a crociera rinforzata in FRP avvieneper schiacciamento. Allo schiacciamento consegue l’ab-battimento della portanza, ma, stante l’alta iperstaticitàdella struttura, non il crollo;

• nella volta a crociera, specie se non rinforzata, gli sposta-menti residui rappresentano sempre una percentuale tan-gibile di quelli totali. Ciò è la logica conseguenza delpronunciato stato fessurativo che precede la crisi.

Modelli teorici per la previsione della portanza

estrema Le risultanze sperimentali hanno supportato lastatuizione di adeguate ipotesi comportamentali. Con rife-rimento alla volta a botte, le assunzioni sono le seguenti:• gli spostamenti ammissibili sono tutti e solo quelli che

non fanno diminuire la distanza tra tutte le coppie dipunti che, nell’indeformata, sono uniti da segmenti nonfuoriuscenti dalla struttura;

• il campo degli spostamenti è continuo sui contornirinforzati;

• uno spostamento ammissibile non fa compiere lavoro alleazioni interne e non provoca nessuna dissipazione ener-getica.

Dalle ipotesi consegue che gli spostamenti ammissibilisono tutti e solo quelli di meccanismo.Avvalendosi di con-siderazioni energetiche e applicando poi il teorema deiseni, è possibile dimostrare che, quale che sia la configura-zione di rinforzo, il meccanismo è sempre del tipo rappre-sentato in fig. 8. Il moltiplicatore di meccanismo, λ, delle Mforze esterne fj è stato ricavato imprimendo, al genericocinematismo, lo spostamento infinitesimo congruenteδζ = +1, al quale conseguono gli abbassamenti δνg

j delbaricentro dell’i-esimo blocco e δνF

j del punto di applica-zione della j-esima forza, e scrivendo quindi la seguentedisequazione (l’unilateralità del problema implica cheδζ = -1 sia non congruente):

nella quale Pi indica il peso dell’i-esimo blocco dei treblocchi suscettibili di ruotare ed Ni il carico permanentetrasformato a forza di Lagrange, ed avendo assunto forze espostamenti positivi se verso l’alto.Tale disequazione vale per tutti i vettore quadri-dimen-sionale {θh} raggruppanti gli angoli polari delle cerniere.Con semplici passaggi si dimostra che il primo dei duetermini del membro di sinistra è sempre minore di zero eche le forme di meccanismo, per le quali il secondo ter-mine è minore di zero, sono inammissibili.Da ciò discende che la disequazione può essere trasforma-ta in un’equazione; ne consegue che il moltiplicatore ulti-mo (carico estremo), λul, consiste nel minimo assoluto trai λ possibili. In conclusione, il problema è risolto comeestremo di un funzionale sull’insieme di definizione di{θh}: λul = MIN λ({θh}). I rinforzi sono stati quindiricondotti a vincolamenti matematici dell’insieme di defi-nizione del funzionale succitato.Con riferimento alla volta a crociera, rinforzata o meno, leipotesi comportamentali assunte sono le seguenti:• la volta è composta da due organismi resistenti: I. un

sistema di archi (i quattro perimetrali e i due diagonali);II. una singola vela con tirante murario;

• il primo dei suddetti organismi resistenti assorbe i cari-chi uniformi, nonché i carichi applicati sugli archi dia-gonali;

• il secondo assorbe i carichi non-uniformi applicati sullevele.

Entrambi i modelli hanno fornito risultati in linea con leomologhe acquisizioni sperimentali. Il modello della voltaa botte non ha richiesto alcuna calibrazione a posteriori,tanto meno necessita di parametri meccanici per essereapplicato. Diversamente avviene per il modello della voltaa crociera, il quale, in particolare, richiede la resistenza atrazione della muratura. I modelli matematici concepiti,oltre che alle verifiche, sono anche indirizzati al progetto,

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Le vele del prototipo poggiano sugli archi diagonali e dibordo, i quali ribassano dall’intradosso (volta “gotica”). Inentrambe le prove, il caricamento, che ha riguardato unasola vela, consisteva in un carico distribuito su una lineanormale all’asse dalla vela stessa, distante 325 mm dalbordo.

Risultati della sperimentazione I risultati sperimentaliconsistono nei carichi estremi, nonché nei modi di collasso(tab. 1), e (meno significativi in questa sede) nelle curve ca-rico-spostamento. Sulla base di tali acquisizioni sperimen-tali, è stato possibile formulare le seguenti considerazioni:• l’aderenza tra i rinforzi e la muratura non ha mai incon-

trato il proprio limite. Nelle volte a botte, in particolare,le fessure mai hanno intersecato un contorno rinforzato,ma sempre sono state deviate su contorni non rinforzati;

• la volta a botte con rinforzi a suturazione delle fessure pre-cedentemente manifestatesi tende a mantenere il collassoper la labilità che acquisisce a seguito della formazione difessure radiali, le quali si aprono su un contorno e, conampiezza decrescente sino a zero, tagliano la sezione tra-sversale sino in prossimità del contorno opposto e lì rea-lizzano un perno.Pertanto,di fatto,una fessura dà luogo aduna cerniera, da cui scaturisce la labilità della volta;

• il meccanismo della volta a botte – questo è stato poidimostrato rigorosamente – è sempre quello di fig. 4,quale che sia la disposizione dei rinforzi. Ciò che invececambia è la posizione delle cerniere, in quanto le fessurepossono aprirsi soltanto su contorni non rinforzati;

• alla modifica della posizione delle fessure è corrispostoun drastico aumento del carico estremo;

• la volta a botte rinforzata sulla grandissima parte del con-torno non può mai raggiungere la condizione di mecca-nismo. Il collasso, nel caso di rinforzi diffusi, avviene allo-ra per schiacciamento ed il carico estremo si sposta versoordini di grandezza superiori;

• per tutte le fasi di carico, gli spostamenti residui hanno

rappresentato una modesta percentuale di quelli totali.Ciò è l’ovvia conseguenza di una risposta che solo ameccanismo innescato è marcatamente non reversibile;

• la volta a crociera non rinforzata è collassata per spinta avuoto; il collasso è consistito nella decoesione per trazio-ne delle vele adiacenti a quella caricata. Difatti, la velacaricata spinge sugli archi diagonali sui quali è imposta-ta, dando luogo a spinte orizzontali aventi direzioneappartenenti ai piani di lavoro della vela stessa, e cometali non complanari né agli archi diagonali, né ai piani dilavoro delle altre tre vele. Pertanto, le suddette spinteorizzontali sono a vuoto, e quindi possono essere sop-portate soltanto avvalendosi della resistenza a trazionedella muratura. Quando quest’ultima viene vinta, la voltacollassa;

• l’applicazione di rinforzi all’estradosso delle crociere pre-clude la suddetta crisi per spinta a vuoto. Ciò determinaun drastico aumento del carico di collasso;

• inoltrandosi verso il collasso, la crociera rinforzata inFRP presenta uno stato fessurativo assai marcato ed este-so. Le fessure o sono prodotte da rotazioni, oppure da tra-slazioni relative;

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i ii

j jj

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P N v f vi

g F+( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ≤= =∑ ∑δ δλ

1

3

1

0

Misure sperimentali più significative (per ciascun campione: Fu,carico estremo sopportato; Fur/Fun, rapporto tra Fu in configurazionerinforzata e non rinforzata; vmax, abbassamento massimo misurato(sotto il carico); vres, percentuale residua d’abbassamento per unoscarico da 2/3 di Fu ).

Fu ( N ) Fur/Fun vmax (mm) vres

Botte non rinforzata 4950 1 0,20 < 10%

Botte con rinforzi localizzati 22500 4,55 0,90 < 10%

Botte con rinforzi diffusi > 60000 > 12 1,1 < 10%

Crociera non rinforzata 12100 1 3,67 44%

Crociera rinforzataall’estradosso 29200 2,41 4,92 < 10%

4. Geometria dei prototipi di volta a botte nervata (misure in mm). 5. Schema di una delle configurazioni di rinforzo della volta a botte (misure in mm).

PROSPETTO SEZIONE A-A PROSPETTO SEZIONE A-A

1

due diagonali e quattro di bordo – a comportamento no-tension sono fortemente deficitari. Tali modelli debbonoinfatti essere integrati mettendo in gioco anche i compor-tamenti tridimensionali (spaziali). Dato che questi com-portamenti possono esplicarsi solo in un mezzo che tolle-ri le trazioni, la resistenza a trazione della muratura deveessere contemplata, malgrado le disposizioni normative.Difatti, il modello ha provato che, quando il carico èanche solo moderatamente disuniforme, la crisi avvieneper spinta a vuoto e che in tali casi la portanza estremadipende della resistenza a trazione della muratura.In tal senso, i rinforzi attribuiscono alle volte a crociera laresistenza a trazione sopra evocata.Ciò, oltre a determinareun cospicuo au-mento della por-tanza, attribuisce allacrociera compor-tamenti meccanicimeno incerti.Il modello ha mo-strato che, anchecon disposizioni deirinforzi limitate acontenute porzionidel contorno (ciòche non preclude latraspirabilità dellamuratura), il molti-plicatore di collassoaumenta drastica-mente; a tale au-mento della por-tanza si associa unacrisi per schiaccia-mento, assai facile dagovernare analitica-mente, specie nelcaso di crociera conrinforzi in FRP.In definitiva si puòosservare che l’in-collaggio di rinforziin FRP al contorno di una volta in muratura, a botte o acrociera, si configura quale tecnica di rinforzo estrema-mente efficace.Ciò nonostante, molta ricerca deve essere ancora compiu-ta su questa tematica; in particolare appare necessariogiungere quanto prima alla definizione di modelli – inter-pretativi e previsionali – del limite ultimo dell’aderenza;difatti, anche se questo mai sia stato attinto nella speri-mentazione, ad ogni modo non è pensabile una routineprofessionale agnostica nei confronti di tale limite. ¶

potendo indicare le disposizioni dei rinforzi che, a paritàdi materiale applicato, determinano la massima portanza.A titolo informativo si segnala che la distribuzione ottima-le prevede rinforzi non simmetrici rispetto alle fessure.

Conclusioni I due modelli sono stati utilizzati per l’ese-cuzione di simulazioni teoriche, le quali, per la volta abotte, hanno portato ai seguenti risultati.Rinforzi di lunghezza contenuta, purché dislocati inmodo mirato, possono innalzare il carico estremo in mododrastico.Per esempio, rinforzando la volta su due tratti di 27° cia-scuno – ossia su lunghezze ognuna pari al 15 % dello svi-luppo dell’arco e su un’area complessiva pari al 2,5 % dellasuperficie della volta –, il valore della portanza estremaincrementa di più di sette volte, rispetto alla situazionenon rinforzata.Il converso di quanto sopra è l’elevata sensibilità del cari-co estremo al posizionamento dei rinforzi (strisce pocopiù corte o spostate anche solo di 5° possono implicareuna decurtazione di portanza di più del 50 % rispetto aquanto previsto).Rinforzi diffusi sull’intero estradosso o intradosso implica-no un collasso per schiacciamento, anziché per meccani-smo. Il medesimo risultato può essere ottenuto anche condisposizioni più limitate; per esempio, una striscia intra-dossale disposta da un’imposta sino ad oltrepassare la lineadi carico del 20 % della luce preclude la formazione di unqualsiasi meccanismo cinematico.La disposizione delle strisce è ovviamente associata al cari-co il cui moltiplicatore di collasso si vuole che aumenti. Incorrispondenza di un carico diverso, ovvero a fronte diuna disposizione delle strisce non adeguatamente indiriz-zata al carico, il moltiplicatore di collasso può rimanereinvariato. Ciò è perfettamente in linea con il teoremacinematico, che sottende il modello. Le fessure caratteriz-zanti il meccanismo possono aprirsi in qualsiasi parte deicontorni non rinforzati, e non necessariamente ai margi-ni dei rinforzi.Questo fatto rimane vero anche nel caso in cui le striscevengano disposte a cavallo delle fessure provocate dal cari-co considerato. Da ciò consegue, innanzitutto, che la loca-lizzazione delle fessure non può essere condizionata a-priori e, poi, che il modello matematico esige la soluzio-ne del minimo di un funzionale vincolato da disequazio-ni (il carico ultimo espresso in funzione delle quattro posi-zioni delle cerniere del meccanismo), ciò che è foriero dinotevoli difficoltà algoritmiche.Per la volta a crociera, le simulazioni teoriche hanno por-tato ai seguenti risultati.Nel caso non rinforzato, i classici schemi basati sullascomposizione della volta in archi monodimensionali –

Bibliografia1. Faccio P., “La storia meccanica di un edificio: alcune considerazionisull’utilizzo di tecniche interpretative applicate alle costruzioni storiche”.Vol. “Tra didattica e professione, il progetto di conservazionedella chiesa di San Giovanni Evangelista a Venezia”; IUAV-CDSLC/DSA,Venezia 1998, pp. 39-44.2. Di Tommaso A., Foraboschi P., “Armature in compositi fibrosi amatrice polimerica per il conglomerato cementizio”. L’Edilizia; DeLettera Editore, Milano. Anno VIII; N° 9/10; settembre / otto-bre 1995; pp. 86-116.3. Foraboschi P., “Meccanismi di collasso dell’arco murario con rinfian-co”. Giornale del Genio Civile. Edito dal Consiglio Superiore deiLavori Pubblici. Stampato dall’Istituto Poligrafico e Zecca delloStato, Roma.Anno 131°; fascicolo 1°-2°-3°, 1993; pp.15-46.

4. Blasi C., ForaboschiP., “Analytical Approachto Collapse Mechanisms ofCircular Masonry Arch”.ASCE - Journal ofStructural Engineering;New York.Vol. 120, N°8, agosto 1994, pp.2255-2288.5. Foraboschi P., BlasiC.,“Closure of:AnalyticalApproach to Collapse Me-chanisms of Circular Ma-sonry Arch”. ASCE -Journal of StructuralEngineering; NewYork, Vol. 122, N° 8,agosto 1996,p. 1354.

Gli autori (dell’Isti-tuto Universitario diArchitettura di Vene-zia - Dipartimento diCostruzione dell’Ar-chitettura) ringrazianoil C.F.M.E.A.di Me-stre che, in virtù delladisponibilità del Diret-tore geom. Renato Er-

rico e del Sig. Orazio Gobbesso, ha permesso ai propri allievi, in-centivandoli, la costruzione delle volte, ha concesso gli spazi e resopossibili le prove.Un particolare ringraziamento va alla SIKA Italia, che ha fornitoi materiali e ha collaborato alla loro messa in opera, sotto la super-visione della Direzione tecnica dell’azienda, dell’ing. AlbertoGrandi, e dei geom. Gianpaolo Paccagnella e Luciano Pescarollo,quest’ultimi particolarmente preziosi con i loro consigli pratici.Un vivo ringraziamento va anche alla ditta 4M e all’ing. LucianoLionello, per la cura nell’esecuzione delle prove.

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6. Collasso della volta a botte con rinforzi localizzati. La fessura circonferenziale (al

termine della nervatura) è ovviamente successiva all’innesco del meccanismo.

7. Dettagli della volta a crociera, della strumentazione di misura e dei vincoli alla

traslazione delle imposte.

8. Meccanismo cinematico della volta a botte nervata, caricata in modo non

simmetrico. Si è dimostrato che gli angoli θ dipendono dalla disposizione dei

rinforzi, mentre il meccanismo è sempre dello stesso tipo (a parte la terza cerniera,

la quale puù collocarsi sia a sinistra, sia a destra della forza).

9. Diagramma del funzionale il cui minimo assoluto fornisce il carico estremo della volta a

botte nervata: intersezione con un iperpiano. Il minimo relativo è il carico ultimo in

condizioni non rinforzate; i rinforzi sono stati riprodotti come vincoli matematici

dell’insieme di definizione; se il vincolo è opportunamente piazzato, il minimo relativo

scompare e pertanto il minimo assoluto presenta un valore superiore.

Gli angoli delle altre 3 cerniere sono: 0,00 rad, 1,04 rad, 2,10 rad

Angolo della cerniera D rispetto all’orizzontale (rad)

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