Matemática Básica para Arquitectura (MA101)

Área de Ciencias

UNIDAD 4: LOGRO

Al finalizar la unidad 4, el alumno muestra una actitud asertiva, al establecer la relación entre la

solución de problemas de modelación con los valores extremos de una función cuadrática y el quehacer

arquitectónico.

2

Funciones reales de variable real

Generalidades

ReglaTiempo

t

Número de bacterias

N

¿Qué es una función?

Un biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se inicia con 5 000 de ellas y la población se duplica cada hora, entonces el número N de bacterias depende del número t de horas transcurridas.

t (horas) N

0 5 000

1 10 000

2 20 000

3 40 000

4 …

4

15 ¿ ?

El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y trata de determinar la regla o función que relaciona ambos.

( ) ??N f t

Haciendo un cálculo sencillo encontramos que la relación se puede expresar como:

5000 2tN

Regla

5000 2tf t ( )5

6

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión, el alumno:•Define e interpreta las cuatro formas en que se puede expresar una función.•Determina el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.•Determina el dominio de una función a partir de su regla de correspondencia.•Identifica las funciones básicas.

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, denotado f(x), de un conjunto B. (Stewart: pág. 143)

El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(f).

El conjunto Ran(f)=f(x) / xA es llamado el Rango de f.

Definición de función

De los diagramas de flechas mostrados, ¿cuáles corresponden a funciones?

NO ES FUNCIÓN

SI ES FUNCIÓN

SI ES FUNCIÓN

B

f (3)

Ejemplo 01:

A

3

f

El diagrama de flechas será el siguiente:

Sea la función f definida por: (Stewart: pág. 144)

= 13

f (-2)-2 = 8

= 95

4)( 2 xxf

Funciones reales de variable real

Gráfica de una función

x

y

Gráfica de una función(Stewart: pág. 153)

Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados:

f(3)

x

f(x)(x; f(x))

f(1)

f(2)

Ax/))x(f;x(

Observando la gráfica podemos determinar:f(2) f(-1)f(5)

(a) (b)

(c) (d)

Trace una recta vertical en cualquier valor de x donde exista gráfica. ¿En cuántos puntos la corta?

Suponga que C es una curva en el plano XY.

C es la gráfica de una función, si cualquier recta vertical la interseca en un solo punto.

Criterio de la recta vertical

En el ejemplo anterior, ¿cuáles serían funciones?

¿La gráfica corresponde a una

función? -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

CONCLUSIÓN:

Podemos describir ó representar una función específica en las siguientes cuatro formas: (Stewart: pág. 147)

• Verbal (mediante una descripción con palabras)• Algebraica (por medio de una fórmula explícita)• Visual (con una gráfica)• Numérica (a través de una tabla de valores)

Las cuatro formas de representar una función:

t (horas) N

0 5 000

1 10 000

2 20 000

3 40 000

.... ....

ttN 25000)( N(t): número de bacterias del cultivo en el momento t.

Funciones reales de variable real

Determinación del dominio de una función

Ejemplo 02 _ (Stewart: pág. 146):

Determine el dominio de cada función:

Determinación del dominio de una función a partir de su regla de correspondencia

2

1) ( )a f x

x x

2) ( )b f x x

) ( ) 5c f x x 2

3) ( )

1 2

xd f x

x

(UPC_MA101_PC03_201301)

EJERCICIOS PROPUESTOS

18

Funciones reales de variable real

Funciones Básicas

Función Constante

x y = f(x) = b

-3 f(-3) = b

-2 f(-2) = b

-1 f(-1) = b

0 b

1 b

2 b

3 b

f-b

Dom(f) = IR

Ran(f) = {b}

Función Lineal

Regla de correspondencia: f(x) = mx + b

x y = f(x) = x + 1

0 1

1 0

Dom(f) = IR

Ran(f) = IR

f

Ejemplo: f(x) = x + 1

Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia: f(x) =│x│

x y = f(x) = │x│

-2 f(-2) = 2

-1 f(-1) = 1

0 0

1 1

2 2

Dom(f) = IR

Ran(f) = [ 0;+∞ >

f

Función Cuadrática

Regla de correspondencia: f(x) = x2

x y = f(x) = x2

-2 f(-2) = 4

-1 f(-1) = 1

0 0

1 1

2 4

Dom(f) = IR

Ran(f) = [ 0;+∞ >

f

Función Cúbica

Regla de correspondencia: f(x) = x3

x y = f(x) =

-2 f(-2) = - 8

-1 f(-1) = -1

0 0

1 1

2 8

Dom(f) = IR

Ran(f) = IR

f

x3

Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: f(x) =√x

Dom(f) = [ 0;+∞ >

Ran(f) = [ 0;+∞ >

x f(x)

-1 No real

0 0

1 1

2 1,4142..

4 2

9 3

X

Y

f

Función Recíproca

Regla de correspondencia: f(x) = 1/x

Dom(f) = IR – {0}

Ran(f) = IR – {0}

x f(x)

- 4 - 0,25

- 2 - 0,50

- 1 - 1

-1/2 -2

0 No definido

1/2 2

1 1

2 0,50

4 0,25

X

Y

f