MACROECONOMÍA: ENFOQUES Y MODELOS NUEVOS …

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MACROECONOMÍA: ENFOQUES Y MODELOSNUEVOS EJERCICIOS RESUELTOS

Capítulo 8Félix Jiménez, Gisella Chiang

y Erick LahuraOctubre, 2001

DOCUMENTO DE TRABAJO 205http://www.pucp.edu.pe/economia/pdf/DDD205.pdf

2


Capítulo 8

Félix JiménezGisella Chiang

Erick Lahura

RESUMEN

El keynesiansimo, el monetarismo y la nueva macroeoconomía “clásica”

constituyen el contenido de este trabajo. Las discusiones teóricas sobre estas escuelas y

sobre las expectativas se efectúan con diversos ejercicios resueltos. Aquí se explican los

distintos métodos de solución de modelos con expectativas racionales. El contenido de

este documento corresponde a la primera parte del curso de Macroeconomía 2 que se dicta

en esta Universidad.

ABSTRACT

Keynesianism, monetarism and new classical macroeconomics are some issues

discussed in this document. It contains several exercises which will permit differentiate

these approach to macroeconomics. It also contains the methods for solving models with

rational expectations. The content of this document belongs to the first part of Macro 2

course and it is oriented to help the teaching and training in macroeconomics in this

university.

3


Félix Jiménez1 2

Gisella ChiangErick Lahura

CAPITULO 8

KEYNESIANISMO, MONETARISMO Y NUEVA MACROECONOMÍA CLASICA

INDICE

Preguntas Teóricas.......................................................................................................... 4

Modelo Dinámico de Oferta y Demanda Agregada ...........................................................13

Expectativas Adaptativas................................................................................................23

Expectativas Racionales .................................................................................................24

Propiedades del Operador de Expectativas Racionales ......................................................25

Modelo Dinámico de Oferta y Demanda Agregadas y la Curva de Phillips .........................27

Dinámica de la Inflación y el Desempleo.........................................................................33

Ecuaciones en Diferencia y Operadores de Rezago...........................................................36

La Crítica de Lucas ........................................................................................................45

Modelo con Información Perfecta de Lucas .....................................................................46

Modelo con Información Imperfecta de Lucas .................................................................49

1 Los ejercicios incluidos en este documento serán incluidos en la segunda edición del Tomo II de

mi libro de Macroeconomía. Los coautores Gisella Chiang y Erick Lahura han trabajado comoasistentes de docencia del curso de Macroeconomía 2 que vengo dictando desde hace ya variosaños en esta Universidad. Ellos han sido mis mejores alumnos. Quiero expresarles mireconocimiento por su excelente desempeño como responsables de las prácticas dirigidas ycalificadas de mi curso de Macroeconomía.

2 En la edición y revisión de estos ejercicios participaron Jorge Paz y Martín Tello, asistentes dedocencia de mi curso de Macroeconomía 2. También participaron nuestros alumnos: LuisBendezú, César Cancho, Verónica Esquivel, Noelia Marcos, Verónica Montoya, Walter Muñoz,Jesús Pomajambo, Carlos Romaní y Mario Velásquez. A todos ellos les expresamos nuestrosincero agradecimiento, por su valiosa colaboración.

4

PREGUNTAS TEÓRICAS

1. En relación a la Curva de Phillips, analice la veracidad de las siguientes afirmaciones:

I) La Curva de Phillips implica que los salarios y los precios se ajustan lentamentecuando varia la demanda agregada.

Es correcta, pues un desplazamiento de la demanda agregada ocasiona una elevación del nivel deprecios. La subida de los precios genera una caída en el salario real y, por tanto, un exceso dedemanda en el mercado de trabajo )( SLL > .El mecanismo descrito por la curva de Phillips, implica que los salarios nominales se elevarán pararestaurar el equilibrio en el mercado.

)( LLW S −−= φ

II) En términos de política macroeconomía, la Curva de Phillips implicaba que eraposible conseguir un nivel de desempleo bajo tolerando una tasa de inflación alta.

Es correcto, Friedman acepta que hay una diferencia entra la inflación esperada y la efectiva, lacual provoca un alejamiento del nivel natural de desempleo. De acuerdo a Friedman, la curva dePhillips debería presentar una relación entre la tasa de desempleo y la variación de los salariosreales (no monetarios), además los trabajadores no adolecen de “ilusión monetaria”, pues almomento de buscar trabajo se fijan en los salarios reales. El trade off entre las tasas de desempleoe inflación es posible debido a que los trabajadores no conocen con certeza la inflación delpróximo período, por lo que si los trabajadores no observan que los precios están subiendo,tampoco notaran que sus salarios reales están cayendo.

π

µ

III) Las variables de la demanda agregada que alteran la tasa de desempleo de esteperiodo afectan los salarios de los periodos posteriores.

Es correcta, ante desplazamientos de la demanda agregada, los precios aumentan, alejando la tasade desempleo de su nivel natural, a favor de una menor tasa de desempleo. Esto ocurrirá solo en elcorto plazo, ya que en el futuro los trabajadores van a darse cuenta (por la explicación anterior)que los salarios reales han disminuido, por lo que exigirán un aumento en salario nominal, de talforma que el salario real regrese al nivel de equilibrio correspondiente a la tasa natural dedesempleo.

5

2. Comente las siguientes afirmaciones:

I) Al considerar la curva de Phillips, el enfoque de expectativas racionales plantea quepara reducir la inflación sin ningún tipo de costo, en términos de recesión, esnecesario anunciar la política de reducción de la inflación antes que la gente formesus expectativas.

Las hipótesis de expectativas racionales supone el uso de toda la información necesaria y posiblepara evitar errores sistemáticos de predicción. Esto se complementa con la información a la que sepueda acceder de políticas futuras a aplicar. Si los diseñadores de política sorpresivamente,deciden aumentar la cantidad de dinero - aprovechándose de la interrelación entre el producto y lainflación- efectivamente habrá un efecto positivo sobre el producto. Sin embargo, si la política esanunciada con anticipación, los agentes reformularán sus expectativas y no habrá ningún efectosobre el producto.

P AS

AD’’ AD’

AD Y

II) Bajo expectativas racionales, si el gobierno trata de explotar las implicancias de laCurva de Phillips, entonces el trade-off entre inflación y desempleo desaparece.

Es cierto, puede ser que en un inicio el gobierno pueda sacar provecho de esta relación, pero si losdiseñadores de políticas intentan tomar ventaja de ésta, los efectos operantes a través de lasexpectativas puede causar que ésta relación colapse.

III) El desempleo estructural o friccional es el desempleo que existe cuando la economíase encuentra en el nivel de empleo.

Es cierto, según Friedman, cuando el mercado de trabajo se encuentra en equilibrio, es erróneocreer que no existe desempleo, pues, existe el llamado << desempleo natural o friccional >> cuyaexplicación se encuentra en la movilidad existente en el propio mercado de trabajo: en todomomento se están cerrando empresas y creándose otra nuevas provocando constantes movimientosde trabajadores y que constituyen desempleados temporales.

IV) De acuerdo a la hipótesis de expectativas racionales, si las políticas de gobierno sonaleatorias, entonces serán efectivas o no neutrales.

Es cierto, si los agentes forman sus expectativas con toda la información disponible y el gobiernoemite políticas aleatorias, es decir, diferentes a las expectativas formuladas por los agente, estasserán efectivas o no neutrales, pues tienen efectos en el producto y en los precios.

6

3. Sea la curva de Oferta Agregada Dinámica que relaciona precios y producto:

1−= tt pp ( )[ ]YY −+ λ1

a) Transforme la ecuación de tal forma que obtenga una relación producto e inflación.¿Cómo es esta relación?

( )YYppp ttt −λ+= −− 11

( )YYppp ttt −λ=− −− 11

( )YYp

pp

t

tt −λ=−

−

−

1

1

( )YYt −= λπ

La tasa de inflación se elevará cuando la producción sea superior al nivel de pleno empleo.

b) Incorpore las expectativas de inflación en la ecuación hallada en la pregunta a)

Introducimos eπ a la inflación como un elemento adicional en el lado de la oferta:

( )YYett −+= λππ Curva de Oferta Agregada con expectativas

Ahora tenemos que la inflación depende de las expectativas inflacionarias y del nivel deproducción (o desempleo). Esta ecuación nos muestra que puede coexistir una alta inflación conaltas tasas de desempleo, explicada en expectativas inflacionarias.

c) Incorpore un shock aleatorio a la ecuación hallada en b). Usted es un policy maker y lepiden que evalúe todas las formas de reducir la inflación?

( ) tse

tt YY ε+−λ+π=π

La inflación puede reducirse generando políticas que ataquen las expectativas inflacionarias de losagentes, que eleven la tasa de desempleo o por shocks de oferta, aunque estos últimos no puedenser controlado por los diseñadores de política.

d) Sobre la base de esta ecuación, explique el rompimiento de la Curva de Phillips durantela Crisis del Petróleo (shock de oferta). ¿Se sigue cumpliendo la relación positiva entreinflación y producto? Argumente.

Como vemos, la inflación depende de la inflación esperada ( )eπ , de la desviación del producto (o

desempleo) de su pleno empleo ( )YY , y de shocks de oferta ( tsε ). En la crisis del petróleo (74),

la curva de Phillips se rompió porque coexistían altos niveles de inflación y desempleo; en estecaso particular, los precios se incrementaron por el aumento del precio del petróleo, el cual elevalos costos de producción y a su vez se genera un incremento en la tasa de inflación. Por lo tantolos precios pueden estar subiendo aunque el desempleo sea elevado, dada una alta lπ .

7

4. “Sólo un cambio no anticipado en la política monetaria puede afectar el producto en elcorto plazo ya que los agentes poseen información imperfecta sobre las variables delentorno económico”. ¿Qué críticas se podría hacer a esta afirmación basada en el modelode las islas de Robert Lucas?

El modelo de las islas de Lucas es criticable debido al supuesto de información imperfecta. En laseconomías modernas, la información de alta calidad es proporcionada a los agentes económicoscon rezagos muy pequeños, por lo que no es creíble que los agentes no conozcan el nivel deprecios general de la economía. En periodos distintos a los hiperinflacionarios, los agenteseconómicos pueden estimar los movimientos en los precios con considerable certeza y a un costomuy bajo. Es difícil pensar por tanto; que los productores puedan entrar en confusión con respectoa si los movimientos en precios son relativos o absolutos.

5. En el modelo de las islas de Robert Lucas (1977), en el equilibrio se obtiene:

ty = ( )[ ]tt mEmb

b −+1

Explique las implicancias de este resultado en términos de la efectividad de las políticas dedemanda. ¿Existe un trade–off aprovechable entre inflación y producto? ¿Por qué?. Sustentesu respuesta basándose en el parámetro b

mz

z

VV

Vb

+

−γ

=1

1

De la definición de b extraemos que la autoridad monetaria puede sorprender a los agenteseconómicos pero, si lo hace sistemáticamente la varianza de m va a crecer mucho y esto va aocasionar una caída en b puesto que; si ∞→mV entonces, 0→b .Por ende no existe un trade-off aprovechable entre inflación y producto en el largo plazo. Aquí laautoridad monetaria no puede aprovechar relaciones estadísticas ya que en algún momento losmecanismos que operan por medio de las expectativas originarán el rompimiento de esta relación.

Tenemos que si 0→b entonces ( )[ ] 01

→−+

= mEmb

by

Por otro lado, un incremento no observado en la oferta monetaria incrementa la demanda agregada(y=m-p), lo cual produce un cambio aparente en la curva de demanda de cada bien. En la medidaque el incremento no es observado, la idea racional de cada productor es que alguna porción delincremento en la demanda por su producto, está reflejando un shock en su precio relativo portanto; el productor incrementa su producción. Pero esta situación no puede ser permanente pueslos agentes se dan cuenta que el aumento en la demanda por su producto se debe al incremento enla oferta monetaria por lo que ya no va a variar su nivel de producción.

8

6. Sea la siguiente definición de expectativas adaptativas:

etp - e

tp 1− = ( )ett pp 11 −− −λ

a) Resuelva el modelo para Pte expresando los precios esperados como un promedio

ponderado del precio esperado y del precio efectivo para t. a.1) ¿Qué puede decir cuando λ= 0? a.2) ¿Qué puede decir cuando λ=1?

ett

et

et pppp 111 −−− −=− λλ

( ) ett

et ppp 11 1 −− −+= λλ

Si 0=λ ⇒ et

et pp 1−= Los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa MIOPE

esto es, los agentes no corrigen sus expectativas al cambiar de periodo.

Si 1=λ ⇒ 1−= tet pp Los agentes generan sus expectativas de manera adaptativa

ESTÁTICA. Los precios esperados son iguales a los precios que se dieron en elperiodo pasado.

b) Resuelva el modelo para Pte en su forma general (Ayuda: que los precios esperados no

dependan de ninguna variable esperada). Interprete su ecuación de precios.

Iterando obtenemos:

( ) it

i

i

et pp −−

∞

=∑ −= 1

1

1 λλ

En la formulación de las expectativas sobre los precios, los precios esperados dependenúnicamente de los precios pasados, donde los más antiguos obtienen un menor peso que los másrecientes.

7. Suponga el siguiente modelo:

+= tt cy a + tµ

( )edt ycc =( ) 0=µE

tµ ( )2,0 σ

Los agentes pueden formular sus expectativas de la siguiente manera:

Expectativas Racionales: ( ) ( ) ( )t

ed yEky −= 1

9

Expectativas Adaptativas: ( ) ( ) 11 −−= t

ed yky

Si asumimos que ( ) ( )[ ]kc

ayE t −−

=11

, ¿con cual de los procesos de formación de expectativas

el impacto de un incremento de la tasa de impuestos (k) sobre la demanda agregada será menor?¿Por qué?

• Con expectativas adaptativas :

( ) ttt aykcy µ++−= −11

Rezagando obtenemos:

( ) ttt aLykcy µ++−= 1

( ) ( )Lkckc

ay t

t −−+

−−=

1111µ

( ) ( )[ ] it

i

it Lkc

kc

ay −

∞

=∑ −+

−−= µ

0

111

( ) ( )[ ] it

i

i

t kcikc

ac

dkdy

−

−∞

=

−+−−

−= ∑ µ1

0

111

• Con expectativas racionales:

( ) ( ) ttt ayEkcy µ++−= 1

( ) ( ) akc

akcyt +

−−

−=11

1

( )kc

ayt −−

=11

( )kc

ca

dk

dyt

−−−=

11

Por lo tanto con expectativas racionales las fluctuaciones son menores en la medida que losindividuos poseen eficientes predicciones sobre el futuro dado que; utilizan toda la información dela cual disponen de manera óptima.

8. Sea el Modelo de Cagan con expectativas adaptativas y racionales, suponga unaeconomía en la cual existen dos agentes (i=1,2), cada uno con una demanda de dinero yuna forma de generar sus expectativas. Así, la demanda por dinero de cada agente escomo:

it

t

tet

t

t ep

ppbc

p

M +

−−= +1 ; ,0fc 0fb , i=1,2

10

Donde: Mt es la cantidad nominal de dineroPt es el nivel de precios

etp 1+ es la expectativa del nivel de precios en t+1 que se formula el agente 1 en el

periodo t2

1etp + es la expectativa del nivel de precios en t+1 que se formula el agente 2 en el

periodo t

Además, suponga que los policy makers piensan que la oferta monetaria debe fijarse según el nivelde precios esperado por los agentes. Así:

tt pM 10 δδ −=

( ) 21 1 ttt ppp φφ −+=

a) Convierta la función de demanda de dinero en una ecuación de precios.

Reordenando la expresión para que sea una ecuación de precios:

it

ett

it ep

bcb

Mbc

p ++

++

= +1

1

Para el agente 1 (expectativas racionales)

[ ] 11

1 1ttttt epE

bcb

Mbc

p ++

++

= + .....(1)

Adelantamos un periodo y tomamos esperanzas:

[ ] [ ] [ ]211

1+++ +

++

= tttttt pEbc

bME

bcpE

Repetimos esta operación T veces y nos queda después de reemplazar en (1):

[ ] [ ] 11

1

0

1 1tTtt

T

itt

iT

it epE

bcb

MEbc

bbc

p +

++

++= ++

+

+=∑ ....(2)

Para el agente 2 ( expectativas adaptativas estáticas)

( ) 22 1tttt ep

bcb

Mbc

p ++

++

=

22 1ttt eM

cp += ....(3)

11

b) ¿Cuál será la cantidad óptima de dinero que debe proveerse?

La cantidad óptima de dinero es:

( )[ ]2110 1 ttt ppM φφδδ −+−= .........(4)

Reemplazando (2) y (3) en (4):

[ ] [ ] ( ) tt

T

iTtt

T

itt

i

t Mc

pEbc

bME

bc

b

bcM µ+

φ−+

++

++φδ−δ= ∑

=++

+

+1

11

01

1

10

donde ( )( )121

1 1 δφφδµ ttt e−+−= l

llamamos [ ]1

1

++

+

+= Ttt

T

pEbc

bα

separando el primer termino de la sumatoria:

[ ] ( ) ttitt

iT

itt M

cME

bcb

bcM

bcM µφδφαδφδφδδ +−−−

++−

+−= +

=∑ 111 1

11

110

despejando tM :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ...

11 111

10

11

−

+−++++−

−+++++= +

=∑ itt

iT

it ME

bc

b

bccbcc

c

bccbcc

bccM

φδφδφδδ

φδφδ

...( )

( ) ( )( ) tVbccbcc

bcc+

−+++++

αφδφδ

φδ111

1 ; donde tV es el error aleatorio.

c) Suponga que el agente 1 formula sus expectativas de manera racional y el agente 2 demanera adaptativa estática. Halle la cantidad de dinero óptima.

Si ambos tipos de agentes formulan sus expectativas de manera racionales ( 1=φ ), la cantidadóptima de dinero sería:

( )( ) ( ) [ ] ( )

( ) titt

iT

it V

cbccbcc

MEbc

bcbcc

ccbcc

bccM +

+++−

+++−

+++= +

=∑ α

δδ

δδδ

δ 1

1

11

10

1

12

d) Compare la cantidad de dinero hallada en a) con la cantidad hallada en b) y evalúe lasconclusiones que se pueden derivar de este análisis.

Analizando solo los numeradores de los coeficientes de los términos:

Como se sabe, ] [1,0∈φ entonces se puede afirmar que el segundo y tercer término de la cantidadde dinero óptima hallada en b) son mayores que el segundo y tercer termino de la cantidad dedinero óptima hallada en a) , pues los numeradores han aumentado.

Analizando los denominadores de los términos se puede concluir que:

( ) ( )( ) ( ) 111 1 δφδφδ cbccbccbcc ++−++++ f

( ) ( ) ( ) ( ) 1111 11 δφδφδφδ cbccbccbcc ++−+−+++ f

( ) ( ) ( ) 111 1 δφδδ cbccbcbcc ++−+++ f ( )0, 1 fδb

Es decir los términos de la b) son mayores que los de la a) pues los denominadores han caído. Porlo tanto la cantidad de dinero en a) es menor que en b). Se puede concluir, que la oferta monetariaserá fijada en un monto menor en a) que en b) porque cuando existen expectativas adaptativas enparte de los agentes; los ajustes en las expectativas ante subidas en el nivel de precios son menoresy más lentos que cuando todos tienen expectativas racionales. Esto es porque con expectativasadaptativas existen errores sistemáticos.

Dicho de otra manera, al existir dos tipos de agentes, cada cual con una racionalidad distinta, laautoridad monetaria debe ser capaz de percatarse de esta distinción en la población.; pero si de loque se trata es de homogeneizar creyendo que existe un solo tipo de agente, la política monetariava a manifestar una actitud mas bien restrictiva lo cual; podría causar efectos negativos en laeconomía.

13

MODELO DINÁMICO DE OFERTA Y DEMANDA AGREGADA

Dado el modelo de oferta y demanda agregada tradicional representado por las siguientesecuaciones estructurales:

OAYYYHPP

DA

LMiyLPM

IS

ryII

yCC

GICY

→Π+−=

=

=

=

++=

•

−+

+

+

]/)[(/)5(

)(),(/)4(

)(

),()3(

)()2(

)1(

Donde: Y es el ingreso real, C, el consumo real, I, la inversión real, G, el gasto público, M/P es laoferta real de dinero, L la demanda real de dinero y Π = inflación esperada

Supuestos:

0'H

0L

0L

1CO

0I

0I,C

i

y

y

r

yy ><

>

<<<

>

a. ¿Cómo cambia el modelo cuando 0=Π ?Asumiendo que la 0=Π , la ecuación (5) se convierte en:

]/)[(/ YYYHPP −=•

Además, conociendo la ecuación de Fischer, eri π+= , y asumiendo previsión perfecta,es decir que la inflación esperada es igual a la inflación efectiva (en este caso igual a cero),tenemos que, ir = , la tasa de interés nominal y real son iguales, por lo que podemosexpresar nuestro modelo en función de la tasa de interés real o nominal indistintamente.

14

b. Bajo que supuestos sobre H' llegamos al modelo neoclásico y al keynesiano

Neoclásico

OA

A B

P

C

DADA

43421

∞→'H

Keynesiano Extremo

y

OA

'DADA

0'H →

En el enfoque neoclásico, la Oferta Agregada (OA) esta dada. Ante un aumento de la DemandaAgregada (DA), se genera INFLACION. En el caso Keynesiano extremo, el aumento en lademanda agregada, aumentará el producto y no genera ningún movimiento en precios.

c. ¿Cuáles son las variables endógenas y variables exógenas del modelo en el CortoPlazo (CP) y Largo Plazo (LP)?

Las variables endógenas y exógenas no son las mismas en el CP y LP porque a CP somoskeynesianos (P rígidos, dados), y a LP somos clásicos (flexibles de P)

CP: V.Endógenas:•PrICY ,,,,

V.Exógenas: YMPG ,,,

LP: V.Endógenas: PrICY ,,,,

V.Exógenas: YMG ,,

d. Diferencie totalmente el modelo

i. dGdIdCdY ++=ii. dYCdC Y=iii. IrdrIydydI +=

iv. LrdrLydYdPP

M

P

dM

P

MdPPdM

P

Md +=−=

−=

22

v. dYY

HdP

P

P

P

Pd

P

dPpPPd

P

Pd

=−=−=

••••

1'

22

&

15

§ Derivamos la curva IS, reemplazando ii), iii), en i) y la ordenamos en exceso dedemanda:

dGIrdrIydYCydYdY +++=dGIrdrdYIyCyIS ++−−−= )1(0)(

§ Ordenando el mercado de dinero en exceso de demanda:

drLrdYLydPP

M

P

dMLM +++−=

20)(

§ La ecuación v) es la Curva de Phillips que no es más que una curva de oferta agregada.

dPP

PPd

PdY

YHOA

2

11'0)(

••+−

=

e. Ordene matricialmente el modelo en el CP. ¿Se puede decir que el modelo esrecursivo en bloques?

−−

−=

−

−−−

•

dP

dM

dG

Pp

PMP

Pd

dr

dY

PyH

LiLy

IrIyCy

2

2

/00

//10

001

10

1'

0

0)1(

&

El sistema es recursivo en bloques; es decir el sistema se va retroalimentando en bloques,en el sentido que las dos primeras ecuaciones pueden resolverse por si mismas, sinnecesidad de la tercera ecuación de la oferta agregada.

−

−=

−−−

dP

dM

dG

pMpdr

dY

LiLy

IrIyCy

A

2//10

0011(

444 3444 21

El determinante de esta matriz es distinto de cero, por lo que tiene inversa.

0)1( >−−−−=

+

+

−+ 876444 8444 76

44 844 76LyIrLiIyCyA

16

f. Encuentre los multiplicadores de Corto Plazo

Los multiplicadores nos muestran el efecto de una variable exógena como G, M, P sobrelas endógenas (Y, r)

−

−

−−−=

−

dP

dM

dG

pMPLiLy

IrIyCy

dr

dY2

1

//10

001)1(

−

−

−−−−

−=

dP

dM

dG

pMPIyCyLy

IrLi

A 2//10

001

)1(1

−−

+

−−−

−−=

dP

dM

dG

IyCypM

p

MIr

IyCyp

Ly

pIrLi

A )1()1(

1/

1

2

2

+−+−++

=

dP

dM

dG

Adr

dY

)()()(

)()()(1

g. Analice la estabilidad o convergencia al equilibrio

§ Para que el modelo sea estable se tiene que cumplir la siguiente condición:

0<•

dPPd

§ Se asume que YY = se alcanza en el largo plazo (en el equilibrio§ Vamos a analizar la ecuación dinámica

dYy

HdPP

PPd

P

=−

•• 1

'1

2

→=== ++ nttt PPPdP 10 en el LP las variables están en equilibrio.

dYy

HPd

p

=

• '1

Y

PH

dY

Pd '=•

(1)

17

§ Del modelo de CP tenemos:

LyIrLiIyCy

PMIr

dP

dY

+−−−=

)1[(/ 2

(2)

§ De (1) dYY

PHPd

=

• '(1')

§ De (2) dPLyIrLiIyCy

PMIrdY

+−−−=

)1[(/ 2

(2')

§ De (1') y (2')

dPLyIrLiIyCy

PMIr

Y

PHPd

+−−

−=

/•

)1[(/' 2

0

)1(1'

)()(

)(

<=

+−−−=

−

+−−+

−•

θ

4444 34444 21LyIrIyCyLiyp

MJrH

dP

Pd

0<•

dPPd

h. Demuestre la estabilidad gráficamente.

Tenemos que la convergencia implica 0<•

dPPd

0<•

dPPd

↔ 0)1( <+−−+−−

+

LyIrLiIyCy48476

La condición de estabilidad se puede reducir a analizar )1( IyCy −− > 0Entonces, podemos demostrar gráficamente la convergencia de dos formas: a través de laspendientes de las curvas de Oferta y Demanda Agregadas y a través de las pendientes delas curvas IS y LM.

18

• Análisis de estabilidad a través de las curvas de Demanda y Oferta Agregada

+−−−=

yriyy

r

LILIcP

MI

dP

dY

)1(

2

2)1(P

MI

LILIC

dY

dP

r

yriyy

−−−−=

Si (1-cy-Iy)Li+IrLy>0 Si (1-cy-Iy)Li+IrLy<0

Y

P OA

YY<DA

A

B

Y

P OA

A

BYY<

Ψ

YY<

E

DA

0)()( >

−+−=

dY

dPDA pendiente + 0

)()( <

−−−=

dY

dP DA pendiente -

Para analizar la estabilidad, asumimosque estamos en un punto fuera delequilibrio (B por ej.). B es un punto deexceso de demanda por lo que los preciosse elevarán con el fin de mantener elequilibrio en el mercado de bienes

En A, ante el exceso de demanda los preciosse elevaran para mantener el equilibrio en elmercado de bienes.Análogamente, en B, ante el exceso de oferta,los precios ser reducirán para mantener elequilibrio en el mercado de bienes

• Análisis de estabilidad a través de las curvas IS y LM

(IS): 01

<>−−

−=r

ry

I

Ic

dY

dr

(LM): 0>−=i

y

L

L

dY

dr

Asumiendo:ISLM dYy

dr

dY

dr>

19

r

yy

i

y

I

Ic1

L

L −−>−

)I-c-(1 L I L- yyiry > 0 > Li (1-cy-Iy) + Ly Ir

Casos en los que el modelo es estable:

Si la pendiente de la curva LM es mayor que la pendiente de la curva IS (condición necesaria ysuficiente para la estabilidad), se cumple la estabilidad del modelo.

A

Br

'LMLM

IS

ydyy <

AB

r'LMLM

IS

ydyy <

BallegarhastaLMP

M

PddaexcYdY

↓↓→

↑

→↑→<

BallegarhastaLMP

M

PddaexcYdY

↓↓→

↑

→↑→<

Caso en los que el modelo es inestable: cuando la pendiente de la curva LM es menor que lapendiente de la curva IS.

A

B

r LMIS

ydyy <

20

En este caso,

ISLM dYdr

dYdr <

y no se cumple la estabilidad

i. Ordene matricialmente el modelo en el Largo Plazo y halle los multiplicadores

V.Endógenas : Y, r, P, C, IV.Exógenas: G, M, Y

(IS) dGdrIdYIc ryy −=+−−− )1(

(LM)P

dMdP

P

MdiLdYL iy =++

2

(OA)•

=+

′ PdP

dPP

pdY

yH

112

&

En el largo plazo, el producto es igual al producto de pleno empleo Y por lo que la variación del

mismo será igual a cero: YddY = = 0 = •Pd

Dado que el Sistema era recursivo, solo utilizaremos las dos primeras ecuaciones (IS y LM)

dGdrI r −=

P

dMdP

P

MdiLi =+

2

i

r

LP

MI

2

0

dr

dP =

−

p10

01

dM

dG

Multiplicadores de largo plazo:

dr

dP =

2

1

P

MI r−

−− PILP

M

ri /

02

dM

dG

dr

dP =

−

M

P

MI

PLI

r

i

r2

01

dM

dG

21

j. ¿Se cumple la Teoría Monetarista de la inflación en el LP?

La teoría monetarista de la inflación nos dice que la inflación se genera por cambios en lacantidad de dinero.

PQMv =

→+=+Q

dQ

P

dP

v

dv

M

dMP

dP

M

dM =

La teoría cuantitativa nos dice que la velocidad es constante y como la producción estádada, es decir estamos en una situación de pleno empleo, todo incremento en la cantidadde dinero se traducirá en cambios en precios.

Analizando los multiplicadores de LP:

→=MP

dMdP

MdM

pdP =

∴ Si se cumple la teoría monetarista de la inflación.

k. Asuma que el BCR decide controlar la tasa de interés y no la cantidad de dinero.Presente matricialmente el modelo CP.

(IS) drIdGdYIc ryy −−=−−− )1(

(LM) dPP

MdiL

P

dMdYL iy 2

−−=−

(OA) dPP

pPd

PdY

yH

2

11 &−=−

′•

−′−

−−−

PyH

PL

Ic

y

yy

10

0100)1(

dP

dM

dY

=

−

−−−−

2

2i

r

Pp00

PML00I1

&

dP

dr

dG

Como el sistema es recursivo, tomamos solo las dos primeras ecuaciones:

−−

−=

−

−−−

d

dr

dG

PML

I

dM

dY

PL

Ic

i

r

y

yy

20

0110)1(

22

−−

−

−−−−−

=

dP

dr

dG

PML

I

IcLP

I

AdM

dY

i

r

yyy20

01

)1(

0||

1

−−−−++

−−=

dP

dr

dG

P

IcMIcLiIrLyLy

PIr

P

P

Ic

dM

dY yy

yy

yy

2

)1()1(

01

)1(1

+−−−−

−−−−=

dP

dr

dG

PMSLLI

Ic

PL

Ic

P

Ic

I

Ic

dM

dY

iyr

yy

y

yy

yy

r

yy

)()1()1(

0)1()1(

1

23

EXPECTATIVAS ADAPTATIVAS

Explique el concepto de Expectativas Adaptativas

Cuando los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa, toman en cuenta solamentelos valores pasados de la variable esperada. En particular, las expectativas para los precios en elperiodo t, son un promedio ponderado entre los precios que efectivamente se dieron en t-1 y losprecios esperados en t-1.

)P-(P )-(1 P- P e

1-t1-t

e

1-t

e

t λ=

donde Pte : nivel esperado de precios para el periodo t

Pt-1e: nivel esperado de precios para el periodo t – 1

Pt-1: nivel de precios efectivos para el periodo t – 1)1( λ− : velocidad de adaptación de las expectativas

Alternativamente, podemos expresar el nivel de precios esperado en t como: )P-(P e1-t1-t , el

precio que fue esperado en t-1, más una proporción del error de predicción que se cometió en elpasado

)P-(P )-(1 P P e1-t1-t

e1-t

et λ+=

o como:

Pte = Pt-1

e + (1-λ ) (Pt-1- P t-1e)

Pte = Pt-1

e + Pt-1 – Pt-1e - λ Pt-1 + λ Pt-1

e

)PP )-(1 P e

1-t1-t

e

t λ+λ=

Esta última ecuación nos muestra que los precios esperados son iguales a un promedio ponderadoentre los precios que efectivamente se dieron ayer y los precios esperados de ayer.

1t

e

t PP:0 −==λ Los precios son iguales a los que se dieron efectivamenteayer. A esto se les llama EXPECTATIVAS ESTATICAS

e1t

e

t PP:1 −==λ Los precios esperados son iguales a los precios esperadosde ayer. Las EXPECTATIVAS NO SE CORRIGENNUNCA, es una caso de MIOPIA.

Una forma más general de presentar las expectativas adaptativas es:

Pte = (1- λ ) ∑

∞

=0iλ i Pt-i-1 = (1-λ ) (P t-1+λ Pt-1 + λ 2 Pt-2+ K )

Los precios esperados de hoy son una suma ponderada de los precios del pasado, donde los preciosmás antiguos tendrán una menor ponderación o peso, por lo que serán de menor importancia en ladeterminación de los precios esperados de hoy.

Pte = (1- λ ) Pt-1 + λ P t-1

e

24

EXPECTATIVAS RACIONALES

1. Defina brevemente el supuesto de expectativas racionales

El supuesto de expectativas racionales implica que los agentes formulan sus expectativas sobreuna variable determinada tomando en cuenta toda la información disponible para ellos hasta elperíodo t. A diferencia de las expectativas adaptativas, los agentes toman en cuenta no sólovalores pasados de la variable que se quiere predecir; si no también de otras que afectan a estavariable.

Matemáticamente: [ ]ttet E ΩΠ=Π ++ |11

Alternativamente, podemos expresar las expectativas sobre una variable como:

[ ]11 ++ Π=Π ttet E

De esta forma, bajo expectativas racionales se supone que se conoce:

§ El modelo de comportamiento, es decir se conocen todas las variables que explican la variableque se espera.

§ Tanto los valores pasados como las variables que afectarán a mi variable esperada.§ Las decisiones de política son conocidas

2. Responda y comente la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.

a. Un agente que realiza sus expectativas racionalmente nunca puede cometer errores en supredicción.

Falso. En promedio, los agentes no se equivocan; pero en algún momento podrían hacerlo.Los agentes quieren hacer su mejor predicción, por lo que si se equivocaron una vez, en elsiguiente período incorporarán mayor información y no cometerán los mismos errores. Lapredicción puede ser distinta para cada agente, porque cada agente forma su expectativa segúnla información que tenga.

b. Bajo expectativas racionales existe la posibilidad de que se generen rentasextraordinarias en el mediano y largo plazo.Falso. Es cierto que obtendrán rentas extraordinarias en un primer momento; pero luego losdemás agentes obtendrán esta información, ya sea por terceros o por los mismos agentes quetenían la información privilegiada. El que tiene la información privilegiada querráaprovecharse de esta información, entonces la venderá y por tanto, en el largo plazo todostendrán la misma información.

c. Los agentes no pueden formar sus expectativas racionales si no tienen informaciónperfecta.Falso. Pueden formar sus expectativas sin tener toda la información, los agentes forman susexpectativas dada una información.

25

PROPIEDADES DEL OPERADOR DE EXPECTATIVAS RACIONALES

Dado el siguiente modelo para la variable consumo:

1tt1t ECC ++ += (1)

con : ),0(N~ 2t σε

ji0]E,E[E jtitt ≠=++

ji0],E[E jtitt >=Ω ++

1. Demuestre que el valor esperado calculado en el momento "t" del consumo en "t+1" esigual al consumo en "t".

t1tt CCE =+

Tomando esperanzas a (1)

][E]C[E]C[E 1tttt1tt ++ ε+=

0C]C[E t1tt +=+

t1tt C]C[E =+

Si condicionamos la esperanza matemática de la variable xt al conjunto de informacióndisponible en t, It; tendremos:

0C

]I|[E]I|C[E

]I|C[E]I|C[ECE

t

t1ttttt

t1tttt1tt1tt

+=ε+=

ε+==

+

+++

t1tt CCE =+

2. Demuestre que 1tt CE + es un predictor insesgado de 1tC + , es decir, que el valor esperado

del error de predicción es cero.

0CCCECE

]CC[E]]C[EC[E

tttt1tt

t1tt1tt1tt

=−=−=−=−

+

+++

Por lo tanto, en promedio el error de predicción ]C[EC 1tt1t ++ − es cero.

26

3. Demuestre que 1tt CE + es un predictor eficiente de 1tC + es decir, que la varianza del

error de predicción es mínima e igual a 2σ .

21tt1tt1tt1t ]CEC[E)CEC(Var ++++ −=−

2t1tt ]CC[E −= +

][E 2

1tt +ε=2σ=

27

MODELO DINÁMICO DE OFERTA Y DEMANDA AGREGADAS YLA CURVA DE PHILLIPS

Sea el modelo dinámico representado por las siguientes ecuaciones:

(1) Pt = Pt e - )( n

t µ−µα Curva de Phillips

(2) Π t = m - )yy(1

1tt −−φ

Demanda Agregada Dinámica

(3) )()yy( ntt µ−µ

λα−=− Ley de Okun

1. Encuentre la curva de Oferta Agregada dinámica y plantee nuevamente el modelo.

De (1) Pt = Pt e - )( n

t µ−µα(Pt – Pt-1) = (Pt

e – P t-1) - )( nt µ−µα

)( nt

e

tt µ−µα−Π=Π … (4)

De (3) )()yy( ntt µ−µ

λα−=−

)yy()( tn

t −αλ−=µ−µ … (5)

Reemplazando la ecuación (5) en (4) obtenemos la Curva de oferta agregada dinámica

)yy( t

e

tt −λ+Π=Π … (6)

Replanteando el modelo tendríamos:

Π t = Π t e + )yy( t −λ (OA)

Π t = )yy(1

m 1tt −−φ

− (DA)

tΠ

φ− 1

),y,m(DA 1tt

++

+

+φ

ty

tΠ

ty

),y,(OA e

tt

+++

λΠ

λ

28

2. Exprese el modelo en la forma estructural y reducida de forma matricial. Asuma que lasagentes forman sus expectativas de manera adaptativa, en particular estáticas:

Π te = Π t-1

)(1

)(

)()(

1

1

−

−

−−=Π

−+Π=Π

ttt

ttt

yymDA

yyOA

φ

λ

Variables Endógenas : Π t , Yt

Variables Exógenas : Π t-1, Yt-1, Y , m

Reacomodando las ecuaciones para expresarlas en la forma estructural:

1

1

11)(

)(

−

−

+=+Π

+Π=−Π

ttt

ttt

ymyDA

yyOA

φφ

λλ

Matricialmente, la forma estructural sería:

XCYBYA

m

Y

10

0

Y10

01

Y11

1

1t

1t

1t

t

t

+=

+

λ−+

Π

φ=

Π

φ

λ−

−

−

−

43421

y la forma reducida sería:

A-1 A Y = A-1 B yt-1 + A-1 CXY = A-1 B yt-1 + A-1 CX

A-1 =

−

λφλφ+

φ=

−

λφ∆ 11

1

111

11

φλφ+=λ+

φ=∆ 11

λφ+φ=

φλφ+

=∆ 11

11

λφ+φ

λφ+φ−

λφ+λφ

λφ+φ/φ/

=−

11

1)1(A 1

29

Entonces:

λ−

λφ+φ

λφ+φ−

λφ+λφ

λφ++

Π

φ

λφ+φ

λφ+φ−

λφ+λφ

λφ+=

Π

−

−

m

y

10

0

11

111

Y10

01

11

111

Y 1t

1t

t

t

++

++−

+

Π

++−

++=

Π

−

−

m

y

YY t

t

t

t

444 3444 21444 3444 21λφ

φλφ

λφλφ

λφλφλ

λφλφφ

λφλ

λφ

11

11

11

1

111

1

1

Multiplicadores de corto Multiplicadoresplazo (porque hay dinámica) de Impacto

3. Plantee y verifique la condición de Estabilidad de este modelo de dos ecuaciones endiferencia de orden uno.

1||,1|| 21 <λ<λ

Condiciones de estabilidad: a) det (M) < 1b) tr (M) < 1 + det (M)

a) det (M) < 1

01

1)1(

1)1()1(

1222

>λφ+

=λφ+φλ+=

λφ+φλ+

λφ+

Además: 11

1 <λφ+

; pues 0,0;11)(

>φ>λλφ+<+321

b) tr (M) < 1 + det (M)

λφ++<

λφ++

λφ+ 11

11

11

1

λφ+λφ+<

λφ+ 12

12

2 < 2 +λφ

0

0;0:Pues

>φ>λ>λφ

30

4. Exprese matricialmente el modelo en el largo Plazo

En el largo plazo las variables se encuentran en reposo, es decir, no varian a lo largo deltiempo:

*1tt Π=Π=Π −

*yyy 1tt == −

Entonces del modelo de la forma estructural:

XCYBYA t += −1

XC*YB*YA += (notación matricial)

XC*Y)BA( =−

XC)BA(*Y 1−−= Modelo en largo Plazo

• Hallamos (A-B)–1

λ−=

φ−

φ

λ−=−

01

010

011

1

1)BA(

λ−=

−

λλ

=− −

0110

01

01)BA( 1

• Y ∗ = (A-B)-1 CX

λ−

λ−=

Π∗

∗

m

y

10

00110

y

=

Π∗

∗

01

10

y

m

Y

5. Analice intuitiva, gráfica y matemáticamente el efecto de un incremento de la ofertamonetaria

En el corto plazo un incremento en la oferta monetaria presenta un efecto positivo sobre elproducto y sobre la tasa de inflación:

01yd

d t <λφ+λ−=Π

01yd

dy t >λφ+

λφ=

31

01

>+

=Πλφ

λφdm

d t 01

>+

=λφ

φdm

dyt

y en el largo plazo el incremento en la tasa de crecimiento del dinero (m) tiene solo efectosnominales, es decir solo tiene efectos sobre la inflación mas no sobre el producto. Es decir,se estaría cumpliendo la dicotomía clásica.

0y

=∂Π∂ ∗

1m

*

=∂Π∂

→En el largo plazo, sube la tasa de crecimiento del dinero (m) traeefectos sobre la inflación. Valor nominal (m) afectan a valor nominal

)(Π . En el largo plazo, economía es clásica.

1yd

dy =∗

0dmdy*

= →En el largo plazo, el incremento en la tasa de crecimiento del dinerono afectan al producto de equilibrio. Variables nominales afectan sóloa variables nominales )(Π , más no a variables reales *)y( .

Gráficamente

tΠ

*π

),y,m(''DA '1t1

φ−

),y,m('DA 1t1φ−

),y,m(DA 1t0φ−

y*

0y

OA(Π0t-1, yt-1)

OA(Π1t-1, yt-1)

OA(Π2t-1, yt-1)

En el primer momento (t=0), ante aumentos en la tasa de crecimiento del dinero (m), laDemanda Agregada se traslada a la derecha y estamos en B. En este punto, aumento tanto elproducto como la inflación. (Multiplicadores de corto plazo)

En el segundo momento, ante el ↑ m , tanto Π t como yt se vieron afectadas, por tanto en elsiguiente período 1t−Π e yt-1 van a afectar tanto al producto como la inflación.

01

1dd

1t

t >λφ+

=ΠΠ

−

01dy

d

1t

t >λφ+

λ=Π

−

32

01d

dy

1t

t <λφ+φ−=

Π −

01

1dydy

1t

t >λφ+

=−

Este modelo nos permite explicar porque no se observa una curva de Phillips todo el tiempo.La curva de Phillips en el largo plazo es vertical, z es el equilibrio de largo plazo y para llegaral equilibrio de largo plazo. Existe una dinámica de transición en la cual en algunos períodosse cumple la curva de Phillips (tramo F, H) y en otros no (G). La transición hacia el equilibrioes un espiral porque las raíces son complejas. (es sinusoide cuando se gráfica la serie respectoal tiempo).

F: Curva de Phillips y,↑Π↑G: No se cumple c.p. y,↓Π↑H: se cumple c.p. y,↓Π↓

33

DINÁMICA DE LA INFLACIÓN Y EL DESEMPLEO: LA CURVA DE PHILLIPSEN TIEMPO CONTINUO 3

Sea el modelo dinámico representado por las siguientes ecuaciones:

(1) ehUT Π+−−=Π βα , 0 < h ≤ 1, 0, >βα

(2) )( ee

j Π−Π=Π•

, 0 < j ≤ 1,

(3) )( Π−−=•

mkU , k > 0

donde:Π : inflación efectiva

eΠ : inflación esperadaU: Tasa de desempleom: Tasa de crecimiento de la oferta monetaria

1. Utilizando (1) (2) y (3) construya una ecuación diferencial de segundo orden, cuyavariable sea la inflación esperada.

Reemplazando la ecuación (1) en (2)

)hUT(j eee Π−Π+β−−α=Π•

(4) ee )h1(j)UT(j Π−−β−−α=Π•

Ecuación diferencial de orden 1, perotodavía depende de la tasa de desempleo U.

Diferenciando la ecuación (4) un período y reemplazando la ecuación (3) en (4):

ee )h1(j)U(j

••••

Π−−β−=Π

•••

Π−−Π−−β−=Π ee )h1(j))m(k(j

(5) •••

Π−−Πβ−β−=Π ee )h1(jkjkmj

Como buscamos que eΠ sea la endógena; reemplazamos la ecuación (2) en (5)

Despejamos Π de (2): Π=Π+Π••

jj ee

En (5):•

••

Π−−

Π+Π−=Π e

eee jj

j

jkjkmj )1(ββ

3 Chiang, Alpha. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. México: Mc Graw Hill

34

eee kjhjkkmj Π−Π−+−=Π•••

βββ )]1([

kmj)kj()]h1(jk[ eee β=Πβ+Π−+β+Π•••

Ecuación diferencial de segundo orden.

2. Resuelva la ecuación diferencial y encuentre la trayectoria de la eΠ .

La Solución particular nos muestra el valor al que se converge, tenemos:

Ecuación característica:

barar 212 =++

0'y''y:by ===bya'ya''y 21 =++

bya00 2 =++

jbk

jbkm

a

by ==

2

myb =

eΠ en el largo plazo va a converger a m; esto quiere decir que la inflación esperada va aser igual a la tasa de crecimiento del dinero nominal.

Por otro lado, la solución homogénea nos muestra la dinámica de transición, es decir si existe unequilibrio al cual se convergerá.

Las raíces características están dadas por:

2

a4aar,r 2

211

21

−±=

tr2

tr1

e 21 eAeAmy ++=Π=

Para que exista una dinámica de transición, la condición es que las raíces sean negativas, ya que amedida que t crece, si la raíz característica es negativa, la solución homogénea )0( →tr

iieA tenderá

a un valor de equilibrio, en este caso particular al valor m.

35

No sabemos si: 2

2

1 a4a <> , por tanto no sabemos si las raíces son reales e iguales, reales ydistintas o complejas. Veamos los 3 casos:

• R. REALES ≠ S 0a,0a;a4a 212

2

1 >>>2

a

2

11 4aa −>0r,0r 21 <<⇒

∴el equilibrio es dinámicamente estable.

• R. REALES IGUALES: 2

2

1 a4a =

→−==2a

rr 121 Equilibrio dinámicamente estable.

• R. COMPLEJAS: Para ver la convergencia, en el caso que tengamos raíces complejas, sólonos interesa la parte real.

La parte real es 2ah 1−= por tanto el equilibrio en este caso, también es estable.

Notemos que la convergencia en este caso oscilante y ondeada porque en la solución tenemos lasfunciones seno y coseno.

hte eY =Π= (A1 cos vt + A2 sen vt)

donde h: la parte real de la raízv: la parte imaginaria de la raíz.

La solución compleja, está replicando bien la economía, por que la trayectoria de una variable enel tiempo es oscilante.

t

)(teΠ

∴ La trayectoria de Π e es estable, converge a m.

36

ECUACIONES EN DIFERENCIA Y OPERADORES DE REZAGO (CAGAN,1956)

Sea el modelo de CAGAN (1956):

0;)PP(Pm te

1ttt <α−α=− + (1)

1. Tipos de operadores.

Operador de Rezagos: Rezaga un periodo una variable que dependa del tiempo.

Ej.: →tX Variable que depende del tiempo.

1tt XLX −=

1tt LX)LX(L −=

2tt2 XXL −=

M

nttn XXL −=

Operador de adelanto: Adelanta un período una variable que depende de tiempo.

Ej.: →tX Variable que depende del tiempo

1tt1 XXL +

− =

1t1

t11 XLXLL +

−−− =

2tt2 XXL +

− = M

nttn XXL −

− =

t1tt ZaXX +=→ −

ttt Z)LX(aX +=

ttt ZaLXX =−

tt ZX)aL1( =−

*ZaL1

1X tt −

=

2. Propiedades del operador de rezagos.

si 1|a| <

∑=++++=−

∞

=0i

ii3322 La...LaLaaL1aL1

1

∑=+++−

∞

=0it

iit

22t ZLaZ...)LaaL1(Z

aL11

37

∑=+++∑ =∞

=−−−

∞

= 0iit

i2t

21tt

0it

ii Za...ZaaZZZLa

Entonces podemos reexpresar (*):

tt ZaL1

1X

−=

∑=∞

=0it

iit ZLaX

3. Encuentre e interprete la solución para Pt, asumiendo expectativas adaptativas. ¿Cuál esla condición que debe cumplirse para que esta solución sea convergente?

Expectativas Adaptativas: )pp(pP 1ttte1t −+ −γ=−

(El precio esperado de mañana depende del precio de hoy y de una proporción de ladiferencia de precios de hoy y de ayer).

Despejamos e1tP + de la ecuación de expectativas adaptativas:

)PP(PP 1ttte1t −+ −γ+= (2)

Reemplazando (2) en (1):

)( 1 te

ttt PPPm −α=− +

)P)PP(P( t1ttt /−−γ+/α= −

1tttt PPPm −αγ−αγ+=

1ttt PP)1(m −αγ−αγ+=

Aplicando el operador de rezagos:

ttt LPP)1(m αγ−αγ+=

tt P]L1[m αγ−αγ+=

Dividiendo todo entre: )1( αγ+ :

αγ+=

αγ+

αγ−αγ+αγ+

1mt

p1

L11

t

αγ+

=

αγ+

αγ−

1m

pL1

1xt

t

38

αγ+

•

αγ+

αγ−=

11

1

1 xt

t

m

L

P (3)

Esto tiene la forma:

tt ZaL1

1P ⋅

−=

tenemos que verificar si: 1X1

|a| <αγ+

αγ=

Si 11

<αγ+

αγ, entonces podemos aplicar las propiedades de una expresión como

aL11

−, donde

1|a| < para obtener una suma convergente.

La condición para que la solución sea convergente es que:

[0,5.0]−∈αγ

Para que 11

<αγ+

αγ es necesario que:

11

1 <αγ+

αγ<−

αγ+<αγ<αγ+− 1)1(

De la primera desigualdad αγ<αγ−− 1αγ<− 21

αγ<−21

y como 0<α , tenemos que la condición que debe satisfacer αγ para que αγ+

αγ1

<1 es que αγ

∈ ] [0,5.0− . Bajo este supuesto, aplicamos la propiedad de los operadores de regazo:

Reexpresamos (3):

αγ+⋅

αγ+

αγ−=

1m

L1

1

1P t

t

39

c1

m11

1P it

i

0it

αγ+

αγ+

αγ+

αγ∑

αγ+= −

∞

=(I)

Esta es la solución del modelo de Cagan con expectativas adaptativas.

Interpretación: Cuando los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa, los preciosdependerán de una ponderación de la cantidad de dinero pasada, donde cada vez sele da menos peso a la cantidad de dinero para explicar los precios.

4. Encuentre e interprete la solución para Pt asumiendo expectativas racionales (previsiónperfecta).

Expectativas racionales: 1te1t PP ++ = (4)

Reemplazamos la hipótesis de expectativas racionales (4) en (1)

)PP(Pm te1ttt −α=− + ; 0<α

t1ttt PPPm α−α+= +

t1tt P)1(Pm α−+α= +

dividiendo todo entre α :

tt1t m1P1Pα

=

αα+++

aplicando el operador de rezagos invertido o el operador de adelanto:

ttt1 m1P1PL

α=

αα−+−

Factorizando Pt:

tt1 m

1P

1L

α=

αα−+−

Multiplicando todo por L:

tt Lm1

PL1

1α

=

α−α−

1tt m1

PL1

1 −α=

α−α−

40

t

1tt

1Cm

L1

1

11P

α−α+

α−α−α

= − (5)

Dado que 1

1

11

1

)aL(1)aL(

)aL(aL)aL()aL(

aL11

−

−

−−

−

−−=

+−−=

−

Aplicando esto a (5):

1

1t

1

1

1

1

t

1Cm

L1

1

L1

1P

−

−

−

−

−

−

α−α+

α−α−

α−α−

α=

( ) 1

1t

1

1

11

t

1Cm

L1

1

L11P

−

−

−

−

−−

α−α+

α−α−

−ααα

−=

t

1t1

1

1

1

t

1CmL

L1

1

1)1(P

α−α+

α−α−

−ααα−= −

−

−

−

−

t

t1

t

1Cm

L1

1

1)1(

1P

α−α+

α−α−α−

=−

(6)

pero 1L

11

1

−

−αα−

tiene la forma 1aL1

1−−

y esto puede expresarse:

t0i

iit

33221t1

mLam...)LaLaaL1(maL11

∑=++++=−

∞

=

−−−−−

41

it0i

i3t

3

2t

2

1t

1

tt

22

t

11

t

00

0i

ii

ma...ma

mamam...mLamLamLa(mLa

+

∞

=+

++−−∞

=

−

∑=++

++=+++=∑

Aplicando esta propiedad a (6)

t

t1

t

1Cm

L1

1

11

1P

α−α+

α−α−α−

=−

t

it0i

i

t

1Cm

11

1P

α−α+∑

α−α

α−= +

∞

=(II)

La solución para los precios asumiendo Expectativas Racionales, nos muestra que los preciosdependen de la cantidad de dinero actual y futura.

5. Analice el impacto en t de un incremento de la cantidad de dinero en t-1 en el modelocon expectativas adaptativas.

De (I):

C1

m11

1P

t

0iit

i

t

αγ+

αγ∑ +

αγ+

αγαγ+

=∞

=−

C1

...m1

m1

m1

1P

t

2t

2

ittt

αγ+

αγ+

+

αγ+

αγ+

αγ+

αγ+αγ+

= −−

Diferenciando totalmente:

t

2t

2

1ttt 1dC...dm

1dm

1dm

11

dP

αγ+

αγ+

+

αγ+

αγ+

αγ+

αγ+αγ+

= −−

haciendo t

3-t2-tt 1dC0dmdmdm

αγ+

αγ=…===

1tt dm11

1dP −

αγ+

αγα+

=

1t2t dm)1(

dP −αγ+αγ=

42

Entonces el efecto de un incremento de mt-1 en el corto plazo sobre Pt es:

0

00

)1(dmdp

21t

t

>γ<α

<αγ+

αγ=−

5. Analice el impacto de un incremento permanente de la cantidad de dinero en t-1.

En el largo plazo: *2t1tt mmmm === −−

Reemplazando esto en (I):

αγ+

αγ+

αγ+

αγ∑

αγ+=

α

= 1Cm

111

P *

i

0it

C11

m1

1P

i

0i

*t

αγ+

αγ+

αγ+

αγ∑

αγ+=

∞

=

Dado que 11

<αγ+

αγ, la sumatoria converge a

αγ+

αγ−1

1

1

Entonces:

αγ+

αγ+

αγ+

αγ−αγ+

=1

C

11

1m

11

P *

t

αγ+

αγ+

γ/α/+/γ/α/+γ/α/+

γ/α/+/

=1

C

11

11

1*mPt

αγ+

αγ+

αγ+

αγ+

=1

C1

11

1*mPt

αγ+

αγ+=1

C*mPt


*t dmdP =

43

Entonces el efecto de un incremento permanente de m* es:

1dmdp

*t =

7. Analice el impacto en t de un incremento en la cantidad de dinero ( 1tm +↑ ) en el modelo

con expectativas racionales

De (II):t

it

i

0it

1Cm

111

P

α−α+

−αα

∑α−

= −

∞

=

t

2t

2

1ttt

1C....m1

m1

m1

1P

α−α+

+

−αα+

−αα+

α−= ++

Diferenciemos totalmente, tomando en cuenta

t

3t2tt

1dc0dmdmdm

α−α==…+== ++

1tt dm11

1dP +

−αα

α−=

Entonces, el efecto de un incremento de mt+1 sobre pt es:

0)1(11

1dmdp

21t

t >α−

α−=

α−α

α−=

+

; 0<α

8. Analice el impacto de un incremento permanente de la cantidad de dinero sobre Pt,cuando los agentes forman sus expectativas racionalmente

En el largo plazo; *mmmm 2t1tt === ++ y reemplazando esto es II

*

i

0it m

111

P

−αα

∑α−

=∞

=


*

t m

11

11

1P

−αα−α−

=

44

*

tm

111

11

P

−αα/−−α/α−

=

*m)1(1

1Pt α−

α−=

*dmdp t =

45

LA CRÍTICA DE LUCAS

Sea el siguiente modelo con Expectativas racionales:

(1) t1t2t1tt10t ya))m(Em(aay µ++−+= −− Curva de Oferta Agregada

(2) t1t10t ybbm ε++= − Regla de Política

donde ),0(iidN~ 2Et σε

]ybb[E)m(E t1t101tt1t ε++= −−−

(3) 1t10t1t ybb)m(E −− +=


t1t2t10

t1t112t1010

t1t21t1101t10

t1t21t10t10t

ym

y)baa(mabaa

yaybabamaa

ya)ybbm(aay

µ+θ+θ+θ=µ+−++−=

µ++−−+=µ++−−+=

−

−

−−

−−

)b,a,a(f

)a(f

)b,a,a(f

1212

11

0100

=θ=θ=θ

Notemos que si cambia la regla de política tendría que cambiar b0 o b1 y si estos cambian, 20 y θθtambién cambian, por lo que no se puede suponer que 10 y θθ son constantes (fijos).Por tanto, este modelo si es compatible con la crítica de Lucas; ya que no se puede hablar delimpacto de la política porque los parámetros 210 ,, θθθ no reflejan los parámetros estructurales.

46

MODELO CON INFORMACIÓN PERFECTA DE LUCAS

Dadas las siguientes ecuaciones:

(1) ii LQ = Es la tecnología individual

(2)PQP

C iii = Valor real del consumo (individual) deflactado por inflación

(3) γγ

−= iii L1

CU Fn utilidad dada por el consumo y el trabajo (es un mal)

1>γ elasticidad

1. Encuentre la curva de oferta de trabajo del bien "i" en términos logarítmicos.

Reemplazando (1) en (2) y (2') en (3):

(2')PLP

C iii =

(3') γ

γ−= i

iii L

1PLP

U

Condición de Primer Orden:

1

ii

i

L1

PP

0LU −γγ//⋅

γ/−==

∂∂

(4)

s

i

1

1

ii Q

PPL =

=

−γ

(5)

En términos logarítmicos:

s

iii Qln]PlnP[ln1

1Lln =−

−γ=

s

iii q]pp[1

1l =−

−γ= (6)

Esta es la oferta individual (del bien i) en logaritmos la oferta nos muestra la relación entre empleoy precios si los cambios en precios relativos son mayores a los cambios en precios agregados,

pp i ∆>∆ , se responde contratando más trabajo y produciendo más.

47

Dadas las ecuaciones de oferta anteriores y las siguientes ecuaciones por el lado de la demanda:

iz

n

id

i ePP

yQ−

=

Tomando logaritmos:

)pp(nzyq ii

d

i −−+= (7)

donde: ),0(~z 2i σ

0n >

d

iq es la demanda del bien "i", la cual depende del producto agregado (y), de shocks de demanda(zi) y de la respuesta de la demanda al precio (n) cuando el cambio en los precios relativos esmayor que el nivel general de precios, asumiendo que la Demanda Agregada esta dada por:

pmy −= ; m: instrumentos de Política (8)

2. Encuentre el precio de equilibrio del bien "i":

En equilibrio:d

i

s

i qq =

)pp(nzy)pp(1

1iii −−+=−

−γ

npnpzyp1

1p

11

iii +−+=−γ

−−γ

ii zypn1

1pn

11 ++

+−γ

=

+−γ

)zy(nn1

1pp ii +

−γ+

−γ+= (9)

3. ¿Qué pasa en el equilibrio si trabajamos en términos promedios?

yq)q(E ii == (10)

pp)p(E ii == (11)0z)z(E ii == (12)

Tomando esperanzas a (9)

( ))z(E)y(Enn1

1]p[E]p[E ii +

−γ+

−γ+=

48

)0y(nn1

1pp +

−γ+

−γ+= (13)

1;1

0...........0

11

>==

⟨=

−+

−⇒

γγγγ

pero

yy

nn

Entonces tenemos que:

y = 0 (14)ln y = 0y = e0 = 1y = 1

De (14) y (8) tenemos:

pmy0 −==pm = (15)PM =

El dinero es neutral (oferta inelástica)

49

MODELO CON INFORMACIÓN IMPERFECTA DE LUCAS

Sea la siguiente definición del precio relativo del bien i:

Pp

R ii = (1)

Ri : precio relativo del bien "i"Pi : precio del bien "i"P : Nivel de precios agregados

- Tomando logaritmos a (1)

↓↓↓−=−=

ppr

PlnPlnRln

ii

ii

(2)

señal a extraer observado ruido aleatorio

- Estimando ri por MCO:

ppr i10i −β+β=[ ] i10ii pbbp/rE +=

[ ] [ ])p(pvpvr

vrp/r iii Ε−

+=Ε (3)

Los precios relativos (ri) no son conocidos, por eso los estimamos.

1. Encuentre la curva de oferta del bien "i" y la curva de oferta agregada (o curva de ofertaagregada de Lucas), dada la siguiente curva de oferta de trabajo para el individuo "i":

)pp(1

1l i

s

i −−γ

= (4)

- Reemplazando (2) en (4)

)r(1

1l i

s

i −γ=

]p/r[1

1l ii

s

i Ε−γ

= (5)

- Reemplazando (3) en (5)

[ ])p(pvpvr

vr1

1l i

s

i Ε−

+−γ

= (6)

[ ] s

ii

s

i q)p(pbl =Ε−= (7)

50

- Promediando (7) entre todos los productores: s

iqq = y dado que s

iqy = y que ipp =

)]p(Ep[by −= (8) curva de oferta agregada o de Lucas

-

+−γ

=pr

r

vvv

11b

Si 0bv:0v pr →⇒∞→→y si 0b → , la Curva de Oferta de Lucas es vertical, es decir el producto no respondería antecambios en precios.

2. Sea la curva de demanda agregada pmyd −= , encuentre los niveles de precio yproducto de equilibrio.

En equilibrio: sd yy =

)]p(Ep[bpm −=−)p(Ebbppm −=−)p(Ebm)1b(p +=+

)p(Eb1

bm

b11

p+

++

= (9)

El precio está dado por una parte política y por otra de los precios esperados.


Ε−Ε

++

+= )p()p(

b1bm

b11by

)p(bb1

bm

b1b

y2

Ε

−

++

+=

)p(b1

bbbm

b1b 22

Ε

+−−−

+=

)p(Eb1

bmb1

by

+−

+= (10)

Aplicando esperado a (9)

)p(b1

b)m(

b11

)p( Ε+

+Ε+

=Ε

51

)m(b1

1)p(b1

b1 Ε+

=Ε

+−

)m(b1

1)p(

b11 Ε

+=Ε

+

)m(E)p(E = (11)

Los individuos esperan una inflación igual, en promedio, a la variación de la cantidad de dinero.Es decir, todo cambio de la política afecta solo a precios y no al producto.

Usando (11) y [ ])m(mE(m)m Ε−+=

Reescribiendo (9):

[ ] )p(b1

b))m(m()m(

b11

p Ε+

+Ε−+Ε+

=

))m(m(b1

1)m(b1

bb1

1p Ε−+

+Ε

++

+=

))m(m(b1

1)m(p Ε−

++Ε= (12)


)m(Eb1

bmb1

by

+−

+=

))m(Em(b1

by −

+= (13)

Sólo los shocks no anticipados de dinero tendrán efecto sobre el producto más no los shocksanticipados ya que y=0 (porque m = E(m)); sin embargo los precios si cambiarían.

vr está asociado a vz

vp está asociado a vm

+−γ

=pr

r

vvv

11b

1ncuando;vv

v1

1b

mr

z =

+−γ

=

52

3. ¿Se cumple la relación establecida por la curva de Phillips en este modelo?

En este modelo encontramos que la inflación y el producto están correlacionadas positivamente,por lo que podemos decir que el modelo de información imperfecta implica que se cumple larelación establecida por la Curva de Phillips.Por otro lado podemos decir que shocks inesperados de oferta de dinero afectan tanto al productocomo a los precios, en cambio shocks anticipados afectarán solo a precios. En este contexto,podriamos decir que se cumple la curva de Phillips a corto plazo, mas no a largo plazo.

A pesar de que existe una relación estadística entre inflación )(Π , y producto (y), no existe un

trade-off aprovechable en términos de política económica, ya que si ∞→mv o0b0vz →⇒→ , el producto no respondería ante cambios en la cantidad de dinero.

4. Explique la Crítica de Lucas

Si los diseñadores de política tratan de aprovechar las relaciones estadísticas, los efectos queoperen a través de las experiencias pueden ocasionar el colapso de estas relaciones. Si lasautoridades abusan de este trade off, el producto no responderá.

;0vv

v1

1bV)p(EPpr

rp →

+−γ

=∧∞→− 0y =

Por tanto, la política monetaria puede afectar a la producción sólo si los diseñadores de políticatienen información que no está disponible para los agentes privados.

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