Embed Size (px)
Citation preview
Ders Notları
MADEN DEĞERLENDİRME
Doç.Dr. Kaan ERARSLAN 2008
2
ĐÇĐNDEKĐLER 1. GĐRĐŞ ................................................................................................................................................ 3 2. REZERV SINIFLARI VE HESAPLAMALARI.............................................................................. 4 2.1 Görünür rezervler ....................................................................................................4 2.2. Muhtemel Rezervler ...............................................................................................6 2.3 Mümkün Rezervler..................................................................................................7 2.4 Belirli Mümkün Rezervler ......................................................................................7 2.5 Tahmini Mümkün Rezervler ...................................................................................7 2.6 Temel Rezerv (Baz Alınan Rezerv) ........................................................................7 2.7 Jeolojik Rezerv.......................................................................................................8 2.8 Kaynak, Rezerv ve Potansiyel Kavramları .............................................................8
3. BĐLGĐ TOPLAMA-YORUMLAMA VE KOMPOZĐT DEĞER ................................................... 10 4. KLASĐK YÖNTEMLERLE BĐLGĐLERĐN SAHAYA YAYILMASI ........................................... 19 4.1. Sahanın Üçgenlere Bölünmesi .............................................................................19 4.2. Poligon Yöntemi ..................................................................................................22 4.3. Ters Mesafe Karesi Yöntemi................................................................................25
5. ALAN VE HACĐM FORMÜLLERĐ.............................................................................................. 28 5.1. Alan Formülleri ....................................................................................................28 5.2. Hacim formülleri ..................................................................................................30
6. JEOĐSTATĐSTĐK ............................................................................................................................ 40 6.1. Variogram Modeli ................................................................................................41 6.1.1. Variogramların özellikleri.............................................................................42 6.1.2. Variogram Modelleri.....................................................................................45 6.1.2.1. Sill’li modeller............................................................................................................ 45 6.1.2.2. Sill’siz modeller.......................................................................................................... 46
6.1.3. Variogramların önemi...................................................................................46 6.2. Kriging (jeoistatistik atama fonksiyonu)..............................................................47 6.2.1. Kriging teorisi ...............................................................................................47
6.3. Variogram ve Kriging Örnekleri ..........................................................................50 6.3.1. Variogram örnekleri......................................................................................50
Örnek 2- Aşağıdaki numuneler için i-E-W, ii-N-S için model oluşturun. .............................. 51 6.3.2. Kriging Örnekleri..........................................................................................54
Örnek 1- Nokta Kriging .......................................................................................................... 54 Örnek 2- Blok Kriging ............................................................................................................ 56
6.4 Yapay Sinir Ağları ................................................................................................59 7. SAHANIN BALIKAĞIYLA KAPLANMASI VE REZERV HESAPLARI ................................ 60 7.1. Kompozit Değer Kullanarak Rezerv Hesabı ........................................................61 7.2 Yüzey modelleme..................................................................................................67 7.3 Basamak kompozit hesapları.................................................................................69 7.4 Blok Modeli...........................................................................................................71 7.5 Blok Modelleme....................................................................................................75 7.6 Blok Model Kullanım Yerleri ...............................................................................77
9 OPTĐMĐZASYON............................................................................................................................ 79 9.1 Optimum Ocak Derinliği.......................................................................................79 9.2 Diğer Optimize Edilebilir Parametreler ................................................................80
3
1. GĐRĐŞ Bir cevher yatağının değerlendirilmesi jeolojik özelliklerinin tespitinden, ocağın işletmesine kadar
geçireceği bütün safhaları, üretim planlamasından ekonomik analizlere kadar bütün hesaplamaları
kapsar.
Arama çalışmaları ve sondaj veri tabanının oluşturulması bütün değerlendirme çalışmalarının da
temelini oluşturur. Cevher yatağının, öncelikle, sınırları, boyutları, hacmi, kapladığı alan, rezerv
miktarı bulunmalıdır. Bu konuda geliştirilmiş çeşitli yöntemler mevcuttur. Bahsi geçen özellikler
elde edildikten sonra yapılacak madencilik çalışmasının ekonomik olup olmadığı gündeme
gelecektir.
Madenlerin değerlendirmesi, bir tür yeraltını görebilme ve görüntülemekte kullandığımız sondaj
kuyuları ve numune neticelerinin yorumlanmasıyla başlar. Sondaj kuyularının kompozit (bileşik)
değerleri hesaplanarak, kuyulara ait x,y (E,N) koordinatlarında tek kalınlık, tenör bilgisi elde edilir
(kuyu kompozit değeri). Muhtemel ocak basamak seviyeleri dikkate alınarak da basamak kompozit
değerleri hesaplanabilir.
Sonraki safhada değerleri bilinen koordinatlardan yararlanarak bu bilginin sahaya yayılma
(extension) çalışması yer alır. Bu manada, klasik (üçgenleme, poligon, ters mesafe karesi),
jeoistatistik ve gelişmiş bilgisayar destekli yöntemler (yapay sinir ağları) yer almaktadır.
Sahaya muntazam olarak yayılan (ızgara-grid) sondaj bilgileri ışığında alan, hacim ve rezerv
hesapları yapılabilir. Ayrıca saha boyunca alınan paralel kesitler de bu tür hesaplamalarda kullanılan
klasik yöntemlerdendir. Alan ve hacim formülleri kullanılarak rezerv için gerekli bilgiler elde edilir.
Sahanın üç boyutlu modellemesi, hem görsel hem de sayısal açıdan ulaşılması istenen bir sonuçtur.
Rezerv hesaplarından sonra, fizibiliteye ve optimum saha sınırlarına yönelik çalışmalar
başlayacaktır.
Maden değerlendirme çok geniş ve entegre çalışan bir sistem olmasına karşın alanında en fazla
bilgisayar yazılımı olan bir bilim dalıdır. Haritalama, 3 boyutlu yüzey modelleme, hacim hesapları
geliştirilen yazılımların temel işlevlerindendir. Ancak, üretim planına kadar bütün hesaplamaları ve
çizimleri yapabilen entegre yazılımlar da mevcuttur. Maden değerlendirme eğitiminde klasik ve
gelişmiş hesaplama yöntemleriyle bilgisayar destekli sistemler birlikte yer almaktadır.
4
2. REZERV SINIFLARI VE HESAPLAMALARI1
Tüvenan cevherlerin ocaklardan çıkarılması ve yararlı minerallerin gangdan ayrılması için yapılan
zenginleştirme işlemlerinin tümü bir maliyete sahiptir. Madencilik yatırımlarından kâr
sağlanabilmesi için yatağın belli bir kalite ve miktarda cevhere sahip olması gerekir. Elde edilecek
cevherin miktarı ise, tamamen doğal olan iki faktörün fonksiyonudur. Bunlar sırasıyla tenör ve
rezerv miktarıdır.
Tenör: Cevher malzemenin tonunda ve m3 de bulunan cevher veya bileşik miktarıdır. Rezerv : Cevherin ton veya m3 olarak kütlesidir.
Rezervleri 5 sınıf altında toplamak mümkündür:
1. Görünür rezervler
2. Muhtemel rezervler
3. Mümkün rezervler
4. Baz alınan rezervler (Temel rezervler)
5. Jeolojik rezervler
2.1 Görünür rezervler
Ana kuyu, tali kuyu, galeri, kılavuz, başyukarı, başaşağı ve yarım açılmış bulunan cevher
kütleleridir. Cevher yerinin kontrolü, örnek alma ve ölçme işlemleri her zaman incelemeye elverişli
bir biçimde yapılmıştır. Maden yatağının jeolojik karakteri, cevher tenörleri, yatağın eni, boyu ve
derinliği yeterlice tamamlanmıştır.
Görünür rezerv sınıflandırması için, madencilik işlemleri ve sondaj aralıklarının konumuna ilişkin
ileri sürülen değerler şu şekilde özetlenebilir (Tablo 1).
1Kadir Sarıiz, 1987. Madenlerin Değerlendirilmesi, Anadolu Üniversitesi Yayın No: 224, s. 51-58.
5
Tablo 1. Görünür Rezervlerde Đleri Sürülen Değerler Yataklanma biçimi
Görünür rezerv
Rezerv hatası
Yatağın Araştırılma şekli
Çok düzenli Katman ve Katmansı yatak.
Daha az düzenli veya değişik yataklanmalar
Parçalanmış Yaltaklanmalar
Đşletme işlemleri Yatay doğrultu Boyunca
200-100m.
100-25m.
----
Đşletme işlemleri Eğim boyunca
100-40m.
40-10m.
----
Çok kesin
_ + % 5
Sondaj Ağı
200-50m.
50-10m.
----
Đşletme işlemleri Doğrultu Boyunca
1000-200m.
200-40m.
40-10m.
Đşletme işlemleri Eğim Boyunca
400-80m.
80-20m.
20-5m.
Kesin
_ + % 20
Sondaj Ağı
1000-100m.
100-30m.
----
Örnek alım yerleri arasındaki aralıklar 200-20m. 30-5m. 5-1m.
Madencilik işlemleri (kuyu, başyukarı, başaşağı, arama kuyuları,yarmalar) ile dört yanı,devamlılık
ve düzenlilik bakımından bazı elverişli koşullarda ise sadece üç yanı bilinen bir cevher yatağının
görünür rezerv sınıfına alınabilmesi için;
a) Cevherin geometrik ve teknolojik parametrelerinin (kalınlık, tenör, cevher özellikleri)
kesinlikle bilinmesi ve ekonomik işletmeye elverişli olması,
b) Örnek alma işleminin detaylı ve uygun olarak yapılması,
c) Cevher kütlesi sınırları, yataklanma durumu, materalizasyon ve onun dağılımının kesinlikle
bilinmesi,
d) Hidrojeolojik koşulların saptanması gerekmektedir.
Görünür sınıfa göre yatak veya yatak bölümlerinde rezerv ve tenörler için verilen değerlerde en
fazla kabul edilen hata m % 10 düzeyindedir.
Pratik olarak bu düzeydeki hata yeter bir kesinlik ifade eder.
6
2.2. Muhtemel Rezervler
Ana galeri, ana kuyu, kılavuz, başaşağı, başyukarı veya sondajlar iki yanı açılmış, gözlenebilen,
fakat arama bakımından doğrultu veya eğim yönlerinde henüz meçhulleri bulunan cevher kütlesi için
uygulanan rezervlerdir. Ölçü ve örnek kısmen yapılmıştır. Tenör bütün kütleyi temsil edecek
nitelikte değildir.
Bu sınıf ile temsil edilen rezervlerin miktar ve tenörlerinde maksimum sapma m % 20 olmaktadır.
Muhtemel rezerv sınıfına dahil edilecek yatak kısımlarının geliştirilmesinde sondajların önemi çok
büyüktür. Metalik maden yataklarında damar doğrultusu boyunca 100 m, eğim yönü boyunca 50 m
aralıklarla yapılan sondajlarla yatağın konumu saptanabilir. Muhtemel rezerv sınıflandırması için,
madencilik işlemleri ve sondaj aralıklarının konumuna ilişkin ileri sürülen değerler Tablo 2’de
özetlenmiştir:
Muhtemel rezerv sınıfına dahil edilecek bazı durumlar aşağıda sıralanmıştır.
a) Görünür rezerv sınıfına dahil edilen kömür varlığının aşağı ve yukarı katlara doğru devamlılığı
mümkün olan bir üretim katına karşıt gelen kısımlar,
b) Görünür olarak sınıflanan iki kömür varlığının veya kesinlikle belirlenen iki fayın arasında kalan
ve bir traverbanla veya sondajla kesilen varlıkların, kesim noktasından itibaren aşağı ve yukarıya
doğru maksimum 200 m’lik kot farkına karşıt gelen kısımlar,
Tablo 2. Muhtemel Rezervlerde Đleri Sürülen Değerler
Yataklanma Biçimleri Rezerv Hatası
Yatağın Araştırılma şekli
Çok Düzenli Katmansı
Daha az Düzenli Katmansı
Parçalanmış Yaltaklanmalar
Đşletme işlemler Yatay ve doğrul- Boyunca
2000-400 m.
400-80 m.
80-20 m.
Đşletme işlemleri Eğim boyunca
800-150 m.
150-40 m.
40-10 m.
m% 40
Sondaj Ağı
2000-200 m.
200-40 m.
----
Örnek alım yerlerindeki uzaklıklar 600-100 m. 100-20 m. 20-5 m.
Bir kılavuz (galeri) ve damar yatım doğrultusunda sondaj,
Damar doğrultusuna dik bir ana lağımın damarı kestiği yerden tek tarafa kılavuz ve yakın bir
kesimde bilinen sondaj noktası,
7
Ana lağım ve bundan itibaren başaşağı ve yakın bir seviyede bilinen diğer bir nokta,
Ana lağım ve bundan itibaren başyukarı ve yakın bir seviyede bilinen diğer bir nokta,
Ana lağım ve bundan itibaren diyagonal kılavuz,
Ana lağım ve ayrı seviyede kılavuz.
2.3 Mümkün Rezervler
Jeolojik belirtilere dayanılarak yapılan, görünür ve muhtemel rezervlere oranla yatakla ilgili verilerin
devamlılığı daha az gerçekçi biçimde tahmin edilebilen cevher kütleleridir. Madencilik işlemleri
henüz yeterli miktarda yapılmamış olup, tenör ve teknolojik parametreler kesinlikli bilinmemektedir.
Mümkün rezervle, belirli ve tahmini mümkün rezervler olmak üzere ikiye ayrılırlar.
2.4 Belirli Mümkün Rezervler
Cevher yatağı en az bir taraftan saptanmış veya 2-3 taraftan ortaya çıkarılmış olmasına rağmen
arama sıklığı muhtemel rezerv sınıfına alınmasına yeterli değildir. Cevherin derinlere doğru gidişi
kesinlikle çıkarılamamış, örnek alımı az, tenör ve cevher bileşimi yapım işlemleriyle genel anlamda
bilinmektedir. Jeofizik çalışmalar rakamlara yardımcı olmaktadır. Bu sınıf yatakların tenör ve
rezervlerinde % 50 hata mevcuttur. Düzenli yataklarda 1600-400 m3 düzensiz yataklarda 400-100 m
aralıklarla aramalar mümkün rezervin saptanmasını sağlar. Bu sınıfa giren cevher kütlelerin
durumları aşağıdaki gibidir. Doğrultu ve eğim boyunca ihzaratı yapılan yerlerde varılan noktaların
dışında kalan kısımlar, Yataklanma durumunun arama yapılmadan veya yapıldıktan sonra karışık
olduğu saptanan yataklar veya yatak kısımları, ihzarat ve işletmesi emniyetle yapılmayan yataklar
veya kısımları.
2.5 Tahmini Mümkün Rezervler
Sondaj ve yer altı çalışmaları mevcut değildir. Sadece jeolojik verilere göre rezerv tahmin
edilmektedir. Cevherin kalitesi konusundaki bilgiler belirli örneklere dayanmaktadır. Rezerv için
belirli bir değer vermekten kaçınılmaktadır.
2.6 Temel Rezerv (Baz Alınan Rezerv)
Maden işletme ve proje hazırlanmasında esas alınacak rezervdir. Görünür ve muhtemel rezervlerin
ekonomik olan kütleleri ile ekonomik olmayan kütlelerin bir kısmını kapsar.
8
2.7 Jeolojik Rezerv
Temel rezerv miktarına mümkün rezervde ilave edilirse jeolojik rezerv elde edilir. Belirlenen
kaynakların toplamıdır.
2.8 Kaynak, Rezerv ve Potansiyel Kavramları
Gerek ekonomik işletilebilirlik açısından, gerekse varlığının belirliliği açısından, hiçbir biçimde
sınırlandırılmamıştır. Rezerv ise hem ekonomik açıdan, hem de varlığının belirliliği açısından
sınırlandırılmış olup, çalışmaları ile belirlenmiş olan ve işletilebilirliği değerlendirme etütleri ile
saptanmış olan kaynağın bir bölümünü içermektedir. Kaynağın, rezerv terimi ile tanımlanan bir
bölümünün dışında kalan kısmı da iki ayrı bölümde ele alınır. Bunlardan birincisi, varlığı belirlenmiş
olmakla birlikte işletilmesi teknik ve ekonomik nedenlerle günün koşulları altında olanaksız olan ve
potansiyel terimi ile tanımlanan kaynaklardır. Rezerv durumuna gelebilmeleri, günün ekonomik ve
teknik koşullarından daha elverişli koşulları gerektirir. Đkinci bölüm ise varlığı henüz belirlenmemiş
olan kaynaklardır.
Kaynaklar = Rezervler + Potansiyeller + Bilinmeyen Kaynaklar
Diğer taraftan potansiyelde kendi içinde ikiye ayrılır. Günün koşullarında işletilebilir olmamakla
birlikte biraz daha iyi koşullarda işletilecek nitelikte olan pek çok cevher kütlesi vardır.
Bilinmeyen Kaynaklar Bilinmeyen Kaynaklar
Ekonomik Kaynaklar
Görünür Rezerv
Muhtemel Rezerv
Mümkün Rezerv
Ekonomik Olmayan Kaynaklar
Marjinal
Atıl
POTANSĐYEL
Đ D L E E R T E Đ C L E E S B Đ Đ L Đ R L Đ K
9
Bu tür cevher kütlelerinin ekonomik bir ifade ile marjinal potansiyel olarak tanımlanır. Bunun yanı
sıra daha iyi koşullar gerektiren ve uzak bir gelecekte işletilme olanağı olan cevher kütleleri de atıl
potansiyel olarak tanımlanır.
Tenörün Saptanması Đçin Örnek Alınması:
Bir cevher kütlesinin tenörünü saptamak için alınan örneklerin söz konusu cevheri en iyi şekilde
temsil eden örnekler olması gerekir. Oysa böyle bir örnekler, hiçbir zaman alınmış olduğu cevher
kütlesinin ortalama bileşimini temsil edemez. Bu nedenle örnek alma yöntemlerinin temel ilkesi,
örnek sayısını elden geldiği kadar fazla tutmak ve bu örneklerden elde edilen değerlerlerin
ortalamasını almaktır.
Bu şekilde hareket etmekle gerçeğe yakın sonuçlar elde edilir. Örnek alma işlemi;
a) Mostradan yarmalar açarak
b) Elmas kronlu sondaj karotiyerlerle
c) Đşletme durumundaki bir madenden
d) Terkedilmiş bir madenden örnek alma
e) Konsantrasyon tesisinden
yapılabilir1.
1Kadir Sarıiz, 1987. Madenlerin Değerlendirilmesi, Anadolu Üniversitesi Yayın No: 224, s. 51-58.
10
3. BĐLGĐ TOPLAMA-YORUMLAMA VE KOMPOZĐT DEĞER Sondaj kuyularının logları incelendiğinde, genellikle muntazam bir damar yapısıyla karşılaşmak
mümkün olmaz. Ekonomik değeri olan cevher ara bantlarla kesilir. Dolayısıyla birden fazla kalınlık
ve kimyasal analiz değerleri elde edilir. Aynı (x,y) koordinatına denk gelen bu kalınlık analiz
değerlerinin birleştirilip tek bir değer haline getirilmesi işlemine kompozit alma (birleşik değer alma)
denir. Saha araştırmalarında madencinin bir nevi gözü durumunda olan sondaj bilgileri, doğru bir
şekilde yorumlanmalı ve sahaya dağıtılmalıdır. Kompozit değerleri genellikle rezerv ve sınır
hesaplamalarında, eş-kalınlık, eş-tenör haritalarının çiziminde gerekli olmaktadır.
Kompozit değer hesabında kullanılan genel yöntem, kalınlıkla ağırlık ortalama almaktır.
∑
∑=
N
Jj
N
Jjj
t
at
id
*
)(
burada, d(i) = i numaralı kuyunun kompozit değeri t j = j numaralı analiz bloğunun kalınlığı aj = j numaralı analiz değeri
Örnek: Şekilde verilen kuyu kesitine göre, manyezit cevherinin kalınlığını ve kompozit tenörünü hesaplayınız. Kuyunun manyezit tabakasını üç defa kestiğini görüyoruz. Đlk kesme 5 m, ikinci 16 m ve üçüncü 10 m. Kalınlık direkt olarak üçünün toplamı olur.
=T ∑ it
=T t1 + t2 + t3 =T 5 + 16 + 10 =31
Tenör ise kompozit değer bulunarak tek değere indirilecektir.
∑
∑=i
ii
t
gtD
*
11
t = kalınlık
g = tenör D = kompozit değer
D= 32,031
92,9
10165
35,0*1032,0*1626,0*5==
++++
% 32 manyezit
Dikkat ! Eğer bir kalınlık ve tenör sınırı konursa, her görülen manyezit bloğu cevher sayılmayabilir. Ancak
sınır tenörü ve kalınlığını geçenler cevher olarak dikkate alınır.
Her kompozit alma işlemi bu kadar kolay olmayabilir. Kompozit alırken dikkat edilmesi gereken
bazı özel durumlar vardır. Kömür analizlerinde kompozit değerleri hesaplarken bazı farklılıklar
mevcuttur.
I- ara bant kalınlıkları, iş makinalarıyla, cevherden ayırt edilemeyecek kadar ince olabilir. Böyle
durumlarda:
a) Eğer gang kabul edilen ara bant iki cevher bloğu arasındaysa, hesaplamalarda ara bant da
cevher kalınlığına ilâve edilir. Çünkü; makinanın bunu ayırt etmesi mümkün değildir.
b) Eğer gang kabul edilen bant üstten veya alttan başka bir gang bloğuyla komşu ise, cevher
kalınlığına eklenmez.
c) Eğer iş makinalarının alamayacağı kalınlıkta bir cevher tabakası mevcutsa ve eğer bu tabaka
iki gang tabakası arasında kalmışsa, cevher kalınlığına eklenmez.
d) Yine böyle bir cevher bloğu, üst veya alttan bir başka cevher bloğuyla komşuysa, cevher
olarak kabul edilir ve toplam cevher kalınlığının eklenir.
e) Đş makinalarının alabileceğinden ince bir gang tabakasının iki üst ve iki alt tabakasıyla bir üst
ve üst alt tabakasına aynı anda bakıldığında;
i) Üst ve/veya alt tabaka cevher olmakla birlikte, yine iş makinalarının alma sınırının
altında kalan, ancak iki üst tabaka komşusu olan cevher tabakasıyla birlikte gang sayılır.
ii) Gang tabakasının komşu tabaksı yine çok ince bir gang ise ve ikisinin toplam kalınlığı
hala makinanın alma sınırının altında ise ve iki komşu tabaka kalın bir cevher tabakası ise
bu gang tabakaları cevher tabakaları arasında demektir ve cevher sayılır.
12
iii) e şıkkındaki durumlar cevher için geçerliyse f ve g maddesi cevher göre yazılabilir.
Cevher
Ara kesme
Cevher
a)
Cevher
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Cevher
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Cevher
Yantaş
Yantaş
b)
c) d)
Yantaş
Cevher
Yantaş
Yantaş
Cevher
Arakesme
Cevher
Cevher
e-i ) e-ii )
Arakesme Arakesme
13
II- kömürde, geçilen tabakaların kömür mü pasa mı olacağı kararlaştırırken kalınlık dışında kül,
kükürt (sülfür), nem, uçucu maddeler de dikkate alınır. Ama bunların dışında en önemli karar kriteri
kalori değeridir. Kül, nem, uçucu maddeler ve kükürt değerleri genelde 1000 kcal/kg’lık numunenin
karşılığı olacak şekilde verilir. Eğer kömür bloğunun kalori değeri 1000 kcal/kg’dan farklıysa, o
kalori değerine denk gelen kabul edilebilir kül, kükürt, uçucu madde, sabit karbon sınırı 1000
kcal/kg’a oranlanarak bulunur.
ÖRNEK: Termik santralı besleyecek bir linyit yatağında yapılan sondaj altta verilmiştir. Bu kuyudaki kömür
kalınlığını ve kompozit değerlerini aşağıdaki kriterlere göre hesaplayınız.
* KALORĐ > 1000 KCAL / KG
* KÜL < % 25 / 1000 KCAL / KG
* NEM > % 18 /1000 KCAL / KG
* Minimum bant ayırma kalınlığı 0.5 m ÇÖZÜM : Öncelikle hangi blokların kömür hangisinin pasa sayılacağına karar verilmesidir:
a. 70-78 m arası ( 8 m ) > 0.5 Kalori değeri 1200 > 1000 sağlıyor Kül % 28 > % 25 ancak 1000 kcal / kg için
kgkcalX /1000
25%
?
28%=
X = 1120 kcal / kg üstte ise şart sağlanıyor. 1200 > 1120 şart sağlanıyor. Nem % 10 < % 18 şart sağlanıyor. Kömür bloğu olarak kabul edeceğiz.
b. 78-80 m arası ( 2 m ) > 0.5 Kalori 1300 > 1000
14
Kül kgkcalX /1000
25%
?
32%=
X = 1200 kcal / kg 1300 > 1200 şart sağlanıyor. Nem % 25 > %18
kgkcalX /1000
18%
?
25%=
X = 1388 kcal / kg 1300 < 1388 şart sağlanmıyor; nem, kabul
sınırını aştığı için kömür değil.
Not : Kömür kalitesini düşüreceği, satış verimini etkileyeceği için hesaba dahil edilmez.
c. 80,4-82,4 arası ( 2 m ) > 0.5 m 1500 kcal / kg >1000 kcal / kg
Kül kgkcalX /1000
25%
?
28%= 1120 kcal / kg
1500 kcal / kg > 1120 kcal /kg
15
Nem %20 > %18
kgkcalX /1000
18%
?
20%= 1111.1 kcal / kg
1500 kcal / kg > 1111.1 kcal / kg şart sağlanıyor; kömür.
d. 83.8-84.0 ( 0.2 m ) < 0.5 m
Bir üst tabaka ve alt tabaka marn,
Đki üst tabaka kömür olmakla birlikte arada 1.4 m’lik marn tabakası var. Hemen altta 84.0 m - 85.0
m arası 1 m’lik Marn tabakası var. Dolayısıyla iki kalın pasa arasında 0.2 m’lik kömür mevcuttur.
Đki alt tabaka yine pasa ( kumtaşı )
1350 kcal / kg > 1000 kcal / kg % 25 = % 25 kül / 1000 kcal / kg % 17 < % 18 nem Kömür özelliklerini sağlıyor, ancak bu kalınlıkla pasa tabakalarının arasında olduğundan bu da pasa
sayılacak. Eğer kalınlık 0.5 m’den fazla olsaydı kömür sayılabilecekti.
e. 85.6 – 86.0 ( 0.4 m ) < 0.5 m 1100 kcal / kg > 1000 kcal / kg % 23 < % 25 kül % 18 = %18 nem
Şartlar sağlanıyor, o halde komşu tabakalara bakılır. Üst iki tabaka pasa. Altındaki tabaka 0.2 m’lik
marn. Đki alt tabaka 10 m’lik linyit, eğer şartları sağlayan bir bloksa 0.4 m’lik kömür, alttaki tabaka
0.2 m’lik marn da kömüre dahil edilecek.
Bu tabaka altındaki Marn da ( 0.2 m ) Kömür olarak sayılacak.
f. 86.2 – 96.2 ( 10 m ) > 0.5 m Kalori 1250 kcal / kg > 1000 kcal / kg Kül % 24 < % 25 Nem % 21 > % 18
1166.7 kcal / kg
1250 kcal / kg > 1166.7kcal / kg Kömür şartı sağlanıyor.
g. 110 – 115 m ( 5 m ) > 0.5 m 950 kcal / kg < 1000 kcal / kg Kömür sayılmayacak.
h. 115.0 – 115.3 ( 0.3 m ) < 0.5 m 1400 kcal / kg > 1000 kcal / kg Kül % 23 < % 25 Nem % 16 < %18
Kömür özelikleri olmakla birlikte bu kalınlıkla iki gang tabaka arasında pasa sayılacak.
kgkcalX /1000
18%
?
21%=
16
Kalınlık: 8+2+0.4+0.2+10 = 20.6 m kömür ( 70 – 78 ) + ( 80.4 – 82.4 ) + ( 85.6 – 86 ) + (86 – 86.2 ) + ( 86.2 + 96.2 )
Kül: Kül = 257.06.20
292.5
102.04.028
24.01023.04.028.0228.08(%)==
+++++++
=∑
∑ xxxx
t
xKült
i
ii
= % 25.7 Kül
Nem: Nem = 164.06.20
372.3
102.04.028
21.01018.04.020.0210.08(%)==
+++++++
=∑
∑ xxxx
t
xNemt
i
ii
= % 16.4 Nem
Kalori:Kal = 6.20
25540
102.04.028
12501011004.01500212008)/(=
+++++++
=∑
∑ xxxx
t
kgkcalxKalt
i
i
kgkcalKalori /1239= Eğer operatörün görememesinden söz konusu olan 0.1 m’lik kayıplar da dikkate alınacaksa, kömür
sayılan tabakaların altından ve üstünden 0.1 m ( toplam 0.2 m ) eksiltmek ve gerek kalınlık gerek
kompozit hesaplarını buna göre yapması gerekecektir. Bu örnekte kömür damarına üç defa girdiği
kabul edilmiştir;
70 – 80 m. arası + 80.4 – 82.4 m. arası + 85.6 – 96.2 m. arası.
Buraya kadar bütün bir sondaj kuyusu üzerinde kompozit işlemlerin nasıl yapıldığı ele alınmıştır.
Kuyu kompozit hesabı dışında, maden ocağının basamak kotlarına denk gelen dilimlerde de
kompozit hesabı yapılabilmektedir. Basamak kompozit işlemleri ileride ele alınacaktır.
Eğimli Damarlarda Gerçek Kalınlığın Hesaplaması
Sondaj kuyularının eğimli bir damarı kesmesi veya sondaj kuyusunun eğimli açılması sonucunda,
kuyunun kestiği cevher kalınlığı gerçek kalınlık olmamaktadır. Bu durumda gerçek damar kalınlığı
hesaplanarak bulunacaktır.
17
Gerçek kalınlık (T2)= Ölçülen kalınlık (T1)⋅⋅⋅⋅ cos(αααα)
α = damar yatım açısı (veya kuyu eğim açısı)
T1
T2
T1 T2
T1
T2=T1*cos(α)
α
18
Đkinci bir durum da ise damarın mostra verdiği kalınlıktan damar kalınlığı hesaplanır.
Gerçek kalınlık (T2)= Ölçülen kalınlık(T1) ⋅⋅⋅⋅ sin(αααα)
α
T1
T2 = T1 * sin (α)
19
4. KLASĐK YÖNTEMLERLE BĐLGĐLERĐN SAHAYA YAYILMASI
Numune (sondaj) bilgilerini sahaya yaymanın amacı, sahanın değişik yerlerinden alınmış sondaj
bilgilerinin, bütün sahayı kaplayacak bir alana veya hacme dağıtılmasıdır. Böylelikle sahada tespit
edilen her hangi bir koordinattaki fiziki ve kimyasal özellikler bilinebilecektir. Ayrıca cevherin
yapısı yaklaşık olarak tespit edilecek ve hacim hesaplanabilecektir.
Sahayı sondaj kuyularının köşelerini oluşturduğu üçgenlere bölmek, dikdörtgen veya kare ağlara
bölmek, poligonlara bölmek, belli aralıklarla alınmış paralel kesitlere bölmek, variogram ve kriging
gibi jeoistatistiksel yöntemler ve yapay sinir ağlarının kullanılması (neural network) bu hususta
uygulanan metotlardır.
Đlk dört metotla, önce alan, takiben hacim hesabı yapılır. Birim hacim ağırlığı ve tenör kullanılarak
rezerv hesabı yapılabilir. Son iki metot bilgisayar desteği olmaksızın yapılması mümkün
gözükmeyen yada imkansıza yakın zorlukta yöntemlerdir.
4.1. Sahanın Üçgenlere Bölünmesi
Bu metot da köşelerin her biri, bir sondaj kuyusu olacak üçgenler oluşturulur. Üçgenlerin alanları
hesaplanır. Köşelerdeki kalınlıklar ve kalınlıkla ağırlıklı ortalaması alınmış tenör, kalori, kül vs.
özellikler bu üçgen alanı dahilinde geçerli kabul edilir. Bütün üçgenler için alan, hacim, envanter
hesabı yapıldıktan sonra, alan ağırlıklı ( hatta hacim veya envanter ağırlıklı ) ortalamalar kullanılarak
ortalama kalınlık, tenör ve toplam envanter hesaplanır.
20
ÖRNEK:
Şekil aşağıda verilen üçgen ağa ait toplam rezerv, ortalama kalınlık, toplam alan, toplam hacim ve
ortalama tenör değerlerini hesaplayalım.
ALANLAR
Üçgen no
Alan
(m 2)
Üçgen no
Alan
(m 2)
1 22000 10 32000
2 21000 11 29000
3 24000 12 34000
4 19000 13 27000
5 28000 14 23000
6 26000 15 22000
7 30000 16 18000
8 25000 17 19000
9 24000
CEVHER KALINLIKLARI VE TONAJ FAKTÖRÜ
KUYU
NO KALINLIK
T.F. (t/m3)
KUYU
NO KALINLIK
T.F. (t/m3)
1 21 3.0 8 20 2.8
2 20 3.2 9 26 3.0
3 18 3.1 10 17 3.1
4 16 2.9 11 14 2.6
5 24 2.7 12 15 2.8
6 22 2.5 13 19 2.6
7 19 2.6 14 22 3.1
21
A Üçgen
No
B Kuyular
No
C Alan (m2)
D Kalınlıklar
( m )
E=ort.(D) Ort.Kal.
( m )
F=CxE Hacim ( m3 )
G Birim
Hac. Ağ. H=
DΣΣGxD
I = G x H Rezerv (ton)
1 1 2 3
22000 21 20 18
19.67 432740 3.0 3.2 3.1
3.098 1340628.5
2 1 3 4
21000 21 18 16
18.33 384930 3.0 3.1 2.9
3.004 1156329.7
3 2 3 5
24000 20 18 24
20.67 496080 3.2 3.1 2.7
2.977 1476830.2
4 3 5 6
19000 18 24 22
21.33 405270 3.1 2.7 2.5
2.667 1080855.1
5 3 6 7
28000 18 22 19
19.66 550480 3.1 2.5 2.6
2.734 1505012.3
6 3 4 7
26000 18 16 19
17.66 459160 3.1 2.9 2.6
2.867 1316411.7
7 6 7 10
30000 22 19
20.5 615000 2.5 2.6
2.550 1568250.0
8 6 8 10
25000 22 20
21 525000 2.5 2.8 .
2.650 1391250.0
9 5 6 10
24000 24 24
22 528000 2.7 2.5 .
2.667 1408176.0
10 5 8 9
32000 24 20 26
23.33 746560 2.7 2.8 3.0
2.834 2115751.0
11 8 9 12
29000 20 26 15
20.5 594500 2.8 3.0 2.8
2.9 1724050.0
12 8 10 12
34000 20
15 17.5 595000
2.8
2.8 2.7 1606500.0
13 7 10 11
27000 19
14 16.5 445500
2.6
2.9 2.75 1225125.0
14 10 11 12
23000
14 15
14.5 333500
2.9 2.8
2.7 900450.0
15 9 12 13
22000 26 15 19
20 440000 3.0 2.8 2.6
2.823 1242252.0
16 12 13 14
18000 14 19 22
18.67 336060 2.8 2.6 3.1
2.85 957771.0
17 11 12 14
19000 14 15 22
17 323000 2.9 2.8 3.1
2.957 955111.0
Toplam 423000 328.82 8210780 48.610 22970753.5
22
ORT.KAL.=ALAN
HACiM
ΣΣ
ORT.TON.FAK =HACiM
REZERV
ΣΣ
Ortalama kalınlık= 8210780 / 423000 = 19.41 Ortalama tonaj faktörü= 22970753.5 / 8210780 = 2.798 Eğer her bir kuyu için tenör verilmiş olsaydı, tıpkı tonaj faktörü gibi, kalınlıkla ağırlık ortalamaları
bulunup envanterle çarpmamız gerekir.
TENÖR = ΣNET CEVHER AĞIRLIĞI / Σ ENVANTER
4.2. Poligon Yöntemi
Bu yöntemde, sahada bulunan veri noktalarının (sondaj kuyuları) orta noktalarından geçen dik
doğrular birleştirilerek poligonlar oluşturulur. Poligon içinde kalan kuyuya ait özellikler, bütün
poligon alanı içinde geçerli kabul edilir (kalınlık, tenör, kalori, nem, kül, kükürt vs. gibi).
Prosedür: Önce komşu olan bütün kuyular arasındaki mesafeler ölçülerek orta noktaları bulunur. Đki
komşu kuyuyu birleştiren doğruya dik olacak şekilde, orta noktalarından dik doğrular çizilir. Kuyu
ile komşuları arasında çizilen dik doğrular kesişim noktaları itibarıyla poligonun köşelerini oluşturur.
ÖRNEK: 3 2 4 1 5
23
6 kuyu ile çizilen örnekte 2 ile 3 no’lu kuyuların orta dikmesinin, kuyuları birleştiren doğrunun
dışında ancak devreye girdiği görülüyor. Bir diğer karşılaşılabilecek durumda şöyledir.
→ ÖRNEK: 1 6 7 5 8 2 4 3 9 Tonaj faktörü = 4 t/m3 = f(t)
ALANLAR
1 120000 m2
2 105000 m2 3 115000 m2 4 135000 m2 5 100000 m2 6 150000 m2 7 160000 m2 8 130000 m2 9 140000 m2
TENÖR 1 %0,8 2 %0,9 3 %1,1 4 %1,0 5 %0,7 6 %0,6 7 %0,8 8 %1,0 9 %0,9
24
KALINLIK
1 18m 2 16m 3 22m 4 20m 5 14m 6 12m 7 17m 8 19m 9 23m Yukarıda özellikleri verilen Cu yatağının rezervini, ortalama tenörünü ve ortalama kalınlığını
hesaplayınız.
Poligon no Cevher kalınlığı (m) A
Alan (m2) B
Hacim (m3) C = A x B
Envanter D = C x f
Tenör (%) E
Rezerv (t) F = D x E
1 18 120000 2160000 8640000 0,008 69120
2 16 105000 1680000 6720000 0,009 60480
3 22 115000 2530000 10120000 0,011 111320
4 20 135000 2700000 10800000 0,010 108000
5 14 100000 1400000 5600000 0,007 39200
6 12 150000 1800000 7200000 0,006 43200
7 17 160000 2720000 10880000 0,008 87040
8 19 130000 2470000 9880000 0,010 98800
9 23 140000 3220000 12880000 0,009 115920
TOPLAM Σ=1155000 20680000 82720000 733080
mAlan
HacimnörOrtalamaTe 9,17
1155000
20680000===
∑∑
CuEnvanter
zervnörOrtalamaTe 886,0%00886,0
82720000
733080Re====
∑∑
Toplam Rezerv = 733080 ton Cu
25
4.3. Ters Mesafe Karesi Yöntemi
Atama yapılacak noktaya, yakın kuyuların daha fazla, uzak kuyuların daha az etki etmesini
sağlayarak, değer yaymada kullanılan bir metottur. Mesafenin tersiyle ağırlıklı ortalama
alınmaktadır.
∑
∑
=
=
=n
im
i
n
imi
i
d
dz
Z
1
10
1
Z0 = Değer ataması yapılacak nokta
Zi = Tesir alanı içindeki numunelerin değeri i = 1,2,3,…,n
di = i numaralı numunenin o noktasına uzaklığı
m = Mesafenin kuvveti (genelde 2)
m kuvveti, devamlılığın az olduğu hallerde daha yüksek tutulur. Genelde 2 alınır ve metod ters
mesafe karesi adını alır.
g1 g6 d1 d6 d5 O g5 g2 d2 d3 d4 g3 g4 r
r =etki yarıçapı
gi = i numaralı numunenin tenörü, (%)
di = i numaralı numuneyle o bloğu arasındaki mesafe, (m)
26
++
+
++
+
=
=
∑
∑
26
22
21
26
62
2
22
1
1
0
2
2
0
1...11
...
1
ddd
dg
dg
dg
g
d
dg
g
i
i
i
Tenör yanında, kalınlık, topoğrafik yükseklik, kalori ve sair bütün değerlerin yayılması için
kullanılır.
ÖRNEK
g1 g6 d1 d6 d5 g5 g2 O d2 d3 d4 g3 g4
Etki alanı yarı çapı 120m olan bir sahada, O noktası etrafındaki sondaj kuyuları, mesafeleri ve
tenörleri verilmiştir. Buna göre, O noktasındaki cevher tenörünü, ters mesafe karesi yöntemine göre
bulunuz.
CEVAP
120m etki yarı çapı olduğuna göre, 3, 4 ve 5 numaralı kuyuların, O noktasına tesiri olmayacak,
sadece, 1, 2 ve 6 numaralı kuyular dikkate alınacaktır.
Mesafeler Tenörler
d1 120 g1 12
d2 55 g2 18
d3 130 g3 16
d4 140 g4 14
d5 125 g5 15
d6 70 g6 17
27
∑
∑=
n
ii
n
iii
o
d
dg
g2
2
/1
/
⇒ 26
22
21
266
222
211
/1
///
ddd
dgdgdggo ++
++=
78.1470/155/1120/1
70/1755/18120/12222
222
=++
++=og
O noktasındaki tenör % 14.78 olarak bulunur. Aynı işlem, kalınlık, cevher tavan ve taban
yükseklikleri, topoğrafik yükseklik, kömür için kalori, kül, kükürt, uçucu madde, nem ve sabir
karbon hesaplamalarında kullanılabilir.
28
5. ALAN VE HACĐM FORMÜLLERĐ
5.1. Alan Formülleri
a) Trapezoidal Kuralı
Düzgün olmayan bir alan çift sayılı parçalara uygulanan bir alan formülüdür. Geometrik
olmadığı için hesabı zor olan bir gayri muntazam alan, eşit mesafeli paralel parçalara ayrılır.
Parçaları ayıran doğruların uzaklıkları kullanılarak formüle yerleştirilir;
haa
haa
haa
S nn
2....
2213221 +
+++
++
= − ya da
+++++
+= −1432
1 ...2 n
n aaaaaa
hS
a1 a1 = 0 a1 h = doğrular arası mesafe h = doğrular a2 ai = doğruların uzunlukları a2 arası mesafe ai = doğruların a3 a3 uzunlukları a4 an-1 an (= 0 olabilir) an Trapezoidal Kuralı Simpson Kuralı
h h
h
29
+++++
+= −1432
1 ...2 n
n aaaaaa
hS
Tropezoidal kuralına göre alanı sınırlayan çizgiler düz olmalıdır. Böylelikle alan küçük yamuklara
bölünmüş olur.
b) Simpson Kuralı
Bu kurala göre sınırları eğri çizgilerden müteşekkil bir gayrı muntazam olan tek sayıdaki
doğrularla bölünür. Doğrular paralel veya hep h mesafededirler. Bu kuralın formülü şöyledir:
( )∑ ∑ +++= nçt aaanhS 423
111
burada; at = Tek sayılı doğruların uzunlukları
aç = Çift sayılı doğruların uzunlukları
Doğruların alanı parabolik parçalara böldüğü kabul edilmektedir.
* Diğer bazı alan formülleri
Eşkenar üçgen 34
2aS = a: Taban kenar uzunluğu
Beşgen alanı 5108
5 2 += rS r: Daireye göre yarıçapı
Altıgen alanı 2
33 2aS = a: Kenar uzunluğu
Elips alanı 4
.. πdDS = D: Uzunluk doğrultusunda çap, d: Genişlik doğ. Çap
Sekizgen alan laS ..2= l: Karşılıklı iki kenar arası mesafe, a: kenar uzunluğu
Gauss Poligon Alan Formülü: 2
)( 11∑ −+ −= iii yyx
S
30
ÖRNEK: Aynı doğrultuda açılmış sondaj kuyularından elde edilen kesit görüntü aşağıda verilmiştir.
Bu kesitin sınırlarının düzgün olduğu kabul ediliyor. Alanı hesaplayınız.
h = 200m a1 = 0 a2 = 19m a3 = 24m a4 = 30m a5 = 21m a6 = 0 Sınırlar düzgün kabul edildiğinden sahanın yamuklara ayrıldığını varsayıyoruz. Bu durumda sondaj
sayısı çift olduğu için Tropezoidal kuralı uygulanabilir.
+++++
+= −1432
1 ...2 n
n aaaaaa
hS
218800)94(200213024192
00200 mxS ==
+++++
=
5.2. Hacim formülleri
a) Ortalama alanlar
L
L
S1
S2
S3
31
Bu yöntemde hacimler iki kesit alanı arasında tek tek hesaplanır. Her ikili kesitin hacmi
hesaplanarak toplam hacme ulaşılır. Kullanılan formül:
xLSS
V2
21 +=
Burada; V= Hacim, m3
S= Kesit alanı, m2
L= Kesitler arası mesafedir, m
Bu formül ve teknik kesitlerin şeklen birbirine benzemeleri şartına bağlı olarak kullanılır. Birbirini
takip eden paralel kesitler için formül şöyledir,
( )2
....222 4321
LSSSSSV n+++++=
Eğer kesitler arası mesafe sabit değilse;
11
232
121
2...
22 −− +
+++
++
= nnn LSS
LSS
LSS
V
Cevher yatağının uç noktalarında değişik şekiller ortaya çıkabilir.
i- Kesik koni (frustum)
( )21213
1xSSSShV ++=
32
ii- Koni
2
..3
1
rS
ShV
π=
=
h
π...3
1 2rhV =
dd iii- Üçgen prizma
V = S.h S: Üçgen alanı h: Yükseklik
h h S iv- Kama a1 h h S S B θ b a a
S
r S
S
33
v- Silindir
hrV
hSV2
.
π=
=
b) Prizmoidal Kesit alanlarının muntazam olmaması durumunda uygulanan bir hacim bulma yöntemi ve formülüdür. a2
L S2 b2 b1 M S1
a1
( )
+
+=
++=
22
6
2121
21
bbaaM
LSMSV
34
c) Doğrusal (Lineer) Yöntem Bu yönteme göre kesitler, komşularıyla aralarındaki mesafenin orta noktasına kadar tesir sahasına sahip varsayılırlar. Bu mantık poligon yönteminde de mevcuttur ve “en yakın nokta” kuralı olarak adlandırılır. ▫ ▫ ▪ ▫ ▪ ▪ ▪ ▫ ▪ ▫ ▫ ▫ Boş kesen kuyular
▪ Cevher kesen kuyular
Burada A1=A2 ve A3=A4, tesir sahalarıdır. S2 alanın hacmini hesaplarken S1 kesitine doğru A2 ve S3
kesitine doğru A3 kadar uzatmamız gerekmektedir.
V2 = S2 x A2 + S2 x A3 Aj = Đki yöndeki tesir mesafesi, (m) j=1,2
Si = i numaralı kesitin alanı, m2
ÖRNEK: Yukarıdaki şekilde S2 = 100000 m2’dir. S1-S2 arası mesafe 200m ve S2-S3 arası mesafe
400m’dir. Doğrusal hacim yöntemiyle, en yakın noktalar kuralını uygulayarak S2 alanını çevreleyen
hacmi hesaplayınız.
V2 = S2 x A2 + S2 x A3
V2 = 100 x 100000 + 200 x 100000
V2 = 30.000.000 m3
Tonaj faktörü 4 t/m3 ise Q = 120.000.000 ton
Tenör %1 ise Q = 1.200.000 ton cevher olacaktır.
S1
S2
S3
A1 A2 A3 A4
35
d) Eş kalınlık (izopah) haritalarından hacim hesabı
Eş kalınlık eğrileri, cevher kalınlığının aynı olduğu noktaları birleştiren eğrilerdir. Eş kalınlık
eğrilerinin kapladığı alanların hesaplanması ve/veya bilinmesi durumunda, hacim hesabına ulaşmak
mümkün olmaktadır. Eğer ortalama tenör de biliniyorsa veya hesaplanabiliyorsa rezerv hesabına
kadar gidilebilir. Đzograd (eş tenör) eğrileri ve bu eğrilerin çerçevelediği alanlar kullanılarak
ortalama tenör değeri hesaplanabilir. (bkz. Şekil)
Birbirini takip eden eğrilerin alanları hesaplandığı taktirde şu formül kullanılarak hacim
hesabı yapılır;
xhSS
V ii
21++
= Burada; V = Đki kalınlık eğrisi arasındaki hacim (m3)
Si = i kadar kalınlıktaki cevherin eğri alanı (m2)
h = eş kalınlık eğrilerinin artış miktarı (m)
Eğer eş tenör eğrileri de alanlarıyla biliniyorsa ortalama tenör şu formülle bulunur:
( )
0
121000 2...222
A
AAAAAc
AcCort
nn ++++++=
−
Burada; c0 = Minimum tenör (%)
c = Sabit tenör aralığı (artış miktarı) (%)
A0 = c0’a ait alan (m2)
A1 = c0 + c kadarlık alan (m2)
An = c0 +n*c kadarlık alan (m2)
cort = Ortalama tenör (%)
Her iki formülde de geçen alanlar planimetre ile ölçülerek tespit edilebilir.
36
ÖRNEK: S3’ S2’ S3’’ S2’’ h3 h3 h2 S1 h2 h1 S0
h0 A3’ A3’’ A2 c3 A1
c1 A0
c0
210
1
SShV
+=
( )2
//2
/21
2
SSShV
++=
( ) ( )2
//3
/3
//2
/2
3
SSSShV
+++=
2
//3
/3
4
SShV
+= kama için
37
3
//3
/3
4
SShV
+= koni için
( )( )0
//3
/321000 22
2A
AAAAAc
Accort
+++++=
Toplam hacim
∑ ++= 41 ... VVVi
∑ == θVxfEnvanter
f tonaj faktörü (t/m3)
Toplam rezerv ortxcP θ=
Đzopah veya izograd haritaları cevher kalınlığının ve kalitesinin dağılımını göstermesi
açısından da önemlidir. Bu bilgiler üretim planlaması açısından gerekli ve faydalıdır. Dezavantaj
olarak çizilen eğrilerin değer artışları farklı olduğu zaman, sonuçlar da farklı olabilir. Bir diğer
problem bir kalınlığa veya tenör değerine ait alanın hesaplanmasında çıkabilecek güçlüklerdir. Bunu
aşabilmek için kesitlerden faydalanmak gerekli olmaktadır.
Bu tip haritalar yukarıdaki örnek’te olduğu kadar kolay olmamaktadır. Daha gerçekçi bir
örnek şöyle verilebilir.
38
ÖRNEK: A’ A5
S7 3,0 S5 5 4 A4
2,5 A3 2,0 S6
S4 A2 1,5 2 3 1,0 A6
S3 3 C C’ S2 2 A1 1,0 A 1 0,5 B S1 1 B’ S0 A0
A A’ 7 0 B 2 B’ 1 0 C 1,5 C’ 0 S0 = 1500000 m
2 A0 = 1500000 m2
S1 = 100000 m2 A1 = 1200000 m
2 S2 = 1100000 m
2 A2 = 750000 m2
S3 = 800000 m2 A3 = 400000 m
2 S4 = 300000 m
2 A4 = 250000 m2
S5 = 250000 m2 A5 = 100000 m
2 S6 = 150000 m
2 A6 = 150000 m2
S7 = 100000 m2
f= 5 t/m3
39
Şekli yukarıda verilen Cu sahasının a) Hacmini ve envanterini hesaplayınız b) Ortalama tenörünü hesaplayınız c) Rezervini hesaplayınız ÇÖZÜM
a) ( )
hSSS
V2
10010
−+=−
V0-1( ) 314500001
2
10000015000001500000mx =
−+=
3621021 11750001
2
)1500001100000()1000001500000(
2
)()(mxxh
SSSSV =
−+−=
−+−=−
( ) ( ) 34362
32 72500012
)300000800000(1500001100000
2
)(mxxh
SSSSV =
−+−=
−+−=−
354343 3750001
2
250000)300000800000(
2
)()(mxxh
SSSV =
+−=
+−=−
37554 1750001
2
100000250000
2mxxh
SSV =
+=
+=−
375 500001
2
100000
2mxxh
SV ===
∑ =++++= 339500005000037500072500011750001450000 mVi
∑ === tonxVxf 1975000053950000θ
b) ( )nnort AAAAAc
AcC ++++++= −121000 2...222
( )
0/)2
10000010000022500002
40000027500002)1500001200000(215000002
5,015000005,0
Axx
xxxxcort
+++
++−++=
Cucort %608.11500000
2412500==
c) CutonxxcP ort .31758001608,019750000 === θ
40
6. JEOĐSTATĐSTĐK
Jeoistatistik, istatistiğin jeolojik olaylar için geliştirilmiş özel bir koludur. Maden değerlendirme
açısından, verilerin sahaya yayılması hususunda yeralır.
Yayılma fonksiyonu: numune değerlerinin, çevre hacimlere dağıtılmasını ve değer atanmamış nokta,
alan ve hacimlere değer atanmasını sağlayan bir teknik veya matematiksel fonksiyondur.
Yayma (interpolasyon) Fonksiyonları
Geleneksel Bilgisayar Jeoistatistik Destekli Yapay Sinir Geleneksel Ağları
Jeoistatistik bölgesel değişkenler esasına dayanır. Bu esas,numunenin değeri kadar, bulunduğu
pozisyon ve yönü de dikkate almaktadır.
Đstatistik-Jeoistatistik kıyaslaması: Klasik istatistik ihtimal (olasılık) teorisine dayanır. Olasılık
hesapları rasgele olayların bir sonucu kabul edilir. Diğer bir deyişle, klasik istatistik rasgele
değişkenler teorisinin bir sonucudur. Rasgele olaylarda, parametrelerin bir diğerinden bağımsızlığı
söz konusudur. Halbuki jeolojik olaylar göz önüne alındığında, pek çok cevher yatağı, matematiksel
bir yapı ile üç boyutlu uzay koordinatında yer alır. Bu da, rasgele davranmadığı ve parametrelerin
fonksiyonlarla ifade edilebilen bir davranış sergilediği gibi bir mana taşır.
O halde rasgele olmayan davranışın matematiksel bir fonksiyonla ifade edilmesi mümkündür. Bu
mantıktan bölgesel değişkenler kavramı ortaya çıkmıştır. Numunelerin değeriyle üç boyutlu
koordinat sistemi (uzay) içindeki yeri arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak açıklayan bu kavram
aynı zamanda jeoistatistiğin de temelini teşkil eder.
Değişkenler iki türlüdür;
i- Bölgesel; değeri ve uzaydaki yer ilişkisi matematiksel bir fonksiyonla açıklanabilen
değişkenlerdir (numuneler). Bölgesel değişkenler “etki alanı” tabir edilen bir alanı veya
hacmi tesiri altında tutar ve o alan veya hacme kendi değerinden bir etki taşır (Regional
variable).
ii- Rasgele (Random); numunelerin değeri pozisyonları itibarıyla bağımsızdır. Bu
bağımsızlık, numunelerin belli bir fonksiyonla irtibatlandırılmalarını imkansız kılar. Buna
41
“nugget (külçe) etkisi” denir. Külçe etkisinin başlıca nedeni, birbirine en yakın kuyunun
arasındakinden de küçük mesafeler için elde veri olmayışı ve sıfır mesafe için sapma
meydana gelmesidir.
Özetle rasgele yapılı veri (numune)tabanı için geleneksel istatistik, bölgesel yapılı yani veri-
lokasyon ilişkisi matematiksel bir fonksiyonla açıklanabilen numune değerleri için jeoistatistik
kullanılır.
Jeoistatistiğin Temel Kavramları Mineral envanterlerinde jeoistaistik yöntemlerin kullanılması iki safhalıdır; variogram modelinin
oluşturulması ve neticesinde kriging işleminin uygulanması, numune (sondaj kuyusu) değerlerinin
sahaya yayılması.
6.1. Variogram Modeli
Variogramlar jeoistatistiğin temel araçlarıdır. Numune değerlerinin mesafe ve yönle değişimini
açıklarlar. Yan yana iki numunenin, uzak iki numuneden daha fazla benzerlik göstermesini bekleriz.
Diğer bir ifadeyle, yakın numuneler arasındaki korelasyon uzak numunelere göre daha fazladır. Đki
numune arası mesafe arttıkça ters orantılı olarak birbirlerini tanımlar, güçleri azalır. Öyle ki, bir
mesafe gelir ve bu korelasyon sıfırlanır. Variogram numuneler arası korelasyonun hangi mesafede
sıfır olacağını da gösteren bir grafik eğridir. Variogram numuneler arasındaki varyansın mesafeyle
değişimini gösteren bir grafiktir. Variogram sembolik olarak 2γ (h) olarak gösterilir. Formül olarak
(γ (h)=semi variogram);
2[ ]
Zn
xZhxZh
2)()()(
−+Σ=γ
γ (h)=jeoistatistiksel varyans (semi variogram)
Z(x)=tenör veya (başka bir değişken) , x noktasında
Z(x+h)=x+h (h kadar uzakta) olan numunenin tenörü (veya diğer bir değişken)
h=numuneler arası katları alınacak mesafe (lag olarak tabir edilir)
n =h mesafeli numunelerin oluşturduğu çiftlerin adedi
42
ÖRNEK
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7→γ(h), n=7 2h n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 →γ(2h), n=6 γ(h) • • • • γ(7h) γ(2h) • γ(h) • • h 1 2 3 4 5 6 7
6.1.1. Variogramların özellikleri
a) Mineralizasyon devamlılığı; orijin noktasından başlayarak artan bir varyans eğrisi
mineralizasyonun devamlılığına işaret eder.
i- “lag” mesafesinin (h) artmasıyla muntazam yükselen bir varyans eğrisi iyi bir mineral
devamlılığını gösterir.
γ(h) eğri • = h(lag) mesafeleri için hesaplanan varyans h
(i) Düzenli mineral devamlılığı
43
ii- Üniform ve yüksek devamlılık, doğrusal bir h-γ ilişkisi gösterir. γ(h) doğrusal bağlantı h (ii) üniform ve yüksek devamlılık
iii- Mineral devamlılığı yok. Numuneler bağımsız hareket ediyor. Jeoistatistik
uygulanmamalı (Normal olasılık hesapları geçerli).
γ(h) h
(iii) Bağımsız numuneler (devamlılık yok)
b) Etki alanı; bu kavram, bir numunenin tesir mesafesini veya tesir yarıçapını göstermesi açısından
çok önemlidir. Bu mesafe variogramda genellikle, eğrinin alt eksene paralel olarak düz bir platoya
döndüğü nokta olarak variogramdan okunabilir. Bu plato bir γ(h) değerine (varyansa) sahiptir. “sill”
(eşik) olarak adlandırılır. Eğrinin sill değerine ulaştığı h mesafesi “range” veya “etki alanı” olarak
adlandırılır.
44
γ(h) Sill (eşit) c c0 (nugget- külçe etkisi) a (range veya tesir alanı) a (tesir mesafesini) aşan uzaklıklardaki numunelerin birbirleriyle korelasyonu
sıfırlanmaktadır. Ayrıca bir numune bu mesafenin üstündeki noktalara tesir etmemektedir.
c) Külçe Etkisi (C0): Doğrusal davranışlı bir cevher yatağında, numune alma mesafesi h=0
olduğunda, tabii olarak γ(h)’ın da sıfır olması gerekir. Çünkü, numune alınan yerin tam üstünde
bulunuluyor demektir ve burada varyansın da sıfır olması beklenir. Ama grafik çoğunlukla
çizildiğinde varyansın sıfırdan farklı olduğu ve bir külçe etkisine sahip olduğu görülmektedir. Külçe
etkisinin özellikleri:
- Örnekleme mesafesi h arttıkça arttığı görülür.
- Sahadan alınan veriler muntazam dağılmayıp bir bölgede kümelenmişse külçe etkisi artar.
- Veri azlığı, ölçüm hataları da külçe etkisini arttırır.
d) Anizotropi; variogramlar sadece değer-mesafe bağlantısını açıklamakla kalmaz, aynı
zamanda değer-yön ilişkisini de izah eder. Variogram, numune değerlerinin varyansını belli bir yön
için tespit eder. Đzotropi bir cevher yatağının her yönde aynı özellikleri göstermesidir. Diğer bir ifade
ile, bir cevher yatağının her yönde alınmış variogramları aynıysa bu jeolojik yapıya “izotropik”
denir.
e)
Bir cevher yatağında anizotropinin iki şekilde olması mümkündür:
i. Geometrik Anizotropi: Değişik yönlerde çizilen variogramlar aynı “sill” eşik değerine sahip olup,
etki mesafeleri farklı ise, burada geometrik anizotropiden söz edilir.
ii.Zonal Anizotropi: Değişik yönler için oluşturulan variogram modellerinde etki mesafeleri aynı
ama eşik değerleri farklı ise, burada zonal anizotropiden bahsedilebilir.
45
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (i) E-W yönü (ii) N-S yönü (iii) SW-NE yönü
6.1.2. Variogram Modelleri
6.1.2.1. Sill’li modeller
a- Orijinde doğrusal hareket
i- Spherical (Küresel) model
−+=3
02
1
2
3)()(
a
h
a
hCChγ
ii- Exponential (Üslü) model
−=
−ah
eCh 1)(γ 0ccC +=
b) Orijinde parabolik hareket-Gaussian modeli
−=
−2
2
1)( ah
eChγ 0ccC +=
Küresel Sill Üslü Gaussian h
46
6.1.2.2. Sill’siz modeller
a) Doğrusal model 2
)(2ha
h =γ
γ(h)
2
2ha
h b) Logaritmik model )log(3)( hh γγ = γ(h) )log(3 hγ
Siil’siz modeller genellikle deneysel veri tabanına uygundur. h(log) mesafeleri küçükken
doğru, büyüdükçe hatalı sonuçlar vermektedirler. Hidrotermal yataklar için uygundur.
Sill’li modeller içinde en önemli olan esas-tabii (intrinsic) model olan küresel (spherical)
modeldir. Pek çok jeoistatistik çalışmasında tercih edilmektedir.
6.1.3. Variogramların önemi
Variogramlar numunelerin üç boyutlu (3-D) koordinat uzayındaki yerlerinin, değerlerle
ilişkisini fonksiyonel olarak açıklaması yönüyle önemlidirler. Oluşturulan variogram modeli
sahadaki her hangi bir noktayla numuneler arasındaki varyansın tayini için kolaylık sağlarlar.
Numune alınmamış noktalara değer taşınması ve atanması için kullanılacak olan Kriging işlemi
tamamen variogram modeline dayanmaktadır.
47
6.2. Kriging (jeoistatistik atama fonksiyonu)
Küresel model ve kriging, Matheron tarafından geliştirilmiştir. Kovaryans değerleriyle değer
atamaya dayanan kriging, bu atamadan doğan hatayı hesaplama imkanı sağlaması açısından
avantajlıdır. Kriging’le nokta, alan ve hacim atamaları mümkündür. Madencilikte daha ziyade hacim
ataması kullanılmaktadır. Bu hacim üç boyutlu blok modelde yer alan bloklardır.
6.2.1. Kriging teorisi
Bir maden bloğu olan B’yi düşünelim. Tenörü bilinmiyor ve bu tenör ZB ile sembolize
ediliyor. Yine varsayalım, n tane numunemiz z(xi) (i=1,…,n) yerleşim noktası ve tenör değeri olarak
biliniyor. B bloğumuzun ZB değerini, bu n tane z(xi) ile tanımlamak için belli ağırlık değerleriyle
çarparak buluruz. Bu ağırlık değerlerini ise hesaplarken variogram modelini kullanırız.
∑=
=n
iiiB xzaZ
1
* )(
ai = Ağırlık değerleri (i numaralı numunenin)
ZB* = B bloğunun tenör değeri
Z(xi) = xi numunesinin tenör değeri
Toplam ağırlıklar değeri 1 olmalıdır.
∑=
=n
iia
1
1
Burada önem kazanan nokta ai ağırlıklarının bulunmasıdır. Diğer önemli hususlar varyansın
bulunması, değer atanması ve bu değer atanmasından kaynaklanan hata miktarının hesaplanmasıdır.
Atama varyansı (hata) VAR (z*-z) veya σe2 şeklinde gösterilir ve gerçek değerden bir sapmayı ifade
eder.
48
∑ ∑∑= = =
+−=n
i
n
i
n
jxxjivxive jii
aaa1 1 1
22 2 σσσσ
burada, σe2 atama varyansı (atama hatası)
σv2 =Blok tenörünün v hacmi içindeki varyansı
σvxi = v bloğunun tenörü ile xi numunelerinin aralarındaki kovaryans (kuyuların blok arasındaki
varyans)
σxixj = xi ve xj numuneleri arasındaki kovaryans (numuneler arasındaki varyans)
Pratikte, formül üzerinde yapılacak bazı değişiklikler ve yer değiştirmelerle, formülü tekrar şöyle
yazabiliriz.
∑=
+−=n
ivxive i
a1
2 µσσσ
σvxi = Hacim ve kuyular arasındaki kovaryans
σv = Hacim içindeki varyans
ai = Ağırlık değerleri
µ = Lagrangian çarpanı
Burada geçen kovaryans ve varyansları bulmak için variogram modeli kullanılır. Variogramların h
mesafelerine karşı varyansların çizimi olduğu düşünülürse, gerek kuyuların birbirine olan
uzaklıkları, gerekse kuyu-blok arası mesafeler, variogram modeline konulduğunda karşı gelen
varyans değerleri hesaplanabilir. Lagrange çarpanı ağırlık değerlerinin matrisini tanımlayan bir
ağırlık değeridir.
Burada σxixj ve σvxi değerleri variogram modeliyle bulunurken ai ve µ değerleri aşağıdaki matrislerin
çözümüdür.
[ ] [ ]iji vxxx
aσ
µσ =
,
49
=
konveryans
arası
kuyular
ve
hacim
matrisi
ve
a
konveryans
arası
numuneler i
µ
açık ifadeyle;
=
1
......
0...11
.............
...
...22
1
22212
12111
vm
v
vı
m
n
n
a
a
a
σ
σσ
µ
σσσσσσ
Bu matrisin çözümü ai ve µ değerlerini verecektir.
Numunelerle blok arasındaki kovaryans hesaplanırken, blok, 6 tane noktayla temsil edilir ve
σvxi şöyle hesaplanır.
b
ic
vbxi
vxi
∑−=σ
σ 0
b = Bloğun üzerinden alınmış ve bloğu temsil eden nokta sayısı
yb = Blok üzerindeki noktalar
c0 = Külçe değeri
50
6.3. Variogram ve Kriging Örnekleri
6.3.1. Variogram örnekleri
Örnek 1-Aşağıdaki numuneler için E-W (D-B) yönündeki varyansları hesaplayınız. (h=100m.)
1 2 3 4 5
▫ ▫ ▫ ▫ ▫ E↔W 0,14 0,28 0,10 0,18 0,09 6 7 8 9 10 ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 0,09 0,14 0,15 0,13 0,17 11 12 13 14 15 ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 0,22 0,16 0,22 0,17 0,11 16 17 18 19 20 ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 0,11 0,27 0,15 0,06 0,12 21 22 23 24 25 ▫ ▫ ▫ ▫ ▫ 0,12 0,14 0,11 0,07 0,17
h, ( )[ ]225242
542
432
322
21 )(...)()()(2
1)( xxxxxxxxxx
nh −++−+−+−+−=γ
1. çift 2. çift 20. çift n = 20
[ ]222 )17,007,0(...)10,028,0()28,014,0()20(2
1)( −++−+−=hγ
[ ] 00374,01497,040
1)( ==hλ
2h, ( )[ ]225232
642
532
422
31 )(...)()()(2
1)2( xxxxxxxxxx
nh −++−+−+−+−=γ
15. çift n = 15
51
[ ]222 )17,013,0(...)18,028,0()10,014,0()15(2
1)2( −++−+−=hγ
[ ] 00275,00825,030
1)2( ==hλ
aynı şekilde
00385,0)3( =hλ
00253,0)4( =hλ
Örnek 2- Aşağıdaki numuneler için i-E-W, ii-N-S için model oluşturun.
1 10 8 7 6 6 4 5 6 7 1 3 7 11 4 4 1 5 11 8 13 9 8 7 7 10 12 1 13 3 4 11
1. yön = E-W ↔
( )
−+−+−+−+−+−+
−+−+−+−+−+−+−+−=
222222
22222222
)77()78()89()913()411()117(
)73()31()65()46()66()67()78(810
2
1)1(
nγ
14. çift n = 14
52
[ ] 04,4011164916164140114)14(2
1)1( =+++++++++++++=λ
( )
−+−+−+−+−+−+
−+−+−+−+−+−+−+−=
222222
22222222
)1210()78()79()813()115()51(
)47()113()71()76()46()67()68(710
2
1)2(
nγ
14. çift n = 14
[ ] 07,8226)14(2
1)2( ==λ
( )[ ]22222222 )79()713()43()111()75()47()68(6102
1)3( −+−+−+−+−+−+−+−=
nγ
n = 8
[ ] 88,10174)8(2
1)3( ==λ
( )[ ]222222 )313()713()111()41()48(6102
1)4( −+−+−+−+−+−=
nγ
[ ] 08,23277)6(2
1)4( ==λ
benzer olarak
0,9)2(2
36)5( ==λ 5,28
)4(2
228)6( ==λ 5,4
)1(2
9)7( ==λ
5,4)3(2
91)8( ==λ 5,4
)1(2
9)9( ==λ 5,24
)1(2
49)10( ==λ
53
γ(h) E-W x 30 25 x 20 x 15 x x 10 x 5 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 h a (tesir mesafesi)
2. yön N-S
( )
−+−+−+
−+−+−+−+−+−+−+−=
222
22222222
)31()814()1213(
)1311()1111()117()77()53()36()610(15
2
1)1(
nγ
18,3)11(2
70)1( ==λ
( )
−+−+−+−+
−+−+−+−+−+−+−+−=
2222
22222222
)18()138()94()46(
)1211()1311()117()117()78()105()56(310
2
1)2(
nγ
0,9)12(2
216)2( ==λ
benzer olarak
06,11)3( =γ 14,7)4( =γ 7,5)5( =γ 5,12)6( =γ 5,24)7( =γ
54
γ(h) 25 20 15 x x 10 x x 5 x 0 1 2 3 4 5 6 7 h
a (tesir mesafesi Model uyarlaması göze dayalı bir yorumla yapılır (bilgisayar da dahil). Belli tolerans payları içinde
kullanıcı bu modelleri benzer kabul edebilir. (esasen a değerleri yakın olmakla birlikte Sill değerleri
pek yakın değil) eğer kullanıcının tolerans sınırları içindeyse bu modeller benzer kabul edilir ve
cevher yatağı izotropik sayılır. Aksi halde izotropik değildir.
6.3.2. Kriging Örnekleri
Örnek 1- Nokta Kriging
Verilen variogram modeli için x0 noktasının değerini hesaplayınız.
γ(h) = 4,0 – 0,01 (h) h≤400 ft
γ(h) = 4,0 h<400 ft
2 100’ ▫ 0,6 1 100’
▫ ▫ 0,4 100’ ≈200’ ▫ 0,7 3 (1-2) ≈ 200’ (1-3) ≈ 200’
55
1.basamak = Numuneler arası kovaryansları hesaplayınız. (σxixj)
8,3)20(01,00,4
0,2)200(01,00,4
0,4)0(01,00,4
030223
/13312112
332211
−===
=−====
=−===
xx σσσ
σσσσ
σσσ
2. basamak x0 noktasıyla numuneler arasındaki kovaryans (σvxi)
0,3)100(01,00,4 /030201 =−=== xxx σσσ
3. basmak Matrisleri oluştur [ ] [ ]xixi
xixj
a0σ
µσ =
σxixj σx0xi
=
−
−
−
1
3
3
3
0111
10,48,30,2
18,30,40,2
10,20,20,4
3
2
1
µa
a
a
4. basamak
Matrisi çözünüz ve ai ve µ (lagrange çarpanı) değerlerini hesaplayınız.
a1 = 0,487
a2 = 0,256
a3 = 0,256
µ = -0,026
5. basamak x0 değerini hesaplayınız
5276,0
7,0256,06,0256,04,0487,0
)(
*0
*0
*
=
++=
=∑
x
x
ii
z
xxxz
xzaz
56
6. basamak Atamadan doğan varyansı (hatayı bulunuz)
[ ]hata
a
e
e
xixivxie
.974,0
)3(256,0)3(256,0)3(487,00,42
2
02
=
++−=
+−= ∑
σ
σ
µσσσ
=
−=
=
0,4
)0,0(01,00,4
...
00
00
00
xx
xx
xxvxi içinkrigingnokta
σ
σ
σσ
Örnek 2- Blok Kriging
3 kuyu ile çevrili bloğun değerini aşağıdaki modelle bulunuz.
γ(h) = 74-0,6757(h) h≤41,22
γ(h) = 74 h>41,22
σv 36,51 olarak veriliyor (bloğun içindeki varyans)
1 2 3 x x x DH3 ▫ DH1 4 5 6 0,14 ▫ x x x 0,16 7 8 9 x x x DH2 ▫ 0,21
Bloğu temsilen 9 nokta tanımlanmıştır.
57
DH1 DH2 DH3
DH1 - 20 30
DH2 20 - 20
DH3 30 20 -
1 10 20 15
2 15 15 10
3 20 20 5
4 5 15 15
5 10 10 10
6 15 15 5
7 10 10 20
8 15 5 15
9 20 10 10
1. basamak: σv blok varyansı verilmiş σv = 36,51
2. basamak: Numuneler arası koveryans
73,53)30(6757,074
486.60)20(6757,074
74)0(6757,074
3113
23322112
332211
=−==
=−====
=−===
σσ
σσσσ
σσσ
3. basamak: Numuneler ile blok arasındaki koveryanslar blok 9 noktayla sembolize (temsil)
edilmekte. Bu noktaları y1,y2,….,y9 olarak tanımlayalım.
[ ]
{ } { } { }[ ]
01,999,6474
)20(6757,074...)15(6757,074)10(6757,0749
174
)1(...)1()1()1(9
174 9321
=−=
−++−+−−=
−++−+−+−−==
vı
vı
vivxi ydhydhydhydh
σ
σ
γγγγσσ
aynı şekilde
58
89,711,6674
01,999,6474
3
2
=−=
=−=
v
v
σ
σ
4. basamak Matris formu
=
−
−
−
1
89,701,9
01,9
0111
10,7449,6073,53
149,600,7449,60
173,5349,600,74
3
2
1
µa
a
a
5. basamak Matris çözümü
a1 = 0,0772
a1 = 0,899
a1 = 0,227
µ = 52,28
6. basamak: Blok değerinin hesaplanması
2044,0
)14,0)(277,0()21,0)(899,0()16,0)(0777,0(
)(
*
*
*
=
++=
=∑
B
B
iiB
Z
Z
xZaZ
7. basamak: Atama varyansı (hatası)
[ ] 81,7928,52)89,7)(0227,0()01,9(899,0)01,9(0777,03651
2
=+++−=
+−= ∑ µσσσ vxiive a
Hatanın büyük olduğu görülmektedir. Bazı durumlarda σe2 negatif değer de alabilir. Bu, variogram
fonksiyonunu uygun seçilmediğini gösterir.
59
6.4 Yapay Sinir Ağları
Veri yayma yöntemleri içinde en son olarak yapay sinir ağları görülmektedir (Wou ve Zhou,
1994, Lippmann, 1987). Öncelikle, mevcut bilgilerin sisteme belli bir eğitme metodu ile
öğretilmesine ve sistemin eğitilmesinden sonra, verilerin sahaya, oluşturulan matematik modele göre
yayılmasına dayalıdır. Her veri noktası eğitim sonrası bir ağırlık değerine sahip olur. Bu ağırlık
değerlerine göre, sahanın her hangi bir koordinatına atama yapılabilir. Formül gösterimi;
nn xwxwxwy +++= ......2211 ==∑w xj jj
n
1
şeklindedir. Burada, y atanan değer, wj, j numaralı numunenin ağırlık değeri ve xj, j numaralı
numunenin yayılacak değeridir. Ağırlık değeri (wj) hesaplamaları, eğitim olarak adlandırılan bir
tekrar zinciridir. Başlangıçta, numune değerlerine rasgele verilen wj değerleriyle, bizzat numunelerin
bulunduğu koordinatlara atama yapılır. Toplam hata numunelere yayılarak, yeni bir iterasyon yapılır
ve yeni ağırlık değerleri bulunur. Bu değerlerle yapılan atamalarda hata bir önceki tekrardan
(iterasyondan) daha küçüktür. Yeniden toplam hata dağıtılarak işlem belirlenen bir hata derecesine
ulaşana kadar devam ettirilir. Hata yayma işleminde eksponansiyel-sigmoidal bir fonksiyon
kullanılır;
xe
xf−+
=1
1)( (14)
Her tekrarlama işleminde, küçülen toplam hata kontrol edilerek, istenilen hata seviyesinin altına
düşene kadar işlem devam ettirilir. Yüzbinlerce, hatta, milyonlarca tekrar (iterasyon) gerekebilir.
Toplam hata miktarı belirlenen düzeyin altına indiğinde sistemin veri tabanını öğrendiği ve her
numune için hesaplanan wj değerlerinin atamada kullanılabileceği anlaşılmı olur. 13. denklem
uygulanarak sahadaki noktalara değer atamları yapılabilir.
Son yıllarda bir Yapay Zeka tekniği olan yapay sinir ağlarındaki gelişmeler, sondaj bilgileriyle
direkt olarak eğitilen modelleri kullanarak, bilgileri sahaya çok daha etkin biçimde yayılabileceği
için, tüm maden yatağının 3 boyutlu modelinin de oluşturulabileceği düşüncesine zemin
hazırlamıştır. 3 boyutlu blok model oluşturmaya yönelik çalışmalara ve bunların jeoistatistiksel
çalışmalarla kıyaslanması noktasına gelinmiştir. Matematiksel olarak, jeoistatistiksel yöntemlerden
daha başarılı olacağı görülen yapay sinir ağları, uygulamaya yönelik çalışmaların tamamlanmasıyla,
pratikte de üstünlüğünü gösterebilecektir
60
7. SAHANIN BALIKAĞIYLA KAPLANMASI VE REZERV HESAPLARI
Sahanın balıkağı olarak adlandırılan, ızgara şeklinde parçalara bölünmesine ızgara yöntemi
(gridding) denir. Ağda yer alan düğümler, birbirinden eşit mesafede yer alırlar. Orijin kabul edilen
Ox ve Oy noktalarından x (doğu) ve y (kuzey) yönlerinde her ∆x ve ∆y mesafede bir düğüm atılır.
Yukarıdan balıkağı veya ızgaralanmış bir saha görüntüsü elde edilir.
y (kuzey) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ∆y • • • • • • • • • • x (doğu) ∆x • Sondaj kuyusu Ağ üzerinde her bir “düğüm noktasının” koordinatları Ox, Oy merkezi ve ∆x, ∆y aralıkları dikkate
alınarak hesaplanabilir. X yönündeki bütün düğüm noktaları
xi = Ox + i * ∆x
y yönündeki bütün düğün noktaları,
yi = Oy + i * ∆y
formülleriyle hesaplanır.
(x,y) koorinatları hesaplanan düğüm noktalarına, sondaj kuyularından topoğrafik yükseklik, kalınlık,
tenör, ara kesme bilgileri, kalori, kül, kükürt, vs. bütün bilgiler gerek kompozit değer olarak, gerekse
birebir fiziksel koordinatlarıyla taşınabilir. Sonuçta her bir düğüm noktasına sondaj kuyularından
gelen bilgilerin atanmasıyla, bütün sahayı saran bir muntazam bir veri tabanı elde edilmiş olur.
61
Sondaj kuyu verilerini düğüm noktalarına ters mesafe yöntemi, jeoistatistik yapay sinir ağları gibi
yöntemlerle atamak mümkündür.
H4 (x4, y4) H1
(∆x,∆y) (x1, y1) • H3 H2
(x3, y3) (x2, y2)
Kuyuların (Dxi, Dyi) düğüm noktasına uzaklıkları atamada büyük önem taşır. Kuyular düğüm
noktalarına ne kadar yakınsa o kadar fazla tesir edebilmektedir. Bu mesafe j kuyusu için;
22 )()( ijij DyyDxxM −+−= genel formülüyle bulunur.
xj = j kuyusunun x koordinatı
yj = j kuyusunun x koordinatı
Dc = düğüm noktasının x koordinatı
Dy = düğüm noktasının y koordinatı
Atama sonrası işlemler
Ters mesafe, jeoistatistik, yapay sinir ağları gibi interpolasyon yönleriyle sondaj
kuyularındaki her türlü bilginin atandığı düğüm sistemi, harita çiziminden, 3 boyut modellemeye,
hacim hesaplarından rezerv hesabına kadar pek çok değerlendirme işinde kullanılır.
7.1. Kompozit Değer Kullanarak Rezerv Hesabı
Kompozit değer bulunduktan sonra
i- üçgen
ii- poligon
62
iii- kuyu ortalamalarından rezerv hesabı
iv- grid (ızgara, balıkağı) poligon yöntemi
ile rezerv hesabı yapılabilir.
i- üçgen yöntemi
Kuyular üçgenler oluşturacak şekilde bağlanır ve kompozit kalınlık ve tenör değerleri
kullanılır.
ii- poligon yöntemi
Poligonlar oluşturularak her poligonda yer alan kuyuların kompozit değerleri poligon
alanının her yerinde geçerli sayılır.
iii- kuyu ortalamaları
Bu yaklaşımda kuyu kompozit kalınlıklarının ortalaması alınarak saha alanıyla çarpılır. Çıkan
hacimden rezerve ulaşılır.
n
t
t
n
ii
ort
∑= i = 1,2,3,…,n
n = kuyu sayısı
ti = i numaralı kuyunun kompozit kalınlık değeri (m)
tort = ortalama kalınlık (m)
V = A * tort
V = hacim (m3)
A = saha alanı (m2)
θ = V * f
63
f = tonaj faktörü (t/m3)
R = θ * g
R = rezerv (t)
g = tenör (%)
ÖRNEK
18 kuyu 1200000 m2 saha sınırı içinde yer almaktadır. Kuyuların kompozit kalınlıkları
aşağıdaki gibidir. Rezervi hesaplayınız.
# ti f g(%) # ti f g(%) # ti f g(%)
1 18 2,5 18 7 30 2,1 20 13 36 2,6 17
2 21 2,7 24 8 15 2,3 19 14 18 2,5 18
3 34 2,2 16 9 21 2,6 23 15 23 2,2 21
4 26 2,3 17 10 30 2,4 18 16 24 2,4 23
5 23 2,6 21 11 29 2,2 19 17 28 2,3 22
6 19 2,5 22 12 41 2,1 20 18 39 2,4 20
mn
tt
i
ort 39,2618
292824...342118=
++++++== ∑
txxgR
txVxf
mxAxfV
xxxx
t
tfg
mtxxxx
t
tff
ort
ort
ort
i
ii
ort
i
ii
ort
21,147305601971,074736000
7473600036,231668000
3166800039,261200000
71,19%475
20392228...24211818
/36,2475
4,2393,228...7,2215,218
3
3
===
===
===
=++++
==
=++++
==
∑∑
∑∑
θ
θ
64
iv- Grid (ızgara-balıkağı) poligon yöntemi
Izgara uygulaması yapılmış ve düğüm noktalarına kalınlık, tenör vs. değerler atanmış sahada,
her bir ızgara hücresi, dört köşeli bir poligon kabul edilerek, hücre bazında rezerv hesaplanarak
toplam rezerve ulaşılır.
)(*
)(4
2
4321
myxA
mtttt
tort
∆∆=
+++=
4 1 ∆y 3 2
∆x
∑
∑=
4
4
ii
iii
ort
t
ft
f
∑
∑=
4
4
ii
iii
ort
t
gt
g
V = A * tort (m2)
θ = V * fort (t)
R = θ * gort (t)
Diğer bir alternatif ise her düğüm noktası bir kare (veya dikdörtgen) ortasında yer almasıdır.
Aşağıdaki problem bu durum için bir örnek teşkil etmektedir.
65
ÖRNEK
Izgara (balıkağı) sistemi uygulanan bir sahada oluşturulan kare poligon hücreleri ve
hücrelerin merkezindeki düğüm noktalarına atanan değerler aşağıda verilmiştir. ∆x = 100m ve ∆y =
100m Bunlara göre, 16 ağ hücresindeki rezervi hesaplayınız.
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 1.tip hücre (merkezi düğüm noktası) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 2.tip hücre (dört köşesi düğüm noktası olan hücre için) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
Düğüm t(m) f(t/m3) g(%) V(m3) Q(t) 103 P(t) 103
(1,1) 11 2,5 35 110000 275 96,2 (2,1) 9 2,4 32 90000 216 69,12 (3,1) 7 2,3 40 70000 161 64,4 (4,1) 12 2,6 37 120000 312 115,44 (1,2) 13 2,5 27 130000 325 87,75 (2,2) 10 2,6 29 100000 260 75,4 (3,2) 8 2,3 32 80000 184 58,88 (4,2) 7 2,4 35 70000 168 58,8 (1,3) 12 2,2 30 120000 264 79,2 (2,3) 14 2,3 27 140000 322 86,94 (3,3) 10 2,4 29 100000 240 69,6 (4,3) 8 2,4 28 80000 192 58,76 (1,4) 15 2,5 31 150000 375 116,25 (2,4) 13 2,6 33 130000 338 111,54 (3,4) 14 2,4 34 140000 336 114,24 (4,4) 16 2,3 36 160000 368 132,48
66
Alan = ∆x * ∆y
Alan = 100 * 100 = 10000 m2/hücre
Aynı problemde 4 düğüm noktası bir kare poligona değer atamasında da kullanılabilir.
2
2
2
/42,2
06,32%
89,19
1390050
4336000
1790000
90000
mtV
f
Pg
mA
Vt
tP
t
mV
mA
ort
ort
ort
==
==
==
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
θ
θ
θ
Poligon hücre mantığı
dekapaj ti fi gi
67
4
4
∑=
it
t ∑
∑=
i
ii
t
tf
f
4
∑
∑=
i
ii
t
tg
g
4
Her poligondaki cevher rezervi ve dekapaj, ara dekapaj miktarı hesaplanabilir. bulunan rezerv
toplamı, toplam cevher rezervini, dekapaj toplamı, basamaklardaki malzeme hariç cevherin
üstündeki hacmi verir.
Β α Sınırdaki blokların cevheri kestiği alt sınır veya ocak tabanı dikkate alınarak şev açısı sağlanacak
şekilde şev dekapajı hesaplanmalıdır.
2
..
)tan(
wLhV
hL
şev =
= α
L w α h α Sınır poligonu ve basamak şev hacmi
7.2 Yüzey modelleme
Ağ düğümlerine (x, y, z) koordinatları atandığı taktirde izometrik çizimde yüzeyi görmek
mümkündür.
68
Cevherin tavan ve taban yüzeyleri arasında kalan hacim, cevher hacmini verir. Eğer izopah haritasının yüzeyi altındaki hacim hesaplanırsa bu aynı zamanda cevher hacmidir. Ağ hücrelerinin altındaki hacimleri pratik bir yola hesaplanabilir. dikdörtgen prizmaya benzeyen her bir hücre hacminde, üst yüzeyin 4 kenar yüksekliği farklı olabilmektedir. Böyle bir durumda ortalama yükseklik alınabilir.
∆x ∆y h3 h4 h2 h1 t4 t1 t3 t2
4
4
∑=
it
E
alan = ∆x * ∆y
hacim = alan * E
rezerv = hacim * f * g
dekapaj için basmak hücre dekapaj miktarı
x
y z (x,y,z)
Hücre
69
4
4
∑=
ih
h
alan = ∆x * ∆y
hacim = alan * h
bütün hücrelerin rezervlerinin toplamı Toplam Rezervi verirken, hücre dekapaj toplamı, basamaklar
hariç bütün cevher üstü dekapaj miktarını verir.
Toplam Rezerv = ∑N
i
zerviHücreRe
Cevher üstü dekapaj = ∑N
i
ajHücreDekap
7.3 Basamak kompozit hesapları
Kuyu kompozit değerleri, sondaj kuyusu için tek bir kalınlık, tenör, kalori, vs. değeri ataması
yaparken, basamak kompozit değeri, belli bir seviyede yer alan dilime karşılık gelen kuyu
aralıklarının kompozit değeridir. Basamak üst ve alt katları, ocak tasarımı sonrası veya cevherin
tabanı dikkate alınarak ve basamak yükseklikleri hesaba katılarak belirlenir.
ÖRNEK
+1070 +1055 +1040 +1025 +1010
70
Yukarıdaki kuyuların sırasıyla +1010-+1025 kotları arasında, +1025-+1040 kotları arasında, +1040-
+1055 kotları arasında, +1055-+1070 kotları arasında oluşturulacak basamaklara ait kısımlarından
basamak kompozit değerleri hesaplanabilir.
767 Yandaki kuyunun basamak seviyelerine
denk gelen kısmını incelediğimizde 3
ayrı tenör değerini dikkate almamız
+765 gerektiği görülür. Kalınlık ve tenör
%11, 3t/m3 t1 değerleriyle basamak kompozit değeri
aşağıdaki gibi hesaplanır.
763 %14, 3t/m3 t2 759 757 %15, 4t/m3 t3 753 +750 749 %13 t = t1 + t2 + t3 = 2+4+4 = 10 m
t = t1 + t2 + t3 = 2+4+4 = 10m
8,13%442
154144112=
++++
==∑∑ xxx
t
gtg
3/4,3442
343432mt
xxx
t
ftf =
++++
==∑∑
71
Sahanın basamaklara ayrılması ve basamak kompozit değerlerinin hesaplanması, 3 boyutlu cevher
modellerine atılan ilk adım olarak da kabul edilebilir. Kuyu kompozit değerleri üzerinde yapılan her
işlem, basamaklar üzerinde de yapılabilir. Böylece, problem yatay dilimlere ayrılmış olur. Her
basamaktaki cevher rezervi ve kalitesi hesaplandıktan sonra toplam rezerv basamak rezervlerinin
toplamı olarak bulunur. Sahayı bu şekilde katlara ayırmak üretim planı yaparken kullanılacak önemli
bir veri tabanı oluşturmaya da yarar. Her basamakta gridleme, üçgenleme, poligon veya joistatistik
yaklaşımlarla basamak dilimine ait hacim, rezerv işlemleri yapılır.
7.4 Blok Modeli
Topoğrafyanın en üst noktası ile cevherin en alt noktasını içine alacak derinliklerde (z) ve cevherin
yayılmış olduğu sahayı ve muhtemel ocak sınırlarını kapsayacak genişlik (x) ve4 uzunlukta (y) bir
hacmin 3 boyutlu bloklarla temsil edilmesidir. Bloklar aşağıdaki şekilde tanımlar alır.
1- cevher bloğu 2- örtü 3- hava bloğu
blok modeli 2 boyutlu ağ (ızgara) yönteminin basamak bazında uygulanması olarak düşünülebilir.
Ancak blok model, uzantıları belli bir hacimde yer alan yeryüzü ve yer altı yapısını mümkün
olduğunca gerçeğe yakın yansıtmaya çalışır. Modelleme kavramının temelinde de, gerçeğin bir
kopyasını ve benzerini oluşturmak vardır (maket modellerin asıllarına benzemesi gibi). Bilgisayarda
3 boyutlu model gerçek fiziksel yapının bilgisayar ortamındaki modelidir.
72
ÖRNEK: Aşağıdaki şekli verilen sondaj kuyusunun 480-495 ve 495-510 kotlarındaki kompozit
değerlerini hesaplayınız. (sınır tenör = %20, alınabilir bant kalınlığı 1,5m)
(x: 1345, y: 1463,5, z: 550)
0 23 43,0 21 43,1 22 49 20 50 50,1 21 58 19 60 22 64 68 16 70
73
[+510-495 kotları]
41-40 metre arası 1 m. %23>%20 CEVHER 43-43,3 metre arası 0,3 m %21>%20 alt dilim de cevher olduğundan alınabilir CEVHER 43,3-49 metre arası 5,7m %22>%20 CEVHER 49-53 metre arası 4 m %20=%20 CEVHER 54-55 metre arası 1 m %21>%20 CEVHER cevher kalınlığı 1+0,3+5,7+4+1 = 12 m kompozit tenör değeri
31.21%147,43,00
211204227,5213,0231=
++++++++
=∑∑ xxxxx
t
tg
[+495-480 kotları]
55-58 m arası %21>%20 CEVHER 58-60 m arası %19<%20 TOPRAK 60-64 m arası %21>%20 CEVHER 69-70 m arası %11<%20 TOPRAK cevher kalınlığı 3+4 = 7m
57.21%43
224213=
++
=xx
tenör
74
ÖRNEK: Bir sahada yapılan blok model çalışması sonucunda, blok dağılımı aşağıdaki gibi
hesaplanmıştır.
Toprak blok sayısı = 128463 Cevher blok sayısı = 11648 ------------------------------------ TOPLAM 140111
Bloklar 15 m’lik küp şeklinde olup, cevher bloklarının tenör dağılımları aşağıdaki gibidir.
Tenör Blok sayısı -------------------------------------- %5 3326 %6 3764 %7 2844 %8 1016 %9 407 %10 226 %11 65 ------------------------------------- Toplam 11648
a) Rezerv miktarını
b) ortalama tenörü
c) dekapaj oranını bulunuz (tonaj faktörü = 3t/m3)
Buna göre blok hacmi = 15x15x15 = 3375m3
a) Cevher kalitesine göre
Tenör Rezerv (t) = (hacim x f x g) ----------------------------------------------------------------------- %5 3326 x 3375 x 0,05 =1683787,5 %6 3764 x 3375 x 0,06 = 2286630,0 %7 2844 x 3375 x 0,07 = 2015685,0 %8 1016 x 3375 x 0,08 = 822960,0 %9 407 x 3375 x 0,09 = 370878,8 %10 226 x 3375 x 0,10 = 228825,0 %11 65 x 3375 x 0,11 = 72393,8 ----------------------------------------------------------------------- TOPLAM 5465475,1 ton
75
b) Rezervle ağırlıklı ortalama=
01,9%
1,5465475
118,7963311022882598,3708788822960720156856228663055.1683787
=
++++++ xxxxxxx
c) toprak miktarı 128463 x 3375 m3 = 433562625 m3
envantere göre dekapaj oranı 11648 x 3375 m3 x 3 t/m3 = 117936000 t
=433562625/117936000
= 3,68:1
rezerve göre dekapaj oranı = 433562625 / 3080817,5 = 79,33:1
7.5 Blok Modelleme
Madencilik yapılacak sahanın hacimsel modellemesidir. Bütün bir cevher yapısını, oluşabilecek açık
ocak sınırlarıyla birlikte içine alan bir modeldir. Bloklar dikdörtgen prizma veya küp şeklinde
olabilir. Blok ebatları cevher yapısını bilgisayarın gücüne, kullanılan yönteme göre değişir. Ancak
basamak yüksekliğini esas alan küp modelleri en yaygın kullanılan model yaklaşımlardır.
Ters mesafe, jeoistatistik yapay sinir ağları gibi yöntemler kullanılarak blokların merkez noktalarına,
tesir alanına giren veri noktalarında değer atamaları yapılır. Kalınlık ve tenör bilgileri en gerekli
bilgi türüdür.
76
Bloklar cevher bloğu, toprak bloğu veya hava bloğu olarak sınıflandırılır. Sınır tenör değeri belli
olduğundan tenör değerlerinin atanmasından sonra blokların cevher olup olmadığı, cevher ise
kalınlığı ve tenör değeri belirlenir. Blok ebatları belli olduğunda kalınlık bilgisinin eklenmesiyle
blok hacmi ve blok rezervi hesaplanabilir. blok ebatı ∆x, ∆y, ∆z ise blok hacmi ∆x * ∆y * ∆z = V
şeklinde olur. Cevher hacmi ise;
Vcevher = ∆x * ∆y * t
Daha sonra f (tonaj faktörü) g (tenör) ile çarpılarak bloğa ait cevher rezervi bulunur. Toplam rezerv
cevher blok rezervleri toplamıdır.
Kat kot aralıkları, kompozit değerlerin bulunduğu basamaklarla aynı aralıktadır. Basamak kompozit
değerleri, basamaklara değer atanmasında sıklıkla kullanılır. Blokların modeldeki yerlerini
belirlemek için i, j, k gibi indis değerleri atanır. Referans noktalarına göre i ve j sırasıyla x ve y
eksenlerine, k ise z eksenine doğru blok sıralanış yerin, gösterir. Mesela (3, 5, 2) indis değeri, bloğun
modelde i ekseninde 3, j ekseninde 5 ve k ekseninde 2 arada olduğunu gösterir.
77
7.6 Blok Model Kullanım Yerleri
Blok model oluşturulduktan sonra cevherin üç boyutlu görüntüsünü elde etmek mümkün olmaktadır.
Ayrıca rezerv miktarı da bulunur. Model üzerinde açık ocak veya yer altı ocağının tasarımı
yapılabilir. Blok modeller üzerinde çalışan pek çok sınır optimizasyon tekniği ve yazılımı vardır.
Graph Theory, Moving Cone, Dinamik Programlama, Genetik Algoritma, Maksimum Akış
Algoritmaları bunların başlıcalarıdır. Bu yaklaşımlar genellikle içinde tenör ve kalınlık değer
atamalarının bulunduğu jeolojik modelleri değil, bu değerlerden yararlanılarak parasal değere
çevrilmiş ekonomik blok model üzerinde çalışırlar. Her bloktaki cevher miktarı bilindiğine göre, ton
başına birim maliyet, ton başına gelir kullanılarak bir bloğun ekonomik değeri kabaca hesaplanabilir.
Blok değeri = Bloktaki cevher miktarı (ton) x [ Gelir (TL/t) – Gider (TL/t) ]
Maksimum kâr K
Ocak sınırının bulunmasından sonra ocak hacmi içindeki rezerv miktarı ve cevher olmayan blokların
(dekapaj) hacmi de hesaplanır. Blok modelleri, üzerinde üretim planı yapma imkanı da sağlar. Bu tür
modellerin en yaygın kullanıldığı iki alan; jeolojik model ve optimum sınır tespiti, ikincisi ise
üretim planlamasıdır. Bu maksatla da çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. (Doğrusal Programlama,
Dinamik Programlama, Genetik Algoritma, vs.)
78
8. SINIR TENÖR VE ETKĐSĐ
Sınır tenör (cutt-off grade), maliyetlerle gelirlerin eşitlendiği tenör değeri olarak adlandırılır.
Hesaplanması için tekrarlayan (iteratif) denemeler yapmak gereklidir. Çünkü tenör değeri değiştikçe
rezerv miktarı değişmekte, bununla birlikte ocak tasarımı, ömrü, yıllık üretim miktarları gibi birçok
parametre etkilenebilmektedir. Neticede her tenör değeri yeni bir mali tablo anlamına da
gelmektedir.
Örnekte %1.5 ile %2.5 arasında rezerv değişimi sembolik olarak gösterilmektedir. Tenör değeri
yüksekken düşük tenörlü hacim rezerv dışı tutulurken, tenör düşerken bu miktar artmaktadır.
Değişik tenör değerleri için yeniden yapılan bütün ocak tasarımları ve buna bağlı teknik ve
ekonomik hesaplamalar, sınır tenör ve optimum tenör değerini bulmada takip edilen klasik bir
yaklaşımdır.
ÖRNEK
Tenör değerleri %1.0 ile %4.0 arasında değişen bir cevher yatağı için yapılan mali analiz aşağıda
verilmektedir.
%1.5
%2.0 %2.5
79
Tenör (%) Rezerv (Milyon ton) Mali durum (Milyon TL) 1.0 12 000 000 -1.25 1.5 10 000 000 -0.50 2.0 9 000 000 0.50 2.5 8 000 000 1.50 3.0 7 500 000 2.50 3.5 6 000 000 1.75 4.0 5 000 000 1.00
Tablo incelendiğinde, sınır tenörün %1.5 ile %2.0 arasında olduğu görülmektedir. Đnterpolasyonla
yapılan hesap sonrasında sınır tenör %1.75 olarak bulunur.
Optimum tenör, en yüksek kârın elde edildiği tenördür. Buna göre optimum tenör % 3.0
civarındadır. %0.1’lik daha hassas denemelerle en yakın değere ulaşılabilir veya %3.0 olarak kabul
edilebilir.
9 OPTĐMĐZASYON
Optimizasyon, “en iyisini bulma” olarak Türkçe’leştirilebilir. Optimum değerler, konusuna göre en
fazla (maksimum) veya en az (minimum) olarak bulunmak istenir. Mesela kâr maksimum, maliyet
minimum değerde tutulmak istenir. Genelde mühendislikte, özelde ise madencilikte her kararın
optimum bir karşılığı vardır. Bunun için yön eylem araştırması (operations research) yöntemleri
uygulanmasında fayda vardır. Ama klasik olarak deneme-yanılma yoluyla oluşturulan tablolardan
optimum değerlere yaklaşmak da mümkündür.
9.1 Optimum Ocak Derinliği
80
Derinlik (m) Rezerv (t) Mali durum (M TL) 100 1 000 000 1.75 125 1 300 000 1.80 150 1 600 000 2.50 175 1 650 000 1.50 200 1 680 000 0.50
En yüksek kârın 150 m derinlikte elde edildiği görülmektedir.
9.2 Diğer Optimize Edilebilir Parametreler
Ocak tasarım ve üretim parametreleri:
- Basamak yüksekliği
- Yıllık üretim miktarı
- Sınır tenör
- Açık ocak sınırları
- Makine teçhizat seçimi
- Patlatma sistemi
- Cevher tesis tasarımı
- Üretim planı
Hemen her karar gerektiren parametrede optimizasyon yapmak mümkündür. Bunlar birbirini
etkileyen parametrelere olduğundan çok karışık modeller oluşturmak ve çözmek gerekmektedir. Bu
amaçla genellikle “yöneylem araştırması” ve “benzetim” (simülasyon) yöntemlerinden yararlanılır.
Madencilikte bu özel matematik yöntemlerin geniş bir kullanım alanı bulunmaktadır.
81
