FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 1

Mængder:Begreber og notation

DefinitionEn mængde er en afgrænset samling af elementer.

EksempelA = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3 A (“3 er et element i A” – “3 tilhører A”)0 A (“0 er ikke et element i A” – “0 tilhører ikke A”)

DefinitionØ er den tomme mængde: Ø = { }

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 2

Mængder:Begreber og notation

Eksempel

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Eller

A = { x | x er et heltal mellem 1 og 9 }

Eller

A = { x | x er et heltal og 1 x 9 }

“Mængden af x hvorom det

gælder”

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 3

Mængder:Begreber og notation

Eksempel

B = { 3, 5, 7,… }

Eller

B = { x | x er et ulige tal større end 1 }

Eller

B = { x | x er et ulige tal og x > 1 }

“Mængden af ulige tal?”

“eller mængden af

primtal?”

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 4

Delmængder

• A = B hvis x A x B

• A B hvis x A x B(A er en delmængde af B)

• A B hvis A B og A B(A er en ægte delmængde

af B)

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 5

Talmængder

• N = de naturlige tal = {1,2,3,4,5,...}

• N0 = {0,1,2,3,4,....}

• Z = de hele tal = { ...-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

• Q = de rationale tal

= { q | q = n/m og n og m er heltal } (“brøker”)

• R = de reelle tal

• [ 3..8 ] = { 3,4,5,6,7,8 }

• Der gælder : [ 3..8 ] N N0 Z Q R

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 6

Grundmænge (univers)

• U er en grundmængde (Univers), som indeholder alle relevante elementer.– U fremgår ofte af sammenhængen, ellers

må den anføres:

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } = {x N | x < 10 }

C = {x B | x 11 } (hvor B = { 3, 5, 7,… })

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 7

Mængdeoperationer I

• Lad U være en eller anden grundmængde:

– Fællesmængde:• A B = { x U | x A x B }

(hvis A B = Ø, så siges A og B at være disjunkte)

– Foreningsmængde:• A B = { x U | x A x B }

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 8

Mængdeoperationer II

• Differensmængde:– A - B = { x U | x A x B }– (Skrives også som A \ B )

• Komplementærmængde:– A = { x U | x A } = U - A– (Der findes andre skrivemåder: Fx: A, eller hos Martin: A’ )

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 9

Mængdeoperationer – Venn-diagrammer

Find fejlen!

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 10

Mængdeoperationer IV

A B = { 2,4 } A B = { 1,2,3,4,6,7,8,9 }A - B = { 6,7,8 } B - A = { 1,3,9 }A = A’ = { 0,1,3,5,9 } B = B’ = { 0,5,6,7,8 }

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = [0..9]A = {2,4,6,7,8}B = {1,2,3,4,9}

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 11

Regneregler for mængdeoperationer

Kommutative love:A B = B AA B = B A

Associative love:A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

Distributive love:A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 12

Regneregler for mængdeoperationer

Idempotente love:A A = AA A = A

Absorbative love:A (A B) = AA (A B) = A

De Morgan’s love:(A B)’ = A’ B’(A B)’ = A’ B’

(kendes muligvis fra Boolsk algebra)

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 13

Regneregler for mængdeoperationer

Andre formler vedr. komplementærmængde: (A’)’ = A

A A’ = Ø A A’ = U

Andre formler vedr. den tomme mængde: A Ø = Ø A Ø = A

Andre formler vedr. grundmængden (universet): A U = A A U = U

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 14

Symmetrisk mængdedifferens

• Den symmetriske mængdedifferens(AB) defineres ved:

A B = (A – B) (B – A)

A B

A-B B-A

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 15

Mængdeoperationer VI

• Formlerne kan generaliseres

– Fællesmængde:A B C = { x U | x A x B x C }

– Foreningsmængde:A B C = { x U | x A x B x C }

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 16

Mængdeoperationer VI

• Formlerne kan generaliseres endnu mere– Fællesmængde:

n

∩ Ai = { x U | x Ai for alle i mellem 1 og n}i=1

– Foreningsmængde: n

Ai = { x U | x Ai for mindst eet i mellem 1 og n}i=1

Tænk for-loop

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 17

Mængdeproduktet

• A B = {(a, b) | a A b B }

• R R kan opfattes som planen.

• R R R kan opfattes som rummet.

• Anvendes f.eks. indenfor teorien for relationsdatabaser.

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 18

Potensmængder

• P(A) er mængden af alle delmængder af A.Martin’s notation: 2A,fordi antal elementer i 2A = 2n, hvis A har n elementer.

• Et eksempel:

P({1,2,3}) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Hvorfor?

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 19

Multimængder eller Bags

• En multimængde er en mængde, som kan indeholde det samme element flere gange.

• Det, som interesserer os, er hvor mange gange et element findes i multimængden.

• Der findes forskellige præcise definitioner af multimængder, fx:

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 20

”Sække”Definition: En sæk S over A er en afbildning fra A til N.

Lad S, S1, S2 være sække over A.• For a A skriver vi a S såfremt S(a) > 0.• Vi skriver S1 S2 hvis S1(a) ≤ S2(a) for alle a A .• Vi definerer S1 S2 ved (S1 S2 )(a) = S1(a) + S2(a)

for alle a A.• Vi definerer S1 ∩ S2 ved (S1 ∩ S2 )(a) = min{S1(a);

S2(a)} for alle a A .• Vi definerer Ø, den tomme multimængde over A, ved

Ø(a) = 0 for alle a A.

ØvelserNavngiv 8 forskellige regioner vha. mængdeoperationerne.

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 21

A B

C

Øvelser - fortsat

• Vis nogle af regnereglerne for mængdeoperationer på slide 11- 13 vha. Venn-diagrammer.

• Brug Venn-diagrammer eller regneregler til at forsimple følgende udtryk (A og B er mængder):1. A - (A - B)

2. A - (A B)

3. (A B) – A

4. (A’ B’)’

5. (A’ B’)’

• MNR 1.1

FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder 22