Magneettikentät ja niiden määrittäminen

SISÄLTÖ:

Magneettinen voima

Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä

Tasavirrat

Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen

Magneettinen momentti Biot-Savartin laki

Ampèren laki

Vektoripotentiaali

Menetelmän valinta

Magneettinen voima

Magnetismi-ilmiö on monelle mysteeri. Siksi sen avulla voidaan helposti huijata ihmisiä ja

myydä kaikenmaailman polttoaineen säästäjiä autoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys

Coulombin voimasta eli sähköisesti varautuneiden hiukkasten välisestä voimasta. Sen verran

magnetismi-ilmiössä on ”outoa”, että se voidaan johtaa suhteellisuusteorian avulla

Coulombin voimasta. (Voitaisiin tietysti ajatella niinkin, että magneettinen voima on

perusvoima ja Coulombin voima suhteellisuusteorian mukainen seuraus siitä.) Suppean

suhteellisuusteorian ensimmäinen aksiooma sanoo, että fysiikan laeilla täytyy olla sama

muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa eli tasaisella nopeudella toistensa suhteen

liikkuvissa koordinaatistoissa. Magneettikenttää tarvitaan, jotta tämä aksiooma toteutuisi

sähkömagnetismissa. (Tästä on puhuttu enemmän kirjassa Grant & Phillips:

Electromagnetism, kappaleessa 13.)

Liikkuva varattu partikkeli aiheuttaa lähistöönsä magneettikentän. Vastaavasti

magneettikentän voimavaikutus kohdistuu liikkuvaan varattuun partikkeliin, ei paikallaan

pysyvään varaukseen. Arkielämästä tuttu kestomagneetin voimavaikutus perustuu myös

varattujen partikkelien liikkeeseen, joka on materiaalin sisältämien atomien elektronien

liikettä.

Peruskurssin kirjassa on liikkuvan varatun (pistemäisen) partikkelin aiheuttama

magneettikenttä esitetty yhtälöllä

2

0 ˆ

4 r

rvqB

missä q on partikkelin varaus, v partikkelin nopeus, r partikkelin etäisyys siitä pisteestä,

jossa magneettikenttä lasketaan ja r̂ yksikkövektori, joka ilmaisee suunnan varatusta

partikkelista siihen pisteeseen, jossa magneettikenttä lasketaan. B -kirjaimella merkityn

suureen täsmällinen nimi on magneettivuon tiheys. Jos käytämme samaa merkitsemistapaa

kuin luentomonisteessa on käytetty, yhtälö tulee muotoon

3

0

'

)'(

4)(

rr

rrvqrB

Tässä yhtälössä vektori r ilmaisee sen pisteen, missä magneettikenttä lasketaan ja vektori 'r

ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän

suunnan että suuruuden. Jos yhtälöä osaa lukea oikein, huomaa, että magneettikentän

voimaviivat kulkevat oheisen kuvan mukaisesti. Kuvasta ei näe magneettikentän

voimakkuutta eri kohdissa, ainoastaan suunnan. Näitä asioita käsitellään myöhemmin

tarkemmin.

Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä

Edellä kerrottiin, että magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, ei paikallaan

pysyvään varaukseen. Voiman suunta ei ole magneettikentän suuntainen vaan kohtisuoraan

kenttäviivoja vastaan. Yhtälönä tämä magneettikentän aiheuttama voima, niin kutsuttu

Lorentz-voima, on

BvqF

Voiman suunnan saa (oikean käden) kolmisormisäännöstä. Positiiviselle varaukselle voiman

suunta on oheisen kuvan mukainen, negatiiviselle vastakkaissuuntainen.

Jos varattu partikkeli joutuu sähkö- ja magneettikenttään, siihen vaikuttaa näiden miolempien

kenttien aiheuttama summavoima:

BvqEqF

+

B

v

F

v

B

Tasavirrat

Tehdään tässä välissä pieni hyppäys tasavirtoihin. Sähkövirta on varausten liikettä.

Virtatiheys määritellään yhtälöllä

vNej

missä N on johde-elektronien tiheys (elektroneja tilavuusyksikössä), e alkeisvaraus ja v

elektronikaasun nopeus. Miinusmerkki tulee tietysti siitä, että virran suunta on vastakkainen

elektronien liikesuunnalle.

Virtatiheys voidaan laskea myös käyttäen sähkökenttää ja johtavuutta σ, joka on kullekin

aineelle ominainen suure:

Ej .

Tätä kutsutaan Ohmin laiksi. Peruskurssista tutumpi Ohmin lain esitysmuoto on V = RI. Kyse

on samasta asiasta, sillä virta voidaa laskea yhtälöllä

SdESdjIAA

Jännitteen ja virran suhde on resistanssi A

l

I

VR , missä l on johtimen pituus ja A

johtimen poikkipinta-ala. Edelleen pätee myös peruskurssista tuttu yhtälö dt

dqI , joka

kertoo, että virta on johtimen poikkipinta-alan läpi kulkenut varaus aikayksikössä.

Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen

Koska magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, aiheuttaa se voiman myös

virtajohtimeen. Virtahan on varausten liikettä. ld :n suuruiseen virtajohdinalkioon, jonka

pituus on dl ja suunta virran I suunta, aiheuttaa magneettikenttä B voiman

BlIdFd

ja koko johtimeen voiman

BldIF .

Suoraan virtajohtimeen magneettikenttä aiheuttaa voiman

BlIF

Vektori l on johdinvektori, jonka suunta on virran suunta ja pituus johtimen pituus.

Magneettimomentti

Sähköstatiikassa esiteltiin sähköinen dipoli, jolla on suuri merkitys esimerkiksi eristeiden

ymmärtämisessä. Vastaava ilmiö magnetismin puolella on virtasilmukka. Magneettiset

materiaalit sisältävät pieniä virtasilmukoita samalla tavalla kuin eristeessä on pieniä dipoleja.

Dipolimomenttia vastaa virtasilmukalla magneettimomentti. Se määritellää yhtälöllä

SIm

missä I on silmukassa kulkeva virta ja S pinta-alavektori, jonka suuruus on silmukan pinta-

ala ja suunta riippuu virran suunnasta oheisen kuvan mukaisesti:

Virtasilmukkaan vaikuttaa magneettikentässä voiman momentti (vääntömomentti)

BmT

mistä aiheutuu potentiaalienergia BmU

Biot-Savartin laki

Edellä esiteltiin liikkuvan varauksen aiheuttama magneettikenttä (tarkemmin sanottuna

magneettivuon tiheys) yhtälöllä

3

0

'

)'(

4)(

rr

rrvqrB

missä vektori r ilmaisee sen pisteen, jossa magneettikenttä lasketaan ja vektori 'r ilmaisee

varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhetta, tämä yhtälö antaa sekä

magneettikentän suunnan että suuruuden. Aikaisemmin esitettiin kuva magneettikentän

voimaviivoista liikkuvan varauksen lähellä.

S

m

I

Jos johtimessa kulkee virta I, voimme ajatella, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvan

pistevarauksen. Virta voidaan määritellä yhtälöllä

dt

dqI

Täten saamme xIddt

xdIdtvIdtvq

Täällä on pituusalkiovektoria xd tapana merkitä vektorilla ld . Nyt saamme edellä olevan

yhtälön muotoon

3

0

'

)'(

4)(

rr

rrlIdrB

Kun integroimme yli koko johtimen, saamme kaikkien johdinalkioiden dl aiheuttaman

summamagneettikentän:

3

0

'

)'('

4)(

rr

rrldIrB

Tämä on Biot-Savartin laki, jota käytetään virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän

laskemisessa.

Ampèren laki

Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa,

kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana:

SIS

C

IldB 0

Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa

pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren

silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto

Ampèren laista on

jB 0

Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein SdjS

0 eli Ampèren

silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S

avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon jS0 .

Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:

● Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa.

Katso tämän kappaleen viimeistä kohtaa ”Menetelmän valinta”.

● Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai

suorakaide. (Katso kohtaa ”Menetelmän valinta”.) Pitkille, suorille johtimille ja

sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille

valitaan suorakaide.

● Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka

samaan kuvaan.

● Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo

ldB voidaan kirjoittaa muotoon Bdl.

● Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa

toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä

ldB on nolla.

● Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa ldB voitiin kirjoittaa muotoon Bdl, on B-kenttä

vakio, jolloin B voidaan ottaa integraalimerkin eteen.

● Nyt C

dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja

kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu

käyrä, jolle merkittäisiinC

dl .

● Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät

virrat ISIS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio,

virta on jS eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen

poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa SdjS

0

● Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait

Ampèren lain oikealta puolelta.

● Ratkaise yhtälöstä magneettikenttä.

Vektoripotentiaali

Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina:

AB

Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä.

Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)

Menetelmän valinta

On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä

materiaalissa on esitelty Biot-Savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto.

On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa.

YHTEENVETO TOIMIVISTA AMPÈREN SILMUKOISTA

Johtimen muoto Ampèren silmukka

Pitkä suora johdin Ympyrä

Koaksiaalikaapeli Ympyrä

Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä

Toroidi Ympyrä

Solenoidi Suorakulmio

Laaja johtava taso Suorakulmio

Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia

Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia

Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia

Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia

Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia

Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia

Esimerkki 1: Suorassa johtimessa, jonka pituus on 50 cm ja joka on x-akselin suuntainen,

kulkee 0.50 A:n sähkövirta positiivisen x-akselin suuntaan. Johdin on magneettikentässä

kTjTB ˆ)0100.0(ˆ)0030.0(

Mikä on johtimeen vaikuttava voima?

Ratkaisu: Virtajohtimeen vaikuttava voima on:

BldIF

Nyt tässä suorassa johtimessa kaikkien ”johdinalkioiden” ld suunta on sama positiivisen x-

akselin suunta eli virran suunta. Integraalista tulee silloin:

BlIF

Lasketaan ristitulo:

ill ˆ kBjBB zyˆˆ

kIlBiIlBlBklBjiI

BB

l

kji

IF yzyz

zy

ˆˆ)]0(ˆ)0(ˆ)00(ˆ[

0

00

ˆˆˆ

NjikTmAjTmAF 410)ˆ25ˆ5.7(ˆ)0100.05.050.0(ˆ)0030.05.050.0(

Yksikkötarkastelua:

Nm

J

m

VAsmAmT

m

VsT

22

Muista: VAs = J !!!

Esimerkki 2: Neliön muotoisessa johdinsilmukassa (sivun pituus a) kulkee virta I. Silmukka

aseteaan magneettikenttään B kuvan mukaisesti siten, että magneettikentän ja silmukan tason

normaalin väliin jää kulma α.

a) Mikä on virtasilmukan magneettimomentti?

b) Mikä voiman momentti kohdistuu virtasilmukkaan?

c) Mikä on virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä?

Ratkaisu:

a) Magneettimomentti on nISSIm ˆ

Vektori n̂ tarkoittaa pinta-alkiovektorin suuntaista eli pinnan normaalin suuntaista

yksikkövektoria.

α

Silmukka sivusta

katsottuna

Nyt nIaSIm ˆ2 koska pinta-ala S on neliön muotoiselle silmukalle a

2.

b) Voiman momentti on vektorimuodossa:

BnIaBnISBSIT ˆˆ 2

Skalaarimuodossa voiman momentiksi tulee: sinsinˆ 22 BIaBnIaT

c) Potentiaalienergia voidaan laskea kahdella tavalla. Joko yhtälöllä

coscosˆˆ 2BIaBnISBnISBSIUP

tai yhtälöllä

coscosˆˆ 222 BIaBnIaBnIaBmUP

Esimerkki 3: Oheisessa kuvassa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen

alueeseen tulee positiivisesti varattu hiukkanen +q P

jonka varaus on q, massa m ja nopeus v. Alueeessa

on paperin tason suuntainen homogeeninen sähkö- d

kenttä E, jonka suunta näkyy kuvassa. a) Minkä E

suuruinen ja suuntainen homogeeninen magneetti- S

kenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen P.

b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuruinen ja suuntainen magneettikenttä tarvitaan

alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen S.

I

Ratkaisu:

Sähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima:

BvqEqF

a) Varaukseen vaikuttavan magneettikentän aiheuttaman voiman ja sähkökentän aiheuttaman

voiman täytyy kumota toisensa, sillä varauksen rata on suora:

BvqEq

Sähkökentän voima osoittaa alaspäin. Silloin magneettikentän voiman täytyy osoittaa

ylöspäin.

Käytetään kolmisormisääntöä magneettikentän suunnan määrittämiseksi:

Kuvan mukaan magneettikentän täytyy olla suoraan paperin tasosta sisäänpäin, jotta sen

aiheuttama voima olisi ylöspäin, kun positiivisesti varattu kappale liikkuu vasemmalta

oikealle. Koska nyt nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

vBBv

Nyt saadaan magneettikentän suuruus.

v

EBqvBqEBvqEq

Magneettikentän suunta on siis kohtisuorassa paperin tasoa vastaan ja sisäänpäin.

b) Sähkökenttää ei nyt ole. Varaus pitäisi saada kääntymään alaspäin. Kolmisormisäännön

mukaan se vaatii magneettikentän, jonka suunta on suoraan paperin tasosta ulospäin. Varaus

alkaa kulkea ympyrärataa pitkin. Radan säteen r pitäisi olla sopivan suuruinen, jotta varaus

osuisi pisteeseen S eli 2r = d.

Ympyräradalla keskeisvoimana toimii magneettikentän aiheuttama voima. Voimme laskea

skalaareilla ja otamme huomioon, että nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan

vastaan, jolloin magneettikentän aiheuttama voima on FB = qvB:

Keskeisvoima = Lorentz-voima

qd

mv

qr

mvBqvB

r

mv 22

Suunta määritettiin edellä

F

v

B

Esimerkki 4: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta I. Laske magneettikenttä

etäisyydellä a virtajohtimesta.

Ratkaisu: Biot-Savartin laki: 3

0

'

)'('

4)(

rr

rrldIrB

Jos sitä pistettä, jossa magneettikenttä lasketaan, merkitään P:llä, vektori r kuvaa P:n

paikkaa ja vektori 'r kuvaa johdinalkion 'ld paikkaa. Yleensä P sijoitetaan origoon, jolloin r= 0.

Merkitään, että r = 0 jolloin saadaan:

3

0

3

0

3

0

3

0

'

''

4'

)'('

4'0

)'0('

4'

)'('

4)(

r

ldrI

r

rldI

r

rldI

rr

rrldIrB

Tehdään tällä kertaa niin, että päätellään magneettikentän suunta ja sen jälkeen lasketaan

skalaareilla. Tämä tapa ei ole kuitenkaan suositeltava. Jäljempänä on esimerkki siitä, miten

pituutta l käytetään muuttujana.

Kolmisormisäännön avulla saadaan, että vektorin '' ldr suunta on paperin tasosta sisäänpäin:

I

a

α

P

l’

P

Siirrytään nyt skalaareihin:

')(cos''2

sin'sin'''' dlrdlrldrldr

cos'

ar

dadlal2cos

1'tan'

Biot-Savartin laista saamme nyt:

da

aI

r

dlI

r

dlrIrB

2

20

2

0

3

0

cos

cos

1)(cos

4)'(

'cos

4)'(

'cos'

4)(

da

I cos

40

Kun on kyseessä äärettömän pitkä johdin, kulma α vaihtelee välillä –π/2 ↔ π/2. Tästä

saamme integroimisrajat:

a

I

a

I

a

Id

a

IrB

2)]1(1[

4sin/

4

cos

4)( 00

2

2

02

2

0

Tämä on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta.

Magneettikentän suunta on kohtisuoraan johdinta vastaan ja pisteessä P (katso kuva!) paperin

tasosta sisäänpäin.

Esimerkki 5: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta I. Laske magneettikenttä

etäisyydellä a virtajohtimesta.

Ratkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: sisIldB 0

Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin

suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). ld on pituusalkiovektori, jonka

suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön

permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta.

Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä:

Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa

virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä.

Ampéren lain vasen puoli on siten:

BdlldB koska B ja dl yhdensuuntaisia vektoreita..

dlBBdl koska B on vakio koko valitsemamme silmukan alueella.

aBdlB 2 eli integraali dl on vain silmukan pituus.

Yhtälön oikealla puolella μ0 on tyhjiön permeabiliteetti ja ISIS silmukan sisään jäävät virta,

joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta I. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis:

a

IB

IaB

2

2

0

0

dl B

a

Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin

johtimen keskipisteestä). Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä:

Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja

osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan.

Esimerkki 6: Kuutio, jonka sivun pituus on a, on sijoitettu xyz-koordinaatistoon kuvan

mukaisesti siten, että yksi nurkka on origossa ja kolme särmää on koordinaattiakseleilla.

Alueella on x-akselin suuntainen magneettivuon tiheys, jonka itseisarvo on B. Kuution

ympärille on kiedottu viiden nurkan kautta kulkeva johdinsilmukka, joka koostuu viidestä

suorasta osasta kuvan mukaisesti. Johdinsilmukassa kulkee virta I. Laske kuhunkin johtimen

suoraan osaan vaikuttava voima. Anna tulokset vektorimuodossa.

B

I

1

2

3

4 5

x

y

z

a

I B

Ratkaisu:

Esimerkki 7: Neliön (sivun pituus a) muotoisen johdinsilmukan yksi sivu on y-akselilla.

Silmukassa kulkee virta I kuvan mukaisesti. Alueessa on + z –akselin suuntainen

magneettikenttä, jonka suuruus riippuu y-akselista mitatusta etäisyydestä ja jonka yhtälö on

kKxˆ , missä K on vakio.

a) Määritä silmukan magneettinen momentti?

b) Määritä silmukkaan vaikuttava kokonaisvoima?

c) Määritä magneettikentän silmukkaan aiheuttama voiman momentti

(= vääntömomentti).

Ratkaisu:

a

a

I

y

x

× Kx

Esimerkki 8: Alla olevassa kuvassa on virtasilmukka, joka koostuu kolmesta suorasta osasta

ja puoliympyrästä. Suorien osien pituudet ovat a, 2a ja a ja puoliympyrän kaarevuussäde a.

Lyhyet sivut ovat kohtisuorassa pitkää sivua vastaan. Puoliympyrä ei ole kontaktissa pitkän

sivun kanssa. Silmukassa kulkee virta I kuvan mukaisesti. Laske B-kenttä puoliympyrän

kaarevuuskeskipisteessä P.

Ratkaisu:

P •

I a

2a

ei kontaktia

I

VAKAVA VAROITUS:

Kun käytät Biot-Savartin lakia, älä ota

johdinalkiota alueen reunasta, vaan jostakin

epämääräisestä paikasta:

• P

r’

dl’

Ei, ei ja ei!

Esimerkki 9: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta I. Pisteessä P, joka on

etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali

pallokoordinaateissa lausuttuna:

er

IbA ˆsin

4 2

20

Määritä B -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä

ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla.

∙ P

r

z

y

x

θ

I

φ

Ratkaisu:

Esimerkki 10: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti

symmetrisesti xz-tasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys

noudattaa yhtälöä zujj ˆ0

Laske B-kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella.

y

x

Esimerkki 11: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä.

Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä

R

rjj 0 ,

missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j0 on vakio. Laske B-kenttä johtimen

sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren

lain differentiaalimuotoa.

Ratkaisu: