SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MIHAEL IVANIŠEVIĆ

MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODIČA

Diplomski rad

Osijek, 2011.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MIHAEL IVANIŠEVIĆ

MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODIČA

Diplomski rad

predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J.J. Strossmayera u Osijeku radi stjecanja

zvanja profesora fizike i tehničke kulture s informatikom

Voditelj: doc.dr.sc. Denis Stanić

Osijek, 2011.

Ovaj diplomski rad izrađen je u Osijeku pod vodstvom doc. dr. sc. Denisa

Stanića u sklopu Sveučilišnog diplomskog studija fizike i tehničke kulture s

informatikom na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u

Osijeku.

iii

Sadržaj

Sažetak ………………………………………………………………………………………………..iv

Abstract……….……………………………………………………………………………………….v

1. Uvod………………………………………………………………………………………………...1

2. Magnetsko polje i sile ……..……………………………………………………..............................3

3. Biot – Savartov zakon ….………………………………………………..........................................8

4. Amperov zakon .................................................................................................................................9

5. Magnetsko polje ravnog vodiča........................................................................................................11

6. Magnetski tok ..................................................................................................................................14

7. Gaussov zakon u magnetizmu..........................................................................................................15

8. Struja pomaka i opći oblik Amperovog zakona…...........................................................................17

9. Materijali i metode mjerenja magnetskog polja ravnog vodiča….………………….…………….20

10. Rezultati i rasprava.........................................................................................................................23

10.1. Magnetsko polje ravnog vodiča u ovisnosti o jakosti struje……….………….……………23

10.2. Magnetsko polje ravnog vodiča u ovisnosti o udaljenosti od vodiča…...…..…….………..25

10.3 Magnetsko polje dva paralelna vodiča, u kojima struje teku u istim smjerovima, u ovisnosti

o udaljenosti između njih.……………….……………………………………………………………28

10.4 Magnetsko polje dva paralelna vodiča, u kojima struje teku u suprotnim smjerovima, u

ovisnosti o udaljenosti između njih……….……….…………………………………………………31

11. Zaključak………………….……………………………………………………………………...33

Literatura…….……………….………………………………………………………………………34

Životopis ………………….………………………………………………………………………….35

iv

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODIČA

MIHAEL IVANIŠEVIĆ

Sažetak:

Cilj diplomskog rada bilo je eksperimentalno određivanje magnetskog polja ravnog vodiča i

usporedba eksperimentalnih rezultata s teorijskim predviđanjima. Za izvođenje praktičnog dijela

korišten je transformator, digitalni teslametar, Hallova sonda, ampermetar i strujna kliješta. Kao

ravan vodič korišten je komplet vodiča struje (strujne petlje). U eksperimentu se mjerilo magnetsko

polje ravnog vodiča te magnetsko polje strujnih petlji s paralelnim i antiparalelnim strujama. Na

kraju su prikazani rezultati eksperimentalnog mjerenja i teorije koji se jako dobro slažu. Mala

odstupanja eksperimentalnih i teorijskih vrijednosti objašnjena su utjecajem magnetskih polja

okolnih vodiča i mjerne opreme na eksperimentalne rezultate.

(39 stranica, 27 slika)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: magnetsko polje / Amperov zakon / Biot-Savartov zakon / Gaussov zakon

Mentor: doc.dr.sc Denis Stanić

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen:

v

J. J. Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

Magnetic field of a straight conductor

MIHAEL IVANIŠEVIĆ

Abstract:

The purpose of this graduate work was an experimental determination of magnetic field of straight

conductor and comparation of experimental results to theoretical expectations. Measuring

instruments that were used for performance of experimental practice were transformer, digital

teslameter, Hall probe, ammeter and a clamp. Magnetic field of a straight conductor and magnetic

field of current loops with parallel and antiparallel currents were measured in this work. The results

of experimental measurments and theoretical expectations were presented at the end of this work

and their agreement is shown. Small deviations of experimental and theoretical values happened due

to influence of magnetic field of nearby conductors and of measuring equipment to experimental

results.

(39 pages, 27 figures)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: magnetic field / Ampere law / Biot-Savart law / Gauss law

Supervisor: doc.dr.sc Denis Stanić

Reviewers:

Thesis accepted:

1

1.UVOD

Povjesničari znanosti vjeruju da kompas, koji koristi magnetsku iglu, potječe iz Indije ili

Arabije. U ranom 13. st.pr. Krista koristili su ga Kinezi. Stari Grci koji su poznavali magnetizam od

8 st.pr. Krista., otkrili su da kamen magnetit Fe3O4 privlači komade željeza. Prema legendi, ime

magnetit potječe od pastira Magnesa, čije su cipele imale čavle u sebi i na sebe su, dok je hodao,

privlačile komade magnetita [1].

Osnivač grčke znanosti, filozof Tales iz Mileta 7.-6. st. pr. Krista, prvi je za neku empirijsku

matematičku tvrdnju tražio dokaz. Uočio je da magnet privlači željezo i istovremeno tražio odgovor

na pitanje – zašto. Tales je tražio početno tvarno prapočelo svih tvari, tj. od čega je sve nastalo [2].

1269. godine Francuz Pierre de Maricourt otkrio je da smjer magnetske igle blizu sfernog

prirodnog magneta formira linije (danas nazvane silnice) koje opisuju sferu i prolaze kroz dvije

točke koje su suprotne jedna drugoj, a koje je nazvao polovima magneta. Daljnji pokusi pokazali su

da svaki magnet, bez obzira na oblik, ima dva pola koja se nazivaju sjeverni (N) i južni (S) pol.

Polovi pokazuju svojstva stvaranja sile prema drugim magnetskim polovima koja su slična načinu

djelovanja električnih naboja jednih prema drugima, tj. kao što polovi (N-N ili S-S) odbijaju jedni

druge i suprotni polovi (N-S) privlače jedni druge. Polovi su dobili imena po načinu na koji se

magnet, kao što je igla u kompasu, ponaša u Zemljinom magnetskom polju. Ako pločasti magnet

objesimo u njegovom središtu i ako se on može slobodno njihati u horizontalnoj ravnini, rotirat će

sve dok njegov Sjeverni pol ne pokaže na Sjeverni geografski pol Zemlje, a ista je situacija i s

Južnim polom 1 [1].

1600. William Gilbert (1540.-1603.) proširio je Maricourtove pokuse na različite materijale.

Koristeći činjenicu da se igla kompasa orijentira u određenom smjeru, nametnuo je tezu da je sama

Zemlja jedan veliki permanentni magnet. Znanstvenici koji su izvodili pokuse 1750. godine, koristili

su torzijsku vagu da bi pokazali kako magnetski polovi stvaraju privlačne, odnosno odbojne sile,

međusobno i da se te sile mijenjaju kao korijen udaljenosti između tih dvaju međusobnih polova.

Sile između dva magnetska pola inače su slične silama između električnih naboja, ali karakteristika

električnih naboja da se mogu izolirati (čemu svjedoče e- i p+), nije karakteristika i magnetskih

1 Imajte na umu da je Zemljin geografski Sjeverni pol magnetski Južni pol i obrnuto. Zbog privlačenja suprotnih magnetskih polova, pol na magnetu koji privlači Zemljin geografski Sjeverni pol je magnetski sjeverni pol. Dok pol magneta koji privlači Zemljin geografski Južni pol je magnetski južni pol.

2

polova. Naime, jedan magnetski pol nikada nije bio izoliran, već su magnetski polovi uvijek

pronađeni u paru. Svi dosadašnji pokušaji izolacije jednog magnetskog pola bili su neuspješni. Bez

obzira na to koliko puta rezali permanentni magnet, svaki njegov odrezani dio uvijek ima Sjeverni i

Južni pol2 [1].

Odnos između magnetizma i elektriciteta otkriven je 1819. kada je tijekom predavanja,

danski znanstvenik H.C. Oersted3 otkrio da je struja u vodiču otklonila iglu kompasa koji se nalazio

u blizini.4 Daljnju povezanost elektriciteta i magnetizma demonstrirali su 1832. godine Michael

Faraday (1791.-1867.), i neovisno o Faradayu 1832. godine i Jospeh Henry (1797.-1878.). Pokazali

su da se struja može dobiti gibanjem magneta u blizini strujnog kruga ili mijenjanjem struje u

obližnjem strujnom krugu. Ova zapažanja pokazala su da promjena magnetskog polja stvara

električno polje. Godinama poslije, Maxwell5 je pokazao da promjena električnog polja stvara

magnetsko polje. Tako je 1864. godine u svom radu Dinamička teorija elektromagnetskog polja

objedinio električne i magnetske pojave u jedinstvenu teoriju elektromagnetizma [3].

2 Postoje teorijske osnove za nagađanja kako magnetski monopol (izolirani N i S polovi) mogu postojati u prirodi. Pokušaji da ih se otkrije su aktivno eksperimentalno polje istraživanja [1]. 3 H.C.Oersted (1777-1851), najpoznatiji je po uočavanju pomicanja igle kompasa koja je postavljena blizu vodiča. Ovo važno otkriće je prvi dokaz veze između električnog i magnetskog fenomena. 4 Isto otkriće objavio je 1802. talijanski pravnik Gian Dominico Romognosi, ali bilo je previđeno vjerojatno zbog toga što je bilo objavljeno u nepopularnim novinama. 5 James Clerk Maxwell (1831-1879), škotski fizičar. Napisao je jednadžbe gibanja elektromagnetskih polja.

3

2. Magnetsko polje i sile

Da bismo opisali magnetsko polje moramo nešto reći o električnom polju. Električno polje

okružuje svaki električni naboj. Osim što sadrži električno polje, prostor koji okružuje svaki

električni naboj u gibanju, također sadrži i magnetsko polje. Magnetsko polje također okružuje

magnetsku tvar tvoreći permanentni magnet. Simbol B predstavlja magnetsko polje. Smjer

magnetskog polja B na bilo kojem mjestu pokazuje magnetska igla kompasa. Kao i kod električnog

polja, magnetsko polje se može prikazati silnicama magnetskog polja. Slika 1. pokazuje da se silnice

magnetskog polja mogu pronaći uz pomoć kompasa. Primijetimo i to da silnice magnetskog polja

izlaze iz sjevernog pola N i ulaze u južni pol S.

Slika 1. Igla kompasa može se koristiti da bi se našle silnice magnetskog polja u prostoru izvan magneta [4].

Može se prikazati uzorak magnetskog polja magneta uz pomoć željezne strugotine, kao što pokazuje

slika 2.

4

Slika 2. (a) Primjer prikaza magnetskog polja koje okružuje magnet, pomoću željezne strugotine. (b) Primjer magnetskog polja između suprotnih polova (N-S) dvaju magneta. (c) Primjer magnetskog polja između dva ista pola (N-N) dvaju magneta [1].

Možemo definirati magnetsko polje B u nekoj točki prostora u smislu magnetske sile FB tako što

polje djeluje na nabijene čestice koje se gibaju brzinom v, koje nazivamo testnim objektima. Za sada

pretpostavimo da nema električnog ili gravitacijskog polja u prostoru gdje se nalazi testni objekt.

Eksperimenti na različito nabijenim česticama koje su se kretale samo u magnetskom polju, dali su

sljedeće rezultate:

• Veličina magnetske sile FB koja djeluje na česticu je proporcionalna naboju q i brzini čestice

v.

• Veličina i smjer FB ovise o brzini čestice i o veličini i smjeru magnetskog polja B.

• Kada se nabijene čestice gibaju paralelno s vektorom magnetskog polja, magnetska sila koja

djeluje na česticu je jednaka nuli.

• Kada vektor brzine čestice stvara kut 0θ ≠ s magnetskim poljem, magnetska sila djeluje u

smjeru okomito na obje veličine v i B, odnosno FB je okomit na ravninu koju tvore v i B .

(Slika 3.a)

• Smjer magnetske sile koja djeluje na pozitivan naboj, suprotan je smjeru magnetske sile koja

djeluje na negativan naboj koji se giba u istome smjeru. (Slika 3.b)

• Veličina magnetske sile koja djeluje na česticu u gibanju, proporcionalna je sa sinθ , gdje je

θ kut između vektora brzine čestice v i smjera magnetskog polja B.

5

Ova opažanja možemo sažeti prikazom magnetske sile u sljedećem obliku:

BF qv B= ×

, (2.1)

koji je po definiciji vektorski produkt okomit na brzinu v i na magnetsko polje B. Ovu jednadžbu

možemo smatrati definicijom magnetskog polja u nekoj točki prostora. Odnosno, magnetsko polje je

definirano silom koja djeluje na nabijenu česticu u gibanju.

Slika 3. Smjer magnetske sile FB djeluje na nabijenu česticu koja se giba brzinom v u magnetskom polju B. (a) Magnetska sila je okomita na v i B. (b) Suprotno usmjerena magnetska sila FB djeluje na dvije suprotno nabijene čestice koje se gibaju istim smjerom i brzinom u magnetskom polju. Isprekidane linije prikazuju putanju čestica [1].

6

Slika 4. Dva pravila desne ruke za određivanje smjera magnetske sile BF qv B= ×

koja djeluje na česticu naboja q, koja se giba brzinom v u magnetskom polju B. (a) Po ovom pravilu, prsti pokazuju smjer brzine, B

izlazi iz dlana, tako da se prsti mogu saviti u smjeru B ( v B×

), sila na pozitivan naboj djeluje u smjeru koji pokazuje palac. (b) Po ovom pravilu, vektor brzine je u smjeru palca, B je u smjeru prstiju. Sila FB koja djeluje na pozitivan naboj je u smjeru iz dlana, kao kada bismo gurali česticu rukom [1].

Slika 4. prikazuje dva pravila desne ruke kojima se određuje smjer vektorskog produkta v B×

i

smjer sile FB. Pravilo na slici 4.a ovisi o pravilu desne ruke za vektorski produkt na slici 5.

Slika 5. Vektorski produkt A x B je treći vektor C koji ima veličinu sinAB θ koja je jednaka dijagonali paralelograma prikazanog na slici. Smjer vektora C je okomit na ravninu formiranu vektorima A i B, i taj smjer se određuje pravilom desne ruke [1].

7

Uperite četiri prsta desne ruke u smjeru brzine v tako da dlan bude prema B i sklupčajte ih prema B.

Ispruženi palac koji je pod pravim kutom u odnosu na prste pokazuje smjer v B×

. Zbog toga što je

BF qv B= ×

; FB je u smjeru vašeg palca ako je q pozitivan, a u suprotnom smjeru ako je q

negativan. Alternativno pravilo je pokazano na slici 4.b. Ovdje palac pokazuje smjer brzine, a

ispruženi prsti smjer magnetskog polja. Sada sila FB na pozitivan naboj djeluje izlazeći iz dlana.

Ovo pravilo govori da je smjer sile na naboj takav kao da se nešto gura dlanom – sila izlazi iz dlana.

Sila na negativan naboj je u suprotnom smjeru.

Veličina magnetske sile na nabijenu česticu je:

sinBF q vB θ= , (2.2)

gdje je θ mali kut između v i B. Iz ovoga izraza se vidi da je 0BF = , kada je brzina v paralelna ili

antiparalelna sa B (θ=0 ili 1800) i maksimalna kada je brzina okomita na magnetsko polje B (θ=900).

Postoji nekoliko važnih razlika između električnih i magnetskih sila:

• Električna sila djeluje uzduž smjera električnog polja, dok magnetska sila djeluje okomito na

magnetsko polje.

• Električna sila djeluje na nabijenu česticu bez obzira na to giba li se ona ili ne, dok

magnetska sila djeluje na nabijenu česticu samo kada se čestica giba.

• Električna sila obavlja rad nad nabijenom česticom, dok magnetska sila povezana sa

statičnim magnetskim poljem, ne obavlja rad dok se čestica giba, jer je sila okomita na

pomak.

U odnosu na zadnju izjavu i temeljem teorema rad-kinetička energija, zaključujemo da kinetička

energija nabijene čestice koja se kreće kroz magnetsko polje ne može biti promijenjena samo s

magnetskim poljem. Drugim riječima, kada se nabijena čestica giba brzinom v kroz magnetsko

polje, polje može promijeniti smjer vektora brzine, ali ne može promijeniti brzinu ili kinetičku

energiju čestice.

Iz jednadžbe 2.2 vidljivo je da je jedinica magnetskog polja po SI sustavu njutn po kulonu i metru

po sekundi, koja se naziva tesla (T).

1 1/

NT

Cm s= (2.3)

8

Kulon po sekundi je definiran kao amper, i iz toga slijedi:

1 1N

TAm

= (2.4)

Jedinica magnetskog polja izvan SI sustava je gauss, a odnos s teslom pokazuje slijedeći izraz

41 10T G= (2.5)

3. Biot – Savartov zakon

Ubrzo nakon Oerstedovog otkrića 1819., da se igla u kompasu zakreće u blizini strujnog vodiča,

Jean-Baptiste Biot (1774-1862) i Felix Savart (1791-1841) izveli su kvantitativne eksperimente na

sili koja djeluje na električni vodič blizu magneta. Iz njihovih eksperimentalnih rezultata, Biot i

Savart došli su do matematičkog izraza koji prikazuje magnetsko polje u nekoj točki prostora u

odnosu na struju koja proizvodi to polje. Izraz se bazira na slijedećem eksperimentalnom opažanju

magnetskog polja dB u točki P povezanom s elementom duljine ds žice kroz koju protječe stalna

struja (Slika 6.):

• Vektor dB je okomit prema oba vektora, ds (koji ukazuje na smjer struje) i jediničnom

vektoru r usmjerenog od ds prema P.

• Veličina dB je obrnuto proporcionalna s r2, gdje je r udaljenost između ds i točke P.

• Veličina dB je proporcionalna struji i veličini ds elementa dužine ds.

• Veličina dB je proporcionalna sa sin θ, gdje je θ kut između vektora ds i r.

Ova opažanja su sažeta u matematički izraz koji je danas poznat pod nazivom Biot-Savartov

zakon:

024

I d s rd B

r

μπ

×=

, (3.1)

gdje je 0μ konstanta nazvana permeabilnost vakuuma:

70 4 10

Tm

Aμ π −= ⋅ (3.2)

Moramo znati da je polje dB u relaciji (3.1), polje stvoreno strujom samo od malog elementa vodiča

dužine ds. Da bi saznali ukupan iznos magnetskog polja B stvorenog u nekoj točki strujom

konstantnog iznosa, moramo zbrojiti doprinose svih strujnih elemenata I ds koji čine struju.

To jest, moramo izračunati B integrirajući jednadžbu (3.1)

9

024

I d s rB

r

μπ

×=

, (3.3)

gdje integral preuzima cijelu raspodjelu struje preko cijelog vodiča. S ovim izrazom se mora jako

oprezno rukovati zbog toga što je integrand vektorski produkt i stoga, vektorska veličina.

Slika 6. Magnetsko polje dB u točki, s obzirom na struju I koja prolazi elementom dužine ds, dano je Biot-Savartovim zakonom. Smjer polja je iz stranice u točki P, dok u točki P′ ulazi u stranicu [1].

4. Amperov zakon

Oerstedovo otkriće 1819. godine o otklonjenoj magnetskoj igli demonstrira kako vodič kroz

koji protječe struja stvara magnetsko polje. Slika 7.a prikazuje kako se taj efekt može demonstrirati

u razredu. Nekoliko kompasa postavimo u horizontalnu ravninu blizu dugačke vertikalne žice. Kada

nema struje u žici, sve magnetske igle kompasa pokazuju u istom smjeru (prema Zemljinom

magnetskom polju), kao što smo očekivali. Kada žicom proteče jaka, konstantna struja, magnetske

igle se otklanjaju u smjeru tangente na kružnici, kao što je prikazano na slici 7.b.

10

Slika 7. (a) Kada struja u vodiču nije prisutna, sve igle kompasa pokazuju u jednom smjeru (prema Zemljinom sjevernom polu). (b) Kada vodičem teče jaka struja, igle kompasa se otklanjaju u smjeru tangente na kružnicu, koje predstavljaju smjer magnetskog polja proizvedenog tom strujom [1].

Ova opažanja prikazuju da je smjer magnetskog polja kojeg je proizvela struja u vodiču

dosljedan pravilu desne ruke opisanog u slici 8. Zbog simetrije žice, silnice magnetskog polja su

koncentrične kružnice koje leže u ravnini koja je okomita na vodič. Pogodno pravilo za određivanje

smjera magnetskog polja B je takvo da obuhvatimo vodič desnom rukom, palac ispružimo u smjeru

struje, a savijeni prsti nam pokazuju smjer magnetskog polja.

Slika 8. Pravilo desne ruke za određivanje smjera magnetskog polja koji okružuje dugački ravni strujni vodič. Imajmo na umu da silnice magnetskog polja formiraju kružnu putanju oko vodiča [1].

11

Zbog toga što igla kompasa pokazuje u smjeru B zaključujemo da silnice magnetskog polja

B formiraju kružnice oko vodiča. Zbog simetrije, iznos B je isti u svakoj točki kružnice, a smjer je

tangencijalan na kružnicu i leži u ravnini koja je okomita na vodič. Mijenjajući iznos struje i

udaljenost a od vodiča, pronalazimo da je B proporcionalno struji I, a obrnuto proporcionalno

udaljenosti od žice a. Kao što je vidljivo iz relacije:

0

2

IB

a

μπ

= (4.1)

Sada ćemo procijeniti produkt B d s⋅

za malu dužinu elementa ds na kružnoj stazi definiranoj

kompas-ovom iglom, i zbrojiti sve produkte za sve elemente zatvorene kružne staze. Uzduž toga

puta, vektor ds i B su paralelni u svakoj točki (slika 7.b), stoga je B d s Bds⋅ =

. Osim toga, zbroj

produkta Bds preko zatvorene putanje je ekvivalent linijskom integralu B d s⋅

, pa je

00(2 )

2

IB d s B ds r I

r

μ π μπ

⋅ = = = , (4.2)

gdje je 2ds rπ= opseg kružnice. Iako je ovaj rezultat izračunat za specijalne slučajeve kružnih

linija koje okružuju vodič, to vrijedi i za zatvorene linije bilo kojeg oblika koje okružuju strujni

vodič.

Opće poznat slučaj, poznat kao Amperov zakon možemo opisati na slijedeći način:

Linijski integral B d s⋅

oko bilo koje zatvorene krivulje jednak je 0Iμ , gdje je I ukupna stalna struja

koja prolazi kroz zatvorenu krivulju.

0B d s Iμ⋅ = (4.3)

Amperov zakon opisuje stvaranje magnetskog polja istosmjerne struje, ali u našoj

matematičkoj razini znanja koristan je i za izračunavanje magnetskog polja izmjenične struje.

5. Magnetsko polje ravnog vodiča

Uzmimo u obzir ravan vodič postavljen uzduž osi x kroz kojega prolazi konstantna struja I,

prikazan na slici 9. Potrebno je odrediti veličinu i smjer magnetskog polja u točki P u odnosu na

struju I. Iz Biot-Savartovog zakona (3.1), očekujemo da će veličina polja biti proporcionalna struji u

vodiču i opadati kako udaljenost a od žice prema točki P raste.

12

Slika 9. (a) Ravna žica koja provodi struju I. Magnetsko polje u točci P izlazi iz stranice zbog struje u svakom isječku žice ds. (b) Kutovi 1θ i 2θ koriste za određivanje ukupnog polja. Kada je žica beskonačno

duga 1 0θ = i 02 180θ = [4].

Počinjemo uzimajući u obzir isječak ds smješten na udaljenosti r od P. Smjer magnetskog

polja u točki P u odnosu na struju, je takav da izlazi van iz stranice, zbog toga što vektorski produkt

d s r× ima smjer iz stranice. Zapravo, svi strujni elementi I ds leže u ravnini stranice, i svi proizvode

magnetsko polje usmjereno van stranice u točki P. Tako imamo smjer magnetskog polja u točki P, i

potrebno je samo još pronaći veličinu polja. Uzimamo točku O i okomito na tu točku postavljamo

točku P koja je pozitivna na y osi. Tada k

postaje jedinični vektor koji izlazi van iz stranice, vidimo

to ovako:

( sin )d s r d s r k dx kθ× = × = , (5.1)

gdje d s r× predstavlja veličinu d s r×

. Zbog toga što je r jedinični vektor, veličina vektorskog

produkta je jednostavno veličina ds, koja je jednaka duljini dx (ds = dx). Uvrštavanjem tih

vrijednosti u relaciju (3.1) dobivamo:

02

sin( )

4

I dxd B dB k k

r

μ θπ

= =

(5.2)

13

Zbog toga što svi strujni elementi stvaraju magnetsko polje u smjeru k

, obratimo pažnju na veličinu

magnetskog polja, zbog jednog strujnog elementa:

02

sin

4

I dxdB

r

μ θπ

= , (5.3)

Integriranjem ovoga izraza, moramo povezati varijable θ, x i r. Jedan od pristupa je izraziti x i r u

odnosu na θ. Sa slike 9.a imamo:

sin

ar

θ= . (5.4)

Zbog toga što je tan( )

a

xθ =

− iz desnog trokuta slike 9.a (negativan predznak je potreban jer je ds

postavljen u negativnu stranu x osi), imamo:

x actgθ= − . (5.5)

Deriviranjem ovoga izraza dobivamo:

2sin

adx dθ

θ= . (5.6)

Uvrštavanjem relacija (4.4) i (4.6) u relaciju (4.3) dobivamo:

20 0

2

2

sinsin sin

4 4sin

adI I

dB da a

θ θμ μθ θ θπ π

θ

= = , (5.7)

izraz gdje je jedina varijabla θ. Sada možemo dobiti veličinu magnetskog polja u točki P

integriranjem svih elemenata relacije (4.7), gdje je udaljenost nasuprotnih kutova definirana slikom

9.b.

2

1

0 01 2sin (cos cos )

4 4

I IB d

a a

θ

θ

μ μθ θ θ θπ π

= = − (5.8)

Ovaj rezultat možemo iskoristiti za pronalaženje magnetskog polja strujnog vodiča ako mu

poznajemo oblik, stoga i kutove θ1 i θ2.

Razmislimo o specijalnom slučaju kada se radi o beskonačno dugačkoj ravnoj žici. Ako

zamislimo da je žica na slici 9.b beskonačno dugačka, možemo vidjeti da je 1 0θ = i 2θ π= za

elemente dužine u razmaku između položaja x = −∞ i x = +∞ . Zbog

1 2(cos cos ) (cos0 cos ) 2θ θ π− = − = relacija (4.8) postaje:

14

0

2

IB

a

μπ

= (5.9)

Relacije (5.8) i (5.9) pokazuju da je veličina magnetskog polja proporcionalna struji I, i da

opada s porastom udaljenosti od žice, kao što smo očekivali. Izraz (5.9) su postavili, već spomenuti

Biot i Savart, na temelju eksperimenta još prije postavljanja diferencijalnog oblika zakona (5.3).

6. Magnetski tok

Uzmimo u obzir tijelo površine dA proizvoljnog oblika, kako je prikazano na slici 10. Ako je

magnetsko polje tog elementa B, magnetski tok kroz taj element je B d A⋅

, gdje je dA vektor okomit

na površinu i ima veličinu jednaku površini dA. Stoga je, ukupni magnetski tok ФB kroz površinu:

B B d AΦ = ⋅

(6.1)

Slika 10. Magnetski tok kroz površinu elementa dA je cosB d A BdA θ⋅ =

, gdje je vektor d A

okomit na površinu [1].

Uzmimo u obzir specijalni slučaj ravnine površine A homogenog magnetskog polja B koji stvara kut

θ sa dA. U tom slučaju magnetski tok kroz ravninu iznosi:

cosB BA θΦ = (6.2)

Ako je magnetsko polje paralelno sa ravninom, kao u slici 11.a, tada je θ =900 i magnetski tok kroz

tu ravninu je nula. Ako je polje okomito na ravninu iz koje izlazi, kao na slici 11.b, tada je θ=00 i

magnetski tok kroz ravninu iznosi BA (maksimalna vrijednost).

15

Slika 11. Magnetski tok kroz ravninu ležeći u magnetskom polju. (a) Tok kroz ravninu je nula kada je magnetsko polje paralelno sa površinom ravnine. (b) Tok kroz ravninu je maksimalan kada je magnetsko polje okomito na ravninu [4].

Jedinica magnetskog toka je 2Tm koji je definiran kao weber (Wb); 1Wb=1Tm2.

7. Gaussov zakon u magnetizmu

Električni tok kroz zatvorenu površinu koji okružuje naboj proporcionalan je tom naboju.

(Gaussov zakon). Drugim riječima, broj silnica električnog polja koje napuštaju površinu ovisi samo

o naboju unutar površine. Ovo svojstvo je bazirano na činjenici da silnice električnog polja izlaze i

ulaze u električne naboje.

Za magnetsko polje situacija je nešto drugačija, ona su kontinuirana i tvore zatvorenu

krivulju. Drugim riječima, silnice magnetskog polja ne počinju i ne završavaju u bilo kojoj točki kao

što je pokazano na slici 12. i 13. Slika 12. pokazuje silnice magnetskog polja magneta. Imajmo na

umu da za bilo koju zatvorenu površinu, baš kao što je ona isprekidana na slici 12., broj silnica koje

ulaze u površinu jednak je broju onih koje izlaze iz površine. Tada je tok jednak nuli. U suprotnom,

za zatvorenu površinu koju okružuje jedan naboj električnog dipola (slika 13.) električni tok nije

nula.

Stoga Gaussov zakon u magnetizmu glasi ovako:

0B d A⋅ = . (7.1)

16

Slika 12. Silnice magnetskog polja magneta formiraju zatvorene krivulje. Imajmo na umu da je magnetski tok kroz zatvorenu površinu koja okružuje okolinu jednog od polova (ili bilo koju zatvorenu površinu) jednak nuli. (Isprekidana linija predstavlja presjek površine sa stranicom) [1]. Slika 13. Silnice električnog polja okružuju električni dipol koje počinju od pozitivnog naboja, i završavaju u negativnom naboju. Električni tok kroz zatvorenu površinu u kojoj se nalazi jedan naboj nije nula [1].

Ove tvrdnje se baziraju na eksperimentalnim činjenicama koje sam spomenuo na početku, da

izolirani magnetski (monopol) nikada nije otkriven i da možda ne postoji. Ipak ga znanstvenici

17

neprestano traže zbog određenih teorija koje su uspješne u objašnjenju fizikalnih pojava koje

sugeriraju mogućnost postojanja monopola.

8. Struja pomaka i opći oblik Amperovog zakona

Vidjeli smo da naboji u gibanju proizvode magnetsko polje. Kada je strujni vodič simetričan,

možemo iskoristiti Amperov zakon za izračunavanje magnetskog polja koje on stvara.

U relaciji (4.3) 0B d s Iμ⋅ = , linijski integral preko zatvorene krivulje ovisi o jakosti električne

struje kroz vodič, gdje je jakost električne struje definirana izrazom I=dq/dt.

Sada pokazujemo da je Amperov zakon u ovom obliku valjan samo ako je bilo koje prisutno

električno polje konstantno u vremenu. Maxwell je prepoznao ograničenje toga zakona te ga je

modificirao na način da je uključio promjenu električnog polja u vremenu. Možemo razumjeti

problem, na primjeru kondenzatora koji se nabija kao što je prikazano na slici 14. Kada je prisutna

jakost električne struje, naboj na pozitivnoj ploči se mijenja, ali struja ne postoji u prostoru između

ploča. Sada uzimamo u obzir dvije površine S1 i S2 prikazano u slici 14. omeđene istom krivuljom

P. Amperov zakon kaže da B d s⋅ duž ove krivulje mora biti jednak 0Iμ , gdje je I ukupna struja

kroz bilo koju površinu omeđenu tom krivuljom.

Slika 14. Dvije površine S1 i S2 u blizini ploča kondenzatora omeđene su istom krivuljom P. Električna struja u žici prolazi samo kroz S1. To vodi proturječnosti u Amperovu zakonu koja je riješena postulatom o struji pomaka kroz S2 . [1]

18

Kada krivulju P promatramo kao graničnu krivuljom plohe S1, 0B d s Iμ⋅ = zbog toga što

električna struja prolazi kroz S1. Kada krivulju P promatramo kao graničnu krivulju plohe S2, slijedi,

0B d s⋅ = zbog toga što električna struja ne prolazi kroz S2.Prema tome, imamo proturječnu

situaciju koja proizlazi iz nepovezanosti struja! Maxwell je riješio taj problem postavljajući novi

izraz u desnu stranu relacije (4.3), gdje je uključeni faktor nazvao struja pomaka Id, definiran kao6:

0

E

d

dI

dtε Φ=

, (8.1)

gdje je ε0 dielektričnost vakuuma koja iznosi :

212

0 28.8542 10

C

Nmε −= ⋅ , (8.2)

i E E d AΦ = ⋅

kao električni tok.

Kako se kondenzator počinje puniti ili prazniti, promjenjivo električno polje između ploča

možemo smatrati ekvivalentno struji koja djeluje kao neprestana jakost struje u žici. Kada je izraz za

struju pomaka dan relacijom (8.1) dodan jakosti struje na desnoj strani Amperovog zakona,

proturječnosti prikazane na slici 14. su riješene. Bez obzira koja je površina povezana sa odabranom

krivuljom P, i jakost struje i struja pomaka prolaze kroz tu površinu. Sa novim izrazom Id, možemo

izraziti opći oblik Amperovog zakona (ponekad zvanog Amper-Maxwellov zakon) koji slijedi7:

0 0 0 0( )E

d

dB d s I I I

dtμ μ μ ε Φ⋅ = + = +

(8.3)

Značenje ovoga izraza možemo razumjeti pomoću slike 15. Električni tok kroz površinu S2 je

E E d A EAΦ = ⋅ =

, gdje je A površina kondenzatorskih ploča, a E veličina homogenog električnog

polja između ploča. Ako je q naboj na pločama u bilo kojem trenutku, tada je 0

qE

Aε= . Stoga je

električni tok kroz S2 jednostavno:

0E

qEA

εΦ = = (8.4)

6 Pomak nije u kontekstu koji smo proučavali u mehanici, u smislu pravog pomaka. Unatoč netočnim implikacijama riječ je povijesno uključena u jezik fizike zato je nastavljamo koristiti. 7 Strogo govoreći, izraz je valjan samo u vakuumu. Ako su prisutni magnetski materijali, moramo promijeniti μ0 i ε0 na desnoj strani relacije (7.3) u magnetsku permeabilnost 0 (1 )mμ μ χ= + i dielektričnost ε.

19

Stoga, struja pomaka kroz S2 je:

0

E

d

d dqI

dt dtε Φ= =

(8.5)

Struja pomaka Id kroz S2 je upravo jednaka jakosti električne struje I kroz S1.

Slika 15. Zbog toga što postoji samo u žicama spojenim na ploče kondenzatora, električna struje dq

Idt

=

prolazi kroz S1, ali ne i kroz S2. Samo struja pomaka 0Ed

Idt

ε Φ=

prolazi kroz S2. Te dvije struje moraju biti

jednake zbog kontinuiteta [1].

Uzimajući u obzir površinu S2, možemo poistovjetiti struju pomaka kao izvor magnetskog

polja na površini ploča. Struja pomaka ima fizičko značenje u vremenskoj promjeni električnog

polja. Centralna točka tog formalizma je ta, da magnetsko polje proizvodi električnu struju i

vremenski promjenjivo električno polje.

Taj rezultat je prikaz Maxwellovog teorijskog rada, i pridonio je ogromnom napretku

razumijevanja elektromagnetizma.

20

9. Materijali i metode mjerenja magnetskog polja ravnog vodiča

Glavni zadatak ovog diplomskog rada bio je eksperimentalno odrediti magnetsko polje

ravnog vodiča te provjeriti jesu li rezultati u skladu s teorijskim predviđanjima. Slika 16. pokazuje

aparaturu spojenu za izvođenje mjerenja. Princip rada je taj da se na upravljivi izvor struje pomoću

dva spojna vodiča priključi transformator. Transformator nam služi za dobivanje sekundarne struje u

području od 20 do 120 A. Na sekundar transformatora smo spojili jednu strujnu petlju iz kompleta

vodiča struje. Komplet se sastoji od tri strujne petlje. Strujne petlje nam služe da bismo pomoću njih

mogli ispitati magnetsko polje ravnog vodiča, odnosno ispitati utjecaj paralelnih i antiparalelnih

struja na magnetsko polje. Kroz prvu strujnu petlju struja teče u jednom smjeru (sl.17.). Druga

strujna petlja predstavlja dva paralelna vodiča, u kojima struje teku u istim smjerovima (sl.18).

Treća strujna petlja predstavlja dva paralelna vodiča, u kojima struje teku u suprotnim smjerovima

(sl.19). Za mjerenje jakosti struje služe nam strujna kliješta, koja su vodičima spojena za univerzalni

mjerni instrument (ampermetar). Strujna kliješta imaju faktor redukcije 2000, što znači da iznos

struje očitane na ampermetru moramo pomnožiti s 2000 da bismo dobili pravi iznos struje. Za

detekciju magnetskog polja koristimo Hallovu sondu, koja je spojena s digitalnim teslametrom.

Hallovu sondu postavljamo okomito u odnosu na ravninu strujne petlje, odnosno postavljamo je

tako da ploha njenog vrha bude okomita na silnice magnetskog polja ravnog vodiča. Tada je gustoća

silnica na Hallovoj sondi najveća i mjerenje je najtočnije. Hallova sonda se pomjera po metarskoj

skali pazeći da ploha njenog vrha ostaje u ravnini strujne petlje. Pri pomicanju sonde, na teslametru

očitavamo vrijednost magnetskog polja vodiča za dani položaj sonde.

Slika 16. Izgled aparature za određivanje magnetskog polja vodiča[4].

21

Slika 17. Strujna petlja (tok struje u jednom smjeru) [5].

Slika 18. Strujna petlja (dva paralelna vodiča – tok struje u istim smjerovima) [5].

Slika 19. Strujna petlja (dva paralelna vodiča – tok struje u suprotnim smjerovima) [5].

22

Za određivanje jakosti magnetskog polja vodiča potreban je sljedeći pribor i oprema:

1. Komplet vodiča struje (strujne petlje), 3 komada

2. Zavojnica, 140 zavoja (primar), 6 zavoja (sekundar)

3. Stezaljka

4. Kratka obložena željezna jezgra

5. Obložena željezna jezgra U-oblika

6. Upravljivi izvor struje 15 V AC/ 12 V DC/ 5 A

7. Digitalni teslametar

8. Hallova sonda, uzdužna

9. Digitalni multimetar

10. Strujna kliješta faktora transformacije 2000:1

11. Metarska skala, l=1000 mm

12. Okrugli nosač

13. Pravokutna stezaljka

14. 2G – stezaljke

15. 2 Spojna voda

Zbog svojstava instrumenata te utjecaja spojnih vodiča, na mjereno magnetsko polje utječu

magnetska polja tih instrumenata i vodiča. Oni djeluju na način da povećavaju ili snižavaju iznos

mjerenog magnetskog polja. Stoga prilikom usporedbe rezultata eksperimentalnih mjerenja i

teorijskih izračuna može doći do odstupanja njihovih vrijednosti. Da bi mjerenja bila što točnija,

mora se što više smanjiti utjecaj djelovanja drugih (stranih) polja. Zbog toga se mjerenja vrše na

način da udaljenost strujne petlje od instrumenata i spojnih vodiča bude što veća, kako bi se smanjio

njihov utjecaj na magnetsko polje odabrane strujne petlje. Nadalje, utjecaj stranih magnetskih polja

možemo smanjiti na način da jakost struje koja teče kroz vodič bude što veća (I = 80 A) čime se

stvara jako magnetsko polje u blizini strujnog vodiča koje je puno veće od stranih polja. Također,

rezultati mjerenja će biti vjerodostojniji ukoliko je udaljenost od vodiča malena (nekoliko

centimetara) jer na toj udaljenosti strana polja imaju mali intenzitet spram polja strujne petlje.

Iznos magnetske indukcije na udaljenosti r od ravnog vodiča kojim teče struja jakosti I može se

odrediti i iz Biot – Savartovog zakona prikazanoga u 5. poglavlju:

23

2

IB

rμ

π= ⋅ , (9.1)

gdje je μ koeficijent proporcionalnosti, to jest permeabilnost koja ovisi o sredstvu u kojem djeluje

magnetsko polje. Što je veća permeabilnost nekog sredstva, to je jače magnetsko polje koje djeluje u

tom sredstvu. Ako magnetsko polje djeluje u vakuumu, odgovarajuća vrijednost permeabilnosti

označava se sa µ0 = 4π ·10-7 A

Tm.

Permeabilnost nekog sredstva tada se izražava u obliku 0 rμ μ μ= ⋅ , gdje je μ r relativna

permeabilnost sredstva (za vakuum je 1). Dakle, permeabilnost možemo tumačiti kao mjeru za

uspostavu magnetskog polja, a relativnu permeabilnost kao povećanje vanjskog magnetskog polja u

materijalu u odnosu na magnetsko polje u vakuumu. Pritom je smjer B

okomit na r

i j

(j gustoća

struje).

10. Rezultati i rasprava

Pri izradi ovoga rada mjereno je magnetsko polje:

1. ravnog vodiča u ovisnosti o jakosti struje;

2. ravnog vodiča u ovisnosti o udaljenosti od vodiča;

3. dva paralelna vodiča, u kojima struja teče u istim smjerovima, u ovisnosti o udaljenosti

između njih;

4. dva paralelna vodiča, u kojima struja teče u suprotnim smjerovima, u ovisnosti o

udaljenosti između njih.

Postupak spajanja pribora i opreme u svim slučajevima je isti. Geometrija eksperimentalnog postava

mora biti što točnija, odnosno ravnina vrha Hallove sonde koju pomjeramo po metarskoj skali mora

biti točno u ravnini strujne petlje.

10.1 Magnetsko polje ravnog vodiča u ovisnosti o jakosti struje

Prvi slučaj koji ćemo razmatrati je ovisnost magnetskog polja o jakosti struje. U tu svrhu

Hallova sonda postavljena je na konstantnu udaljenost od vodiča (r = 1 cm), a struja je rasla u

intervalu ( 0 80 AI = − ). Na teslametru je očitana vrijednost magnetskog polja za svaki iznos struje

kroz petlju. Rezultati mjerenja prikazani su na slici 20.

24

R2 = 0,9999

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,5 1 1,5 2

B (mT)

I (A)

Eksperimentalni rezultati

Teorijski rezultati po Biot -Savartovom zakonu (relacija9.1)Pravac dobiven metodomnajmanjih kvadrata

Slika 20. Odnos između jakosti struje i magnetskog polja dugačkog vodiča pri konstantnoj udaljenosti

od vodiča (r = 1 cm).

Iz slike 20. možemo vidjeti i zaključiti da je odnos između jakosti struje i magnetskog polja

vodiča linearan (koeficijent linearnosti R2 = 0,9999). To nam govori da će pri porastu struje,

magnetsko polje također porasti. Zeleni krugovi predstavljaju eksperimentalne podatke mjerenja

magnetskog polja, a crni pravac je dobiven metodom najmanjih kvadrata. Da bismo vidjeli koliko su

nam dobiveni podaci za jakost magnetskog polja pouzdani, iz relacije (9.1) također računamo

vrijednosti magnetskog polja za danu struju. Izračunate vrijednosti prikazane su pravcem plave boje.

Vidimo da postoji odstupanje eksperimentalnih rezultata od teorijskog pravca, tj. mjerene vrijednosti

magnetskog polja su nešto manje od izračunatih vrijednosti. Razlog tomu su djelovanja magnetskih

polja ostalih vodiča i instrumenata. Najvažniji doprinos dolazi od magnetskog polja same strujne

petlje i to od dijelova 2 i 4 (slika 21.) zbog njihove blizine. Njihovo magnetsko polje usmjereno je

suprotno od polja petlje označene 3 (slika 21.), u dijelu prostora u kojem je polje mjereno (L –

I=53 B + 0,35

25

lijevo od vodiča 3, slika 21.). Njihov doprinos iznosi 0,081mTB = za svaki vodič 2 i 4 (slika 21.)

za struju 80AI = . Ukoliko se taj iznos doda eksperimentalnim rezultatima (za struju 80AI = ) tada

se dobiva dobro slaganje eksperimentalnih rezultata s relacijom (9.1), Biot-Savartovim zakonom.

10.2 Magnetsko polje ravnog vodiča u ovisnosti o udaljenosti od vodiča

Drugi slučaj je ovisnost magnetskog polja ravnog vodiča o udaljenosti od vodiča. Za ravni

vodič koristimo strujnu petlju prikazanu na slici 21. Mjerenja su vršena tako da smo Hallovu sondu

pomjerali po metarskoj skali, udaljavajući je od strujne petlje po 5 mm najprije u lijevu stranu (L),

pa u desnu stranu (D) . Hallovu sondu smo postavili približno na sredinu strujne petlje, da bi se

smanjio utjecaj magnetskih polja ostalih dijelova strujne petlje. Struja koja je stvarala magnetsko

polje iznosila je 80I = Α , i bila je konstantnog iznosa.

Slika 21. Prikaz lijeve i desne strane vodiča ( 296mml = , 396mmd = ).

l

2 d

4

1 3

I

mjerno područje

B2

B3 ⊗ B4 B2

B3 B4 B1

26

R2 = 0,9988

R2 = 0,9988

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

1/r (mm)-1

B(mT)

LIJEVA STRANA

DESNA STRANA

Pravac dobivenmetodom najmanjihkvadrata

Slika 22. Magnetsko polje ravnog vodiča kao funkcija udaljenosti 1

r, ( 80 AI = ).

Iz slike 22. možemo vidjeti eksperimentalne rezultate ovisnosti magnetskog polja o

recipročnoj udaljenosti od vodiča. Rezultati su dobro opisani pravcima dobivenim metodom

najmanjih kvadrata (R2 = 0,9988) za oba pravca , čime je potvrđena proporcionalnost magnetskog

polja B s 1/r, što nam daje potvrdu Amperovog zakona. Pravci bi po definiciji Amperovog zakona

trebali biti identični jer se radi o simetričnom strujnom vodiču koji stvara magnetsko polje iste

jakosti slijeva i zdesna. Objašnjenje i zorni prikaz odstupanja mjerenog i izračunatog magnetskog

polja možemo vidjeti na slici 23.

B= -15 1/r – 0,06

B= 10 1/r + 0,1

27

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150

r(mm)

B (mT)

Lijeva strana

Desna strana

Teorijske krivulje po Biot -Savartovom zakonu

Slika 23. Magnetsko polje ravnog vodiča kao funkcija udaljenosti r, (I =80A).

Ovdje vidimo 4 krivulje, po dvije na svakoj strani koje prikazuju kako magnetsko polje ravnog

vodiča slabi ukoliko se povećava udaljenost od njega. Pošto se radi o simetričnom vodiču takvo

magnetsko polje bi trebalo biti simetrično sa bilo koje strane vodiča, kao što prikazuju teorijske

krivulje (zelene boje). Iz njih također vidimo i potvrdu Amperovog zakona, tj. opadanje magnetskog

polja B s povećanjem udaljenosti od vodiča r. Druge dvije krivulje plave i roze boje predstavljaju

mjereno magnetsko polje. U ovom slučaju one nisu identične krivulje, tj. nemaju iste vrijednosti kao

prethodne dvije krivulje. Vidimo da je magnetsko polje sa lijeve strane plave krivulje na udaljenosti

5 mmr = − , nešto veće za razliku od magnetskog polja sa desne strane roze krivulje na istoj

udaljenosti od vodiča ( 5 mmr = + ). Razlog tome je doprinos magnetskih polja petlje (2 i 4, sl. 21.).

Što se više udaljavamo u lijevu stranu od vodiča (plava krivulja) vidimo da magnetsko polje opada

do minimalne vrijednosti. Na desnoj strani vodiča (roza krivulja) magnetsko polje također opada, i

na udaljenosti od 100 mmr = polje počinje rasti. Uzrok tome je utjecaj susjednog vodiča s oznakom

1. (sl. 21.) kroz koje ga teče struja u suprotnome smjeru pa se doprinosi magnetskih polja zbrajaju.

B2

B3 B4

B2

B3 ⊗ B4

B1

28

10.3 Magnetsko polje dva paralelna vodiča, u kojima struje teče u istim smjerovima, u ovisnosti o udaljenosti između njih

U trećem slučaju korištena je strujna petlja prikazana na slici 18. koja predstavlja dva paralelna

vodiča u kojima teku struje u istom smjeru. Magnetsko polje mjereno je s obje strane oba paralelna

vodiča (sl. 24.). Jakost struje je bila konstantna, 80AI = , ali pošto se radi o dva paralelna vodiča,

struja se granala u dvije grane I1 i I2. Struja u prvoj grani 1 34AI = , a u drugoj grani 2 46AI = . Iz

ovoga vidimo da se može provjeriti prvi Kirchhoffov zakon [1] (I = I1 + I2).

Slika 24. Shematski prikaz strujne petlje za mjerenje magnetskog polja paralelnih struja (l1=65mm, l2=230mm, l=295mm, d=395mm).

1 Gustav Robert Kirchhoff (1824.-1887.), njemački fizičar. Otkrio zakone o naponu i struji. Prvi Kirchhoffov zakon: u svakom čvorištu električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvorište jednak je zbroju struja koje izlaze iz čvorišta.

prvi vodič drugi vodič

treći vodič

l2

l

I

I

l1

d 3

3

3

mjerno područje

B3

B1 B2

29

Slika 25. Magnetsko polje dva paralelna vodiča kao funkcija udaljenosti od jednog vodiča, ukoliko je smjer struja u vodičima paralelan.

Iz grafa na slici 25. možemo vidjeti različite vrijednosti magnetskog polja slijeva i

zdesna prvog vodiča u r = -5 mm i r = +5 mm. Razlog tome je superpozicija magnetskih polja prvog

vodiča (B1) i drugog vodiča (B2). U prostoru između oba vodiča polja B1 i B2 su suprotno

orijentirana i ukupno polje računa se kao razlika polja B1 i B2. Budući da je iznos struje u drugom

vodiču ( 2 46AI = ) nešto veći u odnosu na struju prvog vodiča ( 1 34AI = ), to će i magnetsko polje

drugog vodiča B2 imati veći iznos na polovištu njihove udaljenosti ( 32,5mmr = ) te će minimum

krivulje biti nešto bliži prvom vodiču (na udaljenosti 30 mmr = ), a ne na polovištu njihovog

razmaka što je vidljivo iz slike 25. Povećanje polja oko drugog vodiča ( 65mmr = ) u odnosu na prvi

vodič dolazi zbog veće struje u drugom vodiču, što je rezultat manjeg otpora drugog vodiča zbog

njegove kraće duljine. Iza drugog vodiča (r > 70 mm), učinak trećeg vodiča dolazi do izražaja.

Smjer struje I koja njime teče je takav da pojačava vrijednost magnetskog polja u tom dijelu

prostora (B = B1 + B2 + B3).

B1 ⊗

B1 B1

B2 ⊗

B2 ⊗ B2

B3

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-150 -125 -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 125 150

r (mm)

B (mT)

Lijeva strana - L1

Desna strana - D2

M - prostor između vodiča I1i I2

prvi vodič

drugi vodič

30

10.4 Magnetsko polje dva paralelna vodiča, u kojima struje teku u suprotnim smjerovima, u ovisnosti o udaljenosti između njih

Četvrti slučaj izmjeren je sa strujnom petljom (sl. 19.). I ona također predstavlja dva paralelna

strujna vodiča, ali u ovom slučaju smjer toka struje je suprotan (sl. 26.) Zbog toga se petlje B1 i B2

zbrajaju u prostoru (M) između vodiča, a oduzimaju u prostoru L1 i D2. Zbog toga u prostoru (M)

minimum krivulje nije na 0B ≈ , kao na slici 25. Isto tako, ukupno polje u prostoru L1 i D2 puno

brže pada na nulu je su polja B1 i B2 suprotno usmjerena.

Slika 26. Prikaz strana dva paralelna vodiča (suprotan smjer struja) ( 65mml = )

Princip izvođenja ovog dijela vježbe je isti kao i kod prethodnih slučajeva. Hallova sonda se

također pomjerala u ravnini strujne petlje u strane L1, M i D2, pri konstantnoj struji 80AI = .

l

B1 B2

31

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120r (mm)

-1

B (mT)

Lijeva strana - L1

(M) - prostor izmeđuvodiča

Desna strana - D2

Slika 27. Magnetsko polje dva paralelna vodiča kao funkcija udaljenosti od jednog vodiča, ukoliko je smjer toka struje suprotan u vodičima ( 80AI = ). Graf na slici 27, sličan je grafu na slici 25. Na stranama L1 i D2 magnetsko polje opada na nulu

udaljavanjem od vodiča jer su polja suprotno usmjerena ( 1 2B B B= − ). U prostoru (M) između dva

vodiča magnetsko polje također opada s udaljavanjem od vodiča, ali ne pada na nulu jer je tok struje

u lijevoj i desnoj strani petlje suprotan, pa se magnetska polja prvog i drugog vodiča zbrajaju

( 1 2B B B= + ).

B1 ⊗

B2

B1

B2

B1

B2 ⊗

prvi vodič

drugi vodič

32

Zaključak:

Cilj diplomske radnje je bio da se eksperimentalno odredi magnetskog polja ravnog vodiča te

provjeri jesu li rezultati u skladu s teorijskim predviđanjima. U tu svrhu korištena je aparatura za

određivanje i mjerenje magnetskog polja. Dobiveni eksperimentalni rezultati dobro se slažu s

teorijskom pretpostavkom Biot – Savartovog zakona za ravni vodič. Odstupanje od Biot –

Savartovog zakona rezultat su utjecaja stranih magnetskih polja strujne petlje i aparature (izvora

napajanja, transformatora, teslametra i vodiča.)

33

Literatura:

[1] Magnetic Fields. Physics for Scientist and Engineers R. A. Serway, J. W. Jewett, 6th Edition,

Thomson Learning, 2004.

[2] Fizika u staroj Grčkoj. Pregled povijesti fizike, Faj, Z. ; Osijek : Sveučilište J.J. Strossmayera

u Osijeku, Pedagoški fakultet, 1999., Str. 12.

[3] Razvoj znanosti o elektricitetu i magnetizmu i klasične elektrodinamike. Pregled povijesti

fizike, Faj, Z.; Osijek: Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku, Pedagoški fakultet, 1999., Str.

159.

[4] URL: http://www.phywe.com/461/pid/26442/Magnetic-field-outside-a-straight-

conductor.htm (11.02.2011.)

[5] URL: http://www.phywe.com/461/pid/2052/Current-conductors,set-of-4.htm (11.02.2011.)

34

ŽIVOTOPIS

Rođen sam u Našicama 23.9.1982. godine. Nakon završetka osnovne škole J.J. Strossmayera

u Đurđenovcu, 2001. god. upisujem S.Š "Izidor Kršnjavi" i završavam ju kao Tehničar za

elektroniku. Po završetku srednje škole upisujem se na preddiplomski studij Fizike i tehničke

kulture s informatikom na Odjelu za fiziku u Osijeku.