BAB IPendahuluan A. Latar belakangMungkin Anda tidak asing
dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bundar ini
sering dipakai dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf,
kasti, dan lain sebagaimnya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda
tergantung jenis permainannya.Sesuai dengan namanya, bola berbentuk
bangun ruang bola.Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang
dibatasi oleh satu bidanglengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun
setengah lingkaran yang diputar sejauh 360 pada garis tengahnya.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan setengah lingkaran dengan diameter AB
dan diputar satu putaran penuh dengan diameter sebagai sumbu putar
maka akan tampak gambar seperti di bawahnya. Nah gambar setelah
diputar merupakan bangun ruang bola. Sama seperti bangun ruang
tabung dan kerucut, bola juga memiliki unsur-unsur. Untuk
mengatahui unsur-unsur bangun ruang bola perhatikan gambar di bawah
ini.
Adapun unsur-unsur bangun ruang bola sebagai berikut.a.
Jari-Jari BolaSekarang perhatikan titik A dan O. Ruas garis AO
dinamakan jari-jari bangun ruang bola. Jari-jari bangun ruang bola
merupakan jarak titik pusat bola ke titik pada kulit bola. Dalam
hal ini titik pusat bola adalah titik O.b. Diameter BolaSekarang
perhatikan ruas garis AB. Ruas garis AB dinamakan diameter bangun
ruang bola. Diameter bola merupakan ruas garis yang menghubungkan
dua titik pada sisi bola yang melalui titik pusat bola. Panjang
diameter bola merupakan dua kali jari-jari bola. Diameter bola
dapat pula disebut tinggi bola.c. Sisi BolaSisi bola adalah
kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi
tersebut dinamakan selimut atau kulit bola. Ruas-ruas garis pada
selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola. B. Rumusan
masalah1. Bagaimana bentuk persamaan bola secara umum?2. Bagaimana
bentuk Persamaan garis singgung bola?3. Bagaimana cara mencari luas
permukaan bola?4. C. Tujuan 1. Menjelaskan bentuk persamaan bola
secara umum2. Menjelaskan tentang persamaan garis singgung bola3.
Menjelaskan cara mencari luar permukaan bola4. BAB IIBOLA
PERSAMAAN BOLABola dengan pusat titik O (titik asal) dan
berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil
sebarang titik P (x,y,z ) pada bola sehingga
Z
P (x,y)
r
OY
X
Pada gambar diatas jari-jarinya r = Karena P ( x, y, z )
sebarang titik pada bola, maka setiap titik ( x, y, z) pada bola
berlaku . Ini berarti persamaan bola dengan titik pusat O dan
berjari-jari r adalah :.
Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan
titik pusat M ( a, b, c).Ambil sebarang titik P (x,y,z ) pada bola,
maka vektor
Z
XOYMP (x,y)
Karena P ( x, y, z ) sebarang titik pada bola yang memenuhi
persamaan tersebut, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi
persamaan tersebut. Hal ini berarti persamaan bola dengan jari-jari
r dan titik pusat (a,b,c) adalah :.Rumus persamaan bola yaitu dapat
ditulis sebagai berikut : Jika -2a = A, -2b = B, -2c = C dan , maka
persamaan bola tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Disini
terlihat bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam
x, y,dan z dengan ciri- ciria. Tidak memuat suku-suku xy, xz, atau
yzb. Koefisien-koefisien selalu sama.Selanjutnya akan ditentukan
titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan Persamaan ini
bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai
berikut : Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik
pusat dan jari-jari bola, yaitu : dan
Kedudukan Bola dan Bidang RataMisalkan satu bola S = 0
berjari-jari R, dan pusat M, suatu bisang rata H = 0, dengan d =
jarak M ke H = 0. Kedudukan bola dan bidang rata :a. Jika d < R,
maka H memotong bola. Perpotongan berupa lingkaran
Andaikan P adalah salah satu titik pada perpotongan antara
bidang H dan bidang bola ( M,R ) , maka PM = R. Jika N adalah titik
pada H demikian sehinggan MN tegak lurus H maka MN = d, yaitu jarak
M terhadap H. Karena MN NP.Dengan demikian NP = Titik-titik pada
perpotongan antara bidang H dan bidang bola (M,R) memiliki sifat
yang sama dengan P, yaitu terletak pada bidang H dan berjarak
terhadap N. Oleh karena itu perpotongan H dan bidang bola tersebut
merupakan lingkaran dengan pusat N dan berjari-jari =b. jika d =
RBila d = R maka NP = = 0. Berarti N dan P berimpit dan lingkaran
potong berupa titik N dengan demikian bidang H dan bidang bola
hanya bersekutu di satu titik N.Dalam hal ini dikatakan bidang H
menyinggung bidang bola ( M, R) di titik N.c. Jika d > RMN = d
> R. Ambil sembarang titik Q dan H , maka MQ > d > R.
Berarti tidak ada satu titik pun pada H yang berjarak R terhadap M.
Dengan perkataan lain bidang H dan bidang bola ( M, R ) tidak
berpotongan.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA BOLA
Persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola ditentukan
sebagai berikut. Misalkan suatu bola S : x2 + y2 + z2 + Ax + By +
Cz + D = 0 dan N (x1, y1, z1) suatu titik pada bola.
Pusat bola dan titik singgung N : (x1, y1, z1)
NMH
Jelas terlihat MN merupakan vektor normal bidang singgung R.
MN = Jadi persamaan
H :
Substitusi * * ke *
Merupakan bidang singgung yang diminta.Rumus diatas dikenal
dengan Membagi adil yaitu penggantian x2 menjadi
menjadi menjadi dan menjadi menjadi
menjadi .Contoh 4.4.1Tentukan persamaan bidang singgung di suatu
titik pada bola
di titik PPenyelesaian :
Titik P pada bola : .
atau , jadi dan .
Bidang singgung di P1 adalah :
atau
atau Sedangkan bidang singgung di P2 adalah :
atau
LUAS PERMUKAANBOLADalam kehidupan sehari hari sering ditemui
benda benda yang menyerupai bangun ruang sisi lengkung yang satu
ini,bola. Sebagai contoh bola ditemukan pada cabang olahraga,
seperti; sepak bola, volly, basket, bowlling. Tidak hanya itu, bola
juga sering ditemui dalam permainan anak sehari hari yaitu
permainan mandi bola, permainan kelereng. Sehingga bola sangat
dekat dengan kehidupan sehari hari.Dalam Geometri, Bola adalah
bangun ruangtiga dimensiyang dibentuk oleh tak hingga
lingkaranberjari-jarisama panjang dan berpusat pada satu titik yang
sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.
Ciri-ciri bola:1. Pusat bola adalah O2. r adalah jari jari
bola3. Irisan bola dengan bidang mendatar selalu berbentuk
lingkaran.4. Memiliki sebuah bidang sisi5. Tidak memiliki rusuk dan
titik sudut
Cara menemukan luas permukaann BOLALangkah 1. Bagi permukaan
bola menjadi 1000 hampir poligon yang masing-masing luasnya L1, L2,
, L1000. Sehingga, luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan
dari luas 1000 hampir poligon.L = L1 + L2 + + L1000Langkah 2.
Volume limas dengan alas L1 adalah 1/3(L1)r, sehingga total dari
volume bola, V, merupakan penjumlahan dari volume 1000 limas.V =
1/3(L1)r + 1/3(L2)r + + 1/3(L1000)rLangkah 3. Padahal seperti kita
ketahui bahwa volume bola adalah V = 4/3(r3). Substitusikan rumus
ini ke persamaan pada langkah 2, sehingga diperoleh persamaan
sebagai berikut.4/3(r3) = 1/3(L1)r + 1/3(L2)r + + 1/3(L1000)rDengan
mengalikan 3/r pada masing-masing ruas akan diperoleh persamaan
berikut ini.4r2 = L1 + L2 + + L1000Karena luas permukaan bola, L,
merupakan penjumlahan dari luas 1000 hampir limas, maka L = L1 + L2
+ + L1000. Sehingga,L = 4r2Penemuan Secara Geometri Analitik dan
Kalkulus 1. Membuat sumbu koordinat
y
X
2. Membuat setengah lingkaran di atas sumbu x, berpusat di (0,0)
dan berjari-jari r.
3. Menyatakan busur setengah lingkaran sebagai fungsi dari x
iaitu 4. Memotong sumbu x, dari r sampai r menjadi n bagian, hingga
memotong busur setengah lingkaran.
5. Menghitung panjang tali busur lingkaran, yaitu
6. Menghitung luas selimut kerucut terpancung hasil pemutaran
tali busur mengelilingi sumbu x, yaitu =
7. Menghitung jumlah luas selimut n buah kerucut terpancung,
yaitu
8. Menghitung limit jumlah luas selimut kerucut terpancung bila
atau , yaitu
9. Mensubstitusikan ke dalam langkah 8,Diperoleh :
BAB IIIKesimpulan Bola merupakan bangun tuang sisi lengkung yang
dibentuk dari satu buah bangun setengah lingkaran yang diputar
sejauh .
Daftar Pustaka Iswadji, Djoko. 2001. Geometri Ruang . Medan :
Universitas Negeri Medan
Tim dosen matematika. 2014. Geometri analitik. Medan :
Universitas Negeri Medan
