1
MAKALAH
BASIS RUANG SOLUSI
Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier
Dosen pengampu : Darmadi,S.Si,M.pd
Di susun Oleh :
Kelompok 6/ VF
1. Fitria Wahyuningsih ( 08411.135 )
2. Pradipta Annurwanda ( 08411.221 )
3. Puput Tri Sarani ( 08411.227 )
4. Susilo ( 08411.266 )
5. Yudhi Agung Pranoto ( 08411.294 )
6. Ririn setianingsih ( 07411.175 )
7. Sundari ( 07411.210 )
8. Suwandi ( 07411.214 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2010
2
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan rasa syukur kepada Allah Yang Maha Esa serta limpahan rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul Basis Ruang Solusi.
Penulis menyadari bahwa tanpa adanya bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, belum
tentu kami dapat menyelesaikan makalah ini dan kami mengucapkan banyak terima kasih serta
penghargaan yang sebesar-besarnya atas segala bantuan yang diberikan kepada penulis.
Dan tak lupa penulis selalu mengharapkan kritikan yang bersifat membangun demi
kesempurnaan penulisan di kemudian hari dan mudah-mudahan makalah ini dapat membantu
meningkatkan mutu pendidikan
Madiun, 06 Januari 2011
Penulis
3
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .........................................................................................................1
KATA PENGANTAR .......................................................................................................2
DAFTAR ISI ......................................................................................................................3
BAB I. PENDAHULUAN..................................................................................................4
A. Latar Belakang..................................................................................................4
B. Tujuan Penulisan.................................................................. .............................4
C. Rumusan Masalah.............................................................................................5
D. Tujuan Penulisan...............................................................................................5
BAB II. PEMBAHASAN.........................................................................................6
A. Pengertian basis Ruang Solusi..........................................................................6
B. Macam macam teorema....................................................................................6
BAB III. PENUTUP..................................................................................................11
A. Simpulan ............................................................................... ..........................11
B. Saran .................................................................................. .............................11
DAFTAR PUSTAKA........................................................................................................12
4
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Jika kita perhatikan suatu matriks A dan transposnya secara bersamaan, maka
terdapat enam vektor yang penting, yaitu:
Ruang baris dari A ruang baris dari
Runang kolom dari A ruang kolom dari
Ruang nul dari A ruang nul dari
Namun demikian dengan mentranspos suatu matriks, akan mengubah vektor-vektor
barisnya menjadi vektor-vektor kolom dan mengubah vektor-vektor kolomnya menjadi
vektor-vektor baris dari A. Dengan ini, kita tinggal memiliki 4 ruang vektor yang penting,
yaitu;
Ruang baris A ruang kolom dari A
Ruang nul dari A ruang nul dari
Keempat ruang vektor ini dikenal sebagai ruang matriks dasar (fundamental matrix
space) yang terkait dengan A. Jika A adalah suatu metriks m x n, maka ruang baris dari A
adalah sub ruang dari dan ruang kolom dari A dan ruang nul dari adalah sub ruang
dari .
B. Tujuan Penulisan
Tujuan utama kita pada sub bab ini adalah untuk mengembangkan hubungan antara
dimernsi-dimensi dari keempat ruang vektor ini.
5
C. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan ruang baris dan ruang kolom yang memiliki dimensi yang
sama dan bagaimana menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan hal tersebut?
2. Apa yang dimaksud dengan dimensi untuk matriks?
3. Bagaimana mengetahui nilai maksimum untuk rank?
4. Apa yang dimaksud dengan teorema konsisten dan bagaimana pembuktiannya?
D. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengerti, memahami dan dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan
dengan ruang baris dan kolom yang memiliki dimensi yang sama.
2. Untuk mengerti dan memahami apa yang dimaksud dengan dimensi untuk matriks.
3. Untuk mengetahui nilai maksimum untuk rank A memiliki
4. Untuk mengerti dan memahami teorema konsisten dan pembuktiannya.
6
BAB II
PEMBAHASAN
BASIS RUANG SOLUSI
Jika kita perhatikan suatu matriks A dan transposnya AT secara bersamaan, maka terdapat enam ruang
vector yang penting, yaitu :
Ruang baris dari A Ruang baris dari AT
Ruang kolom dari A Ruang kolom dari AT
Ruang nul dari A Ruang nul dari AT
Namun demikian dengan mentranspos suatu matriks, akan mengubah vector-vektor barisnya menjadi
vector-vektor kolom dan mengubah vector-vektor kolomnya menjadi vector-vektor baris. Sehingga
kecuali perbedaan notasi, ruang baris dari AT adalah sama dengan ruang kolom dari A, dan ruang
kolom dari AT adalah sama dengan ruang baris dari A. Dengan ini, kita tinggal memiliki empat ruang
vector yang penting yaitu:
Ruang baris dari A Ruang kolom dari A
Ruang nul dari A Ruang nul dari AT
Keempat ruang vector ini dikenal sebagai ruang matriks dasar yang terkait dengan A. Jika A adalah
suatu matriks m x n, maka ruang baris dari A dan ruang nul dari A adalah sub ruang dari Rn dan ruang
kolom dari A dan ruang nul dari AT adalah sub ruang dari Rm. Tujuan utama kita pada sub bab ini
adalah untuk mengembangkan hubungan antara dimensi-dimensi dari keempat ruang vector ini
7
Teorema 4.24.
Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi
yang sama.
Definisi 4.11.
Dimensi umum dari ruang baris baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A dan
dinyatakan sebagai rank(A). Dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nullity) dari A dan
dinyatakan sebagai nulitas(A).
Teorema 4.25.
Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka rank(A) = rank(AT)
Teorema 4.26.
Dimensi untuk matriks
Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank(A) + nulitas(A) = n
Teorema 4.27.
Jika A adalah suatu matriks n x n, maka:
a) rank (A) = banyaknya variabel pada solusi dari Ax = 0
b) nulitas (A) = banyaknya parameter pada solusi umum dari Ax = 0
8
Banyaknya Rank dan Nulitas
Matriks A
Memiliki 6 kolom, sehingga:
Rank (A) + nulitas (A) = 6
Sehingga kita dapat menyimpulkan dimensi-dimensi dari keempat ruang dasar dari suatu matriks A, m
x n dengan rank r, seperti pada table berikut ini:
Ruang Dasar Dimensi
Ruang baris dari A R
Ruang kolom dari A R
Ruang nul dari A n r
Ruang nul dari AT m r
Nilai Maksimum Untuk Rank
Jika A adalah suatu matriks m x n, maka vector-vektor barisnya terletak pada Rn dan vector-vektor
kolomnya terletak pada Rm. Ini mengimplikasikan bahwa ruang baris dari A paling banyak berdimensi
n , dan ruang kolom dari A paling banyak berdimensi m. Karena ruang baris dan ruang kolom
memiliki dimensi yang sama, kita harus menyimpulkan bahwa jika m n, maka rank dari A yang
paling banyak adalah nilai yang lebih kecil antara nilai m dan n. Kita menotasikan dengan menulis :
Rank (A) min (m , n)
-1 2 0 4 5 -3
3 -7 2 0 1 4
2 -5 2 4 6 1
4 -9 2 -4 -4 7
9
Dimana min(m,n) menotasikan nilai yang lebih kecil antara nilai m dan nilai n jika m n, atau nilai
yang sama jika m = n.
Teorema 4.28. (Teorema Konsistens)
Jika Ax = b adalah suatu system linier yang terdiri dari m persamaan dengan n factor yang tidak
diketahui, maka pernyataan berikut adalah equivalen.
a) Ax = b adalah konsisten
b) B berada pada ruang kolom dari A
c) Matriks koefisien A, dan matriks yang diperbesar [A|b] memiliki rank yang sama.
Teorema 4.29.
Jika Ax = b adalah suatu system linier yang terdiri dari m persamaan dengan factor yang tidak
diketahui, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah equivalent.
a) Ax = b adalah konsisten untuk setiap matriks b, m x 1
b) Vektor-vektor kolom dari A merentang Rm
c) Rank (A) = m
Teorema 4.30.
Jika Ax = b adalah suatu system linier konsisten yang terdiri dari m persamaan dengan n factor yang
tidak diketahui, dan A memiliki rank r, maka solusi umum dari system tersebut dari n r parameter.
Teorema 4.31
Jika A adalah suatu matriks m x n , maka pernyataa-pernyataan berikut adalah equivalent.
a) Ax = 0 hanya memiliki satu solusi trivial
b) Vektor-vektor kolom A adalah bebas linier
