solusi persamaan maxwell di ruang kottler.pdf

SOLUSI PERSAMAANMAXWELLDI RUANG KOTTLER

TESISKarya tulis sebagai salah satu syaratuntuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

OlehIMANSYAH PUTRA

NIM : 20211005(Program Studi FISIKA)

KK Fisika Teoretik Energi Tinggi dan InstrumentasiFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung2013

ABSTRAK

SOLUSI PERSAMAANMAXWELL DI RUANG KOTTLEROleh

IMANSYAH PUTRANIM : 20211005

(Program Studi FISIKA)

Dalam tesis ini ditinjau solusi persamaan Maxwell statik untuk ruang Schwar-zschild-(anti)de Sitter yang dikenal sebagai ruang Kottler serta memenuhi kondisiEinstein. Metode yang digunakan adalah memecahkan persamaan Maxwell dalambentuk potensial. Pada tesis ini kami gunakan kondisi gauge Lorentz diperumum.Kopling yang tersisa selanjutnya di hilangkan dengan meninjau ansatsz yang sesuaipada potensial. Kemudian diperoleh seperangkat persamaan diferensial parsial ordedua yang pemecahannya menggunakan teknik pemisahan variabel. Solusi Maxwe-ll yang diperoleh diterapkan untuk menganalisis perilaku medan elektromagnetikpada lubang Hitam dengan karakteristik tertentu.

Kata kunci : Schwarzschild-(anti)de Sitter, ruang Kottler, Gauge Lorentz.

i

ABSTRACT

SOLUTION OF MAXWELLS EQUATIONS IN KOTTLERSPACE

ByIMANSYAH PUTRA

20211005(PHYSICS)

In this thesis, we solve a static Maxwells equations for Schwarschild-(anti) deSitter spacetime, known as the Kottler spacetime which satisfy Einsteins condition.We are used the potential form to solve the Maxwells equations and consideringthe generalized Lorentz gauge condition. The remaining coupling is simplified byusing an ansatsz for potential. The resulting equations are a set of second orderpartial differential equations and we consider a separable solutions. The solutionsis representing an electromagnetic fields on the black holes with certain characte-ristics.

Keywords : Schwarzschild-(anti) de Sitter, Kottler SpaceTime, Lorentz Gauge.

ii

SOLUSI PERSAMAANMAXWELL DI RUANG KOTLER

OlehIMANSYAH PUTRA

NIM : 20211005(Program Studi FISIKA)

Institut Teknologi Bandung

Menyetujui,Bandung, 30 Juli 2013

Dosen Pembimbing

Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara, MSiNIP. 197401281998021001

iii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan In-stitut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hakcipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di InstitutTeknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengu-tipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertaidengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizinDirektur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

iv

Dipersembahkan kepada Orang Tuaku dan Istriku Kasmareni serta anakku Naznen Mahyaterima kasih atas segala dukungannya.

Karya ini juga didedikasikan untuk semua guru-guruku

v

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis sangat berterima kasih pada Asscociate Prof. DR. rer. nat. BobbyEka Gunara sebagai Pembimbing di Institut Teknologi Bandung, atas segala saran,bimbingan, dan nasehatnya selama penelitian berlangsung dan selama penulisantesis ini. Terima kasih juga disampaikan kepada Dr. Jusak Sali Kosasih dan Dr.Sparisoma Viridi sebagai Penguji atas segala saran dan nasehatnya selama SidangTesis.

Terima kasih disampaikan kepada Dr. Khairul Basyar sebagai Ketua ProgramStudi Fisika atas segala saran, bimbingan, dan nasehatnya selama penulis menja-lankan kuliah dan tesis pada program studi Fisika. Terima kasih juga disampaikankepada seluruh dosen Fisika dan Astronomi di Institut Teknologi Bandung atas se-gala perhatiannya selama penulis menjalankan kuliah pada program studi Fisika danmengambil beberapa mata kuliah di sains astronomi. Terimakasih kepada BapakDaryat dari TU yang telah berkenan menyelesaikan banyak persoalan administrasiyang penulis hadapi.

Terima kasih disampaikan kepada kedua orangtua serta istri dan anakku atasdukungan dan semangatnya yang telah diberikan selama ini serta adik penulis yangselalu mendukung penulis. Terima kasih juga disampaikan kepada teman-temandi Fisika atas segala dukungannya khususnya Kang Vicky, Suhadi serta Pak Arsulserta teman-teman yang lain yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu.

Bandung, Juli 2013

Penulis

vi

Daftar Isi

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

UCAPAN TERIMA KASIH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Bab I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1 Latar Belakang Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Ruang Lingkup Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.4 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Bab II Ruang Kottler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.1 Solusi Kottler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.2 Geometri Ruang Kottler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Bab III Persamaan Maxwell di Ruang Lengkung . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Persamaan Maxwell 3-Dimensi Ruang Datar . . . . . . . . . . . . . 16III.2 Persamaan Maxwell di ruang Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.2.1 Tensor Kuat Medan Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . 20III.2.2 Persamaan Maxwell dalam Tensor Kuat Medan . . . . . . . 23III.2.3 Identitas Bianchi pada Persamaan Maxwell . . . . . . . . . 25

III.3 Persamaan Maxwell di ruang Lengkung . . . . . . . . . . . . . . . 26III.4 Persamaan Maxwell dalam bentuk Form . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bab IV Solusi Persamaan Maxwell di Ruang Kottler . . . . . . . . . . . . . 31IV.1 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31IV.2 Perhitungan dengan Gauge Lorentz diperumum . . . . . . . . . . . 35

Bab V Kesimpulan dan Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bab A Formulasi Ringkas Matematika Teori Relativitas . . . . . . . . . . . 70A.1 Perjanjian tanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.2 Turunan Kovarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

vii

A.3 Kelengkungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.4 Sifat-sifat Tensor Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.5 Tensor Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.6 Kelengkungan Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.7 Komutasi Turunan Kovarian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.8 Identitas Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.9 Tensor Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.10 Persamaan Medan Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bab B Perhitungan dengan Temporal Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . 76B.1 Formalisme Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

viii

Daftar Gambar

IV.1 Plot P 0(') . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49IV.2 Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . . 54IV.3 Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0:5. . . . . . . . . . . . 55IV.4 Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . . 55IV.5 Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0:5. . . . . . . . . . . . 55IV.6 Plot T 0() terhadap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57IV.7 Plot R3(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . . 64IV.8 Plot R3(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0. . . . . . . . . . . . . . 64

ix

Bab I Pendahuluan

I.1 Latar Belakang Permasalahan

Dalam banyak segi tinjauan, persamaan Maxwell adalah merupakan persamaanfundamental fisika pertama yang penting. Ketika pertama kali persamaan ini di-perkenalkan oleh J.C. Maxwell di tahun 1865 para fisikawan semakin menyadaripentingnya kaedah unifikasi dalam fisika. Hingga dewasa ini para fisikawan terusberusaha mencari teori fundamental fisika yang akan menyatukan semua jenis ga-ya fundamental. Semangat inilah yang pertama kali diwujudkan secara nyata olehMaxwell ketika ia berhasil menyatukan konsep kelistrikan, kemagnetan dan optikadalam satu basis tinjauan, yaitu teori medan elektromagnetik.

Untuk selanjutnya, banyak sekali momentum perkembangan fisika teoritis dipe-ngaruhi oleh kajian terhadap sifat-sifat medan elektromagnetik khususnya kelakuancahaya. Dalam konteks ruang dan waktu, tinjauan kelakuan cahaya menghasilkanteori relativitas, sedangkan asfek dualismenya menghasilkan teori kuantum. Se-lanjutnya seluruh teori fisika modern terus mengambil insfirasi dari dua gagasanfundamental fisika teoritik ini.

Kajian terhadap medan elektromagnetik dalam konteks Relativitas Umum yangmenghadirkan gravitasi serta kelengkungan ruang, telah menarik perhatian sejaklama. Baik ditinjau dari segi kajian teoritis hingga Observasional. Secara Obse-rvasional khususnya, ketertarikan dibangkitkan oleh kajian terhadap objek-objekkompak seperti bintang Neutron dan Lubang Hitam.

Solusi bagi sebuah lubang hitam yang bermuatan telah ditemukan di tahun 70-anoleh Ressner dan Nordstrom [8]. Mereka meninjau solusi statik persamaan medanEinstein bagi lubang hitam bersimetri bola yang bermuatan namun tidak berotasi[7]. Hingga dewasa ini sejumlah paper ilmiah masih mengkaji solusi bagi persama-an Maxwell dalam berbagai konteks solusi dan pendekatan.

Carloos H. Bessa dan V.B. Bezerra [5] meninjau solusi khusus persamaan Ma-xwell di lubang hitam Schwarszchild- de Sitter dari potensial statik akibat sebuahtitik muatan serta potensial magnetik akibat arus radial di mana kelengkungan ruangsebagai suatu latar dinamika (background). Namun dalam paper tersebut tidak di-tunjukkan perhitungan dikerjakan dalam suatu Gauge, mengingat medan Maxwelladalah suatu medan Gauge. Hasil sangat penting dari kajian mereka adalah medanmagnet mengalami penguatan akibat kelengkungan ruang yang dibangkitkan med-an gravitasi dan konstanta kosmologi.

1

Bytsenko dan Goncharov [1] menunjukkan eksistensi monopol magnet tipe Di-rac pada solusi Maxwell di ruang Kottler dengan ansatz potensial A = Adx =n

ecos d'. Dari asfek keumuman solusi, pendekatan ini kurang umum dan me-

rupakan solusi sangat khusus yang hanya melibatkan komponen medan magnet.Meskipun demikian hasil ini telah cukup menjadi alasan bahwa ia potensial memo-difikasi proses radiasi Hawking pada lubang hitam

Montaquila dan kawan-kawan [6] berhasil memecahkan solusi lengkap persa-maan Maxwell dengan latar belakang ruang de Sitter. Solusi ini relatif kurang me-narik secara fisis karena objek kajian yang menjadi perhatian hangat dewasa iniadalah lubang hitam, sedangkan lubang hitam yang fisis bersifat Schwarschild sela-in mempertimbangkan peranan konstanta kosmologis.

Kajian yang semakin luas terhadap objek-objek kompak astrofisika menunjukk-an bahwa eksplorasi medan elektromagnetik klasik masih sangat penting dilakukandalam menjelaskan berbagai fenomena yang teramati.

I.2 Ruang Lingkup Permasalahan

Kajian yang hendak dilakukan dibatasi pada kasus ketika medan elektromagne-tik bersifat statik serta tanpa sumber. Selanjutnya juga diasumsikan medan gravita-si dengan medan elektromagnetik tidak terkopel kuat, sehingga persamaan medanEinstein dan persamaan Maxwell tidak perlu dikopling. Hal ini mungkin dilakukanjika ditinjau kelengkungan ruang sebagai suatu latar (Background).

Dari berbagai macam tipe lubang hitam teoretis yang dapat ditinjau, maka ber-dasarkan pertimbangan fisis penerapan kajian dibatasi pada lubang hitam dengantipe pada mana ia mengandung 2 Horizon sejati dan satu singularitas r = 0 yai-tu tipe yang memenuhi syarat batas 3MG

p < 1. Batasan ini penting dilakukan

karena disetiap titik horizon sejati, semua solusi dinamik tidak terdefinisi. Meski-pun demikian asfek termodinamis serta karakter kuantum yang mungkin hadir tidakditinjau di sini.

I.3 Tujuan Penulisan

Pada tesis ini, hendak ditemukan sebuah solusi cukup umum yang mengandungpotensial listrik maupun magnet sekaligus namun bekerja dalam Gauge Lorentzuntuk sebuah ruang lengkung Schwarzschild dengan konstanta kosmologis.

Dari solusi ini diharapkan diperoleh suatu gambaran pengaruh dari kelengkung-an ruang dan konstanta kosmologis terhadap perilaku medan elektromagnetik, khu-

2

susnya di sekitar sebuah lubang hitam . Selain itu teknik perhitungan yang dikerjak-an diharapkan memberi penegasan terhadap hasil-hasil penting yang diperoleh darisejumlah perhitungan dengan pendekatan lain yang dilakukan dalam paper-paperyang telah disebutkan.

I.4 Sistematika Penulisan

Penulisan tesis ini terbagi atas lima bab. Bab pertama adalah pendahuluan yangmemuat latar belakang permasalahan, ruang lingkup, tujuan penulisan serta siste-matika penulisan. Selanjutnya, pada bab kedua dijelaskan mengenai ruang leng-kung metrik solusi Kottler yang berhubungan dengan bab ketiga yaitu penjelasanmengenai bentuk persamaan Maxwell dalam teori relativitas serta perwujudannyadalam ruang lengkung khususnya kasus ruang Kottler. Dalam bab ini juga didis-kusikan lebih jauh bentuk-bentuk ungkapan matematis persamaan Maxwell, modelkoplingnya dengan medan gravitasi, serta ragam teknik pemecahan yang bisa dila-kukan.

Hasil utama tesis ini terdapat pada bab keempat, hasil teoritis. Diawali denganmenunjukkan bahwa pada kasus medan statik, solusi dalam bentuk potensial secaraotomatis memenuhi identitas Bianchi yang juga merupakan komponen persamaanMaxwell. Sehingga solusi dalam bentuk potensial dapat diperoleh dengan cukupmeninjau komponen tak homogen persamaanMaxwell. Dengan menerapkan GaugeLorentz diperoleh persamaan yang koplingnya tereduksi yang relatif lebih mudahuntuk dicari bentuk solusi umumnya. Bab ini juga membahas peranan KonstantaKosmologis serta eksistensi solusi untuk berbagai wilayah di sekitar lubang hitam.Lebih jauh juga hendak didiskusikan asfek-asfek fisis yang menarik dari solusi. Babterakhir adalah bab kelima yang memuat simpulan dari tesis ini dan beberapa topikmengenai penelitian lanjutan.

3

Bab II Ruang Kottler

Dalam bab ini dikaji berbagai asfek ruang Kottler sebagai sebuah solusi per-samaan medan Einstein dengan memperhitungkan konstanta kosmologi. GeometriKottler pada lubang hitam menunjukkan adanya berbagai horizon peristiwa, di ma-na horizon menentukan apakah solusi dinamika eksis atau tidak di suatu titik ruangdi sekitar lubang hitam [12].

Untuk menentukan eksistensi solusi persamaan Maxwell terlebih dahulu pen-ting untuk mengidentifikasi wilayah-wilayah horizon pada mana solusi medan yangditinjau eksis. Lebih lanjut solusi Maxwell eksis dalam rentang limit horizon terse-but.

II.1 Solusi Kottler

Solusi Kottler adalah solusi Schwarzschild dengan konstanta kosmologi [8].Berikut ini dipaparkan penjabaran lengkap solusi Kottler. Mengingat solusi ini ber-sifat simetri bola (Spherical Symmetry) serta stasioner, maka secara umum solusidapat dipandang memenuhi bentuk metrik berikut,

ds2 = gtt(r)dt2 + grr(r)dr2 + r2(d2 + sin2 d'2): (II.1)

Memberikan elemen tensor metrik,

g00 = gtt; g11 = grr; g22 = r2; g33 = r2 sin2 ; (II.2)

dan g = 0 untuk 6= di mana (x0; x1; x2; x3) = (t; r; ; ').Sedangkan elemen inversnya adalah,

g00 = g1tt ; g11 = g1rr ; g22 = r2; g33 = r2 sin2 : (II.3)

Komponen Simbol Christoffel dihitung dari ungkapan berikut,

=1

2g(@g + @g @g): (II.4)

Rincian perkomponen adalah sebagai berikut:

4

1. Kasus = =

=1

2g f@g + @g @gg

=1

2g@g: (II.5)

Rincian perkomponen adalah sebagai berikut

000 = ttt =

1

2

1

gtt@tgtt = 0;

111 =

rrr =

1

2

1

grr@rgrr

222 = =

1

2g@r

2 = 0;''' =1

2g''@'(r

2 sin2 ) = 0: (II.6)

2. Kasus = 6=

=1

2g f@g + @g @gg = 1

2g f2@g @gg

= 12g@g: (II.7)

Uraian selengkapnya,

011 = trr =

1

2

1

gtt@tgrr = 0;

t =

1

2g00@tg22 = 0

t'' = 1

2g00@tg33 = 0;

rtt =

1

2

1

grr@rgtt

r = 1

2g11@rr

2 = rgrr

;r'' = 1

2g11@rg33 = r sin

2

grr

tt = 1

2g22@g00 = 0;

rr =

1

2g22@g11 = 0

'' = 1

2g22@2g33 = sin cos ;' =

1

2g33@'g = 0: (II.8)

3. Kasus = 6=

=1

2g f@g + @g @gg

=1

2g f@g + @g @gg

=1

2g@g : (II.9)

5

Uraian selengkapnya,

trt =1

2g00@rg00 =

1

2

1

gtt@rgtt;

tt =

1

2g00@g00 = 0

rr =1

2g11@g11 = 0;

t =

1

2g22@tg22 = 0

r =1

2g22@rg22 =

1

r; ' =

1

2g22@'g22 = 0

'r' =1

2g33@rg33 =

1

r; 't' =

1

2g33@tg33 = 0

'' =1

2g33@g33 =

cos

sin : (II.10)

4. Kasus 6= 6=

=1

2g f@g + @g @gg

=1

2g f@g + @g @gg = 0: (II.11)

Jadi dapat disimpulkan komponen-komponen yang tidak nol adalah sebagai berikut,

rrr =1

2

1

grr@rgrr;

rtt =

1

2

1

grr@rgtt;

r =

r

grr

r'' = r sin2

grr;'' = sin cos ;trt =

1

2

1

gtt@rgtt

r =1

r; 'r' =

1

r; '' =

cos

sin : (II.12)

Ada sembilan komponen tidak nol dengan 4 komponen mengandung simetri.Komponen tensor Ricci diperoleh dari persamaan berikut,

R = @ @ + : (II.13)

Untuk komponen tensor Ricci diagonal

R = @ @ + : (II.14)

6

Dengan rincian komponen diagonal adalah sebagai berikut,

Rtt = @tt @tt + tt tt

= @rrtt 0 + rttr

tt

tt +

rt

rt

= @r

rtt +

rtt

ttr +

rrr +

r +

''r

ttrrtt rtttrt

= @r

1

2

1

grr@rgtt

+ (rtt)

12

1

gtt@rg tt +

1

2

1

grr@rgrr 1

r 1

r

12

1

gtt@rgtt 1

2

1

grr@rgtt

1

2

1

grr@rgtt 1

2

1

gtt@rgtt

= @r

1

2

1

grr@rgtt

+ (rtt)

12

1

gtt@rgtt +

1

2

1

grr@rgrr 2

r

= @r

@rgtt2grr

+

1

2

1

grr@rgtt

12

1

gtt@rgtt +

1

2

1

grr@rgrr +

1

2

1

grr@rgrr 2

r

=

1

2

grrg

00tt g0rrg0ttg2rr

1

4

g02ttgttgrr

+

1

4

g0ttg0rr

g2rr

g

0tt

rgrr

=g00tt2grr

g0rrg

0tt

4g2rr g

02tt

4gttgrr g

0tt

rgrr: (II.15)

Rrr = @rr @rr + rr rr

= @rrrr @r

ttr +

rrr +

r +

''r

+ rrr

r

tr

tr +

rr

rr +

r

r +

'r

'r

= @r

rrr @r

ttr +

rrr +

r +

''r

+rrr

ttr +

rrr +

r +

''r

trtttr + rrrrrr + rr + 'r'''r

= @r

g0rr2grr

@r

g

0tt

2gtt+

g0rr2grr

2r

+

g0rr2grr

g

0tt

2gtt+

g0rr2grr

2r

g

0tt

2gtt g

0tt

2gtt+

g0rr2grr

g0rr

2grr 2r2

= @r

g0tt2gtt

2r2g0rr2grr

g0tt

2gtt

+

g0rr2grr

g0rr

2grr

g

0rr

rgrr

+g02tt4g2tt

g02rr

4g2rr+

2

r2

=1

2

gttg

00tt g02ttg2tt

g

0rrg

0tt

4grrgtt+

g02rr4g2rr

g0rr

rgrr+

g02tt4g2tt

g02rr

4g2rr

=g00tt2gtt

g02tt

4g2tt g

0ttg

0rr

4gttgrr g

0rr

rgrr: (II.16)

7

R = @ @ +

= @rr @'' + rr

r

r +

+

'

'

= @r

r @'' + r

ttr +

rrr +

r +

''r

rr + rr + ''''

= @rr @'' + rttr + rrrr + r''r rr ''''

= @r

rgrr

@

cos sin

+

r

grr 12

1

gtt@rgtt

+

rgrr

12

1

grr@rgrr

+

r

grr 1r

rgrr

1r

+

cos2

sin2

= 1

grr+

sin2 cos2 sin2

+

rg0tt

2grrgtt

rg0rr2g2rr

+

2

grr+

cos2

sin2

=1

grr+

rg0tt2gttgrr

rg0rr

2g2rr 1: (II.17)

R'' = @'' @'' + '' ''

=@r

r'' + @

''

0 + r''r + ''r'

r' +

'

' +

''

''

=

@r

r'' + @

''

+ r''

ttr +

rrr +

r +

''r

+''

'' r'''r' ''''

''r

r'' +

''

''

= @r

r'' + @

'' +

r''

ttr +

r''

rrr +

r''

r 2''''

r'''r' ''''= @r

r sin

2

grr

+ @ ( sin cos ) +

r sin2

grr 12

1

gtt@rgtt

+

r sin

2

grr 12

1

grr@rgrr

2

sin cos cos

sin

+

r sin2

grr 1r

cos

sin sin cos

=

grr sin

2 sin2 g0rrg2rr

cos 2 +

r sin2 g0tt2gttgrr

r sin2 g0rr

2g2rr

+2 cos2 +

sin2

grr cos2

= sin2

1

grr+

rg0tt2gttgrr

rg0rr

2g2rr 1

= sin2 R: (II.18)

8

Persamaan Einstein dengan konstanta kosmologi1:

G + g = T

, R 12gR + g = T

, R 12gR + g = 8G

c4T : (II.19)

Dengan kontraksi, diperoleh:

Rg 1

2Rgg

+ gg = 8G

c4Tg

, R + 4( 12R) = 8G

c4T

, R = 4 8GTc4

: (II.20)

Dengan mensubstitusikan persamaan (II.20) ke persamaan (II.19) diperoleh,

R g = 8Gc4

(T 12Tg): (II.21)

Untuk ruang vakum (T=0) terpenuhi kondisi Einstein,

R = g : (II.22)

Sehingga dari hasil sebelumnya,

Rtt = gtt =g00tt2grr

g0rrg

0tt

4g2rr g

02tt

4gttgrr g

0tt

rgrr

Rrr = grr =g00tt2gtt

g02tt

4g2tt g

0ttg

0rr

4gttgrr g

0rr

rgrr

R = g =1

grr+

rg0tt2gttgrr

rg0rr

2g2rr 1

R'' = g'' = sin2 R: (II.23)

Dari dua persamaan pertama diperoleh hubungan,

g0ttgtt

=g0rrgrr

: (II.24)

1Lihat lampiran A

9

Disubstitusikan ke persamaan bagi komponen Ricci,

g =1

grr+

rg0tt2gttgrr

rg0rr

2g2rr 1

, r2 = 1grr

+rg0rr2g2rr

rg0rr

2grr 1

, 2r2g2rr = 2grr + rg0rr rg0rrgrr 2grr: (II.25)

Persamaan (II.25) mempunyai solusi,

grr =1

1 + r 1

3r2

: (II.26)

Dari hubungan (II.24) didapatkan juga,

gtt = 1 +

r 1

3r2; (II.27)

di mana adalah suatu konstanta.

Untuk limit Newtonian, diperoleh = 2m. Akhirnya diperoleh solusi leng-kap metrik,

ds2 = 1 2m

r 1

3r2

dt2 +

11 2mr 13r2

dr2 + r2 + r2(d2 + sin2 d'2): (II.28)Solusi metrik ini dikenal sebagai metrik Kottler yang pertama kali ditemukan olehFriederich Kottler serta Weyl dengan tanpa mengetahui satu sama lain di tahun1918. Ketika > 0maka solusi ini adalah solusi Schwarschild de Sitter, sedangkanuntuk < 0merupakan metrik Schwarzschild anti de Sitter. Terkadang di sejumlahliteratur f(r) = 1 2m=r+r2=3. Hal ini hanya dibedakan oleh perjanjian dalammenentukan konstanta kosmologis. Jika massa diabaikan ketika jauh dari sumber,solusinya dikenal sebagai solusi de Sitter saja.

Ruang Kottler adalah salah satu ruang-waktu lengkung di mana kelengkunganruang selain di sebabkan oleh distribusi materi dan energi juga disebabkan olehenergi vakum alam semesta yang diungkap dalam bentuk Konstanta kosmologi.

Awal mulanya Einstein yang memperkenalkan konstanta kosmologi ini untukmenghindari konsekuensi alam semesta dinamik yang diimplikasikan oleh persa-maan medannya. Namun Hubble kemudian menunjukkan bahwa alam semestabenar-benar mengembang sehingga gagasan konstanta kosmologis Einstein tampaktidak dapat diterima. Belakangan dikemudian hari konstanta kosmologi Einstein

10

kembali dimunculkan karena ternyata ia konsep yang bermanfaat untuk menjelask-an asfek tertentu kosmologi sehingga dalam hal ini Einstein benar dengan cara tidakia perkirakan sebelumnya.

II.2 Geometri Ruang Kottler

Sebagaimana disinggung di awal, metrik Kottler adalah solusi simetri sperispersamaan medan Einstein vakum dengan konstanta Kosmologi. Untuk > 0dikenal sebagai solusi Schwarzschild-de Sitter dan metrik Schwarszschild-anti-deSitter untuk < 0.

Metrik (V.1) mempunyai singularitas di r = 0 serta di titik-titik pada manaf(r) =

1 2MG

r r2

3

= 0 di mana m = MG=c2. Titik-titik nol pada med-

an vektor Killing timelike selanjutnya mendefinisikan horizon ruang-waktu [12].Untuk dapat menentukan titik-titik ini terlebih dahulu dipecahkan persamaan,

f(r) =

1 2MG

r r

2

3

= 0: (II.29)

Persamaan dikali dengan 3r= diperoleh persamaan kubik pangkat tiga:

r3 3r

+6MG

= 0: (II.30)

Persamaan pangkat tiga dapat dipecahkan dengan teknik Cardano-Tantaglia. Misalr = m+ n sehingga

r3 = (m+ n)3 = m3 + n3 + 3mn(m+ n) = m3 + n3 + 3mnr

) r3 3mnr (m3 + n3) = 0: (II.31)

Dengan membandingkan dua persamaan di atas (II.30) dan (II.31) diperoleh,

m3n3 =1

3; (m3 + n3) = 6MG

: (II.32)

Mengingat pada persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax2 + bx + c berlakupada akar-akarnya kaitan x1 + x2 = b=a dan x1x2 = c=a, maka ungkapan (II.32)menunjukkanm3 dan n3 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat,

x2 (m3 + n3)x+m3n3 = x2 + 6MG

x+1

3= 0: (II.33)

11

Dengan memecahkan persamaan kuadrat ini diperoleh,

m = (1)1=33MG

1

3=2

p(9M2G2 1)

1=3(II.34)

dan

n = (1)1=33MG

+

1

3=2

p(9M2G2 1)

1=3: (II.35)

Adapun (1)1=3 mempunyai tiga akar kompleks. Misalkan (1)1=3 = x, sehingga

x3 = 1x3 + 1 = 0

(x+ 1)(x2 x+ 1) = 0: (II.36)

Selanjutnya ini berarti

x+ 1 = 0) x1 = 1 (II.37)

atau

x2 x+ 1 = 0 (II.38)

dengan akar-akar,

x2 =1 +

p3i

2; x3 =

1p3i2

: (II.39)

Hal ini menghasilkan tiga titik singulir r = m+ n, yaitu untuk x = 1

r1 = "

3MG

1

3=2

p9M2G2 1

1=3+

3MG

+

1

3=2

p9M2G2 1

1=3#:(II.40)

Untuk x = 1+p3i

2

r2 =

3MG

1

3=2

p(9M2G2 1)

1=31 +

p3i

2

+

3MG

+

1

3=2

p(9M2G2 1)

1=31p3i

2: (II.41)

12

Serta untuk x = 1p3i

2

r3 =

3MG

1

3=2p(9M2G2 1)

!1=31p3i

2

+

3MG

+

1

3=2

p(9M2G2 1)

1=31 +

p3i

2: (II.42)

Jika diperhatikan secara seksama semua singularitas tersebut tampak karakte-ristiknya tergantung pada nilai diskriminan = (9M2G2 1). Jika > 0, r1akan menjadi real dan negatif sedangkan r2 dan r3 menjadi kompleks. Semua ni-lai ini menunjukkan bahwa singularitasnya tidak fisis. Dengan kata lain tidak adahorizon sejati di sini dan singularitas kelengkungan (curvature singularity) dalamhal ini bersifat telanjang (naked singularity). Hasil-hasil pengamatan kosmologisdewasa ini menunjukkan bahwa nilai yang teramati sangatlah kecil berkisar da-lam orde 1058cm2 [13] sehingga lubang hitam dengan karakteristik di atas sangattidak mungkin eksis. Meskipun demikian dalam model inflasi alam semesta di-ni memungkinkan konstanta kosmologi yang besar. Tentu saja belum ada lubanghitam ketika itu.

Untuk = 0 diperoleh

r1 = "

3MG

1=3+

3MG

1=3#= 2p

; (II.43)

serta

r2 = r3 =

3MG

1=31 +

p3i

2+

3MG

1=31p3i

2=

1p: (II.44)

Kelas solusi terdegenerasi ini dikenal sebagai solusi Nariai.Untuk kasus < 0 besaran dalam kurung pada persamaan r menjadi kompleks.

Hal ini disebabkanp(9M2G2 1) = ip1 9M2G2. Selanjutnya,

r3 =

3MG

i(1 9M

2G2)1=2

3=2

1=31p3i

2

+

3MG

+i(1 9M2G2)1=2

3=2

1=31 +

p3i

2: (II.45)

Adapun menurut de Moivre,

1p3i2

= ei=3;1 +

p3i

2= ei=3: (II.46)

13

Sedangkan

3MG

i(1 9M

2G2)1=2

3=2=

1

3=2ei cos

1(3MGp): (II.47)

Sehingga

r3 = rH =

1

3=2ei cos

1(3MGp)1=3

ei=3 +

1

3=2ei cos

1(3MGp)1=3

ei=3

, rH = 1pei[

13cos1(3MG

p)+3 ] +

1pei[

13cos1(3MG

p)+3 ]

, rH = 2pcos

1

3cos1(3MG

p) +

3

: (II.48)

Dengan cara yang sama diperoleh,

r2 = rC =2pcos

1

3cos1(3MG

p)

3

: (II.49)

rH dan rC selalu bernilai positif sehingga menggambarkan horizon sejati. Akar per-samaan yang lebih besar rC dikenal sebagai horizon peristiwa kosmologis (cosmo-logical event horizon) sedangkan akar yang lebih kecil rH dikenal sebagai horizonperistiwa lubang hitam (black hole event horizon). Adapun

r1 = rU = (rH + rC) (II.50)

yang selalu bernilai negatif tidak bersifat fisis. Oleh karena itu untuk selanjutnyakita identifikasi saja r1 = rH dan r2 = rC karena cuma ada dua horizon sejatidalam kasus ini dengan satu singularitas lagi di r = 0. Singularitas di r = 0 dapatdibuktikan adalah sebuah singularitas sejati, karena berdasarkan metrik solusi bisadiperoleh invarian [12].

RR =

48G2M2

c2r6+

2

4: (II.51)

Menjadi jelas di sini bahwa untuk kasus 3MGp < 1 secara fisis menggambarkan

sebuah blackhole Schwarschild- de Sitter yang diam di dalam horizon Kosmolo-gis.Sebagian besar lubang hitam yang dapat diamati jelas termasuk dalam kategoriini, sehingga dalam tesis ini dikaji khusus kelakuan medan elektromagnetik statikdi sekitar ruang lengkung yang dibangkitkan oleh sebuah lubang hitam dengan ka-rakteristik 3MG

p < 1.

14

Kajian lengkap sifat-sifat horizon untuk metrik Kottler ini serta limitnya menujusolusi Schwarzschild ataupun solusi de Sitter dapat di rujuk di sejumlah literatur,misalkan S. Bhattacharya [12].

15

Bab III Persamaan Maxwell di Ruang Lengkung

Dalam Bab ini direview sejumlah konsep penting Elektromagnetisme mulai da-ri kasus ruang tiga dimensi hingga perumumannya pada kasus relativistik ruangMinkowski dan ruang lengkung Riemannian. Berbagai asfek formalisme matema-tis juga ditinjau sehingga beragam ungkapan matematis persamaan Maxwell dapatditunjukkan setara. Hal ini memberi gambaran luas berbagai metode yang mungkinditerapkan dalam meninjau solusi-solusi persamaan Maxwell.

III.1 Persamaan Maxwell 3-Dimensi Ruang Datar

Persamaan Maxwell adalah persamaan diferensial parsial saling terkopel yangmemandu perilaku medan elektromagnetik. Dalam bentuk vektor tiga dimensi diruang datar (flat) (satuan SI) dengan medan yang gayut waktu persamaan ini adalahsebagai berikut [4]:

r E = 0

r B = 0 (III.1)r E = @B

@t

rB = 0j+ 00@E@t

;

dalam bentuk integral, ZS

E dA = q0Z

S

B dA = 0IC

E dl = @B@tI

C

B dl = 0Is + 00@E@t

(III.2)

di mana = (r; t) adalah rapat muatan yang berasal dari muatan bebas maupunterinduksi, 0 = 107=(4c2) 8; 8542 1012Fm1 adalah permitivitas vakum,serta 0 = 4 107Hm1 adalah permiabilitas vakum.

Secara ringkas, persamaan di atas adalah kulminasi dari berbagai teori kelistrik-an dan kemagnetan yang berkembang ketika itu yang selanjutnya disatukan Ma-

16

xwell dalam satu basis tinjauan di tahun 1865.Pada tahun 1775 Coulomb menunjukkan bahwa interaksi benda bermuatan sta-

tik dapat diungkap oleh persamaan,

F(r) =qq0

40

r r0jr r0j3 (III.3)

di mana r dan r0 masing-masingnya adalah vektor posisi dari muatan q dan q0 se-hingga r r0 adalah vektor posisi relatif antara kedua muatan. Terbukti juga kemu-dian bahwa sangat bermanfaat memperkenalkan konsep vektor medan listrik:

Estat(r) =q0

40

r r0jr r0j3 =

q0

40r

1

jr r0j=

q0

40r0

1

jr r0j: (III.4)

Untuk distribusi muatan kontinu sebarang,

Estat(r) =1

40

ZV 0(r0)

r r0jr r0j3d

3r0 = 140

rZV 0

(r0)jr r0jd

3r0: (III.5)

Sedangkan untuk distribusi muatan diskrit (r0) = iq0i(r0 r0i).

Menurut teorema Helmholtz, suatu medan vektor yang berkelakuan baik (wellbehaved) dapat sepenuhnya diperoleh jika diketahui nilai divergensi dan curlnya.Dengan mengambil divergensi medan listrik distribusi sebarang diperoleh,

r Estat(r) = r 140

ZV 0(r0)

r r0jr r0j3d

3r0 = 140

ZV 0(r0)r2

r r0jr r0j3

d3r0

(III.6)

Mengingat

r

r r0jr r0j3

= r2

1

jr r0j= 4(r r0)

ZV 0(r0)() (III.7)

maka

r Estat(r) = 10

ZV 0(r0)(r r0) = (r)

0: (III.8)

Persamaan ini dikenal sebagai Hukum Gauss dan tetap berlaku untuk medan yangbervariasi dengan waktu,

r E(r; t) = (r; t)0

: (III.9)

Persamaan ini merupakan komponen pertama persamaan Maxwell (III.1).

17

Untuk sembarang fungsi skalar (r) berlaku kaitan vektor r [r(r)] = 0,sehingga

r Estat(r) = 140

rrZV 0

(r)

jr r0jd3r0= 0 (III.10)

yang menunjukkan medan statik bersifat irrotasional.Fakta eksperimen menunjukkan bahwa antara dua kawat lurus yang membawa

arus i dan i0 dengan elemen garis dl dan dl0 terjadi gaya

F(r) =0ii

0

4

IC0dl

dl0 r r

0

jr r0j3

= 0ii0

4

IC0dl

IC0dl0 r

1

jr r0j

:

(III.11)

Penerapan identitas vektor a (b c) = b(a c) c(a b) memberikan hukumseperti Coulomb,

F(r) = 0ii0

4

IC0dl0ICdl r

1

jr r0j 0ii

0

4

IC

IC0

r r0jr r0j3dl dl

0: (III.12)

Adapun medan magnet diberikan oleh:

dBstat(r) 04

dL0 r r0

jr r0j3 =0i

0

4dl0 r r

0

jr r0j3 (III.13)

Kasus lebih umum mencakup rapat arus stasioner j(r) memberikan Hukum Biot-Savart:

Bstat(r) =04

ZV 0j(r0) r r

0

jr r0j3 =04r

ZV 0

j(r0)jr r0jd

3r0: (III.14)

Sifat medan Bstat terlihat dari hasil divergensi dan curlnya, sehingga

r Bstat(r) = 04r

r

ZV 0

j(r)

jr r0j= 0 (III.15)

mengingat kaitan vektor r (r a) = 0. Ini berlaku umum untuk medan gayutwaktu yang menunjukkan pernyataan ketiadaan monopol magnet1. Operasi curl

1Secara teoritis tidak tertutup kemungkinan, namun ini sifatnya ad hoc eksperimental.

18

terhadap medan Bstat memberikan

rBstat(r) = 04r

r

ZV 0

j(r0)jr r0jd

3r0

= 04

ZV 0j(r0)r2

1

jr r0jd3r0 +

04

ZV 0[j(r0) r0]r0

1

jr r0j

= 0

ZV 0j(r0)(r r0)d3r0 + r^k

ZV 0r0

j(r)

@

@r0k

1

jr r0j

d3r0

ZV 0[r0 j(r0)]r0

1

jr r0jd3r0

= 0j(r) + r^k

ZS0n^0 j(r0) @

@r0k

1

jr r0jd3r0

ZV 0[r0 j(r0)]r0

1

jr r0jd3r0

= 0j(r): (III.16)

Suku kedua diperoleh dari teorema Gauss dan menjadi nol untuk batas integral jauhdari sumber. Integral ke dua juga bernilai nol karena pada sumber stasionerrj = 0.

Untuk sumber gayut waktu berlaku persamaan kontinuitas:

@(r; t)

@t+r j(r; t) = 0 (III.17)

sehingga dengan cara yang sama seperti kasus medan statik diperoleh,

rB(r; t) = 0j+ 00@E@t

= 0j+1

c2@E

@t: (III.18)

Persamaan ini merupakan hukum Ampere termodifikasi Maxwell. Untuk medanstatik persamaan (III.8) dan (III.15) tampak antara medan magnet dan listrik tidakada hubungan sama sekali sehingga fenomena kelistrikan dan kemagnetan seolahfenomena yang tidak ada kaitan. Sumbangan Maxwell yang genial di sini adalahmemperkenalkan suku terakhir pada persamaan (III.18) yang dikenal sebagai aruspergesaran yang menyempurnakan simetri indah elektrodinamika.

Komponen terakhir persamaan Maxwell adalah ungkapan matematis hukum Fa-raday,

r E(r; t) = @B(r; t)@t

(III.19)

yang menyatakan bahwa perubahan medan magnetik terhadap waktu akan meng-imbas munculnya medan listrik.

19

III.2 Persamaan Maxwell di ruang Minkowski

Menurut relativitas khusus, ruang-waktu adalah manifold berdimensi 4 yangdikenal sebagai ruang-waktu Minkowski. Titik-titik2 di dalamnya mempunyai koo-rdinat x ( = 0; 1; 2; 3) yang di dalam koordinat Cartesian

x = (ct; r) = (x0; x1; x2; x3) = (ct; x; y; z)x = (ct; r) = (x0; x1; x2; x3) = (ct; x; y; z): (III.20)

Sehingga,

@ =@

@x=

1

c

@

@t;@

@x;@

@y;@

@z

= (@0; @1; @2; @3)

= (@t; @x; @y; @z)

@ =@

@x=

1c

@

@t;@

@x;@

@y;@

@z

= (@0; @1; @2; @3)

= (@0; @1; @2; @3) = (@t; @x; @y; @z): (III.21)

Adapun metrik ruang Minkowski dengan signature (-,+,+,+) dalam bentuk matriksadalah:

= =

0BBBB@1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1CCCCA : (III.22)

III.2.1 Tensor Kuat Medan Elektromagnetik

Medan elektromagnetik di ruang-waktu empat dimensional digambarkan olehvektor-4:

A = A(x) (III.23)

yang disebut sebagai potensial medan elektromagnetik. Komponen waktu dari vektor-4 ini adalah potensial listrik skalar:

A0 = (x): (III.24)

2wakilan dari peristiwa

20

Tiga komponen ruang lainnya dari vektor-4 adalah vektor potensial magnetik,

Ai = A = Ai(x): (III.25)

Secara lengkap dapat ditulis sebagai:

A = (;A1; A1; A1) = (;A): (III.26)

Medan listrik dan magnetik oleh karena itu didefinisikan dalam potensial seba-gai:

E = 1c

@A

@tr; B = rA: (III.27)

Dengan rincian perkomponen,

Ex = 1c

@Ax@t

@@x

= @0A1 @1A0 = @0A1 @1A0

Ey = 1c

@Ay@y

@@y

= @0A2 @2A0 = @0A2 @2A0

Ez = 1c

@Az@t

@@z

= @0A3 @3A0 = @0A3 @3A0: (III.28)

Mengingat:

B = rA =i^@

@x+ j^

@

@y+ k^

@

@z

(Axi^+ Ay j^ + Azk^)

= i^

@Az@y

@Ay@z

+ j^

@Ax@z

@Az@x

+ k^

@Ay@x

@Ax@y

:(III.29)

Maka rincian setiap komponennya adalah,

Bx =

@Az@y

@Ay@z

= @2A

3 @3A2 = @2A3 @3A2

By =

@Ax@z

@Az@x

= @3A

1 @1A3 = @3A1 @1A3

Bz =

@Ay@x

@Ax@y

= @1A

2 @2A1 = @1A2 @2A1: (III.30)

Uraian setiap komponen di atas menunjukkan pentingnya untuk mendefiniskan su-atu tensor rank-2,

F = @A @A: (III.31)

21

Tensor ini dikenal sebagai tensor kuat medan elektromagnetik atau tensor Maxwelldan bersifat antisimetrik,

F = @A @A = (@A @A) = F : (III.32)

Dalam indeks kovarian,

F = F = @A @A: (III.33)

Sehingga tinjauan perkomponen:

F 00 = @0A0 @0A0 = 0; F 01 = @0A1 @1A0 = ExF 02 = @0A2 @2A0 = Ey; F 03 = @0A3 @3A0 = EzF 10 = F 01 = Ex; F 20 = F 02 = EyF 30 = F 03 = Ez; F 00 = F 11 = F 22 = F 33 = 0F 12 = @1A2 @2A1 = Bz; F 13 = @1A3 @3A1 = ByF 23 = @2A3 @3A2 = Bx: (III.34)

Jika dinyatakan secara lebih kompak dalam bentuk matriks,

F =

0BBBB@0 Ex Ey Ez

Ex 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0

1CCCCA : (III.35)

Komponen kovarian:

F =

0BBBB@0 Ex Ey EzEx 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0

1CCCCA : (III.36)

Selanjutnya didefinisikan tensor kuat medan dual ~F ,

~F =1

2F (III.37)

di mana adalah simbol Levi-Civita yang bersifat antisimetrik total dalam in-

22

deksnya dan mempunyai nilai-nilai

=

8>:1 permutasi genap(0123)1 permutasi ganjil(0123)0 ada sekurangnya dua indeks yg sama:

(III.38)

Dengan rincian perkomponen,

~F 01 = 1=201ikFik = 1=2(0123F23 +

0132F32) = 1=2(F23 F32) = F23 = Bx~F 02 = 1=202ikFik = 1=2(

0213F13 + 0231F31) = 1=2(F13 + F31) = F13 = By

~F 03 = 1=203ikFik = 1=2(0312F12 +

0321F21) = 1=2(F12 F21) = F12 = Bz~F 10 = 1=210ikFik = 1=2(

1023F23 + 1032F32) = 1=2(F23 + F32) = F23 = Bx

~F 12 = 1=212ikFik = 1=2(1203F03 +

1230F30) = 1=2(F03 F30) = F03 = Ez~F 13 = 1=213ikFik = 1=2(

1302F02 + 1320F30) = 1=2(F02 + F20) = F02 = Ey

dan seterusnya, hingga diperoleh

~F =

0BBBB@0 Bx By Bz

Bx 0 Ez EyBy Ez 0 ExBz Ey Ex 0

1CCCCA : (III.39)

Jelas dari sini bahwa ~F bersifat antisimetrik,

( ~F )T = ~F ; (III.40)

serta berlaku dualitas

F ! ~F ;E! B; B! E: (III.41)

III.2.2 Persamaan Maxwell dalam Tensor Kuat Medan

Berdasarkan homogenitas persamaan diferensial, persamaan Maxwell terbagidua, yaitu bagian homogen

r B = 0; r E+ @B@t

= 0 (III.42)

23

serta bagian tidak homogen,

r E = =0; rB 00@E@t

= 0j: (III.43)

Mudah ditunjukkan bahwa persamaan Maxwell homogen dapat dinyatakan secarakompak sebagai,

@ ~F = 0; (III.44)

serta bagian tidak homogen sebagai;

@F =

4

cj =

0cj; (III.45)

di mana j = (c; j) yang memenuhi persamaan kontinuitas

@j = 0: (III.46)

Jika dijabarkan perkomponen persamaan (III.44), untuk komponen = 0

@ ~F = 0

, @0 ~F 00 + @1 ~F 10 + @2 ~F 20 + @3 ~F 30 = 0, @0(0) + @1(Bx) + @2(By) + @3(Bz) = r B = 0, r B = 0: (III.47)

Untuk komponen yang lainnya,

@ ~F1 = @0 ~F

01 + @1 ~F11 + @2 ~F

21 + @3 ~F31 = @0Bx + @2Ez + @3(Ey) = 0

@ ~F2 = @0 ~F

02 + @1 ~F12 + @2 ~F

22 + @3 ~F32 = @0By + @1(Ez) + @3(Ex) = 0

@ ~F3 = @0 ~F

03 + @1 ~F13 + @2 ~F

23 + @3 ~F33 = @0(Bz) + @1(Ey) + @2(Ex):

Jika dijumlahkan semua

@t(Bx +By +Bz) + @x(Ey Ez) + @y(Ez Ex) + @z(Ex Ey) = 0:

24

Dalam notasi vektor-3

i^@tBx + j^@tBy + k^@tBz + i^(@yE z @zEy) + j^(@zEx @xEz)+k^(@xEy @yEx) = 0

, r E+ @B@t

= 0: (III.48)

Komponen tak homogen persamaan Maxwell untuk = 0,

@F0 = 0j

0

, @0F 00 + @1F 10 + @2F 20 + @3F 30 = 0j0, 0 + (@xEx + @yEy + @zEz) = 0j0, r E = 0j0 = 0c: (III.49)

Karena 00 = 1=c2 maka diperoleh ungkapan hukum Gauss,

r E = =0:

III.2.3 Identitas Bianchi pada Persamaan Maxwell

Adapun bagian homogen dari persamaanMaxwell (III.44) memenuhi suatu iden-titas siklik yang dikenal sebagai identitas Bianchi. Mengingat ~F = 1

2F,

maka

@ ~F = 0

@

1

2F

= 0

@(F) = 0: (III.50)

Hendak ditunjukkan bahwa ungkapan di atas memenuhi identitas Bianchi.

@(F) = 0

@F = 0: (III.51)

Dengan menukar indeks ! ; ! ; !

@F = 0: (III.52)

25

Untuk pertukaran indeks ! ; ! ; ! diperoleh ungkapan

@F = 0: (III.53)

Sehingga berlaku:

@F =1

3[@F +

@F + @F]

=1

3[@F +

@F + @F]

=1

3[@F + @F + @F] = 0: (III.54)

Hal ini berarti:

[@F + @F + @F] = 0

F; + F; + F; = 0 (III.55)

yang merupakan sebuah identitas Bianchi.

III.3 Persamaan Maxwell di ruang Lengkung

Persamaan Maxwell dalam ruang-waktu lengkung (Curved Spacetime) meman-du dinamika medan elektromagnetik di ruang waktu lengkung pada mana metriktidak datar (minkowskian) atau ketika digunakan sebarang sistem koordinat . Persa-maan ini dapat dipandang sebagai perumuman persamaan Maxwell vakum yang bi-asanya diformulasikan pada koordinat lokal atau di ruang-waktu flat. Namun karenapersamaan relativitas umum telah menyatakan bahwa kehadiran medan elektromag-netik (energi/materi secara umum) akan mempengaruhi kelengkungan ruang-waktu.Oleh karena itu persamaan Maxwell di ruang datar harus dipandang sebagai sebuahpendekatan.

Persamaan Maxwell di ruang lengkung relativitas umum diperoleh dengan caramengganti turunan parsial dengan turunan kovarian derivatif:

r ~F = 0rF = 4

cj : (III.56)

26

Identtitas Bianchi juga tetap berlaku untuk ruang lengkung relativitas umum.

rF = @F F FrF = @F F FrF = @F F F: (III.57)

Mengingat tensor kuat medan F bersifat anti simetrik serta koefisien koneksi atausimbol Christoffel bersifat simetrik terhadap pertukaran indeks bawah, makapersamaan (III.57) dapat diungkap dalam bentuk

rF = @F F FrF = @F F + FrF = @F + F + F: (III.58)

Jika dijumlahkan, maka terlihat ada suku yang saling menghilangkan sehingga di-peroleh bentuk homogen persamaan Maxwell tetap sama untuk ruang lengkung ma-upun datar,

rF +rF +rF = @F + @F + @F = 0 (III.59)

Identitas Bianchi medan Maxwell juga terkait erat dengan identitas Bianchi per-tama relativitas umum pada Riemann tensor3,

R[] = 0

R +R +R = 0: (III.60)

Dengan kontraksi,

R +R +R

= 0: (III.61)

Adapun Tensor kuat medan dalam kovarian derivatif ternyata kembali menjadi ben-tuk ungkapan di ruang datar akibat sifat simetrik dari koefisien koneksi,

F = rA rA = @A A @A + A= @A @A A + A = @A @A (III.62)

Dengan memanfaatkan definisi tensorMaxwell untuk ruang lengkung serta identitas

3Lihat lampiran A

27

Bianchi 1 di atas,

rF +rF +rF = rrA rrA+rrA rrA +rrA rrA

, rF +rF +rF = (R +R +R)A = 0:(III.63)

III.4 Persamaan Maxwell dalam bentuk Form

Secara umum, untuk memperoleh dualitas Hodge dari wedge produk basis-basisform adalah menurut ungkapan berikut:

(ei1 ^ ^ eip) =pjgj

(n p)!gi1l1 giplpl1lplp+1lnelp+1 ^ ^ eln : (III.64)

Untuk sederhananya perhitungan, dimisalkan a(r) = (12m=rr2=3). Denganmenerapkan dualitas Hodge pada metrik ini diperoleh elemen-elemen basisnya ada-lah sebagai berikut:

(dt ^ dr) = 12(pggttgrr0123d ^ d'+pggttgrr0132d' ^ d)

=pggttgrr0123d ^ d'

=pggttgrrd ^ d' = r2 sin d ^ d': (III.65)

(dt ^ d) = 12(pggttg0213dr ^ d'+pggttg0231d' ^ dr)

=pggttg0213dr ^ d' = pggttgdr ^ d'

=r2 sin

a(r)r2dr ^ d'

=sin

a(r)dr ^ d': (III.66)

(dt ^ d') = 12(pggttg''0312dr ^ d +pggttg''0321d ^ dr)

=pggttg''0312dr ^ d = pggttg''dr ^ d

= r2 sin

a(r)r2 sin2 = 1

a(r) sin dr ^ d: (III.67)

28

(dr ^ d) = 12(pggrrg1203dt ^ d'+pggrrg1230d' ^ dt)

=pggrrg1203dt ^ d' = pggrrgdt ^ d'

= r2 sin a(r)r2r2dt ^ d' = a(r) sin dt ^ d': (III.68)

(dr ^ d') = 12(pggrrg''1302dt ^ d +pggrrg''1320d ^ dt)

=pggrrg''1302dt ^ d = pggrrg''dt ^ d

= r2 sin a(r)r2 sin2 dt ^ d= a(r)

sin dt ^ d: (III.69)

(d ^ d') = 12(pggg''2301dt ^ dr +pggg''2310dr ^ dt)

=pggg''2301dt ^ dr = pggg''dt ^ dr

= r2 sin r2 sin2 =1

r2 sin dt ^ dr: (III.70)

Persamaan Maxwell dalam keadaan vakum dinyatakan oleh persamaan berikut,

@F = j = 0: (III.71)

yang merupakan bagian tak homogen, sedangkan bagian homogennya adalah

@ ~F = 0: (III.72)

Dalam bentuk notasi diferensial form, persamaan Maxwell adalah:

d F = 0 (III.73)

di mana vektor potensialA = Adx, F = dA dengan d = @tdt+ @rdr+ @d+@'d'.

Adapun bagian homogen dari persamaan Maxwell adalah

dF = 0; (III.74)

Ungkapan diferensial form ini berlaku umum baik untuk ruang Minkowski maupunruang lengkung.

Bentuk-bentuk ungkapan matematis persamaan Maxwell di atas ekuivalen, na-mun dalam teknik penyelesaian satu bentuk seringkali memberi insight yang lebih

29

baik bahkan solusi yang lebih cepat. Pada lampiran dipaparkan kemungkinan teknikperhitungan dengan menggunakan diferensial Form.

Dalam memecahkan persamaan Maxwell di ruang lengkung, ada dua perlaku-an yang mungkin terhadap kelengkungan ruang. Pilihan pertama adalah mengko-pling lengkap persamaan Maxwell dengan persamaan medan Einstein. Langkahini misalkan dilakukan dalam pemecahan solusi metrik Reissner Nordstrom. Tek-nik penyelesaian solusi kopling lengkap ini bahkan dengan mengasumsikan adanyamonopol magnet dapat dirujuk pada [7]. Teknik lainnya adalah dengan mengang-gap ruang lengkung sebagai latar bagi medan elektromagnetik. Pendekatan inilahyang dilakukan dalam tesis ini.

30

Bab IV Solusi Persamaan Maxwell di Ruang Kottler

Metode perhitungan yang diterapkan di sini adalah dengan menerapkan teknikpemisahan variabel pada masing-masing komponen potensial persamaan Maxwell.Oleh karena itu diandaikan bahwa persamaan Maxwell di ruang Kottler mempunyaisolusi separabel.

Dengan mengandaikan potenisal listrik dan magnet yang ditinjau bersifat statik,maka solusi yang diperoleh akan memenuhi identitas Bianchi secara bebas. Sehing-ga pemecahan persamaan Maxwell dalam hal ini cukup dengan meninjau secaralengkap solusi separabel persamaan diferensial yang diperoleh dari komponen per-samaan rF = 0. Agar diperoleh persamaan yang tereduksi koplingnya makaditerapkan Gauge Lorentz. Selain itu pemilihan suatu Gauge (Gauge fixing) di sinidilakukan mengingat medan Maxwell sendiri adalah suatu medan Gauge.

IV.1 Metrik

Sebagaimana dipaparkan di Bab II, metrik lubang hitam Schwarzschild di alamsemesta berkonstanta Kosmologis dalam koordinat bola (t; r; ; ') dinyatakanoleh ungkapan berikut:

ds2 = 1 2m

r 1

3r2

dt2 +

dr21 2m

r 1

3r2

+ r2(d2 + sin2 d');(IV.1)

di manam = MG=c2 denganM adalah massa lubang hitam.Tensor metrik kovarian dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut

g =

0BBBB@ 1 2m

r 1

3r2

0 0 0

01 2m

r 1

3r2

10 0

0 0 r2 0

0 0 0 r2 sin2

1CCCCA : (IV.2)

31

Sedangkan inversnya merupakan tensor kontravarian, yaitu

g =

0BBBB@ 1 2m

r 1

3r2

10 0 0

01 2m

r 1

3r2

0 0

0 0 r2 0

0 0 0 r2 sin2

1CCCCA :(IV.3)

Sehingga:

jg j = g = r4 sin2 qjg j = pg = r2 sin : (IV.4)

Dengan memanfaatkan identitas Bianchi di atas pada tensor kuat medan elek-tromagnetik:

@F@x

+@@x

+@F@x

= 0

, F; + F; + F; = 0; (IV.5)

ditinjau berbagai kemungkinan berikut pada indeks Bianchi:

1. Kasus 6= 6=

= 0; = 1; = 2

F01;2 + F12;0 + F20;1 = 0

F01;2 + F20;1 = 0 (IV.6)

= 0; = 1; = 3

F01;3 + F13;0 + F30;1 = 0

F01;3 + F30;1 = 0: (IV.7)

= 0; = 2; = 3

F02;3 + F23;0 + F30;2 = 0

F02;3 + F30;2 = 0: (IV.8)

32

= 1; = 2; = 3.

F12;3 + F23;1 + F31;2 = 0

(IV.9)

2. Kasus = 6= .Ungkapan bagi identitas Bianchi dalam hal ini adalah:

F; + F; + F; = 0

F; + F; + F; = 0

F; F; = 0: (IV.10)

Hubungan ini bersifat trivial.

3. Kasus 6= = .

F; + F; + F; = 0

F; + F; + F; = 0: (IV.11)

Keadaan trivial, suku menjadi nol atau saling menghilangkan.

4. Kasus 6= = .

F; + F; + F; = 0

F; + F; + F; = 0

F; F; = 0: (IV.12)

Keadaan trivial, suku menjadi nol atau saling menghilangkan.

Dari hasil di atas jelas yang perlu ditinjau lebih jauh adalah untuk indeks dengankasus 6= 6= . Potensial listrik dan magnet yang hendak ditinjau adalah bersifatstatik:

1. Bianchi 1:

F01;2 + F12;0 + F20;1 = F01;2 + F20;1

= @F01 + @rF20

= @(@tAr @rAt) + @r(@At @tA) = 0:(IV.13)

33

Tampak hubungan Bianchi terpenuhi.

2. Bianchi 2:

F01;3 + F13;0 + F30;1 = F01;3 + F30;1 = @'F01 + @rF30

= @'(@tAr @rAt) + @r(@'At @tA')= @r@'At @r@'At = 0: (IV.14)

Identitas Bianchi terpenuhi.

3. Bianchi 3:

F02;3 + F30;2 = 0

@'F02 + @F30 = 0

@'(@tA @At) + @(@'At @tA') = 0@@'At @@'At = 0: (IV.15)

Memenuhi hubungan Bianchi.

4. Bianchi 4:

F12;3 + F23;1 + F31;2 = 0

@'F12 + @rF23 + @F31 = 0

@'(@rA @Ar) + @r(@A' @'A) + @(@'Ar @rA') = 0@r@'A @@'Ar + @r@A' @r@'A + @@'Ar @r@A' = 0:

(IV.16)

Kembali diperoleh hubungan yang memenuhi identitas Bianchi.

Dari kaitan potensial statik yang telah memenuhi identitas Bianchi ini menunjukk-an bahwa, solusi At; Ar; A dan A' untuk medan Maxwell statik bersifat bebas danotomatis siklik secara Bianchi sehingga cukup meninjau solusi persamaan MaxwellrF . Namun jika dipecahkan menurut tensor kuat medan maka solusi diperolehsetelah meninjau identitas Bianchi untuk menentukan komponen solusi yang meng-andung fungsi bebas dari persamaan Maxwell sehingga menjadi tertentu. Dalamkajian ini hendak diselesaikan persamaan Maxwell melalui solusi potensial.

34

IV.2 Perhitungan denganGauge Lorentz diperumum

Sebagaimana ditunjukkan di bab II, persamaanMaxwell relativitas khusus dapatdiungkap dalam bentuk tensor kuat medan F sebagai dua persamaan,

@ ~F = 0

@F =

4

cj:

Bagian pertama merupakan bagian homogen persamaan Maxwell sedangkan bagi-an kedua adalah bentuk tak homogennya. Bagian pertama juga telah ditunjukkan didepan memenuhi identitas Bianchi, sehingga seperangkat lengkap persamaan Ma-xwell juga dapat diungkap sebagai

@F + @F + @F = 0

@F =

4

cj: (IV.17)

Mengingat definisi tensor kuat medan F = @A @A maka persamaan Ma-xwell dapat dikenai syarat Lorentz Gauge,

@A = 0 (IV.18)

sehingga bagian tak homogen persamaan Maxwell tersederhanakan menjadi,

@F = @(@

A @A) = 4cj

@F = @@

A @@A = 4cj

@F = @(@A

) @@A = 4cj

@@A = 4

cj (IV.19)

Jika ruang tidak lagi datar sebagaimana diperumum oleh relativitas umum, makaturunan parsial persamaan Maxwell diganti oleh turunan kovarian,

rF +rF +rF = 0;rF = 4

cj ; (IV.20)

Aturan mengganti turunan parsial menjadi turunan kovarian derivatif tidak dapatdilakukan jika melibatkan turunan kedua, sehingga harus ditinjau dari syarat lorentz

35

Gauge diperumum yang melibatkan kovarian derivatif. Karena yang dikaji di siniadalah medan Gauge, maka pada persamaan Maxwell bisa dikenakan syarat GaugeLorentz diperumum,

rA = 0; (IV.21)

Disubstitusikan definisi tensor Maxwell ke persamaan Maxwell tak homogen,

rF = rF = r(rA rA) = 4cj

= rrA rrA: (IV.22)

Namun suku rrA tidak dapat hilang seperti di kasus Minkowskian karena tu-runan kovarian tidak saling berkomutasi. Oleh karena itu dengan memanfaatkandefinisi tensor kelengkungan Riemann,

[r;r ]A = (rr rr)A = RA: (IV.23)

Diperoleh hubungan bagi kaitan komutasi indeks kovarian dan kontravarian opera-tor turunan,

[r;r]A = rrA rrA= grrA rgrA= g[rr rr]A= g[r;r]A = gRA: (IV.24)

Ketika = , maka

[r;r]A = RA: (IV.25)

Dengan menukar dummy indeks diperoleh,

[r;r ]A = RA (IV.26)

sedangkan,

R = gR (IV.27)

36

rF = rrA rrA= [r;r ]A +r(rA)rrA = 4

cj

= = RA rrA =4

cj: (IV.28)

di mana telah diterapkan syarat Lorentz Gauge diperumum. Pemilihan suatu Gau-ge dalam perhitungan penting dilakukan mengingat medan elektromagnetik sendiriadalah suatu medan Gauge. Untuk medan elektromagnetik tanpa sumber,

rrA +RA = 4

cj

) rrA + gRA = 0: (IV.29)

Di mana pada persamaan di atas indeks telah diganti dengan indeks tanpa me-nyebabkan perubahan pada persamaan. Pada ruang Kottler berlaku persamaan med-an gravitasi yang memenuhi kondisi Einstein,

R = g : (IV.30)

Sehingga persamaan Maxwell tersederhanakan menjadi,

rrA + ggA = 0, rrA + ggA = 0, 4A + ggA = 0, 4A + A = 0: (IV.31)

Syarat Coulomb Gauge juga menghasilkan hasil yang sama untuk kasus medanstatik,

rF = [r;r ]A +r(rA)rrA= [r;r ]A +r(r0A0 +riAi)rrA

= RA +r(r0A0)rrA = 4

cj

, rrA + A +r

1pg@0pg(A0)

= 4

cj: (IV.32)

Untuk medan statik tanpa sumber kembali diperoleh persamaan diferensial yangsama:

rrA + A = 0:

37

Peninjauan lebih lanjut terhadap persamaan di atas menunjukkan kopling an-tara komponen potensial masih muncul. Hal ini karena laplacian A berasal darikontraksi ungkapan berikut,

rrA = @(rA) + rA rA= @@A

+ @A

+ @A + @A

+ @A

+A

@A A: (IV.33)

Berdasarkan ungkapan di atas penting untuk memilih ansats yang akan menye-derhanakn kopling yang masih muncul. Adapun salah satu ansats solusi yang me-menuhi adalah solusi potensial berbentuk,

A = A(r; ; ') = (A0; 0; 0; A3): (IV.34)

Alasan pemilihan ansats ini adalah untuk mendapatkan solusi Maxwell yang meng-andung komponen listrik dan komponen magnet dengan bentuk yang melepas ko-pling di antara persamaan-persamaan komponen Maxwell. Kajian menarik yangberkembang dalam studi astrofisika dewasa ini adalah meninjau pusat-pusat galak-si aktif di mana eksis lubang hitam dengan medan elektromagnetik serta medangravitasi kuat yang mana masing-masing komponen tidak dapat diabaikan.

Rincian lebih lanjut koefisien koneksi yang sudah dihitung di bab II sebelumnya,

rrr(r) =1

2

1

grr@rgrr =

(m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) (IV.35)

rtt(r) =1

2

1

grr@rgtt = (m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) (IV.36)

r(r) = r

grr= r(1 2m=r r2=3) = (r 2m r3=3) (IV.37)

r''(r; ) =r sin2

grr= r sin2 (1 2m=r r2=3)

= sin2 (r 2m r3=3) (IV.38)

''() = sin cos ; r = r =1

r; 'r'(r) =

''r(r) =

1

r(IV.39)

38

trt(r) = ttr =

1

2

1

gtt@rgtt =

(m=r2 r=3)(1 2m=r r2=3) ;

''() =

'' =

cos

sin : (IV.40)

Untuk menyederhanakan perhitungan dimisalkan f(r) = (1 2m=r r2=3) se-hingga

rrr(r) = @rf(r)

2f(r);rtt = [@rf(r)]f(r)

r(r) = rf(r);r''(r; ) = r sin2 f(r);r = r = 1=r'r'(r) =

''r(r) = 1=r;

trt(r) =

ttr =

@rf(r)

2f(r)

''() = ''() =

cos

sin ;''() = sin cos : (IV.41)

Turunan kovarian masing-masing komponen dihitung dengan rumus berikut,

rA = @A + A: (IV.42)

Perhitungan untuk = 0 dan = 0 diperoleh:

r0A0 = @0A0 + 00A = 0 + 000A0 + 00'A3 = 0: (IV.43)

Untuk = 1, = 0 diperoleh:

r1A0 = @1A0 + 01A = @rA0 + 010A0 + 013A3

= @rA0 +

@rf(r)A0

2f(r): (IV.44)


r2A0 = @2A0 + 02A = @2A0 + 020A0 + 023A3 = @A0: (IV.45)


r3A0 = @'A0 + 03A = @3A0 + 030A0 + 033A3 = @'A0: (IV.46)

Untuk = 0, = 3

r0A3 = @0A3 + 30A = 300A0 + 303A3 = 0: (IV.47)

39

Untuk = 1, = 3

r1A3 = @1A3 + 31A = @rA3 + 310A0 + 313A3 = @rA3 +1

rA3: (IV.48)

Untuk = 2, = 3

r2A3 = @2A3 + 32A = @A3 + 320A0 + 323A3 = @A3 +cos

sin A3: (IV.49)

Untuk = 3, = 3

r3A3 = @3A3 + 33A = @'A3 + 330A0 + 333A3 = @'A3: (IV.50)

Untuk = 1 dan = 2 tidak selalu nol karena faktor koefisien koneksi turutberperan. Untuk = 0, = 1

r0A1 = @0A1 + 100A0 + 101A1 + 102A2 + 103A3 = 100= [@rf(r)]f(r)A0: (IV.51)

Untuk = 1, dan = 1

r1A1 = @1A1 + 11A = 110A0 + 111A1 + 112A2 + 113 = 0 (IV.52)

Untuk = 2, = 1

r2A1 = @2A1 + 120A0 + 121A1 + 122A2 + 123A3 = 0: (IV.53)

Untuk = 3, = 1

r3A1 = @3A1 + 130A0 + 131A1 + 132A2 + 133A3 = 133A3= r sin2 f(r)A3: (IV.54)

Untuk = 0, = 2

r0A2 = @0A2 + 200A0 + 201A1 + 202A2 + 303A3 = 0: (IV.55)

Untuk = 1, = 2

r1A2 = @1A2 + 210A0 + 211A1 + 212A2 + 213A3 = 0: (IV.56)

40

Untuk = 2, = 2

r2A2 = @2A2 + 220A0 + 221A1 + 222A2 + 223A3 = 0: (IV.57)

Untuk = 3, = 2

r3A2 = @3A2 + 230A0 + 231A1 + 232A1 + 233A1 = 0: (IV.58)

Selanjutnya Laplacian A bisa dihitung dengan memanfaatkan hasil-hasil sebe-lumnya di atas dengan mengkontraksikan masing-masing komponen potensial,

rrA = grrA

= g0rr0A + g1rr1A + g2rr2A + g3rr3A

= g00r0r0A + g11r1r1A + g22r2r2A + g33r3r3A:(IV.59)

Sedangkan,

rrA = @(rA) + rA rA: (IV.60)

Mengingat metrik bersifat diagonal, maka tinggal dihitung tiga komponen tidak nol.Untuk = 0, = 0 dan = 0,

r0r0A0 = @0(r0A0) + 00r0A 00rA0= 000r0A0 + 001r0A1 + 002r0A2 + 003r0A3 000r0A0

100r1A0 200r2A0 300r3A0= 001r0A1 100r1A0

= @rf(r)2f(r)

[@rf(r)]f(r)A0 + [@rf(r)]f(r)

@rA

0 +[@rf(r)]A

0

2f(r)

= [@rf(r)]

2A0

2+ [@rf(r)][@rA

0]f(r) +[@rf(r)]

2A0

2= [@rf(r)][@rA

0]f(r): (IV.61)

41

Untuk = 0, = 1 dan = 1 diperoleh

r1r1A0 = @1(r1A0) + 01r1A 11rA0= @r(r1A0) + 010r1A0 + 011r1A1 + 0121A2 + 013r1A3

011r0A0 111r1A0 211r2A0 311r3A0= @r(r1A0) + 010r1A0 111r1A0

= @r

@rA

0 +@rf(r)A

0

2f(r)

+

@rf(r)

[2f(r)]

@rA

0 +@rf(r)A

0

2f(r)

+@rf(r)

2f(r)

@rA

0 +[@rf(r)A

0]

2f(r)

= @r

@rA

0 +[@rf(r)]A

0

2f(r)

+@rf(r)

f(r)

@rA

0 +[@rf(r)A

0]

2f(r)

= @2rA

0 +2f(r)[@2rf(r)A

0 + [@rf(r)][@rA0] 2[@rf(r)]2A0

4f 2(r)

+[@rf(r)][@rA

0]

f(r)+

[@rf(r)]2A0

2f 2(r)

= @2rA0 +

[@2rf(r)]A0

2f(r)+

[@rf(r)][@rA0]

2f(r)+

[@rf(r)][@rA0]

f(r)

= @2rA0 +

[@2rf(r)]A0

2f(r)+

3[@rf(r)][@rA0]

2f(r): (IV.62)

Untuk = 0, = 2 dan = 2 diperoleh:

r2r2A0 = @2(r2A0) + 02r2A 22rA0= @2(r2A0) + 020r2A0 + 021r2A1 + 022r2A2 + 023r2A3

022r0A0 122r1A0 222r2A0 322r3A0= @2(r2A0) 122r1A0

= @(@A0) + rf(r)

@rA

0 +@rf(r)A

0

2f(r)

= @2A

0 + [rf(r)][@rA0] +

r@rf(r)A0

2: (IV.63)

42

Untuk = 0, = 3 dan = 3 diperoleh:


033r0A0 133r1A0 233r2A0 333r3A0= @3(r3A0) 133r1A0 233r2A0= @3(r3A0) + r sin2 f(r)r1A0 + sin cos (@A0)= @3('3A

0) + [r sin2 f(r)]

@rA

0 +[@rf(r)]A

0

2f(r)

+ sin cos (@A

0)

= @2'A0 + [r sin2 ][@rA

0]f(r) +r sin2 [@rf(r)]A

0

2+ sin cos (@A

0):

(IV.64)

Untuk = 1, = 0 dan = 0,

r0r0A1 = @0(r0A1) + 10r0A 00rA1= 100r0A0 + 101r0A1 + 102r0A2 + 103r0A3

000r0A1 100r1A1 200r2A1 300r3A1 = 0:(IV.65)

Untuk = 1, = 1 dan = 1.

r1r1A1 = @(rA) + rA rA1= @1(r1A1) + 11r1A 11rA1= 0 + 110r1A0 + 111r1A1 + 112r1A2 + 113r1A3

011r0A1 111r1A1 211r2A1 311r3A1 = 0:(IV.66)

Untuk = 1, = 2 dan = 2,


022r0A1 122r1A1 222r2A1 323r3A1 = 0:(IV.67)

43

Untuk = 1, = 3 dan = 3


033r0A1 133r1A1 233r2A1 333r3A1= @3(r3A1) + 133r3A3= @'(r sin2 f(r)A3) r sin2 f(r)@'A3= 2r sin2 f(r)@'A3: (IV.68)

Untuk = 2, = 0 dan = 0,


000r0A2 100r1A2 200r2A2 300r3A2 = 0:(IV.69)

Untuk = 2, = 1 dan = 1,


011r0A2 111r1A2 211r2A2 311r3A2 = 0:(IV.70)

Untuk = 2, = 2 dan = 2,


022r0A2 122r1A2 222r2A2 322r3A2 = 0:(IV.71)

44

Untuk = 2, = 3 dan = 3,


033r0A2 133r1A2 233r2A2 333r3A2= 233r3A3 = sin cos [@'A3]:

(IV.72)

Untuk = 3, = 0 dan = 0,


000r0A3 100r1A3 200r2A3 300r3A3= 100r1A3

= [@rf (r)] [@rA3]f (r) +

[@rf (r)] f (r)A3

r(IV.73)

Untuk = 3, = 1 dan = 1,


011r0A3 111r1A3 211r2A3 311r3A3= @1(r1A3) + 313r1A3 111r1A3

= @r(@rA3 +

1

rA3) +

1

r

@rA

3 +1

rA3+

[@rf(r)]

2f(r)

@rA

3 +1

rA3

= @2rA3 +

r[@rA3] A3r2

+1

r@rA

3 +A3

r2+

[@rf(r)]

2f(r)[@rA

3 +1

rA3]

= @2rA3 +

2

r@rA

3 +[@rf(r)]

2f(r)[@rA

3 +1

rA3]: (IV.74)

45

Untuk = 3, = 2 dan = 2,


022r0A3 122r1A3 222r2A3 322r3A3= @2(r2A3) + 323r2A3 122r1A3= @(@A

3 + cot A3) + cot (@A + cot A3)

+rf(r)

@rA

3 +1

rA3

= @2A3 A3 + 2[@A3][cot ] + rf(r)[@rA3] + f(r)A3

= @2A3 + [f(r) 1]A3 + rf(r)[@rA3] + 2[@A3][cot ]: (IV.75)

Untuk = 3, = 3 dan = 3,

r3r3A3 = @3(r3A3) + 33r3A 33rA3

= @3(r3A3) + 330r3A0 + 331r3A1 + 332r3A2 + 333r3A3

033r0A3 133r1A3 233r2A3 333r3A3

= @3(r3A3) + 331r3A1 133r1A3 233r2A3

= @'(@'A3) sin2 f(r)A3 + r sin2 f(r)(@rA3 + 1

rA3)

+ sin cos (@A3 + cot A3)

= @2'A3 + sin cos (@A

3) + r sin2 f(r)(@rA3) + cos2 A3:

(IV.76)

Oleh karena itu akan diperoleh persamaan Laplacian bagi A0.

rrA0 = g00r0r0A0 + g11r1r1A0 + g22r2r2A0 + g33r3r3A0

= 1f(r)

[@rf(r)][@rA

0]f(r)+ f(r)

@2rA

0 +[@2rf(r)]A

0

2f(r)+

3[@rf(r)][@rA0]

2f(r)

+

1

r2

@2A

0 + [rf(r)][@rA0] +

r@rf(r)A0

2

+

1

r2 sin2

@2'A

0 + [r sin2 ][@rA0]f(r) +

r sin2 [@rf(r)]A0

2+ sin cos (@A

0)

= [@rf(r)][@rA0]

+f(r)[@2rA0] +

[@2rf(r)]A0

2+

3[@rf(r)][@rA0]

2+

@2A0

r2+

f(r)[@rA0]

r+

[@rf(r)]A0

2r

+@2'A

0

r2 sin2 +

[@rA0]f(r)

r+

[@rf(r)]A0

2r+

cot (@A0)

r2

= f(r)[@2rA0] +

[@2rf(r)]A0

2+

[@rf(r)][@rA0]

2+

@2A0

r2+

2f(r)[@rA0]

r+

[@rf(r)]A0

r

+@2'A

0

r2 sin2 +

cot (@A0)

r2(IV.77)

46

Laplacian bagi A1.


=1

r2 sin2

2r sin2 f(r)@'A3= 2f(r)@'A

3

r(IV.78)

Laplacian bagi A2.


=1

r2 sin2 [ sin cos [@'A3]] = cot [@'A

3]

r2

(IV.79)

Laplacian bagi A3.


= 1f(r)

@rf(r)[@rA

3]f (r) +[@rf (r)] f (r)A

3

r

+f(r)

@2rA

3 +2

r@rA

3 +[@rf(r)][@rA

3]

2f(r)+@rf(r)A

3

2rf(r)

+

1

r2@2A

3 + 2 cot (@A3) + rf(r)(@rA

3) + [f(r) 1]A3+

1

r2 sin2

@2'A

3 + sin cos (@A3) + r sin2 f(r)(@rA

3) + cos2 A3

= [@rf(r)][@rA3] [@rf(r)]A3

r+ f(r)@2rA

3 +2[@rA

3]f(r)

r

+[@rf(r)]

2[@rA

3 +1

rA3] +

@2A3

r2+

[f(r) 1]r2

A3 +f(r)[@rA

3]

r

+2[@A

3][cot ]

r2+

[@2'A3]

r2 sin2 +

cot

r2[@A

3] +f(r)

r[@rA

3] +cot2

r2A3

= [@rf(r)][@rA3]

2 [@rf(r)]A

3

2r+ f(r)@2rA

3 +4[@rA

3]f(r)

r+@2A

3

r2

+[f(r) 1 + cot2 ]A3

r2+

3[@A3][cot ]

r2+

1

r2 sin2 [@2'A

3]

= f(r)@2rA3 +

@2A3

r2+

1

r2 sin2 [@2'A

3] [@rf(r)][@rA3]

2 [@rf(r)]A

3

2r

+4[@rA

3]f(r)

r+

[f(r) 1 + cot2 ]A3r2

+3[@A

3][cot ]

r2: (IV.80)

47

Persamaan Maxwell bagi masing-masing komponen potensial adalah sebagaiberikut.Persamaan Maxwell bagi A0,

rrA0 + A0 = 0, f(r)[@2rA0] +

[@2rf(r)]A0

2+

[@rf(r)][@rA0]

2+@2A

0

r2+

2f(r)[@rA0]

r+

[@rf(r)]A0

r

+@2'A

0

r2 sin2 +

cot [@A0]

r2+ A0 = 0

, 2r2 sin2 f(r)[@2rA0] + r2 sin2 [@2rf(r)]A0 + r2 sin2 [@rf(r)][@rA0]+2 sin2 [@2A

0] + 4r sin2 f(r)[@rA0] + 2r sin2 A0[@rf(r)]

+2@2'A0 + 2 sin cos [@A

0] + 2A0r2 sin2 = 0: (IV.81)

Lakukan pemisahan variable dengan mensubstitusi A0 = R0(r)T 0()P 0('), se-hingga

2r2 sin2 T 0P 0f(r)[@2rR0] + r2 sin2 [@2rf(r)]R

0T 0P 0 + r2 sin2 T 0P 0[@rf(r)][@rR0]

+2 sin2 R0P 0[@2T0] + 4r sin2 f(r)T 0P 0[@rR

0] + 2r sin2 R0T 0P 0[@rf(r)]

+2R0T 0[@2'P0] + 2 sin cos R0P 0[@T

0] + 2R0T 0P 0r2 sin2 = 0: (IV.82)

Kalikan persamaan tersebut dengan 1=R0T 0P 0, maka diperoleh

2r2 sin2 f(r)[@2rR0]

R0+ r2 sin2 [@2rf(r)] +

r2 sin2 [@rf(r)][@rR0]

R0+

2 sin2 [@2T0]

T 0

+4r sin2 f(r)[@rR

0]

R0+ 2r sin2 [@rf(r)] +

2[@2'P0]

P 0

+2 sin cos [@T

0]

T 0+ 2r2 sin2 = 0:

(IV.83)

Persamaan tersebut dapat ditulis bagi variabel (r; ) dan '. Bagi '

2[@2'P0]

P 0= K21 ; (IV.84)

dengan solusi

P 0(') = C1 cos

K12

'

+ C2 sin

K12

'

: (IV.85)

Tampak ketergantungan solusi potensial bersifat sinusoidal terhadap sudut '. De-ngan membatasi pada rentang sudut 0 hingga 2 terlihat potensial menguat pada

48

sudut =2 radian. Plot solusi ini adalah

1

0:5

0

0:5

1

1:5

02

32 2

P 0(')

'

P 0(')

Gambar IV.1: Plot P 0(').

Bagi (r; ),

2r2 sin2 f(r)[@2rR0]

R0+ r2 sin2 [@2rf(r)] +

r2 sin2 [@rf(r)][@rR0]

R0+

2 sin2 [@2T0]

T 0

+4r sin2 f(r)[@rR

0]

R0+ 2r sin2 [@rf(r)] +

2 sin cos [@T0]

T 0+ 2r2 sin2 = K21 :

(IV.86)

Kalikan persamaan tersebut dengan 1= sin2 maka

2r2f(r)[@2rR0]

R0+ r2[@2rf(r)] +

r2[@rf(r)][@rR0]

R0+

2[@2T0]

T 0+

4rf(r)[@rR0]

R0

+2r[@rf(r)] +2 cot [@T

0]

T 0+ 2r2 =

K21sin2

; (IV.87)

yang dapat ditulis menjadi persamaan dalam r dan . Bagi r

2r2f(r)[@2rR0]

R0+ r2[@2rf(r)] +

r2[@rf(r)][@rR0]

R0+

4rf(r)[@rR0]

R0

+2r[@rf(r)] + 2r2 = K22

(IV.88)

49

Untuk ketergantungan dengan ,

2[@2T0]

T 0+

2 cot [@T0]

T 0 K

21

sin2 = K22 : (IV.89)

Untuk mendapatkan solusi persamaan yang mengandung r, pertama substitusi f(r)pada persamaan tersebut.

2r2[@2rR0]

R0

1 2m

r r

2

3

r2

4m

r3+

2

3

+r2[@rR

0]

R0

2m

r2 2r

3

+4r[@rR

0]

R0

1 2m

r r

2

3

+ 2r

2m

r2 2r

3

+ 2r2 = K22 :

(IV.90)

Selanjutnya kedua ruas dikali 3r2R0

[@2rR0][6r4 12mr3 2r6] (12mr + 2r4)R0 + [@rR0][6mr2 2r5]

+[@rR0](12r3 24mr2 4r5) + [12mr 4r4]R0 + 6r4R0 = 3K22r2R0:

, (6r4 12mr3 2r6)[@2rR0] + [12r3 18mr2 6r5][@0R0] + 3k22r2R0 = 0:, (2r6 6r4 + 12mr3)[@2rR0] + [6r5 12r3 + 18mr2][@0R0] 3k22r2R0 = 0:

(IV.91)

Substitusi solusi deret, turunan pertama dan kedua masing-masing

R0(r) =1Xi=0

airi+s (IV.92)

@R0(r)

@r=

1Xi=0

(i+ s)airi+s1 (IV.93)

@2R0(r)

@r2=

1Xi=0

(i+ s)(i+ s 1)airi+s2 (IV.94)

50

pada persamaan yang mengandung r

(2r6 6r4 + 12mr3)1Xi=0

(i+ s)(i+ s 1)airi+s2

+[6r5 12r3 + 18mr2]1Xi=0

(i+ s)airi+s1 + 3k22r

21Xi=0

airi+s = 0:

,1Xi=0

2ai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+4 1Xi=0

6ai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+2

+1Xi=0

12mai(i+ s)(i+ s 1)ri+s+1 +1Xi=0

6ai(i+ s)ri+s+4

1Xi=0

12ai(i+ s)ri+s+2 +

1Xi=0

18mai(i+ s)ri+s+1 +

1Xi=0

3K22airi+s+2 = 0:

Selanjutnya

1Xi=0

[2ai(i+ s)(i+ s 1) + 6ai(i+ s)]ri+s+4

1Xi=0

[6ai(i+ s)(i+ s 1) + 12ai(i+ s) + 3K22ai]ri+s+2

+1Xi=0

[12mai(i+ s)(i+ s 1) + 18mai(i+ s)]ri+s+1 = 0: (IV.95)

Koefisien pangkat terendah pertama untuk i = 0 diperoleh

12ma0s(s 1) + 18ma0s = 0:s = 0; s = 1=2 (IV.96)

Koefisien terendah berikutnya adalah,

[12ma1(1 + s)(1 + s 1) + 18ma1(1 + s)] [6a0(0 + s)(0 + s 1)+12a0(0 + s) 3k22a0] = 0: (IV.97)

Penyederhanaan lebih lanjut menghasilkan

[12ma1(1 + s)2 12ma1(1 + s) + 18ma1(1 + s)]

[6a0s(s 1) + 12a0s 3k22a0] = 0, a1 = [6a0s

2 + 6a0s 3k22a0][12m(1 + s)2 + 6m(1 + s)]

: (IV.98)

51

Koefisien terendah berikutnya adalah sebagai berikut,

[12ma2(2 + s)(2 + s 1) + 18ma2(2 + s)] [6a1(1 + s)(1 + s 1)+12a1(1 + s) + 3K

22a1] = 0

, [12ma2(2 + s)2 + 6ma2(2 + s)] [6a1(1 + s)2 + 6a1(1 + s) 3k22a1] = 0, a2 = [6a1(1 + s)

2 + 6a1(1 + s) 3k22a1][12m(2 + s)2 + 6m(2 + s)]

: (IV.99)

Koefisien terendah selanjutnya,

[12ma3(3 + s)(3 + s 1) + 18ma3(3 + s)] [6a2(2 + s)(1 + s)+12a2(2 + s) 3K22a2] + [2a0s(s 1) + 6a0s] = 0

, [12ma3(3 + s)(2 + s) + 18ma3(3 + s)] [6a2(2 + s)(1 + s)+12a2(2 + s) 3K22a2] + [2a0s(s 1) + 6a0s] = 0

, a3 = [6a2(2 + s)(1 + s) + 12a2(2 + s) 3K22a2] [2a0s2 + 4a0s]

[12m(3 + s)(2 + s) + 18m(3 + s)]:

(IV.100)

Secara umum berlaku,

[12mai(i+ s)(i+ s 1) + 18mai(i+ s)] [6ai1(i 1 + s)(i+ s 2)]+[12ai1(i 1 + s) 3K22ai1] + [2ai3(i 3 + s)(i+ s 4)+6ai3(i 3 + s)] = 0

, ai = [6ai1(i 1 + s)(i+ s 2) + 12ai1(i 1 + s) 3K22ai1]

12m(i+ s)(i+ s 1) + 18m(i+ s) [2ai3(i 3 + s)(i+ s 4) + 6ai3(i 3 + s)]

12m(i+ s)(i+ s 1) + 18m(i+ s) : (IV.101)

Nilai koefisien a1 untuk s = 0,

a1 =[6a0(0)

2 + 6a0(0) 3K22a0][12m(1 + 0)2 + 6m(1 + 0)]

=K22a06m

: (IV.102)

Untuk s = 1=2,

a01 =[6a0(1=2)2 + 6a0(1=2) 3K22a0][12m(1 1=2)2 + 6m(1 1=2)] =

[2K22 1]a04m

: (IV.103)

52

Koefisien a2 untuk s = 0,

a2 =[6a1(1 + 0)

2 + 6a1(1 + 0) 3K22a1]12m(2 + 0)2 + 6m(2 + 0)

, a2 = [6a1 + 6a1 3K22a1]

[48m+ 12m]=

[2a1 + 2a1 K22a1][16m+ 4m]

, a2 = [4K22 ]a1

20m=

4K2220m

K22a06m

: (IV.104)

Untuk s = 1=2

a02 =[6a1(1 1=2)2 + 6a1(1 1=2) 3K22a1]

[12m(2 1=2)2 + 6m(2 1=2)], a02 =

[6a1(1=2)2 + 6a1(1=2) 3K22a1]

[12m(3=2)2 + 6m(3=2)]

, a02 =[6a1 + 12a1 12K22a1]

[108m+ 36m]=

3a1 2K22a124m

, a02 =3 2K2224m

[2K22 1]a0

4m: (IV.105)

Koefisien a3 untuk s = 0,

a3 =[6a2(2 + 0)(1 + 0) + 12a2(2 + 0) 3K22a2] [2a0:02 + 4a0:0]

[12m(3 + 0)(2 + 0) + 18m(3 + 0)]

, a3 = [12a2 + 24a2 3K22a2]

[12m(3 + 0)(2 + 0) + 18m(3 + 0)]=

12a2 K22a242m

, a3 = [12K22 ]a2

42m=

[12K22 ]42m

[3 2K22 ]24m

[2K22 1]a04m

: (IV.106)

Untuk s = 1=2

a03 =[6a2(2 1=2)(1 1=2) + 12a2(2 1=2) 3K22a2]

[12m(3 1=2)(2 1=2) + 18m(3 1=2)] 2[a0(1=2)

2 + 4a0(1=2)][12m(3 1=2)(2 1=2) + 18(3 1=2)]

, a03 =[6a23 + 12a26 12K22a2] 2[a0 8a0]

[12m:15 + 18m:10]: (IV.107)

53

Lebih lanjut,

a03 =[3a2 + 12a2 2K22a2] + 3a0

30m+ 30m

, a03 =[15 2K22 ]a2

60m+

a020m

, a03 =[15 2K22 ]

60m

3 2K2224m

[2K22 1]a0

4m+

a020m

: (IV.108)

Solusi lengkap persamaan diferensial untuk R0(r) oleh karena itu adalah sebagaiberikut karena masing-masing s bukan singulir,

R0(r) = (y(r))s=0 + (y(r))s=1=2

, R0(r) = a0 + a1r1 + a2r2 + a3r3 + :::+a00r

1=2 + a01r1=2 + a02r

3=2 + a03r5=2 + :::

, R0(r) = a0 + K22a0

6mr +

[4K22 ]20m

[K22a0]6m

r2

+[12K22 ]

42m

[3 2K22 ]24m

[2K22 1]4m

a0r3 + :::

+a00r1=2 +

[2K22 1]4m

a0r1=2 +

[3 2K22 ][24m]

[2K22 1]4m

a0r3=2

+

[15 2K22 ]

60m

[3 2K22 ]24m

[2K22 1]a04m

+a020m

r5=2 + :::

(IV.109)

Dengan GNUPLOT grafik solusi deret ini adalah ...

7:5

8

8:5

9

9:5

10

0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8 2

R0(r)

r

m > ; s = 0

(a)

51015202530354045

0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8 2

R0(r)

r

m < ; s = 0

(b)

Gambar IV.2: Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0.

54

510

15

20

25

30

35

0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8

R0(r)

r

m > ; s = 0:5

(a)

5

10

15

20

25

30

35

0 0:2 0:4 0:6 0:8 1 1:2 1:4 1:6 1:8

R0(r)

r

m < ; s = 0:5

(b)

Gambar IV.3: Plot R0(r) terhadap r(0! r1) untuk s = 0:5.

6:86:97

7:17:27:37:47:57:67:77:8

1:7 1:8 1:9 2 2:1 2:2 2:3 2:4 2:5 2:6 2:7

R0(r)

r

m > ; s = 0

(a)

9:5

10

10:5

11

11:5

12

12:5

0:40:5 0:60:70:80:9 1 1:11:2 1:31:4

R0(r)

r

m < ; s = 0

(b)

Gambar IV.4: Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0.

3:43:63:84

4:24:44:64:85

5:25:4

1:7 1:8 1:9 2 2:1 2:2 2:3 2:4 2:5 2:6 2:7

R0(r)

r

m > ; s = 0:5

(a)

1011121314151617

0:4 0:5 0:6 0:7 0:8 0:9 1 1:1 1:2 1:3 1:4

R0(r)

r

m < ; s = 0:5

(b)

Gambar IV.5: Plot R0(r) terhadap r(r1 ! r2) untuk s = 0:5.

Plot-plot grafik di atas memberikan sedikit implementasi wakilan numerik untukmemvisualkan kelakuan medan R0 yang merupakan potensial listrik di sekitar lu-bang hitam. Untuk solusi dengan pemilihan s = 0 terlihat bahwa ketika kita berge-rak dari horizon lubang hitam menuju singularitas r = 0 terlihat dua kemungkinan

55

skenario terjadi. Jika konstanta kosmologi cukup kecil terlihat potensial listrik akanmenguat yang menunjukkan peranan besar konstanta kosmologi dalam mempenga-ruhi sifat medan listrik. Sebaliknya terjadi untuk konstanta kosmologi yang cukupbesar. Hal ini tidak mengherankan karena solusi Kottler sendiri menggambarkantarikan antara dua komponen yaitu gravitasi kuat dan konstanta kosmologi.

Solusi ini tentu diungkap dalam batas-batas limit horizon peristiwa lubang hi-tam tersebut. Plot grafik juga mengasumsikan syarat batas pada lubang hitam yaitu3MG

p < 1 sehingga semua horizon peristiwa yang hadir bersifat fisis.

Jika ditinjau kelakuan potensial listrik pada wilayah antara horizon kosmologisdengan horizon lubang hitam, maka tampak dari solusi ini potensial menguat dizona mendekati limit masing-masing tapal batas horizon.

Solusi lengkap bagi fungsi dengan variabel adalah sebagai berikut,

2[@2T0]

T 0+

2 cot [@T0]

T 0 K

21

sin2 = K22 (IV.110)

dikali dengan T 0=2,

@2T0 + cot [@T

0]

K212 sin2

+K222

T0 = 0: (IV.111)

Solusinya adalah,

T 0() = C3Pmn (cos ) + C4

mn (cos ) (IV.112)

denganm = K21 , n = 1=2(1 +p1 4(K22=2)) = 1=2(1 +

p1 2K22).

Solusi eksak untuk T 0() dalam bentuk fungsi eksplisit (closed form) diperolehuntuk kosntanta K2 = 0. Dalam hal ini dilakukan transformasi variabel. Misalkany = ln(cot(=2)) sehingga:

dT 0()

d=

dT (y)

dy

dy

d= 1

sin

dT 0(y)

dy(IV.113)

dan

d2T 0()

d2=

cot

sin

dT 0()

dy 1

sin

d

dy

dy

d

dT 0(y)

dy

, d

2T 0()

d2=

cot

sin

dT 0()

dy+

1

sin2

d2T 0(y)

dy2: (IV.114)

56

Maka persamaan (IV.111) selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:

1

sin2

d2T 0(y)

dy2+

cot

sin

dT 0(y)

dy cot

sin

dT 0(y)

dy K

21

2 sin2 T 0(y) = 0

, d2T 0(y)

dy2 K

21

2T 0(y) = 0: (IV.115)

Solusinya adalah,

T 0(y) = C1 cosh

K12y

+ C2 sinh

K12y

(IV.116)

dengan ungkapan lain

T 0(y) = ~C1e(K1=2)y + ~C2e

(K1=2)y: (IV.117)

Dengan mensubstitusikan kembali untuk y diperoleh,

T 0() = C1 cosh

K12

ln(cot(=2))

+ C2 sinh

K12

ln(cot(=2))

: (IV.118)

Atau

T 0() = ~C1[cot(=2)]K1=2 + ~C2[cot(=2)]

K1=2: (IV.119)

Plot solusi eksak dengan GNUPLOT diberikan oleh Gambar IV.6

150

100

50

0

50

100

150

3 2 0 2 3

T 0()

K2 = 0

Gambar IV.6: Plot T 0() terhadap .

Hasil Plot solusi memperlihatkan keperiodikan solusi untuk setiap periode 2

57

radian. Hasil ini tidak mengherankan karena setiap 2 radian kita kembali ketitikyang sama yang sudah seharusnya kuat medannya menjadi periodik.

Persamaan Maxwell bagi A1 adalah sebagai berikut.Mengingat A1 = 0, maka

rrA1 + A1 = 0) rrA1 = 0: (IV.120)

Dengan mensubstitusikan hasil hitungan Laplacian bagi A1

2f(r)r

@'A3 = 0 (IV.121)

yang menunjukkan ketidakbergantungan A3 dengan variabel '.Adapun persamaan Maxwell bagi A2 menghasilkan kaitan berikut,

rrA2 + A2 = 0) rrA2 = 0) cot [@'A

3]

r2= 0 (IV.122)

yang juga menunjukkan bahwa A3 tidak gayut dengan '. Dua kaitan yang memberikesimpulan yang sama ini terkait dengan pilihan ansatsz yang dilakukan. Sehingggakopling antara A1 dan A2 tidak lagi muncul. Selanjutnya teknik solusi separasivariabel bisa diterapkan.

Persamaan Maxwell bagi A3 adalah sebagai berikut:

rrA3 + A3 = 0, f(r)@2rA3 +

@2A3

r2+

1

r2 sin2 [@2'A

3] [@rf(r)][@rA3]

2 [@rf(r)]A

3

2r

+4[@rA

3]f(r)

r+

[f(r) 1 + cot2 ]A3r2

+3[@A

3][cot ]

r2+ A3 = 0:

(IV.123)

Mengingat @'A3 = 0

f(r)@2rA3 +

@2A3

r2 [@rf(r)][@rA

3]

2 [@rf(r)]A

3

2r+

4[@rA3]f(r)

r

+[f(r) 1 + cot2 ]A3

r2+

3[@A3][cot ]

r2+ A3 = 0: (IV.124)

58

Dikali dengan 2r2

2r2f(r)@2rA3 + 2@2A

3 r2[@rf(r)][@rA3] r[@rf(r)]A3 + 8r[@rA3]f(r)+2[f(r) 1]A3 + 2 cot2 A3 + 6[@A3][cot ] + 2r2A3 = 0: (IV.125)

Dilakukan separasi variabel A3(r; ) = R3(r)T 3(),

2r2f(r)T 3@2rR3 + 2R3@2T

3 r2[@rf(r)]T 3@rR3 r[@rf(r)]R3T 3+8rT 3f(r)@rR

3 + 2[f(r) 1]R3T 3 + 2 cot2 R3T 3 + 6R3[@T 3][cot ]+2r2R3T 3 = 0: (IV.126)

Dibagi dengan R3T 3,

2r2f(r)@2rR3

R3+

2@2T3

T 3 r

2[@rf(r)]@rR3

R3 r[@rf(r)] + 8rf(r)@rR

3

R3

+2[f(r) 1] + 2 cot2 + 6[@T3][cot ]

T 3+ 2r2 = 0: (IV.127)

Selanjutnya diperoleh dua persamaan dengan variabel yang telah terpisah,

2r2f(r)@2rR3

R3 r

2[@rf(r)][@rR3]

R3 r[@rf(r)]

+8rf(r)@rR

3

R3+ 2[f(r) 1] + 2r2 = K23 (IV.128)

dan

2@2T3

T 3+ 2 cot2 +

6[@T3][cot ]

T 3= K23 : (IV.129)

Persamaan (IV.128) terlebih dahulu dikali dengan R3

2r2f(r)@2rR3 r2[@rf(r)][@rR3] r[@rf(r)]R3 + 8rf(r)@rR3 + 2[f(r) 1]R3

+2r2R3 K23R3 = 0: (IV.130)

59

Disubstitusikan f(r) = 1 2mr 1

3r2,

2r21 2m

r 1

3r2

@2rR

3 r22m

r2 2

3r

[@rR

3] r2m

r2 2

3r2

R3

+8r

1 2m

r 1

3r2

@rR

3 + 2

2mr

13r2

R3 + 2r2R3 K23R3 = 0

, 6r2 12m 2r4 @2rR3 + 24r 54m 6r3 @rR318m

r 6r2 + 3K23

R3 = 0: (IV.131)

Dengan memisalkan solusi dalam bentuk deret, dengan turunan pertama dan kedu-anya masing-masing

R3(r) =1Xi=0

biri+s; (IV.132)

@R3(r)

@r=

1Xi=0

(i+ s)biri+s1; (IV.133)

@2R3(r)

@r2=

1Xi=0

(i+ s)(i+ s 1)biri+s2: (IV.134)

Substitusi ungkapan deret dan turunannya pada (IV.131) maka

6r2 12m 2r4 1X

i=0

(i+ s)(i+ s 1)biri+s2

+24r 54m 6r3 1X

i=0

(i+ s)biri+s1

18m

r 6r2 + 3K23

1Xi=0

biri+s = 0:

(IV.135)

Dengan menguraikan serta mengumpulkan yang seorde,

1Xi=0

6(i+ s)(i+ s 1)biri+s 1Xi=0

12m(i+ s)(i+ s 1)biri+s2

1Xi=0

2(i+ s)(i+ s 1)biri+s+2 +1Xi=0

24(i+ s)biri+s

1Xi=0

54(i+ s)mbiri+s1

1Xi=0

6(i+ s)bi+s+2i 1Xi=0

18mbiri+s1 +

1Xi=0

6biri+s+2

1Xi=0

3K23biri+s = 0:

60

Berikutnya

1Xi=0

[6 6(i+ s) 2(i+ s)(i+ s 1)]biri+s+2 +1Xi=0

[6(i+ s)(i+ s 1)

+24(i+ s) 3K23 ]biri+s 1Xi=0

[54(i+ s)m+ 18m]biri+s1

1Xi=0

12m(i+ s)(i+ s 1)biri+s2 = 0: (IV.136)

Koefisien suku terendah pertama menghasilkan,

12m(0 + s)(0 + s 1)b0 = 0s = 0; s = 1 (IV.137)

Koefisien suku terendah selanjutnya adalah

12m(1 + s)(1 + s 1)b1 [54(0 + s)m+ 18m]b0 = 0b1 = [54sm+ 18m]

12m(1 + s)(s)b0: (IV.138)

Koefisien terendah berikutnya lagi adalah,

12m(2 + s)(2 + s 1)b2 [54(1 + s)m+ 18m]b1 + [6(0 + s)(0 + s 1)+24(0 + s) 3K23 ]b0 = 0

, 12m(2 + s)(1 + s)b2 [54sm+ 72m]b1 + [6s2 + 18s 3K23 ]b0 = 0, b2 = [6s

2 + 18s 3K23 ]b0 [54sm+ 72m]b112m(2 + s)(1 + s)

, b2 = [6s2 + 18s 3K23 ]b0

12m(2 + s)(1 + s)+

[54sm+ 72m][54sm+ 18m]b0(12m)2(2 + s)(1 + s)2s

: (IV.139)

61

Koefisien terendah selanjutnya lagi adalah,

12m(3 + s)(3 + s 1)b3 [54(2 + s)m+ 18m]b2+[6(1 + s)(1 + s 1) + 24(1 + s) 3K23 ]b1 = 0

, b3 = [6(1 + s)s+ 24(1 + s) 3K23 ]b1 [54(2 + s)m+ 18m]b2

12m(3 + s)(2 + s)

, b3 = [6(1 + s)s+ 24(1 + s) 3K23 ]b1

12m(3 + s)(2 + s)

[54(2 + s)m+ 18m][6s2 + 18s 3K23 ]b0 [54sm+ 72m]b1

[12m]2[3 + s][2 + s]2[1 + s]:

(IV.140)

Begitu juga selanjutnya

[12m(4 + s)(4 + s 1)]b4 [54(3 + s)m+ 18m]b3+[6(2 + s)(2 + s 1) + 24(2 + s) 3K23 ]b2+[6 6(0 + s) 2(0 + s)(0 + s 1)]b0 = 0

, [12m(4 + s)(3 + s)]b4 [54(3 + s)m+ 18m]b3+[6(2 + s)(1 + s) + 24(2 + s) 3K23 ]b2+[6 6s 2s(s 1)]b0 = 0

, b4 = [6 6s 2s(s 1)]b0[12m(4 + s)(3 + s)]

+[6(2 + s)(1 + s) + 24(2 + s) 3K23 ]b2

[12m(4 + s)(3 + s)]

[54(3 + s) + 18m]b3[12m(4 + s)(3 + s)]

: (IV.141)

Secara umum:

[12m(i+ s)(i+ s 1)]bi [54(i 1 + s)m+ 18m]bi1+[6(i 2 + s)(i 3 + s) + 24(i 2 + s) 3K23 ]bi2+[6 6(i 3 + s) 2(i 3 + s)(i 4 + s)]bi3 = 0

, bi = [6 6(i 3 + s) 2(i 3 + s)(i 4 + s)]bi312m(i+ s)(i+ s 1)

+[6(i 2 + s)(i 3 + s) + 24(i 2 + s) 3K23 ]bi2

12m(i+ s)(i+ s 1) [54(i 1 + s)m+ 18m]bi1

12m(i+ s)(i+ s 1) : (IV.142)

Solusi persamaan dalam metode Frobenius untuk kasus ini adalah ketika s1 = 0karena singulir dan s1 < s2 serta selisih keduanya adalah bilangan bulat [11]. Untuk

62

s = 0 koefisien b1 menjadi bentuk tak tentu sebagai mana b0. Selanjutnya koefisienyang lain ditentukan dalam suku b0 dan b1.

b2 =[6(0)2 + 18(0) 3K23 ]b0

12m(2 + 0)(1 + 0) [54sm+ 72m]b1

12m(2 + s)(1 + s)

, b2 = 3K23b0

12 2 1 72mb112 2 1 =

K23b08

3mb1 = [K23b0 24mb1]

8:

(IV.143)

Koefisien selanjutnya:

b3 =[24 3K23 ]b112m 3 2

126mb212m 3 2

, b3 = [24 3K23 ]b1

12m 3 2 126m

12m 3 23K23b012 2 1

72mb112 2 1

, b3 = [24 3K

23 ]b1

12m 3 2 +126K23b0

122m 22 1 +126 72m2b1122

Documents

solusi persamaan maxwell di ruang kottler.pdf