BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Sebelum mempelajari materi Kalkulus Peubah Banyak II selanjutnya, alangkah

perlu untuk memahami pengertian geometri integral lipat dua. Hal ini karena setiap

materi saling berkaitan.

Untuk mempelajari arti geometri integral lipat dua ini perlu mengetahui cara

mendapatkan rumus integral lipat dua yaitu secara geometri terhadap suatu bidang xoy

atau pada ruang dimensi dua.

Hal ini dilakukan dengan cara mempartisi daerah pada bidang xoy atau ruang

dimensi dua dengan garis garis yang sejajar sumbu koordinat. Oleh karena itu, harus lebih

memahami pengertian geometris integral lipat dua dan cara penurunan rumus ini sebelum

menggunakannya untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan integaral lipat

dua misalnya menghitung luas, volume ataupun massa dari suatu benda yang terdapat

pada bidang xoy atau ruang dimensi dua.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian geometris Integral lipat dua ?

2. Bagaimana bentuk integral lipat dua ?

3. Bagaimana penurunan bentuk umum integral lipat dua ?

1Kalkulus Peubah Banyak II

1.3 Tujuan

1. Untuk mengetahui arti geometris Integral lipat dua

2. Untuk memahami bentuk integral lipat dua

3. Untuk memahami penurunan bentuk umum integral lipat dua

1.4 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang dibahas oleh pemakalah yaitu pengertian secara geometri

integral lipat dua, bentuk umum integral lipat dua, dan menurunkan bentuk umum integral

lipat dua dengan metode partisi.

2Kalkulus Peubah Banyak II

BAB II

ARTI GEOMETRIS INTEGRAL LIPAT DUA

2.1 Integral Ganda Dua

Integral fungsi satu variable telah dibahas pada Kalkulus II. Penjelasannya dilakukan

dengan cara membentuk partisi suatu luasan (bidang datar) yang kontinu dan terdefinisi pada

suatu interval [a,b]. Selanjutnya masing-masing interval yang panjangnya Δxk , dengan

konstanta k = 1, 2, 3, 4, ….n. dan dituliskan dengan bentuk umum:

∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑k=1

n

f ( xk) Δxk

Analog dengan cara di atas, didefinisikan integral untuk fungsi dua variabel.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang XOY.

Selanjutnya daerah ini dibagi atas n buah subdaerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 ,

A3 …… An

Dalam setiap subdaerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk) dan bentuklah jumlah :

∑k=1

n

f ( xk , yk ) Δk A=f ( x1 , y1 ) Δ1 A+ f ( x2 , y2 )Δ2 A+. .. . .. .+ f ( xn , yn ) Δn A

Jika jumlah subdaerah makin besar (n→~), maka integral ganda dua dari fungsi f(x,y) atas

daerah R didefinisikan oleh:

∬R

f (x , y )dA=limn→∞

∑k=1

n

f ( xk , yk ) Δk A

3Kalkulus Peubah Banyak II

Untuk menghitung integral ganda dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis

dalam bentuk :

a.

∬R

f (x , y )dA=∬R

f ( x , y )dxdy=∫a

b ( ∫y1=f ( x )

y2=f (x )

f ( x , y )dx )dy

Integral yang ada dalam kurung pada bentuk di atas harus diselesaikan terlebih dahulu

dengan menganggap variabel y konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali

terhadap y.

b.

∬R

f (x , y )dA=∬R

f ( x , y )dydx=∫a

b ( ∫x1=f ( y )

x2=f ( y )

f ( x , y )dy )dx

Integral yang ada dalam kurung harus diselesaikan terlebih dahulu dengan menganggap

variabel x konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral ganda dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil

yang sama.

(Frank Ayres JR : 2002 Hal 467-468)

2.2 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi banyak

peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap.

Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada

selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah

fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.

4Kalkulus Peubah Banyak II

x

b

a

dc

kR),( kk yx

z

y

Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu

koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : a≤x≤b , c≤x≤d }. Bentuk suatu partisi dengan cara

membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang

kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan Δx k dan Δy k

adalah panjang sisi-sisi Rk dan ΔA k = Δx k .Δy k adalah luas. Pada Rk ambil sebuah titik

misal ( xk , yk ) dan bentuk penjumlahan Riemann ∑k=1

n

f ( xk , yk ) ΔAk.

http://www.google.com/#hl=en&tbo=d&sclient=psy- ab&q=definisi+integral+lipat+dua+

secara+umum.doc diakses tanggal 10 feb 2013 Pukul 19:08 WIB\

2.3 Integral Lipat Dua Menggunakan Teorema Fubini

Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari suatu fungsi

kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang. Selanjutnya teknik ini dikenal dengan

Teorema Fubini

5Kalkulus Peubah Banyak II

Integral lipat dua di R2 dapat diperoleh dari hasil kali kartesius dari interval di R.

Diketahui dua interval tutup misalkan [a,b] dan [c,d]. Hasil kali kartesius dari kedua interval

ini ditulis [a,b] x [c,d] adalah himpunan.

R={(X,Y)|a≤ x≤ b , c≤ y ≤ d }

Yang merupakan empat persegi panjang dengan titik sudutnya (a,c),(a,d),(b,c) dan (b,d).

Gambar Empat persegi panjang sebagai hasil kali Kartesius dua Interval

Seperti pada integral satu variabel, kita juga mengenal partisi untuk empat persegi panjang.

Partisi P dari empat persegi panjang R=[a,b] x [c,d] adalah dua himpunan{x i }i=0n dan { yi }i=0

n

yang sama banyaknya sehingga :

a=x0<x1<…<xn−1< xn=b dan c= y0< y1<…< yn−1< yn=d

Dan masing-masing membagi sama interval [a,b] dan [c,d].Kemudian, dituliskan :

∆ x=b−an

dan ∆ y=d−cn

dan pada setiap subinterval [ x i , x i+1 ] dan [ y i , y i+1 ] kita pilih masing-masing bilangan ψ i dan ηi.

6Kalkulus Peubah Banyak II

Gambar Empat Persegi Panjang dengan salah satu partisinya

Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai real f (x,y) yang terbatas dan didefenisikan pada

empat persegi panjang R. Jumlah Riemen fungsi f dengan partisi P adalah bentuk

R ( f , P )=∑i=0

n

∑j=0

n

f (ψ i , η j ) Δ x Δ y

Interpretasi jumlah ini adalah jumlah bertambah dari volume kotak sebanyak n2 dengan alas

Δ x dan Δ y dan tinggi masing-masing |f (ψ i , η j )| untuk i=1 , …, n ; j=1 , …, n.

Jika (ψ i , η j )>0 , kotak tersebut berada di atas bidang XY dan memberikan sumbangan

bilangan positif terhadap jumlah Riemann. Untuk f (ψ i , η j )<0, volume kotak adalah

−f (ψ i , η j ) Δ x Δ y dangan kotak berada di bawah bidang XY serta memberikan sumbangan

bilangan negative terhadap jumlah Riemann. Oleh karena itu untuk sebarang fungsi, jumlah

Riemann mungkin saja mempunyai nilai positif, nol, maupun negative.

Karena f fungsi yang terbatas, maka nilai fungsi f (x , y ) terbatas juga di empat persegi

panjang x i≤ x≤ x i+1 , y i≤ y≤ y j+1, misalkan di mij dan M ij masing-masing merupakan nilai

infimum dan supremum fungsi f di empat persegi panjang tersebut, maka berlaku

mij ≤ f (x)≤ M ij.

7Kalkulus Peubah Banyak II

Dengan demikian, jumlah Riemann tersebut terletak di antara

Sn=∑i=1

n

∑j=1

n

mij ∆ x ∆ y ≤ R (f , P)≤∑i=1

n

∑j=1

n

M ij ∆ x ∆ y

Jika nmakin besar, maka sn makin besar dan Sn makin kecil. Dalam hal ini, mungkin saja

terjadi untuk n yang makin besar nilai sn →V dan Sn →V juga, sehingga jumlah Riemann ini

juga menuju V untuk sebarang pilihan bilangan ψ i dan η j.

(Wono Setya Budhi : 2001, Hal 203-205)

2.4 Definisi Integral Riemann

Misalkan f fungsi terbatas dengan daerah definisi yang memuat empat persegi panjang

R=[ a , b ] ×[c , d ]. Jika untuk n → ∞ nilai R ( f , P ) menuju suatu bilangan V untuk sebarang

pilihan ψ i dan η j, maka nilai V disebut sebagai integral lipat fungsi f atas R dan ditulis

sebagai

∬R

❑

f ,∬R

❑

f ( x , y ) dA ,∬R

❑

f ( x , y ) dxdy ,atau∬R

❑

f ( x , y ) dydx

Jika f (x , y )≥ 0 salah satu arti integral tersebut adalah volume kotak dengan alas empat

persegi panjang R=[ a , b ] ×[c , d ] dan tutupnya permukaan z=f (x , y ).

Bagian sulit dari Matematika adalah mencari suatu syarat untuk fungsi agar integral tersebut

ada. Sebagai contoh, apakah semua fungsi terbatas di empat persegi panjang tertutup

mempunyai integral ? ternyata hal ini tidak benar. Pada mata kuliah lebih lanjut,

diperlihatkan bahwa integral fungsi ada jika fungsi tersebut kontinu ataupun jika tidak

kontinu hanya pada bagian “kecil saja”. Khususnya untuk daerah di R2, fungsi terbatas

mempunyai integral jika fungsi tersebut kontinu kecuali pada sub daerah yang bersifat satu

dimensi atau kurang (lengkungan, titik, dan lain sebagainya).

8Kalkulus Peubah Banyak II

2.5 Sifat Integral Lipat Dua

1. Misalkan empat persegi panjang R dinyatakan dalam dua empat persegi panjang R1

dan R2 , maka

∬R

❑

f (x , y )dxdy=∬R1

❑

f (x , y ) dxdy+∬R2

❑

f ( x , y ) dxdy

2. Jika f 1(x , y )≤ f 2(x , y) untuk setiap (x , y ) di R maka

∬R

❑

f 1 ( x , y ) dxdy ≤∬R

❑

f 2 ( x , y ) dxdy

3. Jika f ( x , y )=c untuk semua ( x , y ) di R, maka

∬R

❑

f ( x , y )dxdy=c (luas R)

4. Sifat linear

∬R

❑

¿¿

∬R

❑

cf ( x , y ) dxdy=c∬R

❑

f ( x , y ) dxdy

Keempat sifat tersebut dengan mudah dapat dibuktikan berdasarkan definisi integral,

sehingga pembuktiannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di sini.

Misalkan m ≤ f (x , y )≤ M untuk semua (x , y ) di R, maka

m ( luas R )=∬R

❑

mdxdy ≤∬ f ( x , y ) dxdy ≤∬Mdxdy=M ( luas R ) .

(Wono Setya Budhi : 2001, Hal 205-206)

9Kalkulus Peubah Banyak II

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Pada pokok bahasan “Arti Geometri Integral Lipat Dua”, diperoleh pengertian

integral rangkap dua yang ditulis dalam bentuk :

∫y1

y2

∫x1( y)

x2( y)

f (x , y ) dxdy

Ialah pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan memandang f (x , y ) sebagai

fungsi dari x dan y dianggap tetap (konstan), sedang batas integral yaitu x1( y) ke x2( y ),

kemudian hasil pengintegralan pertama diintegrasikan terhadap y dengan batas integrasi dari

y1ke y2.

Bila integral diberikan dalam bentuk:

∫x1

x2

∫y1 (x)

y2 (x)

f (x , y ) dydx

Maka pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan batas dari y1(x) ke y2(x ),

kemudian hasilnya diintegrasikan terhadap x dengan batas x1 ke x2. Batas x1 , x2 , y1dan y2

merupakan konstanta.

Secara umum bentuk integral lipat dua dapat ditulis :

Dimana f ( x , y ) diinterasikan melalui daerah (region) integrasi S, daerah integrasi merupakan

sebuah persegi empat yang setiap sisinya sejajar dengan salah satu sumbu koordinat.

10Kalkulus Peubah Banyak II

atau

3.2 Saran

Di dalam makalah ini terdapat pembahaan mengenai arti geometris integral lipat dua

yang mengkaji permasalahan mengenai integral lipat dua di antaranya pengertian geometris

integral lipat dua. Untuk itu sangat di sarankan untuk dipahami sebagai modal untuk lebih

memahami materi selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres JR, Frank. 2002. SCHAUM OUTLINE SERIES Terjemahan Lengkap Kalkulus .

Jakarta : Yustadi Cipta Science Team

11Kalkulus Peubah Banyak II

Setya Budhi,Wono.2001.KALKULUS PEUBAH BANYAK DAN PENGGUNAANNYA.

Bandung : ITB Bandung.

http://www.google.com/#hl=en&tbo=d&sclient=psy- ab&q=definisi+integral+lipat+dua

+secara+umum.doc diakses tanggal 10 feb 2013 Pukul 19:08 WIB\

12Kalkulus Peubah Banyak II