Embed Size (px)
Citation preview
TUGAS KELOMPOKRISET OPERASI
METODE SIMPLEKSKASUS MEMAKSIMUMKAN
KELOMPOK 1
RINI ANGGRAINI S (H121 11 010)NURUL MUTHIAH (H121 11 252)
RAINA DIAH GRAHANI (H121 11 268)FATIMAH ASHARA (H121 11 278)
PRODI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR2013
METODE SIMPLEKS
KASUS MEMAKSIMUMKAN
Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini
menjadi terkenal ketika ditemukannya alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika
munculnya komputer. Proses perhitungan metode simpleks adalah dengan menggunakan
iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal. Proses perhitungan metode simpleks
menjadi lebih mudah dengan menggunakan komputer, karena komputer dirancang untuk
melakukan pekerjaan berulang-ulang yang mungkin akan membosankan jika dilakukan oleh
manusia.
Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji
sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan
masalah program linier dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun
koefisien fungsi kendala. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks
didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.
Ada 2 kasus yang dapat kita cari solusinya yaitu Kasus Memaksimumkan dan Kasus
Meminimumkan, dalam pembahan ini kita akan membahas Kasus memamaksimumkan.
Dalam kasus memaksimumkan kita harus memenuhi syarat yaitu model program linear harus
diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan “bentuk baku”.
Perlu diperhatikan bahwa Metode Simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada
bentuk standar, sehingga jika tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dahulu ke
bentuk standar.
Untuk memudahkan dalam melakukan transformasi ke bentuk standar, ada beberapa
hal yang perlu diperhatikan :
a. Fungsi pembatas, suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda ≤ diubah
menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan
suatu variabel baru yang dinamakan slack variabel (variable pengurang).
b. Fungsi Tujuan, dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi
tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini,
karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan,
maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.
1
Contoh soal.
Fungsi tujuan:
Maksimumkan Z=85000 x1+75000 x2+70000 x3
Fungsi pembatas:
x1+ x2+2 x3≤ 17
2 x1+2 x2+ x3 ≤ 22
3 x1+2 x2+2x3 ≤30
x1 , x2 , x3≥ 0
Langkah 1
Ubah system pertidaksamaan ke dalam system persamaan linear dengan menambahkan
variable tiruan atau disebut slack.
Fungsi tujuan:
Maksimumkan Z=85000 x1+75000 x2+70000 x3
Fungsi pembatas:
x1+ x2+2 x3+s1=17
2 x1+2 x2+ x3+s2=22
3 x1+2 x2+2x3+s3=30
Langkah 2.
Menyusun semua persamaan ke dalam table simpleks.
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
s1
s2
s3
z j
z j−c j
Keterangan.
CB : koefisien variable basis yang masuk pada fungsi tujuan
VDB : variabel basis yang masuk
2
NK : nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda “=”
z j : nilai fungsi tujuan, yaitu jumlah dari hasil kali variable ke- j dan CB
c j : koefisien variable pada fungsi tujuan (bilangan yang terletak di atas variabel)
Hitung nilai z j dan z j−c j sebagai berikut.
VARIABEL z j z j−c j
NK 17 ∙ 0+22 ∙0+30∙ 0=0
x1 1 ∙0+2∙ 0+3 ∙ 0=0 0−85000=−85000
x2 1 ∙0+2∙ 0+2 ∙ 0=0 0−75000=−75000
x3 2 ∙0+1∙ 0+2 ∙ 0=0 0−70000=−70000
s1 1 ∙0+0 ∙0+0∙ 0=0 0−0=0
s2 0 ∙0+1 ∙0+0∙ 0=0 0−0=0
s3 0 ∙0+0 ∙0+1∙ 0=0 0−0=0
Selanjutnya kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks.
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 17 1 1 2 1 0 0
0 s2 22 2 2 1 0 1 0
0 s3 30 3 2 2 0 0 1
z j 0 0 0 0 0 0 0
z j−c j −85000 −75000 −70000 0 0 0
Langkah 3.
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.
Kolom kunci : suatu kolom yang nilai z j−c j paling kecil
Baris kunci : baris yang memiliki rasio positif paling kecil
Bilangan kunci : bilangan yang terletak pada pertemuan antara kolom kunci dan baris
kunci
Rasio : bilangan yang ditentukan oleh perbandingan antara NK dan kolom
kunci
3
Rasio untuk baris pada variabel:
s1=171
=17
s2=222
=17
s3=303
=10
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 17 1 1 2 1 0 0 17
0 s2 22 2 2 1 0 1 0 11
0 s3 30 3 2 2 0 0 1 10
z j 0 0 0 0 0 0 0
z j−c j −85000 −75000 −70000 0 0 0
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.
Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 3 (bilangan
dengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci.
Selanjuntya x1menggantikan s3, CB pada baris ketiga kita isi dengan 85000.
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1
0 s2
85000 x1 10 123
23
0 013
z j
z j−c j
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
4
Langkah 5.
Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris selain baris kunci melalui operasi
baris elementer (OBE) ,sehingga nilai-nilai kolom kunci¿0.
Dapat juga melalui perhitungan sebagai berikut.
nilai baris baru = nilai baris lama – (KAKK x NBKK)
Dimana,
KAKK : Koefisien Angka Kolom Kunci (nilai setiap baris kolom kunci)
NBBK : Nilai Baris Baru Kunci
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada
tabel berikut.
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 17 1 1 2 1 0 0
0 s2 22 2 2 1 0 1 0
85000 x1 10 123
23
0 013
z j
z j−c j
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris baru s1
Baris lama 17 1 1 2 1 0 0
KAKK x NBBK 1 [ 10 123
23
0 013
]
Baris baru 7 013
43
1 0−13
5
Baris baru s2
Baris lama 22 2 2 1 0 1 0
KAKK x NBBK 2 [ 10 123
23
0 013
]
Baris baru 2 023
−13
0 1−23
Input nilai baris baru s1dan s2 ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut.
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 7 013
43
1 0−13
0 s2 2 023
−13
0 1−23
85000 s3 10 123
23
0 013
z j
z j−c j
Selanjutnya kita hitung nilai z j dan z j−c j sebagai berikut.
VARIABEL z j z j−c j
NK 7 ∙0+2 ∙0+10∙ 85000=850000
x1 0 ∙0+0 ∙0+1∙ 85000=85000 85000−85000=0
x213
∙ 0+ 23
∙ 0+ 23
∙ 85000=1700003
1700003
−75000=−550003
x343
∙ 0±13
∙ 0+ 23
∙ 85000=1700003
1700003
−70000=−400003
s1 1 ∙0+0 ∙0+0∙ 85000=0 0−0=0
s2 0 ∙0+1 ∙0+0∙ 85000=0 0−0=0
s3−13
∙ 0±23
∙ 0+ 13
∙ 85000=850003
850003
−0=850003
6
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks.
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 7 013
43
1 0−13
0 s2 2 023
−13
0 1−23
85000 x1 10 123
23
0 013
z j 85000 85000170000
3170000
30 0
850003
z j−c j 0−55000
3−40000
30 0
850003
Mengulangi langkah 3 sampai langkah 5
Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.
Rasio untuk baris pada variabel:
s1=
713
=21
s2=
223
=3
s3=
1023
=15
7
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 7 013
43
1 0−13
0 s2 2 023
−13
0 1−23
85000 x1 10 123
23
0 013
z j 85000 85000170000
3170000
30 0
850003
z j−c j 0−55000
3−40000
30 0
850003
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.
Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 23
(bilangan
dengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci.
Selanjutya x2menggantikan s2, CB pada baris kedua kita isi dengan 75000.
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1
75000 x2 3 0 1−12
032
−1
85000 x1
z j
z j−c j
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
8
Langkah 5.
Membuat baris baru.
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada
tabel berikut.
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 7 013
43
1 0−13
75000 x2 3 0 1−12
032
−1
85000 x1 10 123
23
0 013
z j
z j−c j
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris barus1
Baris lama 7 013
43
1 0−13
KAKK x NBBK13
[ 3 0 1−12
032
−1]
Baris baru 6 0 032
1−12
0
Baris barus3
Baris lama 10 123
23
0 013
KAKK x NBBK23
[ 3 0 1−12
032
−1]
Baris baru 8 1 0 1 0 −1 1
9
Input nilai baris baru s1dan s3 ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut.
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 6 0 032
1−12
0
75000 x2 3 0 1−12
032
−1
85000 x1 8 1 0 1 0 −1 1
z j
z j−c j
Selanjutnya kita hitung nilai z j dan z j−c j sebagai berikut.
VARIABEL z j z j−c j
NK 6 ∙0+3 ∙75000+8 ∙85000=905000
x1 0 ∙0+0 ∙75000+1∙ 85000=85000 85000−85000=0
x2 0 ∙0+1 ∙75000+0 ∙ 85000=75000 75000−75000=0
x332
∙ 0+(−12 ) ∙ 75000+1∙ 85000=47500 47500−70000=−22500
s1 1 ∙0+0 ∙75000+0 ∙ 85000=0 0−0=0
s2−12
∙ 0+32
∙75000+(−1)∙85000=27500 27500−0=27500
s3 0 ∙0+(−1) ∙75000+1 ∙ 85000=10000 10000−0=10000
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 6 0 032
1−12
0
75000 x2 3 0 1−12
032
−1
10
85000 x1 8 1 0 1 0 −1 1
z j 90500 85000 75000 47500 0 27500 10000
z j−c j 0 0 −22500 0 27500 10000
Ulangi kembali langkah 3 sampai langkah 5
Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.
Rasio untuk baris pada variabel:
s1=
632
=4
s2=
3−12
=−6
s3=81=8
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
0 s1 6 0 032
1−12
0 4
75000 x2 3 0 1−12
032
−1 −6
85000 x1 8 1 0 1 0 −1 1 8
z j 90500 85000 75000 47500 0 27500 10000
z j−c j 0 0 −22500 0 27500 10000
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.
Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 32
(bilangan
dengan text berwarna merah).
11
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci.
Selanjutnya x3menggantikan s1, CB pada baris kedua kita isi dengan 70000.
Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
70000 x3 4 0 0 123
−34
0
75000 x2
85000 x1
z j
z j−c j
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
Langkah 5.
Membuat baris baru.
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada
tabel berikut.
Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
70000 x3 4 0 0 123
−34
0
75000 x2 3 0 1−12
032
−1
85000 x1 8 1 0 1 0 −1 1
z j
z j−c j
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
12
Baris baru s2
Baris lama 3 0 1−12
032
−1
KAKK x NBBK−12
[ 4 0 0 123
−34
0]
Barisbaru 5 0 1 013
98
−1
Baris baru s3
Baris lama 8 1 0 1 0 −1 1
KAKK x NBBK 1 [ 4 0 0 123
−34
0]
Barisbaru 4 1 0 0−23
−14
1
Input nilai baris baru s2dan s3 ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti
berikut.
Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
70000 x3 4 0 0 123
−34
0
75000 x2 5 0 1 013
98
−1
85000 x1 4 1 0 0−23
−14
1
z j
z j−c j
13
Selanjutnya kita hitung nilaiz j dan z j−c j sebagai berikut.
VARIABEL z j z j−c j
NK 4 ∙70000+5 ∙ 75000+4 ∙85000=995000
x1 0 ∙70000+0 ∙75000+1 ∙85000=85000 85000−85000=0
x2 0 ∙70000+1∙ 75000+0 ∙85000=75000 75000−75000=0
x3 1 ∙70000+0∙ 75000+0 ∙85000=70000 70000−70000=0
s123
∙ 70000+13
∙75000+(−23 ) ∙85000=15000 15000−0=15000
s2−34
∙ 70000+ 98
∙75000+(−14
) ∙ 85000=10625 10635−0=10625
s3 0 ∙70000+(−1) ∙75000+1 ∙ 85000=10000 10000−0=10000
Kemudian kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.
Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0Rasio
CB VDB NK x1 x2 x3 s1 s2 s3
70000 x3 4 0 0 123
−34
0
75000 x2 5 0 1 013
98
−1
85000 x1 4 1 0 0−23
−14
1
z j 995000 85000 75000 70000 15000 10625 10000
z j−c j 0 0 0 15000 10625 10000
Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasiz j−c j sudah tidak ada yang negatif, maka
program telah optimal. Dengan demikian, dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa
x1=4 , x2=5 ,dan x3=4 dengan nilai maksimum z=995000.
14
