Metode Simpleks Diperbaiki Revised Simplex Method Simpleks yang Diperbaiki •Metoda simplex melakukan perhitungan pada seluruh tabel pada tiap iterasi. •Padahal, informasi yang

4/7/2008

1

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Metode Simpleks Diperbaiki

(Revised Simplex Method)

Kuliah 05


Materi Bahasan

① Dasar-dasar aljabar dari metode simpleks

② Metode simpleks yang diperbaiki

4/7/2008

2


① Dasar-dasar Aljabar Metode Simpleks


Dasar-dasar Metode Simpleks

• Dalam PL, ruang solusi layak (feasible solution

space) dikatakan membentuk himpunan konveks

(convex set) jika segmen garis yang menghubungkan

dua titik yang layak terletak dalam himpunan tersebut.

• Suatu titik ekstrem (extreme point) dari himpunan

konveks adalah titik layak yang tidak dapat terletak

pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua

titik sebarang yang layak dalam himpunan tersebut.

• Titik ekstrem sama dengan titik pojok (corner point).

4/7/2008

3


Convex dan Nonconvex Set

x’

x”

x”

x’

Convex set Nonconvex set


Convex Combination

• Dalam solusi PL secara grafis, telah

ditunjukkan bahwa solusi optimal selalu

berkaitan dengan titik ekstrem (pojok) yang

layak dari ruang solusi.

• Tiap titik yang layak dapat ditentukan sebagai

fungsi dari titik-titik ekstrem.

4/7/2008

4


• Diberikan titik-titik ekstrem x1, x2, x3, x4, x5

dan x6 titik yang layak x dapat dinyatakan

sebagai kombinasi konveks (convex

combination) dari titik-titik ekstrem

menggunakan

dimana

665544332211 xxxxxxx

1654321 0,,,,, 654321


• Notasi matriks dari PL

x : vektor n dari variabel

A : matriks (m x n) dari koefisien pembatas

c : vektor n dari koefisien fungsi tujuan

• Masalah PL

cxz (Min)Max

bAx

0x

Dari Titik-Titik Ekstrem ke Solusi Basis

4/7/2008

5


• Solusi basis dari Ax = b ditentukan dengan

menetapkan n – m variabel sama dengan 0 dan

memecahkan m persamaan dalam m variabel yang tak

diketahui.

• Hubungan antara definisi geometris dari titik-titik

ekstrem dan definisi aljabar dari solusi basis:

Titik-titik ekstrem {x| Ax = b} Solusi basis Ax = b

• Dengan menetapkan pembatas tak negatif x 0,


• Sistem Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk vektor

• Vektor Pj adalah kolom ke j dari A.

• Himpunan bagian dari m vektor dikatakan membentuk suatu basis B jika dan hanya jika m vektor adalah independen linier.

• Matriks B adalah nonsingular.

• Jika xB adalah himpunan dari m variabel yang berkaitan dengan vektor nonsingular B, maka xBharus merupakan solusi basis.

n

j

j x1

bP

4/7/2008

6


• Dalam kasus ini

• Diberikan B-1 adalah invers dari B, solusi basis

dinyatakan dengan

• Jika B-1b 0, maka xB adalah layak.

bBx B

bBx1B


• Definisi mengasumsikan bahwa terdapat n – m

variabel sebagai nonbasis pada level 0.

• Sistem dengan m persamaan dan n variabel tak

diketahui, jumlah maksimum dari solusi basis (layak

dan tak layak) adalah

!!

!

nmm

nCm

n

4/7/2008

7


Tentukan dan klasifikasikan (sebagai layak dan tak layak)

dari semua solusi basis untuk sistem persamaan linier

berikut:

2

4

222

131

3

2

1

x

x

x


2

4

22

31

2

1

x

x

4/3

4/7

2

4

8/14/1

8/34/1

2

1

x

x

2

4

22

13

3

2

x

x

4/7

4/3

2

4

8/34/1

8/14/1

3

2

x

x

(P1, P2)

(P2, P3)

(P1, P3) Bukan basis

Layak

Tak layak

B BxB = b Solusi Status

4/7/2008

8


a2

a1

bP1

P2P3

2

4

2

1

2

3

2

1321 xxx


Tabel Simpleks dalam Bentuk Matriks (1)

• Misalkan diberikan PL sebagai berikut:

• Misalkan B adalah basis layak dari sistem Ax = b, x 0.

• Misalkan xB berkaitan dengan himpunan variabel basis dengan cB adalah vektor koefisien fungsi tujuannya.

cxzMax

bAx

0x

4/7/2008

9


BxjPB

1

jBjc PBc1

bB1

bBc1

B

Basis xj Solusi

• Diberikan Pj adalah vektor ke j dari A, kolom tabel

simpleks yang berkaitan dengan variabel xj dapat

dinyatakan dengan

Tabel Simpleks dalam Bentuk Matriks (2)


② Metode Simpleks yang Diperbaiki

4/7/2008

10


Metoda Simpleks yang Diperbaiki

• Metoda simplex melakukan perhitungan pada

seluruh tabel pada tiap iterasi.

• Padahal, informasi yang dibutuhkan hanya:

– Koefisien fungsi tujuan relatif

– Kolom yang berkaitan dengan variabel yang

masuk basis (kolom pivot)

– Variabel basis saat ini dan nilainya (konstanta ruas

kanan)


Masalah PL

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2 6

2x1 + x2 8

– x1 + x2 1

x2 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

4/7/2008

11


Rumusan Bentuk Baku

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2 + x3 = 6

2x1 + x2 + x4 = 8

– x1 + x2 + x5 = 1

x2 + x6 = 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0


Solusi Basis Layak Awal (1)

0

1

2

1

1P

1

1

1

2

2P

0

0

0

1

3P

0

0

1

0

4P

0

1

0

0

5P

1

0

0

0

6P

2

1

8

6

b

4/7/2008

12


Solusi Basis Layak Awal (2)

IPPPPB

1000

0100

0010

0001

6543

1000

0100

0010

0001

1IB

xB = (x3, x4, x5, x6)

Maka,

2

1

8

6

1bBb

0,0,0,0Bc


Pemeriksaan optimalitas (1)

Pengali simplex (simplex multiplier):

0,0,0,0

1000

0100

0010

0001

0,0,0,0,,, 1

6543

Bcπ B

4/7/2008

13



Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis:

3

0

1

2

1

0,0,0,03111

πPcc

2

0

1

2

1

0,0,0,02222

πPcc

Karena terdapat maka solusi belum optimal.0jc


Penentuan variabel yang masuk basis

Variabel yang masuk basis: x1 karena mempunyai

koefisien fungsi tujuan relatif paling positif

4/7/2008

14


Penentuan variabel yang keluar basis

0

1

2

1

0

1

2

1

1000

0100

0010

0001

1

1

1 PBP

4,,2

8,

1

6min

bersesuaian dengan variabel x4

2

1

8

6

2

1

8

6

1000

0100

0010

0001

1bBb


Penentuan basis baru

01000

10100

20010

10001

01000

0012/10

1002/10

0002/11

1000

012/10

002/10

002/11

1B

6513 ,,, xxxxB x 0,0,3,0Bc

4/7/2008

15


Solusi baru

6513 ,,, xxxxB x 0,0,3,0Bc

2

5

4

2

2

1

8

6

1000

012/10

002/10

00211

1

6

5

1

2

bBbxB

x

x

x

x

12

2

1

8

6

1000

012/10

00210

00211

0,0,3,01

bBcBZ




0,0,2/3,0

1000

012/10

002/10

002/11

0,0,3,0,,, 1

6513

Bcπ B

4/7/2008

16




2/1

1

1

1

2

0,0,2/3,02222

πPcc

2/3

0

0

1

0

0,0,2/3,00444

πPcc

Karena terdapat maka solusi belum optimal.0jc


Penentuan variabel yang masuk basis

Variabel yang masuk basis: x2 karena mempunyai

koefisien fungsi tujuan relatif paling positif

4/7/2008

17


Penentuan variabel yang keluar basis

1

2/3

2/1

2/3

1

1

1

2

1000

012/10

002/10

002/11

2

1

2 PBP

3/41

2,

2/3

5,

2/1

4,

2/3

2min

bersesuaian dengan variabel x3

2

5

4

2

2

1

8

6

1000

012/10

002/10

002/11

1bBb


Penentuan basis baru

11000

2301210

2100210

2300211

103132

0111

003231

003132

1B

6512 ,,, xxxxB x 0,0,3,2Bc

0103132

00111

0003231

1003132

4/7/2008

18


Solusi baru

6512 ,,, xxxxB x 0,0,3,2Bc

32

3

310

34

2

1

8

6

103132

0111

003231

003132

1

6

5

1

2

bBbxB

x

x

x

x

338

2

1

8

6

103132

0111

003231

003132

0,0,3,21

bBcBZ




0,0,3/4,3/1

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

0,0,3,2,,, 1

6512

Bcπ B

4/7/2008

19




3/1

0

0

0

1

0,0,3/4,3/10333

πPcc

3/4

0

0

1

0

0,0,3/4,3/10444

πPcc

Karena semua maka solusi optimal.0jc


Solusi optimal

3/2

3

3/10

3/4

2

1

8

6

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

1

6

5

1

2

bBbx

x

x

x

x

B

3/38

3/2

3

3/10

3/4

0,0,3,2

bcBZ

4/7/2008

20


Keuntungan Metode Simpleks yang Diperbaiki

• Mengurangi waktu komputasi

• Menghemat memori komputer

• Mempermudah pemahaman untuk topik

lanjutan dari pemrograman linier (teori

dualitas, analisis sensitivitas)


Hubungan Tabel Simpleks dengan Matriks B-1 (Iterasi 0)

cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 1 2 1 0 0 0 6

0 x4 2 1 0 1 0 0 8

0 x5 -1 1 0 0 1 0 1

0 x6 0 1 0 0 0 1 2

3 2 0 0 0 0 Z = 0

Basis

cj

c Baris

4/7/2008

21



cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

3 x1 1 1/2 0 1/2 0 0 4

0 x5 0 3/2 0 1/2 1 0 5

0 x6 0 1 0 0 0 1 2

0 1/2 0 -3/2 0 0 Z = 12

Basis

cj

c Baris



cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 122/3

Basis

cj

c Baris

Documents

Metode Simpleks Diperbaiki Revised Simplex Method Simpleks yang Diperbaiki •Metoda simplex melakukan perhitungan pada seluruh tabel pada tiap iterasi. •Padahal, informasi yang