Makalah Seminar Nasional STKIP Sebelas April Sumedang Kodirun

PROSIDING ISBN : XXX – XXX – XXXXX – X – X

METODE DUA KOLOM UNTUK PEMBUKTIAN MATEMATIS

Kodirun, Drs., M.Pd.

Staff Pengajar FMIPA Universitas Haluoleo KendariMahasiswa Sekolah Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia Bandung

Abstrak

Makalah ini menjelaskan tentang penggunaan dua kolom dalam pembuktian teorema atau konjektur dalam Struktur Aljabar. Metode dua kolom sudah sejak lama dikenal terutama untuk pembuktian dalam Geometri. Oleh karena pembuktian dua kolom ini berhasil dengan baik dalam proses pembuktian pada bidang Geometri maka penggunaannya dilebarkan ke bidang Struktur Aljabar. Kolom pertama berisi argumen yang berurut logis dari baris pertama hingga baris akhir yaitu kesimpulan, sedangkan kolom kedua (kanan) berisi alasan mengapa argumen itu ditulis.

Kata kunci: Pembuktian Matematis, Metode Dua Kolom.

I. PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Penalaran deduktif menggunakan logika, dan pernyataan yang telah diterima

kebenarannya, untuk mencapai suatu kesimpulan. Penalaran deduktif digunakan sebagai

dasar pada metode pembuktian matematis. Pembuktian adalah suatu proses meyakinkan

orang lain, yang mungkin seorang ahli atau pakar atau yang dianggap mempunyai

wewenang untuk memutuskan kebenaran suatu proses pembuktian, melalui demonstrasi

untuk menunjukkan bahwa pernyataan adalah benar.

Pembuktian dapat menggunakan informasi yang diberikan (informasi itu

haruslah benar), menggunakan definisi, menggunakan postulat, ekivalensi logis dan

tautologi, dan pernyataan yang telah dibuktikan kebenarannya. Pembuktian dapat ditulis

dalam bentuk paragraf, tetapi pada saat pembuktian diperkenalkan bentuk pembuktian

dua kolom biasanya digunakan untuk menyusun informasi itu. Pernyataan benar ditulis

pada kolom pertama. Suatu alasan yang menunjukkan kebenaran masing-masing

pernyataan ditulis pada kolom kedua.

II. PEMABAHASAN

II.1 BUKTI MATEMATIS

Makalah ini disajikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika “Pengembangan Keterampilan Berpikir serta Pembinaan Karakter Melalui Pembelajaran Matematika”. Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Sebelas April Sumedang, 07 April 2012.


Suatu bukti adalah argumen logis yang membangun kebenaran dari pernyataan.

Argumen ini menurunkan kesimpulannya dari premis-premis, teorema lainnya, definisi,

dan akhirnya, postulat dari sistem matematis yang dijadikan dasar dari klaim. Bloch

(2000) mendefinisikan bukti matematis sebagai a convincing argument that starts from

the premises, and logically deduces the desired conclusion.

Para ahli matematika berbeda dalam memaknai bukti matematis. Namun

demikian perbedaan itu hanya karena beda sudut pandangnya saja. Krantz (2007)

menyatakan bahwa suatu bukti adalah alat retoris untuk meyakinkan orang lain bahwa

pernyataan matematis adalah benar atau valid. Sedangkan Stylianides (2007)

memberikan konsepsi pembuktian dengan lebih komprehensif yaitu bahwa pembuktian

adalah argumen matematis yang merupakan suatu urutan pernyataan yang diyakini

kebenarannya dengan karakteristik tertentu. Karakteristik ini meliputi (1) menggunakan

pernyataan yang kebenarannya diterima masyarakat matematika dan tanpa harus

memerlukan penjelasannya lanjutan, (2) menggunakan bentuk penalaran yang valid dan

dikenal oleh masyarakat matematika, dan (3) dikomunikasikan dengan bentuk yang

tepat dan dikenali oleh masyarakat matematika.

Cupillari (2005) mendefinisikan bukti sebagai a logical argument that

establishes the truth of a statement beyond any doubt. Matematika adalah sekumpulan

bukti-bukti. Huang (2005) mendefinisikan bukti matematis sebagai : suatu uraian yang

menyatakan bahwa suatu teorema telah dibuktikan secara deduktif dan logis dengan

menggunakan sifat geometris dan teori-teori atau operasi dari ekspresi aljabar.

Arsac (2007) mendefinisikan bukti matematika sebagai characterized by its

form, as a text which respects some precise rules. Lebih lanjut Arsac menyatakan bahwa

bukti matematis haruslah tertulis dan harus dipublikasikan agar dibaca oleh setiap

orang. Mitchell & Johnson (2008) mendefinisikan pembuktian sebagai a mathematical

proof is an argument that begins with a set of postulates or assumptions and proceeds to

a conclusion by agreed methods of argument.

Stylianides (2007) mendeskripsikan suatu konseptualisasi tentang arti dari

pembuktian di bidang matematika yang dapat diterapkan pada konteks kelas sebagai

berikut: Bukti adalah argumen matematis, sederetan pernyataan kebenarannya tidak

diragukan yang saling berhubungan yang sepakat atau tidak sepakat terhadap suatu



fakta matematis, dengan karakteristik:

1. Pembuktian menggunakan pernyataan yang dapat diterima oleh komunitas

matematika yang bernilai benar dan tanpa membutuhkan jastifikasi lebih lanjut;

2. Pembuktian menggunakan bentuk penalaran (modus argumentasi) yang valid dan

dikenal, atau dengan ketercapain konseptual, dalam komunitas matematika; dan

3. Pembuktian dikomunikasikan dengan bentuk ekspresi (modus representasi argumen)

yang sesuai dan dikenal, dengan pencapaian konseptual, dalam komunitas

matematika.

Proses pembuktian dipahami sebagai penyusunan argumen logis yang konsisten

berdasarkan kepada aksioma, definisi, dan teorema. Proses pembuktian juga merupakan

kegiatan yang berujung pada penemuan fakta matematis, membangun konjektur,

mengkonstruksi jastifikasi, termasuk eksplorasi, generalisasi, penalaran, argumentasi,

dan validasi.

Bukti matematis adalah prosedur atau deretan argumen matematis untuk

membuktikan kebenaran suatu implikasi matematis. Pembuktian matematis berbentuk

seperti di bawah ini, antara lain:

- Bukti langsung

- Bukti dengan kontraposisi

- Bukti dengan kontradiksi

Suatu bukti matematis merupakan argumen logis dengan asumsi yang

dinyatakan dengan teliti, pernyataan dengan menggunakan bahasa yang tepat dan

definisi, dan penalaran yang digunakan untuk mencapai kesimpulan yang valid. Ada

beberapa alasan mengapa matematikawan menggunakan bukti. Alasan utama adalah

untuk merasa yakin bahwa sesuatu itu adalah benar. Kedua adalah untuk menjelaskan

mengapa sesuatu itu adalah benar, walaupun tidak setiap bukti menunjukkan demikian.

Ketiga adalah alasan pedagogis. Keempat adalah bahwa bukti matematis adalah suatu

cara untuk mengkomunikasikan kepada orang lain suatu gagasan bahwa seseorang

percaya secara intuitif, tetapi orang lain dengan percaya (Bloch, 2000).

Berikut ini akan dijelaskan teknik pembuktian dengan cara langsung untuk

membuktikan teorema atau proposisi yang mempunyai bentuk pernyataan implikasi.

Teknik ini disebut teknik pembuktian langsung. Untuk menyederhanakan pembahasan,



contoh pertama akan melibatkan pembuktian pernyataan yang hampir nyata

kebenarannya. Dengan demikian pernyataan itu akan disebut sebagai proposisi dan

bukan teorema. Untuk memahami bagaimana teknik ini sesuai, misalkan proposisi itu

berbentuk “Jika P, maka Q.”

Proposisi ini berbentuk P Q. Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa

pernyataan implikasi ini benar. Perhatikan tabel kebenaran pada Tabel 1. Tabel 1

menunjukkan bahwa jika P salah maka secara otomatis pernyataan P Q adalah benar.

Hal ini mengandung maksud bahwa jika kebenaran P Q akan ditunjukkan maka tidak

perlu ragu ketika situasi P salah karena pernyataan P Q otomatis akan benar pada

semua kasus. Jika P benar, maka perlu lebih hati-hati. Kondisi P benar akan memaksa Q

dalam keadaan benar, yang berarti bahwa baris kedua dari tabel di atas itu tak mungkin

terjadi.

Tabel 1.

Tabel Kebenaran Implikasi P Q.

P Q P Q

B B B

B S S

S B B

S S B

Garis besar penting untuk membuktikan pernyataan implikasi P Q

mulai dengan mengasumsikan bahwa P benar (kondisi P salah tidak perlu

dikhawatirkan karena kesimpulannya pasti salah) dan menunjukkan bahwa Q adalah

benar. Berikut ini garis besarnya cara kerjanya.

Tabel 2.

Garis Besar Pembuktian Langsung

Argumen Alasan

P Q. Proposisi



Bukti. Misalkan P....

Alasan 1Alasan 2 (dideduksi dari alasan 1)..

Maka Q. Kesimpulan ditarik dari proses penalaran logis pada baris-baris sebelumnya

Teknik penyusunan dari bukti langsung adalah sederhana. Baris pertama dari

pembuktian adalah kalimat “Misalkan P”. Baris terakhir adalah “Maka Q”. Antara baris

pertama dan baris terakhir berisi uraian logis, definisi dan fakta matematis untuk

mentransformasikan pernyataan P kepada pernyataan Q.

Seperti pembuktian langsung, teknik pembuktian kontraposisi digunakan untuk

membuktikan pernyataan implikasi dalam bentuk “Jika P, maka Q.” Walaupun sangat

mungkin untuk menggunakan pembuktian langsung, kadang perlu juga pembuktian

kontraposisi digunakan karena prosesnya menjadi lebih mudah. Untuk memahami

bagaimana pembuktian kontraposisi ini berlaku, misalkan proposisi dalam bentuk “Jika

P, maka Q” akan dibuktikan.

Bentuk pernyataan implikasi ini adalah P Q. Tujuannya adalah bahwa

proposisi ini benar. Perhatikan kembali bahwa P Q ekivalen logis terhadap ~Q ~P.

Perhatikan kembali tabel kebenaran sebelumnya pada pernyataan implikasi di atas untuk

dideskripsikan ulang di bawah ini.

Tabel 3.

Tabel Kebenaran untuk ~Q ~P.

P Q ~Q ~P P Q ~Q ~P

B B S S B B

B S B S S S

S B S B B B

S S B B B B

Sesuai dengan tabel di atas, pernyataan P Q dan pernyataan ~Q ~P adalah



beda dalam menuliskan hal yang sama persis. Untuk membuktikan P Q adalah benar,

adalah cukup untuk membuktikan ~Q ~P adalah benar. Jika kebenaran ~Q ~P

akan dibuktikan dengan pembuktian langsung maka kita akan mengasumsikan bahwa

~Q adalah benar dan menggunakannya untuk mendeduksikan bahwa ~P adalah benar.

Garis besar pembuktian dengan kontraposisi dapat ditampilkan seperti pada Tabel 5.

Teknik penyusunan dari kontraposisi adalah sederhana. Baris pertama adalah

kalimat “Misalkan Q tidak benar.” Baris terakhir adalah kalimat “Oleh karena itu P

tidak benar.” Antara baris pertama dan baris terakhir, logika dan definisi diisi dengan

transformasi pernyataan ~Q hingga pernyataan ~P.

Tabel 4.

Garis Besar Pembuktian Langsung

Argumen Alasan

P Q. Proposisi

Bukti. Misalkan ~Q.

.

Alasan 1

Alasan 2 (dideduksi dari Alasan 1)

.

Maka ~P. Kesimpulan ditarik dari proses penalaran logis pada baris-baris sebelumnya

Metode pembuktian dengan kontradiksi adalah salah satu dari beberapa metode

pembuktian matematis. Metode ini tidak terbatas pada pembuktian pernyataan

implikasi, ini dapat digunakan untuk membuktikan sebarang pernyataan. Gagasan dasar

dari metode ini adalah mengasumsikan bahwa pernyataan yang ingin dibuktikan itu

salah, dan kemudian menunjukkan bahwa asumsi ini mengakibatkan sesuatu yang tidak

mungkin. Kemudian kita dibimbing untuk menyimpulkan bahwa kita telah salah untuk

mengasumsikan bahwa pernyataan itu adalah salah, sehingga pernyataan itu seharusnya

adalah benar.

Pembuktian mulai dengan asumsi bahwa pernyataan awal P adalah salah, yaitu

bahwa ~P adalah benar, dan dari sini dideduksikan C ~C. Dengan kata lain, kita Makalah ini disajikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika “Pengembangan Keterampilan Berpikir serta Pembinaan Karakter Melalui Pembelajaran Matematika”. Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Sebelas April Sumedang, 07 April 2012.


membuktikan bahwa ~P benar dan memaksa C ~C menjadi benar, dan hal ini berarti

bahwa kita membuktikan bahwa pernyataan implikasi (~P) (C ~C) adalah benar.

Untuk melihat bahwa hal ini sama dengan membuktikan P adalah benar, perhatikanlah

tabel kebenaran untuk (~P) (C ~C). Perhatikan bahwa kolom P dan kolom (~P)

(C ~C) adalah tepat sama, sehingga secara logis P dan (~P) (C ~C) adalah

ekivalen.

Tabel 5.

Tabel Kebenaran untuk (~P) (C ~C).

P C ~P (C ~C) (~P) (C ~C)

B B S S B

B S S S B

S B B S S

S S B S S

Oleh karena itu, untuk membuktikan pernyataan awal P, cukuplah dengan

membuktikan pernyataan implikasi (~P) (C ~C). Cara pembuktian ini dapat

dilakukan dengan pembuktian langsung: asumsikan (~P) dan deduksikan (C ~C).

Inilah garis besar kerangka kerjanya.

Tabel 6.

Garis Besar Pembuktian Kontardiksi

Argumen Alasan

(~P) (C ~C) Proposisi

Bukti. Misalkan ~P....

Alasan 1Alasan 2 (dideduksi dari Alasan 1)..

Maka (C ~C). Kesimpulan ditarik dari proses penalaran logis pada baris-baris sebelumnya

Salah satu fitur yang agak membingungkan dari metode ini adalah bahwa kita



mungkin tidak tahu pada awal proses pembuktian yaitu apakah bentuk dari pernyataan

C itu. Dalam proses pembuktian ini, yaitu dalam tulisan coretan, Anda mengasumsikan

bahwa pernyataan ~P adalah benar, kemudian mendeduksikan pernyataan baru hingga

sampai pada kesimpulan C dan negasinya yaitu ~C.

Jika metode ini nampak membingungkan, coba kita lihat dengan cara seperti ini.

Pada baris pertama dalam pembuktian kita asumsikan bahwa ~P adalah benar, yaitu kita

mengasumsikan bahwa P adalah salah. Tetapi apabila P adalah sungguh-sungguh benar

maka hal ini kontradiksi dengan asumsi kita bahwa P adalah salah. Tetapi kita belum

membuktikan bahwa P adalah benar, sehingga kontradiksinya tidaklah jelas. Kita

gunakan logika untuk mentransformasikan kontradiksi yang tidak jelas ini menjadi

kontradiksi yang jelas dari (C ~C).

Berikut ini prosedurnya akan dijelaskan dengan menggunakan kontradiksi untuk

membuktikan pernyataan implikasi. Misalkan proposisi yang berbentuk “Jika P, maka

Q” akan dibuktikan. Sebenarnya, yang akan dibuktikan adalah pernyataan P Q adalah

benar. Pembuktian dengan kontradiksi mulai dengan asumsi bahwa ~(P Q) adalah

benar, yaitu bahwa P Q adalah salah. Tetapi bahwa P Q adalah salah berarti bahwa

P benar dan Q salah. Dengan demikian langkah pertama dalam proses pembuktian

adalah mengasumsikan P benar dan ~Q salah.

Tabel 7.

Garis Besar Pembuktian Pernyataan Implikasi dengan Kontardiksi

Argumen Alasan

Jika P, maka Q Proposisi

Bukti. Misalkan P dan ~Q....

Alasan 1Alasan 2 (dideduksi dari Alasan 1)..

Maka (C ~C). Kesimpulan ditarik dari proses penalaran logis pada baris-baris sebelumnya

Teknik baru ini akan diberi ilustrasi sebegai berikut. Proposisi “Jika ...,

maka ....” akan dibuktikan dengan teknik baru ini. Menurut garis besar, baris pertama



dari pembuktian adalah “Misalkan, sesuai dengan kontradiksi, bahwa ....”

II.2 ILUSTRASI

Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba membuktian proposisi sederhana

dalam Aljabar Abstrak. Perhatikan proposisi di bawah ini.

Proposisi: G = {[ a b−b a]|a , b ,∈, tidak kedua−duanyanol} adalah grup dengan operasi

perkalian matriks.

Mari kita mecoba membuktikan proposisi di atas. Langkah pertama dalam

proses pembuktian adalah melengkapi garis besar proses pembuktian secara langsung.

Hal ini nampak seperti menggambar karena struktur dasar disketsakan terlebih dahulu.

Ada baris-baris kosong yang akan dibiarkan kosong untuk sementara waktu antara baris

pertama dan baris terakhir. Urutan kerangka kerja mengindikasikan langkah-langkah

yang akan Anda ambil untuk melengkapi ruang baris kosong dengan rantai penalaran

logis.

Tabel 8.

Proses Pembuktian Proposisi

Argumen Alasan

G = {[ a b−b a]|a , b∈tidak kedua−duanya nol} adalah grup dengan operasi perkalian

matriks.

Proposisi

Jika (G,*), maka G grup.

Misalkan A = [ a b−b a], dan B = [ c d

−d c ], dan C =[ g f−f g] unsur-unsur di G.

A* B = [ a b−b a] * [ c d

−d c ] = [ ac+b(−d) ad+bc(−b ) c+a (−d ) (−b)d+ac] = [ ac−bd ad+bc

−(ad+bc) ac−bd ] unsur

di G

Aksioma

D1.1, sifat

tertutup

{A * B} * C = ¿ * [ g f−f g] = ¿ =

[acg+b(−d) g+ad (−f )+bc (−f ) ¿¿ (−b ) cg+a (−d ) g+(−b )d (−f )+ac (−f )¿ (−b ) cf +a (−d ) f+ (−b ) dg+acg¿ ]

Aksioma

D1.2, sifat

asosiatif



= [ acg+ad (−f )+b(−d) g+bc (−f ) acf +b (−d ) f +adg+bcg(−a ) dg+ (−a ) cf +(−b ) cg+(−b ) d (−f ) ad (−f )+adg+bc (−f )+(−b)dg] =

[ a (cg+d (−f ) )+b( (−d ) g+c (−f )) a (cf +dg )+b( (−d ) f +cg)−b(cg+d (−f ))+a((−d ) g+c (−f )) −b (cf +dg )+a( (−d ) f +cg)] = [ a b

−b a]*

[ cg+d (−f ) cf +dg(−d ) g+c (−f ) (−d ) f +cg ] =

[ a b−b a] * {[ c d

−d c ]∗[ g f−f g]} =

A * {B * C}

Karena, [ a b−b a] * [1 0

0 1] = [ a b−b a], maka [1 0

0 1]adalah unsur identitas pada (G, *)Aksioma

D1.3, ada

unsur

identitas

[ a b−b a] * [ k l

−l k ] = [1 00 1]

*

[a −bb a ]

*

[ a b−b a]

*

[ k l−l k ]

= *

[a −bb a ]

[1 00 1]

[ a2+b2 ab−baab−ba a2+b2 ] *[ k l

−l k ] = * [1 00 1]

[1 00 1] *

[ k l−l k ] =

[a −bb a ]

Aksioma

D1.4,

setiap

unsur di G

ada

inversnya



[ k l−l k ] = [a −b

b a ]

[ k l−l k ]=[a −b

b a ] adalah unsur invers dari [ a b−b a] G.

Sehingga, G adalah grup. Kesimpul-

an dari

atas

Sebagai contoh kedua, kita akan mencoba membuktian proposisi sederhana

dalam Aljabar Abstrak. Perhatikan proposisi di bawah ini.

Proposisi: Misalkan G adalah grup dan misalkan a, b, c G. Maka setiap unsur

di G memiliki invers tunggal.

Tabel 9.

Bukti Proposisi dalam Bentuk Dua Kolom

Argumen Alasan

Jika a G, maka invers dari a adalah tunggal.

Proposisi

Bukti. Misalkan invers dari a adalah tidak tunggal.

Negasi dari invers setiap unsur di G adalah tunggal.

Yaitu, misalnya b dan c. Penafsiran ketidaktunggalan unsur invers dari a.

Sehingga, ab = e dan ac = e.Jadi, ab = ac.

D1.4

Jadi b = c. T2Maka, kesimpulan bahwa invers dari a G tidak adalah salah. Sehingga invers dari a G, adalah tunggal.

Kesimpulan ditarik dari proses penalaran logis pada baris-baris sebelumnya



Berikut ini adalah contoh ketiga. Kita akan membuktikan proposisi di bawah ini

dengan menggunakan kontradiksi.

Proposisi. Misalkan a = dan b = unsur-unsur di S3.

Maka (ab)-1 a-1b-1.

Proses pembuktian pernyataan implikasi di atas dapat dilihat pada Tabel 10 berikut ini.

Tabel 10.

Proses Pembuktian Proposisi di atas.

Argumen Alasan

Jika a = dan b =

unsur-unsur di S3, maka (ab)-1 a-1b-1.

Proposisi

Bukti. Misalkan a = dan b =

unsur-unsur di S3 dan tidak

benar bahwa (ab)-1 a-1b-1.

Negasi dari proposisi

= dan

=

Sehingga =

Manipulasi Aljabar terhadap permutasi

unsur di S3.



=

dan

Sehingga,

yang artinya (ab)-1 a-1b-1.

Maka, proposisi (ab)-1 a-1b-1 dan tidak

bahwa (ab)-1 a-1b-1 saling kontradiksi,

sehingga

Kesimpulan ditarik dari proses penalaran

logis pada baris-baris sebelumnya

III. PENUTUP

Bagaimana mahasiswa menggunakan ragam pembuktian tidaklah jelas, tetapi

proses yang hati-hati yang mulai dari membuat model pembuktian dua kolom hingga

untuk membuktikan soal pembuktian atau teorema atau konjektur dalam Aljabar

Abstrak membantu mahasiswa membangun konsep pembuktian model dua kolom.

Pembelajaran yang progresif melalui model pembuktian dua kolom menyumbang

pemahaman pemahaman terhadap materi tersebut.

IV. DAFTAR PUSTAKA

Arsac, G. 2007. Origin of Mathematical Proof, History and Epistemology. Dalam Boero (ed.), Theorems in Schools: From history epistemology and cognition to classroom



practise, 27-42. Sense Publishers. Rotterdam/Taipe. ISBN 978-90-77874-21-9.

Bloch, E. D. 2000. Proofs and Fundamentals. A First Course in Abstract Matehamtics. Birkhäuser Boston, c/o Springer-Verlag New York, Inc., 175 Fifth Street Avenue, New York, NY 10010, USA. ISBN 0-8176-4111-4.

Cupillari, A. 2005. The Nuts and Bolts of Proofs. Third Edition. Elsevier Academic Press. 30 Corporate Drive, Suite 400, Burlington, MA 01813, USA. ISBN 13: 978-0-12-088509-1.

Krantz, S. G. (2007). The History and Concept of Mathematical Proof. [Online]. Tersedia: www. math .wustl.edu/~sk/eolss.pdf [11 Januari 2011].

Mitchell, J.C. & Johnson, M. (2008). Mathematical Proofs. Handout #35. CS103A. Robert Plummer. [Online]. Tersedia: http://www.stanford.edu/class/cs103a/handouts/35%20Mathematical%20Proofs.pdf [29 Januari 2011].

Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in schools mathematics. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 38 (3), 289-321.


http://www.stanford.edu/class/cs103a/handouts/35%20Mathematical%20Proofs.pdf

http://www.stanford.edu/class/cs103a/handouts/35%20Mathematical%20Proofs.pdf

http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf

Documents

Makalah Seminar Nasional STKIP Sebelas April Sumedang Kodirun