Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891

7/21/2019 Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891

http://slidepdf.com/reader/full/makalahsetengahputaran-150615043829-lva1-app6891 1/43

1

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB VIISETENGAH PUTARAN

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015



2

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu

setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu

sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik adalah suatu padanan yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :1. Apabila ≠ maka = ′ sehingga titik tengah ruas garis ′̅ .

2. =

Setengah putaran adalah suatu transformasi

Bukti:

Akan dibuktikan Bijektif.

Untuk membuktikan Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu Surjektif dan Injektif.

(1) Akan dibuktikan Surjektif

Untuk menunjukkan Surjektif, akan ditunjukkan ∃ ∈ ∋ = ′ Ambil sebarang ∈

∈ ∋ =

= , = =

Jadi,

∀

∈ ∃

= =

Jika ≠ maka A menjadi sumbu ruas garis ′ , berarti = ′ Jadi, Surjektif

(2) Akan dibuktikan Injektif

Missal ≠

Kasus I

= =

Untuk

= maka

= = ′………………..1*)



3

Untuk = maka = = ′…………………2*)

Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ≠

Kasus II

≠ ≠

Ambil sebarang , ∈ ≠

≠ , ≠ , , ,

Sehingga = dan = ′ Andaikan =

Karena =

Maka = = = ′ Sehingga diperoleh = ′ dan ᒐ =

Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis”

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ≠

Pengandaian ≠ = harus dibatalkan.

Jadi, ≠

Jadi Injektif

Dari (1) dan (2) maka diperoleh Surjektif dan Injektif

Karena Surjektif dan Injektif, maka Bijektif

Karena Bijektif, maka adalah suatu transformasi.

Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Teorema 7.1

Andaikan sebuah titik, dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di

. Maka = .

Bukti :

Diketahui sebuah titik, dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di .

a)

Kasus I : ≠

Karena ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan

sebagai sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. sebagai titik asal.

Ambil titik ∈

Perhatikan Gambar 7.2



4

Ditunjukkan bahwa untuk setiap berlaku =

Andaikan , ≠ dan = ,

Karena = ′′ maka titik tengah ′ sehingga

0,0 = 2 ,

2

Diperoleh = 0 ⟺ = dan〱 = 0 ⟺ =

Artinya〱 = , ………………………………………………(1)

Komposisi pencerminan

= [] = ,

= ,

Artinya = , ……………………………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _ = .

Jadi, =

b)

Kasus II : =

Menurut Definisi, = ……………………………………………(1*)

= = ……………………………………………….(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh = .

Jadi, = .

Teorema 7.2

Jika dan dua garis yang tegak lurus maka =

Bukti

′,

, P(x,y)

ℎ



5

a) Kasus I : ≠

Karena ≠ , maka = .

= = ᒐ(,) = , =〰

.

diperoleh = =

Jadi, =

b)

Kasus II : =

Karena = , maka = =

= =

Sehingga diperoleh = .

Jadi, = .

Teorema 7.3

Jika setengah putaran, maka − = .

Bukti

Andaikan dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka = dengan

titik potong antara dan ℎ.

− = −− = −.

Karena − = dan − = maka = −.

Karena ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, = .

Sedangkan menurut teorema 7.1, = て .

Sehingga diperoleh − = = = .

Jadi, − = .

Teorema 7.4

Jika = , dan = , maka = , .

Bukti

a) Kasus I : ≠

Misalkan " = , dan = " maka titik tengah " sehingga

diperoleh

, = +

, +



6

Maka+

= dan+

= sehingga diperoleh

+ = ⟺ = 2 ⟺ = 2 ……………………………..(1*)

+ = ⟺ = 2 ⟺ = 2 ………………………………(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) maka , = 2 , 2 Karena = ", maka = , = 2 , 2 Jadi, = 2 , 2 .

b)

Kasus II : =

Karena = , maka , = , artinya = dan = .

⍞ = = = ,

, = (2 , 2 )

= (2 , 2 )

Jadi, = 2 , 2 .

7.2 Lanjutan Setengah Putaran

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.

Definisi refleksi atau pencerminan ialah

1. g A A A M g ,

2. ' P P M g , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis ' PP

Jelas bahwa g A yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan

petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.

DefinisiA dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A

Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g

memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g

itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (S p), maka satu-satunya

titik varian adalah P, sebab S p(P) = P dan S p(X) = X’ dengan P X dan P titik

tengah ruas garis ' XX .





8

QA = AQ ( karena A titik tengah QQ )Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga ∆APQ′ ≅ ∆AQP′ Karena ∆APQ ≅ ∆AQP maka PQ = QP

Karena PQ = QP maka g′ ∕∕ g

Jadi, //

Contoh

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g

atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik

tengah ruas garis XY .

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

h A g A ,

Ditanya : tentukan semua XYgahtitik ten, AhY g X

Jawab :

Ambil g P

Jika P S P A' maka g S g A' melalui P’ dan PA=AP’, g’//g

Jika g’ memotong h di Y

Tarik YA memotong g di X

Maka X dan Y pasangan titik yang dicari

Ilustrasi :

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang

memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan g S g A' tapi hS h A''

apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut

A

g’

gP

P’

Y

X

h



9


h A g A , ,

Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.

Bukti :

Ambil ℎ, ℎ, ∉ ℎ

Karena ∉ ℎ, ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ

ℎ′ akan memotong di titik , sehingga ∈ ℎ′ karena ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka = ∈ ℎ

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,

Maka dan satu-satunya pasangan .

sehingga ∈ ℎ, ∈ , ∈ , ∈ ℎ, ∈ , ∈

jadi, dan satu-satunya pasangan.


h A g A , , hS h A''

Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X

dan Y.

Bukti :

Teorema 7.6

Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki

titik tetap

Bukti :

Misal B AV B A ,,

ℎ ℎ′ ′



10

Akan dibuktikan B AS S tidak memiliki titik tetap

Misal g = AB

h AB di A, k AB di B

Akan ditunjukkan B AS S = k h M M

Karena h g A M M S , k g B M M S

Maka B AS S = k g h g M M M M

k h

k h

k g g h

k g g h

k g h g

k g h g

M M

M I M

M M M M

M M M M

M M M M

M M M M

Akan ditunjukkan B AS S tidak memiliki titik tetap

Misal X titik varian B AS S

Jadi B AS S (X) = X sehingga X X M M k h

Jadi

2... )(

1... )(

X M X M M M

X M X M M M

hk hh

hk hh

Dari (1) dan (2) diperoleh

X M X M X IM X M k hk h

Misal 1 X X M k

(i) Kasus 1 ( 1 X X )

Misal k h X X 1

Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya

memiliki satu sumbu maka h=k

Hal ini tidak mungkin sebab B A

(ii) Kasus 2 (1 X X )

Misal1 X X

Maka Mh(X)=X dan Mk (X)=X

Jadi X h X k X din berpotongakh,,



11

Hal ini tidak mungkin sebab h//k

Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga

X X S S X M X M B Ak h atau .

Jadi, B AS S tidak memiliki titik tetap.

Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7

Jika B A adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang

memetakan A pada B

Bukti :

Dipunyai B A

Akan dibuktikan B AS T dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga B A B AS D ESdan

Jadi A AS D ES

Maka AS AS S D D D E

11 S

Karena S-1D=SD maka AS A D ES

Jadi jika E D , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari E DS S

Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A

pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah

ruas garis AB

Teorema 7.8

Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik

Dipunyai titik V P

g

h k

A B



12

Akan dibuktikan

(1)

g sebuah garis g g S P //

(2) I S S P P dengan I transformasi identitas

Bukti :

(1)

Jelas SP(g) = g’ suatu garis.

Misal g B g A ,

Maka ',' g B g A dan PA = PA’, PB = PB’

Karena PA = PA’, PB = PB’, dan '' PB Am APBm sehingga

B PA PAB ' ( s sd s)

Jelas BAP m P A Bm ''

Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi

(2)

Karena A AS AS S p p p ' , maka g I g S S g A P P

Jadi, I S S P P .

Hal ini berarti SP bersifat involuntorik

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat

involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu

dilatasi yang bersifat involutorik.

Ilustrasi :

Teorema 7.9

Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,

maka H AT H T A 1

Bukti :

B

A

B’

A’

P

SP(g)=g’

g



13

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik

Akan dibuktikan H AT H T A 1

Ambil

H T A

Jadi X T A H X

maka X X I X T T X T T AT 111

Jadi, H AT 1

Ambil H AT 1

Hal ini berarti HTAatau1 H T AT T

Contoh :

Dipunyai : 164, 22 y x y x E

Misal A = (4,-3) dan C = (3,1)

g adalah sumbu X

Ditanya : Selidiki apakah E S M A c g

Jawab :Jelas g c g cc g M S M S S M 111

Ambil P = (x,y)

Jelas y x P M y x P g ,,

Jelas y x y x P S c 2,61.2,3.2

Jadi y x y xS P M S P S M c g cc g

2,6,1

Sehingga 1,232,463,4

11

c g c g S M AS M

Karena E AS M c g

1,21

maka berarti bahwa E S M A c g

Jadi, E S M A c g

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan

apabila persamaan himpunan tela diketahui.



14

Menurut teorema 7.9, H AT H T A 1 . Jika transformasi T adalah

E S M c g dengan 164, 22 y x y x E , maka

E P S M E S M P c g c g 1

. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan

sebelumnya, jika y x P , maka y x P S M c g

2,61

Jadi, 164,2,6 221

y x y x y x E P S M c g

Jadi haruslah 1624622 y x

Hal ini berarti bahwa 03616124, 22 y x y x y x P E S M P c g

Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 y x y x adalah persamaan

peta E oleh transformasi c g S M .

Latihan Soal halaman 68

1.

Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.

Lukis :

a.

b. ∋ =

c.

d.

e.

Lukisan :

a. ᒐ

b.

∋ =

B

P

A



15

c.

d.

e.

2. Diket : garis dan titik , ∉

Ditanya :

a) Lukisan garis = dan mengapa sebuah garis?

b) Buktikan bahwa //.

Jawab :

==

B

P

A

R

B

P

A

R

B

P

A

B

P

A



16

a. =

Karena sebuah garis, maka juga merupakan sebuah garis

(isometri).

b. ′∕ ∕

Bukti :

∈ , ∈

karena ∈ maka A titik tengah dengan =

karena ∈ maka A titik tengah dengan =

Perhatikan ∆′ ∆′ Untuk membuktikan bahwa ′∕ ∕ maka harus ditunjukkan

∆′ ∆′ adalah kongruen.

< = < (sudut bertolak belakang)

= ′ ( karena A titik tengah )

= ( karena A titik tengah )

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)

sehingga ∆′ ≅ ∆′ Karena ∆ ≅ ∆ maka = Karena = maka ′ ∕∕

3.

Diket : ∆ dan jajargenjang , K terletak diluar daerah ∆

dan diluar jajargenjang . Ditanya :

a) Lukisan ∆

b)

Titik J ∋ =

Jawab :

a)

Lukisan ∆

PQ

= =

A

=



17

b) =

4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris

Lukis :

a)

Garis dan ℎ sehingga = dan =

b)

Garis dan sehingga − = dan =

Lukisan :

a) = dan = て

b) − = dan @ =

5.

Diket : A = (2,3)

Ditanya:

a. SA( C ) apabila C = (2,3)

b. SA( D ) apabila D = (-2,7)

c.

SA( E ) apabila E= (4,-1)

d. SA( P ) apabila P = (x,y)

Jawab:

W X

YZ

C’ A’

B’

K

B

CA

ℎ



18

a. C = (2,3)

SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3)

= (2,3)

b.

D = (-2,7)

SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7)

= (6,-1)

c.

E= (4,-1)

SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1))

= (0,7)

d.

P = (x,y)

SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y)

= (4-x, 6-y)

6.

Diket : B = (1, -3)

Tentukan :

a. SB(D) apabila D (-3, 4)

b. E apabila SB(E) = (-2, 5)

c. SB(P) apabila P = (x, y)

Jawab :

a.

D (-3, 4)

SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4)

= (5, -10)

b. SB(E) = (-2, 5)

Misal E = (x, y)

Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5

⇔2 – x = -2 ⇔ -6 - y = 5⇔ x = 4 ⇔ y = -11

jadi, E = (4, -11)

c.

P= (x, y)

SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y)

= (2 - x, - 6 - y)

7.

Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6)

a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)



19

= (2, 6)

SDSB(B) = SD(2,6)

= (2.0 - 2, 2.(-3) – 6)

= (-2, -12)

b. K = (1, -4)

SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4)

= (3, 16)

SDSB(K) = SD(3,16)

= (2.0 - 3, 2.(-3) - 16)

= (-3, -22)

c.

SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4))

= (-1, -2)

SBSD(K) =SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

d. Menurut teorema 7.3

jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA

maka, SD-1

(K) = SD(K) = (-1,-2)

Dan, SB-1(K) = SB(K)

Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD

-1 (K)

= SB-1(-1, -2)

= SB(-1, -2)

= (2.2 - (-1), 2.6 - (-2))

= (5, 14)

e.

P = (x, y)SB(P) = (2.2 – x, 2.6 – y)

= (4 – x, 12 – y)

SDSB(P) = SD(4 – x, 12 – y)

= (2.0 – (4 – x), 2.(-3) – (12 – y))

= ( - 4 + x, - 6 – 12 + y)

=(x - 4, y - 18)

8. Diket :

C = 4,3



20

= , | =

Tentukan :

a. 2,1

b. jika ,

c. −, apakah = = ᒐ?

Jawab :

a. 2,1 = (2. 4 2,2.3—1)

= 10,7

= 7,10

b.

,

= 2. 4 , 2 . 3

= 8 , 6

= 6, 8

c. − = (−−)

Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh − = dan

− = , sehingga diperoleh

− = (−−)

= ()

= 騴 ,

= ,

= (2. 4—),2.3—

= 8, 6

9.

a. SK = SJ

Misal K = x, y, A = a, b, J = u, v

SK = 2 a x , 2 b y

SK = 2 a u , 2 b v

Karena SK = SJ sehingga

2a x = 2a u

⇔ x = u



21

⇔ x = u

dan

2b y = 2b v

⇔ y = v

⇔ y = v

Sehingga Kx, y = Ju, v

Jadi K = J b. SD = SD

Misal = ,

= ,

= ,

Karena SD = SD

maka 2 ,2 = 2 , 2 diperoleh 2 = 2

⇔ 2 = 2

⇔ =

dan 2 = 2

⟺ 2 = 2

⟺ =

Karena = dan =

Maka , = ,敡 sehingga =

Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu =

c. SE = E ⟹ Misal Aa, b,Ex,y

SE = 2a x, 2b y

Karena SE = E maka

2a x, 2b y = x, y

diperoleh

2a x = x

⟺ 2a = 2x

⟺ a = x

dan

2b y = y



22

⟺ 2b = 2y

⟺ b = y

Sehingga Aa, b = Ex, y

Jadi A = E

10. a) Dipunyai : A B B A S S S S B A ,

Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Jawab :

Ambil ),(,,,, y x P V d c BV ba A

1... 22,22

22,22

2,2

yd b xca

yd b xca

yd xcS A

2... 22,22

22,22

22,22

2,2

yd b xca

ybd xac

ybd xac

yb xaS B

Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa

A B B A S S S S

yd b xca yd b xca

22,2222,22

Jadi, A B B A S S S S B A , merupakan pernyataan yang salah

b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung


Jawab :

Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila

transformasi itu mengawetkan orientasi.

Ambil tiga titik tak segaris f eC d c Bba A ,,,,, dan tiga titik tersebut

membentuk segitiga ABC

Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan A’B’C’ dengan

A’=T(A),B’=T(B), C’=T(C)

Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran

P S S B A

P S S A B



23

c) Dipunyai : hS S g S S h g B A B A


Jawab :

d) Dipunyai : AB B A BS B AS A A B 2, 1111


Jawab :

Ambil 2211 ,,, y x B y x A

2

21

2

21 y y x x AB

2121221

1212111

2,2,2,2,

y y x x y xS BS B y y x x y xS AS A

A A

B B

AB3

3

99

3333

2222

2222

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

2112

2

2112

2

2112

2

211211

y y x x

y y x x

y y x x

y y y y x x x x

y y y y x x x x B A

Jadi, AB B A BS B AS A A B 3, 1111

Jadi, AB B A BS B AS A A B 2, 1111 merupakan pernyataan salah

e) Dipunyai : P P S g g S P A g P g A A A ,,,


Jawab :

Jelas g AP

Ambil A(a,b), P(x,y)

Akan ditunjukan bahwa P P S g g S A A ,

y x P P S

g P yb xa P S

A

A

, Jadi,

'2,2

Karena g A , maka g g S g P P S g A AS A A A ',



24

Jadi, P P S g g S P A g P g A A A ,,, merupakan pernyataan

salah.

11. Diket: A = 1,0

Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis dan ℎ sehingga

3,4 ∈ dan =

Jawab:

= ⇒ ⊥ ℎ ⇒ . = 1 ⟺ = 1

misal ⟹ =

ℎ ⟹ =

titik potong g dan h ada di A1,0

A titik potong g dan h

B3,4 ∈ g

Sehingga A dan B ∈ g

Persamaaan garis g melalui A1,0 dan B3,4

g: y y

y y = x x

x x

⇔ y 40 4 = x 3

1 3

⇔ y 44 = x 3

4

⟺ y 4 = x 3

⟺ y = x 1 ⟹ m = 1

Karena m. m = 1 dan m = 1 maka m = 1

h melalui 1,0 dan bergradien -1

y y = mx x

y 0 = 1x 1

y = x 1

Jadi g: y = x 1

h: y = x 1

13. Diketahui : titik V B A , , garis g



25

Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T)

memiliki orientasi positif

Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh

transformasi :

a. SA

b. SA SB

c.

MgSA

d. SAMgSB

e. S-1A

f.

(MgSB)-1

Selesaian :

14. Diketahui:tiga titik A, B, C

Buktikan:− =

Bukti:

Adb − =

− = −−

Menurut teorema 7.3 “ ℎ , − = ”

Jadi S− = S dan S− = S

Karena − = 〱 − =

Maka − = −− =

Jadi, terbukti bahwa SS− = SS

15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi

sebarang

Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya

Selesaian :

a) hh g g h g A g A A g M I M M M M M S M S S M 11111

b) I S S S S S S S M M M S M A A A A A A Ah g h A g 111111

c) Ah B Ah Bh A B Bh A Bh A S M S S M S M S S S M S S M S 11111111



26

g B g hh B Ah B M S M M M S S M S 11

Jadi, g B Bh A M S S M S 1

T S T S S T A A A 11111

16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga = 6,2

b. Apabila = , nyatakan kootdinat P dengan koordinat-

koordinat R

Penyelesaian:

a.

Diket : A=(0,0), B=(-4,1)

Ditanya : tentukanlah K sehinga = 6,2

Jawab :

Misal = ,

= 6,2

⇔ , = 6,2

⇔ 2. 4 , 2 . 1 = 6,2

⇔ 8 , 2 = 6,2

⇔ 2. 0 8,2.0 2 = 6,2

⇔ 8 , 2 = 6,2 ⇒ 8 = 6 ⇔ = 2

2 = 2 ⇔ = 4

Jadi, 2,4

b. Diket : =

Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R

Jawab :

17. Diket: Titik 1,4

Garis = ,| = 2 1

Garis ℎ = ,| = 4

Ditanya:

a.

Persamaan = ?



27

b. Persamaan ℎ = ℎ?

c. Persamaan ?

d. Apakah titik 5,6 terletak pada ? jelaskan !

Jawab:

a. Ambil titik 1,1 ∈

曯 = 昹 , ∈ , = ′ Maka ∈

= 2. 1 1 , 2 . 4 1

= 3,7 = ∈ ′ Menurut teorema 7.5 maka ∕/

sehingga = = 2

jadi, persamaan ′ melalui ′3,7 dengan =2

=

7 = 2— 3

騴 7 = 2 6

= 2〰 13

Jadi, = , | = 2 13 b.

Kasus I

Ambil titik =

1,4 ∈ ℎ

Sh = h, H ∈ h, dan SH = H′ Maka H′ ∈ h′ SH = 2. 1 1,2.44

= 1,4 = H ∈ h′ Menurut teorema 7.5 maka h ∕/h

sehingga mh = mh = 4

jadi, persamaan h′ melalui G′1,4 dengan m = 4

y y = mx x

y 4 = 4x 1

y 4 = 4x 4

y = 4x

Jadi, h = x, y|y = 4



28

Kasus II

Ambil titik ≠

1, 4 ∈ ℎ

Sh = h, H ∈ h, dan SH = H′ Maka H′ ∈ h′ SH = 2. 1 1,2.44

= 3,12 = H ∈ h′ Menurut teorema 7.5 maka h ∕/h

sehingga mh = mh = 4

jadi, persamaan h′ melalui G′3,12 dengan m = 4

y y = mx x

y 12 = 4x 3

y 12 = 4x 12

y = 4x

Jadi, h = x, y|y = 4

c. Sumbu ⇒ = 0 ⇒

Ambil titik 1,0 ∈ dan S = ′ Maka S = = 2. 1 1 , 2 . 4 0 = 3,8

Sehingga ∈ g′ Karena //′ ⇒ = = 0

Persamaan himpunan melalui 3,8 dengan = 0

=

⇔ 8 = 0 3

⇔ = 8

Jadi, persamaan himpunan adalah = 8

d. = = , ᒐ|@ = 2 13

= 5 = 2. 5 13 = 3 ≠ 6

Jadi 5,6 tidak terletak pada

18. Diket: C = x,y|x y 3 = 4

= , | =

3,2



29

Ditanya: Apakah 2,5 ∈ ?

Jawab:

= ,| 3 = 4 dengan pusat 0,3 dan berjari-jari 2

3,2

= = 2.30,2.23 = 6,1

= ′ adalah lingkaran dengan pusat M6,1, jari-jari 2

Sehingga = , | 6 1 = 4

=

⟺ 6,1 = 1,6

Jadi M1,6 adalah pusat lingkaran C

= 1 6 = 4

Jadi, MSC = C = x 1 y 6 = 4

Jika x = 2, dan y = 5

Maka 21 5 6 = 1 1 = 1 1 = 2 ≠ 4

Jadi, D2,5 ∉ MSC

20. Diket :

= , | = 5 7

= 3,2

Ditanya : = ?Jawab:

Ambil sebarang titik , ∈

= 1 ⇒ = 5 7 = 2

Misal 1,2, ∈

= 2. 3—1,2.22

= 6 1 , 4 2

= 5,2 = ′ ⟹ ′ ∈ ′

//′ ⟹ = ′ = 5

俎 =

⇔ 2 = 5 5

⇔ 2 = 5 25

⇔ = 5 27



30

Jadi, = = ,| = 5 27

Tugas halaman 74

1.

Diketahui : titik A dan B, garis ∋ ∉ , ∉

Lukis :

a. =

b. Garis ∋쭔 =

c. Garis ℎ ∋ ℎ = ℎ

Lukisan :

a. = 逜

b. Garis ∋ =

=

′ = ㉹

棨



31

c. Garis ℎ ∋ ℎ = ℎ

2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis

g dan h.

Lukis :

a. ℎ

b.

昰 ∋ ℎ =

Lukisan :

a. ℎ

b. ∋ ℎ =

3.

Diketahui : = {, │2 5 = 4} dan = 1,4

Ditanya :

a. apakah 1,6 ∈ =

b. persamaan ′ Jawab :

a. ∶ 2 5 = 4

Karena = dan = 1,4 ∉ maka menurut teorema 7.5, //′.

ℎ



32

Untuk mengetahui apakah 1,6 ∈ = maka harus dicari

= , lalu diselidiki apakah , ∈

Menurut teorema 7.4 maka

= 2.1—1,2.4 6 ⇔ , = 2 1 , 8 6

⇔ , = 1,2

Maka diperoleh = 1, = 2

Substitusikan nilai dan ke persamaan

Diperoleh 2.1 5.2 = 2 10 = 8

Karena , tidak memenuhi persamaan maka , = ∉

maka ∉ =

b. Untuk menentukan persamaan ′ maka dihitung gradien ′ dan diambil

salah satu titik ∈ , misalnya = 7,2

Maka = 2.17,2.42

⇔ = 2 7 , 8 2

⇔ = 5,6

Karena ∈ dan = maka ∈ ′. ∶ 2 5 = 4 maka gradient adalah

= sehingga //′ maka gradien = gradien =

7 = 25 2

⇔ = 7 25 2

5 . 2

⇔ = 7 2

5 4

5

⇔ = 25 31

5

⇔ 5 = 2 31

⇔ 2 5 = 31

Jadi, persamaan garis ′ adalah 2 5 = 31.

4.

Diketahui : = {, │3 2 = 4} dan = 2,1



33

Ditanya :

a. ∋ = 3, ∈ =

b. Persamaan ′ c.

Persamaan ℎ ∋ ℎ =

Jawab :

a. Untuk menentukan maka diambil titik = , ∈ sehingga

2. 2 = 3

⇔ 4 = 3

⇔ = 7

Substitusikan = 70 pada persamaan maka 3 2 = 4

⇔ 3. 7 2 = 4

⇔ 21 2 = 4

⇔ 2 = 25

⇔ = 252

Maka = , = 7,

Karena = 7,

dan = 2,1 maka menurut teorema 7.4 maka

= 2.2—7,2.1 252

⇔ 3, = 4 7,2 252

⇔ 3, = 3, 215

Sehingga diperoleh =

b. Untuk menentukan persamaan

′ maka harus ditentukan gradien

′

Karena = maka menurut teorema 7.5 //′ sehingga gradien

= gradien ′ ∶ 3 2 = 4 maka gradien adalah

sehingga gradien〱 =

Berdasarkan jawaban soal a, maka = 3, ∈

Sehingga persamaan ᒐ′ adalah

3 =

3

2 —

21

5



34

⇔ = 32 21

5 3

⇔ = 3

2 3

2. 21

5

⇔ = 32 63

10

⇔ 10 = 15ㄎ 63

⇔ 15 10 = 63

Jadi, persamaan ′ adalah 15 10 = 63.

c. _ℎ = maka − = ℎ

Menurut teorema 7.3 ᒐ− = sehingga − = = ℎ

Dari jawaban soal b, = artinya = = ℎ sehingga

diperoleh = ℎ

maka persamaan ℎ = persamaan ′ yaitu 15 10 = 63

Jadi, persamaan ℎ adalah 15 10 = 63.

5.

Diketahui : kurva = {, │@ = } dan titik = 3,1

Ditanya :

a.

Apakah = 3,7 ∈ =

b. Persamaan kurva ′ Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah = 3,7 ∈ = maka harus dihitung

Misalkan = , sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh

= 2.33,2.1—7

⇔ , = 6 3 , 2 7

⇔ , = 3,9

Maka = 3, = 9

Substitusikan , = 3,9 ke persamaan

diperoleh 9 = 3 memenuhi persamaan maka , ∈

Karena = , ∈ dan = maka ∈ ′ Jadi, = 3,7 ∈ =



35

b. Untuk menentukan persamaan ′ maka harus ditentukan koordinat titik

puncak kurva ′ Karena

= {, │ =

} maka titik puncak

adalah

0,0 dan titik

fokus kurva adalah 0,

Misalkan titik puncak adalah titik maka = 0,0 sehingga menurut

teorema 7.4,

= 2.30,2.10 = 6,2

Karena ∈ dan = maka ∈ ′ dan karena adalah

titik puncak尠 maka = 6,2 titik puncak ′.

Misalkan titik fokus adalah maka = 0, sehingga menurut

teorema 7.4,

= 2.3 0,2.1 = 6,

Karena ∈ dan = maka ∈ ′ dan karena adalah titik

fokus maka _ = 6, titik fokus ′

Sehingga diperoleh titik puncak ′ adalah 6,2 dan titik puncak ′ adalah

6, maka kurva ′ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva ′

adalah

6 = 4. 14 2

⇔ 12 36 = 2

⇔ = 12《 38

Jadi, persamaan kurva = adalah = 12 38.

6. Diketahui : k S M k xC y y x g A y y xk A g x ',6,,0,,0,2,, 1

Ditanya : a) nilai x sehingga 'k C ; b) persamaan 'k

Selesaian :

a) Ambil P(m,n)

nmnm M nm M nmS M P S M g g A g A g ,4,4,22,

Hal ini berarti bahwa



36

x x

x x M

x x M

x xS M k S M g g A g A g

1,4

1,4

1,22

1,

Maka6161 x

x yc

,623

614 c x

Jadi, nilai x sehingga 'k C adalah6

23

b) Misal 'k D

Untuk nilai x = 1, maka '1,31

1,14 k D

Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu

1,3dan6,623 DC

176

2366

5

236

5

6

6

23186

236

5

6

6

233

6

23

61

6

12

1

12

1

x y

x y

x y

x

y

x y

x x

x x

y y

y y

7. Diketahui : Q titik tengah PR

Ditanya : Buktikan bahwaQ R P Q S S S S

Bukti :

Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f)

Karena Q titik tengah PR , maka d b f cae 21

21 ,

ybd b xaca yb xaS y xS S AS S Q P Q P Q 22,222,2,21

21

yd b xca ,



37

a. yd bd xcac yd b xcaS y xS S AS S RQ RQ R 2,22,2,21

21

yd b xca 3,3 Nilai ∋ = , 6 ∈ =

b. Persamaan

′

Jawab :

a. Untuk menyelidiki apakah ∋ = , 6 ∈ = maka harus

diambil

b. Untuk mencari persamaan ′ maka

8.

Diketahui : = 2,1, = {, │ = }, ℎ = {, │ = 3 2}

Ditanya : persamaan garis = ℎ

Jawab :

Ambil titik 2,4 ∈ ℎ

Maka = 2,4 = 4,2 =

Karena ℎ = ℎ,騴 ∈ ℎ, = ′ Maka ′ ∈ ℎ′ Mencari titik potong garis dan garis ℎ

ℎ: = 3 2

: =

Titik potong garis _ dan garis ℎ adalah

=

3 2 =

2 = 2

= 1

Maka, = 1

Jadi, titik potong garis dan garis ℎ adalah di 1,1

Karena ℎ = ℎ

Maka 1,1 ∈ ℎ Sehingga garis ℎ melalui titik 4,2 dan titik 1,1

=

1 2 2 = 1 4 4



38

1 2 = 3

4

3 6 = 4

3 = 2

3 2 = 0

Jadi persamaan ℎ: 3 2 = 0

Ambil titik = 7,3 ∈ ℎ

Maka = 7,3

= 2.27,2. 1 3

= 3,5 =

Karena = ℎ

Atau = ℎ, ∈ ℎ dan =

Maka ′ ∈

Sehingga melalui = 3,5 dan //ℎ dengan =

=

5 = 13 3

5 = 13 1

ᒐ = 13 4

3 = 12

Jadi persamaan garis = ℎ adalah 3 = 12.

9.a)Diketahui : garis g dan h

Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik

tetap

Bukti :

Misal A A ''

Jelas ''' A A M A M M g h g

Karena g//h maka A A '' sehingga ' A A M M h g

Hal ini sebuah kontradiksi



39

Maka pengandaian harus dibatalkan.

Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila

berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap

yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa ' A A M M h g dan

Ah g S A M M maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

9.b)Diketahui : garis g, titik g A

Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap

Bukti :

10. Diketahui : ∆, garis dan sebuah titik ∉ , diluar daerah ∆.

Tentukan semua pasangan titik dan dengan ∈ , ∈ ∆ sehingga

titik tengah ̅ ?

Jawab:

11.

Diketahui : lingkaran dan . Salah satu titik potongnya adalah .

∈ dan ∈

Ditanya : Lukisan ruas garis ̅ sehingga A titik tengah ruas garis ̅ ?

Jelaskan lukisan tersebut?

Jawab :

A titik tengah ̅ , berarti =

Jadi, = atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.



40

12. Diketahui: titik dan garis , ∈

Ditanya :

a. Buktikan bahwa transformasi adalah sebuah refleksi pada suatu garis

dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini?

b. Jika tegak lurus ℎ di titik dan tegak lurus di titik B, buktikan

bahwa = ?

Jawab :

a. Ambil sebarang titik ∈

Diperoleh Ó = ′ Tarik garis ℎ ⊥ yang melalui A

Tarik garis ′′ yang memotong garis ℎ dititik B,

sehingga = =

Lihat ∆ ∆

= (berhimpit)

= ′ (Refleksi)

< =<㌱′ (Siku-Siku)

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S)

Sehingga dapat disimpulkan ∆ ≅ ∆

Salah satu akibatnya =

Lihat ∆ ∆′′

〰 = (berhimpit)

′ = ′′ (setengah putaran)

ℎ =〰 =

= = ′′ = ′′

Karena = = , maka =

Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S)

Maka dapat disimpulkan ∆ ≅ ∆′′

′′

′

ℎ



41

Akibatnya =

Karena O merupakan titik tengah ′′, maka = ′′ merupakan

refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ⊥ .

Jadi, merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah

garis yang melalui A tegak lurus dengan . b.

Ambil garis tegak lurus ℎ di titik dan tegak lurus di titik .

Adb =

Menurut teorema 7.1 : “andaikan A sebuah titik, dan ℎ dua garis tegak

lurus yang berpotongan di A, maka = 筽 ”

Maka = dan =

Sehingga =

Karena = , maka diperoleh:

= =

Sehingga

ᒐ = = = = =

Jadi terbukti bahwa =

13. Diketahui : , , tak segaris

Ditanya:

a.

Pilih sebuah titik dan lukislah titik = !

b. Jika titik tengah ̅ , lukislah = !

c. Perhatikan hubungan antara dan . Apakah dugaan kita mengenai

jenis transformasi ?

Jawab:

h



42

a.

b.

c. Karena = = − maka transformasi merupakan

transformasi identitas.

14. Diketahui : ∆, ∠ = 90°

15.

Diketahui : = 0,0, = 3,1

Ditanya :

a) = jika = 2,4

b) = jika = , ᒐ c) Apa yang dapat kami katakan tentang ,′,

Jawab :

a)


= ()

⇔ = 2.3—2, 2. 1 4

⇔ = 6 2 , 2 4

⇔ = 8,6

⇔ = 2.08,2.0—6

⇔ = 0 8 , 0 6

⇔ = 8,6

Jadi, = 〱 = 8,6

b)


= 〱

⇔ = 2.0,2.0

⇔ = 0 , 0

⇔ = ,

⇔ = 2.3 , 2. 1—

A

B

CP ' P

'' P '' P

M

' M

'' M



⇔ = 6 , 2

⇔ = 6, 2

Jadi, = = 6, 2

c)

Karena = 2,4 dan = 8,6

Maka persamaan :

〱

=

⇔ 2 8 2 = 4

6 4 ⇔ 26 = 4

2

⇔ 6 = 2 4 24 ⇔ = 13 10

3

Karena = ,〱 dan = 6, 2

Untuk tidak membuat rancu,dimisalkan titik = , dan = 6, 2

Maka persamaan :

=

⇔ 6 =

2 ⇔ 6 =

2

⇔ 6 = 2 2 6 ⇔ = 13 1

3

Karena = 0,0 = 3,1

Maka persamaan :

=

⇔ 03 0 = 0

1 0 ⇔ 3 =

1

⇔ 3 = ⇔ = 13

Dari persamaan – persamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan

, , dan mempunyai gradien yang sama, yaitu

16.

Buktikan :17. Diketahui : ∆ dan sebuah titik ∈ ̅

Lukis : di dalam ∆, sebuah ∆0 yang kelilingnya paling pendek

Documents

Makalahsetengahputaran 150615043829 Lva1 App6891