1

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB VI

TRANSFORMASI BALIKAN

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

2

Transformasi Balikan

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif

dengan daerah asal V dan daerah hasilnya juga V. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi

pada garis g, maka PPMM gg . Kita tulis juga PPM g 2

. Jadi M2 adalah

suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang

demikian dinamakan transformasi Identitas, dilambangkan dengan huruf I. Jadi

PPPI , .

Apakah I memang benar suatu transformasi?

Apakah I injektif?

Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan )()(,, 212121 xIxIxxVxx .

Bukti:

Ambil 2121 dengan , xxVxx .

Menurut definisi identitas, 111 )( xxIVx

222 )( xxIVx

Karena 21 xx maka )()( 21 xIxI

Jadi, I injektif.

Apakah I surjektif?

Untuk menunjukkan I surjektif, ditunjukkan xxIVx )(

Bukti:

Akan dibuktikan ')(' yyIVy

Ambil Vy ' , menurut definisi identitas jika yyyIVy ')( maka

Sehingga yyIyVyVy )('' . Jadi yy ' .

Jadi, I surjektif.

Benar bahwa I suatu transformasi.

Karena I transformasi, T trasnformasi, berlaku sifat berikut:

PPTpTIPITPTI ,

Jadi TTI

3

PPTPTIPIT ,

Jadi TIT , sehingga TITTI

Dengan demikian, transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam

himpunan transformasi-transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi-

transformasi.

Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap

0x ada balikan 1x sehingga 111 xxxx . Demikian juga dalam transformasi,

jika terdapat dua transformasi misal T dan Q, yang hasil kalinya adalah I

(transformasi identitas) ditulis IQTTQ . Transformasi balikan dari T ditulis

sebagai 1T sehingga ITTTT 11 .

Teorema yang berkaitan dengan transformasi balikan:

Teorema 1

Setiap transformasi T memiliki balikan.

Bukti:

Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.

Misal balikan dari T adalah L, maka ILTTL

Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.

Karena surjektif, XATVAVx )( prapeta

Kita tentukan AXL .

Kita punya XAT . Karena AXL , maka XXLT

Jadi XL adalah prapeta dari X .

Diperoleh XXLT atau XXTL .

Karena XXTL maka menurut definisi identitas XXI

XXIXTL

Jadi, ITL

Selanjutnya XTLXLT

4

Andaikan BXT

Karena transformasi maka x prapeta dari B dengan BLX

Jadi, karena BXT , maka XBLXTL )( .

Jadi VXXIXXLT , .

Jadi, ILT . Sehingga ILTTL .

Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.

Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.

Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.

Andaikan 21 XLXL dan andaikan pula 2211 )(,)( XATXAT dengan

11 AXL dan 22 AXL

Karena T transformasi, dan jika 21 AA maka )()( 21 ATAT , sehingga kita

peroleh 21 XX .

Jadi karena T transformasi dan )()( 21 XLXL maka:

)()( 21 XLTXLT

21

21

XX

ATAT

Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.

Karena ILTTL , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang

dilambangkan dengan 1T . Jadi L = 1T .

Contoh:

Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G

sebagai berikut:

yxPFyxP

2

1,2)(),.( dan )2,2()( yxPG

Sehingga PyxyxFPGFPFG ),()2,2()(

Dan PyxyxGPFGPGF

),()

2

1,2()(

Jadi PPIPPGFPFG ,)(

5

Atau IGFFG

Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis 1 FG

Teorema 2

Setiap transformasi hanya memiliki satu balikan.

Bukti:

Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan 1S dan 2S .

Karena 1S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 11

dan karena 2S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 22

Sehingga ))(())(( 21 PTSPTS

)()( 21 PSTPST

Karena T transformasi maka .),()( 21 PPSPS

Sehingga 21 SS . Jadi balikan T adalah SSS 21 .

Dengan kata lain transformasi T hanya memiliki satu balikan.

Teorema 3

Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri

Bukti:

Andaikan pencerminan pada garis g adalah gM .

Andaikan gXYXM g ,)( maka XXMM gg )( atau ,))(( XIXMM gg

.gX jadi IMM gg .

Jika gX maka XXM g )( sehingga )()( XMMXM ggg atau

IMM gg

Jadi untuk setiap X diperoleh IMM gg .

Jadi gg MM 1

.

6

Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri

dinamakan suatu involusi.

Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan, yaitu

11 dan ST . Komposisi transformasi, yaitu ST juga suatu transformasi. Jadi

ada balikan 1ST

Teorema 4

Apabila T dan S transformasi-transformasi, maka 111 TSST .

Bukti:

Diketahui ISTST )(1 .

Tetapi ISSSISSTTSSTTS 111111 . Oleh karena suatu transformasi hanya memiliki satu balikan, maka

111 TSST .

Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan balikan

transformasi dengan urutan yang terbalik.

Contoh:

Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis xyyxg ),( dan

0),( yyxh .

Tentukan P sehingga ,))(( RPMM gh dengan R = (2,7).

Jawab :

Andaikan yxP , .

Kita peroleh berturut-turut ),)(())()((1111 RMMPMMMM hgghhg

Jadi .)(11 RMMP hg

Oleh karena )7,2(R dan hh MM 1 , maka )7,2()()(1 RMRM hh

sehingga )2,7()7,2()7,2()(111 gghg MMRMM sehingga )2,7(P .

7

Tugas:

Dalam tugas dibawah ini kita definisikan padanan-padanan sebagai berikut:

a) Apabila g sebuah garis. gW adalah padanan yang didefinisikan untuk

segala titik P sebagai berikut:

Apabila gP maka PPWg )(

Apabila gP maka )(PWg adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari

P pada g.

b) Apabila g sebuah garis. gV adalah padanan yang didefinisikan untuk

semua titik P sebagai berikut:

Apabila gP maka PPVg )(

Apabila gP maka ')( PPVg sehingga P titik tengah ruas garis tegak

lurus dari 'P pada g.

c) Apabila A sebuah titik. UA adalah padanan yang didefinisikan sebagai

berikut :

Untuk1)(, PPUAP A sehingga

1P adalah titik tengah ruas garis PA .

Untuk PPUAP A )(, .

8

Latihan.

1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi

transformasi berikut:

a) gW b) gV c) gM d) AU

Penyelesaian:

Kasus 1 untuk A g

a) Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

AAWgWg

AAWgWg

AAI

)(

)(

)(

1

1

AAWg )(1

Jadi, AAWg )(1

Kasus 2 untuk A g

Menurut definisi dari padanan Wg

Apabila A g maka AhAAWg2

1

2

1)( ' dimana h adalah ruas garis

tegak lurus dengan g dari A.

Diketahui AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Karena AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Maka )()(1

AVAW gg

b) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

g

h

A

AAVgA 2)(1

9

AAVgVg

AAVgVg

))((

))((

1

1

AAVg )(1

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi identitas

Diketahui AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Karena AAWg2

1)(

AAVg 2)(

Maka )()(1

AWAV gg

c) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka Mg(A) = A maka AAMg )(1

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka 1)( AAMg

Menurut Teorema 6.3

1)( AAMg

AAI )(

AAMgMg

AAMgMg

))((

1

1)(

Mg

AAMg

d) Jika AP jelas PPU A )( . Jadi balikan dari AU adalah AU .

Jika AP maka ')( PPU A dimana

'P adalah titik tengah ruas garis PA

g

h

A

AAVgA 2)(1

10

Dari hipotesis Jika GP , 1)( PPVg , sehingga P adalah titik tengah ruas

garis tegak lurus dari A pada g, dan misalkan gA , dan merupakan titik

potong garis yang tegak lurus dengan g dan melalui titik P dan 'P , maka P

titik tengah ruas garis AP ' . Jadi AV balikan dari AU .

2. Sederhanakanlah:

a) 1)( hgVM b) 1)( ggVW c)

1)( sgMW

d) 1)( sgWV e) 1)( sg MM f) sgs WWV

1)(

Penyelesaian:

Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka 111 TSST maka:

a) ghghhg MWMVVM 111)(

b) gggggg VWMVVM

111)(

c) gsgssg VMMMMM

111)(

d) gsgssg WVVWWV

111)(

e) gsgssg MMMMMM

111)(

f) ssgssgsgs WWMWVMWWV )()()(

111

3. Andaikan g sebuah garis,

a. Apakah gW sebuah isometri?

b. Apakah gW sebuah involusi ?

c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang

peta-petanya ?

Penyelesaian:

a) Ambil sebarang tiga titik CBA dan ,, dengan CBA dan gCBA ,,

Karena gA maka ')( AAWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

A pada g.

Karena gB maka ')( BBWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

B pada g.

11

Karena gC maka ')( CCWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari

C pada g.

b) Ambil sebarang titik gA .

Karena gA maka ')( AAWg adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari

A pada g. Ini berarti )('AWg bukan merupakan balikan dari )(AWg

Jadi gW bukan suatu involusi.

c) Ambil tiga titik CBA dan ,, yang segaris.

gAAAAWGA g '')(, dan ,'' rAAA

gBBBWGB g '')(, dan ,'' rBBB

gCCCCWGC g '')(, dan ,'' rCCC

gAA '

gBB '

gCC '

Jadi ////// ''' CCBBAA atau .//// CrBqAp

Sehingga ,pqAB dan qrBC . Akibatnya ''BAAB dan ''CBBC .

Dapat disimpulkan jika ,, BA dan C segaris maka gW adalah sebuah

isometri.

4. Diketahui garis-garis g dan h yang berpotongan dan titik P dan Q tidak pada

garis-garis tersebut. Lukislah:

a) R sehingga PRMM hg )( .

Penyelesaian:

)()()( PMRMPRMM ghhg

)(PMMR gh

Q h

P

PMP g' g

PMMPR gh ''

12

b) K sehingga QKMW gh )(

Penyelesaian:

)()()(1

QWKMQKMW hggh

)(

)()(

QVMK

QVKM

hg

hg

c) E sehingga PEWV gh )(

Penyelesaian:

)()()(1

PVEWPEWV hggh

)(

)(

)()(

1

PWVE

PWWE

PWEW

hg

hg

hg

d) D sehingga DDMW gh )(

Penyelesaian:

)()()( DVDMDDMW hggh

)(DVMD hg

Karena )()( DVMDDWW hggh berarti IVMMW hggh

(Transformasi Identitas).

Maka haruslah D terletak pada perpotongan antara garis g dan h.

Q h

P

QVQ h'

g

QVMQK hg ''

)(PWVE hg

)(' PWP h Q

h

P

g

Q h

P

g

D

13

5. Diketahui garis-garis g, h dan k dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.

Lukislah garis-garis:

a) v sehingga vAvvWh dan )(

b) u sehingga kuWV hg )(

'R

'P

'Q'S

R

P

Q

S

gkh

)(' kWk g

v v

14

c) z sehingga gzVU hA )(

d) w sehingga hwW g )(2

6. Diketahui titik-titik )9,2(dan ),3,2( BA .

a) Tentukan koordinat-koordinat )(BU A .

)()()()()(2 hVVwhVwWhwWWhwW ggggggg

v v

'R

'P

'Q

R

P

Q

zg ''

A

)(' gVg A

'S S

g

h

)(' hVh g

'S

S

'PP

'R

'Q

R Q

)('' hVVwh gg

gh

15

Penyelesaian:

6,02

393,

2

222

2,

2)(

ABA

ABAA

yyy

xxxBU

Jadi, koordinat )(BU A adalah (0,6).

b) Tentukan koordinat-koordinat ),(dengan ),( yxPPU A .

Penyelesaian:

2

3,

2

2

2

33,

2

22

2,

2)(

yx

yx

yyy

xxxPU APA

APAA

Jadi, koordinat )(PU A adalah

2

3,

2

2 yx

c) Apakah AU sebuah isometri? Apakah AU sebuah involusi?

Penyelesaian:

Ambil sembarang titik ),Q(dan ),( 2211 yxyxP

Jarak P ke Q adalah 2122

12 yyxxPQ

2

3,

2

2')( 11

yxPPU A , dan

2

3,

2

2')( 22

yxQQU A

Sehingga jarak P ke Q adalah:

2

12

2

12

2

12

2

12

222

3

2

3

2

2

2

2''

yyxxyyxxQP

Karena ''QPPQ maka AU tidak mengawetkan jarak.

Jadi, AU bukan sebuah isometri.

16

Ambil sembarang titik ),( 11 yxP

Jelas

2

3,

2

2)( 11

yxPU A

Jelas

2

2

33

,2

2

22

2

3,

2

2)'(

11

11

yx

yxUPU AA

2

2

6

,2

2

4 11 yx

yxyx

,4

6,

4

4 11

Jadi, AU bukan sebuah involusi.

d) Tentukan koordinat-koordinat )(1 PU A

Penyelesaian:

Andaikan ),()(1 dbycaxPU A

Jelas PPUU AA )(1 ),( dbycaxU A

),(2

3,

2

2yx

dbycax

ydby

xcax

2

3dan

2

2

32dan 22 ydbyxcax

Jadi, koordinat )32(),22(),()(1 yxdbycaxPU A

7. Apabila 3),( xyxg tentukanlah:

a) Koordinat-koordinat ),(untuk )( yxPPWg

Penyelesaian:

Jelas ),()( yxWPW gg ),(3),( yxW xyx

17

=

p

gp

g yxx

x ,2

=

y

x,

2

33

=

y

x,

2

3

Jadi, koordinat )(PWg untuk ),( yxP adalah

y

x,

2

3

b) Koordinat-kordinat )(1 PW g

Penyelesaian:

Andaikan )(1 PW g

= ),( dbycax

Jelas PpWW gg )(1

),(),( yxdbycaxWg

),(,2

3yxdby

bax

xbax

2

3 dan ydby

32 xbax dan ydby

Jadi, koordinat )(1 PW g

= ),32(),( yxdbycax

c) C dengan BCWV gh )( apabila h sumbu Y dan )6,1(B

Penyelesaian:

Jelas BCWV gh )( )()()( BWVCBWCW bgbg

)6,1( hg WVC

6,

2

1gVC

)6,32

1(2( C

)6,4( C

8. Apabila T, L, S transformasi-transformasi buktikan bahwa 1111 TLSTLS .

18

Penyelesaian:

Menurut Teorema 6.4 : Apabila S dan T transformasi-transformasi, maka

111 oTSToS

Sehingga (TLS) 1 = (TL(S)) 1 = S 1 (TL) 1 = 111 TLS

9. Sederhanakanlah:

a) 1ghg MVW b)

1

gghh VWVM

Penyelesaian:

a). ghgghghggghgghg VWMWVMVWMMVWMVW

1111111 )())((

b). 1111111 hhggghhggghhgghh VMWVWVMVVWVMVWVM

hhgg

hhgg

MWVW

MVWV

1111

10. Apabila A titik asal dan 2),( yyxg tentukan koordinat-koordinat titik D

sehingga )4,3()( DVU gA .

Penyelesaian:

Jelas )4,3()4,3()()4,3()( AgAggA VWDVDVDVU

2,62

28,6

8,6

)4.(2),3.(2

D

D

WD

WD

g

g

11. Andaikan 63),( yxyxg dan h sumbu Y. Apabila A titik asal, tentukan

persamaan garis k sehingga gkUV Ah )( .

Penyelesaian:

Jelas )()()()( gWVkgWkUgkUV hAhAAh

19

Persamaan garis k yang melalui dua titik yaitu titik (2,0) dan (0,12) adalah:

20

2

012

0

12

1

12

1

xy

xx

xx

yy

yy

126

2

212

xy

xy

Jadi persamaan garis k adalah 126 xy

12. Apabila xyyxg ),( tentukan:

a) Koordinat-koordinat titik )2,6(dengan )( AAWg

Penyelesaian:

Jelas titik A = (6,2) akan memotong (tegak lurus) g di

sehingga koordinat adalah

b) Koordinat-koordinat titik ),(Puntuk )(1 yxPW g

Penyelesaian:

Koordinat-koordinat titik untuk P = (x,y)

Jelas titik P = (x,y) memotong (tegak lurus) garis g di

1

-12

y

0

)(gWh

-6

2 x

63 xy

)(gWV hA

h

20

dan

Misal koordinat adalah

Jelas = P

dan

dan

dan

dan

dan

Sehingga koordinat adalah

13. Diketahui hg // . Titik BgA dan terletak di tengah-tengah antara hg dan .

Jarak antara hg dan adalah 4 cm dan jarak antara proyeksi-proyeksi A dan B

pada h adalah 16 cm. Tentukan jarak terpendek jalur antara A dan B yang

dipantulkan oleh hg dan sebanyak tiga kali (A tidak dihitung).

14. Tentukan jarak dalam soal 13, apabila pemantulan itu adalah n kali.

15. Diketahui persegi panjang ABCD dan sebuah titik P di dalam ABCD yang

terletak di tengah-tengah antara sisi-sisi AB dan DC; jarak antara P dan sisi AD

adalah 1 cm. Panjang sisi AD = 1 cm dan panjang sisi DC = 4 cm.

a) Lukis jajargenjang dalam persegi panjang yang salah satu sisinya melalui P

dan yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi persegi panjang itu.

b) Tentukan keliling paralellogram.