KURKIME ATEITĮ DRAUGE!
Makro-ekonometrinis modeliavimas (Mikro ekonominiai pagrindai)
Paskaitų konspektas
Jonas Rasimavičius
Vilnius 2008
1. Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu 1
1. Vartotojo pasirinkimo problemoje galima išskirti keturis svarbius aspektus. 1.1. Visi fiziškai įmanomi rinkiniai sudaro vartojimo aibę nX += , kitaip tariant, bet kurį
vartojimai aibei priklausantį rinkinį sudaro prekių kiekiai ir jie yra neneigiami. n1.2. Visi ekonomiškai įmanomi (įperkami) rinkiniai sudaro įmanomą aibę
, čia { }mpxXxxB ≤∈= ,| ≡ip atitinkamos prekės kaina, vartotojo (pastovios)
piniginės pajamos, . Pradinio išteklių rinkinio (endowment) modelyje
vartotojas gali parduoti savo turimą pradinį išteklių rinkinį
≡m
∑=
=n
iii xppx
1
x ir gauti pinigines pajamas xpm = . Šiuo atveju { }xppxXxxB ≤∈= ,| .
1.3. Pirmenybės santykis leidžia palyginti (išrikiuoti) prekių rinkinius. Racionalaus vartotojo pomėgiai (pirmenybės) arba pirmenybės santykis tenkina šias tris aksiomas
1.3.1. Pirmenybės santykis visiškas: x y arba x y arba abu, tai yra x ~ y , . yx,∀1.3.2. Refleksyvus: galioja x∀ x x . 1.3.3. Tranzityvus: , jei zyx ,,∀ x y ir y tai z x . z1.3.4. Jei pirmenybės santykis visiškas, refleksyvus, tranzityvus, o taip pat dar ir tolydus bei
monotoninis, tai egzistuoja tolydi naudingumo funkcija tokia, kad )(xu )~()ˆ( xuxu > tada ir tik tada kai x̂ f x~ , bei )~()ˆ( xuxu = , tada ir tik tada kai ~x̂ x~ . (Jei pirmenybės santykis tolydus, tai abejingumo kreivės yra tolydžios ir, jei monotoninis, tai abejingumo kreivės yra “siauros” ir neigiamo nuolydžio.)
1.4. Elgsenos prielaida: vartotojas renkasi geriausią įperkamą rinkinį. Išspręsti vartotojo pasirinkimo problemą reiškia rasti tokį, kad Bx ∈* *x xf , x∀ . Jei vartotojo pomėgius (pirmenybės santykį) galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį.
)(xu
2. Vartotojai renkasi prekių rinkinius. Apskritai tam tikrą rinkinį galima pažymėti vektoriumi
, čia atitinkamos prekės kiekis rinkinyje ),...,,( 21 nxxxx = ≡ix x , o prekių skaičius. (Paprastai simboliu
≡nx žymėsiu vektorių, nebent iš konteksto būtų aiškiai matyti kitaip.) Apskritai
yra prasminga manyti, kad individai iš visų įmanomų galimybių renkasi geriausią (geriausias), taigi ir vartotojai iš visų įperkamų rinkinių renkasi patį geriausią. Jei vartotojo pomėgius galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį , kai
)(xu)(max xu
xmpx = . Šio uždavinio sprendinys yra prekių
paklausų vektorius . )),(),...,,((),...,( 1**
1* mpxmpxxxx nn ==
3. Kai vartotojas renkasi tik dvi prekes ir jam optimaliai renkantis galioja lietimosi sąlyga, tai iš žemesnės pakopos mikroekonomikos studijų žinote, kad optimalų rinkinį galima surasti
sprendžiant dviejų lygčių sistemą ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
2
1
2
1
2211
pp
uu
mxpxp. (Čia ir toliau
ii x
xxuu∂
∂=
),( 21 , o tai yra
naudingumo funkcijos dalinė išvestinė – atitinkamos prekės ribinis naudingumas). Antrąją
lygtį (lietimosi sąlygą) galima perrašyti 2
2
1
1
pu
pu
= . Atitinkamus ribinių naudingumų ir kainų
santykius galima prilyginti kol kas nežinomam dydžiui λ ir tokiu būdu gauti išraišką
λ==2
2
1
1
pu
pu
. Pastarąją galima išskaidyti į dvi lygtis λ=1
1
pu
ir λ=2
2
pu
, kurias toliau galima
pertvarkyti į 011 =− pu λ ir 022 =− pu λ . Galiausiai galima užrašyti naują lygčių sistemą
1. Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−
=+
00
22
11
2211
pupu
mxpxp
λλ . Nors pastarosios pavidalas skiriasi nuo pradinės lygčių sistemos
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
2
1
2
1
2211
pp
uu
mxpxp, tačiau iš pirmosios galima lengvai sugrįžti į pastarąją. Taigi nors naujos lygčių
sistemos sprendinys yra tam tikras kintamųjų derinys ( , , ), o pradinės lygčių sistemos – prekių kiekių derinys ( , ), tačiau atitinkamų prekių kiekiai abejuose sprendiniuose sutampa, nes iš naujos lygčių sistemos galime gauti pradinę.
*1x
*2x
*λ*1x
*2x
4. Nesunku įsitikinti, kad trijų lygčių sistemą galima gauti ieškant tam tikros funkcijos maksimumo.
Tokia funkcija vadinama Lagrange’o funkcija (Lagrangean function, ar tiesiog Lagrangean), ji sudaroma tam tikru būdu į tikslo funkciją įtraukiant ir apribojimą (apribojamus). Jei pradinė naudingumo maksimizavimo problema buvo , kai , tai dabar ji
bus
),(max 21, 21xxu
xxmxpxp =+ 2211
)(),(),,(max 22112121,, 21xpxpmxxuxxL
xx−−+= λλ
λ, čia naujai sudaryta funkcija
)(),(),,( 22112121 xpxpmxxuxxL −−+= λλ ir yra Lagrange’o funkcija, o ≡λ Lagrange’o daugiklis. Toks optimizavimo uždavinio sprendimo būdas vadinamas Lagrange’o daugiklių metodu.
5. Norint rasti pasirinkimo kintamųjų reikšmes kurios suteiktų maksimalią reikšmę Lagrange’o funkcijai reikia rasti jos atitinkamas dalines išvestines ir prilyginti jas nuliui. Tokiu būdu gauname sistemą, kuri yra sudaryta iš lygčių dar vadinamų sprendinio radimo būtinosiomis arba pirmos eilės sąlygomis (necessary, first-order conditions). Šiuo konkrečiu atveju jos yra
0111
=−=∂∂ puxL λ ,
0222
=−=∂∂ puxL λ ,
02211 =−−=∂∂ xpxpmLλ
.
6. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad kartais Lagrange’o funkcija sudaroma ir šiek tiek kitaip, tai yra )(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −+−= λλ . Įsitikinkite, kad maksimizuodami tokią funkciją
gausite tas pačias būtinąsias sąlygas kaip ir anksčiau. Kita vertus, jei būtinosios sąlygos yra tokios pačios, tai ir uždavinio sprendinys bus tas pats.
7. Dabar pažiūrėkime kas atsitiktų jei Lagrange’o funkciją sudarytume dar kitaip, )(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −++= λλ . Iš būtinų sąlygų gautume tokią sistemą
. Tačiau ir iš pastarosios galima gauti ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
mxpxppupu
2211
22
11
00
λλ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
2
1
2
1
2211
pp
uu
mxpxp, taigi abi sistemas
tenkins tie patys prekių kiekiai. Galima daryti išvadą, kad rasite tą patį optimalų prekių rinkinį nesvarbu kuriuo iš nurodytų būdų sudarytumėte Lagrange’o funkciją. Tačiau taikydami pirmuosius du būdus gautumėte teigiamo ženklo , o taikydami trečiąjį – neigiamo. *λ
8. Dabar apie Lagrange’o daugiklių metodo taikymo ribas. Jei vartotojo pirmenybės yra tokios, kad vartotojui optimaliai renkantis galioja biudžetinės tiesės ir abejingumo kreivės lietimosi sąlyga
1. Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu 3
( jijiij ppuuMRS ==|| , ) , tai vartotojo problemą visada galima spręsti Lagrange’o daugiklių metodu. Kai vartotojas renkasi n prekių kiekius, jo uždavinys yra
ji,∀
)()(),(max,
pxmxuxLx
−+= λλλ
, primenu, kad čia ),...,,( 21 nxxxx = . Jei renkantis optimaliai
galioja lietimosi sąlyga, tai vartotojas renkasi vidinį optimumą – rinkinį kuris nėra biudžetinės tiesės ir kurios nors iš ašių susikirtimo taške (tai jau būtų kraštinis optimumas). Lagrange’o daugiklių metodas gerai tinka vidinių optimumų radimui. Tačiau ypatingais atvejais vartotojas gali rinktis ir kraštinius optimumus (pvz. jei prekės visiškai pakeičia viena kita). Tokiu atveju Lagrange’o daugiklių metodą reiktų papildyti Kuhno-Tuckerio sąlygomis arba bandyti uždavinį išspręsti ne Lagrange’o daugiklių metodu, o kaip nors kitaip surandant kurį kraštutinumą pasirinks vartotojas. Dar vienas ypatingas atvejis gali pasitaikyti kai vartotojas renkasi rinkinį susidedantį iš tobulų papildinių. Nors pasirinktas rinkinys nebus “kraštinis”, tačiau lietimosi sąlyga negalios – per abejingumo kreivės “alkūnę” galima nubrėžti be galo daug tiesių ir nei viena iš jų netenkins liestinės apibrėžimo. Kita vertus, tokį uždavinį visai lengva spręsti netaikant diferencialinio skaičiavimo metodų.
9. Toliau laikysime, kad vartotojas renkasi prekių kiekius, o naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys yra vidinis optimumas. Suradę atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines
n
išvestines ir jas prilyginę nuliui gauname sprendinio radimo būtinąsias sąlygas (pirmos eilės sąlygas)
0111
=−=∂∂ puxL λ ,
0222
=−=∂∂ puxL λ ,
………………….. ,
0=−=∂∂
nnn
puxL λ ,
0...2211 =−−−−=∂∂
nn xpxpxpmLλ
.
Jei rūpi tik naudingumą maksimizuojantys prekių kiekiai, tai iš lygčių sistemos, kuriose yra Lagrange’o daugiklis
nλ , galima gauti 1−n lygčių sistemą be minėto daugiklio, šią sistemą
sudarytų ribinių pakeitimo normų ir kainų santykių lygybės. Sprendžiant šių lygčių ir biudžetinės tiesės lygties sistemą galima apskaičiuoti optimalius prekių kiekius arba prekių paklausas. Kitose paskaitose įsitikinsime, kad Lagrange’o daugiklis λ vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinyje turi įdomią ekonominę prasmę – tai ribinis pajamų naudingumas. Kitaip tariant, Lagrange’o daugiklio reikšmė parodo, kiek pasikeistų vartotojo naudingumas (jam renkantis optimaliai) jei jo pajamas pakeistume ribiniu dydžiu. Kita vertus, nors šis kintamasis ir turi ekonominę prasmę, tačiau dažniausiai nelabai rūpi uždavinių sprendime, juk ribiniai naudingumai nėra stebimi dydžiai.
10. Įsitikinkime kaip Lagrange’o daugiklių metodas veikia konkrečiu atveju. Laikykime, kad vartotojas gauna pajamas , renkasi dviejų prekių kiekius, prekės atitinkamai kainuoja ir , o jo pomėgius (pirmenybes) išreiškia Cobbo-Douglaso naudingumo funkcija . Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo uždavinį
m 1p 2pba xxxxu 2121 ),( =
1. Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu 4
)(max 221121,, 21xpxpmxx ba
xx−−+ λ
λ. Šio uždavinio būtinosios sąlygos , o
sprendinys (patikrinkite)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−
=−−
−
mxpxppxbx
pxaxba
a
2211
21
21
121
1
0
0
λ
λ
( ) ( ) ( )( )11**2*1 2121 ,,),,( −+−−++ += babpbapabapmbabpmbaa mbaxx λ .
11. Dabar tarkime, kad vartotojas renkasi trijų prekių kiekius, o jo naudingumo funkcija yra . Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo
uždavinį . Tačiau naudingumo funkciją galima
teigiamai monotoniškai transformuoti jei mus domina tik tai kokius prekių kiekius renkasi vartotojas (tikrovėje stebima elgsena). Naudingumo funkciją patogu logaritmuoti ir gauti
. Tada vartotojo uždavinys
cba xxxxxxv 321321 ),,( =)(max 332211321,,, 321
xpxpxpmxxx cbaxxx
−−−+ λλ
321321 lnlnln),,( xcxbxaxxxu ++=)(lnlnlnmax 332211321,,, 321
xpxpxpmxcxbxaxxx
−−−+++ λλ
, o jo būtinosios sąlygos
. Jei ir toliau liekame nuoseklūs ir laikome, kad mus domina tik
tikrovėje stebimi dydžiai, tai galime pertvarkyti lygčių sistemą ir atsikratyti Lagrange’o daugiklio
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++=−
=−
=−
−
−
−
mxpxpxppcx
pbxpax
332211
31
3
21
2
11
1
0
00
λ
λ
λ
λ . Nors dėl to ir prarasime galimybę sužinoti jo reikšmę, tačiau šiuo atveju ji mums ir nerūpi. Po tam tikrų pertvarkymų gauname tiesinių lygčių sistemą (iš pirmosios lygties dalijant likusiais)
. Ją galima užrašyti matricomis (žr. 2 priedą)
. Apskaičiuojame koeficientų matricos determinantą (patogu
skleisti stulpeliu ar eilute kur bent vienas elementas yra 0, pvz. antruoju stulpeliu):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=+−
mxpxpxpxapxcpxapxbp
332211
3311
2211
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
mxxx
pppapcp
apbp00
00
3
2
1
321
31
21
0)()()(|| 32131231312 ≠++=−−−−−= pppcbaaapbpppappcpapA , nes , taigi šią lygčių sistemą galima spręsti Cramerio būdu (žr. 2 priedą).
0,,, >ipcba
( )1
3221
321
32
3
2*1 )(00
00
||1
pm
cbaappmapppcbaa
ppmap
ap
Ax
++=++== − ,
( )2
311
321
31
31
1*2 ))(()(0
00
||1
pm
cbabapbpmpppcbaa
pmpapcp
bp
Ax
++=−−++=−
−= − ,
( )3
211
321
21
1
21*3 )(00
0
||1
pm
cbacpmacppppcbaa
mppcp
apbp
Ax
++=++=−
−= − .
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 1
1. Jeigu vartotojo pomėgius galima išreikšti naudingumo funkcija kurios konkreti išraiška
yra žinoma, pvz. n prekių Cobbo-Douglaso funkcija , čia
)(xu
∏==n
i inixxxxu
121),...,,( β
≡iβ naudingumo funkcijos parametras ( ni ,...,1= ), tai visą ekonomiškai reikšmingą informaciją apie tokio vartotojo elgseną galima sužinoti išsprendus naudingumo maksimizavimo uždavinį. Būtų galima tiksliai pasakyti kiek vartotojas pageidaus įsigyti tam tikros prekės, nes tai parodytų atitinkama paklausos funkcija
j
n
iijjj p
mmpxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== ∑
=1
* ),( ββ . Atitinkami paklausos elastingumai (savos kainos, pajamų,
kryžminiai) apibūdintų kiek vartotojas yra jautrus modelio ekonominių parametrų pokyčiams. Taigi, visą reikšmingą vartotojo elgseną apibūdintume kiekybiškai.
),( mp
2. Jeigu manome ar žinome tik tiek, kad vartotojo pomėgius apskritai galima išreikšti kažkokia naudingumo funkcija , tačiau konkrečios jos išraiškos nežinome, vis tiek galime formuluoti iš principo empiriškai tikrinamus (verifikuojamus arba falsifikuojamus pagal Karlą Raimundą Popperį) teiginius. Tai daryti yra prasminga nes galima pritaikyti lyginamosios statikos – kokybinio pobūdžio analizės – metodą. (Mikroekonomika remiasi neoklasikine metodologija, o pastaroji mokslinėmis išvadomis laiko tik tokias teorines išvadas, kurias iš principo galima tikrinti empiriškai. Teorijos verifikavimas reiškia, kad remiantis šiuo metu žinomais tikrovės faktais tam tikros teorijos dar nepavyko paneigti, o falsifikavimas reiškia, kad pavyko rasti tikrovės faktų prieštaraujančių tam tikroms teorinėms išvadoms.)
)(xu
3. Jei konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tegalime užrašyti lygčių sistemą, kurią reiktų išspręsti jei naudingumo funkciją žinotume.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−−−−=∂∂=−=∂∂
=−=∂∂=−=∂∂
0...0),...,,(
.....................................................0),...,,(
0),...,,(
2211
21
22122
12111
nn
nnnn
n
n
xpxpxpmLpxxxuxL
pxxxuxLpxxxuxL
λλ
λλ
.
4. Nors ir negalime iš šių lygčių sistemos rasti konkretaus sprendinio , tačiau tarkime, kad apskritai jis egzistuoja – jeigu žinotume konkrečią naudingumo funkcijos išrašką, jį tikrai surastume. Taigi, nors konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tačiau bandykime atsakyti į klausimą ar galima ką nors pasakyti apie egzogeninių modelio parametrų, tai yra prekių kainų ir vartotojo gaunamų pajamų ( ) poveikį endogeniniams kintamiesiems ( ). Atsakyti padėtų dalinių išvestinių
),,...,,( ***2*1 λnxxx
mppp n ,,...,, 21**
2*1 ,...,, nxxx ij px ∂∂ ir
mx j ∂∂ ženklai. Teigiamas išvestinės ženklas rodytų teigiamą poveikį (pvz. 0jx m∂ ∂ > leistų daryti išvadą, kad padidėjus pajamoms padidės ir pareikalautas prekės kiekis), o neigiamas – neigiamą (pvz. 0j jx p∂ ∂ < leistų daryti išvadą, kad padidėjus savai kainai sumažėtų pareikalautas prekės kiekis). Nors ir nežinotume kiek ribinis parametro pokytis paveiktų tam tikrą endogeninį kintamąjį, tačiau žinotume poveikio kryptį.
5. Kad būtų paprasčiau toliau nagrinėkime tik dviejų prekių ( 2=n ) atvejį. Tada turėsime lygčių
sistemą ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=∂∂=−=∂∂=−=∂∂
00),(
0),(
2211
22122
12111
xpxpmLpxxuxLpxxuxL
λλλ
, ir jei apskritai egzistuoja jos sprendinys
susidedantis iš , ir , tai jis tenkina ),,( 211*1 mppxx = ),,( 212
*2 mppxx = ),,( 21
* mppλλ =
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 2
minėtą lygčių sistemą. Todėl iš tiesų turime lygčių sistemą
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=−=−
0)),,(),,(0),,()),,(),,,((0),,()),,(),,,((
21222111
2212122112
1212122111
mppxpmppxpmpmppmppxmppxupmppmppxmppxu
λλ
6. Tarkime, kad mus domina kuria kryptimi pasikeistų vartotojo pasirinkimas jei padidėtų jo pajamos . Taikant lyginamosios statikos metodą visų pirma reikia diferencijuotim 1 būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas dominančio parametro atžvilgiu. Laikykime, kad naudingumo funkcija yra bent du kartus diferencijuojama (galima rasti ir antros eilės išvestines), todėl gauname tris
lygtis
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
−∂∂
−
=∂∂
−∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
+∂∂
01
0),(),(
0),(),(
22
11
22
21221
2121
12
21121
2111
mxp
mxp
mp
mx
xxumx
xxu
mp
mx
xxumx
xxu
λ
λ
. Funkcijos išvestinė taip pat yra
funkcija, ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų kaip ir pirmykštė funkcija. Pavyzdžiui jei naudingumo funkcija yra , tai jos atitinkamos eilės dalinės išvestinės taip pat yra
funkcijos:
),( 21 xxu
1 21 1 2
1
( , )( , ) u x xu x xx
∂=
∂ ir 2
1
212
1
2112111
),(),(),(x
xxux
xxuxxu∂
∂=
∂∂
= . Dalinė išvestinė
taip pat yra ir sudėtinė funkcija ),( 21 xxui )),,(),,,((),( 11221121 mppxmppxuxxu ii = . 7. Gautos lygtys yra tiesinės ieškomų išvestinių mx ∂∂ 1 , mx ∂∂ 2 ir m∂∂λ atžvilgiu. Jas
galima perrašyti matricų pavidalu ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
100
02
1
21
22221
11211
mmxmx
pppuupuu
λ. Nesunku matyti,
Cramerio taisyklę bus prasminga taikyti tik tada, kai lygčių sistemos koeficientų matricos determinantas nebus lygus nuliui. Šiuo atveju koeficientų matrica yra vadinama įrėmintu Hessianu (žr. priedą).
8. Tačiau šios mums itin svarbios matricos determinantas yra reikšmingas ir naudingumo maksimizavimo su apribojimu uždavinio sprendinio egzistavimui. Savo ruožtu, sprendinio egzistavimas siejasi su naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumo pobūdžiu (žr. priedą). Biudžetinė aibė yra iškila kai atkarpa jungianti bet kuriuos du aibės taškus taip pat priklauso aibei. Biudžetinė aibė visada bus iškila, jei biudžetinis apribojimas tiesinis (pvz. vartotojas, pirkdamas didesnius prekių kiekius, negauna kainų nuolaidų). Naudingumo funkcija yra kvaziįgaubta, jei neblogesnių rinkinių aibės (weakly preferred sets) yra iškilosios. Pavyzdžiui, neblogesnių rinkinių aibės nebus iškilosios, jei viena iš prekių yra blogybė. Tobulųjų pakaitalų ar tobulųjų papildinių atveju pirmenybės yra silpnai iškilosios (du abejingumo kreivės taškus jungianti atkarpa gali būti abejingumo kreivės dalimi), tačiau Cobbo-Douglaso pomėgių atveju turėsime griežtą iškilumą. Pasirodo, kad naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo ir tiesinio biudžetinio apribojimo pakanka tam, kad egzistuotų naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys.
9. Taigi galime būti tikri, kad visada egzistuos vartotojo, kuris mėgsta vartoti daugiau (pirmenybės yra monotoninės) ir mėgsta įvairovę (neblogesnių rinkinių aibė yra iškiloji), naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys. Tačiau jei laikome, kad galioja pakankamoji apriboto maksimumo radimo sąlyga (žr. priedą), tai mums rūpimas determinantas yra ne tik, kad nenulinis, tačiau ir teigiamas. Taigi, lyginamosios statikos metodą galima taikyti daugumai vartotojo pasirinkimo atvejų.
1 Diferencijuoti reiškia rasti funkcijos ( )f x išvestinę ( )df x dx .
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 3
10. Jeigu jau žinome, kad dėl padarytų prielaidų apie naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumą galioja 02 >= HA , tai toliau belieka rasti kitus determinantus, kurių prireiks ieškant mus dominančių išvestinių ir taikant Cramerio taisyklę. Randame
,))(1()1(01
00
12221212221213
2
222
112
1 pupupupup
pupu
A −=+−−−=−−
−−
= +
,))(1()1(01
00
21111211221123
1
212
111
2 pupupupup
pupu
A −=+−−−=−−
−−
= + ir
( ) )(1 122212211 pupuHAAmx −==∂∂ 0, nes 0 ir 122212 pupu −( ) )(1 211112222 pupuHAAmx −==∂∂ 0, nes 0. 211112 pupu −
11. Matome, kad apie naudingumo funkcijos pobūdį žinodami tik tiek, kad galioja jos kvaziįgaubtumo pakankamoji sąlyga, mažai ką galime pasakyti apie pajamų padidėjimo poveikį vartotojo elgsenai. Prekių paklausos gali ir padidėti ir sumažėti – tai priklauso ar prekė yra normali ar blogesnės kokybės.
12. Nors paprastai mus domina tik dydžiai stebimi tikrovėje (empiriškai tikrinami teiginiai), tačiau galime pasidomėti kaip pajamų padidėjimas paveiktų pajamų ribinį naudingumą λ . Deja, ir vėl poveikio vienareikšmiškai nustatyti negalima, nes
2211212
2122211
33
21
2221
1211
2
))(1()1(1
00
1 uuuuuupp
uuuu
HAAm −=−−−=
−−−==∂∂ +λλ 0.
13. Panagrinėkime padidėjimo poveikį. Pilnai diferencijuodami būtinąsias uždavinio sprendimo sąlygas šio parametro atžvilgiu gauname
1p
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−∂∂
−∂∂
−
=∂∂
−∂∂
+∂∂
=−∂∂
−∂∂
+∂∂
0
0),(),(
0),(),(
11
22
1
11
12
1
22122
1
12121
11
1
22112
1
12111
xpx
ppx
p
pp
pxxxu
pxxxu
pp
pxxxu
pxxxu
λ
λλ
. Toliau perrašome matricų pavidalu
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
11
12
11
21
22221
11211
00 xp
pxpx
pppuupuu λ
λ ir taikome Cramerio taisyklę. Kadangi
121212222
21
222
112
1 )(0
0 xpupuppx
pupu
A −+−=−
−−
= λλ
,
111221121
11
212
111
2 )(0
0 xpupuppxp
pupu
A −+=−
−−
= λλ
, tai
AApx 111 =∂∂ , AApx 212 =∂∂ ir AAp 31 =∂∂λ . 14. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio tos pačios prekės paklausai
gauname
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 4
( ) ))((1 121212222211 xpupupHpx −+−=∂∂ λ ( ) ( ) 12121222222 )(1 xpupuHHp −+−= λ . Tačiau ieškodami pajamų pokyčio poveikio sužinojome, kad
( ) )(1 12221221 pupuHmx −=∂∂ . Todėl ( ) 1122211 )( xmxHppx ∂∂−−=∂∂ λ 0. Dabar galime matyti, kad gavome Slutsky’o lygtį – pilnąjį kainos poveikį išskaidėme į pakeitimo ir pajamų efektus. Pakeitimo efektas (pirmasis narys) neabejotinai neigiamas, tačiau antrasis narys (pajamų efektas) gali būti teigiamas ( normalioji prekė 1x 01 >∂∂⇔ mx ) arba neigiamas ( blogesnės kokybės prekė 1x 01
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 5
6. Teoremos ir taisyklės veikimą galima paaiškinti labai paprastu pavyzdžiu. Turime lygtį , ją perrašę 424 21 =+ xx 0),( 21 =xxF pavidalu gauname lygtį
0424),( 2121 =−+= xxxxF , kuri apibrėžia neišreikštinę funkciją . Randame tolydžias išvestines ir
)( 12 xx41 =F 22 =F , taigi pirmoji teoremos sąlyga galioja. Be to galioja ir
antroji sąlyga , taigi neišreikštinė funkcija egzistuoja. Tuo lengva įsitikinti – tereikia išreikšti kito kintamojo atžvilgiu. Gauname
022 ≠=F )( 12 xx
2x 12 22 xx −= . Nors galime lengvai rasti išreikštos funkcijos išvestinę 2)22( 12 −=′−=′ xx , tačiau pritaikykime neišreikštinės funkcijos taisyklę. Gauname 2242112 −=−=−= FFdxdx .
7. Kai vartotojas renkasi prekių kiekius randame atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines išvestines, kiekvieną jų prilyginam nuliui ir gauname lygčių sistemą
Sistemos sprendinys – neišreikštinės (jų
išraiškos nežinomos) funkcijos ir – egzistuoja, jei galioja toliau išvardintos sąlygos
n1+n
.0...
,,...,1 ,0),...,,(
2211
21
⎩⎨⎧
=−−−−===−=
nn
inii
xpxpxpmLnipxxxuL
λ
λ
),(* mpxx ii = ),(* mpλλ =
8.1. Egzistuoja funkcijų ir tolydžios dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu – ir endogeninių kintamųjų
iL λL),,...,,( 21 λnxxx ir egzogeninių parametrų .
Kitaip tariant, galima surasti Lagrange’o funkcijos antrąsias dalines išvestines prekių kiekių, Lagrange’o daugiklio, prekių kainų ir pajamų atžvilgiu.
),,...,,( 21 mppp n
8.2. Matricos, kurią sudaro ir , tai yra funkcijų ir dalinės išvestinės endogeninių kintamųjų
ijL jLλ iL λL),,...,,( 21 λnxxx atžvilgiu, įvertintos tam tikrame taške
tenkinančiame būtinąsias sąlygas, determinantas nelygus nuliui. Atkreipdami dėmesį į tai, kad
),,...,,,,,...,,( 21**
3*2
*1 mpppxxx nλ
ijij uL = , ii pL −=λ ir , galime
užrašyti
0=λλL
0
02121
222221
111211
21
21
222221
111211
≠
−−−−
−−
=
n
nnnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
ppppuuu
puuupuuu
LLLLLLLL
LLLLLLLL
L
L
MMOMM
L
L
L
L
MMOMM
L
L
λλλλλ
λ
λ
λ
. Taigi mus
dominančią matricą sudaro antrosios naudingumo funkcijos išvestinės įrėmintos stulpeliu ir eilute susidedančia iš kainų vektoriaus ir nulio. Tokia matrica vadinama įrėmintu Hessianu (bordered Hessian matrix). Ji paprastai žymima nH , nors jos dimensijos yra
)1()1( +×+ nn . Šios matricos determinanto || nH ženklą lemia naudingumo funkcijos ir biudžetinio apribojimo įgaubtumo (iškilumo) pobūdis. Kaip matysime toliau, šios sąlygos bus tenkinamos jei galios pakankama naudingumo funkcija kvaziįgaubtumo sąlyga, o biudžetinis apribojimas bus tiesinis.
9. Funkcijos įgaubtumas ar iškilumas yra svarbus jos kreivumo pobūdžio apibūdinimas. Galima išskirti įvairius atvejus – kvazi, griežtą, negriežtą įgaubtumą ar iškilumą (pvz. griežtas kvaziįgaubtumas). Nuo funkcijos kreivumo pobūdžio priklauso tai ar galima surasti maksimumo ar minimumo tašką.
10. Jei norime rasti kažkokios vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos maksimumą nesant jokių apribojimų
)(xux reikšmėms (įsivaizduokite, kad vartotojas nėra saistomas jokio
biudžetinio apribojimo), tai visų pirma reikia rasti )(xu′ , po to sudaryti lygtį 0)( =′ xu ir ją išspręsti. Nors ši sąlyga yra būtina, kad galiotų , tačiau jos nepakanka, nes galėjome rasti ne maksimumą, o minimumą, tai yra . Jei funkcija didėtų
xxuxu ∀> ),()( *
xxuxu ∀< ),()( *
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 6
( ) iki taško , už taško mažėtų (0)( >′ xu *x *x 0)(
2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 7
gautume įrėmintą matricą 44× 3H ir taip toliau. Jei šių matricų determinantams galioja
02 >H , 03 H , …, 0)1( >− nn H , tai to pakanka, kad, iš būtinųjų sąlygų būtų
galima rasti maksimumą (Chiang, psl. 384-385, Silberberg, psl. 173-180). Determinantų ženklų sąlyga yra pakankamoji arba antros eilės sąlyga, pastarasis pavadinimas kilęs iš to, kad šiai sąlygai suformuluoti prireikia antrųjų išvestinių. Kaip jau buvo minėta, pakankamoji maksimumo radimo sąlyga glaudžiai siejasi su naudingumo funkcijos kreivumo pobūdžiu. Jei biudžetinis apribojimas yra tiesinis, tai pakankamos maksimumo radimo sąlygos galiojimas reikš ir naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo pakankamosios sąlygos galiojimą (Chiang, psl. 394-397). Taigi, norint taikyti lyginamosios statikos metodą pakanka padaryti prielaidą, kad vartotojo pomėgius galima išreikšti bent du kartus diferencijuojama kvaziįgaubta naudingumo funkcija.
16. Jei vartotojas renkasi dviejų prekių kiekius ( 2=n atvejis), tai tereikia sudaryti matricą
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=021
22221
11211
2
pppuupuu
H ir apskaičiuoti jos determinantą (tik vieną)
=+−−−+−−−= ++ )()1()()1( 12121123
212221213
12 pupuppupupH2 2 2 2
12 1 2 22 1 11 2 21 1 2 12 1 2 22 1 11 22u p p u p u p u p p u p p u p u p= − − + = − − . Jei galioja 02 >H , tai to pakanka, kad galėtume rasti maksimizavimo uždavinio sprendinį, kita vertus tai taip yra ir pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga.
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 1
1. Praeitoje paskaitoje matėte kaip mikroekonominė vartojimo sprendimų analizė leidžia numatyti vartotojų prisitaikymą prie tam tikrų ekonominės aplinkos (egzogeninių parametrų) pokyčių. Dažnai mums gali rūpėti kaip dėl tokių pokyčių pasikeičia vartotojų gerovė. Tai ypač svarbu vertinant ekonominės politikos pokyčius – pageidautina išmatuoti teikiamą naudą ar nuostolį.
2. Ekonominės aplinkos pasikeitimo nulemtą vartotojo gerovės pokytį paprasčiausia apskaičiuoti kaip vartotojo perviršio pokytį. Ta pati paklausos kreivė atitinka tiek tiesioginę paklausos funkciją (rodančią kiek vartotojas norėtų ir galėtų pirkti prekės esant tam tikrai jos vieneto kainai) tiek ir atvirkštinę paklausos funkciją (rodančią kiek vartotojas norėtų ir galėtų mokėti už prekės vienetą pirkdamas tam tikrą jos kiekį). Pastaroji paklausos kreivės interpretacija leidžia manyti, kad paklausos kreivės aukščio (kainos kurią vartotojas norėtų ir galėtų mokėti) ir sumokamos kainos skirtumas yra vartotojui tenkantis naudos perviršis. Toks kainų skirtumas parodo tam tikro prekės vieneto teikiamą perviršį, o perviršį už visą įsigytą prekės kiekį parodo plotas
kairiau paklausos kreivės . Kita vertus, jei žinome tiesioginę
paklausos funkciją , tai pasikeitus tam tikros prekės kainai , galime
apskaičiuoti kito aprėžtojo integralo reikšmę , ji parodys vartotojo
perviršio pokytį. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad taip apibrėžto
*ix
∫ −=*
0
**)()(ix
iiiiii xxpdxxpCS
),( mpxi01iii ppp −=Δ
CSdpmpxii
p
p iiΔ=∫
0
1),(
CSΔ ženklas yra priešingas ipΔ ženklui.
3. Nors šis vartotojo gerovės pokyčių matavimo būdas yra plačiai taikomas ir laikomas klasikiniu (pirmą sistemingą analizę galima aptikti įžymaus ekonomisto Alfredo Marshallo knygoje Principles of Economics), tačiau jis nėra visada pakankamai tikslus ir tinkamas.
4. Prisiminkime vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį. Kai jį išsprendžiame, galime paklausas ir Lagrange’o daugiklį įrašyti į Lagrange’o funkciją. Uždavinio sprendinys privalo tenkinti biudžetinį apribojimą, todėl gauname išraišką
. Tai optimalaus vartojimo prekių rinkinio teikiamas maksimalus naudingumas, kitaip tariant didžiausias naudingumas, kurį galima gauti, esant ekonominės aplinkos parametrams . Prekių kainų ir gaunamų piniginių pajamų nulemtą maksimalų naudingumą galima vadinti netiesiogine naudingumo funkcija (indirect utility function) ir žymėti
),(* mpxx ii = ),(* mpλλ =
( ) )),((0),()),((),(),()),((* mpxumpmpxumppxmmpmpxuL =⋅+=−+= λλ
),( mp
)),((),( mpxumpv = . 5. Netiesioginės naudingumo funkcijos argumentai (nepriklausomi kintamieji) yra prekių kainos ir
vartotojo pajamos, nes šią funkciją gavome į naudingumo funkciją įrašydami prekių paklausas, kurios pačios priklauso nuo prekių kainų ir vartotojo pajamų. Jeigu informacija apie prekių paklausas slypi netiesioginėje naudingumo funkcijoje, tai gal yra įmanoma jas atskleisti jei žinai konkrečią netiesioginės naudingumo funkcijos išraišką? Taip, tik reikia pritaikyti gaubtinės (envelope) teoremą.
6. Gaubtinės teorema teigia, kad ieškant optimizuotos funkcijos išvestinės tam tikro parametro atžvilgiu yra svarbus tik tiesioginis jo poveikis. Štai teoremos taikymo pavyzdys. Tarkime, kad siekiame rasti funkcijos ekstremumą, čia ),,( 21 axxf ≡a tam tikras parametras. Randame pirmos eilės sąlygas, 0),,( 211 =axxf ir 0),,( 212 =axxf . Jei galioja neišreikštinės funkcijos teoremos sąlygos, tai egzistuoja šios lygčių sistemos sprendinys – funkcijos ir . Sprendinį įrašę į pradinę funkciją, gauname optimizuotą arba optimalios reikšmės funkciją
)(1 ax )(2 ax
)()),(),(( 21 aaaxaxf φ= , pastaroji priklauso tik nuo parametro . Jei mus domina kaip šią funkciją paveiktų ribinis pokytis, reikia rasti
aa daad )(φ . Taigi,
afdadxf
dadxfaaxaxf
dad
daad
++== 221
121 )),(),(()(φ , čia pirmasis narys yra netiesioginis
parametro poveikis (funkcijos )(aφ reikšmę veikia paveikdamas ), antrasis – taip pat netiesioginis parametro poveikis (per ), o trečiasis – tiesioginis parametro poveikis. Tačiau
1x
2x
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 2
021 == ff , nes šios dalinės išvestinės yra įvertintos uždavinio sprendinio taške. Todėl
afdaad
=)(φ , o tai reiškia, kad diferencijuojant optimizuotą funkciją tam tikro parametro atžvilgiu
svarbus yra tik tiesioginis jo poveikis. 7. Taikydami gaubtinės teoremą gauname, kad netiesioginės naudingumo funkcijos, o tuo pačiu ir
optimizuotos Lagrange’o funkcijos (prisiminkite, kad ) dalinė
išvestinė pajamų atžvilgiu yra
),()),(),,((* mpvmpmpxLL == λ* ( ( , ), ( , )) ( , )L L x p m p m p m
m mλ λ∂ ∂=
∂ ∂=
)
, juk pajamos tiesiogiai
Lagrange’o funkciją veikia taip kaip parodytas rodykle pateiktoje išraiškoje,
. Taigi Lagrange’o daugiklio ekonominė prasmė –
ribinis pajamų naudingumas. Kita vertus, taikydami gaubtinės teoremą gauname labai svarbų
rezultatą vadinamą Roy’aus tapatybe:
(* ( ( , )) ( , ) ( , )L u x p m p m m px p mλ ↑= + −
mmpvpmpv
mpx ii ∂∂∂∂
−=),(),(
),( . Ji atskleidžia prekių
paklausas slypinčias netiesioginėje naudingumo funkcijoje. Tapatybės išvedimas: taikome gaubtinės teoremą ir randame ipv ∂∂ ir mv ∂∂ . Diferencijuodami optimizuotą Lagrange’o funkciją atitinkamų parametrų atžvilgiu gauname =∂∂ ipv
* ( , ) ( , )i iL p p m x p mλ∂ ∂ = − ir =∂∂ mv * ( , )L m p mλ∂ ∂ = . Šių išvestinių santykis su neigiamu ženklu yra atitinkamos prekės
paklausa, ( , )i ix x p mλ
λ−
− = .
8. Taikydami Roy tapatybę galima nesunkiai įsitikinti, kad paskaitos pradžioje pateikto pavyzdžio paklausas galima gauti iš tam tikros netiesioginės naudingumo funkcijos, jos pavidalas yra
. Tada esant pradinėms kainoms vartotojas gavo naudingumą , o esant galutinėms kainoms – . Gavome , taigi vartotojo gerovė sumažėjo.
)(2)(2),( 32312123
22
21321 ppppppppppppmmpv ++−+++−−−=
75.0),( 0 −= mmpv15.1),( 1 −= mmpv ),(),( 01 mpvmpv <
9. Iki šiol vartotojo problemą formulavome kaip naudingumo maksimizavimą su apribojimu – biudžetinėje aibėje ieškodavome optimalaus prekių rinkinio. Tačiau vartotojo problema yra dvilypė ir jau minėtą formuluotę atitinka duali vartotojo problemos formuluotė. Galime įsivaizduoti, kad vartotojas stengiasi kuo mažesnėmis išlaidomis pasiekti tam tikrą naudingumą. Tai reikštų, kad vartotojas , kai px
xmin uxu =)( arba taikant Lagrange’o daugiklių metodą
))((),(min,
xuupxxLx
−+= λλλ
. Taigi vartotojas perka rinkinį x , patiria išlaidas px ir privalo
gauti naudingumą . uxu ≥)(10. Pastarasis uždavinys vadinamas išlaidų minimizavimo problema (expenditure minimization
problem). Jį spręsdami Lagrange’o daugiklių metodu gauname būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=∂∂=−=∂∂
=−=∂∂=−=∂∂
0),...,,(0),...,,(
.....................................................0),...,,(
0),...,,(
21
21
21222
21111
n
nnnn
n
n
xxxuuLxxxupxL
xxxupxLxxxupxL
λλλ
λλ
.
11. Šio uždavinio sprendimo būdas beveik nesiskiria nuo naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimo. Iš pirmųjų lygčių galima gauti n 1−n lygtį be Lagrange’o daugiklio λ . Šios lygtys
turės pavidalą j
i
j
i
uu
pp
= , tai abejingumo kreivės ir išlaidų tiesės lietimosi sąlyga. Jei galioja
pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga (pakankama sprendinio egzistavimo
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 3
sąlyga) ir yra žinoma konkreti naudingumo funkcijos išraiška, tai spręsdami lietimosi sąlygų ir naudingumo apribojimo sąlygos sistemą (viso lygčių) rasime sąlygines prekių paklausas (conditional demands). Sąlyginės prekių paklausos paprastai žymimos funkcijomis , siekiant jų nepainioti su iš vartotojo maksimizavimo uždavinio gautomis prekių paklausomis. Ir įprastinės prekių paklausos ir sąlyginės priklauso nuo prekių kainų, tačiau jos skiriasi ne tik tuo, kad įprastinės paklausos priklauso nuo pajamų, o sąlyginės – nuo naudingumo, bet ir tuo, kad įprastines prekių paklausas galima stebėti tikrovėje, o sąlyginės paklausos tėra teoriniai dariniai kurių tiesiogiai stebėti neįmanoma. Įprastinės prekių paklausos dar vadinamos Marshallo paklausomis (Marshallian demands), o sąlyginės – Hickso paklausomis (Hicksian demands). (Pavadintos įžymių ekonomistų Alfredo Marshallo ir Johno R. Hickso garbei.)
1−nn
),( uphi
12. Surastą išlaidų minimizavimo uždavinio sprendinį galime įrašyti į tikslo funkciją ir gauti taip
vadinamą išlaidų funkciją . Išlaidų funkcija rodo kiek reikia
mažiausiai išleisti pinigų norint gauti naudingumo esant
∑=
==n
iii uphpupphupe
1),(),(),(
u ),...,,( 21 npppp = prekių kainoms. Išlaidų funkcija jau yra optimizuota (optimalios reikšmės), todėl sumanę rasti jos išvestinę parametro atžvilgiu galime taikyti gaubtinės teoremą: jp
* ( , ) ( , )j jL p e p u p h p u∂ ∂ = ∂ ∂ = j . Šis rezultatas žinomas kaip Shephardo lema. (Lema paprastai vadinamas pagalbinis teiginys, kuriuo grindžiamas kokios nors teoremos įrodymas)
13. Kadangi išlaidų minimizavimo uždavinys yra dualus vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinio atitikmuo, todėl jie turėtų būti tam tikru būdu susiję. Minėtų uždavinių sąsajas parodo šios tapatybės (jas galima įrodyti, tačiau tai jau yra už dėstomo dalyko ribų).
13.1. , naudingumui gauti yra būtinos minimalios išlaidos . mmpvpe ≡)),(,( ),( mpv m13.2. , su pajamomis galima gauti maksimalų naudingumą u . uupepv ≡)),(,( ),( upe13.3. ),()),(,( mpxmpvph ii ≡ , ni ,...,1= , jei vartotojas gauna pajamas , tai jo įprastinė
paklausa yra lygi sąlyginei paklausai priklausančiai nuo naudingumo . m
),( mpv13.4. , , sąlyginė paklausa priklausanti nuo naudingumo u yra
lygi įprastinei paklausai jei vartotojas gauna pajamas . (Ši tapatybė stebimą įprastinę paklausą susieja su sąlygine paklausa, kurios tiesiogiai stebėti neįmanoma.)
),()),(,( uphupepx ii ≡ ni ,...,1=),( upe
14. Pasinaudodami paskutiniąja tapatybe ir Shephardo lema galime išvesti Slutsky’o lygtį ir kitu būdu, kuris skiriasi nuo praeitos paskaitos lyginamosios statikos metodo. Diferencijuojame abi
tapatybės puses kainos atžvilgiu, gauname ipi
i
i
i
i
i
ph
pupe
mx
px
∂∂
=∂
∂∂∂
+∂∂ ),(** . Ši lygtis parodo, kad
tam tikros kainos pilnas poveikis sąlyginei paklausai ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
i
i
ph
susideda iš dviejų poveikių
(prisiminkime, kad kiti tokios paklausos argumentai lieka pastovūs, taigi ir naudingumas išlaikomas pastovus). Pirma, kaina veikia tikrovėje stebimą paklausą (čia piniginės pajamos išlieka
nepakitę), tai parodo i
i
px∂∂ *
. Antra, stebimą paklausą veikia (įsivaizduojamai) besikeičiančios
piniginės pajamos ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
mxi
*
, jos keičiasi tiek, kad naudingumas išliktų pastovus ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
ipupe ),( .
Pritaikę Shephardo lemą gaunam i
ii
i
i
i
ph
hmx
px
∂∂
=∂∂
+∂∂ **
. Tačiau , todėl ),()),(,( uphupepx ii ≡
i
ii
i
i
i
ph
xmx
px
∂∂
=∂∂
+∂∂ *
**
. Pertvarkę šią lygtį gauname ***
ii
i
i
i
i xmx
ph
px
∂∂
−∂∂
=∂∂
, kitaip tariant, tam tikros
kainos poveikis stebimai paklausos funkcijai susideda iš pakeitimo ir pajamų efektų.
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 4
15. Tačiau tęskime gerovės pokyčio matavimo problemos nagrinėjimą. Pradinėje padėtyje vartotojas moka kainas ir gauna pajamas, galutinėje padėtyje moka kainas ir gauna pajamas. (Čia kaip ir anksčiau ir yra vektoriai, ir .) Jei vartotojo pomėgiai išreiškiami tolydžia, didėjančia ir kvaziįgaubta naudingumo funkcija , tai juos išreikš ir netiesioginė naudingumo funkcija , pastaroji parodo maksimalų vartotojo naudingumą tam tikroje ekonominėje aplinkoje. Taigi, galima tvirtinti, kad padėčiai keičiantis iš pradinės į galutinę, vartotojo gerovė pasikeis . Pokyčio ženklas parodytų kuria linkme kinta vartotojo gerovė, tačiau laikantis ordinaliosios naudingumo sampratos, netiesioginės naudingumo funkcijos pokyčio modulis
0p 0m 1p 1m0p 1p ),...,,( 002
01
0npppp = ),...,,(
112
11
1npppp =
)(xu),( mpv
),(),( 0011 mpvmpvv −=Δ
vΔ nesuteikia jokios prasmingos informacijos. Funkcija matuojama tais pačiais matavimo vienetais kaip ir funkcija , o kas gali pasakyti kokiais vienetais matuojama pastaroji? Svarbus yra tik pokyčio ženklas – jei
, tai vartotojui geriau, o jei
),( mpv )(xu
0>Δv 0 0>CV10ii pp < 0
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 5
turėti pajamų. Iš ir gauname , tai pajamų pokytis savo poveikiu naudingumui prilygstantis kainų
pokyčiui, todėl jis vadinamas ekvivalentine pajamų variacija arba tiesiog ekvivalentine variacija (equivalent variation). Šios pajamų variacijos ženklas parodo ar vartotojas pinigus turėtų gauti ( ) ar atiduoti ( ). Kita vertus, ženklas parodo ir vartotojo gerovės pokytį dėl kainų pokyčio kai joks lygiavertis (teigiamas ar neigiamas) pajamų pokytis nėra įvykdomas.
EVmupe +=),( 10 mupe =),( 11 EVmupe +=),( 10
),(),( 1110 upeupeEV −=
0>EV 0 0>EV
10ii pp < 0EVCSCV
3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 6
21. Ypatingu atveju bet kuris aptartas gerovės matas yra vienodai tikslus. Jei naudingumo funkcija yra kvazitiesinė, tai bet kuriai prekei, išskyrus sudėtinę (pastaroji matuojama išlaidomis visoms kitoms prekėms) galioja 0* =∂∂ mxi , o tai reiškia, kad pajamų efektas yra lygus nuliui. Todėl iš Slutsky’o lygties matyti, kad iiii phpx ∂∂=∂∂
* . Įprastinės paklausos kreivė sutampa su sąlyginės paklausos kreive, todėl sutampa ir atitinkami plotai kairiau kreivių, o tai reiškia, kad
. EVCSCV =Δ=
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 1
1. Tikrovės įvykių labai dažnai neįmanoma numatyti tiksliai arba visiškai apibrėžtai. Jei ateitis tėra apibrėžta tiek, kad galime išvardinti visus įmanomus įvykius ir jų tikimybes, tai susiduriame su ateities neapibrėžtumu (angliškai tai apibūdinama vienu žodžiu uncertainty). Tokį ateities neapibrėžtumą reiktų skirti nuo padėties, kai iš principo neįmanoma žinoti kas gali įvykti – tai kartais vadinama radikaliu ateities neapibrėžtumu (radical ucertainty). Tačiau pastarąją neapibrėžtumo atmainą labiau prasminga apmąstyti filosofijos požiūriu negu analizuoti mikroekonomikos metodais.
2. Apibrėžkime kaip visų įmanomų įvykių aibę, kaip jos poaibį, o įmanomo įvykio tikimybę pažymėkime . Kokia prasmė bebūtų priskiriama tikimybės sąvokai (įvykio santykinis dažnis, subjektyvaus įsitikinimo matas ar dar kas nors), matematiškai ji yra funkcija priskirianti realius skaičius tam tikriems įvykiams (W poaibiams) ir tenkinanti toliau išvardintas sąlygas.
W iw iw)( ii wpp =
2.1. Bet kuriam įvykiui galioja . iw 0)( ≥iwp2.2. Visų įmanomų įvykių aibei galioja 1)( =Wp . 2.3. Bet kuriai baigtinei ar begalinei nesutaikomų įvykių sekai , galioja ,...,, 321 www
...)()()(...)( 321321 +++= wpwpwpwwwp UUU . 3. Modeliuose dažnai nagrinėsime pačią paprasčiausią ateities neapibrėžtumo situaciją, joje bus
tik du nesutaikomi įvykiai – baigmė ir baigmė , jų atitinkamos tikimybės 1w 2w 10 1
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 2
laukiamą turtą esant pilnam apibrėžtumui. Vartotojas norėtų sumokėti, kad galėtų sumažinti riziką.
Ew
6.3. Jei 1 2 1 2( ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( )Eu w pu w p u w u pw p w u Ew= + − > + − = , tai vartotojas yra linkęs rizikuoti (risk loving). Loterija teikia daugiau naudingumo negu galimybė gauti laukiamą turtą esant pilnam apibrėžtumui. Ew
7. Nenoro rizikuoti sąlyga bus visada tenkinama, jei bus griežtai įgaubta (tuo galima įsitikinti nubrėžus tinkamą brėžinį). Todėl
( )u w( ) 0u w′′ < yra pakankama sąlyga, kad individas
būtų nelinkęs rizikuoti. Žinant konkrečią naudingumo funkcijos išraišką, nenorą rizikuoti galima matuoti kiekybiškai. Paprastai yra taikomi du matavimo būdai, Arrow-Pratto absoliutaus nenoro rizikuoti matas (Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion)
)()()(
wuwuwr
′′′
−= , ir Arrow-Pratto santykinio nenoro rizikuoti matas (Arrow-Pratt measure
of relative risk aversion) ( )( ) ( )( )
u w wwu w
ρ r w w′′
= − =′
(daugiau apie tai paskaitos priede). Kai
, tai didesnė reikšmė parodo, kad individas yra labiau nelinkęs rizikuoti (sutiktų sumokėti daugiau, kad išvengtų rizikos).
0)( >wr )(wr
8. Taikydami laukiamojo naudingumo modelį galime nagrinėti tiek linkusio rizikuoti tiek ir nelinkusio rizikuoti vartotojo elgseną. Nelinkęs rizikuoti individas atsisakytų dalyvauti taip vadinamose “sąžiningose” (nulinio laukiamojo laimėjimo) loterijose, pavyzdžiui loterijoje
, čia 0.5 ( ) 0.5 ( )w x w x− ⊕ +o o w ≡ pradinis turtas, x ≡ laimėjimas arba pralaimėjimas. Tačiau toks individas sutiktų dalyvauti jam palankiose loterijose, jei laukiamas laimėjimas būtų pakankamai didelis. Pavyzdžiui vienodų tikimybių atveju gali pavykti parinkti tokį didelį laimėjimą ( 2x ) ir tokį mažą pralaimėjimą ( 1x ), kad laukiamas loterijos naudingumas viršytų pradinio turto naudingumą,
. Tuo galima įsitikinti nubrėžus tinkamą brėžinį. Todėl verta atkreipti dėmesį į ypatingą apibūdinimo nelinkęs rizikuoti prasmę – nelinkęs rizikuoti individas privalo atsisakyti dalyvauti tik nepakankamai palankiose loterijose (įskaitant sąžiningas).
1 2 1 2[0.5 ( ) 0.5 ( )] 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( )u w x w x u w x u w x u− ⊕ + = − + + >o o w
9. Vienas iš geriausiai išnagrinėtų laukiamojo naudingumo modelio taikymo pavyzdžių yra draudimo sutarties modelis. Vartotojo turto vertė yra , tačiau yra tikimybė w p , kad gali atsitikti stichinė nelaimė (pvz. potvynis, žemės drebėjimas ar panašiai) dėl kurios turto vertė sumažėtų ir vartotojas patirtų žalą . Atkreipkite dėmesį į tai, kad čia L p nepriklauso nuo individo elgsenos. Vartotojas nėra linkęs rizikuoti, jo naudingumo funkcija yra griežtai įgaubta. Draudimo kompanijos siūlo apdrausti turtą – draudikas įsipareigoja išmokėti
)(wuK litų
draudimo sumą (draudimo išmoką) po stichinės nelaimės jei turto savininkas sudarydamas sutartį sumokėtų Kγ litų. Sudarydamas sutartį, draudimo sumos dydį K vartotojas gali pasirinkti laisvai, todėl rinkdamasis labiausiai pageidaujamą turto draudimo sutartį jis stengiasi maksimizuoti laukiamąjį naudingumą, tai yra sprendžia uždavinį max ( ) (1 ) ( )
KEu pu w L K K p u w Kγ γ= − + − + − − . Randame tikslo funkcijos išvestinę ir
prilyginame nuliui, 0))(()1()1))(1(( ** =−−′−+−−+−′= γγγγ KwupKLwupdKdEu . Šią
sąlygą galime pertvarkyti į )1(
)1()(
))1((*
*
γγ
γγ
−−
=−′
−+−′p
pKwu
KLwu . Jei draudimo paslaugų rinkoje
būtų grynoji konkurencija, draudimo kompanijos negautų ekonominio pelno. Taigi, jei vartotojas rinktųsi draudimo sumą *K , draudimo kompanijos pajamos turi būti lygios laukiamoms išlaidoms . Kai 0** =−= pKKγπ p=γ , draudikas siūlo statistiškai “sąžiningas” draudimo sutarties sąlygas, todėl
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 3
**
*
( (1 )) 1 ( (1 )) (( )
u w L K u w L K u w Ku w K
γ γγ
′ − + − ′ ′= ⇒ − + − = −′ −
*)γ
*
. Kadangi yra lygios
funkcijos reikšmės, tai privalo būti lygios ir funkcijos argumento reikšmės, *(1 )w L K w Kγ γ− + − = − , galiausiai gauname *K L=
10. Gavome rezultatą, kad vartotojas galėdamas sudaryti statistiškai “sąžiningą” draudimo sutartį apsidraus pilnai žalos sumai ir visiškai nepatirs rizikos. Jei nelaimė įvyktų, tai jo turtas bus
LwLLLw γγ −=+−− , o jei neįvyktų – taip pat Lw γ− . Taigi kas benutiktų, vartotojo turtas bus toks pat. Tačiau jei dėl kokių nors priežasčių p>γ , tai
1)1(
)1()(
))1((*
*
>−
−=
−′−+−′
γγ
γγ
pp
KwuKLwu , nes 1>
pγ ir 1
)1()1(>
−−γp . Tada
** *
*
( (1 )) 1 ( (1 )) (( )
u w L K u w L K u w Ku w K
γ γ γγ
′ − + − ′ ′> ⇒ − + − > −′ −
) .
11. Darėme prielaidą, kad ( ) 0u w′′ < , nes individas nelinkęs rizikuoti. Todėl mažesnis ( )u w′ funkcijos argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę ir * *(1 )w L K w Kγ γ− + − < − . Pertvarkę ir supaprastinę gauname LK . Galiausiai turime potencialaus vagies elgsenos modelį, max ( ) ( )
xB x Fxp e− , atkreipkite dėmesį, kad čia darome prielaidą, jog potencialus
vagis yra neutralus rizikai. Būtinoji sprendinio radimo sąlyga yra , todėl ( ) ( ) 0B x Fp e′ − =* ( ( ))x x Fp e= . Apskritai tokiame modelyje optimalaus nusikalstamumo lygį *x nulemia
bausmės dydžio ir bausmės įgyvendinimo tikimybės F ( )p e derinys. 15. Štai pavyzdys, tarkime kad ( ) lnB x x= . Tada uždavinio sprendinio radimo būtinoji sąlyga
, o optimalus nusikalstamumo lygis 1 ( ) 0x Fp e− − = * 1( )
xFp e
= . Šiuo atveju kai * 0x →
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 4
( )Fp e →∞ , todėl tinkamai parenkant ir F ( )p e galima tik sumažinti nusikalstamumą iki pageidaujamo lygio, tačiau visiškai išgyvendinti nepavyksta. Kita vertus, nusikalstamumą mažinti galima griežtinant bausmes ir (ar) skiriant daugiau lėšų teisėsaugai ir taip padidinant bausmės įgyvendinimo tikimybę. Verta atkreipti dėmesį, kad siekiant atgrasinti nuo nepageidaujamos elgsenos, visiškai nebūtina parinkti bausmės dydį taip, kad jis atitiktų padarytos žalos dydį (pvz., pavogtų daiktų vertę), ypač kai prireikia itin daug lėšų didinant bausmės įgyvendinimo tikimybę
F
( )p e ir atsimenant, kad jos didinimo galimybės yra ribotos, . ( ) 1p e ≤
16. Nors laukiamojo naudingumo modelis ir yra plačiai taikomas, tačiau galima pagrįstai manyti, kad tikrovėje stebima žmonių elgsena reikšmingai pažeidžia kai kurias aksiomas. Allais paradoksas yra vienas iš geriausiai žinomų tokios elgsenos pavyzdžių. Įsivaizduokite, kad jums pasiūlė pasirinkti vieną iš dviejų loterijų. Loterijoje A =w 1 mln. išlošis su 1=p . Loterijoje B mln. išlošis su 51 =w 1.01 =p , 12 =w mln. išlošis su ir 89.02 =p 03 =w išlošis su . Nuspręskite kurią iš loterijų pasirinktumėte. (Loterijoje A 01.03 =p 1=Ew mln., o loterijoje B 39.189.05.0189.051.0 =+=⋅+⋅=Ew mln.) Toliau nagrinėkime kitas loterijas C ir D. Loterijoje C 11 =w mln. išlošis su 11.01 =p ir išlošis su
. Loterijoje D 02 =w
89.02 =p 51 =w mln. išlošis su 1.01 =p ir 02 =w išlošis su 9.02 =p . Nuspręskite kurią iš loterijų pasirinktumėte. (Loterijoje C mln., o loterijoje D
11.0111.0 =⋅=Ew5.051.0 =⋅=Ew mln.)
17. Žymiai daliai žmonių BA f ir , tačiau tai nesuderinama su laukiamojo naudingumo maksimizavimu (būtent tokio kuris išreiškiamas von Neumanno ir Morgensterno pasiūlytu būdu). Jei
CD f
BA f , tai . Pertvarkę gauname . Pridėdami prie kiekvienos pusės po ir tuo
nepažeisdami pradinės nelygybės gauname
(1) 0.1 (5) 0.89 (1) 0.01 (0)u u u u> + +0.11 (1) 0.1 (5) 0.01 (0)u u u> + )0(89.0 u
)0(9.0)5(1.0)0(89.0)1(11.0 uuuu +>+ , tačiau tai reikštų, kad . Laukiamą naudingumą maksimizuojantis vartotojas turėtų rinktis loteriją C bet ne D, jei anksčiau rinkosi A o ne B.
DC f
Paskaitos priedas 18. Kai kurios laukiamojo naudingumo modelio aksiomos. 18.1. Nepriklausomybės nuo būsenos aksioma. Tai reiškia, kad pirmenybės priklauso nuo
tikimybių bet ne nuo tikrovės būsenų, 21 )1( wpwp oo −⊕ ~ 12)1( wpwp oo ⊕− . Kitaip tariant, pirmojoje tikrovės būsenoje gauti tikimybiškai ir antrojoje būsenoje gauti tikimybiškai yra tiek pat gerai kaip pirmoje būsenoje gauti tikimybiškai ir antrojoje . Tai taip pat reiškia, kad vartotojui yra nesvarbu loterijos įvykių išvardinimo tvarka.
1w
2w 2w
1w
18.2. Sudėtinių loterijų supaprastinimas. Loterijos suvokimas priklauso tik nuo galutinių tikimybių, 21221 )1(~)1())1(( wqpwqpwqwpwpq oooooo −⊕−⊕−⊕ .
18.3. Tolydumas. Jei , tai galima taip parinkti tikimybę 321 www ff p , kad
231 ~)1( wwpwp oo −⊕ . (Galima ginčyti, kad daugeliui individų ši aksioma negaliotų jei būtų 3 litai, būtų vienas litas, o mirtis. Kita vertus, žmonės dažnai rizikuoja gyvybe dėl keleto minučių, kai eina per gatvę degant raudonam šviesoforo signalui.)
1w 2w 3w
18.4. Nepriklausomybė nuo nesvarbių alternatyvų. Jei , tai galioja 21 ww f 3w∀
3231 )1()1( wpwpwpwp oofoo −⊕−⊕ . (Kadangi , ir yra nesutaikomi įvykiai, tai jie niekad negali įvykti vienalaikiškai, todėl juos “vartojantis” individas neturėtų patirti įvykių pakeičiamumo ar papildomumo sąsajų.)
1w 2w 3w
19. Laukiamojo naudingumo funkcijos transformacijos. Esant pilnai apibrėžtai ateičiai vartotojo elgsenai analizuoti visiškai pakako ordinalios naudingumo sampratos. Bet kokia funkcija tiek pat gerai išreiškė vartotojo pomėgius jei galiojo kai )(xu )()( yuxu > yx f ir
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 5
)()( yuxu = kai yx ~ . Kitaip tariant, kažkokia funkcija išreikšdavo tuos pačius pomėgius kaip ir jei
))(( xuF)(xu 0)( >′ uF . Laukiamojo naudingumo funkciją taip pat galima
transformuoti, tačiau tik tiesiškai. Kitaip tariant, )(xbEuaV += išreikš tuos pačius pomėgius kaip ir funkcija , jei . )(xEu 0>b
20. Nenoro rizikuoti matavimas. Jei esant pilnai apibrėžtai ateičiai vartotojo pirmenybės būdavo iškilosios (neblogesnių rinkinių aibė būdavo iškiloji), tai reikšdavo, kad vartotojui geriau vartoti rinkinį kuriame būtų kažkiek visų prekių, o ne išimtinai vieną iš prekių. Galime bandyti nubrėžti abejingumo kreivę kai individas patiria ateities neapibrėžtumą ir tenka rinktis loterijas. Tarkime, kad šiuo metu individas turi pradinį turtą , tačiau patiria ateities neapibrėžtumą, nes vienoje tikrovės būsenoje turėtų
w1w w x1= + su tikimybe 1p , o kitoje
su tikimybe 2w w x= + 2 2p . Tada laukiamas loterijos naudingumas yra . Sutikimo aibe (acceptance set) pavadinkime visų loterijų aibę,
kuriose vartotojas sutiktų dalyvauti turėdamas pradinį turtą , ši aibė yra panašus darinys į neblogesnių rinkinių aibę visiško apibrėžtumo sąlygomis. Sutikimo aibei priklausančiose loterijose atitinkamos tikimybės išlieka tos pačios, o loterijų laukiamas naudingumas negali būti mažesnis už pradinio turto naudingumą. Šios aibės krašte esantys taškai privalo tenkinti
1 1 2 2( ) ( )Eu p u w p u w= +w
1 1 2 2( ) ( ) ( )p u w x p u w x u w+ + + = , kita vertus, galima sakyti, kad jie sudaro abejingumo kreivę, kurią atitinka neišreikštinė funkcija 2 1( )x x . Pastaroji privalo tenkinti tapatybę
1 1 2 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x u w+ + + ≡ . Abejingumo kreivės taškai bus tam tikri turto pokyčių deriniai 1 2( , )x x x= , tokiu būdu pakeistas turtas teiks tą patį laukiamo naudingumo lygį.
x1
x2
x2(x1)
21. Verta pasidomėti koks yra abejingumo kreivės (sutikimo aibės krašto) nuolydis pradinio turto taške . Randame abiejų tapatybės pusių išvestines pagal 1 2(x x= = 0) 1x , gauname
. Toliau gautą lygtį įvertiname kai 1 1 2 2 1 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x x x′ ′ ′+ + + = 0 1 2 0x x= = ,
gauname 1 2 2( ) ( ) (0) 0p u w p u w x′ ′ ′+ = , galiausiai išreiškiame 122
(0)1
p pxp p
′ = − = −−
, kai
1p p= ir 2 1p p= − . Vadinasi, sutikimo aibės krašto nuolydis (MRS) yra lygus tikrovės būsenų galimybių (tikimybių) santykiui (odds ratio).
22. Tą patį rezultatą buvo galima gauti ir kiek kitaip. Pilnai diferencijuokime 1 1 2 2( ) ( ) ( )p u w x p u w x u w+ + + = , gauname 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )p u w x dx p u w x dx du w′ ′+ + + = .
Tačiau išilgai abejingumo kreivės ( ) 0du w = , nes naudingumas lieka pastovus, todėl galima
išreikšti 2 11 2
(( )
dx p u w xdx p u w x
′ += −
′ +1
2
) . Jei surastą išvestinę įvertiname taške , gauname 1 2 0x x= =
12
2
( )(0)( ) 1
p u w pxp u w p
′′ = − = −
′ −.
23. Išvestinės ženklas parodo, kad pradinio turto taško aplinkoje sutikimo aibės krašto nuolydis yra neigiamas – už galimybę laimėti vienoje būsenoje ( ) individas sutiktų pralaimėti kitoje būsenoje ( ). Už ribinį laimėjimo padidinimą pirmojoje būsenoje ( ),
0ix >0jx < 1 0dx >
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 6
individas sutiktų su tokiu pralaimėjimo padidinimu (laimėjimo sumažinimu) kitoje būsenoje ( ), kad 2 0dx < 2 1 (1 )dx dx p p= − − .
24. Jei sutikimo aibės kraštas sutaptų su (1 )p p− − nuolydžio tiese nubrėžta per tašką , tai abejingumo kreivės lygtis būtų 1 2 0x x= = 2 (1 ) 1x p p x= − − . Tačiau tada visiems
sutikimo aibės krašto taškams galioja 1 2(1 ) 0px p x+ − = , o tai reiškia, kad šios sutikimo aibės krašto taškai yra loterijos kurių laukiamas laimėjimas yra nulinis. Kitaip tariant, visos nulinio laukiamojo laimėjimo loterijos individui yra tiek pat geros kaip ir jo pradinis turtas. Kadangi tai reiškia, kad ( ) (u Ew Eu w)= , tai toks individas būtų neutralus rizikai.
25. Jei tokių pačių tikimybių loterija būtų siūloma kitam individui ir jo sutikimo aibė priklausytų neutralaus rizikai individo sutikimo aibei, tačiau su ja nesutaptų, tai antrasis individas jau būtų nelinkęs rizikuoti, nes nesutiktų bent su kai kuriomis loterijomis su kuriomis būtų sutikęs individas neutralus rizikai. Toliau apsiribosime lokalaus pobūdžio analize pradinio turto aplinkoje, kitaip tariant nagrinėsime individų požiūrį į mažas loterijas.
26. Pažvelgus į pateiktą brėžinį matyti, kad individas nesutiks dalyvauti tuo daugiau mažų loterijų, kuo iškilesnė1 jo sutikimo aibė pradinio turto aplinkoje. Norint nustatyti sutikimo aibės krašto kreivumą pradinio turto taške, reikia rasti antrąją išvestinę . Todėl toliau diferencijuojame
2 (0)x′′
1 1 2 2 1 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x x x′ ′ ′ 0+ + + = pagal 1x , gauname . Vėl įvertiname taške
, gauname
21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ) 0p u w x p u w x x x x p u w x x x x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + + + + =
1 2 0x x= =2
1 2 2 2 2( ) ( )( (0)) ( ) (0) 0p u w p u w x p u w x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + = . Tačiau
2 (0) (1 )x p p′ = − − , todėl 2 1
1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) (0) 0p u w p p u w p u w x−′′ ′′ ′ ′′+ + = . Prisimindami kad
1p p= ir 2 1p p= − , gautą lygtį pertvarkome į 1
2(1 ) ( ) (1 ) ( ) (0) 0p p u w p u w x− ′′ ′ ′′− + − = ir
išreiškiame 2 2( )(0)
(1 ) ( )p u wxp u w
′′′′ = −
′−.
27. Rasta išvestinė parodo kaip keičiasi sutikimo aibės krašto (abejingumo kreivės) nuolydis pradinio turto aplinkoje. Jei taške galioja w 0)( ( )r w
28. Toliau panagrinėkime galimybę išmatuoti santykinį nenorą rizikuoti. Tarkime, kad individui siūloma loterija, kurioje galima gauti 1x procentų dabartinio turto (pajamų) su tikimybe
wp arba 2x procentų dabartinio turto (pajamų) su tikimybe , kitaip tariant
loterija p−1
1 (1 ) 2p x w p x w⊕ −o o
2
=
. Tokios loterijos laukiamas naudingumas . Pakartojant ankstesnę analizę gauname
, todėl sutikimo 1( ) ( ) (1 ) ( )Eu w pu x w p u x w= + −
1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1( ) ( ( )) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0p u wx w p u wx x wx x p u wx p u wx x x′ ′ ′ ′ ′ ′+ = ⇔ +
1 Iškilumas: convexity. 2 Įgaubtumas: concavity
4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 7
aibės krašto nuolydis pradinio turto taške ( 1 2 1x x= = ) yra 2 (1) (1 )x p p′ = − − . Ieškodami antrosios išvestinės 2 (1)x′′ , gauname
, vėl įvertiname pradinio turto taške ir gauname
21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ) 0p u wx w p u wx x x x w p u wx x x x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + =
21 2 2 2 2( ) ( ))( (1)) ( ) (1) 0p u w w p u w x w p u w x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + = . Toliau
pertvarkome į 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1) 0p p u w w p u w x− ′′ ′ ′′− + − = ir išreiškiame
2 2
( )(1)(1 ) ( )
p u w wxp u w
′′′′ = −
′−.
29. Šiuo atveju sutikimo aibės krašto kreivumas yra proporcingas atitinkamų naudingumo funkcijų išvestinių santykiui padaugintam iš pradinio turto. Todėl nagrinėjant tokio pobūdžio loterijas (kai individo turtas gali padidėti ar sumažėti kiek tai kartų ar procentų) labiau tinka
Arrow-Pratto santykinio nenoro rizikuoti matas ( )( ) ( )( )
u w ww ru w
ρ w w′′
= − =′
.
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 1
1. Gamintojo sprendimus visų pirma lemia technologinis apribojimas, nes turimi išteklių kiekiai ir techninės žinios lemia kiek įmanoma pagaminti tam tikros gėrybės. Techninė gamybos proceso pusė ekonomistą (skirtingai negu inžinierių) domina tik tiek, kiek ji riboja gamintojo ekonominę elgseną (ekonominių sprendimų galimybes). Bendriausiu būdu technologinį apribojimą galima apibūdinti gamybos galimybių aibe Y , ją sudaro visi įmanomi gamybos vektoriai arba gamybos planai ),...,,( 21 nyyyy = , čia ≡n gėrybių skaičius. Jei , tai laikoma, kad tam tikra gėrybė nagrinėjamame gamybos procese yra pagaminama, o jei , tai sunaudojama. Jei kokios nors gėrybės kiekis yra
0>iy0 ⇒ ˆ( ) ( )f x f x> , o griežtą monotoniškumą x̂ x≥ ⇒ )()ˆ( xfxf > . Kitaip tariant, padidinus gamybos veiksnių kiekius neatsiranda grūsties (no congestion) ir todėl nėra pagaminama mažiau negu iki tol.
6.4. Yra kvaziįgaubta (gamybos veiksnių poreikio aibė yra iškila) arba įgaubta (tai reiškia, kad , kai
( )V y)()1()())1(( 1010 xftxtfxttxf −+≥−+ 10 ˆ x̂x elementą. Žymėjimas reiškia, kad kiekvienas vektoriaus elementas yra ne mažesnis už atitinkamą kito vektoriaus
xx ≥ˆ x̂x elementą ir bent vienas vektoriaus elementas yra griežtai didesnis už atitinkamą vektoriaus x̂ x elementą.
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 2
7.1. Ribinis veiksnio produktas )()( xfxxfMP iii =∂∂= . Parodo kiek gautume daugiau gaminio jei ribinio kiekiu naudotume daugiau tam tikro veiksnio visų kitų veiksnių kiekius išlaikydami pastovius.
7.2. Vidutinis veiksnio produktas ii xxfAP )(= . Parodo kiek gaminio tenka vienam tam tikro veiksnio vienetui.
7.3. Techninė pakeitimo norma jiijji ffdxdxTRS −== . Parodo kaip reiktų pakeisti j veiksnio kiekį jei norėtume ribiniu dydžiu padidinti i veiksnio kiekį, kad gamintume
tiek pat gaminio kaip ir anksčiau. Geometrine prasme techninė pakeitimo norma yra izokvantos nuolydžio reikšmė tam tikrame taške, taigi ji yra ir izokvantos kreivumo matas. Šią išraišką galima išvesti tokiu būdu. Randame pilnąjį gamybos funkcijos diferencialą ir prilyginame jį nuliui: 0.........11 + + + + ++ = =dydxfdxfdxfdxf nnjjii . Šio matematinio veiksmo ekonominė prasmė yra ta, kad pakeistume visų veiksnių kiekius išlaikydami tą pačią gamybos apimtį. Tačiau mus domina tik kažkurių dviejų veiksnių pokyčiai, taigi visi , jei 0=kdx ik ≠ ar jk ≠ . Tada , pertvarkę gauname
0=+ jjii dxfdxf
jiij ffdxdx −= . 8. Lygiagrečiai vertikaliu pjūviu koordinačių ašiai gauname tam tikrą kreivę, ji parodo kaip
kinta gamybos apimtis kintant tik vienam gamybos veiksniui ix
ix . Kreivės pobūdį galima apibūdinti ribiniu veiksnio produktu ir vidutiniu veiksnio produktu . Nors šios charakteristikos priklauso nuo tų pačių matavimo vienetų, tačiau jų santykis nebe. Šį santykį
galima vadinti gamybos elastingumu
iMP iAP
)()(
)()(
)(xf
xxxf
xxfxxf
APMP
x iii
i
i
ii ∂
∂=
∂∂==μ , jis parodo
kiek procentų pasikeis gamybos apimtis, veiksnio kiekį padidinus vienu procentu. 9. Įstrižai vertikaliu pjūviu proporcingai didiname visų gamybos veiksnų kiekius, kitaip tariant
keičiame tuo pačiu mastu. Tokio veiksmo poveikį gamybos apimčiai apibūdina masto grąža. 9.1. Masto grąža didėja jei > , )(txf )(xtf 1>∀t . 9.2. Masto grąža mažėja jei < , )(txf )(xtf 1>∀t . 9.3. Masto grąža pastovi jei )()( xtftxf = , 0>∀t . 9.4. Masto grąžą apibrėžtume globaliai jei kuri nors nurodyta sąlyga galiotų proporcingai
padidinus bet kurį gamybos veiksnių vektorių ),...,,( 21 nxxxx = . Tačiau jei kuri nors nurodyta sąlyga galiotų tik proporcingai padidinus tam tikrą gamybos veiksnių vektorių, o proporcingai didinant kitą gamybos vektorių jau galiotų kita sąlyga, masto grąžą apibrėžtume tik lokaliai (tik tam tikro taško aplinkoje). Kai gamybos funkcija yra diferencijuojama, galima apibrėžti masto grąžos elastingumą (taip pat lokalųjį matą)
111 )()()()(
ln)(ln)(
===
===ttt txf
tdttxdf
tdttxftxdf
tdtxfdxμ . (Vertikalus brūkšnys su
užrašu apačioje reiškia tai, kad surastą išraišką reikia galiausiai įvertinti kai 1=t 1=t .) Masto grąža yra lokaliai pastovi, didėjanti ar mažėjanti jei atitinkamai 1)( =xμ , 1)( >xμ ar 1)( t( )xμ
reikšmę sužinome kiek procentų pasikeistų gamybos apimtis kai vienu procentu padidintume visų veiksnių kiekius tam tikrame taške išilgai spindulio prasidedančio koordinačių ašių pradžioje. Galima įsitikinti, kad masto grąžos elastingumas ir gamybos elastingumas
yra susiję, ∑=
=n
i∑=
= in
i i
i xAPMP
x11
)()( μμ . Šios formulės išvedimą galite rasti paskaitos
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 3
priede. Taikant būtent šią formulę dažnai yra lengviausia nustatyti masto elastingumą, nes rasti ribinius ir vidutinius produktus paprastai nėra sunku.
10. Horizontaliu pjūviu tam tikrame aukštyje galime nagrinėti gamybos veiksnių pakeičiamumą. Jau apibrėžtos techninės pakeitimo normos pagrindinis trūkumas yra tas, kad jos didumas priklauso nuo matavimo vienetų kuriais matuojami gamybos veiksnių kiekiai. Galima apibrėžti veiksnių pakeitimo elastingumą
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
ln lnln | | ln
j i j i j i j i j i i j
ij j ii j i j i j i j
d x x d x x d x x x x d x x f fd TRS x xd f f d f f f f d f f
σ = = = = , ši charakteristika
nuo matavimo vienetų nepriklauso. Pakeitimo elastingumas parodo kiek procentų pasikeistų gamybos veiksnių santykis, jei ribinę pakeitimo normą pakeistume vienu procentu. Geometrinė šios charakteristikos prasmė tampa aiškesnė prisiminus, kad gamybos veiksnių santykis yra per koordinačių pradžią ir tam tikrą gamybos veiksnių derinį nubrėžtos tiesės nuolydis, o ribinės pakeitimo normos didumas yra tam tikram izokvantos taškui nubrėžtos liestinės nuolydis.
11. Galime apskaičiuoti pakeitimo elastingumą Cobbo-Douglaso gamybos funkcijos atveju
. Tada , , ba xAxxfy 21)( ==1
11−= ayxf 122
−= byxf1
2
2
1
bxax
ffTRS == ir
1
2
1
2
1
2 lnlnlnlnlnxx
dxx
bad
bxax
dTRSd =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+== . Įrašę į pakeitimo elastingumo išraišką
gauname ( )( )
( )( ) 1ln
lnlnln
12
12
21
12 ===xxdxxd
ffdxxd
σ . Taigi bet kokios Cobbo-Douglaso gamybos
funkcijos veiksnių pakeitimo elastingumas yra pastovus ir lygus vienetui. 12. Iki šiol gamybos procesu domėjomės nekreipdami dėmesio į ekonominę gamintojo aplinką –
gamybos veiksnių ir gaminių paklausos pobūdį bei konkurentų elgseną. Nedarėme ir jokios prielaidos apie gamintojo elgsenos tikslą – pelno maksimizavimą, kaštų minimizavimą ar dar ką nors. Tačiau jau dabar galima bandyti atsakyti klausimą kiek gerai yra panaudojami ištekliai (gamybos veiksniai).
12.1. Jei gamyboje naudojamas tik vienas veiksnys ir gaminamas tik vienas gaminys tai produktyvumą galima apibrėžti kaip gaminio kiekio ir veiksnio kiekio santykį, tai tiesiog vidutinis veiksnio produktas, xyAP = . Apskritai produktyvumą galima apibrėžti kaip gaminių ir veiksnių santykį (produktyvumas = gaminiai/veiksniai), tačiau tokiu atveju tenka gaminius ir veiksnius atitinkami agreguoti sudarant tam tikrus jų indeksus. Verta atkreipti dėmesį, kad jei naudojame daug veiksnių, tai vidutinis tam tikro veiksnio produktas ii xyAP = yra tik dalinis produktyvumo matas, tokios sąvokos kaip darbo našumas, žemės derlingumas ir panašiai yra būtent dalinio produktyvumo matai. Apskritai būtų galima manyti, kad produktyvumo didinimas yra siektinas tikslas – juk tada nepadidinus gamybos veiksnių kiekių galima pagaminti daugiau gėrybės arba tiek pat gėrybės galima pagaminti su mažesniais gamybos veiksnių kiekiais.
12.2. Produktyvumas skiriasi nuo efektyvumo nors dažnai šios sąvokos sutapatinamos. Gamybos funkcijos kreivė parodo maksimalų gaminio kiekį kurį galima pagaminti su tam tikrais gamybos veiksnių kiekiais ir techninėmis žiniomis, taigi ji yra efektyvumo riba. Techniškai neefektyvūs gamintojai gamina žemiau gamybos funkcijos kreivės (galėtų pagaminti daugiau su turimais veiksnių kiekiais), taigi tokie gamintojai švaisto išteklius. Kita vertus, galima būti techniškai neefektyviu ir gaminant gamybos funkcijoje kreivėje – jei tą patį kiekį būtų įmanoma pagaminti sunaudojant mažiau gamybos veiksnių (taip gali atsitikti jei gamybos funkcija turi horizontalių dalių). Apskritai techninį neefektyvumą parodo atstumas iki gamybos funkcijos kreivės, tačiau atstumą galima matuoti ir horizontaliai ir vertikaliai. Horizontalus matavimas parodytų techninį neefektyvumą veiksnių
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 4
atžvilgiu (input-oriented), o vertikalus – techninį neefektyvumą gaminio atžvilgiu (output-oriented).
12.3. Toliau galima pasidomėti kaip kinta gamintojo produktyvumas techniškai efektyviuose taškuose. Ir taškas A ir taškas B yra techniškai efektyvūs. Produktyvumą (vidutinį veiksnio produktą) taške A galima apskaičiuoti rasdami santykio AD/OD reikšmę, o produktyvumą taške B rasdami santykio CB/OC reikšmę. Kita vertus, šie santykiai yra atitinkamų trikampių įžambinių OA ir OB nuolydžiai. Iš brėžinio matyti, kad nagrinėjamu atveju produktyvumas A taške yra ne tik didesnis už produktyvumą B taške, bet yra apskritai didžiausias įmanomas produktyvumas. Todėl galima teigti, kad taške A pasiekiamas didžiausias gamybos masto efektyvumas, čia gamybos mastas apibūdinamas gamybos veiksnio kiekiu.
y A )(xfy = B 0 C D x 12.4. Gamybos efektyvumą galima tirti duomenų apgaubimo analizės (DEA – data
envelopment analysis) metodu. Įsivaizduokite, kad stebėjote pakankamai daug tokia pačia veikla užsiimančių gamintojų, juos pavadinkime sprendimus priimančiais vienetais (DMU – decision making units). Stebėjimas i parodo kiekvieno DMU pasirinktą gamybos planą ( ). Visi šie planai buvo įgyvendinti, taigi jie yra įmanomos gamybos galimybės priklausančios tam tikrai gamybos aibei. Šiuos taškus galime atidėti koordinačių sistemoje ir apgaubti efektyvios gamybos riba (efficient frontier) taip, kad gamybos aibė būtų iškila. Tada galėsime nustatyti atskiro DMU padėtį jos atžvilgiu.ir taip įvertinti jo techninį efektyvumą.
ii yy 21 ,
12.5. Stebėjimų duomenys pateikti lentelėje. Prieš apgaubiant efektyvia riba, tenka padaryti prielaidą apie gamybos masto grąžą. Jei laikysime, kad gamybos mąsto grąža yra pastovi, tai efektyvi riba bus tiesė nubrėžta per koordinačių pradžią ir trečiojo DMU gamybos planą (labiausiai nutolusio kairėn). Jei laikysime, kad gamybos masto grąža yra kintanti, tai efektyvi riba atkarpomis jungs taškus (2,0), (2,1), (3,3), (6,5), o likusi jos dalis bus x ašiai lygiagretus spindulys prasidedantis taške (6,5).
DMU 1 2 3 4 5
yy =2 1 2 3 4 5 xy =− 1 2 4 3 5 6
12.6. DMU efektyvumą galima nustatyti dvejopai. Galima pasidomėti kiek atitinkamas DMU
turėtų sumažinti veiksnio naudojimą, kad pasiektų efektyvios gamybos ribą (pasislinktų horizontaliai) arba kiek atitinkamas DMU turėtų padidinti gamybos apimtį, kad pasiektų efektyvios gamybos ribą (pasislinktų vertikaliai). Tarkime, kad mus domina pirmasis klausimas, o techninį neefektyvumą apibrėžiame kaip santykinį horizontalų nukrypimą nuo efektyvios ribos. Tada techninio efektyvumo matą (TE) gauname iš vieneto atėmę techninį neefektyvumą. Atkreipkite dėmesį, kad jei masto grąža yra kintanti, tai prasminga domėtis ar DMU renkasi efektyvų mastą – tokį veiklos mastą kai produktyvumas yra maksimalus. Atsižvelgdami į padarytą prielaidą apie mąsto grąžą apskaičiuojame efektyvumo matus. Turint daugiau stebėjimų duomenų paprastai prireikia suformuluoti tiesinio programavimo uždavinį ir jį išspręsti taikant tinkamą kompiuterinę programą
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 5
DMU TEC
(esant pastoviai masto grąžai)
TEV (esant kintamai masto grąžai)
Masto efektyvumas, SE=TEC/TEV
Masto grąža
1 1:2=0.5 2:2=1 0.5 Didėjanti 2 2:4=0.5 2.5:4=0.625 0.8 Didėjanti 3 3:3=1 3:3=1 1 4 4:5=0.8 4.5:5=0.9 0.889 Mažėjanti 5 5:6=0.833 6:6=1 0.833 Mažėjanti
Paskaitos priedas
1. Masto elastingumo ir gamybos elastingumų ryšys. Masto grąžos elastingumo apibrėžime
reikia rasti gamybos funkcijos išvestinę dttxdf )( taikant sudėtinės funkcijos taisyklę ir
atsimenant, kad gamybos funkcija priklauso nuo keleto kintamųjų. Gauname
∑∑∑
∑
====
===
=∂∂
=∂∂
=
∂∂
==
n
i i
in
i
i
it
n
i
i
i
t
n
i
i
it
n
APMP
xfx
xxf
txftx
txtxf
txft
dttxd
txtxf
txft
dttxtxtxdf
x
1111
111
21
)()(
)()()(
)()(
)()(
)(),...,,(
)(μ
.
2. Galima šiek tiek išsamiau aptarti kai kurias gamybos aibės ypatybes, jos atkreipia dėmesį į svarbius gamybos proceso aspektus. Apskritai gamybos aibę (prisiminkite, kad ją sudaro visi įmanomi gamybos planai arba vektoriai) galima pavaizduoti kaip visus taškus esančius tam tikroje kreivėje ir žemiau jos. Kreivę galima nubrėžti per koordinačių pradžią panašiai kaip pateiktame brėžinyje.
2y 1y
Ši kreivė vadinama transformacijos kreive, ji nubrėžta tik per tuos du koordinačių ketvirčius kur vienas iš kintamųjų yra neigiamas, o kitas teigiamas. Jei yra tik du gamybos vektoriaus elementai, tai toks brėžinys reikštų, kad gamybos procesui būdingas grįžtamumas (pavyzdžiui iš vandens galima gauti ledą ir atvirkščiai). Jei tam tikras gamybos vektoriaus elementas visada yra tik gamybos veiksnys (pvz. ), o kitas tik gaminys (pvz. ), tai brėžinį reiktų pakeisti.
1y 2y
2y 1y
Atkreipkite dėmesį į tai, kad dabar iš negalime gauti , tačiau abejais atvejais vektorius priklauso gamybos aibei, o tai reiškia, kad neveikti (ne tik nieko nepagaminti bet ir
neturėti jokių gamybos veiksnių) taip pat yra įmanoma. Tačiau kartais prieš pradedant gaminti
2y 1y)0,0(
5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 6
tenka padaryti neatšaukiamus (negrįžtamus) įsipareigojimus, pavyzdžiui nupirkti tam tikrą kiekį gamybos veiksnio ( 1y ), kurio vėliau neįmanoma atsikratyti. Po neatšaukiamo įsipareigojimo turėtume apribotą gamybos aibę, kurioje neveikti neįmanoma (nes jau neįmanoma turėti 11 yy < ). Tačiau ir dabar galima nieko nepagaminti – taškas )0,( 1y priklauso gamybos aibei.
2y 1y 1y
Panašią gamybos aibę gali lemti ir tai, kad gamybai gali prireikti tam tikro pasiruošimo (set-up), tokiu atveju nors tam tikras veiksnio kiekis yra sunaudojamas, tačiau gaminys dar nepagaminamas. Pasiruošimas gali būti susijęs su neatšaukiamais įsipareigojimais arba ne. Jei susijęs, tai gamybos aibė gali atrodyti taip, čia 1y veiksnio kiekis sunaudojamas pasiruošimui.
2y 1y 1y
Jei pasiruošimas gamybai nesusijęs su neatšaukiamais įsipareigojimais ir gamybos veiksnių galima atsikratyti, tai pasiruošimas gamybai gali atrodyti šiek tiek kitaip (pastaruoju atveju neveikimas yra įmanomas, taškas priklauso gamybos aibei). Panašiai gamybos aibė atrodytų ir kai norint pradėti gaminti reiktų turėti minimalų tam tikro gamybos veiksnio kiekį. Pastarasis atvejis įsimintinas tuo, kad gamybos aibė nėra iškila.
)0,0(
2y 1y 1y 3. Jei paskutiniuose dviejuose atvejuose žymėtume yy =2 ir xy =− 1 , tai gamybos procesą
galėtume vaizduoti vien teigiamame ketvirtyje, jame esančią transformacijos kreivės dalį interpretuoti kaip gamybos funkciją. Atkreipkite dėmesį į tai, kad abejais atvejais gamybos funkcijos kreivės nuolydis išlieka pastovus kai ir nors vidutinis produktas didėja naudojant daugiau veiksnio, tačiau visada lieka mažesnis už ribinį produktą. Todėl
0y >
1>=APMPμ , o tai reiškia, kad masto grąža didėja.
6. Kaštų minimizavimas. Sąlyginės veiksnių paklausos ir kaštų funkcija. Lyginamoji statika
1
1. Rinkos ekonomikoje gamintojas paprastai siekia pelno. Pradžioje laikysime, kad gamintojas
negali paveikti gamybos veiksnių kainų ),...,( 1 nwww = , kitaip tariant jis neturi pirkėjo galios. Taip pat manysime, kad gamintojas negali reikšmingai paveikti visos pasiūlos gaminio rinkoje (jei jis kartais pagamintų mažiau, tai pirkėjai to net nepajaustų nes šio gamintojo sumažėjusią pasiūlą galėtų pilnai pakeisti kitų gamintojų pasiūla). Tokiu atveju, gamintojas negali reikšmingai paveikti ir gaminio kainos, kitaip tariant jis neturi rinkos galios.
2. Gamintojo pelno maksimizavimo uždavinį galime užrašyti wxxpfx
−= )(maxπ . Verta
atkreipti dėmesį, kad technologinis apribojimas )(xfy = šioje problemoje jau yra įrašytas į tikslo funkciją. Jei gamintojas galėtų paveikti visos rinkos pasiūlą (turėtų rinkos galios), tai jo uždavinį tektų rašyti wxxfxfp
x−= )())((maxπ , o jei dar galėtų paveikti ir perkamų
veiksnių kainas (turėtų pirkėjo galios), tai xxwxfxfpx
)()())((max −=π .
3. Tačiau net ir rinkos ekonomikoje kai kurie gamintojai gali maksimizuoti ne pelną, o siekti kitų tikslų, pavyzdžiui vykdyti įpareigojimą gaminti tam tikrą kiekį gėrybės minimaliais kaštais. Kita vertus, net ir pelną maksimizuojančio gamintojo uždavinį galima išskaidyti į dvi dalis. Pirmoje dalyje jis minimizuotų kaštus – stengtųsi pagaminti tam tikrą gėrybės kiekį y minimaliais kaštais, pasirinkdamas gamybos veiksnių derinį , o antroje dalyje maksimizuotų pelną – pasirinktų gaminti pelningiausią gėrybės kiekį , sugebėdamas minimaliais kaštais pagaminti bet kokį gėrybės kiekį. Verta atkreipti dėmesį, kad pelną maksimizuojantis gamintojas privalo minimizuoti kaštus, tačiau ne visi minimizuojantys kaštus gamintojai būtinai maksimizuoja pelną. Taigi kaštų minimizavimo uždavinys taikytinas didesniam skaičiui