1. JOHDANTOA

1

Makroskooppinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä.

Atomit koostuvat ytimestä ja elektroneista.

Kokeellisen tutkimuksen kannalta

osa-alueet ovat hyvin erilaisia, koska

niissä esiintyvien perusilmiöiden

energiat ovat eri suuruusluokkaa:

Kiinteä aine 0.001 eV – 1 eV

Molekyylit 0.1 eV – 100 eV

Atomit 1 eV – 100 keV

Ytimet 10 keV – 100 MeV

Hiukkaset 100 MeV – 500 GeV

1 eV = elektronivoltti

= energian yksikkö atomi-

fysiikassa

= 1.6021773·10-19 joulea.

Vastaa energiaa, jonka elektroni saa

kulkiessaan yhden voltin suuruisen

potentiaalieron läpi

Atomifysiikka

käsittelee atomin

elektroniverhon fysiikka

Ydinfysiikka

käsittelee ytimen rakennetta ja

ydinreaktioita

Hiukkasfysiikka

käsittelee alkeishiukkasten

ominaisuuksia ja niiden välisiä

vuorovaikutuksia

Molekyylifysiikka

käsittelee molekyylien rakenteita

Kiinteän aineen fysiikka

käsittelee kiinteän aineen

rakenteita

Kvanttikemia

käsittelee kemiallisia reaktiota

2

Atomifysiikan soveltamisalueita

kemia

biologia (molekyylibiologia, mikrobiologia)

lääketiede

(kristallografia)

tekniikka (elektroniikka, puolijohdetekniikka, valaistustekniikka,

nanoteknologia)

Tutkimus vaatii yhteistyötä teoreettisen sekä kokeellisen tutkimuksen

välillä:

3

Vertailu

Teoria

Koe

Luodaan teoria,

testataan kokeellisesti Parannetaan teoriaa

kokeen pohjalta

MUUTAMIA TULOKSIA

SUHTEELLISUUSTEORIASTA

Atomifysiikan kurssilla tarvitsemme mm. seuraavia

suhteellisuusteorian tuloksia:

E = 𝐸𝑜 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑜𝑐2+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑐2 = 𝛾𝑚0𝑐2

𝛾 =1

1−v2 𝑐2 (Lorentz kerroin)

m0= kappaleen massa levossa

Valon nopeus on vakio.

Kappaleen ”massa” (liikettä vastustava ominaisuus, hitaus)

riippuu kappaleen nopeudesta – kun nopeus kasvaa, kappale

vastustaa liikkeen muutosta enemmän ja enemmän

→ kappale ei voi koskaan saavuttaa valonnopeutta

4

ESIMERKKI 1.1

Laske nopeus, massa ja liikemäärä elektronille, jonka kineettinen

energia on 100 keV.

5

2. SÄHKÖMAGNEETTISTEN AALTOJEN

HIUKKASOMINAISUUDET Jokapäiväisessä makroskooppisessa maailmassa ei ole mitään

kummallista aalto- ja hiukkaskäsitteissä

Klassisessa fysiikassa hiukkasten liikettä kuvataan

mekaniikan ja aaltojen optiikan avulla

Mikromaailmassa ei tunneta hiukkasia tai aaltoja:

elektroni käyttäytyy hiukkasen tai aallon tavoin

sähkömagneettinen säteily aallon tai hiukkassuihkun tavoin

6

2.1. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT

Vuonna 1864 James Clerk Maxwell:

Kiihdytetyt varatut hiukkaset aiheuttavat sähkömagneettisia

häiriöitä, jotka etenevät avaruudessa.

Sähkö- ja magneettikentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sekä

kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan

7

Faraday: muuttuva magneettikenttä indusoi sähkövirtaa.

Maxwell: muuttuvaan sähkökenttään liittyy magneettikenttä (hankala

mitata, perustui symmetriaan)

James Clerk Maxwell (1831 – 1879)

Syntyi Skotlannissa

Opiskeli fysiikkaa ja matematiikkaa Cambridgen yliopistossa

Tuli kuuluisaksi, kun osoitti, että Saturnuksen renkaat eivät voi

olla kiinteitä tai nestemäisiä vaan koostuvat pienistä hiukkasista

Maxwell kuoli vatsasyöpään 48-vuotiaana 1879

– samana vuonna kuin Albert Einstein syntyi

Maxwellin yhtälöt:

Maxwellin yhtälöt kuvaavat sähkömagneettisen kentän

käyttäytymistä sekä sen vuorovaikutusta aineen kanssa

Maxwell osoitti, että sähkömagneettiset aallot etenevät

nopeudella:

Vuonna 1865 Maxwell kirjoitti:

Tämä nopeus on niin liki valonnopeutta, että on hyvä syy

ajatella, että valo itse (sisältäen lämpösäteilyn ja muut

säteilyt) on sähkömagneettista häiriötä, joka etenee

aaltoina läpi sähkömagneettisen kentän sähkömag-

neettisten lakien mukaan.

smc /10998.21 8

00

8

Vasta Maxwellin kuoleman jälkeen Heinrich Hertz osoitti kokeellisesti

sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon.

Koejärjestely:

Jännite kahden metallipallon väliin – kipinä

Vastaanottimena johdin silmukka, jossa pieni väli.

Sähkömagneettiset aallot aiheuttavat kipinöitä vastaanottimeen

9

10

Sähkömagneettisen säteilyn spektri

Näkyvä valo 4.3x1014 – 7.5x1014 Hz

Sähkömagneettisten aaltojen ja aineen vuorovaikutus riippuu

aaltojen taajuudesta.

Sähkömagneettisille aalloille pätee samat säännöt kuin mekaanisille

aalloille.

Superpositioperiaate:

Kun kaksi tai useampia aaltoja on samassa pisteessä samaan aikaan,

summa-aallon amplitudi on yksittäisten aaltojen amplitudien summa

11

Aallot kumoutuvat tai

vahvistuvat osittain tai

kokonaan

Jos aalloilla eri taajuudet ja/tai eri vaihe, interferenssi on

monimutkaisempi.

Thomas Young osoitti valoaaltojen interferenssin.

12

Konstruktiivinen interferenssi = kirkkaat juovat

aaltojen kulkema matka on sama tai eroaa kokonaisilla

aallonpituuksilla λ, 2 λ, 3 λ, …

Destruktiivinen interferenssi = tummat juovat

aaltojen kulkemat matkat eroavat parittomien aallonpituuden

puolikkaiden verran λ/2, 3 λ/2, 5 λ/2, ….

Youngin koe osoitti, että valo on aaltoliikettä;

Maxwellin teoria selitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja

2.2. MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY

13

Kaikki kappaleet säteilevät, mutta huoneen lämpötilassa

infrapunasäteilyn alueella, jolloin silmä ei sitä pysty havaitsemaan.

Kappaleen säteily liittyy läheisesti kappaleen kykyyn absorboida

energiaa. Kun kappale on termisessä tasapainossa ympäristön

kanssa, se emittoi (eli lähettää) ja absorboi (eli imee itseensä)

saman määrän säteilyä.

Mustaksi kappaleeksi kutsutaan kappaletta, joka absorboi kaiken

siihen kohdistuvan säteilyn.

Hertzin kokeiden jälkeen vaikutti selvältä, että valo on sähkömagneettisia

aaltoja, jotka noudattavat Maxwellin yhtälöitä.

Teoria ei kuitenkaan selittänyt täysin kappaleiden säteilyä.

Metalli hehkuu punaisesta keltaisen kautta

valkoiseen kun sitä kuumennetaan (se säteilee

myös muita aallonpituuksia, joita silmä ei pysty

havaitsemaan)

Mustaa kappaletta voidaan mallintaa ontolla kappaleella, jossa on hyvin

pieni reikä.

Musta kappale absorboi:

sisään menevä säteily heijastuu seinistä

kunnes se on kokonaan absorboitunut.

ja emittoi:

Kun kappaletta lämmitetään, sen seinät emittoivat säteilyä, joka tulee

ulos aukosta.

14

Kun mustaa kappaletta

lämmitetään, se

• säteilee enemmän kun se on

kuuma (säteilyn intensiteetti

kasvaa)

• säteilyspektrin maksimi siirtyy

korkeammille taajuuksille

lämpötilan kasvaessa

Auringon lämpötilassa (5700 K) suurin osa sen säteilystä on näkyvän

valon alueella - ihmisen silmä on kehittynyt herkemmäksi auringon

säteilyn maksimitaajuuksille.

Sovelluksia:

Valaistus – kuumat filamentit säteilevät valkoista valoa

Auringon lämpösäteily – aurinkokennot, lämmitys

Lämpökamerat (eksyneiden etsintä, lämpövuodot rakennuksista)

Astrofysiikka (alkuräjähdyksestä jäljellä taustasäteily)

15

λ = L/2

λ = 2L/3

λ = L

λ= 2L

Kappaleen leveys = L Seisovien aaltojen lukumäärä taajuus-

välillä f - df tilavuusyksikössä (johdetaan

kirjan kappaleessa 9, ei käydä tässä läpi):

Lukumäärä on riippumaton kappaleen

muodosta.

Mitä suurempi taajuus, sitä lyhyempi λ ja

enemmän mahdollisia seisovia aaltoja.

3

28)(

c

dffdffG

MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILYSPEKTRI

Säteilyä onton kappaleen sisällä voidaan kuvata seisovilla sähkö-

magneettisilla aalloilla, joiden solmupisteet ovat onkalon seinillä

(riippumatta suunnasta)

16

Määritetään jokaisen aallon keskimääräinen energia:

Jokainen seisova aalto kappaleen sisällä liittyy oskilloivaan

sähkövaraukseen kappaleen seinässä.

Yksidimensioisella harmonisella oskillaattorilla on kaksi

vapausastetta, toinen vastaa sen kineettistä energiaa ja toinen

potentiaalienergiaa.

Ekvipartitioteoreeman mukaan, termisessä tasapainossa, jokaisen

systeemin kappaleen keskimääräinen energia jokaista vapausastetta kohti lämpötilassa T on ½ kT

(k = Boltzmannin vakio = 1.381 x 10-23 J/K)

Jokaisella aallolla kappaleen sisällä on siis keskimääräinen energia kT ja

Säteilyn kokonaisenergia= aallon keskimääräinen energia x

aaltojen lukumäärä

dfkTc

fdffGdffu

3

28)()(

Rayleigh-Jeansin yhtälö

= kaikki mitä klassinen

fysiikka pystyy kertomaan

mustan kappaleen säteilystä

17

Yhtälön mukaan:

Kun taajuus kasvaa, säteilyn

kokonaisenergia kasvaa suhteessa

taajuuden neliöön

Ts. kun taajuus kasvaa äärettömän

suureksi, myös energia tulisi

kasvaa äärettömän suureksi.

dfkTc

fdffGdffu

3

28)()(

Kuitenkin säteilyn energiatiheys lähestyy nollaa, kun

taajuus kasvaa:

Ultraviolettikatastrofi

18

1

8)(

/

3

3

kThfe

dff

c

hdffu

Joka saadaan kun korvataan aallon keskimääräinen energia kT

energian lausekkeella

1/ kThfe

hf

Suurilla taajuuksilla hf >> kT, jolloin

Pienillä taajuuksilla hf << kT ja hf/kT << 1

kThfe /

0)( dffu

hf

kT

kT

hfe kThf

11

1

1

1/

...!3!2

132

xx

xexYleisesti:

Vuonna 1900 Max Planck esitti ”hyvänä arvauksena” säteilylain mustan

kappaleen säteilylle:

h= Planckin vakio = 6.626x10-34Js

19

dffc

kTdf

hf

kTf

c

hdffu 2

3

3

3

88)(

Eli pienillä taajuuksilla säteilylaki ”palautuu” Rayleigh-Jeansin yhtälöksi:

Yhtälö näytti selittävän kokeelliset mittaukset, mutta miksi? Mikä on

fysiikka sen takana?

Planck esitti hypoteesin, että kappaleen seinässä olevan värähtelijän

energia ei ole jatkuva vaan kvantittunut. Ts. värähtelijä luovuttaa ja

vastaanottaa energiaa kvanteissa:

,...3,2,1, nnhfen

Kun oskillaattori ottaa vastaan energiaa hf:n verran, se hyppää

energiatasolta toiselle. Energia”määrää” kutsutaan kvantiksi.

Jokaiselle seisovalle aallolle saadaan siten keskimääräiseksi

energiaksi:

,1/

kThfe

hf

joka johtaa Planckin säteilylakiin.

20

Planckin ajatus oli, että vaikka energia siirtyy kvantteina

oskillaattoriin ja sähkömagneettisten aaltojen välillä,

sähkömagneettiset aallot käyttäytyvät klassisesti (jatkuva energia).

Äänirautaa voidaan pitää harmonisena oskillaattorina. Ääniraudan

värähtelytaajuus on 660 Hz ja värähtelyenergia on 0.04 J. Vertaa

ääniraudan energiankvantin suuruutta oranssin valon energiakvantin

suuruuteen. Oranssin valon taajuus on 5.00 x 1014 Hz.

21

ESIMERKKI 2.1

22

Max Planck

1858 Planck syntyi Saksassa akateemiseen sukuun

1874 Opiskeli Münchenin ja Berliinin yliopistoissa pääosin

matematiikkaa (fysiikan opettaja Philipp von Jolly:

”Fysiikka on käytännössä valmis ja jäljellä on vain

muutamia täytettäviä aukkoja”)

1879 Väitteli tohtoriksi 21-vuotiaana termodynamiikan

toisesta pääsäännöstä

1885 Professorina Kielin ja Berliinin yliopistoissa

1900 Esitteli oman mallinsa energian diskreettisyydestä (eli

epäjatkuvuudesta), josta sai Nobelin fysiikan palkinnon 1918

1913 Kutsui Albert Einsteinin Berliiniin hänelle räätälöityyn professuuriin

1930 -1937 Saksan tutkimusseuran johtaja

Pyrki estämään politiikan ja tieteen sekoittumisen Saksassa.

Natsit kuitenkin saneerasivat tutkimuslaitoksen – Planck ei

halunnut jäädä johtajaksi vaan erosi tehtävästä.

1939-1945 Toisen maailmansodan aikana Planck jäi Saksaan, koska katsoi

sen olevan Saksan tieteen kannalta parempi vaihtoehto. Yritti

taivutella Hitleriä säästämään juutalaisten tiedemiesten hengen

ja pyrki estämään juutalaisten professoreiden ja oppineiden

erottamisia – tuloksetta.

Max Planckin esikoispoika Erwin

Planck osallistui Adolf Hitlerin

salamurha-yritykseen heinäkuussa

1944. Yritys epäonnistui ja Gestapo

teloitti Erwinin tammikuussa 1945.

23

1945-1946 Sodan päätyttyä 87-vuotias

Planck jatkoi tiedemiehenä ja hänet

valittiin kolmannen kerran Berliinin

yliopiston teoreettisen fysiikan laitoksen

johtoon

1947 Planck kuoli 89-vuotiaana.

24

Koejärjestely:

Tyhjiöputken sisällä kaksi elektrodia,

joiden välillä on muutettavissa oleva

jännite.

Kun elektrodia valaistaan, siitä irtoaa

elektroneja. Elektronit havaitaan anodin

ja katodin välisenä sähkövirtana.

Irronneita elektroneja kutsutaan foto-

elektroneiksi ja ilmiötä valosähköiseksi

ilmiöksi.

Jos elektrodien väliin kytketään kuvan suuntainen jännite, virta

lakkaa tietyllä jännitteen arvolla V0 (pysäytysjännite), joka vastaa

fotoelektronien kineettisen energian maksimia.

2.3. VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ

Valosähköinen ilmiö voidaan periaatteessa ymmärtää klassisesti:

Valoaaltojen kuljettama energia absorboituu metalliin, josta irtoaa

elektroneja.

Klassisen fysiikan aiheuttamia ongelmia:

1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä

Klassisesti: tulisi olla aikaviive, jolloin elektroni kerää aallolta

tarpeeksi energiaa irrotakseen.

2) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla

valon taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana

Klassisesti: sähkövektorin amplitudi kasvaa kun intensiteetti

kasvaa → elektronien kineettisen energian tulisi kasvaa

3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on

kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella

elektroneja ei irtoa.

Klassisesti: ilmiö voi tapahtua millä tahansa taajuuden arvolla

kunhan valo on tarpeeksi intensiivistä 25

26

Einsteinin valon kvanttiteoria selitti valosähköisen ilmiön:

Sähkömagneettisen säteilyn energia on lokalisoitunut fotoneiksi,

joiden energia on hf.

1) Ei aikaviivettä saapuvan valon ja irtoavan elektronin välillä

-sähkömagneettisen säteilyn energia on keskittynyt

”paketteihin”, fotoneihin

2) Kirkas valo tuottaa enemmän fotoelektroneja kuin himmeä (samalla

taajuudella), mutta elektronien kineettinen energia pysyy samana

- jokaisella fotonilla, joilla on sama taajuus, on sama energia,

valon intensiteetin kasvaessa fotoelektronien lukumäärä kasvaa

(ei niiden energia)

3) Mitä suurempi valon taajuus on, sitä enemmän fotoelektroneilla on

kineettistä energiaa ja on olemassa minimitaajuus, jonka alapuolella

elektroneja ei irtoa.

- mitä korkeampi taajuus, sitä enemmän fotonilla on energiaa

luovuttaa fotoelektronille

- täytyy olla minimienergia, jolla fotoelektroni irtoaa (mutta

elektronille ei jää kineettistä energiaa)

Esimerkkejä metallien irrotustöistä:

Metalli Irrotustyö

Cesium 1.9 eV

Kalium 2.2 eV

Natrium 2.3 eV

Litium 2.5 eV

Kalsium 3.2 eV

Kupari 4.7 eV

Hopea 4.7 eV

Platina 6.4 eV

Vapaille atomeille ionisaatioenergiat

ovat noin kaksinkertaisia verrattuna

vastaavan alkuaineen kiinteän

olomuodon irroitustöille.

Näkyvän valon alue 4.3-7.5 x 1014 Hz

vastaa energioita 1.7 – 3.3 eV, joten

valosähköinen ilmiö metalleilla

tapahtuu näkyvän ja ultraviolettivalon

alueella.

27

Minimienergia:

jossa f0 on säteilyn minimitaajuus

Minimienergiaa kutsutaan metalleilla irrotustyöksi ja atomeilla

sidosenergiaksi.

,0hf

28

Jos säteilyn fotonin energia on suurempi kuin irrotustyö/atomin

ionisaatioenergia, loput fotonin energiasta siirtyy fotoelektronin

kineettiseksi energiaksi:

Tästä voidaan laskea fotoelektronin kineettinen energia:

)( 00 ffhhfhfhfEKin

KinEhf

Tulevan

fotonin

energia

Irrotustyö Fotoelektronin

kineettinen energia

Valosähköisen ilmiön sovelluksia:

Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien

absorboitumiseen ja elektronien emissioon

Fotoelektronispektroskopia

Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure.

Aineen kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/

ionisaatioenergian suuruuteen → kemiallinen analyysi

Valosähköisen ilmiön sovelluksia:

Valoilmaisimet (myös silmä) perustuvat fotonien

absorboitumiseen ja elektronien emissioon

Fotoelektronispektroskopia

Irrotustyöt/ionisaatioenergia on aineelle ominainen suure. Aineen

kemiallinen ympäristö vaikuttaa irrotustyön/ionisaatioenergian

suuruuteen -> kemiallinen analyysi

29

Alumiinipintaa valaistaan valolla, jonka aallonpituus on 2000 Å

(1Å=1x10-10m). Irrotustyö alumiinille on 4.2 eV. Mikä on

a) nopeimman

b) hitaimman emittoituneen fotoelektronin kineettinen energia?

c) Mikä on pysäytysjännitteen suuruus?

d) Jos levyyn osuvan valon intensiteetti on 2.0 W/m2, mikä on pinnalle

aikayksilössä pinta-alayksikköä kohti osuvien fotonien keskimääräinen

lukumäärä?

30

ESIMERKKI 2.2

Maxwell esitti, että valo on sähkömagneettisia aaltoja. Einsteinin mukaan

valo koostuu kvanteista.

Onko valo siis:

Aaltoja vai hiukkasia?

31

Aaltoteoria:

Jatkuva energiajakauma

-ei selitä valosähköistä ilmiötä

Hiukkasteoria:

Yksittäiset fotonit

-ei selitä valon taipumista ja

interferenssiä

(mutta säteilyn taajuus tarvitaan

energian laskemiseksi)

2.4. VALO? AALTOJA?

32

Ensimmäisen kerran tarvitaan kaksi teoriaa selittämään yksi ilmiö.

Valo käyttäytyy aallon tavoin liikkeessä ja hiukkasen tavoin

vuorovaikutuksessa aineen kanssa.

Aalto- ja kvanttiteoria täydentävät toisiaan.

33

1895 Wilhelm Röntgen löysi röntgensäteet

• syntyvät kun elektronit törmäävät materiaaliin

• hyvin läpitunkevia säteitä

• kulkevat suoraan eivätkä ne vuorovaikuta sähkö- tai

magneettikentän kanssa

• valottavat valokuvauslevyt

Röntgensäteilyn aallonpituus noin 0.01 – 10 nm

Röntgensäteily on käänteinen ilmiö valosähköiselle ilmiölle:

elektronit luovuttavat energiansa hidastuessaan

Kuumennetulta katodilta irtoaa

elektroneja.

Elektronit kiihdytetään tuhansien volttien

jännitteellä.

Elektronit törmäävät anodiin ja syntyy

säteilyä.

2.5. RÖNTGENSÄTEILY

34

Klassisen sähkömagnetismin teorian

mukaan kiihtyvässä liikkeessä olevat

varatut hiukkaset lähettävät

sähkömagneettista säteilyä.

Klassinen teoria ei kuitenkaan pysty

selittämään kokonaan röntgenspektrin

rakennetta:

Spektreissä näkyy jatkuvan spektrin

lisäksi teräviä intensiteettipiikkejä,

joiden energia riippuu röntgenputken

anodimateriaalista.

Tyypillinen röntgenspektri:

Jatkuva spektri syntyy hidastuvien elektronien lähettämästä

säteilystä.

Terävät intensiteetti piikit syntyvät anodiatomien elektronien

uudelleen järjestäytymisestä (tästä lisää myöhemmin).

35

Elektronien energiasta (eli kiihdytyspotentiaalista) riippuen saadaan

säteilylle erilainen intensiteettijakauma aallonpituuden funktiona.

Jokaista elektronin energiaa vastaa aallonpituuden minimi λmin, joka

riippuu vain jännitteestä – ei anodimateriaalista.

Duane ja Hunt löysivät kokeellisesti

mVVkiihd

.

6

min

1024.1

Anodiin törmätessään elektronit

luovuttavat energiansa yhdessä tai

useissa törmäyksissä anodin atomien

kanssa.

Jatkuva spektri syntyy, koska

yksittäinen elektroni voi luovuttaa

törmäyksessä energiaa eri määriä eli

syntyy fotoneita useilla energioilla.

Lyhin aallon pituus tulee silloin, kun törmäävä elektroni luovuttaa koko

kineettisen energian yhdessä törmäyksessä.

Anodi kuumenee:

anodimateriaalilla tulee olla korkea sulamispiste

anodilla yleensä jäähdytys (pyörivä anodi, vesijäähdytys)

Sovelluksia:

Läpivalaisu:

lääketiede

tekniikka – valmistus ja kulumaviat, murtumat

turvatarkastukset

Tutkimus – fotonilähde

36

VmVVe

hchcVeE

kiihd

e

.

6

min

min

10240.1

Wilhelm Röntgen

1845 Wilhelm syntyi Lennepissä, Saksassa, räätälin pojaksi,

kasvoi Alankomaissa.

1862 Aloitti Utrechtin tekniseen kouluun, josta hänet erotettiin

opettajasta tehdyn pilapiirroksen takia

1865 Pääsi aloittamaan opinnot Zürichin teknillisessä

korkeakoulussa puuttuvasta todistuksesta huolimatta

1868 Valmistui insinööriksi ja 1869 tohtoriksi

1875-1888 Professorina Hohenheimin maatalousakatemiassa,

Strassbourgissa, Giessenissä, Würzburgissa

1895 Löysi röntgen säteet, joista 1901 fysiikan ensimmäinen Nobel palkinto

1900 Professoriksi Münchenin yliopistoon, jossa toimi eläkkeelle jäämiseen saakka

1923 Kuoli suolistosyöpään, mutta ilmeisesti ei röntgensäteilyn seurauksena –

käytti lyijysuojia kokeissaan. Testamentissaan hän toivoi kaiken

kirjeenvaihdon ja tieteellisten papereidensa tuhoamista ja näin tehtiin.

37

38

Ensimmäinen kone rakennettiin noin

1924

Käyttöä alettiin rajoittamaan 50-luvulla

– käytössä kuitenkin 1970 luvulle

Vaikka säteilyannokset olivat

suhteellisen suuria – yhtään

kenkäkauppiaiden asiakkaiden

raportoimaa vahinkoa ei tunneta (tosin

yhden kenkämallin jalka piti amputoida

ja yksi kenkäkauppias sai iho-oireita)

Säteilysuojausta… tai sitten ei.

Mikä on röntgensäteilyn lyhin aallonpituus, kun elektronien

kiihdytyspotentiaali on 50 000 V?

39

ESIMERKKI 2.3

40

Kun säteily kohtaa atomin, osa tulevista

aalloista siroaa ts. atomi absorboi tulevat

aallot ja emittoi saman taajuuden

palloaaltoja.

Kiteessä atomit ovat

järjestäytyneet säännöllisen

välimatkan päähän toisistaan

– syntyy kidetasoja

Kun säteily kohtaa kiteen, se

siroaa joka suuntaan kiteen

sisällä.

2.6. RÖNTGENSÄTEILYN DIFFRAKTIO

Vakiosähkökentässä atomi polarisoituu – siitä syntyy sähködipoli

Muuttuvassa sähkökentässä atomi alkaa värähdellä kentän

taajuudella ja lähettää säteilyä samalla taajuudella

- tapa määrittää röntgensäteiden aallonpituus

Säde 1

Säde 2

Säde 1 siroaa atomista A ja säde 2

atomista B.

Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu

kun säteet ovat samansuuntaiset ja

niiden kulkema matkaero on

aallonpituuden kokonainen monikerta λ,

2λ, 3λ, …

Säteiden kulkema matkaero (kuvasta)

on 2d sinθ, joten saadaan Braggin laki:

(konstruktiivinen = vahvistava)

Atomi A

Atomi B

...,3,2,1sin2 ndn

41

Kiteessä tiettyihin suuntiin sironneet aallot interferoivat konstruktiivisesti,

osassa suuntaa destruktiivisesti.

42

Röntgenspektrometri

Säteily ohjataan raon kautta kiteelle

kulmassa θ, samaan kulmaan asetetaan

detektori.

Kun kulmaa θ muutetaan, detektorin

havaitsema säteily noudattaa Braggin

lakia.

Kun kidetasojen välimatka d tunnetaan,

voidaan säteilyn aallonpituus λ

määrittää (tai päinvastoin).

43

ESIMERKKI 2.4

Monokromaattista valoa, jonka aallonpituus on 5.4Å, suunnataan

kiteeseen. Ensimmäisen kertaluvun diffraktiomaksimi havaitaan

120 asteen kulmalla tulevaan säteilyyn nähden. Mikä on

kidetasojen välinen etäisyys?

44

Kalsiitti-kiteen (CaCO3) atomitasojen välinen etäisyys on 0.300 nm.

Mikä on pienin kulma, joka toteuttaa Braggin ehdon, kun kiteeseen

kohdistetaan röntgensäteilyä, jonka aallonpituus on 0.030 nm?

ESIMERKKI 2.5

45

Kvanttiteorian mukaan fotonit käyttäytyvät kuten hiukkaset, paitsi niillä ei

ole lepomassaa.

kinEhfhf '

Kun fotoni törmää levossa

olevaan elektroniin, osa sen

energiasta siirtyy elektronin

kineettiseksi energiaksi

(fotoni siroaa elektronista).

Energia säilyy:

Myös liikemäärän tulee säilyä:

Alussa

Massattoman hiukkasen liikemäärä

(tästä enemmän kirjan kappaleessa 1)

Elektronin liikemäärä on alussa 0.

(Kun fotonin energia muuttuu, sen

taajuus muuttuu.)

c

hf

c

Ep

Lopussa

Liikemäärä fotonin tulosuunnassa:

ja kohtisuorassa

coscos'

pc

hf

sinsin'

pc

hf

2.7. COMPTON ILMIÖ

Laskuharjoitus 2, tehtävä 3, tuloksena saadaan:

46

Joten liikemäärän säilymislaista saadaan:

sinsin'

0

coscos'

0

pc

hf

pc

hf

c

hf

(x-akselin suunta)

(y-akselin suunta)

Comptonin sironta:

cos1'0

cm

h

Comptonin sironnassa säteilyn aallonpituuden muutos riippuu vain

säteilyn sirontakulmasta – ei säteilyn alkuperäisestä aallonpituudesta

cm

hC

0

Hiukkasille voidaan laskea ns. Comptonin aallonpituus:

47

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4

cos1' c

Δλ vaihtelee välillä

0 - 2λc

Δλ

Kulma (rad)

Röntgensäteet menettävät energiansa pääosin Compton sironnan

avulla, mutta ilmiötä ei juuri tapahdu näkyvän valon aallon-

pituuksilla.

Comptonin sironta eri kulmilla:

Compton sironnan kokeellinen todistus:

48

Mitataan sironneen säteilyn

aallonpituuksia eri kulmilla.

Havaitaan myös aallonpituudeltaan muuttumattomia fotoneja, jotka

aiheutuvat törmäyksistä atomin sidottujen elektronien kanssa.

Atomin massa on suuri, aallonpituuden muutos on hyvin pieni ja

sitä ei havaita.

Röntgensäteet, joiden aallonpituus on 20.0 pm törmäävät elektroniin.

a) Mikä on 45° kulmaan sironneiden säteiden aallonpituus?

b) Mikä on sironneiden säteiden maksimiaallonpituus?

c) Mikä on sironneiden elektronien maksimi kineettinen energia?

49

ESIMERKKI 2.6

2.8. PARINMUODOSTUS

Fotoni voi luovuttaa elektronille kaiken energiansa (valosähköinen ilmiö) tai

osan siitä (Compton sironta).

50

Varaus säilyy: elektroni -e ja positroni +e

Energia säilyy: fotonin energia = elektronin lepomassa + positronin

lepomassa (+ 2Ekin)

Liikemäärä säilyy: atomin ydin ottaa vastaan osan liikemäärästä (ja

mitättömän osuuden energiasta, koska sen massa on hyvin suuri verrattuna

elektronin massaan)

Parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa.

Fotonin energia voi myös muuttua

elektroniksi ja positroniksi kun fotoni

vuorovaikuttaa atomiytimen kanssa =

parinmuodostus

51

Osoita, että parinmuodostusta ei voi tapahtua vapaassa tilassa.

ESIMERKKI 2.7

52

Elektronin ja positronin lepomassa m0c 2= 0.51 MeV, joten

parinmuodostus vaatii energiaa vähintään 1.02 MeV

Tämä vastaa fotonin aallonpituutta 1.2 pm, joka on gammasäteilyä.

Voi esiintyä kosmisessa säteilyssä sekä radioaktiivisessa säteilyssä.

Jos energiaa on enemmän, se siirtyy elektronin ja positronin

kineettiseksi energiaksi.

Fotoni, jonka aallonpituus on 0.0010 nm, aineellistuu elektroni-

positronipariksi. Kuinka suuri on syntyneen parin liike-energia

yhteensä?

53

ESIMERKKI 2.8

Pariannihilaatio:

Pariannihilaatio on vastakkainen ilmiö parinmuodostuksen kanssa:

positroni ja elektroni yhtyvät ja vapautuu kaksi gammakvanttia:

e+ + e- = γ + γ

yhden gammakvantin energia = 0.51 MeV ja puolet kineettisestä

energiasta, joka oli hiukkasten massakeskipisteellä

Gammakvanttien suunnat ovat siten, että sekä energia että

liikemäärä säilyvät

– pariannihilaatio voi siis tapahtua vapaassa tilassa.

54

55

Valosähköinen ilmiö:

Comptonin sironta:

Parinmuodostus: hf ≥ 1.02 MeV

kinEhf Fotoelektroni

cos1'0

cm

h

Matalilla fotonienergioilla valosähköinen ilmiö on

hallitseva, fotonin energian kasvaessa Comptonin

sironnan osuus kasvaa.

Kun Z kasvaa, valosähköinen ilmiö hallitsee

pidemmälle (elektroniverho kasvaa)

Suurilla energioilla parinmuodostus, alkaa

aikaisemmin Z:n kasvaessa, koska rekyyliin

liittyvä termi (m/M) pienenee.

M

mcmhf 12 2

0

2.9. FOTONIN ABSORPTIO - KOOSTE

Fotonisuihkun absorboituessa suihkun intensiteetti pienenee:

56

dxI

dI

μ = lineaarinen absorptiokerroin

Lineaarinen absorptiokerroin riippuu säteilyn energiasta ja absorboivan

materiaalin ominaisuuksista.

Integroimalla saadaan säteilyn intensiteetille

)/ln( 0

0

IIx

eII x

Säteilyn intensiteetti pienenee eksponentiaalisesti

x = absorboivan kerroksen paksuus

Esimerkki:

Lyijyn absorptiokerroin

eri fotonienergioilla.

Sovelluksia:

Säteilysuojaus – syynä säteilyn biologiset vaikutukset

Röntgenlaitteiden suojaus lääketieteessä

Reaktoreiden suojaus ydintekniikassa

Aurinkovoiteet auringon UV-säteille

Ilmakehän suojaus - otsonikerros

57

Lineaarinen absorptiokerroin vedelle on 4.9 m-1 kun fotonien energia on

2.0 MeV.

a) Mikä on säteilyn suhteellinen intensiteetti sen kuljettua vedessä 10

cm matkan?

b) Kuinka pitkän matkan säteily kulkee vedessä ennen kuin sen

intensiteetti on pienennyt prosenttiin alkuperäisestä intensiteetistä?

58

ESIMERKKI 2.9

59

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE

1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet

1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi

Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen tavoin.

Fotonin liikemäärä:

ja aallonpituus:

De Broglien hypoteesin mukaan λ=h/p pätee sekä hiukkasille että

aalloille.

Hiukkasten liikkeeseen liittyy siis aaltoliike, jonka aallonpituus

h

c

hfp

p

h

vm

h

p

h

m on hiukkasen relativistinen massa 22

0

/v1 c

mm

3.1. DE BROGLIE AALLOT

60

Kuten sähkömagneettisten aaltojenkin tapauksessa, hiukkasten aalto-

ja hiukkasominaisuuksia ei havaita yhtä aikaa vaan ne esiintyvät eri

tilanteissa. Aaltoluonteen havaitseminen riippuu mittalaitteen

dimensioista.

De Broglie päätyi aineaaltoihin Bohrin atomimallista (käsitellään

myöhemmin), jossa vain kvantittuneet energiatilat ovat mahdollisia.

Aineaallot havaittiin elektronien diffraktiossa kiteestä (käsitellään

myöhemmin).

61

ESIMERKKI 3.1 Laske de Broglie aallonpituudet

a) 46 g painavalle golf pallolle, jonka nopeus on 30 m/s

b) elektronille, jonka nopeus on 107m/s

62

ESIMERKKI 3.2

Mikä on protonin kineettinen energia, jos de Broglie aallonpituus on

1.000x10-15 m (noin protonin halkaisija)?

63

3.2. AALLON KUVAAMINEN

Koska aina hiukkasen nopeus v < c, de Broglie aallon vaihenopeus > c

de Broglie aallot kulkevat valoa nopeammin – voidaanko siis havaita valoa

nopeampia aaltoja?

Miten nopeasti hiukkaseen liittyvät aallot liikkuvat? Onko liikkuvaa

hiukkasta kuvaavan de Broglie aallon nopeus sama kuin hiukkasen nopeus?

De Broglie aallon nopeus voidaan määrittää.

v𝑝 = 𝑓𝜆 =𝑚𝑐2

ℎ

ℎ

𝑚v=𝑐2

v

Koska 𝜆 =ℎ

𝑚v= de Broglie aallonpituus

ja

E = ℎ𝑓 = 𝑚𝑐2 → 𝑓 =𝑚𝑐2

ℎ

64

Hieman aaltoliikeoppia tähän väliin:

Tarkastellaan yksinkertaista aaltoa, jonka maksimi arvo y-akselilla on +A

(= aallon amplitudi) ja se saavuttaa sen paikassa x = 0 ajanhetkellä t = 0.

Ajan kuluessa seuraavat y-akselin arvot saadaan yhtälöstä:

A

Yhtälö kertoo aallon yksittäisen pisteen paikan ajan funktiona y-akselin

suunnassa. Tahdomme kuitenkin yhtälön, joka kertoo y:n arvon

jokaisessa pisteessä x eri ajanhetkinä.

t=0

t2cosAy f

t

64

65

Ravistetaan köyttä:

Aalto lähtee etenemään köydessä

+x suuntaan nopeudella vp.

Nopeus riippuu köyden ominaisuuksista.

Aalto liikkuu ajan t kuluessa matkan

x = vpt

ts. aikavälin x/vp jälkeen aalto kohdassa x

p

xtf

v2cosAy

65

y:n arvo pisteessä x ajanhetkellä t

= y:n poikkeama pisteessä x=0 ajanhetkellä t = - x/vp.

Sijoitetaan y:n yhtälöön t:n paikalle (t - x/vp)

66

x

tf2cosAy

Aaltoyhtälö saadaan muotoon:

joka antaa y:n arvon eri x ja t arvoilla.

Määritetään: Kulmataajuus 𝜔 = 2𝜋𝑓

Aaltoluku 𝑘 =2𝜋

𝜆=

𝜔

v𝑝

ja saadaan aaltoyhtälö muotoon pp

p

p

fk

ff

vv

2

vv

kxt cosAy

66

xtf

f

fxtf

fxtf

xtf

pp

2cosA2cosAv

2cosAv

2cosAy

Muokataan vähän yhtälöä:

Sij. vp=fλ

67

3.3. TODENNÄKÖISYYSKÄSITE

de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää siihen

liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä hetkellä.

Liikkuvaan hiukkaseen liittyy aaltofunktio ψ, jolla ei ole

fysikaalista vastinetta vaan aaltofunktio on abstrakti käsite.

(tätä tullaan käsittelemään paljon myöhemmin)

Aaltofunktio liittyy todennäköisyyteen löytää liikkuva hiukkanen

x,y,z-avaruuden tietystä pisteestä hetkellä t.

Kuitenkin aaltofunktion amplitudi voi saada sekä positiivisia että

negatiivisia arvoja, joten sellaisenaan se ei toimi

todennäköisyytenä vaan todennäköisyys löytää hiukkanen, jota

kuvaa aaltofunktio ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on

verrannollinen aaltofunktion neliöön | ψ|2

Jos | ψ|2 on suuri – todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on suuri

Jos | ψ|2 on pieni – todennäköisyys hiukkasen olemassaololle on pieni

Jos | ψ|2 ≠ 0 on todennäköisyys hiukkasen löytymiselle

Jos | ψ|2 = 0 hiukkanen ei voi olla pisteessä (x,y,z) ajanhetkellä t

68

Vaikka sanotaan, että aaltofunktio kuvaa hiukkasen levinneisyyttä

avaruudessa, se ei tarkoita, että hiukkanen itsessään olisi hajonnut

avaruuteen.

Mitatessa elektroneja, saadaan aina mitattua kokonainen elektroni tietyssä

paikassa tietyllä hetkellä (esim. 20% todennäköisyys havaita koko

elektroni, ei havaita 20% elektronista)

Jos suurella hiukkasjoukolla on sama aaltofunktio ψ, hiukkastiheys on

verrannollinen aaltofunktion neliöön |ψ|2 .

69

de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen

tietystä paikasta tietyllä hetkellä.

Kuitenkin yleinen aaltoyhtälö

kuvaa päättymätöntä sarjaa aaltoja, joilla on sama amplitudi. Sillä ei voi

kuvata hiukkasen de Broglie aaltoa.

Sen sijaan ajatellaan, että liikkuvaa hiukkasta vastaa aaltopaketti tai

aaltoryhmä:

kxt cosAy

Matemaattisesti aaltoryhmä on

yksittäisten interferoivien aaltojen summa.

Ryhmänopeus = aaltoryhmien nopeus

69

3.4. AALLON VAIHE- JA RYHMÄNOPEUS

70

Aallon ryhmänopeus vg voidaan johtaa tarkastelemalla kahden aallon

𝑦1 = A cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦2 = A cos 𝜔 + Δ𝜔 𝑡 − 𝑘 + Δ𝑘 𝑥

summa-aaltoa.

Aalloilla on sama amplitudi A ja niiden kulmataajuuksien ero on Δω ja

aaltolukujen ero on Δk.

Summa-aalto saadaan sievennyksien jälkeen muotoon:

𝑦 = 2A cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 cos 12 Δ𝜔𝑡 − Δ𝑘𝑥

Summa-aallon ensimmäinen osa on saman muotoinen kuin alkuperäiset

aallot ja jälkimmäinen osa on moduloiva osa, joka aiheuttaa ryhmät

70

Vaihenopeus v𝑝 =𝜔

𝑘

Ryhmänopeus v𝑔 =Δ𝜔

Δ𝑘

Kun ω ja k ovat jatkuvia, ryhmänopeus: dk

dg

v

Riippuen vaihenopeuden ja aaltoluvun erosta, ryhmänopeus voi olla

pienempi tai suurempi kuin osa-aaltojen vaihenopeus.

Jos vaihenopeus on sama kaikille aallonpituuksille (kuten valolla

tyhjiössä), ryhmä- ja vaihenopeus ovat samat.

71

71

ESIMERKKI 3.3

Määritä ryhmä- ja vaihenopeus de Broglie aalloille.

72

Yhteenveto:

Hiukkasen liikettä kuvaa aaltoryhmän liike.

Ryhmä muodostuu äärettömästä määrästä yksittäisiä aaltoja.

Yksittäisen aallon nopeus voi olla suurempi kuin valonnopeus.

Yksittäisen aallon nopeutta ei voida havaita.

Voidaan havaita paikallisen ”häiriön”, aaltoryhmän nopeus,

joka on vg < c

73

Elektronin de Broglie aallonpituus on 2.00 pm. Mikä on sen kineettinen

energia? Laske myös de Broglie aallon vaihe- ja ryhmänopeudet?

73

ESIMERKKI 3.4

74

Osoita, että jos liikkuvan hiukkasen kokonaisenergia on selvästi

suurempi kuin sen lepoenergia, sen de Broglie aallonpituus on lähes

sama kuin fotonilla, jolla on sama kokonaisenergia.

74

ESIMERKKI 3.5

75

75 75

3.5. HIUKKASTEN DIFFRAKTIO

De Broglie aaltojen olemassa olo eli

materialististen hiukkasten aaltoluonne

todistettiin Davisson-Germerin kokeella 1927.

Klassisen fysiikan mukaan elektronit voivat sirota kaikkiin suuntiin.

Davisson ja Germer havaitsivat (vahingossa) kuitenkin kuumennetulta

puhtaalta nikkelipinnalta voimakkaan sironnan tiettyyn kulmaan.

Kulma riippui elektronien energiasta.

75

Elektronisuihku kiihdytetään ja sillä

pommitetaan kidettä. Elektronit siroavat kiteestä

detektorille, jolla havaitaan sironneet elektronit

eri kulmilla.

76

Davisson-Germerin koe todistaa de Broglien hypoteesin liikkuvien

hiukkasten aaltoluonteesta!

Kuumennus aiheuttaa nikkelin rakenteen muuttumisen useampiin

yksittäiskiteisiin, joista elektronit siroavat (kuten rtg-säteet kiteestä).

Braggin laista voidaan laskea elektronin ”aallonpituus”, joka vastaa

hyvin de Broglien aallonpituutta:

77

ESIMERKKI 3.6

Kidettä, jonka kidetasojen välinen etäisyys on 1.1Å, pommitetaan

neutroneilla, joiden kineettinen energia on 2 eV. Missä kertaluvuissa

heijastuksia havaitaan?

78

Sovellus: Elektronioptiikka

Mikroskoopin erotuskyky on aallonpituuden suuruusluokkaa ~1 nm

Elektronimikroskoopilla päästään parempaan erotuskykyyn, koska

hiukkasten aallonpituutta voidaan helposti muuttaa kiihdytysjännitettä

muuttamalla

– erotuskyky paranee aallonpituuden pienentyessä.

Sovellukset:

solubiologia, lääketiede, metallurgia

Elektronien varaus mahdollistaa

magneettiset linssien rakentamisen.

Oulun yliopistossa toimii

Mikroskopian ja nanoteknologian keskus

Tarjoaa puhdastila-, tutkimus- ja analyysipalveluja

yliopiston laitoksille ja elinkeinoelämälle.

Keskuksella on käytössään

useita pyyhkäisyelektronimikroskooppeja (SEM) ja

läpäisyelektronimikroskooppi 78

79

Elektronimikroskooppikuvia

Kuvaaja: Raija Peura, alkuperäiset kuvat mustavalkoisia, väritys Raija

Peura)

Sääsken silmä

Vaaksiaisen ihoa

80

3.6. HIUKKANEN LAATIKOSSA

80

Rajoitetaan liikkuvan hiukkanen laatikkoon, jonka leveys on L.

Liikkuvan hiukkasen aaltoluonne vaikuttaa hiukkasen

liikkeeseen.

Tarkastellaan hiukkasen liikettä:

Oletetaan, että hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään seiniin.

Oletetaan, että hiukkasen nopeus on niin pieni, ettei relativistisuutta

tarvitse huomioida.

Käsitellään tapausta tarkemmin myöhemmin, tehdään nyt vain karkea

analyysi:

Aaltoluonteen näkökulmasta hiukkanen on kuin seisova aalto, jonka

solmukohdat ovat laatikon seinillä.

Seinillä aaltofunktio ψ =0, koska aalto pysähtyy niissä.

Hiukkasen mahdolliset de Broglie aallonpituudet riippuvat siis

laatikon leveydestä L.

81 81

,...3,2,12

nn

Ln

2

222

21

22m

)v(v

m

hmmEE Kin

81

Pisin aallonpituus λ=2L, seuraavat λ=L, λ=2L/3, jne.

Sallitut aallonpituudet:

Tässä mallissa hiukkasella ei ole potentiaalienergiaa, joten hiukkasen

kokonaisenergia on:

Koska mv = h/λ

Sijoitetaan tähän sallitut aallonpituudet ja saadaan hiukkasen

energiaksi:

Hiukkasen energia voi siis saada vain tiettyjä arvoja eli energia on

kvantittunut

En= energiataso

n=kvanttiluku

,...3,2,18 2

22

nmL

hnEn

82

Yhtälöstä voidaan tehdä kolme johtopäätöstä, jotka pätevät kaikille

tiettyyn tilaan rajatuille hiukkasille (myös atomin elektroneille):

1) Hiukkasen energia ei voi saada mitä tahansa arvoja. Mahdolliset

energiat riippuvat hiukkasen massasta ja rajatun avaruuden koosta.

2) Hiukkasen energia ei voi olla nolla.

3) Energian kvantittuminen on merkittävää vain kun m ja L ovat pieniä.

82

83

a) Laske sallitut energiat 10g marmorikuulalle, joka on 10 cm laatikossa.

b) Laske sallitut energiat elektronille, joka on 0.10 nm laatikossa (atomin

suuruusluokkaa).

83

ESIMERKKI 3.7

84

3.7. VIELÄ TODENNÄKÖISYYSKÄSITTEESTÄ

Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä

tahansa ryhmän sisällä.

de Broglie aallon amplitudi heijastaa todennäköisyyttä

löytää siihen liittyvä hiukkanen tietystä paikasta tietyllä

hetkellä.

Todennäköisyys löytää hiukkanen, jota kuvaa aaltofunktio

ψ, paikasta (x, y, z) ajanhetkellä t on verrannollinen

aaltofunktion neliöön | ψ|2

| ψ|2 on suurimmillaan keskellä ryhmää, jossa siis

hiukkanen todennäköisimmin on.

Se voi kuitenkin sijata missä tahansa, missä | ψ|2≠0.

85

Elektroni on yksiulotteisessa potentiaalilaatikossa, joka rajoittaa sen

liikkeen x-akselin välille [0,a]. Mikä on todennäköisyys sille, että

alimmalla energiatilalla oleva elektroni on välillä [0, a/3]?

Perustilaa kuvaava aaltofunktio on muotoa

𝜑 𝑥 =2

𝑎

1/2

sin𝜋𝑥

𝑎

ESIMERKKI 3.8

86

3.8. HEISENBERGIN EPÄTARKKUUSPERIAATE

Aaltoryhmän kuvaaman hiukkasen paikan ja liikemäärän

mittaus ei ole tarkkaa.

Hiukkanen (jota kuvaa aaltoryhmä), voi sijaita missä tahansa

ryhmän sisällä (vain todennäköisyys voidaan määrittää, kts.

esim. 3.8)

Mitä kapeampi aaltoryhmä, sen tarkempi hiukkasen

paikka. Silloin kuitenkin aallonpituus tulee

epätarkaksi, koska ei ole tarpeeksi aaltoja tarkkaan

mittaukseen.

Koska aallonpituutta ei saada mitattua tarkasti,

myöskään liikemäärä ei ole tarkka.

Mitä laajempi aaltoryhmä, sen tarkemmin saadaan

määritettyä hiukkasen aallonpituus ja liikemäärä,

mutta paikan määritys epätarkka.

86

87

Heisenbergin epätarkkuusperiaate:

On mahdotonta tietää tarkasti samaan aikaan hiukkasen paikkaa ja

liikemäärää.

(Werner Heisenberg 1927)

Optimitilanteessa, jossa aaltoryhmä on Gaussin funktion muotoinen,

voidaan johtaa (kts. kirjan kappale 3.7) aaltoryhmän paikan x ja

aaltoluvun k epätarkkuuksille

Koska de Broglie aallonpituus hiukkaselle on 𝜆 =ℎ

𝑝 ja aaltoluku 𝑘 =

2𝜋

𝜆

saadaan 𝑘 =2𝜋𝑝

ℎ⟷ p =

ℎ𝑘

2𝜋

Δ𝑝 =ℎΔ𝑘

2𝜋

Sijoittamalla edelliseen Δ𝑘 ≥1

2Δ𝑥 , saadaan

87

87

87 87

Δ𝑥Δ𝑘 ≥ 12

Δ𝑥Δ𝑝 ≥ℎ

4𝜋=ℏ

2

Määritetään ℏ =ℎ

2𝜋

(usein käytössä modernissa

fysiikassa)

88

Epätarkkuusperiaate saadaan myös hiukkaskuvasta:

Jos halutaan mitata kappaleen paikka ja liikemäärä tietyllä hetkellä,

mittausmenetelmä vaikuttaa kohteeseen. Vuorovaikutuksesta aiheutuu

epätarkkuutta, joka johtaa samaan epätarkkuusperiaatteeseen kuin edellä,

vaikka aineen aalto-ominaisuutta ei oteta huomioon.

Esim. elektronin näkemiseksi sitä täytyy

valaista.

Nähdään fotoni, joka siroaa elektronista.

Fotoni muuttaa elektronin liikemäärää,

tarkkaa muutosta vaikea määrittää,

mutta liikemäärän muutos on samaa

luokkaa kuin tulevan fotonin liikemäärä

Mitä suurempi λ, sitä pienempi Δp

hp

Hiukkasen paikkaa ei pystytä mittaamaan tarkemmin kuin fotonin

aallonpituus: Δx≥λ

Joten

hxp

Epätarkkuus liittyy liikkuvaan

hiukkaseen, ei mittaustapaan!

89

Protonin paikka voidaan mitata tarkkuudella ±1.00 x 10-11m. Mikä on

protonin paikan epätarkkuus 1.00 s jälkeen. Oletetaan, että protonin

nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus.

89

ESIMERKKI 3.9

90

3.9. EPÄTARKKUUSPERIAATTEEN SOVELTAMINEN

Koska h on hyvin pieni, epätarkkuusperiaate koskee vain mikromaailmaa.

Epätarkkuusperiaate ei ole vain negatiivista, vaan sen avulla voidaan

ymmärtää monta atomitason ilmiötä.

Epätarkkuusperiaate koskee myös energiaa ja aikaa.

Jos atomaarisessa prosessissa vapautuu sähkömagneettista säteilyä

(energiaa) ajan Δt kuluessa, taajuuden määrityksen epätarkkuus

jolloin energian epätarkkuus on

Tarkempi käsittely antaa epätarkkuusperiaatteeksi energialle ja ajalle:

tf

1

htEt

hE

fhE

tai

2

tE

90

91

ESIMERKKI 3.10

Tyypillinen atomin ytimen säde on n. 5x10-15m. Käytä

epätarkkuusperiaatetta määrittämään alaraja energialle, joka täytyy

elektronilla olla, jos se on osa atomiydintä.

92

Vetyatomin säde on 5.3x10-11m. Käytä epätarkkuusperiaatetta ja arvioi

mikä on pienin energia, jonka elektroni voi saada tässä atomissa.

92

ESIMERKKI 3.11

93

Viritetty atomi voi emittoida säteilyä tietyllä taajuudella (käsitellään

myöhemmin). Keskimääräinen aika virityksen ja viritystilan

purkautumisen välillä on 1.0x10-8s. Mikä on emittoituvan fotonin

taajuuden epätarkkuus?

93

ESIMERKKI 3.12

94

4. ATOMI

4.1 ATOMIN RAKENNE – YDIN

1800 luvun lopulla useimmat tutkijat jo uskoivat, että materiaalit

koostuvat atomeista – pienistä jakamattomista osista

1898 J.J. Thomson löysi elektronit ja esitti atomista ns. rusinakakkumallin,

jossa elektronien ajateltiin olevan hajallaan positiivisesti varautuneessa

aineessa

1911 Hans Geiger ja Ernest Marsden toteuttivat kokeen,

jota Rutherford oli ehdottanut (ns. Rutherfordin koe):

Radioaktiivisesta aineesta tulevilla alfa-

hiukkasilla pommitettiin kultakalvoa.

(Alfahiukkaset ovat helium-atomeita,

joista puuttuu elektronit)

Mitataan kalvon läpi menneet (ja

sironneet) alfa-hiukkaset.

95

95

Thomsonin mallin mukaisesta atomista alfa-hiukkasten

olisi tullut mennä suoraan läpi, koska niihin vaikuttaa vain

heikot sähköiset voimat (varaus ajateltiin olevan tasaisesti

jakautuneena koko atomiin)

Havaittiin kuitenkin, että osa hiukkasista siroaa

kultakalvosta hyvin suuriin kulmiin, osa jopa takaisin päin.

Koska alfa-hiukkaset ovat painavia (noin 8000 x elektronin massa) ja niiden

nopeus kokeessa on suuri, vaaditaan hyvin suuria voimia aiheuttamaan

hiukkasten sironnan.

Rutherfordin selitys kokeelle:

Atomin massa on keskittynyt hyvin pieneen, positiivisesti varattuun

pisteeseen atomissa = atomiydin

Kokeessa siroavat alfa-hiukkaset käyvät lähellä ydintä, josta ne

voivat siroata suuriinkin kulmiin

Suurin osa atomista on tyhjää - elektronit ympäröivät atomia

kaukana ytimestä.

(Jos elektronit tiivistyisivät ytimeen, meistä tulisi juuri ja juuri

mikroskoopilla havaittavia pisteitä.)

96

Rutherford johti kaavan eri kulmiin sironneiden alfa-hiukkasten

lukumäärälle (atomimallinsa mukaan):

)2/(sin)8()(

4222

0

42

K

i

Er

entZNN

Ni = detektorille tulevien elektronien kokonaismäärä

n = kalvossa olevien atomien lukumäärä tilavuusyksikössä

Z = atomin järjestysluku

r = näytekalvon etäisyys detektorista

EK = alfa-hiukkasten kineettinen energia

t = näytekalvon paksuus

Koska N(θ) on kääntäen verrannollinen sin4(θ/2), N(θ):n

kulmariippuvuus on huomattavaa.

Vain 0.14% hiukkasista siroaa suurempaan kuin 10 kulmaan.

96

Rutherfordin sironnan avulla voidaan määrittää ytimen koko

Lähimmäksi ydintä pääsevät ne alfa-hiukkaset, joilla on eniten

kineettistä energiaa, tulevat kohti ydintä ja siroavat 180o.

Etäisyydellä, jossa alfa-hiukkasen suunta muuttuu, hiukkasen

kineettinen energia on yhtä suuri kuin ytimen repulsioenergia

Eli lähin etäisyys ytimestä, johon alfa-hiukkanen voi päästä on

joka on siis arvio ytimen koolle.

97

R

ZeEE PK

2

0

2

4

1

Alfa-hiukkasen varaus 2e ja

ytimen Ze

KE

ZeR

0

2

4

2

97

98

ESIMERKKI 4.1

Nopeimpien radioaktiivista lähteistä saatavien alfa-hiukkasten

kineettinen energia on 7.7 MeV. Laske kullan (Z=79) ytimen koko, kun

Rutherfordin kokeessa käytetään näitä alfa-hiukkasia.

Atomissa on siis pieni, painava ydin, mutta miten sitten ne elektronit?

Planeettamallissa positiivista ydintä kiertää negatiiviset elektronit.

Elektronien liikkeestä aiheutuva keskipakoisvoima kumoaa ytimen

vetovoiman, jotta elektronit pysyvät radallaan.

Keskipakoisvoima = ytimen vetovoima

eli elektronin nopeus riippuu sen radan säteestä:

Elektronin energia on summa sen kineettisestä ja potentiaalienergiasta:

99

4.2. ELEKTRONIRADAT - PLANEETTAMALLI

2

2

0

2

4

1v

r

e

r

m

mr

e

04v

r

e

r

e

r

e

r

emE

0

2

0

2

0

2

0

22

84842

v

EKin EP

Tämä on

itseasiassa koko

vetyatomin

kokonaisenergia

(jutellaan tästä

myöhemmin lisää)

100

Kokeellisesti voidaan osoittaa, että tarvitaan 13.6 eV energiaa

erottamaan vetyatomin elektroni ja protoni toisistaan. Mikä on

elektronin nopeus ja radan säde vetyatomissa?

100

ESIMERKKI 4.2

101

Klassinen fysiikka:

Kiihtyvässä liikkeessä olevat varatut hiukkaset säteilevät

→ elektronien tulisi lähettää säteilyä ja menettää energiaansa

→ elektronien tulisi kulkea spiraalirataa kohti ydintä, jolloin

säteilyn tulisi olla jatkuvaa ja elektronien tulisi törmätä ytimeen

Kuitenkaan atomit eivät painu kasaan?!?

Klassisen fysiikan käyttökelpoisuus murenee kun lähestytään mikromaailmaa.

Rutherfordin malli on klassinen ja soveltuu melko hyvin koska alfa-hiukkasen ja raskaan ytimen vuorovaikutukselle pätee klassinen tarkastelu. Jos pienet partikkelit kohtaavat, Rutherfordin malli ei enää päde.

Bohrin atomimalli kombinoi klassista ja modernia fysiikkaa ja pääsee yli edellä olevista ongelmista.

101

102

4.3. BOHRIN ATOMIMALLI

Tarkastellaan Bohrin atomimallia lähtien de Broglie aalloista.

Kuvataan vety-ytimen ympärillä kiertävän elektronin aaltoluonnetta de

Broglie aallolla

m

r

e

h

e

mr

m

h

m

h 00 44

v

mr

e

04v

Jos lasketaan em. yhtälöstä aallonpituus vedyn (jonka säteen arvo

laskettiin jo aiemmin) elektronille, saadaan λ= 33 x 10-11m, joka on sama

kuin elektronin radan pituus.

Eli vedyllä elektronin radan pituus

vastaa yhtä täyttä de Broglie aaltoa.

Kun radan pituus = aallonpituuden

kokonaismonikerta, syntyy seisova

värähtely

102

103

Jos aallonpituus on osa

kehänpituudesta, eri vaiheessa

olevat aallot interferoivat

konstruktiivisesti ja värähtely

sammuu.

Sammunut aalto = ei

todennäköisyyttä

löytää elektronia

Bohrin mallin mukaan elektroni voi olla atomissa

vain radalla, jonka pituus vastaa de Broglien

aallonpituuden kokonaista monikertaa.

Tämä kuva atomista yhdistää elektronin nopeuden

sekä aaltoluonteen, mutta ei ole viimeinen kuva

atomista.

Elektronien sallitut radat:

n = kvanttiluku

Sijoitetaan tähän aallonpituus

...,3,2,12 nrn n

m

r

e

h 04

103

104

josta voidaan laskea elektronien sallittujen ratojen säteet

Kun n=1, saadaan ns. Bohrin säde a0 = r1=5.292x10-11m

Muut mahdolliset säteet voidaan laskea Bohrin säteen avulla

,...3,2,12

0

22

nme

hnrn

,...3,2,10

2 nanrn

104

...,3,2,124 0 nr

m

r

e

nhn

n

Elektronien sallitut radat:

105

ESIMERKKI 4.3

Laske elektronien radan säteet neljälle alimmalle vetyatomin energia

tilalle.

106

J. J. Thomson sai Nobelin fysiikan palkinnon

elektronin hiukkasluonteen löytämisestä 1906

J.J. Thomsonin poika George Paget Thomson sai

Nobelin fysiikan palkinnon elektronin

aaltoluonteen löytämisestä.

Kaiken kaikkiaan seitsemän J.J. Thomsonin tutkimusapulaista saivat

uransa aikana Nobelin palkinnon:

Charles Glover Barkla 1917 röntgenspektroskopiasta

Charles Thomson Rees Wilson 1927 sumukammiokeksintö (jolla

saadaan varattujen hiukkasten radat näkyviin

Ernest Rutherford 1908 kemian nobel aineiden

radioaktiivisuustutkimuksista

Francis William Aston 1922 kemian nobel massaspektroskopiasta

Owen Willans Richardson 1928 termisen emission tutkimus

William Henry Bragg 1915 kidetutkimuksesta

Max Born 1954 kvanttimekaniikan statistisesta käsittelystä 106

Pala historiaa:

107

Kappaleessa 4.2 määritettiin energia vedyn elektronille, joka kulkee r-

säteistä rataa pitkin

Jos sijoitetaan tähän kappaleessa 4.3 saatu radan lauseke, systeemin

kokonaisenergiaksi saadaan:

Energiat ovat negatiivisia kun elektroni on sidottuna atomiin. Energiat

antavat atomin ns. energiatasot eri kvanttiluvuilla n.

Elektroni voi olla vain jollakin näistä energiatasoista

– elektronilla ei voi olla mitään muita energioita silloin kun se on

sidottu vetyatomiin.

4.4. VETYATOMIN ENERGIATASOT

r

eE

0

2

8

...,3,2,1

...,3,2,1888

2

1

2

0

22

4

0

22

2

0

2

0

2

nn

EE

nhn

me

hn

mee

r

eE

n

n

n

107

108

Laske vetyatomin neljän alimman energiatason energiat.

ESIMERKKI 4.4

109

Perustila

Viritystilat

Vapaa elektroni

(ionisaatioraja)

Kaikkien atomien energiatasot ovat kvantittuneet – samaa

kvantittumista on kaikkialla mikromaailmassa. Makromaailmassa

energia on jatkuvaa.

110

Frankin ja Hertzin koe osoittaa, että atomilla on vain tiettyjä energiatiloja

Bohrin mallin mukaisesti.

Koejärjestely:

Elektroneja irtoaa termisesti

vastuslangasta.

Elektronit kiihdytetään

vastuslangan ja hilan välisellä

jännitteellä V.

Osa elektroneista läpäisee hilan ja

pääsevät sen takana olevalle

levylle, jos elektronien kineettinen

energia riittää vastakentän V0

voittamiseen.

Kun jännite V kasvaa, useammat elektronit pääsevät levylle ja myös

virta kasvaa.

Näytekaasua

110

4.5. FRANKIN JA HERTZIN KOE

111

Tietyllä jännitteen arvolla, virta yhtäkkiä

laskee rajusti.

Tämä jännite vastaa tilannetta, että

elektronin kineettinen energia riittää

virittämään näyteaineen atomin.

Seuraava pudotus virrassa tapahtuu, kun sama elektroni virittää jonkun

toisen näyteaineen atomin.

Saadaan kuvan mukainen jännite-virta-käyrä, josta voidaan määrittää

atomin viritysenergia.

Edellä on ajateltu, että ytimen massa on paljon suurempi kuin elektronin

massa. Kuitenkin ytimellä on äärellinen massa, joka aiheuttaa korjauksen

elektronin rataan.

Ydin ja elektroni liikkuvat massakeskipisteen ympäri, joka sijaitsee lähellä

raskaampaa ydintä.

Määritetään elektronin redusoitu massa:

112

Mm

mMm

'

Käytetään energian laskemisessa elektronin massan tilalta

redusoitua massaa:

2

1

2

0

22

4 '

8

'

n

E

m

m

hn

emEn

112

4.6. YTIMEN LIIKE

113

Vedylle mikä tarkoittaa, että vedyn energiatilat

ovat noin 0.055 % vähemmän negatiivisia.

Rydbergin vakion arvo 1.0973731 x 107 m-1 korjaantuu arvoksi

1.0967758 x 107 m-1

Deuterium (ytimessä protoni + neutroni) löydettiin, koska sen Hα viivan

aallonpituus on 656.1nm, kun se vedylle on 656.3nm.

99945.0'

mM

M

m

m

114

Positronium on systeemi, joka koostuu positronista ja elektronista, jotka

kiertävät toisiaan. Mitkä ovat positroniumin mahdolliset energiat? Mikä

on Rydbergin vakion arvo positroniumille? Entä mikä on positroniumin

ionisaatioenergia?

114

ESIMERKKI 4.5

Spektri: Spektri saadaan mittaamalla aineen emittoiman tai absorboiman

säteilyn intensiteetti aallonpituuden (tai taajuuden tai energian) funktiona.

Mustan kappaleen säteily on jatkuvaa, koska se on lähtöisin monista

atomeista (kollektiivinen käyttäytyminen). Kaasussa atomin säteilemä

energia on karakteristista eli ominaista atomilajille – tätä klassinen

fysiikka ei pystynyt selittämään.

Emissiospektri:

Johdetaan elektronivirta atomaarisen näytekaasun läpi. Törmäyksissä

atomit virittyvät korkeampiin energiatiloihin. Palatessaan takaisin

alempiin energiatiloihin, ne emittoivat sähkömagneettista säteilyä, jonka

energia on näyteaineelle ominainen.

115

4.7. ATOMIEN SPEKTRIT

Prisma hajottaa valosta eri

taajuudet/aallonpituudet

115

116

Kun elektroni atomissa putoaa ylemmältä viritetyltä tilalta alempaan

energiatilaan, energiatasojen välinen energiaero vapautuu fotonina.

Vetyatomille energiatasojen välinen energiaero:

Ei

Ef

fi EEhf

221

221

111

11

if

fi

fi

nnE

nnEEEhf

λ= c/f

1/ λ=f/c

116

117

Absorptiospektri:

Valkoinen valo kulkee näytekaasun läpi. Läpi tulleesta valosta puuttuu joitain aallonpituuksia. Nämä aallonpituudet pystyvät virittämään näyteatomin ja ne absorboituvat. Aallonpituudet ovat näyteaineelle ominaisia.

Spektrisarjat

Viime vuosisadan lopulla löydettiin kokeellisesti ensimmäiset spektrisarjat.

Kokeellisessa spektrissä huomattiin, että havaittavien viivojen väli lyhenee

ja intensiteetti pienenee kun energia kasvaa (eli aallonpituus pienenee).

Hα=656.3nm Hβ=486.3 nm Hγ

λ kasvaa → 117

118

Vetyatomin spektrisarjat:

Absorptio:

Perustilasta n=1 viritetään n=2,

3, 4, …

Emissio:

Palataan viritetystä tilasta

takaisin perustilaan tai mihin

tahansa tilaan n=2, 3, 4, …

118

119

Lymanin sarja:

Aallonpituudet ultraviolettialueella

R = Rydbergin vakio , vedylle 1.097·107 m-1

Balmerin sarja:

Aallonpituudet näkyvän valon alueella

n= 3 vastaa Hα, n=4 vastaa Hβ jne.

Paschenin sarja:

Aallonpituudet infrapuna-alueella

Brackettin sarja:

Aallonpituudet infrapuna-alueella

Pfundin sarja:

Aallonpituudet infrapuna-alueella

...,5,4,31

2

1122

n

nR

...,4,3,21

1

1122

n

nR

...,6,5,41

3

1122

n

nR

...,7,6,51

4

1122

n

nR

...,8,7,61

5

1122

n

nR

119

120

Mikä on vedyn Balmer-sarjan pisin aallonpituus (vastaa Hα viivaa)?

120

ESIMERKKI 4.6

121

Vetyatomissa elektronin radan säde on 0.0100 mm. Mikä on tilan

kvanttiluku? Mikä on silloin vetyatomin energia?

121

ESIMERKKI 4.7

122

Mitä suurempi kvanttiluku, sitä lähempänä kvanttifysiikka on

klassista fysiikkaa.

Tarkastellaan, miten vastaavuusperiaate toimii Bohrin atomimallin

tapauksessa.

Sähkömagneettisen teorian mukaan ympyrän muotoisella radalla

oleva elektroni säteilee sähkömagneettista säteilyä, jonka taajuus on

elektronin kiertotaajuus.

Lasketaan elektronin kiertotaajuus:

3

00 4242

1

2

v

taympärysmitradan

nopeusuuskiertotaaj

mr

e

mr

e

rr

Radan säde r on riippuvainen kvanttiluvusta n

,...3,2,12

0

22

nme

hnrn

122

4.8. VASTAAVUUSPERIAATE

Milloin sitten Bohrin atomi käyttäytyy klassisen fysiikan mukaisesti?

Bohrin mallin mukaan atomin kahden energiatason välinen ero on

Joten emittoituvan fotonin taajuus on:

Tarkastellaan, mitä tapahtuu kun n on hyvin suuri?

123

3

1

2

0

33

4

622

4

0

66

633

3

0

66

0

3

2

0

22

0

2

442

4242

fnh

E

hn

me

em

hn

e

em

hmn

e

me

hnm

en

Sijoitetaan taajuuden lausekkeeseen ja sievennetään:

=elektronin kiertotaajuus atomissa

123

22

1 11f

if nnh

E

123

221

11

fi

finn

EEEhf

124

Joka on täysin sama kuin klassinen kiertotaajuus kun p=1.

Pienillä n:n arvoilla taajuudet eroavat paljon, mutta suurilla n:n arvoilla

yhtälöt vastaavat toisiaan.

Kun n >> p 2np – p2≈ 2np ja (n-p)2 ≈ n2

22

2

1

22

1

)(

21

)(

1f

pnn

pnp

h

E

npnh

E

Merkitään ni=n ja nf= n-p, p=1, 2, 3, …

3

1

22

1 22f

n

p

h

E

nn

np

h

E

125

a) Mikä on kiertotaajuus elektroneille Bohrin radoilla n=1 ja n=2?

b) Mikä on fotonin taajuus, kun se emittoituu atomista elektronin

pudotessa n=2 radalta n=1 radalle?

c) Elektroni pysyy viritetyssä tilassa noin 10-8s ennen kuin se putoaa

takaisin alemmalle tilalle. Montako kierrosta elektroni kiertää ytimen

ympäri tässä ajassa?

125

ESIMERKKI 4.8

126

Atomien energiatasojen välisiä virityksiä voi tapahtua kolmella eri

tavalla:

1) Hiukkastörmäys Viritys tapahtuu kun toinen hiukkanen törmää atomiin ja

törmäävän hiukkasen kineettinen energia siirtyy virittyvään

atomiin.

Viritystila purkautuu fotonin emissiolla.

Esimerkkejä:

Mainosvalot

Elektronivirta johdetaan elektrodien

väliin, elektronit virittävät kaasu-

atomit, jotka purkautuessaan vapaut-

tavat säteilyä.

Neon: punainen

Elohopea: sinertävä

126

4.9. ATOMIEN VIRITYKSET - ESIMERKKEJÄ

127

© Jouni Jussila 2003

Revontulet:

Auringosta tulevat hiukkaset

virittävät ylempien ilmakerrosten

atomeja. Hiukkaset ohjautuvat

maapallon napa-alueille

magneettikentän vuoksi.

Viritystilojen purkautuessa syntyy

revontulet.

Vihreä väri: happi

Punainen väri: happi ja typpi

128

2) Fotoniviritys

Fotonivirityksessä atomi absorboi fotonin.

Fotonin koko energian pitää kulua viritykseen: siksi atomi absorboi

valkoisesta valosta (joka sisältää kaikkia aallonpituuksia) vain tietyt

aallonpituudet, jotka vastaavat täsmälleen kahden energiatason

erotusta

Atomi emittoi absorboituneen

energian fotoneina, jotka lähtevät

atomista eri suuntiin.

Esimerkkejä:

Atomi-, molekyyli- ja materiaalitutkimus

Laser (palataan tarkemmin kappaleessa 4.9)

129

3) Virittyminen lämpöenergian avulla

Lämmitettäessä atomeja/molekyylejä, lämpöenergia voi virittää ne

ylemmille energiatasoille.

Esimerkki: Ilotulitteet (ja liekkikokeet)

Väri Yhdiste

punainen litiumkarbonaatti Li2CO3

kirkkaan

punainen strontiumkarbonaatti SrCO3

oranssi kalsiumkloridi ja -sulfaatti CaCl2, CaSO4· nH2O, n = 0, 2,

3 tai 5

kulta rauta Fe (yhdessä hiilen kanssa)

keltainen natriumnitraatti NaNO3, kryoliitti, Na3AlF6

valkoinen

hehku

metallinen magnesium ja alumiini Mg, Al, bariumoksidi

BaO

vihreä bariumin suolat ja kloori, yhdessä kloorin vapauttajan

kanssa

siniset

sävyt

kupariasetoarseniitti Cu3As2O3 · Cu(C2H3O2)2 yhdessä

muiden kuparisuolojen ja kloorin vapauttajan kanssa

turkoosi kupari(I)kloridi, CuCl

hopeavälke Al, Ti, tai Mg jauheena tai hiutaleina

Purppura-

sävyt strontium- ja kupariyhdisteiden seos

Ilotulitteissa käytetään

metallisuoloja antamaan valoa

ja väriä sekä luomaan

kipinöintiä.

130

Laser tuottaa valoa, jolla on useita merkittäviä ominaisuuksia:

Valo on monokromaattista

Valo on koherenttia

Valo ei divergoi (eli valokimppu ei hajoa juuri ollenkaan pitkilläkään matkoilla)

Valo on hyvin intensiivistä

4.10. LASER

”Tavallinen” valo sisältää useita aallonpituuksia, jotka ovat

eri vaiheissa.

Monokromaattinen valo sisältää vain yhtä aallonpituutta,

mutta aallot voivat olla eri vaiheessa.

Monokromaattinen ja koherentti valo sisältää vain yhtä

aallonpituutta ja aallot ovat samassa vaiheessa.

131

Yleensä viritystilojen elinaika on

~ 10-8 s.

Metastabiileille tiloille elinaika on

~ 10-3 s.

Atomeissa voi tapahtua kahden energiatason välillä kolmenlaisia

siirtymiä, joissa on mukana fotoni.

1) Stimuloitu absorptio

Atomi siirtyy tilasta E0 tilaan E1 absorboidessaan fotonin

2) Spontaani emissio

Atomi siirtyy spontaanisti tilasta E1 tilaan E0 ja emittoi fotonin

3) Stimuloitu emissio

Toinen fotoni aiheuttaa atomin siirtymisen tilasta E1 tilaan E0 ja

saadaan kaksi saman aallonpituista ja samassa vaiheessa olevaa

fotonia. Jotta stimuloitu emissio on

mahdollinen, täytyy ylemmällä

energiatasolla olla suurempi

miehitys kuin alemmalla

energiatasolla = miehitysinversio

Atomeissa on viritystiloja, joilla on hyvin erilainen elinaika.

132

Kolmitasoinen laser

Tarvitaan atomi tai molekyyli, jossa on perustilan yläpuolella metastabiili

tila ja sen yläpuolella jokin toinen viritystila.

1) Pumpataan ulkoisella valolähteellä atomeja perustilasta korkeampaan

viritystilaan

2) Viritystila purkautuu metastabiiliin tilaan, johon saadaan

miehitysinversio (eli atomeista suuriosa on tässä perustilaa korkeammassa

energiatilassa)

3) Ulkoinen fotoni laukaisee stimuloidun emission

Jos tasoja olisi vain kaksi, optinen pumppaus aiheuttaisi myös

metastabiilin tilan purkautumista ja koskaan ei päästäisi tilanteeseen,

jossa suurin osa atomeista on ylemmällä energiatilalla.

132

133

Nelitasoinen laser

Nelitasoisessa systeemissä on –nimensä

mukaisesti - neljä energiatilaa.

Atomeja viritetään perustilalta tilalle E3, joka

purkautuu metastabiiliin tilaan E2.

Laser siirtymä tapahtuu metastabiilin tilan

sekä välitilan E1 välillä.

Koska välitila on lyhytikäinen (eli purkautuu

nopeasti takaisin perustilaan), on helppoa

saada metastabiilin tilan miehitys

suuremmaksi kuin välitilan, jolloin laserin

toiminta on mahdollinen.

133

134

Erilaisia lasereita

Rubiini-laser

Perustuu synteettisessä rubiinissa (Al2O3+ 0.05% Cr2O3 ) olevien Cr3+

ionien energiatiloihin

Optinen pumppaus tapahtuu Xe-purkauslampusta, jonka jälkeen

tapahtuu säteilemätön siirtymä metastabiiliin tilaan (energia menee

kidehilaan ja nostaa sen lämpötilaa)

Laser siirtymän aallonpituus on punaisen valon alueella 694.3 nm

134

135

He-Ne laser

Nelitasoinen laser

Perustuu helium- ja neon-kaasujen seokseen ”purkauslampussa”, johon

energia tuodaan sähköpurkauksen avulla.

He-atomit virittyvät törmäyksissä elektronien kanssa - neon atomit

törmäyksessään helium atomien kanssa.

Laservalon aallonpituus punaisen valon alueella 632.8 nm

135

136

5. KVANTTIMEKANIIKKAA

Bohrin atomimallista saimme jonkinlaisen kuvan atomin rakenteesta.

Kuitenkaan Bohrin atomimalli ei pysty selittämään kaikkia kokeellisia

havaintoja spektreistä:

Miksi osa spektrien viivoista on toisia voimakkaampia (miksi toiset

siirtymät ovat todennäköisempiä kuin toiset?)

Miksi monielektronisella atomilla on spektriviivoja, jotka

poikkeavat energiassa vain vähän toisistaan?

Miksi atomit voivat muodostaa sidoksia toisten atomien kanssa?

Tarve kehittää atomimallia synnytti kokonaan uuden tavan kuvata

fysiikkaa:

Syntyi kvanttimekaniikka

Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac, Eugene

Wigner

Albert Einstein

Max Planck Marie Curie

W.L. Bragg H.A. Lorentz

Paul Dirac

A.H. Compton

L.V. de Broglie Max Born

Niels Bohr

W. Heisenberg

W. Pauli

E. Schrödinger

1927 Solvay Conference on Quantum Mechanics

17/29 osallistujista oli saanut tai sai myöhemmin Nobelin palkinnon (Marie Curie 2 kertaa)

137

138

5.1. KVANTTIMEKANIIKKA

Klassisen fysiikan mukaan kappaleen tulevaisuus saadaan laskettua, kun

tiedetään sen paikka, liikemäärä ja siihen vaikuttavat voimat, jotka

kaikki voidaan määrittää.

Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta johtuen kvanttimekaniikassa ei ole

varmuutta tulevaisuudesta, koska alkutilaakaan ei voida määrittää

tarkasti.

Kvanttimekaniikka ennustaakin todennäköisyyksiä:

Esimerkiksi Bohrin atomimallin mukaista elektronin radan tarkkaa

sädettä ei voida määrittää kvanttimekaniikan avulla. Sen sijaan

saadaan määritettyä paikka, josta elektroni todennäköisimmin löytyy.

Klassinen mekaniikka on kvanttimekaniikan likiarvo.

Albert Einstein: "God does not play dice“

Niels Bohr: "Einstein, stop telling God what to do"

de Broglie aallon yhteydessä tutustuimme jo käsitteeseen aaltofunktio.

Palataanpa siihen vielä.

Kvanttimekaniikkaan liittyy aaltofunktion Ψ käsite. Aaltofunktio on

abstrakti – sillä ei ole fysikaalista vastinetta.

Aaltofunktion neliö |Ψ|2 kertoo todennäköisyyden hiukkasen paikalle

tiettynä ajanhetkenä.

Aaltofunktiosta voidaan määrittää myös hiukkasen liikemäärä,

kulmaliikemäärä ja energia.

Ongelmana on vain ratkaista hiukkasen aaltofunktio yhtälöstä, joka sisältää

tiedot hiukkaseen vaikuttavista voimista.

139

5.2. AALTOFUNKTIO

140

Aaltofunktiot ovat yleensä kompleksisia, sisältävät siis reaali- ja

imaginääriosat

Ψ=A + i B

Hiukkasen todennäköisyystiheys on verrannollinen aaltofunktion

neliöön Ψ*Ψ, jossa Ψ* on Ψ:n kompleksikonjugaatti:

Ψ*=A - i B

ja Ψ* Ψ =A2+B2

Eli todennäköisyystiheys on aina reaalinen ja positiivinen. Sen lisäksi

se on äärellinen (eli hiukkasen täytyy olla jossain).

1i

Jos

hiukkasta ei ole olemassa.

Jos hiukkanen on olemassa, todennäköisyys sen löytymiselle jostain = 1

02dV

12dV

Yleensä on järkevää merkitä todennäköisyystiheys P=Ψ*Ψ, josta seuraa,

että funktion Ψ on oltava normittuva eli täyttää normitusehto:

Fysikaalisesti hyvätapaisesti käyttäytyvä aaltofunktio (eli joka antaa

fysikaalisesti mielekkäitä ratkaisuja) on oltava:

Yksikäsitteinen

Jatkuva

Äärellinen

Derivoituva

Myös funktion derivaatan tulee olla yksikäsitteinen, jatkuva ja

äärellinen

1PdV

141

Normitetun todennäköisyystiheysfunktion avulla voidaan laskea

todennäköisyys hiukkasen löytymiselle väliltä [x1,x2] :

2

1

21

2x

x

xxdxP

Mitkä seuraavista aaltofunktioista ovat fysikaalisesti järkeviä?

142

ESIMERKKI 5.1

Normita aaltofunktio : 2

21

Ax

xe

143

ESIMERKKI 5.2

144

Aaltofunktio Ψ(x) saa x-akselilla seuraavat arvot:

Ψ(x)=Ae-ax x>0

Ψ(x)=Ae+ax x≤0

a) Normita aaltofunktio.

b) Laske todennäköisyys sille, että hiukkanen on välillä (1/a, 2/a)

ESIMERKKI 5.3

Schrödingerin yhtälö on aaltoyhtälö, jonka ratkaisu antaa aaltofunktion Ψ.

Tarkastellaan ensin yleistä aaltoyhtälöä, joka kuvaa y:n muuttumista

aallossa, joka etenee x-akselin suuntaan nopeudella v :

Värähtelevässä köydessä y on poikkeama x-akselista, ääniaallossa y on

paine-ero, valoaallossa y on sähkö- tai magneettikentän funktio.

Aaltoyhtälöllä on erilaisia ratkaisuja, mutta kaikki ratkaisut ovat muotoa

joista y=F(t-x/v) kuvaa +x-akselin suuntaan etenevää aaltoa ja y=F(t+x/v)

kuvaa –x-akselin suuntaan etenevää aaltoa.

145

2

2

22

2

v

1

t

y

x

y

v

xtFy

5.3. AALTOYHTÄLÖ

146

Tarkastellaan vapaata hiukkasta, joka etenee vakionopeudella

x-akselin suuntaan.

Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta mitään voimia.

Hiukkasta voidaan kuvata aaltoyhtälön yleisellä ratkaisulla:

sincos ie i

)(sinA)(cosAAvv

v/ xxxti titey

Osoita, että edellä oleva aaltofunktio

on aaltoyhtälön ratkaisu.

)(sinA)(cosAAvv

v/ xxxti titey

2

2

22

2

v

1

t

y

x

y

147

ESIMERKKI 5.4

Kvanttimekaaninen aaltofunktio Ψ vastaa aaltoyhtälössä muuttujaa y.

Aaltofunktio ei ole itsessään mitattavissa oleva suure ja voi siten olla

myös kompleksinen.

Vapaalla hiukkasella tarkoitetaan hiukkasta, johon ei vaikuta mitään

ulkopuolisia voimia.

Kun hiukkanen etenee +x-akselin suuntaan nopeudella v, sillä on

liikemäärä p ja energia E.

Hiukkasen aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon:

Yleensä hiukkaseen kuitenkin vaikuttaa ulkopuolisia voimia ts. sen liike

on rajattu johonkin tilaan. Esimerkiksi atomin ydin sitoo elektronin

atomiin.

pxEtixti eey )/(v/ AA

pp

hfhfEff

2 ja 2 sekä vja 2 Koska

148

5.4. AJASTA RIIPPUVA SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖ

149

On löydettävä differentiaaliyhtälö aaltofunktiolle Ψ, joka sisältää

hiukkasen liikettä rajoittavat ehdot. Tämä yhtälö on Schrödingerin yhtälö

(jonka ratkaisuna siis aaltofunktio Ψ saadaan).

Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen mekaniikan tuloksista,

mutta se voidaan johdatella vapaan hiukkasen aaltofunktiosta.

Johdatellaan ja tarkastellaan sitten tulosta.

Muodostetaan vapaan hiukkasen aaltofunktiosta osittaisderivaatat.

Ensin toinen osittaisderivaatta x:n suhteen:

Sitten ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:

2

222

)/(

2

2)/()/(

2

2

2

2

AAA

xp

ep

eip

xe

xx

pxEtipxEtipxEti

ti

EeiE

t

pxEti

)/(A

Jos hiukkasen nopeus on pieni suhteessa valon nopeuteen, sen

kokonaisenergia voidaan kirjoittaa muotoon:

Jossa ensimmäinen termi on hiukkasen liike-energia ja toinen termi

kuvaa, millaisessa potentiaalissa hiukkanen liikkuu.

Kerrotaan kokonaisenergia lauseke puolittain aaltofunktiolla Ψ

ja sijoitetaan lasketut osittaisderivaatat em. Yhtälöön ja saadaan ajasta

riippuva Schrödingerin yhtälö:

),(2

2

txUm

pE

),(2

2

txUm

pE

150

),(

2 2

22

txUxmt

i

),,,(

2 2

2

2

2

2

22

tzyxUzyxmt

i

(1-dim.)

(3-dim)

Kun tunnetaan hiukkasen liikettä rajoittava ulkoinen voima U, voidaan

Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saada hiukkasta kuvaava aaltofunktio Ψ.

Kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio Ψ, voidaan myös hiukkasen paikan

todennäköisyyttä kuvaava | Ψ|2 määrittää.

Edellä oleva sijoittaminen ei ole perusteltua, se on vain tehty.

Schrödingerin yhtälö ei ole johdettavissa, vaan se postuloidaan.

Ehtona on, että teorian ennustamat tulokset ovat yhtäpitäviä kokeellisten

tulosten kanssa. On huomattu, että Schrödingerin yhtälö kuvaa hyvin

tarkasti fysikaalisissa kokeissa saatuja tuloksia.

Edellä oleva yhtälö on käyttökelpoinen vain kun hiukkasen nopeus on pieni

ts. epärelativistiseen tilanteeseen.

151

Erwin Schrödinger 12.8.1887-4.1.1961

•Syntyi Itävallassa kasvitieteilijän ja kemian professorin

tyttären ainoaksi lapseksi.

•Alkeisopetus kotona ja 1898 wieniläiseen kouluun.

•Kerrotaan, että Erwin pystyi omaksumaan kaiken

fysiikan ja matematiikan suoraan tunneilla – ilman

läksyjä tai kertausta.

•Opiskeli fysiikkaa Wienissä, väitteli tohtoriksi 1910

sähkönjohtavuutta käsitelleellä väitöstutkimuksella.

•Osallistui ensimmäiseen maailmansotaan, jonka aikanakin teki tutkimusta

•Tutkimusaiheita ennen 1920-lukua olivat mm. värinäöstä,

radioaktiivisuudesta, hilarakenteen dynamiikasta ja kiinteän aineen

fysiikasta.

•Professorina eri puolilla Saksaa, julkaisi yhtälönsä 1926

•Siirtyi Albert Einsteinin kollegaksi Berliinin yliopistoon 1927 ja pois

Saksasta Oxfordiin v. 1933 kansallissosialistien noustua valtaan

•Ihmissuhteet sellaisia, että ”Kauniit ja rohkeat”-kin jää varjoon

• Sai Nobelin fysiikan palkinnon 1933 Schrödingerin yhtälöstä

•Useiden Euroopan maiden jälkeen sijoittui Dubliniin 1939, jossa toimi

eläkkeelle jäämiseen saakka

•Kuoli tuberkuloosiin vuonna 1961 152

Schrödingerin yhtälö on lineaarinen Ψ:n suhteen:

Jos Ψ1 ja Ψ2 ovat yhtälön ratkaisuja, myös niiden lineaarikombinaatio

Ψ= a Ψ1+b Ψ2

on ratkaisu, kun a ja b ovat vakioita.

Eli myös aaltofunktiot voivat interferoida (kuten ääniaallot, valo,

sähkömagneettiset aallot).

153

5.5. LINEAARISUUS JA SUPERPOSITIO

154

Osoita, että

Ψ=a1Ψ1(x,t) +a2Ψ2(x,t)

on Schrödingerin yhtälön ratkaisu, jos Ψ1(x,t) ja Ψ2(x,t) ovat

sen ratkaisuja.

ESIMERKKI 5.5

Kun hiukkaseen liittyvä aaltofunktio tunnetaan, hiukkaseen liittyvät

suureet voidaan laskea odotusarvoina.

Tarkastellaan hiukkasen paikan odotusarvoa. Odotusarvo saadaan

laskemalla keskiarvo hiukkasten, joilla on sama aaltofunktio, paikasta.

Hiukkasista N1 kappaletta on pisteessä x1, N2 kappaletta on pisteessä

x2, N3 kappaletta on pisteessä x3, jne

Hiukkasen keskimääräinen paikka on jakauman massakeskipiste

Yhden hiukkasen tapauksessa Ni korvataan todennäköisyystiheydellä Pi että

hiukkanen löytyy väliltä dx.

Sijoitetaan tämä edellä olevaan yhtälöön ja muutetaan summaukset

integraaliksi saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi

i

ii

N

xN

NNN

xNxNxNx

...

...

321

332211

dxP ii

2

155

5.6. ODOTUSARVOT

156

dxx

dx

dxx

x2

2

2

Yhtälö kertoo, että paikan odotusarvo <x> löytyy |Ψ|2:n

massakeskipisteestä.

saadaan hiukkasen paikan odotusarvoksi

Hiukkasta kuvaa aaltofunktio Ψ=ax välillä 0 ≤ x ≤ 1. Aaltofunktio Ψ=0

alueen ulkopuolella.

a) Mikä on todennäköisyys, että hiukkanen löytyy väliltä 0.45 ≤ x ≤ 0.55?

b) Mikä on hiukkasen paikan odotusarvo?

157

ESIMERKKI 5.6

Yleisesti paikasta x riippuvan funktion G(x) odotusarvo voidaan laskea

yhtälöstä

Liikemäärän p odotusarvoa ei voida laskea tällä tavalla johtuen

epätarkkuusperiaatteesta. Sama ongelma on energian odotusarvon kanssa.

dxxGxG2

)()(

158

Liikemäärän ja energian operaattorit

Aiemmin esitettiin miten odotusarvot saadaan x:lle ja siitä riippuvalle

funktiolle.

Liikemäärän ja energian odotusarvoja ei voi laskea samalla tavalla, koska

integroinnin suorittamiseksi p ja E pitäisi ilmoittaa x:n ja t:n funktioina.

Epätarkkuusperiaatteesta johtuen

Koska liikemäärää ja energiaa ei voida määrittää tarkasti, niiden

ilmoittaminen x:n ja t:n avulla ei ole mahdollista.

Täytyy löytää jokin muu keino.

dxxx2

dxxGxG2

)()(

22

tExp

159

5.7. OPERAATTORIT JA ODOTUSARVOT

Kun vapaan hiukkasen aaltofunktio derivoitiin paikan ja ajan suhteen,

saatiin (kts. Esimerkki 5.4)

Eli tietyllä tapaa liikemäärää p vastaa differentiaalinen operaattori

ja energiaa

Operaattorit kertovat, mitä tulee tehdä funktiolle, joka seuraa operaattoria.

Dynaamisia muuttujia p ja E vastaavat operaattorit pätevät yleisesti.

Tarkastellaan kokonaisenergian lauseketta E=EKin+U. Korvataan lauseke

operaattoriesityksellä:

.

tiEE

i

t

xipp

i

x

tiE

ˆ

xip

ˆ

160 UEE Kinˆˆˆ

161

Koska

Saadaan kokonaisenergian lauseke muotoon:

Aiemmin tässä kappaleessa määritettiin joten yhdistämällä

energiaoperaattorin lausekkeet saadaan:

Kertomalla puolittain aaltofunktiolla Ψ (tai paremminkin operoimalla

puolittain aaltofunktioon Ψ) saadaan Schrödingerin yhtälö:

2

2222

22

1

2

ˆˆxmximm

pEKin

Uxm

E

2

22

2ˆ

,ˆt

iE

Uxmt

i

2

22

2

tiU

xm

2

22

2

Toisin sanoen postuloimalla liikemäärän ja energian operaattorit, tullaan

samalla postuloineeksi Schrödingerin yhtälö.

Operaattorit ja odotusarvot

Koska p ja E voidaan korvata vastaavilla operaattoreilla, niiden

odotusarvot voidaan laskea käyttäen operaattoriesityksiä:

dxt

idxt

idxEE

dxxi

dxxi

dxpp

***

***

ˆ

ˆ

Huom!

Laskujärjestys

tärkeä!

162

Jokainen fysikaalisesti havaittavissa oleva suure voidaan korvata

vastaavalla kvanttimekaanisella operaattorilla. Suureen odotusarvo

saadaan laskemalla:

Eli kun tunnetaan hiukkasen aaltofunktio, kaikki hiukkaseen

liittyvät suureet voidaan laskea.

dxGxpG ˆ),( *

Laske hiukkasen kineettisen energian odotusarvo tilassa, jota esittää

aaltofunktio: 2/2

)( xCex

163

ESIMERKKI 5.7

Osoita, että i

xppx

164

ESIMERKKI 5.8

165

5.8. OPERAATTORIN OMINAISFUNKTIO JA OMINAISARVO

Muuttujan G kvantittuneet arvot saadaan ratkaisemalla niin sanottu

ominaisarvoyhtälö

Siis jos muuttuja G korvataan sitä vastaavalla operaattorilla,

niin mittausten sille antamat arvot ovat ominaisarvoyhtälön

ratkaisut Gn.

nnn GG ˆ

166

ESIMERKKI 5.9

Operaattorin d2/dx2 ominaisfunktio on

Mikä on vastaava ominaisarvo?

xex 2)(

Mikäli potentiaalienergia ei riipu ajasta (eli se on vain paikasta riippuva),

aaltofunktio voidaan kirjoittaa tulona

Sijoitetaan tulofunktio ajasta riippuvaan Schrödingerin yhtälöön ja saadaan

jaetaan eksponenttifunktiot pois ja saadaan ajasta riippumaton

Schrödingerin yhtälö

tiExiptiEpxEti eeee )/(/)/()/( AA

Ajasta

riippuva osa

Paikasta

riippuva osa

0)()(2)(

22

2

xUE

m

x

x

tiEtiEtiE eUx

em

eE )/(

2

2)/(

2)/(

2

0)()(2)()()(

22

2

2

2

2

2

xUE

m

z

z

y

y

x

x

(1-dim.)

(3-dim.) 167

5.9. SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖN AIKARIIPPUVUUDEN

EROTTAMINEN

Hiukkasen kokonaisenergiaa vastaavaa operaattoria

sanotaan Hamiltonin operaattoriksi.

Hamiltonin operaattori vastaa klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiota,

joka on kokonaisenergian lauseke paikkakoordinaattien ja liikemäärän

avulla.

Operoimalla Hamiltonin operaattorilla Ψ:hin, saadaan Schrödingerin yhtälö

Hiukkasen sallitut energia-arvot ovat Hamiltonin operaattorin

ominaisyhtälön ominaisarvoja.

Uxm

H

2

22

2ˆ

nnn EH ˆ

168

Eli jokaista hiukkaselle mahdollista energiaa vastaa oma aaltofunktio, joka on

Schrödingerin yhtälön ratkaisu.

Jos hiukkasen liikettä rajoitetaan rajaamalla se tiettyyn tilaan, hiukkasen

energia on kvantittunut.

Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktiot ovat Hamiltonin operaattorin

ominaisfunktioita ja energia-arvot ovat näiden funktioiden ominaisarvot.

Hiukkaseen liittyvä muuttuja voi olla myös kvantittumaton. Mittaus antaa

tällöin jakauman arvoja, joiden keskiarvo on odotusarvo:

Esimerkiksi vedyllä energia sekä kokonaiskulmaliikemäärä ovat

kvantittuneita suureita, mutta elektronin paikka ei.

dxGG2

169

eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin

Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin

työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista taustaa. Kuitenkin

yksinkertaisiin tilanteisiin riittää vähempi matematiikka.

Hiukkanen potentiaalikuopassa on yksi helpoista esimerkeistä.

L 0

KU

Oletuksia:

Kuopassa on äärettömän vahvat seinät.

Hiukkanen voi liikkua välillä 0 < x < L

Hiukkanen ei menetä energiaa törmätessään

laatikon seiniin

Hiukkasen potentiaalienergia on vakio

laatikon sisällä, helppouden vuoksi voidaan

valita se nollaksi.

Koska hiukkasella ei voi olla ääretöntä energiaa, se ei voi olla laatikon

ulkopuolella. Toisin sanoen

L xja 0kun x 0

170

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

171

Tarkoitus on nyt määrittää hiukkasen aaltofunktio kuopan sisällä eli kun

Lx 0

Ääretön reunaiseen potentiaalikuoppaan rajatun hiukkasen Schrödingerin

yhtälö saadaan sijoittamalla Schrödingerin yhtälöön

0)()(2)(

22

2

xUE

m

x

x

potentiaali U=0. Differentiaaliyhtälön

ratkaisut ovat muotoa

0)(2)(

22

2

xE

m

x

x

xmE

BxmE

A

2cos

2sin

(voidaan todistaa sijoittamalla aaltofunktio Schrödingerin yhtälöön).

A ja B ovat vakioita, jotka voidaan määrittää reunaehdoista.

Reunaehdoista Ψ(0)=0 seuraa, että B=0, koska cos 0=1 (eli yhtälön

toinen osa ei voi kuvata hiukkasta)

Reunaehdosta Ψ(L)=0 saadaan

Ehto johtaa siis energian kvantittumiseen eli energia voi saada vain

tiettyjä arvoja.

Ratkaisemalla edellä olevasta E, saadaan

Sijoittamalla energia sekä B=0 aaltofunktion lausekkeeseen, saadaan

sallitut ratkaisut hiukkasen aaltofunktiolle:

Funktio täyttää aaltofunktiolle asetetut ehdot eli se on jatkuva,

derivoituva, äärellinen, yksikäsitteinen, samoin kuin sen derivaatat.

... 3,2,1,n ,2

02

sin nLmE

LmE

A

... 3, 2, 1,n ,0sin n

172

,...3,2,1,2 2

222

nmL

nEn

...,3,2,1sin2

sinA nL

xnAx

mEn

n

Aaltofunktio Ψn on siis ominaisfunktio, jota vastaa ominaisarvo En.

Määritetään vielä funktion normitusvakio A eli haetaan A:lle sellainen

arvo, että

12dxn

173

174

ESIMERKKI 5.10

Normita äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan hiukkasen

aaltofunktio.

Eli normitusehdosta saadaan normitusvakioksi

joten hiukkasen normitetut aaltofunktiot saavat muodon

(sijoitetaan A aiempaan yhtälöön):

LA

2

,...3,2,1,sinL

2 n

L

xnn

Aaltofunktio voi saada sekä negatiivisia että positiivisia

arvoja.

Aaltofunktion neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä ja saa

vain positiivisia arvoja.

Aaltofunktiot saavat arvon 0 rajoilla x=0 ja x=L.

Todennäköisyystiheydet hyvin erilaisia aaltofunktiosta

riippuen:

L/2 kohdassa minimi

L/2 kohdassa maksimi

2

2

2

1

Hiukkanen, jolla vähiten energiaa

sijaitsee todennäköisimmin laatikon

keskellä, kun taas hiukkanen, joka on

toiseksi alimmassa energiatilassa ei

ole koskaan siinä.

175

Hiukkanen on äärettömän syvässä potentiaalikuopassa, jonka leveys on L.

Mikä on todennäköisyys löytää hiukkanen väliltä 0.45L<x<0.55L hiukkasen

ollessa perustilassa? Entä jos hiukkanen on ensimmäisellä viritystilalla?

176

ESIMERKKI 5.11

a) Osoita, että , missä A ja B ovat vakioita, on Schrödingerin

yhtälön ratkaisu äärettömän syvässä potentiaalikuopassa olevan

hiukkasen energiatasolle E=0.

b) Osoita, että todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla on tämä

aaltofunktio, on nolla.

BA x

177

ESIMERKKI 5.12

Mikä on hiukkasen paikan x odotusarvo hiukkaselle äärettömän syvässä

potentiaalikuopassa?

178

ESIMERKKI 5.13

Todellisuudessa ei ole olemassa äärettömän kova- ja korkeareunaisia

potentiaalikuoppia kuten kappaleen 5.10. tarkastelussa.

Klassisesti hiukkanen ei pääse alueille I ja III, koska sen energia ei riitä

ylittämään potentiaalivallia.

Kvanttimekaanisesti hiukkasella on todennäköisyys tunkeutua klassisesti

kielletyille alueille x<0 ja x>L.

Määritetään hiukkasen Schrödingerin yhtälöt alueissa I – III.

Alueilla I ja III:

Sen sijaan on kyllä äärellisiä

potentiaalikuoppia.

Hiukkasen energia E < vallin korkeus U.

Energy U

I III E

+x -x L 0

0)()(2)(

22

2

xUE

m

x

x

179

5.11. ÄÄRELLINEN POTENTIAALIKUOPPA

Merkitään

ja saadaan Schrödingerin yhtälö muotoon:

Jonka ratkaisut ovat muotoa:

Määritetään vakioiden A, B, C ja D arvot reunaehdoista.

Aaltofunktioiden ΨI ja ΨIII on oltava äärellisiä, joten

ΨI:ssä B=0, koska muuten funktio

ei lähesty nollaa kun

Vastaavasti ΨIII:ssä C=0, koska muuten funktio

ei lähesty nollaa kun 180

axax

III

axax

I

DeCex

BeAex

)(

)(A, B, C ja D ovat vakioita.

,0)()( 2

2

2

xa

x

x

)(2 EUma

axax

I BeAex )(

x

axax

III DeCex )(

x

Sallittuja ovat vain rajoilla eksponentiaalisesti vaimenevat funktiot:

Alueella II hiukkasen Schrödingerin yhtälö on sama kuin aiemmin

(hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa-probleema) ja sen

ratkaisut ovat

Rajapinnoissa x=0 ja x=L aaltofunktioiden tulee saada sama arvo ts.

ja sekä sini- että kosini-osat aaltofunktiosta ovat mahdollisia.

Myös aaltofunktioiden derivaattojen tulee olla jatkuvat rajakohdissa.

Näistä rajoituksista seuraa energian kvantittuminen.

Emme ratkaise aaltofunktiota tässä tämän tarkemmin. Tarkastellaan

kuitenkin ratkaisufunktioiden kuvaajia.

ax

III

ax

I

Dex

Aex

)(

)(

xmE

FxmE

II

2cos

2sinE

)()( ja )0()0( LL IIIIIIII

181

Kuvat esittävät aaltofunktiot (yläkuva) sekä

todennäköisyystiheydet (alakuva).

182

Verrattuna äärettömän

syvään potentiaali-

kuoppaan, huomataan,

että aallonpituus kasvaa

eli energiatilojen väli

pienenee.

Ts. hiukkasen

energiatasot siirtyvät

alemmaksi ja

tiheämmiksi.

Hiukkanen liikkuu pitkin x-akselia potentiaalissa

Määritä a ja b siten, että aaltofunktio

missä N on normitustekijä, on Schrödingerin yhtälön ratkaisu.

Määritä myös hiukkasen energia.

0kun x ,x

bxa0 ,

)(2

xxU

,0 x,

0 ,0)(

2

xeNx

xx

183

ESIMERKKI 5.14

184

185

ESIMERKKI 5.15

Hiukkanen, jonka energia E> 0 liikkuu x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Hiukkanen törmää kohdassa x=0 potentiaalivalliin, jonka korkeus on V0.

Määritä heijastumiskerroin (eli kuinka suuri osa aineaallon

intensiteetistä heijastuu vallin reunasta takaisin päin).

Jos hiukkanen törmää potentiaali-

valliin, sillä on tietty todennäköisyys

läpäistä se tunneloitumalla, vaikka

sen energia E ei riitä vallin U

ylittämiseen.

Mitä korkeampi ja leveämpi valli, sitä

pienempi todennäköisyys

luonnollisesti on.

Edellä tarkastellussa tilanteessa hiukkanen oli äärellisen syvässä

kuopassa, jonka seinämät olivat äärettömän paksuja, jolloin hiukkasen

aaltofunktio sammuu.

Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa potentiaalivalli onkin

äärellisen korkeuden lisäksi myös äärellisen leveä.

186

5.12. TUNNELI-ILMIÖ

Tarkastellaan hiukkassuihkua, jonka energia on E.

Vallin korkeus on U ja leveys L.

Vallin kummallakaan puolella hiukkaseen ei vaikuta voimia ts.

alueilla I ja III U=0.

0)(2)(

:III Alue

0)()(2)(

:II Alue

0)(2)(

:I Alue

22

2

22

2

22

2

xEm

x

x

xUEm

x

x

xEm

x

x

IIIIII

IIII

II

ΨI+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin

suuntaan.

ΨI- kuvaa hiukkasta, joka heijastuu

potentiaalivallista.

ΨII kuvaa hiukkasta vallin sisällä.

ΨIII+ kuvaa hiukkasta, joka liikkuu +x akselin

suuntaan ja on tullut vallista läpi.

187

Hiukkasen Schrödingerin yhtälöt eri

alueilla ovat muotoa:

188

Kirjan kappaleen 5 liitteessä on johdettu tunneloitumisen

todennäköisyys hiukkaselle (ei käydä sitä tässä läpi) ja se on noin

missä

LkeT 22

)(22

EUmk

Elektronit, joiden energiat ovat 1.0 eV ja 2.0 eV, törmäävät

potentiaalivalliin, jonka korkeus on 10.0 eV ja leveys 0.50 nm.

a) Mikä on elektronien todennäköisyys tunneloitua vallin läpi?

b) Miten todennäköisyyden käy, jos vallin leveys on kaksinkertainen?

189

ESIMERKKI 5.16

190

Luonnossa tunneli-ilmiötä havaitaan esim. alfa-

hajoamisessa, jossa alfahiukkanen, jonka

kineettinen energia on vain muutamia MeV:tä

pystyy irrottautumaan ytimestä, jonka

muodostama potentiaali on n. 25 MeV:n luokkaa.

Tunnelointimikroskooppi (scanning tunneling microscope)

Näytepinnan yli liikutetaan teräväkärkistä wolfram-neulaa.

Tunneli-ilmiö aiheuttaa virran, kun neulan ja näytteen välillä

on pieni jännite.

Virta pienenee, jos neula etääntyy pinnasta, koska potentiaali-

vallin leveys kasvaa.

Pitämällä tunneloitumisvirta vakiona on neulan seurattava

pintaa, eli saadaan kuvattua pinnan muoto.

Rauta-atomeja

kupari pinnalla.

Mustan aukon purkautuminen (Stephen Hawking)

191

Mustat aukot säteilevät hiukkasia, jotka

tunneloituvat gravitaatiosta aiheutuvan

potentiaalivallin läpi.

Vallin leveys on verrannollinen mustan

aukon kokoon – tunneloitumis-

todennäköisyys on pieni, mutta se

kasvaa kun musta aukko emittoi

hiukkasia:

Musta aukko emittoi itsensä

olemattomaksi

Auringon massaisen mustan aukon

häviäminen tunneloitumalla kestää noin

1066 vuotta.

192

(= Harmoninen värähtelijä)

Harmoninen oskillaattori on systeemi, joka värähtelee tasapainoasemansa

ympärillä.

Harmonisessa oskillaattorissa hiukkaseen vaikuttaa voima, joka pyrkii

palauttamaan sen tasapainoasemaan, jos se on siitä poikennut.

Kun hiukkanen ylittää tasapainoaseman, voima alkaa vetää sitä

toiseen suuntaan → hiukkanen värähtelee tasapainoaseman yli

edestakaisin (jos energiaa ei kulu).

Makromaailman esimerkki: jousen päässä oleva paino

Mikromaailman esimerkki: atomit molekyylissä, atomit kidehilassa

Yksinkertaisessa harmonisessa värähtelijässä, hiukkaseen vaikuttava

voima on lineaarinen ja sen suuruus riippuu etäisyydestä

tasapainoasemaan:

F = - kx

k= värähtelijän jäykkyysparametri (esim. jousivakio)

Voiman suunta on aina kohti tasapainoasemaa

5.13. HARMONINEN OSKILLAATTORI

193

02

2

2

2

xm

k

dt

xd

dt

xdmkx

Newtonin II laki F=ma , josta saadaan harmonisen oskillaatorin

liikeyhtälö:

Edellä olevan liikeyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa

missä x=hiukkasen poikkeama tasapainoasemasta

A=värähtelyn amplitudi

φ= on värähtelyn vaihe, joka riippuu siitä, missä

kohtaa x on ajanhetkellä t=0

),2cos(A ftx

m

k

2

1 taajuusvärähtelynf

Kaikkia värähdysilmiötä, joissa värähtelyn amplitudi on suhteellisen

pieni, voidaan ensimmäisessä approksimaatiossa kuvata hyvin

harmonisen oskillaattorin avulla.

194

Harmonista voimaa vastaava potentiaalienergian funktio U(x) saadaan

laskemalla työ, joka tarvitaan, kun hiukkanen liikkuu x=0 pisteestä

pisteeseen x=x harmonista voimaa vastaan:

2

0002

1)()()( kxdxxkdxkxdxxFxU

xxx

Harmonisen oskillaattorin

potentiaalienergiakäyrä

Jos oskillaattorin energia on E, hiukkanen

värähtelee -A:n ja +A:n välillä ja

2A

2

1kE

195

Klassisesti kaikki oskillaattorin energiatilat ovat sallittuja.

Kvanttimekaanisesti:

1) Vain tietyt energiatilat ovat mahdollisia (diskreetit

energiatasot)

2) Alin mahdollinen energiatila E0≠0

3) Todennäköisyys sille, että hiukkanen tunkeutuu reunojen

–A ja/tai +A ulkopuolelle ≠0

Määritetään harmonisen oskillaattorin mahdolliset energiatasot:

Muodostetaan ensin Schrödingerin yhtälö:

(sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön potentiaalienergia

U= –(1/2) kx2)

Merkitään

ja

0)(2 2

21

22

2

kxE

m

x

hf

E

k

m

mfkmy

22E

x 2

x1

2/1

196

Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktioiden on täytettävä reunaehdot Ψ→0

kun y →∞, jotta funktio olisi normittuva.

Tälle yhtälölle löytyy fysikaalisesti hyväntapaisesti käyttäytyviä ratkaisuja

vain, kun

joten värähtelijän energia on kvantittunut :

...,2,1,0,122

nnf

E

0)( 2

2

2

y

y

jolloin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon:

...,2,1,0,2

1

nhfnEn

m

k

2

1f

197

Energiat sijaitsevat tasavälein ja matalin energia on

Matalinta energiaa kutsutaan nollapiste-energiaksi

hfE2

10

Jokaista energia-arvoa vastaa eri aaltofunktio Ψn.

Jokainen aaltofunktio sisältää Hermiten polynomeja, eksponenttifunktion

ja normituskertoimen:

2/2/14/1

2

)(!22 y

n

n

n eyHnmf

n Hn(y) αn En

0 1 1 (1/2)hf

1 2y 3 (3/2)hf

2 4y2-2 5 (5/2)hf

3 8y3-12y 7 (7/2)hf

4 16y4-48y2+12 9 (9/2)hf

5 32y5-160y3+120y 11 (11/2)hf

198

Harmonisen oskillaattorin viiden ensimmäisen aaltofunktion kuvat:

Kuten äärellisen potentiaalikuopan

tapauksessa, hiukkanen voi

tunkeutua klassisesti ajatellen

kielletylle alueelle (eli rajojen -A ja

+ A ulkopuolelle), jossa aaltofunktio

vaimenee eksponentiaalisesti.

199

ESIMERKKI 5.17

Määritä odotusarvot <x> kahdelle alimmalle harmonisen oskillaattorin

tilalle.

200

ESIMERKKI 5.18 Osoita, että harmonisen oskillaattorin alimman tilan aaltofunktio

toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja määritä sitä vastaava energia-arvo.

201

Verrataan vielä klassista ja

kvanttimekaniikkaa:

Kuvat esittävät klassista ja kvantti-

mekaanista todennäköisyystiheyttä

harmoniselle oskillaattorille.

Kun n=0, todennäköisyystiheydet

ovat täysin vastakkaisia

– klassisesti hiukkanen on toden-

näköisimmin käännepisteessä, missä

nopeus on pienin

-kvanttimekaanisesti hiukkanen on

todennäköisimmin pisteessä x=0

Kun n=10, todennäköisyystiheydet

lähestyvät toisiaan (aaltofunktion

rajojen –A ja +A ulkopuolella oleva

”häntä” pienenee ja reunojen

todennäköisyys kasvaa)

Vastaavuusperiaate!

202

Koottuna vielä erilaisten systeemien

potentiaalienergiakäyriä ja energioita:

Vetyatomi: energia on verrannollinen -1/n2

Hiukkanen laatikossa: energia on

verrannollinen n2

Harmoninen oskillaattori: energia on

verrannollinen n+1/2

elektronien irrottamiseen atomista tarvitaan paljon pienempiä voimia

(muutamia eV) kuin ytimen hajottamiseen (MeV luokkaa)

Vetyatomin ydin koostuu vain yhdestä protonista, varaus +e

Kaikkien muiden alkuaineiden ytimissä sekä protoneja että

neutroneja

Neutroni on sähköisesti neutraali, sen massa on vähän suurempi kuin

protonin massa

Nukleoni = yhteisnimitys protonille ja neutronille

Atomiluku = atomin järjestysluku = protonien määrä atomin ytimessä

Isotooppi = saman alkuaineen atomeja, joiden ytimissä eri määrä

neutroneja

Nuklidi = atomiydinlaji, jossa tietty määrä protoneja ja neutroneja 203

6 YDINFYSIIKKAA

Atomin elektronirakenne tunnettiin paljon ennen ytimen

rakenteen tuntemista:

6.1 YTIMEN RAKENTEESTA

204

XA

Z

X= alkuaineen kemiallinen merkki

Z= protonien lukumäärä, atomiluku

A= nukleonien lukumäärä = protonit + neutronit

vety deuterium tritium

Esimerkkejä

Vedyn isotoopit:

Cl

Cl

37

17

35

17Kloorin kaksi isotooppia (18 tai 20 neutronia).

Yleensä atomiluku jätetään merkinnästä pois, koska

kemiallinen merkki kertoo alkuaineen.

ClCl, 3735

Atomimassa = koko atomin massa, ydin + elektronit

Atomimassayksikkö = 1 u = 1/12 hiilen 12C massasta = 1.66054x10-27kg

(atomimassayksikköä vastaava energia 931.49 MeV)

Esimerkkejä atomimassoista:

Protoni 1.6726x10-27 kg = 1.007276 u

Neutroni 1.6750 x10-27 kg = 1.008665 u

Elektroni 9.1095x10-31 kg = 5.486x10-4 u

Vetyatomi 1.6736x10-27 kg = 1.007825 u

205

Atomi-

luku

Protonien

määrä

Neutronien

määrä

Massa-

luku

Suhteellinen

osuus

Vety 1 1 0 1 99.985

Deuterium 1 1 1 2 0.015

Tritium 1 1 2 3 Hyvin pieni

Kloori 17 17 18 35 75.53

Kloori 17 17 20 37 24.27

Eri isotooppeja esiintyy eri määrä luonnossa.

Keskimääräinen atomimassa lasketaan alkuaineen isotooppien

esiintyvyyden mukaan (painotettu keskiarvo).

Eri isotoopeilla lähes identtinen elektronirakenne, joten ne:

reagoivat ympäristöön samalla tavalla

sulamis- ja kiehumispisteet poikkeavat vain hieman toisistaan

Isotooppien muut fysikaaliset ominaisuudet voivat poiketa paljonkin

toisistaan (esim. radioaktiivisuus)

206

Ytimen säde Ytimen kokoa voidaan mitata pommittamalla atomeita hiukkasilla

(ensimmäinen oli Rutherfordin koe):

Elektronien avulla saadaan selville ytimen varauksen

jakautumista (sähköinen vuorovaikutus ytimen kanssa)

Neutronien avulla saadaan selville ytimen materiaalin

jakautumista (vuorovaikutus erityisten ydinvoimien välityksellä)

Molemmissa tilanteissa hiukkasen de Broglie aallon pituus tulee

olla pienempi kuin ytimen säde ts. tarvitaan hyvin nopeat

pommittavat hiukkaset

Ytimen tilavuus on suoraan verrannollinen siinä olevien

nukleonien määrään (eli massalukuun A).

207

6.2. YTIMEN OMINAISUUKSIA

208

Toisaalta tilavuus V riippuu ytimen säteestä R3, joten

R=R0A1/3, missä R0≈ 1,2x10-15m

(efektiivinen ytimen säde, ytimen varauksen ja materiaalin

jakautuminen poikkeavat hieman toisistaan)

Ytimen tiheys

Ytimen massa on noin A u ja ytimen tilavuus on noin

Joten ytimen tiheys on suurin piirtein sama kaikille alkuaineille:

3

4V

3R

3

0

3

0 4

3

A4

A3

R

u

R

u

V

m

3

A4

3

4V

3

0

3 RR

Laske 12C ytimen tiheys.

209

ESIMERKKI 6.1

210

Puisen pöytälevyn paino on 50 kg. Jos levyn atomit luhistuisivat kasaan,

mikä olisi levyn tilavuus? Vertaa tätä tilavuutta levyn todelliseen

tilavuuteen, jos puun tiheys on 0.95g/cm3.

ESIMERKKI 6.2

Ytimen magneettiset ominaisuudet

Ytimen magneettinen momentti ilmaistaan ydinmagnetonin μN avulla:

Ytimen, jonka magneettisen momentin z-komponentti on μz , ollessa

magneettikentässä B, ytimen magneettinen potentiaalienergia on

UM= -μzB

→ energitasot jakautuvat magneettikentässä spin-ylös ja spin-alas-

tiloihin

eV/T10152.3J/T10051.52

827 p

Nm

e

211

Magneettiset momentit protonille ja neutronille ovat

Ydin voi absorboida fotonin, jonka energia on energiatasojen välinen ero ja

siirtyä energiatasolta toiselle (tai päinvastoin eli emittoida fotonin)

Fotonin taajuus (Larmor taajuus)

Jos ydin on magneettikentässä, ytimet ovat yleensä spin-ylös- tilassa, koska

se on matalampi energiatila.

Jos kohdistetaan näytteeseen säteilyä Larmor-taajuudella, ytimet siirtyvät

spin-alas-tilaan = ydinmagneettinen resonanssi (NMR)

h

B

h

Ef

pz

L

2

212

Nnz

Npz

913.1

793.2

Ytimen magneettinen momentti voidaan määrittää esim. pitämällä

säteilyn taajuus vakiona ja muuttamalla magneettikenttää.

Kun energiaa absorboituu eniten (resonanssi), voidaan laskea

magneettisen momentin arvo.

Sovelluksia ydinmagneettisesta resonanssista:

Kemiallinen analyysi

Ydin haluaa palata virityksen jälkeen takaisin alempaan energiatilaan.

Tämä relaksaatioaika riippuu ytimen ympärillä olevasta elektroniverhosta.

Elektroniverho myös varjostaa ydintä ympärillä olevalta

magneettikentältä.

Resonanssitaajuudet riippuvat ytimen ympäristöstä → NMR

spektroskopiaa voidaan käyttää aineiden kemialliseen analyysiin.

NMR-kuvaus

Kuvausmenetelmä, jolla on korkeampi resoluutio kuin röntgenkuvauksella.

NMR-kuvaus ei ole niin vahingollista eläville kudoksille kuin

röngenkuvaus. Menetelmässä mitataan vety-ytimien magneettikentässä

lähettämää radiotaajuista signaalia. Siksi se soveltuu runsaasti vetyä

sisältävien kudosten (rasva- ja vesipitoiset kudokset, myös luuydin)

tutkimiseen.

213

Magneettikuvauksessa kuvattava

kohde sijoitetaan voimakkaaseen

magneettikenttään, jonka suuruus

on hieman eri paikasta riippuen.

Laitteistoon kuuluu lisäksi

radiolähetin ja -vastaanotin, jonka

avulla resonanssi synnytetään ja

havaitaan. Resonanssisignaalin

voimakkuus magneettikuvassa

riippuu paitsi magneettisten

ytimien määrästä myös niiden

vuorovaikutuksesta ympäristönsä

kanssa.

Kuvan muodostamiseksi tulokset

yhdistetään tietokoneella ja

analyysin tuloksena saadaan

kaksi- tai kolmiulotteinen

magneettikuva.

214

215

ESIMERKKI 6.3

Oulun yliopiston fysiikan ja kemian laitosten yhteisessä NMR-

laboratoriossa on käytössä kolme uutta NMR-spektrometriä. Yhdessä

näistä protonin resonanssitaajuus on 300 MHz. Kuinka suuri on

magneettivuon tiheys B spektrometrin sisällä?

Ydin ei ole stabiili kaikilla mahdollisilla neutroni-protoni-kombinaatioilla.

Nykyisin tunnetuista 2500 nuklidista vain alle 300 on pysyviä, loput

hajoavat emittoimalla hiukkasia ja sähkömagneettista säteilyä

(radioaktiivisuus).

Yleisesti kevyillä alkuaineilla on yhtä

monta neutronia ja protonia,

raskaimmilla alkuaineilla neutronien

määrä kasvaa suhteessa protonien

määrään.

Yksi selitys tälle on, että protonien

välinen sähköinen poistovoima kasvaa,

kun A kasvaa ja tarvitaan ”ylimääräisiä”

neutroneja, jotta ydin voi pysyä kasassa.

Kaikki ytimet, joilla Z > 83 tai A > 209,

ovat epästabiileja ja hajoavat toisiksi

nuklideiksi emittoiden tavallisesti alfa-

tai beeta-hiukkasia.

216

6.3. STABIILIT YTIMET

Stabiilin ytimen hajottaminen erillisiksi protoneiksi ja neutroneiksi vaatii

energiaa.

Ytimen kokonaismassa on aina pienempi kuin sen muodostamien

protonien ja neutronien yhteenlaskettu massa.

Energia, joka vaaditaan nukleonien erottamiseksi toisistaan, on sidosenergia:

Sulkujen sisältämä osuus on massakato

= neutraalin atomin massa (sis. elektronit) ja

MH= neutraalin vetyatomin massa (sis. elektronin)

Kerroin c2 voidaan esittää muodossa

2A

ZnHB M)cNm(ZME

MA

Z

MeV/u 5.9312 c

217

6.4. SIDOSENERGIA

218

Määritä deuteriumin sidosenergia.

ESIMERKKI 6.4

Sidosenergia neonin isotoopille on 160.647 MeV. Mikä on sen

atomimassa?

Ne20

10

219

ESIMERKKI 6.5

Sidososuus EB/A (sidosenergia nukleonia kohti) on mitta sille, miten tiukasti

nukleonit ovat sitoutuneet toisiinsa.

Deuteronin tapauksessa EB/A=1.112 MeV on pienin luonnossa havaituista

sidososuuksista.

Sidososuudet massaluvun funktiona: Alussa sidososuus kasvaa

massaluvun funktiona.

Sidososuus on maksimissaan

8.8 MeV.

on stabiilein ydin

Raskailla (ja hyvin kevyillä)

ytimillä nukleonit ovat

heikommin sitoutuneita toisiinsa

kuin keskiraskailla ytimillä.

Tätä ominaisuutta käytetään

hyväksi kun tuotetaan energiaa

fissiolla ja fuusiolla.

Fe56

26

220

Kuinka paljon energiaa tarvitaan poistamaan neutroni ytimestä?

Entä protonin poistamiseen? Miksi energiat eroavat toisistaan? Ca42

20

221

ESIMERKKI 6.6

Protonien keskinäisen sähköisen poistovoiman takia nukleonit eivät voi

muodostaa pysyvää rakennelmaa ilman niiden välillä vaikuttavaa vahvaa

vuorovaikutusta.

Vahva vuorovaikutus on vetovoima nukleonien välillä, joka vaikuttaa

samalla tavalla protoneihin ja neutroneihin.

Sen kantama on lyhyt – voima on hyvin vahva kun nukleonien etäisyys

<10-15m, tämän etäisyyden ulkopuolella voima on käytännössä nolla.

Voiman yksityiskohtaista matemaattista muotoa ei tunneta.

Nukleonit ovat vuorovaikutuksessa vain muutamien lähimpien

naapureidensa kanssa (osoituksena ydinten lähes vakio tiheys ja

raskaampien ydinten lähes vakio sidososuus) = kyllästymisilmiö

Voima suosii vastakkaissuuntaisen spinin omaavien protonien ja

neutronien parien muodostumista ja myös protoni-protoni sekä neutroni-

neutroni-parien muodostumista, siksi alfahiukkanen (kaksi protonia +

kaksi neutronia) on massalukuunsa nähden poikkeuksellisen stabiili 222

6.5. YDINVOIMISTA

223

ESIMERKKI 6.7

Kuinka suuri on kahden protonin välinen sähköinen poistovoima

ytimessä, kun oletetaan, että varaus on pallomaisesti jakautunut?

Protonien välinen etäisyys on 2.4 fm.

Vaikka ytimessä vaikuttavat suuret voimat, monet ytimet ovat epästabiileja

ja hajoavat spontaanisti toisiksi ytimiksi.

Lisäksi kaikki ytimet voivat hajota hiukkastörmäyksen seurauksena.

Marie ja Pierre Curie, Ernest Rutherford ja useat muut tutkijat osoittivat,

että radioaktiivisista aineista emittoituu positiivisesti ja negatiivisesti

varattuja hiukkasia sekä neutraalia säteilyä (alfa-, beeta- ja gamma-säteily).

Myöhemmin listaan on lisätty myös elektronikaappaus ja positroniemissio.

Alkuaineella voi olla sekä stabiileja että radioaktiivisia isotooppeja.

Esimerkiksi natriumilla on molempia, mutta uraanilla vain radioaktiivisia

isotooppeja.

224

6.6. RADIOAKTIIVISUUS

Radioaktiivinen hajoaminen on tilastollinen prosessi – tietyn ytimen

hajoamishetkeä on mahdoton ennustaa.

Todennäköisyys sille, että ydin hajoaa lyhyessä ajassa dt on

missä λ= ajasta riippumaton hajoamisvakio.

Ts. N kappaleesta ytimiä hajoaa ajan dt kuluessa λNdt kappaletta (kun N on

suuri).

Hajoamattomien ydinten lukumäärän muutos on siis

Hajoamisten lukumäärä aikayksikössä eli näytteen aktiivisuus on

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on tuttu hajoamislaki

missä N0 on hajoamattomien ydinten lukumäärä ajanhetkellä t=0.

dtdP

dtNdN

Ndt

dNR

teNtN 0)(

225

Aktiivisuuden SI-yksikkö on becquerel (Bq), joka on yksi hajoaminen

sekunnissa.

Yleisesti käytetään myös yksikköä curie (Ci), joka vastaa suurin piirtein

yhden radiumgramman aktiivisuutta:

1 Ci = 3.7·1010 Bq = 3.7·1010 hajoamista sekunnissa.

Puoliintumisajan T1/2 kuluttua alkuperäisen näytteen ytimistä on jäljellä

puolet:

Ratkaistaan tästä T1/2 ja saadaan:

Epästabiilin nuklidin keskimääräinen elinaika on hajoamisvakion

käänteisarvo:

226

2/1

000

2/122

)(T

eNNN

TN

2ln2/1 T

2ln

1 2/1TTmean

Kuinka kauan kestää, että radon näytteestä hajoaa 60%?

227

ESIMERKKI 6.8

Radioaktiivisen näytteen aktiivisuus oli määritelty:

Derivoimalla ajan t suhteen, saadaan määritettyä

aktiivisuus ajan funktiona

Esimerkkejä puoliintumisajoista:

Ydin Puoliintumis-

aika

Radium 222Ra 38 s

Neutroni n 14.93 min

Hiili 14C 5730 vuotta

dt

dNR

teNtN 0)(

teNR 0

228

Mikä on 1.00 mg 222Rn näytteen aktiivisuus? Mikä on saman näytteen

aktiivisuus viikon kuluttua?

229

ESIMERKKI 6.9

Alfahiukkanen on He-ydin (kaksi protonia + kaksi neutronia)

Alfa-hiukkasen emissio tapahtuu, kun ydin on liian suuri ollakseen stabiili

missä X= emoydin, Y= tytärydin

Hajoaminen on mahdollinen, jos alkuperäisen neutraalin atomin X massa on

suurempi kuin syntyneen neutraalin atomin Y ja neutraalin helium-atomin

massojen summa.

Tällaista alkuaineen muuttumista toiseksi sanotaan transmutaatioksi.

Esimerkki:

Radium hajoaa radoniksi

Hajoaminen tapahtuu spontaanisti alfa-hiukkasen tunneloituessa ydintä

ympäröivän potentiaalivallin läpi.

He YX 4

2

4-A

2-Z

A

Z

He Rn Ra 4

2

222

86

226

88

230

6.7. ALFA-HAJOAMINEN

Alfahajoamisen yhteydessä esiintyy usein myös gammasäteilyä, koska

tytärydin jää usein virittyneeseen tilaan, joka purkautuu

gammakvantilla perustilaan.

Esimerkki:

231

HeThU 4

2

234

90

238

92

Ydin voi hajota elektroniemissiolla

silloin, kun sen ytimessä on liikaa

neutroneja suhteessa protoneihin:

Beeta-hajoamista on kolmea erilaista tyyppiä:

β--hiukkanen on elektroni ja β+ -hiukkanen on positroni.

νe on elektronin neutriino, joka tarvitaan varmistamaan energian ja

liikemäärän säilyminen. Neutriino on varaukseton ja lähes massaton

hiukkanen.

Ytimen ulkopuolella oleva neutroni hajoaa β- -hajoamisella noin 15

minuutissa.

e

e

e

np

np

pn

0

0

0

e

YX A

1Z

A

Z

232

6.8. BEETA-HAJOAMINEN

Elektroniemissio

Positroniemissio

Elektronikaappaus

-14

7

14

6 eN C Esimerkki:

233

Osoita, että β- -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin tytäratomin

massa on pienempi kuin neutraalin emoatomin massa.

ESIMERKKI 6.10

234

Vapaa neutroni on epästabiili (radioaktiivinen) eli se hajoaa spontaanisti

elektroniemissiolla. Miksi? Miksi protoni on stabiili?

ESIMERKKI 6.11

Ydin voi hajota

elektronikaappauksella silloin kun β+

emissio ei ole energeettisesti

mahdollinen (ja ytimessä on protoneja

liikaa suhteessa neutroneihin). Yksi

ytimen protoni muuttuu silloin

neutroniksi ja emittoituu neutriino

Esimerkki:

Ydin voi hajota positroniemissiolla silloin, kun sen ytimessä on liikaa

protoneja suhteessa neutroneihin:

Osoita, että β+ -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin emoatomin massa on

vähintään kaksi elektronin massaa suurempi kuin neutraalin tytäratomin

massa.

Esimerkki:

e

YX A

1Z

A

Z

enp 0

235

eNiCu 64

28

64

29

Nie Cu 64

28

64

29

236

Osoita, että β+ -hajoaminen voi tapahtua, jos neutraalin emoatomin

massa on vähintään kaksi elektronin massaa suurempi kuin neutraalin

tytäratomin massa.

ESIMERKKI 6.12

Gammasäteily on hyvin lyhytaaltoista sähkömagneettista säteilyä, jota

syntyy ytimen viritystilojen purkautuessa. Gammasäteilyä syntyy kun

ytimessä on liikaa energiaa:

Ydinvoiman vahvuuden takia ydinten viritysenergiatkin ovat suuria, noin

1 MeV:n luokkaa.

Ydin voi virittyä esimerkiksi törmäyksessä hyvin suurienergisen

hiukkasen kanssa.

XX* A

Z

A

Z

237

6.9. GAMMA-HAJOAMINEN

Tavallisempaa on, että ydin jää

virittyneeseen tilaan jo syntyessään

radioaktiivisen hajoamisen kautta.

Esimerkki: SrSr* 87

38

87

38

Sovellus: Radioaktiivinen iänmääritys eli hiiliajoitus

Kosmisen säteilyn vaikutuksesta ilmakehässä syntyy hiilen epästabiilia

isotooppia 14C. Elävä kasvi saa hiiltä hiilidioksidista, joka sisältää isotooppia 14C samassa suhteessa kuin ilmakehä.

Kun kasvi kuolee, siihen ei tule enää hiiltä ja isotoopin 14C pitoisuus kasvissa

alkaa pienentyä 14C:n muuttuessa 14N:ksi puoliintumisajalla 5740 vuotta.

Mittaamalla kasvin jäännösten 14C-pitoisuus, voidaan selvittää koska kasvi

on kuollut.

238

239

ESIMERKKI 6.13

Palassa antiikin asumuksesta löytynyttä puuta havaitaan 14C-

aktiivisuus 13 hajoamista minuutissa 1 grammassa hiiltä. Elävän

puun 14C aktiivisuus on 16 hajoamista minuutissa. Kuinka kauan

sitten puu kuoli?

Radioaktiivisen ytimen hajoamisen tuloksena syntyvä tytärydin voi olla

itsekin radioaktiivinen. Sen hajotessa voi syntyä uusi radioaktiivinen ydin ja

niin edelleen.

Syntyy peräkkäisten hajoamisten ketju eli hajoamissarja.

Hajoamissarja alkaa pitkäikäisestä nuklidista ja päättyy peräkkäisten alfa-

ja beetahajoamisten kautta stabiiliin nuklidiin.

Luonnossa runsaimmin esiintyvä radioaktiivinen

nuklidi on uraanin isotooppi 238U, joka

hajoamisten jälkeen päätyy stabiiliksi isotoopiksi 206Pb:

14 hajoamista (8 alfa ja 6 betahajoamista)

Muut radioaktiiviset sarjat:

Thorium 232Th → 208Pb

Neptunium 237Np → 209Bi

Actinium 235U → 207Pb

240

6.10. RADIOAKTIIVISET SARJAT

Marie Curie •Syntyi 4.7.1867 Varsovassa, Puolassa

•Sai alkeisopetuksen Puolassa, mutta naisten koulutusmahdollisuudet

Puolassa olivat huonot, työskenteli kotiopettajana ja opiskeli itsekseen

•Muutti Pariisiin v. 1891 – maisterin tutkinto 1893

•Aloitti tutkimustyön ja löysi labrasta Pierre Curien

•1897 saakka Marie jatkoi magnetismitutkimuksia ja teki väitöstyötä

”uraanisäteistä”

•1898 Marie havaitsi toriumin säteilevän uraaniakin enemmän – antoi

viitteitä siitä, että radioaktiivisuus johtui todella atomitason ilmiöstä –

Pierre liittyi mukaan tutkimukseen. Uusi alkuaine poloniumin ja radium

•1903 väitöstyö valmistui – Marielle myönnettiin Nobelin palkinto

radioaktiivisuuden tutkimuksesta.

241

•1906 Pierre Curie kuoli yllättäen – Marie sai Pierren viran, ensimmäinen naisprofessori

Pariisin yliopistossa.

•1911 kemian palkinto radiumin eristämisestä + kahdesta uudesta alkuaineesta. Tähän

mennessä ainoa nainen, joka on saanut kaksi Nobelin palkintoa.

•Ensimmäisen maailmasodan aikana: 20 autoa pienellä röntgenlaitteella, Radium instituutti

koulutti naisista röntgenapulaisia, myi molemmat Nobel-palkintonsa jotta pystyi ostamaan

sidetarpeita haavoittuneille

•Curie jatkoi aktiivista tutkijan uraansa sodan jälkeen: 483 julkaisua vuosina 1919-1934,

Radium-instituutti yksi johtavista radioaktiivisuuden tutkimuskeskuksista.

•Curien terveys heikkeni äkisti vuonna 1934, kuoli heinäkuussa runsaan säteilyaltistuksen

aiheuttamaan aplastinen anemiaan (luuytimet eivät kykene tuottamaan tarpeeksi verisoluja)

• Haudattiin Sceauxin hautausmaalle Pierren viereen. Molemmat siirrettiin 1994 Pantheoniin

Jos kaksi ydintä tulevat lähelle toisiaan, voi tapahtua ydinreaktio, jonka

seurauksena syntyy uusi ydin.

Sama ydin voi syntyä useamman prosessin kautta (ja myös hajota eri

prosesseilla):

242

6.11. YDINREAKTIOITA

Jos raskas ydin hajotetaan, vapautuu yleensä paljon energiaa. Ongelma on

vain saada hajotettua ydin viemättä siihen enemmän energiaa, mitä

vapautuu ytimen hajoamisessa.

V. 1938 Lise Meitner huomasi, että uraanin isotooppi 235U hajoaa kun sitä

pommitetaan neutronilla. Neutronipommituksessa syntyy uraanin isotooppia 236U, joka on niin epästabiili, että se hajoaa nopeasti.

Myöhemmin löydettiin muitakin vastaavalla tavalla käyttäytyviä ytimiä.

Koska raskailla ytimillä on suurempi neutroni-protonisuhde, fission

lopputuotteina saadaan yleensä myös neutroneja.

Tyypillinen esimerkki fissiosta:

Fissio voi tapahtua myös sen jälkeen, kun ydintä on pommitettu

gammasäteilyllä tai protoneilla (eli neutronipommitus ei ole ainoa

mahdollinen tapa aiheuttaa ytimen hajoaminen).

nnSrXeU*nU 1

0

1

0

94

38

140

54

236

92

1

0

235

92

243

6.12. FISSIO

Fissiossa syntyvä neutroni voi aiheuttaa uuden fission ja syntyy

ketjureaktio:

Jos vain harva neutroni (vähemmän kuin yksi tapahtunutta

fissiota kohden) aiheuttaa uuden fission, ketju sammuu.

Jos keskimäärin yksi syntyvä neutroni aiheuttaa uuden fission,

energiaa vapautuu vakionopeudella (ydinreaktori)

Jos fissioiden syntynopeus kasvaa (enemmän kuin yksi neutroni

aiheuttaa uuden fission), energiaa voi vapautua niin nopeasti,

että syntyy räjähdys (atomipommi)

244

Ydinreaktori on hyvin tehokas tapa tuottaa energiaa:

1 g 235U atomin fissioreaktiossa syntyy saman verran energiaa kuin

poltettaessa 2.6 tonnia hiiltä.

26.4% Suomen sähköntuotannosta ydinvoimasta vuonna 2011.

Neljä reaktoria: 2 Loviisassa ja 2 Eurajoen Olkiluodossa

Toimintaperiaate:

Ydinreaktorin sydän muodostuu uraanipolttoaineesta ja

fissioreaktiota säätelevistä säätösauvoista.

Polttoaine, rikastettu uraani 3-5% 235U, on pieninä uraanioksidista

kuumapuristettuina nappeina ohuissa putkimaisissa suojakuorissa.

Säätösauvat ovat voimakkaasti neutroneja absorboivaa ainetta, esim.

kadmium, boori tai hafnium, joiden määrää reaktorisydämessä

voidaan säätää ja samalla voidaan säädellä reaktorin toimintaa.

245

6.13. YDINVOIMA ENERGIAN TUOTANNOSSA

Reaktorisydän on paineastian sisällä, jossa kiertävä jäähdytysvesi

kuljettaa syntyvän lämmön pois reaktorista.

Jäähdytysvesi myös hidastaa fissiossa syntyviä neutroneja, jotta ne

voivat aiheuttaa uusia fissioita.

Käytössä on myös grafiittihidasteisia sekä kaasujäähdytteisiä

reaktoreita (esim. hiilidioksidi tai helium).

Syntynyt lämpö hyödynnetään höyryturbiinissa, joka pyörittää

generaattoria.

Kiehutusvesireaktorissa kiehuvasta jäähdytysvedestä syntyvä

höyry johdetaan suoraan turbiinille (kuten Olkiluodon 1 ja 2

reaktoreissa).

Painevesireaktorissa kova paine estää veden kiehumisen n. 300

asteessa ja turbiinia pyörittävä höyry kehitetään erillisissä

lämmönvaihtimissa (kuten Loviisan ensimmäinen ja toinen

laitosyksikkö sekä Olkiluodossa rakenteilla oleva kolmas yksikkö).

246

Ydinvoiman ongelmia:

Onnettomuusriski – hyvin pieni, mutta olemassa

1986 Tsernobyl, Ukraina, historian pahin ydinvoimala

onnettomuus, jossa runsaasti radioaktiivista ainetta levisi

ympäristöön.

2011 Fukushima, Japani, maanjäristys hajotti ydinvoimalan

jäähdytysjärjestelmän ja korkeita säteilyannoksia pääsi

ydinvoimalan ympäristöön. Kuitenkin pienemmät haitat kuin

Tsernobylin onnettomuudessa.

Lisäksi paljon muita pienempiä onnettomuuksia, joissa

vähemmän henkilö/säteilyvahinkoja.

Ydinjäte – loppusijoitus?

Ydinjäte kuuluu vaarallisimpiin ihmiskunnan tuottamiin

materiaaleihin.

Suomessa syntyy 70 tonnia ydinjätettä joka vuosi – Suomessa

syntyneet ydinjätteet käsitellään, varastoidaan ja loppusijoitetaan

Suomen omalla alueella

Suomen ydinvoimalaitosten käytetyn ydinpolttoaineen loppu-

sijoitus Olkiluotoon ONKALOon (syvälle kallioperään) raskaisiin

kuparikapseleihin suljettuna v. 2020 alkaen.

247

Uraanin tuotanto

Uraanin tuotannossa syntyy paljon radioaktiivista ja kemiallisesti

myrkyllistä jätettä, joka saastuttaa vesistöjä ja maa-alueita ja altistaa

ihmisiä säteilylle ja raskasmetalleille.

Suomessa käytettävä uraani Kanadasta, Venäjältä, Australiasta ja

Nigeristä – lupa uraanin talteenottoon Talvivaarasta Sotkamosta on

myönnetty 1.3.2012

Ydinaseet

Ydinvoimalan polttoaineen tuotantoketju soveltuu sellaisenaan

ydinasemateriaalin tuotantoon.

Asialla on aina kaksi puolta:

Millä muulla tavalla voitaisiin tuottaa maailman tarvitsema energia?

248

Fuusiossa kaksi kevyttä atomiydintä yhtyy yhdeksi raskaammaksi

ytimeksi ja samalla vapautuu energiaa (sekä usein yksi tai useampi

neutroni tai protoni)

Auringon ja muiden tähtien energia on peräisin niiden sisäosissa

tapahtuvista fuusioreaktioista.

Kun kaksi kevyttä ydintä pääsee hyvin lähelle toisiaan, vahva ydinvoima

vetäisee ne yhteen.

Päästäkseen riittävän lähekkäin niiden on ensin ylitettävä

sähkömagneettisen voiman aiheuttama Coulombin valli eli tarvitaan

ytimille suuri liike-energia ja riittävä tiheys.

Coulombin valli on pienin vety-ytimille; helpoimmin fuusioituvia ytimiä

ovat vedyn raskaat isotoopit deuterium ja tritium:

MeV 3.3nHeHH

MeV 4.0HHHH

1

0

3

2

2

1

2

1

1

1

3

1

2

1

2

1

249

6.14. FUUSIO

Deuteriumin ja tritiumin seosta suunnitellaan käytettäväksi

fuusiovoimalan polttoaineena

koska tämä fuusioreaktio voi tapahtua matalammissa

lämpötiloissa.

Deuteriumia voidaan saada merivedestä 33g/kuutio, tritiumia

pommittamalla litiumia neutroneilla:

Fuusioreaktio vaatii käynnistyäkseen erittäin korkean lämpötilan

(108 kelviniä), jotta ytimillä olisi tarpeeksi liike-energiaa

ylittämään Coulombin valli (vaaditaan vetyplasma).

Ongelmia:

tarvittavan lämpötilan synnyttäminen

suuressa lämpötilassa olevan plasman koossapito (ja

pitäminen irti reaktorin seinistä)

nHeHnLi

HeHnLi

1

0

4

2

3

1

1

0

7

3

4

2

3

1

1

0

6

3

250

MeV 17.6nHeHH 1

0

4

2

2

1

3

1

251

Etuja olisi nykyiseen ydinvoimaan verrattuna:

Polttoainetta paljon enemmän ja helpommin hankittavissa

Reaktiotuotos harmitonta heliumia

Reaktio sammuu hyvin nopeasti kun laite sammutetaan

Tällä hetkellä toteutetuista fuusioreaktoreista on vain

hetkellisesti onnistuttu saamaan ulos enemmän energiaa kun

sinne on syötetty.

Fuusiota on saatu pidettyä yllä vain lyhyitä aikoja,

pisin aika reilu 6 minuuttia.

Tekniikka on osoittautunut odotettua vaikeammaksi, lisäksi

rahoitusvaikeuksia tutkimuksen hitaan etenemisen vuoksi.

ITER on kansainvälinen tokamak-koe Ranskassa, jolla

pyritään osoittamaan, että fuusioreaktorin rakentaminen on

tieteellisesti ja teknologisesti mahdollista. ITER on tarkoitus

ottaa käyttöön 2016.

Sen jälkeen suunnitteilla on DEMO, ensimmäinen

kaupallisen fuusioreaktorin prototyyppi.

Hankkeessa mukana EU, Yhdysvallat, Japani, Venäjä, Intia,

Kiina ja Etelä-Korea.

252