Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Harjoitus 2 esitetaan laskuharjoituksissa viikolla 13

1. Kappaleen nopeus koordinaatistossaK on v = −c(1−ε), missa 0 < ε�1. Inertiaalikoordinaatisto K ′ liikkuu K:n suhteen nopeudella v1 > 0.Kappaleen nopeus K ′:ssa on v′. Johda lauseke nopeudelle v′ alimmassakertaluvussa O(ε) ja osoita, etta kun ε→ 0, v′ → −c.

2. Raketti K ′ on tulossa Maata kohti Maan koordinaatistossa nopeudellav′ = −0.9c. RakettiK ′′ puolestaan on Maan koordinaatistossa matkallaMaata kohti nopeudella v′′ = 0.8c.

(a) Mika on K ′:n nopeus K ′′:ssa?

(b) Enta K ′′:n nopeus K ′:ssa?

HUOM: Naissa tehtavissa yksikot ovat vuosia ja valovuosia. Alkaa kon-vertoiko niita kilometreiksi ja sekunneiksi yms!

3. Oletetaan edelleen, etta ko. raketit ovat Maan koordinaatistossa het-kella t = 0 etaisyyksilla xK′(t = 0) = 3 vv ja xK′′(t = 0) = 2 vv.

(a) Mika on rakettien valinen etaisyys tuolla hetkella K ′′:ssa? Kuinkakauan K ′′:ssa kuluu aikaa ennen kuin raketit kohtaavat?

(b) Kuinka kauan kohtaamiseen kuluu K ′:ssa? Enta kuinka kauan koh-taamiseen kuluu aikaa Maan koordinaatistossa?

4. Maasta (koordinaatisto K) lahtee liikkeelle ajanhetkella t = 0 ava-ruusalus (koordinaatisto K ′) nopeudella v. Kun avaruusaluksessa onkulunut aikaa t′ = 1 vuosi, aluksesta lahetetaan sen kulkusuuntaannahden valonsade. Mika on Maasta katsoen avaruusaluksen ja valonsateenvalinen etaisyys? Mita tapahtuu, jos v → c?

5. Ylimaarainen harrastustehtava (josta tarjolla ylimaarainen piste!).

RakettiK lahetetaan Maasta nopeudella v = 3c/5 Maan hetkella t = 0.Hetkella t = 1 v Maasta lahetetaan toinen raketti K ′ vastakkaiseensuuntaan nopeudella v′ = −4c/5. Hetkella t = 2 v Maasta lahetetaanvalosignaali kohti rakettia K, joka lahettaa heti sen vastaanotettuaanvalosignaalin kohti rakettia K ′.

(a) Kuinka paljon aikaa on kulunut K ′:ssa sen lahdosta, kun K:nlahettama signaali vastaanotetaan siella? Mika on rakettien valinenetaisyys K:ssa ja K ′:ssa silloin, kun viesti lahtee K:sta?

(b) Milloin viesti vastaanotetaan K ′:ssa Maan aikaa? Enta jos K ′ il-moittaa valosignaalilla Maahan saaneensa K:n viestin, milloin tuo il-moitus vastaanotetaan Maassa maapallon suhteen levossa olevan kellonmukaan?

V ? - O v

•ip 1 4 1 r 1 |

| !

]

!

•

_ J z. L vU (5 j |

-©< ( f V b <> •<-• i° t .

1 " f ( _L J -1 1

"" \ " ~ ~ \ "

i 1

1 |

| !

]

!

z. L vU (5 j |

j

-©< ( f V b <> •<-• i° t .

1 " f (

i 1 j

1 • I i i

0 . _ L _ V

• > ? j 1 I L I D

—

V -I- _..

1

i \i j

" 1 1 ; i

i i

— i

" i j : I 1 :

^

_

p 1

1 ! j ;

_..

1

i \i j

" 1 1 ; i

i i , S 1 S O O B

y i 1

i |

j " ~ [ " ~ 1 1 i

— 1 ! S i ( y

i 1 i |

j " ~ [ " ~ 1 1 i

— 1 !

—

a 6 i g^J i i ! j / 1 4 ->

S • It S i

: !

Q \ (

• jc 1 1 i !

j

:

1 1 i

1

1 1 1 —

1 !

—

^ " 1 \ J L \ J ! 1

. - Or-} 1

j

j 1 I

" " I

i i

— . i 1 —— 1

• 0

i - Or-} 1

j I ^ 1 I - 1

1 j j j j |

j 1 I

" " I

i i

— . i j 1

c 2 1

• 0

i - Or-} 1

j I ^ 1 I - 1

1 j j j j |

j 1 I

" " I

i i

— j 1

c 2 1

• 0

i - Or-} 1

j I ^ 1 I - 1

1 j j j j |

j 1 I

" " I

i i

_ -

i | | j

! i 1 ' 1

j ... ' i.. .. i ! . 1

i

I 1

! | ; . j

i | 1 ! !

—|—-| —

o > si X o ;

, * p I \ ^ T 1 ! 1 - —

i

I 1

! | ; . j

i | 1 ! !

—|—-|

X o ;

T ;

1

I

\

i

L 1 I

! | ; . j

i | 1 ! !

—|—-| |

j 1 1 ! | i l l ! !

• pT i i |

1J j 1 r _ 1 L | 1 1

|

— i

i

< j I *

— . y j 1— ! [ I 1

-

a. 1

i it

. y

S T i • •! 1

| I 1 ! i i

i j U i i — b

\ S T i • •! i ; - !

j 1 | j V ! | i 1 ! !

via W^vtekri " ~ 1 1 i i

1 h i xcxU k > a - - 5 i_c\ 1 J 1

j r " 1 1

L 1 j ; !. . . •• 1 • ' - j 1

•= a 1 1 1

1 i j 1 1 1 1 ! 1

j

1 1 j | 1 " 1

i j f i I 1

a " j H n r 0

it \ O i o y I f " .. _ X 1^' - j 3

| \ J

... V- -j i

< ! i

\i i

i ! ; j

.

1^' - j 3 . s 1 • [ ; - L 1 1 •

O v < j i ; 1

WiWb< u f f I

\~ ?;

J i 1 1 i ! i |

-ToW cA V> V- j '^an v- c 1 < *"\ ' i I i i

O , bO Mo avL V | | I j

!

i _ ........ 1

j 1 1

2.

3.

' i O J . j ....

i

1 ^ j r , v*

j % —

y > — •

i ' j

j 6 ._.

/

E i T c t . . . . \ i u f x - y 0 W ' 1 / )

i U

0 W ' J / 7 1

—I :

\ — \ JfcJ / c

7 1 —I

_ $ _ _ i

/ _

•v. ' — -

- •

—

X .— 0

4 H ( x -A

! i j — 0

H — > (- > /. , x (

— — j — > —

>

— .._.._ — — j — — >

— .._.._

— j, Si s t I — X : • X 0 L

» . • >\A> — j,

_ y CT_ £ o . Vv N IA C i ~\r

NO V" )

— i — 1 —

7 i _ ( L r j

— .......

! i i 1 1 . /' 7

.. ____; i .... 6 -

M ( * ) / . — i / i

t i " " 1 !~'" ~" I:. " — —

( * / /

- — — —

H - \jr V &> r IJCk i \ 4 *

N S

i

y S o (1 V O O v—i ' ,1

o, Ley ,-_ 1 2*, si N S

: •

t<-\1

O- S e L - , o,c« ^ ! \« 1 <_/,

: •

5 O x r> V ! \ 1 J

J

I p O x ' w

______

<

1 >• 1 \ i u

V / V *o ... _.. i_ i _

i 1 " \

s - b 1 /

" ) * i ' ( ( — s 6

, r V V- /- c ¥ i ....

I i ! H o . -e i ; " t I A V •+ f

77 t 0 y : i/ o * __/

1 1 ; | \

\* o 0 0 L' — >< V !

f l v V ! __

<< 0 J

•4* ' 0 . \ ! X c s.-'l •-J \J\ J

i ! I

<< 0

i j ! •Jo ; j

_ _ . i _ . _ _ J • _ 0 y ' id

___ (

' E 1

/ > 0 ) • \ i . _s~ O

| I

j F ' V V, J j

. i i — - ( u 0 y ! / \i i

_

u 0

_ : ._

/

j c ) , '

i Hi

3.

i ! I

I L I l i L I_L • j • I I J -I I

! i

1 1 1 , •• • , , . 0

U~ i l l !

—— x w ^ ^ t 5

X ill! G 3 3 tfcv (• v/) I i i ! i - i i [ I I . ! i ! | I I j i | I J I

i l l I

C?\ v~>

en

T

0 . 2JS V I | j j j j I | i j j

i

— L

-M — Edit vU. 'f^tvm^Jiro .

r* i i ! ; r

^ o i ^' iv^v/ c i,v\» f ) i : I

i I

T 0 . S~BNI, i i

i Y v o

V

j

| |

I I

3.

3.

- I • • • i • i

•

M 1

. _ _ _ ]

T ; _ V

i

u O V _ „ 1 i T

Ay > 11 <•>•' i

!

j

/ /

¥~

c

' " J !

r

y —\ •

¥~

c \ ; )

1 _ ....„

—-^ :

\t 7

¥~

c J , ^ )

1 _ ....„

. '. h i

J 1 t

V

)

1 _ ....„

. .... .. 1 !

*

......

1 x ' _

. ) 1 C I

4

2. w , " 1 ™ ~~

JCK \

i

! t

i. • !

.. _ 1 :

Y •'

i

! t

* M I Y •'

i

! t

* M

| ! ;

— ""'"1 !

—

—

\ M V ... ....... I

• I ...... |

"j • \ . s V _ 1 i

..... j i.

| "j

V 1 1

_

— - ...... . 1 .;

1 1

i

• i ...

-: :

J ..

f 1 »

!

1 ! 1 !

•

i T •

f ~

j !

i ... .

L,,. !

: . . . |

[ ! !

... _

:

• •

...

" _

_

... ... ... .

.

. ... i 1

.

I

: ... • _ ... !

... !

:

i

i"

1 ;

i .. .

i 1

3.

I 1 I I I i I I ! I - I i ! i

- I

/

0

« 4 1

\ ! I |_ |_; 7

" - \

: .... •

j

\ / i — % ' X '..0

) • ri 1--1, ) - V 1 X /c I y f t ' I 1

• ...j - 1 f /.fl _

2. : i

i

r

i w * ' - . . . ! |

\ .. . J .

i . !

. . j

i

i .

] j \ I

:

• r :

"X _ _ . \ !

S }

\ J c

> \Wvc /oU "Volar

.......

\ J c

> == x s

.

£x r — < E < > j - -

=1, |

.

£x r — < E < > j - -

=1, ! j

|

£x

» j b !

J . j J •

•

\ 3> X - J 1

3 3 I j

M a, a ^: i

i i j i _

i — c % ) 1 -

I

_ j 1 7 • i

\ V;'. t

. . w a ' .

i ' > 1 • \

:

j

• \ _

:

i

• \ _

! j :

_ _ i

i

i

-V- .) = X ' c

j | \ - X a.- c~\ Hi i

j j - J 1 _ i K

1 1 X 1 ^ X ? I \ T

f t . : i I

X / 1 I

1 - : 3 _

t a,

-

!

! ! : j

' ! , :

* ! < j V K • [ !

i i i i

K 7

:

I i ; j ! 1

1

1 -_

•

— 1 - •

•

—

1 i I i i I i l i

i j 1 1 ft,] 1

! | i

1 1

r : ' ^ I

i

o h E

i 1

" 7 | i .

j ] ~ ~ ~

i i

|

]

i i ! i ]

I J I ! ~

_ l LA /a j

1

! | i 1

"V 6 ~ t ' C X O v v k

^ I i

o h E

1 i

j ] ~ ~ ~

i i

|

]

i i ! i ]

i. i j 1 ' i

j !

L 1 ; ! i

r i

| j

-i |

> V i ) HZ 21 V i ' j i _ j

— i |

V y — f 1

i 1

— j i : ;

V y — i 1

V M tx ^ ,'.> •', ! j

0

>

r u ° 0

| — ~ •

g A ! si

! i

— I | 1 i ! —•

0

>

r u ° 0

| i ' j 1

— ~ •

g A ! si

j | 1

— j i

I | 1 i ! —•

0

>

r u ° 0

| i ' j 1

— ~ •

g A ! si

j | 1

—

1

| i i

I | 1 i !

'—" I

° 0

i ' j 1 . 1

! !

1 j !

- \ - 0 I V o)

!

M V | I 1 !

j |

\ — ^ a r " " v ~ T

1 i i ! j

— M" u

1 >, L \

• \ 11

/ ; 1 \

v -•

- c 1 i I !

! j i

1 1

M ' <'.

..... 1 1 !

1 i i 1

: 1

j - c 1 i I !

! j i

1 1

M ' <'.

.....

i

_ ]

1 1 !

1 i | ;

1 i i 1

: 1

j

— z m z <\

1 j ./J •

1 j 1 i i 1 _ J i i j

— a. z m z <\

1

./J • ___ |_

j 1 i i 1 _ J i i j

1 I i y i • \J f • •- M i i i

i i

i _ i

o a

: f~ i

L j 1 1 1 !

c 1

—

| ....

\ I I i i j

! i l l i

i

1 _ I _

I

j

|

—

i i

i _ i

o a

: f~ i

L j 1 1 1 !

c 1

—

I i i j

! i l l i

i

1 _ I _

I

j

|

—

i i

i _ i

o a

: f~ i

L j 1 1 1 !

c 1

—

I i i j

! i l l i

i

1 _ I _

I

j

|

__ » \ i I r __ \ ^ | i

V ~* M , -+ HA | — J ~ 1 f "~ v " " !

1 i |

I 1 | p P j V 1 r r | 1

M|! V * 1

f\ AT |

—

M|! A i

• ' 1

\ It' a, \

!

—

- r

H / S J ML-- \ / <'

r ' ) — H v !

! |

• L ^1 1 S 3 1

— - -

) 1

/ 1

V V |

i

!

1 1 L L •

i

1 1 M i l l

! ] | j 1 .. .1 I .

j 1 •

|

U , |"" . p \ ^ ' ! $ s c \ 1

_J j

)"•• _

I —vJ -- V M - O 1

. i

1

1

I 1 !

j

i

j

i

i

O 1

. i

1 j | 1

1 !

j

i

j

i

y 1 M, i - / j j ' " |

i j |

! To ! 1 1 j

i j t 1 i i

|

— — i - \

1

1£) 1

3 ' I t 1 i i

rh*— ,. | I I I ! !

i :

i S. y O > r - V _ i \ Y>} I j \ Y>} y

.........

O

! • l a C

; i

•

; i O |

" t > * ! ! {{ ) ) . j 5 /

[

I • !

i j i

j j

j

( *' _ - ) 1 ....... ....

j 1 ,„, r •

. 1 j i j i

i i i ;

. A — 1 3 j

r _ . . . _ ' 1 r _ . . . _ ' 1

i i

i \ > i '

__i _ _ 1 i .... V J ' * a < 1 a, ! j

1 i

; CA ... - - 1 j

[ '

j | j z 1 J •

„ j [ j

r ! ! 1 : . .. .<; „ .

\ lo .V ^ k ~ t c xo, S\l ? ± i

i vy o

1 < » i .

. i i_

_ r i i

. i i_ i I

• / *

I

i \

1 i

i i

j j .

—

i

—

...

— — - - - - -

l ;

_! j i

;-- -; 1

• I i • | j

i 1 t

— 1— ~ ~ — - - - — —

_ i „

; -

— -j

i |

— -

—

...

1 . . .

—

j j

_i ; —

—

...

1 . . .

—

j j

_i ; — 1 | j

j _i ;

;

i • ..... ..

j 1

1 '

i i

;

j

j

i

_ . _] _ !

| j . . j

-

- .„...,, . i ]

L . 1

1 '

i i

;

j

j

i

_ . _] _ !

| j . . j

-

- .„...,, . i ]

L . 1 1 — i

i

j

i

_ . _] _ !

| j . . j

-

- .„...,, . i ]

L . 1 1 — i i

j

i

_ . _] _ !

| j . . j

-

-

i ]

L . 1

j _ | _ _ | j ! 1 :

i ; ; ! -