, 2016
ii
: , , : CIP - ". ",
37.091.3:51(075.8)
, / . - : , 2016. - XVI, 546 . : . ; 21
. - : . 523-530. - :
ISBN 978-9989-646-71-3
) - - COBISS.MK-ID 100369418
- . , , .
iii
.
iv
v
xiii I 1. 1
1.1. 1 1.2. 2
2. 5 2.1. 5 2.2. 6 2.3. ? 9
3. 10 3.1. 10 3.2. 12 3.3. 13
II - 1. 15 2. - 18
2.1. - 18 2.2. 19
3. , 21 3.1. , 21 3.2. 21 3.3. ,
22
4. 24
III 1. 29 2. 30
2.1. 30 2.2. 31 2.3. 33
vi
2.4. 33 2.5. 34 2.6. 35 2.7. 35
IV 1. 37
1.1. 37 1.2. 40 1.3. 41 1.4. , 42
2. 51
V 1. 53 2. 54 3. 57
3.1. 57 3.2.
61 4. 61 5.
65
VI 1. 69 2. 70 3. 72 4. 74 5. 75
5.1. 76 5.2. 77 5.3. 79 5.4. 82 5.5. 84 5.6.
85
vii
5.7. 86 5.8.
87 5.9. 87
6. 88
VII , 1. -
10 15 99 2. , 101
2.1. 102 2.1.1. 103 2.1.2. 106
2.1.2.1. 106 2.1.2.2. 109 2.1.2.3. 111
2.2. 114 2.2.1. 115 2.2.2. 117 2.2.3. 117
2.3. 119 2.4. 126 2.5. 129 2.6. . 130 2.7. , , 131
VIII 1. 135 2. 137 3. 142
IX 1. 149 2. 150
2.1. 152 2.2. 158
3. 159
viii
3.1. 159 3.2. 160 3.3. 163
4. 165 4.1. 167 4.2. 175
4.2.1. ( ) 175 4.2.2. ( ) 178
4.3. 180 5. 182
X 1. 185 2. 188 3. 192 4. 195 5. 200
5.1. 201 5.2. 204
5.2.1. 207 5.2.2. 209
6. 211 6.1. 212
XI , 1. 217
1.1. 217 1.1. 218 1.2. 219 1.3.
220 2. 222
2.1. 223 2.2. 225 2.3. 226 2.4. 227 2.5. 228
2.5.1. , , 229
2.5.2.
ix
231 2.6. 232
2.6.1. 233
2.6.2. 236 2.7. 238 2.8. 240
3. 245 3.1. 246
3.1.1. 246
3.1.2. 247
3.1.3. 248
3.1.4. 248
3.1.5. 248
XII , 1. . 251
1.1. 251 1.2. , , 254 1.3. 256 1.4. 258
2. 259 2.1.
261 2.2. , 263 2.3.
265 2.3.1. 266 2.3.2. 267 2.3.3. 275 2.3.4. 276
2.4. 277 2.5. 283
2.5.1. 283 2.5.2. 289 2.5.3. 295
2.6. 296 2.7. 296 2.8.
x
299 3. 305
3.1. 305 3.2.
306 3.3. ,
307 3.4. 309 3.5. 310
3.5.1. 310 3.5.2. 312 3.5.3. 314 3.5.4. 315
3.6. 315 3.7.
316 3.7.1.
316 3.7.2.
318 3.8. 320
3.8.1. 323 3.8.2. 327 3.8.3. 327
3.9. 329 3.10. 331 3.11. 333 3.12. 1 5 334
4. 338 4.1. . 338 4.2. 342 4.3. () 344
4.3.1. () 345 4.3.2. () 346 4.3.3. () 348
4.4. 350 4.5. 358 4.6. 365
4.6.1. 367 4.6.2.
368 4.7. 370 4.8. 373
5. 375 5.1. 376 5.2. 377
xi
XIII 1. 381 2. 384
2.1. 386 3. 392
3.1. 393 3.1.1. 394 3.1.2. 396 3.1.3. 398
XIV 1. , , 403
1.1. , 403 1.2. 405
1.2.1. 405 1.2.2. ` 406 1.2.3. 408
1.2.3.1. 408 1.2.3.2. 409 1.2.3.3. 410
1.2.4. 410 1.2.5. 411
1.3. 411 2. 422
2.1. 422 2.2. 425 2.3.
429 2.4.
433 2.5.
450 3. 452
3.1. 452 3.2. 454
3.2.1. 455 3.2.2. 457 3.2.3. 458 3.2.4. 460
3.3. 464 4. 467
4.1. 467
xii
4.2. 469 4.3.
473 4.3.1.
474 4.3.1.1. 475 4.3.1.2. 476 4.3.1.3. 477 4.3.1.4.
478 4.3.2.
491 4.3.3.
- 501 4.3.3.1. 502 4.3.3.2.
, - 505
4.3.3.3. 506 4.3.3.4. 506 4.3.3.5. 509
514
517 523
xiii
, .
, , .. .
- ( ). - . - -, - , : , , . -, - :
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , , 8. , 9. , 10. , 11. , , 12.
,
, 13. 14. .
xiv
, -
. , , . - , , -, , , , . - . , . , - . , - -, . - , , . - , , .
, - , -.
, -
. , -, , , , . , - , . , . , , .
- , -
xv
. - , . - . , - .
,
. , - , - , - . - . , , - - , .
-
. , - , - -. , , . , : , , - . , - , . , - , , - .
-
, , .
xvi
, , , - . : , - , , , .
[11], [18], [34], [35], [83], [146]
[164] .
,
, , - . , , . , - -, , .
, ,
, .
, 2016
1
I
1.
1.1.
-
- - , .
-
, :
a) , b) , c) .
.
, : -
, ; - ; - .
, -
, . - , -
2
(), , .
-
, . - , , - .
1.2.
, - , , - , , , .
i)
, - . .
ii) -
, .. - : , ; - ; .
-
- . , . , , - , . , , , , , -, - .
3
, , . - , .
,
, , , : -. , , , - .
iii) -
, .
. - . . - , .
, ,
. , -. . , .
iv) -
- . , . , - - , .
4
, -, , , .
v)
, . .
:
1) - ,
2) , , -,
3) , - .
-. , - .
vi) -
, - -. - . , - .
.
, . , . , - , . , - , , .
-
, ,
5
, . . - . , -, .
vii) -
. - , - . , , - , . , :
- ,
- , -
, - , - , . . , -
, - . , , .
2.
2.1.
-
, , , , .
6
. -, , - .
, , - , , - , . , . 3000 . , , , , , . - , , . , , - .
2.2.
. , - .
-
. , . - , , , VII V . (624-548 . .) (580-500 . .) . - , - , . IV
... (384-322 . ...) -
7
, ( 300 . ...). , III .., , :
a) ( ).
b) ( ).
, . , . , , - . , , . , , - . - . - , , , , ., XX . , - XIX .. -
-, . , , - - .
-
, . , , - . , . , XIX , - , .
XIX , ,
, - - . XIX - , -
8
- . , XX , - , .
-
XIX XVI . XX - - XVII . XX - , . - - , , - XVIII . , , .
50- XX
, XX , - -. , , , , - , , , , 5, 6 7 . , 50- 60- - XX , - , . ,
, - - . - , .
60-
90- XX , , . - , , -.
, , , -. , , -
9
, .
-
1982 , . , - - . - , . , , , , 1982 .
1982
, - - . - , III IV , - . , - , 1982 , - 1987/88 1990/91 .
2.3. ?
, XX . , , , , - . . , - , - , , - , -
10
.
,
, ., -. , - , - 1982 XX , , .
3. 3.1.
. . , , - . , 10-15 . -. .
, -
. , . , , - . , - , - , , . ,
11
, , . , .
( ), . , , .
,
- . - , : , , , -, , , (, , -). :
1) , 2) , 3) , 4)
, 5) . -
- , .
. - ( ) ( - , ). , . , , .
12
3.2.
, ,
- , .
) .
, , - , . , -, , -- . -, .
) . -
, , .
) . -
-- . - - - - . . . , , , - . , , , () -.
) .
. , , , . , - .
13
) -. , . , - , - , . , , , , , .
) .
, . , , 10-15%, . , , , -, -, , . , - , .
3.3.
, -:
) . I VIII , II . , , .
) , (, - ). VII III .
14
.
) , . . VIII III - : -, , , , , , .
) . (-, , , -), , : , , , , .
) . , I III .
) . .
) - , . - , , . , - .
) . . , - , . , , I .
15
II -
, . - , . , - .
1.
,
, .
, -
. . - : . - . - , , , . .
.
(, ), -, , . , . , . , , -. , ,
16
, -. , - , . , , -, . , . . , , - .
, -
, -. , -. , - , - , , . , .
, -
. , -
, -.
,
, -, . , , .
-
, , , , , . - , . , : , . - , , -
17
, .. , (). , , , - ( ). , - ( ) VII -, (- ).
, .
, . , - , , .. .
-
, - - .
-
. . , , - . , , , .
, .. - . , - (), . - , . , . , - , .
18
2. -
-
, - -. , - -.
2.1.
-
-.
1)
. , - , , - . . , - . -, , -, - .
2) -
, , .
-
- , .
19
, , , - , . , - , .
, ,
( ), -. , , .
-
, , . - - , - , . , - , - , , , .
2.2.
. . , , . - . , - . , , -, - . , - , , XX ,
20
( - ).
:
i) ,
ii) , , ,
iii) ,
iv) , .
, , , , , ., - .
, ,
- .
.
. - , . , - .
, , . , , , -.
21
.
3. ,
3.1. ,
. , , .
-
. - , . - , , . , - -, .
,
. - . , - .
3.2.
-
. , - .
-
, .
22
. . , . -, , .
,
:
i) , ii) , iii) , iv)
v) .
. , . , , - - . - - , , .
3.3. ,
-
. , . , , , - . .
23
, , .
. , , - .
-
, , - . - , . . - , . - , .
. , . . , :
i) , ?
ii) , - ?
iii) , , - ?
iv) ?
,
. , - . - , .
24
. , , .
, , , .
, - . , , , - , - . , - , .
-
, -, . - , - . , , , .
-
, , .
4.
- . , .. .
25
- , , .. . , - - I , - .
1. . -
2. 2 . , 2. 31.
?
. 28, 1, - 2. , 29 30. , 28 31. , 28 25 . , 1, , 4, 7, 10, 13,
16, 19, 22, 25 28. , , .
, 4, 7, 10, ... , .. - 3 1 .
, -
, . , , , . , - , -, . , - . , - :
- ,
- ,
- ,
26
- .
. : ? ? , ? , ? ? ...
-
. .
, . , - , . , - , , .
. , , . , - .
-, .
,
, - , - , .
-
,
27
. -, .
, . - . , , . - , .
,
?. , - . , 20-22 .
-
:
i) ,
ii) ,
iii) ,
iv) .
. - :
a) , - ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) .
, :
i) , , .
28
ii) - , .
iii) , , .
- . , , . , , .
,
, - . - :
- ,
- ( ),
- , , , , - ,
- . , , -
, , - .
29
III
1.
, ? -? , , , , , . , . , - , . , , . - -, . . - :
i) -,
ii) , ,
iii) -, .
-
, . - .
30
2. 2.1.
, , , . .
. :
8 , ?
, - .
I . 8
, , .
| |
( x ):
x 1 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 6 2 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 5 3
1+4, 2+3, 3+2, 4+1 4 4 1+3, 2+2, 3+1 3 5 1+2, 2+1 2 6 1+1 1 21
, 8 , 21 .
II .
, 7, 1,2,3,4,5,6 7 .
1 2 3 4 5 6 7| |
, - 2 6, .. 26. , -
31
, -. - .
12 13 14 15 16 1723 24 25 26 2734 35 36 3745 46 4756 5767 .
21, - 8 , , 21.
- - . , .
2.2.
. , - , - . - . ,
2 5 7 1x x
-
5 7 1 2x x , 2 1x
12x 12x .
-
, -
a b ba c c .
32
- , , , . , - - :
AB CD OD . O 130 - OM . OMD .
OM , OM . , , .
, -
-, :
- , , .
- .
- ?
, - , :
. , . 35 . . ? -
. , - , , , .
33
2.3.
, , , .
, - :
: , - ( ). : , - , , .
, . , ,
b aa b .
, , - .
2.4.
, . - (, , ) . .
.
:
) 1n 4 4n -.
) , 2006 20042 5 .
34
) , 44 1n , n N 1n .
) , 1n 4 4nn .
) , 4 20052005 4 .
:
- - 4 44a b ,
- , 2 2( )( )a b a b a b 2 2 2( ) 2a b a ab b :
4 4 2 2 2 24 ( 2 2 )( 2 2 ),a b a b ab a b ab
- 4 44a b .
: ?, ?, ? .
, -
. , - , .
2.5.
, . - . - . , , , , -, . - .
35
, , - . , , . , . , -.
2.6.
, .
, : 276276, 458458, 764764
13?, . ,
abcabc = 1000 1001abc abc abc ,
131001 13. , - 7 11.
, . , , , .
2.7.
, . -, , . . - .
36
** *
, ..
. -, , - , - . , - - .
, -: , , , - .
37
IV
1.
, , . , .. , .
, -
: - , . .
, -
, - .
1.1.
, , - . , - .
,
. , - , - .
38
- , , , - . , , .
-
. , - , . , , - , -. , -, , .
1. VI
.
, , . 180 , 180 , 180 ! 180 , . 180 .
.
. , 1.
, C , - , 180 . , - 'M C 'CN ? , ,
39
? , 180 !
. -, 2 - , . , - CS SCA - CT CTB . - - .
-
. 2. )
. ,
3 1 3, 6 1 2 3, 7 1 7, 10 1 2 5, 12 1 2 2 3 1 2 6 1 3 4
. 3 7 , 6, 10 12 . , ? , , .. - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
.
( , ), 1 .
) - . , :
2, 5, 8,11,14,17, ... 3 5 7 32 2 2 21, , 2, , 3, , 8, , ...
.
3, -
40
12 . . , , . , - -, -. , .. , - .
, - . , - , -.
1.2.
.
-
, :
1) , .. - ,
2) , .. ,
3) , .. . . , -
, - . , 2 ) - , .
41
- , -, , - , . , - , .
1.3.
, . , : , , .
-
, , . .
. - .
, , , -, , . -, , . , - - .
, . , -
42
. , - : , , , , , .
-
. 1. 6kg 3kg -
, . . ?
. . A 6kg , B 3kg . 1kg A u kg , 1kg B v kg . u v . A B x kg
.
, 1kg A (6 )6x u xv kg ,
1kg B (3 )3x v xu kg .
. - ,
(6 ) (3 )6 3
x u xv x v xu .
( )(9 18) 0u v x
u v 9 18 0x , .. 2x . 1.4. ,
-
, . , A - B , A .
,
43
1) -,
2) ,
3) - ,
4) , ,
5) . -
, .
1. :
276276, 458458, 764764 13?
abcabc = 1000 1001abc abc abc , (1)
131001 13, - . , (1) - 7 11, , abcabc .
. 2. n -
,
8 16 3243 9 27 812, , , , ,...
1 2a - 23q . , -
1 2 3, , , ..., , ...na a a a
1a q . :
44
2 2 32 1 3 2 1 1 4 3 1 1, ( ) , ( )a a q a a q a q q a q a a q a
q q a q .
, 11n
na a q , .
-
. . - M - N . , - - , , , , .
,
( ), ( - ).
-
, ().
: , ,
, -. , . - , , . - , .
3. , -
, . , - , , . , - , .
45
, - . , - - , , , .
-
, .
. -
, . , . - , -. , - .
-
, .
. 4. A B .
: , , , , .
, - , . , : A B . , , , -, . , , - , . , -
46
, - , .
.
, - .
, , -
.
5. )
: x y y x
3 15 8 8 15 8 15 32 24 5 20 20 20 20 5 4 .
) : 3 6 1k , k , : 5 6 1 1, 7 6 1 1, 17 6 3 1 . , , .
)
2 2 ( )( )x y x y x y
, :
2 273 48 (73 48)(73 48) 121 25 11 5 55 2 2 2 273 73 3 3 (73
3)(73 3) 9 70 76 9 5320 9 5329 .
, , , - , - , , .
6.
, (1777-1855) - , :
1 100.
, - , -
47
, : , 1, 2, ..., 100:
100 :A 1 2 3 ... 98 99 100
100 99 98 ... 3 2 1
, 100A . : 1+100, 2+99, 3+98, ..., 98+3, 99+2, 100+1 .
(1 100) 100 . (2)
100A :
1+2+3+...+98+99+100 100+99+98+...+3+2+1.
2 (1 2 3 ... 98 99 100) . (3)
, (1) (2) -
(1 100)10021 2 3 ... 98 99 100 5050 .
, .
1 2 3 ... n .
, , - .
, , - n . -:
n .
S , ..
2 2 2 2 21 2 3 ... ( 1)S n n .
,
:nB 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 ... ( 1) ( 2)
( 1) ( 2) ... 3 2 1
n n n
n n n
48
, nB ,
2 21, 2 5n n n .
. , . ,
3 3 2( 1) 3 3 1p p p p
3 3 2( 1) 3 3 1p p p p .
, p 1,2,...,p n
3 3 2
3 3 2
3 3 2
2 1 3 1 3 1 1
3 2 3 2 3 2 1......................................
( 1) 3 3 1n n n n
, - ,
3 2 2 2 2
pati( 1) 1 3(1 2 3 ... ) 3(1 2 3 ... ) (1 1 1 ... 1)
nn n n
pati1 1 1 ... 1)
n1 1 1 ...1 1 ...
( 1)32( 1) 1 3 3
n nn S n (4)
, S ,
( 1)(2 1)6
n n nS . (5)
, - n n . - n , D . , -
49
4 4 3 2
4 4 3 2
( 1) 4 6 4 1
( 1) 4 6 4 1
p p p p p
p p p p p
, ,
4 4 3 2
4 4 3 2
4 4 3 2
2 1 4 1 6 1 4 1 1
3 2 4 2 6 2 4 2
1.....................................................
( 1) 4 6 4 1n n n n n
,
4 3 3 2 2
pati( 1) 1 4(1 ... ) 6(1 ... ) 4(1 ... ) (1 ... 1)
nn n n n
pati1 ... 1)
n1 ......
( 1)42( 1) 1 4 6 4
n nn D S n . (6)
, D , -
( 1) 22[ ]
n nD . (7)
, -, n , . , , . , -, .
0 0 00 1 2 ...S n
1 1 11 1 2 ...S n
2 2 22 1 2 ...S n
3 3 33 1 2 ...S n
2 2
2 2
2 1 2 1 1
3 2 2 2 1...................................
50
2 2( 1) 2 1n n n
21 0( 1) 1 2n S S (8)
( 1)1 2n nS . ,
(4) (6)
32 1 0( 1) 1 3 3n S S S (9)
43 2 1 0( 1) 1 4 6 4n S S S S (10)
(8)-(10) , .. :
2 1 22 1 2 0( 1) 1n C S C S ,
3 1 2 33 2 3 1 3 0( 1) 1n C S C S C S ,
4 1 2 3 44 3 4 2 4 1 4 0( 1) 1n C S C S C S C S ,
,jiC j i . (9)-(10), kS :
1 1 2 3 11 1 1 1 2 1 0( 1) 1 ...
k kk k k k k k kn C S C S C S C S (11)
, , (11). ,
1 1 1 2 1 3 2 11 1 1 12 1 1 1 1 ... 1
k k k k k kk k k kC C C C
1 1 1 2 1 3 2 11 1 1 13 2 2 2 2 ... 1
k k k k k kk k k kC C C C
.................................................................................................
1 1 1 2 1 3 2 1
1 1 1 1( 1) ... 1k k k k k k
k k k kn n C n C n C n C
(11).
- , . , . - (11) n k kS , 1 2 1, ,...,k kS S S 0S ,
51
(11), 0S , 1 1,..., , ,...k kS S S , 0S n .
2.
, - , -. , . , . , :
- - ,
- , -, .
, - , - - . , , , - . , , , .
-
.
1. , -
0a , a .
1) , 2) ,
52
3) 4) .
?
2. :
1) 1 1 1 1 1 1 12 2 3 3 4 99 100(1 ) ( ) ( ) ... ( ) ,
2) ( 1)3 2 4 32 112 2 3 3 4 ( 1)...n nn n ,
3) 1 1 1 112 2 3 3 4 ( 1)... n n ,
4) 2 2 2 213 35 5 7 (2 1)(2 1)... n n ,
5) 1 1 1 113 35 5 7 (2 1)(2 1)... n n ,
6) 5 5 5 516 611 1116 (5 4)(5 1)... n n
7) 1 2 2 3 3 4 1
...n n
d d d da a a a a a a a , 1 2, ,..., na a a -
d . 3. :
1) 12sin30 cos cos30 sinx x ,
2) cos 3sin 1x x , 3) cos sin ctg30 1x x , 4) cos sin 1x x , 5)
cos 3sin 1x x , 6) cos 3sin sin(30 )sin(30 )x x x x ,
7) 2 2314 4sin(30 ) cos sinx x x ,
8) 2 24sin(30 ) cos 3sinx x x ,
9) 24sin(30 ) 1 4sinx x ,
10) 32cos sin sin(60 )sin(60 )x x x x ,
11) 2 23 14 4sin(60 ) cos sinx x x
12) 24sin(60 ) 4cos 1x x .
53
V
1.
. , . , .
.
. , (-).
-
.
. , , , .
-
(), ().
, ..
, . - , , .
(),
:
1) ,
54
2) - , .. .
2)
. - . :
a) , (, , ),
b) , , ().
: , -
. 2. : -
, - .
, -
. -, . : , , - .
-
- , , , .. - . -, .
55
: { | }iM a i I , P M . - ( )P x , x P , ( )P x - x P . P ,
1,2,...,ia M i k . , :
1 2( ), ( ),..., ( ): ( )
kP a P a P aP a a M . (1)
M k , -
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )kx M P x P a P a P a (2)
,
1 2( ), ( ),..., ( ): ( )
kP a P a P aP a a M
, . , - .
| |M k , M , ..
k , - (1) , - . , (1) .
M , M - M .
1 ( ). n
, .
:
12 5 7, 14 7 7, 16 3 13, 18 5 13, 20 7 13,22 3 19, 24 7 17, 26 3
23, 28 5 23, 30 11 19
{12,14,16,...,30}M , .
56
2 ( ). n 3n n 3?
M N : 1 {3 | }M k k N , 2 0{3 1| }M k k N , 3 0{3 2 | }M k k N
.
1n M , 3 23 (9 1)n n k k .
2n M , 3 23 (9 9 2)n n k k k .
3n M , 3 3 23(9 18 11 2)n n k k k .
3n n 3, n N .
, ( )P n 33| ( )n n ,
(3 ), (3 1), (3 2): ( )
P k P k P kP n n N .
3 ( ). -
4 15n n 9, n N .
1n 14 15 19 3 6 1, 1. 2n 24 30 46 3 15 1 , 1. 3n 34 45 109 3 36
1 , 1. n N 4 15n n 9 1. (1)
(1), (2), (3): ( )
P P PP n n N .
, - .
. 4 ( ). 1,2,3,...,15n -
2 17n n , n N 2 17n n . ,
16n 2 217 17n n , .
57
, n N 2 41n n , , , 42 (!).
3. , :
, - .
-
, -, , . - , - . -. , - , -. - .
. , - , , . - .
, .
3.1.
, , -
( ):
1) ;p q q p p q q p ;
58
2) ( ) ( ); ( ) ( )p q r p q r p q r p q r ; 3) ( ) ( ) ( ); ( )
( ) ( )p q r p r q r p q r p r q r 4) p p ; 5) p q p q ; 6) ( ) ; (
)p q p q p q p q ; 7) p q q p ; 8) p q q p p ; 9) p q q p q ; 10) p
q q p r r . ,
, . , , .
, , -
. ) ( ).
( )p q p q (1)
, . p q p , q . , :
,p q pq .
, .
1. ) :
1) x a , 3 3x a . 2) x a .
. 3 3x a .
. :p x a
:q 3 3x a , 1) 2) p q p ,
q , .. 3 3x a .
59
) :
1) , . 2) .
. .
. :p :q , 1) 2) - p q p , q .. -.
) .
( )p q q p (2)
, . , :
,p q qp .
2. ) :
1) 1x , 3 1x . 2) 3 1x .
. 1x .
. :p 1x
:q 3 1x , 1) 2) p q q , p , .. 1x .
) :
1) , . 2) .
. .
. :p :q , 1) 2) - p q q , p .. .
) :
1) , . 2) .
. .
60
) .
( ) ( ) ( )p q q r p r . (3)
, . , - :
,p q q rp r .
3. ) :
1) n 9, n 9.
2) n 9, n 3.
. n 9, n 3.
) :
1) ABCD , .
2) ABCD , AB CD .
. ABCD -, AB CD .
. 1 1 2 2 3 1, , , ..., , ,k k kp p p p p p p p p q
p q . (4)
) .
( ) ( )p q q p (5) , - . - , :
p qq p .
8. ) : n 0 5,
5.
61
. n 5, 0 5.
) :
, .
. , - .
3.2.
, -
( , ) (, ). ,
0
0
( ) ( ),( )
x M P x x MP x (6)
,
0 0
( ) ( )( ) ( )
x M P xx M P x (7)
- .
(1)-(7), , , . , (1), (3), (4) (5) 1) 4). 5) 10) .
4. -
, - .
62
, , -, .. () .
1. -
( , ). - , -.
:
1) A 1 2, , ...., ;kP P P Q 2) B 1 2, , ...., ;kP P P 3) : B Q
.
. 2 ( ).
, .
, - ( ). , . 3 2 1 , , 4 3 1 , , .
:
i) ;
ii) ;
iii) , ;
iv) P 2ahP , a
, h ,
v) .
63
, , :
vi) ;
vii) ;
viii) ( 6) , ;
ix) V 3BHV , B
, H -,
x) 6 2 .
vi) x), . ix) , , :
ix) V 2BHV , B
, H ;
. , x), , 6 2 3 .
.
- . , A B , - . - A B , .
,
, . - , -? . .
,
, .. -. ,
64
, - . , - , , .
3 ( ). -
. , AB MNPQ . , C AB AC AB , ABC . , - S - MNPQ -. - MNPQS .
, ABC - MNPQS .
4 (
). R \{0}R . :
( ) ( )0
a b b aa b c a b c
a a ( ) ( )
1
ab baab c a bc
a a
0 1 . , ..
a x b , 0ax b a
x b a , 0bax a ,
. -
. , , , -. , , .
65
- , . , , - , .
5.
. , . . , . , - , . , e .
, -
V , , - .
,
, - . - , .
. , , -.
, . -, , -
66
, ., - , .
-
, . , , - , -, , , ., , ().
-
. -, . , . -, , - . .
1. i) ac abc b , -
a c ab c b , .
ii) a b abc d cd ,
a b a bc d c d (?!?).
iii) ab a b , a b a b (?!?).
iv) log log logab a b ,
log( ) log loga b a b (?!?).
v) 2 2 | |a b ab , 2 2 | |a b a b (?!?).
vi) : ( )f x
( ) ( ) ( )f x y f x f y
67
( ) ,f x ax a const .
, , -
cos( ) cos cosx y x y , sin( ) sin sinx y x y .
. 2. -
. - .
3 , ,a b c
3 , ,a b c
3 , ,
2 ,a b -
|| i ||a b b c|| ||a b b c|| i || i
||a c
|| i ||a b b c|| ||a b b c|| i || i
||a c
|| i |||| i || i
||
|| i ||a b b|| i ||a || i i
||a i a b b ca b b cib bb b i
||a c
i a b b ca b b cib bb b i
||a c
i i i
||
i a b ba b bib b i
||a
.
,
- . - , :
a) , - ,
b) , ,
c) , .
,
, , - , . -
68
, , - . , .
69
VI
1.
, - , , . - - . - , , , -. , , . . , -, .
-
, , , , , . , , - .
:
- , - ,
.
70
-, . , -, .
, -
. , , . , .
2.
, , .
, . , -, . , - , - . , - , - , . , . , , - . - :
- - , , - ;
71
- , , , - ;
- , , , -, , - (, ) ;
- , , , ;
- , , - ;
- , , ;
- , -, , - ;
- , , - , , , , , , , , , , .
, - , , .
72
, - . , .. , . , , - , .
. , :
- -, , , ,
- , - .
, -
, - , . -, , , , , .. .
3.
, -
. .
1) , , , , . , .
73
2) , : , , - , - .
3) . , . , , , .
4) , , , . , - , .
5) , - . .
6) - - , - . - -, - , - .
7) , , - .
, -
. , , .
74
, . , - .
-
, . , - - , .. .
-
, . -. , , . - . , , ( , ) . , . , . , .
4. ,
, . --, (). , .
, , . , ,
75
, .
,
, , , .
:
- : , , ( ),
- ,
- , , , LCD ,
- , , ,
- , , - -.
5.
, -
. , .
- :
- , - , - , - , - , -
, - , - -
,
76
- .
, , .
-
, .
5.1.
. :
) . . -, . - , . - , -.
) . - . . , , , , . : ?, ?, ?, ?, ?, ? . , : ?, ?, ?, ?, ? .
: :
2 3 2 6, [2, )xx x x D
77
2 2
2 2
2 2
2
101 2 3
(2 3 2) ( 6)
4( 3)( 2) 12 36
4 4 24 12 36
3 8 60 0
6,
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
2x
: 6x 2 6 3 6 2 6 6 , 12=12, 6 .
: xD ? ? - ? ? 103 ? -
?
, , . :
- , ; - , ; - ( )f x ,
( 3)f (2)f , -3 2 , ;
- x y, p k .
5.2.
- , -, . - , . - :
78
i) , , - , ,
ii) ,
iii) , ,
iv) , ,
v) - .
.
, , :
a) , 90ABC C , - 30A ,
45A 60A .
b) .
) ac bc ( ).
30A 45A 60A b c a
c bc a b c
ac
bc a b c
ac
bc
1 2 3
) ac bc ,
A , A .
- ac
bc -
.
79
5.3.
. . , . . . . . - , . .
,
, , , , - , -, .
,
, , , , , - , -.
) , , , .
, , , - (- , ). , , , - , .
-
, - , .
( -
) . , . - .
)
, -
80
. . , . , - . , , , , , - . , . , :
a) : --, b) : --, c) : .
, .
) . -
:
i) ,
ii) , ,
iii) ,
iv) .
,
. . , , 0 360 .
sin cos tg ctg 1sin
30 45
0,6 -1
81
, , , - , , .
) -
. , , - . .
0. ........................... - . . , ...
22 ( 2), 2 4x x a b 27 44 75 2 2,
xxx x y
32 ( 2), 2x x a b
-.
22 ,...ab 3 44 5 2 ,...x x x 22
4 4 75 8
,x a xy c
) -
. - . - :
a) ,
b) ,
c) , , .
, -
:
82
. 0 0( , ( ))A x f x
( )y f x , 1 2, fx x D
1 0 2x x x ( )y f x ()
1 0[ , ]x x () 0 2[ , ],x x ( 1).
. ( , ( ))M c f c -
( )y f x , 0
( ) ( ),f x f c ( , ),x c c x c ( 2).
. ( , ( ))N d f d -
( )y f x , 0
( ) ( ),f x f d ( , ),x d d x d ( 3).
)
, , .
-
, - . , - , - .
5.4.
, , . , , . - . ,
83
, , - , .
:
) ,
) ,
) . 1.
cos( ) cos cos sin sin (1)
:
i) (1)
cos(75 40 ), cos( 30 ) , cos(60 ), cos(90 ), cos(2 3 )x y .
ii) (1)
cos70 cos10 sin70 sin10 , sin100 sin40 cos100 cos40 , 31
2 2cos50 sin50 , cos 3sinx x .
iii)
cos15 ,cos75 ,cos120 .
.
) . 2.
2x k (2 1)x k
sin ,x a | | 1,a
, : x , 30 2k ; 15 6k ! , , ?a k
5;0; 8;200;3,5,....; 500k ?
) .
, , , .
84
3. : ABC , ,C CD ch 1,AD b
1BD a ,
: 2 21 1 1 1, , ca ca b cb h a b . - , , : . , , :
I. - -.
II. - .
, , - . , , , .
5.5.
: () . , . -. , , - . - - .
-
. , .
85
- :
a) , - ,
b) ,
c) , - ,
d) . 5.6.
,
, , . , . , . - . , . , - .
-
, :
a) .
b) -. , , - .
c) , - .
d) - , .
86
, -, .
5.7.
, . , . , - , . :
a) - , .
b) -, .
c) , . - . , - , , , -.
d) . , - , , - .
- , . - .
87
: ?, ? .
5.8.
() -
, , - . , , , , - . , - , :
i) - .
ii) , , -, .
5.9.
- , , . , .. , , .. - . , . , , .. .
*
* *
88
. , -, . , .
-
6.
- , .
-
, - . , - . - - . , - . , , , V I ,
, - . , , - , , .
1. 4 . -
C
89
, - 100 m .
-
- , . , .
-
. - I IV , , . , , , -, . - , XX , , , . , - . , -. - , - , . -
. - -, . , - , , .
90
, , - , , -. , . , :
- , - , ,
- - , , - ,
- - -, .
, -
- , . , .
2.
2 2 2( ) 2x y x xy y 2 2 ( )( )x y x y x y
4 4 2 2 2 24 ( 2 2 )( 2 2 )a b a b ab a b ab , (1)
- . , :
) 1n 4 4n -.
) x - n N , 4z n x .
91
) 10 122 5 .
) 44 1n , n N 1n .
) 1n 4 4nn . 3. ) : M -
ABC , ,x y z M , ,BC CA AB -
, ,
x y z h , (2)
h .
) , :
3 , , .. . 12 , 7 , 5 . , 6 . 6 ?
) , .. M ABC , - . , M BC , 0x , 0x , M BC . -, 0y M AC 0z M AB
. , M BC , x , y z M (1). ,
- x y z , ,
- - , x - , - M BC ,
92
- ABC - 12 12 . , , , , ,BC CA AB , -. , , A (12,0,0), B
(0,12,0) C (0,12,0) .
) :
- - , -
- - , - BC .
4.
. ,
2 2( )( )a b a b a b
. :
2 2
( )( ).
ABHG EDIH ABEF FEHG EDIH
ABEF BCIH EDIH ABEF BCDE
ACDF
a b P P P P PP P P P PP a b a b
2 2 2 2 2( ) 2a b a ab ba b a ab b
.
2
2 2 2 2
( )
2 .ABCD AEFG GFID EBHF FHCIa b P P P P P
a ab ba b a ab b
, -, , ,
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ,
a b I G H
b
b
b F E
a-b a
D a-b
b
A B C
D A b C I
B
b
b G F
a
a
H a
b
A E B
93
3 3 2 2( )( )a b a b a ab b . 5. -
. , - . , 1xy x , 0x .
tg ,x t 20 t . , 2
sin 2ty sin 2t 4t , 1,
1xy x 1x 2y . t 0
4 sin 2t 0 1, x 0 1
2. t 4
2 , sin 2t 1 0, x 1
0 . -
, . , , .. - . - .
6. -
:
- - ,
- , - , - ,
- ,
- ,
94
- ,
- - , .
- , , -, , - . , , - , . , , - :
- , ,
- , -, , ,
- , , ,
, :
- -,
- ,
- - .
-
, - - . , - , , . , , - - -
95
. , :S C C , ( ) , 0S z az b a , - , .
, - :
- , ,
- ,
- .
,
- , , , , , , . .
7. - , IV
. , , . , - , :
- ,
- ,
- --,
- ,
- , . -
, .
96
. - : , - .
- .
8. . -
- , :
) . , .
) . ), , , - .
) . ) ) - - , , , ( , , , ), .
) . ), ) ) - , -.
,
, . , :
a) , ,
b) ,
c) . -
. .
97
9. , - :
1. : ) 22 4 5 0x x , ) 2 3 6 0x x , ) 2 ( 2 3) 6 0x x , ) 3 2(
3) ( 3)( 3)x x x x ,
) 22 24
1x x
x x x x, ) 2 2( 2) 5 ( 3)x x x ,
) 4 25 6 0x x ) 2 5 3x x . 2. 2 2 32 2 0x p x px p . ) ( x ). )
p . ) p 3. 3. 3 31 2x x , 1 2,x x () -
2 2( 4) 2 0x p x p . ,
9, , ( ) - . , . , , . - , .
. , - . , - , , . , - , I II III .
98
- , -, 10 , - I II . , , , , , , : , , - , , -, . , , . , , - ,
- .
:
a) -, -, ,
b) - - ,
c) - ,
d) , .
, : -, , , , -, , - , .
99
VII ,
1. - - 10 15
10
15 - . , , :
-
- ,
- -,
- , - , -.
. , - , - , -. - : . , - -. , , , , , . , - , , .
100
- , , .
(I-V ) -
, - . , , VI VII , - . , , . , , - , . - , -. , , , , .
V IX
. , - , ( ) . , , - , - , .. - -.
. - , , .. . , III, IV V , (, , -, , ). VI, VII , , , ,
101
. , . . - , , , - , - .
, , - . , - - , , . - , :
- ,
- .
, . , , . , -, , , .
2. ,
, - - . .
102
1), .. - :
- ,
- , - , - - . 2.1. ,
. , , . , - , - -.
, -
, . , , , , .. . , . , , . , , , . , , - - .
,
. , , - , . , , . , - . , - , .. . , , , -
103
, . , .
, -
. , , , - , . , , .
. , - , , , , . , -, , , , -, . , .
, ,
. , - . , , , - , -, .
-
, - .
2.1.1.
, - , -. , - , . ,
104
, -, . , - . , :
- , - , - , , - .
, , .
- . , , .
-
. , - . , :
1) ,
2) ,
3) - .
, -
, . , - , V VIII . - , , , - , .. .
-
, -
105
. - , :
a) () , b) () c) . -
, . , - - . . , . - , , . , - , -. , , - , .
-
, . - , . , , - , - . , , . , , . , , , -.
106
, .
,
. , - , . , , .
2.1.2. ,
, :
-
- , , .
, , . .
: -
() , , , : .
2.1.2.1. -
, () -.
, -
? -
107
. , ( ) -: , :
- 10 ,
- 20 ,
- 40 ,
- 120 .
, . , 12 10 , 120 . , - - . , , , , .
-
? - . , , , - . , - . , .
a) , - () . , - , - .
b) , -
108
. , .
c) , , . , - . , - . , - , .. - .
, ,
: . , , - . , - , , , .
, -
, - , , , . - , , - . , - , .
109
2.1.2.2. -
, :
- ,
- , , .
? - . , , - . -, - , .
. , . , ? , :
- ,
- .
- . , , - . , - , .
?
, . , - , , , .
110
- . - , . , .
. , . , . - , . , - , - , . , - , - .
, -
, - . , -. , , , . , , - , , - .
,
, - . :
- , , ,
- -
111
- - .
2.1.2.3. -
, - . , , , . , - - . . , . , .
,
. ? , - - . , , . , , , - , . . , , -.
, 2,5 ,
, - , , , . , - -. , , - ,
112
.
-
, . , .
a) - , . - , -. , . , - , .
b) , , . , , (). , - , , . , . , - , , . , , , , . - , , . , , ,
, .
? , -.
113
i) . , , - , , - , , - .
ii) - . , , , . , - .
iii) . , - , .
iv) (, .). , , . , . , -, - . , , .
, -
. , , . , , , , , .
114
. , .
, -
, - . , - - . -, :
1) , - ;
2) , - , - ;
3) , - - , ;
4) , , - - , - .
2.2. -
. , -.
115
:
- (), - () - () -
.
, , .. :
- , - - .
2.2.1.
, . , , . , - , . , - , . , - , .
, , , - , . , , , , .. -. , , - , . , , , , .. - .
116
, - . , , , , , - , . ? , , , , . . , , -, , , .
-
50% . . , , - . , , - . , , , , , , - , .
, -, , . , , , . , :
- ,
- , - , - .
117
2.2.2. , ,
. .
, -
, . , , .
,
. , . , , -, .
-
, , .. - .
, . ,
- . , , - , , . , , , - - .
2.2.3. ,
. , , - . ,
118
, , , , - . , . , . , , -. , - .
-
, - - . - , . , . , - - . , - .
,
, , , . , - , - . , - .
-
, . , , , . , . , -
119
, - . , , . , - . , - , - .
, . , - , , , . , , . .
?
, - , - , :
- , , - , - ,
- , ,
- , , .. - , , , - ,
- - .
120
, - , - . :
- 15
- - .
2.3.
-
, , , - (, ), -, , . -, , . , - .
-
, , . , . - . 8 . , , 6-10 . , , - . , 46 , . . , 6 8- 46 .
, ,
, .
121
, .
-
. , - , . , , . , , , , , .. -.
-
, - . , , . , , . , , . , , . , .
-
, :
- ,
- - ,
- .
, , , - , .
122
, - , - . , - - . , -. - -, . . - , - . - , . - . , , .
, -
, , . , , . , , . - , , . , , . -:
- , .. , ,
- -,
- - , , ,
123
- , - .
, , - , . , , - :
1) -, ,
2) , ,
3) , .. , -, - , ,
4) - ,
5) , .. , - .
, ,
. , , , , , , - .
,
. - , , - . - 8-17 . :
- ,
- ,
- - ,
124
- , -.
, , - , . - -. , , 75% , , . - :
- , - ,
- , - , - .
,
-. , , - . , (, , ), , -.
, .
, , .. - . , . , , . , , . -
125
, .
,
, .. -. , :
-
- .
, () - , . -, , , - , . - , - , - - , . , , -. , , , .. .
, , - -. :
- - , - : , , -, , ,
- : , - , , -., .
126
, , .. - , . -, , . -, - , -, , .. . , , .
2.4. -
, . , - . , , . , . , - , . - , .
,
-. , .. . , , , , . ? - . , , -, , . , -
127
, - , .
?
, , - . , 158 Latyr , 132 . , 38 , 20 , . 158 - 151 . - , , ,
.
, , -
, , , . , -, - , .. .
.
-, - . , , ? - . , , 12 , , - . , - . - 64% . - , 16% . , . . ,
, , ,
128
. - , - - . , , - . -, -.
, ,
, :
- , - - , , , - , - , ,
- - , , ,
- -, , .
, -, , , - , - . , , . -, . - , - . , , ,
129
.
2.5. -
. .
1. . - , . , , . - , .
2. . , , , , . , .
3. . - , . , , . , - , , .
4. . , . , , - - : , , ..
130
- .
5. . , . , , .
2.6. .
, -
. , , . , . 1997 . : , , - .
1. I. .
. , , .
2. II. . , , . , , .
131
3. III. . - . - , - .
4. IV. . - , , -, . , - , - . - , - - , - .
2.7. , ,
, , - . , , - , , - . , - 1968 . : -, , , , - , : , , -, . - , ,
. , . - , -
132
, . - -.
1. .
1.1. . - . , - , , , , - .
1.2. . . , .
1.3. . . , - .
1.4. . - . , - , .. .
1.5. . , : , -.
2. .
2.1. . , : , , - . - .
2.2. . - . -
133
. , , , , .
2.3. . () - .
2.4. . - - - - .
2.5. . , -, - . - . , - , , -.
,
, . , - . . -, - . , , .. .
134
- . , .
135
VIII
1.
, .. - - . , , (). .
,
( ), - - ( ), - - ( ).
, , - .
1. n .
{4,6,8,9,10,12,...}, : .
, . ,
, . . , , -, , .
136
2. : , , , . - , .. .
, : , , , - . , .. .
, .
, : , .
1
. A ( )O A , B ( )O B .
( ) ( )O OA B , A B , B A .
3. . -
, , -.
, , . , , , . , - .
. 4. -
.
-, . , .. . , , .
137
2.
-
. - .
4 1 -
. :
- , .. (), ,
- ( , -, , .),
- , .. (-), : -.
--
. . , - , , .
,
. , , . , , 1 1 :
n - . -
. , : 1. , , .. -
, - : - .
138
, - .
2. , ..
. , 1, 1 . , , -: - , : - .
3. , . A
B , B A , : . - .
4. , .. -
, , : , .
5. ()
, : .
6. , :
, .
7. , .. -
-, : . . -, -: .
8. , ..
, :
139
. , -, .
-
- . - . , - . .
1. :
. 2 35 2 0x x x - 2, -
2 15 0x x x , 2 5 0x x y .,
.
, . , . , . : . ( ). - . :
a) A B - A , .. - ,
b) . , ,
. , .. ,
. , - .
140
, - . - -.
, : , ,
, . - : , , .
,
. , -. :
1) -
. . 3.1 1 4 1.
,
, , :
2) .
. .
- , .
, -
:
- O r .
-
, , - .
3) . :
i) ,
141
ii) ( ),
iii) , .. i) ii) - .
2.
:
i) 1a ,
ii) : 1n na a q , 2,3,4,...n q .
iii) 1a ) ) .
4) .
. .
3. . a) 1lim (1 )nnn
e ,
b) 2shx xe ex ,
c) ( ) ( )0
'( ) lim f x h f xhhf x , -
, d) 0 1, 0a a . 5) . ,
, . , - . - . : , , , , . :
- , - , . 6) -
, .. . -, - : , , , . -
142
. .
4.
N :
N :
i) 1 N . ii) k k ,
k . iii) k n , k n . iv) 1 k , k N . v) ,1S SN k S k S , S N .
3.
-
, -. .
-
. I
, , , . - . , : , , , , , . , : , , , .
, . , , -
143
, , , , , .
-
. - , . , , . , , , .
-
( ), I IV . - , , .
V . V , VII VIII . , -, -.
,
-, - , . -, , ( ), . . , - . , , . , - .
144
, - . , .
, : , , , , , . , .
-
, . -, . , , - - . - , , , . , , , :
) -, - ,
) .
, . ,
, , : -- -. - - , - , .
- - (, , , ), .
145
. , -, .
- -
-. , , -, - .
- ,
, , , . , , . , -, .. . - , .
, -
. - , - . , - , . , , .
1. , -
- :
i) : ax2+bx+c=0,
a,b c 0, . , () .
ii) : x2+px+q=0, ax2+bx=0, ax2+c=0 ax2=0,
(, , - ).
146
iii) : 5x2+3x+7=0, -x2+4x-6=0 ., - , , :
a) x2-4x-1+6=0 . b) 4x-12=0 .
iv) , : s=gt2/2 gt2-2s=0 t. .
, - -
, ( , ), , . , - .
,
, :
a) ,
b) , ,
c) ,
d) , ,
e) - , - : , -.
-
. , - , , . , , - .
147
, , . , . , , .
-
, . - .
, -
, -. , - . , - , , .
-
. , , .. , . , -, .
, - , . - , - -.
-
, - , .
148
, - .
, , - . , .
-
. , - , , -. , , - . - , .
2. .
, .. : ( ), . , , .
, -
, , - .
: - ? e :
- , ,
-
- .
149
IX
1. ,
, . .
1. ) 3
3.
) .
) 180 .
) .
) |p a , |p ab , b Z .
) 5, 0.
,
, :
) ( ) ( S ) - ,
) ( ) ( P ) - ,
) (, .). 2. ) :
n , 22n n .
2n , 2n , .
) ) , , .
150
) ) , 180 , .
XO X , S P
S PO O , S P , S PO O , , , , , .
. : ( ) , 1xf x a a -
, ( ( ) , 1xf x a a ) - ( ), , ( ) , 1xf x a a .
2.
, . , , -, , , - . , - :
1) , :
x , x S , x - P . :
( )( ( ) ( ))x S x P x . 3. ) .
) .
) 1 .
151
2) , : - x S , P . :
( )( ( ) ( ))x S x P x . 4. ) -
.
) .
) .
3) , :
x S , P . - :
( )( ( ) ( ))x S x P x . 5. )
.
) -.
4) , : -
x S , P . - :
( )( ( ) ( ))x S x P x . 6. ) .
) .
) -.
, -
. - , : .
, ), ), ), ) ) 1
, .. , ) . , - , . -
152
. , - . - , , : - .
2.1. ,
, .. -, .
,
. , , , - .
. 7. , -
. -
: , : -. , () - -.
,
:
- , - , .. .
-, .
8.
, ,
, .
153
. , 7 8 ..., .... - , .. :
p q
, .. - p , q .
7 8
: 9. ) .
) .
. , . - .
10. ) .
) 180 .
) .
) .
-
, - . , , . , - , , .
. -
- () p q , p q . - . -.
154
p q , q p p q , .
11. ) :
,
:
, .
) :
:
. -
, - 11 ) . , 11 ) .. -. , .
, -
. , ,
. , q p p q , , , , p q , . - .
12. ) 11 ) -
:
.
) :
n 3, 3
:
155
n 3, 3
:
n 3 3. . ,
![NASTAVNA PROGRAMA ZA MAKEDONSKI JAZIK I …bro.gov.mk/docs/umetnicko/makedonski/DSUPU_Mak[1].jazik_I_god... · korektna komunikacija vo usna i pi ... – so nastavata po drugi jazici](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5a700d707f8b9a98538b9eda/nastavna-programa-za-makedonski-jazik-i-brogovmkdocsumetnickomakedonskidsupumak1jazikigodpdf.jpg)
